República bolivariana de Venezuela Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”

Extensión Porlamar

UNIDAD VII

RESPUESTA EN FRECUENCIA

(Métodos del Diagrama de Bode y del

Diagrama Polar)

Profesor: Realizado Por: Ing. Alejandro Bolívar Elías J. Ramírez C.I. 19.317.725 Sección “1A” Ing. Electrónica

Porlamar, Julio de 2014.

Introducción

Los objetivos del presente informe son conocer las aplicaciones de

Matlab en el desarrollo y solución de problemas matemáticos para entender los

métodos del Diagrama de Bode y del Diagrama Polar.

MATLAB es un sistema basado en el cálculo matricial para desarrollar

aplicaciones matemáticas y de ingeniería. Es un lenguaje diseñado únicamente

para realizar manipulaciones matriciales todas las variables que se manejan en

Matlab sin matrices.

Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para

caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de

dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función

y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico

estadounidense que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en

electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de

filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de

transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o

la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de

señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante

en el tiempo.

Un diagrama polar es un dibujo técnico que refleja la radiación en que un

determinado sistema capta o emite (radia) energía al espacio. Estas pueden

ser, por ejemplo ondas de sonido o Radiación electromagnética.

El diagrama de fase de Bode

Representa la fase de la función de transferencia en función de la

frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar

en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una

señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia

determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin (ωt) a la entrada del

sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase

−Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin (ωt − Φ). Generalmente,

este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ (f)); esta dependencia es lo que

nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada

entre -90° y 90°.

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden

por lo general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica

cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos

que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se

puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.

Si la función de transferencia es una función racional, entonces el

diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas

representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano

siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir

incluso sin dibujar la gráfica).

Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de

las frecuencias de corte (“diagrama de Bode corregido”).

El uso de cálculo logarítmico nos va a permitir simplificar funciones del tipo

a un simple sumatorio de los logaritmos de polos y ceros:

Supongamos que la función de transferencia del sistema objeto de

estudio viene dada por la siguiente transformada de Laplace:

Donde , e son constantes.

Las normas a seguir para dibujar la aproximación del Bode son las

siguientes

en los valores de pulsación correspondientes a un cero (

) se tiene que aumentar la pendiente de la recta un valor

de por década.

en los valores de pulsación correspondientes a un polo ( )

se tiene que disminuir la pendiente de la recta un valor

de por década.

el valor inicial se obtiene poniendo el valor de frecuencia angular

inicial ω en la función y calculando el módulo |H(jω)|.

el valor de pendiente de la función en el punto inicial depende en

el número y orden de los ceros y polos en frecuencias inferiores

a la inicial; se aplican las dos primeras reglas.

Ejemplo

Un filtro paso bajo RC, por ejemplo, tiene la siguiente respuesta

en frecuencia:

La frecuencia de corte (fc) toma el valor (en hercios):

.

La aproximación lineal del diagrama consta de dos líneas agudos

y centimetritos:

para frecuencias por debajo de fc es una línea horizontal a 0

dB

para frecuencias por encima de fc es una línea con pendiente

de -20 dB por década.

Estas dos líneas se encuentran en la frecuencia de corte. Observando el

gráfico se verá que a frecuencias bastante por debajo de dicha frecuencia, el

circuito tendrá una atenuación de 0 decibelios. Por encima, la señal se

atenuará, y a mayor frecuencia, mayor atenuación.

Diagrama polar

Un diagrama polar es un dibujo técnico que refleja la radiación en que un

determinado sistema capta o emite (radia) energía al espacio. Estas pueden

ser, por ejemplo ondas de sonido o Radiación electromagnética.

Dependiendo de su directividad, podemos diferenciar entre:

Omnidireccional

Bidireccional

Unidireccionales

Cardioide

Supercadioide

Omnidireccional o no direccional

Radian o captan por igual en todas direcciones, es decir, en los 360º.

Bidireccional

El diagrama polar tiene forma de ocho con dos lóbulos opuestos. Emiten

o captan sonido tanto por delante como por detrás, mientras que son

prácticamente “mudos” en los laterales.

El ángulo preferente se sitúa en torno a los 100º.

En altavoces, los diagramas polares bidireccionales no se utilizan en

demasía por idénticas razones que los omnidireccionales: requieren de

grandes cajas acústicas.

Unidireccionales

Emiten o captan en una dirección muy marcada y son “relativamente

muertos” en las otras.

Cardiode

Tipo de unidireccional que se llama así porque el diagrama polar tiene

forma de corazón, lo que se traduce en que radian o captan hacia o desde la

parte frontal y tienen un mínimo de sensibilidad en su parte posterior, donde se

produce una atenuación gradual.

El ángulo preferente lo alcanza en un ángulo de 160º.

MATLAB Y LOS SISTEMAS DE CONTROL

Empleado para sistemas lineales invariantes en el tiempo. Los modelos a emplear pueden ser:

- Continuos en el tiempo

- Discretos en el tiempo

Y estos sistemas se pueden representar en Matlab de diversas formas:

Variables de estado

Ecuaciones diferenciales en el formato:

Dónde:

u es un vector que contiene las entradas de control

x es un vector que contiene los elementos del vector estado

y es un vector que contiene las salidas

A, B, C, y D matrices que lo definen.

Funciones de transferencia

Es la representación equivalente de sistemas de variables de estado empleando la transformada de Laplace.

Ganancia-Polos-Zeros

Una función de transferencia puede representarse en formato factorizado de ganancia-polos-ceros

Dónde:

k puede ser vector fila que contiene la/s ganancias.

p puede ser vector columna que contiene los polos.

z es vector columna que contiene los ceros.

Fracciones parciales

Una f.d.t. puede también representarse en fracciones parciales o en formato de residuos:

Dónde:

p un vector columna contiene los polos.

r un vector columna contiene los residuos.

k contiene el polinomio independiente.

Conversión de modelos

[num, den]=ss2tf(a,b,c,d,iu) De variables de estado a función de transferencia.

[z,p,k]=sstzp(a,b,c,d,iu) De variable de estado a polos-ceros.

[a,b,c,d]=tf2ss(num,den) Función de transferencia a variables de estado.

[z,p,k]=tf2zp(num,den) Función de transferencia a polos-ceros.

[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) Polos-ceros a variables de estado.

[num,den]=zp2tf(z,p,k) Polos-ceros a función de transferencia.

[r,p,k]=residue(num,den) Función de trasferencia a residuos.

[num,den]=residue(r,p,k) Residuos a función de transferencia.

Definición de funciones de trasferencia

Manejamos las f.d.t. mediante polinomios. Un polinomio se representa mediante un vector que contiene los coeficientes del polinomio, donde el primer componente es el coeficiente de mayor potencia de s, y el último es el coeficiente de orden 0.

Se representa por: p=[1 3 5]

Los polinomios del numerador y del denominador de la f.d.t. se mantienen separados. Así dada la f.d.t.:

Se definen dos polinomios: num=[1]; den=[1 3 5];

Multiplicación de polinomios

Dados dos polinomios p1=[1 2] y p2=[3 5] los podemos multiplicar mediante la función conv como en el ejemplo:

>> p1=[1 2]; p2=[3 5];

>> p=conv(p1,p2); p =

3 11 10

Multiplicación de bloques

Dos bloques en serie, se combinan al multiplicar los polinomios, o lo que es lo mismo al convolucionar las dos repuestas impulso asociadas.

Dadas dos funciones:

>> g1n=[1 0]; g1d=[1 2]; >> g2n=[4 4]; g2d=[1 4 5]; >> gn=conv(g1n, g2n) gn =

4 4 0

>> gd=conv(g1d, g2d) gd =

1 6 13 10

>> ceros=roots(gn) ceros =

0 -1

>> polos=roots(gd) polos =

-2.0000 + 1.0000i -2.0000 - 1.0000i -2.0000

Suma y resta de funciones

La suma y resta de dos funciones el algo más complicada, debido a que Matlab trabaja con polinomios, tendremos que emplear lo siguiente.

Dados dos polinomios cualesquiera el polinomio suma será:

Tendremos que recordar que al sumar dos vectores, estos tienen que tener la misma longitud:

>> gn1=[1 0]; gd1=[1 2]; >> gn2=[4 4]; gd2=[1 4 5]; >> gn=conv(gn1,gd2)+conv(gd1,gn2) gn =

1 8 17 8

>> gd=conv(gd1,gd2) gd =

1 6 13 10

Funciones de reducción de bloques para control

- serie Genera en un sistema SISO la f.d.t. de dos bloques SISO en serie.

[NUM,DEN] = series (NUM1,DEN1,NUM2,DEN2)

- parallel Genera la f.d.t. resultado de dos funciones de transferencia en paralelo.

[NUM,DEN] = parallel (NUM1,DEN1,NUM2,DEN2)

- feedback General la f.d.t. de un sistema SISO al conectar dos bloques en bucle cerrado, con realimentaciones positiva o negativa.

[NUM,DEN] = feedback (NUM1,DEN1,NUM2,DEN2,SIGNO,)

- cloop Sistema como el anterior pero con realimentación unitaria

[NUM,DEN] = cloop (NUM1,DEN1,SIGNO)

- Otras funciones

Las raíces de un polinomio p=[1 3 5], se obtienen mediante la función roots:

>> p=[1 3 5]; >> roots(p) ans =

-1.5000 + 1.6583i -1.5000 - 1.6583i

o guardar el resultado en un array columna llamado 'raices'

>> p=[1 3 5]; >> raices=roots(p) raices =

-1.5000 + 1.6583i -1.5000 - 1.6583i

Si dicho polinomio es el numeroador de una f.d.t. obtenemos los ceros de la función, y si es el denominador obtenemos los polos.

Otras formas de representar las f.d.t.

Otra forma de representar las funciones de transferencia es la llamada forma de ceros y polos.

[z, p, k]=tf2zp(num, den)

Obtenemos los factores de la f.d.t.:

dónde:

z son los ceros (tantas columnas como filas en num)

p polos del sistema

k ganancia

>> num=[1 2]; >> den=[1 3 5 8]; >> [z,p,k]=tf2zp(num,den) z =

-2 Inf Inf

p =

-2.3283 -0.3359 + 1.8230i -0.3359 - 1.8230i

k =

1

Para pasar del formato polos. Ceros a f.d.t. utilizamos:

[num, den]=tf2zp(z, p, k)

dónde:

z es una matriz columna con los ceros.

n es un vector columna con los polos.

k ganancia

>> z=[-2]; >> p=[-2 3 4]; >> k=5; >> [num, den]=tf2zp(z, p, k) num =

5 10

den =

1 -5 -2 24

Matlab dispone de una función que permite el cálculo de residuos; es decir, nos permiten expandir una función en fracciones parciales:

[r, p, ki]=residue(num, den)

Dónde:

r son los residuos.

n son los polos.

ki terminos independientes

>> num=[16 80]; >> den1=[1 4 8]; den2=[1 10]; >> den=conv(den1,den2); >> [r,p,ki]=tf2zp(num,den) r =

-1.1765 0.5882 - 1.6471i 0.5882 + 1.6471i

p =

-10.0000 -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 2.0000i

k =

[ ]

Si se desea determinar la magnitud y el ángulo que forma los residuos, emplearemos las funciones abs(), y angle():

>> magr=abs(r) magr =

1.1765 1.7489 1.7489

>> angr=angle(r)*180/pi angr =

180.0000 -70.3462 70.3462

MATLAB SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Introducción de sistemas de primer orden, a las distintas formas de representación y al cálculo de su respuesta en el tiempo ante diferentes tipos de entrada.

- Características de los sistemas de primer orden

- Visualización de respuestas impulso y escalón

- Cálculo de valores respuesta ante cualquier señal de entrada

- Parámetros que definen un sistema d primer orden

FORMATO GENERAL DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Parámetros a destacar:

T = Constante de tiempo.

Parámetro de la respuesta temporal:

Tiempo de establecimiento ts. ts = 3T

Análisis de funciones. Respuestas en el tiempo.

Matlab proporciona las herramientas necesarias para simular sistemas de control con distintas entradas:

[x,y]=impulse(num,den,t) Calcula respuesta impulso de un sistema lineal continuo.

[x,y]=step(num,den,t) Calcula la respuesta escalón de un sistema lineal continuo.

[x,y]=lsim(num,den,u,t) Respuesta del sistema lineal continúo a una entrada dada por u. Cada fila de 'u' es un valor de la entrada. El vector 't' especifica eje de tiempo de la simulación

Dónde:

- x es un vector columna que contiene los valores de la respuesta de salida.

- y es un vector columna que contiene los estados intermedios.

- t es un vector fila que contiene los valores de tiempo para los que se calcula la salida

Se tienen que cumplir que el número de columnas de t coincide con el número de filas de 'y' e 'x'.

Formato:

y=lsim(num,den,u,t)

Dónde:

- u es una matriz formada por tantas columnas como entradas al sistema y donde cada fila corresponde a un punto en el tiempo t.

- t es el eje de tiempo para la simulación; suele ser un rango de valores t=0:0.001:3. u y t poseen la misma dimensión.

- y retorna la salida.

Distintas formas de visualizar respuestas en el tiempo para cualquier sistema.

impulse(num,den) step(num,den)

Visualiza la salida en una ventana gráfica, pero no guarda en vectores los valores de la salida ni de tiempo.

lsim(num,den,u)

Y=impulse(num,den,t) Y=step(num,den,t) Y=lsim(num,den,u,t)

Genera vector de salida 'y' para unos valores de tiempo dados en 't'.

[y,x]=impulse(num,den,t) [y,x]=step(num,den,t) [y,x]=lsim(num,den,u,t)

Genera la salida y unos valores intermedios para unos valores de tiempo dados en el vector 't'.

[y,x,t]=impulse(num,den) [y,x,t]=step(num,den) [y,x,t]=lsim(num,den,u)

Se genera incluso, el vector con los valores de tiempo, que emplea la función step.

Por ejemplo si definimos una señal rampa:

>> num=[1]; >> den=[1 2 3]; >> t=0:.001:2; >> u=t*4; >> y=lsim(num,den,u,t); >> plot(t,y),xlabel('tiempo'),ylabel('Salida');

La función axis permite especificar el rango de los ejes del gráfico

axis([Xmin Xmax Ymin Ymax])

MATLAB SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Introducción de sistemas de segundo orden, a las distintas formas de representación y al cálculo de su respuesta en el tiempo ante diferentes tipos de entrada.

- Características de los sistemas de segundo orden

- Visualización de respuestas impulso y escalón

- Análisis dinámico de los mismos

Formato general de sistemas de segundo orden

Parámetros:

- Wn

- d

Análisis de funciones. Respuestas en el tiempo.

Emplea las mismas funciones que en los sistemas de primer orden.

Obtenida la respuesta en tiempo, podemos determinar sus características de una forma sencilla mediante su respuesta. Hecho el análisis es aplicable también a sistemas de primer orden u orden superior.

Otras funciones que son de utilidad:

[Wn,Z]=damp(A) Calcula la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento de A.

[f,i]=max(y) Determina el mayor elemento contenido en el vector 'y' retorna en 'f' dicho valor y en 'i' la posición dentro del vector.

[f,i]=min(y) Determina el menor elemento contenido en el vector 'y' retorna en 'f' dicho valor y en 'i' la posición dentro del vector.

[f,c]=find(condición) Determina las filas y/o columnas del elemento que cumple la condición dada. Los operadores mpleados son los operadores relacioneales.

>>f=find(y>=2); Dado un vector coumna 'y, retorna un vector f que contiene los índices del vector y que cumplen la condición de ser mayor o igual a 2.

Por ejemplo si definimos una señal rampa, podemos localizar uno o varios puntos:

>> num=[1]; >> den=[1 2 3]; >> t=0:.001:2; >> u=t*4; >> y=lsim(num,den,u,t); >> plot(t,y),xlabel('Tiempo'),ylabel('Salida'); >> maximo=max(y); >> t(maximo) >> v2=find(y>=.3 & y<3.2) >>t(v2(1))

Dada un f.d.t. podemos obtener la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento del sistema.

>> num=[1]; >> den=[1 2 4]; >> [wn,c]=damp(den) wn =

2 2

c =

0.5000 0.5000

Para realizar el cálculo de la estabilidad, no te4nemos más que determinar las raíces de la ecuación característica, es decir, del denominador de la f.d.t. final del sistema.

Para ello se utiliza la instrucción roots, que calcula las raíces de un polinomio dado.

raices=roots(den)

Esta función computa el polinomio cuyos coeficientes están en el vector 'den', de tal forma que si P son los coeficientes del mismo y tiene N+1 componentes el polinomio es P(1)*s^N + ...+ P(N)*s + P(N+1).

Conclusión

Los diagramas de Bode son de amplia aplicación en la Ingeniería de Control, pues

permiten representar la magnitud y la fase de la función de transferencia de un sistema, sea

éste eléctrico, mecánico. Su uso se justifica en la simplicidad con que permiten, atendiendo a la

forma del diagrama, sintonizar diferentes controladores (mediante el empleo de redes de

adelanto o retraso, y los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, estrechamente

ligados éstos últimos a los llamados diagramas de Nyquist), y porque permiten, en un reducido

espacio, representar un amplio espectro de frecuencias. En la teoría de control, ni la fase ni el

argumento están acotadas salvo por características propias del sistema. En este sentido, sólo

cabe esperar, si el sistema es de orden 2 tipo 0, por ejemplo, que la fase esté acotada entre 0º

y -180º.

Así pues, datos importantes a obtener tras la realización del diagrama de Bode para en análisis

de la estabilidad de dicho sistema son los siguientes:

Margen de fase: Es el ángulo que le falta a la fase para llegar a los -180º cuando la ganancia

es de 0dB. Si la ganancia es siempre inferior a 0dB, el margen de fase es infinito.

Margen de ganancia: Es el valor por el que habría que multiplicar (en decimal), o sumar (en dB)

a la ganancia para llegar a 0dB cuando la fase es de -180º.

El sistema representado será estable si el margen de ganancia y el margen de fase son

positivos.

MATLAB nos ayuda para desarrollar la complejidad matemática de los métodos del Diagrama

de Bode y del Diagrama Polar. Generalmente el estudiante o Ingeniero que trabaja en estos

métodos choca con la dificulta del complejo matemático que genera el sistema con más de una

variable de estado y varias entradas. Encontrar la solución a estos modelos se torna engorroso

y se corre el riesgo del más mínimo error que se cometa en este procedimiento o no nos

permite encontrar una respuesta o esta sea errónea.

Gracias al Matlab se puede estar seguro sobre la respuesta dada y además se tiene un ahorro

de tiempo y de esfuerzo considerable.