Rotating string in

doubled geometry with

generalized isometries

KEK String Advanced Lecture (SAL), 11th July, 2012

菊池　徹 (NIMS/KEK)

ref. arXiv:1205.5549 (accepted by PRD this morning)

共同研究者：　岡田崇（京都大学）、酒谷雄峰（京都産業大学）

まとめ　　と呼ばれるブレーンが作る背景場と、そのブレーンの周りを回る基本弦の運動を調べた。

（①　　　ブレーンが作る背景場を再構築した。）

② 　　　ブレーンの周りを回る基本弦の古典解を得た。

③　　　ブレーンと、その周りを回る基本弦の性質が、

Double Field Theory の枠組みでよく理解できることを示した。

cf. [de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603]

T-fold and

T-duality 変換群 の復習

質量０の点粒子の場合：

( ノンコンパクト時空にとっての質量 )ノンコンパクト方向の足

コンパクト方向の足

弦の場合：　巻きつき数の寄与も考えて、

弦

巻きつき数

(d 次元コンパクト化された時空における )

Generalized metric

i.e.,

B 場の寄与も含めると…

正準運動量がずれる

Generalized metric の変換性

変換行列 の種類

① 座標変換 C GL(d)∈

② （ B 場の）ゲージ変換 A は反対称ｄ × ｄ行列

③ それ以外 （非自明な T-duality 群変換）

この 変換が、

どのような奇妙な時空 (=T-fold) を自然に生み出すのか見てみよう。

T-fold の toy model : H3 on T3 [Hull, JHEP 0510 (2005) 065]

× with

非周期性

ゲージ変換

座標変換

（非自明な）T-duality 群変換

(→constant H=dB)

T-fold

モノドロミー(φ,ψ)-torus の generalized metric

T-fold の toy model : H3 on T3 [Hull, JHEP 0510 (2005) 065]

NS5 KKM

大ざっぱな教訓：　非周期性が B 場だけに因る系に、

T T弦理論の場合：

２回 T-duality を作用させると T-fold を得る。

全て U-fold! (codim=2) T-duality

S-duality

brane-web of (type II) string theory

IIA

IIB

T-fold

-brane記法：

[de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603]

＝　時間方向 　＋ transverse (1,2) 平面　＋非自明にファイバーされた (3,4)-torus　＋残りの次元 (1,2) 平面

(3,4)-torus

の軸非対称性は O(2,2) 変換からくる。

の構造

基本的には先ほどの toy model と全く同じ。

の構造

（余分な次元が加わるだけ）

i.e., 非自明にファイバーされた 2-torus がある。

Rotating Stringand

Double Field Theory

T-fold ( より一般には non-geometric background)

弦理論に自然に（必然的に）存在する奇妙な時空　

このような奇妙な背景場における物理（ = プローブの挙動）を調べる。

前節のまとめ：

観測者はどのような世界を見るか？

→ 弦理論には「人間」は存在しないので、プローブとして基本弦を置いてみる。

・ charge の非保存？

・離散的な charge の、連続的な遷移過程

もともとの動機：

p3= -1p4=0w3=0w4=1

始状態

終状態p3= -1p4=0w3=0w4=0

？？

？

中途半端な winding number ？背景場の変化に合わせて、

プローブも変化する。( 巻きつき数の非保存？ )

例 : ：　基本弦を　　　の周りで一周させる。

話をはっきりさせるために、

周りを、等角速度で回転する基本弦の古典解を求めた。

： 任意関数

２個の未知関数に対する６個の方程式。

→ 　一般解が求まった

(3,4)-torus弦

注：このような解しか存在しない。

(1,2)- 平面

（見やすさのために長方形で表している）

結果　（当初の目的意識からするとあまり面白くない）

は「何らかの意味で」軸対称で、の周りを回る基本弦は、「何らかの意味で」形を変えずに回っているのだろう。

＝

「何らかの意味」　→　 doubled geometry の意味

　　の軸非対称性は、 と単純だから…

？

Double Field Theory の骨子

・ Doubled geometry

・ Generalized geometry※このトークでは、簡単のため１０次元すべてを double にする。

コンパクト方向の座標双対座標

特に、一般化された リー微分：

すべての場は x^I に依存する

Doubled geometry

不変性 （⊃ 10 次元一般座標不変、 10 次元ゲージ不変）を明白にしたい。→ 通常の時空の足 L,M,N… を含む 20 次元の足が必要

は弦の運動量と巻きつき数を混ぜる。

cf. [Duff, Nucl.Phys. B335 (1990) 610][Kugo-Zwiebach, Prog.Theor.Phys. 87 (1992) 801-860]

理由１

理由２

作用を書くのに必要な材料：

実際、 不変な作用が書ける。

ゲージ固定

Generalized geometry Good review: [Zwiebach, Lect.Notes Phys. 851 (2012) 265-291 ]

Generalized geometry の基本思想：　 G と B を対等に扱いたい。

G のゲージ変換：

B のゲージ変換：

ゲージ変換パラメター：

G と B で形が異なる（実に醜い）

one-form vector

この「おつり」を吸収したリー微分を作りたい。

一般化リー微分の見つけ方：

vector と one-form に関して対称で美しい式。

注：　より演繹的な一般化リー微分の定義の仕方もある。 cf. Generalized complex geometry

(ex. Courant bracket, Hitchin geometry)

[Hohm-Hull-Zwiebach, JHEP 1008 (2010) 008]

Generalized metric の変換性を書き下してみる。

重要な点： 　　　が双対座標に依存している。 　　　　　　　そうでなければ、 ただの座標変換

言い換えると、 　　　 は双対座標を巻き込んだような座標変換

・　　　は doubled geometry の意味で軸対称。

Doubled geometry の言葉で、先ほどまでの話を見直してみる。

（ Doubled geometry の言葉を借りなければ、このような isometry は記述できない。）

現段階では、この generalized isometry は「目の子」で見つけただけ。

→ 　意味の詳しい理解は今後。

我々の時空

・弦は generalized Killing vector に沿って、形を変えずに平行移動していく。

我々の時空 doubled 空間

射影

doubled 空間

doubled 弦（形を変えない）

方向

我々の時空

通常の弦( 形を変えていく )

イメージ図１ イメージ図２

弦の”形”を表すベクトル

関連する話題＆

Future directions（放言）

Q-brane

D7-brane

“S-brane”

[Bergshoeff-Hartong-Ortin-Roset, JHEP 0702 (2007) 003][Greene-Shapere-Vafa-Yau, Nucl.Phys. B337 (1990) 1]

一般に“ Q-branes” と呼ばれる。弦理論的な素性は分かっていない。通常のブレーンの束縛状態？

（特に名前はないブレーン）

D7-brane

“S-brane”[TK-Okada-Sakatani, arXiv:1205.5549]

-brane

U-duality

“T34-brane”

Q-brane の素性は何か？その周りでの probe の振る舞いは？

U-folds上の charge

KKM の周りで基本弦を動かす（ off-shell ）。

KKM を囲む S^3 は Hopf S^3→ 基本弦は local にしか S^3 に巻き付けない。　　（ global には巻きつき数が定義できない）

→ 　プロセスの最中、基本弦から KKM に winding charge が流れ込む。

　　　の周りで基本弦を動かす (off-shell) 。

→ 　基本弦は local にしか　　 に巻き付けない。　　（ global には巻きつき数が定義できない）

→ プロセスの最中、基本弦から　　　に winding charge が流れ込む。

[Gregory-Harvey-Moore, Adv.Theor.Math.Phys.1:283-297,1997]

のモノドロミーは

GHM プロセス

U-fold上の” charge” を定義するためには、duality によって様々な charge が渾然一体となっている様

を理解しなければならない（？）

7-brane: 弦理論における渦渦： 非自明なサイクルを持ち得る。→ 周囲に対する影響力が強いソリトン

cf. Abe homotopy: 渦とモノポール共存状態の分類、 Z→Z2

[小林 -小林 -川口 -新田 -上田 , Nucl.Phys. B856 (2012) 577-606]

↑ これらは“自明な背景”における charge の分類

cf. Alice string, Cheshire charge

[Alford-Benson-Coleman-MarchRussel-Wilczek, Nucl. Phys. B 349, 414 (1991)][Schwarz, Nucl. Phys. B 208, 141 (1982).]

渦の存在下での charge

通常の文脈での duality U-fold 背景における duality

名言（？）「 U-fold をめぐる道は、　　　　　　　　である。」

-- 岡田 崇

弦

T

こちらの世界 あちらの世界 一つの世界での出来事

duality の道

dualityへの理解に対する新しいアプローチ（？）

consistent な描像 → duality の理解