1. ROZWIĄZANIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

1.1 WYZNACZANIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI

1.1.1WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY OBROTU WĘZŁÓW

1.1.2

Uwzględniając, że φ A1=0 , φ1A=φ13=φ12=φ1 , φ31=φ32, φ21=φ23=φ2 B=φ2, φB2=0,

stwierdzam, że wszystkie kąty obrotu końców prętów określone są przez kąty obrotu 2

węzłów φ1 oraz φ2, więc

- liczba stopni swobody obrotu węzłów wynosi nφ=2

1

1.1.2 WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY PRZESUWU WĘZŁÓW

MODEL PRZEGUBOWY UKŁADU

w=7 ; p=7 ;r=6nδ≥ 2 w−p−r=2∙ 7−7−6=1

Należy dodać co najmniej 1 więź.

Dodając więź II δ przekształciłem model przegubowy układu w układ geometrycznie

niezmienny. Zatem liczba stopni swobody przesuwu układu danego wynosi nδ=1.

Stopień geometrycznej niewyznaczalności wynosi : ng=nδ+nφ=1+2=3

1.2 UKŁAD PODSTAWOWY

2

1.2.1 OGÓLNA POSTAĆ UKŁADU RÓWNAŃ METODY PRZEMIESZCZEŃ

k 11 φ1+k12 φ2+k1 II δ II+k10+k 1(0 T)=0

k 21φ1+k 22φ2+k 2 II δ II+k20+k2(0 T )=0

k II 1 φ1+k II 2 φ2+k II II δ II+k II 0+kII (0 T)=0

1.3 WYZNACZENIE WSPÓLCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ OD

OBCIĄŻEŃ MECHANICZNYCH

1.3.1 ROZWIAZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄZENIA DANEGO

(φ1=φ2=δ II=0¿

3

M A10=

−p ∙ L2

12=

−4 ∙1625

∙ 25

12=−5.3333 kNm

M 1 A0=

+ p ∙L2

12=

+4 ∙1625

∙ 5

12=+5.3333 kNm

M 310=0

M 130=0

M 210=0

M 120=0

M 230=0

M 320=0

M 2 B0=−P ∙ a

2∙(2−a

L )=−24 ∙32

∙(2−34 )=−45.00 kNm

M B 20=−P ∙ a2

2 ∙ L=−24 ∙32

2∙ 4=−27.00 kNm

M 20=−20 kNm

Siły równoważne mają wartości:

P1=P2=p ∙L2=

4 ∙1625

∙5

2=6.40 kN

P3=PL

=244

=6.00 kN

P4=aL

∙P= 34

∙ 24=18.00 kN

1.3.2 ROZWIAZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD φ1=1

(F=0 φ2=δ II=0¿

W tym stanie obciążenia do wzorów transformacyjnych podstawiamy:

φ1A1=φ12

1=φ131=φ1=1 pozostałe φ ij

1=0 ψ ij1=0 M ij

1=0

Momenty brzegowe wynoszą:

M A11=2 EI

5∙ 2=0.8

EIm

M 1 A1=2 EI

5∙ 4=1.6

EIm

M 311=0

M 131=EI

4∙ 3=0.75

EIm

M 211= 2 EI

4 ∙√2∙2=0.7071

EIm

M 121= 2 EI

4 ∙√2∙ 4=1.4142

EIm

M 231=0

M 321=0

M 2 B1=0

M B21=0

1.3.3 ROZWIAZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD φ2=1

(F=0 φ1=δ II=0¿

W tym stanie obciążenia do wzorów transformacyjnych podstawiamy:

φ211=φ2B

1=φ231=φ2=1 pozostałe φ ij

1=0 ψ ij1=0 M ij

1=0

4

Momenty brzegowe wynoszą:

M A12=0

M 1 A2=0

M 312=0

M 132=0

M 212= 2 EI

4 ∙√2∙ 4=1.4142

EIm

M 122= 2 EI

4 ∙√2∙3=0.7071

EIm

M 232=2 EI

4∙3=1.50

EIm

M 322=2 EI

4∙0=0

M 2 B2= EI

4∙1=0.25

EIm

M B 22= EI

4∙−1=−0.25

EIm

1.3.4 ROZWIAZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD δ II=1

(F=0 φ1=φ2=0¿

W tym stanie obciążenia do wzorów transformacyjnych podstawiamy: φ ijII=0

ax=4

3→ a=4

3x

a1=tg (beta )=4

7→ x=3

7;a= 4

7=c ;d=5

4a=5

7;b=√2∙

47

ψ A1II=

∆ A1II

LA1

=d5=0.14285

1m

ψ13II=

∆1 3II

L13

= c4=0.14285

1m

ψ23I=

∆2 3II

L13

=a4=0.14285

1m

ψ12II=

∆1 2II

L12

= d4 √2

=0.142851m

Momenty brzegowe wynoszą:

M A1II=2 EI

5∙ (−6 ) ∙ 0.14285=−0.3429

EI

m2

M 1 AII=2EI

5∙ (−6 ) ∙ 0.14285=−0.3429

EI

m2

M 31II= EI

4∙ (0 ) ∙ 0.14285=0

M 13II=EI

4∙ (−3 ) ∙0.14285=−0.1071

EI

m2

M 21II= 2 EI

4 ∙√2∙ (−6 ) ∙ 0.14285=−0.3030

EI

m2

M 12II= 2 EI

4 ∙√2∙ (−6 ) ∙ 0.14285=−0.3030

EI

m2

M 23II=2 EI

4∙ (−3 ) ∙ 0.14285=−0.2143

EI

m2

M 32II=2 EI

4∙0=0

M 2 BII= EI

4∙0=0

M B 2II= EI

4∙0=0

δ s 2II=cos 45 ° ∙−1=−0.7071

δP1II=0

δP2II=0.7143

δP3II=1

5

δP 4II=1

6

7

1.3.5 OBLICZENIE WSPÓLCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ

k 11=∑j

M 1 j1+k1

φ=1.6EIm

+0.75EIm

+1.4142EIm

+6EIm

=9.7642EIm

k 12=M 122=0.7071

EIm

k 1 II=∑j

M 1 jII=(−0.3429

EI

m2 )+(−0.1071EI

m2 )+(−0.3030EI

m2 )=−0.7530EI

m2

k 10=∑j

M 1 j0−M 1

0=5.3333 kNm

k 21=M 211=0.7071

EIm

=k12

k 22=∑j

M2 j2=1.4142

EIm

+1.50EIm

+0.25EIm

=3.1642EIm

k 2 II=∑j

M 2 jII=(−0.3030

EI

m2 )+(−0.2143EI

m2 )=−0.5173EI

m2

k 20=∑j

M 2 j0−M 2

0=−45.00 kNm−(−20 kNm )=−25 kNm

k II 1=−∑ij

(M ij¿¿1+M ji1¿)∙ ψ ij

II=¿−[(0.8EIm

+1.6EIm ) ∙ 0.14285

1m

+(0.75EIm

+0)∙ 0.142851m

+(0.7071EIm

+1.4142EIm ) ∙0.14285

1m ]=−0.7530

EI

m2=k 1 II ¿¿

k II 2=−∑ij

(M ij¿¿2+ M ji2¿) ∙ψ ij

II=¿−[(0.7071EIm

+1.4142EIm )∙0.14285

1m

+(1.50EIm

+0) ∙0.142851m ]=−0.5173

EI

m2=k2 II ¿¿

k II II=−∑ij

(M ij¿¿ II+M jiII¿)∙ ψ ij

II+k2δ ∙ δ s 2

II ∙ δ s 2II=−[(−0.3429

EIm2 −0.3429

EIm2 ) ∙0.14285

1m

+(−0.1071EIm2 +0) ∙ 0.14285

1m

+(−0.3030EIm2 −0.3030

EIm2 )∙ 0.14285

1m

+(−0.2143EIm2 +0) ∙ 0.14285

1m ]+4

EIm3 ∙ (−0.7071 ) ∙ (−0.7071 )=0.2305

EIm3 +2

EIm3 =2.2305

EIm3 ¿¿

k II 0=−∑ij

(M ij¿¿0+M ji0¿)∙ψ ij

II−∑P

PP ∙ δPII=¿−[ (−5.3333 kNm+5.3333 kNm) ∙0.14285

1m ]−[ 6.40 kN ∙0.7143+6.00 kN ∙ 1+18.00 kN ∙ 1 ]=−28.5715 kN ¿¿

1.4 WYZNACZENIE WSPÓLCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ OD

OBCIĄŻEŃ NIEMECHANICZNYCH

8

1.4.1 WYZNACZENIE MOMENTÓW BRZEGOWYCH W UKŁADZIE

PODSTAWOWYM OD ZMIAN TEMPERATURY PO WYSOKOŚCI

PRZEKROJU PRĘTA

PRZYJETO PRZEKRÓJ I200 oraz 2I200 o EI=4387 kNm 2

Momenty brzegowe wynoszą:

M A1φ T=−2 EI

0.2∙ 1.2 ∙10−5∙(−16−16)=0.00384

EIm

M 1 Aφ T=2 EI

0.2∙ 1.2 ∙10−5 ∙ (−16−16 )=−0.00384

EIm

M 31φT=0

M 13φT=0

M 21φT=2 EI

0.2∙1.2 ∙ 10−5 ∙(−20−20)=−0.0048

EIm

M 12φT=−2 EI

0.2∙1.2 ∙ 10−5 ∙(−20−20)=0.0048

EIm

M 23φT=0

M 32φT=0

M 2 Bφ T=−EI

0.2∙ 1.2∙ 10−5 ∙ (10+10 )=−0.0012

EIm

M B2φ T= EI

0.2∙ 1.2 ∙10−5 ∙(10+10)=0.0012

EIm

9

1.4.2 OBLICZENIE WSPÓLCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ

k 1(OT)=∑j

M1 j(OT )=M 1 A

φT +M 13φT+M 12

φT=−0.00384EIm

+0+0.0048EIm

=9.6 ∙ 10−4 EIm

k 2(OT)=∑j

M 2 j(OT )=M 21

φT+M 23φ T+M 2 B

φ T=−0.0048EIm

+0−0.0012EIm

=−6 ∙ 10−3 EIm

k II (OT )=−∑ij

(M ij¿¿(0 T )+M ji(0T )¿)∙ψ ij

II=0¿¿

1.5 POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAŃ OD OBCIĄŻEŃ

MECHANICZNYCH

9.7642EIm

φ1+0.707EIm

1 φ2−0.7530EI

m2δ II+5.3333 kNm=0

0.7071EIm

φ1+3.1642EIm

φ2−0.5173EI

m2δ II−25 kNm=0

−0.7530EI

m2φ1−0.5173

EI

m2φ2+2.2305

EI

m3δ II−28.5715 kNm=0

10

1.5.1 ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ OD OBCIĄŻEŃ MECHANICZNYCH

φ1=−0.1295kN m2

EI

φ2=10.4116kN m2

EI

δ II=15.1804kN m3

EI

1.5.2 MOMENTY BRZEGOWE I SIŁY W WIĘZIACH SPRĘŻYSTYCH-0.1295 f110.4116 f2

15.1804 dIIM 1   M 2   M II   Mo   M rz

M A10.8000

-0.1038 0.0000 0.0000-0.3429

-5.2055 -5.3333  -10.6426

M 1A1.6000

-0.2075 0.0000 0.0000-0.3429

-5.2055 5.3333   -0.0797M 31

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000   0.0000M 13

0.7500-0.0973 0.0000 0.0000

-0.1071-1.6259 0.0000   -1.7231

M 210.7071

-0.0917 1.4142 14.7269-0.3030

-4.5998 0.0000   10.0354M 12

1.4142-0.1834 0.7071 7.3635

-0.3030-4.5998 0.0000   2.5803

M 230.0000 0.0000 1.5000 15.6204

-0.2143-3.2532 0.0000   12.3672

M 320.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000   0.0000

11

M 2B0.0000 0.0000 0.2500 2.6034 0.0000 0.0000

-45.0000  -42.3966

M B20.0000 0.0000

-0.2500-2.6034 0.0000 0.0000

-27.0000  -29.6034

Sφ 1=k φ ∙ φ1=6EIm

∙(−0.1295kN m2

EI )=−0.7770 kNm

Sδ 2=kδ 2 ∙ (δ s 2II ∙ δ II )=4

EIm3 ∙(−0.7071 ∙15.1804

kN m3

EI )=−42.9362 kN

12

1.6 BRZEGOWE SIŁY TNĄCE I OSIOWE

13

Pręt A-1

∑ M A → V 1 A=−( M A1+M 1 A )

5 m−4 ∙

45

∙45

∙52

2=

−(−10.6426−0.0797 )5 m

−2.56 ∙52=−4,2555 kN

∑ M 1 →V A 1=− ( M A1+ M1 A )

5m+4 ∙

45

∙45

∙52

2=

−(−10.6426−0.0797 )5 m

+2.56 ∙52=8.5445 kN

∑ X → N1 A+4 ∙45

∙35

∙5−N A 1=0 N1 A=N A 1−9.6

Pręt 1-3

∑ M 1 →V 31=−( M 13 )

4 m=

− (−1.7231 )4 m

=0.4308 kN

∑ M 3 →V 13=−( M 13 )

4 m=

−(−1.7231 )4 m

=0.4308 kN

∑ X → N13 ¿N 31

Pręt 1-2

∑ M 1 →V 21=−( M 12+ M21 )

4 ∙√2m=

−(2.5803+10.0354 )4 ∙√2m

=−2.2302kN

∑ M 2 →V 12=−( M 12+ M21 )

4 ∙√2m=

−(2.5803+10.0354 )4 ∙√2m

=−2.2302 kN

∑ X → N12¿ N21

Pręt 2-3

∑ M 2 →V 32=−( M 23 )

4 m=

− (12.3672 )4 m

=−3.0918 kN

∑ M 3 →V 23=−( M 23 )

4 m=

−(12.3672 )4 m

=−3.0918 kN

∑ X → N23 ¿N 32

Pręt 2-B

∑Y → V 2 B=24.00 kN

∑ X → N2 B ¿ N B2

WĘZEŁ 3

∑ M 3=0−Spe ł nione ¿ ż samo ś ciowo

∑Y =0 N32=N23=V 31=0.4308 kN

14

∑ X=0 N31=N13=−V 32=3.0918 kN

WĘZEŁ 2

∑ M 2=−M21−M 23−M 2 B−20=−[10.0354+12.3672−42.3966+20 ]=−0.006 ≈ 0−Spe ł nione ¿ ż samo ś ciowo

∑Y =N23−V 2 B+0.7071V 21+0.7071 N21−0.7071 Sδ 2=0

N21=N12=−1

0.7071∙ [0.4308−24+0.7071 ∙ (−2.2302 )−0.7071 ∙ (−42.9362 ) ]=−7,3738 kN

∑ X=N2B++0.7071 Sδ 2+V 23+0.7071V 21−0.7071 N21=0

N2 B=NB2=−[0.7071 ∙ (−42.9362 )−3.0918+0.7071∙ (−2.2302 )−0.7071 ∙ (−7.3738 )]=30.1904 kN

WĘZEŁ 1

∑ M 1=−M 1 A−M 13−M 12−Sφ1=−(−0.0797)−(−1.7231)−2.5803−(−0.7770 )=−0.0005 ≈ 0−Spe ł nione ¿ ż samo ś ciowo

∑Y =−45

∙ N 1A+35

∙V 1 A−0.7071 ∙V 12−0.7071 N12−V 13=0

N1 A=1.25∙ [0.6 ∙ (−4,2555 )−0.7071 ∙ (−2.2302 )−0.7071 ∙ (−7,3738 )−0.4308 ]=4.7586 kN

N1 A=N A1−9.6 N A1=9.6+ N1 A=9.6+4,7586=14.3586 kN

WĘZEŁ PODPOROWY B

∑ M B=M B−M B2=0M B=−29.6034 kNm

∑Y =0 V B=0

∑ X=N B−N B2=0 NB=30.1904 kN

WĘZEŁ PODPOROWY A

∑ M A=M A−M A 1=0 M A=−10.6426 kNm

∑ X=35

N A 1+45

∙ V 1 A+N A=0

N A=−[ 0.6 ∙14.3586+0.8 ∙8.5445 ]=−15.4508 kN

∑Y =45

N A1−35

∙ V 1 A+V A=0

V A=−0.8 ∙14.3586+0.6 ∙ 8.5445=−6.3602kN

1.7 MOMENTY ZGINAJĄCE

15

Pręt A-1

M (2.5 )=M A+V A 1 ∙ 2.5−2.56 ∙2.52

2=−10.6426+8.5445 ∙ 2.5−8=2.7187 kNm

V (2.5 )=V A 1−2.56 ∙ 2.5=8.5445−2.56 ∙ 2.5=2.1445 kN

16

1.9 SPRAWDZENIE

17

Dla X6=1

∑ M A=0

M A+x6=0

M A=−x6=−1

∆6o=∑

p∫M 6 ∙

M rz

EIdx+

Sφ1 S6

kφ =0

18

56 ∙2 EI

∙ [ (−10.6426 ) ∙ (−1 )+4 ∙2.7187 ∙ (−1 )+0.0797 ∙ (−1 ) ]+−1 ∙−0.77706 ∙4387

=9.4978 ∙10−5 ∙ (−0.3119 )+−1 ∙−0.77706 ∙4387

=−1.05 ∙10−7≈ 0 OK !

Dla X5=1

∆5o=∑

p∫M 5 ∙

M rz

EIdx=0

4 ∙√26 ∙2 EI

∙ [2.5803 ∙ 1+4 ∙(−3.5926)∙ 0.5+(−10.0354)∙ 0 ]+ 46 ∙ EI

∙ [ (−1.7231 ) ∙ (−1 )+4 ∙(−0.8616) ∙ (−0.5 )+0 ∙ 0 ]=1.0745 ∙10−4 ∙−4.6049+1.5196 ∙10−4 ∙ 3.4443=0.000028599 ≈ 0 OK !

19

1.10 POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAŃ OD OBCIĄŻEŃ

NIEMECHANICZNYCH

9.7642EIm

φ1+0.707EIm

1 φ2−0.7530EI

m2δ II+9.6 ∙10−4 EI

m=0

0.7071EIm

φ1+3.1642EIm

φ2−0.5173EI

m2δ II−6 ∙ 10−3 EI

m=0

−0.7530EI

m2φ1−0.5173

EI

m2φ2+2.2305

EI

m3δ II+0=0

1.10.1 ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ OD OBCIĄŻEŃ

NIEMECHANICZNYCH

φ1=−0.00021

φ2=0.002008

δ II=0.000394 m

1.10.2 MOMENTY BRZEGOWE I SIŁY W WIĘZIACH SPRĘŻYSTYCH-0.00021 f10.002008 f2

0.000394 dII[EI/m] [kNm]M 1   M 2   M II   M(OT) M rz M rz

M A1 0.8000-0.0002 0 0.0000 -0.3429

-0.0001 0.00384 0.0035 15.3545M 1A 1.6000

-0.0003 0 0.0000 -0.3429-0.0001

-0.00384-0.0043

-18.8641M 31 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.0000 0.0000M 13 0.7500

-0.0002 0 0.0000 -0.1071 0.0000 0.00000-0.0002 -0.8774

M 21 0.7071-0.0002 1.4142 0.0028 -0.3030

-0.0001-0.00480

-0.0022 -9.6514M 12 1.4142

-0.0003 0.7071 0.0014 -0.3030-0.0001 0.00480 0.0058 25.4446

M 23 0.0000 0.0000 1.5 0.0030 -0.2143-0.0001 0.00000 0.0029 12.7223

M 32 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.0000 0.0000M 2B 0.0000 0.0000 0.25 0.0005 0.0000 0.0000

-0.00120-0.0007 -3.0709M B2 0.0000 0.000 -0.25 - 0.0000 0.000 0.0012 0.000 3.0709

20

0 0.0005 0 0 7Sφ 1

T=kφ ∙ φ1=6EIm

∙ (−0.00021 )=−0.0013EIm

=−5.7031 kNm

Sδ 2T=k δ 2 ∙ (δ s 2

II ∙ δ II )=4EI

m3∙ (−0.7071 ∙0.000394 m )=−0.001144

EI

m2=−4.8889 kN

21

22

Pręt A-1

∑ M A → V 1 A=−( M A1+M 1 A )

5 m=

−(15.3545−18.8641 )5 m

=0.7019 kN

∑ M 1 →V A 1=− ( M A1+ M1 A )

5m=

− (15.3545−18.8641 )5 m

=0.7019 kN

∑ X → N1 A−N A1=0 N1 A=N A1

Pręt 1-3

∑ M 1 →V 31=−( M 13 )

4 m=

− (−0.8774 )4 m

=0.2194 kN

∑ M 3 →V 13=−( M 13 )

4 m=

−(−0.8774 )4 m

=0.2194 kN

∑ X → N13 ¿N 31

Pręt 1-2

∑ M 1 →V 21=−( M 12+ M21 )

4 ∙√2m=

−(25.4446−9.6514 )4 ∙√2 m

=−2.7917 kN

∑ M 2 →V 12=−( M 12+ M21 )

4 ∙√2m=

−(25.4446−9.6514 )4 ∙√2m

=−2.7917kN

∑ X → N12¿ N21

Pręt 2-3

∑ M 2 →V 32=−( M 23 )

4 m=

− (12.7223 )4 m

=−3.1806 kN

∑ M 3 →V 23=−( M 23 )

4 m=

−(12.7223 )4 m

=−3.1806 kN

∑ X → N23 ¿N 32

Pręt 2-B

∑ M B→ V 2 B=−( M B2+ M 2 B )

4 m=

−(3.0709−3.0709 )4 m

=0

∑ X → N2 B ¿ N B2

23

WĘZEŁ 3

∑ M 3=0−Spe ł nione ¿ ż samo ś ciowo

∑Y =0 N32=N23=V 31=0.2194 kN

∑ X=0 N31=N13=−V 32=3.1806 kN

WĘZEŁ 2

∑ M 2=−M21−M 23−M 2 B=−[−9.6514+12.7223−3.0709]=0−Spe ł nione ¿ ż samo ś ciowo

∑Y =N23−V 2 B+0.7071V 21+0.7071 N21−0.7071 Sδ 2T=0

N21=N12=−1

0.7071∙ [0.7019−0+0.7071∙ (−2.7917 )−0.7071 ∙ (−4.8889 ) ]=−3.0898 kN

∑ X=N2B++0.7071 Sδ 2+V 23+0.7071V 21−0.7071 N21=0

N2 B=NB2=−[0.7071 ∙ (−4.8889 )−3.1806+0.7071∙ (−2.7917 )−0.7071 ∙ (−3.0898 )]=6.4268 kN

WĘZEŁ 1

∑ M 1=−M 1 A−M 13−M 12−Sφ1T=−(−18.8641)−(−0.8774 )−25.4446−(−5.7031 )=0−Spe ł nione¿ ż samo ś ciowo

∑Y =−45

∙ N 1A+35

∙V 1 A−0.7071 ∙V 12−0.7071 N12−V 13=0

N1 A=1.25∙ [0.6 ∙ (0.7019 )−0.7071∙ (−2.7917 )−0.7071∙ (−3.0898 )−0.2194 ]=5.4507 kN

N1 A=N A1=5.4507 kN

WĘZEŁ PODPOROWY B

∑ M B=M B−M B2=0M B=3.0709 kNm

∑Y =0 V B=0

∑ X=N B−N B2=0 NB=6.4268 kN

WĘZEŁ PODPOROWY A

∑ M A=M A−M A 1=0 M A=15.3545 kNm

∑ X=35

N A 1+45

∙ V 1 A+N A=0

N A=−[ 0.6 ∙5.4507+0.8 ∙ 0.7019 ]=−3.8319 kN

∑Y =45

N A1−35

∙ V 1 A+V A=0

V A=−0.8 ∙5.4507+0.6 ∙ 0.7019=−3.9394 kN

24

1.11 MOMENTY ZGINAJĄCE

Pręt A-1

M (2.5 )=M A+V A 1 ∙ 2.5=15.3545+0.7019∙ 2.5=17.1093 kNm

25

1.13 SPRAWDZENIE

26

Dla X6=1

∑ M A=0

M A+x6=0

M A=−x6=−1

∆6o=∑

p∫M 6 ∙

M T

EIdx+∑

p∫ M 6d φ1+∑

S

Sφ 1T S6

kφ =0

27

56 ∙2 EI

∙ [ (15.3545 ) ∙ (−1 )+4 ∙ 17.1093 ∙ (−1 )+18.8641 ∙ (−1 ) ]+ (−5 ) ∙ 1.2 ∙10−5 ∙−320.2

+−1∙−5.70316 ∙ EI

=−9.75 ∙10−3+9.6 ∙10−3+2.1667 ∙ 10−4=6.667 ∙10−5≈ 0 OK !

Dla X5=1

∆5o=∑

p∫M 6 ∙

M T

EIdx+∑

p∫ M6 d φ1=0

4 ∙√26 ∙2 EI

∙ [−9.6514 ∙1+4 ∙(−17.5475)∙ 0.5+(−25.446) ∙0 ]+ 46 ∙ EI

∙ [ (−0.8774 ) ∙ (−1 )+4 ∙(−0.4387) ∙ (−0.5 )+0 ∙0 ]+( 4√22 )∙ 1.2 ∙10−5 ∙

−400.2

=1.0745 ∙10−4 ∙−44.7464+1.5196 ∙ 10−4 ∙1.7548−6.7883∙10−3=−0.0113≈ 0OK !

28