segmento: ensino médio disciplina: matemática tema: sólidos geométricos - cone
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Segmento: Ensino MédioDisciplina: Matemática
Tema: Sólidos Geométricos - Cone
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Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides
nos cones.
Cone: A Definição!
Considere um círculo C contido num plano
e um ponto V não-pertencente a .
Chama-se cone a reunião de todos os
segmentos que ligam cada ponto de R ao
ponto P.
g
r
h
O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.
Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.
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O**
h
90º90º
A Fig. mostra um Cone Oblíquo.
V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz
R
V
g’ g
eixo
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Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.
Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.
Eixo = Altura
A altura é sempre perpendicular ao plano.
eix
o
alt
ura
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Cone Circular Reto
OO
**
g2) No VOA :
AB
V
ou Cone de Revolução
gg2 2 = h= h22 + R + R22
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base.
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados. A
B C
A
B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.A
B C
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A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
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A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
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4
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
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A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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A
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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um retângulo em torno de um dos seus
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um retângulo em torno de um dos seus
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A
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um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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um retângulo em torno de um dos seus
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um retângulo em torno de um dos seus
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um retângulo em torno de um dos seus
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A
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um retângulo em torno de um dos seus
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um retângulo em torno de um dos seus
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um retângulo em torno de um dos seus
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um retângulo em torno de um dos seus
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A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
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O VBA é a seção meridiana do cone.
SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana
OO** AB
V
g
2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é
eqüilátero, o eqüilátero, o cone é um cone é um
Cone Cone EqüiláteroEqüilátero..
g=2Rg=2R
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Planificação do Cone Reto
Rx
h
gClique
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Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
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Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
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Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
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Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
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Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
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Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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Cone Planificação do Cone Reto :
x
h
g
R
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
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x
h
g
R
g
2RR
Angulo
==2R g
Planificação do Cone Reto
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AALL = = R g R g AALL = = R g R g
At = AL+ 2
Ab
At = AL+ 2
Ab
Área Lateral( AL )
Área Total( At )
Volume( V )
AAbb = = R R22 AAbb = = R R22Área Base( Ab )
Áreas e VolumeÁreas e Volume
V = R R22 hV = R R22 h
1 1 33
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Áreas e VolumeÁreas e Volume
Pirâmide Cone
Área da Base (AB)
Depende do Polígono da
Base
Área da circunferência
Área Lateral (AL)
Área Total (At)
Volume (V)
3
.hAb33
. 2hrhAb
O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!
LBt AAA
rgrAt 2LBt AAA
2rAb
grAl .2
gpAl ).2(gpAl ).2(glnAl ..
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H G
R
H G
R
A secção transversal forma o tronco de cone
Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base.
Seção Transversal
Suas áreas são proporcionais.
2´ ´ ´b l t
b l t
A A Ak
A A A
Seus volumes são proporcionais.
3vk
V
k = Constante de proporcionalidade.
kHh
G
g
Rr
r
hg
Note que o cone menor, acima da secção é semelhante ao cone original, o que significa que suas dimensções são proporcionais.
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Semelhança de uma forma mais clara
Altura do tronco (HT)
Altura do cone original (H)
Altura do cone semelhante (h)
Geratriz do Tronco (GT)
Geratriz do cone semelhante (g)
Obviamente G = g + GTOutra conclusão lógica
V = v + VT
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Tronco de Tronco de ConeCone
Elementos:
R raio da base maiorr raio da base menorhT altura do troncogT geratriz do tronco
R
r
gThT
As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.
Área Lateral do Tronco(ALT)
ALT = (R + r)gT
Área Total do Tronco(ATT)
ATT = ALT + Ab + AB
ATT = (R + r)gT + (r2 + R2)
Volume do Tronco (VT)
VT = V - v
VT = (r² + rR + R²)
3
. th
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Ex. 1:
(EPUSP-SP)
Desenvolvendo a superfície lateral de um Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular cujo ângulo central mede:setor circular cujo ângulo central mede:
a) 216ºa) 216º
b) 240ºb) 240º
c) 270ºc) 270º
d) 288ºd) 288º
e) Nenhuma das respostase) Nenhuma das respostas anteriores.anteriores.
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Ex. 2:
(UF-RS)
O volume do sólido gerado pela revolução O volume do sólido gerado pela revolução de um triângulo euilátero de lado a em de um triângulo euilátero de lado a em torno de um de seus lados é:torno de um de seus lados é:
a) a) 1 1 44
a3
b) b) 1 1 33
a3
c) c) 1 1 22
a3
d) d) 3 3 44
a3
e) e) 4 4 33
a3
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Ex. 3:
(PUC-SP)
O volume de um cone eqüilátero, O volume de um cone eqüilátero, circunscrito a uma esfera de raio R, é: circunscrito a uma esfera de raio R, é:
a) a) RR33
b) 3b) 3RR33
c) 2c) 2RR33
d) 4d) 4RR33
e) 5e) 5RR33
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(UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total vale:
A) 52Π B) 36Π C) 20Π D) 16Π
3 m
8 m
D = 2R8 = 2R
_8_ = R 2
= 4
AT = ΠR(R + G)AT = Π.4(4 + G)
Mas, G = ?
3 m
4 m
G
Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos G = 5 m
AT = Π.4(4 + 5)AT = 36Π
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(UFPA) A geratriz de um cone reto mede 13 cm e o diâmetro de sua base 10 cm. O volume do cone em cm3 é:
A) 100Π B) 200Π C) 400Π D)
13 cm
10 cm
D = 2R10 = 2R_10_ =
R 2
= 5
HR ..3
1 V 2
V = (Π R2 .H):3V = (Π 52 .H):3V = (Π 25 .H):3Mas, H = ?x
5 m
13 m
Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos H = 12 m
V = (Π 25 .12):3V = (Π 300):3V = 100Π