semillero 1

7/31/2019 SEMILLERO 1

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9noCONCURSONACIONALDEMATEMTICA CSARVALLEJO2006 1

ESTADSTICA

INTRODUCCINRecientemente la Estadstica se ha incorporado, en forma generalizada, al currculo

de matemtica de la enseanza primaria y secundaria y al de las diferentes especialidades

universitarias en la mayora de pases desarrollados. Las razones de este inters hacia

la enseanza de la Estadstica han sido repetidamente sealadas por diversos autores,

desde comienzos de la dcada de los ochenta del siglo pasado.

Asimismo los materiales didcticos, los software educativos, las investigaciones,

revistas, reuniones y los congresos sobre la enseanza de la Estadstica han crecido en

los ltimos aos.

Por otro lado, el inters por la enseanza y comprensin de la Estadstica no es

exclusivo de la comunidad de educacin matemtica. La preocupacin por las cuestiones

didcticas y por la formacin de profesionales y usuarios de la Estadstica tambin

corresponde a los propios estadsticos.

El inters por la enseanza de la Estadstica dentro de la Educacin Matemtica,

viene ligado al rpido desarrollo de la Estadstica como ciencia y como herramienta til en

la investigacin, la tcnica y la vida profesional, impulsado notablemente por la difusin

de los ordenadores y el crecimiento espectacular de la potencia y rapidez de clculo de

los mismos, as como por las posibilidades de comunicaciones. Todo ello ha facilitado el

uso de la Estadstica a un nmero creciente de personas, provocando una gran demanda

de formacin bsica en esta materia, formacin que ha sido encomendada, en los niveles

no universitarios, a los profesores de matemtica.

Los nuevos currculos de educacin primaria y secundaria incluyen en forma

generalizada recomendaciones sobre la enseanza de la Estadstica. Sin embargo, en

la prctica, son todava pocos los profesores que ensean este tema y en otros casos se

trata muy brevemente, o en forma excesivamente formalizada.

Es indiscutible que el siglo XX ha sido el siglo de la Estadstica, a tal punto que ha

pasado a considerarse como una de las ciencias metodolgicas fundamentales y base

del mtodo cientfico experimental. La enseanza de la Estadstica, sin embargo, an se

encuentra en sus inicios, aunque parece avanzar de un modo sostenible. Ser el siglo

XXI el siglo de la educacin estadstica?


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2 SEMINARIOPARAASESORES

Definicin de estadstica

La Estadstica es la ciencia pura y aplicada que se ocupa de la recoleccin, clasificacin,

anlisis e interpretacin de datos con la finalidad de efectuar decisiones adecuadas frente

a la incertidumbre. Tambin se le conoce como la ciencia que se ocupa de la toma dedecisiones.

Divisin de la Estadstica

Estadstica descriptivaEs el conjunto de mtodos que se relacionan con la recoleccin, organizacin y

presentacin de los datos, como tablas, grficas y el anlisis mediante algunos clculos.

Estadstica

Descriptiva

Presentacin

de datos

Medidas

Descriptivas

En forma tabular

En forma grfica

De Posicin

De Dispersin

Estadstica inferencialEs parte de la Estadstica que se ocupa de generalizar conclusiones hacia toda una

poblacin utilizando la informacin muestral. Adems utiliza conceptos sobre la Teora de

Probabilidades y de las Distribuciones Muestrales.

Estadstica

Inferencial

Estimacin de

Parmetros

Pruebas de

Hiptesis

Puntual

Por Intervalos

El puente o eslabn que nos permite pasar de la Estadstica Descriptiva a la Inferencial

es el mtodo de muestreo y la validez de las inferencias depender de la representatividadde la muestra.

Estadstica

Descriptiva

Muestreo

Teora deprobabilidades

Estadstica

Inferencial

CONCEPTOS BSICOS

Por ejemplo: Suponga que se desea estudiar el ingreso mensual promedio de los 1 500

padres de familia del colegio San Jos de Jauja. Se seleccionar una muestra de 50

familias.


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Variable

Es una caracterstica que el investigador desea estudiar. Puede ser cuantitativa o

cualitativa.

En el ejemplo inicial: el ingreso mensual promedio.Otros ejemplos

El nmero de hijos de los profesores del colegio Jos Carlos Maritegui.

Procedencia de los alumnos de primaria del colegio Carlos Martnez Uribe.

El rendimiento acadmico de los alumnos de colegio San Ramn de Tarma.

Unidad elemental

Es todo elemento del que se obtiene informacin. Tambin se le conoce como la

unidad de informacin o unidad estadstica.En el ejemplo inicial: la unidad elemental es cada padre de familia.

Se conoce como observacin al registro que se realiza de una unidad elemental.

Las variables se denotan con las letras maysculasX, Y,Z, Wy a las observaciones

con las letras minsculasx,y,z, w.

En el ejemplo inicial

X= ingreso mensual de cada padre.

x4 = S/.300 nos indica que el padre de familia al cual se le asign el N 4 tiene un

ingreso mensual de S/.300.Sea la variable Y: nmero de hijos de los profesores del colegio El Triunfo de Tumbes.

y8 = 4 nos indica que el profesor asignado con el N 8 tiene 4 hijos.

Poblacin

Es el conjunto de todas las unidades elementales en estudio. La poblacin tambin

se define como el conjunto de todas las observaciones ya que por cada unidad elemental

se tiene una observacin.

Al tamao de la poblacin se le denota con la letraN.En el ejemplo inicial: la poblacin est formada por las 1 500 familias (N= 1 500).

Pob. = {P1 ;P2 ;P3 ; ... ;P1 500}

Pob. = {S/.180; S/.250; S/.420; ...; S/.200}

Por ejemplo: Los estudiantes del Colegio Mariscal Luzuriaga de Casma del turno maana

matriculados el 2006

VariableZ: procedencia de Buenavista.

Unidad elemental: cada estudiante.

Podemos observar que Z15 = si ; Z19 = no

Poblacin = {Z1; Z2; Z3; Z4 ; ...;Z1500}

Poblacin = {si , no, si, si, ..., si}


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MuestraEs un subconjunto de una poblacin.

Al tamao de la muestra se le denota con la letra n.

En el ejemplo inicial: la muestra est formada por las 50 familias (n= 50 ).

muestra = {F1; F2; F3; ...; F50}

muestra = {S/.200; S/.250; S/.180; ...; S/.300}

Parmetro

Es un valor constante que se utiliza para describir una variable en la poblacin. Para

hacer el clculo del parmetro se requiere la informacin de toda la poblacin.Ejemplos

la media () la variancia (2)

diferencia de promedios ( 1 2) la desviacin estndar ()

Valor estadstico o estadgrafo

Es una variable que cambia de valor de una muestra a otra. El valor que admite en

una muestra particular sirve para estimar al parmetro.Ejemplos

la media (X) la variancia (S2)

la diferencia de promedios (X1 X2) la desviacin estndar (S)

En el ejemplo inicial

: ingreso mensual promedio (parmetro)

=x1 +x2 +x3 +x4 + ... +x1 500

1 500

x : ingreso mensual promedio (valor estadstico)

x =x1 +x2 +x3 +x4 + ... +x50

50

Estimar. Consiste en considerar el valor del estadgrafo hallado en una muestra como si

fuera el valor del parmetro.

Clases de variables (por su naturaleza)

CuantitativasCuando las observaciones se pueden representar en forma numrica. Tambin se les

llama valor. Las variables cuantitativas pueden ser continuas y discretas:

Continuas. Cuando pueden admitir cualquier valor dentro de un intervalo de la recta real. Los

registros se realizan utilizando instrumentos de medicin o cualquier operacin matemtica.

Ejemplos

el peso de los alumnos

los ingresos de los padres de familia del colegio.


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Discretas. Cuando admite valores enteros. Las observaciones se hacen por conteo.

Ejemplos

el nmero de alumnos de los talleres de reforzamiento en matemtica.

el nmero de hijos de los trabajadores.

CualitativasCuando la observacin representa una determinada cualidad. A la observacin

cualitativa tambin se le llama atributo.Ejemplo

Poblacin: habitantes mayores de 20 aos en el distrito de Los Olivos.

X: grado de instruccin (primaria, secundaria, superior)

Y: opinin respecto a determinada poltica econmica (a favor, abstencin, en contra)

Las variables cualitativas a su vez pueden ser nominales y jerarquizadas:

Nominales. Cuando no se puede establecer un orden en las cualidades o atributos.Ejemplos

Profesin (ingeniero, profesor, mdico, bilogo)

Color (verde, amarillo, rojo).

Ordinales o jerarquizadas. Cuando es posible establecer un orden en las alternativas.Ejemplos

Grado de instruccin (primaria, secundaria, superior)

Categora como docente (profesor, auxiliar, principal, asociado).

ORGANIZACIN DE DATOS

El objetivo de la organizacin de datos es ordenar un conjunto de datos en forma til

para revelar sus caractersticas esenciales y simplificar ciertos anlisis.

Existen dos tipos generales de tablas de frecuencias para representar un conjunto de datos:

a. Tablas de Frecuencias para Datos No Agrupados

b. Tablas de frecuencias para Datos Agrupados.

Organizacin de datos no agrupados (Tablas Sin Intervalos)Secuencia

Se recoge la informacin.

Se elabora la tabla de frecuencias

Se construyen los grficos

Ejemplo

Se desea estudiar el grado de instruccin de los padres de familia del colegio Santa

Isabel de Huancayo (Analfabetos, Primaria, Secundaria, Superior). Se seleccion unamuestra de 80 padres y se obtuvo los siguientes resultados: 20 analfabetos, 30 primaria,

20 secundaria, 10 superior.


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K Xi fi hi Fi Hi

1 Analfabetos f1 = 20 h1= 0,250 F1 = 20 H1 = 0,250

2 Primaria f2

= 30 h2

= 0,375 F2

= 50 H2

= 0,625

3 Secundaria f3 = 20 h3 = 0,250 F3 = 70 H3 = 0,875

4 Superior f4 = 10 h4 =0 ,125 F4 = 80 H4 = 1,000

n= 80 1,000

n= 80 es el tamao de la muestra y K= 4 es el nmero de clases

Algunas interpretaciones

f2 = 30 quiere decir que 30 de los 80 padres de familia del colegio Santa Isabel deHuancayo tienen grado de instruccin primaria.

h3 = 0,250 = 25% quiere decir que el 25% de los padres de familia del colegio Santa

Isabel de Huancayo tienen grado de instruccin secundaria.

F3 = 70 quiere decir que de los 80 padres de familia del colegio Santa Isabel de

Huancayo, 70 de ellos tienen grado de instruccin entre analfabetos, primaria y

secundaria.

H2 = 0,625 = 62,5% quiere decir que el 62,5% de los padres de familia tienen grado

de instruccin entre analfabetos y educacin primaria.

Frecuencia absoluta (fi)Es el nmero de observaciones que se registran en cada clase. La suma total de las

frecuencias absolutas es igual al nmero total de elementos (n).

En el ejemplo, estas frecuencias se encuentran en la informacin del enunciado:

20 analfabetos (f1= 20), 30 primaria (f2 = 30), 20 secundaria (f3 = 20) y 10 superior

(f4 =10 ).

Observe adems que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamao de lamuestra, es decir f1 +f2 +f3 +f4 = 20 + 30 + 20 + 10 = 80

Frecuencia relativa (hi)Es la proporcin de observaciones en cada clase. La suma de todas las frecuencias

relativas es igual a la unidad.

Se calculan dividiendo cada una de las frecuencias absolutas entre el tamao de la

muestra.

Ejemplo

Para calcular las frecuencias relativas dividimos cada una de las frecuencias absolutas

entre 80 que es el tamao de la muestra, es decir


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h1 =f1

n=

20

80= 0,250 h2 =

f2

n=

30

80= 0,375

h3 =

f3

n =

20

80 = 0,250 h4 =

f4

n =

10

80 = 0,125

Observe adems que la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad, es

decir h1 + h2 + h3 + h4 = 0,250 + 0,375 + 0,250 + 0,125 = 1,000

Frecuencia absoluta acumulada (Fi)

Es la acumulacin ordenada de cada una de las frecuencias absolutas. La ultima

frecuencia absoluta acumulada es igual al nmero de elementos (n).

Para calcular las frecuencias absolutas acumuladas debemos considerar que la 1ra

frecuencia absoluta acumulada (F1) es siempre igual a la 1ra frecuencia absoluta (f1) y a

partir de la 2da frecuencia absoluta acumulada, estas se calculan sumando o acumulando

las frecuencias absolutas anteriores.

En el ejemplo

Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia absoluta acumulada (Fi)

f1 = 20 F1 =f1 = 20

f2 = 30 F2 =f1 +f2= 20 + 30 = 50

f3 = 20 F3 =f1 +f2 +f3 = 20 + 30 + 20 = 70

f4 = 10 F4 =f1 +f2 +f3 +f4= 20 + 30 + 20 + 10 = 80

Observe adems que la ltima frecuencia absoluta acumulada es igual al tamao de lamuestra, es decir,F4 = n= 80.

Frecuencia relativa acumulada (Hi)

Es la acumulacin de cada frecuencia relativa. La ltima frecuencia relativa acumulada

es igual a la unidad.

Para calcular las frecuencias relativas acumuladas debemos considerar que la 1ra

frecuencia relativa acumulada (H1) es siempre igual a la 1ra frecuencia relativa (h

1) y a

partir de la 2da frecuencia relativa acumulada, estas se calculan sumando o acumulando

las frecuencias relativas anteriores.


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En el ejemplo

Frecuencia relativa (hi) Frecuencia relativa acumulada (Hi)

h1 = 0,250 H1 =h1 = 0,250

h2 = 0,375 H2 =h1 +h2= 0,250 + 0,375 = 0,625

h3 = 0,250 H3 =h1 +h2 +h3 = 0,250 + 0,375 +0,250 = 0,875

h4 = 0,125 H4 =h1 +h2 +h3 +h4= 0,250 + 0,375 + 0,250 + 0,125 = 1,000

Observe adems que la ltima frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad, es decir

H4 =h1+h2+h3 +h4 = 0,250 + 0,375+ 0,250 + 0,125 = 1,000

Organizacin de datos agrupados (Tablas con Intervalos)Secuencia

Se recoge la informacin

Se elabora la tabla de frecuencias

Se construyen los grficos: histogramas, polgonos, ojivas

Elementos de una tabla de distribucin de frecuencia

Ejemplo: Un investigador desea determinar en el colegio San Jos de Chiclayo en el nivel

primaria el nmero de horas semanales que los nios de 7 aos de edad se dedican aver programas de televisin. Una muestra de 25 nios arroj los siguientes resultados (en

nmero de horas semanales): 10; 19; 25; 19; 26; 16; 19; 27; 27; 25; 23; 22; 17; 12; 20;

15; 21; 23; 26; 14; 18; 25; 23; 24; 21.

Rango (r). Es la diferencia entre los datos de mayor y menor valor.

Ejemplo: r= 27 10 = 17

Intervalo de clase. Es una clasificacin de los datos en subgrupos.

Ejemplo: [16; 19 es un posible intervalo de clase donde se debe considerar a los nios

que se dedican a ver televisin desde 16 horas hasta menos de 19 horas semanales. Lmites de clase. Son los valores extremos del intervalo de clase.

Ejemplo: en el intervalo [16; 19 se observa que 16 es el lmite inferior y 19 es el

lmite superior.

Ancho de clase (W). Es la diferencia entre el lmite superior e inferior de cadaintervalo. Tambin se le conoce como el TIC (Tamao del intervalo de clase)

Ejemplo: en el intervalo [16; 19 se observa que el ancho de clase es

W= 19 16 = 3

Marca de clase (X). Es el punto medio de cada intervalo. Ejemplo: en el intervalo [16, 19 la marca de clase es

X = (16 + 19 )/2 = 17,5


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ESTNDARES CURRICULARES DE ESTADSTICA

En inicial, 1 y 2 grado

COMPETENCIA HABILIDAD

Formular preguntas que

puedan ser respondidas a

partir de la recoleccin y

organizacin de un conjunto

de datos.

Clasificar objetos de acuerdo a sus atributos y organizar

los datos sobre dichos objetos, reconociendo que un objeto

puede tener ms de un atributo.

Representar los datos empleando objetos concretos, dibujos

o grficos por ejemplo usando barras, tablas, pictogramas y

reconociendo los ttulos de los ejes.

Seleccionar mtodos

estadsticos apropiados para

analizar datos.

Describir partes de los datos y el conjunto de datos como untodo para determinar qu muestran los datos. Por ejemplo,

realizar afirmaciones como: La cantidad de estudiantes que

tienen perros es igual a la que tienen gatos; la mayora de

estudiantes en la clase ve Bob el constructor. Tambin implica

reconocer de donde proviene la informacin mostrada.

En 3; 4 y 5 grado

COMPETENCIA HABILIDAD

Formular preguntas que

puedan ser respondidas a

partir de la recoleccin y

organizacin de un conjunto

de datos.

Disear experimentos para recolectar datos a travs de la

observacin o encuestas y analizar cmo las distintas formas

de hacerlo afectan la naturaleza de los datos.

Interpretar informacin que ha sido presentada a travs de

tablas y grficos.

Representar datos teniendo en cuenta la naturaleza de la

variable involucrada, si es cualitativa o cuantitativa.

Organizar y representar los datos haciendo uso de una hoja

de clculo.

Seleccionar mtodos

estadsticos apropiados para

analizar datos.

Describir las principales caractersticas de un conjunto de

datos y comparar conjuntos de datos poniendo nfasis en

cmo estos estn distribuidos.

Calcular la mediana de un conjunto de datos y lo que esta

representa y tambin lo que no representa para ese conjunto

de datos.

Comparar diferentes representaciones para un mismo

conjunto de datos y evaluar cul de ellas representa mejor a

los datos.


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PROGRAMACINLINEAL

INTRODUCCIN

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y,

sobre todo, Lagrange, que tanto haban contribuido al desarrollo del clculo infinitesimal,

se ocuparon de obtener mximos y mnimos de determinadas funciones, condicionadas

a un conjunto de restricciones.

Posteriormente el matemtico frnces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830)

fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los mtodos de lo que actualmente

llamamos programacin lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.Si exceptuamos al matemtico Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interes

por problemas de este gnero, debemos remontarnos al ao 1939 para encontrar nuevos

estudios relacionados con los mtodos de la actual programacin lineal. En este ao,

el matemtico ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitch publica una extensa monografa

tituladaMtodos matemticos de organizacin y planificacin de la produccin en la

que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teora

matemtica precisa y bien definida llamada, hoy en da, programacin lineal.

Las aplicaciones iniciales de los mtodos de la programacin lineal cayeron entres

categoras principales.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado

independientemente por Koopmans y Kantorovich, razn por la cual se suele conocer

con el nombre de problema de Koopmans-Kantorovich.

En 1958 se aplicaron los mtodos de la programacin lineal a un problema concreto:el clculo del plan ptimo de transporte de arena de construccin a las obras de edificacin

de la ciudad deMosc. En este problema haba 10 puntos de partida y 230 de llegada.

El plan ptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 das del mes de

junio, rebaj un 11% los gastos respecto a los costes previstos.


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Modelos matemticos de Centromin-Per

Modelo de minas de Casapalca

Modelo de cobre y plomo

A continuacin presentaremos un ejemplo prctico de la programacin lineal.

Ejemplo 1

Suponiendo que una empresa manufacturera que produce dos artculos, el 1 y el 2,

cuyas demandas son limitadas. La siguiente tabla indica los tiempos de procesamiento

requerido por cada producto en tres departamentos por los que deben ser procesados y

muestra adems, la disponibilidad en horas hombre de estos por semana, y la ganancia

unitaria de cada artculo.

Dpto. A Dpto. B Dpto. C Ganancia Unit.

Producto 1 2 1 4 1,00

Producto 2 2 2 2 1,50

Disponibilidad 160 120 280

El problema consiste en decidir la cantidad de cada producto que debe elaborarse con

el objeto de lograr el mejor empleo de los medios de produccin (horas disponibles

en los departamentos), para obtener el mximo beneficio total. Dicho de otro modo,

quien decide, debe asignar los recursos (tiempo disponible en los departamentos) con

el propsito de optimizar un objetivo (maximizar la ganancia total) satisfacer otras

condiciones definidas (no exceder las capacidades de trabajo de cada departamento).

Su resolucin lo veremos ms adelante.

El modelo matemtico de la programacin lineal

En general con rigor matemtico el problema de Programacin Lineal se presenta en

los siguientes trminos

max. (min.)Z=c1x1 +c2x2+...cnxn (I)

Sujeto a

a11x1 +a12x2 + ... +a1nxn b1 a21x1 +a22x2 + ... +a2nxn =b2

am1x1 +am2x2+ ... +amnxn bm (II)

Y las restricciones de no negatividad

xj 0, j= 1; 2; 3; ...; n (III)


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En las ecuaciones o inecuacionesaij;bi ; cjson valores conocidos y el problema consiste en

hallar los valores de lasxjque optimicen la funcin (I) sujeta a las condiciones (II) y (III)

Las variablesxjse llaman variables de decisin.

La estructura anterior se puede expresar como

(max. o min.)Z=cjxj= CtXn

j= 1

Sujeto a

AXB

X 0

Donde A= (aij)mxn; C=

c1

c2

cn

; X=

x1

x2

xn

; B=

b1

b2

bm

En un problema de programacin lineal debemos tener en cuenta que los beneficios,

capacidades, etc. Son funciones que se deben maximizar; en cambio los costos, las

prdidas, los accidentes son funciones que se deben minimizar.

En Programacin Lineal se tienen los siguientes elementos

Una funcin objetivo.

Un conjunto de restricciones.

La no negatividad de las variables decisorias.Para mayor comprensin del tema en este trabajo, lo plantearemos en dos variables

decisorias; por ello nuestro problema de Programacin Lineal tendr la siguiente estructura.

max.(min.)Z=c1x+c2y+c3Sujeto a

a11x+a12y b1

a21x+a22y =b2

am1x+am2y bm

conx 0;y0

Definiciones

Variables decisorias. Son cantidades desconocidas que indican los valores numricos delos actos o actividades que se van a emprender con el fin de lograr el objetivo.

Funcin objetivo. Es la representacin matemtica de la funcin a optimizar (max. o min.)

Z=ax+by+cRegin factible. Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones deno negatividad. Existen dos tipos de regin factible.


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regin factible no acotada regin factible acotada

Solucin factible. Es cualquier punto situado en la regin factible.

Solucin bsica. Es aquella que se encuentra en la interseccin de rectas o hiperplanos

o en la interseccin con los ejes coordenados

Solucin ptima. Es una solucin factible que maximiza o minimiza la funcin objetivo.Polgono Convexo. Dados dos puntos cualesquiera que pertenecen al polgono, el

segmento de recta que los une est contenido en dicho polgono.

polgono convexo polgono no convexo

Fundamentacin matemtica de la Programacin LinealLa Programacin Lineal se fundamenta en un conjunto de teoremas cuyas

demostraciones se omiten en el presente trabajo.

Teorema 1El conjunto de todas las soluciones factibles a un problema Lineal es un conjunto

convexo (resulta de la interseccin de las ecuaciones e inecuaciones de restriccin).este teorema demuestra, adems que si un programa lineal tiene mas de una solucin,

entonces tendr infinitas soluciones.

Teorema 2La funcin objetivo alcanza su mximo en un punto extremo del conjunto convexo,

generado por el conjunto de soluciones factibles al Programa lineal.

De estos dos teoremas concluimos que slo es necesario investigar las soluciones

en los puntos extremos (es decir en los vrtices o las aristas del polgono convexo del

programa lineal)

A continuacin resolveremos algunos problemas, usando el mtodo grfico (la cual

es la aplicacin del teorema 2).


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Planteamiento y solucin del ejemplo 1

Paso 1 (Variables decisorias)

Seax el nmero de unidades producidas del artculo 1

Seay el nmero de unidades producidas del artculo 2

Paso 2 (construccin de la funcin objetivo)

El beneficio obtenido al venderx unidades del artculo 1 e y unidades del artculo 2 ser

1,00x+ 1,50y

considerando la funcinf(x;y) = 1,00x+ 1,50y (funcin objetivo) el problema consiste en

hallarx,y tal que esta funcin sea mxima, teniendo en cuenta quex ey estn sujetas a

las siguientes condiciones (restricciones).

Paso 3 (Restricciones o limitaciones)En el ejemplo la produccin est limitada por el tiempo disponible de manufacturacin

en cada departamento. Observando los valores del cuadro anterior se puede deducir

fcilmente que:

El tiempo de manufacturacin requerido al departamentoA, es igual a

2x+2y

pero el requisito no debe exceder la capacidad del departamentoA, por la que la

expresin anterior queda completa con:

2x+ 2y 160

con igual razonamiento para los departamentosB yC, se tiene:

x+ 2y 120

4x+ 2y 280

obviamente esta implcita la circunstancia de no poder considerar cantidades a

producir negativas, por tanto se debe escribir:

x 0 y 0

En resumen y simbolizando la funcin ganancia total conZse tiene:[Max]Z=x+ 1,5y

Sujeto a

2x+ 2y 160 (restriccin 1)

x+ 2y 120 (restriccin 2)

4x+ 2y 280 (restriccin 3)

Con

x 0 y 0

Como este problema contiene slo dos variables es posible representarlo y resolverlo

grficamente. Graficando las tres restricciones se tiene:


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La figura que ha quedado definida no es otra cosa que un polgono convexo.

El problema de la Programacin Lineal, entonces, se reduce (nada ms ni nada menos)

a la seleccin del punto que sea factible y que a su vez maximice la funcin objetivo.

Asignando aZun valor arbitrario para que pueda ser graficada. Por ser Zuna recta,

para cualesquiera valores asignados aZse obtendrn rectas paralelas ya que tienen igual

pendiente.

Es evidente que se podr seguir desplazandoZhasta que se alcance el ltimo punto

comn entre sta y el polgono. Dicho punto esA tal como se verifica en el grfico que

sigue.


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Este es el punto de Ganancia Total Mxima o punto ptimo. Corresponde por lo tanto

a la solucin ptima. La respuesta al problema es entonces

x1=40

x2 = 40

Y el valor de la funcin objetivo es Z= 100

Ejemplo 2

Dos fbricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y

alto grado. Se tiene contrato de venta para proveer: 16 Tn. de bajo grado, 5 Tn. de medio

grado y 20 Tn. de alto grado los costos de operacin son de S/.1000 /da para la primera

fbrica y S/.2000 /da para la segunda.

La fbrica N 1, produce 8 Tn. de bajo grado, 1 Tn. de medio grado y 2 Tn. de alto grado

en un da de operacin. La fbrica N 2, produce 2 Tn. de bajo grado, 1 Tn. de grado

medio y 7 Tn. de alto grado por da. Cuntos das debe trabajar cada fbrica a fin de

cumplir con el mencionado contrato de venta en la forma ms econmica?

ResolucinSean

x : Nmero de das de trabajo de la fbrica 1

y : Nmero de das de trabajo de la fbrica 2

la funcin objetivo ser

(Min:) Z= 1 000x+ 2000y

Sujeto a:

8x+ 2y 16

x+y 5

2x+ 7y 20

x 0 y 0


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Grficamente

La solucin optima se encuentra en el puntoA donde :

X= 3, Y= 2, Z= 7000

Ejemplo 3

Desde dos almacenesA yB, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad.

El almacn A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se

reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas

de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias.

El coste del transporte en soles por tonelada desde cada almacn a cada mercado viene

dado por el siguiente cuadro:

Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A 10 15 20

B 15 10 10

Planificar el transporte para que el coste sea mnimo.

ResolucinPodemos hacer el siguiente cuadro que nos ayude a obtener la funcin objetivo y las

restricciones

Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A X Y 10 (X+Y)

B 8 X 8 Y X+Y 1


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Del cuadro anterior se puede observar

Del almacnA se transportaXTn. al mercado 1, YTn. al mercado 2, y lo restante al

mercado 3.

Del almacnB se transporta lo faltante a cada mercado.

De los dos cuadros anteriores se puede obtener la funcin objetivo la cual viene dada. F(X; Y) = 10X+ 15Y+ 20(10 (X+Y))+15(8 X)+10(8 Y) + 10(X+Y 1),

de donde efectuando se tiene F(X; Y) = 390 15X 5Y

Teniendo en cuenta que las cantidades repartidas a cada mercado son positivas entonces

se tiene:

10 X+Y 0

8 X 0

8 Y 0

X+Y 1 0 X 0 Y 0

Las cuales representan las restricciones del problema

Grficamente

El coste de transporte en cada en cada vrtice es

Vrtices valor del objetivo FA = (0; 1) 385

B = (0; 8) 350

C= (2; 8) 320

D = (8; 2) 260 menor costo

E= (8; 0) 270

F= (1; 0) 375

La solucin ptima ocurre en el vrticeD= (8; 2) lo que indica que se deben transportar

del almacnA: 8 Tn al mercado 1, 2 Tn al mercado 2 y al mercado 3 nada. As mismo del

almacnB, al mercado 1 nada, al mercado 2, 6 Tn y al mercado 3 9 Tn. De esta manera

el costo mnimo es de S/.260.


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9. La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construccin de 100 casas. Elcontrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen

el mismo costo, pero para Constructora Casas, stas tienen un margen de utilidad

diferente, as las casas tipo campo arrojan S/.5 100 y las de tipo rancho S/.5 000.El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el

contrato. Otra informacin relevante se resume en la siguiente tabla:

Recurso por tipo de cada Disponibilidad

de horasCampo Rancho

200 100 12 000 Carpintero

50 120 13 000 Albail

Formule el problema de programacin lineal. Encuentre la solucin ptima.

10. Dos mataderos,PyQ, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmenteen tres ciudades,R, S yT: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P

produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes

de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero a cada ciudad, son los

reflejados en la siguiente tabla:

R S T

P 1 3 1

Q 2 1 1

determine cul es la distribucin de transporte que supone un coste mnimo.

semillero 1

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