senales y sistemas
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2010
Msc. Ing. Mario Garca
01/03/2010
SEALES Y SISTEMAS
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SEALES Y SISTEMAS
Contenido SISTEMAS LINEALES ............................................................................................................... 5
CAPITULO I ................................................................................................................................. 5
1. INTRODUCCIN ........................................................................................................... 6
2. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS ...................................................................... 6
2.1. SISTEMA DETERMINSTICO ............................................................................... 6
2.2. SISTEMA NO ANTICIPATIVO .............................................................................. 6
2.3. SISTEMA REALIZABLE ........................................................................................ 7
2.4. SISTEMA LINEAL .................................................................................................. 7
2.5. SISTEMA INVARIANTE EN EL TIEMPO ............................................................ 7
3. EJEMPLOS ..................................................................................................................... 7
3.1. DIFERENCIADOR ........................................................................................................ 7
3.2. ELEVADOR AL CUADRADO .................................................................................... 8
CAPITULO II ............................................................................................................................... 9
1. SEALES CONTINUAS Y SEALES DISCRETAS ............................................... 10
2. SEALES CUANTIZADAS ........................................................................................ 10
3. FUNCIONES SINGULARES: ..................................................................................... 11
3.1. FUNCIN PASO O ESCALN UNITARIO: ....................................................... 11
3.2. FUNCIN RAMPA: 2 .................................................................................. 12
3.3. FUNCIN PARBOLA: ....................................................................................... 13
3.4. FUNCIN IMPULSO: ........................................................................................... 13
4. EJEMPLOS: .................................................................................................................. 16
CAPITULO III ............................................................................................................................ 21
ANLISIS DE TRANSITORIOS POR EL MTODO DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE ................................................................................................................................... 21
1. INTRODUCCION: ....................................................................................................... 22
2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.- ................................................................... 22
2.1. EJEMPLOS ............................................................................................................. 22
2.2. APLICACIN EN EL ANLISIS DE CIRCUITOS.- ........................................... 24
2.3. MTODO PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES.- ................................. 27
2.4. TEOREMA DEL VALOR INICIAL.- .................................................................... 32
2.5. TEOREMA DEL VALOR FINAL.- ....................................................................... 33
2.6. CIRCUITOS EN EL DOMINIO TIEMPO.- .......................................................... 34
CAPITULO IV ............................................................................................................................ 37
SERIE DE FOURIER ................................................................................................................. 37
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SEALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIN: ....................................................................................................... 38
2. SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER: .......................................................... 38
2.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE: ........................................ 39
2.2. EJEMPLOS: ............................................................................................................ 40
2.3. CONDICIONES DE SIMETRA ............................................................................ 42
3. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER: ................................................................... 44
3.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES: ................................................................. 44
3.2. EJEMPLOS ............................................................................................................. 45
4. REPRESENTACIN DE LA SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER EN
TODO EL INTERVALO < < ............................................................................... 46
4.1. EJEMPLO: .............................................................................................................. 47
4.2. ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER ............................................................... 48
CAPITULO V ............................................................................................................................. 53
TRANSFORMADA DE FOURIER ........................................................................................... 53
1. INTRODUCCIN: ....................................................................................................... 54
2. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER. ..................................... 57
2.1. TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES TILES. ...... 58
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER QUE CONTIENEN FUNCIONES IMPULSO
61
3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER .................................. 77
3.1. PROPIEDAD DE SIMETRA.- .............................................................................. 78
3.2. PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD .................................................................... 80
3.3. PROPIEDAD ESCALAR ....................................................................................... 80
3.4. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO DE LA FRECUENCIA ......................... 81
3.5. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO ................................... 83
CAPITULO VI ............................................................................................................................ 84
1. INTRODUCCIN.- ...................................................................................................... 85
2. CARACTERSTICAS DE LOS FILTROS EN LOS SISTEMAS LINEALES. ..... 87
3. TRANSMISIN SIN DISTORSIN .......................................................................... 89
4. FILTROS IDEALES ..................................................................................................... 90
5. ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGA ............................................................. 93
6. PROBLEMAS PROPUESTOS. ................................................................................... 97
CAPITULO VII .......................................................................................................................... 99
CONVOLUCIN ....................................................................................................................... 99
1. INTRODUCCIN ....................................................................................................... 100
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2. INTEGRAL DE CONVOLUCIN: .......................................................................... 100
2.1. CONVOLUCIN EN EL TIEMPO ...................................................................... 100
2.2. CONVOLUCIN EN LA FRECUENCIA ........................................................... 101
3. LEYES DE CONVOLUCIN ................................................................................... 102
3.1. CONMUTATIVA. ................................................................................................ 102
3.2. DISTRIBUTIVA ................................................................................................... 103
3.3. ASOCIATIVA. ..................................................................................................... 103
4. INTERPRETACIN GRAFICA DE LA CONVOLUCIN .................................. 103
5. CONVOLUCIN CON UN IMPUSO UNITARIO ................................................. 106
6. INTEGRAL DE SUPERPOSICIN. ........................................................................ 108
CAPTULO VIII ....................................................................................................................... 112
LA TRANSFORMADA Z ........................................................................................................ 112
1. INTRODUCCIN ....................................................................................................... 113
2. LA TRANSFORMADA Z .......................................................................................... 113
3. TRANSFORMADA DE FUNCIONES IMPORTANTES ................................... 116
3.1. FUNCIN IMPULSO MODIFICADA .................................................. 116
3.2. FUNCIN EXPONENCIAL ........................................................................ 117
3.3. FUNCIN ESCALN UNITARIO ................................................................. 117
3.4. FUNCIONES SENO Y COSENO ........................................................................ 117
3.5. FUNCIONES HIPERBLICAS SENO Y COSENO ........................................... 118
3.6. FUNCIN RAMPA = .................................................................................. 118
3.7. FUNCIN EXPONENCIAL ..................................................................... 119
4. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES .............................................. 119
5. CUADRO DE IMPORTANTES TRANSFORMADAS .......................................... 122
6. PROBLEMAS ............................................................................................................. 123
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SEALES Y SISTEMAS
SISTEMAS LINEALES
CAPITULO I
1.- INTRODUCCIN.-
2.- CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS.-
2.1. DETERMINSTICO
2.2. NO ANTICIPATIVO
2.3. REALIZABLE
2.4. LINEAL
2.5. INVARIANTE EN EL TIEMPO
3.- EJEMPLOS.-
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SEALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIN
Al ingeniero interesado en el estudio de los atributos observables de un sistema fsico,
se le presenta el problema de poder representar y clasificar las seales. Al considerar las
seales como entidades en s mismas, ms o menos separadamente de los sistemas que
lo producen, se presenta con una variedad inmensa de posibilidades de representacin y
clasificacin.
La escogencia apropiada de las diferentes tcnicas depende en mucho de cmo desee el
observador la informacin suministrada por las seales. En gran parte, un estudio
unificado y general de estas tcnicas requieren el estudio matemtico del anlisis
funcional.
Trataremos las tcnicas de anlisis aplicables a sistemas fsicos que presumen respuesta
cuando estos son excitados.
Los sistemas pueden ser lineales o no lineales, independientes o dependientes del tiempo.
2. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS
Se impone reconocer cuando un sistema rene las caractersticas de un sistema lineal o
invariante con el tiempo para evitar intiles esfuerzos tratando de analizar sistemas para
los cuales las tcnicas que expondremos, conducirn a resultados de ningn valor.
Consideremos el sistema de la figura, cuya excitacin es () y su repuesta ().
Asumamos que el sistema no contiene fuentes de energa independientes, est en estado
de equilibrio.
La relacin de causa y efecto, se indica simblicamente como:
y(t) = [()]
Donde L es un operador que caracteriza al sistema. L puede ser una funcin de y, v, t y
puede contener operaciones de diferenciacin o integracin, adems puede ser
expresada en lenguaje probabilstico.
2.1.SISTEMA DETERMINSTICO
Un sistema es determinstico si a cada excitacin (), corresponde una y solamente
una respuesta ().
2.2.SISTEMA NO ANTICIPATIVO
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Un sistema es no anticipativo, si la respuesta en cualquier instante no depende de
valores de futuros de excitacin.
2.3.SISTEMA REALIZABLE
Un sistema es realizable si no es anticipativo y si la respuesta () es una funcin real
de t para toda excitacin real de ().
2.4.SISTEMA LINEAL
Un sistema es lineal si las respuestas a dos excitaciones diferentes 1(), 2() son
1(), 2(). Y si la respuesta a la excitacin:
() = 11() + 22() Es
() = 11() + 22() Donde
1 Y 2 son constantes.
Simblicamente: [11() + 22()] = 1[1()] + 2[2()]
A esta ecuacin se la conoce como principio de superposicin.
2.5.SISTEMA INVARIANTE EN EL TIEMPO
Si la relacin entre la respuesta y la excitacin es independiente del tiempo, la respuesta
a la excitacin ( ) es ( ). En este caso la magnitud y la forma de la respuesta
son independientes del tiempo al cual se le aplica la excitacin
Forma simblica:
[( )] = ()
3. EJEMPLOS
3.1. DIFERENCIADOR
() =
()
Es un sistema lineal
PRUEBA:
[11() + 23()] = 1
1() + 2
2()
El sistema es realizable, pues es no anticipativo y si () es real.
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3.2. ELEVADOR AL CUADRADO
() = 2() No es lineal
PRUEBA:
Si () = 11() + 22()
2() = [11() + 22()]2 [1
212() + 2
222()]
3.3.
() =
()
Es una funcin lineal.
Si () = 11() + 22()
[11() + 22()] = 1
1() + 2
2()
= 1[1()] + 2[2()]
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CAPITULO II
1. SEALES CONTINUAS Y DISCRETAS.
2. SEAL CUANTIZADA.
3. FUNCIONES SINGULARES:
3.1. FUNCIN PASO O ESCALN.
3.2. FUNCIN RAMPA.
3.3. FUNCIN PARBOLA.
3.4. FUNCIN IMPULSO.
4. EJEMPLOS
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SEALES Y SISTEMAS
1. SEALES CONTINUAS Y SEALES DISCRETAS
En los captulos anteriores hemos dado una clasificacin de los diferentes sistemas que
podemos encontrar en nuestro estudio y hemos hablado de excitacin y de respuesta.
Pudindose denominar tambin, SEAL DE ENTRADA Y SEAL DE SALIDA. Es
necesario conocer las clases de seales disponibles y cul el tratamiento matemtico al
que pudo ser sometido para poder conocer la respuesta de determinado sistema.
Las diferentes seales podemos clasificarlas en 3 subclases: SEALES DISCRETAS,
SEALES CONTINUAS Y SEALES CUANTIZADAS.
SEALES CONTINUAS: Es una funcin de la variable continua e independiente del
tiempo (t). Esta seal debe ser definida de una forma nica para todos los valores de t
dentro de un rango dado, para los cuales la funcin es continua.
La funcin 1() de la figura 1 no es continua para a < t < b a causa de la continuidad en
t = pero representa una seal continua para a < t < de acuerdo a la definicin
anterior.
1()
Figura N 1
SEAL DISCRETA: Es aquella que solo est definida en una secuencia de valores
discretos de la variable independiente t. En muchos casos la seal puede ser cero,
excepto en los valores de t; esto no es esencial a la definicin. En otros casos de inters
practico, los instantes en que se define la seal, estn igualmente espaciados, es decir
= + , donde T es el tiempo entre los instantes de definicin de la seal y K =0, 1,
2,3,. En estos casos la seal es una funcin de la variable discreta a independiente K.
2. SEALES CUANTIZADAS
Es aquella que solo puede asumir un numero desmesurable de valores diferentes.
Cuantizar quiere decir redondear hasta el valor aceptable ms cercano. Las seales
cuantizadas pueden ser continuas o discretas
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La seal 1() de la fig.1 representa una seal continua. Si redondeamos los valores de
la seal hasta el valor aceptable (0, 1, 2, o 3), considerando solo los tres niveles
anteriores, obtendremos la seal cuantizada de la fig.2. Si muestreamos 1() en siete
instantes discretos del tiempo obtendremos la seal discreta 3() de la fig.3. Si
muestreamos 2() obtendremos la seal discreta cuantizada 4().
3()
Figura N 3
4()
Figura N 4
3. FUNCIONES SINGULARES:
Las funciones singulares son funciones continuas del tiempo para todos los valores de t,
menos uno, adems todas las funciones singulares pueden obtenerse de una, a travs de
diferenciaciones o integraciones sucesivas.
3.1. FUNCIN PASO O ESCALN UNITARIO:
De la figura 5 se puede deducir:
1() = {0 < 01 > 0
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1()
Figura N 5
Si la funcin 1() se desplaza a la derecha a unidades, la discontinuidad estar en
= y por lo tanto:
1( ) = {0 < 1 >
() = 1( )
Figura N 6
3.2. FUNCIN RAMPA: 2()
Si integramos 1() entre y obtenemos la funcin rampa
2() = 1()
= {0 < 0 > 0
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2()
Figura N 7
3.3. FUNCIN PARBOLA:
Integrando la funcin rampa podemos obtener otra funcin singular 3()
3() = 2()
= {
0 < 0
2
2 > 0
3()
Figura N 8
3.4. FUNCIN IMPULSO:
Si tratamos ahora de diferenciar la funcin paso unitario obtendremos otra funcin
singular. La derivada 1() es cero para 0 y no existe para t = 0. Consideramos
una funcin 1() que se aproxima al paso unitario fig. 9. Esta funcin tiene como
derivada la funcin 0() sea:
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1() 0()
Figura N 9
0() =
1()
1() = 0()
Cuando 0 1() 1()
Y 0() se convierte en un pulso ms angosto y alto, siendo su rea igual a la unidad.
Podemos entones decir que:
lim0
1() = 1()
Excepto para = 0
De igual manera podemos decir que:
0() = lim0 0() = {0 0 = 0
(1)
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Donde 0() se llama funcin impulso unitario. Su rea se conserva igual a la unidad
0() 0( )
Figura N 10
Por lo tanto tomando lmites en la ecuacin (1) tenemos:
0() = lim0
[
1()]
1() = lim0
0()
Lo cual nos permite escribir:
0() =
1()
1() = 0()
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4. EJEMPLOS:
1.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular.
()
() = 52() 52( 1) 52( 5) + 52( 6)
2.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular.
()
() = 1() 51( 1) 51( 5) + 51( 6)
3.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular.
()
() = 2() 2( 1) + 23( 3)
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4.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular.
()
() = 22() 22( 5) 22( 5) + 22( 10)
() = 22() 42( 5) + 22( 10)
5.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular.
()
() = 81() 81( 2)
6.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular.
()
() = 10 1() 10 1( )
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() = 10sin [1() 1( )]
9.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular y
obtener la derivada de la funcin.
()
() = 43()1() 43()1( 2) + 81( 2) 81( 3)
() = 43()[1() 1( 2)] + 81( 2) 81( 3)
() = 43()[0() 0( 2)] + 42()[1() 1( 2)]
+ 80( 2) 80( 3)
() = 42()[1() 1( 2)] + 80( 2) 80( 3)
10.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular y
obtener la derivada de la funcin.
()
() = 22(). 1( 2) + 41( 2). 1( 5) + 22( 5). 1( 6)
() = 21(). 1( 2) + 40( 2). 1( 5) + 21( 5). 1( 6)
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11.- Dado el grfico de la funcin escribir la () en trminos de funcin singular.
()
() = 2(). 1( 1) + 1( 1). 1( 3)
+ 0.253( 3)[1( 3) 1( 4)]
+ 0.43( 4)[1( 4) 1( 5)]
12.- ejemplo propuesto:
Determinar
() =?
() =
()=?
()
13.- Determinar grficamente la funcin:
() = 2001() 5001( 20) + 102( 20) 102( 40)
+ 1001( 60)
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()
14.- Determinar grficamente la funcin analtica de:
() = [10 + 3 sen ( 1)]1( 1) [3 sen( 1)]1( 6)
201( 10) + 2( 10) 2( 20)
()
15.- Representar grficamente:
() = 32() 32(). 1( 1) 3( 1) + 3( 1). 1( 3) +
+31( 4)
16.- Representar analticamente y grficamente la funcin ()
() = 102( 2) 102( 2). 1( 4) + 51( 4)
PROPIEDADES DE LA FUNCIN IMPULSO O DELTA DE DIRAC
1.- 0() = 0()
2.- 0() = 0
3.- (). 0( ) = ()0( )
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CAPITULO III
ANLISIS DE TRANSITORIOS POR EL MTODO DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. INTRODUCCIN.
2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
2.1. EJEMPLOS
2.2. APLICACIN EN ANLISIS DE CIRCUITOS
2.3. MTODOS PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES
2.3.1. Mtodo de las fracciones parciales: 3 casos
2.3.2. Formula del desenvolvimiento de HEAVISIDE
2.4. TEOREMA DEL VALOR INICIAL
2.5. TEOREMA DEL VALOR FINAL
2.6. CIRCUITOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
2.6.1. EJEMPLOS
2.7. PROBLEMAS
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SEALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCION:
Se han analizado las corrientes transitorias en circuitos que tienen elementos
almacenadores de energa como son los condensadores (C) y los inductores (L). La
aplicacin de las leyes de Kirchhoff a tales circuitos desemboca en la utilizacin de una
o dos ecuaciones diferenciales en el dominio tiempo dependiente de la configuracin del
circuito. Estas ecuaciones fueron o son resueltas por los mtodos clsicos, en muchos
pasos, entretanto, tales mtodos no son convenientes.
En este captulo introduciremos el mtodo llamado de transformada de Laplace, que nos
da las soluciones ms directas a las ecuaciones diferenciales. Adems de eso, algunas
funciones irregulares, que no pueden ser fcilmente resueltas por los mtodos clsicos,
tienen inmediata solucin con la transformada de Laplace.
2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.-
Si () es una funcin de t definida para > 0, la transformada de Laplace de (),
indicada por el smbolo [()], es definida por:
[()] = () = ()
0.
Donde puede ser un parmetro complejo o real en las aplicaciones en circuitos, se
admite como:
= +
La operacin [()] transforma una funcin () del dominio tiempo a una funcin
() del dominio frecuencia compleja o simplemente dominio . Las dos funciones
() y () constituyen un par de transformadas, siendo estas dadas en tablas.
Son condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace, que la
funcin () sea:
Continua en intervalos
De orden exponencial
La funcin () es considerada de orden exponencial si |()| < 0 para todo > 0, donde A, 0 son constantes positivas.
En anlisis de circuitos todas las condiciones son satisfactorias por las funciones.
2.1. EJEMPLOS
1.- la funcin representada en la figura es definida por () = para > 0. Determinar
la transformada de Laplace correspondiente.
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SEALES Y SISTEMAS
() = > 0
{()} = () = [
] = [
] [
0]
{()} = () =
2.- Obtener la transformada de Laplace de () = , donde a es una constante.
{} = (+)
0
= [1
+ . (+)]
0
{} = () =1
+
3.- Encontrar la transformada de Laplace de: () = sen
{()} = sen .
0
= [ (sen)cos
2+2]0
=
2 + 2
4.- Encontrar la transformada de Laplace de la derivada de ()
() =
()
{()} =
().
0
Integrando por partes, usando
= . ]0
0
= = Y = () = ()
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SEALES Y SISTEMAS
{
()} = [()]0
()()
0
= 0 () 1 (0) + ()
0
{
()} = (0) + ()
Donde (0) es el valor de la funcin cuando (+) para = 0+
5.- Encontrar la transformada de Laplace de la integral ()
{()} = ()
.
0
Integrando por partes: =
= () = () Y = = 1
{()} = [() (1
)]
0
1
()
0
{()} = 1
()|
0
+1
()
Donde 1
()|0 es el valor de la integral para = 0
+ que tambin se
1(0+)
{()} = 1
() +
1
1(0+)
2.2. APLICACIN EN EL ANLISIS DE CIRCUITOS.-
En el circuito que aparece en el circuito RC serie de
la figura tiene una carga inicial .
La fuente de tensin constante V es aplicada al
circuito, cuando la llave se cierra, la ecuacin
diferencial es entonces:
+1
= (1)
Llamando de () a la corriente en el dominio S y tomando la transformada de Laplace
de cada uno de los trminos de la ecuacin (1) tenemos:
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SEALES Y SISTEMAS
{ } + {1
} = {}
() +()
+1(0)
=
As: 1(0) = |=0+ = 0entonces tenemos:
() +()
+
0
=
(2)
Calculemos ()
() ( +1
) =
0
() =
0
+1
=
1 (
0 )
+1
() =(
0 )
( +1 )
=
0
+1
=
0
1
+1
() () = 1{()} =
0
1 {
1
+1
}
() =
0
(3)
La ecuacin (3) es la corriente en el dominio tiempo que aparece en el circuito inicial
RC cuando cerramos la llave, con una carga inicial en el condensador C. las condiciones
iniciales fueron consideradas en la ecuacin (2) en el dominio S, en consecuencia el
tomar la transformada inversa 1 la ecuacin resultante (3) ya contiene las constantes.
La funcin [()] grficamente es como indica la figura con una corriente inicial de
0
Si
0
= no hay transitorio ya que la
carga en el capacitor origina una tensin
igual a la tensin de la fuente.
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SEALES Y SISTEMAS
Consideremos ahora un circuito RL como indica el grafico. Cuando el interruptor es
cerrado, aplicase una tensin constante V al circuito RL aplicando las leyes de
Kirchhoff despus de cerrar la llave tenemos:
+
= (1)
Aplicando la transformada de Laplace a cada trmino tenemos:
{()} + {()} = {}
() + () (0+) =
(2)
La corriente inicial (0+) en un circuito RL cuya constante era nula antes de cerrar la
llave, es tambin nula para = 0+. Entonces (0+) = 0 reemplazando en la ecuacin (2) tenemos:
() + () =
() =
+ =
( + )=
+ 2
() =
(1
1
(+
))
(3)
Encontrando la transformada inversa de Laplace de la ecuacin (3) observamos que no
existen formulas directas para encontrar () entonces tenemos que usar algn mtodo
para la resolucin de esta antitransformada, por ahora admitamos que la
antitransformada es igual a:
1{()} = () =
(1
) (4)
La ecuacin (4) representa el conocido incremento exponencial con el valor para la
corriente en rgimen estacionario.
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SEALES Y SISTEMAS
2.3. MTODO PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES.-
En el anlisis de circuitos, generalmente, la corriente en el dominio S es la relacin de
polinomios en S.
() =()
()
El desenvolvimiento de cuociente en la suma de varias fracciones es frecuentemente
necesario para la obtencin de la transformada inversa de Laplace.
Examinemos, ahora, la aplicacin del mtodo de desenvolvimiento de cuocientes de
polinomios y el mtodo llamado de formula de Heaviside, su aplicacin conduce a la
transformada inversa.
2.3.1. Mtodo de desenvolvimiento en fracciones parciales.-
La ecuacin () =()
() en que () es de grado superior al de (), puede ser escrita como
una suma de fracciones cuyos denominadores sean cada uno, uno de los factores de () y
cuyos numeradores sean constantes.
Desenvolviendo el cuociente () () debemos considerar las races de (). Ellas pueden
ser reales, o complejas dando origen a tres casos.
Caso 1.- Las races de () son reales y desiguales.
Ejemplo: () =1
2+3+2=()
()
Factorando () tenemos:
() =1
(+2)(+1)=
+2+
+1 (1)
Para = 2 y = 1 la expresin se torna infinito y se dice que existen polos simples
para esos valores de S. El coeficiente de un polo simple = 0 es dado por
() ( + 0)|=0 As para determinar el coeficiente de A multiplicar ambos
miembros por ( + 2).
1
( + 2)( + 1) ( + 2) = +
+ 2
+ 1
1
+1= +
+2
+1
Para = 2 =1
+1|=2
= 3
-
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SEALES Y SISTEMAS
Para determinar el coeficiente de B multiplicamos por + 1 la ecuacin (1)
1
( + 2)( + 1) ( + 1) =
+ 2 ( + 1) +
1
( + 2)=
+ 1
+ 2+
Para S= 1
1 1
(1 + 2)=
1 + 1
1 + 2+
= 2
Entonces nuestra ecuacin (1) quedara as:
() =3
+1+
2
+1=
3
+2
2
+1
La transformada inversa ser:
1{()} = () = 32 2
Este caso tambin puede ser resuelto de otra manera:
- multiplicando la ecuacin (1) por ( + 2)( + 1) despus igualando los coeficientes
de las potencias iguales de S as:
( 1) = ( + 1) + ( + 2) = + + + 2
+ = 1
+ 2 = 1} = 3
= 2
Este mtodo siempre conduce a ecuaciones simultneas, el primer mtodo resuelto
siempre en ecuaciones independientes para cada coeficiente.
Caso 2.- Las races de () son reales e iguales
Ejemplo: () =()()=
1
(2+6+9)
= 1(+3)
2
Luego:
1
( + 3)2=
+
+ 3+
( + 3)2
Multiplicando ambos miembros por S y haciendo = 0 tenemos:
=1
9
-
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SEALES Y SISTEMAS
En caso de races repetidas, el coeficiente del trmino cuadrtico es dado por:
() ( 0)2|=0 =
Entonces:
( + 3)2
( + 3)2=
( + 3)2 +
+ 3( + 3)2 +
1
=
( + 3)2 + ( + 3) +
Para = 3
1
3= 0 + 0 +
= 1
3
Para la determinacin del coeficiente B tenemos que:
[() ( + 0)
2]=0 =
Entonces tenemos:
=1
9 =
=0 0=3
=
1
2 =
1
(3)2=
1
9
Entonces nuestro () =1
9
1
9
+3
1
3
(+3)2
De donde:
() =1
91
93
1
33
De otra forma podemos realizar la misma operacin as:
Si multiplicamos los dos miembros de:
1
(+3)2=
+
+3+
(+3)2 Por ( + 3)2 tenemos:
1 =( + 3)2
+( + 3)2
( + 3)+( + 3)2
( + 3)2
-
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SEALES Y SISTEMAS
1 = ( + 3)2 + ( + 3) +
Si igualamos los coeficientes S tenemos:
1 = 2 + 6 + 9 + 2 + 3 +
1 = 2( + ) + (6 + 3 + ) + 9
+ = 0 (1)
6 + 3 + = 0 (2)
9 = 1 =1
9 (3)
En (1) 1
9+ = 0 =
1
9
En (2) 6 1
9+ 3
1
9+ = 0
2
31
3+ = 0 =
1
3
Que coincide con los valores anteriormente calculados.
Caso3.- Las races de () son complejas por ejemplo:
() =()()
=1
(2+4+5)
=1
(+2+ )(+2 )
Como () tiene races complejas conjugadas las constantes en los numeradores de las fracciones parciales son tambin complejos conjugados:
() =
+ 2 + +
+ 2
Multiplicando ambos miembros por ( + 2 + ) y haciendo = 2 tenemos:
+2+
(+2+)(+2)= () ( + 2 + )
1
( + 2 )=( + 2 + )
+ 2 + +( + 2 + )
+ 2
1
2 + 2 = =
1
2=
2
=
2
() =
2
+ 2 + +
2
+ 2
-
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() =
21 {
1
+ 2 + }
21 {
1
+ 2 }
() =
2(2+)
2(2)
() =
2[2 2] ; = j2sin
() =
22[ ]
() =
22(2 sin )
() = 2 sen
Otra forma de efectuar el mismo clculo es la siguiente:
-Multiplicando ambos miembros por ( + 2 + )( + 2 ) as:
( + 2 + )( + 2 )
( + 2 + )( + 2 )=( + 2 + )( + 2 )
+ 2 + +( + 2 + )( + 2 )
+ 2
1 = ( + 2 ) + ( + 2 + )
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de S tenemos:
1 = + 2 + + 2 +
+ = 0 =
(2 ) + (2 + ) = 1
2 + 2 + = 1
2 2 (2) = 1
=
2 =
2
2.3.2. Formula de desenvolvimiento de HEAVISIDE
La formula de Heaviside establece que la transformada inversa de Laplace del cuociente
() =()() es dada por:
1 {()()
} = ()()
=1
Donde son n races distintas de () por ejemplo:
-
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() =()()
=1
2+3+2=
1(+2)(+1)
() = 1
() = 2 + 3 + 2 () = 2 + 3
Las races son 1 = 2; 2 = 1
(1) = 1 1 = 2 (2) = 2 1 = 2
(1) = 2 + 3 = 1 (2) = 4 + 3 = 1
1 {()
()} =
()
()
=1
=3
12 +
2
1
()
()= 32 2
2.4.TEOREMA DEL VALOR INICIAL.-
{
()} =
().
0
= () (0+)
Si tomamos el lmite para tenemos:
lim
().
0
= lim
{() (0+)}
El integrando tiende para 0 cuando por entonces:
lim
{() (0+)} = 0
Como (0+) es una constante podemos escribir:
(0+) = lim{()} (1)
La ecuacin (1) exprime el teorema del valor inicial. Podemos encontrar el valor inicial
de una funcin del tiempo () multiplicando la funcin correspondiente del dominio
, (), por S y tomando el lmite cando .
Ejemplo: En el circuito RC y analizado Q0 caiga del capacitor la corriente en el dominio
S en ()=
0
( 1+ 1
)
Determinar la corriente inicial i(0+) empleando el teorema del valor inicial:
(0+) = lim {
0
+1
} =
0
-
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(0+) =
0
2.5. TEOREMA DEL VALOR FINAL.-
{
()} =
().
0
= () (0+)
Si tenemos el lmite para 0 tenemos:
lim0
{
().
0
= () (0+)}
De donde tenemos:
().
0
= lim0{() (0+)}
() (0) = lim0{() (0+)} (2)
La ecuacin (2) nos indica el teorema del valor final. Por analoga de aplicacin del
teorema y del valor inicial, se puede encontrar el valor final de una funcin del tiempo
(), multiplicando por S la funcin correspondiente del dominio S, () y tomando el
lmite cuando 0. La ecuacin (2) entretanto, solo puede ser aplicada cuando todas
las races del denominador de () tengan las partes reales y negativas. Esta restriccin
excluye las funciones senoidales, pues estas son indeterminadas en el infinito.
Ejemplo:
En el circuito RL de la figura ya analizada tenemos que:
() =
(1
1
( +))
Determine el valor de la corriente en =
() = lim0
(
( +)) =
() =
-
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2.6. CIRCUITOS EN EL DOMINIO TIEMPO.-
La ecuacin para el circuito serie RLC de la figura es:
= +
+
1
Aplicando la transformada de Laplace tenemos:
() + () (0+)+()
+0(0)
= () (3)
En () { + +1
} = ()
0(0)
(4)
En la ecuacin (4) + +1
es la impedancia () en el dominio S. todos los
mtodos empleados en anlisis de circuitos en el tiempo pueden ser usados con los
parmetros S.
La ecuacin (3) puede ser representado grficamente as:
Debe tenerse mucho cuidado con los signos de (0+) y 0(0)
.
Co0nsideremos ahora el circuito de la figura abajo, donde existe una corriente inicial i0,
con el interruptor en la posicin 1. Cuando = 0 el interruptor es llevado a la posicin
2, introducindose en el escrito una fuente constante V y en capacitor con una carga
inicial. El sentido positivo de la corriente i fue arbitrario.
-
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SEALES Y SISTEMAS
As podemos notar que la fuente de tensin constante fue transformada en y la
corriente resultante es (). Los trminos de las condiciones iniciales son ahora fuentes
con los sentidos indicados y la ecuacin ser la indicada (3).
2.6.1. EJEMPLOS
1.- El interruptor de RL figura, se mantiene en la posicin 1 durante tiempo variante
para que se establezca condiciones de rgimen estacionario y en = 0, es deslocado
para la posicin. Determinar la corriente resultante.
Para = 0+
100 = 25 + 0.01
25()+ 0.01() 0.01(0+) =100
(0+) = 50
25= 2[]
() =100
(0.01 + 25)
0.02
0.01 + 25=
104
( + 2500)
2
+ 2500
() =104
( + 2500)
2
+ 2500
104
( + 2500)=
+
+ 2500
-
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SEALES Y SISTEMAS
=104
+ 2500|=0
= 4 =104
|=2500
= 4
() =4
4
+ 2500
2
+ 2500
() =4
6
+ 2500 () = 4 62500
-
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CAPITULO IV
SERIE DE FOURIER
1. INTRODUCCIN.
2. SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER.
2.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE
2.2. EJEMPLOS
2.3. CONDICIONES DE SIMETRA
3. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER
3.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES
3.2. EJEMPLOS
4. REPRESENTACIN DE UNA FUNCIN PERIDICA MEDIANTE LA
SERIE DE FOURIER EN TODO EL INTERVALO [ < < ]
4.1. EJEMPLOS
4.2. ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER
-
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SEALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIN:
En los circuitos examinados hasta aqu se puede encontrar 2 tipos de excitaciones,
excitaciones constantes o de forma senoidal. En esos casos, una expresin simple
describe las funciones excitadoras para cualquier valor del tiempo.
Algunas formas de ondas peridicas entre las cuales est por ejemplo, la diente de
sierra, solo pide ser expresada en una forma simple dentro de un intervalo.
As por ejemplo la figura: diente de sierra.
() = {
; 0 < 0 <
( ); 0 < < 2
Sin embargo de que estas expresiones describen satisfactoriamente la forma de onda, no
permite la determinacin de la respuesta del circuito. Entre tanto, sea una funcin
peridica, puede ser expresada como una suma de un numero finito o infinito de
funciones senoidales, las respuestas de estructuras lineales a excitaciones no senoidales
podrn ser determinadas por el teorema de la superposicin. El mtodo de Fourier nos
permite solucionar este problema.
2. SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER:
Toda forma de onda peridica, esto es, para lo cual () = ( ), puede ser
expresada por una serie de Fourier, desde que:
siendo discontinua, haya un nmero finito de discontinuidades en el periodo T.
tenga un valor medio finito en el periodo T
tenga un nmero finito de mximos positivos y negativos.
Satisfechas estas condiciones, de Dirichlet, existe la serie de Fourier que puede ser
escrita en la forma trigonomtrica.
1 cos
() =1
20 + 1 cos + 2 cos 2 + 3 cos 3 + + 1 sen + 2 sen 2
+ 3 sen 3 +
-
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SEALES Y SISTEMAS
Pudiendo ser escritas tambin de la siguiente forma:
() =1
20 +( cos + sen )
=1
Para (0 < < 0 )
2.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE:
Los coeficientes de Fourier, son determinados para una forma de onda dada, por el
clculo de integrales. Se obtiene la integral para los coeficientes cosenoidales
multiplicando ambos miembros de la serie trigonomtrica por cos e integrando
parra todo un periodo. El periodo de la fundamental es 2 , es el periodo de la serie,
ya que la frecuencia de cada trmino de la serie es un mltiplo de la fundamental.
() cos2
0
= 1
20 cos
2
0
+ 1 cos cos2
0
+
+ cos2
2
0
+ 1 sen cos2
0
+ 2 sen 2 cos2
0
++ sen cos2
0
Las integrales definidas del segundo miembro son todas nulas, con excepcin de:
cos2
2
0
=
; .
=
() cos2
0
=2
() cos
0
Multiplicando miembro a miembro la serie de Fourier por sen e integrando como
en el caso anterior podemos determinar el coeficiente de la serie as:
=
() sen2
0
=2
() sen
0
El termino constante 0 se obtiene de la ecuacin general para = 0
02=1
()
0
Otra forma de expresar estas integrales con la variable y con periodo = 2
radianes es:
-
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=1
() cos2
0
=1
() sen2
0
El termino constante 0 en la serie es el valor promedio de () en el intervalo (0, ) as
0 es la componente de corriente directa.
La serie trigonomtrica de Fourier puede ser tambin expresada de forma compacta as:
() =1
20 + cos( + )
=1
() = + cos( + )
=
= cos = sen
= 2 + 2 = tan
1 ()
() =1
20 + sen( + )
=1
= sen = cos
= 2 + 2 = tan
1 ()
2.2.EJEMPLOS:
1.- Determinar la serie de Fourier para la forma de onda de la figura.
() =10
2, 0 < < 2
2 = ; = 0,1,2,3,
-
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SEALES Y SISTEMAS
() =1
20 +( cos + sen )
=1
02=1
10
2
2
0
=10
2 2 2
0
02= 5
=1
10
2 cos
2
0
=10
22[
sen +
1
2cos ]
0
2
=10
222(cos 2 cos 0) = 0,
=1
10
2 sen
2
0
=10
22[
cos +
1
2sen ]
0
2
= 10
() = 5 10
sen
10
2sen 2
10
3sin 3
() = 5 10
(
sen
)
=1
2.- Determinar la serie trigonomtrica de Fourier de la onda dada de la figura.
() = {0
3
4< <
4
4< 0.
Si las seales sinusoidales son perpetuas entonces, como lo indican las ecuaciones:
[cos0] = [( 0) + ( + 0)]
[sen0] = [( + 0) ( 0)]
Contienen efectivamente componentes de frecuencia 0
Densidad espectral de la funcin cos0 1().
2.2.6. Transformada de una exponencial perpetua
Vamos a encontrar la transformada de Fourier de una seal exponencial perpetua 0
en el intervalo (,+) tenemos:
0 = cos0 + sen0
La transformada de Fourier:
[0] = [cos0 + sen0]
Sabemos que:
[cos0] = [( 0) + ( + 0)]
[sen0] = [( + 0) ( 0)]
-
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Entonces:
[0] = [( 0) + ( + 0) ( + 0) + ( 0)]
[0] = 2( 0)
Por lo tanto la transformada de Fourier de 0 es un solo impulso de intensidad 2
localizado en = 0. Se puede ver que la seal 0 no es una funcin real del
tiempo, por lo tanto tiene un espectro que existe solamente en = 0.
2.2.7. Transformada de Fourier de una funcin peridica.
Hemos demostrado que la transformada de Fourier es el caso lmite de la serie de
Fourier, al suponer que el periodo de una funcin peridica se vuelve infinito ( ).
Ahora procederemos que la serie de Fourier es un caso lmite de la transformada de
Fourier, este tratamiento es muy til pues permite unificar ambas funciones la peridica
y la no peridica.
En un sentido estricto la transformada de Fourier de una funcin peridica no existe, ya
que esta no satisface la condicin de integrabilidad absoluta. La funcin peridica ()
es:
|()|
=
Sine embargo, la transformada existe en el lmite. Suponemos que la funcin peridica
existe nicamente en el intervalo finito ( 2 , 2 ) y que T se vuelve infinito en el
lmite.
Tambin podemos expresar la funcin peridica mediante su serie de Fourier. La
transformada de Fourier de una funcin peridica es, la suma de la transformada de
Fourier de sus componentes. Podemos expresar la funcin peridica () con periodo T
as:
() =
=
0 0 =2
Si tomamos las transformadas de Fourier de ambos miembros tenemos:
[()] = [
=
0]
[()] =
=
[0]
-
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SEALES Y SISTEMAS
Sabemos que:
[0] = 2( 0)
Entonces tenemos que:
[()] =
=
2( 0)
[()] = 2
=
( 0)
Este es un resultado significativo, la ecuacin anterior establece que la funcin de
densidad espectral o la transformada de Fourier de una seal peridica est compuesta
por impulsos localizados en la frecuencia armnicas de dicha seal siendo la intensidad
de cada impulso igual a 2 multiplicada por el valor del coeficiente correspondiente de
la serie exponencial de Fourier.
La secuencia de pulsos equidistantes no es ms que la forma lmite de una funcin
densidad continua. Este resultado no sorprende pues, sabemos que una funcin
peridica, contiene solamente componentes de frecuencias armnicas discretas
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1.-
Encuntrese la transformada de Fourier de una funcin pulso rectangular peridica,
pulso rectangular de duracin segundo que se repite cada T segundos.
() = { 2 < . Por lo tanto, podemos reemplazar el lmite superior de la
misma integral anterior por t as, entonces tenemos que para sistemas fsicos y cuando
() = 0 en < 0.
() = () ( )
0
La ecuacin anterior es un caso especial en que tanto () como () son cero en < 0
mientras que:
() = () ( )
Es una formula general.
-
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2. CARACTERSTICAS DE LOS FILTROS EN LOS SISTEMAS
LINEALES.
Si se tiene un sistema en el cual una excitacin () de entrada produce una respuesta
(), de forma caracterstica propia del sistema. La funcin de densidad espectral de la
respuesta es () (). Por lo tanto se ve que el sistema modifica la funcin de
densidad espectral de la seal de entrada. Se ve como el sistema acta como si fuese un
filtro de las diferentes componentes de frecuencia. La intensidad de algunas
componentes aumenta, mientras de otras se atena y otras quedan o pueden quedar
iguales. De manera semejante, cada componente sufre un cambio de fase diferente en el
proceso de transmisin, por lo tanto, el sistema modifica la funcin densidad espectral
de acuerdo a sus caractersticas de filtro, esta modificacin depende mucho de la
funcin de transferencia (), que representa la respuesta del sistema a las diferentes
componentes de frecuencia. As, () acta como una funcin de ponderacin segn
las diferentes frecuencias. La respuesta tiene densidad espectral: () () as:
Donde () tiene como densidad espectral () y la funcin de transferencia est dada
por () y la respuesta () tiene como densidad espectral () ().
Consideremos el circuito R-C dado
En los terminales de entrada del 1 1 se aplica un pulso rectangular como el que se
indica en la figura (), la respuesta del circuito R-C es la 0()que aparece en los
terminales de salida 2 2.
-
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SEALES Y SISTEMAS
La funcin densidad espectral de la seal de entrada dado en la figura y la densidad
espectral de la respuesta 0() es () () al lado en el grafico.
La funcin de transferencia, que relaciona el voltaje de entrada con el de salida es
obviamente:
() =1
1 +
La figura que representa |()| corresponde a las caractersticas del filtro:
Por el momento no llevaremos en cuenta la fase. Obsrvese que este circuito atena las
frecuencias altas y permite que las bajas pasen con atenuacin pequea.
As este circuito es la forma ms simple de un filtro pasa bajo.
La funcin de densidad espectral de la respuesta es el producto () () dado en la
figura. La comparacin entre las figuras de |()| y |() ()| muestra claramente
la atenuacin causada por el circuito a las frecuencias altas. La funcin de respuesta
0() es obviamente una rplica distorsionada de la seal de entrada, debido a que el
circuito no permito el mismo acceso a la transmisin de todas las componentes de
frecuencia de la seal de entrada. La seal de entrada sube abruptamente en = 0, la
elevacin sbita, que significa un cambio rpido, implica componentes. Ya que el
circuito no permite el paso de las componentes de frecuencia alta, el voltaje de salida no
puede cambiar con esa rapidez, por lo que sube y baje menos abruptamente con la seal
de entrada.
-
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SEALES Y SISTEMAS
3. TRANSMISIN SIN DISTORSIN
Un sistema debe atenuar igualmente todas las componentes de frecuencia, es decir
() debe tener una magnitud constante para todas las frecuencias. Esta condicin no
es suficiente para garantizar la transmisin sin distorsin, el cambio de fase de cada
componente tambin debe satisfacer ciertas relaciones y hasta el momento no hemos
tomado en cuenta su efecto.
En una transmisin sin distorsin es necesario que la respuesta sea una rplica exacta de
la seal de entrada. Por supuesto, la rplica puede tener magnitud diferente; lo que
importa es la forma de onda y no su magnitud relativa. Por lo tanto, podemos decir que
se transmite sin distorsin una seal () si la respuesta es ( 0) se ve que la
respuesta es la rplica exacta de la entrada con una magnitud de veces la seal
original y retraso de 0 segundos. As, si () es la seal de entrada necesitamos, que la
respuesta () sea una transmisin sin distorsin.
() = ( 0)
Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo que dice que:
( 0) () 0
Tenemos: () = () 0
Entonces: () () () = () 0
En un sistema sin distorsin tenemos:
() = 0
Concluimos que para lograr una transmisin sin distorsin, a travs de un sistema, la
funcin de transferencia debe ser de la forma: () = 0
-
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SEALES Y SISTEMAS
Es evidente que |()|, la magnitud de la funcin de transferencia es , que es
constante para todas las frecuencias. Por otra parte el desplazamiento es proporcional a
la frecuencia es decir:
() = 0
Si dos componentes de frecuencia diferentes se desfasan en el mismo intervalo de
tiempo, los cambios de fase correspondientes son proporcionales a la frecuencia. Por
ejemplo, si una seal cos() se desfasa 0 segundos; la seal resultante puede
expresarse como:
cos( 0) = cos( 0)
Es evidente que el cambio d fase de la nueva seal es 0, proporcional a la
frecuencia .
En un sentido estricto la ecuacin () debe ser: () = 0 donde = es un
nmero entero positivo o negativo ya que la adicin de la fase radianes no puede
tener ms efecto que cambiar el signo de la seal. Por lo tanto, la funcin de fase de un
sistema sin distorsin debe ser de la forma mostrada por la ecuacin y en la figura
anterior.
() = 0
Ancho de banda, se define arbitrariamente, como el intervalo de frecuencia en el cual la
magnitud |()| es mayor que 12 multiplicado por su valor en la mitad del
intervalo. Para nuestro ejemplo el ancho de banda de |()| es (2 1)
4. FILTROS IDEALES
Un filtro ideal de paso bajo transmite, sin distorsin alguna, todas las seales de
frecuencia menores que una determinada frecuencia de radianes por segundo. Las
seales de frecuencia superior a las de se atenan completamente. Por consiguiente la
respuesta en frecuencia de este filtro es una funcin pulso rectangular 2().
La funcin de fase correspondiente a la transmisin sin distorsin es 0 entonces la
funcin de transferencia de ese filtro es:
() = |()|()
() = 2()0
-
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SEALES Y SISTEMAS
Se puede encontrar la respuesta () al impulso unitario de ese filtro si se calcula la
transformada inversa de () as:
() = 1[()]
() = 1[2()0]
Como sabemos que:
1[()] =
(
2)
Concluimos que () desplazada en el tiempo es:
() =
[( 0)]
El grafico de (), anterior, nos demuestra que la respuesta al impulso existe en valores
negativos de . En vista de que se aplico la funcin de excitacin (impulso unitario) en
= 0, el resultado anterior parece extrao, es decir, se produce la respuesta antes de que
se aplico la funcin de excitacin; el sistema parece anticiparse a la funcin de
excitacin. Prcticamente es imposible construir un sistema con esa propiedad. Por lo
tanto, se debe concluir que, aun cuando sera muy conveniente tener un filtro ideal de
paso bajo, no es fsicamente realizable. Se puede demostrar de manera parecida, que
tampoco son realizables fsicamente otros filtros ideales como los de paso alto y los de
paso de banda.
En la prctica es suficiente tener filtros cuyas caractersticas se aproximan de los filtros
ideales.
En la figura tenemos un filtro paso bajo, sus funciones de transferencia estn:
=
-
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Dados por:
() =
1
(1 + )
+1
(1 + )
() =1
1 2 + 1
Puesto que: =1
y =
() =2
3
32
(2 + )
2+ (
32 )
2
La respuesta de () al impulso es:
() = 1[()] =2
3
2 sen (
3
2)
En la figura a continuacin se muestra la magnitud y la fase de la respuesta en
frecuencia ()
=1
-
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SEALES Y SISTEMAS
Y la respuesta () dibujaremos a continuacin.
Comparndose estas caractersticas de magnitud y fase con las de filtro ideal. La
respuesta al impulso es similar a la de un filtro ideal con la salvedad que empieza en
= 0.
5. ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGA
Un parmetro til de una seal () es su energa normalizada. Se define la energa
normalizada o simplemente energa de una seal () como la energa disipada por
un resistor de 1 cuando se le aplica el voltaje () o por una corriente () que pasa
por el mismo resistor as:
= 2()
El concepto de energa de seal solo tiene significado si la integral anterior es finita. Las
seales cuya energa es finita se llaman seales de energa. Para seales peridicas la
integral es infinita y el concepto de energa no tiene sentido, en estos casos
consideramos el promedio en el tiempo de las energas que es evidentemente el
promedio de la potencia de seal.
A esas seales se les denomina seales de potencia.
Si () es la transformada de Fourier de ()
() =1
2 ()
= 2()
= () [1
2 ()
]
-
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SEALES Y SISTEMAS
Al intercambiar el orden de integracin en el segundo miembro, obtenemos:
= 2()
=1
2 () [ ()
]
La integral dentro del corchete ya sabemos que es igual a () en consecuencia
tenemos:
2()
=1
2 ()()
Y sabemos que:
() () = |()|2
Cuando () es una funcin real. Y
2()
=1
2|()|2
Es interesante considerar la interpretacin fsica de la densidad de energa de una seal.
Tenemos:
=1
2|()|2
Consideremos la seal () aplicada a la entrada de un filtro pasa banda cuya funcin
de transferencia () es:
Este filtro suprime todas las frecuencias con la excepcin de las que estn comprendidas
dentro de una banda angosta ( 0) cuya frecuencia central es 0. Si () es la
transformada de Fourier de la respuesta () de este filtro, entonces:
() = () ()
-
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SEALES Y SISTEMAS
Y la energa 0 de la seal de salida () esta dada por la ecuacin
0 =1
2|() ()|2
Ya que () = 0 en cualquier punto excepto en una banda angosta en donde vale
1. Cuando 0 tenemos:
0 =1
2|(0)|
2
As, la energa de la seal de salida es:
2|(0)|2
Solo se transmite sin alteracin por el filtro las componentes de () que quedan dentro
de la banda angosta . Las dems componentes quedan totalmente suprimidas. Es
evidente que 2|(0)|2 representa la aportacin a la energa de () de las
componentes () que quedan dentro de la banda angosta con centro en 0, por lo
tanto 2|(0)|2 es la energa por ancho de banda unitario ( ) aportado por las
componentes de frecuencia con el centro en 0. Obsrvese que las unidades del
espectro de densidad de energa son JOULES por Hz, la aportacin de energa procede
de componentes de frecuencia negativo o positivo.
|()|2 = |()|2
Podemos interpretar que la cantidad |()|2, la mitad de la energa 2|()|2 ha sido
aportada por las componentes de frecuencia positiva y la otra mitad por las
componentes de frecuencia negativas, por esta razn |()|2 se llama espectro de
densidad de energa, representa la energa por ancho de banda unitario, ya sea positivo o
negativo, entonces el espectro de densidad de energa () se define como:
() = |()|2
Del espectro de densidad de energa procede la aportacin relativa de energa de las
diferentes componentes de frecuencia. La figura a continuacin muestra la funcin
pulso rectangular as como su transformada de Fourier () y el espectro de densidad
de energa |()|2
-
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SEALES Y SISTEMAS
La energa total esta dada por:
=1
2|()|2
= |()|2
= ()
Como sabemos que:
|()|2 = |()|2
Es evidente que la funcin de densidad de energa es funcin real par de , en
consecuencia, se puede expresar la ecuacin.
=1
2|()|2
Como:
=1
|()|2
0
= 2|()|2
0
Si () y () son funciones de excitacin y su respuesta correspondiente, de un sitema
lnea con funcin de transferencia () entonces:
-
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SEALES Y SISTEMAS
() = () ()
El espectro de densidad de energa de la funcin de excitacin es |()|2 y el de la
respuesta es |()|2; es evidente, si se tiene que el espectro de densidad, por lo tanto,
esta dado por el espectro de densidad de energa de la seal se excitacin multiplicada
por |()|2
|()|2 = |()|2 |()|2 = |()|2 ()
6. PROBLEMAS PROPUESTOS.
6.1.Un circuito resistivo formado por los resistores 1 y 2 se emplea como
atenuador para reducir el voltaje aplicado a los terminales 1 2. Los resistores
1 y 2 tienen capacidad distribuida 1 y 2 cual debe ser la relacin entre los
valores y para lograr una atenuacin sin distorsin.
6.2.Determinar la funcin de transferencia en el circuito R-C. Representar
grficamente las caractersticas de magnitud y fase de la funcin de
transferencia.
-
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SEALES Y SISTEMAS
6.3.Encontrar y construir la grafica de la respuesta de un filtro pasa bajo a la seal
() mostrada en la figura de abajo. La frecuencia del filtro es 1 y el
tiempo de retardo es 1 .
-
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SEALES Y SISTEMAS
CAPITULO VII
CONVOLUCIN
1. INTRODUCCIN.
2. INTEGRAL DE CONVOLUCIN
2.1. CONVOLUCIN EN EL TIEMPO
2.2. CONVOLUCIN EN LA FRECUENCIA.
3. LEYES DE LA CONVOLUCIN
3.1. CONMUTATIVA
3.2. DISTRIBUTIVA
3.3. ASOCIATIVA
4. INTERPRETACIN GRAFICA DE LA CONVOLUCIN
5. CONVOLUCIN CON UN IMPULSO UNITARIO
6. INTEGRAL DE SUPERPOSICIN
-
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SEALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIN
El teorema de la convolucin o integral de convolucin o simplemente convolucin, es
quizs uno de los instrumentos ms eficaces en el anlisis armnico, con su empleo, se
obtiene con facilidad muchos resultados importantes.
2. INTEGRAL DE CONVOLUCIN:
Dadas 2 funciones 1() y 2(), podemos formar la integral siguiente:
() = 1()
2( )
Esta integral llamada integral de convolucin, define la convolucin de las funciones
1() y 2(), y tambin se expresa simblicamente como:
() = 1() 2()
Se puede demostrar que en realidad existen 2 teoremas o integrales de la convolucin;
en el tiempo y en la frecuencia as:
2.1.CONVOLUCIN EN EL TIEMPO
Si 1() 1() y 2() 2()
Tenemos:
1()
2( ) = 1() 2()
Es decir:
1() 2() 1() 2()
Para demostrar tenemos:
[1() 2()] = [ 1()
2( )]
[1() 2()] = 1()
[ 2( )
]
Por la propiedad del desplazamiento en el tiempo, ya analizada anteriormente, la
integral:
2( ) = 2()
-
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SEALES Y SISTEMAS
Por lo tanto tenemos:
[1() 2()] = 1()
2()
[1() 2()] = 2() 1()
[1() 2()] = 1() 2()
De igual forma podemos demostrar usando la transformada de Laplace as:
[1() 2()] = [2() 1()] = 1() 2()
[ 1( )
0
2()] = 2()
0
[ 1( )
]
Si hacemos: = ; = ; = + 0
1( )
= 1() (+)
0
Entonces:
[1( )
0
2()] = 2()
0
[ 1()
0
]
[1( )
0
2()] = [ 1()
0
] [ 2()
0
]
[1( )
0
2()] = 1() 2()
2.2.CONVOLUCIN EN LA FRECUENCIA
Si 1() 1() y 2() 2()
Entonces:
1() 2() 1
2 1()
2( )
-
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SEALES Y SISTEMAS
sea que:
1() 2() 1
2[1() 2()]
Este teorema se demuestra de la misma manera que la anterior, debido a la simetra
entre las transformadas directa e inversa de Fourier.
Concluimos que la convolucin de 2 funciones en el dominio tiempo equivale a la
multiplicacin de sus espectros en el dominio frecuencia y que la multiplicacin de las 2
funciones en el dominio tiempo equivale a la convolucin de sus espectros en el
dominio frecuencia as:
Convolucin en el tiempo
1() 2() 1() 2()
Convolucin en la frecuencia.
1() 2() 1
2[1() 2()]
3. LEYES DE CONVOLUCIN
A continuacin presentamos algunas leyes de la convolucin que siguen lineamientos
iguales a los de la multiplicacin ordinaria.
3.1.CONMUTATIVA.
1() 2() = 2() 1()
Para demostrar esto tenemos que:
1() 2() = 1()
2( )
Si hacemos que: = =
Tenemos:
1() 2() = 1( )
2()
1() 2() = 2() 1()
-
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SEALES Y SISTEMAS
3.2.DISTRIBUTIVA
1() [2() + 3()] = 1() 2() + 1() 3()
Para demostrar esto hacemos que:
() = (2() + 3())
Entonces aplicando la definicin de la convolucin tenemos:
1() () = 1()
( )
De donde:
1() () = 1()
[2( ) + 3( )]
Entonces:
1() () = 1()
2( ) + 1()
3( )
1() () = 1() 2() + 1() 3()
De donde se concluye que:
1() [2() + 3()] = 1() 2() + 1() 3()
3.3.ASOCIATIVA.
1() [2() 3()] = [1() 2()] 3()
La demostracin es obvia aplicando la definicin de la convolucin como en el caso
anterior o tambin sabiendo que:
1() [2() 3()] = [1() 2()] 3()
4. INTERPRETACIN GRAFICA DE LA CONVOLUCIN
En la teora de las telecomunicaciones y en el anlisis de sistemas, la interpretacin
grfica del teorema de la convolucin es muy til. Permite visualizar los resultados de
muchas relaciones abstractas. Si en los sistemas lineales solo se conocen en forma
grfica () y (), entonces la convolucin grafica resulta muy til. Supongamos que
1() y 2() son los pulsos rectangulares y triangulares como en la figura.
-
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SEALES Y SISTEMAS
Encontremos grficamente la convolucin 1() 2(), por definicin
1() 2() = 1()
2( )
En la integral de convolucin, T es la variable independiente en consecuencia las
funciones 1() y 2() se muestran en la figura a continuacin.
El trmino 2( ) representa la funcin 2() desplazada segundos a lo largo del
eje as:
El valor de la convolucin en = 1 esta dado por la integral:
1() 2() = 1()
2(1 )
-
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SEALES Y SISTEMAS
Y representa el rea bajo la curva producto de 1() y 2(1 ), dicha rea es la
regin sombreada como en la figura siguiente:
Para encontrar los valores de la funcin 1() 2(), se seleccionan diferentes valores
de , se desplaza la funcin 2() segn esos valores y se calcula el rea bajo la curva
producto correspondiente as:
Esta rea dada en el grfico 1() 2() representa el valor de la funcin de
convolucin en los valores respectivos de .
Pasos para demostrar grficamente la funcin de convolucin
PRIMER PASO.- Giramos la funcin 2() alrededor del eje vertical que pasa por el
origen para obtener la funcin 2().
SEGUNDO PASO.- Consideramos la funcin girada con un cuadro rgido que se
desplazara sobre el eje T en una cantidad 0. Este cuadro rgido representa aqu la
funcin 2(0 ).
TERCER PASO.- La funcin representada por el cuadro rgido desplazado,
multiplicamos por 1() nos da la funcin 1() 2(0 ) y el rea bajo esta curva,
producto que esta dado por:
1() 2(0 )
= [1() 2()] = 0
-
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SEALES Y SISTEMAS
CUARTO PASO.- Repetir este procedimiento para diferentes valores de , desplazamos
sucesivamente al cuadro en diferentes cantidades, obteniendo los valores de la funcin
de convolucin 1() 2() para esos valores de .
Para encontrar la funcin de convolucin 1() 2() para valores positivos de , el
cuadro se desplaza por la parte positiva del eje mientras que, para valores negativos
de , se desplaza por la parte negativa.
5. CONVOLUCIN CON UN IMPUSO UNITARIO
La convolucin de una funcin () con la funcin impulso unitario () resulta en la
funcin misma (). Esto se comprueba fcilmente con la propiedad de muestreo
()
( 0) = (0)
Entonces tenemos que:
() () = () ( )
= ()
Esto tambin se deduce del teorema de convolucin en el tiempo y del hecho de que:
() () y () 1 por lo tanto:
() () ()
En conclusin tenemos que:
() () = ()
Este resultado tambin puede ser obtenido grficamente. Como el impulso esta
concretado en un punto y tiene rea unitaria, la integral de convolucin de la ecuacin
1() 2() = 1()
2( )
Es igual a la funcin (). As, la convolucin de la funcin impulso unitario ()
reproduce la funcin () al generalizar la ecuacin () () = () se obtiene:
() ( ) = ( )
( 1) ( 2) = ( 1 2)
( 1) ( 2) = ( 1 2)
-
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SEALES Y SISTEMAS
Por ejemplo determinemos grficamente la convolucin de 1() con dos impulsos de
intensidad cada uno, como en la figura.
Giramos 2() alrededor del eje vertical para obtener 2(). Como 2() es par
sabemos que 2() = 2() la convolucin de 1() con 2() se deduce as a la
convolucin de 1() con dos impulsos.
De la propiedad de la funcin impulso para reproducir por convolucin la funcin
() () = () se desprende claramente que cada impulso genera un pulso
rectangular en el origen ( = 0) de altura . Por lo tanto, la altura neta del pulso
triangular en el origen es 2, puesto que la funcin 2( ) se sigue desplazando en
direccin positiva, el impulso originalmente est localizado en se encuentra con el
pulso triangular en = 1 y reproduce un pulso triangular en = 21 de altura ,
as:
-
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SEALES Y SISTEMAS
6. INTEGRAL DE SUPERPOSICIN.
En la presente seccin discutiremos y demostraremos que la respuesta a una excitacin
inicial en un sistema lineal para cualquier excitacin puede ser determinada una vez que
la respuesta a una funcin escaln sea conocida.
Llamaremos la respuesta de un sistema lineal para una funcin escaln en la entrada,
como respuesta al escaln unitario, cuyo smbolo sea () cuya transformada de
Laplace sea (). Con un escaln unitario como la funcin excitacin:
() = {()} =1
Como sabemos que la respuesta es dada por:
() = () () = ()
Entonces tenemos que:
() = () =1
()
En donde:
() = ()
Si determinamos la transformada de Laplace tenemos:
{
()} = () (0)
Reemplazando y realizando operaciones en la ecuacin () = () tenemos:
() = 1{()} = 1 { [
()] + (0)}
-
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SEALES Y SISTEMAS
Por lo tanto
() = 1{()} =
() + (0)()
Esta ecuacin expresa la respuesta al escaln con la respuesta al impulso; (0) es
(0+) si () tiene una discontinuidad para = 0.
Retornando a la ecuacin () = () () para nuestro sistema inicial tenemos:
() = () () = [1
() ()] = [() ()]
() = [() ()]
Esta ecuacin de () tambin puede ser escrita en la siguiente forma: () = ()
siendo que: () = () ().
Podemos determinar la transformada inversa de () con el auxilio dl teorema de
convolucin, entonces:
() = 1{()} = () () = ( )
0
()
Es evidente de la ecuacin anterior que (0) = 0, concluimos de la ecuacin
() = ()
Por el teorema de diferenciacin de () es la derivada de () as:
() =
() =
[ ()]
() =
() =
0
( ) ()
O como ya habamos demostrado que:
() =
0
() ( )
Estas ecuaciones expresan el importante resultado que en orden para el fin de una
respuesta de un sistema lineal para una excitacin, con la transformada de Laplace,
necesitamos nicamente conocer la respuesta para el escaln unitario en la entrada. La
respuesta al escaln tambin caracteriza la entrada salida de un sistema.
Los resultados obtenidos en las ecuaciones:
-
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SEALES Y SISTEMAS
() =
() =
0
( ) ()
() =
0
() ( )
Pueden ser expresados en diferentes formas equivalentes que son mu
ecuacin
() = () [()]
Podemos observar que la ecuacin anterior es el producto de 2 transformadas, podemos
aplicar directamente el teorema de la convolucin, primeramente.
1{()} = ()
1{()} = 1{[()]} (0) + (0)
1{()} =
() + (0) ()
1{()} = () + (0) ()
Donde () representa la primera derivada de () con respecto al tiempo.
Aplicando el teorema de la convolucin para la ecuacin
() = () [()]
Tenemos:
() = ( )
0
[() + (0)()]
() = (0) () + ()
0
( )
Donde el primer termino del 2do
miembro es el resultado de la convolucin de la
funcin () con la funcin impulso (0)() de acuerdo con la ecuacin:
() () = () ( )
= ()
-
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SEALES Y SISTEMAS
La ecuacin
() = (0) () + ()
0
( )
Es en realidad la integral de superposicin. Sin embargo cuando la integral de
superposicin es usada sin calificacin, lo que es habitualmente, tomando como la
integral de DUHAMEL. Otras formas de la integral de superposicin son posibles. Por
ejemplo tomando la ecuacin () = () [()] podemos tener otras formas de la
integral de superposicin, por simple intercambio de las funciones y en la
ecuacin:
() = (0) () + ()
0
( )
Obteniendo esta ecuacin
() = (0) () + () ( )
0
-
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SEALES Y SISTEMAS
CAPTULO VIII
LA TRANSFORMADA Z
1. INTRODUCCIN
2. LA TRANSFORMADA Z
3. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES IMPORTANTES
3.1.FUNCIN IMPULSO MODIFICADA ( )
3.2.FUNCIN EXPONENCIAL
3.3.FUNCIN ESCALN UNITARIO ()
3.4.FUNCIN SENO Y COSENO
3.5.FUNCIONES HIPERBLICAS
3.6.FUNCIN RAMPA
3.7.FUNCIN EXPONENCIAL ESPECIAL
4. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
5. CUADRO DE IMPORTANTES TRANSFORMADAS
6. PROBLEMAS
-
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SEALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIN
Hay una importante clase de sistema lineal para el cual la seal de entrada o funcin de
excitacin es de forma de muestras discretas de corta duracin o tambin conocida
como pulsos. Un ejemplo de un sistema de muestreo de datos es el radar, donde los
datos son recogidos en forma de pulsos discretos para la frecuencia de repeticin de los
pulsos, y el multicanal, divisin del tiempo, modulacin de pulsos o sistema de
comunicacin. Hay tambin sistemas de realimentacin de datos cuya actuacin del
error es intermitentemente discreto con los instantes del tiempo.
No obstante que la transformada de Laplace puede ser usado, el anlisis del sistema de
muestreo de datos se facilita grandemente con la utilizacin de la transformada Z,
especialmente cuando la respuesta es una muestra en el instante considerado. En este
captulo definiremos primero la transformada Z y discutiremos sus propiedades.
La transformada es aplicada para la solucin de ecuaciones diferenciales y para el
anlisis del sistema lineal de lazo abierto y lazo cerrado. Finalmente, la estabilidad de la
realimentacin de muestras de datos y el mtodo de determinacin de respuestas entre
muestras instantneas ser discutida.
2. LA TRANSFORMADA Z
El componente esencial en el diagrama en bloques de un sistema de muestra de datos es
el SAMPLER (muestreador), que convierte la seal continua para un tren de pulsos de
espacios regulares de amplitud modulada.
La funcin de un muestreador (SAMPLER) es ilustrada en la figura.
Como se puede ve el muestreador est representado por un interruptor. Si la duracin de
la muestra de pulsos es pequea en comparacin con la constante de tiempo del sistema
(SAMPLER), la salida () puede ser considerada como una secuencia de impulsos
que ocurre a intervalos de tiempo iguales 0, , 2, 3, etc. Las reas de los pulsos
individuales sumadas tienen el mismo valor de la funcin () de la entrada. As
podemos escribir:
() = () ()
-
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SEALES Y SISTEMAS
Donde el asterisco () se usa para indicar que la funcin del tiempo de una funcin
discreta del tiempo o funcin muestreada.
() Representa un tren peridico de pulsos unitarios espaciados T segundos
() = ( )
=
() ( )
Si () = 0 para < 0 la ecuacin () = () () ser igual a:
() = ()
=0
( )
Si tomamos la transformada de Laplace de la funcin de salida () y el resultado es
() tenemos:
() = [()] = [()
=0
( )]
() = [()] = ()
=0
Como vemos que aparece en el exponente de introduciremos en nuestro smbolo
que:
=
Entonces de la ecuaciones
() = {()} = ()
=0
=
Tenemos que:
() = ()
=0
= {()}
() = {()}
No obstante que la notacin en la ecuacin anterior ha sido largamente aceptada por
conveniencia, () no es () con la reemplazando a Z, estrictamente sera:
{()} = ()|=ln= (
1
ln )
-
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SEALES Y SISTEMAS
Algunos autores usan el asterisco en () y escriben:
{()} = ()
Pero esto no es necesario porque la apariencia de como el argumento ya implica que
la transformacin es para una funcin muestreada o discreta, esto se puede sintetizar
escribiendo que:
() = {()}
Visto que {()} = {()}, pero el asterisco en () debe sr llevado muy en cuenta
para la transformada inversa puesto que:
1{()} = () ()
La ecuacin:
() = ()
=
= {()} = {()}
Define la transformada o (), de una funcin muestreada o discreta (). ()
Tambin puede ser vista como una serie infinita de potencia de 1. Si () es dado en
la forma de una proporcin de 2 polinomios en o en 1, todo lo que tenemos que
hacer para encontrar la transformada inversa es expresarlo en serie de potencia de 1
por divisiones sucesivas; el coeficiente de la serie corresponder a los valores de ()
para el instante de la muestra.
EJEMPLO:
Determinar la transformada inversa (1) de la siguiente expresin:
() =
( 1)2
1{()} = {
( 1)2} =?
Sabemos que puede ser descompuesta en 1
( 1)2=
1
(1 1)2=
1
1 21 + 2
( 1)2= (1 + 22 + 33 ++ +)
( 1)2=()
=0
-
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SEALES Y SISTEMAS
Por tanto:
() = 1 [
( 1)2] = ()
=0
( )
El grfico de () dado por la ecuacin anterior se muestra en la figura
Representa un tren de impulsos de espacios iguales, impulsos que crecen con el
aumento del tiempo de muestra. Debe ser notado que, a ms de la sugerencia del
grfico, () = () no podemos determinar () de una () conocida porque la
transicin de una funcin () para una funcin continua () no es nica. Hay un
nmero infinito de () que tendrn la misma (). En el presente ejemplo todo
() que son iguales para para = tendrn la misma () y como
consecuencia la misma transformada () independiente de que valores debe asumir la
funcin entre los intervalos de muestreo.
3. TRANSFORMADA DE FUNCIONES IMPORTANTES
Estudiaremos las transformadas de las ms importantes funciones y operaciones,
tambin daremos una tabla de transformada importantes.
3.1.FUNCIN IMPULSO MODIFICADA ( )
Para este caso particular () = (). Tenemos:
[( )] = Como ya vimos anteriormente
[( )] =
Si = 0 tenemos un impulso unitario para = 0 y:
[()] = 0 = 1
-
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SEALES Y SISTEMAS
3.2.FUNCIN EXPONENCIAL
Cuando la relacin fundamental:
() = ()
=0
= {()}
Podemos escribir directamente
{} = ( 1)
=0
{} = 1 + 1 + 2 2 + 3 3 +
{} =1
1 1
{} =
3.3.FUNCIN ESCALN UNITARIO ()
La transformada de () puede ser obtenida de la ecuacin:
{} =
Cuando = 0 entonces:
{()} = {}|=0 =1
1 1=
1
3.4.FUNCIONES SENO Y COSENO
Sustituyendo = en la ecuacin {} tenemos:
{} =
{} =
( cos) sen
{} =[( cos) + sen]
2 2 cos + 1
{} = {cos + sen}
-
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SEALES Y SISTEMAS
La transformada del sen y cos se obtiene de la parte imaginaria y real de la
ecuacin respectiva.
{sen} = sen
2 2 cos + 1
{cos} = ( cos)
2 2 cos + 1
3.5.FUNCIONES HIPERBLICAS SENO Y COSENO
Puesto que:
senh = sen() cosh = cos()
La transformada del senh se puede obtener de la ecuacin:
{sen} = sen
2 2 cos + 1
Como sigue:
{senh} = {sen()}
{senh} = sen()
2 2 cos() + 1
De la misma forma de la ecuacin:
{cos} = ( cos)
2 2 cos + 1
Tenemos:
{cosh } = ( cosh )
2 2 cosh + 1
3.6.FUNCIN RAMPA () =
() = ()
=0
() = 1 + 22 + 33 +
() = 1(1 + 21 + 32 +)
() = 1
(1 1)2=
( 1)2
-
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SEALES Y SISTEMAS
De aqu tenemos:
() =
( 1)2
3.7.FUNCIN EXPONENCIAL ()
1() = ()
Tenemos:
1() = 1
=0
()
1() = 1
=0
() ( )
Comparando las ecuaciones anteriores y la:
() = ()
=0
Se puede deducir que 1() puede ser obtenido de () si reemplazamos por
( ) as:
[ ()] = 1() = ( )
4. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
En sistemas elctricos y mecnicos se obtiene de su estructura ecuaciones diferenciales
por ejemplo, un sistema elctrico (circuito) como filtro de microondas, amplificadores,
etc. son analizados usando las ecuaciones diferenciales porque, en lugar de resolver las
ecuaciones diferenciales por el mtodo tradicional que tambin lo satisface, pueden ser
resueltas usando la transformada . En esta seccin demostraremos como la tcnica de
la transformada puede ser usada en la resolucin de ecuaciones diferenciales lineales.
Considerando las ecuaciones diferenciales con derivadas constantes de la variable
independiente, ecuaciones diferenciales con diferenciales constantes de los valores de
las variables dependientes para espacios iguales, valores discretos de la variable
independiente.
La ecuacin siguiente es tpica ecuacin diferencial lineal de segundo orden
( + 2) + 1( + ) + 0
() = ()
-
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SEALES Y SISTEMAS
Donde los coeficientes, alguno de los cuales puede ser negativo, se ser constante
por simplicidad, y la funcin con un asterisco es definido solamente par = para
= 0,1,2,3, . Esta es una ecuacin de segundo orden porque la constante de 2do
orden es ( + 2) (valor de la variable dependiente cuando la variable independiente
es espaciada 2 periodos regulares); y es lineal porque no contiene.. Productos
de la ordenada dependiente. En problemas insolubles de estructuras peridicas, t
representa la posicin indicada de la estructura en consideracin. Es conveniente poner
= 1 y escribir () como w(). La atencin anterior quedar:
() = ( + 2) + 1( + 1) + 0()
Sustituyndose en un caso especial de la ecuacin ().
El mtodo clsico para resolver ecuaciones lineales diferentes es similar a la resolucin
de ecuaciones diferenciales. La solucin consiste en dos partes:
1.- La funcin complementar.- La funcin complementar () es la solucin general
de la ecuacin homognea con la funcin excitacin () = 0 as:
( + 2) + 1( + 1) + 0() = 0
Para resolver la ecuacin arriba para (), asumimos la solucin exponencial de la
forma . Tenemos:
() =
( + 1) (+1) = =
( + 2) (+2) = 2 = 2
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuacin () = 0 tenemos:
(2 + 1 + 0) = 0
Desde que no disminuya, la ecuacin anterior puede ser satisfecha si:
2 + 1 + 0 = 0
Esta ecuacin algebraica de segundo grado en tiene dos races denominndose 1 y 2
has 2 valores tal que:
1 = 1
2 = 2
De ah dos posibilidades o soluciones para () son:
1 = 1
2 = 2
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SEALES Y SISTEMAS
La solucin general para la ecuacin:
( + 2) + 1( + 1) + 0() = 0
Ser entonces: () = 11 + 22
Si la ecuacin caracterstica
2 + 1 + 0 = 0
Las dos races son iguales 1 = 2 l