curso niv tema1 1 senales y sistemas

8/17/2019 Curso Niv Tema1 1 Senales y Sistemas

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Especialización en Telecomunicaciones Digitales Cohorte Nº43Curso de Nivelación

U

N

E

X

P

O

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO DE PUERTO ORDAZ

Departamento de In en!er"a E#e$tr%n!$a

Especialización enTelecomunicaciones Digitales

CURSO DE NIVELACION

TEMA I INTRODUCCIÓN A LAS SEÑALES Y LO

SISTEMAS Estrategia Metodológica: Tema de A todesarrollo !rocedimie"to: Cada #artici#a"te es res#o"sa$le del domi"io de este tema

SUMARIO :Concepto de señal.Concepto de sistema.Clasificación de señales. Señales determinísticas y aleatorias

Operaciones so re señales continuas y discretas.Señales singulares.

!roducto integral o convolución de señales. !ropiedades de la convolución. "n#lisis de formas de ondas. !eriodo$ frecuencia y amplitud.%alor medio y valor eficaz de una señal.

"n#lisis de Sistemas 1


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%&' Co"ce#to de se(al:

En forma muy general, se puede decir, que una señal es un estímulo e terno que condiciona elcomportamiento de un sistema! En la figura "1 se muestra esquem#ticamente este hecho!

SISTEMAESTIMULO RESPUESTA

&igura '( Es)uema de un sistema$ señal de estimulo y señal de respuesta.

$esde un punto de %ista m#s matem#tico, se puede decir que una señal se define como unafunci&n uni%aluada del tiempo' es decir, a cada instante de tiempo asignado (definida como%aria)le independiente* corresponde un +nico %alor de la funci&n (%aria)le dependiente*! Comoe emplo podemos %er la figura "-, la cual muestra una senoide como señal!

&igura '* +epresentación de una señal.

Como regla se puede esta)lecer que el mensa e producido por una fuente no es el.ctrico y, por lotanto, es necesario un transductor de entrada! Este transductor con%ierte el mensa e en una señalel.ctrica %aria)le, tal como un %olta e o una corriente!/a descripci&n de una señal %(t* usualmente e iste en el dominio del tiempo, donde la %aria)leindependiente es 0t ! 2ero para el tra)a o de comunicaciones, a menudo es m#s con%enientedescri)ir las señales en el dominio de la frecuencia, donde la %aria)le independiente es o f (

- πf *! El an#lisis espectral est# )asado en el uso de las series y transformadas de 5ourier comoherramientas!En la figura "3 se muestra la representaci&n espectral (dominio de la frecuencia* de %arias señalescon sus correspondientes rep6resentacion en el dominio del tiempo!

)&' Co"ce#to de sistema&

7n sistema es un grupo de o) etos que pueden interactuar de forma arm&nica y que se com)inancon el prop&sito de alcan8ar determinado o) eti%o! 7n sistema puede, a su %e8, ser una porci&n deun sistema mayor!En la figura " 4 se muestra un rompeca)e8as, el cual puede ser%ir para entender el concepto desistema! Con mucha frecuencia los rompeca)e8as son figuras que de)en ser armadas en su

"n#lisis de Sistemas -

&'t(

)t

A

-A

T


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totalidad por una persona! Cada pie8a de la figura tiene una forma adecuada para enca ar dentrode la totalidad del di)u o' de .sta manera 0interact+a de forma arm&nica con el resto de las

pie8as de su entorno con el 0prop&sito de alcan8ar como 0o) eti%o la figura en su totalidad!

&igura ' , +epresentación de varias señales en el dominio del tiempo y

su correspondiente representación en el dominio de la frecuencia.

&igura ' - +ompeca ezas como e emplo de sistema y su sistema.

2odemos adem#s, %er cada pie8a como un su)sistema que posee una forma, es parte de una granfigura y ocupa en la figura total, una posici&n +nica!


t

t

)

)

)

t

&'t( *')(

$o+',$ t(

&'t( $o+',$ t(

*.$o+',$ t(/

*.&'t( $o+',$ t(/

-)m )m

-,$ ,$

,$-,$


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*&' Clasi+icació" de las se(ales&

/as señales se pueden di%idir en dos grandes grupos: las señales determínisticas y las señalesaleatorias!7na señal determínistica es aquella que tiene un %alor definido instante por instante!/as señales aleatorias como su nom)re lo indica, est#n ligadas a la casualidad! Estas señales noson de nuestro inter.s en este curso, ra8&n por la cual no dedicaremos estudio a las mismas!/as señales determínisticas pueden ser clasificadas seg+n su forma en: señales determínisticascontinuas, señales determínisticas discretas y señales determínisticas singulares!En resumen se tiene la siguiente clasificaci&n:

Tipos de señ ales Determínisticas

Contínuas

Discretas

Singulares

"leatorias

*&%&' Se(ales determ,"isticas Co"ti" as&

Estos tipos de señales poseen campos de e istencia continuos o por lo menos continuos eninter%alos, para los cuales se dice que las señales son continuas por inter%alos!/a figura "9 muestra una señal continua por inter%alos, la cual solo toma %alores desde 4 hasta;9! /a señal est# constituida por cuatro inter%alos: 4 a 1' 1 a ;1' ;1 a ;3 y ;3 a ;9! En cadacaso definida por una ecuaci&n diferente!

&'t(

0 1 2

3

4-

-2

-3 -1

3

2

0

-

-1

1

&igura ' /Señal continua por intervalos.

2ara determinar la continuidad o no de la señal es necesario determinar los límites laterales decada inter%alo! /a funci&n presentar# discontinuidad en un punto si en ese punto el límite por laderecha es diferente al límite por la i8quierda, esto es:

lim f t lim f t t t t t o o→ + → −

≠( * ( *



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considerando que el punto de an#lisis de continuidad est# denotado como t o y la funci&n es f(t*!

*&%&% O#eracio"es so$re se(ales determ,"isticas co"ti" as&

! El %alor de f - (t* %ale cero para el inter%alos ? a 3 y f 1(t*%ale cero para el inter%alo 9 a >! 2ara hallar la suma )asta con sumar las ecuaciones de cada unade las funciones definidas en los inter%alos 3 a 9 donde e isten am)as funciones y sumarle la

porci&n de f 1(t* entre ? y 3 m#s la porci&n de f - (t* entre 9 y >! /a funci&n f(t* de la figura ">

representa la suma total de las dos funciones f 1(t* y f - (t*!El n+mero de inter%alos a considerar depender# de las formas que posean las señales, sinem)argo, siempre ser# posi)le di%idir la suma total en 0n sumas parciales dadas por el n+merode inter%alos que posean las señales! =e tomar# como referencia el n+mero de inter%alos mayor de las señales a sumar! Esto es, si una señal posee tres inter%alos y la otra cinco, el n+mero desumas parciales ser# cinco!=i se desea hallar la suma de m#s de dos señales, la soluci&n se puede hallar mediante lareali8aci&n de %arias sumas parciales para luego hallar la suma total!



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25

6

00

6

52

7

7

7

0 1 2 3 4 5 8

854

3

3210

0 1 2 3 4 5

10

00

6

52

&0't(

&1't(

&'t(

&igura ' 0 Suma de dos funciones continuas por tramos.

*&%&%&$&' !rod cto de dos + "cio"es&

2ara determinar el producto de dos señales, el procedimiento utili8ado puede ser el mismo que sedescri)i& para la suma de dos señales, con la +nica diferencia que en %e8 de sumar las ecuacionesse hallar# el producto!En el e emplo anterior si se hallara el producto de las dos funciones f 1(t* y f - (t*, se tendría comoresultado s&lo una funci&n cuadr#tica ( en este caso, 3t - * definida para el inter%alo de 3 a 9, yaque, para los otros dos inter%alos una de las señales %ale cero en cada caso!2ara hallar el producto de m#s de dos funciones, se procede al igual que en la suma, con

productos parciales de funciones! Esta no es la +nica %ía, pero facilita considera)lemente el

tra)a o!

*&%&%&c&' Escalamie"to e" mag"it d de "a + "ció" co"ti" a&

=e ha)la de escalamiento en magnitud de una señal, cuando se multiplica su amplitud por unaconstante! /a constante puede ser mayor que uno o menor que uno! =i se tiene el caso en el cualla constante es mayor que uno se est# en presencia de una amplificaci&n! En el otro caso, cuandola constante es menor que uno, se tiene una atenuaci&n!

"n#lisis de Sistemas >


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El %alor de la constante puede ser positi%o o negati%o! En caso que la constante sea positi%a no se producen cam)ios de signo en la amplitud de la señal! En caso de ser negati%o se produce uncam)io de signo en la amplitud de la señal!=ea por e emplo la funci&n:

f(t) = A.sen( 3 t + ) -Ec ació" * .

entonces la funci&n puede ser escalada en amplitud de la siguiente manera:

f(t) = 4 .A.sen( 3 t + ) -Ec ació" 5 .

/a figura " @ muestra una señal senoidal con escalamiento en amplitud: a* señal sin escalar, )*señal escalada en magnitud con 1 A 1 ( amplificada * y c* señal con escalamiento en amplitud con2 3 1 B 1 ( atenuada *! En la figura "@ d* se muestra la gr#fica de la señal con un escalamientoen magnitud para %alores negati%os de la constante, o)ser%e que se produce un cam)io de fase de1 ? grados en la señal! En todo caso se de)e o)ser%ar que solo se modifica la amplitud de laseñal, ya qu. los dem#s par#metros de la misma permanecen inaltera)les, e cepto en el caso d*!

&igura '4 Escalamiento en amplitud de una señal.

*&%&%&d&' Escalamie"to e" tiem#o de "a + "ció" co"ti" a&

El escalamiento en tiempo de una señal, modifica la duraci&n de la misma en dependencia del%alor de una constante por la cual se multiplica el tiempo! $icho de otra manera, el escalamientoen tiempo de una señal se produce cam)iando la %aria)le 0t por 0 a!t en la ecuaci&n de la señal,donde 0 a es una constante positi%a! En el caso de que a A 1, se produce una compresi&n de laseñal! En caso de que ? B a B 1, se produce una e pansi&n de la señal!

"n#lisis de Sistemas @

&'t(: +en',t(

&'t(: ;+en',t(< ; = 0

&'t(: ;+en',t(< 7 > ; > 0

a(

?(

$(

&'t(: ;+en',t(< ; > - 0

d(


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9/38


f t

t si t

t si t

( *

D D=

+ ≤ ≤

− < ≤

1 4 3 - - >

E > @ 6 Ec ació" 7 .

El despla8amiento de la funci&n f(t* se hace sustituyendo en las ecuaciones que definen lafunci&n a la %aria)le 0t por 0 t ; a , donde 0 a representa el %alor del despla8amiento que sedesea dar a la funci&n y su signo el sentido: derecha o i8quierda!

f t

t a si t a

t a si t a

( *

D ( * D ( *

( * ( *

=+ + ≤ + ≤

− + < + ≤

1 4 3 - - >

E > @ -Ec ació" 8 .

=i sustituimos la %aria)le 0t por ( t ; a * con a - en la ecuaci&n anterior nos queda:

f t

t si t

t si t

( *

D ( * D ( *

( * ( *

=− + ≤ − ≤

− − < − ≤

1 4 - 3 - - - >

E - > - @ -Ec ació" 9 .

Fesol%iendo tenemos:

f t

t si t

t si t

( *

D=

+ ≤ ≤

− < ≤

1 4 1 4 C

11 C E -Ec ació" - %0 .

Este resultado se muestra en la figura " )!=i se considera a - se o)tiene el resultado de la figura " c!

0

1

2

0 1 2 3 4 5 8

&'t(

0

1

2

0 1 2 3 4 5 8

&'t(

9 6

0

1

2

0 1 2 3 4 5 8

&'t(

-1 -0

a(

?( $(

a = 7a > 7

a : 7

&igura '7

"n#lisis de Sistemas


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Desplazamiento en tiempo de una señal.*&%&%&+&' Tra"s#osició" de "a + "ció"&

/a transposici&n se o)tiene cuando se sustituye en la ecuaci&n de la funci&n la %aria)le por lamisma %aria)le multiplicada por 1! Es decir, si la funci&n en cuesti&n es f(t*, para hallar la

transpuesta de ella )asta con sustituir la %aria)le 0t por 0 t ! En este caso la funci&n se rota 1 ?grados so)re el e e %ertical!Considerando nue%amente la funci&n:

f t

t si t

t si t

( *

D D=

+ ≤ ≤

− < ≤

1 4 3 - - >

E > @ -Ec ació" %% .

podemos hallar su transpuesta como la funci&n g(t* sustituyendo la %aria)le 0t por 0 to)teniendo:

g t f t

t si t

t si t

( * ( *

D ( * D ( *

( * ( *

= − =− + ≤ − ≤

− − < − ≤

1 4 3 - - >

E > @ -Ec ació" %) .

Fesol%iendo o)tenemos:

g t

t si t

t si t

( *

D D=

− + − ≤ ≤ −

+ − < ≤ −

1 4 3 - - >

E > @ -Ec ació" %* .

En la figura " 1? se muestran las gr#ficas para am)os casos!G)s.r%ese que la funci&n ha sido rotada so)re el e e %ertical, por lo cual se mantiene la simetríarespecto al e e 0y !

012

0 1 2 3 4 5 8

&'t(a( ?(

012

--1-2-3-4-5-8-t

&'t(

&igura '(2Transposición de una función.

*&)&' Se(ales determ,"isticas discretas&

"n#lisis de Sistemas 1?


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*&*&%&' "ció" escaló" "itario&

/a funci&n escal&n unitario est# definida como:

8 t u p t si p t si p t

( * 6 ( *H ( *( *

= = ≥<1 ?? ? -Ec ació" %1 .

=eg+n la definici&n anterior, se puede entender que la funci&n 8(t* ser# igual a uno cuando elargumento de la funci&n p(t* sea mayor o igual que cero (sea positi%o*, y %aldr# cero cuando elargumento sea menor que cero (sea negati%o*! 2or esta ra8&n se le conoce a esta funci&n comoescal&n unitario, dado que su amplitud cam)ia a)ruptamente de cero a la unidad!Como e emplo de una funci&n escal&n unitario consideremos la funci&n 8(t* u(t - 4t ; 1*!=eg+n la definici&n, se de)e anali8ar para qu. %alores de 0t la funci&n p(t* ≥ ?! 7tili8ando laecuaci&n de segundo grado se pueden encontrar los %alores de 0t que anulan a p(t*! =eg+n esto,

se tiene que t - ± √3 son las raíces de la ecuaci&n (t-

4t ; 1*!$e acuerdo a estos resultados se tiene lo siguiente:

p t

si t t :

si t ::

si t o t :::

( *

! ! ( *

! ! ( *

! ! ( *

== ∧ =

< < <> < >

? ? -@ 3@3

? ? -@ 3@3

? ? -@ 3@3 -Ec ació" %2 .

Con los resultados anteriores y de acuerdo con la definici&n, la funci&n 8(t* es igual a 01 paratodos los %alores de 0t para los cuales p(t* ≥ ?, lo cual se cumple en las ramas ( I * y (III* de los

resultados o)tenidos en la ecuaci&n (1>*! 2ara el restante inter%alo la funci&n 8(t* %ale cero!/a gr#fica de 8(t* se muestra en la figura "1-!

0

@'t(

7 18 2 82

&igura '(* +epresentación gr#fica de la función 86t9.

=i tu%i.ramos el caso en el cual p(t* t, entonces la funci&n (t* se reduciría a la siguientee presi&n:

8 t u t si t

si t ( * ( *= =

≥<

1 ?

? ? -Ec ació" %7 .

"n#lisis de Sistemas 1-


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@'t(

7

0

&igura '(, +epresentación gr#fica de la función 86t9 ; u6t9.

/a gr#fica de la funci&n en este caso es la que se muestra en la figura " 13!

*&*&%&)&' O#eracio"es so$re la + "ció" escaló" "itario&


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8 t a u t a si t a

si t a( * ( *+ = + =

≥ −< −

1

? -Ec ació" )% .

@'t(

t

7

;

&igura '(- +epresentación gr#fica de la función 8 < 6t9 ; 1u6t9.

/a gr#fica de la funci&n escal&n unitario despla8ada se muestra en la figura " 19! =i el %alor de aA ?, la gr#fica se despla8a hacia la i8quierda! =i a 3 ? la gr#fica se despla8a hacia la derecha!

@'t(

t7

0

@'t(

t7

0

@'t(

7

0

t-a a

a : 7

a = 7 a>7

&igura '(/ +epresentación gr#fica de la función 86t ± a9 ; u6t ± a9.


(t:a*

; a

1

(t;a*

?::a

1

1

?a 4 ?

(t;a*

t

t t?

a B ?a A ?


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*&*&%&)&c&' O#eració" de tra"s#osició" de la + "ció" escaló" "itario&

/a transposici&n de la funci&n escal&n unitario se efect+a reali8ando el cam)io de la %aria)le 0 t por la %aria)le 0 t !

=eg+n lo anterior aplicado a la definici&n de escal&n unitario tenemos:

8 t 8 t u t si t

si t T ( * ( * ( *= − = − =

− ≥− <

1 ?

? ? -Ec ació" )) .

Feali8ando las operaciones necesarias se llega finalmente a que la e presi&n para la funci&nescal&n unitario transpuesta es:

8 t 8 t u t si t

si t T ( * ( * ( *= − = − =

≤

>

1 ?

? ? -Ec ació" )* .

/a gr#fica de la funci&n escal&n unitario transpuesta se muestra en la figura " 1>!

@'t(

t7

0

&igura '(0 +epresentación gr#fica de la función 8 T 6 t 9 ; 86= t9 ; u6= t9.

*&*&)&' "ció" # lso recta"g lar&

< partir de la definici&n de la funci&n escal&n, es posi)le o)tener las ecuaciones de otras formasde ondas típicas de gran utilidad tam)i.n en el an#lisis de sistemas!/a funci&n pulso rectangular se puede conce)ir como aquella funci&n que asume dos %alores

perfectamente definidos! Inicialmente el pulso tiene una amplitud igual a cero para luego encierto tiempo t1 cam)iar a)ruptamente a un %alor m# imo 0< manteni.ndose en este hasta eltiempo t-! $e esta manera la duraci&n del pulso est# dado como t t- t1!

/o que anteriormente hemos dicho en pala)ras lo podemos representar matem#ticamenteha)lando, de la siguiente manera:

f t " u t a u t ( * ! 6 ( * ( *H= − − − -Ec ació" )5 .

donde a ≥ ? , ) ≥ ? y a B ) !/a duraci&n del pulso esta dada como:



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T ; = a -Ec ació" )1 .

y la amplitud es 0< !


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/a ecuacion 31 indica que la gr#fica de la figura "1 e perimenta un despla8amiento hacia laderecha al cam)iar 0t por 0t a ! =ituaci&n similar se presenta cuando se sustituye 0t por 0t ;a , solo que en esta ocasi&n la gr#fica se despla8a hacia la i8quierda!

1't(

t7

0

?

0't(

7

0

at

t

&'t(

a ?

t

0

7

&igura '(4 +epresentación gr#fica de la función pulso rectangular.

R 't(

t07

&igura '(5 +epresentación gr#fica de la función rampa.

/a gr#fica " 1 muestra la gr#fica despla8ada de la funci&n rampa!

"n#lisis de Sistemas 1@


18/38


t7 a

R 't-a(

t7-a

R 'tCa(

&igura '(7 +epresentación gr#fica de la función rampa desplazada.

*&*&*&)&' O#eració" de tra"s#osició" de la + "ció" ram#a&

El proceso de transposici&n de la funci&n rampa se produce al cam)iar 0t por 0 t en laecuaci&n (3?* o la ecuaci&n (31*! =i se considera la ecuaci&n de la rampa despla8ada se o)tiene:

+ t a < t a u t a< ( * !( *! ( *− − = − − − − -Ec ació" - *).

En la gr#fica " -? se muestra la funci&n rampa transpuesta!

t7 a

R 't-a(

-t 7-a

R '-tCa(

&igura '*2

+epresentación gr#fica de la función rampa transpuesta.

*&*&5&' "ció" im# lso "itario&

Esta funci&n tiene la propiedad mostrada por la siguiente integral:

f t t t dt

f t a t

en otro casoa( *! ( *!

( *δ − =

< <∫ ?

?

? -Ec ació" -**.

para cualquier f(t* continua en t t ? , con t ? finito!/a funci&n, seg+n la ecuaci&n (33*, selecciona o separa el %alor particular de f(t* para t t ?durante el proceso de integraci&n, por esta ra8&n, se designa a esta propiedad como propiedad demuestreo de la funci&n impulso!

eamos dos e emplos que facilitan la comprensi&n de este hecho!i* E%aluar la integral definida:



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e t dt t cos ( *!δ π −−∞

∞

∫

Solución : aplicando la ecuaci&n (33* y tomando t ? π , se tiene:

e t dt e et cos cos( *! !δ π π − = = =−−∞

∞

∫ 1 ?3>C

G)ser%e que se ha tomado: f(t* e cos t y se e%al+o en t ? π !

ii* E%aluar:

e 8 d8 8−∞

∫ -1

δ ( *!

Solución :


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&igura '*( :nterpretación gr#fica de la función impulso.

G)ser%ando la figura "-1 se puede calcular el #rea del pulso con )ase igual a 0 ε0 y altura 0higual a MDε o)teni.ndose como resultado el #rea igual a M, la cual se mantiene constante para lostres rect#ngulos!

=e o)ser%a que si la )ase 0ε0 disminuye la altura 0h aumenta mientras el #rea se mantieneconstante!

En el limite cuando 0 ε0 tiende a cero se tiene:

ε ε ε

ε

→ → −

= =∫ ? ? -

-

lim lim " f t dt < ( *!D

D

-Ec ació" *5.

ε ε

ε → →

= = ∞? ?

lim lim> < D -Ec ació" *1.

Con este procedimiento se ha podido demostrar como o)tener una funci&n, que tiene una alturainfinita, un ancho infinitesimal y un #rea finita!/a figura "-- muestra la representaci&n gr#fica de la funci&n impulso unitario!=e puede o)ser%ar que la funci&n impulso e iste en aquellos instantes en los cuales se anula suargumento! Con esta consideraci&n, si el argumento de la funci&n delta es una funci&n p(t*,entonces la funci&n delta e istir# en todos aquellos %alores en los cuales se anule p(t*!

δ't(

7

&igura '** +epresentación gr#fica de la función impulso.

"n#lisis de Sistemas -?

&'t(

t

eF1-eF1 e F1-e F1 e F1-e F1

Fe

Fe

Fe


21/38


/a funci&n impulso es facti)le de ser despla8ada en el e e hori8ontal, así como tam)i.n escaladaen magnitud, el procedimiento es similar al procedimiento ya descrito para las funcionesanteriores! /a figura " -3 muestra la funci&n impulso despla8ada y escalada en magnitud!

*&*&5&% !ro#iedades de la + "ció" im# lso&

a. !ro#iedad del m estreo&/a propiedad del muestreo est# e presada de la siguiente manera:

f t t T dt f T ( * ( *! ( *δ − =−∞∞∫ -Ec ació" *2.

7tili8ando la gr#fica de la figura " -4 podemos comprender me or el significado de la ecuaci&n(3>*!=ea la funci&n f(t* y considere el %alor que se o)tiene de la funci&n para el %alor de t O ( %er gr#fica 0a *! /a gr#fica )* muestra un impulso despla8ado hasta 0 O ! El impulso est# definido

como δ(t O* (despla8ado a t O* y el producto de una funci&n cualquiera continua en t O ymultiplicada por δ(t O* se reduce necesariamente a un impulso en t O, con una amplitud igual al%alor que tiene f(t* en t O o lo que es lo mismo f(O*!

t

δ 't( δ 't-δ 'tCa

-a a7 &igura '*,

+epresentación gr#fica de la función impulso escalada en amplitud y desplazada.

=e concluye que el producto de una funci&n continua en 0O multiplicada por una funci&nimpulso en 0 t O es igual a la funci&n f(t* e%aluada en el punto 0O , es decir f(O*!

$e acuerdo a lo anterior podemos reali8ar la siguiente consideraci&n:

f(t*!δ(t O* f(O*!δ(t O* -Ec ació" *7.

Lasados en esto, podemos retomar la ecuaci&n (3>* y reali8ar algunas manipulacionesmatem#ticas, para finalmente o)tener:

f t t T dt f T t T dt f T ( *! ( *! ( *! ( *! ( *δ δ − = − =−∞∞

−∞

∞ ∫ ∫ -Ec ació" *8.ya que:

"n#lisis de Sistemas -1


22/38


δ ( *!t T dt − =−∞∞∫ 1 -Ec ació" *9.

$. ;rea de la + "ció" im# lso& =i f(t* 1, entonces de la ecuaci&n (33* tenemos:

δ ( *!t t dt a

− =∫ ? 1, a B t? B ) -Ec ació" 50.$e la ecuaci&n (4?* se concluye que la funci&n impulso tiene un #rea unitaria, tal como se ha)íamencionado anteriormente! En consecuencia

t

t

t

&'t(

de#ta

prod $to

T

T

T

7

7

7

d't-T(

&'T( d't-T(

&'T(

a(

?(

$(

&igura '*- +epresentación gr#fica de la ecuación 6,79.

c. Am#lit d de la + "ció" im# lso&=eg+n la ecuaci&n (33* se tiene que:

δ ( t t? * ? para todo t ≠ t?

es decir los %alores de f(t* para t ≠ t? se hacen cero en el proceso de integraci&n!/a amplitud en el punto t ≠ t? queda indefinida y se denota por: ∞ !

d. Re#rese"tació" gr


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El #rea del impulso se designa con una cantidad entre par.ntesis unto a la flecha! Oam)i.n se puede hacer por medio de una escala en el e e %ertical!7na flecha hacia a)a o indica un #rea negati%a!

e. Escala de tiem#o de la + "ció" im# lso&


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f t a t t dt a

f a t

a a f t ( *! 6 ( *H! ! (

!* ! ( *δ − = − = −

−∞

∞

∫ ? ? ?1 1-Ec ació" 5*.

donde se ha considerado: f(t* f( Dt* y t? a!t

? seg+n la ecuaci&n (33*!

Com)inando los resultados de las ecuaciones (4-* y (43* se puede escri)ir:

f t a t t dt a

f t ( *! 6 ( *H! ! ( *δ − =−∞

∞

∫ ? ?1-Ec ació" 55.

En forma gr#fica, es necesaria la introducci&n de este factor de escala para mantener el #reaunitaria en la definici&n de la funci&n impulso!

eamos a continuaci&n un e emplo de aplicaci&n!

E%al+e la integral definidat e t t dt t - - - -! !cos ! ( ! ! *!sen−

−∞

∞−∫ δ π

!Solución@


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u t t si t t

si t t ( *− =

>


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*&*&1&' "ció" sig"o&/a funci&n signo se define de la siguiente manera:

sgn t

si t

si t

=≥

− <

1 ?

1 ? -Ec ació" 55.

$e la ecuaci&n anterior se puede concluir que la funci&n sgnt (t* est# constituida por dos ni%eles: 1 desde ∞ a cero y ;1 desde cero a ; ∞, o)ser%#ndose el salto a)rupto en cero!

/a figura " -9 muestra la gr#fica de la funci&n signo!

&'t(:+ nt

0

-

t

7

&igura '*/ +epresentación gr#fica función sgnt.

Oam)i.n se puede o)ser%ar que la funci&n signo se puede o)tener a partir de la funci&n escal&nunitario como:

sgnt -!u(t* 1 -Ec ació" 51.

En la figura " -> se muestra gr#ficamente como se puede o)tener la funci&n signo a partir de unafunci&n constante y una funci&n escal&n!/a amplitud de la funci&n escal&n es -, su ecuaci&n f1(t* -u(t*! /a otra funci&n es una funci&nconstante dada por f-(t* 1!=i se define:

f(t* f1(t* ; f-(t*

entonces tenemos:f(t* - u(t* 1

la cual coincide con la ecuaci&n (49*!

5&' !rod cto i"tegral o co"=ol ció" de se(ales&

/a operaci&n matem#tica conocida como con%oluci&n posee una alta clasificaci&n entre lasherramientas analíticas usadas por los ingenieros en comunicaciones! 2or una ra8&n, es un )uen

"n#lisis de Sistemas ->


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modelo de los procesos físicos que e isten en un sistema lineal' por otra parte, nos ayuda acomprender las relaciones entre los dominios del tiempo y de la frecuencia!

5&%&' De+i"ició" de #rod cto i"tegral o co"=ol ció"&

/a con%oluci&n de dos funciones de la misma %aria)le, digamos v6t9 y A6t9$ se define por

v t A t v 8 A t 8 d8( * P ( * ( *! ( *!= −−∞

∞

∫ -Ec ació" 52.

donde v6t9BA6t9 denota la operaci&n de con%oluci&n!

&0't(

&1't(

-

1

&'t(:+ nt

0

-

7

&igura '*0 O tención de la función sgnt a partir

de la función escalón y una función constante.

En la ecuaci&n (4>* se o)ser%a que la %aria)le independiente es t , así como en las funciones que%an a ser tratadas con este procedimiento' la integraci&n tam)i.n se lle%a a ca)o con respecto auna %aria)le muda ( la %aria)le 0 8 en la ecuaci&n (4>* * y t es una constante en cuanto a laintegraci&n se refiere!=i las dos funciones son continuas en el tiempo, el c#lculo de v6t9BA6t9 se determina con unaintegraci&n ordinaria de la ecuaci&n (4>*! =in em)argo, en muchas ocasiones la con%oluci&nin%olucra funciones continuas por tramos en cuyo caso, es m#s con%eniente operar con lacon%oluci&n en forma gr#fica! Este procedimiento se mostrar# m#s adelante!

5&)&' Le>es del #rod cto i"tegral o co"=ol ció"&5&)&a&' Le> co"m tati=a&=ean f ( 6t9 y f *6t9 dos funciones continuas o continuas por tramos, entonces se esta)lece que

f ( 6t9 B f *6t9 ; f *6t9 B f ( 6t9 -Ec ació" 57. "n#lisis de Sistemas -@


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5&)&$&' Le> asociati=a&/a ley asociati%a para la con%oluci&n esta)lece que

f ( 6t9 B f *6t9 B f , 6t9 ; f ( 6t9 B f *6t9 B f , 6t9 -Ec ació" 58.

5&)&c&' Le> distri$ ti=a&/a ley distri)uti%a para la con%oluci&n esta)lece que

f ( 6t9 B f *6t9 f , 6t9 ; f ( 6t9 B f *6t9 f ( 6t9 B f , 6t9 -Ec ació" 59.

< continuaci&n se mencionan algunos resultados importantes que in%olucran la con%oluci&n confunciones impulso!

!ro$lema:$emostrar que la con%oluci&n de una funci&n f(t* con una funci&n impulso unitario conduce a la

misma funci&n f(t*!Solución@=eg+n la definici&n de funci&n impulso se tiene:

f t t f 8 t 8 d8( * P ( * ( *! ( *!δ δ = −−∞

∞

∫ -Ec ació" 10.

=i a la ecuaci&n (9?* le aplicamos la ley conmutati%a de la ecuaci&n (4@* se tiene

f t t t f t 8 f t 8 d8 f t ( * P ( * ( * P ( * ( *! ( *! ( *δ δ δ = = − =−∞

∞

∫ -Ec ació" 1%.

donde se ha aplicado la propiedad de muestreo de la funci&n impulso!$el resultado de la ecuaci&n (91* se puede concluir que

f t t f t ( * P ( * ( *δ = -Ec ació" 1).

/a ecuaci&n (91* esta)lece que el producto integral de una funci&n continua f(t* con una funci&nimpulso es la misma funci&n f(t*!

!ro$lema:$emostrar que

f t t T f t T ( * P ( * ( *δ − = − -Ec ació" 1*.Solución@=eg+n la definici&n de con%oluci&n se tiene

f t t T t T f t 8 T f t 8 d8( * P ( * ( * P ( * ( *! ( *!δ δ δ − = − == − −−∞

∞

∫ -Ec ació" 15.

"n#lisis de Sistemas -


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=i a la ecuaci&n (94*, le aplicamos la propiedad del muestreo de la funci&n impulso, tenemos:

f t t T f t T ( * P ( * ( *δ − = − -Ec ació" 11.

!ro$lema: $emostrar que

f t t t t f t t t ( * P ( * ( *− − = − −1 - 1 -δ -Ec ació" 12.Solución@


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f t g t t e para t at ( * P ( * != >− ?

5&*&' !rod cto i"tegral de + "cio"es co" sol cio"es gr


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&'@(

'@(--1-2 0 1

0 1

A

B

&igura '*5 +epresentación gr#fica de la funciones f689 y g689

6cam io de la varia le FtG por F8G9

!"SO ',@$ado que una de las gr#ficas de)e ser despla8ada y la otra mantenerse fi a, esta)lecemos que lafunci&n a ser despla8ada es la g689. La o esta consideraci&n se halla la transpuesta de la funci&n

g689$ lo cual se o)tiene cam)iando F 8G por F = 8 G !En la gr#fica de la figura "- se muestra la funci&n transpuesta de g689 !

!"SO '-@$ar un despla8amiento gen.rico 0 t 0 a la funci&n g6=89$ con lo cual se o)tiene la funci&n g6t=89!/a representaci&n de la funci&n g6t=89 se muestra en la figura "3?! G)ser%e en la gr#fica de g(t

*, que se ha dado un despla8amiento 0t y se ha denotado el lado derecho del pulso rectangular con la letra 0 t y el i8quierdo como 0 t - !

&'@(

'-@(--1-2 0 1

--1-t

A

B

&igura '*7Hr#fica de la funciones f689 y g6=89

Esta letra representa la %aria)le 0t que tomar# distintos %alores entre ∞ y ; ∞!


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se solapen ( t A 3* el producto integral ser# diferente de cero mientras se mantenga dentro delrect#ngulo de la gr#fica de f( * (esto es, el producto integral ser# diferente de cero siempre que

&'@(

't-@(--1-2 0 1

--1

A

B

-1

&igura ',2 Desplazamiento de la gr#fica de la función g6t=89

halla solapamiento entre las dos gr#ficas* y hasta que el lado t - haya salido por el lado derechode la gr#fica de f( *! 7na %e8 que el lado denotado como t - de g(t * supera el lado derecho de lagr#fica de f( *, el producto integral se hace igual a cero!En los pasos sucesi%os se reali8a un an#lisis para cada uno de los inter%alos!

!"SO '/@ :ntervalo t3=,.Consideremos que la gr#fica de g(t * se encuentra u)icada seg+n la figura "31, esto es, para%alores de t B 3 ( o)ser%e que la %aria)le 0t est# asociada con el lado derecho de la gr#fica g(t

* y es la que nos permite hacer el estudio para los diferentes inter%alos*!

La o la consideraci&n anterior, el producto integral es cero, de)ido a que f( * %ale cero para t B3, esto se puede escri)ir:

p t f t g t f 8 g t 8 d81 ?( * ( * P ( * ( *! ( *!= = − =−∞

∞

∫ para t3=,

p t 1 ?( * = para t3=,

"n#lisis de Sistemas 3-


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&'@(

't-@(--1-2 0 1

--1

t

A

B

-1

-2

&igura ',(Hr#fica de la funciones f689 y g6t=89

para un desplazamiento de t3=,

!"SO '0@ :ntervalo =, ≤ t3=(.El an#lisis para este inter%alo es, seg+n se muestra en la figura " 3-! G)ser%e que ahora el %alor de 0t se encuentra definido como =, ≤ t 3 =(.El %alor de la con%oluci&n para este inter%alo es

p t f 8 g t 8 d8- ( * ( *! ( *!= −−∞

∞

∫ = =− −∫ " Id8 " I J t t

! ! !3 3

G)ser%e que los límites de la integral corresponden al #rea com+n para am)as gr#ficas de las

funciones!El %alor de la con%oluci&n para este inter%alo es:

p t " I t - 3( * ! !( *= + para =, ≤ t 3 =(.

!"SO '4@ :ntervalo =( ≤ t3*.Este inter%alo se pudo o)%iar si se considera)a todo el inter%alo en que se solapan las dosgr#ficas, es decir desde 3 hasta -, ya que en este inter%alo el rect#ngulo de la gr#fica de g6t=8* seencuentra dentro de la gr#fica de f689. =in em)argo, para facilitar la di%isi&n del tra)a o por inter%alos, fue considerado!En este caso la gr#fica de g6t=89 se despla8a con %alores de 0 t en =( ≤ t3*. En la figura " 33 semuestran las gr#ficas de f(t* y g(t *!



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&'@(

't-@(--1-2 0 1

--1

t

A

B

-1

-2

&igura ',*Hr#fica de la funciones f689 y g6t=89

para un desplazamiento de =, ≤ t 3=(

El c#lculo de la con%oluci&n est# dado por:

p t " Id8 " I 8t

" I t t " It

t

t 3

- -

- -( * ! ! ! ! !( * ! != = = − + =− −

∫ p , 6t9 ; *.".I para =, ≤ t 3 =(.

&'@(

't-@(--1-2 0 1

--1

A

B

-1

-2

&igura ',,Hr#fica de la funciones f689 y g6t=89

para un desplazamiento de =( ≤ t 3*

!"SO '5@ :ntervalo * ≤ t 3 -.2ara este inter%alo el lado derecho de la gr#fica de g(t * est# a la derecha del rect#ngulo de lagr#fica de f( *, es decir el rect#ngulo de g(t * %a saliendo del rect#ngulo de f( *!Esta situaci&n se muestra en la figura " 34!



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p t " Id8 " I 8 " I t " I t t

t 4-

-

-

-- - 4( * ! ! ! ! !( * ! !( *= = = − + = −

− −

∫

p - 6t9 ; ".I.6-=t9 para * ≤ t 3 -

&'@(

't-@(--1-2 0 1

--1

A

B

-1

-2

&igura ',-Hr#fica de la funciones f689 y g6t=89

para un desplazamiento de * ≤ t 3 -

!"SO '7@ :ntervalo t ≥ -.2ara este inter%alo el lado i8quierdo de la gr#fica de g(t * est# a la derecha del rect#ngulo de lagr#fica de f( *, es decir el rect#ngulo de g(t * ha salido totalmente del rect#ngulo de f( *! Ra quelas gr#ficas no se solapan, el producto integral o con%oluci&n es igual a cero!

Esta situaci&n se muestra en la figura " 39!

p - 6t9 ; 2 para t ? -

!"SO '7@/a soluci&n total del pro)lema se halla por medio de la suma de todos los productos integrales

parciales encontrados para cada uno de los inter%alos! Considerando esto, la soluci&n est# dada por:

#%-t. / 0 t ? '* #)-t. / A&@&- t * . '* t '%

#*-t. / )&A&@ '% t ) #5-t. / A&@&- 5 ' t . ) t 5 #1-t. / 0 t B 5



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&'@(

't-@(--1-2 0 1

--1

A

B

-1

-2

&igura ',/Hr#fica de la funciones f689 y g6t=89 para un desplazamiento de t ? -.

$e)e o)ser%arse que los resultados son funciones de la %aria)le 0t , lo cual permite graficar en eltiempo el resultado de la con%oluci&n de las gr#ficas de f(t* y g(t*!/a gr#fica de todos estos productos parciales se muestra en la figura " 3>!

0 1 2 3 4--1-2-3

p't(

t

1AB

&igura ',0 Hr#fica de la función p6t9

E ercicio propuesto: hallar la con%oluci&n de la funciones f1(t* y f-(t* cuyas gr#ficas se muestranen la figura "3@!

0 1 2 3 4 0 1 2

13

&0't( &1't(

&igura ',4 Hr#ficas de las funciones f(6t9 y f*6t9

correspondientes al e ercicio propuesto

"n#lisis de Sistemas 3>


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1&' A"?*

"n#lisis de Sistemas 3@

&'t(

) t

Vm

-Vm

T


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f T

f t dt mT

= ∫ 1 ! ( *!-Ec ació" 20.

El %alor medio de una señal alterna (sin ni%el $C*, es la media aritm.tica de todos los %aloresinstant#neos comprendidos en un determinado inter%alo' por lo tanto, el %alor medio de un

periodo completo es cero, ya que la señal en el semiperíodo positi%o es id.ntica en el semiperíodonegati%o pero de signo opuesto! /a situaci&n es totalmente contraria si la señal no es alterna, esdecir posee un despla8amiento respecto al e e hori8ontal!

1&*&' alor e+ica6 de "a se(al&El %alor efica8 de una señal se puede determinar de la siguiente manera:

f T

f t dt ef T

= ∫ 1 -! 6 ( *H !-Ec ació" 2%.

El %alor o)tenido de la ecuaci&n (>1* tam)i.n se denota como raí8 cuadr#tica media (FJ=*!El %alor efica8 de una señal alterna senoidal, se define como el equi%alente al de una señalconstante, cuando aplicadas am)as señales a una misma resistencia durante un periodo igual detiempo desarrollan la misma cantidad de calor!

curso niv tema1 1 senales y sistemas

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