repaso de modelos, senales˜ y sistemas -...

Repaso de Modelos, Senales y Sistemas

Notas basadas principalmenteen Goodwin et˜al. [2001]

Virginia Mazzone

INGENIERIA EN AUTOMATIZACION Y CONTROL INDUSTRIALhttp://iaci.unq.edu.arAv. Calchaqui 5800, Fcio. VarelaBuenos Aires, Argentina

Indice general

1. Modelos Matematicos en Control 21.1. El por que de los modelos matematicos en control . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Complejidad de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Construccion de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Modelos en Espacio de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. Caso General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. Espacio de Estado Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7. Tipos de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8. Ejemplos de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Senales y Sistemas de Tiempo Continuo 152.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Funciones transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Funcion transferencia y ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3. Funcion de transferencia de sistemas con retardo . . . . . . . . . . . . 162.1.4. Modelo del retardo temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.5. Estabilidad de funciones transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1. Funcion transferencia a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2. Reduccion de un diagrama en bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Respuesta al impulso y al escalon de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Polos, Ceros y Respuesta Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.2. Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5. Respuesta en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.1. Respuesta en Regimen Permanente a una Entrada Sinusoidal . . . . . 322.5.2. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.3. Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1

Capıtulo 1

Modelos Matematicos en Control

El diseno de un sistema de control tıpicamente requiere un delicado balance entre li-mitaciones fundamentales y soluciones de compromiso. Para poder lograr este balance, esnecesario tener una comprension cabal del proceso en cuestion.

Esta comprension usualmente se captura en un modelo matematico. Teniendo un mode-lo, es posible predecir el impacto de distintos disenos posibles sin comprometer al sistemareal.

En este capıtulo vamos a discutir brevemente como

elegir el nivel adecuado de complejidad de un modelo;

obtener modelos de una planta dada (repaso de PMAQ 1 y PMAQ2);

linealizar modelos no lineales;

obtener experimentalmente modelos elementales.

No discutiremos en detalle como obtener modelos matematicos en forma analıtica. Laderivacion de modelos matematicos es una disciplina compleja en sı misma, elementos dela cual se estudian, por ejemplo, en Procesos y Maquinas Industriales I y II.

1.1. El por que de los modelos matematicos en control

Para muchos problemas es posible encontrar un controlador adecuado simplemente me-diante prueba y error. Sin embargo, en muchos casos el enfoque de prueba y error no esfactible, debido a complejidad, eficiencia, costo, o aun seguridad.

En particular, es imposible mediante prueba y error responder a cuestiones como lassiguientes antes de hacer pruebas:

Dada una planta y un objetivo deseado de operacion, ¿que controlador puede alcan-zarlo? ¿Se puede alcanzar el objetivo propuesto con algun controlador?

Dados un controlador y una planta, ¿como operaran en lazo cerrado?

¿Por que un lazo dado opera de la forma que lo hace? ¿Puede mejorarse? ¿Con que con-trolador?

¿Como cambiarıa la operacion si se cambiaran los parametros del sistema, o si las per-turbaciones fueran mayores, o si fallara algun sensor?

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Para responder sistematicamente a estas cuestiones necesitamos modelos matematicos.Los modelos matematicos nos brindan los medios de capturar el comportamiento de

un sistema sujeto a condiciones iniciales, entradas de control y perturbaciones mediante unconjunto de ecuaciones matematicas.

La importancia de los modelos matematicos radica en que pueden sersimulados en situaciones hipoteticas,

ensayados en estados que serıan peligrosos en el sistema real, y

usados como base para sintetizar controladores.

1.2. Complejidad de modelos

Al construir un modelo es importante tener en cuenta que todo proceso real es complejo,por lo que cualquier intento de construir una descripcion exacta de la planta es usualmenteuna meta imposible de alcanzar.

Afortunadamente, la realimentacion usualmente nos permite tener exito aun con mode-los muy simples, siempre y cuando estos capturen las caracterısticas esenciales del proble-ma.

Es importante destacar que los modelos empleados para control usualmente difieren delos utilizados, por ejemplo, para diseno del proceso.

Los sistemas reales pueden ser arbitrariamente complejos, por lo que todo modelo de-bera ser necesariamente una descripcion aproximada del proceso. Introducimos tres defini-ciones para clarificar este enunciado.

Modelo nominal. Es una descripcion aproximada de la planta que se usa para el diseno decontrol.

Modelo de calibracion. Es una descripcion mas exhaustiva de la planta. Incluye caracterısti-cas no usadas en el diseno de control pero que tienen directa influencia en el desem-peno alcanzado.

Error de modelo. Es la diferencia entre el modelo nominal y el modelo de calibracion. Losdetalles de este error podrıan ser desconocidos, pero podrıan disponerse de cotas apro-ximadas.

1.3. Construccion de modelos

Dos enfoques diferenciados para la construccion de modelos:

Experimental. Se basa en pensar al sistema como una caja negra. En este enfoque se postulauna determinada estructura de modelo, a la que que se varıan los parametros, bien vıaprueba y error, o bien vıa algun algoritmo, hasta que la el comportamiento dinamicodel modelo se ajusta al observado en la planta mediante ensayos.

Analıtico. Se basa en el uso de leyes fısicas (conservacion de masa, energıa y momento).El modelo se obtiene a partir de las leyes fenomenologicas basicas que determinan lasrelaciones entre todas las senales del sistema.

En la practica es comun combinar ambos enfoques.


Ejemplo 1.3.1. Consideremos un tanque cilındrico de area A que descarga a traves de un ori-ficio en el fondo. Los principios fısicos indican que el flujo de descarga q2 puede modelarserazonablemente como q2(t) = K

√h(t), donde h es el nivel de lıquido en el tanque y K una

constante a determinar, por ejemplo, usando principios fısicos.

Figura de Dorf & Bishop (2000).

Por ejemplo, se mide h(t) cada T segundos,donde T se elige tal que la variacion |h(t) −h(t − T)| sea pequena. Ası, q2(t) ≈ |h(t) −h(t− T)|A/T, y K podrıa estimarse haciendouna regresion lineal de q2(t) sobre

√h(t) para

distintos valores de t.Vemos en este ejemplo como el modelo final combina conocimiento fısico con mediciones

experimentales.

Los modelos relevantes en control son a menudo bastante simples encomparacion al proceso verdadero, y usualmente combinan razonamien-to fısico con datos experimentales.

Otra consideracion de relevancia practica es la inclusion del actuador en el proceso demodelado. Los actuadores son, en general, bastante alineales, y usualmente tienen su propiadinamica que, a veces, puede hasta dominar otras caracterısticas del proceso (como suelepasar con valvulas, actuadores hidraulicos, rectificadores controlados)

Ası, de aquı en mas, cuando nos refiramos al modelo de la planta, entenderemos que estemodelo tambien incluye los actuadores, cuando sea necesario.

1.4. Modelos en Espacio de Estado

Una herramienta muy utilizada para modelar plantas es la descripcion en variables de es-tado. Las variables de estados forman un conjunto de variables internas, tal que si se conocenestas variables en algun momento, cualquier salida de la planta y(t) se puede calcular paratodo tiempo futuro, como funcion de las variables de estado y valores presentes y futurosde la entrada

1.4.1. Caso General

Si expresamos el vector de variables de estado elegido x, la forma general de un modeloen espacio de estado viene dado por

Para sistemas de tiempo continuo

dxdt

= f (x(t), u(t), t)

y(t) = g(x(t), U(t), t)

Para sistemas de tiempo discretos

x[k + 1] = fd(x[k], u[k], k)y[k] = gd(x[k], u[k], k)


Dado que la descripcion en espacio de estado es una ecuacion diferencial vectorial de primerorden, facilita la solucion numerica a varios problemas de control.

1.4.2. Espacio de Estado Lineal

Decimos que un sistema es lineal si cumple con el principio de superposicion. Lo queimplica que dadas dos condiciones iniciales x01 y x02 produce respuestas h01(t) y h02(t)respectivamente con entrada nula, y con entradas u1(t) y u2(t) produce h11(t) y h12(t) res-pectivamente, con condiciones iniciales nulas. Entonces la respuesta a entrada u1(t) + u2(t)con condiciones iniciales x01 + x02 es h01(t) + h02(t) + h11(t) + h12(t).

Decimos que un sistema es invariante en el tiempo si la respuesta a una entrada corridaen el tiempo es simplemente la respuesta original corrida en el tiempo, es decir, si una en-trada u1(t) produce una respuesta g1(t), luego una entrada u2(t) = u1(t + τ) produce unarespuesta g2(t) = g1(t + τ).

Para el caso lineal e invariante en el tiempo, el espacio de estado viene dado por

dx(t)dt

= Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)(1.1)

donde A, B, C y D son matrices de dimension apropiada.Veamos un ejemplo de construccion del espacio de estado para un cicuito electrico.

Ejemplo 1.4.1. Consideremos el circuito electrico de la Figura 1.1, y modelemos la tensionv(t).

+R1

CL

i(t)

v f (t) R2 v(t)

Figura 1.1: Circuito electrico

Aplicando mayas y Kirchoff obtenemos las ecuaciones

v(t) = Ldi(t)

dtv f (t)− v(t)

R1= i(t) + C

dv(t)dt

+v(t)R2

que reordenando resulta

di(t)dt

=1L

i(t)

dv(t)dt

= − 1C

i(t) +(

1R1C

+1

r2C

)(t) +

1R1C

v f (t)(1.2)

Las Ecuaciones (1.2) tienen la misma forma que las Ecuaciones (1.1) si elegimos comovariables de estado x1(t) = i(t) y x2(t) = v(t), es decir el vector de estado resulta x(t) =[x1(t) x2(t)

]T y la salida y = v(t) = x2(t). Si expresamos (1.2) en forma matricial tenemos

A =

[0 1

L− 1

C −(

1R1C + 1

R2C

)]; B =

[01

R1C

]; C =

[0 1

]; D = 0


1.5. Linealizacion

Aunque casi todo sistema real tiene caracterısticas no lineales, muchos sistemas puedendescribirse razonablemente por modelos lineales — al menos dentro de ciertos rangos deoperacion.

Como normalmente un sistema de control opera en las cercanıas de un equilibrio, sehace una linealizacion alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, muchomas simple, pero adecuado para el diseno de control.

Para un mismo sistema no lineal, la linealizacion alrededor de distintos puntos de equi-librio dara, en general, distintos modelos linealizados.

Consideramos la linealizacion del modelo general en ecuaciones de estado

x(t) = f(x(t), u(t)

)y(t) = g

(x(t), u(t)

) (1.3)

alrededor de un punto de equilibrio, o punto de operacion.Un punto de equilibrio esta definido por un triplo de valores constantes (x∗, u∗, y∗) que

satisfacen (2.3), es decir que

0 = f(x∗, u∗

)y∗ = g

(x∗, u∗

).

Vamos a considerar la linealizacion del sistema alrededor de un punto de equilibrio (alter-nativamente, tambien podrıa ser alrededor de una trayectoria).

Si las funciones f y g son suficientemente regulares, las ecuaciones (1.3) pueden aproxi-marse por

x(t) ≈ f (x∗, u∗) +∂ f∂x

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∆x(t) +∂ f∂u

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∆u(t),

y(t) ≈ g(x∗, u∗) +∂g∂x

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∆x(t) +∂g∂u

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∆u(t),(1.4)

donde ∆x(t) .= x(t)− x∗ y ∆u(t) .= u(t)− u∗.Como f (x∗, u∗) = 0 = x∗ y g(x∗, u∗) = y∗, de (1.4) obtenemos finalmente el sistema

(incremental) linealizado

∆x(t) = A ∆x + B ∆u∆y = C ∆x + D ∆u.

(1.5)

Si las variables x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rp, entonces A, B, C, D son matrices — las matricesJacobianas de f y g evaluadas en el punto de operacion, es decir,

A .=∂ f∂x

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∈ Rn×n, B .=∂ f∂u

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∈ Rn×m, C .=∂g∂x

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∈ Rp×n, D .=∂g∂u

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∈ Rp×m.

(1.6)

Si las variables x, u, e y son escalares (o sea, ∈ R), en-tonces A, B, C y D son tambien escalares y representanlas pendientes de las superficies f y g en el punto deoperacion.


Ejemplo 1.5.1. Levitador magnetico. La figura muestra el esquema de un sistema de sus-pension magnetica, en el que una bola de material ferromagnetico de masa m se “levita”mediante un electroiman controlado por fuente de corriente. donde g es la aceleracion de la

El movimiento de la bola se puede aproximar por laecuacion diferencial no lineal

y(t)− g +L0a

2m(a + y(t))2 [i(t)]2 = 0, (1.7)

gravedad, y(t) es la posicion de la bola, e i(t) la corriente de excitacion del electroiman. Losparametros L0 y a son constantes positivas.

Deseamos obtener un modelo incremental linealizado alrededor de un punto de equili-brio definido por la corriente i(t) = i∗.

Punto de equilibrio. En el punto de equilibrio inducido por la corriente constante i(t) = i∗,necesariamente y(t) = constante, es decir, y(t) = 0 = y(t). Ası, de (1.8.2) obtenemos

0 =L0a

2m(a + y∗)2 [i∗]2 − g ⇒ y∗ =

√L0a2mg

i∗ − a.

Ecuaciones de estado NL. Definiendo las variables de estado x1.= y, x2

.= y, y la entradau .= i, obtenemos de (1.8.2) las ecuaciones de estado en la forma (2.3),

[x1(t)x2(t)

]=

x2(t)

g− L0a2m(a + x1(t))2 [u(t)]2

=[

f1(x2(t))f2(x1(t), u(t))

]y(t) = x1(t) = g(x1(t)).

(1.8)

Jacobianos y modelo linealizado.

∂ f∂x

=

∂ f1∂x1

∂ f2∂x2

∂ f2∂x1

∂ f2∂x2

=

0 1L0au2

m(a + x1)3 0

,∂g∂x

=[

∂g∂x1

∂g∂x2

]=

[1 0

]∂ f∂u

=

∂ f1∂u∂ f2∂u

=

0

− L0aum(a + x1)2

,∂g∂u

= 0

Con los valores numericos L0 = 0,01H, a = 0,05m, m = 0,01kg, g = 9,81m/s2, y i∗ = 2A,obtenemos y∗ = 0,050963. Con x1 = y∗ y u = i∗ en (1.22), obtenemos el modelo incrementallineal

∆x =[

0 1194,327 0

]∆x +

[0

−9,81

]∆u

∆y(t) =[1 0

]∆x.


1.6. Escalamiento

Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena seleccion delos factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo 1 .

Un buen escalamiento hara los calculos mas simples y mas precisos y disminuira enor-memente los problemas de simulacion en computador.Ejemplo 1.6.1. Volvamos al ejemplo anterior para ilustrar el procedimiento en concreto. Lasecuaciones del sistema incremental lineal obtenido pueden escribirse de la forma

∆x1 = ∆x2

∆x2 = 194,327∆x1 − 9,81∆u.(1.9)

Para este sistema tan simple las magnitudes de los parametros no estan tan mal, peroaun ası es bueno en la practica tratar de tener constantes entre 0,1 y 100, o entre 0,1 y 10 sies posible, mediante una cuidadosa seleccion de escala, es decir las unidades en que medirlas variables.

Definamos las variables normalizadas

z1 =∆x1

x01, z2 =

∆x2

x02, v =

∆uu0

, τ = ω0t. (1.10)

El escalamiento de tiempo cambia la diferenciacion:

d∆xdt

=d∆x

d(τ/ω0)= ω0

d∆xdτ

.

Este escalamiento en ∆x1 y ∆x2 y el uso de (1.16) en (1.23) da

(ω0x01)dz1

dτ= x02 z2

(ω0x02)dz2

dτ= (194,327x01) z1 − (9,8u0)v,

o sea,

dz1

dτ=

x02

ω0x01z2

dz2

dτ=

194,327x01

ω0x02z1 −

9,8u0

ω0x02v.

Si tomamos la posicion en cm, resulta x01 = 0,01; la velocidad en dm/s da x02 = 0,1. Ası, sielegimos ω0 = 10, tenemos

dz1

dτ= z2

dz2

dτ= 1,94327 z1 − (9,81u0)v.

Finalmente, tomando u0 = 1/9,81 = 0,102, llegamos al sistema normalizado

dz1

dτ= z2

dz2

dτ= 1,94327 z1 − v,

que es un modelo con parametros bastante mejor escalados que el original. Mucho mejor pa-ra manipulacion y simulacion digital. Cualitativamente, ambos modelos son equivalentes.

1Ver §2.6 en Franklin et˜al. [1991]


1.7. Tipos de modelos

Atributo Atributo antagonico Determina si. . .SISO MIMO . . . las ecuaciones del modelo tienen una

entrada y una salida.Lineal No lineal . . . las ecuaciones del modelo son linea-

les en las variables del sistema.Invariante en el tiempo Variante en el tiempo . . . los parametros del modelo son cons-

tantes.Continuo Discreto . . . las ecuaciones del modelo describen

su comportamiento en cada instante detiempo, o solo en muestras discretas.

Entrada-salida Espacio de estados . . . las ecuaciones dependen solo de lasentradas y las salidas, o tambien de va-riables de estado.

1.8. Ejemplos de modelos

Los ejemplos que presentamos a continuacion fueron obtenidos de los ejemplos de unode los Tutoriales de Control para MATLAB de la Carnagie Mellon University (http://www.engin.umich.edu/group/ctm/). Antes de estudiar dichos modelos, repasemos las si-guientes definiciones:

Un modelo matematico de un sistema dinamico se define como un conjunto de ecua-ciones que representan la dinamica del sistema con precision o, al menos, bastantebien.

La funcion transferencia de un sistema descrito mediante una ecuacion diferencial li-neal e invariante en el tiempo (LTI) se define como el cociente-entre la transformadade Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada bajo la suposicionde que todas las condiciones iniciales son nulas.

Ejemplo 1.8.1. La Figura 1.2 muestra un carro con un pendulo invertido, impulsado por unafuerza F. Determinar las ecuaciones dinamicas del movimiento, y linealizar alrededor delangulo del pendulo, θ = 0 (en otras palabras supongamos que el pendulo no se mueve masque algunos grados de la vertical).

x

θm, I

F m

Figura 1.2: Pendulo invertido

Si calculamos la sumatoria de las fuerzas en el diagrama de cuerpos libres, Figura 1.3,del carro en la direccion horizontal, obtenemos la siguiente ecuacion de movimiento:


Mx + bx + N = F (1.11)

m, I

F

P

θ

xx

N

P

Iθx

mgN

bx

Iθ2

lm

Figura 1.3: Diagrama de los dos cuerpos libres del sistema

Si ahora calculamos la sumatoria de las fuerzas del pendulo del diagrama de cuerposlibres en la direccion horizontal, obtenemos una ecuacion para N

N = mx + mlθ cosθ−mlθ2 sinθ (1.12)

Si sustituimos (1.22) en la ecuacion (1.21), obtenemos la primer ecuacion de este sistema

(M + m)x + bx + mlθ cosθ−mlθ2 sinθ = F (1.13)

Para obtener la segunda ecuacion de movimiento, sumemos las fuerzas perpendicularesal pendulo. Resolviendo el sistema a lo largo de este eje obtenemos la siguiente ecuacion

P sinθ + N cosθ−mg sinθ = mlθ + mx cosθ (1.14)

Para deshacernos de los terminos P y N de (1.8.2), sumemos los momentos alrededor delcentro del pendulo para obtener

−Pl sinθ− Nl cosθ = Iθ (1.15)

Combinando (1.8.2) y (1.23), obtenemos la segunda ecuacion dinamica

(I + ml2)θ + mgl sinθ = −mlx cosθ (1.16)

Ahora linealicemos las ecuaciones (1.8.2) y (1.16) alrededor de θ = π . Si suponemos queel pendulo se mueve unos pocos grados alrededor de π , podemos aproximar cosθ = −1,sinθ ' −θ y θ2 ' 0. Por lo que las dos ecuaciones linealizadas son

mlx =(I + ml2)θ−mglθ (1.17)

F =(M + m)x + bx + mlθ (1.18)

Ejemplo 1.8.2. Nuestro objetivo es mostrar como resolvemos un problema de linealizacion al-rededor de un punto de operacion cualquiera. Para ello utilizaremos un ejemplo de tanquesinterconectados como se muestra en la Figura 1.4

Planteamos las ecuaciones de conservacion de masa. Suponiendo que el area A de lostanques es constante, y la misma en ambos tanques, tenemos que

dh1(t)dt

=1A

(qi − q12) ydh2(t)

dt=

1A

(q12 − qo) (1.19)


h1

fi

fe

bomba2

bomba 1

h2

f12

Figura 1.4: Tanques interconectados

donde qi es el caudal de entrada al primer tanque, q12 el caudal entre tanques, y qo el caudalde salida del segundo tanque. Las alturas de nivel de lıquido en los tanques son h1 y h2.

El flujo q12 entre los dos tachos puede ser aproximado por la velocidad del caudal encaıda libre de la diferencia de altura entre los tanques por el area de seccion. Ası,

q12 = As

√2g(h1(t)− h2(t)) = k

√h1(t)− h2(t) y qo = k

√h2(t), (1.20)

donde k = As√

2g.Por lo que si reemplazamos (2.4) en (2.3), obtenemos las siguientes ecuaciones de estados

[h1h2

]=

1A

(qi − k

√h1(t)− h2(t)

)1A

(k√

h1(t)− h2(t)− k√

h2

) =[

F1(h, qi)F2(h, qi)

]= F(h, qi) (1.21)

Fijando el caudal de entrada en el valor constante qi = Q y resolviendo las ecuacionesalgebraicas que surgen de (1.21) con h = 0, obtenemos el punto de equilibrio h

h1 = 2h2 y h2 =(

Qk

)2

⇒ h1 = 2(

Qk

)2

. (1.22)

Ahora linealizaremos el sistema (1.21) alrededor de (1.22); para ello calculamos los Jaco-bianos correspondientes vistos en la clase teorica.

A =∂F∂h

∣∣∣∣∣ h=hqi=Q

=

[− k

2A√

h1−h2

k2A√

h1−h2k

2A√

h1−h2− k

2A√

h1−h2− k

2A√

h2

] ∣∣∣∣∣ h=hqi=Q

=

[− k2

2AQk2

2AQk2

2AQ − k2

AQ

]

B =∂F∂qi

∣∣∣∣∣ h=hqi=Q

=[ 1

A0

]Entonces el sistema linealizado resulta[

h1δ

h2δ

]=

[− k2

2AQk2

2AQk2

2AQ − k2

AQ

] [h1δ

h2δ

]+

[ 1A0

]qiδ (1.23)

donde las variables h1δ, h2δ y qiδ representan valores incrementales alrededor de los valoresde equilibrio h1, h2 yQ.


j-

-?

-

-

-

-

Sist. Lineal

Sist.No Lineal

ComparacionQ

qiδ

Q + qiδ

Sist.No Lineal

Figura 1.5: Diagrama de bloques del sistema simulado para comparar los resultados

Simulacion

El sistema linealizado que obtuvimos en (1.23) es un modelo aproximado que describe ladinamica del sistema original en un entorno del punto de operacion (1.22). Para compararla aproximacion dada por el modelo linealizado con el modelo no lineal, simulamos juntosambos sistemas en el esquema que se muestra en el diagrama de bloques de la Figura 2.2.

Para simular el sistema linealizado (1.23) en SIMULINK usamos el diagrama de la Figura1.6 tomando A = 10, As = 1, g = 9,8 y Q = 2. La dinamica de los estados h1δ y h2δ

la podemos ver en la Figura 1.8 cuando la entrada es un valor constante de perturbacion,qiδ = 0,5.

Step

Scope

s

1

s

1

−K−

Gain2

1/A

Gain1

−K−

Gain

2

Figura 1.6: Representacion en SIMULINK del sistema linealizado

Podemos, tambien representar en SIMULINK el sistema no lineal, Figura 1.7, donde Fcnes la ecuacion matematica expresada en la ecuacion (1.21) como F1(h, qi) y Fcn1 comoF2(h, qi).

La dinamica de los estados que resulta de dicha simulacion la observamos en la Figura1.9.

La comparacion entre la aproximacion y los estados reales, la observamos en la Figura1.10. Podemos observar una pequena desviacion de los estados que aproximamos con res-pecto a los reales, esto se debe a que el sistema lineal es una buena aproximacion en unentorno del punto de operacion. Si tomamos valores de qiδ menores, la aproximacion esmejor. Siempre que utilicemos modelos linealizados debemos tener en cuenta que no pode-mos alejarnos del punto de operacion ya que si ası fuera, el sistema linealizado no estarıadescribiendo nuestro sistema original.


Scope1

s

1

s

1

f(u)

Fcn1

f(u)

FcnF+0.5

Constant3

Figura 1.7: Representacion en SIMULINK del sistema no lineal

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Tiempo

h1(t)h2(t)

Figura 1.8: Estados linealizados

0 5 10 15 20 25 300.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo

h1(t)h2(t)

Figura 1.9: Estados no lineales


0 5 10 15 20 25 300.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo

h1(t) realh2(t) realh1(t) h2(t)

Figura 1.10: Comparacion entre los estados aproximados y los reales

Linealizacion numerica con SIMULINK

Ya vimos los calculos que tenemos que hacer cuando tenemos un sistema no lineal paralinealizarlo alrededor del punto de operacion. SIMULINK cuenta con una herramienta quepermite obtener modelos lineales en forma numerica. Para ello tenemos que implementar eldiagrama de la Figura 1.7, indicando como condiciones iniciales de los bloques integradoresel punto de operacion previamente calculado. Luego seguir los siguientes pasos:

1. Del menu tools de la ventana de SIMULINK con el modelo, seleccionar el submenu LinearAnalysis; se desplegaran dos nuevas ventanas: LTIViewer y Model Inputs and Outputs.

2. De la ventana Model Inputs and Outputs tomar con el mouse la flecha InputPoint y arrastrarlo hasta la entrada del sistema no lineal. Hacer lo mismo con OutputPoint, pero arrastrarlo hasta la salida.

3. De la ventana LTIViewer, seleccionar el menu Simulink y el submenu Get LinearizedModel. Luego de unos segundos aparecera en esta ventana la respuesta al escalon delsistema (ya linealizado).

4. De la misma ventana, seleccionar el menu File y el submenu Export. De la ventanaque se despliega elegir la opcion Export to Workspace para visualizar el valor delas matrices que resultaron de la linealizacion.

5. De la ventana Workspace tipear el nombre con el que exportaron el modelo lineal(en general toma el nombre del archivo de SIMULINK y le agrega ” 1”). Si por algunmotivo no se sabe el nombre de dicha variable, tipear ”who” para conocer todas lasvariables que se encuentran definidas.

De esta forma obtenemos las matrices A, B, C y D del sistema linealizado alrededor delpunto de operacion definido por las condiciones iniciales del sistema no lineal.

Capıtulo 2

Senales y Sistemas de Tiempo Continuo

Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo Los sistemas que vamos a conside-rar estan descriptos por modelos lineales, estacionarios, en tiempo continuo. Estos puedensiempre representarse por una ecuacion diferencial ordinaria de la forma

dny(t)dtn + an−1

dn−1y(t)dtn−1 + · · ·+ a0y(t) = bm

dmu(t)dtm + · · ·+ b0u(t). (2.1)

2.1. Transformada de Laplace

Para una senal en tiempo continuo y(t) definida para t ∈ [0, ∞), se define la transforma-da de Laplace

L{y(t)} = Y(s) =∫ ∞

0−e−sτ y(τ) dτ .

Una propiedad muy util de la transformada de Laplace es la de la transformada de laderivada de una funcion,

L{y(t)} = sY(s)− y(0−).

2.1.1. Funciones transferencia

Asumiendo condiciones iniciales nulas — y(0−) = 0, y(0−) = 0, . . . — si aplicamos latransformada de Laplace a la ecuacion diferencial (2.10) la convertimos en la algebraica

snY(s) + an−1sn−1Y(s) + · · ·+ a0Y(s) = bmsmU(s) + · · ·+ b0U(s),

que puede expresarse alternativamente como

Y(s) = G(s)U(s), donde G(s) =N(s)D(s)

, y donde

N(s) = bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0, D(s) = sn + an−1sn−1 + · · ·+ a0.

La funcion G(s) es la funcion transferencia del sistema. Es un modelo entrada-salida.Algunas definiciones pertinentes a funciones transferencia:

Ceros del sistema: son las raıces de N(s) = 0.

Polos del sistema: son las raıces de D(s) = 0.

Grado relativo: es la diferencia en grados n−m entre numerador y denominador.


Funcion transferencia propia: si m ≤ n.

Funcion transferencia estrictamente propia: si m < n.

Funcion transferencia bipropia: si m = n.

Funcion transferencia impropia: si m > n.

2.1.2. Funcion transferencia y ecuaciones de estado

Dadas las ecuaciones de estado

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t),

(2.2)

si les aplicamos L{◦} obtenemos las ecuaciones algebraicas

sX(s)− x(0−) = AX(s) + BU(s)Y(s) = CX(s) + DU(s),

de donde X(s) = (sI − A)−1x(0−) + (sI − A)−1BU(s)

Y(s) = [C(sI − A)−1B + D]U(s) + C(sI − A)−1x(0−).

Ası, G(s) = C(sI − A)−1B + D es la funcion transferencia del sistema (2.2).

2.1.3. Funcion de transferencia de sistemas con retardo

En general, vamos a considerar funciones transferencia racionales y propias, que corres-ponden a sistemas lineales, estacionarios y de dimension finita (orden finito).

Una excepcion de gran importancia en la practica es el caso de sistemas con retardo entreentrada y salida. Estrictamente, estos sistemas tienen dimension infinita. Sin embargo, surepresentacion mediante funcion transferencia es aun tratable, aunque deja de ser racional.

La funcion transferencia de un retardo de T segundos es de la forma

G(s) = e−sT ⇔ y(t) = u(t− T).

Ejemplo: Sistema intercambiador de calor. Un ejemplo simple de un sistema con retardoes el intercambiador de calor de la figura.

La funcion tranferencia entre laentrada (tension aplicada al ele-mento calefactor) y la salida(temperatura sensada) es apro-ximadamente de la forma

G(s) =Ke−sT

(τs + 1).

Notar que K, T y τ dependen de la velocidad del ventilador, que puede ser variable. Aun-que muy simple, este tipo de modelo es muy comun en aplicaciones de control de procesos.


2.1.4. Modelo del retardo temporal

Consideremos un retardo temporal puro, T , la transformada de Laplace correspondientees e−Ts. Esta transformada no podemos utilizarla como funcion transferencia dado que no setrata de cociente de polinomios. En esta seccion buscaremos una forma de aproximarla talque se trate de una transferencia racional propia. Para nuestro interes, sistemas de control,laaproximacion debe ser buena a bajas frecuencias, s = 0. El medio mas comun para hallar estaaproximacion se atribuye a Pade y esta basado en ajustar la expansion en serie de la funciontrascendental e−Ts a la de una funcion racional, donde el grado del polinomio numeradores p y el del denominador es q. El resultado se llama aproximacion (p, q) de Pade a e−Tt. Paranuestros propositos utilizaremos solo el caso p = q.

Ejemplo 2.1.1. Para ilustrar el proceso, empecemos con la aproximacion (1, 1) cuando T = 1.En este caso deseamos elegir b0, b1 y a0 de modo que el error

e−s − b0s + b1

a0s + 1= ε

sea pequeno. Para la aproximacion de Pade expandimos e−s y la funcion racional en unaserie de McLauren y ajustamos los terminos. Las series son

e−s = 1− s +s2

2− s3

3!+

s4

4!− . . . ,

b0s + b1

a0s + 1= b1 + (b0 − a0b1)s− a0(b0 − a0b1)s2 + a2

0(b0 − a0b1)s3 + . . .

Ajustando coeficientes, debemos resolver las ecuaciones

b1 = 1,b0 − a0b1 = −1,

−a0(b0 − a0b1) =12

,

−a20(b0 − a0b1) = −1

6,

Ahora observamos que tenemos un numero infinito de ecuaciones pero solamente tresparametros. La aproximacion de Pade se determina cuando se ajustan los tres primeros coe-ficientes, con lo cual tenemos

e−s ∼=1− s

21 +

s2 1/2 −1/2

Figura 2.1: Aproximacion de Pade

Si suponemos p = q = 2, tenemos cinco parametros, y es posible una mejor aproxima-cion. Para este caso tenemos

Para una aproximacion general tenemos Golub and Loan [1996]: dado un retardo Rpq talque

Rpq(s) =Npq(s)Dpq(s)


e−s ∼=1− s

2+

s2

12

1 +s2

+s2

12

2

-23-3 Re(s)

Im(s)

Figura 2.2: Aproximacion de Pade

donde

Npq(s) =p

∑k=0

(p + q− k)!p!(p + q)!(p− k)!

sk y Dpq(s) =q

∑k=0

(p + q− k)!q!(p + q)!(q− k)!

(−s)k

Notemos que Rp0 = 1 + s + . . . +sp

p!es el polinomio de Taylor de orden p.

2.1.5. Estabilidad de funciones transferencia

Estabilidad entrada-salida. 1 Decimos que un sistema es estable entrada-salida, o BIBOestable, si toda entrada acotada produce una salida acotada.

Teorema 1 (Estabilidad entrada-salida). Un sistema lineal, estacionario y de tiempo conti-nuo es estable entrada-salida si todos los polos de su funcion transferencia tienen parte realnegativa.

Estabilidad Inestabilidad

0 σ

jω

Region de estabilidad entrada-salida para lospolos de G(s).

Desafıo: Asumiendo una funcion transferencia racional y propia, demostrar el Teorema.Ayuda:

1. Mostrar que si todos los polos de G(s) tienen parte real negativa, entonces la antitrans-formada g(t) (respuesta al impulso del sistema) es absolutamente integrable, es decir,∫ ∞

0|g(τ)| dτ < M; para alguna M > 0.

2. Mostrar que si g(t) es absolutamente integrable, entonces para toda entrada acotadau(t) la salida

y(t) = L−1{G(s)U(s)}

=∫ t

0g(t− τ)u(τ)dτ =

∫ t

0g(τ)u(t− τ)dτ

es acotada — o sea, el sistema es estable entrada-salida.1Tambien Estabilidad BIBO, del ingles Bounded-Input Bounded-Output, (entrada acotada/salida acotada).


2.2. Diagramas de bloques

Capturan la esencia del sistema en un formalismo grafico abstracto de simple manipula-cion. Representan el flujo y procesamiento de las senales dentro del sistema.

Figura del curso ME155A, Prof. Astrom, UCSB 2001.

Los diagramas de bloques permiten ver la simi-laridad esencial entre distintos tipos de sistemas(independizan del dominio fısico).

Otro formalismo grafico con esta propiedad sonlos diagramas de enlaces (bond graphs).

El diagrama en bloques es una representacion grafica de las funciones que lleva a cabo ca-da componente y el flujo de senales. Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre losdiversos componentes. Un bloque es un sımbolo para representar la operacion matematicaque sobre la senal de entrada hace le bloque para producir la salida. Las funciones de trans-ferencia de componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, quese conectan mediante flechas para indicar la direccion del flujo de senales.

- -G(s)C(s)E(s)

El cociente entre la salida C(S) y lasenal de entrada E(s) se denominafuncion transferencia: G(s) = C(s)

H(s) .

2.2.1. Funcion transferencia a lazo cerrado

Sea el lazo de la Figura 2.2.1, calculemos la funcion de transferencia a lazo cerrado dedicho diagrama. Reemplazando (2.4) en (2.3) obtenemos que la funcion transferencia a lazo

h - -

�6

-

H(s)

G(s)R(s) E(s) C(s)

B(s)− C(s) = E(s)G(s) (2.3)

E(S) = R(s)− B(s) = R(s)− C(s)H(s) (2.4)

cerrado viene dada por

C(s)R(s)

=G(s)

1 + G(s)H(s)

2.2.2. Reduccion de un diagrama en bloque

Un diagrama en bloque complicado que contenga muchos lazos de realimentacion sesimplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del algebra de losdiagramas de bloques. Algunas de estas reglas importantes aparecen en la Figura 2.3, segunOgata [1997].


h- -

6

- G

B−

A AG− B g- - -

�6

GA

B

AG− B

1G

−

- -

- -

GA AG

GAG

- -

-

GA

AG

AG

- -

-

GA

A

AG --

- -

A

A

AG

1G

G

g- - -

6�

A B− G1

G2

G1 G2g- - - --

6−

BA 1G2

Figura 2.3: Reglas del algebra de los diagramas de bloques

Una regla extendida para la reduccion de cualquier diagrama de bloques fue dada porS.J. Mason (1953-1956), quien relaciono el grafico al algebra matricial de las ecuaciones querepresentan. Mason definio una trayectoria a traves de un diagrama de bloques como unasecuencia de componentes conectados, pasando la trayectoria desde una variable a otra sinpasar a traves de ningun componente mas de una vez. Definio una ganancia de trayectoriacomo el producto de las ganancias que componen la trayectoria. Una trayectoria que sale deuna variable y regresa a la misma variable se define como trayectoria de lazo, y la gananciade la trayectoria asociada se llama ganancia de lazo. La regla de Mason para el caso especialdonde todas las trayectorias directas y trayectorias de lazo se tocan pueden definirse comosigue Franklin et˜al. [1991] :

La ganancia de un sistema realimentado esta dada por la suma de las gananciasde las trayectorias directas dividida por 1 menos la suma de las ganancias de lazo.

G1i i- - - - -

-

?-

�6

�

��>

G3

G4

G2

G6

G5yu 1 2 3 4 5

6

7

8

9

Figura 2.4: Un ejemplo de diagrama de bloques

Ejemplo 2.2.1. Una aplicacion de esta regla se puede ilustrar con el diagrama de bloques dela Figura 2.4. En este caso, las trayectorias directas y sus ganancias estan dadas por

Trayectorias hacia adelante Ganancia123459 G1G2G512369 G1G6

Trayectorias de lazo Ganancia2382 G1G3

23472 G1G2G4


y la ganancia total, o la funcion transferencia total, esta dada por la regla en la forma

YU

=G1G2G5 + G1G6

1− G1G3 − G1G2G4

Ejemplo 2.2.2. Algebra de bloques

Ejemplo de Dorf & Bishop (2000)

2.3. Respuesta al impulso y al escalon de sistemas LTI

El estudio de la respuesta al impulso (Delta de Dirac) se debe a que la funcion de trans-ferencia de un sistema continuo en el tiempo es la transformada de Laplace de su respuestaal impulso con condiciones iniciales nulas. Es muy comun estudiar el comportamientos dela dinamica de los sistemas usando la respuesta al escalon, es decir U(s) = 1/s, por lo que

Y(s) = G(s)1s

Es muy util definir una serie de parametros que describen algunas propiedades rele-vantes de la dinamica de los sistemas. Para estas definiciones, consideraremos funciones detransferencia estables teniendo como respuesta al escalon la Figura 2.5:

valor en el regimen estacionario, y∞: el valor final de la respuesta al escalon (esto notiene sentido si el sistema tiene polos en el SPD 2).

Tiempo de crecimiento, tr: el tiempo que transcurre hasta el instante en el cual larespuesta al escalon alcanza, la primer vez, el valor kry∞. La constante kr varıa segunel autor, comunmente se toma tanto 0,9 o 1.

2SPD: semiplano derecho


Tiempo

y∞ + Mp

y∞ + δ

y∞ − δkr y∞

ts

y∞

tr tp

−Mu

Figura 2.5: Indicadores de la respuesta escalon

Sobre error, Mp: el maximo valor por el que la respuesta el escalon excede su valorfinal. Generalmente se expresa como un porcentaje de y∞.

subvalor, Mu: el maximo (valor absoluto) por el que la respuesta al escalon pasa pordebajo del cero.

Tiempo de establecimiento, ts: el tiempo transcurrido hasta que la respuesta al escaloningresa (sin dejarlo en tiempo subsiguiente) a una banda ±δ, alrededor del valor final.Esta banda δ, generalmente se define como un porcentaje de y∞, 2 % a 5 %

2.4. Polos, Ceros y Respuesta Temporal

Consideremos una funcion de transferencia general

H(s) = K∏

mi=1(s−βi)

∏nj=1(s−α j)

donde α j ∈ C y βi ∈ C. Supongamos que no existe i y j tales que α j = βi, los valoresβ1, β2, · · · , βm son los ceros y α1, alpha2, · · · ,αn son los polos de la funcion transferencia.

Nos centraremos principalmente en l los ceros que se encuentran cerca del eje imaginarioy en los polos del SPD, ya que juegan un papel importante en el comportamiento dinamicode los sistemas.

Las Funciones de transferencia que poseen todos sus ceros y polos en el semiplano iz-quierdo se las llama Funciones de Transferencia de Mınima Fase.

Veamos el comportamiento transitorio debido a polos y ceros.


2.4.1. Polos

Cualquier funcion de transferencia escalar racional, puede desarrollarse en fraccionessimples, donde cada termino tendra un polo simple real, un par complejo conjugado o multi-ple combinaciones con polos repetidos. Es por eso para entender el efecto de los polos enel desempeno del transitorio se reduce a entender el transitorio debido a polos de primerorden y segundo orden y sus interacciones.

Polo de Primer Orden La respuesta a un escalon unitario de un sistemas de primer orden

H(s) =K

τ s + 1

viene dada por

y(t) = L−1U(S) H(s) = L−1{

Ks(τ s + 1)

}= L−1

{Ks− K τ

τ s + 1

}= K(1− e−

1τ ).

La Figura 2.6 muestra la senal y(t). Notar que el valor en regimen permanente de y(t),yin f ty, en el caso de existir, esta dado por el teorema del valor final

lımt→∞ y(t) = lım

s→0s H(s) U(s)︸︷︷︸

1s

= H(0) = y∞ = K

.

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

dey

∞

τ

0.632 y∞

0

Figura 2.6: Respuesta al escalon de un s sistema de primer orden

Ejemplo 2.4.1. Consideremos una funcion transferencia del tipo

H(s) =p

s + p

La Figura 2.7 muestra la respuesta temporal de dos sistemas de primer orden simula-das con MATLAB con las sentencias


H1=tf([1],poly[-1]); figure(1); subplot(2,2,1); step(H1);subplot(2,2,2); pzmap(H1); axis([-2 1 -1-1]);

H2=tf([0.5],poly[-0.5]); subplot(2,2,3); step(H2);axis([-2 1 -1-1]); subplot(2,2,4); pzmap(H2); axis([-2 1 -1-1]);

H1(s)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H2(s)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 2.7: Respuesta al escalon de dos sistemas de primer orden

Polos complejos conjugados Dada la funcion de transferencia

H(s) =ω2

ns2 + 2ξ ωn s + ω2

n(2.5)

donde ξ (0 < ξ < 1) es conocido como el factor de amortiguamiento y ωn, como lafrecuencia natural. Definimos tambien la frecuencia natural de amortiguamiento, ωd como

ωd = ωn√

1−ξ2

Los polos polos complejos conjugados de este sistema, s1 y s2, pueden expresarse la laforma

s1,2 = −ξωn ± jωd = ωne± j(π−β)

donde β es el angulo tal que cos β = ξ , Figura 2.8.

Para este sistema, la transformada de Laplace de su respuesta al escalon viene dadapor

Y(s) =ω2

n(s2 + 2ξ ωn s + ω2

n)s=

ω2n

(s +ξ ωn)2 + ω2d

.


− jωd

jωd

−ξωn

β

ωn

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Td

tp t

r

y∞

y∞+Mp

Figura 2.8: Ubicacion de polos y respuesta al escalon de un sistema de segundo orden

Desarrollando en fracciones simples obtenemos

Y(s) =1s− s +ξ ω2

n

(s +ξ ωn)2 + ω2d− ξ ω2

n

(s +ξ ωn)2 + ω2d

=1s− 1√

1−ξ2

[√1−ξ2 s +ξ ωn

(s +ξ ωn)2 + ω2d−ξ

ωd

(s +ξ ωn)2 + ω2d

]Que si aplicamos la transformada de Laplace inversa, obtenemos

y(t) = L−1{Y(s)} = 1− e−ξωn t√

1−ξ2sen(ωd t + β)

Las caracterısticas de la respuesta al escalon unitario de este sistema son las mostra-das en la Figura 2.8, donde y∞ = 1 y Td = 2π/ωd. Tambien podemos calcular losindicadores descriptos en la Figura 2.5:

Tiempo de crecimiento

Para este caso tomaremos kr = 1, entonces hacemos y(t) = y∞e−ξωn t√

1−ξ2sen(ωd t + β) = 0

y obtenemos

tr =π −β

ωd≈ 1,8

ωn

Sobre valor

El maximo valor de la salida, Mp ocurre en el tiempo tp, que se puede calcular deri-vando e igualando a cero y(t), entonces

dy(t)dt

= − e−ξωn t√

1−ξ2[−ξωn sen(ωd t + β) + ωd cos(ωd t + β)] = 0

Notar que ωdξωn

= tan β, Figura 2.8, ası se obtiene ωd tp = π , resultando el tiempo depico


tp =π

ωd=

Td2

El sobrevalor se calcula como Mp = y(tp)− 1, y como sen(π + β) = sen(β) = −ωdωn

,de Figura 2.8, se obtiene

Mp = e− πξ√

1−ξ2

La Figura 2.9 muestra los valores de sobreerror que toma el sistema para distintos ξ ,por ejemplo un ξ = 0,6 produce un sobreerror del 10 %.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

60 %

70 %

80 %

90 %

100 %

ξ

Mp

Figura 2.9: Sobreerror en funcion de ξ para un sistema dado por (2.5)

Tiempo de establecimiento

Para un error en el regimen estacionario de 1 %, necesitamos conocer el mınimo ts talque |e(t)| ≤ 0,01 ∀t ≤ ts. Una aproximacion valida resulta

e−ξωnts = 0,01, por lo que ts =4,6

ξωn

De aquı en mas, nos referiremos a polos rapidos que se encuentran mas lejos del eje jω queel resto de los polos del sistema. Que es equivalente a decir que los transitorios asociados alos polos rapidos se extinguen mas rapido que los asociados al resto de los polos. Por otrolado, llamaremos polos dominantes o lentos a aquellos que estan mas cerca del eje jω que elresto.

Si, por ejemplo, los polos del sistema son {−1;−2 ± j6;−4;−5 ± j3}, diremos que elpolo dominante es -1 y los mas rapidos son−5± j3.

Ejemplo 2.4.2. Consideremos funciones de transferencia del tipo

H(s) =ω2

ns2 + 2ξωn s + ω2

n.


Primero fijamos el valor de ωn = 2 y variamos ξ , de las expresiones de sobrevalor y tiempode establecimiento, se desprende que para valores de ξ cercanos a 1 el sobrevalor tiendea cero y el tiempo de establecimiento, cuando ξ → 0 toma valores cada vez mas grandes,Figura 2.10.

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

−1 −0.5 0 0.5−3

−2

−1

0

1

2

3

2

1

3

0.4

1

3

0.2

0.8

20.2

0.4

0.8

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

−1 −0.5 0 0.5−3

−2

−1

0

1

2

3

2

1

3

0.4

1

3

0.2

0.8

20.2

0.4

0.8

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

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y A

xis

Figura 2.10: Respuesta a escalon variando ξ y mismo ωn

Si ahora fijamos ξ = 0,5 y variamos solo ωn, notamos que en el sobrevalor no tieneincidencia, ya que solo depende de ξ , pero el tiempo de establecimiento se hace cada vezmas pequeno para valores de ωn cada vez mas grandes, Figura 2.11.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5−3

−2

−1

0

1

2

3

2

1

3

0.5

1

3

0.25

0.75

20.250.5

0.75

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5−3

−2

−1

0

1

2

3

2

1

3

0.5

1

3

0.25

0.75

20.250.5

0.75

Pole−Zero Map

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y A

xis

Figura 2.11: Respuesta a escalon variando ωn y mismo ξ


2.4.2. Ceros

El efecto debido a los ceros de la funcion transferencia es mas sutil que el efecto de lospolos. En una forma paralela a la definicion de los polos, definimos ceros rapidos y lentos.Para ilustrar el comportamiento de los ceros, consideremos el siguiente ejemplo.Ejemplo 2.4.3. Consideremos un sistema con funcion transferencia dada por

H(s) =−s + c

c(s + 1)(0,5s + 1)(2.6)

Esta estructura nos permite estudiar el efecto de un cero, sin modificar la ubicacion de lospolos ni la ganancia estatica. En este sistema observamos que tiene dos modos naturales: e−t

y e−2t que viene de los polos -1 y -2 respectivamente. El primero de estos modos estara au-sente en la respuesta cuando c se acerque a -1. Lo mismo con el segundo modo cuando c seacerque a -2, Figura 2.12.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−4 −3 −2 −1 0 1 2−3

−2

−1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−4 −3 −2 −1 0 1 2−3

−2

−1

0

1

2

3

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Figura 2.12: Dinamica de un cero mas rapido que el polo mas lento

Para una representar una situacion mas general, veamos la Figura 2.12, Figura 2.13 yFigura 2.14. Podemos ver que un cero rapido, |c| � 1, no tiene un impacto significativoen la respuesta transitoria. Cuando el cero es lento y estable, se obtiene un significativosobreerror, que se torna dramatico cuanto mas cerca de origen se encuentra. Por ultimo caberemarcar la existencia de subvalor cuando el cero es lento e inestable.

Para comprender mejor el por que de la existencia de subvalor para ceros lentos e inesta-bles veremos algunos lemas que nos mostraran, al menos matematicamente, como aparece.

Lema 1. Sea H(s) una funcion estrictamente propia en variable de Laplace s, con region de conver-gencia <{s} > −α con h(t) su correspondiente funcion temporal, es decir

H(s) = L{h(t)}

Luego, para cualquier z0 tal que <{z0} > −α, tenemos∫ ∞0

h(t)e−z0tdt = lıms→z0

H(s) (2.7)


0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

−4 −3 −2 −1 0 1 2−2

−1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

−4 −3 −2 −1 0 1 2−2

−1

0

1

2

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Figura 2.13: Dinamica de un cero mas lento que el polos lento y de un cero NMF

0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−2

−1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−2

−1

0

1

2

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y A

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Figura 2.14: Dinamica de un cero mas lento que el polos lento y de un cero NMF

Demostracion. De la definicion de transformada de Laplace tenemos que, para todo s de laregion de convergencia de la transformada, es decir <{s} > −α,

H(s) =∫ ∞

0h(t)e−stdt

El resultado (2.7) surge ya que z0 pertenece a la region de convergencia.

Ilustraremos el lema con un ejemplo


Ejemplo 2.4.4. Consideremos la senal y(t) = e2t t ≤ 0, la transformada de Laplace es

Y(s) =1

s− 2para <{s} > 2

Consideremos ahora

I(z0) =∫ ∞

0e−z0ty(t) z0 = 3 ⇒ I(3) =

∫ ∞0

e−3te2t =∫ ∞

0e−t = 1

Notemos que segun el lema es Y(3) = 13−2 = 1.

Pero, si tomamos z0 = 1, luego Y(1) = −1 y I(1) es ∞. Esto tambien esta de acuerdo allema ya que z0 = 1 no pertenece a la region de convergencia.

El siguiente Lema nos aporta la relacion entre ceros y ciertos indicadores de la dinamicadel sistema, como es el subvalor.

Lema 2 (Ceros de No mınima fase y subvalor). . Supongamos un sistema lineal, estable confuncion transferencia H(s) con ganancia estatica 1 y un cero en s = c, donde c ∈ R+. Supongamostambien que la respuesta al escalon, y(t), tiene un tiempo de establecimiento ts (verFigura 2.5), esdecir 1 + δ ≥ |y(t)| ≥ 1− δ (δ � 1), ∀t ≥ ts. Luego y(t) presenta subvalor Mu que verifica

Mu ≥1− δ

ects − 1(2.8)

Demostracion. Definamos v(t) = 1− y(t), Figura 2.15, luego V(s) = (1− H(S)) 1s . La region

de convergencia de V(s) esta dada por <{s} > 0. Ası c esta dentro de esa region y podemosaplicar el Lema anterior

V(c) =1− H(c)

c=

1c

=∫ ∞

0v(t)e−ct dt

Separando el intervalo de integracion en [0, ts] ∪ (ts, ∞) tenemos

0 5 10 15 20

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20

−0.5

0

0.5

1

y(t) v(t)=1−y(t)

Mu

Mu

ts

ts

Figura 2.15: Graficos de y(t) y v(t) para ver las cotas usadas en la demostracion.

∫ ts

0|v(t)|e−ctdt +

∫ ∞ts|v(t)|e−ctdt ≥ 1

c

De la definicion de ts, tenemos que |v(t)| ≤ δ � 1, ∀t ≥ ts. Ademas

maxt≥0

{v(t)} = Vmax = 1 + Mu > 0


entonces obtenemos

1c≥

∫ ts

0Vmaxe−ctdt +

∫ ∞ts

δe−ctdt = Vmax1− e−cts

c+

δe−cts

c

y reemplazando Vmax se obtiene la Ec. 2.8.

Observar que si cts � 1 y δ � 1, la Ec. 2.8 se simplifica a

Mu >1

cts

El lema anterior establece que, cuando un sistema tiene ceros de fase no mınima, existe uncompromiso entre tener un a respuesta rapida y tener subvalor.

Un resultado similar puede obtenerse en el caso de existir ceros reales en el semiplano iz-quierdo con magnitud menor que la parte real de los polos dominantes del sistema. Veamosel siguiente Lema.

Lema 3 (Ceros lentos y sobrevalor). Supongamos un sistema lineal, estable con funcion transfe-rencia H(s) con ganancia estatica 1 y un cero en s = c, con c < 0. Definamos v(t) = 1 − y(t)donde y(t) es la respuesta al escalon unitario. Supongamos tambien:

1. El sistema tiene polo(s) dominante(s) con parte real −p, con p > 0.

2. El cero y el polo dominante estan relacionados por

η :=∣∣∣∣ c

p

∣∣∣∣ � 1

3. El valor de δ de la definicion del tiempo de establecimiento ts es elegido tal que exista K > 0que verifique

|v(t)| < Ke−pt ∀t ≥ ts

Luego la respuesta al escalon tendra sobrevalor que esta acotado inferiormente por

Mp ≥1

e−cts − 1

(1− Kη

1− η

)(2.9)

Demostracion. Tenemos que

V(s) = L[v(t)] = (1− H(s))1s

=∫ ∞

0v(t)e−stdt

Notemos que la region de convergencia de V(s) esta dada por <{s} > −p. Ası c se encuen-tra dentro de dicha region y por lo tanto aplicar el Lema.

1c

=∫ ∞

0v(t)e−ctdt =

∫ ts

0v(t)e−ctdt +

∫ ∞ts

v(t)e−ctdt.

El mınimo valor que toma v(t) en el intervalo [0, ts] es −Mp y ademas v(t) > Ke−pt, ∀t > ts.Por lo que ambas integrales de la derecha pueden ser reemplazadas por sus mınimos valores

1c≥ −Mp

∫ ts

0e−ctdt− K

∫ ∞ts

e−(p+c)tdt ⇔ −1c≤ Mp

∫ ts

0e−ctdt + K

∫ ∞ts

e−(p+c)tdt

Resolviendo las integrales se obtiene Ec. 2.9.


Notemos que si cts � 1 y Kη � 1, luego la cota vendra dada por

Mp ≥1

−cts

El Lema anterior establece que, cuando un sistema estable tiene ceros lentos, existe uncompromiso entre obtener un respuesta rapida y tener sobrevalor.

2.5. Respuesta en Frecuencia

La respuesta en regimen permanente de un sistema a senales sinusoidales en un rangode frecuencia es lo que se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema.

Estudiaremos la respuesta de un sistema cuando la entrada es una sinusoidal. La razonde estudiar dicha respuesta es que contiene informacion de otras senales. Esto se puedeapreciar desde el analisis de Fourier, que dice que cualquier senal periodica definida en unintervalo [t0, t f ] pude representarse como una combinacion lineal de ondas sinusoidales defrecuencia 0, ω0 f , 2ω0 f , 3ω0 f , · · · donde ω0 f = 2π/(t f − t0) es conocida como la frecuen-cia fundamental. El Principio de Superposicion nos permite combinar la respuesta a ondassinusoidales individuales para determinar la respuesta de la onda compuesta.

2.5.1. Respuesta en Regimen Permanente a una Entrada Sinusoidal

Consideremos un sistema con funcion de transferencia estable G(S) de orden n ( es decir,con nn polos con parte real negativa). Entonces la respuesta en regimen permanente a unasenal

u(t) = A sen(ω t) es yrp(t) = A|G( jω)| sen(ω t +φ(ω))

donde G( jω) = |G( jω)|e jφ(ω), es decir |G( jω)|es la magnitud y φ(ω) la fase de G( jω).

Demostracion. La entrada sinusoidal puede escribirse como

sen(ω t) =e jωt − e− jωt

2 j

Entonces podemos obtener la respuesta a las entradas u(t) = e jωt y u(t) = e− jωt, y aplicandosuperposicion obtendremos la respuesta a la entrada sinusoidal.

La transformada de Laplace de e jωt es L{e jωt} = 1s− jω . Ası

Y(s) = G(s)1

s− jω︸︷︷︸L{u(t)}

desarrollado en fracciones simples Y(s) =G( jωs− jω

+n

∑i=1

ri

s− pi

donde pi, i = 1, · · · n son los polos de G(s) y ri los correspondientes residuos

ri = lims→piY(s)(s− pi)

Entonces

y(t) = L−1{

G( jω)s− jω

}+

n

∑i=1L−1

{ri

s− pi

}= G( jω)e j[ωt +

n

∑i=1

riepit


De igual manera calculamos la respuesta para la entrada u(t) = e− jωt. Luego superponiendoambas y calculando la respuesta en regimen permanente (yrp(t) = lım→∞ y(t)), resulta

y(t) =12 j

[G( jω)e jωt − G(− jω)e− jωt

]=

12 j

[|G( jω)|e j(ωt+φ(ω)) − |G( jω)|e− j(ωt+φ(ω))

]=|G( jω)| sen(ωt +φ(ω))

La respuesta en regimen permanente de un sistema G(s) a una senoide de frecuencia ω esuna senoide de igual frecuencia, con amplitud multiplicada por la magnitud de G( jω) ydesfasaje igual a la fase de G( jω).

Ejemplo 2.5.1. Dado un sistema con funcion transferencia

G(s) =1

0,5 s2 + 1,5 s + 1,

la respuesta en regimen permanente dada una entrada u(t) = sen(t) viene dada por

yrp(t) = |G( j)| sen(t +φ),

con

|G( j)| =∣∣∣∣ 10,5 j2 + 1,5 j + 1

∣∣∣∣ =1

|1,5 j + 0,5| =1√

1,52 + 0,52≈ 0,63

φ =∠G( j) = arctan(

=(G( j))<(G( j))

)= − arctan(3) ≈ −71,5o(≈ −1,25rad)

La Figura 2.16 muestra la senal de entrada y salida. Notar que existe un transitorio quenno calculamos.

2.5.2. Diagrama de Bode

Los diagramas de Bode consisten de un par de graficas:

1. La magnitud |G( jω)| versus la frecuencia angular ω.

2. La fase φ(ω), tambien como funcion de ω.

Los diagramas de Bode se suelen graficar en ejes especiales.

El eje de abscisas es logarıtmico en ω, es decir, lineal en log(ω), donde el logaritmoes de base 10. Ası se consigue una representacion compacta sobre un rango amplio defrecuencias. La unidad del eje es la decada, es decir, la distancia entre ω y 10ω paracualquier valor de ω.

La magnitud de la respuesta en frecuencia se mide en decibeles [dB], es decir, unidadesde 20 log |G( jω)|.

La fase se mide en escala lineal en radianes o grados.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Linear Simulation Results

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plitu

de

Figura 2.16: Comparacion entre la entrada y la salida

Los programas como MATLAB y SCILAB poseen comandos especiales 3 para calcular ygraficar diagramas de Bode. Sin embargo, existen reglas muy simples que permiten esbozarestos diagramas practicamente sin hacer calculos.

Dada la funcion transferencia

G(s) = KΠm

i=1(βis + 1)skΠn

i=1(αis + 1), entonces

20 log |G( jω)| = 20 log |K| − 20k log |ω|+m

∑i=1

20 log |βi jω + 1| −n

∑i=1

20 log |αi jω + 1|

(2.10)Por otro lado, la fase de G( jω) resulta

^G( jω) = ^K− kπ

2+

m

∑i=1

^(βi jω + 1)−n

∑i=1

^(αis + 1) (2.11)

Ası vemos de (1.22) y (1.8.2) que el diagrama de Bode de cualquier funcion transferenciapuede obtenerse sumando y restando magnitudes (en dB) y fases de factores simples.

Una ganancia simple K tiene magnitud y fase constantes. El diagrama de magnitudes una lınea horizontal en 20 log |K| dB y la fase es una lınea horizontal en 0 rad (siK > 0).

El factor sk tiene un diagrama de magnitud que es una lınea recta con pendiente iguala 20k dB/decada, y fase constante igual a kπ/2. Esta lınea cruza el eje horizontal de 0dB en ω = 1.

El factor αis + 1 tiene un diagrama de magnitud que puede aproximarse asintotica-mente de la siguiente manera:

3Por ejemplo: bode, ltiview.


• para |αiω| � 1, 20 log |αi jω + 1| ≈ 20 log(1) = 0 dB, es decir, para bajas frecuen-cias la magnitud es una lınea horizontal (la asıntota de baja frecuencia).

• para |αiω| � 1, 20 log |αi jω + 1| ≈ 20 log |αiω| dB, es decir, para altas frecuen-cias la magnitud es una lınea recta de pendiente 20 dB/decada que corta el eje de0 dB en ω = |αi|−1 (la asıntota de alta frecuencia).

• el diagrama de fase es mas complicado. Aproximadamente cambia a lo largo dedos decadas. Una decada por debajo de |αi|−1 la fase es ≈ 0 rad. Una decada porarriba de |αi|−1 la fase es ≈ signo(αi)π/2 rad. Uniendo ambos puntos por unalınea recta da ≈ signo(αi)π/4 para la fase en ω = |αi|−1. Es una aproximacionbasta.

Para αi complejo, ai = <(αi) + j=(αi), la fase del diagrama de Bode del factor (αis + 1)corresponde a la fase del numero complejo [1−ω=(αi)] + jω<(ai)

Ejemplo 2.5.2. Consideremos la funcion transferencia

G(s) = 640(s + 1)

(s + 4)(s + 8)(s + 10).

Para dibujar la aproximacion asintotica del diagrama de Bode primero llevamos a G(s) auna forma en que los polos y los ceros no aporten ganancia estatica,

G(s) = 2(s + 1)

(0,25s + 1)(0,125s + 1)(0,1s + 1).

Usando las reglas aproximadas obtenemos el diagrama siguiente.

Diagrama de Bode exacto (lınea gruesa) y aproximado (lınea fina).

2.5.3. Filtrado

En un amplificador ideal la respuesta en frecuencia deberıa ser constante, G( jω) =K, ∀ω, es decir, toda componente de frecuencia deberıa pasar sin cambio de fase ni distor-sion de amplitud.

Definimos:


La banda de paso es el rango de frecuencias sobre el cual la amplificacion (o atenua-cion) es aproximadamente constante, con un corrimiento de fase aproximadamenteproporcional a ω.

la banda de corte es el rango de frecuencias que son filtradas. En este rango de fre-cuencias |G( jω)| tiene un valor pequeno comparado con el valor sobre la banda depaso.

la(s) banda(s) de transicion son los rangos de frecuencias intermedias entre una bandade paso y una de corte.

la frecuencia de corte ωc es el valor de frecuencia tal que |G( jω)| = G/√

2, donde Ges respectivamente

• |G(0)| para filtros pasa-bajos y corta-bandas,

• |G(∞)| para filtros pasa-altos,

• el maximo valor de |G( jω)| en la banda de paso, para filtros pasa-bandas.

el ancho de banda Bω es una medida del rango de frecuencias en la banda de paso (ode corte). Se define como Bω = ωc2 −ωc1, donde ωc2 > ωc1 ≥ 0. En esta definicionωc1 y ωc2 son las frecuencias de corte a cada lado de la banda de paso o de corte. Parafiltros pasa-bajos ωc1 = 0.

Respuesta en frecuencia de un filtro pasa-bandas.

Bibliografıa

Gene F. Franklin, J.David Powel, and Abbas Emami-Naeini. Control de Sistemas Dinamicoscon Retroalimentacion. Addison-Wesley Iberoamericana, 1991.

Gene H. Golub and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. Johns Hopkins, 1996.

G. Goodwin, S. Graebe, and M. Salgado. Control System Design. Prentice Hall, 2001.

Katsuhiko Ogata. Ingenierıa en Control Moderno. Pentice Hall, 1997.

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repaso de modelos, senales˜ y sistemas -...

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