PROPOSICIONES, OPERADORES LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD

Grupo SIRP (Sistemas Inteligentes, Robótica y Percepción)

Departamento de Electrónica – Pontificia Universidad Javeriana – Bogotá

Contacto: gruposirp@gmail.com

CONTENIDO• Introducción• Proposiciones

– Clasificación de las Proposiciones• Proposición simple• Proposición compuesta

– Conectivos u operadores lógicos

• Tablas de verdad– Pasos para construir una tabla de verdad

• Actividad práctica– Objetivos – Descripción– Video – Descarga de la guía del docente y la guía del estudiante

• Conclusiones• Bibliografía

INTRODUCCIÓN

Las actividades que se presentarán a través de este medio, sondesarrolladas por el grupo de investigación SistemasInteligentes, Robótica y Percepción -SIRP- del Departamento deElectrónica de la Pontificia Universidad Javeriana.En esta sección se presenta el uso de la robótica como unaherramienta pedagógica para el área de lógica matemáticas oprincipios de programación. Se propone el desarrollo del tema deproposiciones, operadores lógicos y tablas de verdad, de una formapráctica y didáctica utilizando un robot como herramienta deaprendizaje. Se busca que el estudiante aplique los conocimientosbásicos de la lógica proposicional para representar determinadassituaciones a través del uso de tablas de verdad.En la primera parte de esta sección se encuentra el desarrollo teóricode estos temas, después una breve explicación de la actividad prácticacon algunos videos y los links para descargar la guía del docente y delestudiante con todos los detalles de la actividad.

PROPOSICIONES

Una proposición es una oración enunciativa o aseverativaa la que se le puede atribuir un sentido lógico de verdad ode falsedad. A esta propiedad de las proposiciones de serverdaderas o falsas se le llama valor de verdad.

Por ejemplo, los siguientes enunciados son proposiciones

a) El balón de fútbol es cuadrado.b) 2*2=4

a) y b) son proposiciones porque tiene sentido decir que a) es falsa y b) es verdadera.

Sin embargo, las oraciones exclamativas,interrogativas o imperativas no son proposiciones,porque ninguna de ellas afirma o niega algo y por lotanto, no se les puede asignar un valor de verdad.Ejemplos:

a) ¡Qué buen día!b) ¿Qué es lógica? c) Mueve el escritorio

Por lo general, las proposiciones se representan con letras minúsculas del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... Etc.

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES

Las proposiciones se clasifican en dos tipos: simplesy compuestas, dependiendo de cómo estánconformadas.

PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS:Son aquellas oraciones que no tienen términos deenlace o componentes afectados por negación.Estas proposiciones pueden ser representadas poruna sola variable. Por ejemplo:

p: 3 + 6 = 9q: Ángela es alta

• PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES.

Son aquellas que están formadas por la combinación de dos ó más proposiciones simples. Por ejemplo:

Leonardo da Vinci era italiano y

pintó la Mona Lisa

Encontramos dos enunciados: el primero (p) afirma que Leonardo da Vinci era italiano y el segundo (q) que Leonardo da Vinci pintó la Mona Lisa.

CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOSExisten conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposicionescompuestas. La siguiente tabla describe los conectores básicos.

CONECTORES DESCRIPCIÓN SÍMBOLO EJEMPLO

CONJUNCIÓN (operador and)

El resultado es verdadero si ambas proposiciones son verdaderas.

Λ

Ejemplo: p Λ q

El carro enciende cuando tiene gasolina en su tanque y tiene la batería cargada

DISYUNCIÓN(operador or)

El resultado es verdadero si cualquiera de las proposiciones son verdaderas

v Ejemplo:

p v q

Para llegar a la isla de Providencia puedes tomar una ruta marítima o tomar una ruta aérea.

NEGACIÓN(operador not)

Su función es negar una proposición ‘

Ejemplo: p’

p: Ana es altap’: Ana no es alta

Tabla 1. Operadores lógicos básicos

TABLAS DE VERDAD

El valor de verdad de una proposición compuestaestá determinado por la verdad o falsedad de lasproposiciones simples que lo conforman. Unaforma para evaluar el valor de verdad es por mediode la tabla de verdad.

Una tabla de verdad es un esquema que muestra elvalor de verdad de una proposición compuesta(variable de salida) para todos los casos posibles deverdad o falsedad de las proposiciones simples(variables de entrada).

PASOS PARA CONSTRUIR UNA TABLA DE VERDAD

1. Escribir la proposición compuesta que se quiere evaluar.

El carro enciende cuando tiene gasolina en su tanque y tiene la batería cargada

2. Identifique las proposiciones simples que conforman la proposición compuesta. Las denominaremos entradas de la tabla de verdad. p : tiene gasolina en su tanque q : tiene la batería cargada

3. Identifique la variable de salida

w: El carro enciende

4. Identifique los operadores lógicos y escriba la variable de salida simbólicamente.

w = p Λ q

5. Tamaño de la tabla: La tabla se divide en dos partes: a la izquierda la información de las entradas (proposiciones simples) y a la derecha, las salidas o el valor de verdad de la proposición compuesta para cada combinación. La parte izquierda se divide a su vez en tantas columnas comoproposiciones simples o variables de entrada se tengan.El número de renglones de la tabla se obtiene a partir de la fórmula2n donde n es el número de proposiciones simples.El número de renglones hace referencia al número de combinacionesde los valores lógicos que pueden tomar las proposiciones sencillas ovariables de entrada.Por ejemplo, si hay dos variables o proposiciones simples hay 22 = 4combinaciones en la tabla de verdad.

p q w

4 Combinaciones posibles

Variable de salida

Dos proposiciones simples o variables de entrada

Figura 1. Tamaño de la tabla de verdad para dos variables de entrada

8. Asignar los valores de verdad a las proposiciones simples.

Otra forma de representar los valores de verdad es con 1 y 0 donde 1 es verdadero y 0 es falso.

p q w

V V

V F

F V

F F

p q w

0 0

0 1

1 0

1 1

Figura 2. combinaciones de valores lógicos que puede tomar una tabla de verdad con entradas

Figura 3. tabla de verdad con números binarios

6. Evaluar para cada renglón de la tabla el valor de verdad de la salida.

Para el caso en que w= p Λ q, se obtiene la siguiente tabla de verdad.

Donde se concluye que sólo se puede encender el carro (w verdadera) si tiene gasolina en el tanque (p verdadera) y si tiene la batería cargada(q verdadera); en el resto de casos el carro no enciende.

p q w

V V V

V F F

F V F

F F F

Figura 4. tabla de verdad para el operador lógico and

ACTIVIDAD PRÁCTICAOBJETIVOS

El objetivo del presente taller está orientado a que el estudiante entienda el concepto de tabla de verdad de un sistema.

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD PRÁCTICA

Durante la actividad, el estudiante observará el comportamiento de un robot queha sido construido y programado por el docente antes de la práctica. El tallercontiene preguntas que deben resolverse en tres escenarios diferentes: el primeroconsiste en una preparación previa de la práctica, en la que el estudiante deberesolver algunas preguntas que lo introducen a lo que verá en la actividad y loobligan a indagar acerca de aspectos importantes para que la práctica no seconvierta en un juego. El segundo escenario se desarrolla durante la aplicación dela práctica: en este espacio se espera que el estudiante observe elcomportamiento del robot y trate de llevar a la realidad aquello que estudió en laspreguntas previas, construyendo una serie de tablas de verdad que finalmenteconformarán una gran tabla de verdad que describe el comportamiento de losmotores en función de la lectura de los sensores. El escenario final consiste en unaserie de preguntas que buscan que el estudiante encuentre posibles aplicacionesdel sistema que resolvió en sistemas que se utilizan actualmente y aunque nofuncionan bajo el principio utilizado, en la práctica podrían explicarse desde allí.

VIDEOS

En el video, el Grupo de Investigación SIRP de la UniversidadJaveriana, muestra un robot construido con la plataformacomercial VEX, que realiza la tarea propuesta. En losdiferentes videos se muestra el comportamiento del robotfrente a cambios en el orden de los cubos y frente a casosespeciales, como el caso en el que haya dos cubos igualesseguidos.

GUÍA DEL DOCENTE Y LA GUÍA DEL ESTUDIANTE

• Descarga de la guía del docente y del estudiante

VIDEO PRACTICA 1LINK: http://www.youtube.com/watch?v=4vwB4C85Rns

CONCLUSIONES

Al finalizar la práctica, se espera que el estudianteentienda el concepto de tabla de verdad: es importanteque se entienda que las tablas de verdad no se aplicansolamente a los operadores and y or, sino que puedenplantearse para cualquier sistema donde las opcionessean cuantificables. Por otra parte, se espera que elestudiante encuentre una aplicación del conocimiento ala realidad: así el estudiante entenderá que los temas declase no son cuestiones académicas que se quedan sobreel papel, sino que por el contrario, se utilizan a diario enuna gran cantidad de sistemas que interactúan con laspersonas.

BIBLIOGRAFÍA

• Miller, Charles D. 2006. Matemática:razonamiento y aplicaciones. Editorial Pearson.Decima edición. México. p. 97.

• Contreras A. 2007. Lógica Elementos Teóricos:Aprendizaje recreativo: Juegos lógicos y deingenio. p. 89.

• Flores M. 2005 Nivel medio superior y nivelsuperior Editorial Progreso. México p. 29.

• Becerra J. 2005. Temas selectos dematemáticas…la amena forma de aprender más.Universidad nacional autónoma de México. p. 24.