slucajne promjenljive

SLUČAJNE PROMJENLJIVE

Pri izvođenju nekog eksperimenta često se može uočiti neka veličina koja je promjenljiva i koja ima neke brojne vrijednosti, u zavisnosti od rezultata eksperimenta. Npr. kad bacamo numerisanu kocku, ne znamo koji će broj pasti na gornjoj strani kocke, ali očekujemo jedan od brojeva 1,2,3,4,5,6. Takve veličine zovemo slučajnim veličinama ili slučajnim promjenljivim. Definicija 1: Slučajna promjenljiva (slučajna varijabla, slučajna veličina, obilježje) je funkcija koja svakom elementarnom događaju pridružuje neki realan broj. Slučajne promjenljive označavamo velikim slovima latinice: , , ,...,X Y Z a njihove vrijednosti malim slovima latinice 1 2 3 1 2 1 2, , ,..., , ,... , ,...x x x y y z z Dakle, ako je X slučajna promjenljiva, tada : ,X Ω→ pri čemu je Ω oznaka za prostor elementarnih događaja nekog eksperimenta. Oznakom XR označavamo skup svih vrijednosti koje može da primi slučajna promjenljiva X. Ovaj skup može biti konačan ili beskonačan. Iz Matematike I znamo da se među beskonačnim skupovima razlikuju prebrojivo beskonačni i neprebrojivo beskonačni. Sve elemente prebrojivo beskonačnog skupa možemo poredati u niz (ekvivalentno: postoji bijekcija između tog skupa i skupa prirodnih brojeva), dok se to ne može uraditi kod neprebrojivo beskonačnog skupa. Primjeri neprebrojivo beskonačnog skupa su: skup realnih brojeva, skup iracionalnih brojeva, intervali, itd. Poznato je da su skupovi cijelih i racionalnih brojeva prebrojivi. Definicija 2: Ukoliko je XR konačan ili prebrojivo beskonačan skup, kažemo da je slučajna promjenljiva X diskretna (diskontinuirana), a ukoliko je XR neprebrojivo beskonačan skup, za X se kaže da je neprekidna (kontinuirana) slučajna promjenljiva. Primjeri: a) Broj koji pada na gornjoj strani kocke u eksperimentu bacanja homogene numerisane kocke je očito diskretna slučajna promjenljiva, jer ima 6 različitih vrijednosti. b) Novčić se baca dva puta. Neka je X broj koji označava koliko puta je pao grb. Očito je

{ }, , ,PP PG GP GGΩ = i ( ) ( ) ( ) ( )2, 1, 0.X GG X GP X PG X PP= = = = Otuda je { }0,1, 2 .XR = Dakle, X je diskretna slučajna promjenljiva. c) Kao primjere diskretnih slučajnih promjenljivih možemo pomenuti i: broj automobila koja prođu na nekom putu u toku 24 sata, broj putnika u vozu, broj loših proizvoda ustanovljenih u kontroli kvaliteta, broj pretplatnika mobilne telefonije, itd. d) Primjeri neprekidnih slučajnih promjenljivih: vrijeme trajanja sijalice, visina i težina čovjeka, brzina kretanja automobila, itd.

Diskretna slučajna promjenljiva Neka je X diskretna slučajna promjenljiva i neka je { }1 2, ,..., ,X nR x x x n= je konačan prirodan broj.

Za proizvoljni broj { }1, 2,...,i n∈ označimo sa iX x= događaj ( ){ }: iX xω ω∈Ω = − događaj koji uključuje sve elementarne događaje za koje promjenljiva X ima vrijednost , 1, 2,..., .ix i n= Neka je

( ) ( )1, 2,..., .i ip P X x i n= = = Tada možemo pisati:

1 2

1 2

...(1) .

...n

n

x x xX

p p p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Očito je 1 2 ... 1.np p p+ + + = Šematski zapis (1) zovemo zakon raspodjele vjerovatnoća (ili kraće: zakon vjerovatnoće) slučajne promjenljive X. To je pravilo po kojem svakoj vrijednosti slučajne

promjenljive pridružujemo odgovarajuću vjerovatnoću. Time je ukupna vjerovatnoća, jednaka jedinici, raspodijeljena na pojedine vrijednosti slučajne promjenljive. Zato se često kaže da šema (1) predstavlja raspodjelu slučajne promjenljive X. Sljedeća definicija nije ograničena samo na diskretne slučajne promjenljive, tj. posmatramo proizvoljnu (diskretnu ili neprekidnu) slučajnu promjenljivu X. Definicija 3: Za svaki realni broj x definišemo funkciju ( ) ( ) ,F x P X x= < pri čemu je

( ){ }:X x X xω ω< = ∈Ω < − događaj koji obuhvata sve elementarne događaje u kojima promjenljiva X ima vrijednost koja je manja od zadanog realnog broja x. Ovu funkciju zovemo funkcijom raspodjele (distribucije) vjerovatnoća.

Ako je 1 2

1 2

...,

...n

n

x x xX

p p p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

tada je ( )

1

1 1 2

1 2 2 3

1 2 1 1

0,,

,.

............. ,

1,n n n

n

x xp x x xp p x x x

F x

p p p x x xx x

− −

≤⎧⎪ < ≤⎪⎪ + < ≤⎪= ⎨⎪⎪ + + + < ≤⎪

>⎪⎩

Teorem 1 (osobine funkcije raspodjele ( )F x ): 1) ( ) ( )0 1 .F x x≤ ≤ ∈

2) ( ) ( ) ( )P a X b F b F a≤ < = − za sve , , .a b a b∈ <

3) ( ) ( ) ,a b F a F b< ⇒ ≤ dakle, funkcija ( )F x je neopadajuća.

4) ( ) ( )0, 1.F F−∞ = +∞ = 5) Ako je X diskretna slučajna promjenljiva data zakonom raspodjele (1), tačke prekida funkcije ( )F x su upravo vrijednosti 1 2, ,..., nx x x slučajne promjenljive.

Dokaz: 1) Očigledno iz definicije funkcije ( ).F x 2) Označimo sa A događaj ,X a< sa B događaj ,X b< a C neka je događaj .a X b≤ < Tada je očito B A C= ∪ i ,A C U∩ = tj. događaji A i C se međusobno isključuju. Zato je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P B P A P C P C P B P A= + ⇒ = −

To znači da je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P a X b P X b P X a F b F a≤ < = < − < = −

3) Slijedi direktno iz 1), jer je ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 .P a X b F b F a F b F a≤ < = − ≥ ⇒ ≥

4) Događaj X < −∞ je nemoguć, pa je zato ( ) ( ) 0,F P X−∞ = < −∞ = dok je s druge strane

događaj X < +∞ siguran, pa je ( ) ( ) 1.F P X+∞ = < +∞ =

5) Lijevi i desni limes funkcije ( )F x u svim tačkama ( )1, 2,...,ix i n= nisu jednaki. Dakle, funkcija raspodjele vjerovatnoća ( )F x diskretne slučajne promjenljive X nije neprekidna i ima onoliko tačaka prekida koliko slučajna promjenljiva X ima vrijednosti. Ovo je očigledno i sa grafika funkcije ( ).F x

Primjer: Protivvazdušna odbrana gađa sa zemlje avion. Da se avion uništi potreban je jedan pogodak u prednji dio ili tri pogotka u zadnji dio aviona. Vjerovatnoća pogotka u prednji dio aviona je 0,3, a vjerovatnoća pogotka u zadnji dio je 0,7. Gađanje se izvodi sve dok se avion ne uništi. Neka je X slučajna promjenljiva koja nam daje broj pogodaka u avion, potrebnih za njegoov rušenje. Napisati zakon raspodjele vjerovatnoća promjenljive X i naći njenu funkciju raspodjele ( ).F x

Imamo da je ( )1 0,3P X = = − vjerovatnoća da je avion srušen jednim pogotkom;

( )2 0,7 0,3 0, 21P X = = ⋅ = − vjerovatnoća da je avion srušen sa dva pogotka, najprije u zadnji, pa onda u prednji dio; ( ) 2 33 0,7 0,3 0,7 0, 49P X = = ⋅ + = − vjerovatnoća da je avion srušen sa tri pogotka, što se može

učiniti na dva načina: da je pogođen sa 2 pogotka u zadnji dio i onda jednim u prednji dio ili sa tri pogotka u zadnji dio.

Dakle, 1 2 3

.0,3 0,21 0,49

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Otuda se dobije da je ( )

0, 10,3, 1 2

.0,51, 2 31, 3

xx

F xx

x

≤⎧⎪ < ≤⎪= ⎨ < ≤⎪⎪ >⎩

Zadaci:

1. Novčić se baca 5 puta. Neka je slučajna promjenljiva X broj koliko puta se pojavio grb. Naći njen zakon vjerovatnoće.

2. Iz kutije u kojoj su tri bijele i 7 crnih kuglica uzastopno se izvlači po jedna kuglica bez vraćanja, sve dok se prvi put ne izvuče crna kuglica. Naći zakon vjerovatnoće slučajne promjenljive X koja predstavlja broj izvučenih kuglica.

3. Odrediti konstantu c, tako da je 1 2

1 2 ... ...... ...n

nX

p p p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

zakon vjerovatnoće neke slučajne

promjenljive, ako se zna da je ( )1,2,3,... .2n n

cp n= =

4. 20 studenata je položilo jedan ispit. Pri tome, šestero je dobilo ocjenu 6, osmero je dobilo ocjenu 8, dvoje ocjenu 9, a četvero ocjenu 10. Ako se na slučajan način izaberu dva studenta između njih 20, naći zakon vjerovatnoće slučajne promjenljive X i ( ) ,F x gdje je X – srednja ocjena izračunata za dva izabrana studenta.

5. U posudi se nalazi 12 kuglica: 3 bijele, 4 plave i 5 crvenih. Iz posude se izvlače (bez vraćanja u posudu) dvije po dvije kuglice, dok se ne izvuku dvije crvene kuglice ili dok se ne izvuku sve kuglice iz posude. Neka je X slučajna promjenljiva koja predstavlja broj izvlačenja kuglica iz posude. Naći zakon vjerovatnoće slučajne promjenljive X i ( ).F x

6. Iz špila od 32 karte izvlače se 3 karte odjednom. Date su slučajne promjenljive: X je broj izvučenih asova, a Y je broj izvučenih dama ili kraljeva. Naći zakon raspodjele vjerovatnoća slučajnih promjenljivih X i Y.

7. Strijelac gađa u metu sve dok je ne pogodi i ima na raspolaganju neograničen broj metaka. Ako strijelac pogađa metu sa vjerovatnoćom 0,3p = , odrediti zakon vjerovatnoće slučajne promjenljive X koja predstavlja broj potrošenih metaka.

Neprekidna slučajna promjenljiva Već ranije smo rekli da neprekidna slučajna promjenljiva ima neprebrojivo beskonačno mnogo vrijednosti, tj. da je njen skup vrijednosti neki interval ili unija intervala. Definicija 3 (definicija funkcije raspodjele) vrijedi za sve vrste slučajne promjenljive, a isto tako i Teorem 1, stavke 1) – 4), uključujući i dokaze tih tvrdnji. Definicija 4: Slučajna promjenljiva X je neprekidna, ako je za svako x∈ funkcija raspodjele ( ) ( )F x P X x= < neopadajuća i neprekidna, tako da je ( ) ( )0, 1.F F−∞ = +∞ =

Obzirom da je funkcija ( )F x monotona i neprekidna za sve ,x∈ ona je i diferencijabilna, tj.

postoji njen izvod ( ).F x′ Definicija 5: Ako je ( ) , ,F x x∈ funkcija raspodjele vjerovatnoća slučajne promjenljive X, tada

funkciju ( ) ( ) ( )f x F x x′= ∈ zovemo funkcijom gustine raspodjele vjerovatnoća slučajne promjenljive X.

Iz jednakosti ( ) ( ) ( )f x F x x′= ∈ slijedi da je ( ) ( ) ( ).x

F x f t dt x−∞

= ∈∫

Teorem 2 (osobine funkcije gustine ( )f x ): 1) ( ) 0f x ≥ za sve .x∈

2) ( ) 1.f x dx+∞

−∞

=∫

3) ( ) ( ) .b

a

P a X b f x dx< < = ∫

Dokaz: 1) Očigledno iz definicije 5.

2) Iz ( ) ( ) ( )x

F x f t dt x−∞

= ∈∫ i ( ) 1,F +∞ = dobija se odmah tražena jednakost.

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a

P a X b F b F a f x dx f x dx−∞ −∞

≤ < = − = − =∫ ∫

( ) ( ) ( ) .b b

a a

f x dx f x dx f x dx−∞

−∞

= + =∫ ∫ ∫

Primjeri:

a) Dokazati da funkcija ( )3

31 ,

0,

a x aF x xx a

⎧− >⎪= ⎨

⎪ ≤⎩

za proizvoljnu pozitivnu konstantu a može biti

funkcija raspodjele neke slučajne promjenljive X.

Rješenje: Očito je ( ) ( ) ( ) ( )lim 0, lim 1, lim 0,x x x a

F x F x F x F a→−∞ →+∞ →

= = = = što dokazuje našu tvrdnju.

b) Odrediti konstantu a tako da je funkcija ( )sin , 0

0, 0 iliax x x

f xx x

ππ

≤ ≤⎧= ⎨ < >⎩

funkcija gustine raspodjele

vjerovatnoća neke slučajne promjenljive X i zatim naći funkciju raspodjele vjerovatnoća ( )F x i

izračunati .6 2

P Xπ π⎛ ⎞< <⎜ ⎟⎝ ⎠

Rješenje: Iz osobine ( ) 1f x dx+∞

−∞

=∫ i ( ) 0f x = za ( ) ( ),0 ,x π∈ −∞ ∪ +∞ slijedi da je

0

sin 1.ax xdxπ

=∫ Kako je 0 0

0

sinsin cos cos cos ,

cos 0u x dv xdx

x xdx x x xdxdu dx v x

π πππ π π

= == = − + = − =

= = −∫ ∫

slijedi 11 .a aππ

= ⇒ =

Dalje, 0 0

sinsin cos cos cos sin ,

cos 0

x xu t dv tdt xt tdt t t tdt x x x

du dt v t= =

= = − + = − += = −∫ ∫ pa je

( ) ( ]0, 0

cos sin , 0, .1,

xF x x x x x

xπ

π

≤⎧⎪= − + ∈⎨⎪ >⎩

I najzad, cos sin cos sin6 2 2 6 2 2 2 6 6 6

P X F Fπ π π π π π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< < = − = − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 1 1 3 6 31 .6 2 2 2 12 12π π π⎛ ⎞ +

= − − ⋅ + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Zadaci:

1. Ako je ( ) ( )0, 00,5 1 cos , 01,

xF x x x

xπ

π

≤⎧⎪= − < <⎨⎪ >⎩

funkcija raspodjele slučajne promjenljive X, naći

funkciju gustine ( )f x i izračunati 3 .2 4

P Xπ π⎛ ⎞< <⎜ ⎟⎝ ⎠

2. Funkcija gustine vjerovatnoće slučajne promjenljive X data je sa:

( )4sin , 0,

2

0, 0,2

k x xf x

x

π

π

⎧ ⎡ ⎤∈⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎡ ⎤⎪ ∉ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

.

a) Izračunati k.

b) Izračunati .4 3

P Xπ π⎛ ⎞< <⎜ ⎟⎝ ⎠

3. Funkcija gustine vjerovatnoće slučajne promjenljive X data je sa : f(x) = Ax2 e – kx , x≥ 0, k >0.

a) Odrediti konstantu A. b) Odrediti funkciju raspodjele F(x).

c) Odrediti P ( 0 < X < k1 ).


( ) ( )( )

21 , 1,1

0, 1,1

a x xf x

x

⎧ − ∈ −⎪= ⎨∉ −⎪⎩

Izračunati konstantu a, te naći funkciju raspodjele F(x) i 1 1 .2 2

P X⎛ ⎞− < <⎜ ⎟⎝ ⎠


( )( )

2

3, 0,1 2

1 2

0, 0,1 2

k xx

x xf xx

⎧ + ⎡ ⎤∈ +⎪ ⎣ ⎦⎪ + −= ⎨⎪ ⎡ ⎤∉ +⎪ ⎣ ⎦⎩

.

a) Izračunati k. b) Izračunati ( )0 2 .P X< < 6. Funkcija gustine vjerovatnoće slučajne promjenljive X data je sa :

sin , 0,sin cos 4

( ) = .0, 0,

4

xA xx x

f xx

π

π

⎧ ⎡ ⎤∈⎪ ⎢ ⎥+⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎪ ∉ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

a) Odrediti konstantu A.

b) Odrediti .6

P X π⎛ ⎞>⎜ ⎟⎝ ⎠


( )1arcsin , 1, 5

.0, 1, 5

c xxf x

x

⎧ ⎡ ⎤⋅ ∈⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎪ ⎡ ⎤∉ ⎣ ⎦⎩

Izračunati nepoznatu konstantu c i funkciju raspodjele ( ).F x

Brojne karakteristike slučajnih promjenljivih

Najvažnija karakteristika slučajne promjenljive je matematičko očekivanje, koje se nekad zove i srednja vrijednost slučajne promjenljive.

Definicija 6: Ako je 1 2

1 2

......

n

n

x x xX

p p p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

diskretna slučajna promjenljiva, tada je matematičko

očekivanje slučajne promjenljive X jednako: ( )1

.x

i ii

E X x p=

=∑

Ako je pak X neprekidna slučajna promjenljiva čija je funkcija gustine raspodjele vjerovatnoća

( ) ,f x tada je njeno matematičko očekivanje broj ( ) ( ) .E X xf x dx+∞

−∞

= ∫

Teorem 3 (osobine matematičkog očekivanja): Neka je C proizvoljna realna konstanta, a X i Y proizvoljne slučajne promjenljive. 1) ( ) .E C C=

2) ( ) ( ).E CX CE X=

3) ( ) ( ) ( ).E X Y E X E Y+ = +

4) ( )( ) 0.E X E X− =

5) ( ) .a X b a E X b≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

Definicija 7: Disperzija ili varijansa slučajne promjenljive X je broj ( ) ( )( )( )22 .X E X E Xσ = −

Kvadratni korjen iz ovog broja zovemo standardnim odstupanjem slučajne promjenljive X, ( ) ( )2 .X Xσ σ=

Koristeći definiciju 7 i osobine matematičkog očekivanja, možemo dobiti jednu praktičnu formulu za disperziju slučajne promjenljive. Naime,

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )2 22 2 2X E X E X E X X E X E Xσ = − = − ⋅ ⋅ + =

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 22 2E X E XE X E E X E X E X E X E X= − + = − ⋅ +

( ) ( )( )22 .E X E X= − Dakle, ( ) ( ) ( )( )22 2 .X E X E Xσ = − Ova formula vrijedi i za diskretnu i za neprekidnu slučajnu promjenljivu X. Pogledajmo kako bi se računao broj ( )2 .E X

Ako je 1 2

1 2

......

n

n

x x xX

p p p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

diskretna slučajna promjenljiva, tada je ( )2 2

1,

n

i ii

E X x p=

=∑ a ako je X

neprekidna slučajna promjenljiva čija je funkcija gustine raspodjele vjerovatnoća ( ) ,f x tada je

( ) ( )2 2 .E X x f x dx+∞

−∞

= ∫

Teorem 4 (osobine disperzije): Neka je C proizvoljna realna konstanta. 1) ( )2 0.Xσ ≥

2) ( )2 0 .X X Cσ = ⇔ =

3) ( ) ( )2 2 2 .CX C Xσ σ= ⋅

4) ( ) ( )2 2 .X C Xσ σ+ =

Definicija 8: Medijana slučajne promjenljive X, u oznaci Me, je rješenje jednačine ( ) 1 .2

F x =

Moda (modus) Mo diskretne slučajne promjenljive X je njena najvjerovatnija vrijednost. Ali, ako je X neprekidna slučajna promjenljiva, moda je ona vrijednost argumenta x za koju funkcija gustine raspodjele ( )f x dostiže svoj maksimum. Riješeni primjeri:

a) Data je slučajna promjenljiva 1 3 4 7

.0,2 0,1 0,5

Xa

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Izračunati ( ) ,E X ( )2 ,Xσ ( )2 1E X −

i ( )2 2 1 .Xσ + Najprije treba odrediti broj a. Naime, pošto je 0,2 0,1 0,5 1 0,2.a a+ + + = ⇒ = Dalje slijedi: ( ) 1 0, 2 3 0,1 4 0,5 7 0, 2 3,9.E X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

( )2 2 2 2 21 0,2 3 0,1 4 0,5 7 0,2 18,9.E X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( )( )22 2 218,9 3,9 3,69.X E X E Xσ = − = − =

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 7,8 1 6,8.E X E X E E X− = − = ⋅ − = − =

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 2 4 3,69 14,76.X X Xσ σ σ+ = = ⋅ = ⋅ = b) Data je funkcija gustine tzv. uniformne raspodjele slučajne promjenljive X:

( ) [ ]

[ ]

1 , ,.

0, ,

x a bb af x

x a b

⎧ ∈⎪ −= ⎨⎪ ∉⎩

Odrediti ( )E X i ( )2 .Xσ

( )2 2 21 1 .

2 2 2

b

a

bx x b a a bE X dxab a b a b a

− += = ⋅ = ⋅ =

− − −∫

( )2 3 3 3 2 2

2 1 1 .3 3 3

b

a

bx x b a a ab bE X dxab a b a b a

− + += = ⋅ = ⋅ =

− − −∫

( ) ( )222 22 .

3 2 12b aa ab b a bXσ−+ + +⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) Data je funkcija gustine raspodjele slučajne promjenljive X:

( )[ ][ ]

0,5sin , 0,.

0, 0,

x xf x

x

π

π

⎧ ∈⎪= ⎨∉⎪⎩

Odrediti modu i medijanu. Da bismo našli modu, treba naći [ ]0,x π∈ za koje izraz 0,5sin x dostiže maksimum. Očigledno -

ako je sin 1,x = tj. .2

x π= Znači, .

2Mo π

=

Pošto je ( ) ( )0, 00,5 1 cos ,0 ,1,

xF x x x

xπ

π

<⎧⎪= − ≤ ≤⎨⎪ >⎩

iz jednačine ( )0,5 1 cos 0,5x− = slijedi da je

cos 0 .2

x x π= ⇒ = Dakle, .

2Me Mo π

= =

Zadaci:

1. Na slici je grafik funkcije ( ).xϕ

Odrediti konstantu c tako da funkcija ( )( ) [ ]

[ ], 2, 2

0, 2,2

c x xf x

x

ϕ⎧ ∈ −⎪= ⎨∉ −⎪⎩

bude funkcija gustine slučajne

promjenljive X. Zatim odrediti funkciju raspodjele ( ) ,F x matematičko očekivanje ( )E X i

disperziju ( )2 Xσ .


( ) ( )( ) [ ]

[ ]

2, 3,5

2 1

0, 3,5

ax xx xf x

x

⎧ ∈⎪ − −= ⎨⎪ ∉⎩

.

a) Izračunati konstantu a. b) Izračunati E(X).


( )[ ]

[ ]2

, 0,14

0, 0,1

c xf x x x

x

⎧ ∈⎪= −⎨⎪ ∉⎩

.

Izračunati konstantu c i matematičko očekivanje E(X).

4. Funkcija gustine vjerovatnoće slučajne promjenljive X data je sa :

( )[ ][ ]

, 0,1.

0 , 0,1

k arctgx xf x

x

⎧ ⋅ ∈⎪= ⎨∉⎪⎩

a) Odrediti konstantu k. b) Odrediti ( )E X i ( )2 .Xσ

5. Funkcija gustine vjerovatnoće slučajne promjenljive X data je sa :

( )22 cos ,

2 20, inače.

x xf x

π ππ⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨⎪⎩

Izračunati disperziju ( )2 Xσ zadane slučajne promjenljive.


-2 -1 0 1 2

1

( ) , 0cos 3

0, inače.

a xf x x

π⎧ ≤ ≤⎪= ⎨⎪⎩

Odrediti nepoznatu konstantu a, te izračunati matematičko očekivanje ( )E X i funkciju raspodjele

( ).F x

Najvažnije raspodjele vjerovatnoća diskretne slučajne promjenljive

Binomna raspodjela Binomna raspodjela usko je vezana za Bernulijeve eksperimente (Bernulijevu šemu). Naime, ako pretpostavimo da se neki eksperiment izvodi n puta uzastopno, pri čemu je n proizvoljan prirodni broj i da su sva izvođenja međusobno nezavisna i ako je A neki događaj sa vjerovatnoćom p, možemo posmatrati slučajnu promjenljivu X, definisanu kao broj realizacija događaja A pri n ponavljanja eksperimenta. Očito je tada { }0,1, 2,..., .XR n= Ranije smo izveli formulu:

( ) ( ), 0,1,..., ; 1 .k n kn k

nP X k P p q k n q p

k−⎛ ⎞

= = = = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Dakle, 1 2 2

0 1 2 ......

.....2

n n n n

nX n

q npq p q p− −

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Ovu raspodjelu zovemno binomnom. Naziv je potekao iz činjenice da su vjerovatnoće u toj

raspodjeli članovi binomnog razvoja ( ) 1 2 21 ... .2

n n n n nnq p q npq p q p− −⎛ ⎞

= + = + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Parametri binomne raspodjele su:

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1

! !! ! 1 ! !

n n n nk n k k n k k n k k n k

k k k k

n n n nE X k p q k p q k p q p qk k k n k k n k

− − − −

= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

( ) 11

1

1.

1

nnk n k

k

nnp p q np p q np

k−− −

=

−⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 1 1 1

! !! ! 1 ! !

n n n nk n k k n k k n k k n k

k k k k

n n n k nE X k p q k p q k p q p qk k k n k k n k

− − − −

= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 1 1

1 1 ! 1 ! ! .1 ! ! 1 ! ! 1 ! !

n n nk n k k n k k n k

k k k

S S

k n k n np q p q p qk n k k n k k n k

− − −

= = =

− + ⋅ − ⋅= = +

− − − − − −∑ ∑ ∑

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

12 2 2

21 ! ! 121 ! ! 2 ! !

n n nk n k k n k k n k

k k k

nk n nS p q p q n n p p qkk n k k n k

− − − −

= = =

−− ⋅ ⎛ ⎞= = = − ⎜ ⎟−− − − − ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )22 21 1 .nn n p p q n n p−= − + = −

( ) 112

1

1.

1

nnk n k

k

nS np p q np p q np

k−− −

=

−⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑

Dakle, ( ) ( )2 2 2 2 21 ,E X n n p np n p np np= − + = − + pa je

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 1 .X n p np np np np np np p npqσ = − + − = − = − =

Poasonova* raspodjela * - Simeon Denis Poisson (1781. – 1840.) – francuski matematičar

Ako je broj n velik, teško je računati binomni koeficijent .nk⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Zato se, umjesto binomne

raspodjele, za velike brojeve n (konkretno, ako je 100n ≥ ) treba koristiti neka druga raspodjela. Pretpostavimo da u formuli za vjerovatnoće binomne raspodjele

( ) ( ), 0,1,..., ; 1 ,k n kn k

nP X k P p q k n q p

k−⎛ ⎞

= = = = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

imamo da , 0n p→∞ → i neka je .npλ = Tada je

( ) ( ) ( ),

1 ... 11 1

!

kkn kk

n k k

n n n n kP p p

k k n nλ λ− − − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

1

1

11 1... ,

!1

n

k

kn n n k n

k n n nn

λλ

λ→

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− − + ⎝ ⎠= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

kad pustimo da ,n →∞ pa se dobije

,lim lim 1 , 0,1,2,...! !

nk k

n kn nP e k

k n kλλ λ λ −

→∞ →∞

⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Otuda, kažemo da slučajna promjenljiva X ima Poasonovu raspodjelu ako je

2

0 1 2 ....

...2

Xe e eλ λ λλλ− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Može se dokazati da je tada ( ) ( )2 .E X Xσ λ= = Primjer: Poznato je da će pri izradi nekog proizvoda na jednoj mašini biti 2% škarta. Izračunati vjerovatnoću da se nakon proizvedenih 110 proizvoda pojave tri neispravna proizvoda.

Ovdje je 100, 0,02 2,n p npλ= = ⇒ = = pa je tražena vjerovatnoća jednaka 3

22 0,18.3!

e− ≈

Geometrijska raspodjela

Na početku se pretpostavi kao kod binomne raspodjele da se više puta uzastopno izvodi isti eksperiment, da su sva izvođenja međusobno nezavisna i da imamo događaj A koji se pri svakom izvođenju realizira sa vjerovatnoćom p, a ne realizira se sa vjerovatnoćom 1 .q p= − Neka je X slučajna promjenljiva koja nam daje broj ponavljanja eksperimenta sve dok se događaj A ne realizira. Očito je { }1, 2,3,...XR = i

( )1 ,P X p= =

( )2 ,P X qp= =

( ) 23 ,P X q p= = itd.

Općenito, ( ) ( )1 1, 2,3,...kP X k q p k−= = =

Dobijenu raspodjelu zovemo geometrijskom, jer vjerovatnoće te raspodjele čine geometrijsku

progresiju. Očito je 2 3 ... 1.1

p pp qp q p q pq p

+ + + + = = =−

Može se pokazati da je ( ) ( )22

1 , .qE X Xp p

σ= =

Najvažnije raspodjele vjerovatnoća diskretne slučajne promjenljive

Normalna raspodjela Normalnu raspodjelu prvi je uveo i koristio njemački matematičar Gaus (Karl Friedrich Gauss, 1777. – 1855.). Ova raspodjela ima najveći značaj među svim raspodjelama, jer mnoge slučajne promjenljive imaju upravo normalnu raspodjelu, a osim toga mnoge druge raspodjele se mogu aproksimirati sa normalnom ili se može napraviti transformacija slučajne promjenljive kojom se ona dovodi na normalnu raspodjelu. Kažemo da slučajna promjenljiva X ima normalnu raspodjelu sa parametrima m i 2σ i tada pišemo:

( )2, ,X N m σ∼ ako je njena gustina raspodjele data formulom

( )( )

( )2

221 .2

x m

f x e xσ

σ π

−−

= ∈

Funkcija raspodjele slučajne promjenljive sa normalnom raspodjelom glasi:

( )( )

( )2

221 .2

t mx

F x e dt xσ

σ π

−−

−∞

= ∈∫

Na slici je prikazan grafik funkcije ( )( )

( )2

221 .2

x m

f x e xσ

σ π

−−

= ∈

Ova funkcija ima maksimum u tački 1, .2

mσ π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Apscisna osa (x – osa) joj je horizontalna

asimptota, jer je očito lim ( ) 0.x

f x→±∞

= Grafik je osno simetričan u odnosu na pravu .x m= Imajući u

vidu da je ( ) 1f x dx+∞

−∞

=∫ i da je to upravo površina koju zatvara kriva sa x – osom, zbog pomenute

osne simetrije je ( ) ( ) 0,5.m

m

f x dx f x dx+∞

−∞

= =∫ ∫ Osim toga,

( )( )( )( )

2

0,68

, 2 2 0,954

3 3 0,997

P m X m

X N m P m X m

P m X m

σ σ

σ σ σ

σ σ

⎧ − < < + ≈⎪

⇒ − < < + ≈⎨⎪ − < < + ≈⎩

∼

Neka je 2

2 .x

I e dx+∞ −

−∞

= ∫ Tada je 2 2 2 2

2 2 2 2 ,x y x y

D

I e dx e dy e dxdy++∞ +∞− − −

−∞ −∞

= =∫ ∫ ∫∫ gdje je 2.D = Pređimo

na polarne koordinate: cos sinx r y rϕ ϕ= ∧ = . Tada se oblast D transformiše na oblast : 0 2 0 ,D r aϕ π′ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ pri čemu .a →∞ Slijedi:

2 2 2 222 02 2 2 2

0 0

lim lim 2 lim 2 lim 2 .0

r r r aa

a a a aD

aI r e d dr d r e dr e e e

π

ϕ ϕ π π π− − − −

→∞ →∞ →∞ →∞′

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ = − = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫ ∫

Otuda je 2 .I π= Zbog parnosti podintegralne funkcije, očito je 2

2

0

2 .2 2

xI e dx π+∞ −= =∫

Ovaj rezultat možemo dobiti i pomoću gama funkcije. Naime, znamo da je

( ) ( )1

0

0t xx e t dt x∞

− −Γ = ⋅ >∫ i 1 ,2

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠

dakle

22 22

1 22 2 2

0 0 0 0 0

22 .2 2 22

xx xt

txe ete t dt dt xdx e dx e dxxt dt xdx

π ππ−∞ ∞ ∞ ∞ ∞−− − −− == ⋅ = = = ⋅ = ⇒ = =

=∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Izračunaćemo sada matematičko očekivanje i disperziju za slučajnu promjenljivu koja ima normalnu raspodjelu.

Imamo da je ( )( )2

221 .2

x m

E X xe dxσ

σ π

−+∞ −

−∞

= ∫

U ovom integralu uzećemo smjenu: .x m t dx dtσσ−

= ⇒ = Dalje je

( ) ( )2 2 222 2 21 .

2 2 2

t t tmE X t m e dt te dt e dtσσ σσ π σ π π

+∞ +∞ +∞− − −

−∞ −∞ −∞

= + = +∫ ∫ ∫

Očito je 2

2 0,t

te dt+∞ −

−∞

=∫ zbog neparnosti podintegralne funkcije. Zato je

( ) 2 .2 2m mE X I mππ π

= ⋅ = ⋅ = Osim toga je

( )( )2

22 2 212

x mx mE X x e dx t dx dtσ σσσ π

−+∞ −

−∞

−= = = ⇒ =∫

( )2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

0 2

1 1 2 .2 2

t t t t

t m e dt t e dt m te dt m e dt

π

σ σ σ σσ π π

+∞ +∞ +∞ +∞− − − −

−∞ −∞ −∞ −∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

Zbog parnosti podintegralne funkcije imamo da je 2

2 2 2 2

2

22 22 2 2 2

0 02

2 2 lim0

tt t t ta

at

u t dv te dt at e dt t e dt te e dt

du dt v e

−+∞ +∞− − − −

→∞−−∞

⎡ ⎤= =⎢ ⎥= = = − +⎢ ⎥⎣ ⎦= = −

∫ ∫ ∫

2

2 22 lim .2

a

aae π−

→∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Pošto je 2

2 22

2 2

1lim lim lim 0a

a aa a a

aae

e ae

−

→∞ →∞ →∞= = = (primjenili smo Lopitalovo pravilo), slijedi da je

( )2 2 2 2 21 22 2 ,22

E X m mπσ π σπ

⎛ ⎞= ⋅ + = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ tako da je ( )2 2 2 2 2.X m mσ σ σ= + − =

Prema tome, ( ) ( ) ( )2 2 2, , .X N m E X m Xσ σ σ⇒ = =∼

Neka je ( )2, .X N m σ∼ Tada je ( ) ( )( )2

221 .2

x mb b

a a

P a X b f x dx e dxσ

σ π

−−

< < = =∫ ∫

Posmatrajmo slučajnu promjenljivu: .X mTσ−

= Očito je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0E T E X m E X E m m mσ σ σ

= − = − = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ i

( ) ( )2 22

1 1.T Xσ σσ

= =

To znači da je ( )0,1 .T N∼ Njena funkcija gustine raspodjele je ( ) ( )2

21 .2

x

x e xϕπ

−= ∈ Ovu

funkciju zovemo normiranom (ili standardizovanom) normalnom krivom gustine, a samu raspodjelu ( )0,1N zovemo normiranom normalnom raspodjelom.

,a m X m b ma X bσ σ σ− − −

< < ⇒ < < pa ako stavimo da je 1a m tσ−

= i 2 ,b m tσ−

= tada je

( ) ( ) ( )2

2 2

1 1

21 2

1 .2

t t t

t t

P a X b P t T t t dt e dtϕπ

−< < = < < = =∫ ∫

Funkciju ( ) ( )2

2

0

12

t x

t e dx tπ

−Φ = ∈∫ zovemo Laplasovom funkcijom. Ukoliko je 0,t > tada je

očito ( )tΦ jednako površini dijela ravni određenog krivom ( ) ,xϕ x – osom i pravom .x t= Ako je

pak 0,t < tada je ( )tΦ jednako površini dijela ravni određenog krivom ( ) ,xϕ x – osom i pravom .x t=

Funkcije ( ) ( )ix xϕ Φ se često koriste u teoretskim i praktičnim izračunavanjima vjerovatnoće, ali imaju primjenu i u statistici, pa su napravljene tablice njihovih vrijednosti. Zbog njihovih osobina, dovoljno je poznavati vrijednosti funkcije ( )xϕ za 0 4,x≤ ≤ a za funkciju ( )xΦ dovoljno je znati vrijednosti za 0 3.x≤ ≤ Teorem (osobine funkcije ( )tΦ ):

1) ( )0 0Φ = .

2) ( ) 0,5.Φ +∞ =

3) ( )tΦ je neparna funkcija na skupu realnih brojeva . Dokaz: 1) Važi očigledno.

2) Pošto je ( ) ( )2

212

x

x e xϕπ

−= ∈ funkcija gustine raspodjele slučajne promjenljive T, imamo da

je 2

21 1.2

x

e dxπ

+∞−

−∞

=∫ Zbog parnosti podintegralne funkcije je onda

( ) ( )2 2

2 2

0

1 11 2 2 0,5.2 2

x x

e dx e dxπ π

+∞ +∞− −

−∞

= = ⋅ = ⋅Φ +∞ ⇒Φ +∞ =∫ ∫

3) ( )( )

( ) ( )22

2 2

0 0

smjena :1 1 ,2 2

ut tx x ut e dx e du t

dx duπ π

−−− −= −

Φ − = = = − = −Φ= −∫ ∫ za sve .t∈

Teorem je dokazan. Pogledajmo sada kakve veze ima normalna raspodjela ( )2,N m σ sa Laplasovom funkcijom. Već

smo dokazali da ( ) ( )2

2

1

2 21, .2

t t

t

X N m P a X b e dtσπ

−⇒ < < = ∫∼

Pošto je 2 2 2 2 2

2 2 2 1

1 1

02 2 2 2 2

0 0 0

,t t t tt t t t t

t t

e dt e dt e dt e dt e dt− − − − −

= + = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ slijedi da je

( ) ( ) ( )2 2

2 1

2 22 1

0 0

1 1 ,2 2

t tt t

P a X b e dt e dt t tπ π

− −< < = − = Φ −Φ∫ ∫ odnosno:

( )(1) .b m a mP a X bσ σ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞< < = Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

U specijalnom slučaju kada je ,a = −∞ ,b∈

( ) ( ) ( ) ( )0,5 0 0,5 ,b m b mP a X b P X m P m X bσ σ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞< < = −∞ < < + < < = +Φ −Φ = +Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ što

se formalno uklapa u formulu (1), jer je

( ) 0,5.b m a m b m b mσ σ σ σ− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ −Φ = Φ −Φ −∞ = Φ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ako je , ,a b∈ = +∞ tada je

( ) ( ) ( ) ( )0 0,5 0,5 .a m a mP a X b P a X m P m Xσ σ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞< < = < < + < < +∞ = Φ −Φ + = −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

I ovaj slučaj se uklapa u formulu (1), jer je

( ) 0,5 .b m a m a m a mσ σ σ σ− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ −Φ = Φ +∞ −Φ = −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Najzad, ako je , ,a b= −∞ = +∞ tada je očito ( ) 1,P a X b< < = dok je

( ) ( ) 0,5 0,5 1.b m a mσ σ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ −Φ = Φ +∞ −Φ −∞ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Prema tome, formula (1) vrijedi općenito za { }, , .a b∈ = ∪ −∞ +∞ Sada ćemo vidjeti vezu između binomne i normalne raspodjele. U Bernulijevoj šemi izvodi se n nezavisnih eksperimenata. Imamo događaj A čija je vjerovatnoća p, 1q p= − − vjerovatnoća da se događaj A neće realizirati (pri jednom izvođenju eksperimenta), pa ako označimo sa nμ broj

realizacija događaja A, znamo da je ( ) 1 , 0,1,..., .m mn

nP m p q m n

kμ −⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Već smo rekli da je ova

formula vrlo nepraktična za računanje ako je n velik ( 100n > ) i ako je p malen broj. Za proizvoljno

{ }0,1,...,m n∈ neka je .mm npx

npq−

=

Teorem 2 (lokalni teorem Moavr – Laplas): ( ) ( ) ( ),1 ,n m n mP P m x nnpq

μ ϕ= = →∞∼ tj.

( )( )

lim 1.1n

nm

P m

xnpq

μ

ϕ→∞

==

To praktično znači da je za velike brojeve n vjerovatnoća ( )nP mμ = približno jednaka

( )1 .mxnpq

ϕ

Primjer: Jedan eksperiment se ponavlja 340 puta. Događaj A se realizira pri svakom izvođenju eksperimenta sa vjerovatnoćom 0,12.p = Izračunati vjerovatnoću događaja da će se A realizirati 60 puta. Očitavaju se vrijednosti: 340, 60, 0,12, 0,88.n m p q= = = = Zatim računamo

60 340 0,12 3, 20.340 0,12 0,88mx − ⋅

= ≈⋅ ⋅

Iz tablica se očita ( )3, 2 0,0024.ϕ = Najzad,

( ) ( )1 160 0,0024 0,0004.60 0,12 0,88n mP x

npqμ ϕ= ≈ = ⋅ ≈

⋅ ⋅

Preporučuje se ovako računati vjerovatnoće ,n mP ukoliko je 50n ≥ i 10.npq >

Ako je X slučajna promjenljiva koja ima binomnu raspodjelu sa parametrima , , ,n p q znamo da je

( )E X np= i ( ) ( )2 .X np X npqσ σ= ⇒ = Tada slučajna promjenljiva X npnpq− ima očekivanje

jednako 0 i disperziju jednaku 1. Sam način formiranja te slučajne veličine je analogan načinu kako smo dobili normiranu normalnu slučajnu promjenljivu T. Teorem 3 (integralni teorem Moavr – Laplas): Ako je u Bernulijevoj šemi ( )0,1 ,p∈ tada je

2

21lim .2

b xn

na

npP a b e dxnpq

μπ

−

→∞

⎛ ⎞−≤ ≤ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Posljednja formula znači praktično da je 2

212

b xn

a

npP a b e dxnpq

μπ

−⎛ ⎞−≤ ≤ ≈⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ za velike brojeve n. S

obzirom na definiciju Laplasove funkcije ( )xΦ imamo da je

( ) ( )2 2 2

2 2 2

0 0

1 1 .2 2

b b ax x x

a

e dx e dx e dx b aπ π

− − −⎛ ⎞= − = Φ −Φ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ sada bez problema možemo izračunati i

( ).nP a bμ≤ ≤ Naime, ,nn

npa np b npa bnpq npq npq

μμ −− −≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ pa je

( ) .nn

npa np b np b np a npP a b Pnpq npq npq npq npq

μμ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− − − −

≤ ≤ = ≤ ≤ = Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Primjer: Vjerovatnoća izrade škarta kod proizvodnje jednog vijka je 0,05. Ako se u jednoj seriji proizvede 100 vijaka, izračunati vjerovatnoću da je od toga bilo: a) manje od 5 loših. b) od 5 do 10 loših Očitavamo podatke: 100, 0,05, 0,95 5, 4,75.n p q np npq= = = ⇒ = =

a) ( ) ( )

0

5 5 0 50 5 2,2942 0,489.4,75 4,75nP μ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −≤ < = Φ −Φ = Φ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) ( ) ( )10 5 5 55 10 2,2942 0,489.4,75 4,75nP μ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −≤ ≤ = Φ −Φ = Φ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Zadaci:

1. Novčić je bačen 10000 puta. Naći vjerovatnoću da se grb pojavio 4950 puta. 2. Novčić je bačen 10000 puta. Naći vjerovatnoću da se grb pojavio od 4950 do 5100 puta. 3. Ispaljeno je 50 metaka s vjerovatnoćom pogotka 0,6 po svakom metku. Kolika je

vjerovatnoća da će cilj pogoditi: a) 25 metaka, b) od 10 do 30 metaka, c) manje od 15 metaka, d) više od 28 metaka?

4. Pri izradi nekih proizvoda prosječno 10% otpada na škart. Koja je vjerovatnoća da se pri izradi 400 proizvoda nađe više od 299 ispravnih?

Studentova raspodjela Definicija: Kažemo da slučajna promjenljiva X ima Studentovu raspodjelu ako je njena funkcija gustine raspodjele data formulom

( ) ( ) ( )1

2 2

11 22 1 , .

2

nnxf x x n

n nnπ

+−

+⎛ ⎞Γ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= ⋅ + ∈ ∈⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

Dobila je ime po engleskom matematičaru Williamu Sealy Gossetu, koji je pisao radove pod pseudonimom Student. Parametar n koji se pojavljuje u ovoj raspodjeli zove se broj stepeni slobode. Funkcija ( )f x je očito parna i pozitivna, x – osa joj je asimptota.

Može se pokazati da je ( ) 0E X Me Mo= = = i ( )2 ,

2nX

nσ =

− ako X ima Studentovu raspodjelu.

Teorem: Studentova raspodjela teži ka normalnoj ( )0,1N raspodjeli kad ,n →∞ tj.

( ) ( ) ( )2

212 lim .2

x

nf x e x

π

−

→∞⇒ = ∈

Već za 30n > Studentova raspodjela se može s dovoljnom tačnošću aproksimirati normalnom raspodjelom.

2χ (Hi kvadrat) raspodjela Definicija: Kažemo da slučajna promjenljiva X ima 2χ (hi kvadrat) raspodjelu ako je njena funkcija gustine raspodjele data formulom

( ) ( )21 0, .2

2

n xn

nf x x e x n

n− −= > ∈

⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

Parametar n zovemo broj stepeni slobode. Ako slučajna promjenljiva X ima 2χ raspodjelu, tada je ( ) ( )2, 2 , 2E X n X n Mo nσ= = = − (ako je

2n > ). Teorem: Ako su 1 2, ,..., nX X X nezavisne slučajne promjenljive sa normalnom raspodjelom

( )0,1 ,N tada slučajna promjenljiva 2 2 21 2 ... nX X X+ + + ima 2χ raspodjelu sa n stepeni slobode.

Kao i kod Studentove raspodjele, kad ,n →∞ 2χ raspodjela teži ka normalnoj. Već za 30n > 2χ raspodjela može se zamijeniti normalnom sa dovoljno velikom tačnošću. Teorem: Ako slučajna promjenljiva T ima Studentovu raspodjelu sa n stepeni slobode, tada postoje

slučajne promjenljive X, koja ima normalnu i Y koja ima 2χ raspodjelu, tako da je .XTYn

=

slucajne promjenljive

Documents