Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”5

Unidad 5. Ecuaciones

PÁGINA 106

50 Dos grifos llenan un depósito en 3 horas. Si solo se abre uno de ellos, tardaría 5 horas. ¿Cuánto tardará el otro grifo en llenar el depósito?

Los dos grifos juntos, en 1 hora, llenan 13

del depósito.

Uno de los grifos llena, en 1 hora, 15

del depósito.

El otro grifo, en 1 hora, llena 1x

del depósito.

15

+ 1x

= 13

8 1x

= 215

8 x = 152

= 7,5 h

El otro grifo tarda 7 horas y media en llenar el depósito.

51 Un grifo tarda el doble que otro en llenar un depósito. Abriendo los dos a la vez, tardan 8 horas. ¿Cuánto tardará cada uno de ellos en llenarlo?

Un grifo llena, en 1 h, 1x

del depósito, y el otro grifo llena, en 1 h, 12x

del depósito.

Los dos juntos, en 1 hora, llenan 18

.

1x

+ 12x

= 18

8 32x

= 18

8 2x = 24 8 x = 12 h

Uno de los grifos tarda 12 h, y el otro, 24 horas en llenar el depósito.

52 Regalé la mitad de mis discos a mi novia y la mitad del resto a mi hermano. De los que regalé, la tercera parte eran de pop, y los otros 6, de rock. ¿Cuántos discos regalé y cuántos tenía?

Tenía x discos.

Regalé x2

8 quedan x2

8 regalo la mitad x4

En total regalé x2

+ x4

= 34

x

La tercera parte 13

· 34

x = 14

x eran de pop.

Los otros 23

· 34

x = 12

x son los 6 de rock.

12

x = 6 8 x = 12 discos son los que tenía y 34

· 12 = 9 discos son los que regalé.

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Unidad 5. Ecuaciones

■ Problemas “+”

53 La cuarta parte de los clientes de un hotel están en régimen de pensión comple-ta, y el resto, en media pensión. De estos últimos, 1/3 almuerzan y el resto cenan. Los 2/3 de pensión completa y la mitad de los que cenan toman vino, y son 180. ¿Cuántos clientes hay en el hotel? ¿Cuántos cenan en él?

En el hotel hay x clientes.x4

están en pensión completa 8 23

· x4

= x6

toman vino.

34

x están en media pensión 8 23

· 34

x = x2

cenan 8 12

x2

toman vino.

x6

+ x4

= 180 8 512

x = 180 8 x = 432 clientes hay en el hotel.

Cenan en el hotel 12

· 432 = 216 clientes.

54 Ana, en su camino diario al colegio, ha comprobado que si va andando a 4 km/h, llega 5 minutos tarde, pero si se da prisa y va a 5 km/h, llega 10 minutos an-tes de la hora. ¿Cuál es la distancia al colegio? ¿Llegará puntual si hace la mitad del camino a 4 km/h y la otra mitad a 5 km/h?

a) x4

– x5

= 14

8 x20

= 14

8 x = 5 km

Si va a 4 km/h tarda 1,25 8 1 h y 15 minSi va a 5 km/h tarda 1 h

°¢£ Tiene que tardar 1 h y 10 min

b) 2,5v = 4 km/h

2,5v = 5 km/h

8 2,54

+ 2,55

= 0,625 + 0,5 = 1,125 8 1 h 7' 30''

Llega un poco antes de la hora.

55 Luis y Miguel van a visitar a sus abuelos. Como solo tienen una bicicleta, acuerdan que Miguel la lleve hasta la mitad del camino y la deje allí hasta que Luis, que sale andando, la recoja. La segunda mitad, Miguel caminará y Luis irá en bici-cleta. De esta forma, tardan una hora en llegar a su destino. El que camina va a 4 km/h, y el que va en bicicleta, a 12 km/h. ¿Cuál es la distancia que han recorrido? ¿Cuánto tiempo estuvo parada la bicicleta?

t : tiempo que emplea Miguel en recorrer la mitad del camino en bicicleta.

12t = 4(1 – t) 8 16t = 4 8 t = 14

h

Andando tarda 34

h.

Distancia : 12 · 14

+ 4 34

= 3 + 3 = 6 km

Tiempo de bicicleta parada: La deja cuando ha pasado 14

h y el otro la recoge a los 34

h.

Está parada 12

hora.

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Unidad 5. Ecuaciones

56 Carmen hace cuentas sobre las compras que ha hecho y observa que el abrigo le ha costado el triple que el bolso; el bolso, 5 € menos que la camisa; la camisa, 6 € más que los deportivos; los deportivos, el doble que el estuche; el estuche, la mitad que el pantalón, y este, 120 € menos que la suma de todos los demás artículos. Calcu-la el precio de cada compra y el dinero que se gastó Carmen.

A = 3B; B = C – 5; C = D + 6; D = 2E; E = P2

P = A + B + C + D + E – 120

A = 3(C – 5) = 3(D + 6 – 5) = 3(D + 1) = 3(2E + 1) = 3(P + 1) = 3P + 3

B = D + 6 – 5 = D + 1 = 2E + 1 = P + 1

C = 2E + 6 = P + 6

D = P

P = 3P + 3 + P + 1 + P + 6 + P + P2

– 120 8 5P + P2

= 110 8

8 11P2

= 110 8 P = 20 € precio pantalón.

E = 10 € estuche; D = 20 € deportivos; C = 26 € camisa

B = 21 € bolso; A = 63 € abrigo

Gasto total: 140 €

57 Estas dos figuras representan dos terrenos de la misma superficie. En cada una se ha construido una vivienda y el resto de la parcela se ha dedicado a jardín.

a) Escribe las expresiones algebraicas para la superficie de cada parcela.

b) Escribe las expresiones algebraicas para la superficie del jardín en cada caso.

c) ¿Cuál debe ser el valor de x para que el área de las dos parcelas sea la misma?

d) Halla, para ese valor de x, la superficie de cada casa y la superficie de cada jardín.

x – 1

x – 7

x – 4

x + 8x

xx

8

8

CASA

A B

CASA

a) Superficie A: (x + 8)2. Superficie B: (x + 8)(3x – 12)

b) Jardín A: (x + 8)2 – x2 = x2 + 16x + 64 – x2 = 16x + 64

Jardín B: (x + 8)(3x – 12) – x(x – 1) = 3x2 + 12x – 96 – x2 + x = 2x2 + 13x – 96

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Unidad 5. Ecuaciones

c) (x + 8)2 = 3x2 + 12x – 96 8 x2 + 16x + 64 – 3x2 – 12x + 96 = 0 8

8 –2x2 + 4x + 160 = 0 8 x2 – 2x – 80 = 0 8

8 x = 2 ± √4 + 3202

= 2 ± 182

x = 10x = –8. No vale.

Debe ser x = 10 m.

d) A = °¢£

Casa = 100 m2

Jardín = 224 m2 B = °¢£

Casa = 10 · 9 = 90 m2

Jardín = 2 · 102 + 13 · 10 – 96 = 234 m2

58 En una empresa disponen de dos modelos de cajas sin tapa para empaquetar. Los dos tienen la altura fija y base variable, como las de la figura. Los directivos du-dan entre elegir el valor de x para el cual las cajas tengan el mismo volumen, o ele-girlo de forma que la cantidad de cartón empleada para su fabricación sea la misma. ¿Es posible encontrar un valor de x que cumpla las dos condiciones?

x + 2 x – 2

2

4

x x

VA = 2x (x + 2) VB = 4x (x – 2)

Si VA = VB 8 2x2 + 4x = 4x2 – 8x 8 2x2 – 12x = 0 8

8 x2 – 6x = 0 x = 0 no vale.x = 6 cm

SA = 2 · 2(x + 2) + 2 · 2x + x (x + 2) = 4x + 8 + 4x + x2 + 2x 8 SA = x2 + 10x + 8

SB = x (x – 2) + 2 · 4x + 2 · 4(x – 2) = x2 – 2x + 8x + 8x – 16 8 SB = x2 + 14x – 16

Si SA = SB 8 x2 + 10x + 8 = x2 + 14x – 16 8

8 8 + 16 = 14x – 10x 8 24 = 4x 8 x = 6 cm

59 Para saldar una deuda, un banco me ofrece dos opciones: pagarla dentro de 2 años con un 8% de interés anual o pagarla dentro de 9 meses al 15% de interés anual. Con la segunda opción pago 577,3 € menos que con la primera. Calcula el dinero que debo.

x es el dinero que debo; 15% anual ≈ 1512

= 1,25 mensual

Con la 1.a opción pago x · 1,082.

Con la 2.a opción pago x (1,0125)9.

x · 1,082 – x (1,0125)9 = 577,3 8 0,048x = 577,3

x = 12 000 € es el dinero que debo.

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