soluciones problemas 1 21 mecanismos y sistemas

I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA

Transmisión del movimiento

1

3500 r.p.m.630 r.p.m.

MOTRIZCONDUCIDA

1º) Las máquinas de coser antiguas son un ejemplo de sistema por poleas. Podrías decir si es un sistema reductor o multiplicador de velocidad. Es multiplicador, puesto que la polea motriz es mayor que la conducida, siendo por tanto la relación de transmisión mayor que 1. 2º)¿Puede funcionar el siguiente mecanismo?. Razona la respuesta. Para solucionar este tipo de problemas basta tomar, una cualquiera, de las poleas y asignarle un sentido de giro arbitrario. Una vez decidido el sentido de giro, bastará ir siguiendo el sentido de desplazamiento de las correas hasta volver al eje de partida. Si en el eje de partida los sentidos de la polea motriz y conducida son iguales, el sistema podría funcionar, en caso contrario, no. En el dibujo de la figura no es posible el giro del sistema, para deducirlo, hemos tomado como motriz la polea pequeña del eje superior izquierdo de la figura

3ª) En la siguiente figura, las r.p.m. de la polea conducida son 630 y la polea conductora gira a 3500 r.p.m. Calcular la relación de transmisión. ¿Cuánto es mayor el diámetro de la polea conducida que el diámetro de la motriz?.

La relación de transmisión de un acoplamiento simple de poleas, viene dada, entre otras, por la expresión:

M

CtR

sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos la relación de transmisión del acoplamiento:

50

9

350

63

3500

630

M

CtR

Recuerda que la relación de transmisión nos da en el numerador, el número de vueltas que da la

polea conducida, en tanto que, el denominador, nos da el número de vueltas que da la motriz. En este caso particular la polea motriz dará 50 vueltas por cada 9 que de la conducida.

Puesto que la relación de la expresión, también es el cociente entre los diámetros de la polea

motriz y la conducida, podemos deducir fácilmente que el diámetro de la polea conducida es 9

50 veces

mayor que la motriz. 4º) Dado el acoplamiento de poleas de la figura, en el que el radio de la polea conducida es 15 cm, la longitud de la circunferencia de la polea motriz es de 31,4 cm, y l a velocidad de giro de la polea motriz es de 30 r.p.m. Calcular:



2

a) Relación de transmisión del acoplamiento b) ¿Cuántas vueltas dará la motriz por cada vuelta que de la conducida? c) ¿Cuántas vueltas dará la polea conducida se la motriz da 60 vueltas? d) ¿Cuántos metros de correa se desplazan en 60 segundos? e) ¿A qué velocidad gira la polea conducida? Nota: Tomar =3,14

SOLUCIÓN DATOS R = 15 cm LM = 31,4 cm

M = 30 r.p.m.

a) Rt=? b) Nº vueltas de M si Nº vueltas de C=1 = ? c) Nº vueltas de C si Nº vueltas de M =60 = ? d) Longitud de correa para t=60 s = ?

e) C = ? a) La relación de transmisión de un acoplamiento simple de poleas es igual al cociente de la

longitud de la circunferencia de la polea conducida, entre la longitud de la circunferencia de la polea motriz. También se puede expresar la relación de transmisión como el cociente del radio de la polea conducida (R) entre el radio de la polea motriz (r); es decir:

C

M

C

M

r

r

r

r

conducidapolealadenciacircunfereladeLongitud

motrizpolealadenciacircunfereladeLongitudRt

**2

**2

Así para calcular la relación de transmisión del acoplamiento podemos optar por cualquiera de las expresiones, nosotros lo haremos mediante el cociente de radios, para lo cual calcularemos el radio de la motriz despejando de la fórmula de la longitud de la circunferencia:

cmrrrLM 514,3*2

4,31;*14,3*24,31;**2

con lo cual tenemos una relación de transmisión de:

b) La contestación a esta pregunta está en la propia relación de transmisión, siendo su solución 3 vueltas

c) VueltasX

X

CONDUCIDAMOTRIZ

203

1*60

______________60

1______________3

d) Sabemos que la polea motriz da 30 vueltas en un minuto, o lo que es lo mismo, da 30 vueltas en 60 segundos.

En cada una de las vueltas de la polea, la correa se desplazará una longitud igual a la propia longitud de la circunferencia de la polea ( en este caso referidos a la motriz). En el enunciado se nos indica que la longitud de la circunferencia de la polea motriz es de 31,4cm.

La longitud de la correa desplazada en esos 60 segundos será por tanto las 30 vueltas

que da la motriz en 60 segundos por la longitud de la circunferencia de la polea motriz: mcmLMdeVueltasNL MCORREA 42,97854,31*30*º

e) Dado que la relación de transmisión de un acoplamiento simple de poleas es el cociente de

la velocidad angular de la conducida entre la velocidad angular de la motriz (ya conocida), bastará despejar este último valor de la expresión, para saber la velocidad angular de giro de la conducida:

r

MotrizConducida

R

3

1

15

5

C

M

r

ri

Nº vueltas de la onducida

Nº vueltas de la motriz



3

...103

30;

303

1; mpri C

C

M

C

5º) Calcula las velocidades de salida que proporciona el siguiente mecanismo de cono escalonado de poleas. SOLUCIÓN. Para calcular la velocidad de salida operaremos siguiendo el siguiente método: A:- Calculamos la relación de transmisión del acoplamiento

71

7

50

350

C

M

d

di

A partir de la relación de transmisión calculamos la velocidad angular de salida:

...7007*100;100

7; mpri CC

M

C

Este proceso se calculará para cada uno de los escalones, arrojando los resultados que se indican en la siguiente tabla:

EJE MOTRIZ EJE CONDUCIDO

RELACIÓN DE TRANSMISIÓN

dM=350 mm M= 100 r.p.m

dC=50 mm M= 700 r.p.m

7

dM=250 mm M= 100 r.p.m

dC=150 mm dM= 166,66 r.p.m

5/3

dM=150 mm M= 100 r.p.m

dC=250 mm M= 60 r.p.m

3/5

dM=50 mm M= 100 r.p.m

dC=350 mm M= 14,285 r.p.m

1/7

6º) Calcula la velocidad de salida que proporciona el siguiente mecanismo, cuando la polea motriz gira a 50 r.p.m.

d1=15 mm

d2=20 mmd3=10 mm

d4=12 mmd5=20 mm

d6=25 mm

6

5

4

3

21

MOTRIZ

SOLUCIÓN Resolver este problema es muy sencillo, pues bastará calcular la relación de transmisión del sistema a través de los diámetros de las distintas poleas, y después sustituir en la expresión que relaciona la relación de transmisión con las velocidades angulares de la motriz y de la polea final.

Ø250

Ø350

Ø50Ø150

100 r.p.m

Ø50

Ø150Ø250

Ø350



4

5

4

25

20..........Re

6

5

12

10..........Re

4

3

20

15..........Re

6

53

2

32

2

11

C

M

C

M

C

M

d

ditoacoplamientercerdellación

d

ditoacoplamiensegundodellación

d

ditoacoplamienprimerdellación

2

1

120

60

5

4*

6

5*

4

3**Re 32 iiiisistemadelntransmisiódelación

Por lo tanto la velocidad de salida del sistema será:

...252

50;

...502

1; 6

6

6

1 mprmpr

i CC

C

Mt

7º) El compresor de aire es accionado por medio de un sistema de poleas desde un motor funcionando a 300 r.p.m., como se ve en la figura. ¿Cuál es la relación de velocidades del sistema de poleas?.¿A qué velocidad gira el eje del compresor? SOLUCION

La relación de transmisión del sistema la obtendremos mediante el cociente de los diámetros de las poleas:

5

2

20

8

C

M

d

di

lo que significa que por cada 5 vueltas que da la motriz da 2 la conducida, tratándose por tanto de un sistema reductor de velocidad. La velocidad de giro del eje del compresor la obtendremos a partir de la fórmula que relaciona las velocidades angulares con la relación de transmisión:

...1205

300*2;

...3005

2; mpr

mpri C

C

M

C



5

8º) En la siguiente figura se puede ver un sistema de poleas escalonadas igual que el utilizado en algunas taladradoras. Al cambiar la posición de la correa V, se pueden obtener tres velocidades del eje diferentes. ¿En qué posición debe estar accionada la correa para suministrar la máxima velocidad de la taladradora?. Si el motor de accionamiento funciona a 1400 r.p.m., ¿cuál es la velocidad más lenta a la que funciona la taladradora?. SOLUCIÓN La velocidad máxima del eje de la taladradora vendrá dada en la posición en que el diámetro de la polea del motor es mayor ( 8 cm), y el diámetro de la posición de la polea del eje de la taladradora es más pequeña (10 cm). Dado que el motor gira a 1400 r.p.m. podemos calcular la velocidad en el eje de la taladradora, en las posiciones anteriormente indicadas, siguiendo el mismo proceso explicado en el problema 5:

5

4

10

8

C

M

d

di


...11205

4*1400;

14005

4; mpri C

C

M

C

Obsérvese que la velocidad del eje de la taladradora es menor que la del motor, puesto que se trata de un sistema reductor de velocidad (i<1). La velocidad más lenta está en la posición con el diámetro menor de la polea en el eje del motor (4 cm), y del diámetro mayor del eje de la taladradora (14 cm). Utilizando el mismo proceso que se acaba de aplicar calcularemos la velocidad de giro del eje de la taladradora, cuando la correa se sitúa en la parte inferior:

7

2

14

4

C

M

d

di


...4007

2*1400;

14007

2; mpri C

C

M

C

9º) Un motor se encuentra sobre una estructura en voladizo de dos metros de longitud. Unido a la estructura hay un motor que gira a 100 r.p.m., el cual, tiene unida una polea de 20 cm de radio sobre la cual se enrolla una cuerda unida a la carga.



6

Se pide: a) Velocidad del motor en rd/s b) Velocidad lineal del bloque. c) Tiempo que tardará el bloque en subir 10 metros. d) Si despreciamos el peso del motor, de la estructura, de la cuerda y de la polea, y el bloque

pesa 50 kg, ¿qué momento se ejerce sobre el pilar vertical de la estructura?. Expresa las unidades en el Sistema Internacional.

SOLUCIÓN

a) El primer apartado es un simple cambio de unidades, utilizando el método ya explicado en ocasiones en clase, por lo cual la velocidad angular del motor será:

srd

s

rd

s

rd

s

mn

vuelta

rd

mn

vueltasmpr 47,10

60

628

60

2*100

60

1*

1

2*100...100

b) Velocidad lineal del bloque:

Sabemos que la velocidad lineal se relaciona con la angular por la expresión V=*R, bastará sustituir los valores del motor en la fórmula para obtener la velocidad lineal de la cuerda que se enrolla sobre la polea acoplada al eje del motor. La única condición para aplicar la fórmula, es que las magnitudes deben estar dadas en el sistema internacional, es decir, la velocidad angular en rd/s y el radio en metros. Por lo tanto, los 20 cm de radio de la polea del motor habrá que pasarlo a metros (20 cm = 0,2 m):

smmsrdRV /094,22,0*47,10*

c) Tiempo que tardará el bloque en subir 10 metros: Puesto que sabemos la velocidad lineal de la cuerda que se enrolla en la polea del motor, y

la longitud o espacio que ha de recorrer la carga el tiempo será:

ssm

m

V

et

t

eV 77,4

/094,2

10;

d) Momento de la carga sobre el pilar central:

Recuerda que el momento de una fuerza tiene por expresión M=F*d , donde M es el momento en N*m, F es la fuerza en Newton y d es la distancia perpendicular de la fuerza al punto de giro. En este caso en particular, la fuerza es de 50 kg y la distancia los 2 m de la estructura más los 30 cm del eje del motor. En este caso, pasaremos todas las unidades al sistema internacional:

mNdFM

mmmcmmd

Nkg

NkgunidadesdecambiounhaciendokgF

*15,11283,2*5,490*

3,23,02302

5,4901

81,9*5050

10º) Si acoplamos las poleas de la figura mediante una correa, sabiendo que el radio de la motriz son 2 cm y la longitud de la polea conducida es de 62,8 cm (Tomar =3,14 para los cálculos). Se pide. a) ¿Qué relación de transmisión tiene el

acoplamiento?. b) ¿Cuántas vueltas da la polea conducida

por cada 10 vueltas que da la motriz?. c) ¿Cuántos radianes deberá girar la polea

motriz para que la conducida de 5 vueltas?.

d) ¿Cuál es la velocidad de la polea conducida si la motriz gira a 25 r.p.m?. Expresa el resultado en rd/s y revoluciones por minuto

e) ¿Qué radio debería tener la polea conducida para que gire 20 vueltas por cada una que de la motriz?.

SOLUCIÓN a) Relación de transmisión del mecanismo.

r

MotrizConducida

R



7

Dado que no tenemos los diámetros o los radios de ambas poleas ( sólo tenemos el radio de la motriz, igual a 2 cm), pero tenemos la longitud de la polea conducida, a partir de la expresión de la longitud de la circunferencia (L=2**r), obtendremos el radio de la polea conducida.

cmrrrL CCCC 1014,3*2

8,62;*14,3*28,62;**2

Por lo cual la relación de transmisión del acoplamiento será:

b) A partir de la relación de transmisión calculamos el número de vueltas que da la conducida si la motriz da 10:

VueltasXX

CONDUCIDAMOTRIZ

25

1*10

______________10

1______________5

c) En este caso, primero calculamos las vueltas de la motriz cuando la conducida da 5 vueltas y

después por un simple cambio de unidades los expresamos en radianes.

VueltasXX

CONDUCIDAMOTRIZ

151

3*5

5______________

1______________3

rdrdvuelta

rdvueltas 2,942*15

1

2*15

d) Puesto que conocemos la relación de transmisión, y la expresión que relaciona sus velocidades

angulares, sustituyendo:

mpri CC

M

C ..55

25;

255

1;

Para obtener el resultado en rd/s hacemos un cambio de unidades:

srds

mn

vuelta

rd

mn

vueltasmpr /523,0

60

1*

1

2*5...5

e) Despejando en la expresión de la relación de transmisión que relaciona los radios, obtendremos el valor pedido. Tenga en cuenta que si la polea conducida da 20 vueltas y la motriz una , el valor de la relación de transmisión es 20/1. Por otro lado, el radio de la polea motriz sabemos que son 2 cm, por lo que:

cmrrr

ri C

CC

M 1,020

1*2;

2

1

20

12º) Sea un correa que enlaza dos poleas de 5 cm (acoplada al eje del motor) y de 40 cm de radio (acoplada al eje de una bomba). Se pide:

a) Relación de transmisión. b) Si el motor gira a 100 r.p.m., ¿a qué

velocidad gira el eje de la bomba?. c) ¿Qué longitud debería tener la correa,

que acopla las poleas, si la separación entre ejes fuese de 40 cm?

5

1

10

2

C

M

r

ri

Nº vueltas de la motriz

Nº vueltas de la conducida

40 cm

r

A

B

C

R -

r

R



8

SOLUCIÓN

a) La relación de transmisión del acoplamiento será:

8

1

40

5

C

M

r

ri

b) Velocidad de giro del eje de la bomba. Puesto que conocemos la relación de transmisión, podemos despejar la velocidad angular de la

conducida de la expresión:

mpri CC

M

C ..1258

1000;

10008

1;

c) La longitud de la polea es la suma de:

La mitad de la longitud de la circunferencia de la polea motriz: cmrL M 4,315*14,3*2**2

La mitad de la longitud de la circunferencia de la polea conducida: cmrL C 2,25140*14,3*2**2

El doble del tramo que une los puntos A y B. (lado de arriba más el de abajo) Observa que los puntos ABC, dan un triángulo rectángulo, del que conocemos su base (40 cm) y el cateto vertical (rC-rM = 40 –5=35 cm). Aplicando el teorema de Pitágoras obtendremos la hipotenusa del triángulo y por tanto el tramo AB:

cmCCH 15,532825122516003540 2222

Por lo tanto, la longitud de la correa será: L=31,4+251,2+2*53,15=388,9 cm

14º) En el sistema de engranajes de la figura, calcular:

a) ¿En qué sentido gira el engranaje arrastrado si el motriz gira en el sentido de las agujas del reloj?.

b) Relación de transmisión. c) Si el motriz da 15 vueltas, ¿cuántas vueltas da el ararastrado?. d) Si el arrastrado da 10 vueltas, ¿cuántas da el motriz?. e) Si el engranaje motriz da 300 vueltas en tres minutos, ¿a cuántas r.p.m. gira el

arrastrado?.

a) El arrastrado gira en sentido contrario que el motriz, es decir en sentido contrario al de las

agujas del reloj. b) La relación de transmisión de un acoplamiento simple de engranajes, viene dada por el cociente

del número de dientes del arrastrado, entre el número de dientes del engranaje motriz, es decir:

4

1

60

15

A

M

Z

Zi

lo que significa que por cada 4 vueltas que da el motriz, el arrastrado da 1



9

c) Este apartado lo podemos calcular con una simple regla de tres, a partir del resultado de la

relación de transmisión:

VueltasXX

ARRASTRADOMOTRIZ

75,34

1*15

______________15

1______________4

d) De forma similar al apartado c:

VueltasXX

ARRASTRADOMOTRIZ

401

4*10

10______________

1______________4

e) Este Apartado se resolverá planteando una regla de tres, puesto que el enunciado nos dice que el

motriz gira 300 vueltas en 3 minutos:

...1001003

1*300

1_____________________

3______________300mpr

mn

VueltasX

mnX

mnvueltas

MOTRIZENGRANAJE

Finalmente mediante la relación de transmisión de las velocidades angulares, obtenemos la velocidad angular del engranaje arrastrado:

...254

100;

1004

1; mpri A

A

M

A

15º) Calcular en el sistema de engranajes de la figura: a) Relación de velocidades. b) Vueltas que da el arrastrado, si el motriz da 30. c) Vueltas que da el motriz si el arrastrado da 5 vueltas. d) Vueltas que da el engranaje loco si el arrastrado da 3 vueltas. e) ¿A qué velocidad debe girar el motor para que el arrastrado de 40 vueltas en 2 minutos?

SOLUCIÓN

a) Para calcular la relación de transmisión o de velocidades, debes recordar que en ella no interviene el número de dientes del engranaje loco, por lo tanto:

3

1

60

20

A

M

Z

Zi

lo que significa que el engranaje motriz dará 3 vueltas por cada una que de el arrastrado

b) De forma similar al problema anterior, pero con los datos actuales tenemos.

VueltasXX

ARRASTRADOMOTRIZ

103

1*30

______________30

1______________3



10

c)

VueltasX

X

ARRASTRADOMOTRIZ

151

3*5

5______________

1______________3

c) Dado que nos piden datos en relación al engranaje loco, consideraremos para su cálculo el acoplamiento loco-arrastrado, como si de un acoplamiento simple se tratara, y operaremos normalmente, donde el engranaje loco actúa como motriz:

Relación de transmisión entre el motriz y el loco:

6

1

60

10

A

LAL Z

Zi

lo que significa que el loco dará 6 vueltas por cada una que da el arrastrado. A partir de aquí, obtenemos el número de vueltas que da el engranaje loco:

VueltasXX

ARRASTRADOLOCO

181

3*6

3______________

1______________6

d) Si el arrastrado da 40 vueltas en dos minutos, en un minuto dará 20 vueltas , lo que equivale a

decir que tiene una velocidad angular de 20 r.p.m., por lo tanto, la velocidad del motriz deberá ser:

...603*20;20

3

1; mpri M

MM

A

16º) En el dibujo podemos ver un tren de engranajes simple. El engranaje motriz A tiene 20 dientes. Cuando el eje A gira 20 veces, el B gira 5 veces. Se pide:

a) ¿Cuántos dientes tiene el engranaje B? b) ¿Cuál es la relación de transmisión del sistema?. c) Si el eja A gira a 60 r.p.m., ¿a qué velocidad gira el eje B?. d) Si el eje A gira en sentido contrario al de las agujas del reloj, ¿en que sentido gira el eje B?

SOLUCIÓN

a) Sabemos que la relación de transmisión relaciona las velocidades angulares de dos engranajes mediante la expresión:

M

Ai



11

puesto que sabemos que en un determinado tiempo el motriz (A) gira 20 veces, en tanto, que el arrastrado gira 5 vueltas tendremos:

4

1

20

5; ii

M

A

Por otro lado, la relación de transmisión relaciona el número de dientes de los

engranajes. Bastará por tanto sustituir los valores que ya tenemos (i=1/4 y ZM=20) y averiguar el numero de dientes del engranaje arrastrado (ZA).

dientesZZZ

Zi A

AA

M 804*20;20

4

1;

b) La relación de transmisión ya se ha calculado en el aparatado anterior. c) Mediante la expresión utilizada en el apartado a), calculamos la velocidad angular del eje

arrastrado.

...154

..60;

...604

1; mpr

mpr

mpri A

A

M

A

d) El eje B girará en el sentido de las agujas del reloj, es decir, al contrario que el motriz.

16º) Contestar las siguientes cuestiones:

a) ¿Cómo se llama el sistema de transmisión del dibujo? b) ¿Cuál es la relación de transmisión del sistema?. c) Si el eje C gira a 36 r.p.m., ¿a qué velocidad gira el eje D?.

SOLUCIÓN a) Tren de engranajes o sistema de engranajes compuesto. b) Recuerda que la anotación que se ha adoptado en clase designaba el eje 2, al eje que se acopla al

eje motriz, y eje 3 al eje que contiene los engranajes que se acoplan con los del eje 2. En este caso particular, el eje C de la figura es el motriz, el eje central será el eje 2 y eje D es el eje 3. En un sistema de engranaje compuesto la relación de transmisión viene dada por la expresión:



12

A

M

A

M

Z

Zisiendoejeelyejeelentrentransmisiódelacióni

Z

Zisiendoejeelymotrizejeelentrentransmisiódelacióni

donde

iii

222

211

21

,32Re

,2Re

:

*

sustituyendo en las expresiones anteriores:

9

1

3

1*

3

1*

3

1

57

19

3

1

57

19

21

22

21

iii

Z

Zi

Z

Zi

A

M

A

M

lo que significa que por cada 9 vueltas que da el engranaje motriz, dará 1 el engranaje de salida del sistema ( en este caso el engranaje del eje 3 o eje D). c) Mediante la expresión que relaciona la relación de transmisión con las velocidades angulares

calculamos la velocidad de salida del sistema en el eje D:

...6,63

20

9

60

..609

1; mpr

mpri A

A

M

A

17º) Calcula la relación de transmisión de la batidora de la figura:

SOLUCIÓN. Como se puede apreciar en la figura se trata de un acoplamiento simple de engranajes troncocónicos, y por tanto, se aplica la fórmula del acoplamiento de engranajes simples, resultando:

425

100

A

M

Z

Zi

se trata por tanto de un sistema multiplicador de velocidad (Rt>1), en el cual cuando la manivela da una vuelta (eje del engranaje motriz) el eje de engranaje arrastrado da 4.



13

18º) Calcula la velocidad de salida de la siguiente transmisión compuesta mediante engranajes:

SOLUCIÓN Operando de forma idéntica que el problema 16 tenemos:

A

M

A

M

A

M

Z


Z


Z


donde

iiii

333

3

222

211

321

,44Re

,32Re

,2Re

:

**

Atendiendo a la figura podemos establecer las siguientes relaciones: Engranaje 1= Engranaje Motriz Engranaje 2= Engranaje Arrastrado del eje 2 Engranaje 3= Engranaje Motriz del eje 2 Engranaje 4= Engranaje Arrastrado del eje 3 Engranaje 5= Engranaje Motriz del eje 3 Engranaje 6= Engranaje Arrastrado Sustituyendo en las expresiones anteriores:

106

603*

2

5*

3

4**

320

60

2

5

18

45

3

4

30

40

321

33

3

22

21

iiii

Z

Zi

Z

Zi

Z

Zi

A

M

A

M

A

M

Una vez calculada la relación de transmisión del sistema, aplicamos la formula que relaciona la relación de transmisión del sistema con las velocidades angulares del eje motriz y del eje de salida.

...2001

10*20

..2010; mpr

mpri A

A

A

M

19º) Calcula el número de dientes de la rueda 3 del siguiente sistema de engranajes, en el que la rueda motriz (1) gira a 90 r.p.m. y la salida, a 60 r.p.m.

Eje Motriz Eje 2 Eje 3 Eje 4



14

SOLUCIÓN Dado que conocemos las velocidades angulares de entrada y de salida del tren de engranajes, podemos calcular la relación de transmisión:

3

2

90

60; ii

M

A

Atendiendo a la figura, y de forma similar al problema 16 , tenemos:

A

M

A

M

Z


Z


donde

iii

222

211

21

,32Re

,2Re

:

*

donde: Engranaje 1= Engranaje Motriz Engranaje 2= Engranaje Arrastrado del eje 2 Engranaje 3= Engranaje Motriz del eje 2 Engranaje 4= Engranaje Arrastrado de ahí:

dientesZZ

Z

Z

Z

Ziii M

M

A

M

A

M 3060

1800

3*20

2*36*25;

36*

25

20

3

2;** 2

22

221



15

20º) Si el piñón de la figura tiene 30 dientes y la cremallera tiene un paso de 10 milímetros, girando el eje del piñón a 20 r.p.m.. La cremallera está unida a la puerta y tiene que desplazarse 20 centímetros par abrirse o cerrarse completamente. Calcular:

a) ¿Qué radio tiene el piñón?. b) ¿Cuánto tiempo tardará en abrirse o cerrarse la puerta?. c) ¿A que velocidad lineal se desplaza la cremallera?. d) ¿Qué velocidad angular tiene el piñón en rd/s?.

SOLUCIÓN

a) Para que el piñón engrane en la cremallera, deben tener ambos igual paso, por lo tanto el paso del piñón será también de 10 mm. Conocido el paso del piñón y el número de dientes la longitud de su circunferencia será:

mmpZL p 30010*30*

donde: L= Longitud de la circunferencia del piñón Zp= Número de dientes del piñón. P= Paso del piñón o de la cremallera. Dado que se nos pide el radió del piñón, podemos despejar el radio de la fórmula de la longitud de su circunferencia:

mmRRRL 77,4714,3*2

300;*14,3*2300**2

b) Acabamos de calcular que por cada vuelta que da el piñón la cremallera avanza 300 mm ( es decir, la longitud de la circunferencia del piñón), por lo cual, para abrirse los 20 cm tendrá que dar las siguientes vueltas:

VueltadeXcmX

cm

AVANCEVUELTAS

3

2

30

1*20

20______________

30______________1

Según el enunciado el piñón da 20 r.p.m. es decir, 20 vueltas por minuto, o lo que es lo mismo, 20 vueltas en 60 segundos, por lo tanto, el tiempo que tardará en abrirse o cerrarse la puerta será:

segundosXX

s

TIEMPOVUELTAS

220

3

2*60

______________3

2

60______________20

c) Contestar a este apartado es muy sencillo, puesto que sabemos que la puerta recorre 20 cm en 2

segundos. Para ello, primero cambiamos las unidades al Sistema Internacional:



16

mmcm

mcm 2,0

100

20

100

1*20

resultando finalmente una velocidad lineal de:

sm

t

ev 1,0

2

2,0

d) La velocidad en rd/s la obtenemos mediante un sencillo cambio de unidades:

srd

srd

srd

sg

mn

vuelta

rd

mn

vueltasmpr 09,2

6

4

60*1

1*2*20

60

1*

1

2*20...20

21º) El piñón de la figura tiene 26 dientes y gira a 10 r.p.m., considerando ue la cremallera tiene 6 dientes por cm, se pide: a)¿Qué radio tiene el piñón?. b)¿ Cuánto tiempo tardará la cremallera en desplazarse 2 metros?. c)¿A qué velocidad lineal se desplaza la cremallera?. d)¿Qué velocidad lineal tiene el piñón en rd/s?.

SOLUCIÓN Este problema es muy similar al anterior: a) El paso es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos por los tanto el

paso será:

mmmmcmXX

cm

longitudDientes

6'16

10

6

1

6

1*1

______________1

1______________6

de ahí, y operando de la misma forma que en el problema anterior tenemos que la longitud de la circunferencia del piñón es:

mmpZL p 3

130

6

260

6

10*26*

Dado que se nos pide el radió del piñón, podemos despejar el radio de la fórmula de la longitud de su circunferencia:

mmRRRL 9,63*14,3*2

130;*14,3*2

3

130**2

b) Acabamos de calcular que por cada vuelta que da el piñón la cremallera avanza 130/3 mm ( es decir, la longitud de la circunferencia del piñón), por lo cual, para abrirse los 2 m (2m=2000mm) tendrá que dar las siguientes vueltas

VueltasX

mmX

mm

AVANCEVUELTAS

15,46130

3*2000

3

1301*2000

2000______________3

130______________1



17

Según el enunciado el piñón da 10 r.p.m., es decir, 10 vueltas por minuto, o lo que es lo mismo, 10 vueltas en 60 segundos, por lo tanto, el tiempo que tardará en abrirse o cerrarse la puerta será:

segundosXX

s

TIEMPOVUELTAS

9,27610

15,46*60

____________15,46

60______________10

c) Contestar a este apartado es muy sencillo, puesto que sabemos que la puerta recorre 2 m en 276,9 segundos. Resultando finalmente una velocidad lineal de:

sm

t

ev 00722,0

9,276

2

e) La velocidad en rd/s la obtenemos mediante un sencillo cambio de unidades:

srd

srd

srd

sg

mn

vuelta

rd

mn

vueltasmpr 604,1

6

2

60*1

1*2*10

60

1*

1

2*10...10

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