spatial reasoning

8/8/2019 Spatial Reasoning

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C a l c u l i f o r Q u a l i t a t i v e S p a t i a l R e a s o n i n g

A G C o h n

D i v i s i o n o f A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e ,

S c h o o l o f C o m p u t e r S t u d i e s ,

U n i v e r s i t y o f L e e d s , L e e d s L S 2 J T , U K .

T e l e p h o n e : + 4 4 1 1 3 2 3 3 5 4 8 2 .

E m a i l : a g c @ s c s . l e e d s . a c . u k W W W : h t t p : / / w w w . s c s . l e e d s . a c . u k /

A b s t r a c t . A l t h o u g h Q u a l i t a t i v e R e a s o n i n g h a s b e e n a l i v e l y s u b e l d o f

A I f o r m a n y y e a r s n o w , i t i s o n l y c o m p a r a t i v e l y r e c e n t l y t h a t s u b s t a n t i a l

w o r k h a s b e e n d o n e o n q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g ; t h i s p a p e r l a y s o u t

a g u i d e t o t h e i s s u e s i n v o l v e d a n d s u r v e y s w h a t h a s b e e n a c h i e v e d . T h e

p a p e r s i s g e n e r a l l y i n f o r m a l a n d d i s c u r s i v e , p r o v i d i n g p o i n t e r s t o t h e

l i t e r a t u r e w h e r e f u l l t e c h n i c a l d e t a i l s m a y b e f o u n d .

1 W h a t i s Q u a l i t a t i v e R e a s o n i n g ?

T h e p r i n c i p a l g o a l o f Q u a l i t a t i v e R e a s o n i n g ( Q R ) 8 6 ] i s t o r e p r e s e n t n o t o n l y o u r

e v e r y d a y c o m m o n s e n s e k n o w l e d g e a b o u t t h e p h y s i c a l w o r l d , b u t a l s o t h e u n d e r -

l y i n g a b s t r a c t i o n s u s e d b y e n g i n e e r s a n d s c i e n t i s t s w h e n t h e y c r e a t e q u a n t i t a t i v e

m o d e l s . E n d o w e d w i t h s u c h k n o w l e d g e , a n d a p p r o p r i a t e r e a s o n i n g m e t h o d s , a

c o m p u t e r c o u l d m a k e p r e d i c t i o n s , d i a g n o s e s a n d e x p l a i n t h e b e h a v i o u r o f p h y s -

i c a l s y s t e m s i n a q u a l i t a t i v e m a n n e r , e v e n w h e n a p r e c i s e q u a n t i t a t i v e d e s c r i p t i o n

i s n o t a v a i l a b l e

1

o r i s c o m p u t a t i o n a l l y i n t r a c t a b l e . T h e k e y t o a q u a l i t a t i v e r e p -

r e s e n t a t i o n i s n o t s i m p l y t h a t i t i s s y m b o l i c , a n d u t i l i s e s d i s c r e t e q u a n t i t y s p a c e s ,

b u t t h a t t h e d i s t i n c t i o n s m a d e i n t h e s e d i s c r e t i s a t i o n s a r e r e l e v a n t t o t h e b e h a -

v i o u r b e i n g m o d e l l e d { i . e . d i s t i n c t i o n s a r e o n l y i n t r o d u c e d i f t h e y n e c e s s a r y t o

m o d e l s o m e p a r t i c u l a r a s p e c t o f t h e d o m a i n w i t h r e s p e c t t o t h e t a s k i n h a n d .

E v e n v e r y s i m p l e q u a n t i t y s p a c e s c a n b e v e r y u s e f u l , e . g . t h e q u a n t i t y s p a c e

c o n s i s t i n g j u s t o f f ? 0 + g , r e p r e s e n t i n g t h e t w o s e m i - o p e n i n t e r v a l s o f t h e r e a l

n u m b e r l i n e , a n d t h e i r d i v i d i n g p o i n t , i s w i d e l y u s e d i n t h e l i t e r a t u r e , e . g . 8 6 ] .

G i v e n s u c h a q u a n t i t y s p a c e , o n e t h e n w a n t s t o b e a b l e t o c o m p u t e w i t h i t . T h e r e

i s n o r m a l l y a n a t u r a l o r d e r i n g ( e i t h e r p a r t i a l o r t o t a l ) a s s o c i a t e d w i t h a q u a n t i t y

s p a c e , a n d o n e f o r m o f s i m p l e b u t e e c t i v e i n f e r e n c e i s t o e x p l o i t t h e t r a n s i t i v i t y

1

N o t e t h a t a l t h o u g h o n e u s e f o r q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g i s t h a t i t a l l o w s i n f e r e n c e s t o

b e m a d e i n t h e a b s e n c e o f c o m p l e t e k n o w l e d g e , i t d o e s t h i s n o t b y p r o b a b i l i s t i c o r

f u z z y t e c h n i q u e s ( w h i c h m a y r e l y o n a r b i t r a r i l y a s s i g n e d p r o b a b i l i t i e s o r m e m b e r s h i p

v a l u e s ) b u t b y r e f u s i n g t o d i e r e n t i a t e b e t w e e n q u a n t i t i e s u n l e s s t h e r e i s s u c i e n t

e v i d e n c e t o d o s o ; t h i s i s a c h i e v e d e s s e n t i a l l y b y c o l l a p s i n g ` i n d i s t i n g u i s h a b l e ' v a l u e s

i n t o a n e q u i v a l e n c e c l a s s w h i c h b e c o m e s a q u a l i t a t i v e q u a n t i t y . ( T h e c a s e w h e r e

t h e i n d i s t i n g u i s h a b i l i t y r e l a t i o n i s n o t a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n h a s n o t b e e n m u c h

c o n s i d e r e d , e x c e p t b y 5 5 , 5 4 ] . )


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o f t h e o r d e r i n g r e l a t i o n . M o r e i n t e r e s t i n g l y , o n e c a n a l s o d e v i s e q u a l i t a t i v e a r i t h -

m e t i c a l g e b r a s 8 6 ] t o a c h i e v e t h i s ; f o r e x a m p l e g u r e 1 i s a t a b l e f o r a d d i t i o n o n

t h e a b o v e q u a n t i t y s p a c e . N o t e t h a t c e r t a i n e n t r i e s a r e a m b i g u o u s : t h i s i s a r e c u r -

r i n g f e a t u r e o f Q u a l i t a t i v e R e a s o n i n g { n o t s u r p r i s i n g l y , r e d u c i n g t h e p r e c i s i o n o f

t h e m e a s u r i n g s c a l e d e c r e a s e s t h e a c c u r a c y o f t h e a n s w e r . M u c h r e s e a r c h i n t h e

Q u a l i t a t i v e R e a s o n i n g l i t e r a t u r e i s d e v o t e d t o o v e r c o m i n g t h e d e t r i m e n t a l e e c t s

o n t h e s e a r c h s p a c e r e s u l t i n g f r o m t h i s a m b i g u i t y , t h o u g h t h e r e i s n o t s p a c e h e r e

t o d e l v e i n t o t h i s w o r k

2

. H o w e v e r o n e o t h e r a s p e c t o f t h e w o r k i n t r a d i t i o n a l

Q u a l i t a t i v e R e a s o n i n g i s w o r t h n o t i n g h e r e : a s t a n d a r d a s s u m p t i o n i s m a d e t h a t

c h a n g e i s c o n t i n u o u s ; t h u s , f o r e x a m p l e , i n t h e q u a n t i t y s p a c e m e n t i o n e d a b o v e , a

v a r i a b l e c a n n o t t r a n s i t i o n f r o m - t o + w i t h o u t r s t t a k i n g t h e v a l u e 0 . W e s h a l l

s e e t h i s i d e a r e c u r r i n g i n t h e w o r k o n q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g d e s c r i b e d

b e l o w .

0

-

+ +

+

+

? -

0

+

0 -

?

-

-

F i g . 1 . T h e a d d i t i o n t a b l e f o r t h e q u a l i t a t i v e q u a n t i t y s p a c e f + , 0 , - g . N o t e t h e a m b i g u i t y

p r e s e n t i n t w o o f t h e e n t r i e s m a r k e d w i t h a ` ? ' .

2 W h a t i s Q u a l i t a t i v e S p a t i a l R e a s o n i n g ?

Q R h a s n o w b e c o m e a m a t u r e s u b e l d o f A I a s e v i d e n c e d b y i t s 1 0 t h a n n u a l i n -

t e r n a t i o n a l w o r k s h o p , s e v e r a l b o o k s ( e . g . 8 6 ] 3 3 ] , 5 7 ] ) a n d a w e a l t h o f c o n f e r e n c e

a n d j o u r n a l p u b l i c a t i o n s . A l t h o u g h t h e e l d h a s b r o a d e n e d t o b e c o m e m o r e t h a n

j u s t Q u a l i t a t i v e P h y s i c s ( a s i t w a s r s t k n o w n ) , t h e b u l k o f t h e w o r k h a s d e a l t

w i t h r e a s o n i n g a b o u t s c a l a r q u a n t i t i e s , w h e t h e r t h e y d e n o t e t h e l e v e l o f a l i q u i d

i n a t a n k , t h e o p e r a t i n g r e g i o n o f a t r a n s i s t o r o r t h e a m o u n t o f u n e m p l o y m e n t

i n a m o d e l o f a n e c o n o m y .

S p a c e , w h i c h i s m u l t i d i m e n s i o n a l a n d n o t a d e q u a t e l y r e p r e s e n t e d b y s i n g l e

s c a l a r q u a n t i t i e s , h a s o n l y a r e c e n t l y b e c o m e a s i g n i c a n t r e s e a r c h a r e a w i t h i n t h e

e l d o f Q R , a n d , m o r e g e n e r a l l y , i n t h e K n o w l e d g e R e p r e s e n t a t i o n c o m m u n i t y . I n

p a r t , t h i s m a y b e d u e t o t h e P o v e r t y C o n j e c t u r e p r o m u l g a t e d b y F o r b u s , N i e l s e n

a n d F a l t i n g s 8 6 ] : \ t h e r e i s n o p u r e l y q u a l i t a t i v e , g e n e r a l p u r p o s e k i n e m a t i c s " .

O f c o u r s e , q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g ( Q S R ) i s m o r e t h a n j u s t k i n e m a t i c s , b u t

i t i s i n s t r u c t i v e t o r e c a l l t h e i r t h i r d ( a n d s t r o n g e s t ) a r g u m e n t f o r t h e c o n j e c t u r e

{ \ N o t o t a l o r d e r : Q u a n t i t y s p a c e s d o n ' t w o r k i n m o r e t h a n o n e d i m e n s i o n ,

l e a v i n g l i t t l e h o p e f o r c o n c l u d i n g m u c h a b o u t c o m b i n i n g w e a k i n f o r m a t i o n a b o u t

2

I n t h e p r e s e n t c o n t e x t i t i s p e r h a p s w o r t h w h i l e p o i n t i n g o u t t h e i n t e r e s t i n g w o r k

o f 5 6 ] w h i c h s h o w s t h a t i n t h e p r e s e n c e o f s u c h a m b i g u i t y , h u m a n s u s u a l l y h a v e a

p r e f e r r e d m o d e l , a t l e a s t f o r A l l e n ' s q u a l i t a t i v e t e m p o r a l i n t e r v a l c a l c u l u s 1 ] .


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s p a t i a l p r o p e r t i e s " . T h e y c o r r e c t l y i d e n t i f y t r a n s i t i v i t y o f v a l u e s a s a k e y f e a t u r e

o f a q u a l i t a t i v e q u a n t i t y s p a c e b u t d o u b t t h a t t h i s c a n b e e x p l o i t e d m u c h i n

h i g h e r d i m e n s i o n s a n d c o n c l u d e : \ w e s u s p e c t t h e s p a c e o f r e p r e s e n t a t i o n s i n

h i g h e r d i m e n s i o n s i s s p a r s e ; t h a t f o r s p a t i a l r e a s o n i n g a l m o s t n o t h i n g w e a k e r

t h a n n u m b e r s w i l l d o " .

T h e c h a l l e n g e o f Q S R t h e n i s t o p r o v i d e c a l c u l i w h i c h a l l o w a m a c h i n e t o

r e p r e s e n t a n d r e a s o n w i t h s p a t i a l e n t i t i e s o f h i g h e r d i m e n s i o n , w i t h o u t r e s o r t i n g

t o t h e t r a d i t i o n a l q u a n t i t a t i v e t e c h n i q u e s p r e v a l e n t i n , f o r e x a m p l e , t h e c o m p u t e r

g r a p h i c s o r c o m p u t e r v i s i o n c o m m u n i t i e s .

H a p p i l y , o v e r t h e l a s t f e w y e a r s t h e r e h a s b e e n a n i n c r e a s i n g a m o u n t o f r e -

s e a r c h w h i c h t e n d s t o r e f u t e , o r a t l e a s t w e a k e n t h e ` p o v e r t y c o n j e c t u r e ' . T h e r e

i s a s u r p r i s i n g l y r i c h d i v e r s i t y o f q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e p r e s e n t a t i o n s a d d r e s s i n g

m a n y d i e r e n t a s p e c t s o f s p a c e i n c l u d i n g t o p o l o g y , o r i e n t a t i o n , s h a p e , s i z e a n d

d i s t a n c e ; m o r e o v e r , t h e s e c a n e x p l o i t t r a n s i t i v i t y a s d e m o n s t r a t e d b y t h e r e -

l a t i v e l y s p a r s e t r a n s i t i v i t y t a b l e s ( c f t h e w e l l k n o w n t a b l e f o r A l l e n ' s i n t e r v a l

t e m p o r a l l o g i c 8 6 ] ) w h i c h h a v e b e e n b u i l t f o r t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s ( a c t u a l l y

` c o m p o s i t i o n t a b l e s ' i s a b e t t e r n a m e f o r t h e s e s t r u c t u r e s ) .

3 P o s s i b l e a p p l i c a t i o n s o f q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g

R e s e a r c h e r s i n q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g a r e m o t i v a t e d b y a w i d e v a r i e t y o f

p o s s i b l e a p p l i c a t i o n a r e a s , i n c l u d i n g : G e o g r a p h i c a l I n f o r m a t i o n S y s t e m s ( G I S ) ,

r o b o t i c n a v i g a t i o n , h i g h l e v e l v i s i o n , t h e s e m a n t i c s o f s p a t i a l p r e p o s i t i o n s i n

n a t u r a l l a n g u a g e s , e n g i n e e r i n g d e s i g n , c o m m o n s e n s e r e a s o n i n g a b o u t p h y s i c a l

s i t u a t i o n s , a n d s p e c i f y i n g v i s u a l l a n g u a g e s y n t a x a n d s e m a n t i c s . B e l o w I w i l l

b r i e y d i s c u s s e a c h o f t h e s e a r e a s , a r g u i n g t h e n e e d f o r s o m e k i n d q u a l i t a t i v e

s p a t i a l r e p r e s e n t a t i o n . O t h e r a p p l i c a t i o n a r e a s i n c l u d e d o c u m e n t - t y p e r e c o g n i t i o n

3 7 ] a n d d o m a i n s w h e r e s p a c e i s u s e d a s a m e t a p h o r , e . g . 5 9 ] .

G I S a r e n o w c o m m o n p l a c e , b u t a m a j o r p r o b l e m i s h o w t o i n t e r a c t w i t h t h e s e

s y s t e m s : t y p i c a l l y , g i g a b y t e s o f i n f o r m a t i o n a r e s t o r e d , w h e t h e r i n v e c t o r o r r a s t e r

f o r m a t , b u t u s e r s o f t e n w a n t t o a b s t r a c t a w a y f r o m t h i s m a s s o f n u m e r i c a l d a t a ,

a n d o b t a i n a h i g h l e v e l s y m b o l i c d e s c r i p t i o n o f t h e d a t a o r w a n t t o s p e c i f y a

q u e r y i n a w a y w h i c h i s e s s e n t i a l l y , o r a t l e a s t l a r g e l y , q u a l i t a t i v e . A r g u a b l y , t h e

n e x t g e n e r a t i o n o f G I S w i l l b e b u i l t o n c o n c e p t s a r i s i n g f r o m N a i v e G e o g r a p h y

3 0 ] w h i c h r e q u i r e s a t h e o r y o f q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g .

A l t h o u g h r o b o t i c n a v i g a t i o n u l t i m a t e l y r e q u i r e s n u m e r i c a l l y s p e c i e d d i r e c -

t i o n s t o t h e r o b o t t o m o v e o r t u r n , t h i s i s n o t u s u a l l y t h e b e s t w a y t o p l a n a r o u t e

o r o t h e r s p a t i a l l y o r i e n t e d t a s k : t h e A I p l a n n i n g l i t e r a t u r e 8 2 ] h a s l o n g s h o w n t h e

e e c t i v e n e s s o f h i e r a r c h i c a l p l a n n i n g w i t h d e t a i l e d d e c i s i o n s ( e . g . a b o u t h o w o r

e x a c t l y w h e r e t o m o v e ) b e i n g d e l a y e d u n t i l a h i g h l e v e l p l a n h a s b e e n a c h i e v e d ;

m o r e o v e r t h e r o b o t ' s m o d e l o f i t s e n v i r o n m e n t m a y b e i m p e r f e c t ( e i t h e r b e c a u s e

o f i n a c c u r a t e s e n s o r s o r b e c a u s e o f l a c k o f i n f o r m a t i o n ) , l e a d i n g t o a n i n a b i l i t y

t o u s e m o r e s t a n d a r d r o b o t n a v i g a t i o n t e c h n i q u e s . A q u a l i t a t i v e m o d e l o f s p a c e

w o u l d f a c i l i t a t e p l a n n i n g i n s u c h s i t u a t i o n s . O n e e x a m p l e o f t h i s k i n d o f w o r k i s

5 8 ] ; a n o t h e r , s o l v i n g t h e w e l l k n o w n ` p i a n o m o v e r ' s p r o b l e m ' i s 3 2 ] .


4/20

W h i l e c o m p u t e r v i s i o n h a s m a d e g r e a t p r o g r e s s i n r e c e n t y e a r s i n d e v e l o p i n g

l o w l e v e l t e c h n i q u e s t o p r o c e s s i m a g e d a t a , t h e r e i s n o w a m o v e m e n t b a c k 3 4 ]

t o t r y t o n d m o r e s y m b o l i c t e c h n i q u e s t o t a k e t h e r e s u l t s o f t h e s e l o w l e v e l

c o m p u t a t i o n s a n d p r o d u c e h i g h e r l e v e l d e s c r i p t i o n s o f t h e s c e n e o r v i d e o i n p u t ;

o f t e n ( p a r t o f ) w h a t i s r e q u i r e d i s a d e s c r i p t i o n o f t h e s p a t i a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n

t h e v a r i o u s o b j e c t s o r r e g i o n s f o u n d i n t h e s c e n e ; h o w e v e r t h e p r e d i c a t e s u s e d

t o d e s c r i b e t h e s e r e l a t i o n s h i p s m u s t b e s u c i e n t l y h i g h l e v e l , o r q u a l i t a t i v e , i n

o r d e r t o e n s u r e t h a t s c e n e s w h i c h a r e s e m a n t i c a l l y c l o s e h a v e i d e n t i c a l o r a t l e a s t

v e r y s i m i l a r d e s c r i p t i o n s .

P e r h a p s o n e o f t h e m o s t o b v i o u s d o m a i n s r e q u i r i n g s o m e k i n d o f t h e o r y o f

q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e p r e s e n t a t i o n i s t h e t a s k o f n d i n g s o m e f o r m a l w a y o f d e -

s c r i b i n g t h e m e a n i n g o f n a t u r a l l a n g u a g e s p a t i a l p r e p o s i t i o n s s u c h a s \ i n s i d e " ,

\ t h r o u g h " , \ t o t h e l e f t o f " e t c . T h i s i s a d i c u l t t a s k , n o t l e a s t b e c a u s e o f t h e

m u l t i p l e w a y s i n w h i c h s u c h p r e p o s i t i o n s c a n b e u s e d ( e . g . 5 3 ] c i t e s m a n y d i f -

f e r e n t m e a n i n g s o f \ i n " ) ; h o w e v e r a t l e a s t h a v i n g a f o r m a l l a n g u a g e a t t h e r i g h t

c o n c e p t u a l l e v e l e n a b l e s t h e s e d i e r e n t m e a n i n g s t o b e p r o p e r l y d i s t i n g u i s h e d .

E x a m p l e s o f r e s e a r c h i n t h i s a r e a i n c l u d e 5 , 8 5 ] .

E n g i n e e r i n g d e s i g n , l i k e r o b o t i c n a v i g a t i o n , u l t i m a t e l y u s u a l l y r e q u i r e s a f u l l y

m e t r i c d e s c r i p t i o n ; h o w e v e r , a t t h e e a r l y s t a g e s o f t h e d e s i g n p r o c e s s , i t i s o f t e n

b e t t e r t o c o n c e n t r a t e o n t h e h i g h l e v e l d e s i g n , w h i c h c a n o f t e n b e e x p r e s s e d

q u a l i t a t i v e l y . T h e e l d o f q u a l i t a t i v e k i n e m a t i c s ( e . g . 3 1 ] ) i s l a r g e l y c o n c e r n e d

w i t h s u p p o r t i n g t h i s k i n d o f a c t i v i t y .

T h e e l d s o f q u a l i t a t i v e p h y s i c s a n d n a i v e p h y s i c s 8 6 ] h a v e c o n c e r n e d t h e m -

s e l v e s w i t h t r y i n g t o r e p r e s e n t a n d r e a s o n a b o u t a w i d e v a r i e t y o f p h y s i c a l s i t u -

a t i o n s , g i v e n o n l y q u a l i t a t i v e i n f o r m a t i o n . M u c h o f t h e m o t i v a t i o n f o r t h i s w a s

g i v e n a b o v e i n t h e s e c t i o n o n q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g ; h o w e v e r t r a d i t i o n a l l y t h e s e

e l d s , i n p a r t i c u l a r q u a l i t a t i v e p h y s i c s , h a v e h a d a r a t h e r i m p o v e r i s h e d s p a t i a l

c a p a c i t y i n t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s , t y p i c a l l y r e s t r i c t i n g i n f o r m a t i o n t o t h a t w h i c h

c a n b e c a p t u r e d a l o n g a s i n g l e d i m e n s i o n ; a d d i n g a r i c h e r t h e o r y o f q u a l i t a t i v e

s p a t i a l r e a s o n i n g t o t h e s e e l d s w o u l d i n c r e a s e t h e c l a s s o f p r o b l e m s t h e y c o u l d

t a c k l e .

F i n a l l y , t h e s t u d y a n d d e s i g n o f v i s u a l l a n g u a g e s , e i t h e r v i s u a l p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e s o r s o m e k i n d o f r e p r e s e n t a t i o n l a n g u a g e , p e r h a p s a s p a r t o f a u s e r

i n t e r f a c e , h a s b e c o m e r a t h e r f a s h i o n a b l e ; h o w e v e r , m a n y o f t h e s e l a n g u a g e s l a c k

a f o r m a l s p e c i c a t i o n o f t h e k i n d t h a t i s n o r m a l l y e x p e c t e d o f a t e x t u a l p r o g r a m -

m i n g o r r e p r e s e n t a t i o n l a n g u a g e . A l t h o u g h s o m e o f t h e s e v i s u a l l a n g u a g e s m a k e

m e t r i c d i s t i n c t i o n s , o f t e n t h e y a r e p r e d o m i n a n t l y q u a l i t a t i v e i n t h e s e n s e t h a t t h e

e x a c t s h a p e , s i z e , l e n g t h e t c . o f t h e v a r i o u s c o m p o n e n t s o f t h e d i a g r a m o r p i c -

t u r e a r e u n i m p o r t a n t { r a t h e r , w h a t i s i m p o r t a n t i s t h e t o p o l o g i c a l r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n t h e s e c o m p o n e n t s a n d t h u s a t h e o r y o f q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e p r e s e n t a t i o n

m a y b e a p p l i c a b l e i n s p e c i f y i n g s u c h l a n g u a g e s 4 2 ] .


5/20

4 A s p e c t s o f q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e p r e s e n t a t i o n

T h e r e a r e m a n y d i e r e n t a s p e c t s t o s p a c e a n d t h e r e f o r e t o i t s r e p r e s e n t a t i o n :

n o t o n l y d o w e h a v e t o d e c i d e o n w h a t k i n d s o f s p a t i a l e n t i t y w e w i l l a d m i t ( i . e .

c o m m i t t o a p a r t i c u l a r o n t o l o g y o f s p a c e ) , b u t a l s o w e c a n c o n s i d e r d e v e l o p i n g

d i e r e n t k i n d s o f w a y s o f d e s c r i b i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e k i n d s o f

s p a t i a l e n t i t y ; f o r e x a m p l e w e m a y c o n s i d e r j u s t t h e i r t o p o l o g y , o r t h e i r s i z e s

o r t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e m , o r t h e i r s h a p e . O f c o u r s e , t h e s e n o t i o n s a r e n o t

e n t i r e l y i n d e p e n d e n t a s w e s h a l l s e e b e l o w .

4 . 1 O n t o l o g y

I n d e v e l o p i n g a t h e o r y o f s p a c e , o n e c a n e i t h e r d e c i d e t h a t o n e w i l l c r e a t e a p u r e

t h e o r y o f s p a c e , o r a n a p p l i e d o n e , s i t u a t e d i n t h e i n t e n d e d d o m a i n o f a p p l i c a t i o n ;

t h e q u e s t i o n i s w h e t h e r o n e c o n s i d e r s a s p e c t s o f t h e d o m a i n , s u c h a s r i g i d i t y o f

o b j e c t s , w h i c h w o u l d p r e v e n t c e r t a i n s p a t i a l r e l a t i o n s h i p s , s u c h a s i n t e r p e n e t r a -

t i o n , f r o m h o l d i n g . I n o r d e r t o s i m p l i f y m a t t e r s i n t h i s p a p e r , w e s h a l l c o n c e n t r a t e

m a i n l y o n p u r e s p a t i a l t h e o r i e s { o n e c o u l d v e r y w e l l a r g u e t h a t s u c h a t h e o r y

s h o u l d n e c e s s a r i l y p r e c e d e a n a p p l i e d o n e w h i c h w o u l d b e o b t a i n e d b y e x t e n d i n g

a p u r e l y s p a t i a l t h e o r y .

T r a d i t i o n a l l y , i n m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s o f s p a c e , p o i n t s a r e c o n s i d e r e d a s

p r i m a r y p r i m i t i v e s p a t i a l e n t i t i e s ( o r p e r h a p s p o i n t s a n d l i n e s ) , a n d e x t e n d e d

s p a t i a l e n t i t i e s s u c h a s r e g i o n s a r e d e n e d , i f n e c e s s a r y , a s s e t s o f p o i n t s . H o w e v e r ,

w i t h i n t h e Q S R c o m m u n i t y , t h e r e h a s b e e n a s t r o n g t e n d e n c y t o t a k e r e g i o n s o f

s p a c e a s t h e p r i m i t i v e s p a t i a l e n t i t y . T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s f o r t h i s . I f o n e

i s i n t e r e s t e d i n u s i n g t h e s p a t i a l t h e o r y f o r r e a s o n i n g a b o u t p h y s i c a l o b j e c t s ,

t h e n o n e m i g h t a r g u e t h a t t h e s p a t i a l e x t e n s i o n o f a n y a c t u a l p h y s i c a l o b j e c t

m u s t b e r e g i o n - l i k e r a t h e r t h a n a l o w e r d i m e n s i o n a l e n t i t y . S i m i l a r l y , m o s t n a t -

u r a l l a n g u a g e ( n o n m a t h e m a t i c a l ) u s e s o f t h e w o r d \ p o i n t " d o n o t r e f e r t o a

m a t h e m a t i c a l p o i n t : c o n s i d e r s e n t e n c e s s u c h a s \ t h e p o i n t o f p e n c i l i s b l u n t " .

M o r e o v e r , i t t u r n s o u t t h a t o n e c a n d e n e p o i n t s , i f r e q u i r e d , f r o m r e g i o n s ( e . g .

1 5 ] ) . A n o t h e r r e a s o n a g a i n s t t a k i n g p o i n t s a s p r i m i t i v e i s t h a t m a n y p e o p l e n d

i t c o u n t e r i n t u i t i v e t h a t e x t e n d e d r e g i o n s c a n b e c o m p o s e d e n t i r e l y o f d i m e n s i o n -

l e s s p o i n t s o c c u p y i n g n o s p a c e ! H o w e v e r , i t m u s t b e a d m i t t e d t h a t s o m e t i m e s i t

i s u s e f u l t o m a k e a n a b s t r a c t i o n a n d v i e w a 3 D p h y s i c a l e n t i t y s u c h a s a p o t h o l e d

r o a d a s a 2 D o r e v e n 1 D e n t i t y . O f c o u r s e , o n c e e n t i t i e s o f d i e r e n t d i m e n s i o n s

a r e a d m i t t e d , a f u r t h e r q u e s t i o n a r i s e s a s t o w h e t h e r m i x e d d i m e n s i o n e n t i t i e s

a r e t o b e a l l o w e d . F u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h i s i s s u e c a n b e f o u n d i n 1 8 , 4 8 ] .

A n o t h e r o n t o l o g i c a l q u e s t i o n i s w h a t i s t h e n a t u r e o f t h e e m b e d d i n g s p a c e ,

i . e . t h e u n i v e r s a l s p a t i a l e n t i t y ? C o n v e n t i o n a l l y , o n e m i g h t t a k e t h i s t o b e R

n

f o r

s o m e n , b u t o n e c a n i m a g i n e a p p l i c a t i o n s w h e r e d i s c r e t e , n i t e o r n o n c o n v e x

( e . g . n o n c o n n e c t e d ) u n i v e r s e s m i g h t b e u s e f u l .

O n c e o n e h a s d e c i d e d o n t h e s e o n t o l o g i c a l q u e s t i o n s , t h e r e a r e f u r t h e r i s s u e s :

i n p a r t i c u l a r , w h a t p r i m i t i v e \ c o m p u t a t i o n s " w i l l b e a l l o w e d ? I n a l o g i c a l t h e -

o r y , t h i s a m o u n t s t o d e c i d i n g w h a t p r i m i t i v e n o n l o g i c a l s y m b o l s o n e w i l l a d m i t


6/20

w i t h o u t d e n i t i o n , o n l y b e i n g c o n s t r a i n e d b y s o m e s e t o f a x i o m s . O n e c o u l d a r -

g u e t h a t t h i s s e t o f p r i m i t i v e s s h o u l d b e s m a l l , n o t o n l y f o r m a t h e m a t i c a l e l e g a n c e

a n d t o m a k e i t p e r h a p s e a s i e r t o a s s e s s t h e c o n s i s t e n c y o f t h e t h e o r y , b u t a l s o

b e c a u s e t h i s w i l l s i m p l i f y t h e i n t e r f a c e o f t h e s y m b o l i c s y s t e m t o a p e r c e p t u a l

c o m p o n e n t r e s u l t i n g i n f e w e r p r i m i t i v e s t o b e i m p l e m e n t e d ; t h e c o n v e r s e a r g u -

m e n t m i g h t b e t h a t t h e r e s u l t i n g s y m b o l i c i n f e r e n c e s m a y b e m o r e c o m p l i c a t e d

( a n d t h u s p e r h a p s s l o w e r ) a n d f o r t h e k i n d s o f r e a s o n s a r g u e d f o r i n 5 0 ] .

O n e n a l o n t o l o g i c a l q u e s t i o n i s h o w t o m o d e l t h e m u l t i d i m e n s i o n a l i t y o f

s p a c e : o n e a p p r o a c h ( w h i c h m i g h t a p p e a r s u p e r c i a l l y a t t r a c t i v e ) i s t o a t t e m p t

t o m o d e l s p a c e b y c o n s i d e r i n g e a c h d i m e n s i o n s e p a r a t e l y , p r o j e c t i n g e a c h r e -

g i o n t o e a c h o f t h e d i m e n s i o n s a n d r e a s o n i n g a l o n g e a c h d i m e n s i o n s e p a r a t e l y ;

h o w e v e r , t h i s i s e a s i l y s e e n t o b e i n a d e q u a t e : e . g . t w o i n d i v i d u a l s m a y o v e r l a p

w h e n p r o j e c t e d t o b o t h t h e x a n d y a x e s i n d i v i d u a l l y , w h e n i n f a c t t h e y d o n o t

o v e r l a p a t a l l : c o n s i d e r g u r e 2 .

F i g . 2 . P r o j e c t i n g r e g i o n s t o d i m e n s i o n s m a y g i v e m i s l e a d i n g i n f o r m a t i o n , e . g . a b o u t

d i s j o i n t n e s s o f t h e s e t w o r e g i o n s .

4 . 2 T o p o l o g y

T o p o l o g y i s p e r h a p s t h e m o s t f u n d a m e n t a l a s p e c t o f s p a c e a n d c e r t a i n l y o n e

t h a t h a s b e e n s t u d i e d e x t e n s i v e l y w i t h i n t h e m a t h e m a t i c a l l i t e r a t u r e . I t i s o f t e n

d e s c r i b e d i n f o r m a l l y a s \ r u b b e r s h e e t g e o m e t r y " , a l t h o u g h t h i s i s n o t q u i t e a c -

c u r a t e . H o w e v e r , i t i s c l e a r t h a t t o p o l o g y m u s t f o r m a f u n d a m e n t a l a s p e c t o f

q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g s i n c e t o p o l o g y c e r t a i n l y c a n o n l y m a k e q u a l i t a t i v e

d i s t i n c t i o n s ; t h e q u e s t i o n t h e n a r i s e s : c a n o n e n o t s i m p l y i m p o r t a t r a d i t i o n a l

m a t h e m a t i c a l t o p o l o g i c a l t h e o r y w h o l e s a l e i n t o a q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e p r e s e n t a -

t i o n ? A l t h o u g h v a r i o u s q u a l i t a t i v e s p a t i a l t h e o r i e s h a v e b e e n i n u e n c e d b y m a t h -

e m a t i c a l t o p o l o g y , t h e r e a r e a n u m b e r o f r e a s o n s w h y s u c h a w h o l e s a l e i m p o r t -

a t i o n s e e m s u n d e s i r a b l e i n g e n e r a l 4 8 ] ; n o t o n l y d o e s t r a d i t i o n a l t o p o l o g y d e a l

w i t h m u c h m o r e a b s t r a c t s p a c e s t h a t p e r t a i n i n p h y s i c a l s p a c e o r t h e s p a c e t o b e

f o u n d i n t h e k i n d s o f a p p l i c a t i o n s m e n t i o n e d a b o v e , b u t a l s o w e a r e i n t e r e s t e d i n

q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g n o t j u s t r e p r e s e n t a t i o n , a n d t h i s h a s b e e n p a i d l i t t l e

a t t e n t i o n i n m a t h e m a t i c s a n d i n d e e d s i n c e t y p i c a l f o r m u l a t i o n s i n v o l v e h i g h e r o r -

d e r l o g i c , n o r e a s o n a b l e c o m p u t a t i o n a l m e c h a n i s m w o u l d s e e m t o b e i m m e d i a t e l y

o b v i o u s .

O n e e x c e p t i o n t o t h e d i s r e g a r d o f e a r l i e r t o p o l o g i c a l t h e o r i e s b y t h e Q S R

c o m m u n i t y , i s t h e t r a d i t i o n o f w o r k t o b e f o u n d i n t h e p h i l o s o p h i c a l l o g i c l i t e r -

a t u r e , e . g . 8 7 , 2 5 , 8 8 , 1 4 , 1 5 , 1 0 ] . T h i s w o r k h a s b u i l t a x i o m a t i c t h e o r i e s o f s p a c e

w h i c h a r e p r e d o m i n a n t l y t o p o l o g i c a l i n n a t u r e , a n d w h i c h a r e b a s e d o n t a k i n g


7/20

r e g i o n s r a t h e r t h a n p o i n t s a s p r i m i t i v e { i n d e e d , t h i s t r a d i t i o n h a s b e e n d e s c r i b e d

a s \ p o i n t l e s s g e o m e t r i e s " 4 0 ] . I n p a r t i c u l a r t h e w o r k o f C l a r k e 1 4 , 1 5 ] h a s l e a d t o

t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s o c a l l e d R C C s y s t e m s 7 3 , 7 2 , 7 1 , 6 9 , 2 3 , 1 9 , 7 , 4 5 , 1 7 , 4 8 ]

a n d h a s a l s o b e e n d e v e l o p e d f u r t h e r b y 8 5 , 4 ] .

C l a r k e t o o k a s h i s p r i m i t i v e n o t i o n t h e i d e a o f t w o r e g i o n s x a n d y b e i n g

c o n n e c t e d ( s h a r i n g a p o i n t , i f o n e w a n t s t o t h i n k o f r e g i o n s a s c o n s i s t i n g o f s e t s

o f p o i n t s ) : C ( x y ) . I n t h e R C C s y s t e m t h i s i n t e r p r e t a t i o n i s s l i g h t l y c h a n g e d t o

t h e c l o s u r e s o f t h e r e g i o n s s h a r i n g a p o i n t

3

{ t h i s h a s t h e e e c t o f c o l l a p s i n g t h e

d i s t i n c t i o n b e t w e e n a r e g i o n , i t s c l o s u r e a n d i t s i n t e r i o r , w h i c h i t i s a r g u e d h a s n o

r e l e v a n c e f o r t h e k i n d s o f d o m a i n w i t h w h i c h Q S R i s c o n c e r n e d ( a n o t h e r r e a s o n

f o r a b a n d o n i n g t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c a l t o p o l o g y ) . T h i s p r i m i t i v e i s s u r p r i s i n g l y

p o w e r f u l : i t i s p o s s i b l e t o d e n e m a n y p r e d i c a t e s a n d f u n c t i o n s w h i c h c a p t u r e

i n t e r e s t i n g a n d u s e f u l t o p o l o g i c a l d i s t i n c t i o n s . T h e s e t o f e i g h t j o i n t l y e x h a u s t i v e

a n d p a i r w i s e d i s j o i n t ( J E P D ) r e l a t i o n s i l l u s t r a t e d i n g u r e 3 a r e o n e p a r t i c u l a r l y

u s e f u l s e t ( o f t e n k n o w n a s t h e R C C 8 c a l c u l u s ) a n d i n d e e d h a v e b e e n d e n e d i n

a n e n t i r e l y d i e r e n t w a y b y 2 7 ] : t h r e e s e t s o f p o i n t s c a n b e a s s o c i a t e d w i t h e a c h

r e g i o n { i t s i n t e r i o r , b o u n d a r y a n d c o m p l e m e n t ; t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o

r e g i o n s c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y a 3 x 3 m a t r i x e a c h o f w h o s e e l e m e n t s d e n o t e s

w h e t h e r t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e t s f r o m e a c h r e g i o n a r e e m p t y

o r n o t . A f t e r t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e p h y s i c a l r e a l i t y o f s p a c e a n d s o m e s p e c i c

a s s u m p t i o n s a b o u t t h e n a t u r e o f r e g i o n s , w h i c h c a n t h e n b e t r a n s l a t e d i n t o c o n -

s t r a i n t s b e t w e e n t h e m a t r i x v a l u e s , i t t u r n s o u t t h a t t h e r e a r e e x a c t l y 8 p o s s i b l e

m a t r i c e s , c o r r e s p o n d i n g t o t h e e i g h t R C C 8 r e l a t i o n s . B y c h a n g i n g t h e u n d e r l y i n g

a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t a r e g i o n i s , a n d b y a l l o w i n g t h e m a t r i x t o r e p r e s e n t t h e

c o d i m e n s i o n o f t h e i n t e r s e c t i o n , d i e r e n t c a l c u l i w i t h m o r e J E P D r e l a t i o n s c a n

b e d e r i v e d , f o r e x a m p l e , o n e w i t h e n u m e r a t e s a l l t h e r e l a t i o n s b e t w e e n a r e a s ,

l i n e s a n d p o i n t s .

T h e R C C c a l c u l u s a s s u m e s t h a t r e g i o n s a r e a l l o f t h e s a m e d i m e n s i o n i n a n y

i n t e r p r e t a t i o n , t h o u g h t h e d i m e n s i o n i s l e f t o p e n . A l t h o u g h i t s e e m s p o s s i b l e

7 , 4 4 ] t o d e t e r m i n e t h e d i m e n s i o n a l i t y s y n t a c t i c a l l y , t h i s i s q u i t e c u m b e r s o m e

a n d a m o r e d i r e c t a p p r o a c h m a y p e r h a p s b e p r e f e r a b l e { t h u s a n a l t e r n a t i v e

c a l c u l u s 4 6 ] i s b e i n g d e v e l o p e d , n a m e d t h e I N C H c a l c u l u s , b a s e d o n a p r i m i t i v e

I N C H ( x y ) , w h o s e i n t e n d e d i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t t h e e x t e n d e d s p a t i a l e n t i t y x

i n c l u d e s a c h u n c k o f y { i . e . i f x a n d y a r e t h e s a m e d i m e n s i o n t h e n I N C H ( x y )

i s t h e s a m e a s C ( x y ) , o t h e r w i s e x m u s t b e o f h i g h e r d i m e n s i o n t h a n y a n d t h e y

m u s t n o t b e d i s j o i n t .

4 . 3 O r i e n t a t i o n

O r i e n t a t i o n i s n o t a b i n a r y r e l a t i o n { a t l e a s t t h r e e e l e m e n t s n e e d t o b e s p e c i e d

t o g i v e a n o r i e n t a t i o n b e t w e e n t w o o f t h e m ( a n d p o s s i b l y m o r e i n d i m e n s i o n s

h i g h e r t h a n 2 D ) . I f w e w a n t t o s p e c i f y t h e o r i e n t a t i o n o f a p r i m a r y o b j e c t ( P O )

3

A c t u a l l y , g i v e n t h e d i s d a i n o f t h e R C C t h e o r y a s p r e s e n t e d i n 7 2 ] f o r p o i n t s , a b e t t e r

i n t e r p r e t a t i o n , g i v e n s o m e s u i t a b l e d i s t a n c e m e t r i c , w o u l d b e t h a t C ( x y ) m e a n s t h a t

t h e d i s t a n c e b e t w e e n x a n d y i s z e r o .


8/20

b

a

b b

a

a b

b

ab

ab

ba

a

a

ECDC PO

=

TPP NTPP

NTPPiTPPi

F i g . 3 . 2 D i l l u s t r a t i o n s o f o f t h e r e l a t i o n s o f t h e R C C 8 c a l c u l u s a n d t h e i r c o n t i n u o u s

t r a n s i t i o n s ( c o n c e p t u a l n e i g h b o u r h o o d )

w i t h r e s p e c t t o a r e f e r e n c e o b j e c t ( R O ) , t h e n w e n e e d s o m e k i n d o f f r a m e o f

r e f e r e n c e ( F o f R ) . A n e x t r i n s i c f r a m e o f r e f e r e n c e i m p o s e s a n e x t e r n a l , i m m u t a b l e

o r i e n t a t i o n : e . g . g r a v i t a t i o n , a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m , o r a n t h i r d o b j e c t ( s u c h

a s t h e N o r t h p o l e ) . A d e i c t i c f r a m e o f r e f e r e n c e i s w i t h r e s p e c t t o t h e \ s p e a k e r "

o r s o m e o t h e r i n t e r n a l o b s e r v e r . F i n a l l y , a n i n t r i n s i c f r a m e o f r e f e r e n c e e x p l o i t s

s o m e i n h e r e n t p r o p e r t y o f t h e R O { m a n y o b j e c t s h a v e a n a t u r a l \ f r o n t " , e . g .

h u m a n s , b u i l d i n g s a n d b o a t s . T h i s c a t e g o r i z a t i o n m a n i f e s t s i t s e l f i n t h e d i s p l a y

o f q u a l i t a t i v e o r i e n t a t i o n c a l c u l i t o b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e : c e r t a i n c a l c u l i

h a v e a n e x p l i c i t t r i a d i c r e l a t i o n w h i l e o t h e r s p r e s u p p o s e a n e x t r i n s i c f r a m e o f

r e f e r e n c e a n d , f o r e x a m p l e , u s e c o m p a s s d i r e c t i o n s 3 5 , 5 1 ] . O f t h o s e w i t h e x p l i c i t

t r i a d i c r e l a t i o n s i s i t e s p e c i a l l y w o r t h m e n t i o n i n g t h e w o r k o f S c h l i e d e r 7 6 ] w h o

d e v e l o p s a c a l c u l u s b a s e d o n a f u n c t i o n w h i c h m a p s t r i p l e s o f p o i n t s t o o n e o f

t h r e e q u a l i t a t i v e v a l u e s , - , 0 o r + , d e n o t i n g a n t i c l o c k w i s e , c o l l i n e a r a n d c l o c k w i s e

o r i e n t a t i o n s r e s p e c t i v e l y . T h i s c a n b e u s e d f o r r e a s o n i n g a b o u t v i s i b l e l o c a t i o n s i n

q u a l i t a t i v e n a v i g a t i o n t a s k s , o r f o r s h a p e d e s c r i p t i o n 7 8 ] o r t o d e v e l o p a c a l c u l u s

f o r r e a s o n i n g a b o u t t h e r e l a t i v e o r i e n t a t i o n o f p a i r s o f l i n e s e g m e n t s 7 7 ] { s e e

g u r e 4 . A n o t h e r i m p o r t a n t t r i a d i c o r i e n t a t i o n c a l c u l u s i s t h a t o f R o e h r i g 7 5 ] ;

t h i s c a l c u l u s i s b a s e d o n a r e l a t i o n C Y C O R D ( x ; y ; z ) w h i c h i s t r u e ( i n 2 D ) w h e n

x ; y ; z a r e i n c l o c k w i s e o r i e n t a t i o n . R o e h r i g s h o w s h o w a n u m b e r o f q u a l i t a t i v e

c a l c u l i ( n o t o n l y o r i e n t a t i o n c a l c u l i ) c a n b e t r a n s l a t e d i n t o t h e C Y C O R D s y s t e m

( w h o s e r e a s o n i n g s y s t e m c a n t h e n b e e x p l o i t e d ) .

4 . 4 D i s t a n c e a n d s i z e

D i s t a n c e a n d s i z e a r e r e l a t e d i n t h e s e n s e t h a t t r a d i t i o n a l l y w e u s e a l i n e a r s c a l e

t o m e a s u r e e a c h o f t h e s e a s p e c t s , e v e n t h o u g h d i s t a n c e i s n o r m a l l y t h o u g h t o f

a s b e i n g a o n e d i m e n s i o n a l c o n c e p t , w h i l s t s i z e i s u s u a l l y a s s o c i a t e d w i t h h i g h e r

d i m e n s i o n a l m e a s u r e m e n t s s u c h a s a r e a o r v o l u m e . T h e d o m a i n c a n i n u e n c e

d i s t a n c e m e a s u r e m e n t s , a s w e s h a l l s e e b e l o w , b u t r s t I w i l l d i s c u s s p u r e s p a t i a l

r e p r e s e n t a t i o n s . T h e s e c a n b e d i v i d e d i n t o t w o m a i n g r o u p s : t h o s e w h i c h m e a s u r e

o n s o m e \ a b s o l u t e " s c a l e , a n d t h o s e w h i c h p r o v i d e s o m e k i n d o f r e l a t i v e m e a s u r e -

m e n t . O f c o u r s e , s i n c e t r a d i t i o n a l Q u a l i t a t i v e R e a s o n i n g i s p r i m a r i l y c o n c e r n e d

w i t h d e a l i n g w i t h l i n e a r q u a n t i t y s p a c e s , t h e q u a l i t a t i v e a l g e b r a s a n d t h e t r a n s i t -

i v i t y o f s u c h q u a n t i t y s p a c e s m e n t i o n e d e a r l i e r c a n b e u s e d a s a d i s t a n c e o r s i z e

m e a s u r i n g r e p r e s e n t a t i o n .


9/20

A

BC

D

C D

B A

D

B

C

A

A

B

C

D

B

A

C

D

C

D

B

A

D

CB

A

C

DA

B

D

CA

B

C

DA

B

C D

A B

B

A

C

D

D C

A B

B

AC

D

F i g . 4 . T h e 1 4 J E P D r e l a t i o n s o f S c h l i e d e r ' s o r i e n t e d l i n e s e g m e n t c a l c u l u s a n d t h e i r

c o n c e p t u a l n e i g h b o u r h o o d

A l s o o f i n t e r e s t i n t h i s c o n t e x t a r e t h e o r d e r o f m a g n i t u d e c a l c u l i 6 4 , 6 8 ]

d e v e l o p e d i n t h e Q R c o m m u n i t y . T h e s e c a l c u l i i n t r o d u c e m e a s u r i n g s c a l e s w h i c h

a l l o w o n e q u a n t i t y t o b e d e s c r i b e d a s b e i n g m u c h l a r g e r t h a n a n o t h e r , w i t h

t h e c o n s e q u e n c e t h a t i t r e q u i r e s s u m m i n g m a n y ( i n s o m e f o r m u l a t i o n s e v e n a n

i n n i t e n u m b e r ) o f t h e f o r m e r q u a n t i t i e s i n o r d e r t o s u r p a s s t h e s e c o n d , \ m u c h

l a r g e r " q u a n t i t y . A l l t h e s e \ t r a d i t i o n a l Q R " f o r m a l i s m s a r e o f t h e \ a b s o l u t e " k i n d

o f r e p r e s e n t a t i o n s m e n t i o n e d a b o v e a s i s t h e D e l t a c a l c u l u s 9 0 ] w h i c h i n t r o d u c e s

a t r i a d i c r e l a t i o n , x ( > d ) y x i s l a r g e r / b i g g e r t h a n y b y a m o u n t d ; t e r m s s u c h a s

x ( > y ) y m e a n t h a t x i s m o r e t h a n t w i c e a s b i g a s y .

O f t h e ` r e l a t i v e ' r e p r e s e n t a t i o n s s p e c i c a l l y d e v e l o p e d w i t h i n t h e s p a t i a l r e a s -

o n i n g c o m m u n i t y , p e r h a p s t h e r s t i s t h e c a l c u l u s p r o p o s e d b y d e L a g u n a 2 5 ] ,

w h i c h i n t r o d u c e s a t r i a d i c C a n C o n n e c t ( x ; y ; z ) p r i m i t i v e , w h i c h i s t r u e i f t h e

b o d y

4

x c a n c o n n e c t y a n d z b y s i m p l e t r a n s l a t i o n ( i . e . w i t h o u t s c a l i n g , r o t a t i o n

o r s h a p e c h a n g e ) . F r o m t h i s p r i m i t i v e i t i s q u i t e e a s y t o d e n e n o t i o n s s u c h a s

e q u i d i s t a n c e , n e a r e r t h a n , a n d f a r t h e r t h a n . A l s o n o t e t h a t t h i s p r i m i t i v e a l l o w s

a s i m p l e s i z e m e t r i c o n r e g i o n s t o b e d e n e d : o n e r e g i o n i s l a r g e r t h a n a n o t h e r

i f i t c a n c o n n e c t r e g i o n s t h a t t h e o t h e r c a n n o t . A n o t h e r t e c h n i q u e t o d e t e r m i n e

t h e r e l a t i v e s i z e o f t w o o b j e c t s w a s p r o p o s e d b y M u k e r j e e a n d J o e 6 6 ] a n d r e l i e s

o n b e i n g a b l e t o t r a n s l a t e r e g i o n s ( a s s u m e d t o b e s h a p e a n d s i z e i n v a r i a n t ) a n d

t h e n e x p l o i t t o p o l o g i c a l r e l a t i o n s h i p s { i f a t r a n s l a t i o n i s p o s s i b l e s o t h a t o n e

r e g i o n b e c o m e s a p r o p e r p a r t o f a n o t h e r , t h e n i t m u s t b e s m a l l e r . I n t e r e s t i n g l y ,

t h e s e s e e m t o b e a b o u t t h e o n l y p r o p o s a l s w h i c h a r e g r o u n d e d i n a r e g i o n b a s e d

t h e o r y { a l l t h e o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s m e n t i o n e d i n t h i s s e c t i o n t a k e p o i n t s a s

t h e i r p r i m i t i v e s p a t i a l e n t i t y .

D i s t a n c e i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e n o t i o n o f o r i e n t a t i o n : e . g . d i s t a n c e s c a n n o t

u s u a l l y b e a d d e d u n l e s s t h e y a r e i n t h e s a m e d i r e c t i o n , a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n

a p o i n t a n d r e g i o n m a y v a r y d e p e n d i n g o n t h e o r i e n t a t i o n , s e e g u r e 5 . T h u s i t i s

4

T e c h n i c a l l y , t h i s p e r h a p s i s n o t a p u r e s p a t i a l r e p r e s e n t a t i o n i n t h e w a y L a g u n a

p r e s e n t e d i t , b u t i t i s c l o s e e n o u g h t o b e p r e s e n t e d i n t h i s g r o u p o f r e p r e s e n t a t i o n s

I t h i n k .


10/20

p e r h a p s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e r e h a v e b e e n a n u m b e r o f c a l c u l i w h i c h a r e b a s e d

o n a p r i m i t i v e w h i c h c o m b i n e s d i s t a n c e a n d o r i e n t a t i o n i n f o r m a t i o n . A r g u a b l y ,

u n l e s s b o t h o f t h e s e a s p e c t s a r e r e p r e s e n t e d t h e n t h e c a l c u l u s i s n o t r e a l l y a

c a l c u l u s o f d i s t a n c e , t h o u g h i t m i g h t b e s a i d t h a t t h i s i s a c a l c u l u s o f p o s i t i o n

r a t h e r t h a n m e r e d i s t a n c e .

F i g . 5 . D i s t a n c e m a y v a r y w i t h o r i e n t a t i o n .

O n e s t r a i g h t f o r w a r d i d e a 3 5 ] i s t o c o m b i n e d i r e c t i o n s a s r e p r e s e n t e d b y s e g -

m e n t s o f t h e c o m p a s s w i t h a s i m p l e d i s t a n c e m e t r i c ( f a r , c l o s e ) . A s l i g h t l y m o r e

s o p h i s t i c a t e d i d e a i s t o i n t r o d u c e a p r i m i t i v e w h i c h d e n e s t h e p o s i t i o n o f a

t h i r d p o i n t w i t h r e s p e c t t o a d i r e c t e d l i n e s e g m e n t b e t w e e n t w o o t h e r p o i n t s 9 1 ]

{ s e e g u r e 6 . A c a l c u l u s w h i c h c o m b i n e s t h e D e l t a c a l c u l u s a n d o r i e n t a t i o n i s

p r e s e n t e d i n 8 9 ] .

b

a

F i g . 6 . T h e r e a r e 1 5 q u a l i t a t i v e l y d i e r e n t p o s i t i o n s a p o i n t c ( d e n o t e d b y t h e s h a d e d

c i r c l e s ) c a n b e w i t h r e s p e c t t o a v e c t o r f r o m p o i n t a t o p o i n t b . S o m e d i s t a n c e i n f o r m -

a t i o n i s r e p r e s e n t e d , f o r e x a m p l e t h e d a r k e r s h a d e d c i r c l e s a r e i n t h e s a m e o r i e n t a t i o n

b u t a t d i e r e n t d i s t a n c e s f r o m a b .

T h e m o s t s o p h i s t i c a t e d q u a l i t a t i v e d i s t a n c e c a l c u l u s t o d a t e i s t h e f r a m e w o r k

f o r r e p r e s e n t i n g d i s t a n c e s 5 2 ] w h i c h i s c u r r e n t l y b e i n g e x t e n d e d t o i n c l u d e o r i e n t -

a t i o n . I n t h i s f r a m e w o r k a d i s t a n c e i s e x p r e s s e d i n a p a r t i c u l a r f r a m e o f r e f e r e n c e

( F o f R ) b e t w e e n a p r i m a r y o b j e c t ( P O ) a n d a r e f e r e n c e o b j e c t ( R O ) . A d i s t a n c e

s y s t e m i s c o m p o s e d o f a n o r d e r e d s e q u e n c e o f d i s t a n c e r e l a t i o n s ( b e t w e e n a P O

a n d a n R O ) , a n d a s e t o f s t r u c t u r e r e l a t i o n s w h i c h g i v e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n

a b o u t h o w t h e d i s t a n c e r e l a t i o n s r e l a t e t o e a c h o t h e r ( a p a r t f r o m t h e i r d i s t a n c e

o r d e r i n g g i v e n i m p l i c i t l y b y t h e o r d e r e d s e q u e n c e ) . E a c h d i s t a n c e h a s a n a c -

c e p t a n c e a r e a ( w h i c h i n t h e c a s e o f a n i s o t r o p i c s p a c e w i l l b e a r e g i o n t h e s a m e

s h a p e a s t h e P O , c o n c e n t r i c a l l y l o c a t e d a r o u n d t h e P O ) ; t h e d i s t a n c e b e t w e e n

s u c c e s s i v e a c c e p t a n c e a r e a s d e n e s a s e q u e n c e o f i n t e r v a l s :

1

2

; : : : . T h e s t r u c -

t u r e r e l a t i o n s d e n e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e s e

i

. T y p i c a l s t r u c t u r e r e l a t i o n s

m i g h t s p e c i f y a m o n o t o n i c i t y p r o p e r t y ( t h e

i

a r e i n c r e a s i n g ) , o r t h a t e a c h

i

i s g r e a t e r t h a n t h e s u m o f a l l t h e p r e c e d i n g

i

. T h e s t r u c t u r e r e l a t i o n s h i p s c a n

a l s o b e u s e d t o s p e c i f y o r d e r o f m a g n i t u d e r e l a t i o n s h i p s , e . g . t h a t

i

+

j

~

i

f o r

j < i . T h e s t r u c t u r e r e l a t i o n s h i p s a r e i m p o r t a n t i n r e n i n g t h e c o m p o s i t i o n t a b l e s


11/20

( s e e b e l o w ) . I n a h o m o g e n e o u s d i s t a n c e s y s t e m a l l t h e d i s t a n c e r e l a t i o n s h a v e t h e

s a m e s t r u c t u r e r e l a t i o n s ; h o w e v e r t h i s n e e d n o t b e t h e c a s e i n a h e t e r o g e n e o u s

d i s t a n c e s y s t e m . T h e p r o p o s e d s y s t e m a l s o a l l o w s f o r t h e f a c t t h a t t h e c o n t e x t

m a y a e c t t h e d i s t a n c e r e l a t i o n s h i p s ; t h i s i s h a n d l e d b y h a v i n g d i e r e n t f r a m e s

o f r e f e r e n c e , e a c h w i t h i t s o w n d i s t a n c e s y s t e m a n d w i t h i n f e r e n c e s i n d i e r e n t

f r a m e s o f r e f e r e n c e b e i n g c o m p o s e d u s i n g a r t i c u l a t i o n r u l e s ( c f . 5 4 ] ) . A n a l o g -

o u s l y t o o r i e n t a t i o n c a l c u l i , i n t r i n s i c , e x t r i n s i c a n d d e i c t i c f r a m e s o f r e f e r e n c e

c a n b e d i s t i n g u i s h e d .

I t i s p o s s i b l e t h a t d i e r e n t q u a l i t a t i v e d i s t a n c e c a l c u l i ( o r F o f R ) m i g h t b e

n e e d e d f o r d i e r e n t s c a l e s p a c e s { M o n t e l l o 6 5 ] s u g g e s t s t h a t t h e r e a r e f o u r

m a i n k i n d s o f s c a l e o f s p a c e , r e l a t i v e t o t h e h u m a n b o d y : g u r a l s p a c e p e r t a i n s

t o d i s t a n c e s s m a l l e r t h a n t h e h u m a n b o d y a n d w h i c h t h u s c a n b e p e r c e i v e d

w i t h o u t m o v e m e n t ( e . g . t a b l e t o p s p a c e a n d p i c t u r e s ) ; v i s t a s p a c e i s s i m i l a r b u t

p e r t a i n s t o s p a c e s l a r g e r t h a n t h e h u m a n b o d y , m a k i n g d i s t o r t i o n s m o r e l i k e l y ;

e n v i r o n m e n t a l s p a c e c a n n o t b e p e r c e i v e d w i t h o u t m o v i n g f r o m o n e l o c a t i o n t o

a n o t h e r ; n a l l y , g e o g r a p h i c s p a c e c a n n o t b e p r o p e r l y a p p r e h e n d e d b y m o v i n g {

r a t h e r i t r e q u i r e s i n d i r e c t p e r c e p t i o n b y a ( g u r a l s p a c e ) m a p . O n e o b v i o u s e e c t

o f m o v i n g f r o m o n e s c a l e , o r c o n t e x t t o a n o t h e r , i s t h a t q u a l i t a t i v e d i s t a n c e t e r m s

s u c h a s \ c l o s e " w i l l v a r y g r e a t l y ; m o r e s u b t l y , d i s t a n c e s c a n b e h a v e i n v a r i o u s

\ n o n m a t h e m a t i c a l " w a y s i n s o m e c o n t e x t s o r s p a c e s : e . g . d i s t a n c e s m a y n o t b e

s y m m e t r i c a l { e . g . b e c a u s e d i s t a n c e s a r e s o m e t i m e s m e a s u r e d b y t i m e t a k e n t o

t r a v e l , a n d a n u p h i l l j o u r n e y m a y t a k e l o n g e r t h a n t h e r e t u r n d o w n h i l l j o u r n e y .

A n o t h e r \ m a t h e m a t i c a l a b e r r a t i o n " i s t h a t i n s o m e d o m a i n s t h e s h o r t e s t d i s t a n c e

b e t w e e n t w o p o i n t s m a y n o t b e a s t r a i g h t l i n e ( e . g . b e c a u s e a l a k e o r a b u i l d i n g

m i g h t b e i n t h e w a y , ) .

4 . 5 S h a p e

O n e c a n t h i n k o f t h e o r i e s o f s p a c e a s f o r m i n g a h i e r a r c h y o r d e r e d b y e x p r e s s i v e -

n e s s ( i n t e r m s o f t h e s p a t i a l d i s t i n c t i o n s m a d e p o s s i b l e ) w i t h t o p o l o g y a t t h e t o p

a n d a f u l l y m e t r i c / g e o m e t r i c t h e o r y a t t h e b o t t o m . C l e a r l y i n a p u r e l y t o p o l o g i c a l

t h e o r y o n l y v e r y l i m i t e d s t a t e m e n t s c a n b e m a d e a b o u t t h e s h a p e o f a r e g i o n :

w h e t h e r i t i s h a s h o l e s ( i n t h e s e n s e t h a t a t o r u s h a s a h o l e ) , o r i n t e r i o r v o i d s , o r

w h e t h e r i t i s i n o n e p i e c e o r n o t . A s e r i e s o f p a p e r s h a v e e x p l o r e d e x a c t l y w h a t

i t i s p o s s i b l e t o r e p r e s e n t , b o t h w i t h i n t h e R C C c a l c u l u s a n d , t o a l e s s e r e x t e n t ,

u s i n g t h e n i n e i n t e r s e c t i o n m o d e l , e . g . : 2 1 , 2 0 , 4 7 , 1 6 , 2 9 , 2 6 ] .

H o w e v e r , i f o n e ' s a p p l i c a t i o n d e m a n d s n e r g r a i n e d d i s t i n c t i o n s t h a n t h e s e ,

t h e n s o m e k i n d o f s e m i - m e t r i c i n f o r m a t i o n h a s t o b e i n t r o d u c e d

5

; t h e r e i s a

h u g e c h o i c e o f e x t e n d i n g t o p o l o g y w i t h s o m e k i n d o f s h a p e p r i m i t i v e s w h i l s t s t i l l

r e t a i n i n g a q u a l i t a t i v e r e p r e s e n t a t i o n ( i . e . n o t b e c o m i n g f u l l y m e t r i c ) . T h e Q S R

c o m m u n i t y h a s o n l y j u s t s t a r t e d e x p l o r i n g t h e v a r i o u s p o s s i b i l i t i e s ; b e l o w w e

b r i e y d e s c r i b e s o m e o f t h e a p p r o a c h e s .

5

O f c o u r s e , t h e o r i e n t a t i o n a n d d i s t a n c e p r i m i t i v e s d i s c u s s e d a b o v e a l r e a d y a d d

s o m e t h i n g t o p u r e t o p o l o g y , b u t a s a l r e a d y m e n t i o n e d t h e s e a r e l a r g e l y p o i n t b a s e d

a n d t h u s n o t d i r e c t l y a p p l i c a b l e t o d e s c r i b i n g r e g i o n s h a p e .


12/20

T h e r e a r e a n u m b e r o f w a y s t o c l a s s i f y t h e s e a p p r o a c h e s ; o n e d i s t i n c t i o n

i s b e t w e e n t h o s e t e c h n i q u e s w h i c h c o n s t r a i n t h e p o s s i b l e s h a p e s o f a r e g i o n a n d

t h o s e t h a t c o n s t r u c t a m o r e c o m p l e x s h a p e d r e g i o n o u t o f s i m p l e r o n e s ( e . g . a l o n g

t h e l i n e s o f c o n s t r u c t i v e s o l i d g e o m e t r y 7 4 ] , b u t p e r h a p s s t a r t i n g f r o m a m o r e

q u a l i t a t i v e s e t o f p r i m i t i v e s ) . A n a l t e r n a t i v e d i c h o t o m y c a n b e d r a w n b e t w e e n

r e p r e s e n t a t i o n s w h i c h p r i m a r i l y d e s c r i b e t h e b o u n d a r y o f a n o b j e c t ( e . g . t h e

s e q u e n c e o f d i e r e n t k i n d s o f c u r v a t u r e e x t r e m a 6 0 ] a l o n g i t s c o n t o u r ) c o m p a r e d

t o t h o s e w h i c h r e p r e s e n t i t s i n t e r i o r ( e . g . s y m m e t r y b a s e d t e c h n i q u e s ) . A r g u a b l y

1 2 ] , t h e f o r m e r t e c h n i q u e s a r e p r e f e r a b l e s i n c e s h a p e i s i n h e r e n t l y n o t a o n e

d i m e n s i o n a l c o n c e p t .

O n e n a t u r a l d i s t i n c t i o n t o m a k e i s b e t w e e n c o n v e x a n d c o n c a v e r e g i o n s ( n o t e

t h a t t o p o l o g y o n l y a l l o w s c e r t a i n r a t h e r s p e c i a l k i n d o f n o n c o n v e x r e g i o n s t o

b e d i s t i n g u i s h e d , a n d i n a n y c a s e d o e s n o t a l l o w t h e c o n c a v i t i e s t o b e e x p l i c i t l y

r e f e r r e d t o { i t i s a t h e o r y o f ` h o l e d r e g i o n s ' , r a t h e r t h a n o f h o l e s p e r s e ) . T h e

R C C t h e o r y h a s s h o w n t h a t m a n y i n t e r e s t i n g p r e d i c a t e s c a n b e d e n e d o n c e

o n e t a k e s t h e n o t i o n o f a c o n v e x h u l l o f a r e g i o n ( o r e q u i v a l e n t l y , a p r e d i c a t e t o

t e s t c o n v e x i t y ) . F o r e x a m p l e o n e c a n d i s t i n g u i s h a l l t h e d i e r e n t k i n d s o f s h a p e

d i s p l a y e d i n g u r e 7 . I n f a c t , i t h a s r e c e n t l y b e e n s h o w n 2 4 ] , t h a t t h i s s y s t e m

e s s e n t i a l l y i s e q u i v a l e n t t o a n a n e g e o m e t r y : a n y t w o c o m p a c t p l a n a r s h a p e s

n o t r e l a t e d b y a n a n e t r a n s f o r m a t i o n c a n b e d i s t i n g u i s h e d .

F i g . 7 . A l l t h e s e s h a p e s a n d m a n y m o r e c a n b e d i s t i n g u i s h e d u s i n g a c o n v e x h u l l

p r i m i t i v e .

V a r i o u s d i e r e n t n o t i o n s o f t h e i n s i d e o f a r e g i o n c a n b e d i s t i n g u i s h e d u s i n g a

c o n v e x h u l l p r i m i t i v e 1 7 , 2 2 ] { t h e s e c a n a l l b e v i e w e d a s d i e r e n t k i n d s o f h o l e .

A v e r y i n t e r e s t i n g l i n e o f r e s e a r c h 1 3 , 8 4 ] h a s i n v e s t i g a t e d e x a c t l y w h a t h o l e s a r e

a n d p r o p o s e s a n a x i o m a t i s a t i o n o f h o l e s b a s e d o n a n e w p r i m i t i v e : H o s t s ( x y )

{ w h i c h i s t r u e i f t h e b o d y x h o s t s h o l e y ; n o t e t h a t t h i s i s n o t a t h e o r y o f p u r e

s p a c e : h o l e s c a n n o t h o s t o t h e r h o l e s , o n l y p h y s i c a l o b j e c t s c a n a c t a s h o s t s .

A n o t h e r r e c e n t p r o p o s a l 1 1 ] i s t o t a k e t h e n o t i o n o f t w o r e g i o n s b e i n g c o n g r u -

e n t a s p r i m i t i v e ; f r o m t h i s i t i s p o s s i b l e t o d e n e t h e n o t i o n o f a s p h e r e , a n d t h e n

i m p o r t T a r s k i ' s t h e o r y o f s p h e r e s a n d r e l a t e d d e n i t i o n s s u c h a s ` b e t w e e n n e s s '

8 1 ] . T h a t t h i s t h e o r y i s m o r e p o w e r f u l t h a n o n e j u s t w i t h c o n v e x h u l l i s s h o w n

b y t h e f a c t c o n v e x i t y c a n n o w b e d e n e d i n a c o n g r u e n c e b a s e d s y s t e m .

S o m e r e p r e s e n t a t i o n s n a t u r a l l y l e n d t h e m s e l v e s t o a h i e r a r c h i c a l d e s c r i p t i o n ;

f o r e x a m p l e , i f w e t a k e t h e c o n v e x h u l l o f a ( 2 D ) s h a p e , t h e n w e c a n e a s i l y d e n e

i t s c o n c a v i t i e s a n d d e s c r i b e t h e i r r e l a t i o n s h i p s t o e a c h o t h e r a n d t h e o r i g i n a l

s h a p e ; h o w e v e r t h e s e c o n c a v i t i e s m a y n o t b e c o n v e x , a n d t h e r e f o r e w e c a n t a k e

t h e i r c o n v e x h u l l s a n d r e c u r s i v e l y d e s c r i b e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o n c a v -

i t i e s o f e a c h c o n c a v i t y 8 0 , 1 7 ] .


13/20

4 . 6 U n c e r t a i n t y

E v e n t h o u g h a q u a l i t a t i v e c a l c u l u s a l r e a d y m a k e s s o m e a t t e m p t t o r e p r e s e n t a n d

r e a s o n a b o u t u n c e r t a i n t y a s d i s c u s s e d a b o v e , s o m e t i m e s s o m e e x t r a m e c h a n i s m

m a y b e r e q u i r e d . O f c o u r s e , i t i s a l w a y s p o s s i b l e t o g l u e o n s o m e s t a n d a r d n u -

m e r i c a l t e c h n i q u e f o r r e a s o n i n g a b o u t u n c e r t a i n t y ( e . g . 3 8 ] ) , b u t t h e r e h a s a l s o

b e e n s o m e r e s e a r c h o n e x t e n d i n g e x i s t i n g q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g t e c h n i q u e s

t o e x p l i c i t l y r e p r e s e n t a n d r e a s o n a b o u t u n c e r t a i n i n f o r m a t i o n . F o r e x a m p l e , a

r e c e n t G I S D A T A w o r k s h o p o n r e p r e s e n t i n g a n d r e a s o n i n g a b o u t r e g i o n s w i t h i n -

d e t e r m i n a t e b o u n d a r i e s g e n e r a t e d t w o p a p e r s 2 1 , 1 6 ] w h i c h e x t e n d e d t h e R C C

c a l c u l u s a n d t h e 9 - i n t e r s e c t i o n i n v e r y s i m i l a r w a y s t o h a n d l e t h e s e k i n d o f r e -

g i o n s . A n o t h e r i n t e r e s t i n g l i n e o f r e s e a r c h i s t o w o r k w i t h a n i n d i s t i n g u i s h a b i l i t y

r e l a t i o n w h i c h i s n o t t r a n s i t i v e a n d t h u s f a i l s t o g e n e r a t e e q u i v a l e n c e c l a s s e s

8 3 , 5 5 ] . Y e t a n o t h e r l i n e o f r e s e a r c h i s t h e d e v e l o p m e n t o f n o n m o n o t o n i c s p a t i a l

l o g i c s 7 9 , 3 ] .

5 Q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g

A l t h o u g h m u c h o f t h e w o r k i n Q S R h a s c o n c e n t r a t e d o n r e p r e s e n t a t i o n a l a s -

p e c t s , v a r i o u s c o m p u t a t i o n a l p a r a d i g m s a r e b e i n g i n v e s t i g a t e d i n c l u d i n g c o n -

s t r a i n t b a s e d r e a s o n i n g ( e . g . 5 1 ] ) . H o w e v e r , t h e m o s t p r e v a l e n t f o r m o f q u a l i t -

a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g i s b a s e d o n t h e c o m p o s i t i o n t a b l e ( o r i g i n a l l y k n o w n a s a

t r a n s i t i v i t y t a b l e 2 ] , b u t n o w r e n a m e d s i n c e m o r e t h a n o n e r e l a t i o n i s i n v o l v e d

a n d t h u s i t i s r e l a t i o n c o m p o s i t i o n r a t h e r t h a n t r a n s i t i v i t y w h i c h i s b e i n g r e p r e s -

e n t e d ) . G i v e n a s e t o f n J E P D r e l a t i o n s , t h e n n c o m p o s i t i o n t a b l e s p e c i e s

f o r e a c h p a i r o f r e l a t i o n s R 1 , a n d R 2 s u c h t h a t R 1 ( a , b ) a n d R 2 ( b , c ) h o l d , w h a t

t h e p o s s i b l e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n a a n d c c o u l d b e . I n g e n e r a l , t h e r e w i l l b e a

d i s j u n c t i o n o f e n t r i e s , a s a c o n s e q u e n c e o f t h e q u a l i t a t i v e n a t u r e o f t h e c a l c u l u s .

M o s t o f t h e c a l c u l i m e n t i o n e d i n t h i s p a p e r h a v e h a d c o m p o s i t i o n t a b l e s c o n s t r u c -

t e d f o r t h e m , t h o u g h t h i s h a s s o m e t i m e s p o s e d s o m e t h i n g o f a c h a l l e n g e 7 0 ] . O n e

a p p r o a c h t o t h e a u t o m a t i c g e n e r a t i o n o f c o m p o s i t i o n t a b l e s h a s b e e n t o t r y t o

r e d u c e e a c h c a l c u l u s t o a s i m p l e o r d e r i n g r e l a t i o n 7 5 ] . A n o t h e r , p e r h a p s m o r e

g e n e r a l a p p r o a c h , i s t o f o r m u l a t e t h e c a l c u l u s a s a d e c i d a b l e t h e o r y ( m a n y c a l -

c u l i , e . g . t h e o r i g i n a l R C C s y s t e m , a r e p r e s e n t e d a s r s t o r d e r t h e o r i e s ) , i d e a l l y

e v e n a s a t r a c t a b l e t h e o r y , a n d t h e n u s e e x h a u s t i v e t h e o r e m p r o v i n g t e c h n i q u e s

t o a n a l y z e a n d t h u s g e n e r a t e e a c h c o m p o s i t i o n t a b l e e n t r y ; a r e f o r m u l a t i o n o f t h e

R C C r s t o r d e r t h e o r y i n a z e r o o r d e r i n t u i t i o n i s t i c l o g i c

6

7 ] w a s a b l e t o g e n -

e r a t e t h e a p p r o p r i a t e c o m p o s i t i o n t a b l e s a u t o m a t i c a l l y . A n o t h e r a p p r o a c h w o u l d

h a v e b e e n b e e n u s e a z e r o o r d e r m o d a l l o g i c 9 ] .

5 . 1 S p a t i o - t e m p o r a l r e a s o n i n g

S o f a r w e h a v e b e e n c o n c e r n e d p u r e l y w i t h s t a t i c s p a t i a l c a l c u l i , s o t h a t w e c a n

o n l y r e p r e s e n t a n d r e a s o n a b o u t s n a p s h o t s o f a c h a n g i n g w o r l d . I t i s t h u s i m p o r t -

6

T h i s r e f o r m u l a t i o n i s i n t e r e s t i n g i n t h a t i t b e c o m e s a t r u e s p a t i a l l o g i c , r a t h e r t h a n

a t h e o r y o f s p a c e : t h e \ l o g i c a l s y m b o l s " h a v e s p a t i a l i n t e r p r e t a t i o n s , e . g . i m p l i c a t i o n

i s i n t e r p r e t e d a s p a r t h o o d a n d d i s j u n c t i o n a s t h e s u m o f t w o r e g i o n s .


14/20

a n t t o d e v e l o p c a l c u l i w h i c h c o m b i n e s p a c e a n d t i m e i n a n i n t e g r a t e d f a s h i o n .

A s s u m i n g t h a t c h a n g e i s c o n t i n u o u s , a s i s t h e c a s e i n s t a n d a r d q u a l i t a t i v e r e a s -

o n i n g , i t i m p o r t a n t t o k n o w w h i c h q u a l i t a t i v e v a l u e s o r r e l a t i o n s a r e n e i g h b o u r s

i n t h e s e n s e t h a t i f a v a l u e o r p r e d i c a t e h o l d s a t o n e t i m e , t h e n t h e r e i s s o m e

c o n t i n u o u s c h a n g e p o s s i b l e s u c h t h a t t h e n e x t v a l u e o r p r e d i c a t e t o h o l d w i l l

b e a n e i g h b o u r . C o n t i n u i t y n e t w o r k s d e n i n g s u c h n e i g h b o u r s a r e o f t e n c a l l e d

c o n c e p t u a l n e i g h b o u r h o o d s i n t h e l i t e r a t u r e f o l l o w i n g t h e u s e o f t h e t e r m 3 6 ]

t o d e s c r i b e t h e o f s t r u c t u r e A l l e n ' s 1 3 J E P D t e m p o r a l r e l a t i o n s 1 ] a c c o r d i n g t o

t h e i r c o n c e p t u a l c l o s e n e s s ( e . g . m e e t s i s a n e i g h b o u r o f b o t h o v e r l a p s a n d b e f o r e )

M o s t o f t h e q u a l i t a t i v e s p a t i a l c a l c u l i r e p o r t e d i n t h i s p a p e r h a v e h a d c o n c e p t u a l

n e i g h b o u r h o o d s c o n s t r u c t e d f o r t h e m ; s e e g u r e s 3 a n d 4 f o r e x a m p l e

7

P e r h a p s t h e m o s t c o m m o n f o r m o f c o m p u t a t i o n i n t h e Q R l i t e r a t u r e i s q u a l -

i t a t i v e s i m u l a t i o n a n d u s i n g c o n c e p t u a l n e i g h b o r h o o d d i a g r a m s i s q u i t e e a s y t o

b u i l d a q u a l i t a t i v e s p a t i a l s i m u l a t o r 2 3 ] . S u c h a s i m u l a t o r t a k e s a s e t o f g r o u n d

a t o m i c s t a t e m e n t s d e s c r i b i n g a n i n i t i a l s t a t e

8

a n d c o n s t r u c t s a t r e e o f f u t u r e p o s -

s i b l e s t a t e s { t h e b r a n c h i n g o f t h e t r e e r e s u l t s f r o m t h e a m b i g u i t y o f t h e q u a l i t a t i v e

c a l c u l u s . O f c o u r s e , c o n t i n u i t y a l o n e d o e s n o t p r o v i d e s u c i e n t c o n s t r a i n t s t o r e -

s t r i c t t h e g e n e r a t i o n o f n e x t p o s s i b l e s t a t e s t o a r e a s o n a b l y s m a l l s e t i n g e n e r a l {

d o m a i n s p e c i c c o n s t r a i n t s a r e r e q u i r e d i n a d d i t i o n . T h e s e m a y b e o f t w o k i n d s :

i n t r a s t a t e c o n s t r a i n t s r e s t r i c t t h e s p a t i a l r e l a t i o n s h i p s t h a t m a y h o l d w i t h i n a n y

s t a t e w h i l s t i n t e r s t a t e c o n s t r a i n t s r e s t r i c t w h a t c a n h o l d b e t w e e n a d j a c e n t s t a t e s

( o r i n g e n e r a l , a c r o s s a s e q u e n c e o f s t a t e s ) . B o t h o f t h e s e c o n s t r a i n t t y p e s c a n b e

u s e d t o p r u n e o t h e r w i s e a c c e p t a b l e n e x t s t a t e s f r o m t h e s i m u l a t i o n t r e e . A d d i -

t i o n a l p r u n i n g i s r e q u i r e d t o m a k e s u r e t h a t e a c h s t a t e i s c o n s i s t e n t w i t h r e s p e c t

t o t h e s e m a n t i c s o f t h e c a l c u l u s ( e . g . t h a t t h e r e i s n o c y c l e o f p r o p e r p a r t r e -

l a t i o n s h i p s ) { t h e c o m p o s i t i o n t a b l e c a n b e u s e d f o r t h i s p u r p o s e . A d e s i r a b l e

e x t e n s i o n , b y a n a l o g y w i t h e a r l i e r Q R w o r k , w o u l d b e t o i n c o r p o r a t e a p r o p e r

t h e o r y o f s p a t i a l p r o c e s s e s c o u c h e d i n a l a n g u a g e o f Q S R . ; s o m e w o r k i n t h i s

d i r e c t i o n i s r e p o r t e d i n 6 2 ] .

O n e p r o b l e m i s t h a t t h e c o n c e p t u a l n e i g h b o u r h o o d i s u s u a l l y b u i l t m a n u a l l y

f o r e a c h n e w c a l c u l u s { a s o m e t i m e s a r d u o u s a n d e r r o r p r o n e o p e r a t i o n i f t h e r e

a r e m a n y r e l a t i o n s ; t e c h n i q u e s t o d e r i v e t h e s e a u t o m a t i c a l l y w o u l d b e v e r y u s e f u l ;

o n e a t t e m p t i n t h i s d i r e c t i o n 1 9 ] t r i e d t o e x p l o i t t h e i n t e r e s t i n g o b s e r v a t i o n t h a t

e v e r y e n t r y i n m o s t

9

c o m p o s i t i o n t a b l e s f o r m a c o n n e c t e d s u b g r a p h o f t h e c o n -

c e p t u a l n e i g h b o u r h o o d d i a g r a m t h o u g h w a s n o t s u c i e n t l y p o w e r f u l t o g e n e r a t e

t h e c o m p l e t e c o n c e p t u a l n e i g h b o u r h o o d d i a g r a m f r o m t h e c o m p o s i t i o n t a b l e i n

g e n e r a l . A n a n a l y s i s o f t h e s t r u c t u r e o f c o n c e p t u a l n e i g h b o u r h o o d s i s r e p o r t e d b y

L i g o z a t 6 1 ] . A m o r e f o u n d a t i o n a l a p p r o a c h w h i c h e x p l o i t s t h e c o n t i n u i t y o f t h e

7

A c l o s e r e l a t e d n o t i o n i s t h a t o f \ c l o s e s t t o p o l o g i c a l d i s t a n c e " 2 8 ] { t w o p r e d i c a t e s

a r e n e i g h b o u r s i f t h e i r r e s p e c t i v e 9 - i n t e r s e c t i o n m a t r i c e s d i e r b y f e w e r e n t r i e s t h a n

a n y o t h e r p r e d i c a t e s ; h o w e v e r t h e r e s u l t i n g n e i g h b o u r h o o d g r a p h i s n o t i d e n t i c a l t o

t h e t r u e c o n c e p t u a l n e i g h b o u r h o o d o r c o n t i n u i t y g r a p h { s o m e l i n k s a r e m i s s i n g .

8

T h e c o n s t r u c t i o n o f a n e n v i s i o n e r 8 6 ] r a t h e r t h a n a s i m u l a t o r w o u l d a l s o b e p o s s i b l e

o f c o u r s e .

9

T h e r e a r e t h e o d d e x c e p t i o n s 6 ] .


15/20

u n d e r l y i n g s e m a n t i c s p a c e s h a s b e e n i n v e s t i g a t e d b y G a l t o n 3 9 ] b u t t h e p r o c e s s

i s s t i l l f a r f r o m a u t o m a t i c .

5 . 2 C o m p l e x i t y a n d C o m p l e t e n e s s

M e t a t h e o r e t i c r e s u l t s s u c h a s c o m p l e t e n e s s a n d c o m p l e x i t y r e s u l t s a r e s t i l l q u i t e

s p a r s e i n t h e Q S R l i t e r a t u r e . T h e i n t u i t i o n i s t i c f o r m u l a t i o n o f R C C 8 h a s b e e n

s h o w n t o p r o v i d e a p o l y n o m i a l p r o c e d u r e t o t e s t t h e c o n s i s t e n c y o f s e t s o f g r o u n d

a t o m s 6 7 ] b u t f o r o t h e r t o p o l o g i c a l c a l c u l i o r t a s k s t h e r e s u l t s a r e n o t s o f a -

v o u r a b l e 4 9 , 4 3 ] . R e l a t e d t o t h e q u e s t i o n o f d e c i d a b i l i t y i s t h e q u e s t i o n o f t h e

c o m p l e t e n e s s o f t h e t h e o r y ( a r e t h e r e n o c o n t i n g e n t f o r m u l a e ? ) a n d t h e s t r o n g e r

r e s u l t o f @ 0 - c a t e g o r i c i t y ( a l l m o d e l s a r e i s o m o r p h i c ) { s o m e i n v e s t i g a t i o n s i n t o

p r o v i d i n g s u c i e n t e x t r a e x i s t e n t i a l a x i o m s f o r R C C 8 t o e n s u r e t h i s a r e r e p o r t e d

i n 8 ] .

6 F i n a l c o m m e n t s

A n i s s u e w h i c h h a s n o t b e e n m u c h a d d r e s s e d y e t i n t h e Q S R l i t e r a t u r e i s t h e i s s u e

o f c o g n i t i v e v a l i d i t y { c l a i m s a r e o f t e n m a d e t h a t q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g i s a k i n t o

h u m a n r e a s o n i n g , b u t w i t h l i t t l e o r n o e m p i r i c a l j u s t i c a t i o n ; o n e e x c e p t i o n t o

t h i s w o r k i s t h e s t u d y m a d e o f a c a l c u l u s f o r r e p r e s e n t i n g t o p o l o g i c a l r e l a t i o n s

b e t w e e n r e g i o n s a n d l i n e s 6 3 ] w h e r e n a t i v e s p e a k e r s o f s e v e r a l d i e r e n t l a n g u a g e s

w e r e a s k e d t o p e r f o r m t a s k s i n w h i c h t h e y c o r r e l a t e d s p a t i a l e x p r e s s i o n s s u c h a s

\ t h e r o a d g o e s t h r o u g h t h e p a r k " w i t h a v a r i e t y o f d i a g r a m s w h i c h d e p i c t e d a

l i n e a n d a r e g i o n w h i c h t h e s u b j e c t s w e r e t o l d t o i n t e r p r e t a s a s r o a d a n d a p a r k .

A s i n s o m a n y o t h e r e l d s o f k n o w l e d g e r e p r e s e n t a t i o n i t i s u n l i k e l y t h a t a

s i n g l e u n i v e r s a l s p a t i a l r e p r e s e n t a t i o n l a n g u a g e w i l l e m e r g e { r a t h e r , t h e b e s t

w e c a n h o p e f o r i s t h a t t h e e l d w i l l d e v e l o p a l i b r a r y o f r e p r e s e n t a t i o n a l a n d

r e a s o n i n g d e v i c e s a n d s o m e c r i t e r i a f o r t h e i r m o s t s u c c e s s f u l a p p l i c a t i o n . F i n a l l y ,

a s i n t h e c a s e o f n o n s p a t i a l q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g , q u a n t i t a t i v e k n o w l e d g e a n d

r e a s o n i n g m u s t n o t b e i g n o r e d { q u a l i t a t i v e a n d q u a n t i t a t i v e r e a s o n i n g a r e c o m -

p l e m e n t a r y t e c h n i q u e s a n d r e s e a r c h i s n e e d e d t o e n s u r e t h e y c a n b e i n t e g r a t e d ,

f o r e x a m p l e b y d e v e l o p i n g r e l i a b l e w a y s o f t r a n s l a t i n g b e t w e e n t h e t w o k i n d s o f

f o r m a l i s m . E q u a l l y , i n t e r f a c i n g s y m b o l i c Q S R t o t h e t e c h n i q u e s b e i n g d e v e l o p e d

b y t h e d i a g r a m m a t i c r e a s o n i n g c o m m u n i t y 4 1 ] i s a n i n t e r e s t i n g a n d i m p o r t a n t

c h a l l e n g e .

I n t h i s p a p e r I h a v e t r i e d t o p r o v i d e a n o v e r v i e w o f t h e e l d o f q u a l i t a t i v e

s p a t i a l r e a s o n i n g ; t h e e l d a c t i v e a n d t h e r e h a s n o t b e e n s p a c e t o c o v e r e v e r y t h i n g

( f o r e x a m p l e q u a l i t a t i v e k i n e m a t i c s 3 1 ] ) . A E u r o p e a n f u n d e d H u m a n C a p i t a l a n d

M o b i l i t y N e t w o r k , S p a c e n e t , h a s r e c e n t l y b e e n i n i t i a t e d a c r o s s e l e v e n s i t e s a n d

t h e w e b p a g e ( h t t p : / / w w w . s c s . l e e d s . a c . u k / s p a c e n e t / ) p r o v i d e s a n e n t r y t o p o i n t

t o t h e o n g o i n g w o r k a t t h e s e s i t e s a n d e l s e w h e r e .

7 A c k n o w l e d g m e n t s

T h e s u p p o r t o f t h e E P S R C u n d e r g r a n t s G R / H / 7 8 9 5 5 a n d G R / K 6 5 0 4 1 , a n d

a l s o t h e C E C u n d e r t h e H C M n e t w o r k S P A C E N E T i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .


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I n w r i t i n g t h i s p a p e r I h a v e b e e n g r e a t l y i n u e n c e d n o t o n l y b y m y c o l l e a g u e s

i n t h e q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g g r o u p h e r e a t L e e d s ( i n p a r t i c u l a r B r a n d o n

B e n n e t t , J o h n G o o d a y a n d N i c k G o t t s ) , b u t a l s o b y t h e m a n y d i s c u s s i o n s I h a v e

p a r t i c i p a t e d i n a t t h e S p a c e n e t w o r k s h o p s w i t h t h e p a r t i c i p a n t s f r o m t h e o t h e r

1 0 s i t e s { m y s i n c e r e t h a n k s t o t h e m a l l . T h e r e s p o n s i b i l i t y f o r a n y e r r o r s i n t h i s

p a p e r r e s t s e n t i r e l y w i t h m e o f c o u r s e .

R e f e r e n c e s

1 . J F A l l e n . A n i n t e r v a l - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n o f t e m p o r a l k n o w l e d g e . I n P r o c e e d i n g s

7 t h I J C A I , p a g e s 2 2 1 { 2 2 6 , 1 9 8 1 .

2 . J F A l l e n . M a i n t a i n i n g k n o w l e d g e a b o u t t e m p o r a l i n t e r v a l s . C o m m u n i c a t i o n s o f

t h e A C M , 2 6 ( 1 1 ) : 8 3 2 { 8 4 3 , 1 9 8 3 .

3 . N A s h e r a n d J L a n g . W h e n n o n m o n o t o n i c i t y c o m e s f r o m d i s t a n c e . I n L N e b e l ,

B a m d D r e s c h l e r - F i s c h e r , e d i t o r , K I - 9 4 : A d v a n c e s i n A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e , p a g e s

3 0 8 { 3 1 8 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 4 .

4 . N A s h e r a n d L V i e u . T o w a r d a g e o m e t r y o f c o m m o n s e n s e : A s e m a n t i c s a n d a c o m -

p l e t e a x i o m a t i z a t i o n o f m e r e o t o p o l o g y . I n P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l J o i n t

C o n f e r e n c e o n A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e ( I J C A I - 9 5 ) , M o n t r e a l , 1 9 9 5 .

5 . M A u r n a g u e a n d L V i e u . A t h r e e - l e v e l a p p r o a c h t o t h e s e m a n t i c s o f s p a c e . I n

C Z e l i n s k y - W i b b e l t , e d i t o r , T h e s e m a n t i c s o f p r e p o s i t i o n s - f r o m m e n t a l p r o c e s s i n g

t o n a t u r a l l a n g u a g e p r o c e s s i n g , B e r l i n , 1 9 9 3 . M o u t o n d e G r u y t e r .

6 . B . B e n n e t t . S o m e o b s e r v a t i o n s a n d p u z z l e s a b o u t c o m p o s i n g s p a t i a l a n d t e m p o r a l

r e l a t i o n s . I n R R o d r

i g u e z , e d i t o r , P r o c e e d i n g s E C A I - 9 4 W o r k s h o p o n S p a t i a l a n d

T e m p o r a l R e a s o n i n g , 1 9 9 4 .

7 . B . B e n n e t t . S p a t i a l r e a s o n i n g w i t h p r o p o s i t i o n a l l o g i c s . I n J D o y l e , E S a n d e w a l l ,

a n d P T o r a s s o , e d i t o r s , P r i n c i p l e s o f K n o w l e d g e R e p r e s e n t a t i o n a n d R e a s o n i n g :

P r o c e e d i n g s o f t h e 4 t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e ( K R 9 4 ) , S a n F r a n c i s c o , C A . , 1 9 9 4 .

M o r g a n K a u f m a n n .

8 . B B e n n e t t . C a r v i n g u p s p a c e : s t e p s t o w a r d s c o n s t r u c t i o n o f a n a b s o l u t e l y c o m p l e t e

t h e o r y o f s p a t i a l r e g i o n s . I n P r o c . J E L I A 9 6 , 1 9 9 6 .

9 . B B e n n e t t . M o d a l l o g i c s f o r q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a s o n i n g . B u l l e t i n o f t h e I n t e r e s t

G r o u p i n P u r e a n d A p p l i e d L o g i c ( I G P L ) , 1 9 9 6 .

1 0 . L . B i a c i n o a n d G . G e r l a . C o n n e c t i o n s t r u c t u r e s . N o t r e D a m e J o u r n a l o f F o r m a l

L o g i c , 3 2 ( 2 ) , 1 9 9 1 .

1 1 . S B o r g o , N G u a r i n o , a n d C M a s o l o . A p o i n t l e s s t h e o r y o f s p a d e b a s e d o n s t r o n g

c o n n e c c t i o n a n d c o n g r u e n c e . T e c h n i c a l r e p o r t , L A D S E B - C N R , P a d o v a , 1 9 9 6 .

1 2 . J M B r a d y . C r i t e r i a f o r r e p r e s e n t a t i o n s o f s h a p e . H u m a n a n d M a c h i n e V i s i o n

1 9 9 3 .

1 3 . R C a s a t i a n d A V a r z i . H o l e s a n d O t h e r S u p e r c i a l i t i e s . M I T P r e s s , C a m b r i d g e ,

M A , 1 9 9 4 .

1 4 . B L C l a r k e . A c a l c u l u s o f i n d i v i d u a l s b a s e d o n ` c o n n e c t i o n ' . N o t r e D a m e J o u r n a l

o f F o r m a l L o g i c , 2 3 ( 3 ) : 2 0 4 { 2 1 8 , J u l y 1 9 8 1 .

1 5 . B L C l a r k e . I n d i v i d u a l s a n d p o i n t s . N o t r e D a m e J o u r n a l o f F o r m a l L o g i c

2 6 ( 1 ) : 6 1 { 7 5 , 1 9 8 5 .

1 6 . E C l e m e n t i n i a n d P D i F e l i c e . A n a l g e b r a i c m o d e l f o r s p a t i a l o b j e c t s w i t h u n d e t e r -

m i n e d b o u n d a r i e s . I n P B u r r o u g h a n d A M F r a n k , e d i t o r s , P r o c e e d i n g s , G I S D A T A

S p e c i a l i s t M e e t i n g o n G e o g r a p h i c a l E n t i t i e s w i t h U n d e t e r m i n e d B o u n d a r i e s , . T a y l o r

F r a n c i s , 1 9 9 6 .


17/20

1 7 . A G C o h n . A h i e r a r c h c i a l r e p r e s e n t a t i o n o f q u a l i t a t i v e s h a p e b a s e d o n c o n n e c t i o n

a n d c o n v e x i t y . I n A F r a n k , e d i t o r , P r o c C O S I T 9 5 , L N C S , p a g e s 3 1 1 { 3 2 6 . S p r i n g e r

V e r l a g , 1 9 9 5 .

1 8 . A G C o h n , B B e n n e t t , J G o o d a y , a n d N G o t t s . R e p r e s e n t i n g a n d r e a s o n i n g w i t h

q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e l a t i o n s a b o u t r e g i o n s . I n O S t o c k , e d i t o r , T e m p o r a l a n d s p a t i a l

r e a s o n i n g . K l u w e r , t o a p p e a r .

1 9 . A G C o h n , J M G o o d a y , a n d B B e n n e t t . A c o m p a r i s o n o f s t r u c t u r e s i n s p a t i a l a n d

t e m p o r a l l o g i c s . I n R C a s a t i , B S m i t h , a n d G W h i t e , e d i t o r s , P h i l o s o p h y a n d t h e

C o g n i t i v e S c i e n c e s : P r o c e e d i n g s o f t h e 1 6 t h I n t e r n a t i o n a l W i t t g e n s t e i n S y m p o s i u m

V i e n n a , 1 9 9 4 . H o l d e r - P i c h l e r - T e m p s k y .

2 0 . A G C o h n a n d N M G o t t s . A t h e o r y o f s p a t i a l r e g i o n s w i t h i n d e t e r m i n a t e b o u n d -

a r i e s . I n C . E s c h e n b a c h , C . H a b e l , a n d B . S m i t h , e d i t o r s , T o p o l o g i c a l F o u n d a t i o n s

o f C o g n i t i v e S c i e n c e , 1 9 9 4 .

2 1 . A G C o h n a n d N M G o t t s . T h e ` e g g - y o l k ' r e p r e s e n t a t i o n o f r e g i o n s w i t h i n d e t e r m -

i n a t e b o u n d a r i e s . I n P B u r r o u g h a n d A M F r a n k , e d i t o r s , P r o c e e d i n g s , G I S D A T A

S p e c i a l i s t M e e t i n g o n G e o g r a p h i c a l O b j e c t s w i t h U n d e t e r m i n e d B o u n d a r i e s , p a g e s

1 7 1 { 1 8 7 . F r a n c i s T a y l o r , 1 9 9 6 .

2 2 . A G C o h n , D A R a n d e l l , a n d Z C u i . T a x o n o m i e s o f l o g i c a l l y d e n e d q u a l i t a t i v e

s p a t i a l r e l a t i o n s . I n t . J o f H u m a n - C o m p u t e r S t u d i e s , 4 3 : 8 3 1 { 8 4 6 , 1 9 9 5 .

2 3 . Z C u i , A G C o h n , a n d D A R a n d e l l . Q u a l i t a t i v e s i m u l a t i o n b a s e d o n a l o g i c a l

f o r m a l i s m o f s p a c e a n d t i m e . I n P r o c e e d i n g s A A A I - 9 2 , p a g e s 6 7 9 { 6 8 4 , M e n l o P a r k ,

C a l i f o r n i a , 1 9 9 2 . A A A I P r e s s .

2 4 . E D a v i s . P e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n . , J u n e 1 9 9 6 .

2 5 . T . d e L a g u n a . P o i n t , l i n e a n d s u r f a c e a s s e t s o f s o l i d s . T h e J o u r n a l o f P h i l o s o p h y

1 9 : 4 4 9 { 4 6 1 , 1 9 2 2 .

2 6 . M E g e n h o f e r . T o p o l o g i c a l s i m i l a r i t y . I n P r o c F I S I w o r k s h o p o n t h e T o p l o g i c a l

F o u n d a t i o n s o f C o g n i t i v e S c i e n c e , v o l u m e 3 7 o f R e p o r t s o f t h e D o c t o r a l S e r i e s i n

C o g n i t i v e S c i e n c e . U n i v e r s i t y o f H a m b u r g , 1 9 9 4 .

2 7 . M E g e n h o f e r a n d J H e r r i n g . C a t e g o r i z i n g t o p o l o g i c a l s p a t i a l r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n

p o i n t , l i n e a n d a r e a o b j e c t s . I n T h e 9 - i n t e r s e c t i o n : f o r m a l i s m a n d i t s u s e f o r n a t u r a l

l a n g u a g e s p a t i a l p r e d i c a t e s , T e c h n i c a l R e p o r t 9 4 - 1 . N a t i o n a l C e n t e r f o r G e o g r a p h i c

I n f o r m a t i o n a n d A n a l y s i s , S a n t a B a r b a r a , 1 9 9 4 .

2 8 . M J E g e n h o f e r a n d K K A l - T a h a . R e a s o n i n g a b o u t g r a d u a l c h a n g e s o f t o p o l o g i c a l

r e l a t i o n s h i p s . I n A U F r a n k , I C a m p a r i , a n d U F o r m e n t i n i , e d i t o r s , T h e o r i e s a n d

M e t h o d s o f S p a t i o - t e m p o r a l R e a s o n i n g i n G e o g r a p h i c S p a c e , v o l u m e 6 3 9 o f L e c t u r e

N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 1 9 6 { 2 1 9 . S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 2 .

2 9 . M J E g e n h o f e r , E C l e m e n t i n i , a n d P D i F e l i c e . T o p l o g i c a l r e l a t i o n s b e t w e e n r e g i o n s

w i t h h o l e s . I n t . J o u r n a l o f G e o g r a p h i c a l I n f o r m a t i o n S y s t e m s , 8 ( 2 ) : 1 2 9 { 1 4 4 , 1 9 9 4 .

3 0 . M J E g e n h o f e r a n d D M a r k . N a i v e g e o g r a p h y . I n A U F r a n k a n d W K u h n , e d i t o r s ,

S p a t i a l I n f o r m a t i o n T h e o r y : a t h e o r e t i c a l b a s i s f o r G I S , v o l u m e 9 8 8 o f L e c t u r e N o t e s

i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 1 { 1 6 . S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 5 .

3 1 . B . F a l t i n g s . A s y m b o l i c a p p r o a c h t o q u a l i t a t i v e k i n e m a t i c s . A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e

5 6 ( 2 ) , 1 9 9 2 .

3 2 . B F a l t i n g s . Q u a l i t a t i v e s p a t i a l r e a o n i n g u s i n g a l g e b r a i c t o p o l o g y . I n A U F r a n k a n d

W K u h n , e d i t o r s , S p a t i a l I n f o r m a t i o n T h e o r y : a t h e o r e t i c a l b a s i s f o r G

spatial reasoning

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