EL MODELO DE STACKELBERG

EL MODELO DE STACKELBERG

2015

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

Ao de la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la Educacin

Curso: Teora de JuegosTema: Modelo de StackelbergProfesor: DR. JUAN RAL MOGROVEJO AROSTEGUIIntegrantes: Bravo Salazar, Alex Buendia Torres, Jorge Minaya Ciprin, Carlos Sosa Vilchez, DionelCiclo: V.Aula: 42 ATurno: Maana2015

NDICEIntroduccinPrimer Captulo

1. Aspectos Generales

0. Breve biografa de Stackelberg40. Modelo de Stackelberg41.2.1 Definicin41.2.2 Caractersticas del modelo4 1.2.3 Ejemplos de empresas lderes y seguidores5

Segundo Captulo

1. El problema del seguidor

1. Aspectos previos61. Maximizacin del beneficio del seguidor61. Funcin de reaccin71. Obtencin de la curva de reaccin71. Anlisis en trminos algebraicos8

1. El problema del lder

2. Maximizacin del beneficio del lder9

1. Equilibrio de Stackelberg10

Tercer Captulo:

1. Un modelo simplificado

4. Aspectos previos114. Induccin hacia atrs124. Solucin por induccin hacia atrs12

1. Comparacin de modelos

1. Ejercicio prctico

1. Conclusiones

1. Recomendaciones

Bibliografa

IntroduccinLa Teora de Juegos ha aportado instrumentos de anlisis que han resultado eficaces y enriquecedores en el estudio de muchas situaciones de tipo econmico (en el estudio, por ejemplo, de los mercados oligopolsticos o de la regulacin de mercados), y tambin de muchas situaciones de tipo social, poltico y legal. Ello se ha reflejado en los programas de estudios de economa y de las ciencias sociales en general.La aportacin de Stackelberg ha sido la base de muchos de los juegos desarrollados por Nash en su famosa teora de los juegos. A partir del esquema dibujado por Stackelberg, Nash disea un mapa de diversas alternativas entorno a una serie de jugadas interpretadas por dos duopolistas que controlan el mercado. Mediante esta serie de juegos se ha detectado que no slo adquiere ventaja el primero en mover, sino que bajo ciertas condiciones ser el primero puede resultar una desventaja decisiva toda vez que influye la capacidad decisiva de la innovacin tecnolgica.El presente trabajo pretende en la medida ser una herramienta para el anlisis tanto econmico como en el mbito de la teora de juegos, acerca del modelo propuesto por el economista alemn Heinrich Freiherr von Stackelberg. Describamos brevemente el contenido de este estudio.El primer captulo tiene un carcter introductorio. En l se presenta en primer lugar una breve resea bibliogrfica sobre von Stackelberg, haciendo mencin a su obra que lo llev en 1934 a establecer su modelo. Posteriormente se definir qu es el modelo de Stackerlberg propiamente dicho, as como sus caractersticas y algunos ejemplos de empresas lderes y seguidoras que pueden permitir darle mayor dinmica al trabajo.El segundo captulo tratar sobre el problema que presenta tanto el lder como el seguidor para alcanzar su ptimo. Asimismo se definirn aspectos importantes como el significado de una funcin de reaccin, curva de reaccin, as como tambin un anlisis en trminos algebraicos, logrando al final del captulo llegar al equilibrio en el modelo de Stackerlberg.Finalmente en el tercer captulo se empezar abordando un modelo simplificado de Stackerlberg, definiendo el concepto de la induccin hacia atrs, para luego pasar a realizar una breve pero significativo comparacin de su modelo con la de otros (como el de Cournot), prosiguiendo con la resolucin paso a paso de un ejercicio sobre una empresa lder y seguidor y por ltimo mostraremos las conclusiones y recomendaciones que hemos sacado tras realizar este trabajo, con el cual esperamos poder contribuir en el entendimiento del tema.

PRIMER CAPTULO

1. Aspectos Generales

1.1 Breve biografa de StackelbergHeinrich Freiherr von Stackelberg naci el 31 de octubre de 1905 en Kudinowo, cerca de Mosc, en el seno de una familia acomodada. El hecho de que su madre fuera argentina con ascendencia espaola, le permiti dominar el idioma espaol, facilitndole su posterior estancia en Espaa. Tras la Revolucin de Octubre, su familia parti hacia Colonia. Estudi Economa y Matemticas en la Universidad de Colonia, gradundose en 1927 con una tesis sobre la cuasi-renta de Alfred Marshall. Se doctor en 1930 con una disertacin sobre la teora de costes, publicada en Viena en 1932.Von Stackelberg public en 1934 la influyente obra sobre la organizacin del mercado llamado Marktform und Gleichgewicht, que traducido al espaol es Estructura del mercado y el equilibrio.En dicha publicacin Stackelberg dio a conocer un modelo de duopolio dinmico en el cual las decisiones no se toman en forma simultnea sino secuencial. Su modelo enuncia el caso de dos empresas, las cuales deciden competir entre s debido a las exigencias del mercado, por una cantidad demanda por los consumidores.En 1935 pas a la Universidad de Berln, donde permaneci seis aos, trasladndose en 1941 a la de Bonn, donde estuvo hasta 1943 , ao en que fue invitado por Miguel Paredes para acudir al Instituto de Estudios Polticos y a la Universidad de Madrid, donde continu su labor acadmica hasta su prematura muerte en 1946, a consecuencia de un cncer.

1.2 Modelo de Stackelberg1.2.1 DefinicinEl modelo de Stackelberg es un ejemplo de juego en dos etapas en el que los conjuntos de acciones son continuos. Aqu los jugadores son dos empresas que constituyen un duopolio con un producto homogneo compitiendo en cantidades, pero ahora se supone que la toma de decisiones de cuanto producir se da de forma secuencial. Para esto Stackelberg llama a una empresa como empresa lder, la cual decide en primer lugar cuanto producir. A la otra empresa le da la denominacin de Seguidora, quien decidir su propia cantidad a producir tras haber observado la decisin de la empresa lder.

1.2.2 Caractersticas del modeloEl modelo de duopolio de Stackelberg tiene cuatro caractersticas bsicas:a) Consideramos un mercado en el que hay 2 empresas.b) Producto homogneo. Es decir, desde el punto de vista de los consumidores los productos producidos por las dos empresas son sustitutivos perfectos.c) Competencia en cantidades. La variable de eleccin de cada empresa es el nivel de produccin. d) Eleccin secuencial. Una de las empresas (la lder), elige primero su nivel de produccin. A continuacin la otra empresa (la seguidora), elige su nivel de produccin despus de observar la produccin elegida por la lder.e) Desde el punto de vista de teora de juegos se trata de un juego de informacin completa.

1.2.3 Ejemplos de empresas lderes y seguidoresComo ya se ha mencionado, el modelo de Stackelberg suele utilizarse para describir las industrias en las que hay una empresa dominante o un lder natural. Un ejemplo de esto sera, en el sector de la informtica. Ah suele considerarse que IBM es una empresa dominante. A menudo se observa que las empresas ms pequeas esperan a que sta anuncie sus nuevos productos para ajustar consecuentemente sus decisiones.Otro ejemplo claro de este caso es la actitud comercial seguida por muchas empresas de automviles, como por ejemplo Ford y Chrysler como seguidoras de General Motors en determinados momentos de la historia de esta industria o el caso presentado por las empresas de autos norteamericanas contra la compaa Toyota.

2. El problema del seguidor

2.1 Aspectos previos

Supongamos que la empresa 1 es el lder y que decide producir la cantidad y1. La empresa 2 responde eligiendo la cantidad y2. Cada una sabe que el precio de equilibrio del mercado depende del nivel total de produccin. Utilizamos la funcin inversa de demanda p (Y) para indicar el precio de equilibrio como una funcin del nivel de produccin de la industria, es decir:Y= y1+ y2Para que el lder tome una decisin sensata respecto a su propia produccin, tiene que examinar el problema de maximizacin del beneficio del seguidor.

2.2 Maximizacin del beneficio del seguidorSuponemos que el seguidor desea maximizar sus beneficios

El beneficio del seguidor depende del nivel de produccin que elija el lder pero, desde el punto de vista del seguidor, el nivel de produccin del lder est predeterminado, es decir, la produccin del lder ya se ha realizado, y el seguidor la ve simplemente como una constante. El seguidor desea elegir el nivel de produccin en el que el ingreso marginal es igual al coste marginal:

El ingreso marginal tiene la interpretacin normal. Cuando el seguidor aumenta su produccin, eleva su ingreso al vender ms al precio de mercado. Pero tambin presiona a la baja sobre el precio en p, lo que reduce los beneficios generados por todas las unidades que antes venda al precio ms alto.Obsrvese que la eleccin del seguidor que maximiza su beneficio depende de la eleccin del lder. Esta relacin puede expresarse de la forma siguiente:

La funcin f2 (y1) nos indica el nivel de produccin maximizador del beneficio del seguidor como una funcin de la eleccin del lder.

2.2.1 Funcin de reaccinLa funcin de reaccin muestra cmo tiene que responder una empresa ante los cambios en la eleccin del nivel de produccin de la empresa competidora. Continuando con la informacin del punto anterior, la funcin f2 (y1) representa la funcin de reaccin.Construyamos ahora una curva de reaccin en el sencillo caso de la demanda lineal. En este caso, la funcin (inversa) de demanda adopta la forma:p (y1+ y2) = a b (y1+ y2)Supondremos por comodidad que los costes son 0.En ese caso, la funcin de beneficio de la empresa 2 es:

Efectuando las multiplicaciones quedara:

2.2.2 Obtencin de la curva de reaccinLa expresin del punto anterior puede utilizarse para trazar las lneas isobeneficio, las cuales van a representar las combinaciones de y1 e y2 que generan un nivel constante de beneficio a la empresa 2. Es decir, las lneas isobeneficio estn formadas por todos los puntos (y1, y2) que satisfacen las ecuaciones de la forma:

Figura 1: Obtencin de una curva de reaccin

Interpretacin de la figura 1:Esta curva de reaccin muestra el nivel de produccin maximizador del beneficio de la empresa 2, la seguidora, correspondiente a cada nivel de produccin elegido por la empresa 1, la lder. Dada la eleccin de y1, el seguidor elige el nivel de produccin f2(y1) correspondiente a la lnea isobeneficio situada ms a la izquierda.Este punto satisfar la condicin habitual de tangencia, segn la cual la pendiente de la lnea isobeneficio debe ser vertical en el punto correspondiente a la eleccin ptima. El lugar geomtrico de estas tangencias describe la curva de reaccin de la empresa 2, f2(y1).

2.2.3 Anlisis en trminos algebraicosPara analizar este resultado en trminos algebraicos, necesitamos la expresin del ingreso marginal correspondiente a la funcin de beneficios de la empresa 2. Esta expresin es:

Igualando el ingreso marginal y el coste marginal, que es 0 en este ejemplo, tenemos que:

Resolviendo esta expresin, obtenemos la curva de reaccin de la empresa 2:

Esta curva de reaccin es la lnea recta representada en la figura 1.

3. El problema del lderUna vez que ya se ha definido cmo elige el seguidor su nivel de produccin dada la eleccin del lder. A continuacin pasamos a examinar el problema de maximizacin del beneficio del lder.3.1 Maximizacin del beneficio del lderProbablemente ste tambin es consciente de que sus medidas influyen en el nivel de produccin que elige el seguidor. La funcin de reaccin, f2(y1), resume esta relacin. Por lo tanto, al elegir su nivel de produccin debe darse cuenta de la influencia que ejerce en el seguidor. Su problema de maximizacin del beneficio se convierte, pues, en:

Introduciendo la segunda ecuacin en la primera, obtenemos:

Obsrvese que el lder se da cuenta de que cuando elige el nivel de produccin y1, la produccin total es y1+ f2(y1), es decir, su propio nivel de produccin ms el del seguidor.Cuando el lder considera la posibilidad de variar su nivel de produccin, ha de darse cuenta de la influencia que ejerce en el seguidor. Examinmoslo por medio de la curva de demanda lineal antes descrita. Hemos visto que la funcin de reaccin es: (1)Dado que hemos supuesto que los costes marginales son cero, los beneficios del lder son: (2)Pero el nivel de produccin del seguidor, y2, depender de la eleccin del lder a travs de la funcin de reaccin y2= f2(y1).

Introduciendo la ecuacin (1) en la (2), obtenemos:

Simplificando esta expresin, obtenemos:

El ingreso marginal de esta funcin es:

Igualando el ingreso marginal y el coste marginal, que es cero en este ejemplo, y despejando y1, tenemos que:

Para hallar el nivel de produccin del seguidor, introducimos simplemente el valor de y1* en la funcin de reaccin:

Estas dos ecuaciones nos dan el nivel total de produccin de la industria:

y1* + y2* = 3a/4b.

4. Equilibrio de Stackelberg

La solucin de Stackelberg tambin puede analizarse grficamente mediante las curvas isobeneficio representadas en la figura 2. Este grfico muestra las curvas de reaccin de ambas empresas y las curvas isobeneficio de la empresa 1.

Las curvas isobeneficio de la empresa 1 tienen la misma forma general que las curvas isobeneficio de la empresa 2, slo que rotadas noventa grados. La empresa 1 obtiene ms beneficios en las curvas isobeneficio ms bajas, ya que sus beneficios aumentan conforme disminuye la produccin de la empresa 2.

Figura 2: El equilibrio de Stackelberg

Interpretacin de la Figura 2:

La empresa 1, la lder, elige el punto de la curva de reaccin de la 2 que toca la curva isobeneficio ms baja posible de la 1, obteniendo as los mayores beneficios posibles.

La empresa 2 se comporta como una seguidora, lo que significa que elige un nivel de produccin situado a lo largo de su curva de reaccin, f2(y1). Por lo tanto, la empresa 1 quiere elegir una combinacin de produccin de la curva de reaccin que genere los mximos beneficios posibles, pero, como muestra la figura 2, eso significa que debe elegir un punto de la curva de reaccin que toque la curva isobeneficio ms baja. La lgica habitual de la maximizacin nos indica que la curva de reaccin debe ser tangente a la curva isobeneficio en ese punto.

5. Un modelo simplificado

5.1 Aspectos previos

Supongamos:

Que las empresas E1 y E2 fabrican un determinado producto homogneo cuya funcin de demanda inversa es decreciente y lineal en el intervalo [0, a]. Que los costes marginales de cada empresa son constantes, menores que a e iguales a c para ambas. Que no hay costes fijos y que en dicho mercado se vende toda la cantidad producida.

Por lo tanto, sea la funcin de demanda inversa:

(donde a > 0 y Q = q1 + q 2)

Y las funciones de costes sean:

C1(q1) = cq1C2(q2) = cq2

Donde: c < a

Por tanto, los beneficios sern:

u1 (q1, q2) = q1 (a - q1 - q2) - cq1 = q1 (a - q1 - q2 - c)u2 (q1, q2) = q2 (a - q1 - q2) - cq2 = q2 (a - q1 - q2 - c)

Supongamos por ltimo que el desarrollo temporal del juego es:

1. La empresa E1, escoge una cantidad q1 02. La empresa E2, observa q1 y escoge una cantidad q2 0

5.2 Induccin hacia atrs

La Induccin hacia atrs es el proceso de razonar hacia atrs en el tiempo, desde el final de un problema o situacin, para determinar una secuencia de acciones ptimas. Se procede, en primer lugar tomando en cuenta la ltima vez que se llev a cabo una decisin y se elige qu hacer en ese momento. Con esta informacin, se puede entonces determinar lo que debe hacer en la penltima la decisin. Este proceso contina hacia atrs hasta que se ha determinado la mejor accin para cada situacin posible (es decir, para cada posible conjunto de informacin) en cada punto en el tiempo.

5.3 Solucin por induccin hacia atrs

Analicemos las decisiones de E2 en la segunda etapa. Dado un q1 fijo, E2 querr responder a la decisin q1 de E2 resolviendo el problema:

Max u2(q1, q2) = q2 [a - c - q1 - q2] en la variable q2Suponiendo que la solucin sea interior, la condicin de primer orden es:u2(q1, q2)/q2 = 0Calculando y resolviendo, obtenemos a - c q1 - 2q2 = 0, de donde se deduce:

La condicin de segundo orden es: (Condicin suficiente de mximo).Por tanto, la respuesta de E2 a E1 viene dada por la funcin de respuesta para 0 q1 a - cAnalicemos ahora las decisiones de E1 en la primera etapa. Teniendo en cuenta que E2 va a responder a cualquier decisin q1 de E1 con la cantidad

E1 querr actuar, como anticipacin a dicha respuesta, resolviendo el problema en la variable q1La condicin de primer orden sera:

Calculando y resolviendo, obtenemos:De donde se deduce: La condicin de segundo orden es(condicin suficiente de mximo).Por tanto, la anticipacin de E1 viene dada por la decisin En conclusin, el resultado por induccin hacia atrs de este juego es:

El desarrollo del juego determinado por la induccin hacia atrs es:E1 produce la cantidad y a continuacin E2 produce la cantidad y,por ltimo, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos determinado por la induccin hacia atrs es el perfil estratgico

donde la estrategia s1* de E1 es la cantidad concreta Mientras que la estrategia s2* de E2 es la funcin de respuesta R2(.) consistente en producir cantidades condicionadas: como respuesta a cualquier cantidad q1 de E1 .A las cantidades de equilibrio que resultan de este juego las identificaremos con un subndice S para diferenciarlas de las correspondientes a otros juegos como el duopolio de Cournot. As, se concluye:

6. Comparacin entre modelos

7. Ejercicio prcticoSuponga que en el mercado de un determinado bien existen slo dos empresas, (por lo que se trata por tanto de un duopolio), cuyas funciones de costes totales responden a la forma: CTi = 18Qi + 10La funcin de demanda del bien que producen es P = 50 2(Q1 + Q2). Si la empresa n 1 decide la cantidad que va a producir antes que la empresa n 2, determine:a) La funcin de pagos y de reaccin de la empresa n 2b) La funcin de pagos de la empresa n 1c) La cantidad que producir cada empresad) El precio de equilibrio del mercadoe) El beneficio que obtendrn cada una de las empresas

Solucin:

a) La funcin de pagos, o de beneficios, de la empresa n 2 ser la diferencia entre sus ingresos totales y sus costes totales. Los ingresos totales los obtendremos multiplicando el precio (que lgicamente depender de la cantidad que una y otra empresa produzcan) por la cantidad que la empresa n 2 decida fabricar.B2 = IT2 CT2 = [50 2(Q1 + Q2)] Q2 (18Q2 + 10)B2 = 50Q2 2Q1Q2 2Q22 18Q2 10B2 = 2Q22 + 32Q2 2Q1Q2 10

Para calcular la funcin de reaccin de la empresa n 2, hemos de hacer la derivada respecto de su variable de decisin (en este caso la cantidad Q2) e igualarla a cero. Despus, despejando dicha variable, tenemos la funcin de reaccin o de mejor respuesta de dicha empresa:Q2* = 4Q2 + 32 2Q1 = 0Q2* = 8 0.5Q1

b) La funcin de pagos o beneficios de la empresa n 1 ser:B1 = IT CT = [50 2 (Q1 + Q2)] Q1 (18Q1 + 10)B1 = 50Q1 2Q1Q2 2Q12 18Q1 10;B1 = 2Q12 + 32Q1 2Q1Q2 10

La empresa n 1 sabe que la cantidad que producir la empresa n 2, en respuesta a lo que ella misma vaya a producir, estar determinada por lo que marca su funcin de reaccin (Q2* = 8 0.5Q1), por lo que podr tomar su decisin de qu cantidad producir utilizando este dato.Sustituimos, por tanto, en la funcin de beneficios de la empresa n 1 el valor de Q2.B1 = 2Q12 + 32Q1 2Q1 (8 0.5Q1) 10 = 2Q12 + 32 Q1 16Q1 + Q12 10B1 = Q12 + 16Q1 10

c) Para hallar cul es la cantidad ptima para la empresa n 1, la que le hace maximizar beneficios, derivamos esta funcin respecto de su variable de decisin (Q1) e igualamos a cero.

Q1* = 2Q1 + 16 = 0Por lo tanto:Q1* = 8

Ahora, sabiendo que la empresa n 1 va a producir 8 unidades, la empresa n 2 producir la cantidad que le sea ptima, lo que calculamos sustituyendo este valor en su funcin de reaccin

Q2* = 8 0.5Q1 = 4

d) El precio de equilibrio lo obtenemos, simplemente, sustituyendo las cantidades producidas por una y otra empresa en la funcin de demanda:

P = 50 2(Q1 + Q2) = 50 2 (8 + 4) = 26

e) Calculamos los beneficios que una y otra empresa obtendrn sustituyendo los valores de Q1 y Q2 en sus respectivas funciones de beneficios:

B1 = Q12 + 16Q1 10 = (8)2 + 16 (8) 10 = 54B1 = 54

B2 = 2Q22 + 32 Q2 2Q1Q2 10 = 2 (4)2 + 32 (4) 2 (8) (4) 10 = 22B2 = 22

Tambin podramos haberlos obtenido sustituyendo en la funcin genrica de beneficios; B = IT CT, siendo los ITi = P x Qi

B1 = 26 x 8 18 x 8 10 = 54B2 = 26 x 4 18 x 4 10 = 22

Como se puede apreciar en los resultados de este ejercicio, en un oligopolio en el que una empresa toma su decisin de qu cantidad producir antes que la otra, la que acta en primer lugar tiene ventaja. Al producir 8 unidades la empresa n 1, la empresa n 2 slo va a producir 4 (si produjese una cantidad mayor el precio que estaran dispuestos a pagar los consumidores bajara y sus propios beneficios tambin). El resultado es que la primera empresa tiene mayor volumen de beneficios que la segunda (54 > 22).

8. Conclusiones

9. Recomendaciones

Bibliografa

VARIAN, Hall, 2011, Microeconoma Intermedia, 8va edicin, Antoni Bosh Editor, Espaa.

PEREZ, Joaqun, 2004, Teora de Juegos, 1ra edicin, Pearson Educacin, Espaa