Ann. Univ. Ferrara - Sez. VII - Sc. Mat. Vol, X X I X , 37-44 (1983)

Sugli zeri delle funzioni zeta di Dedekind.

E T T O R E CtkRLETTI (*)

l . - I n t r o d u z i o n e .

La determinazione degli zeri della funzione zeta di Riemann, definita per s e C, Re s : ~ > 1, da ~(s) -~ ~ n-*, ha fondamenta le impor tanza nella teoria anali t ica dei numeri ; sono ben note infa t t i le connessioni t ra la distri- buzione degli zeri di ~(s) e la dis tr ibuzione dei numer i pr imi.

Dal requaz ione funzionale e dallo sviluppo tome p rodo t to infinito, det to prodot to di Eulero, si deduce faei lmente che gli zeri tomplessi di $(s) s tanno tu t t i nella striscia 0 < a < l (cf. ad es. DAV~-PORT [1]); la te lebre conget tura di Riemann del 1859 asstrisce ehe in realt~ tal i zeri sono t u t t i sulla r e t t a

= �89 ma nessuna dimostrazione ~ mai s ta ta t rova t a per tale affermazione. ~Tel 1914 G. H. HARDY [2] ha d imos t ra to ehe vi sono infiniti zeri di ~(s)

sulla r e t t a cri t ica ~ ~ �89 At tua lmen te il miglior r isul ta to ~ dovuto a SEL- B~.RG [3] the nel 1942 ha o t t enu to la diseguaglianza _No(T)> A T log T, dove hro(T) indiea il numero degli zeri della forma �89 ~ it con 0 < $< T e dove A ~ una eos tante posit iva. IJ~.vrNsoN [4] ha d imos t ra to nel 1973 la diseguaglianza con A : 1/6~.

Una estensione di questi r isul ta t i ~ s ta ta data da WILTO~ [5] nel 1915; egli ha d imost ra to the, de t t a F(s) --~ ~-'/2I'(s/2)~(s), sia R e F ( ~ -J- it) che Im F(2 -}- it) hanno infiniti zeri se 0 < 2 < 1.

I1 r isul tato di ~Vilton ~ s ta to r i t rova to da BERLOWI~rZ [6] neI 1968, men- t re raff inamenti suetessivi sono s ta t i o t t enu t i da BER~DT [7], LEVI~SO~ [8] e B R A ~ - Z t r L A ~ [9] the, ind ipenden temente , hanno p rova to che il nu- mero degli zeri di Re F(/t ~ it) e di I m F(2 - J - i t ) della fo rma 2 ~-iS con 0 < t ~ T ~ maggiore di A T log T, A essendo una costante posi t iva esplici- t a me n te computabi le , se �89 ~ 2 ~ 1.

(*) Indirizzo dell'autore: Istituto di Matematica dell'UniversitY, Via L .B. Al- bert/, 4 - 16132 Genova.

38 ]~TTORE C A I ~ L ~ T T I

I~ella recensione al lavoro di LEvI~so~ [8] in Math. Reviews, MO~T- GO~ERu [10] ha b r evemen te indicato come il metoi io di Levinson pub es- sere raffinato in modo da o t t ene re una formula as intot ica per il numero di zeri di Re F ( t + it) e di I m F ( t + it).

Un ruolo analogo a quello di $(s) 6 giocato per i campi di numer i alge- brici K delle funzioni ze ta di Dedekind $~(s)----~ IV(I)-*, dove I b un

1

ideale in tero non nullo di K, N(1) b la sua norma, s e C con Re s = a > 1. P e r ta l i funzioni 6 s ta ta f a t t a una conget tura analoga a quella di Riemann, ma l 'estensione dei r isul ta t i parziali noti per $(s) alle funzioni di Dedekind presen ta in molti easi serie difficolt~; per esempio non 6 noto in generale se esistano infiniti zeri di $.(s) sulla r e t t a cri t ica a ---- �89 l~otiamo c h e s e K di Galois allora ~K(s) si fa t tor izza come p rodo t to di funzioni J5, una delle quali 6 $(s), e quindi ha ee r t amen te infinit i zeri sulla r e t t a cri t ica (cf. LA~G [11]). In questo eontes to vanno ei tat i i r isul ta t i di BER~D~ [12], CHAI~DRASEKHAI~AN-I~ARASI~attA~ [13] e W]~I~Sa~ErN [14] che prendono in esame il caso dei campi quadrat ic i e cubici.

Seopo di questo lavoro 6 o t tenere per Sx(s) una formula asintot ica analoga a quella proposta da MOXT~O~ERY [10].

ENUNOIAWO D:EL T~,OI~F_~_~. Si& K u n c~mpo di numer i algebrici di grado n e sia $~(s) = ]~ N(I ) -~ la funzione zeta di Dedekind ad esso asso- ciata. Posto:

/ \ 8 r , r

dove A 6 una costante che dipende dal campo K, rl 6 il numero delle immer- sioni di K in R e r2 di quelle in C, indichiamo con N~(T) il numero degli zeri di Re/~x(1 -~ it) con 0 < t < T; d imost reremo il seguente:

TEOR~,~. Con le notazioni precedenti si ha

Nx(T) ~ ~ T log T

quando i -- 1/n < 2 < i.

I~OTE. i) Un analogo r isul ta to vale per il numero degli zeri di Im/~K(t -{- it).

ii) :La restrizione t > 1 - 1In proviene dalla seria difficolt~ di o t te- nere teoremi di densit~ per gli zeri di ~(s ) validi in t u t t a la striseia �89 < a < 1 (cf. tI~A~rH-BROWN [15]).

SUGLI ZERI D ~ L L E F U N Z I O N I ZETA D I D E I ) ~ K I N D 39

2. - A leuni l emmi .

L E ~ A 1 . Sia l - - 1 / n ~ ,t ~ l ; a l lora~{t : O ~ t ~ T, ~() . ~ it) --~ O) = = o(T). (I1 simbolo # indiea la eardinalit~).

D ~ . I1 lemma ~ di re t ta conseguenza del teorema 1 di Heath-Brown [15]

:LEmW_A II . La ]unzione Arg F~(,~ -~ it) ~ ereseente per t > To, /a$ta eeee- zione al pile per gli intervalli centrati nei punt i ~ ~ iy, dove fl -~ iy ~ zero di ~K(S) con fl > ~, e aventi raggio 1/~/2.

D ~ . ~2 ben noto che s(s--1)/TK(S) ~ una funzione in te rs di ordine 1 (el. LANDAU [16]) e per t sn to ha la seguente rappresentazione di Weierstrass:

FK(8 ) = exp [A + Bs] - - ~ ) exp

dove A e B sono costanti e ~ percorre gli zeri di ~x(s). La der ivata logaritmica di FK(S) ~ quindi

~K(s) s s - - 1 § + "

Tenendo conto dell 'equazione funzionale FK(s) --~ F ~ ( 1 - S), si deduce facil- mente che B ---- -- ~ (l/Q), per tan to B ~ reale in quanto in tale serie vanno

Q

raggruppati i t e rmini 1/~ e 1/~ (se ~ ~ uno zero anche il coniugato ~ 6 uno zero), eio~

1

Si ha che log F~C/t + it) ~- log ]FK(2 ~- it) l + i Arg F~(2 ~ it) da eui

d d i (4 + it) = ~ log i d-t ArgFK(~ + it)

Moltiplicundo per i si ott iene

Fi~ d 1 d F--K ('~ -~ i t) -~ - - i~ t og [F~(2 -~ it)[ -~ ~ ArgFx(~t -]- it)

40 ETTORE CARL~TTI

e quindi

dt--d 2~gFK(4 -~-it)= Re(FF--~K (4 ~ it))

Si avrg per tan to

(P. ,) Re (4 + it = 4 4--1

, t , + t , ( 4 - - 1 ) , + t , + B +

4 - Z ~ r----0" + ~: ((A - ~), + (t - r ) ' + 8 ' +

I1 eontributo del primo addendo del secondo membro della preeedente uguaglianza ~ trascurabile se t > To (60(t-~)) ; il secondo addendo 6 positivo poieh6 4 < 1 mentre B si semplifica con

e quindi r imane da studiare la positivitg di

4 - 8 (A - ~), + (t - y),"

I termini delia serie con 2 > fl sono o w i a m e n t e positivi; se 4 < fl raggrup- piamo il eontributo di ~ e 1 - ~, per tantosi avrg

4 - ~ ~ + ~ - ~ ( A - ~ ) , + ( t - r), +. (A + ~ - ~ ) , + ( t - r), =

(24--1)[(;L--/~)(;t -}-/~--1) ~- ( t - - y ) ~] [(4--,8), + ( t - - ~,)q[(4 + ,8--~)~ + ( t -- r )q '

ora 2 4 - - 1 > 0 poich~ 4 > � 8 9 ] ( 4 - - f l ) ( 4 ~ f l - - 1 ) l < 1 , per cui se l t - - y l > > l/V/2 la preeedente espressione ~ positiva. Cib prova il lemma.

L ~ . ~ A I I I . Sia 1 -- 1/n < 2 < 1. Ind@hiamo con L il segmento di linea retta ehe congiunge i punti 2 e 4 ~ iT, modi/icato da piccole semivircon/erenze di centro gli zeri di $K(S) di parte reale 2 in modo che L sia alla destra di tall zeri. Denotata con z] L Arg FK(S) la variazione deU'argomento di FK(S) SU .5, si ha

AL ArgFK(s) = 2 T l o g T + O(T)

SUGLI ZERI DELLE FUNZlONI ZETA DI D E D E K I N D 41

D ~ . Consideriamo la l ines chiuss C = L u L' U H u H', dove L ' il s immetr ico di L r i spet to alla r e t t a a---- �89 ed H, H ' sono t r a t t i orizzontali ehe eongiungono r i spe t t ivamente i pun t i 1 - 2 + i T con ; t - { - iT e 1 - - 2

con 2. Applieando a C il principio del l ' a rgomento si o t t iene ehe:

1 2--~ A c A r g F K ( s ) = n~ degli zeri di FK(s) all ' interno di C .

]~ noto ehe (vedi LANDAU [16])

9% n ~ zeri di FK(S) alPinterno di C = ~ T log T + O(T) ,

per tan to A v ArgFx(s) = n T log T -1- O(T). Dall 'equazione funzionsle FK(s) = Fx(1 -- s) e dal fa t to ehe FK(s) = F~(~)

segue che A u, = 0, A z = A z, e A n = 2An dove R ~ il t r s t t o orizzontale che eongiunge I + i T con �89 + iT, per cui A c = 2A z + 2A R.

Rieordando che FK(S)= A'(I(S)r dove a(s) ~ il p rodot to dei fat- tori gamma, si ha ehe A ~ A r g A ' = 0 men t r e AR Arg G(s) = 0(1) per la for- mula di Stirl ing.

~+iT

Ors An Arg ~K(S) = m \~-~-~1 ds .

�89

]~ ben noto ehe (vedi LANDAU [16])

1 O(log$),

~ ( s ) 1 - - e

dove ~ ---- fl + i 7 pereorre gli zeri di r Oru si ha ehe

2+iT

t + i T

= A R A r g ( s - - p) .

Poieh~ IA~ Arg (s -- ~)[ < z e ei sono O(log T) addendi nella sommator ia (vedi LAND).U [16]) si ha ehe An&rg~K(S)= O(log T), ds cui il lemm~.

~Oa:A. I n modo del t u t to anslogo s quanto fa t to in [9] si d imostra che la variazione di Arg F•(s) su una semi cireonferenza ~ raze + O(r) dove m

42 ~TTORE CARL~TTI

la moltepliei tg dello zero centro della cireonferenza e r b il suo raggio; dal l emma I segue allora che la variazione di Arg FK(S)' sui t r a t t i ver t ieal i di 33

(n/2) T log T + O(T).

LEMMA IV. Si ha # ( t E I c [ 0 , T], mis I = 0(1): ReF~(2 + i t ) = 0}<<

<< log T. (I indica un interval lo e mis I la sua misura).

DI~. - Consideriamo la funzione H~(s) = Fr(s) + Fr(s + 1 - 22), da cui 2 Re/TK(;t + it) = HK(;t -{- it). Se indichiamo con h r il numero degli zeri di HK(S) al l ' in terno di un cerchio di centro So e raggio r, con So sufficiente- men te a destra della r e t t a a ----- 1, si avrg

max [HK(s) ] _AT << log [~-''I=~

IH,~(so) l

(E una conseguenza della diseguaglianza di Jensen - - v e d i LA~G [17] pag. 223).

Poieh~ ~K(s)= 0(t ~) in ogni semipiano (a ~ una eostante che dipende dal semipiano considerato - - vedi [16]), per la formula di Stir l ing si ha che

max IH~(s)l [,-,.l=, << T b

IH~(s~

dove b ~ una costante oppor tuna . Da ei6 segue il lemma.

DIMOSTRAZIOSIE DEL TEOREMA. Indichiamo ora con L il segmento 2 + it, 0 < t < T e dividiamolo in due sott insiemi di segmenti nel seguente modo: per ogni zero di ~K(S) alla des t ra della r e t t a a = 2, ~ = fl -{- i 7 consideriamo il segmento di eentro ;t + i~ e raggio l /v /2 ; denot iamo con I~ il generico segmento di questo t ipo; poniamo 33, ---- 13 1~ e 331 = LJ I~ il suo complemen- tare . Si ha la relazione ~

(1)

da eui

(2)

1 Al~Arg/V~(s)<(n~ zeri di I{e~K(8 ) su I ~ ) - ~ - 0 ( 1 ) 7~

Y~ j Y~

< ~ ( n ~ zeri di ReF~(s) in I~) + ~ 0(1)<< ~logT----- o(T l o g T)

SUGLI Z]~RI D E L L E F U N Z I O N I ZETA D I DI~D~KIND 43

per i l e m m i I V e I . D a l l a (2) e da l l e m m a I I I si h a q u i n d i che

1 AL ' Arg FK(s) = u (3) ~ 2~ T log T -4- o(T log T)

per il l e m m a I I A r g Fx(s) ~ c rescen te su ogni I~; la r e l az ione (1) d iv i ene

a l lora in ques to case

1 AIj ArgFK(s ) = (n ~ zeri di ReFK(S) su I~) + 0(1) . 7~

P e r il l e m m a I si h a

(4) 1 A ~ , A r g F K ( s ) = (n o zeri di R e F x ( s ) su L~) + o(T) 7~

Poich6 n o zeri di ReEK(s) su L ~ = o ( T l o g T ) , pe r i l e m m i I V e I , per

d i f fe renza si h a t h e

~t n ~ zeri ReFx(S) su L = ~ T l o g T + o ( T l o g T )

ovvero i l t e o r e m a .

Pervenuto in Redazione il 2 matzo 1983.

RIASSUNT0

Scope di questo lavoro 6 dare una formula asintotiea per il numero degli zeri di Re Fx(1 + it) e di Im FK(A + it), dove FK(s) = A,F(s/2)nF(s)',~z~(s) e ~(s) 6 la funzione zeta di Dedekind assoeiata al campo numerico K, con 0 < t < T e ~ nu- ,nero reale fissato tale ehe 1 - - 1/~ < it < 1 dove n 6 il grade di K.

SUMMARY

The aim of this paper is to give an asymptotic formula for the number of zeros of Re Fx(~ + it) and Im FK(it + it), where FK(s) = AsF(s/2)nF(s)v~K(s) and ~(s) is the Dedekind zeta function for a number field K, with 0 < t < T and it fixed real number such that 1 - - 1/n < it < 1, where n is the degree of K.

44 ETTORE CARLETTI

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