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Synergiesentreactivitéspériscolairesetscolaires:lepotentieldidactiquedesjeux"mathématiques"

MichèleArtigue,LDAR&IREMdeParis,UniversitéDenisDiderot–Paris7

Résumé: Ce texte reprend les principaux éléments de la conférence donnée sous ce titre aucolloqueorganisépar laCommission inter-IREMPop’MathàToulouseenmai2015.Dansunepremière partie, il résume les premiers résultats de l’analyse d’un questionnaire sur lessynergiesentreactivitésscolairesetpériscolairesélaboréparNicolasPelayetmoi-même,danslecadredelapréparationduforum«Mathématiquesvivantes,del’écoleaumonde»,organiséenmars2015sousl'égidedelaCFEM.Dansunesecondepartie, ilabordeplusprécisémentlaquestion du potentiel didactique des jeux mathématiques pour nourrir ces synergies, ens'appuyantsurdestravauxderecherchedidactiquequiont interrogé lesrelationsentre jeuetapprentissage.

IntroductionDeplusenplusestreconnul'intérêt,voirelanécessite,decombinerapprentissages

formels et informels des mathématiques, de nouer ou renforcer les synergies entreactivités périscolaires et scolaires. Les expériences et réalisations sont nombreuses etdiversifiées; ellesmobilisent la communautémathématiqueau sens largeetsemblentbénéficier d'une reconnaissance institutionnelle croissante, en France comme àl'étranger. La capitalisation dans ce domaine, à partir de recensements systématisés,d'étudesprécises,d'évaluationd'impact,restecependanttrèslimitée.En particulier, la question des synergies entre scolaire et périscolaire a été jusqu’iciassez peu étudiée. L’étude de l’ICMI (International Commission on MathematicalInstruction)intituléeChallengingMathematicsInandBeyondtheClassroom(Barbeau&Taylor2009),auraitpuapriori,vusontitreoffrirdesperspectivesintéressantessurcethème.Lesquestionsquiysonttravailléessonteneffetaucœurdusujet,mêmesic’estl’angledudéfiquiestprivilégiéàtraverslechoixdumot«challenging»:• Peut-on utiliser ces «challenges» pour motiver les élèves dans leur étude desmathsetsciences?Pourstimulerleplaisirdefairedesmathématiques?

• Est-cequecelaconduitàunecompréhensionplusapprofondiedesconceptsetdelanaturedesmathématiques?Est-cequecelafacilite larétentionetaideàrelierconceptsettechniques?Permetplusd’aisancedansleurusage?

Lescontributeursàl’étudeessaientdenousmontrerquec’estbienlecas.Ilsproduisentdes catégorisations, des critères d’analyse combinant les dimensions affectives,cognitives, organisationnelles et institutionnelles, ils présentent de très nombreuxexemplesetétudesdecas,situésdansunegrandediversitédecontexteséducatifs.Mais la réflexionsurcequi se faitdans la classeet cequi se faithorsde la classe faitl’objet de chapitres séparés, ce qui n’aide pas à mettre en lumière les interactionspossibles,oulafaçondont lepériscolairepeut inspirer lescolaire.Deplus, lesauteurssoulignentbienquesilesressources,lesactionssemultiplient,l’évaluationdesimpacts

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s’avère difficile, et que la recherche didactique s’est jusqu’ici peu intéressée à cesquestions.La commission Pop’Math qui rassemble à la fois des représentants des associationscentrées sur le périscolaire et des animateurs IREM est a priori bien placée pourtravailler sur ces synergies. C’est pourquoi, en juin 2014, j’avais proposé à sonresponsablede l’époque,EmmanuelCepa,directeurde l’IREMd’Orléans,deconstruireun questionnaire pour explorer plus systématiquement ces questions, rassembler etmieuxmutualiserlesacquisd’expériencedeceuxqui,souventdepuistrèslongtemps,sesontinvestisdansdesactivitéspériscolairesenmathématiquesetontessayédecréerdetellessynergies.Finalement,c’estdanslecontextedelapréparationduforum«Mathématiquesvivantes,de l’écoleaumonde»organiséà l’initiativede laCFEMetquiaclôturé lasemainedesmathématiques enmars 2015 à Paris, Lyon et Marseille, qu’avec Nicolas Pelay, nousavons préparé ce questionnaire. Je vais dans un premier temps en synthétiser lespremiersrésultatsquiconcernentglobalementl'ensembledesactivitéspériscolaires.Jequestionneraiensuitelepotentieldidactiquedesjeuxmathématiquespournourrircessynergies,enm'appuyantsurdestravauxderecherchedidactiquequiontinterrogélesrelationsentrejeuetapprentissage.Lequestionnairedemandaitaussidefairedessuggestionspourrenforcerlessynergies.Danslesréponses,lessuggestionssontdiversesmaisc’estlaformationdesenseignants,initialeetcontinue,quiarrivenettemententête.

UnquestionnairesurlessynergiesentrescolaireetpériscolaireLe questionnaire, qui combine des questions à réponses fermées et ouvertes, a été

misenlignele26janvier2015avecl’aidedel’association«PlaisirMaths».Au1ermars,152réponsesavaientétépostées,dont125provenantdepersonnesayantdesactivitéspériscolaires.Danscequisuit,m’appuyantsurlaprésentationquenousavionsfaitelorsduforumàParis,j’enrésumelespremiersrésultats.Lequestionnaireestenfaitstructuréenquatrepartiesprincipales:

• Profildurépondant• Visiondel’impactdesactivitéspériscolaires• Synergiesentrescolaireetpériscolaire• Zoomsuruneexpérienceparticulière

Leprofildesrépondants

Leprofildesrépondantsestéquilibré,mêmes’ilyaunpeuplusd’hommes(55%)quedefemmes.Toutes lestranchesd’âgesont,ellesaussi,représentées,avecunemajoritéd’enseignantsrelativementjeunes,commelemontrelafigure1.

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Figure1:Répartitiondesâgesdesrépondantsauquestionnaire

Comme on pouvait s’y attendre, la majorité des réponses vient d’enseignants duprimaireetsecondaire(47%)etenseignants-chercheurs(46%),enactivitéou,enpluspetit nombre, retraités. Lemilieu associatif est lui aussi représenté (7%) (comédiens,animateurs professionnels…). L’enseignement supérieur est très représenté, et ceci atrès certainement un impact sur les réponses à prendre en comptedans les analyses.Concernantl’expérience,onaencoreunefoisunebonnerépartition,avec3populationsrelativementéquilibréescommelemontrelafigure2.

Figue2:Duréed’implicationdansdesactivitéspériscolaires

Par rapport au périscolaire, les enseignants peuvent avoir différentes positions quinécessairementvontinfluersurlespossibilitésqu’ilsontdenouerdessynergiesetleurvision de ces dernières. C’est pourquoi dans le questionnaire, nous avons vouludistinguer entre les réponses d’enseignants menant des activités dans leur classe ouétablissement,etcellesdepersonnes–enseignantesounon–organisantoumenantdesactivités à l’extérieur. Ce second type domine dans les réponses (59%/30%), ce quin’estpasétonnantcompte-tenudelafortereprésentationdusupérieur,et làencore, ilfautentenircomptedanslesanalyses.

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051015202530354045

<25ans 26<34ans 35<44ans 45<54ans 55<65ans >65ans

Âge

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

moinsde4ans

entre5et10ans

plusde10ans

Depuiscombiendetempsêtesvousimpliqué?

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Lesactivitésmenéesetlavisiondeleurimpact

Nousavionsapriorienvisagé12catégoriesd’activitéspériscolaires,ayantà l’espritcequisefaitenFrance.Ellessonttoutesreprésentéesdanslesréponses;enrevanche,une quarantaine échappe à la classification qui devra donc être revue. Le total est de435,cequimontrequebeaucoupderépondantsontcochéplusieursactivités.Lagrandediversité constatée ne facilite pas l’interprétation des réponses aux questionsultérieures.

Figure3:Répartitiondesactivitésentrelesrépondants

S’agissant de l’impact de ces activités, de façon non surprenante, les répondantsestimentmassivementque leursactivitésontun impact sur lesélèvesetaussi sur lesenseignants.Vuladiversitédesactions,c’estdansladernièrepartieduquestionnaireoùl’onzoomesuruneexpérienceparticulièrequenousavonsessayédepréciserlanaturedecesimpacts.Cequidominetrèslargement,côtéélèvesc’estlavisiondesmaths(93%de plutôt oui ou oui), la motivation(86%) mais les apprentissages mathématiques etplus transversaux sont aussi bien présents (80% et 72%). Sur les pratiquesmathématiquesetsurtoutlesorientations,lesimpactsdéclaréssontplusfaibles(62%et28%),mais cela correspond aussi au fait que ces impacts sur lemoyen et long termesont difficiles à cerner. D’ailleurs, beaucoup de répondants ont déclaré qu’ils nepouvaientpasseprononcer.Côtéenseignant,onaà la fois lesréponsesd’enseignantsqui ont vécu ces actions et parlent d’eux-mêmes, et des intervenants extérieurs quiparlentdesenseignantsaveclesquelsilsonttravaillé,qu’ilfaudraitdistinguerdansuneanalyseplusfine.Dominentl’impactsurlavisiondesenjeuxdel’enseignementetdelamédiation scientifique (80%), sur la vision des élèves (76%) et les pratiquesd’enseignement et demédiation (74%). L’impact estmoins sensible sur la vision desmathématiquesetlesconnaissancesmathématiques(55%).Nous avons cherché à savoir si, au-delà des impressions et visions, il y avait destentatives faites pour évaluer ces impacts. Les réponses négatives dominent (62%),encoreplusencequiconcernel’existencededonnéesourésultatsaccessibles(80%).Onenrestedoncessentiellementauniveaududéclaratif.

Principales+ac,vités+

9+

44+

38+

24+

8+

27+

30+

46+

30+

17+

42+

69+

11+

49+

0+ 10+ 20+ 30+ 40+ 50+ 60+ 70+ 80+

Club+mathéma,que+

Rallye+ou+tournoi+mathéma,que+

Olympiades+académiques+

Olympiades+interna,onales+

Rallye+mathéma,que+

Forum+mathéma,que+

MATh.en.JEANS+

Stage+en+milieu+de+recherche+(type+Hippocampe)+

Stage+MathsC2++

Sor,e+scolaire+

Interven,on+dans+la+classe+ou+établissement+d'un+animateur/médiateur/chercheur+

Classe+de+découverte,+classe+verte,+etc.+

Autre+

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Lessynergiesentreactivitésscolairesetpériscolaires

Lamajoritédesrépondants(62%)essaiedecréerdetellessynergies.Parmiceuxquirépondentnonouplutôtnon,lesraisonsmajoritairementinvoquéessontlemanquedetemps, de moyens, de soutien. Et, comme on pouvait le prévoir, on trouve aussi desréponses d’intervenants extérieurs qui déclarent ne pas être en position de créer detelles synergies. Dans les explications accompagnant les réponses oui ou plutôt oui,s’exprime la conviction que le périscolaire peut redonner sens, motiver et nourrir letravailscolaire,maisaussiqu’ils’appuiesurlui,qu’ilenestcomplémentaire,commeentémoignentlesdeuxcitationssuivantes:

«En classe ou hors la classe, l'ambition est d'enseigner, de faire découvrir des domainesscientifiquesquinesontpeut-êtrepasexplicitementdansles"programmes"maisouvrirontdesfenêtrespourmieuxassimileretcomprendrel'intérêtdecequiestproposéencours.»

«Il est important de développer l'ouverture et la curiosité demanière non scolaire,maisaussietsurtoutdemontrerquel'éruditionscolaireetlessavoirsinstitutionnalisésetapprisen cours sont des outils de réflexion, des bases solides du raisonnement, et peuventpermettredemieuxcomprendrelemondeetd'affronterdesproblèmesenprenantletempsde réfléchir aux obstacles. Notamment, le périscolaire est un outil utile pour aider àcomprendre, à utiliser, à développer une intuition, et à motiver même l'apprentissage etl'investissementscolaire.»

Concernantleseffetspositifsdecessynergies,onretrouvedescatégoriesmentionnéesdanslesimpacts:motivation,visiondesmaths,apprentissages,maisaussidenouvellescatégories : le potentiel de «raccrochage», prise de confiance des élèves, le côtérelationnel (enseignants/élèves, parents/enseignants, enseignants/intervenants(chercheurs, artistes), le côté collaboration, etc.). La citationensuivanteenestunbonexemple:«Pourlesapprentissages:effetpositifsurlaréussitedesélèves(orientationfindesecondeetduréedesétudesdanslafilièrechoisieenparticulierscientifiques),surladiminutiondesdécrochages et des problèmes de vie scolaire, dans l'investissement des élèves dans lesdifférentes instancesdu lycée(CESCparexemple).Pour lesenseignants : travailenéquipe,cohérencedesévaluationsparcompétences, investissementde l'équipedans la formationàl'orientation.»

S’agissantde l’évaluationdes effetsde ces synergies, on retrouve, de façonprévisible,des réponses majoritairement négatives, plus encore que pour l’impact des activitéspériscolairespuisque20répondantsseulement(16%)déclarentavoiressayéd’évaluerceseffets.Concernant les difficultés rencontrées, parmi les 77 répondants qui ont essayéd’organiserdessynergies,unpeuplusdelamoitié(56%)seretrouvedanslesréponsesoui et plutôt oui, et 48% déclarent avoir réussi ou plutôt réussi à surmonter lesdifficultés rencontrées. Ces difficultés sont variéesmais les principaux types évoquéssont d’abord les difficultés administratives, d’organisation, de moyens matériels, detemps,de soutienetde reconnaissance, ensuite ladistanceavec lesobjectifs scolairesqui a des conséquences à divers niveaux (difficultés avec les parents, difficultés àmobiliser les enseignants ou les collègues, difficultés à concevoir des activitéspertinentesenrelationaveclesprogressionsscolaires,etc.).Danscequiapermisdelessurmonter,arriventenpremierlieud’unepartlapersévéranceetténacité,d’autrepartlefaitdenepasresterisolé,detrouverdessoutiens(groupes,rencontres,collègues…).Lesdeuxcitationssuivantessontreprésentativesdecesréponses:

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«Trouverdutemps,aussibienpour lesenseignantsconcernés, lesélèvesconcernés,moi.. -Trouver des acteurs motivés ; - Concevoir des activités pertinentes, permettant uneréalisation intéressante(découvertedemathématiques,projetderecherche,projet théâtraloumusical àbasedemaths...)quipermettentausside fairedesprogrès sur leprogrammescolaire.»

«Plutôt oui mais pas toujours ! Cela demande d'être soutenu par un groupe pour osers'aventurer hors des textes, tenter des sujets et desméthodes "exotiques" par exemple enreprenantenclasseentièredessujetsexpérimentésenatelier.»

Trois questions cherchaient à cerner le soutien institutionnel reçu des enseignantss’engageantdansce typed’activités:Sivousêtesenseignant,votreparticipationàdesactivités périscolaires est-elle soutenue, valoriséepar votre chef d’établissement? Parvotre corps d’inspection? Disposez-vous de moyens spécifiques, par exemple HSE(Heures supplémentaires effectives) pour ces actions? Les réponses à cette questioninterrogent : 30% des enseignants ne s’estiment pas soutenus par leur chefd’établissement,40%parlescorpsd’inspectionet40%neheuresdisposentpasd’aucunmoyenspécifique.Ilyacertainementdutravailàfaireàceniveau!

Uneexpérienceàpartager:lareferenceauludique

Lequestionnairedemandaitégalementaurépondantdechoisiruneexpériencequ’ilsouhaitait fairepartager. Lesréponsessontprésentéessur la figure4,en fonctiondutyped’activitéchoisi.Onvoitquelasélectionfaiterecouvreunelargepaletted’activités,lacatégorielaplusreprésentée,celledesinterventionsdanslesclasses,étantelle-mêmemultiforme.OnnoteraunefortereprésentationdesateliersMaTH.en.JEANS,sansdoutepartiellementliéeàl’excellentediffusionfaiteduquestionnairedanscettecommunauté.

Figure4:Activitéspartagéesparlesrépondants

Vulethèmedecetteconférence,J’aicherchéàidentifierlesréférencesfaitesauxjeuxetà l’idée de ludique dans les descriptions présentées. Force est de constater que cette

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Séries1

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référence est assez peu explicite dans les descriptions fournies, comme plusglobalement dans les réponses au questionnaire. Elle ne reflète certainement pascorrectementlaplaceduludiquedanslesactivitéspériscolaires,maisconfirmelestatutencore ambigu du jeu dans l’enseignement des mathématiques. Par rapport à cetteretenue générale, trois réponses sont atypiques. Elles émanent respectivement del’association«Fondamento»quianotammentcréélejeu«Laguerredesmaths»,d’unmembredel’équipe«MathsàModeler»del’universitédeGrenobleetd’unmembredel’association«Plaisir-Maths».Ces trois réponses en fait traduisent des exploitations différentes des jeuxmathématiques.Pour l’association«Fondamento», cesont lesapportspsychologiquesetrelationnelsdujeuquisontmisenavantmêmesilejeuviseaussilaconsolidationdesapprentissagesnumériquesfondamentaux:«L’association Fondamento a pour objectif de concevoir des jeux permettant aux enfantsd’acquérir les fondamentaux de vie indispensables à leur réussite (confiance en soi,autonomie, respect des règles du vivre-ensemble, persévérance, ...), tout en révisant lesfondamentauxscolairesdefaçonludique,commelecalculmentalenmathématiques.».

Pour l’équipe «Maths à Modeler», c’est l’initiation à une démarche de recherchemathématiquequiestessentielle,dans ladiversitédesescomposantes,et cesontdescompétencesmathématiques transversalescommecelles liéesauraisonnementetà lapreuvequisontvisées.Laréponseutilisel’expression«mimerletravailduchercheur».Enfin,pour«Plaisir-Maths»,ils’agit,àtraverslejeu,decommuniquerleplaisirdefairedesmathématiques.Ceci me conduit à la seconde partie de ce texte où je vais plus particulièrement mecentrersurlepotentieldidactiquedesjeuxpourl’apprentissagedesmathématiques.Enfait,jem’ycentreraisurlepotentieldesjeuxmathématiques,encohérenceavecletitrede l’exposé, même si je suis bien consciente que le potentiel des jeux pourl’apprentissage desmathématiques ne se limite pas à cette catégorie de jeux. On saitbien l’exploitation qui est faite dans beaucoup de clubs mathématiques de jeux desociétécommeleséchecs,lejeudego,lebridge,etbiend’autres.

Lepotentieldesjeuxmathématiquespourl’apprentissage

Unpotentieldepuislongtempsexploité

L’exploitation de jeux mathématiques pour l’apprentissage et la popularisation decette discipline n’est pas chose récente. Je neme suis pas lancée dans une recherchehistoriquequim’auraitsansaucundouteobligéeàremonteràl’antiquité.Jemeborneraià citer quelques références bien connues: les célèbres récréationsmathématiques etphysiques de Jacques Ozanam parues à la fin du 17e siècle et celles purementmathématiquesettoutaussiconnuesd’EdouardLucasparuesau19e;plusprèsdenous,les ouvragesde l’auteurparticulièrementprolifiquequ’estMartinGardner,mais aussilesdiversesbrochuresproduiteslegroupeJeuxdel’APMEP,lejeuMathadorinventéparEric Trouillot maintenant diffusé par Canopé, qui ont tous deux reçu le prix AnatoleDecerf de la SociétéMathématique de France, et bien sûr le Comité International desJeux Mathématiques dont le salon annuel rencontre chaque année, à Paris, unimpressionnant succès, et dont la présidente Marie-José Pestel a, elle, reçu le prixd’AlembertdelaSMF.Mais,commelemontrebienNicolasPelaydanssathèse(Pelay,2011)surlaquellejereviendraidanslasuite,legenredesrécréationsmathématiquesne

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s’est pas établi sans débats où s’exprimaient, et parfois de façon virulente, la tensionentrelejeuetlesérieuxdesmathématiques1.

Desinjonctionscurriculaires

Le jeu fait aujourd’hui l’objet d’injonctions curriculaires, comme le montre l’extraitsuivantdesnouveauxprogrammesdematernelle,particulièrementclairetquisoulignebien les différentes potentialités du jeu pour l’apprentissage, comme la diversité desjeuxquipeuventêtreexploités:«Le jeu favorise la richesse des expériences vécues par les enfants dans l'ensemble desclassesde l’écolematernelle et alimente tous les domainesd’apprentissages. Il permet auxenfants d’exercer leur autonomie, d‘agir sur le réel, de construire des fictions et dedévelopper leur imaginaire, d’exercer des conduitesmotrices, d’expérimenter des règles etdes rôles sociaux variés. Il favorise la communication avec les autres et la construction deliens forts d’amitié. Il revêt diverses formes : jeux symboliques, jeux d’exploration, jeux deconstructionetdemanipulation,jeuxcollectifsetjeuxdesociété,jeuxfabriquésetinventés,etc.L’enseignantdonneà tous lesenfantsuntempssuffisantpourdéployer leuractivitédejeu. Il les observedans leur jeu libre afindemieux les connaître. Il propose aussi des jeuxstructurésvisantexplicitementdesapprentissagesspécifiques.»

On retrouve cette référence au jeu dans le préambule des projets de programmes ducycle2:«Au cycle 2, les élèves travaillent en forte continuité avec le cycle 1, notamment en étantconfrontésàdessituationsconservantleplussouventpossibleuncaractèreludique.Eneffet,certainsjeuxadéquatementchoisisetmisenœuvrepermettentd’initieret/oud'approfondirletravailmathématiqueàmener.»

Le jeu est également mentionné dans la mesure 7 de la «Stratégie Mathématiques»lancéeparleministèreendécembre2014.Onnotera,danslacitationassociée, l’incise«notammentàl’écoleélémentaire»,quimontrebienladifficultérésistanteàlégitimerl’usagedujeuàdesniveauxdescolaritéplusavancés.«Mesure7:Lapromotiond’unenvironnementplusfavorableàl’apprentissageLadimension ludiquedesmathématiques et l’utilisationdunumérique serontdéveloppéesafin demotiver davantage les élèves et d’encourager leur autonomie. La place du jeu dansl’enseignementdesmathématiques,notammentàl’écoleélémentaire,serarenforcée.»

Cet intérêt curriculaire pour les jeux peut s’appuyer sur les résultats de la recherche,unerecherchequin’estenrienlimitéeauchampdidactiqueoumêmeéducatif.Enfait,les chercheurs de très nombreux domaines se sont intéressés au jeu et aux rapportsentre jeu et apprentissage : des psychologues commeVygotskyqui voient dans le jeuune activité essentielle pour le développement, des psychanalystes commeWinnicottpour lequel il favorise la réalisation de l’intégration de la personnalité en permettantd’assujettirlescontraintesdelaréalitéauxpulsionsdel’enfant,desanthropologues,dessociologues, et aussi de plus en plus aujourd’hui des chercheurs en EIAH(Environnements informatiques d’apprentissage humain) qui développent des jeuxsérieuxet explorent leurspotentialitéspour l’apprentissagedesenfants,maisaussi et

1Onpeutd’ailleursconsulteràcetitreleplaisantdébatécritetmisenscèneàl’académiedeLyonsurcethèmeparNicolasPelayetPierreCrépelsurlesiteImagedesmaths:http://images.math.cnrs.fr/Recreations-mathematiques-d-Ozanam.html

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sinon plus des adultes dans un nombre croissant de domaines. Ces travaux dans leurdiversitémontrent,defaçonindéniable,l’importancedujeudansnotredéveloppementpersonneletsocial,sespotentialitéscognitives.Ilsmettentenévidencecertainsleviersgénéraux d’apprentissage associés (engagement et attention, absence de stress,répétition, retourd’informationrapide…). Ilsnousaidentaussiàprendreencharge lejeudanssesdimensionsmultiplesetnotamment,affectivesetsociales.

Uneperspectivedidactique

Danscepaysagecomplexe,quelleestetquellepeutêtrelacontributiondeladidactiquedesmathématiques?Enfait,quandundidacticienfrançaisréfléchitàcesquestions,ilnepeuts’empêcherdefaireunlienaveclathéoriedessituationsdidactiques,carl’idéedejeuestaucœurdesmodélisationsde l’enseignementet l’apprentissagequeproposelathéoriedessituationsdidactiquesélaboréparGuyBrousseau2:

• Unesituationdidactiqueest,eneffet,modéliséeàunpremierniveau,commeunjeu et différents types de situations sont distingués suivant les types de jeuxqu’ellespermettentd’organiser(jeuxd’action,deformulation,devalidation).

• L’apprentissage est associé à la construction de stratégies gagnantes pour cesjeux.

• On cherche àélaborer des situations pour lesquelles la connaissance viséecorrespondàunestratégieoptimalepourlejeuassocié.

• On cherche aussi à s’assurer que les rétroactions du milieu vont permettrel’élaborationprogressivedecesstratégiesoptimales.

• On organise également l’évolution du jeu pour assurer la progression desapprentissages.

Un exemple emblématique est celui de la course à 20 associé à l’apprentissage de ladivisioneuclidienne.J’enrappellelarègle:c’estunjeuàdeuxjoueurs,lepremierjoueurditunnombre0,1ou2, lesecond joueurpeutajouter1ou2àcenombreetainsidesuite.Lepremierquidit20agagné.Ils’agit làdecequel’onappelleunjeudeNim.Ilexisteuneensembledenombresgagnants:20,maisaussi,17,14,11etainsidesuitede3en3jusqu’à2.Siunjoueurditunnombredecetensemble,lejoueursuivantnepeutque dire un nombre hors de cet ensemble, et si un joueur dit un nombre hors de cetensemble, le joueur suivant peut y rentrer tout aussi nécessairement. Il en résultel’existencepourlepremierjoueurd’unestratégiegagnantecommençantparlenombre2.Cequenousmontrent lesnombreusesréalisationsdidactiquesmenées,notammentauCOREM3,c’estl’organisationdel’apprentissageautourd’unesuccessiondedialectiques:une dialectique d’action d’abord, avec des jeux élève contre élève d’où émergentcertainesconnaissancesenacte,unedialectiquedeformulationensuiteoùlesélèvesengroupes doivent se mettre d’accord sur une stratégie qui sera portée par leurreprésentant,unedialectiquedevalidationenfinoùl’enjeusedéplaceverslavalidationoul’invalidationd’énoncés.Cequenousmontreaussicetravail,c’estlafaçondontpeutêtreorganisélerenouvellementdujeuparlechoixdesvariablesdidactiques(lenombre

2Pouruneréflexionapprofondie,voirletextedeGuyBrousseau:Lesdoublesjeuxdel’enseignementdesmathématiqueshttps://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/516813/filename/Les_doubles_jeux_de_l_enseignement_des_mathematiques.pdf3COREM:Centred’ObservationetdeRecherchesurl’EnseignementdesMathématiqueshttp://guy-brousseau.com/le-corem/

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cible,lepasetlesnombresdedépartautorisés)etcréésainsidessautsinformationnelsquivontpermettrelaprogressiondel’apprentissage.Cen’estdoncpasunhasard si lesdidacticiensdesmathématiquesqui, enFrance,onttravaillé sur jeux et apprentissages, se sont généralement référés à la théorie dessituationsdidactiques.Ilsyonttrouvédesoutilsconceptuelspourpensermêmesi,danslathéoriedessituationsdidactiques,horsquelquescasemblématiquescommeceluicité,lessituationsnesontpasprésentéesetvécuesparlesélèvescommedesjeux.Lejeuestenfaitunoutildemodélisationdidactiqueet,danslesanalysesaprioridéveloppéesdessituations,c’est l’actantc’estàdire le joueurrationnelquiestconsidéré,non le joueuravectoutcequecelacomported’affect.Pouravancerdansl’analysedidactique,jevaism’appuyersurdeuxtravauxdethèse:lesthèses de Karine Godot (2005) et Nicolas Pelay (2011), les considérant comme uneentréeintéressantedanscetypedetravauxqui,auseindelacommunautédidactique,aémergé relativement récemmentmais se développe bien aujourd’hui. Karine Godot asoutenu sa thèse, il y a dix ans déjà, au sein de l’équipe «Maths à Modeler» del’université de Grenoble. C’est le potentiel de jeux élaborés dans cette équipe pourl’apprentissage d’une démarche de recherche et des compétences associées qui y esttravaillé,dansunediversitédecontextesscolairesetpériscolaires,etàunediversitédeniveaux scolaires.Nicolas Pelay a soutenu sa thèse six ans plus tard.Dans son cas, lecontexte est clairement non scolaire, puisqu’il s’agit d’activités mathématiquesorganiséesdansdesséjoursdevacances,cequiobligeàtravaillerplusenprofondeurladimensionludiqueetleprocessusde«ludification».Sij’aichoisicesdeuxthèsesc’estaussiparcequ’ellesnousfontsortirdesmathématiquesdel’écoleélémentaire,abordantla première des compétences transversales essentielles dont le développement est enjeu tout au long de la scolarité, la seconde des compétences et connaissances à lacharnièreentrenumériqueetalgébrique,clefspourl’apprentissagedesmathématiquesau collège. C’est enfin parce qu’elles s’intéressent de façon essentielle aux synergiesentrescolaireetpériscolaire,etnousmontrentquecessynergiespeuventvivredefaçonproductivedanslesdeuxsens. Monproposn’estpasdeprésentercesthèsesdefaçondétaillée mais de puiser dans chacune d’elles, très partiellement, quelques élémentspour faire avancer la réflexion et illustrer certaines facettes possibles d’une approchedidactiquedesrelationsentrejeuetapprentissage.

LathèsedeKarineGodot

La thèse de Karine Godot a été préparée au sein d’un laboratoire qui réunit deschercheurs dans le domaine des mathématiques discrètes et des didacticiens. Lespotentialitésdidactiquesdesmathématiquesdiscrètesysontdoncplusspécifiquementexploitées. Karine Godot les rappelle au début de sa thèse : des problèmes nouveauxpour les élèves car concernant un domaine non enseigné, abordables sans pré-requisparticuliers, le contact facile avec des problèmes non encore résolus ou seulementpartiellement résolus, des problèmes avec des solutions multiples mais aussi parfoissanssolution,desformesderaisonnementetdepreuvesvariées,l’inscriptionfaciledansune dimension ludique dont témoigne l’usage intensif de ce domaine dans lescompétitionsdejeuxmathématiquesetlalittératuresurlesjeux.Dans lathèse,unesituationestcentrale,cellede larouedecouleurreprésentéesur lafigure5.

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Figure5:Larouedecouleur(http://mathsamodeler.ujf-grenoble.fr)

Lejeuestlesuivant:onadeuxrouesconcentriques.Surlaroueextérieure,ondisposerégulièrementnbillesdecouleurdifférente.Lejoueurdisposedenbillesdekcouleurs(lenombrek,variableentre1etn,estunevariabledidactiquedujeu,toutcommen)surla roue intérieure, en face des boules extérieures. Il a gagné si, en tournant la roueintérieuresuccessivementpouramenerlesbillesencorrespondance,chaquefois,ilyaexactementdeuxbillesdemêmecouleurfaceàface.Lafigure6fournitunexemplederésolutionduproblèmeP(5,5).

Figure6:UnexemplederésolutionduproblèmeP(5,5)

Cette solutionest construiteprogressivementàpartirde lamise faceà facedesbillesjaunes. On tourne la roue d’un cran dans le sens des aiguilles d’unemontre. La billejauneseretrouveenfacedelaverteetonplaceunebillenoiresurledisqueintérieurenfacedelabillenoirequilaprécède.Ontourned’uncrandeplusetcettefoisonplaceunebille rouge en face de la bille rouge, et l’on continue enplaçant de lamême façon lesbillesbleuesetvertes…Etonpeutvérifierentournantlaroueinternequelaconditionimposéeestremplie.Lastratégieutiliséeest icigagnante.Enrevanche,comme levoirmontre la figure 7, cette stratégie nemarche pas pour le jeu P(4, 4). Et ce n’est passimplementunequestiondestratégie.

Figure7:UtilisationdelamêmestratégiepourleproblèmeP(4,4)

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Eneffet,l’analysemathématiquedétailléedecejeumenéeparKarineGodotmontrequele jeu P(n,n) a une solution si et seulement si n est impair. Cette analyse permetd’obtenirbiend’autresrésultats,dontlesdeuxcitéssuivants:

• P(n,n)aunesolutionà‘distanceconstante’dsietseulementsiàlafoisdetn,etd-1etn,sontpremiersentreeux.

• P(n,2) aune solution si et seulement sin estnonpremier et lesdeux couleurschoisiesnedoiventpasêtreconsécutives.

Elle permet aussi d’identifier de multiples stratégies possibles pour obtenir dessolutionsbaséessurl’ordre,laparité,lasymétrie,lesgraphes,l’idéededécalage.Ettoutcecipermetd’identifier lesvariablesdujeuetdefairedeschoixjudicieuxdevariablesdidactiques.Surlafigure8,sontreproduitestroisimagesextraitesdelathèseassociéesàtroistypesdestratégiesdifférentes:• inverserl’ordrederotationpourplacerlescouleurssurlaroueintérieure,danslecasP(n,n);c’estunestratégiegagnantepourtoutnombreimpair,

• partir d’une disposition symétrique par rapport à l’axe déterminé par les deuxpoints initialement alignés puis inverser les points symétriques; c’est unestratégiequiestéquivalenteàlaprécédenteetdontonperçoitbienl’impossibilitédemiseenœuvredans lecasoùnestpairpuisque l’axedesymétriepassealorsnécessairementpardeuxdescouleursdelaroueextérieure,

• desstratégiesenfinliéesàlaconstructiondegraphesquiamènentàconstruiredespolygonesauxarêtesdesquelsserontassociéeslessuccessionsdecouleurs.

Figure8:Exemplesdestratégies

KarineGodotdécritainsicettedernièrestratégiepourleproblèmeP(n,n):«Rechercher les polygones réguliers convexes à n sommets inscrits dans le cercle. Chaquearrêtereprésentelarelation"lacouleurquidoitêtreconsécutivesurlepetitdisque".Leièmesommet(i≠1)nedoitpasêtreenièmepositionsurledisqueextérieur».

Etellepréciseensuite:«En étudiant les polygones qui peuvent être tracés si l'on prend un point sur deux ou unpointsurtrois,surquatre,etc...,onpeutobtenirplusieurssolutionsàdistanceconstantepournimpair.»

L’image reproduite concerne le cas n=7 et les solutions obtenues en prenant lessommetsde2en2etde3en3surl’heptagonerégulier.

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Lathèseanalysel’expérimentationdecejeudansunediversitédecontextes:premièreannée d’université dans un module «Jeux combinatoires et raisonnementmathématique»(2x2h),CM1/CM2,6e(4séances),cycle3(uneheureparsemainesuruntrimestre),ateliers.Onyvoitlamiseaupointprogressived’outilsdegestionpourlesphases de travail en groupe, les bilans collectifs, la restitution des résultats. A cecis’ajoutent les outils élaborés pour analyser le travail des élèves, les représentationsproduites, les formulations et validations, ainsi que le rôle du matériel et celui desaccompagnateurs.Lescritèresdel’encadréci-aprèssont,parexemple,ceuxassociésàladémarchederecherche:

• Il choisit les sous-problèmes qu'il souhaite étudier si le problème est posé defaçonouverte.

• Il ne se contente pas de jouer, abandonne peu à peu la recherche par essais-erreurspourmettreenplaceunerechercheorganisée,imaginerdesstratégiesderésolution.

• Il observe ce qu’il fait, cherche à mettre en relation différents résultats, estamenéàénoncerdespropriétés.

• Il cherche à énoncer des conjectures locales (propres à un cas particulier) ouglobales(propresàunsous-problème).

• Ilproduitdescontre-exemplespourinvalidercertainesdesespropositions.• Ilchercheàapporterdesargumentsdepreuve.• Ilseposedenouvellesquestions.

Il y a dans tout cela des outils qui peuvent sans aucun doute être réinvestis avecd’autres jeux et qui permettent d’analyser finement comment fonctionnent cessituationsludiquesetcequ’ellespermettentauxélèvesd’apprendre,decomprendrelesressorts exacts de ces apprentissages. Il me semble enfin intéressant de mentionnerl’exploitation faite dans cette thèse du levier de l’impossibilité pour susciter laproductiondepreuves,unlevierdéjàutilisédansd’autrestravauxdel’équipe«MathsàModeler».

LathèsedeNicolasPelay:contratdidactiqueetludique

Contraintepar le temps, j’ai abordéplus rapidement la thèsedeNicolasPelay,malgrésontrèsgrandintérêt.ElleaétéencadréeparVivianeDurandGuerrieretPierreCrépel.Cecicontribuesansdouteàl’importancedutravailhistoriquequiyestmenéautourdugenredesrécréationsmathématiques,avecun travailparticulièrementapprofondisurles récréations mathématiques et physique d’Ozanam, et sur leur articulation etcomplémentaritéavec lescoursetdictionnairedumêmeauteur.NicolasPelaymontrebiencommentcegenresedéveloppeauXVIIesièclemaisaussilesdébatsqu’ilsusciteetqui nous ramènent à l’opposition souvent faite entre le sérieux, l’austérité desmathématiquesd’unepart,etleurinscriptiondansuneperspectiveludiqued’autrepart.Ilnousmontreaussilaplacequ’occupel’algèbredansl’ouvraged’Ozanam,etlerôlequecetauteurluiattribuepoursedégagerd’unevisionmagiquedumonde.Comme dans la thèse de Karine Godot, une situation va être plus particulièrementtravailléedanslathèse,maisicilemouvementestinverse.Eneffet,lasituationdesdixconsécutifs(ils’agitdetrouverlasommededixnombresconsécutifs)estunesituationconçue initialementparBarallobres (2006)pourun contextede classe, et elle va êtrescénariséeicidansuncontexted’animationscientifiqueencampdevacances,etludifiéedoncdanscecontexte.CommedanslathèsedeKarineGodot,ilyauneanalysetrèsfine

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des variables mathématiques de la situation et des stratégies susceptibles d’êtredéveloppéesparlesélèves.Cetteanalyseestmenéed’aborddanslecasoùl’oncalculelasommededixnombres, cequipermetunegrandediversitéde stratégiesnumériquesexploitant lespropriétésde lanumérationenbase10et l’identificationde régularitésassociées, puis dans le cas de huit nombres où l’économie de la stratégie algébriquebaséesurlavision«successeur»,cettefois,s’impose.

Laludificationdeceproblèmesefaitnotammentdanslecadred’unséjoursurlethèmedelapiraterie.Ilfauttrouverdesstratégiespermettantdecalculerleplusvitepossiblelasomme,àpartirden’importequelnombrededépart,pourgagnerunebataillenavale.Comme le montrent bien les expérimentations, on ne peut, dans ce contexte, secontenter d’un habillage pseudo-ludique comme c’est souvent le cas en situationscolaire.Assurer l’engagementet lapermanenced’unedimension ludiqueauthentiqueest une condition sine qua non de viabilité de la situation. Cette caractéristique ducontextevaconduireNicolasPelayàuneréflexionapprofondiesur lanotionde jeuetsur les rapports contractuels combinant didactique et ludique. Il se réfère pour celanotamment aux travaux du philosophe Colas Duflo et au concept de contrat ludique(Duflo,(1997):«Lecontratludiqueestl’acteparlequellejoueurabandonnesalibertéindividuellepoursesoumettreàunelégalitéarbitrairequiproduitsalégalibertéoulibertéludiquequelejoueurobtientenéchange».

Dans son étude du jeu, Colas Duflo se livre à une analyse critique des définitionsexistantes,parexemplecellesproposéesparHuinzigaetCaillois,etchercheàconcevoirunedéfinitionquinesebornepasàadditionnerlespropriétésdujeu.Cecileconduitàcaractériserlejeucommeuneactionlibre, limitéespatio-temporellementetsoumiseàdesrègles,etàmettrel’accentsurl’articulationfondamentaleentrerèglesetlibertéquisenoueauseindujeu.Lejeuapparaîtainsicomme«inventiond’unelibertédansetparune légalité», ce qui conduit à la notion de légaliberté ou liberté ludique. La libertéludique,oulibertédanslejeu,àdistinguerdelalibertéd’entrerounondanslejeu,estune libertéencadréepardesrèglesetpermiseparcesrèglesmêmesquicréent le jeu.Toutjeusedéfinitd’abordparsastructureetsesrèglesconstitutives.Lalibertéludiquenepeuts’exercerques’ilyaincertitude,etc’estenessayantderéduirecetteincertitudeque le joueurdéveloppedescompétenceset savoirs ludiques.Sans incertitude iln’yaplusdejeu.S’appuyant sur cette étude, Nicolas Pelay introduit la notion de contrat didactique etludiquequ’ildéfinitainsi:«Lecontratdidactiqueet ludiqueest l’ensembledesrèglesetcomportements, implicitesetexplicites,entreun’éducateur’etunouplusieurs‘participants’dansunprojetquiliedefaçonexpliciteouimplicite,jeuetapprentissagedansuncontextedonné.»

Il l’utilisepour analyser, de façon très fine, les expérimentationsmenées etmontre lanécessité de faire intervenir deux niveaux d’expression de ce contrat : l’affiché et lecaché, pour analyser les situations observées, comprendre les tensions qui s’y nouententre satisfaction des enjeux didactiques et ludiques, et comment ces tensions sontgérées. Encore une fois, il y a là des outils conceptuels qui ont une portée large etdevraientaiderlarechercheetlapratiqueàprogresserdanscedomaine,nonseulementencontextepériscolairemaisaussiscolaire.

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ConclusionJenerentreraipasdavantagedansledétaildecesdeuxthèsesquisontaccessiblesen

ligne.J’espèrequecetteconférenceaura,mêmesic’esttrèsimparfaitement,remplisonrôle d’ouverture au travail de la journée du colloque sur ce thème «jeux etapprentissage des mathématiques», montré l’importance de renforcer les synergiesentre scolaire et périscolaire dans ce domaine, montré aussi l’intérêt d’un travaildidactiqueapprofondisurcesquestions,untravailaujourd’huibienamorcéetqu’ilfautbiensûrpoursuivre.Il était impossible, dans le temps d’une conférence, d’aborder tous les sujets quiméritaient de l’être. Je me suis ainsi limitée à des travaux didactiques concernantl’exploitationdejeux.Deplusenplus,pourtant,sedéveloppentdestravauxoùcesontles élèves eux-mêmes qui conçoivent les jeux sous certaines contraintes. Lespotentialités qui en résultent pour l’apprentissage sont bien sûr différentes et nousdevons aussi nous intéresser à ce type d’activités que l’introduction dans lesprogrammesd’activitésdeprogrammationva favoriser.Ces levierssontdéjàexploitésdans d’autres pays avec des logiciels comme le logiciel Scratch développé auMIT, oumême des logiciels familiers aux enseignants demathématiques comme GeoGebra. Jen’aipasnonplusévoquédanscetteconférencelestravaux,deplusenplusnombreux,quisedéveloppentdanstous lesdomainessur les jeuxsérieux,etqui intéressenttoutparticulièrement la communauté des chercheurs en EIAH (EnvironnementsInformatiques d’Apprentissage Humain). On y voit des différences substantielles avecles travaux de didactique des mathématiques, tant du point de vue des approchesconceptuellesqueméthodologiques,commelemontrentlesdeuxméta-étudescitéesenréférence(Girard,Ecalle&Magnan2012),(Youngetal.2012).Etc’estaussilecaspourlestravauxmenésdanscedomaine,enrelationaveclesneurosciences.Peudetravauxderechercheconcernentjusqu’ici lesmathématiques, lesecteurdesjeuxsérieuxayantd’abordémergédansdescontextesprofessionnelsd’apprentissaged’adultes,maisonnepeut douter que ce secteur va se développer et renouveler partiellement lesproblématiques et les usages de jeux dans l’enseignement et l’apprentissage desmathématiques.

Références

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Brousseau,G.(2002).Lesdoublesjeuxdel’enseignementdesmathématiques.RevueduCentre de Recherches en Education, Université de Saint Etienne, 2002, Didactique desmathématiques(22-23),pp.83-155.<hal-00516813>

Duflo,C.(1997).Joueretphilosopher.Paris:PressesUniversitairesdeFrance.

C. Girard, J. Ecalle&A.Magnan (2012). Serious games as new educational tools: howeffective are they? A meta-analysis of recent studies. Journal of Computer AssistedLearning.DOI:10.1111/j.1365-2729.2012.00489.x

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Godot, K. (2005). Situations recherche et jeux mathématiques pour la formation et lavulgarisation. Exemple de la roue des couleurs. Thèse de doctorat. Université JosephFourier–Grenoble1.https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-00102171

Pelay, N. (2011). Jeux et apprentissages mathématiques. Elaboration du contratdidactiqueetludiqueencontexted’animationscientifique.Thèsededoctorat.UniversitédeLyon1.https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00665076

M.F.Young, S. Slota,AB.Cutter,G. Jalette,G.Mullin,B. Lai, Z. Simeoni,M.Tran,&M.Yukhymenko(2012).OurPrincessIsinAnotherCastle:AReviewofTrendsinSeriousGaming in Education. Review of Educational Research. DOI:10.3102/0034654312436980http://rer.sagepub.com/content/82/1/61