szÉchenyi istvÁn alkalmazott mechanika egyetem …

SZÉCHENYI ISTVÁN ALKALMAZOTT MECHANIKA

EGYETEM TANSZÉK

2. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)

2.1. Szilárd test P pontjának alakváltozási állapota:

Adott:

egy szilárd test P pontjának alakváltozási

állapota:

42 10x , 0y , 43 10z

,

44 10xy , 0xz , 46 10yz

Feladat:

a) Írja fel a P pont PA alakváltozási

tenzorának mátrixát!

b) Határozza meg az x , y és z

irányokhoz tartozó x , y , y ,

alakváltozási vektorokat!

c) Szemléltesse az alakváltozási

állapotot az elemi triéderen!

Megoldás:

a) Az alakváltozási tenzor mátrixa: P x y zA i j k

4 4

4 4

4 4

1 1

2 2 2 10 2 10 01 1

2 10 0 3 102 2

0 3 10 3 101 1

2 2

x xy xz

P yx y yz

zx zy z

A

b) Az egyes alakváltozási vektorok:

4 42 10 2 10 0x xi j k A i

4 42 10 0 3 10y yi j k A j

4 40 3 10 3 10z zi j k A k

c) Alakváltozási állapot szemléltetése elemi triéderen:

ij

k

43 10

43 10

43 1042 10

42 10

42 10

P

2/13

Szilárdságtan: 2. gyak. 2019.05.20. SZE-AMT: Tarnai Gábor

2.2 Szilárd test P pontjának alakváltozási állapota:

Adott: Ismert egy szilárd test P pontjának alakváltozási állapota, a P elemi környezetéből

kiragadott elemi triéderen.

ij

k

35 10

33 10

32 10

32 10

P

32 10

32 10

Feladat:



b) Határozza meg az x fajlagos

nyúlást és a yz fajlagos

szögtorzulást.

Megoldás:

a) Az alakváltozási tenzor mátrixa:

3 3

3 3

3 3

1 1

2 2 3 10 0 2 101 1

0 5 10 2 102 2

2 10 2 10 01 1

2 2

x xy xz

P yx y yz

zx zy z

A

b) Az x fajlagos nyúlás és a yz fajlagos szögtorzulás:

33 10x ,

312 10

2yz 34 10 (radián)yz ,

0

3 3 01804 10 (radián)= 4 10 0,23yz

3/13



Adott:

Ismert egy szilárd test P pontjának

alakváltozási állapota, valamint m és n

irányegység vektorok.

42 10x , 0m , 42 10n

,

48 10xy , 0xz , 0yz ,

3 1

2 2n j k ,

1 3

2 2m j k .

Feladat:

a) A P pont PA alakváltozási tenzora

mátrixának meghatározása.

b) Az alakváltozási állapotot

szemléltetése az elemi triéderen.

c) Az x , y , z , n , m

alakváltozási vektorok kiszámítása.

Megoldás:

a) Az alakváltozási tenzor mátrixa a kiindulási adatokból:

4

2 4 0

4 0 10

0 0

P y

z

A

, amiből m , majd m az alábbiak szerint írható föl:

4 4

202 4 0

14 0 10 10

2 20 0

3 3

2 2

y

m y

z

z

A m

,

4 4

0

33 12 10 10

2 2 2 4 4

3

2

y y zm m zm

.

Most vizsgáljuk az n alakváltozási vektort, valamint az n fajlagos nyúlást:

4 4

0 2 32 4 0

3 34 0 10 10

2 20 0

1 1

2 2

n y y

z

z

A n

,

4/13


4 4

0

33 1 32 3 10 10

2 2 2 4 4

1

2

y zn n y zn

.

Az adatokból tudjuk, hogy 0m , illetve 42 10n tehát:

4310 0

4 4

y z

illetve 4 43

10 2 104 4

y z

.

Fenti egyenletrendszert megoldva kapjuk:

3 0y z 3y z

3 8y z 9 8z z

1z , és 3y ,

Ezek behelyettesítésével:

b) Szemléltetve:

4

2 4 0

4 3 0 10

0 0 1

PA

.

c) Az alakváltozási vektorok számítása:

4 4

02 4 0

1 3 34 3 0 10 2 10

2 2 20 0 1

3

2

m PA m i j k

,

4 4

02 4 0

3 3 3 14 3 0 10 2 3 10

2 2 20 0 1

1

2

n PA n i j k

,

A koordináta tengelyek irányában pedig:

42 4 10x i j ; 44 3 10y i j ; 410z k .

ij

k

43 10

42 1044 10

P

410

44 10

5/13



Adott: Ismert egy szilárd test P pontjának alakváltozási állapota, valamint n és m vektorok.

2 2

2 2n i k

, 2 2

2 2m i k

.

Feladat:



b) Határozza meg az x , xz , yz

alakváltozási jellemzőket!

c) Határozza meg az n , m , nm

alakváltozási jellemzőket!

Megoldás:

a) Az alakváltozási tenzor mátrixa:

4

1 1

2 2 3 1 01 1

1 0 2 102 2

0 2 41 1

2 2

x xy xz

P yx y yz

zx zy z

A

b) 43 10x , 0xz , 44 10yz , mely értékek az alakváltozási tenzorból

kiolvasható.

c) Az n , m , nm alakváltozási jellemzők számítása:

4 4

3 22

23 1 0 2

21 0 2 0 10 10

20 2 4 2

2 22

n PA n

,

ij

k

42 10

43 10

41 10

P

44 10

41 10

z

42 10

y

x

6/13


4 4 4

2

23 2 2 3 1

2 2 0 10 2 10 102 2 2 2

2

2

n n n

,

4 4 4

2

21 3 2 2 3 7

2 2 0 10 2 10 102 2 2 2 2

2

2

nm n m

,

Valamint,

4 4

3 22

23 1 0 2

3 21 0 2 0 10 10

20 2 4 2

2 22

m PA m

,

4 4 4

2

23 2 3 2 3 1

2 2 0 10 2 10 102 2 2 2

2

2

m m m

,

4 4 4

2

21 3 2 3 2 3 7

2 2 0 10 2 10 102 2 2 2 2

2

2

mn m n

.

4110

2n

, 41

102

m ,

41 1 710

2 2 2nm mm .

7/13


2.5. Szilárd test P pontjának feszültségi állapota:

Adott:

egy szilárd test P pontjának feszültségi

állapota, valamint az n és m irány-

egységvektorok:

40 20 0

20 0 30 MPa

0 30 60

PF

2 2

2 2n i j

, 2 2

2 2m i j

.

Feladat:

d) A P pontbeli x , y és z normálisú

elemi felületen fellépő x , y és z

feszültségvektorok meghatározása.

e) Az n normálisú elemi felületen

fellépő n normálfeszültség

kiszámítása.

f) Az m normálisú elemi felületen

ébredő n irányú nm csúsztató

feszültség kiszámítása.

g) A feszültségi állapot szemléltetése a

P környezetéből kiragadott elemi

kockán.

.Megoldás:

d) A feszültségi tenzor diadikus alakja:

P x y zF i j k ,

Az egyes feszültségi vektorok pedig:

40 20 MPax i j ,

20 30 MPay i k ,

30 60 MPa z j k .

e) Az egyes feszültségi vektorok:

n PF n

a

2

2 10 240 20 02

20 0 30 10 2 MPa2

0 30 60 15 20

n

,

Ebből pedig n n n számítható, tehát:

2

2

210 2 10 2 15 2 0 MPa

2

0

n n n

0 MPan

8/13


f) Az m normálisu elemi felületen ébredő n irányú nm csúsztató feszültség:

m PF m

2

2 30 240 20 02

20 0 30 10 2 MPa2

0 30 60 15 20

m

,

2

2

230 2 10 2 15 2 20 MPa

2

0

nm m n

.

g) A feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán:

x y

z

4020

30

P

30

60 MPa

20

9/13


2.6. Szilárd test P pontjának feszültségi állapota:

Adott:

Ismert egy szilárd test P pontjának feszültségi állapota az elemei kockán:

x y

z

40

2030

P

30

50 MPa

20

30

Feladat:

a) Határozza meg a P pontbeli x , y

és z normálfeszültség, valamint xy ,

yz és xz csúsztató feszültség

koordinátáit!

b) Írja föl a P feszültségi tenzort!

Megoldás:

a) A és feszültség koordináták:

40 MPax , 30 MPay , 50 MPaz ,

20 MPaxy yx , 30 MPayz zy , 0 MPaxz zx .

b) A P feszültségi tenzor:

40 20 0

20 30 30 MPa

0 30 50

x xy xz

P yx y yz

zx zy z

F

10/13


2.7. Feszültség vektor kiszámítása:

Adott:

– a xy yx csúsztató feszültség kivételével

– egy szilárd test P pontjának feszültségi

állapota, valamint az n és m irány-

egységvektorok, illetve az n irányhoz

tartozó n normál feszültség:

20 40

10 30 MPa

40 30 0

xy

P yxF ; nσ = 50MPa ;

2 2

2 2

n i j , 2 2

2 2

m i j .

Az n , m és k , ebben a sorrendben

jobbsodrású egységvektorok.

Feladat:

a) Írja fel a P pontbeli n normálisú

elemi felületen fellépő n

feszültségvektort!

b) Határozza meg az n normálisú elemi

felületen ébredő m irányú mn

csúsztató feszültséget!

c) Számítsa ki az n normálisú elemi

felületen ébredő k irányú zn

csúsztató feszültséget!

Megoldás:

a) A feszültségvektor meghatározása:

2 2 2

1 1 02 2 2

n i j

n PF n

n n Pn n F n

20 40 1 202 2

10 30 1 102 2

40 30 0 0 40 30

xy xy

n P yx yxF n

1

2 220 10 10 1

2 20

n n xy yxn

2

2 1(20 ) 10 0 30 2

2 2n xy yx xy

A normál feszültség értéke adott, tehát ebből a csúsztató feszültség számítható:

1

50 30 22

xy 35 MPa xy

202

102

40 30

xy

n yx

552

45 MPa2

10

n

11/13


b) A mn meghatározása:

552 2 1

1 1 0 45 55 45 5MPa2 2 2

10

mn nm

c) A zn meghatározása:

552

0 0 1 45 5 2 MPa2

10

zn nk

12/13


2.8. Feszültségi állapot szemléltetése:

Adott: A P pontbeli feszültségi állapot, és három egymásra merőleges irány.

100 50 0

50 0 80 MPa

0 80 200

PF ,

2 2

2 2 n j k ,

2 2

2 2 m j k ,

l i .

Feladat:

a) A x , y és z feszültségvektorok meghatározása.

b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán.

c) Az m normálisú lapon fellépő m feszültségvektor meghatározása.

d) A m , lm és nm feszültségkoordináták kiszámítása.

e) A m feszültségvektor szemléltetése az , ,l m n koordinátarendszerben.

Megoldás:

a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a 1K keresztmetszeten az , a z és az y

tengelyek mentén.

100 50 0 1 100

50 0 80 0 50 MPa

0 80 200 0 0

x PF i ,

100 50 0 01 50

50 0 80 1 0 MPa

0 80 200 0 80

y PF j ,

100 50 0 0 0

50 0 80 0 80 MPa

0 80 200 1 200

z PF k .

b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán.

50x

y

P

80

50

200

100

80

MPa

13/13


c) Az m normálisú lapon fellépő m feszültségvektor:

025 2100 50 0 35,355

250 0 80 40 2 = 56,569 MPa

20 80 200 197,99140 2

2

2

m PF m .

35,355 56,569 197,99 MPa m i j k .

d) A m , lm és nm feszültségkoordináták:

0

225 2 40 2 140 2 180 MPa

2

2

2

m m m ,

1

25 2 40 2 140 2 0 25 2 35,355 MPa

0

lm m l ,

0

225 2 40 2 140 2 100 MPa

2

2

2

nm m n

.

e) A m feszültségvektor szemléltetése az , ,l m n koordinátarendszerben:

180 35,355 100 MPa m m m m l n .

dA

m

n

mm

mlm

nm

l

szÉchenyi istvÁn alkalmazott mechanika egyetem …

Documents