RÖvto Összproclar,Ás R urpcnantr<e szlcoRr,et tÉurexoRprnpz

1. A mechanika tárgya, felosztása.

A mechanika az anyagi testek mozgásával és az etőkkel foglalkozótudománv. A mechanika felosztása :

./KINEMATII{A

MECHANII{A

leíri.s\

DINAMII(A okkeresés

STATII(A./

MEREV TESTEKSTATII{AJA

nguguó KINETII{A mozgó\

szILÁRbsÁGtAlt

2. Er<i, erő nyomatéka, erőrendszerek.

Az erő két test egymásra való h*tó hatása, ill. ennek következté-ben a mozgásállapotban, vary az a|a|<ban bekövetkező változás. Kéttestery@aí:-közvet1enérintkezésse1,fe lszíníeró

Vary pontban hatással, koncentrált ercí- érintkezés nélkül, tömegerő

Az eró jelIemzőí : - nas/saga- iránya- értelme

a támadáspont és a vektorhatárobzák rneg az erőt

Ha a súlyponton kívül támad az erő, akkor a test elfordul és elmozdul. Anyomaték ( az elfordulás mértéke ) az erő na5rságától és az erőkartólfügg' Nyomatékot pontra, vary tengelyre lehet számítani.Több erő e5lüttes hatásakor az erők er<irendszert alkotnak. Az erőrend-szerek faj tái . - i:"ffi 'HT3i"ff^::HlÍ|tiuT:'1.}t?ffi .".,

megoszló, általános helyzetű síkbeli erőrendszer.

3. A statika alaptételei.

1. Newton tII. { akció - reakció l * ha e$r test erovel hat a másikra,akkor a másik test is ugranakkora erővel hat az előzőre,

2, K;ét erti csak akkor van egyensúlyban, ha na5lságuk azonos,hatásvonaluk közös, értelmük ellentétes.

3. Közös támadáspontú erőrendszer helyettesíthettí e5letlen erő-vel (eredő erő ), amely erőnek keresztül kell mennie aközös táma-dásponton _ erók függetlenségének elve'

4. Eg merev testre ható erórendszerhez hozzáadhatunk, vary levon-hatunk ery önmagában e5lensúlyban 1évó erőrendszert, aZ erókethatásvonalukon eltolhatjuk ( merev testek esetén nincs jelento-sége az erő támadáspontjának ).

5. Ha e5r test e5r erőrendszer hatására deformálodik és utána nyuga-lomban marad, akkor ez tartós nyugalomként kezelhető ( ez teremtkapcsolatot a merev és a szilárd testek statikája között ).

4. Közös metszéspontú síkbelí erőrendszer fogalma, eredójének meg.határozása ( szerkesztéssel, számítással ).

A közös ponton támadó n eroből ál1ó térbeli erőrendszer eredője aR = '4 Vektoriális összegzés :'=l alakban összegezhető.

F* = Fo.soi Fvi = FisinoiR"=DF" i

B=R*+RtRy= D Fyi

Egyensúlvnál :- vektorsokszögzárt,- nyílfolyam folytonos

5. Párhuzamos síkbeli erőrendszer fogalma, eredójének meghatátozá,.sa ( szerkesztéssel, számítással }.

R=Fr*Í.z

Hatásvonal helyzete : I=,,- F 2 a l

Szerkesztés : Az össz'egezni kívánt eróket felcserélvefelmérjük a másik hatásvonalára, majd összekötjük akezdó- és végpontokat. A nas/ságot a vektorok összege( az ellentétes értelmú eróknél kulönbsége ) adja meg.

R=Fz-F r

Hatásvonal hel]rzete : o, =*-o ,

F ,

A megoszlóösszege adja

Megoszló er<írendszeÍ eredője.

Megoszló erőrendszer eredőjének meghatározá-sához szükségünk van a terhelés intenzitásá-nak ( q ) és a megoszló terhelés hosszának ( l ),vary a megoszló terhelés felületének (A ) isme-retére. q : I N/m, N/m2 ]

Q = ql (vonal mentén megoszló terhelés esetén)

Q = qA (felületen megoszló terhelés esetén)

terhelés esetén elemi szabályos részekre ( dx ) bontunk, ezeka koncentrált terhelés mértékét ( Q ).

7. Áttalános síkbeli erőrendszer fogalma, eredőjének meghatározása( szerkesztéssel, számítással |.

Kötélsokszög lépésel :

1. Minden eróveldor kezdó.és végpontja összekötve P-tal2. száÍÍozott eryenesek el-totv a az eró hatásvonalakra3. elsó és utolsó k<itél met.széspontja az R hatásvona-lának pontja

Erőrendszer. M-a A.ra :

1' A.n keresáül párhuzamosszr-rk. az R hatás-vonallal2. l-es + 6-os kötélággal valómetszé spontok között az y3. F" és A e5lenese közl" ak4' P-n húZott pálrhuzamos ésR között a c

VR

K C

RlFyc M=yc

8. Kényszerek.Kényszernek nevezzűk mindazokat az erőhatásokat, kapcsolatokat, melyek e$l test

mozgását megakadályozzák, vary korlátozzák, A testeket terheló eróket aktív erók-nek, akényszerek által a testekre kifejtett ertiket kényszerőknek, vary passzív erőknek,reakcióeróknek nev ezzÍ1k,

A KÉNYSZEREK FAJTÁI

1. megtámasztás ha a testek felülete tökéletesen sima,a megtámasztott test úgr marad e5'ensúlyban, ha a közöspontban ható erók merólegesek a 2 test közös érintósíkjára'Az ismeretlenek száma: 1 ( eró na5'sága ).

2. síkbeli csukló olyan kényszer, amely az eryik test-nek ery másik testhez rögzitett csap körüli elfordulását teszilehetóvé. A reakcióero a csap tengelyét merólegesen metszi.Az ismeretlenek száma : 2 ( erő iránya és na5lsága )

3. gömbcsukló olyan kényszer, ahol az eryik testnekery másik testhez képest mozdulatlan pont körüli elfordulá-sát teszi lehetővé.Az ismeretlenek száma : 3 ( eró irányai és na5zsága )

4. befogás olyan kényszer, ahol a test a megfogás helyéna helytálló környezethez mereven kapcsolódik.Az ismeretlenek száma: 3 ( erci irányai és narysága ) - sík.ban, 6 térben.

5. statikai rúd azok a rudak, amelyek csak a végükönkapnak terhelést, mindig beállnak a terhelés irányábaAz ismeretlenek száma: 1 ( eró narysága )

6. statikai kötél a statikában ideális kötelet haszná-lunk, amelynek súlya elhanyagolható, nem nyúlik és tökéIe-tesen hajlékony. Mindig az eró irányába áll be, csak húzó ig.Az ismeretlenek száma : 1 ( eró naglsága )

+s

9. Kéttámaszú tartó, befogott tartó támaszerőinek meghatározása.

Fr= I kN Fz= 2 kN

4zYe

Y r,"^ 1 , 5 m 3m ryY7 r n

ZM o., =o

)r=o

lx =o

jI

' Y s=0

Pz = 5r/2 LN

X irányú erőhatás

F r=2kNBefogásná| az általános helyzetú erőe$l Ma reakciónyomaték is ébred.

kN=0Mn+3m'

Ma:6kN

Yn= 2 kN X irányú erőhatás nincs

10. Tartók igénybevételi ábrálnak meghatározása.

EMe ---+ 2.5 rn '-1 kN + 4 m'-2 kN + 7 m

10.5 = 7Ys Ys = 1.5 kN

EY - - rYe- 1kN-2 kN + 1 .5kN= 0

Ya= 1 .5 kN

2 ' 5m - F r=skN

nlncs

mellett

1. lépés :A reakcióerók meghatá.rozása'2 . lépés :A rúderő ábra meghatá-rozása.3 . lépés:A nyíróeró ábra meghatá-rozása.4. lépés :A nyomatéki ábra meg-határozása'

2m..<->

8,675

11. Rácsos tartó támaszeróinek meghatátozása, valamint rúder<iinekmeghatározása csomóponti és átmetsz<i módszerrel.

F r=5 kN

x 2m

At-

2m 2m 2m 2m

B

"Ll*'

ü.

tN'

Es4'Nz No

B.S'Not

csonnóporrr nrloszpR

t

Statikailag határozott eglszerú rácsos szerkezetekben a rudak száma ( m ) és a csuklókszáma ( n ) között szükséges feltételként az m = 2n-3 összefüggés áll fenn.

Az átmetsző lrrődszert akkor célszerú a|ka]rmazni' amikor es/' Va$/ csak néhány rúderőértékét kell meghatározni. Ery képzeletbeli átvágással a rácsos szerkezetet kétfelé vágjuk.Úry kell végezni, hogr az átvágás a vizsgált rudat és még legfeljebb két rudat érintse, s ahárom rúd hatásvonala ne es/ pontban metszódjön.

A csomóponti módszeÍ az eryes csuklók csapjának ( a csomópontoknak ) az eryensúlyá-ból indul ki. A módszer a csomópontban összefutó minden es/es rúd hatását a csuklóra arúderővel helyettesíti.

1. Támaszerők meghatározása :E M n = 0 - 2 ' 5 k N - 6 ' 1 0 k N + 8 ' y s = 0 7 0 = 8 y s y a = 8 . 7 5 k ND Y = 0 y n - 5 k N - 1 0 k N + 8 . 7 5 k N = 0 y n = 6 . 2 5 k N c o s ü y A

2. Rúderok meehatározása : Va

Minden csomópontra felírjuk a

gNr = cos aya= 6,25V2 t N Ly, = 0

; - l

Nz = cos o Nr = 3 ,125 kN I t , = 0

l= l

s ennek alapján a vele14 =oj=l

eg}renletet,

e5lenértékti, két I", = 0 , ' !, =0 es/enletből meghatározhatóak a rúderók.l= l r= l

F erő na$lságát a néry erő e$rensúlyából kiinduló Ritter, vary Culmannmódszerekkel határozhatjuk meg.

í

t2. Csuklósszerkezetekrúderőínek meghatározása.

Ld. a 11. tételnél kidolgozottakat.

13. A súlypont fogalma és meghatározása.A Földön lévó valamennyi testre a Föld vonzásából és forgásábő| származó eró hat.

Ennek megnyílvánulása a testek súlya. A súlyeró iránya mindig függoleges, a párhuzamossúlyerőrendszer köz-eppontját súlypontnak nevezzúk. Ha a súrúség az égész ú térfogatonállandó, akkor a súlypont helyvektorának kiszámítására a következó képletet irasználjuk :

Í , , ,lray 1. vonal súlypontja 2' vonalak súlypontja 3. körív súlypontja

sina- I -

a(rad)

-.1] A síkidomot téglalapokra bontjuk.2. A tégla1apok súlyvonalait x és y irányba megrajzoljuk.3. A síkidomok területének megfeleló hosszúságú kéknyilakat felmér.1ük es/ eg/enesre.4. A kék nyilak metszéspontjából merőlegest áLllítunk,majd újabb merólegest az egrik téglalap súlyvonalára.5. Az elscí kék nll kezdó. és az utolsó kék nll végpontjátösszekötjük az o ponttal.6. A kapott e5reneseket eltoljuk a súlyvonalakra, azokmetszéspontjából a sú$onalakkal párhuzamosokathúzunk ( pontvonalak ), ezeknek a metszéspontjában vana sú\pont.

rs - --;-

)dvI

v

!4. Súrlódás' gördüló ellenállás, kötélsúrlódás.A testek felszíne kisebb-na5lobb mértékben mindig érdes. Ezért aztestek az érintősík irányába esó elmozdulással szemben is ellenállást

e5lmással érintkezőfejtenek ki. Bz a jeIenség a

súrlódás.

FnK (=Fs+Fw)

Fs

Eg a ensúIa i e g u e nletek :S-Gsin a: 0; N-Gcos ü: 0 ebból S = Ntg a

A test mindaddig nyugalomban marad, amíg asúrlódási félkúpszögön belüli a lejtó hajlásszöge.orr)y

Gcos cr P o = t g P o Testek érintkezésekor két test között fellépóercí hatására mindig kell bizonyos deformá-cióval számolni. A deformáció miatt az a|ap.síkon ébredo eredó reakcióeró támadás-pontja a közos érintkezési felületen belül van'Az fg a gördüló ellenállás karja.A g ördüIé si ellendllas e a a ensúIai ega enletei :Fx=Fs+Frl K+G+F = o; F.Fs = o; Fufo-FsÍ = o

Érdes hengerfelületre ideális kötelet csévélünk, a kötél a hengeralkotójára meróleges síkban helyezkedik el. A kötél e$zik ágát Ifteró terheli, a másik kötélágban a kötél nyugalmi helyzetébenK,g-l\la . K, . K,e-,,o na5iságú eró lehet, ahol pg a kötél és afelület közötti nyugvó súrlódási tényező o pedig a kötél körülfogásiszöge, radiánban.

4' síkidom súlypontja

15.16.

Szílárdságtani alapfogalmak, feszültség, alakváltozás.Húzott.nyomott rúd alalrváltozási és feszültségi állapota, az

e gysze rtisíte tt Hooke.tönlé ny.Hajlítás. A hajlított rúd alakváltozási és feszüItségi állapota.Méretezés és ellen örzés hajlításra.Nyírás. Tiszta nyírás, hajlítással párosult nyírás.Csavarás. Kör és körgyúrtí keresztmetszetú rúd méretezése

csavarásra.

t7,18.19.20.

A szilárdságtan feladata és célja a szilárdsági méretezés. Az elkészítendőeszköznek milyen geometriai kialakításúnak, méretúnek kell lennie, milyenanyagból készüljön ?

Feszültség : terhelés hatására keletkező belső erok felülete$lségre vonatkoz-tatva.

o feszúItség Szakítódiagram

og szakítószllárdság ( ez a maximum )* ezer7 a szakaszon terhelés nélkül is ngúlik az anaagor folyási határfeszültségitt magától nyúlik az anyag, megfolyik

itt az anaag megfolgik, magdtól ngúIikot ru$almassági határfeszültségor arányossági határfeszültség

e fajlagos méretudltozi"sitt az anyag még visszanyeri eredeti alakját, rugalmas alakváltozás

( ezt vizsgáljuk, a fölötte lévő terület a hidegmegmunkáásnál lényeges )

Fajlagos méretváltozás :

Keresztirányú fajlagos nyúlás : Ad -d - do q.Ao

-do . .K

Poissonszám m = e|ex reciprokaaPoisson tényezi| v = LIm

Hooket ön lény: o = t. E <-Youngmodulus(anyagtó l függő azértéke,arugalmasságot fejezí ki, E = tg o( )

A l_lo

h-10lo

01 /t/

/\e

Afeszültséryektor: 6 = o + tFelülettel pdrLtuzamos komponens : csúsztatófeszüttség t taufeszültség

..-.'-.uere sztmetszet síkj ában, nyíró i génybevételnél lép fel*'t'

-+ 6 FelüIetre merőIeges komponens,,- normálfeszültség o szigmafeszültség

o a felületeket közelíteni, ill. távolítani akarja,húzásnál és nyomásnál lép fel

A csúsztató rugalmasságl modulus, & T feszültségek dualitása

Két e5rmásra mercíleges sík hajlásszöge a metszésvonalukra merőleges tfeszültségek hatására y szögge| vá|tozik meg. ( Vagy : ha két e5rmásra merő-legessík hajlásszöge a terhelés hatására megváItozlk, ez a két sík metszés_vona|árameróleges irányú t feszültségek jelenlétére utal. )

T - - - - - - + >

a- l ' l /n^(i: U / U Rugalmassági tényező,csúsztató rugalmassági modulus

Megnyúlás mértéke : Ül : [ . lo/E : F/A . lo/E

A Wöhler diagram

o

1. Ha e$l síkban t keletkezik, akkor ará merőleges síkban is ugyanakkorat keletkezik.Párban jelentkeznek; vary erymásfelé, va5l egymástól elmutatnakt síkjával párhuzamos síkokbansoha nem ébred r

2.

3.

I .I I .III.

statikusvá|tozo ( lüktetőváItakoző ( lengő

igénybevétel)lY

Lüktetőek például a kötéllelmúködő szerkezetek ( lift, daru ). Adinamikus igénybevételek okozzáka kiláradást'

_ igénybevételállandó periodikus

A nyomás speciális esetei :

1. felületi nyomás ( felületen megoszló erő )

P=F/A2. palástnyomás

P=FID.L3. hőtágulás okozta nyomás

o=-E 'o 'AT

1. Húzó-nyomó lgénybevétel :

Ell*+a o >

2.

Ia,

Méretezés húzó.nyomó igénybevételre :

Omax .=F /A Omax . ( omeg .

A meghatározása ! omeg' = FId2n|4

Nyíró ígénybevétel:

A gyakorlatban tisztanyíró igénybevételnem keletkezik. mertmindig van nyo-maték. Ezért eztá|ta|ában nem

3. Hailító igénybevétel :

E5renes hajlítás i a2 erőpár közös síkbankeresztmetszet szimmetria tengelyébe esik.

:dx

/

Al = l r_ lo A l = o . lo I E= F . lo I A . Ee = Al / lo I fajlagos méretváltozás )o=F/A IN/m2; N/cm2]

o = E . a I eglszerűsített Hooke-tv. ]húzás :+o i nyomás: -o

r=Y I Asíkidom statikai M.a

^/

t=V 'M " / l t g ' 2 2/'--'

hajlítva nyírt keresztmetszet széles-sége ( húsvastagsága )

A T egves keresztmetszeteknél :

néryszög kör s/uru

4/3v /A 3 l 2v l^ 2v lA

helyezkedik el, nyomatékvektora a

dx = p . díp, mivel a szögkicsi, ezért I l p=dxe= ( (p +y) ' dp-p . dq ) / ( p . dq)e=y lp o :E . r=E.y lp

I = A.f y2 dA ( keresztmetszet II. rendú nyom. )Navier - formulao - q '=M I I l e=M l k ( k=ke r e s ám . tény . )

Az I értéke eqyeskeresztmetszetekre : (

I" = ab3/3i Iy = asb 13 téglalap

I*=Iy=d4nIo+ k ö r

|p = d4n | 32 pontra számított

+d-

htbó +

t|yomó.

Csavaró igénybevétel:

óstll

Elfordulás közben a keresztmetszetekalakja nem változik.A hossztengelyre merőleges keresztmet-szet továbbra is merőleges marad.Az egrenlő távolságra lévő keresztmetsze-tek szögelfordulása azonos mértékú.Az ,o,, pontban nem lép fel t, aho5ran aközépponttól távolodunk, lineárisan nő azértéke. A T.*. a kerület mentén van.

1 . g;[' = p.dg=y.dnV = p.d<p/dxg=T' l l Io 'G( l=drr lt = T 'p/IoT-o. = T'r llp= T/kpT=Jp'rdAG = T/v (rug. tényező|

2.

3.

4.

21. Síkídomokmásodrendii nyomatékai, nyomatéki tételek.

A tetszőleges alakúneáris eloszlású megoszlószámítása :

A normál feszültség :

I

T Á/,-^@JIt2

ffi .7:*,o

/

síkfelületen, a síkra merólegeserőrendszer eredőjének ( I' r.

irányban ható, li-nyomatékának )

[.r. nyomaték :Pontra számítottt l

JxdA, JgaeA A

Tengelyre számított I.r. nyom.:I

J rdA IA t

a távolságot nem első, hanem másodfokon kellPontra számított II.r. nyomaték :

1 1 1 2L- l x dA . I "= lu ae

JA A

Tengelyre számított ll.r. nyomatéL :r )

In= J r dAA

A másodrendiÍ nvomaték számításával kapcsolatos tételek :

1. A sítidomok II.r. nyomatéka e5lenlő az es/es részek II.r. nyomatékainak összegével.2. A tetszőleges pontra vett poláris II.r. nyomaték e5lenló a ponton átmenó, két

e$rmásra merőleges tengelyre vett II.r. nyomaték összegével.3. Steyner.tétel ( párhuzamos tengelyek tétele ) : e$lmással párhuzamos tengelyekre

vonatkozó II.r. nyomatékok közül a súlyponti tengelyre vonatkozó a legkisebb'4. lla e$l síkidom szimmetria tengellyel rendelkezik, akkor a szimmetria tengelyre és a

rá meróleges összes tengelyre számított centrifugális II.r. nyomaték értéke 0.

Steyner tétel ( párhuzamos tengelyek tétele |:

I x=I s+At2

22. Egy., tll. többtengelyú feszüItségállapot, a főfesziiltségek meg.hatátozása mate matikai úton.

Ery pont feszültségi állapotának meghatározásához a ponton átmenó három, páronkéntegrmásra merőleges metszósíkh oz tartozó feszültségvektort kell ismernünk.

Az eqytenqelvű feszültségi állapot : Síkbeli feszültséei állapot :

II P x : 6 x !

M,I u, P'PsP'I q t ' -

^W a*rs'r'*

T- VY r*sos r's

-:n' no Tpígz oz:lllii:: I lr :':':::=::: :

, / : r ' r '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . -

/

.:.:ilÍl

r l

A másodrendú nvomatéknálaz egr enletben szerepeltetni.

T

23. Feszültségelméletek.

Ha az elemi kiskockát ( ld. 22. téte|) az x tengely körül elforgatjuk, eljut-hatunk e$r olyan helyzetbe, amikor azy, és z'normálisú lapokon csak o feszült-ségek ébrednek, E;zek a főfeszültségi síkok, a o, és á o* a főfeszültségek. Ezeketa főfeszültségeket és főirányokat a Mohr-kör segítségével lehet megha1ár ozní :

l. A Mohr köröket o, t koordináta rendszerben ábrázoliukI a a-t az y tengelyen, akkor pozitív, ha húzó, az x tengelj'ena t, amely akkor pozitív' ha a terheletlen sík normál-vektorával szemben áf|va az óramutató já'rásával mege5rezóirányba forgat )'2. A koordináta rendszerben ábrázoljuk aZ ésY pontokat.3' Megrajzoljuk azt a kört' amel1rrrek a o tenge-lyen van aközéppontja, s mindkét ponton átmery'

A kör középpontja : Ro = o, n o,

2

A kör sugara : R =

4' A ffirányok meghatározása : Y pontot tükrözz:jk a atengelyre, ezaPpont.5. A or és oz pontokat összekötjük a P ponttal, eznk azösszekötcj e$renesek az elforgatott kiskocka nyomvonalai.

6red. S

1. Mohr ! oeryenért. = 01 + 6t3 ] ored. =

24. Kihajlás.Ha a keresztmetszeti méreteihez képest hosszú, es/enes rudat a súlyponti tengelyében

fokozódó eróvel, nyomásra terhelünk, a rúd a szilárdságiani ta-pasztalatokiál e1téróeri rlagál.Amíg a terhelőerő ery meghatározott Ft értéknél nem na$/obb, addig a rúd megrövidüiéses/enes marad, azonban az Ft érték elérése után a rúd kihajlik, majd a kihajlás Tokozidásaután a rúd eltörik.

A kihajlás abba az irányba fog bekövetkezni, amelyik irányba a rúd a legkisebbellenállást fejti ki. A keresztmetszetek tehát a legkisebb másódrendú nyomatékot adó 1engelykörül fordulnak el, a rúd erre a tengelyre merőleges síkban fog kihajolni.

A legkisebb erő. ahol a kihajlás bekövetkezík :F _ k2.II2.t E l lo2 ( k : 1,2.. .n IA kritikus erő :

Fatit. = 112'12'Ells2 ( k : 1r2...n IA kritíkus feszültség :

okrlt. = II2.E|^2 ( l' : a rúd karcsúsági tényezője t

I a"r t .y)

Y ( o"rr^. )Ro

+ 4r2

o2 +3 t 2

omeg. = okrit./n ( n : biztonsági tényezii, n>l l

2s, Térfogategységben felhalmozott munka, Castigliano tétele.A szakítódiagramon a terhelő erő munkáját a diagram alatti terület adja. Va5zis :

U=Or5 . f o . e o

A rud e5'ségnyi térfogatára esó munka :

ü1 =62 l zp csavar t rúdná l : u2_Í2|2G ö ssze te t t igénybevéte lné1 : U=u1+112Castígliano tétele ! Statikailag egzensúlyban lévó szerkezetekre igaz, Rugalmas test alak-változási munkájának erók szerinti parciális deriváltja megadja az erő hatásvonalába esókeresztmetszet elmozdulását; a rugalmas a|al<slá|tozás munkájá.,ák .,yo."ték szerinti parciálisderiváltja megadja a nyomaték síkjába esó keresztmetszet szögelforduúsát.

f = dl l öE (atartó lehaj lása) 9 = i .LIrM (keresztmetszet szögelfordulása)

26, Clapeyron egyenlet.A többtámaszúgörgós. Mindene$lenlet háromösszefüggést, nlehet számítani.

rudaknál ery megtámasztás rendszerint helytálló csukló, a többi megtámasztásmegtámasztás helyén e$r ismeretlen van' a reakcióeró na$lsága. ,{ clapeyroneglmást követó megtámasztás helyéhez tartoző hajlítónyomaték köz-öti ad

támaszú tartó esetén n-2 ilyen e$lenletet lehet felírni, s ebtot n-2 nyomatékot

27. - Anyagi pont kinematikája, mozgásjellemz<ik, foronómiai görbék,körmozgás, ferde hajítás.

A kinematíka a rno.zgéts leírásával foglalkozik' Az anyagi pont mozgását mindig egz merev test-hez rőgzitett koordináta rendszerból ( vonatkoztatási }endszer ) szemléljük'

_Az-ányagi pont

olyan merev test, amelynek méretei a mozgáshoz tartoző méretekhez kepest elhanyagolhatóak.A mozgás leírásához ismernünk ke|l az anyagi pont heiyéi, a,az ^z Íhelyvektorát bármelyik idópillanatban : r = r (t). Ez a mozgástörvén}ramely e5l térgörbe e$lenlete, amelyet a mozgás pályájának nevezünk.A mozgás pályája az l ft) = x (t) ! + y (t) j + z (t) k e5lenlettel fejezhetóki, aholx = r (t) i; y = r (t)j; z = r (t) k- ez a három erymástól}ugget-len függvény az anyagi pont térbeli mozgását meghatároáza'

A Clapeyron eg:fenlet : M r lr + Mz(lr+lz| +Mo. lz=6.6n0+6.Arrl

Mozgáslel lemzők. Eebesség: Amozgópontai idcípontban apályanpont1an halad át, at+Átpillanatban pedig a B ponton. Az AB ív a pont altai atidő alatt befutott út. A pont elmozdulása a At idó alattÁr = r (t+ ̂ t) - r (t)' Minél közelebb van B A-hoz, va5risminél kisebb a At, a középsebesség annál jobban meg-köze|iti a mozgó pont A pontbéli sebességét, tehát :

A sebesség a helwektor időszerínt vett első deriváltia.

Lr dr= - = f = V ,

arJó 6 dt

Akj , ,ooo,

A sebességuektor a pátga-gorbe éintője, irdnga amo zg ds ir ang á'u aI eg g e zik.

A gyorsulás a sebességváltozás sebessége, a = dv/dt = v, = r''. A 5lorsulást két, e5rmásramerőleges komponensre bontjuk : az egrik a tangenciális ( v. pálya5,órsulás ) - &t, á áa"it anormális - a" s'orsli!fuuiqa8örbe. sebességvéktorait az origőbaátol,,a, majd végpontjaikat

k I u.: .t'l.lt I \|1 \ ", :::'^"I9.J:-ul|,."u á r'oáog.jrot a{T7r r\ l |t:doq'áf esrenes vona]ú e5'enletes

hor|ográf \ | /"',^ \ / ..o"q1" esetében parabola, e$/enes

pályagtirbe - t

A pont mozgásának idóbeli lefolyását szemléltetik a foronómial görbék. Ezek az g = s(t) me-netábra, a v = v(t) pályasebesség-idó és at = at(t) pályaglorsulás-id7 függvények.

t

v(t-til, vú

Y

af/2, v. gfn

vonalú e5zenletesen vá|tozó moz-gásnál e$/enes. A hodográf érintójea $zorsulásvektor.

Harmonikustezgőtnozgás

Egyenes vonalú. Egyulres vonalú "g""J-egyenletes mozgás letesen vá|toző mozgás,

és egyenletes egyenletesen változókörmozgás. körmozgás.

Körmozgásná| az anyagi pont ery R sugarú körpályán mozog, a mozgástörvényt itt a rp=rp(t)szögkoordináta adja meg. A középponti szögvá|tőzása a szögsebesség ( ol=dg tát1, a

""og*elbesség változása a szögglorsulás ( a = dco/di ).A körmozgás és az eryenes vonalú mozgás kinematikai jellemzói kőzötti összefüggések :

s= r ( p v=Rco a t = R g f , r = v 2 / R = R C O 2

A Lörmozgás faitái :

1. Eryenletes körmozgás. e=0, cr=konstanS, Q=(Dot2. E5lenletesen változókörmozgás. e=állandó, cJ= tt, Q=;lot+Yzet2A ferde hajítás a tömegpont nehézségi ercitérben bekövetkezó síkmozgása'

x irány i áx=o' vx=vxo=állandó L=vo*t

y irány ] ay=-El vy=voy.$t H=h+vovt-gt2/2

sx=votcoso sy=votsinü.|et2|l2 s=(sx2+sy2)y"

sb*=(vo2sín2a|| g

temerk.=(vosina)/g

sy-*.=(vo2sin2al l2g

28. Merev test kinematikája, ffiozgesállapot, merev test síkmozgása,forgattyús mechanizmus. J

A múszaki életben szükségünk van a testek mozgásállapotának egl tetszóleges idópontravonatkoző megadására. A mozgásállapotot akkor ismer;ük, ha a

*sebességáÍ1apotot. és a

ryorsulásállapotot ismerjük.

oI' v, gí

1. A sebességállapot : akkor ismerjük, ha a merev test e5l pontjának a sebességét, valamint amerev test szögsebességét ismerjük. vB = vA+vAp = Va*(,txf,ns á

2. A gyorsulásállapot : akkor ismerjük, ha a merev test ery pontjának ismerjük a 5rorsulását,a merev test szögsebességét, valamint szög5zorsulását. oe = aR*8xraB+clx{Grxree)

.li!---G.-Merev test síkmozgásaí :1. Elemi mozgások. A merev test e$l tetszés szerinti mozgását elemi mozgások sorozataként

állíthatjuk e|ő, Az elemi mozgás nas/on rövid idejú (dt ) mozgás.

1. Elemí haladó rm'ozges, A merev test minden pontjának azonos a sebessége.c o=O vn = áll. Vn = Vg+G11146

2. Elemi forgó mozgás' A forgó mozgás az A ponton átmenó, c^r-val e$l irányú pillanatnyiforgástengely körül történik.

C r t * O v a = O vB = GtxfAB

3. Píllanatnyi n5rugalom. Bármely pont sebessége 0.G r = O v a = O

4. Elemi csavarmozgás. Eryidejúleg van elemi forgó és elemi haladó mozgás.Gü=o ve = áll.

5. Két elemí haladó mozgás eredője e5letlen haIadi mozgás.6. Két elemí forgó mozgás eredőJe e5retlen forgás.

2' Véges mozgások. A véges mozgások ery meghatározott to<t<tt idótartamon belül történnek.Elemi mozgások sorozataként fi$lelhetcik meg'

Haladó mozgás ( o. = o, Szfok=3 ). A merev test minden pontjának azonos a sebessége,de a sebesség na5lsága és iránya a mozgás során vá\tozhat.liuó tengely köriili forgó mozgás ( Szfok = 1 |' Elemi forgások sorozata, u$/anazontengely körül.

3. Gömbi, v. szféríkus mozgás ( Szfok = 3 l. A merev test szögsebesség vektora _ ig apillanatnyi forgástengely - a mozgás folyamán us/anazon pontra iileszkedik, elemiforgások sorozata. A pörgettyíimozgás is ilyen.

4. Véges csavarmozgás ( Szfok = 6 l' Elemi csavarmozgások sorozata, a merev testeklegáltalánosabb mozgása.

5. Síkmozgás ( Szfok = 3 )' Elemi forgások sorozata párhuzamos tengelyek körül. Kétáltalános hengerfelület legördülésére vezethetó vissza. Ha létezik ery-állandó e irány,amelyre a mozgás minden pillanatában érvényes, hory a szögsebesség ,,itto..álpárhuzamos, akkor a merev test síkmozgást végez. A síkmozgást végzó merev iest mindenpontjának pátyája síkgörbe. &e = oa*gxraB-ü'2res

A merev test síkmozgásának vizsgálatakor elég e$l a haladási irányára meróleges síkmetszeténekmozgását vizsgálni. A metszősík, amely a merev testtel eryütt mozog, a síkmozgások mozgóalapsíkja. A síkmozgás elemi forgások sorozataként állítható elő, s ezek a forgásoÉ vá|tozaflínirányú tengelye önmagával párhuzamosan fokozatosan eltolódik. Ezeknek a forgástengelyeknek amozgő alapsíkkal párhuzamosan álló alapsíkon lévó döféspontjai alkotják a nyugvó pólusgörbét. Amozgo alapsíknak mindig más és más pontja lesz o sebességú. Ezek átt<ogat á mozgőpólusgörbét. Az e5zmáson legördüló görbék érintkezési pontja a momentán pólus. Á mozgo alap-síknak a momentán pólusba illeszkedő pontja a sebességpólus, va5l pillanatnyi forgá"pont ( P ). Aryorsuláspólus a síknak az a pontja, amelynek ryorsulása O. A merev test pontjainát< sibességét asebe ssé gábra, ryorsulását a $lorsu lásábr a tar ta|rnazza.

A forgattyús mechanizmus forgattyús tengelyból, hajtórúdból és dugattyúból áll'

1 .

2.

29. Anyagi pont kínetikája, alaptételek, kényszermozgás, relatívmozgás, a matematikai inga.

A kínetika a mozgást kiváltó okokat kutatja.

Newton 3 axiómáia :1. Tehetetlenség törvénye' Minden test megmarad a nyugalmi, v' es/enes vonalú e$zenletes

mozgásbéli állapotában mindaddig, amíg e$l másik test nem kényszeríti ennek megvál-toztatására. A testek tehetetlenek, külscí hatás nélkül nem képesek mozgásállapotukmegvá|toztatására.

2. Dinamíka alapegyenlete, F=ma. A mozgás változása arányos amozgato eróvel, s annak azeryenes vonalnak az irányában történik, amelyen az erő hat'

3. Kölcsönbatás törvénye' Két test e$lmásra hatása mindig e\zonos irányú, de ellentettértelmú.

D'Alembert elv. A kinetikai feladatok megoldását statikai feladatok megoldására vezeti vissza.F = ma, ebból F-ma=O, ebből F+(-ma)=Q. A zárójeles _ma szorzatot ún. inerciaerőként kezeli. s atömegpontra ható valóságos erők eredőj e és az inerciaeró e5lensúlyi erőrendszert alkot'

Ha egg u sebességgel mozgó angagi pontra F erö hat, akkor az erő teljesítménge a két uektor skaldrisszorzata(P=Fv).Amechanikaimunkaateljesítménuidrjszeinti inteqri.Lja,( W=lFdr).Az anyagi pont impulzusának t idóre eső vá|tozása e5lenlő a rá ható erökImpulzustétel.

inek u n idótartamra integráljával.

Perdülettétel. A tömegpont valamely pontra vett perdületének idó szerinti deriváltja eryenlő atömegpontra ható eróknek us/anarra a pontra számított nyomatékával.

Munkatétel. Tetszóleges út mentén a tömegpontra hati erők munkája e5lenló a tömegpontkinetikus energiá{iának változásával (Wrz = Ez-Er ).

n ( gravit , mágneses, stb. ), adott kezdeti feltételek mellettjön létre. E;zekhatározzákmegaz anyagi pont pályáját (pl. ferde hajítás, szabadesés )' Amikoraz anyag| pontnak ery merev, nyugvó felületen, va5l görbén kell maradnia, azaz mozgásátgeometriai jellegú kötöttségek kor|átozzák, akkor kényszermozgásról beszélünk. e totott-ségeket a kényszerfeltételek ( ezek csökkentik a szabadságfokokat ) fejezik ki, melyek teljesü-lését a kényszererők biztosítják, amelyek a pálya és a tömegpont között jönnek létre.Kényszermozgásnál a következóképpen kell elj árni feladatmegoldáskor :1. A mozgás lehetséges pályájának vizsgálata t ebból ismerjük meg a szabadságfokok számát.2, Kényszerfeltétel megállapítása - kényszererő irányát í5l tudjuk meg.3. Az erő meghatározása _ mozgáse$lenlet és a pálya hatátozza meg.

Vannak esetek, amikor célszerú a mozgást á1ló helyett mozgő koordináta rendszerben vizsgálni.E}l,hez ismerni kell a kapcsolatot az á1|ő és mozgó rendszerben megfi$lelt mozgások kazatt' Azálló k' rendszerhezvíszonyitott mozgást abszolút mozgásnak nevezzik, amozgő k. rendszerhezviszonyított mozgást relatív mozgásnak nevezzÍ7k, A mozgő k. rendszer nyugvó k. rendszerhezviszonyíto t t mo zgás át szá||itő m oz gá sn a k nev ezzijk'osszefüeeések 4 sebességek között : az abszo\ut sebesség a relatív és a szállító sebesség eredóje(v. = v, + v" ).osszefügeések a €$/orsulások között : al haamozgo k. rendszer haladó mozgástvégez : az abszolút $lorsulás a relatív $rorsulásnak és a száL|ítő 5lorsulásnak az eredóje( a '=a ,+a " ) ; b l h a amozg ó k . r e nd s z e r f o r g ómozg á s t vége z i Í16=á ' 1 +&s*aq (Co r i o l i s r y o r s . )osszefüeeések az erők között : a/ ha a mozgő k' rendszer haladó mozgást végez: a relatív eró avalódi és a szállító eronek az, eredője ( F' = Fo + F" |; bl ha a mozgő k. rendszer forgó mozgástvégez: F'= p'+ F" + F" ( Coriolis eró ).

Súlytalan és nyújthatatlan fonálon felfüggesztett anyagi pont a matematikaí inga. Az mtömega fonal vége körül lengó mozgást végez' M inga az indítástól függően síkban ( körív mentén J,va$l térben ( gömb felszínén ) képes mozogni. Az elsó a síkinga, utóbbi a gömbinga.

Mo=*dÍ

I

|Íd t=mv-mv"Í v

0

l 2- - t7IV"2"

' t F I

Fdr = lmvdv - l^r,'J 2

\w=l

w=wt tw, = Er- E, =2:ffi,v2, -Zir,r,,

30. Merev test kinetikája' tehetetlenségi nyomaték.A merev test e5l anyagi pontrendszer, anyagi pontok halrrraza, amelyeket valamilyen törvény-szerúség kapcsol össze ery rendszerré ( ilyenek a gépek, a Naprendszer, stb' ). Az e5res pontoi<-ra ható eróket két csoportba lehet osztani, az egrik a belső ercik csoportja ( azon erók, ámelye-ket a pontrendszerhez tattoző tömegpontok fejtenek ki e$lmásra ); a másik a külsó erők cso-portja (azon erók, amelyekkel a pontrendszer határán kívüleső tömegek hatnak a pontrendszertömegpontjára ). Newton 3. szerint két tömegpont e5rmásra 5lakorolt hatása azonos na5rságú,közös hatásvonalú, ellentett értelmú. Tehát a belsó erók páronként e$lensúlyban lévó áóc;o-portokból állnak, ígl a belső erók összessége e5rensúlyi erőrendszert alkot.

Azanvaqipontrendszerrevonatkozótönrényszeriiségek: *

Szabadságfok : az anyagi pontok szabadságfokának összege 6, ha ezt nem csökkentikkényszerek, akkor a rendszert szabad rendszernek nevezzijk

Y - tz-,rffiifi

Súlypont i 7" = -; a súlyponti vektor, az anyagi pontrendszer tömegös szege a nevezóben.

A súlyponti vektorból kiindutva kaphatjuk meg az anyagi pontrendszer es/ O pontra számított

statikai nyomatékát : so =Z-,,,, első lépésben a folytonos m tömegú test is anyagi pont-i=l

rendszernek tekinthető' Az összeget úry állítjuk eló, ho5z ery térbeli há|őzatot alkalmazunk,abban Ám1 tömegú elemi részecskéket jelölünk ki, amelyek helyét az ri he|wektorok adják meg.

Ennek megfelelóen a statikai nyomatéki J0 = li- ^f*,,, = lrdm

;3r.Ánr+0 ! '

,

Impulzustéte|: az egész pontrendszer impulzusa akkora, mint annak a súlyponttal e5zbeesó, asúlypont sebességéve| mozgő anyagi pontnak az impu7zusa, amelynek tömége az egész pont-rendszer tömegével eryenló.Ha a külsó erók összege 0, akkor a súlypont 5lorsulása 0 ( ma=Q ), va5lis a súlypont es/enesvonalú e5lenletes mozgást végez, va$/ nyugalomban van. A súlyponthóz képest, a belsó erókhatására viszont ilyenkor is mozoghatnak a pontrendszert alkotó tomegpontok.

A merev test lmpulzula : 1 = .JiLo |v,Lm =

lvdm, impulzustétel : mv"z _ mv'\|n )@ m

, a perdülettétel , M- =ilo", - -il

t2

= lratl l

Perdtilettétel : a rendszer 0 pontra számított perdületének idti szerinti deriváltja e5zenló akülsó eróknek us/anerre a pontra számított nyomatékával.

.LA perdület 0 pontra : ilo _

L,,, ^,,,

MunLatétel : a merev test esetén Wu=O, mert a tömegpontok e$lmáshoz viszonyítva nemmozdulnak el, í5l a mozgási energia megvá|tozása a külsó erőknek a mozgás szóban forgiszakaszán v égzett munkáj ával e5'enló.

A merev test tehetetlenségi nyomatéka :

Tehetetlenségi nyomatékon értjük a tömegelem és a távolság-négtzet szorzatának integrálját. Annyiféle tehetetlenségi nyo-maték van, ahányféleképpen tudjuk a tömegelem távolságát ké.pezni ( síktól, tengelytól, ponttól, meróleges síkpártól ).@,= lx,am @,' = lf a* @'y = l,,am síkra

n mÍ 2 , f ) .

@ " - lr"- dm 19 ., = lr..'dm/ J t

m m^ f 2 ,t5/n = lf^ A,m

m

' m| ) -() - - lr,- dm tengelyre' J '

m

pontra

31. Síkmozgás, tömegkiegyensúlyozás.

A lehetséges esetek :

1.lfuó tengely Lörüli forgás.

Adott e$/ merev test a térben rögzitett forgástengellyel, ismert a test tömege, tömegeloszlása,szögsebessége, valamint a testre ható erórendszer. Meghatározand'o a test

""og5,o.sulása és akényszerer<ik'

A feladat megoldása: a koordináta rendszer ztenge|ye arögzitett forgástengely, a test súly.pontja az xz síkra illeszkedik. A kezd'ő.'pont a tengelyt rögzitő csapáry közép-pontja. A tengely merev' a két csapá5ltávolsága l. A határozottságot azbiztosit-ja, hory csak .az Á-ban ébred tengely-irányú reakcióeró. Felírjuk a lendület-tételt, a perdülettételt, a súlypont hely-vektorát, az F külső eró vektori összegé-ból a szabad erok összegét, az erók A-raszámított nyomatékát. Az egtenletekbcíllevezethetó az alábbi tétel :^z á1|o tengely körül forgi merev testszög5zorsulása mindig kiszámíthati atestre ható aktív erőknek az adott ten-gelyre számított nyomatéka és a testnekaz adott tengelyre vonatkozó tehetetlen-ségi nyomatéka hányadosaként.

M-$ - -----!!- M* _ az erórendszer nyoma-

téka, J" - a test tehetetlenségi nyomatéka a test forgástengelyére. Másként .|TT;l

Az éiló tengely körul forgó merev test kinetikai energiája I E, = i,,,,

rjs:;

2. Korong gördülése, ill. csúszása.

A korongra ható erórendszer elemei : az Mo nyomatékú eró-pár, a korong G súlya, valamint a K kényszereró.

1. Tiszta gördülés : a P pontban nyugvásbeli súrlódás van,tehát K hajlásszöge < 9o". A tiszta gördülés dinamikai felté-

te le: *=", KA

/V' /1,.S

2. Megcsúszás: af előre csúszás, ha :vs ) O, ekkor vo ) Rroobl l.:.átra csúszás, ha :vR ( O, ekkor vo ( Rrrloc/ tiszta csúszás, ha :Ro lg= O, 61o= O

Tiszta ?ördijlés.

ffiffiffi'WWYz

yt

A 3. lehetőség a prizmatikus rud síkmoz.gasa' Egg az eggik uégéuel egg uízszintessíkra tdmaszkodó rudat lökés nélküI elen-gedünk, s a rúd a súIgerő és a talppont-ban ható kéngszererő hatisdra fog toudbbmozogni. A súIgpont ggorsulasa függőte-ges irángú,

a _ pI. fékezés b _ pl. glorsítós c _ pl. blokko|ás