mechanika 2
DESCRIPTION
MECHANIKA 2. Wykład Nr 10. MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Definicja momentu bezwładności. Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny, osi lub bieguna:. Jednostką jest. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
MECHANIKA 2
Wykład Nr 10
MOMENT BEZWŁADNOŚCI
Definicja momentu bezwładności
Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny, osi lub bieguna:
2mkgIJednostką jest
Momentem bezwładności układu punktów materialnych względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy sumę momentów bezwładności wszystkich punktów materialnych względem tej płaszczyzny, osi lub bieguna.
Moment bezwładności układu punktów
2
1i
n
iirmI
Moment bezwładności układu ciągłego
Momentem bezwładności układu ciągłego (linii, powierzchni lub bryły materialnej) względem przyjętej płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy całkę
rozciągniętą na całą masę układu.
Promień bezwładności
Po przekształceniu wzoru
otrzymamy wzór na promień bezwładności
Masa zredukowana na odległość r
Masę mred, którą należy skupić w odległości r od danej płaszczyzny, osi lub bieguna, aby jej moment bezwładności był równy I, nazywamy masą zredukowaną na daną odległość r.
czyli
Geometryczny moment bezwładności
Geometryczny moment bezwładności I (dla ciał jednorodnych) jest ilorazem masowego momentu bezwładności przez gęstość:
Moment bezwładności linii materialnej
Po podstawieniu do równania
Otrzymamy wzór na moment bezwładności linii materialnej
Masy elementarnej w postaci:
Gdzie: l – jest gęstością liniową linii materialnej, kg/m
Geometryczny moment bezwładności linii materialnej
PrzykładWyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cxc.
Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy
Moment bezwładności względem osi centralnej Cxc.
l
ml
Moment powierzchni materialnej
Po podstawieniu do wzoru
Masy elementarnej w postaci:
Otrzymamy wzór na moment bezwładności powierzchni materialnej
Gdzie: s – jest gęstością powierzchni materialnej, kg/m2
Geometryczny moment powierzchni materialnej
Jednostka JS – m4
Moment bryły materialnej
Po podstawieniu do wzoru
Masy elementarnej w postaci:
Otrzymamy wzór na moment bezwładności bryły materialnej
Gdzie: s – jest gęstością bryły materialnej, kg/m3
Moment bezwładności względem płaszczyzny
W układzie współrzędnych dany jest układ punktów materialnych o masach . Współrzędne masy oznaczymy . Momenty bezwładności względem płaszczyzn układu współrzędnych określają wzory:
zyx ,,
nmmm ,,, 21
im iii zyx ,,
Moment bezwładności względem osi
Moment bezwładności względem bieguna
Związki pomiędzy momentamiSuma momentów bezwładności względem dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych jest równa momentowi bezwładności względem osi pokrywającej się z krawędzią przecięcia się tych płaszczyzn.
Momenty bezwładności względem płaszczyzn można wyrazić przez momenty osiowe:
Biegunowy moment bezwładności można wyrazić przez momenty osiowe
Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy osiowych momentów bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.
Związki pomiędzy momentami
Biegunowy moment bezwładności możemy również wyrazić przez momenty względem płaszczyzn
Moment biegunowy jest sumą momentów względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez dany biegun.
PRZYKŁAD 1Wyznaczyć biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego.
r
dr
R
Elementarne pole dA pierścienia o grubości d jest równe
Po pominięciu (d)2 - wielkości małej wyższego rzędu
Po podstawieniu otrzymamy:
Aby objąć całkowaniem cały obszar A, zmienna r powinna przybierać wartości od 0 do R:
Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego względem jego środka wynosi:
lub
PRZYKŁAD 2
Obliczyć geometryczny moment bezwładności prostokąta o wym. b i h względem osi x.
Lp. Przekrój Moment bezwładności
Wskaźnik wytrzymałości
Względem środka (osiowy)
1.
2.
Względem osi zaznaczonej na rysunku
3.
4.
5.
322
44
0
DRJ
440 32
dDJ
162
33
0
DRW
D
dDW
44
0 16
644
44 DRJ
44
64dDJ
12
3bhJ
6
2bhW
D
dDW
44
32
324
33 DRW
MOMENTY DEWIACJI
Momentem dewiacji punktu materialnego względem płaszczyzn wzajemnie prostopadłych nazywamy iloczyn masy punktu przez odległości od danych płaszczyzn:
Momenty zboczenia mogą być dodatnie, ujemne i, w szczególności, równe zeru.
MOMENTY DEWIACJI
Momentem dewiacji układu punktów materialnych względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn a i b nazywamy sumę momentów dewiacji poszczególnych punktów materialnych względem tych płaszczyzn.
Dla układu ciągłego
rozciągnięta, na całą masę.
MOMENTY DEWIACJI
W przestrzennym układzie współrzędnych układ punktów materialnych ma trzy momenty dewiacji:
W płaskim układzie współrzędnych układ materialny ma jeden moment dewiacji
Geometryczny moment dewiacji jest równy ilorazowi masowego momentu dewiacji przez gęstość bryły.
GEOMETRYCZNY MOMENT DEWIACJI
Transformacja równoległa momentów bezwładności
Weźmy pod uwagę układ punktów materialnych i dwie równoległe osie l, s.
Moment bezwładności względem osi l
a względem osi s
Pomiędzy odległościami i zachodzi zależność ir ir
a
Po podstawieniu otrzymujemy
czyli
Założymy, że oś s przechodzi przez środek ciężkości układu materialnego, wtedy moment statyczny , jest równy zero i wzór przybiera postać:
0 ii xm
Transformacja równoległa momentów bezwładności
Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek ciężkości powiększonemu o iloczyn masy całkowitej układu przez kwadrat odległości obu osi.
Iloczyn jest zawsze dodatni, stąd wniosek, że moment bezwładności względem prostej przechodzącej przez środek ciężkości układu jest najmniejszym ze wszystkich momentów względem prostych do niej równoległych.
2ma
Transformacja równoległa momentów bezwładności
PRZYKŁAD
Geometryczny moment bezwładności prostokąta względem poziomej osi x wynosi
Obliczyć moment bezwładności względem podstawy.
x
Przykład 1Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej.
R o z w i ą z a n i e:Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła
Stosując wzór Steinera, mamy
Wyznaczymy moment dewiacji względem układu współrzędnych z początkiem umieszczony w środku ciężkości S.zyx ,,
Transformacja równoległa momentów dewiacji
Współrzędne dowolnej masy w układzie będą równe
im
zyx ,,
sii xxx
sii yyy
sii zzz
Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn (np. płaszczyzn i ) będzie równy
zy xz
Transformacja równoległa momentów dewiacji
Ale
Po zapisaniu analogicznych związków na i otrzymamy:yzD zxD
Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności
Dane: oraz i nmmm ,,, 21 zyx III ,,xyD yzD zxD
Należy wyznaczyć moment bezwładności względem osi l .
Odległość ri masy mi od osi l określona jest równaniem
ixi,yi,zi)
lub
Rzut promienia na oś l jest równy i
Uwzględniając, że
gdzie
Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności
dochodzimy do równania
Grupując względem cosinusów otrzymamy
Po podstawieniu do
Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności
Mnożymy powyższe równanie przez mi, a otrzymane iloczyny sumujemy. Uwzględniając, że
oraz
otrzymujemy ostatecznie
Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności
W szczególności dla układu płaskiego uwzględniając, że powyższe równanie przyjmuje postać: 90
Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności