teorija odlucivanja i igara uvod 2

8/18/2019 Teorija Odlucivanja i Igara Uvod 2

1/12

Ako ne možete da vidite sve simbole koji treba da se jave na ovim stranicama, to je verovatno zbog toga što

nemate font tci2. Можете га скинути овде tci2.ttf ,

tci2b.ttf , tci2bi.ttf , tci2i.ttf . Snimite ove fajlove u folderFont u Control Panel-u.

Prvo predavanje

Matematika relacija

Skup je kolekcija objekata, koje nazivamo elementima , iličlanovima.

Primeri:

skup svih pasaskup studenata na ovom kursuskup koji obuhvata brojeve 1, 2 i 3

Za skupove ovobično koristimo velika latinična slova A, B,..., S, ...

Za elemente obično koristimo mala latinična slova a, b, c,..., x, y, z‘a S’ znači da je objekat a element skupa S

Skupovi se standardno definišu na dva načina:

http://www.ualberta.ca/~vladan/tci2.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2b.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2b.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2bi.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2bi.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2bi.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2i.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2i.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2i.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2i.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2bi.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2b.ttfhttp://www.ualberta.ca/~vladan/tci2.ttf


2/12

listanjem članova skupa navođenjem svojstva koje na jedinstven način

određuje elemente skupa

Primeri:

S1 = {1, 2, 3}S2 = {x : x je prirodni broj između 0 i 4}

Pored ova dva načina, postoji i neformalni načindefinisanja skupova crtanjem dijagrama:

1 S 32 3

Jednakost skupova (princip ekstenzije) :

Dva skupa su jednaka akko imaju iste elemente

Notacija: akko je skraćenica za ‘ako i samo ako’

Dak le, ‘akko’ sadrži dve implikacije. Primetite da jeimplikacija u principu jednakosti koja ide s leva na desnotrivialna (ako su dva skupa jednaka, onda, naravno, imajuiste elemente) a u suprotnom smeru nije, već je stvar našeodluke.


3/12

Npr. implikacija s desna na levo nam kaže da je S 1 = S 2 =S3

S1 = {1, 2, 3}S2 = {x : x je prirodni broj između 0 i 4}

1 S 32 3

Iz principa ekstenzije sledi:

{x, y} = {y, x}

Uređeni parovi: (x, y) ili

(x, y) (y, x)(x, y) = (x’, y’) akko važi i x = x’ i y = y’

Primer:

{(x, y) : x je prirodni broj između 0 i 4, y = x 2} =

= {(1, 1), (2, 4), (3, 9)}

Poseban simbol za prazan skup:

Kvantifikatori: ,


4/12

univerzalni: x(x 1) (čita se: za svako x, x

1)

egzistencijalni: y(y 2 = 1) (čita se : postoji bar jedno y takvo da je y 2 = 1)

Podskupovi:

S S’ (S S je podskup skupa S’) akko x(ako x S, ondax S’)

Pravi podskupovi:

S S’ (S je pravi podskup skupa S’) akko S S’ ali ne S’ S

Sva poznata matematika može se izraziti teorijom skupova i logikomIsto važi za sve što ćemo raditi na ovom kursu.

Relacije

U matematici, nauci i običnom životu stalno su nam bitne

neke relacije. Zato je korisno imati matematički jezik kojimože da govori o relacijama

Primeri relacija:

x je veće od y


5/12

x je bolje od yx voli yx uzrokuje y

Notacija:

Relacije obeležavamo velikim slovima latinice, npr. R,

R’.

Neke važne relacije imaju posebne simbole, npr. >, =.

xRy znači da su individue x i y (tim redom) u relacijiR

Formalna definicija relacija:

Relacije su skupovi

Predikati su skupovi individuaBinarna relacija je skup uređenih parova Ternarna relacija je skup uređenih trojki n-arna relacija je skup uređenih n -torki

Relacije se uvek definišu na nekom skupu

U opštem slučaju, ako definišemo R na S, i ako je R unarna, onda R S binarna, onda R S×S, tj. R S2 n-arna, onda R Sn


6/12

Svojstva relacija:

Relacija R na skupu S je:

refleksivna akko ( x S) xRxsimetrična akko ( x,y S) ako xRy onda yRxtranzitivna akko ( x,y,z S) ako xRy i yRz, ondaxRztotalna akko ( x,y S) ili xRy ili yRx

Funkcije

Funkcije su relacije

Prema tome, funkcije su skupovi

Definicija:

Relacija F na skupu S je funkcija ako F preslikava svakielement skupa S na najviše jedan element skupa S, tj.

( x,y,z S) ako xFy i xFz, onda y z

Notacija:


7/12

funkcije obeležavamo malim latiničnim slovima: f, g,u, p

Ako je f funkcija, obično pišemo f(x) y umesto x f y

Ako f (x) y, onda x zovemo argumentom funkcije f ,a y zovemo vrednošću funkcije f za x.

Primeri:

x je sin y-a je funkcijax je glavni grad y-a je funkcijax je roditelj y-a nije funkcija

Relacije preferencije i funkcije korisnosti

Teorija odlučivanja proučava relacije preferencije izmeđudatih opcija

Notacija:

Neka je O skup opcija među kojima se vrši izbor (ukusisladoleda, akcije na berzi, loto kombinacije, strategije uratu ili u igrama, itd itd).

1. x y znači da onaj ko vrši izbor preferira opciju x uodnosu na opciju y

2. x ~ y znači da je onaj ko vrši izbor indifirentan kadasu opcije x i y u pitanju

3. x y znači da onaj ko vrši izbor ne preferira opciju y uodnosu na opciju x


8/12

je relacija striktne preferencije

je relacija slabe preferencije

~ je relacija indiferencije

Neke relacije preferencije su u isto vreme i rang-listeraspoloživih opcija. Rangiranje se može pretstaviti dodeljivanjem jednog broja svakoj opciji. Ako x y, ondase x-u dod eljuje veći broj nego y -u.

Primer:

Pretpostavimo da Mira ovako rangira sladolede: najviševoli od čokolade, zatim od vanile, pa od maline

korist(čokolada) 3korist(vanila) 2korist(malina) 1

x y akko korist(x) > korist(y)

Pri dodeljivanju brojeva bitan je samo redosled:

korist 2(čokolada) 1000

korist 2(valina) 2korist 2(malina) – 123

x y akko korist 2(x) > korist 2(y)


9/12

Uzimamo relaciju slabe preferencije kao primitivni

pojam

Jaka preferencija i indiferencija se onda definišu ovako:

x y akko x y i nije y xx ~ y akko x y i y x

Definicija funkcije korisnosti:Funkcija korisnosti (u engleskoj literaturi ovaj pojam ćetenaći pod imenom 'a score function or utility function’) kdodeljuje jedan broj svakoj opciji iz datogskupa O.Funkcijakorisnosti k predstavlja relaciju preferencije na skupuopcija O samo u slučaju kada važi ekvivalencija: ( x,y O) x y akko k(x) k(y)

Racionalne preferencije

Definicija:

Relacija preferencije je racionalna akko je:

1. totalna

2. refleksivna

3. tranzitivna


10/12

Teorema 1 :

Ako je relacija slabe preferencije racionalna, onda je

1. odgovarajuća relacija stroge preferencije tranzitivna2. odgovarajuća relacija indiferencije ~ refleksivna i

tranzitivna

Teorema 2

Kada je dat konačni skup opcija, post oji funkcija korisnostikoja predstavlja slabu relaciju preferencije samo uslučaju kada je racionalna.

Pumpanje novca (Money pumping)

coke sprite juice3 2 11 3 22 1 3

c s j c ...


11/12

Kondorseov paradoks

Pretpostavimo da društvo donosi odluke na osnovu glasavećine. Ako je s društvena relacija preferencije, vladavinavećine znači da x s y akko većina jako preferira x u odnosuna y.

U gornjem primeru, glas većine vodi prefrerencijama kojenisu tranzitivne:

Kolarac s Proleće s Vuk s Kolarac

Opcije

Ljudi

Kolarac 3 1 2

Proleće 2 3 1Vuk 1 2 3


12/12

(uverite se sami na osnovu matrice da će društvo od tričlana ovako glasati)

Naravoučenije: Glas većine može navesti društvo na iracionalne odluke,čak iako svaki član jeste racionalan

(uporedite sa pumpanjem novca)

teorija odlucivanja i igara uvod 2

Documents