SADRŽAJ

UVOD....................................................................................................................................4

TEORIJA IGARA.................................................................................................................5

IGRE IZMEĐU 2 IGRAČA.................................................................................................7

IGRE DVA IGRAČA SA NULTOM SUMOM (KONSTANTNOM SUMOM)..............10

IGRE DVA IGRAČA SA PROMJENJIVOM SUMOM..................................................14

ZAKLJUČAK......................................................................................................................16

LITERATURA.....................................................................................................................17

13

UVOD

Polazeći od statističkih definicija izvjesnosti, neizvjesnosti i rizika,

razvijene su posebne metodologije kojima se može izvršiti izbor najbolje odluke u

pojedinim uslovima odlučivanja, uz pažljivo odvajanje neizvjesnosti od rizika.

Odlučivanje u uslovima neizvjesnosti predstavlja logički okvir za definisanje

raspoloživih alternativa i izbor najbolje akcije. Primjenjujući tehniku analize

odlučivanja donosioci odluke mogu procijeniti neizvjesnost koristeći subjektivna

uvjerenja. Ako se donosilac odluke ne želi izložiti rizičnom ponašanju u odnosu na

izbor pogrešne odluke, a ne raspolaže mogućnošću dodjeljivanja apriori

vjerovatnoća budućim stanjima, izbor najbolje akcije će izvršiti korištenjem jednog

broja procedura ili postupaka odlučivanja koji se primjenjuju u uslovima

neizvjesnosti.

Ukoliko se donosilac odluke upusti u proces prikupljanja dodatnih

informacija u cilju smanjivanja neizvjesnosti, najbolju akciju će odrediti postupkom

odlučivanja sa uzorkovanjem. Ekonomski izraz posljedica izbora pojedinih

alternativa i mogućih stanja najčešće se iskazuje tabelom plaćanja, gdje plaćanje

kao izabranu mjeru mogu predstavljati profit i troškovi.

Najpoznatije metode izbora racionalnog odlučivanja koje se primjenjuju u uslovima

neizvjesnosti su:

- Teorija igara

- Optimistički (тах i тах) metod

- Pesimistički (Valdov ili тах i min) metod

- Metod optimizma - pesimizma (Hurvicov metod)

- Metod min i тах kajanja (Sevidžov metod)

- Princip nedovoljnog razloga (Laplasov metod)

13

TEORIJA IGARA

Veliki broj upravljačkih zadataka odnosi se na situacije u kojima se ne

raspolaže sa potpunim informacijama u postupku donošenja odluke. Rješavanje

takvih zadataka je vezano sa rizikom i spada u domen matričnih igara.

Predmet analize u teoriji igara su konfliktne situacije u kojima se sukobljavaju

interesi dvije ili više strana, tako da konačan rezultat ishoda zavisi od akcija koje

preduzimaju učesnici u konfliktu. Konfliktne situacije se javljaju u toliko

raznovrsnim formama i toliko često, da ih je nemoguće formalizovati. Uprkos

tome, često je empirijski jasno da je jedan postupak racionalniji od drugoga, što

upućuje na elemente koji sugerišu mogućnost racionalne analize.

Teorija igara predstavlja matematičku analizu konfliktnih situacija, a njeni

osnovni elementi su:

- Igra: predstavlja skup pravila, dogovora ili konvencija kojih se moraju

pridržavati učesnici u konfliktnoj situaciji,

- Strategija: predstavlja plan razvoja igre, odnosno izbor poteza za

koje će se odlučiti jedan od igrača u konfliktnoj situaciji (strategija

predstavlja skup informacija koji je kompletan u smislu da jednom igraču

otkriva na koji način se treba ponašati u datom trenutku),

- Potez: predstavlja čin izbora jedne od strategije; igra se realizuje

tako što suprostavljeni igrači biraju neku od raspoloživih strategija, tako da

je tajnost izbora strategije bitan element konfliktnih situacija.

U igri svaki igrač ima jednu potpunu informaciju koju stiče poznavanjem

svoje situacije i pravi određene pretpostavke na bazi informacije o protivniku.

Kako se igra odvija dobijaju se nove informacije na osnovu kojih se donose

racionalne odluke.

Upravljanje konfliktnim situacijama zavisiće od procjene igre, vještine

igrača, njegove logike. Ako se igra može matematički modelirati, tako se i svaka

nelogičnost u upravljanju konfliktnom situacijom može isključiti. Optimalno rješenje

13

modela kojeg karakteriše konfliktna situacija je izbor strategije kojom se rješava

konfliktna situacija i da igrači pri tome ostvare maksimalnu dobit, odnosno

minimalan gubitak, (ne)zavisno od toga koju strategiju zauzme njegov protivnik u

konfliktnoj situaciji.

Prema različitosti i izboru kriterija moguće je sačiniti sljedeću klasifikaciju

matričnih igara:

1. prema stepenu uticaja igrača na ishod igre, razlikujemo:

Igre na sreću (hazardne igre), gdje na konačan ishod prevashodno utiče

sreća.

Strateške (matrične igre), gdje konačan ishod konfliktne situacije u najvećoj

mjeri zavisi od sposobnosti igrača da u datom trenutku izabere optimalnu

strategiju.

2. Prema broju učesnika u igri, razlikujemo:

- igre sa 2 igrača i

- igre sa 3 i više igrača.

3. Prema raspoloživosti informacija, razlikujemo:

- Igre sa potpunom informacijom (svaki igrač zna sve prethodne poteze

svojih protivnika i stanje igre u datom trenutku),

- Igre sa nepotpunom informacijom (konfliktna situacija kada je jednom

igraču poznata samo prethodno izabrana strategija njegovog protivnika).

4. Prema tome da li se igrači u toku konfliktne situacije udružuju ili ne,

razlikujemo:

- Koalicione igre

- Nekoalicione igre.

5. Prema izboru i dosljednosti strategija, razlikujemo:

- Igre sa čistom strategijom ili sa sedlom i

- Igre sa mješovitom strategijom.

13

6. Prema uslovu da li dobitak jednog igrača predstavlja gubitak za drugog

igrača, razlikujemo:

- Igre sa sumom nula i

¸ - igre sa nenultom sumom.

IGRE IZMEĐU 2 IGRAČA

Brojne okolnosti u kontekstu dešavanja problema odlučivanja su van

domašaja našeg uticaja (anonimni tržišni uslovi), a relevantni su faktori poslovnog

uspjeha, tako da se pojavljuje prijeka potreba njihovog proučavanja. Takođe i

naše aktivnosti imaju snažan uticaj na ishode strateških situacija, pri čemu nastaju

brojne interakcije koje se zasnivaju ili na harmonizaciji interesa ili na konfliktnosti i

animozitetu. Teorijski okvir kao pomoćna konstrukcija u okviru kojeg proučavamo

situaciju racionalnog odlučivanja, u uslovima djelimičnog ili potpunog konflikta,

predstavlja teoriju igara.

Popularnost ove teorije u ekonomiji zasniva se na analogiji između

klasičnih igara (šah, poker, tenis, fudbal) i realnih situacija u stvarnom životu,

između dvoje ili više ljudi, gdje svaki igrač ima samo djelimičnu kontrolu nad

ishodom (politički pregovori, aukcije, marketinška kampanja).

Pobrojane aktivnosti mogu se prikazati istim ili sličnim modelima

naizmjeničnog povlačenja određenog broja poteza, po tačno utvrđenim pravilima

koja određuju vrstu, tok, kraj, rezultat, rješenje igre, kao i broj igrača. Igre sa dva ili

n igrača opisuju situaciju konfliktnih interesa učesnika; npr. borbe konkurentski

firmi za tržišnu prevlast, uz pretpostavku da je apsorpciona moć tržišta

konstantna, gdje je dobitak jednog igrača jednak gubitku drugog igrača (nulta

suma).

U slučaju kada su interesi igrača djelimično saglasni, djelimično konfliktni,

potencijalni rezultati variraju, a u zavisnosti od toga da li igrači međusobno

komuniciraju i dogovaraju, razlikujemo kooperativne i nekooperativne igre

(pregovori između menadžmenta i sindikata).

13

Ako na rezultat djelimično utiču i slučajni faktori, onda je riječ o igrama na

sreću, a ako su potencijalni rezultati unaprijed podjednako poznati svim igračima,

tada je riječ o igrama sa simetričnim informacijama.

U posljednje vrijeme su ipak sve češće igre sa asimetričnim informacijama

u kojima jedan od igrača, u odnosu na svog konkurenta, raspolaže „informacijom

više".

Svaku igru možemo da prikažemo na više načina, kao npr. u vidu drveta

igara u ekstenzivnoj formi, tabelarno ili matricama igara u normalnoj formi i u

obliku funkcije koalicije.

Grafički prikaz drveta igre u ekstenzivnoj formi može se slikovito prikazati

na sljedećem primjeru dječije igre (papir, makaze, kamen):

Dvoje djece istovremeno povlače poteze, tako da čvorovi pripadaju istom

informacionom skupu, odnosno potezi igrača su istovremeni ili sukcesivni, a ne

hronološki uslovljeni.

Slika 1

13

Drvo igre se sastoji od čvorova koji predstavljaju situaciju u kojima igrači

povlače poteze i grana preko kojih se drvo račva i na čijim su krajevima rezultati

igre.

Tabelarno prikazivanje matričnih igara u normalnoj formi možemo

predstaviti sljedećom tabelom igre u kojoj redovi označavaju raspoložive poteze

prvog igrača, a kolone poteze drugog igrača, tako da se u polja unose rezultati

igre kao kombinacije odabranih poteza:

Slika 2

Pretpostavke koje se odnose na igrače su: da su savršeno racionalni

pojedinci koji nastoje da maksimiziraju svoju dobrobit, da su ravnopravni protivnici,

i sa mogućnostima suvisle prognoze poteza svog protivnika.

Tabelu igara možemo proširiti uopštavanjem matrice igara, odnosno

uvođenjem simbola za pojedine igrače i njihove strategije (redoslijed poteza), tako

što sa Ri (i=1,2,...m) obilježavamo strategiju prvog igrača (red tabele), a sa

Kj(j=1,2,..,n) strategiju drugog igrača (kolone tabele).

Svakoj kombinaciji poteza (Ri, Kj) odgovara rezultat (Хij.уij) gdje хij

predstavlja rezultat po igraču R, a уij po igraču K.

Rezultati igre prikazuju se u vidu kardinalnih korisnosti, pa tako rezultatima

(xy,yij) igrač R pripisuje korisnost uij1 = ui (xij,yij), a igrač K korisnost и, ј2= U2

(хij.уij). Vrijednosti uij1 i uij2 su određene kako materijalnim ishodom, tako i

psihološkim efektima koje rezultat ima na igrača, kroz ishod svog protivnika, a

sam tabelarni prikaz može se dati u sljedećoj formi:

13

Slika 3

Umjesto jedinica korisnosti ishoda, odnosno rezultata pojedinih kombinacija

poteza, možemo ih izražavati u realnim pokazateljima uspjeha (profita) tako da se

jednostavnije ostvari sam cilj teorije igara, tj, riješi igra.

IGRE DVA IGRAČA SA NULTOM SUMOM (KONSTANTNOM SUMOM)

Potencijalni rezultati igre se uvijek pokazuju pobjedom jednog od igrača (R

ili K) ili remijem, tako da je na kraju igre zbir „isplata" jednak nuli, što znači da je

dobitak jednog igrača jednak gubitku drugog i obrnuto (nulta suma), tj. U1+U2 = 0

=> U2= -ui, zbog čega umjesto parovima korisnosti (u1,-u2), rezultate igre

prikazujemo samo korisnostima prvog igrača ui.

Dakle, pozitivne vrijednosti u matrici igre predstavljaju dobitke za prvog (R),

odnosno gubitke za drugog (K) igrača, a negativne obrnuto. Prikaz problema

odlučivanja igrom u uslovima neizvjesnosti, po principu isključivanja dominantnih

alternativa, dat je u sljedećem konkretnom primjeru matrične tabele teorije igara:

Slika 4

13

Igra, prikazana matricom 4x4, sadrži dobitke za igrača R, a gubitke za

igrača K i obrnuto, tako da iz perspektive prvog igrača (R), budući da ne znamo

poteze protivnika (strategiju), možemo međusobno poredati poteze (strategije),

tj. poredati vektore vrijednosti (redove).

Primjenjujući različite rezultate strategije u odnosu na poteze igrača K,

vidimo da je R4 dominantna, a R1 dominirana strategija.

Metodom dominacije isključujemo R1 strategiju, a takođe po istom

principu, poredeći R2 i R3, eliminišemo R2 strategiju, tako da izborom strategije

maksimiziramo dobitke prvog (R) kao i gubitke drugog (K) igrača.

Istovremeno drugi igrač (K) nastoji da minimizira vrijednost gubitka, a

time i dobitka prvog igrača (R), jer su gubici igrača K jednaki dobicima igrača R.

Upoređivanjem kolona, igrač K će primijetiti da je strategija «4 dominantna

(superiorna) u odnosu na Кз, koja je dominirana, kao i K2 u odnosu na K1, tako

da ih isključuje iz daljeg posmatranja, čime se prvobitna igra svodi na matricu

2x2.

Slika 5U novoj matrici vršimo izbor dominantne strategije R3, na koju će igrač K

odgovarati izborom strategije K4, čime je određen par (Ra, K4) koji će se igrati,

a time i rezultat igre (-3,3), gdje je minimiziran gubitak R3 kao i dobitak K4.

Za slučaj da u konkretnom primjeru nema dominantnih i dominiranih

strategija tada za rješenje problema koristimo maximin metod izbora u uslovima

neizvjesnosti (Valdov metod) koji dovoljno respektuje poteze drugog igrača ,što

čini ključnu pretpostavku racionalnog strateškog odlučivanja.

13

Navedena situacija može se konkretizovati na sljedećem primjeru igre:

Slika 6

Upoređivanjem razvijenih strategija igrača R, primjećujemo da strategija

R4 obezbjeđuje najveći među minimalnim dobicima (7) kao nivo sigurnosti koju

igrač R može ostvariti primjenom odabrane strategije.

Igrač K, kao protivnik, rezonuje na isti način, ali rezultati u tabeli, budući

da su pozitivni, za njega predstavljaju moguće gubitke, tako da vrši izbor

strategije Кг, koji mu obezbjeđuje minimalni među maksimalnim gubicima (7).

Time je izabran ravnotežni par strategija (R4, K2) kao rješenje igre sa

ravnotežnim rezultatom (7, 7) jedinica korisnosti za R i K igrače.

Rezultat ravnotežnog para strategija je istovremeno minimalna vrijednost

u posmatranom redu i maksimalna vrijednost u posmatranoj koloni, ali ovaj

kriterijum, bez obzira na osobinu samopotvrđivanja ravnoteže, nije univerzalan,

tj. ne daje jedinstveno rješenje.

Bez obzira na broj ravnotežnih stanja (broj rješenja) sva stanja ravnoteže

imaju istu vrijednost, nezavisno od strategije za koju se igrači opredijele.

Svaki primjer igre sa nultom sumom ne možemo riješiti primjenom

metode dominacije i metode maximin, tako da je potrebno proširivati do sada

objašnjene čiste strategije, uključujući mogućnost primjene mješovitih strategija.

13

Mješovitu strategiju igrača R, koji strategijama pripisuje određene

vjerovatnoce, u opštem obliku prikazujemo na sljedeći načini P1R1, P2R2,

P3R3..... pm, Rm, a mješovitu strategiju igrača K u sljedećem obliku: q1K1,

q2K2, q3K3....qnKn, gdje vjerovatnoće izbora čistih strategija, Ri i Kj

obilježavamo sa pi, i = 1,2,,..m, pri čemu je

Očekivanu korisnost mješovite strategije igrača R dobijamo kada svaki

ishod u matrici (R1, K1) množimo vjerovatnoćom istovremenog izbora ovih

strategija, pi qj, i dobijene proizvode saberemo:

Očekivanu korisnost mješovite strategije igrača K izračunavamo

identično, pri čemu ishodima u tabeli mijenjamo predznak, kako bi ih prikazali u

vidu dobitka za igrača K, odnosno:

U pogledu opravdanja primjene mješovitih strategija, mišljenja autora su

dosta podijeljena; jedni podržavaju slučajan izbor strategije kada ne postoje

uslovi za racionalnu, dok drugi takvu odluku tumače kao pokušaj igrača da

izbjegne odgovornost.

Ipak cilj teorije igara je da riješi igru, tj. definiše ravnotežni par strategija i

njihov rezultat, a ne da igračima sugeriše izbor u svakoj konkretnoj situaciji.

Dakle, igrama sa nultom (konstantnom) sumom možemo rješavati brojne

konfliktne situacije u poslovnom odlučivanju, pogotovo ako sadrže u sebi

mogućnost kooperativnosti, čime se demaskiraju nepostojeća ograničenja.

13

IGRE DVA IGRAČA SA PROMJENJIVOM SUMOM

Situacije u kojoj su interesi djelimično saglasni, a po nekim aspektima

konfliktni, prikazujemo igrama sa promjenljivom (varijabilnom) sumom. lako je

djelimičan konflikt naizgled povoljniji od savršene konkurentske situacije, ipak

se pojavljuju brojne poteškoće prilikom postupka racionalnog izbora, jer su

ishodi istovremeno različito prihvatljivi za oba igrača.

Zbirni rezultati koje igrači postižu nisu konstantni, tako da dobitak jednog

igrača ne mora biti jednak gubitku drugog igrača, što pokazuje da neke

kombinacije strategije mogu biti povoljnije. U zavisnosti od toga da li igrači

međusobno komuniciraju ili ne, razlikujemo nekooperativne igre, gdje ne postoji

mogućnost sarađivanja, i kooperativne igre gdje igrači unaprijed usaglašavaju

svoje strategije.

Nekooperativne igre mogu imati više ravnotežnih rješenja, tako da

primjena metoda dominacije i maximin, ne mora dati prihvatljivo rješenje, niti

garanciju racionalnog izbora, bez obzira na odgovarajući nivo sigurnosti. Da

izbor strategija primjenom navedenih metoda ponekad vodi neoptimalnom

rezultatu, može se pokazati na primjeru u literaturi poznatom kao dilema

zatvorenika. Za dva lopova je dokazana manja krađa i opravdano posumnjano

da su počinili i veću kradu. Islijeđuju se zasebnim saslušanjem i pojedinačno im

se nudi sljedeća nagodba:

Ako priznaš, a drugi ne prizna, bićeš osuđen na 1 god, a tvoj saučesnik

na 10 god, i obrnuto, a ako obadvojica priznate, dobićete po 6 god, dok ako

nijedan ne prizna, smatrate se da ne postoje dokazi, pa time ni krivica.

Opisani problem može se prikazati sljedećom tabelom odlučivanja:

Slika 7

13

Onemogućeni da se usaglašavaju, osumnjičeni će se rukovoditi ličnim

interesom, tako da će vjerovatno (rezonski) odabrati dominantnu strategiju P

kao neefikasan par koji pruža povoljnije individualne ishode, iako bi zajedničkim

izborom strategije N postigli obostrano bolji rezultat.

Lako je uočiti da ako bi igrači neefikasne strategije zamijenili efikasnim,

jedan od njih bi ostvario bolji rezultat a drugoga ne bi ugrozio.

Primjer dileme zatvorenika koji ne komuniciraju ilustruje situaciju u kojoj

postoji kontradikcija između individualne i kolektivne racionalnosti, jer ponašanje

jednog u skladu sa zajedničkim interesom moglo bi biti kontraproduktivno, tj.

nagrada drugom za egoizam.

Kooperativne igre, gdje postoji mogućnost dogovaranja, rješavaju se

izborom bilo kog para strategija koji pripada pregovaračkom skupu. Budući da

su rješenja različito povoljna po igrače, pregovaračkom igrom se nalazi

jedinstvena tačka pregovaračkog skupa koja predstavlja fer rješenje, tako da

problem postoje trivijalan.

Međutim, kad postoji veći broj ravnotežnih tačaka koje su različito

prihvatljive za igrače, tada se igra rješava u nešto složenijim uslovima „sukoba

volja" i traženja šansi za dogovaranje. Sljedeća priča, poznata u literaturi kao

„sukob volja", ilustruje paradoks u kojem se mogu naći igrači sa varijabilnom

sumom, što možemo opisati sljedećim događajem:

Ona ima kartu za balet, a on za utakmicu, a nezavisno od afiniteta veče bi željeli da provedu skupa.

Prije dogovora blokirane su telefonske veze; problem izbora može se

prikazati sljedećom tabelom:

Slika 8

13

ZAKLJUČAK

Nakon svega izloženog, može se zaključiti da je odlučivanje u uslovima

neizvjesnosti, za razliku od odlučivanja u uslovima izvjesnosti pod uticajem

velikog broja faktora koje treba analizirati i imati u vidu pri donošenju odluka.

Takođe, moglo se utvrditi da je ovaj oblik odlučivanja usko povezan sa

odlučivanjem u uslovima rizika, te se tim povodom nešto reklo o tom obliku

odlučivanja. vidjelo se da donosilac odluke kroz raspodjelu vjerovatnoća treba

da kvantifikuje uticaj kako faktora okruženja tako i unutrašnjih faktora. Donosilac

mora da pri analizi neizvjesnosti ispoštuje određene korake kao što su:

strukturisanje problema, analiza neizvjesnosti, analiza preferencija, izbor

optimalne akcije i prikupljanje novih informacija.

Vidjelo se da u okviru odlučivanja bez određivanja apriori vjerovatnoća

postoje određeni kriterijumi pri čemu je svaki od njih primjenjiv u određenoj

situaciji.

Uočilo se da je simulacija dovođenje modela jednog sistema u

primjerene situacije i posmatranje efekata koje oni proizvode i da nam ona

omogućava stvaranje modela koji se lako modifikuju, realizovanje uslova

oprobavanja i proučavanje ponašanja sistema, te se može zaključiti da je

simulacija jednostavan metod analiziranja problema kreiranjem modela koji

mogu biti manipulisani metodom pokušaja i grešaka.

13

LITERATURA

Mikić Đ. (2006), Teorija i strategija odlučivanja, Banja Luka Panevropski univerzitet “Apeiron“