teorija odlucivanja-gotovo

8/4/2019 Teorija odlucivanja-GOTOVO

1/21

Funkcije agregacije___________________________________________________________

Sadraj

1. Uvod.......................................................................................................................................11.1. Osnovne definicije..........................................................................................................2

2. Konjukcija, disjunkcija i internalnost....................................................................................73. Osobine zasnovane na grupisanju........................................................................................10

3.1. Asocijativnost................................................................................................................113.2. Dekompozabilnost........................................................................................................133.3. Autodistributivnost........................................................................................................173.4. Bisimetrinost...............................................................................................................184. Literatura..........................................................................................................................20

1. Uvod

1


2/21


Centralni problem koji emo posmatrati je agregacija, koja se odnosi na proceskombinovanja i spajanja veeg broja vrednosti u jednu vrednost. Moda je najstariji primer u

ovom smislu aritmetika sredina, koja se koristila kroz istoriju fizike i svih eksperimentalnihnauka. Svaka funkcija koja poput aritmetike sredine rauna jednu izlaznu vrednost odvektora ulaznih vrednosti, zove se agregatna funkcija.Funkcija agregacije ima vanu ulogu u brojnim tehnolokim zadacima sa kojima se naunicidanas suoavaju. One su veoma vane i kod brojnih problema koji se odnose na spajenjeinformacija. Uopteno, funkcije agregacije su iroko rasprostranjene u istoj matematici (npr.funkcijske jednaine, teorija sredine, teorija merenja i integracije), primenjenoj matematici(npr. verovatnoa, statistika, matematika odluivanja), kompijuterskim i tehnikim naukama(npr.operativno istraivanje, informaciona teorija, spajanje podataka), ekonomiji i finansijama(npr. teorija igara, teorija glasanja, teorija odluivanja), drutvenim naukama (npr.

matematika psihologija) kao i velikom broju drugih polja primenjene fizike i prirodnihnauka. Dakle, osnovna karakteristika funkcija agregacije je da se one koriste u velikom brojuoblasti i disciplina.

1.1. Osnovne definicije

2


3/21


Prvo emo definisati oznaku za realni interval kod koje emo koristiti uglaste zagrade, npr.[ ]ba, je zatvoreni interval dok e ]a, b[ biti oznaka za otvoren interval. Intervali kao to su[a, b[ ili ]a, b] se zovu polu-zatvoreni i polu-otvoreni intervali.

Predpostaviemo da promenljive koje se pojavljuju u agregacionoj funkciji imaju zajednikidomen I , koji je neprazni realni skup, sa ili bez granica. U nekim posebnim sluajevima, Ie predstavljati neprazan interval proirenog skupa realnih brojeva, koji emo obeleavati saR := [ ]+ , . U daljem radu emo podrazumevati da je 0 * 0 = i da vai da je

( ) + = . Takoe oznaka int(I) oznaava e unutranjost skupa I, to odgovara

otvorenom intervalu, a _Iozaava zatvaranje skupaI .

Neka je n bilo koji nenula prirodani broj i namestimo [ ] { }nn ,,1: = . esto emo koristiti

podebljane simbole da oznaimo n-torku na primer, ( )nxx ,,1 e esto biti pisano kao x .Sada emo na formalan nain uvesti concept funkcija agregacije. Treba da napravimo razlikuizmeu funkcija agregacije, koje imaju definisan broj argumenata, i proirene funkcijeagregacije koje su definisane za proizvoljan broj argumenata. Posmatramo jednostavan sluaj

[ ]1,0=I , koji se esto razmatra u literaturi. Agregaciona funkcija na [ ]n1,0 je funkcija( ) [ ] [ ]1,01,0: nnA koja je neopadajua po svakoj promenljivoj i koja ispunjava uslove

ogranienja:( ) ( ) 00,,0 =nA i ( ) ( ) 11,,1 =nA .

U optem sluaju imamo, sledeu definiciju:

Definicija 1. Funkcija agregacije na nI je funkcija ( ) IIA nn : , tako da je:

(i) neopadajua (po svakoj promenljivoj)(ii) ispunjava uslove ogranienja

( ) ( )inf inf n

n

I

A I

=x

x i( ) ( )sup sup

n

n

I

A I

=x

x

gde n predstavlja ceo broj argumenata agregacione funkcije.

Aritmetika sredina, definisana kao:

( )

1

1( ) :

nn

i

i

AM xn =

= x

je funkcija agregacije za svaki domen nI .Specijalni slucaj je funkcija agregacije za jednoclani skup (singlton) tj. jadnoclana funkcijaA(1):II. Kako agregacija singltona nije zapravo agregacija, vai sledei zapis:

A(1)(x) = x

3


4/21


Za svako xI.

Radi jednostavnosti esto emo koristiti slova F (ili G,H,...) da oznaimo proizvoljnu funkcijusa vie promenljivih, a slovo A za funkcije agregacije.

Definicija 2. Dijagonalni deo bilo koje funkcije : nF I je unarna funkcija :F I

definisana kao ( ) ( )xxFxF ,,= za svako Ix .

Domen bilo koje funkcije F e se oznaavati sa ( )Fran .

Napomena: Lako se vidi da bilo koja funkcija : nF I ispunjava uslove (i) i (ii) oddefinicije 1. tako da je ( ) IFran . Meutim, iz definicije, svaka funkcija agregacije A u In

zadovoljava ran(A) I, to je mnogo prirodnija osobina.Teorena 1. Neopadajua funkcija : nF I je agregaciona funkcija na nI ako i samo ako

( ) Iran F zadovoljava

( ) IxFIx

infinf =

i ( ) IxFIx

supsup =

.

Dokaz: Neka je data proizvoljna neopadajuu funkciju : nF I , i imamo sledee

nejednakosti

( )( ) ( )1min , ,F nx x F xK ( )( )nF xx ,,max 1 ( )nIx , (1.1)

Za svako x In, koje impliciraju na( ) ( )inf inf

n Fx II

F x

=x

x i ( ) ( )sup supn

Fx II

F x

=x

x

tada rezultat odmah sledi.

Sledei rezultat obezbeuje lak nain utvrivanja svakog poddomena nJ od nI , sa IJ ,

kome je data neopadajua funkcija : nF I funkcija agregacije.

Teorema 2. Neka je : nF I neopadajua funkcija i Ia inf:= i neka je Ib sup:= .Tada imamo

( ) axFIx

=

inf

( ) aaF=

(predpostavljamo Ia ) ili( ) ax

Fax

=

lim

, i

4


5/21


( ) bxFIx

=

sup ( ) bbF = (predpostavljamo Ib ) ili ( ) bxFbx = lim .

Dokaz: Dokazaemo prvo prvi deo, drugi deo se na slian nain dokazuje.

( ) Pretpostavimo( ) axF

Ix=

inf (1.2)

Ako a Itada, zbog monotonosti F , imamo F (a)= ( ) axFIx = inf .Pretpostavimo sada da je a I. Razmorirmo dva slucaja.

Pretpostavimo a > . Neka je 0 > . Tada postoji Ix tako da je, ( ) axF .Na osnovu monotonosti F vai da za svako Ix , tako da je xx , imamo

( ) axF0 ( axF ,

Pretpostavimo a = i neka je 0M< . Tada postoji Ix i x . Tada je 0


6/21


Aritmetika sredina funkcije IIAM n : i geometrijska sredina funkcijeIIGM n : se definiu

( )1

1:

n

i

i

AM x

n ==

x

( )1/

1

:n

n

i

i

GM x=

=

x .

Primetimo da kada je 1n > , geometrijska sredina nije agregaciona funkcija za bilo kojidomen. Moramo razmatrati domen nI takav da je [ ] ,0I .

Za svako [ ]nk , projektovana funkcija IIP nk : i funkcija ureene statistike

IIOSn

k : definisana je respektivno

( ) :k kP x=x

( ) ( ):k kOS x=x ,

gde je ( )kx najnia koordinata od x , to je,

( ) ( ) ( )nk xxx 1

Projekcija na prvu i poslednju koordinatu je definisana kao

( ) ( )1 1:FP P x= =x x

( ) ( ): L n nP P x= =x x .

Slino, ekstremni statistiki red ( )1x i ( )nx su respektivno minimum i maksimum funkcije

( ) 1 2: min{ , ,..., }nMin x x x=x ,

( ) 1 2: max{ , ,..., }nMax x x x=x ,

Za bilo koji vektor teina ( ) [ ]n

1, 2 nw w ,...,w 0,1= w , za koji vai da je1

1n

i

i

w=

= ,

ponderisana aritmetika sredina je funkcija nWAM :I Iw i the ordered weighted

arithmetic function nwOWA : ,I I su respektivno definisane sa

6


7/21


( )1

WAM :n

w i ii

w x=

= x ,

( )1

.n

w i i

i

OWA w x=

= x

Suma :n

i proizvod :n

funkcije definisani su

( )1

:n

i

i

x=

= x ,

( )1

:n

i

i

x=

= x .

Primetimo da, kada je n>1, poslednje dve navedene funkcije nisu funkcije agregacije nasvakom domenu. Za sumu, trebali bi da razmotrimo domene -, n, 0,n, -,0n. Zaproizvod, kada ograniimo domen na [0,] n, trebali bi da razmotrimo domen0,1n, 1,n,0,n.

Skup strogo pozitivnih celih brojeva oznaavaemo sa . Sa 0 oznaavaemo skup celihnenegativnih brojeva. Za oznaavanje skupa celih brojeva koristeemo , a skup racionalni

brojeva koristiemo skup.

Za svaki podskupK

od glavnog skupa

, imamo{ }1,0:1

K da predstavljakarakteristinu funkciju od K , definisana kao ( ) 11 =K ako K , i 0 inae. Za svako[ ]nK , K1 oznaava karakteristian vektor od K na { }

n1,0 , to je n-torka ija je i-ta

koordinate 1, ako Ki , i 0, inae. Za svako [ ]nK i svako nIx , oznaavamo sa Kx

restrikciju od x .

2. Konjukcija, disjunkcija i internalnost

Date su dve funkcije, : nF I i : nG I , kazemo da G dominiraFakoFG u nI .S obzirom na funkcije Min i Max kao dominirajue ili dominantne funkcije dobili smo tri

7


8/21


glavne klase funkcija agregacije: konjuktivne funkcije, disjunktivne funkcije i internalnefunkcije.

Definicija 1. : nF I je konjuktivna ako je inf I F Min .

Konjuktivne funkcije kombinuju vrednosti kao da su povezane sa logikim i operatorom.Tako da, rezultat kombinacija moe biti visok jedino ako su sve vrednosti visoke. Na osnovuovoga, niska vrednost nikada ne moe da bude kompenzovana visokom vrednosti.

Definicija 2. : nF I je disjunktivna ako je Max F sup I .

Disjunktivne funkcije kombinuju vrednosti kao ili operator, tako da je rezultat kombinacijevisok ako je barem jedna vrednost. Tako da, visoke vrednosti ne mogu biti kompenzovane sa

niim vrednostima. U tom smislu, ovakve funkcije su dvostruke konjuktivne funkcije.Naredna teorema pokazuje da, usled monotonosti agregacione funkcije, konjuktivnost (ilidisjunktivnost) agregacione funkcije u domenu [ ]nba, moe biti ispitana samo na gornjoj (ilidonjoj) granici tog domena.

Teorema 1. Agregatna funkcija [ ]: ,n

A a b je konjuktivna (ili disjunktivna) ako i samo

ako jeA { } xbx i ( ili A { } xax i ) za svako [ ]bax , i svako [ ]ni .

Dokaz: Razmatramo samo sluaj konjuktivnih funkcija, drugi sluaj je slian.

( ) trivijalan.

( ) ako je [ ],n

a bx i izaberemo [ ]ni tako da je ( )i x Min= x . Tada

inf I ( ) { }( ) ( )iA A x b x Min =x x i A je konjuktivna. Definici

ja 3. Funkcija : nF I je internalana ako je Min F Max.

Sledei rezultat pokazuje da su internalnost i idempotentnost blisko povezane.

Teorema 2. Ako je : nF I internalna onda je i idempotentna. Obrnuto, ako je

: nF I neopadajua i idempotentna onda je i internalna.

8


9/21


Dokaz: Prvi deo je internalnost. Imamo da je

MaxFMinid = id=

Drugi deo sledi odmah nakon nejednakosti (1.1). Imamo

MaxMaxFMinMin FF ==

k-konjuktivne i k-disjunktivne funkcije

Moemo da poboljamo definicije konjuktivne i disjunktivne funkcije tako to emorazmatrati k-konjuktivne i k-disjunktivne funkcije.

Definicija 4. Ako je [ ]nk funkcija : nF I je

(i) k-konjuktivna ako je kOSFI inf ,(ii) k-disjunktivna ako je 1sup + knOSFI

Po ovoj definiciji, jasno je da je funkcija konjuktivna ako i samo ako je ona 1-konjuktivna.Slino, ona je disjunktivna ako i samo ako je ona 1-disjunktivna. Konano, ona je internalna

ako i samo ako je onan

-konjuktivna in

-disjunktivna.Daemo primer, 3-arna funkcija F(x1,x2,x3)=Min(x1,x2) koja je 2-konjuktivna, dok ne budekonjuktivna.

Definicija 5. Pretpostavimo da je 2n i neka je [ ]1 nk . Funkcija : nF I je

nezavisna od ( )kn najveih argumenata ako za svako [ ]ni i svako ', nIx x , sa

( )1+ ki xx , tada imamo

( )

( ) ( )

'

'

'

i k

j j

x x

F F x x j i

==

x x

Definicija 6. Pretpostavimo da je 2n i neka je [ ]1 nk . Funkcija : nF I je

nezavisna od ( )kn najmanjih argumenata ako za svako [ ]ni i svako ', nIx x sa

( )kni xx , tada imamo

9


10/21


( )( ) ( )

'

1 '

'

i n k

j j

x xF F

x x j i

+ =

= x x

Teorema 4.

Pretpostavimo da je2

n

i neka je[ ]1 nk

. Funkcija :n

F I

jeneopadajua, idempotentna i nezavisna od ( )kn najveih (ili najmanjih) argumenata, tadaje ona k-konjuktivna (ili k-disjunktivna).

Dokaz: Dokazujemo samo prvi deo, ostalo je slino.

Neka je [ ]1 nk i nIx i izaberimo ( ) [ ] ( ){ }| i kK i n x x x sa ( )K k=x . Tada

imamo ( )infI F x i

( ) ( )( ) ( )( )( )F F x k k x nx x (neopadajua monotonost)

( )( ) ( ) ( )( )F x k k x k = x (nezavisnost)

( )kx= (idempotentnost)

Zakljuak: Pretpostavimo2

1n

k . Ako je : nF I neopadajua, idempotentna i

nezavisna od knajmanje i k najvie argumenata, tada je:

( ) ( ) ( )1k n kx F x+ x , za svako nIx .

3. Osobine zasnovane na grupisanju

Osobine na koje emo obratiti panju u ovom delu se odnose na grupisanje karakterafunkcija agregacije. Ovim zapravo govorimo da pretpostavljamo da je mogue da podelimoargumente u isprekidane podgrupe, da napravimo deliminu agregaciju za svaku podgrupu i

10


11/21


da onda kombinujemo parcijalne rezultate kako bi smo dobili sveobuhvatnu vrednost. Ovajuslov moe a se pojavi u nekoliko oblika. Jai uslov je asocijativnost. Slabiji uslovi e takoe

biti prikazani, to su, dekompozabilnost, autodistributivnost i bisimetrija.

3.1. Asocijativnost

Prvo emo razmatrati asocijativnost funkcionalne jednaine. Asocijativnost binearne operacije* znai da )*(**)*( zyxzyx = , tako da moemo da napiemo zyx ** . Ako ovu binarnuoperaciju napiemo kao funkciju babaf *),( = , tada asocijativnost kae da

( )( ) ( )( )cbfafcbaff ,,,, = .

Definicija 7. IIF 2: je asocijativna ako za svako 3I

x imamo

3,2,132,1 , xxFxFxxxFF = (1)

U osnovi asocijativnost se odnosi na agregaciju u dva argumenta. Meutim kao to sledi usledeoj definiciji asocijativnos se moe proiriti na svaki konaan broj argumenata.

Podsetimo se da za dva vektora ( )1, , nx x=x K i ( )' ' '

1, ,

mx x=x K , koristimo odgovarajuu

notaciju ( )',F x x da prezentujemo ( )' '1 1, , , , ,n mF x x x xK K i slino za vie od dva vektora.Ako je 0Ix prazan vector tada se on jednostavno izbacuje iz funkcije. Na primer,

( ) ( )' ',F F=x x x i ( ) ( )( ) ( )( )' ',F F F F F =x x x .

Definicija 8. IIUFn

Nn : je asocijativna ako je ( ) xxF = za svako Ix i ako je

( ) ( ) ( )( )' ', ,F F F F =x x x x za svako0

', nn N

U I

x x

Kao to naredna teorema pokazuje, asocijativnost znai da, svaki podskup od uzastopnihargumenata moe biti zamenjen sa svojom parcijalnom agregacijom bez promenesveobuhvatne agregacije.Teorema 5. IIUF nNn : je asocijativna ako i samo ako je ( ) xxF = za svako Ix i

( )( ) ( ), , , ,F F F =x x x x x x' '' ' '' za svako0

' '', , nn N

U I

x x x

Dokaz:

( ) za svako0

' '', , nn N

U I

x x x imamo uzastopno

11


12/21


( )( ) ( )' ', , ( , ( )), ( )F F F F F F =x x x x x x'' ''

( ) ( )( ) ( )( )', ,F F F F F = x x x''

( ) ( )( )', ,F F F = x x x''

( )', ,F= x x x''

( ) jednostavno imamo ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' ' ', , , F F F F F F = =x x x x x x

Asocijativnos je takoe dobto poznata algebarska osobina koja omoguava se izostavezagrade u agregaciji od najmanje od tri elementa. U pretpostavci o asocijativnosti implicitnose ide od agregacije sa n elemenata do agregacije sa n+1 elemenata, to ukazuje da bilo koja

proirena asocijativna funkcija F je u potpunosti odreena svojom binarnom funkcijom( )2

F .Po asocijativnosti imamo jasno

( ) ( )( )1111 ,,,,, ++ = nnn xxxFFxxF

U posebnim sluajevima moemo zapoeti procedure agregacije pre nego to svi ulaznipodaci budu skupljeni. Dodavanje ulaznih vrednosti se jednostavno dodaje na postojeiagregatni izlaz.Kao primere asocijativnih funkcija setimo se LF PPMaxMin ,,,,, . Funkcije kao to su

GMAM,

nisu asocijativne.Moe se videti da konjukcija asocijativnosti i idempotentnosti odamh ponitava efekatponavljajueg argumenta u proceduri agregacije.

( ) ( ) ( )( ) ( )yxFynFxmFFynxmF ,,, ==

za svako Nnm , . Na primer imamo sledee

( ) ( )yxFyyxF ,,,, =

bez obzira na broj argumenatay.

Definicija 9. Proirenje unazad funkcije : nnF U I i proirenje unapred funkcije

: nn

F U I

od binarne funkcije 2:F I je rekurzivno definisan od

( ) ( ) idFF == :: 1*1* ( ) ( ) FFF == :: 2*2*

i, za n>2,

12


13/21


( ) ( ) ( ) ( )( )nn

n

nxxFxFxxF ,,:,, 2

1

*,11*

=

( ) ( ) ( ) ( )( )nnn

n

n xxxFFxxF ,,,:,, 111*

1

*

=

Napomena: Proirena funkcija :n

n F U I

je asocijativna ako i samo ako je i unazad iunapred proirena.

3.2. Dekompozabilnost

Lako moze biti potvreno da aritmeticka sredina, kao prosirena funkcija ne ispunjava uslov jednaine asocijativnosti (1). Tako da je interesantno znati da li postoji funkcionalna

jednaina, slina asocijativnosti, koja moe biti popunjena aritmetikom sredinom ili i nekimdrugim sredstvima kao to je geometrijska sredina i slino.Prihvatljiva jednaina zove se asocijativnost sredina, predloena je za proirenu simetrinufunkciju i formulisana je na sledei nain:

( ) ( )( )nkknkk

xxxxFkFxxxxF ,,,,,,,,, 1111 ++ =

za svaki ceo broj nk 0 , sa 1>n . Jednako ovom moemo da napiemo

( ) ( )( )' '

, ,F F k F = x x x x

za svako 0Nk ,svako kIx i svako0

' n

n NU I

x .

Definicija 10. IIUF nNn : je dekompozabilna ako je ( ) xxF = za svako Ix i ako je

( ) ( ) ( )( )' ' ', ,F F k F k F = x x x x

za svako 0', Nkk , svako kIx i svako'' kIx .

Ako je 0=k ili 0' =k , vidimo da bilo koja dekompozabilna funkcija je idempotentna naskupu vrednosti.ta vie, kako sledea teorema pokazuje, dekompozabilnost znai da svakielement bilo kog podskupa uzastopnih argumenata moe da se zameni sa svojom parcijalnomagregacijom bez promene sveobuhvatne agregacije.

Teorema 6. IIUF nNn : je dekompozabilna ako i samo ako je ( ) xxF = za svako Ix i

13


14/21


( )( ) ( )' ' " ' ", , , , F k F F =x x x x x x

za svako 0' Nk ,svako '' kIx i svako 0, ''

n

n NU I

x x .

Dokaz : Dokaz se moe lako predstaviti na osnovu teoreme 5.

( ) za svako0

"',, Nkkk i svako kIx , '' kIx , "" kIx , imamo

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )' " ' ' ' " ", ' , , ,F k F F k k F k F k F = + x x x x x x

( ) ( ) ( )( ) ( )( )' ' ' ", , "F k k F k F k F k F = + x x x

( ) ( ) ( )( )' ' " ", ,F k k F k F = + x x x

( )' ", ,F= x x x

gde smo u drugoj jednakosti koristili injenicu da je F idempotentna na skupu vrednosti.

( ) Trivijalno.

Kao primere dekompozabilnih funkcija imamo LF PPGMAMMaxMin ,,,,, . Funkcije kaoto su i nisu dekompozabilne.

Teorema 7. Ako je IIUF nNn : idempotentna na skupu vrednosti i asocijativna, tada je idekompozabilna.

Dokaz: Neka je 0', Nkk , kIx , i

'' kIx . Tada imamo

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )' ' ' ', ,F k F k F F F k F F k F = x x x x (asocijativnost)

( ) ( )( )',F F F = x x (idempotentnost na skupu vrdnost)

( )',F= x x (asocijativnost)

na osnovu ovoga sledi da je F dekompozabilno.Stroga dekompozabilnost

Bas kao i za osobinu asocijativnosti, dekompozabilnost podrazumeva agregaciju uzastopnihargumenata. Mogli bi smo takoe da razmatramo optiji pristup u kome je dovoljan bilo koji

podskup argumenata za agregaciju. Na primer imamo sledeu osobinu:

14


15/21


( ) ( ) ( )( )31231321 ,,,,,, xxFxxxFFxxxF = (**)

Definicija 11. IIUFn

Nn : je strogo dekompozabilna ako je ( ) xxF = za svako Ix iako je

( ) ( ) { } ( ) { }1 1c

c

i j

i k j k

F F F k F k

= + x x x

za svako Nn , svako [ ]nk , I svako nIx .

Po definiciji, stroga dekompozabilnost ukazuje na dekompozabilnost i na osnovu toga i naidempotentnost na skupu vrednosti. Dalje, pod simetrijom, dekompozabilnost i strogadekompozabilnost su jednake.Isto kao i dekompozabilnost i stroga dekompozabilnost podrazumeva da svaki element iz

podskupa argumenata (koji treba da budu uzastopni) od nIx moe biti zamenjen sa svojomparcijalnom agregacijom bez promene sveobuhvatne agregacije.Teorema 8. IIUF

n

Nn : je strogo dekompozabilna ako i samo ako je ( ) xxF = zasvako Ix i ako je

( ) ( ) { } { }1 1c

ji j

i k j k

F F F k x

= +

x x

za svako Nn , svako [ ]nk , i svako nIx .

Dokaz:

( ) Za svako Nn , svako [ ]nk , i svako nIx , imamo uzastopno

( ) { } { }1 1c

ji j

i k j k

F F k x

+ =

x ( ) { } ( ) { }1 1

c

c

i j

i k j k

F F k F k

+

x x

( )F= x ,

koristili smo injenicu da je F idempotentna na skupu vrednosti.

( ) Trivijalno.Sledei primer pokazuje da nisu sve funkcije koje su dekompozabilne ujedno i strogodekompozabilne.P rimer: Ponderisana aritmetika sredina definisana kao:

( ) ( )1

1

22 1

in

nin

i

A x

=

= x

15


16/21


je dekompozabilno, ali nije strogo dekompozabilno. Za svako 0'

, Nkk , svako kIx , i

svako '' kIx , imamo

( ) ( )( )' ',A k A k A x x = ( )'1

1

22 1

ik

k ki

A

+=

x + ( )'

'

1'

1

22 1

ik k

k ki k

A+

+= + x

= +

=

+

k

i

ikk

i

x1

1

12

2'

=+

+

'

'

1

'1

12

2k

i

ikk

ik

x

( )',A= x x

i A je dekomopozabilno. Ono ipak nije strogo dekompozabilno zbog

( ) 3213217

4

7

2

7

1,, xxxxxxA ++=

i

( ) ( ) ( )( )31231321 ,,,,,, xxAxxxAAxxxA =

21

5=

32121

10

7

2xxx ++ , to nije u skladu sa (**).

Lema 1. Ako je IIUF nNn : je strogo dekompozabilna i idempotentna, tada za svakoNppnk n ,,,, 1 i svako ( )i pIx , ni ,,1= , imamo

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1, , , ,n nF k k F =x x x xK K .

Dokaz: Jednostavno imamo

( ) ( )( )1 , , nF k k =x xK ( ) ( ) ( )( )( )11 , , nnF kp kp F + + x xK K (stroga dekompozabilnost)

=( ) ( )( )1 , , nF x xK (idempotentnost)

Lema 2. Ako je IIUFn

Nn : je strogo dekompozabilna i idempotentna, tada za svakoNpn , i svako ( ) ( )1 , , n pIx xK , imamo

( ) ( )( )1 , , nF x xK ( )( ) ( )( )( )1 , , nF F F = x xK

Konkretno,F je strogo idempotentno.


16


17/21


( ) ( )( )1 , , nF x xK ( )( ) ( )( )( )1 , , nF p F p F = x xK (stroga dekompozabilnost)

( )( ) ( )( )( )1 , , nF F F = x xK (Lema 1.)

Drugi deo je trivijalan, sada imamo ( ) ( )( ) ( )F n F n F F = =x x x .

Lema 3. Ako je IIUF nNn : je strogo dekompozabilna i idempotentna, tada za svakoNn i svako nIx , imamo

( ) '1'

1 ,,,, xxFxxF nn =

gde je'

ix : ( )nii xxxxF ,,,,, 111

+= za svako ni ,,1

= .


( ) ( ) ( )( )nn xnxnFxxF = 1,,1,, 11 (Lema 1.)

( ) ( )( )'1'

,,1 xxnF n = (stroga dekompozabilnost)

( '1' ,, xxF n = (stroga idempotentnost).

Napomena: Znaajno je da pod idempotentnou, definicija stroge dekompozabilnosti moeda se napie tako to e se svaki element ix zameniti sa ( )i pIx . Na primer, (**) moe biti

napisan sa ( ) ( ) ( )1 2 3, , pIx x x . Zapravo imamo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )1 2 3 1 2 2 1 3, , , , , ,F F p F p F p F = x x x x x x x x (stroga dekompozabilnost)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )1 3 2 1 3, , , ,F F F F = x x x x x (Lema 1.)

3.3. Autodistributivnost

Autodistributivnost je definisana za dva argumenta ali se moe definisati i za n argumenata.

Definicija 12. IIF 2: je autodistributivna ako, za svako 3Ix , imamo

17


18/21


( )( ) ( ) ( )( )3121321 ,,,,, xxFxxFFxxFxF =

( )( ) ( ) ( )( )3231321 ,,,,, xxFxxFFxxxFF =

3.4. Bisimetrinost

Razmotriemo sada osobinu bisimetrinosti.

Definicija 13. IIF 2: je bisimetrina ako, za svako 4Ix , imamo

( ) ( )( ) ( ) ( )( )42314321 ,,,,,, xxFxxFFxxFxxFF = .

Neposredna posledica ove definicije je da idempotentna i bisimetrina funkcija IIF 2: je iautodistibutivna.

Za n argumenata, bisimetrinost uzima sledei oblik.

Definicija 14. IIF n : je bisimetrina ako je

( ) ( )( )nnnn xxFxxFF ,,,,,, 1111 ( ) ( )( )nnnn xxFxxFF ,,,,,, 1111 =

za sve kvadratne matrice

nn

nnn

n

I

xx

xx

..

..

..

..

1

111

Bisimetrinost izraava da agregacija svih elemenata od bilo koje kvadratne matrice moe

prvo da se primeni na vrstama pa onda na kolonama, ili obrnuto. Ipak, poto su u pitanju samokvadratne matrice,ova osobina naizgled da nema dobro tumaenje u smislu agregacije. Njenakorisnost postaje teorijska. Sada je razmatramo za proirene funkcije.

Definicija 15. IIUFn

Nn : je strogo bisimetrina ako je ( ) xxF = za svako Ix , I ako,za svako Npn , , imamo

( ) pnpn xxFxxFF ,,,,,, 1111 pnnp xxFxxFF ,,,,,, 1111 =

za sve matrice

18


19/21


np

pnp

n

I

xx

xx

..

..

..

..

1

111

Napomena: Suprotno od bisimetrinosti, osobina stroge bisimetrinosti se moe opravdati nalaki nain. Uzmimo u obzir n kriterijuma, gde dajemo numeriki bod za svakog od p kandidata. Ovi bodovi, pod pretpostavkom da su definisani na istoj skali, mogu da se stave u

np matricu tipa

nJJ ..1

..

.

1

pC

C

pnp

n

xx

xx

....

..

..

1

111

Pretpostavimo sada da hoemo da napravimo agregaciju svih unosa u matrici, kako bismodobili sveobuhvatni rezultat p kandidata. Prvo pravimo agregaciju rezultata svakogkandidata (agregacija vrsta u matrici), i onda pravimo agregaciju ovih sveobuhvatnihvrednosti. Alternativni nain bi bilo da prvo napravimo agregaciju rezultata u okviru svakogkriterijuma (agregacija po kolonama matrice), i tada napravimo agregaciju ovih vrednosti.

Osobina stroge bisimetrinosti znai da ova dva naina agregacije moraju da vode do istihsveobuhvatnih vrednosti. Naravno, mogli bismo da razmatramo i samo jednog kandidata, n argumenata, i p kriterijuma (pod pretpostavkom da postoji proporcionalnost rezultata pokriterijumima) u ovoj postavci stroga bisimetrinost izgleda takoe prirodno.

Oigledno, za svaku strogo bisimetrinost, proirena funkcija IIUF nNn : i svaka n-

arna funkcija ( )nF je bisimetrina. Imamo sledei rezultat:

Teorema 9. Ako je IIUF nNn : strogo dekompozabilna i idempotentna, tada je ona i

strogo bisimetrina. Konkretno ( )2F je bisimetrino.

Dokaz: Zarad razumevanja, prvo emo dokazati da je ( )2F bisimetrino. Jednostavno imamo

( ) ( )( )4321 ,,, xxFxxFF ( )4321 ,,, xxxxF= (Lema 2.)

( ) ( ) ( ) ( )( )

42314231,,,,,,, xxFxxFxxFxxFF=

(strogadekompozabilnost)

19


20/21


= ( ) ( )( )4231 ,,, xxFxxFF (stroga

idempotentnost).

Primenjujemo isto rezonovanje da bismo dokazali da je F strogo bisimetrino. Imamo

( ) pnpn xxFxxFF ,,,,,, 1111 pnpn xxxxF ,,;;,, 1111 = (Lema 2.)

( ((( pnnp xxFxxFpF ,,,,,, 1111 = (stroga

dekopazibilnost) ( ) ( )( )pnnp xxFxxFF ,,,,,, 1111 = (stroga idempotentnost).

4. Literatura

1. M. Grogisch, J. L. Marichaz, R. Mescov, E. Pap, Aggregation Functions, Combridge

University Press, 2009.2. Fazi mere i njihova primena, Endre Pap, Univerzitet u Novom Sadu 1999.

20


21/21


teorija odlucivanja-gotovo

Documents