(dedicatória)

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Resumo

Este estudo teve como objetivo desenvolver um sistema de aquisição de dados e processamento de sinais , utilizando componentes padrões de micro-computadores, visando alta qualidade, baixos custos, funcionalidade e agilidade em todo o processo. E todo o estudo que se segue, nomearemos esta ferramenta de aquisição de dados de Sistema SoundView.

A aquisição de dados tem sido objeto de estudos freqüentes. A sofisticação dos computadores de uso pessoal têm resultado no desenvolvimento de hardwares de aquisição de dados mais funcionais e baratos que os tradicionais. Várias placas de aquisição de dados têm sido desenvolvidas para serem instaladas no próprio PC do desktop, dando-lhe capacidade para aquisitar dados com alta qualidade.Um fato que tem sido considerado ao se construir um sistema de aquisição de dados é que quase todos os PCs já têm capacidade para aquisitar os dados através de uma placa de som de dois canais. Apesar das limitações das placas de som do PC, descobriu ser possível fazer medidas de alta qualidade usando apenas o hardware e o software existentes no multimidia PC.

O software foi desenvolvido em LabView da National Instruments possuindo assim as propriedades e recursos do mesmo. Consiste em um Software que utiliza a placa de som do sistema multimídia como Sistema de Aquisição de Dados e é utilizado para fazer vários tipos de análises e testes (Análise de sinais no domínio do tempo; Análise de sinais no domínio da frequência; Análise espectral de sinais (Fast Fourier Transform – FFT); Análise de harmônica; Gráficos tipo XY, entre outros). Além da placa de som do computador, utiliza apenas um microfone profissional ou um acelerômetro, cabos para conectá-los e um Charge Amplifier, sem a necessidade de qualquer outro equipamento, o que facilita e agiliza a realização de qualquer teste.

Para que as análises acima citadas sejam realizadas, é necessário , na maioria dos casos, um hardware muito caro, grande, e de difícil manuseio e transporte, além de um sofisticado software. Foi tentando eliminar todos esses inconvenientes, que surgiu a idéia do Sistema SoundView. O software foi elaborado visando principalmente , a realização de testes diversos de forma simples, com o mínimo possível de hardware e ainda visando facilitar e agilizar a realização, análise e emissão de relatórios dos dados aquisitados.

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Abstract

The rapid development of cheap personal computers has resulted in the development of PC-based data acquisition hardware at much lower costs than traditional, single purpose hardware. Several manufacturers sell data acquisition boards that can be installed in desktop PCs to give then a high quality, data acquisition capability. However, almost all PCs already have a multi-input, multi-output data acquisition capability in the form of a two-channel sound card. It’s possible to make high quality measureaments using only the hardware and software that already exists in the typical multimedia PC.

System SoundView is a Software developed to make tests and analysis (Signals’ analysis in time domain; Signals’ analysis in frequency domain with intensity graphic; Spectrum signal’s analysis; Harmonic’s analysis; XY graphics in time domain) using the computer sound system (Notebook or Desktop) as a data acquisition system, a professional microphone or a accelerometer, connection cables, a charge amplifier and trigger (TTL Level, engine’s rotation-rpm). System SoundView was developeded using LabView (National Instruments), and have all of it’s proprieties and resources.

Only expensive hardwares and sofisticated softwares can make the analysis above. System SoundView was elaborated to give simple and cheap solutions in what concerned about tests and analysis.

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Índice1. Sistema SoundView

1.1. Introdução....................................................................................................061.2. Recursos do Software..................................................................................081.3. Análises de Sinais no Domínio do Tempo e da Frequência........................091.4. Manipulação dos Dados através dos Conversores Digitais Analógicos.....101.5. Técnica utilizada para Medição de Sinais Lentos no Tempo......................111.6. Multiplex..................................................................................................... 121.7. Plataforma de desenvolvimento do Software..............................................12

2. Análise de Fourier2.1. Introdução....................................................................................................132.2. Integral de Fourier.......................................................................................152.3. Forma complexa da Transformada de Fourier............................................192.4. Transformada Discreta de Fourier...............................................................222.5. Transformada de Fourier de uma Função Periódica....................................262.6. Análise Espectral Digital I: Transformadas Discretas de Fourier...............282.7. Aliasing........................................................................................................29

3. Filtros Digitais3.1 Filtros Digitais no Domínio do Tempo........................................................ 323.2 Filtros Lineares.............................................................................................323.3 Filtros não Recursivos (FIR)........................................................................333.4 Filtros Recursivos (IIR)................................................................................343.5 Projeto de Filtros Digitais (Método da Transformada Bilinear)..................353.6 Projeto de um Filtro Rejeita Banda (Notch Filter).......................................373.7 Modelos de Filtros Digitais.......................................................................... 383.8 Filtro RC....................................................................................................... 41

3.8.1. Filtros Passa-Alta (High-Pass Filter)................................................413.8.2. Filtros Passa-Baixa (Low-Pass Filter)..............................................433.8.3. Circuitos Ressonantes e Filtros Ativos.............................................443.8.4. Circuito Ressonante LC....................................................................453.8.5. Filtros Ativos.................................................................................... 453.8.6. Conversor de Impedância Negativa (NIC) e Gyrators.....................473.8.7. Resposta do Filtro no Domínio da Frequência.................................483.8.8. Resposta do Filtro no Domínio do Tempo....................................... 49

3.9 Tipos de Filtros e suas Características......................................................... 493.9.1. Filtros de Butterworth e de Chebyshev...........................................493.9.2. Filtros de Bessel.............................................................................. 50

3.10 Filtros Ativos e Circuitos VCVS.................................................................. 513.10.1. Projeto de Filtros Passa-Baixa de Butterworth através de VCVS..533.10.2. Projeto de Filtros Passa-Baixa de Chebyshev e Bessel (VCVS)....54 3.10.3. Projetos de Filtros Passa-Alta.........................................................543.10.4. Projetos de Filtros Passa Faixa....................................................... 54

3.11 Séries Temporais e Modelos Médias Móveis e Auto-Regressivas...............543.12 Projeto de Filtros Digitais do Tipo Passa-Banda (Transformação Bilinear)583.13 Filtro de Yule Walk......................................................................................60

4. Conclusão.................................................................................................. 635. Referências Bibliogáficas......................................................................... 64

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Lista de Figuras

2.1 Função periódica arbitrária no tempo....................................................................132.2 Representação gráfica dos coeficientes de Fourier................................................142.3 Uma função periódica para Transfromada de Fourier............................................172.4 Componentes da Transformada de Fourier da função mostrada na fig. 2.3...........182.5 Amostras de uma função contínua no tempo em intervalos regulares...................222.6 Aproximação para se calcular os coeficientes discretos de Fourier.......................242.7 Partes real e imaginária da Transformada de Fourier de uma função periódica....282.8 Periodicidade dos coeficientes de Fourier calculados pela DFT...........................302.9 Distorção aliasing quando o sinal da largura de banda excede / rad/s..............313.1 Filtro Passa-Alta....................................................................................................413.2 Resposta em frequência do filtro Passa-Alta.........................................................423.3 Filtro Passa-Baixa..................................................................................................433.4 Resposta em frequência do filtro Passa-Baixa.......................................................433.5 Circuito ressonante LC – Filtro Passa-Banda........................................................443.6 Resposta em frequência de um filtro Passa-Faixa (Filtro Ativo)..........................443.7 Resposta em frequência (linear) para filtro tipo RC colocados em série...............463.8 Resposta em frequência (escala logarítmica) para filtro RC colocado em série...463.9 Conversor de impedância negativa........................................................................473.10 Gyrator..................................................................................................................473.11 Característica do filtro versus frequência..............................................................483.12 Resposta do filtro no domínio do tempo...............................................................493.13 Resposta em frequência de Filtros Butterworth para n números de polos............503.14 Resposta a rampa unitária dos Filtros Butterworth, Chebyshev com 6 polos.......513.15 Filtro Passa-Baixa..................................................................................................513.16 Filtro Passa-Alta....................................................................................................523.17 Filtro Passa-Faixa...................................................................................................523.18 Sinal senoidal com frequência variável..................................................................59

Lista de Tabelas

3.1 Filtros Passa-Baixa com circuitos VCVS.............................................................. 53

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CAPÍTULO 1

Sistema SoundView

1.1 Introdução A aquisição de dados tem sido objeto de estudos freqüentes. A sofisticação dos computadores de uso pessoal têm resultado no desenvolvimento de hardwares de aquisição de dados (PC) mais funcionais e baratos que os tradicionais. Várias placas de aquisição de dados têm sido desenvolvidas para serem instaladas no próprio PC do desktop, dando-lhe capacidade para aquisitar dados com alta qualidade.

Um fato que tem sido considerado ao se construir um sistema de aquisição de dados é que quase todos os PCs já têm capacidade para aquisitar os dados ( multi-input, multi-output) através de uma placa de som de dois canais. Apesar das limitações das placas de som do PC, descobriu ser possível fazer medidas de alta qualidade usando apenas o hardware e o software existentes no multimidia PC.

Este estudo teve como objetivo desenvolver um sistema de aquisição de dados único no mercado pela sua ampla aplicação e ao mesmo tempo, pela simplicidade de seu hardware, como descrito acima; é o Sistema SoundView.

O SoundView consiste em um Software utilizado para fazer vários tipos de análises e testes, a saber:

- Análise de sinais no domínio do tempo com 02 (dois) canais de 16 Bits, com taxa de amostragem de 11.250 ; 22.050 e 44.100 ;

- Análise de sinais no domínio da frequência através de gráfico de intensidade de cores;

- Análise espectral de sinais (Fast Fourier Transform – FFT);- Análise de harmônica;- Gráficos tipo XY (ex.: rotação x pressão).

Para que as análises acima citadas sejam realizadas, é necessário , na maioria dos casos, um hardware muito caro, grande, e de difícil manuseio e transporte, além de um sofisticado software. Foi tentando eliminar todos esses inconvenientes, que surgiu a idéia do Sistema SoundView. O software foi elaborado visando principalmente , a realização de testes diversos de forma simples, com o mínimo possível de hardware e ainda visando facilitar e agilizar a realização, análise e emissão de relatórios dos dados aquisitados.

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O Sistema SoundView é um software de aquisição de dados desenvolvido sob a plataforma LabView que utiliza a placa de som dos computadores como hardware. Foi desenvolvido principalmente objetivando a análise de vibração e ruído no domíno da frequência.

O Sistema SoundView utiliza o próprio sistema de som do computador (Notebook ou Desktop), já que a placa de som estéreo é um sistema de aquisição de dados que pode ser utilizado para fazer análise de frequência com trigger, controle, etc.

A placa de som, hoje amplamente utilizada pelos computadores e notebooks para tratamento de sinais sonoros, nada mais é que um sistema de aquisição de dados de dois canais em tempo real. O software citado acima utiliza tais placas como sistema de aquisição e processamento de dados de baixo custo, considerando que o custo de uma placa de som de excelente qualidade no mercado é de aproximadamente U$ 50,00 (cinquenta dólares), enquanto que um sistema de aquisição de dados para uso geral é de U$ 15.000,00 (quinze mil dólares). Atualmente, as placas de som dos microcomputadores e notebooks possuem dois canais de entrada ou 2 conversores analógicos digitais (A/D), com resolução, que pode ser programada pelo usuário, de 8 Bits ou 16 Bits (normalmente as placas de aquisição de dados utilizadas possuem 12 Bits, porém 4 ou 8 ou 16 canais). As placas de som possuem 2 ou 4 canais de saída ou 2/4 conversores digitais analógicos (D/A)com resolução de 8 ou 16 Bits, enquanto que as placas de aquisição de dados do mercado possuem normalmente 2 canais de saída com resolução de 12 Bits. Hoje, estão sendo produzidas placas de som com até 20 Bits de resolução.

O software SoundView utiliza os dois canais de entrada da placa de som para leitura e processamento de sinais analógicos, tais como, temperatura, pressão, força, sinais sonoros (microfone) e sinais de vibração (acelerômetros) e utiliza os dois canais de saída da placa de som para controle de processos, como por exemplo, excitação de shackers.

As placas de som presente nos microcomputadores não foram projetadas para ser um sistema de aquisição de dados, por isso possuem taxa de amostragem de dados pré-fixadas (sample rate) em 11025 Hz, 22050 Hz e 44100 Hz. Essas taxas pré-fixadas tornam ineficientes análise de sinais estruturais, onde normalmente se usa 512 Hz como taxa de aquisição Porém, esses inconvenientes podem ser solucionados através de algorítmos matemáticos tais como filtragem digital, “decimate”, etc. Com o Sistema SoundView os dados são aquisitados e ficam gravados no domínio do tempo para posterior análise sem qualquer perda de informação, não sendo necessária qualquer análise na hora da aquisição dos dados, mas no momento e local que se queira, apenas com as informações aquisitadas. Através do Software, será possível análise gráfica de sinais em dois canais. Os gráficos serão apresentados através de instrumentos virtuais interativos (BarGraphs ou mostradores analógicos ou histogramas ou osciloscópios ou ennunciators ou auto-textos ou registradores tipo XY-Plot). Os instrumentos virtuais possuem propriedades de objeto reconhecidas pelo Windows, o que permite interação online com o usuário, como por exemplo: possibilidade

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de alteração nos padrões (cores, tipo de linha e fontes). Estes são recursos adicionais que poderão ser acrescentados ao Software para facilitar sua utilização pelo usuário. O Software é 100% compatível com o Windows 95, o que possibilita que um determinado gráfico de um sinal aquisitado seja transferido para o Word em formato de figura, do tipo Metafile (.wmf). Os dados plotados serão gravados diretamente em formato Excel, permitindo assim, um relacionamento extremamente compatível entre o Software do Sistema SoundView e os Software Microsoft (Word, Excel e PowerPoint). Os sinais provenientes dos transdutores analógicos podem ser plotados em gráficos no domínio do tempo, permitindo assim a monitoração e análise dos mesmos e passam também por processo de filtragem digital . Os parâmetros de filtragem digital previstos no software podem ser programados pelo usuário, ou seja, pode-se definir o tipo de filtro (Ordem, Lowpass, Highpass, Bandpass e Bandstop). O software permite também a plotagem dos canais no modo XY (Força x Deslocamento), permitindo a análise de histerese, etc.

1.2 Recursos do Software Através do Sistema SoundView é possível a análise do sinal de vibração ou ruído no domínio do tempo (Time Domain) e no domínio da frequência (Power Espectrum) simultaneamente, facilitando assim a análise da vibração ou ruído em questão, pois, dependendo do tipo de análise, determinadas características só podem ser analisadas ou no domínio do tempo ou no domínio da frequência. Em outras palavras, características de componentes mecânicos tais como frequências naturais ou de ressonância podem facilmente ser identificados através da análise de frequência do sinal (gráfico Power Spectrum).Outras características como por exemplo, tempo de resposta de vibrações mecânicas, são facilmente identificadas através da análise do domínio do tempo (gráfico Time Domain) . Os resultados de análises de vibrações ou ruídos mecânicos mostrados nos gráficos podem ser facilmente transportados do Sistema SoundView para Microsoft Word, facilitando e agilizando assim, a emissão de relatórios. Os gráficos do Sistema SoundView utilizam LabView da National Instruments, 100% compatíveis com o Windows Microsoft, o que permite a completa edição dos gráficos conforme desejo do usuário, isto é, suas propriedades podem ser facilmente alteradas apenas com o uso do mouse, como por exemplo: cores de fundo do gráfico (background), cores de frente (foreground), títulos e labels (as mesmas fontes utilizadas pelo Microsoft Word). As linhas de plotagem do gráfico podem ser reeditadas no modo sólido, com a espessura desejada, ou alteradas para ponto, ponto-traço, barras verticais 2D, barras verticais 3D, ou personalizadas . As amplitudes das harmônicas, bem como suas frequências, podem ser lidas individualmente através do cursor do mouse, em suas unidades correspondentes (dB, Hz).

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O eixo das ordenadas pode ser facilmente comutado do modo logarítmico para o modo linear, através do uso do mouse. A busca das harmônicas e de suas amplitudes no gráfico de resposta em frequência de sinal é facilitada pelo uso de cursores online, ( formato definido pelo usuário) que podem ser manipulados e suas coordenadas visualizadas através de ennunciators ou autotexto. Símbolos especiais podem ser colocados através dos cursores, facilitando assim a marcação de frequências de interesse na tabela do gráfico. Todas estas informações podem ser obtidas imediatamente, bastando para isso clicar o mouse no ítem que se quer verificar. Diferentes funções de "zoom" foram implementadas através do LabView da National Instruments, facilitando assim a visualização da área de interesse na curva. As médias aritméticas e exponenciais (Averages) serão implementadas no Sistema SoundView permitindo assim níveis elevados de coerência de sinal e podem ser programadas pelo usuário. As aquisições e sinais através do Sistema SoundView prevêem o uso do "janelamento" (Windows), evitando assim erros de "aliasing" e "leakage". As seguintes "janelas" podem ser definidas pelo usuário :- Exact Blackman;- Blackman-Harris;- Hamming;- Hanning;- 7 Term B-Harris;- Retangular;- 4 Term B-Harris;- Flat Top (utilizada na calibração de sinais). A taxa de amostragem ou Sample Rate, podem ser definidas pelo usuário, facilitando assim a análise de frequência em região de interesse. Níveis de alarme "high" e "low" podem ser definidos pelo usuário e sinalizados através de "leds", etc

1.3 Análises de Sinais no Domínio do Tempo e da Frequência Através do Sistema SoundView é possível a análise de sinais através da técnica de FFT (Fast Fourier Transform). Os sinais aquisitados e analisados pela técnica de FFT, permitem, através do Software, obtermos informações fundamentais dos parâmetros necessários para análise entre os quais podemos citar os mais importantes e suas características:

- Time Waveform: através da análise do sinal no domínio do tempo podemos verificar o nível de saturação do sinal (overloud), evitando assim o aparecimento das harmônicas ímpares do sinal saturado e análise errônea no espectro do sinal. Este tipo

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de análise permite também a análise da constante de tempo e característica inercial do sistema em análise.

- Power Spectrum: o cálculo da potência espectral do sinal nos dá informação da quantidade de energia em função da frequência de vibração do sistema em análise, ou ainda, da quantidade de energia de um subsistema com relação ao sistema global.

- Amplitude espectral: através da análise de amplitude espectral em função da frequência, é possível a avaliação e a identificação de vibrações e ruídos em subsistemas.

- Cross Power: através desta análise podemos avaliar a transmissibilidade da vibração em um sistema global.

- Coerência: através do gráfico de coerência do sinal analisado, obtido pela função de auto-correlação do sinal de excitação e do sinal de resposta de frequência, é possível a verificação de vibrações secundárias de subsistemas devido às instalações do componente em análise, bem como ruído (sinal de coerência baixa.

- Impulse Response: o gráfico de resposta de frequência considerando como excitação a função impulso unitário ("martelo") nos dá a informação da "assinatura" (identificação matemática de subsistemas mecânicos através da análise de frequência e resposta do sinal, mostrando assim suas características mecânicas) e frequência de ressonância de subsistemas em análise.

Todas as informações acima citadas podem ser obtidas imediatamente, bastando para isso clicar o mouse no ítem que se quer verificar. A análise de sinal no domínio da frequência facilita a detecção de vários problemas relativos à vibração e ruído, como por exemplo: frequência natural de componentes ou frequência de ressonância e modo de vibração de componentes mecânicos, prevendo assim análises de quebra e fadigas de elementos mecânicos. Todas as modalidades de análise citadas acima, podem ser consideradas em função da magnitude do sinal de vibração ou de sua fase (Análise Modal), podendo ser visualizadas através de suas formas estatísticas, tais como Vrms (Root Means Square ou Valor Eficaz), etc. Todas estas informações podem ser obtidas imediatamente, bastando para isso clicar o mouse no ítem que se quer verificar.

1.4. Manipulação de Dados através dos Conversores Digitais Analógicos

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O software controla os conversores digitais analógicos (D/A) da placa de som, possibilitando automação e excitação de sistemas como atuadores pneumáticos MTS, shackers , etc.

Sinais pré programados para controle:- Função Senoidal;- Função Cossenoidal;- Função Quadrada;- Função Rampa;- Função Chirp Pattern;- Função White Noise. O software possibilita também a aquisição de um sinal e reprodução do mesmo para controle (função ainda não implementada). Como a placa de som possui 2 conversores analógicos digitais (D/A), o software permite a geração simultânea dos sinais acima, conforme necessidade do usuário. Em outras palavras, é possível gerar um sinal do tipo Chirp Pattern em um canal e um do tipo White Noise em outro. O software prevê também a possibilidade do controle dos canais de saída e de entrada, simultaneamente, permitindo assim, a análise em sistema mecânicos através da técnica de excitação e resposta (Função de Transferência). O uso do software em análise de ruído permite a aquisição, filtragem e reprodução do sinal em estudo, simultaneamente.

Foi implementado no software, drivers da porta paralela dos microcomputadores, possibilitando o controle de 4 níveis TTL (Transistor Transistor Lógico) para saída e entrada (sendo as 4 saídas utilizadas para controle de reles e as 4 entradas como trigger), conforme a necessidade do usuário. O software pode ser utilizado como sistema de controle de temperatura, etc., bastando para isso, que o usuário entre com a variável a ser controlada em um dos canais e configure os níveis de alarme (ON/OFF) que deseja controlar e conecte o sistema de controle de reles nos canais de saída digitais da interface paralela do microcomputador.

1.5 Técnica utilizada para Medição de Sinais Lentos no Tempo

Os canais de entrada das placas de som nos microcomputadores possuem em seu hardware interno um capacitor em série com o restante do circuito, o que impossibilita a leitura de sinais que tenham taxa de variação lenta no tempo. Para resolver este problema, o SoundView utiliza um VCO (Voltage Controler Oscilator), hardware que transforma um sinal contínuo em um sinal alternado com frequência que depende da tensão de entrada. O software calcula a Transformada de Fourier do sinal, no

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caso, sendo um sinal senoidal, possue apenas uma harmônica, cuja frequência é proporcional ao nível de tensão contínua na entrada.

1.6. Multiplex Através do Software SoundView é possível a leitura de até 16 canais de entrada, pois o software utiliza os 4 canais digitais da saída paralela (Centronix) permitindo a multiplexação de 16 canais para um dos canais de entrada da placa de som. Para tanto, utiliza o chip MPC506A da Burr-Brown.

1.7 Plataforma de Desenvolvimento do Software O software foi desenvolvido sob a plataforma LabView da National Instruments. LabView é uma linguagem desenvolvida em ambiente gráfico para aquisição, controle, análise e apresentação de dados. Possue drivers especiais para controle dos mais diversos tipos de protocolo existentes no mercado tais como: - GPIB - General Purpose Interface Bus;- PLC – Controlador Lógico Programado;- Interfaces Seriais Paralelas;- Monitoramento de dados via Internet;- ActiveX – troca de dados entre aplicativos, como Excell, Access; - DDE – Dynamic Data Exchange;- DLL – Dynamical Link Library

Obs.: As interfaces do SoundView com a placa de som é feita através dessas DLL, escritas em linguagem de programação C++. O LabView possue também vasta biblioteca para análise de sinais, tais como:- Transformadas de Fourier;- Transformadas de Hilbert;- Filtros Digitais;- Análise Estatística de Sinais. Os dados em análise podem ser apresentados através de diferentes formas, como por exemplo:- Gráficos;- BarGraphics;- Ennunciators, etc. Através do LabView , é possível também a implementação de cursores, zoom, etc.

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CAPÍTULO 2

Análise de Fourier

2.1 Introdução

Em certos tipos de análise conseguimos obter maiores informações de um processo qualquer (como por exemplo vibração e ruído), quando estudamos o sinal no domínio da frequência e não do tempo. Contrariamente o que previam matemáticos famosos como Euler, d’Alambert e Lagrange, um sinal periódico qualquer definido no tempo pode ser representado através da somatória de suas harmônicas. Em outras palavras, um sinal periódico definido no tempo (por exemplo: sinal sonoro de um processo qualquer), pode ser representado matematicamente através de uma somatória de senos e cossenos (harmônicos).

Qualquer função arbitrária no tempo pode ser obtida, ou melhor, representada, através da somatória de senos e cossenos (harmônicos), sendo suas respectivas frequência e amplitude definidas pela Transformada de Fourier.

Portanto podemos dizer que se x(t) é uma função periódica no tempo t , com período T, como mostrado na Fig. 2.1, então podemos sempre expressar x(t) como uma série

Fig2.1 Função periódica arbitrária no tempo

trigonométrica infinita (uma série de Fourier) da forma seguinte:

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ou, numa notação mais compacta,

(2.1)

onde , e são coeficientes constantes de Fourier dados por

(2.2)

As condições matemáticas para a convergência de (2.1) são extremamente gerais e cobrem praticamente todas as situações concebíveis na engenharia. A única restrição importante é que, quando x(t) é descontínuo, as séries dão o valor médio de x(t) na descontinuidade.

Supondo que a posição do eixo x na Fig. 2.1 seja ajustada para que o valor de x(t) seja zero. Então, de acordo com (4.2), o coeficiente será zero. Os outros coeficientes e

serão todos diferentes e seus valores podem ser ilustrados graficamente como

mostradoFig. 2.2 Representação gráfica dos coeficientes de Fourier

na Fig. 2.2. O eixo horizontal na Fig. 2.2 é escolhido para representar frequência e a localização do coeficiente kth está em

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(2.3)

que é a frequência da harmônica kth. O espaçamento entre harmônicas adjacentes é

(2.4)

e veremos que, quando o período T fica maior, o espaçamento da frequência se torna menor, e os coeficientes de Fourier se tornam estreitamente reunidos de acordo com a Fig. 2.2. No limite onde T ,eles irão se fundir. Como neste caso x(t) não representa um fenômeno periódico, podemos então analisá-los como componentes de uma frequência discreta. Em outras determinadas condições, podemos seguir a mesma linha de raciocínio, exceto quando as séries de Fourier (2.1) se transformam em Integrais de Fourier e os coeficientes de Fourier (2.2) se transformam em frequências de funções contínuas, chamadas transformadas de Fourier.

2.2 Integral de Fourier

Substituindo (2.2) dentro de (2.1) teremos, para = 0,

Em seguida, substituindo 2k/T (2.3) e 1/T (2.4), teremos

Quando o período T , d e se torna uma integral com os limites = 0 para =. Neste caso

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Ou colocando

(2.5)

teremos

(2.6)

Os termos A() e B() definidos por (2.5) são componentes da Transformada de Fourier de x(t) e a equação (2.6) é uma representação de x(t) por uma Integral de Fourier ou Transformada Inversa de Fourier.

O desenvolvimento eurístico é muito rigoroso, mas indica a lógica que transforma uma representação da série discreta de Fourier em uma Fourier integral. A teoria clássica da Análise de Fourier considera as condições que x(t) devem satisfazer para que (2.5) e (2.6) sejam verdadeiras. Para aplicações na engenharia, uma importante condição é usualmente expressa na forma

(2.7)

Isso significa que a teoria clássica se aplica apenas a funções que declinem para zero quando t . Podemos ver mais tarde que esta condição pode ser reovida quando as unçõesde impulse são introduzidas na teoria generalizada da Análise de Fourier, mas iniciaremos considerando apenas a teoria clássica e usando funções ordinárias que satisfaçam (2.7). Para a série Discreta de Fourier, quando há uma descontinuidade em x(t), a equação (2.6) dá o valor médio de x(t) na descontinuidade.

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Fig. 2.3 Uma função periódica para Transformada de Fourier

Exemplo: Cálculo dos componentes A() e B() da Transformada de Fourier da função mostrada na Fig. 2.3.

De (2.5)

e

Estas integrais podem ser integradas por partes, para dar

e

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Portanto

e

então

e a representação da Integral de Fourier é, a partir de (2.6)

A dependência de A() e B() na frequência pode ser traçado como mostrado na Fig. 2.4, que corresponde à Fig. 2.2 para os coeficientes discretos das séries de Fourier.Note que, quando t = 0,

Que é o valor médio de x(t) na descontinuidade.

Fig. 2.4 Componentes da Transformada de Fourier da função mostrada na Fig.2.3

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A Integral de Fourier pode ser considerada como um limite formal de uma série de Fourier quando o período tende ao infinito. A razão para se introduzir este conceito é porque as integrais de Fourier indicam a composição da frequência de uma função aperiódica; para entendermos as características da frequência de processos casuais é necessário analisar a composição da frequência de suas funções correlativas, que são geralmente funções aperiódicas. Isto é útil para comparar as equações transformadas de Fourier (2.5) com a Segunda e terceira de (2.2) e a integral de Fourier (2.6) com as séries infinitas de Fourier (2.1). Note que as dimensões físicas dos componentes da Transformada de Fourier A() e B() (que são de x/) são diferentes dos coeficientes (que são ambos de x): e

2.3 Forma complexa da Transformada de Fourier

É freqüente , na teoria da vibração randômica, escrever equações (2.5) e (2.6) de forma complexa, usando o resultado de

(2.8)Definindo X() como

X() = A() – iB()

(2.9)

equações (2.5) podem ser combinadas para dar

(2.10)

de (2.8). Esta última equação é a definição formal de X() que é chamada de Transformada de Fourier de x(t).

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Para colocar (2.6) numa forma compacta, devemos primeiro observar em (2.5) que A() é uma função constante de e B() é uma função casual de . A razão para isso é que , se o

sinal de é mudade em ambos (2.5), A() continua o mesmo mas B() muda de sinal. Isso resulta que A()cost e B()sint são ambos funções constantes de ambos resultam o mesmo quando o sinal de é mudado. A equação integral de Fourier (2.6) pode ser, então, escrita das seguintes formas equivalentes

Onde as integrais vão de - à + ao invés de 0 para e o fator 2 desaparece. A idéia de frequência “negativa” foi introduzida mas é apenas um artifício matemático para simplificar a equação (ou talvez confundir o processo, dependendo do ponto de vista). Então, desde que A() seja uma função constante e sint uma função casual de , A()sint é uma função casual, e então

E, similarmente,

(2.12)

Podemos então juntar as integrais em (2.12) para (2.11) sem que faça diferença no valor de x(t). Isto pode ser escrito da seguinte forma

Desde que as duas integrais sejam iguais a zero, ou, reunindo termos, como

(2.13)

As duas equações (2.10) e (2.13), que serão juntamente repetidas abaixo, são chamadas um par de transformada de Fourier. X() é a transformada de Fourier (complexa) de x(t),

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(2.10) e (2.13)

que pode ser recuperada de X() pela equação inversa da Transformada de Fourier (2.13). Autores diferem sobre a posição do fator 1/2 que aparece nestas equações. Alguns

incluem o 1/2 na equação inversa transformada (2.13), enquanto outros incluem o um fator em ambos (2.10) e (2.13). De qualquer forma, a

definição de X() dada aqui é a mais popularmente utilizada na teoria da vibração randômica.

Exemplo:

Use (2.10) para determinar a transformada de Fourier (complexa) da função x(t) mostrada na Fig. 2.3, e verifique se o resultado coincide com o obtido no exemplo anterior.

De (2.10)

.

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2.4 Transformada Discreta de Fourier

Para a análise da transformada discreta de Fourier vamos considerar o sinal x(t) representado abaixo:

X(t)

t

r.

Fig. 2.5 Amostras de uma função continua no tempo em intervalos regulares.

Considerando o sinal acima amostrado em intervalos (Delta) igualmente espaçados, o valor discreto de no tempo t = r. e representado por , e a seqüência , r = ...,-1, 0, 1, 2, 3, ..., é chamada de Série Discreta no Tempo. Como a série discreta é derivada de uma função contínua no tempo, convencionou-se que r são Séries Contínuas no Tempo. O termo Séries no Tempo é portanto utilizado para se referir a uma seqüência de números discretos , ordenados no tempo, ou para se referir a um tempo original contínuo como X(t), de onde as séries discretas foram obtidas. O objetivo das Análises de Séries no Tempo é determinar as características estatísticas da função original X(t), manipulando as séries dos números discretos . O interesse primordial é na frequência da composição de X(t) , que conseguiremos exemplificar estimando o espectro de um processo aleatório X(t) , e analisando as séries discretas no tempo obtidas por amostragem de um tempo finito da função amostral.

22

O método óbvio para se estimar o espectro de um dado medido é primeiro estimando-se a função de correlação apropriada e depois utilizando-se a transformada de Fourier nesta função. Até 1960 esta aproximação foi a base dos procedimentos práticos de cálculo que seguiam as regras matemáticas formais segundo a qual o espectro é definido pela transformada de Fourier de funções correlativas. As suposições e aproximações envolvidas foram estudadas detalhadamente e há uma extensa literatura a respeito do método “clássico”. Porém , as posições mudaram com o advento da Transformada Rápida de Fourier (ou FFT). Esta é uma maneira consideravelmente eficiente de calcular a transformada de Fourier de séries no tempo. Ao invés de estimar o espectro primeiro determinando as funções de correlação e depois calculando a sua transformada de Fourier, é mais rápido e mais preciso calcular espectros estimados diretamente da série no tempo original, pelo método que descreverei detalhadamente, sendo necessário retornar à análise de Fourier de uma função de tempo X(t) periódica (não aleatória).

Se X(t) é uma função periódica com período T, então é sempre possível escrever

(2.14)onde

(2.15) Se usarmos notação numérica complexa, equações (2.15) poderão ser combinadas dentro de uma equação simples definida por

(2.16)e colocando

23

para dar

(2.17)

Agora consideremos o que aconteceria se a série contínua de tempo X(t) fosse desconhecida e somente amostragens igualmente espaçadas fossem avaliadas. Suponhamos que fossem representadas pelas séries discretas , r=0,1,2,...,(N – 1), onde t=r , Fig. 2.1, e = T/N. Neste caso, a integral em (2.17) poderá ser substituída por

(2.18)

Isto importa em assumir que a área total sob a curva , mostrada na Fig. 2.6 é dada pela soma de toda as barras sombreadas. Substituindo T=N em (2.18), teremos

(2.19)

que pode ser considerada uma fórmula aproximada para calcular os coeficientes das séries de Fourier (2.14).

Fig. 2.6 Aproximação para se calcular os coeficientes discretos de Fourier à partir de uma série contínua

Apesar de (2.19) não nos dar muita informação de como obter uma série temporal contínua x (t), é um fator importante pois nos permite recuperar exatamente todos os valores discretos

24

das séries . Qualquer valor tipicamente das séries é dado pela fórmula inversa

(2.20)Para comprovar este fato basta colocar r=s em (2.19) (para evitar confusão de termos posteriormente) e então substituir no r.h.s. de (2.20), para obter

Mudando a ordem dos somatórios obtemos

e, considerando que k,s,r e N são todos números inteiros, e que todos os exponenciais somam zero exceto s=r, o termo em { } é dado também por

ou

e portanto

conforme verificamos em (2.20).

25

Chegamos então na forma definitiva da Transformada Discreta de Fourier (ou DFT) das

séries , r= 0,1,2,..., (N – 1), dada por (2.21)

e à Transformada Discreta de Fourier Inversa (IDFT) dada por

(2.22) A linha dos componentes de Fourier Xk é limitada de k=0 à (N – 1) (conforme harmônicas de frequência) para manter a simetria do par transformado (2.21) e (2.22).Podemos ver que componentes harmônicos com excesso de frequência de um valor limitado fixado por um intervalo amostral , Fig. 10.1,não pode ser identificado pela análise de uma informação amostral, já que nenhuma informação é perdida ao se restringir a linha tolerável do número inteiro k. Apesar de já termos introduzido o DFT considerando as propriedades das séries contínuas de Fourier, é importante observar que a transformada discreta de Fourier (2.21) tem exatamente a definição inversa de (2.22) e que as propriedades do DFT são propriedades exatas ao invés de propriedades aproximadas baseadas em resultados correspondentes para transformadas contínuas de Fourier.

2.5 Transformada de Fourier de uma Função Periódica

Considerando as Transformadas Contínuas de Fourier Par

(2.23)

(2.24)

e considerando a teoria da Transformada Clássica de Fourier, que é restrita à função x(t), representada por

26

Ainda que se admita o uso de funções generalizadas, esta restrição deve ser considerada. Suponhamos que x(t) seja uma função periódica no tempo representada pelas séries de

Fourier (2.14) e, para simplificar, consideremos apenas a harmônica kth ,

(2.25)

A transformada de Fourier desse x(t) pode ser representada por

(2.26)

onde é a função delta de Dirac. tem a propriedade de sempre ser zero, exceto onde = 0, onde é infinito de forma que

Similarmente, é zero em qualquer lugar exceto quando onde satisfaz

(2.27)

A melhor maneira de verificar (2.26) é usando a transformada inversa (2.24). Se substituirmos a transformada (2.26) pela (2.24) e fizermos uso da (2.27) quando avaliaremos a integral, torna-se fácil mostrar que (2.25) é recuperável. As partes real e imaginária da transformada de Fourier de uma onda harmônica (2.25) podem ser representadas por um par de funções delta (2.26) e, estendendo as análises para muitas harmônicas, podemos ver as partes real e imaginária da transformada de Fourier de séries periódicas de Fourier x(t), (2.14) ser representadas por infinitos “pentes” de função delta, como mostrado na Fig. 2.3. Se o período de x(t) é T, então as linhas de espectro (funções delta) são espaçadas 2 /T rad/s à parte (presumindo-se que unidades de tempo estão em segundos).

27

O mesmo resultado pode ser também matematicamente representado pela extensão (2.26) (2.16)

de um somatório que abranja todas as harmônicas. Se para tal, partirmos de (2.16), e definir

(2.28)

2.6 Análise espectral Digital I: Transformadas Discretas de Fourier

Fig. 2.7. Partes real e imaginária da Transformada de Fourier X(w) de uma função periódica

então, (2.13) pode ser generalizado por

(2.29)

que é uma importante equação, pois sempre a utilizaremos.

28

Em suma, vimos que a DFT de um série discreta no tempo , r = 0, 1, 2,...,(N – 1), fornece-nos uma gama de coeficientes complexos que podem ser interpretados de duas formas. Se tiver supostamente derivado exemplificando-se um ciclo singular de uma

função periódica x(t), os componentes de serão uma aproximação de:(i) os coeficientes de uma expansão da série de Fourier de x(t); e(ii) as áreas dos pés dos pentes da função delta que são as partes real e imaginária da

transformada de Fourier de x(t) (e que são, como já vimos, o mesmo que (i)).

Estabelecendo-se que x(t) é uma função contínua (sem interrupções imprevistas) a aproximação pode ser feita tão próxima quanto desejarmos exemplificando-se um intervalo cada vez menor. Podemos então relacionar a DFT de uma série discreta no tempo de uma transformada de Fourier a uma série contínua fundamental, e isso é importante na compreensão de como a DFT é utilizada para calcular a densidade espectral estimada de uma informação amostral. Para tal , devemos primeiro considerar algumas propriedades fundamentais das DFT’s.

2.7 Aliasing Vimos que a DFT das séries , r = 0, 1, 2,...,(N – 1), é definida por

(2.8)

para k = 0, 1, 2,...,(N – 1). Supondo que tentemos calcular os valores de Xk para o caso em que k for maior que (N – 1). Teremos k = N + 1

Então

onde, desde que seja sempre igual a 1, independente do valor de r, teremos

(2.30)

29

Porém, os coeficientes Xk repetem a si mesmos quando k> (N – 1),e se plotarmos as magnitudes |Xk| ao longo de um eixo de frequência , o gráfico se repete periodicamente como vemos na Fig. 2.8.

Fig. 2.8. Periodicidade dos coeficientes de Fourier calculados pela DFT.

Além disso, é fácil ver de (2.21) que, termos fornecidos nas séries ,são reais,

(a conjugação complexa de ) (2.31)

de acordo com (2.28). Consequentemente

e a Fig. 2.4 é portanto simétrica na posição de frequência zero. A parte singular do gráfico ocupa a frequência rad/s. Frequências mais altas apenas mostram falsos coeficientes de Fourier que são repetições daqueles que se referem a frequências abaixo de

rad/s. Podemos portanto observar que os coeficientes Xk calculados pela DFT são coeficientes de Fourier corretos se as frequências forem superiores a

que é para k na escala k = 0, 1, 2,...,(N – 1).

Além disso se houver frequências acima de rad/s presentes no sinal original, ocorrerão distorções de gráfico chamadas aliasing, Fig.2.9.

30

Fig. 2.9 Distorção aliasing quando o sinal da largura de banda excede rad/s.

Os componentes de alta frequência contribuem para as séries , e distorcem falsa ente os coeficientes de Fourier calculados pela DFT para frequências abaixo de rad/s. Se é o componente de frequência máxima em x(t), então, aliasing pode ser evitado afiançando-se que o intervalo amostral é pequeno o bastante que

ou, se , afiançando-se que

A frequência 1/2 Hz é chamada de Frequência de Nyquist ( ou algumas vezes de frequência de envelopamento) e é a frequência máxima que pode ser detectada por uma informação amostral no espaço de tempo (segundos). O fenômeno aliasing é muito importante quando informações práticas são analisadas. A frequência amostral 1/2 deve ser alta o suficiente para cobrir completamente a linha de frequência das séries contínuas no tempo. De outra forma, os espectros de espaços amostrais iguais diferirá do espectro verdadeiro por causa da aliasing. Em alguns casos a única maneira de se certificar que as condições são satisfatórias é filtrando as séries no tempo para remover intencionalmente todos os componentes de frequência superior a 1/2 antes de iniciar a análise.

31

CAPÍTULO 3

Filtros Digitais

3.1 Filtros Digitais no Domínio do Tempo

Através de técnicas utilizadas no domínio da Freqüência, podemos filtrar um sinal simplesmente multiplicando, ou melhor, convoluindo a transformada de Fourier do sinal de entrada pela função de transferência do filtro, e finalmente, tomando a transformada inversa de Fourier, obtemos o sinal filtrado no domínio do tempo. Porém existem situações onde este procedimento não é vantajoso em relação ás técnicas de filtragem de sinal no domínio do tempo.

Os filtros digitais no domínio do tempo apresentam enormes vantagens quando consideramos um sinal digital adquirido em um processo de medição onde desejamos eliminar as componentes de freqüências altas ou baixas, através de filtros do tipo “Low-Pass Filter”, “High-Pass Filter” ou “Bandpass Filter”, ou ainda, o mesmo sinal contaminado pôr um ruído de rede (60 Hz), onde necessitamos de um filtro do tipo “Notch Filter”.

Antes de descrevermos o processo de filtragem de sinais no domínio do tempo devemos relembrar algumas características relativas a filtros digitais, tais como:

A função Filtro Digital H(f) é definida tanto para as freqüências positivas como para as freqüências negativas, e a magnitude das freqüências encontradas nos extremos da matriz

H(f) são as definidas como freqüências de Nyquist , onde é o intervalo de

amostragem. A magnitude da menor freqüência diferente de zero na FFT é , onde N é

o numero (complexo) de pontos da FFT.

3.2 Filtros Lineares

A maioria dos filtros lineares tomam uma seqüência de pontos de entrada e produzem

uma seqüência de pontos de saída segundo a equação dos filtros lineares definida

como:

n kk

M

n k jj

N

n jy c x d y

0 1

(3.1)

32

onde os M+1 coeficientes e os N coeficientes são fixos e definem a resposta do

filtro.

O filtro equacionado acima produz uma nova saída para o valor atual e os M´s valores anteriores de entrada adicionados aos N valores de saídas anteriores.

Supondo N=0, isto é, o segundo termo da equação acima nulo, o filtro é chamado não recursivo ou FIR (Finite Impulse Response), e para N0, o filtro é chamado de recursivo ou IIR (Infinite Impulse response). A função de resposta do filtro H(f) é dada

pela relação entre os coeficientes kc e jd , isto é:

.

H f

i k f

j f

kk

M

jj

N

c e

d e( )

. .. . .( . )

. . . .( . )

2

1 20

1

(3.2)

onde é o intervalo de amostragem, e o intervalo de Nyquist corresponde a f . entre 1/2 e +1/2. No caso de filtros do tipo FIR o denominador da equação acima é igual a unidade.

A equação acima possibilita-nos conhecer a resposta em freqüência do filtro a partir dos

coeficientes kc e jd , porém, na maioria dos casos (Filtros Digitais), o problema é

exatamente o contrário.

3.3 Filtro Não Recursivos (FIR)

Os filtros digitais são considerados não recursivos quando todos os seus coeficientes la

são nulos, ou iguais a zero, neste caso, como podemos observar pela equação características

dos filtros digitais, não é necessário o cálculo prévio das amostras das respostas i

q k( ) , e

i jH z. ( ) é um polinômio em 1z , como pode ser visto nas equações acima. Para estes

filtros o lado direito da equação

i l j l il

n

l

m

q b a qk Q k l k l( ) . ( ) . ( )

10

, é na verdade a convolução das seqüências

jQ k( ) e kb , sendo i jh k. ( ) iguais as coeficientes

lb do filtro, ou:

33

i j lh bl l m.

( ) 0 e i jh l l l m.

( ) , 0 0 .

O que torna o filtro não recursivo um filtro de resposta impulsiva finita(FIR), assim como o filtro recursivo um filtro de resposta impulsiva infinito(IIR).

Podemos observar pelos formulários acima que os filtros digitais podem ser facilmente programados em computador para as mais variadas aplicações, devemos considerar

também a versatilidade, pois basta definirmos novos coeficientes la e

lb para mudarmos

as características do filtroQuando o denominador da equação (3.2) é igual a unidade a resposta em freqüência do

filtro H(f) nada mais é que a transformada discreta de Fourier , portanto, os coeficientes kc

podem ser facilmente obtido pela transformada inversa de Fourier da resposta em

freqüência do filtro, onde para um dado numero de coeficientes kc , temos o mesmo

numero de freqüências discretas da função H f i( ) , entretanto este fato não é muito

interessante, pois, para valores de kc calculados desta maneira, H(f)

tendera a oscilar entre os valores das freqüências discretizadas.

3.4 Filtros Recursivos(IIR)

Os filtros digitais são recursivos quando seus coeficientes la são não nulos, ou diferentes

de zero, neste caso o cálculo de i

q k( ) , necessita de valores amostrados e calculados

previamente (feedback), e função i jH z. ( ) é uma função racional em 1z .

Os filtros recursivos, onde a saída em um determinado tempo depende do dado de entrada atual e dos dados de entrada e saídas anteriores, geralmente possuem performance superiores quando comparados com os filtros não recursivos com os mesmos números de coeficientes. Pela equação (3.2) podemos notar que os filtros não recursivos apresentam resposta em freqüência segundo o polinômio definido pela variável 1/z (3.3):

z i fi f

e e 2 2 ( ) . . .( . )

(3.3)

e a resposta em freqüência dos filtros do tipo recursivos é uma função racional em 1/z. As funções racionais, pelas suas características, são amplamente empregadas na representação das funções de filtros.

Os filtros não recursivos são sempre estáveis, pois, um determinado numero de entradas

xi produzira depois de M interações segundo a equação (3.1), um determinado numero de

34

saídas i

y . Os filtros recursivos, porém, não são necessariamente sempre estáveis, pois, se

os coeficientes jd não forem escolhidos corretamente, a resposta do filtro tenderá a

crescer exponencialmente, assim no projeto de filtros digitais do tipo não recursivos devemos considerar também o problema de instabilidade.

A instabilidade da equação (3.1) depende somente dos coeficientes jd , e o filtro

somente será estável, se, e somente se, todas as N raízes complexas do polinômio característico dado pela equação abaixo estiverem dentro do círculo unitário e satisfazerem a condição z 1

. (3.4)

N

j

N j

j

N

z d z

0

1(3.5)

Existem inúmeras técnicas para o desenvolvimento de filtros digitais recursivos, porem iremos descrever abaixo o método da transformada biliear, através da qual projetaremos um filtro digital como exemplo de desenvolvimento de filtros.

3.5 Projeto de Filtros Digitais (Método da Transformada Bilinear).

Inicialmente definiremos a variável w através da qual iremos parametrizar a variável de freqüência f , pela equação:

w f ii f

i fi

z

z

ee

tan . . .

. . .( )

. . .( ).

1 2

1 21

1

(3.6)

Esta equação, apesar da variável imaginária i, nos permite calcular freqüências reais f para reais valores de w. Invertendo a equação (3.6), obtemos:

z i f iw

iwe

2 1

1. . .( . )

(3.7)que parametriza f, w e z.

Porém devemos rescrever as condições de estabilidade dada pelas equações (3.4) e (3.5) em termos de w. A resposta do filtro H(f) escrita em função de w será estável se, e

35

somente se, os pólos da função filtro (zeros do denominador) pertencerem á metade superior do plano complexo. Im(w) 0 (3.8)

O uso do Método de Transformação Bilinear ao invés de especificar H(f), especifica o módulo quadrado de H(f),

e o aproxima através de funções racionais em w2 , podemos então achar todos os pólos da função no plano complexo w, onde cada pólo na metade inferior do plano terá simetricamente um pólo na metade superior do plano complexo, onde a função H(f) é estável. Agora substituindo a equação (1.6) para escreve-la como uma função racional em

z, e comparando-a com a equação (1.2) podemos ler os coeficientes kc e jd .

Ilustraremos o procedimento acima através de um exemplo. Suponha que desejamos projetar um filtro do tipo Passa-Banda com freqüência de corte inferior w=a e freqüência de corte superior w=b, sendo a e b ambos números positivos.

A função racional do filtro será:

H fw

w a

b

w b( )

22

2 2

2

2 2

(3.9)

A função acima não apresenta freqüências de corte acentuadas, entretanto, podemos tomar a equação acima para diferentes valores positivos de potências e aplicar cada filtro obtido nos dados a serem filtrados.

Os pólos da equação acima, será evidentemente, w = ia e w = ib, porém, considerando a estabilidade do filtro, temos:

(3.10)

Multiplicando o denominador da equação (3.10), obtemos:

36

h f

b

a b

b

a bz

a b a b

a bz

a b

a bz

( )

1 1 1 1

11 1 1 1

1 1

1 1

1 1

2

1 2

(3.11)

Através da equação acima, retiramos os coeficientes do filtro:

0 1 1cb

a b

.

1 0c .

2 1 1cb

a b

.

1

1 1 1 1

1 1da b a b

a b

.

2

1 1

1 1da b

a b

.

(3.12)

Aplicando os coeficientes acima na equação (3.1), podemos filtrar os dados nas freqüências de corte inferior e superior (a,b).

3.6 Projeto de um Filtro do tipo Rejeita Banda (Notch Filter).

No caso de um filtro do tipo Notch Filter, pelo método de transformação biliear, precisamos inicialmente encontrar uma função racional definida em w para H(f), devemos iniciar pelo seu módulo ao quadrado. A função devera também apresentar seus pólos na metade superior do circulo unitário, para que o filtro projetado seja estável, e seus pólos devem ser números complexos conjugado para que os coeficientes do filtro sejam reais.

A equação (3.13), abaixo, representa a função de um filtro Notch, capaz de rejeitar uma determinada freqüência positiva w w 0 .

H f

w w

w w i e w

w w

w w i e w

w w

w i e w w( )

. . . . . .

0

0 0

0

0 0

202

0

2

02

(3.13)

37

O parâmetro e, acima, representa largura do filtro. Substituindo z por w, obtemos, como demonstrado acima, os coeficientes do Notch Filter.

0

02

0

2

02

1

1c

w

e w w

.

1

02

0

2

02

21

1c

w

e w w

.

2

02

0

2

02

1

1c

w

e w w

.

1

202

02

0

2

02

21

1d

e w w

e w w

.

.

2

02

02

02

02

1

1d

e w w

e w w

.

.

(3.14)

O método de transformação biliear é interessante quando desejamos aproximar uma curva representativa de um filtro, porém, nas freqüências de corte do filtro, apresenta características extremamente suaves, o que torna sua aplicação limitada.

Em anexo, a este trabalho, é apresentado um programa escrito em software MatLab, onde o método de transformação biliear é utilizado para emular um filtro do tipo Passa-Faixa (PassBand Filter), e um filtro do tipo Rejeita Faixa (Notch Filter), assim como os gráficos correspondentes.

3.7 Modelos de Filtros Digitais

Os filtros digitais são sistemas que apresentam em função de um sinal dinâmico discretizado de entrada, um sinal dinâmico discretizado de saída. Esquematicamente, pode ser representado pelo diagrama de blocos abaixo.

j i j iQ k k kh q( ) ( ) ( ). , sendo k=0,1,2..., .

Onde i jh k. ( ) é a resposta do sistema no instante “k” devido a uma entrada unitária Função

Delta de D´irac), resposta do sistema ao impulso unitário.

38

O sistema acima em regime permanente, pode ser representado matematicamente pelo

somatório de convolução das seqüências i jh k. ( ) e jQ k( ) , ou seja:

i i j j i j jl

q h hk Q k l Q k l( ) ( ) ( ). ( ). .

, e k=0,1,..., .

No sistema acima consideramos a resposta ao impulso unitário infinita. Quando a seqüência

i jh k. ( ) acima apresentar um número finito de termos diferente de zero, o sistema apresenta

uma resposta impulsiva finita (FIR), caso contrário, o sistema apresentara uma resposta impulsiva infinita(IIR) .

A equação acima pode também ser expressa de maneira mais apropriada da seguinte forma:

i l j l il

n

l

m

q b a qk Q k l k l( ) . ( ) . ( )

10

, onde k=0,1,2,...,

A equação acima é a representação matemática de um filtro digital que calcula a k-ésima

resposta amostrada i

q k( ) usando as “n” respostas anteriores i

q k( ) 1 , i

q k( ) 2 ,...,

iq k n( ) , a excitação amostrada atual

jQ k( ) e as “m” excitações anteriores jQ k( ) 1 ,

jQ k( ) 2 ,...,jQ k m( ) .

Os termos la e

lb acima são as constantes que determinam as características do filtro.

Considerando o filtro acima estável, a sua resposta impulsiva devera apresentar a seguinte

propriedade: i jh k. ( ) 0 , para k 0, e somente um número finito de termos serão não

nulos, isto e´, i jh k. ( ) 0 para “k” tendendo a infinito, e ainda, a equação característica do

filtro devera apresentar todos os seus pólos dentro do círculo unitário.

A análise matemática de filtros digitais podem também serem feitas através do método de transformadas. Assim como as transformadas de Laplace e Fourier transformam equações diferenciais em equações algébricas, da mesma maneira as transformadas Z, podem ser utilizadas em equações diferenças como as que caracterizam os filtros digitais. Assim as transformada Z da resposta do filtro digital acima é dada por:

i i i

k

k

q q qz Z k k z( ) . ( ) ( ).

0

.

39

A relação entre a variável da transformada “Z” e a variável da transformada de Laplace “S” esta relacionada pela equação:

z s te . .

que pode ser demonstrada se considerarmos que a resposta do filtro pode ser representada pôr um somatório de funções impulso unitário ponderadas pelas suas amplitudes, assim, aplicando a transformada de Laplace, temos:

i i i

ki

k

q q q q es L t k t L t k t k k t s( ) . ( ) ( . . ). . .( . . ) ( ). . . .

0 0

Comparando as duas equações acima, concluímos que:

z s te . . .

As transformadas “Z” e as transformadas de Laplace “S”, possuem as mesmas propriedades, assim, tomando a transformada “Z” da equação fundamental do filtro, temos:

i

k

kl j l i

l

n

l

m

k

kq z b a q zk Q k l k l( ). . ( ) . ( ) .

0 100

,

onde o lado esquerdo da equação e´ i

q z( ) , e aplicando as propriedades das transformada

“Z” de linearidade e deslocamento, obtemos:

i j l

l

il

m

l

l

l

n

q b z q a zz Q z z( ) ( ) . ( ). .

0 0

,

rescrevendo na forma clássica, temos:

iji

j

l

l

l

m

l

l

l

nHq b z

a zz

z

Q z( )

( )

( )

.

.

0

1

1 .

Em processamentos digitais de sinais a equação i jH z. ( ) é chamada de função de

transferência do filtro, e as raízes do numerador são chamadas de zeros da função, e as do denominador são chamadas de pólos da função.

As equações características dos filtros digitais, são as equações:

40

i l j l il

n

l

m

q b a qk Q k l k l( ) . ( ) . ( )

10

,

que representam o filtro digital no domínio do tempo, e a equação:

i j

i

j

l

l

l

m

l

l

l

nH zz

Q z

q b z

a z.

.

( )( )

( ) .

0

1

1,

que representam o filtro digital no domínio da freqüência.

As equações acima, representam a resposta do filtro á função impulso unitário, e os

coeficientes la e

lb , representam as características do filtro. Os filtros digitais podem

ser classificados em Filtros Recursivos e Filtros Não Recursivos, conforme descritos abaixo..

3.8 Filtros RC.

Combinado resistores (R) e Capacitores (C), é possível construirmos circuitos eletrônicos no qual a amplitude do sinal depende da freqüência de oscilação do mesmo, tais circuitos são chamados de filtros eletrônicos RC. A atenuação do sinal em função da freqüência depende da impedância do capacitor dada pela fórmula:

ii czj

wc .

Os circuitos formados pêlos filtros RC possuem a propriedade de permitir a passagem de sinais nas freqüências de interesse, bem como, rejeitar sinais com freqüências indesejáveis (Ruídos).

3.8.1 - Filtros Passa-Alta (High-Pass Filter).

41

Fig.3.1 Filtro Passa-Alta

O circuito acima é um divisor de voltagem formado pôr um resistor R e um capacitor C, onde o sinal de saída do filtro é dado pela lei de Ohms:

outin

total

in in

vv

z

v

R j w C

v R j w C

R w C

/ .

. / .

/ .2 2 21,

que multiplicado pelo complexo conjugado obtemos a voltagem de saída do sinal filtrado no resistor R, que é dado pela equação:

v Z R

v R j w C R

R w Cout R

in

. / . .

/ .2 2 21,

como normalmente nos interessa somente a amplitude do sinal e não a fase, podemos escrever:

v v vout out out ./1 2

, ou ainda:

v

R

R w Cvout in

2 2 2 1 21 / .

./ , e ignorando a fase do sinal, sua amplitude será dada pôr:

v

f R C

f R Cvout in

2

1 22 1 2

. . . .

. . . ..

/

, e o gráfico característico é apresentado na figura abaixo:

42

V o u t /V in

F r e q .

0 2 00 .0

1 .0

Fig.3.2. Resposta em Freqüência do Filtro Passa-AltaPodemos perceber pelo gráfico acima que a saída do sinal é aproximadamente igual a sua entrada para sinais compostos pôr freqüências altas, e tende a zero para freqüências baixas. A freqüência de corte para o filtro acima é dada pôr:.

f f Cc 1

2. . .

3.8.2 Filtros Passa-Baixa (Low-Pass Filter).

Fig. 3.3 Filtro Passa-Baixa

43

Podemos obter um Filtro Passa-Baixa Intercambiando os componentes R e C do Filtro Passa-Alta descrito acima. Sendo sua equação característica dada por:

v vout

w R Cin

11 2 2 2 1 2

. ./ , e sua freqüência de corte também é dada por:

f f Cc 1

2. . . .

O gráfico de resposta em Freqüência do Filtro Passa-Baixa é apresentado abaixo:

Fig. 3.4 Resposta em Freqüência do Filtro Passa-Baixa.

3.8.3 Circuitos Ressonantes e Filtros Ativos.

44

Fig. 3.5 Circuito Ressonante LC - Filtro Passa-Banda.

Capacitores e Indutores podem ser combinados, conforme o circuito acima, para construirmos os chamados Filtros Ativos, sendo suas características apresentadas na Curva de Resposta em Freqüência mostrada abaixo.

V o u t / V in

F r e q .0 1 0

1 . 0

Fig. 3.6 Resposta em Freqüência de um Filtro Passa-Faixa (Filtro Ativo)

3.8.4 Circuito Ressonante LC

45

A principal característica dos filtros ativos é o pico na amplitude para uma determinada freqüência representado no gráfico de resposta do filtro. Considerando o circuito acima, temos que:

1 1 1 1 1

Z Z Z j w L

wC

jj w C

w LLC L C

. .

. ..

,

portanto:

Zj

w L w CLC 1 / . .

.

A reatância do circuito LC combinada com R, conforme o circuito acima, forma um divisor de voltagem, e devido a impedância do capacitor C ser oposta a do indutor L, a impedância dos componentes LC em paralelo, vai para infinito na freqüência de ressonância, dada por:

f L C0

1

2 . . . , e w L C0 1 / . , que gera um pico na resposta do sistema.

O resistor R no circuito acima é utilizado com o objetivo de reduzir o pico de ressonância do circuito. Normalmente os Filtros ativos, também chamado filtros sintonizados, é amplamente utilizado para sintonia de sinais eletrônicos.

3.8.5 Filtros Ativos.

Podemos construir através de Capacitores, Indutores e Resistores filtros eletrônicos do tipo Passa-Baixa, Passa-Alta, e filtros Passa-Faixa através da combinação dos anteriores. Os circuitos acima também podem ser colocados em cascatas, afim de obtermos uma boa filtragem do sinal.

Supondo um sinal contaminado com um ruído indesejável, e supondo ainda que o sinal de interesse possua freqüências baixas, podemos colocar vários filtros do tipo Passa-Baixa em cascata, objetivando melhorar a filtragem do sinal, porém, este procedimento não é tão simples quanto parece, pois, a impedância de entrada de cada filtro colocado em série “carregaria “ a saída do filtro imediatamente anterior, o que certamente provocaria uma deterioração do sinal.

Este tipo de problema, causado pelo casamento de impedância, pode ser resolvido se entre cada filtro colocássemos “buffers”, isto é amplificadores de sinais, porém, filtros Passa-Baixa colocados em série apresenta outras características que devemos considerar, pois o decaimento do sinal filtrado na freqüência de corte, normalmente 6dB/oitava para filtros do tipo RC, aumenta, como podemos perceber pelo gráfico abaixo, o que poderia causar perdas de determinadas freqüência de interesse.

46

F r e q .

V o u t / V i n

0 4 0 1 0 0

1 . 0

Fig. 3.7 Resposta em Freqüência (Linear) para filtros do tipo RC colocados em série.

1 01

1 02 F r e q .

0

1 . 0

V o u t / V i n

1 0

Fig.3.8 Resposta em Freqüência (Normalizado, escala logarítmica) para filtros do tipo RC colocados em série.

Os componentes eletrônicos normalmente utilizados no projeto de filtros são normalmente os Resistores ( R ), Capacitores (C ), e Indutores ( L ), porem, os indutores, elemento fundamental do filtro, são elementos problemáticos, pois, possuem várias características indesejáveis como: elevado custo, não-lienaridade, capacitâncias intrínsecas, resistências parasitas, e susceptibilidade a interferências magnéticas, etc.

Devido as propriedades não desejáveis dos indutores, normalmente na construção de filtros do tipo RLC os indutores são substituído pôr amplificadores operacionais que emulam as propriedades físicas dos indutores, sendo estes tipos de filtros chamados de filtros ativos devido a inclusão do amplificador como elemento ativo. Abaixo é citado as propriedades dos amplificadores operacionais para uso no projeto de filtros.

47

3.8.6 Conversor de Impedância Negativa(NIC) e Gyrators.

Os Conversores de impedâncias Negativas e os Gyrators são circuitos construídos com amplificadores operacionais com propriedades de simular uma indutância L que em conjunto com os resistores e capacitores nos permite a construção de filtros do tipo RLC.

Os conversores de impedância negativa converte uma determinada impedância Z em uma impedância negativa -Z, enquanto os gyrators converte uma impedância Z em sua inversa 1/Z, conforme mostrado nos circuitos abaixo.

Fig. 3.9 Conversor de Impedância Negativa.

Fig. 3.10 Gyrator.

Assim os Conversores de Freqüência Negativa (NIC) convertem um capacitor em um

indutor, c inz zj w C j w C 1 / . . / . , isto é, o circuito é indutivo no sentido de que a

impedância possui uma dependência errada com a freqüência, ou seja, a impedância

48

diminui com o aumento da freqüência, pôr outro lado os circuitos chamados gyrators convertem realmente um capacitor em um indutor, ou seja:

c inz zj w C j w C R 1 2/ . . . . . , onde L C R . 2

Desta maneira através dos gyrators podemos construir circuitos ressonantes capaz de emular um filtro RLC sem o uso de indutores, simplesmente substituindo os mesmos pôr um capacitor gyrators.

3.8.7 Resposta do Filtro no Domínio da Freqüência .

A característica mais importante do filtro é na verdade o seu ganho de amplitude em função da freqüência, ou curva de resposta em freqüência do filtro mostrada na figura abaixo:

0 1 0 2 0

1 . 0

T e m p o ( s e g . )

V o u t / V i n

Fig. 3.11 Característica do Filtro Versus Freqüência.

A região da curva acima onde a saída do sinal não é atenuada é chamada de banda passante do filtro (Passband). A freqüência de corte do filtro ( f c ) é definida no final da banda passante do filtro, ou seja, região onde a partir do qual o sinal é atenuado.

Normalmente os filtros do tipo RLC apresentam um deslocamento de fase no sinal de saída, este tipo de característica é estudado através da análise da parte complexa da função de transferência do filtro. O estudo da fase do sinal deve sempre ser considerado devido a distorção do sinal, geralmente o deslocamento de fase do sinal aumenta linearmente com o aumento de freqüência.

49

3.8.8 Resposta do Filtro no Domínio do Tempo

Os filtros também podem ser definidos através de suas propriedades no domínio do tempo, conforme mostrado na figura abaixo, típica resposta de um filtro passa-baixa onde “Rise Time” é o tempo necessário para que o sinal atinja 90% do seu valor final, “Settling Time” é o tempo necessário para que a resposta do sinal se estabilize, “Overshoot“ é o sobressalto da amplitude do sinal acima do valor de estabilização, Riplle é a oscilação do sinal em torno do valor de oscilação.

0 1 0 2 0

1 . 0

T e m p o ( S e g . )

V o u t / V i n

Fig. 3.12 Resposta do Filtro no Domínio do Tempo

3.9 Tipos de Filtros e suas Características.

Dos inúmeros tipos de filtros, os mais utilizados são certamente os filtros de Butterworth (filtro com larga banda passante), Chebyshev (filtro com rápida transição da faixa de banda passante para região de corte ), e Bessel (filtros com baixa distorção de fase do sinal), pois podem ser emulados através de uma grande variedade de circuitos eletrônicos além de possuírem características de projetos capaz de atender a maioria dos problemas de filtragem de sinais.

3.9.1 Filtros de Butterworth e de Chebyshev. Os filtros de Butterworth são os que apresentam resposta com a maior banda passante e maior suavidade na região de transição da banda passante para a região de corte do filtro, porém, apresenta as piores características de resposta quanto a fase do sinal. A amplitude da resposta dos filtros de Butterworth é dada pela equação:

V

V f f

out

inc

n

1

12 1 2

/. /

onde n é a ordem do filtro ou o número de pólos.

50

Com o aumento do número de pólos do filtro o decaimento da curva do filtro na região do corte aumenta, sendo normalmente 6ndB/oitava, conforme pode ser visto pela curva abaixo, devemos notar que quanto mais aumentamos a ordem do filtro, mais atenuada é sua curva na região de corte.

V o u t / V i n

F r e q .1 00

1 01

1 02

0

1 . 0

Fig. 3.13 Resposta em freqüência de Filtros de Butterworth para n números de pólos

Os filtros de Chebyshev são normalmente representado pela equação:

V

V C f f

out

in n c

1

1 2 2 1 2 . . /

/ ,

onde Cn é o polinômio de Chebyshev de primeira ordem de grau n, e é a constante que representa o Riplle (oscilação) na região de banda passante do filtro.

Os filtros de Chebyshev apresentam Riplle (oscilação) na região da banda passante e são os que possuem a mais acentuada transição da banda passante do filtro par a banda de corte do filtro, porém assim como os filtros de Butterworth possuem características de fase longe da desejada.

3.9.2 Filtros de Bessel.

Os gráficos de amplitude de resposta em freqüência do filtros não nos revela todas as informações a respeito dos filtros, em outras palavras, é necessário olharmos também a parte complexa da função de transferência do filtro que nos mostra o que acontece com a fase, que normalmente esta ligada á distorção da forma de onda do sinal de saída. Nos filtros onde o deslocamento de fase varie linearmente com a freqüência, o sinal filtrado é apenas deslocado no tempo, assim sendo o mesmo não apresenta distorção na forma de onda de saída. Os filtros conhecidos com filtros de Bessel ou Thomson apresentam estas características, ao contrário dos filtros de Butterworth e Chebyshev que apresentam características não lineares de fase em função da freqüência.

51

Os filtros do tipo Bessel apresentam características de respostas transientes superiores quando comparados com os filtros do tipo Butterworth e Chebyshev como podemos verificar pela figura apresentada abaixo.

V o u t / V i n

F r e q .

0 1 0

1 . 0

Fig. 3.14 Resposta a Rampa Unitária dos Filtros de Butterworth, Chebyshev com 6 Pólos.

3.10 Filtros Ativos e Circuitos VCVS.

Os circuitos conhecidos como circuitos de voltagem controlada, ou circuitos de fonte controlada, ou filtros de fonte controlada, ou ainda circuitos VCVS (Voltage-contrlled voltage-source), são circuitos eletrônicos construídos com resistores, capacitores, e amplificadores operacionais que utilizam sua entrada não inversora projetada para um ganho sempre maior que a unidade.

Através dos circuitos VCVS é possível implementarmos os mais diversos tipos de filtros de maneira extremamente versátil, como pôr exemplo, filtros de Butterworth, Filtros de Chebyshev, filtros de Bessel, filtros passa-baixa, filtros passa-alta, filtros passa-faixa, etc.

As figuras abaixo representam os circuitos de filtros ativos VCVS para os vários tipos de filtros.

Fig. 3.15 Filtro Passa-Baixa.

52

Fig. 3.16 Filtro Passa-Alta.

Fig. 3.17 Filtro Passa-Faixa.

Os resistores de saída criam um amplificador de voltagem no modo não inversor de ganho k, e os resistores Rs e Cs definem as propriedades de resposta em freqüência dos filtros.

Os circuitos acima são filtros de 2 pólos que podem emular filtros de Butterworth, Chebyshev, Bessel, etc, dependendo apenas dos valores dos componentes escolhidos. Qualquer numero de circuitos VCVS de 2 pólos acima podem ser colocados em cascata (em série) afim de produzirmos filtros de ordem mais elevadas. Quando isto é feito, cada seção individual dos filtros, em geral nem sempre idêntica, representam um polinômio quadrático de nth-ordem. O Projeto de filtros com VCVS são simples de serem implementados, e seus valores de seus componentes para o Projeto são tabelados, e essas tabelas são facilmente encontradas em livros que tratam do assunto.

Abaixo apresentamos uma parte de uma tabela para uso no Projeto de filtros do tipo VCVS que utilizam estes circuitos para emularem os filtros clássicos de Butterworth, Chebyshev, Bessel, com diferentes números de ordem n.

53

Tabela utilizada no projeto de filtros do tipoButherWorth, Chebyshev, Bessel em função do numero de pólos.

ButherWorth Bessel Bessel Chebyshev Chebyshev Chebyshev ChebyshevPólos 0.5 dB 2.0 dB 0.5 dB 2.0 dB

2 1,586 1,272 1,268 1,231 1,842 0,907 2,114

4 1,152 1,432 1,084 0,597 1,582 0,471 1,9242,235 1,606 1,759 1,031 2,66 0,964 2,782

6 1,068 1,607 1,04 0,396 1,537 0,316 1,8911,586 1,692 1,364 0,768 2,448 0,73 2,6482,483 1,908 2,023 1,011 2,846 0,983 2,904

8 1,038 1,781 1,024 0,297 1,522 0,238 1,8791,337 1,835 1,213 0,599 2,379 0,572 2,6051,889 1,956 1,593 0,861 2,711 0,842 2,8212,61 2,192 2,184 1,006 2,913 0,99 2,946

f nk f nk k kf n

Tabela 3.1 Filtros Passa-Baixa com Circuitos VCVS.

Para o uso da tabela acima, devemos inicialmente definir qual tipo de filtro nos é mais conveniente em função de suas características, ou seja, filtro de Butterworth, filtro de Chebyshev, ou filtro de Bessel. Para construirmos um filtro de ordem n, onde n é o número de pólos do filtro, devemos colocar em série n/2 VCVS. Em cada seção de filtros VCVS os valores dos resistores e capacitores serão, R R R1 2 e C C C1 2 . Como é comum nos amplificadores operacionais o valor de R é tipicamente um valor entre 10k e 100k. Assim sendo, tudo que precisamos fazer é setar o valor do ganho k em cada estágio de acordo com a tabela. Para um filtro de n-pólos, termos n/2 entradas uma para cada seção.

3.10.1 Projeto de Filtros Passa-Baixa de Butterworth Através de VCVS.

Baseado na técnica de Projeto acima, uma vez optado pelo filtro de Butterworth, todas as seções terão os mesmos valores de R e de C, que é dado pela equação:

RCf c

1

2. .

onde f c é a freqüência de corte do filtro.

Exemplificando, para projetarmos um filtro de Butterworth Passa-Baixa com 6 pólos, devermos colocar em cascata 3 dos circuitos VCVS Passa-Baixa, previamente mostrado acima, com os ganho k=1.07, k=1.59, k=2.48, retirados da tabela acima para filtros de Butterworth com 6 pólos.

54

3.10.2 Projeto de Filtros Passa-Baixa de Chebyshev e Bessel Através de VCVS.

Projeto de filtros de Chebyshev e Bessel com VCVS é praticamente o mesmo citado acima, novamente colocamos em cascata vários filtros VCVS de 2-pólos com o ganho prescrito para cada seção. Em cada seção teremos novamente R R R1 2 e C C C1 2 . Porem devemos calcular um produto RC diferente para cada seção, que é normalizado ( f n ) e fornecido pela tabela (3.1), isto é:

R Cf fn c

.. . .

1

2 .

3.10.3 Projetos de Filtros Passa Alta.

No Projeto de filtros Passa-Alta através de VCVS devemos utilizar a configuração do filtro VCVS passa-alta mostrada previamente, se obtarmos pêlos filtros de Butterworth, simplesmente seguimos o procedimento acima, porem se obtarmos pêlos filtros de Chebyshev ou Bessel, os valore de k se mantém os mesmos, mas os valores normalizados f n devem ser invertidos, isto é, para cada seção teremos um novo valor de f n que é

definido como 1/ f n .

3.10.4 Projetos de Filtros Passa Faixa.

Os filtros do tipo Passa-Faixa podem ser projetados através dos circuitos VCVS, associando circuitos Passa-Baixa e Passa-Alta.

3.11 Séries Temporais e Modelos de Médias Móveis (MA) e Auto-Regressivas (RA.)

As Séries Temporais, amplamente estudadas nos campos da estatísticas, na verdade, constituem em uma coleção de observações, de uma determinada variável, seqüencialmente no tempo. Estas séries são estudadas nos mais diversos campos da ciência, como pôr exemplo, economia, engenharia, etc.

Como exemplo de séries temporais poderíamos colecionar dados da variação da temperatura do dia, a cada hora, durante meses, ou anos consecutivos. O objetivo deste tipo de análise pode ser utilizado para descrever, explanar, prever ou controlar determinada variável. Assim sendo, consideraremos as séries como um conjunto de observações de uma variável, disposta seqüencialmente no tempo, sendo que estas observações serão geradas considerando um intervalo de tempo constante, e serão chamadas de discreta quando o conjunto de observações for finito. As séries temporais serão chamadas de estocásticas quando os seus valores futuros de amplitude forem determinados somente através de leis probabilísticas. Muitos fenômenos naturais podem ser representados através de séries temporais estocásticas, e portanto estudados estatisticamente. Normalmente um fenômeno estatístico, devido a sua complexibilidade, é representado através de seus momentos de

55

primeira e segunda ordem, isto é, média, variância e autocovariância. Considerando as séries descritas acima, e o processo que as gera gaussiano, a sua distribuição normal pode ser determinada através de seus momentos de primeira e segunda ordem, ou seja:

Média = E q qt t

Variância = Var [ q t ] = E q qt t2

Autocovariância = Cov[ q qt t, ] = E q q q qt t t t ,

onde q t , representa apenas uma amostra do processo, assim, estatisticamente, podemos escrever:

E qT

qt q tt

T

1

0

Var qT

qt q t qt

T

2 2

0

1

Cov q qT

q qt t l l t q t qt

T

1

0 .

Nos processos acima onde os valores médio do processo são os mesmos valores médios temporais, diz-se que o processo é ergódico.

O coeficiente de autocorrelação para as séries descritas é dado por:

l

l

o

t q t qt

T

t qt

T

q q

q

0

2

0

Os operadores estatísticos acima são utilizados para descrição de séries temporais representativa de processos estocásticos estacionários q t que podem ser representados através de um modelo linear de Médias Móveis (MA), dado por:

q a p a p at q t t t 1 1 2 2. . ... ,

onde p0 1 e p , q , são parâmetros fornecidos pelo processo geradores das séries, e q t , um sinal observado no tempo t, e a t sendo um ruído branco no tempo t, devendo os coeficientes p formarem uma série convergente para garantir-mos a estabilidade e a estacionaridade de q t . Estando as variáveis centradas na média e considerando a ordem do modelo igual a np, a equação acima pode ser escrita como:

56

q q a p at t q t t

np

.1

,

e considerando np = m, b0 1 , b p , e os a=0, esta equação na verdade, transforma-se na equação do filtro não-recursivo, demonstrada acima, ou seja, o modelo de Médias Móveis é na verdade um filtro não-recursivo, sendo sua excitação Q kj ( ) um ruído branco a t , e os parâmetros p a resposta impulsiva do filtro. Assim encarando a série como uma amostra do processo podemos utiliza-la na identificação de sistemas. Utilizando o operador de retardo

B q qt t l a equação acima pode ser escrita como:

q N B at t ( ). , onde N B p B p B p BNPNP

NPNP( ) . ... . .

1 1 11 ,

e N(B) é o filtro Média Móvel do sistema. A série N(B) deve convergir para dentro do circulo unitário, isto é, B 1 para que o processo linear sege estacionário.

Na equação acima supondo qt descrito como uma soma ponderada de seus valores passados mais o ruído branco a t , o modelo é chamado Auto-Regressivo (AR), assim utilizando a equação acima, temos:

a q p a p at t q t t 1 1 2 2. . ...

a q p a p at t q t t 1 1 1 2 2 3 . . ... ,

e substituindo at 1 nas equações acima, obtemos:

q p p q a p p a p p p at q t t t t . . . . . ...1 1 1 1 2 12

2 3 1 2 3 ,

e substituindo ainda a at t 2 3, ,... , nas equações, obteremos a equação linear do Filtro Auto-Regressivo:

q q q at t t t 1 1 2 2. . ... , onde q / ...1 1 2 ,

onde os pesos são funções dos coeficientes p , e considerando ainda o sistema centrado na média e a ordem do modelo igual a NQ, a equação acima pode ser escrita como:

q q q at t t t

NQ

. .1

,

que é a mesma equação representativa do filtro digital, se considerar-mos

NQ n a a , ,0 1 , e os coeficientes b nulos. A equação acima pode ser escrita como:

57

q q at t t

NQ

.1

,

que através do operador de retardo pode ser escrita como:

D B q a onde D B B B Bt t NQNq

NQNQ( ). ; : ( ) . ... . .

1 1 11 ,

e D B( ) 1 é chamado de Filtro Auto-Regressivo do sistema. Para que o processo sege inversível a série D(B) deve convergir para dentro do círculo unitário, ou seja, B 1. Comparando-se as equações acima, obtemos a relação dos operadores:

N B D B B B( ) ( ) . . 11 2

2 11

Os modelos de Média Móvel (MA) e Auto Regressivo demostrados acima podem ser combinados e definir o modelo ARMA como um modelo de médias móveis auto regressivo que pode ser representado por:

q q q q a p a p a q p at t t NQ t NQ t t NP t NP t t

NPNQ

1 1 1 1

01

. ... . . ... . . .

que é na verdade a equação do filtro recursivo, se considerar-mos NQ m NP m p b a , , , , ou seja, o modelo ARMA é um Filtro Recursivo que pode ser escrito através do operadores lineares na seguinte forma:

D B q N B at t( ). ( ). ,

ou ainda combinando as equações acima:

q

a

N B

D B

p B p B p B

B B BH Bt

t

NPNP

NPNP

NQNQ

NQNQ

( )

( )

. ... . .

. ... . .( )

1

11 1

1

1 11

,

onde finalmente aplicando o operador de retardo obtemos:

H zq z

a z

p z

z

NP

NQ( )

( )

( )

.

.

1

1

1

1

.,

que nada mais é que a função de transferencia do filtro digital

58

3.12 Projeto de Filtros Digitais do Tipo Passa-Banda Pelo Método de Transformação Bilinear.

Considerando um filtro digital do tipo Passa-Banda com freqüências de corte inferior w = a e freqüência de corte superior w = b representada pela função racional abaixo.

H fw

w a

b

w b( )

22

2 2

2

2 2

Conforme comentado acima esta função racional utilizada no projeto não apresenta curva acentuada na região de corte do filtro, porem, podemos obter várias equações de filtros elevando a função racional acima a diferentes expoentes, e assim filtrarmos os dados seqüencialmente através das funções obtidas.

Evidentemente os pólos da equação acima é representado por w = ia e w = ib, conforme demonstrado acima, devido as condições de estabilidade a função H(F) será representada por:

H fw

w i a

i b

w i b

z

zb

z

za

z

zb

( ).

.

.

1

1

1

1

1

1

que pode ser escrita na forma de equação racional como:

h f

b

a b

b

a bz

a b a b

a bz

a b

a bz

( )

1 1 1 1

11 1 1 1

1 1

1 1

1 1

2

1 2

Através da equação acima, retiramos os coeficientes do filtro:

0 1 1cb

a b

.

1 0c .

2 1 1cb

a b

.

1

1 1 1 1

1 1da b a b

a b

.

59

2

1 1

1 1da b

a b

.

Os coeficientes acima foram calculados através do programa MatLab, onde foi implementada uma rotina que utiliza os coeficientes e a equação dos filtros digitais para a filtragem de sinais no domínio do tempo.

n kk

M

n k jj

N

n jy c x d y

0 1,

O programa é apresentado em anexo, sendo seus resultados apresentados abaixo.

Os valores encontrados para os coeficientes foram:

0 0 0095c .

1 0c .

2 0 0095c . .

1 190033d . .

2 0 9048d . .

Abaixo apresentamos um sinal senoidal com freqüência variável utilizado para o teste de filtragem pela teoria apresentada acima.

Fig. 3.18 Sinal Senoidal com Frequência Variável

60

3.13 Filtro de YuleWalk..

Os filtros do tipo YuleWalk são filtros do tipo recursivos que nos permite encontrar os

coeficientes kc e jd , para um filtro digital de número de ordem N representado pela

equação abaixo:

B z

A z

b b z b n z

a z a n z

n

n

( )

( )

( ) ( ). ... ( ).

( ). ... ( ).

( )

( )

1 2

1 1

1 1

1 1 .

Em anexo ao trabalho é apresentado um programa elaborado no software MatLab para o estudo de respostas em freqüência dos filtros do tipo YuleWalk.

Abaixo apresentamos os gráficos gerados pelo programa.

Gráficos do Projeto de Filtro Passa-Banda do Tipo YuleWalk com Número de Ordem 8.

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 00

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1 . 0

F r e q . ( H z )

R e s p . F r e q . F i l t r o

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

1 . 2

F r e q . ( H z )

R e s p . R e a l x R e s p . F r e q . F i l t r o

61

1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0- 8 0

- 7 0

- 6 0

- 5 0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

-10

0

1 0

F r e q . ( H z )

M a g n .

R e s p . F r e q . F i l t r o

Gráficos do Projeto de Filtro Passa-Banda do Tipo YuleWalk com Número de Ordem 8.

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 00

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1 . 0

F r e q . ( H z )

R e s p . F r e q . F i l t r o

62

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0- 9 0

8 0

- 7 0

- 6 0

- 5 0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

F r e q . ( H z )

.

R e s p . F r e q . F i l t r o

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Conclusão

O software Sistema SoundView foi desenvolvido inicialmente como um analisador de freqüência de 02 canais em tempo real, tornando possível a análise simultânea dos canais sendo ambos com sinais de vibração ou ambos com sinais sonoros, ou alternadamente sendo um canal para som e outro para vibração).Também possibilita o trabalho com um sinal de vibração ou sonoro em um dos canais e um sinal de Trigger(TTL ou Analógico) em outro.

As análises de sinais no domínio da freqüência são realizadas através de técnicas de FFT (Fast Fourier Transform), permitindo o registro de informações no domínio da freqüência tais como: Amplitude Espectral; Potência Espectral; Potência Espectral Cruzada; Resposta em Freqüência e Resposta ao Impulso.

Todo o estudo baseou-se na observação das necessidades e das dificuldades inerentes ao que se conhece e se tem atualmente em uso sobre análise de frequência. Muitas modificações, alterações e implementações ainda deverão ser feitas para que se chegue a um sistema mais aperfeiçoado. Apenas uma luz foi lançada para que as pesquisas prossigam.

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