tikimybiŲ teorija
DESCRIPTION
TIKIMYBIŲ TEORIJA. Įvykiu vadinami įvairūs gamtos, ekonominiai ir pan. reiškiniai, kurie gali įvykti susidarius tam tikroms sąlygoms. Visuma sąlygų, duodančių galimybę pasirodyti stebimajam įvykiui, paprastai vadinama bandymu arba eksperimentu . Kiekvieno bandymo rezultatas vadinamas įvykiu. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/1.jpg)
TIKIMYBIŲ TEORIJA
![Page 2: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/2.jpg)
Įvykiu vadinami įvairūs gamtos, ekonominiai ir pan. reiškiniai, kurie gali įvykti susidarius tam tikroms sąlygoms. Visuma sąlygų, duodančių galimybę pasirodyti stebimajam įvykiui, paprastai vadinama bandymu arba eksperimentu. Kiekvieno bandymo rezultatas vadinamas įvykiu.
•Metamas lošimo kauliukas – bandymas, iškrito 6 akys – įvykis.•Perkamas akcijų paketas – bandymas, dividendų gavimas – įvykis.
![Page 3: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/3.jpg)
Įvykis, kuris bandymo metu gali įvykti arba neįvykti, vadinamas atsitiktiniu įvykiu.
Pavyzdžiui, laimėjimas tenka ne kiekvienam įsigytam loterijos bilietui.
Įvykis, kuris, atlikus bandymą, būtinai įvyksta, vadinamas būtinu. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, negali įvykti, vadinamas negalimu.
![Page 4: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/4.jpg)
Pavyzdžiui, prie 100º C temperatūros vanduo, esant normaliam slėgiui, užverda- tai būtinas įvykis, bet prie tų pačių sąlygų, jis niekada nevirs ledu – tai negalimas įvykis.
Atsitiktiniai įvykiai žymimi didžiosiomis raidėmis – A,B,C,…
Būtiną įvykį visuomet žymėsime Ω, o negalimą įvykį žymėsime tuščios aibės simboliu Ø. Jei įvykis nėra nei būtinas, nei negalimas, tai jis – atsitiktinis.
![Page 5: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/5.jpg)
Tarkime,kad metamas(vieną kartą) lošimo kauliukas. Šis bandymas gali baigtis tik viena iš šešių galimybių: gali atsiversti sienelė su 1, 2, 3, 4, 5, 6 akutėmis. Tuos bandymo rezultatus išreikšime įvykiais A1, A2, A3, A4, A5, A6.
Elementariuoju vadinamas įvykis, kuriam palanki tik viena baigtis. Tokių įvykių aibė vadinama elementariųjų įvykiu erdve. Vadinasi, elementariųjų įvykių erdvę sudaro visi galimi bandymo rezultatai, kurie gali įvykti tik atskirai (o ne kartu su kitais) ir kurių negalima “smulkinti”.
654321 ,,,,, AAAAAA
![Page 6: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/6.jpg)
Veiksmai su įvykiais
![Page 7: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/7.jpg)
ΩAB
Jei įvykis B yra įvykio A dalis , t.y. BA, jeigu įvykus įvykiui A, įvyksta ir įvykis B
Kiekvienas įvykis A yra būtinojo įvykio Ω dalis
![Page 8: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/8.jpg)
4,2
4,3,2,1
B
A
A
B
![Page 9: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/9.jpg)
ΩA B
Įvykiu A ir B sąjunga arba suma vadiname įvykį, kai įvyksta bent vienas iš įvykių A ir B.
Žymima A+B arba AUB.
![Page 10: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/10.jpg)
5,4
4,3,2,1
B
A
A+B
A
B
![Page 11: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/11.jpg)
ΩA B
Įvykių A ir B sankirta arba sandauga vadiname įvykį, kai kartu įvyksta abu įvykiai A ir B.
Žymima A·B, A∩B arba A&B.
![Page 12: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/12.jpg)
5,4
4,3,2,1
B
A
A
B
A&B
![Page 13: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/13.jpg)
ΩA B
Įvykių A ir B skirtumu vadinamas įvykis A\B (A-B), kai įvyksta A, o B neįvyksta
![Page 14: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/14.jpg)
5,4
4,3,2,1
B
A
A\B
A
B
![Page 15: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/15.jpg)
ΩA
Įvykis, kuris įvyksta, kai įvykis A neįvyksta, yra vadinamas įvykiui A priešingu įvykiu ir žymimas A
AA AA ØAA
![Page 16: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/16.jpg)
A
6,5
4,3,2,1
A
A
A
![Page 17: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/17.jpg)
Įvykiai A ir B vadinami nesutaikomais, jeigu jie negali įvykti kartu , kai
Priešingu atveju jie vadinami sutaikomais
ΩA B
BA
![Page 18: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/18.jpg)
A
6,5
4,3,2,1
A
A
A
![Page 19: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/19.jpg)
Klasikinis tikimybės apibrėžimas
![Page 20: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/20.jpg)
Įvykio A tikimybe vadinamas elementariųjų įvykių, sudarančių įvykį A, skaičiaus santykis su elementariųjų įvykių skaičiumi erdvėje Ω
n
mP(A)
skaičius atvejų galimų visų
skaičius atvejų įvykiui palankių A
Ši tikimybės skaičiavimo formulė vadinama klasikiniu tikimybės apibrėžimu
![Page 21: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/21.jpg)
0)( P 1)( P
1)(0 AP
)(1)( APAP
![Page 22: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/22.jpg)
Du kartus metama moneta. Kokia tikimybė, kad bent kartą iškris herbas?
4
3
n
mP(A)
Ω=
![Page 23: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/23.jpg)
!kn
n!Ak
n Gretiniai Tvarka!
Ne tas pats gretinys!!!
3)...-2)(n-1)(n-n(nAkn
k narių
![Page 24: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/24.jpg)
10 9 8 7 6 5
10 10 10 10 10 10
![Page 25: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/25.jpg)
n!Pn Kėliniai
![Page 26: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/26.jpg)
k!!kn
n!C k
n Deriniai
k!
Akn
![Page 27: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/27.jpg)
Aksiominis tikimybės apibrėžimas
![Page 28: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/28.jpg)
Tikimybe vadiname skaitinė funkcija P, tenkinanti šias aksiomas:•P(A)≥0;•P()=1;•P(A+B)=P(A)+P(B), kai AB=
Trejetas {,F,P} vadinamas tikimybine erdve, čia-elementarių įvykių erdvėF-poaibių klasė, kurios elementai yra nagrinėjami įvykiaiP-tikimybė
![Page 29: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/29.jpg)
Tikimybės savybės:
1) P()=02) 0≤P(A)≤13) P( )=1-P(A)A
n
1ii
n
1ii )P(AAP 4) ,kai AiAj=, i≠j
5) Jei įvykiai Ai , i=1,2,...,n sudaro pilnąją įvykių grupę, tai
n
1ii 1)P(A
![Page 30: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/30.jpg)
Įvykių sumos ir sandaugos tikimybė
![Page 31: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/31.jpg)
Teorema. Dviejų įvykių sumos (sąjungos) tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be tų įvykių sandaugos (sankirtos) tikimybės skirtumui:
).()()()( ABPBPAPBAP
)...(1)...( 321321 nn AAAAPAAAAP
Teorema. Nors vieno iš įvykių nAAAA ,...,, 321
pasirodymo tikimybė :
Įvykis B=A1+A2+...+An , tada jam priešingas įvykis
A...AAAB 321 (dualumo principas). Kadangi
)BP(1P(B) tai)A...AAAP(1)...AAAP(A n321n321
![Page 32: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/32.jpg)
Iš urnos, kur yra 7 balti ir 5 juodi rutuliai, atsitiktinai be gražinimo išimti 4 rutuliai. Kokia tikimybė, kad
?baltas yra rutulys vienasnorsA
99
98
1159
51
12349101112
12342345
11
)(1)(
412
45
C
C
APAP
5
1
juodi visiA
![Page 33: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/33.jpg)
Įvykio A tikimybė, apskaičiuota tarus, kad įvykis B įvyko, vadinama sąlygine tikimybe ir žymima
)( BAP
Skaitoma - ”tikimybė, kad įvyks A su sąlyga, kad įvyko B”
)(
)(
BP
ABP)( BAP
![Page 34: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/34.jpg)
Teorema. Dviejų įvykių sandaugos(sankirtos) tikimybė yra lygi vieno įvykio tikimybei, padaugintai iš kito įvykio sąlyginės tikimybės, kai pirmasis įvykis įvyko:
)()()()()( BAPBPABPAPABP
![Page 35: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/35.jpg)
Iš 36 kortų kaladės atsitiktinai traukiamos trys kortos. Kokia tikimybė, kad tarp jų nebus nei vieno tūzo?
69.034
30
35
31
36
32)( 321 AAAP
![Page 36: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/36.jpg)
Teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė lygi tų įvykių tikimybių sandaugai, t.y. )()()( BPAPABP
Teisingas ir atvirkščias teiginys
Du įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykimas nepakeičia antrojo įvykio tikimybės, t.y. P(B)A)BP( ir P(A)B)AP( Priešingu atveju jie vadinami priklausomais.
Kadangi įvykiai A ir B yra nepriklausomi, taiP(B)A)BP( ir P(A)B)AP(
Įrašę į sandaugos teoremą B)AP(B)P(A)BP(A)P(P(AB) gauname P(A)P(B)P(AB)
![Page 37: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/37.jpg)
Studentas iš patirties žino, kad jam reikalinga knyga bus KTU knygyne su tikimybe 0,5. Tikimybė, jog reikalinga knyga bus KVK bibliotekoje lygi 0,7, o Kauno viešoje bibliotekoje lygi 0,3. Apskaičiuokite tikimybes: a) reikiamą knyga bus bent vienoje iš šių paminėtų institucijų,b) reikiamą knyga bus KTU knygyne ir KVK bibliotekoje ,c) visose trijuose institucijose.
![Page 38: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/38.jpg)
0,50,7
0,3
0,5 0,70,3
895.07.03.05.01
)(1)(
APAP
a) reikiamą knyga bus bent vienoje iš šių paminėtų institucijų
![Page 39: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/39.jpg)
b)
0,50,7
0,7 0,50,7
0,3
35.03.07.05.07.07.05.0)( AP
reikiamą knyga bus KTU knygyne ir KVK bibliotekoje
![Page 40: TIKIMYBIŲ TEORIJA](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56815091550346895dbe8ea9/html5/thumbnails/40.jpg)
c)
0,50,7
0,3
105.07.03.05.0)( AP
visose trijuose institucijose