tina dra sinac cramerovo pravilo zavr sni rad › ~mdjumic › uploads › diplomski ›...
TRANSCRIPT
Sveuciliste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Tina Drasinac
Cramerovo pravilo
Zavrsni rad
U Osijeku, 19. listopada 2010.
Sveuciliste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Tina Drasinac
Cramerovo pravilo
Zavrsni rad
Mentor: doc.dr.sc. D. Markovic
U Osijeku, 19. listopada 2010.
Sadrzaj
1 UVOD 4
2 MATRICE I DETERMINANTA 5
2.1 Vrste matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Determinanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 CRAMEROVO PRAVILO 11
3.1 Iskaz i dokaz teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Geometrijska interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Rjesavanje sustava n linearnih jednadzbi s n nepoznanica Cramerovim
pravilom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 ZAKLJUCAK 19
5 LITERATURA 20
1
Sazetak
Rjesavanje sustava linearnih jednadzbi jedan je od bitnijih problema linearnealgebre. Pojam ”linearnih” znaci da se u jednadzbama nepoznanice pojavljujusamo na prvu potenciju i da se ne pojavljuju umnosci nepoznanica. Za razliku odsustava nelinearnih jednadzbi, za takve je sustave lako ustanoviti da li su rjesivite ako jesu, rijesiti ih. Postoje razlicite metode kojima se rjesavaju takvi sustavi.Metode za rjesavanje sustava linearnih jednadzbi:
• Cramerovo pravilo - direktna metoda, ne zasniva se na eliminaciji
• Metode eliminacije - Gaussova metoda, Gauss-Jordanova metoda
• Iterativne metode - asimptotski dovode do rjesenja pomocu neke itera-tivne procedure
– Jacobijeva metoda
– Gauss - Seidelova metoda
Predmet ovog zavrsnog rada je problem rjesavanja linearnih sustava n jed-nadzbi s n nepoznanica pomocu metode Cramerovog pravila. Postupak se temeljina primjenama matricnog racuna, tako da cemo dati i osnovne pojmove o ma-tricama i determinanti.
Kljucne rijeci: sustav linearnih jednadzbi, vrste matrica, regularna matrica,determinanta, Cramerovo pravilo
2
Abstract
Solving systems of linear equations is one of the most important problems oflinear algebra. The term ”linear” means that the unknowns in equations appearonly on the first power and do not appear to multiply unknowns. Unlike thesystem of nonlinear equations, for such systems is easy to determine whetherthey are solvable, and if so, to solve them. There are various methods to solvesuch systems.Methods for solving systems of linear equations:
• Cramer’s rule - direct method, not based on elimination
• Elimination method - Gaussian, Gauss-Jordan method
• Iterative methods - asymptotically lead to a solution using an iterativeprocedure
– Jacobi method
– Gauss-Seidel method
The subject of this final work is the problem of solving systems of linear nequations with n unknowns using method Cramer’s rule. The procedure is basedon application of matrix calculus, so we’ll give the basic concepts of matrices anddeterminant.
Key words: system of linear equations, determinant, regular matrix, Cramer’srule
3
1 UVOD
Prvo pokazimo opci oblik linearnih sustava m jednadzbi s n nepoznanica koji glasi:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
. . ....
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(1)
Rjesenje ovog sustava je svaka n -torka (x1, x2 . . . xn) koja uvrstena u (1) identicki
zadovoljava sve jednadzbe.
Sustav (1) moze se zapisati u obliku matricne jednadzbe:
Ax = b
Gdje smo oznacili:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
, x =
x1
x2...xn
, b =
b1b2...bn
Matrica A naziva se matrica koeficijenata sustava, x je vektor nepoznanica, b desna
strana sustava.
Posebno cemo prouciti metodu Cramerovo pravilo za rjesavanje linearnih sustava n
jednadzbi s n nepoznanica.
U drugom poglavlju cemo se prisjetiti vrsta matrica, determinante, nacina racunanja
determinante te njezinih svojstva.
Trece poglavlje je posveceno samom Cramerovom pravilu. Iskazat cemo i dokazati
Cramerov teorem i pokazati njegovu geometrijsku interpretaciju.
Primjerom cemo prikazati primjenu Cramerovog pravila na rjesavanje linearnih sus-
tava n jednadzbi s n nepoznanica.
4
2 MATRICE I DETERMINANTA
2.1 Vrste matrica
1. Kvadratna matrica – broj redaka jednak je broju stupaca m = n; pravokutna
matrica m 6= n
2. Dijagonalna matrica – kvadratna matrica kojoj su svi elementi izvan glavne di-
jagonale jednaki nula (aij = 0, i 6= j)
3. Skalarna matrica – dijagonalna matrica kod koje su svi elementi na glavnoj di-
jagonali jednaki (a11 = a22 = · · · = ann = s)
4. Jedinicna matrica – skalarna matrica koja na glavnoj dijagonali ima jedinice
a11 = a22 = · · · = ann = 1
5. Nul-matrica – matrica kojoj su svi elementi jednaki nula
6. Gornje trokutasta matrica – kvadratna matrica za koju vrijedi aij = 0, i > j, tj.:
A =
a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...
.... . .
...0 0 · · · ann
7. Donje trokutasta matrica – kvadratna matrica za koju vrijedi aij = 0, i < j, tj.:
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
8. Transponirana matrica : AT , matrice A formata m × n je matrica AT = aTij
formata n × m, tako da bude aTij = aji. Retci (stupci) matrice AT su stupci
(retci) matrice A pa vrijedi (AT )T = A.
9. Simetricna matrica – kvadratna matrica kod koje su elementi, simetricno rasporedeni
s obzirom na glavnu dijagonalu, jednaki tj. aij = aji za sve uredene parove (i, j)
ili AT = A
10. Antisimetricna matrica – kvadratna matrica za koju vrijedi aij = −aji, za sve
(i, j) ili AT = −A
11. Vektor–redak – matrica koja ima samo jedan redak, a vektor-stupac – matrica
koja ima samo jedan stupac
5
12. Ortogonalna matrica – je kvadratna matrica U n -tog reda za koju vrijedi: UUT =
UTU = I
13. Inverzna matrica A−1 - vrijedi : AA−1 = I
14. Regularna (invertibilna) matrica – kvadratna matrica za koju postoji ma-
trica A−1 te za koju vrijedi AA−1 = A−1A = I. U suprotnom, matrica je singu-
larna. Za svaku regularnu maricu vrijede svojstva:
(a) (A−1)−1 = A
(b) (AB)−1 = B−1A−1
Mozemo definirati i trag kvadratne matrice A – zbroj elemenata na glavnoj di-
jagonali
(trA =n∑
i=1
aij)
2.2 Determinanta
Determinanta 1 je funkcija koja kvadratnoj matrici nad poljem F pridruzuje realan
broj: det : Mn×n(F ) −→ F
- kvadratne matrice nad poljem F,Mn×n , se krace oznacavaju s Mn(F ).
1. Za n = 1 imamo matricu A ∈ M1(F ), A = [a11], pa je njena determinanta
jednaka broju a11:
det(A) = |a11| = a11.
2. Za matricu A ∈M2(F ), A =
[a11 a12a21 a22
], njena determinanta je:
det(A) =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
3. Za matricu A ∈ M3(F ), A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
njenu determinanta mozemo
izracunati na dva nacina:
(a) Sarrusovim pravilom:
i. pravilo dijagonala (treba napisati determinantu i jos prva dva stupca
matrice uz nju)
6
Slika 1: Shematski prikaz izracunavanja determinante metodom dijagonala
A =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22a31 a32
=
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32–(a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)
Sada po shemi tvorimo produkte po tri clana i to prvo u smjeru glavne
dijagonale, a zatim produkte od, takoder, po tri clana, no u smjeru sporedne
dijagonale. Produkte uzete u smjeru glavne dijagonale zbrojimo i od toga
oduzmemo zbroj produkata uzetih u smjeru sporedne dijagonale.
(b) Metoda kofaktora - razvoj po elementima nekog retka ili stupca svodenjem
na determinante drugog reda
A =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣Predznak + ili – zavisi o parnosti/neparnosti zbroja indeksa elemenata aij. Ako
je zbroj paran pisemo +, ako je neparan pisemo −.
Ako zelimo razviti determinantu po npr. elementima prvog retka, tada prepisemo
prvi element toga retka i precrtamo prvi redak i prvi stupac determinante te
prepisani prvi element mnozimo s preostalim dijelom determinante. Tako do-
bivena determinanta drugog reda se zove subdeterminanta ili minor doticnog
elementa. Zatim prepisemo s protivnim predznakom (po shemi predznaka - Slika
1Od latinskog determino, determinare - odrediti. Determinante je prvi otkrio i proucavao G.W. Leibniz 1693. godine ispitujuci rjesenja sustava linearnih jednadzbi. No kasnije se za otkrivacadeterminanti smatra G. Cramer koji je 1750. godine dao pravila rjesavanja jednadzbi pomocu deter-minanata, a u meduvremenu je Leibnizovo otkrice palo u zaborav. Determinante se siroko primjenjujuu matematici tek nakon K. J. Jacobija. Naziv determinante uveo je u matematiku K. F. Gauss.
7
Slika 2: Shematski prikaz predznaka
2.) drugi element prvog retka pa kao i prije mnozimo taj element s njegovom
determinantom (koju dobijemo kad precrtamo prvi redak i drugi stupac zadane
determinante). Naposlijetku prepisemo treci element prvog retka i pomnozimo
ga s njegovom subdeterminantom (koja se dobiva kad se precrta prvi redak i
treci stupac u zadanoj determinanti). Sada mozemo razviti subdeterminante na
vec prije objasnjeni nacin (determinante drugog reda). Medutim, determinanta
se moze racunati razvojem po proizvoljnom retku matrice, ali i po proizvoljnom
stupcu matrice.
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
=⇒ det(A) =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11M11−a12M12+a13M13 =
= a11det
[a22 a23a32 a33
]− a12det
[a21 a23a31 a33
]+ a13det
[a21 a22a31 a32
]
Definicija 2.2.1 : Matricu n × n , ciji su elementi definirani s Aij = (−1)i+jMij,
gdje je Mij determinanta (n− 1) -vog reda koja nastaje iz zadane determinante
A izbacivanjem i-tog retka i j-tog stupca, zovemo kofaktor matrice A. Oznaka:
kofA. Elemente Aij zovemo algebarskim kofaktorima.
Laplaceov razvoj determinante po i-tom retku je:
det(A) =n∑
j=1
aij · Aij = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin.
kofA =
A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n...
.... . .
...An1 An2 · · · Ann
8
4. Opcenito, determinantu matrice A ∈Mn(F ),
kofA =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
rjesavamo razvojem po elementima nekog retka ili stupca svodenjem na determi-
nante (n − 1) -vog reda. Postupak se ponavlja sve dok ne dobijemo razvoj po
determinantama drugog reda.
Racunanje determinante prikazali smo razvojem po prvom retku matrice A.
Oznacimo sa Mij matricu dobivenu od matrice An brisanjem i-tog retka i j-tog
stupca:
Mij =
a11 . . . a1,j−1 a1,j+1 · · · a1n...
......
......
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,nai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n
......
......
...an1 . . . anj−1 anj+1 · · · ann
Matricu Mij zovemo minor elemenata aij.
Teorem 2.1. Matrica A je regularna ako i samo ako je det(A) 6= 0.
U tom slucaju je A−1 = 1det(A)
· (kofA)T .
Dokaz. Stavimo B = kofAT
det(A). Tada je (AB)ij = Σkaikbkj = 1
det(A)ΣkaikAjk
Za i = j suma na desnoj strani predstavlja Laplaceov razvoj determinante matrice
A po i-tom retku pa je (AB)ii = 1.
Za i 6= j suma na desnoj strani predstavlja Laplaceov razvoj determinante s
dva jednaka retka pa je jednaka nuli. Dakle, AB = I. Slicno se pokaze da je
BA = I.
9
Svojstva determinante:
• Determinanta matrice mijenja samo predznak ako dva razlicita retka (stupca)
zamijene mjesta.
• Determinanta je jednaka nuli ako su joj svi elementi nekog retka (stupca) jednaki
nuli.
• Determinanta je jednaka nuli ako su joj odgovarajuci elementi dva retka (stupca)
proporcionalni.
• Determinantu je moguce rastaviti na slijedeci nacin:∣∣∣∣∣∣a11 + b11 a12 a13a21 + b12 a22 a23a31 + b13 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣b11 a12 a13b21 a22 a23b31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ .• Determinanta se mnozi skalarom tako da njime pomnozimo sve elemente bilo
kojeg retka (stupca)
- pomnozimo jedan i samo jedan redak (stupac)!
Opcenito, determinanta je linearna funkcija bilo kojeg stupca ili retka.
• Ako je matrica A gornje ili donje trokutasta, onda je det(A) = a11 · a22 · . . . · ann.
• Ako je neki stupac matrice A linearna kombinacija ostalih stupaca, tada je
det(A) = 0.
10
3 CRAMEROVO PRAVILO
3.1 Iskaz i dokaz teorema
Sljedeci teorem daje formulu za rjesavanje sustava linearnih jednadzbi kada je matrica
sustava regularna.
Teorem 3.1 (Cramer 2). Neka je A regularna matrica i neka je Di determinanta
matrice koja se dobije kada se i− ti stupac matrice A zamijeni s vektorom b. Tada su
komponente rjesenja sustava Ax = b dane s:
xi =Di
det(A)
Dokaz. Matrica A je regularna pa je :
x = A−1b =1
det(A)kofAT b.
Dana jednakost napisana po komponentama glasi:
xi =1
det(A)
∑k
Akibk =1
det(A)Di
pa je teorem dokazan.
Cramerovo pravilo mozemo dokazati koristeci samo dva svojstva determinanti.
1. svojstvo: dodavanjem jednog stupca (retka) drugom ne mijenja se vrijednost
determinante.
2. svojstvo: determinantu mnozimo skalarom, razlicitim od nule, tako da elemente
bilo kojeg stupca (retka) pomnozimo tim brojem, tj. zajednicki faktor svih ele-
menata nekog stupca (retka) moze se izluciti ispred determinante.
2Gabriel Cramer (31. srpnja 1704 - 4. sijecnja 1752), svicarski matematicar , roden u Zenevi ;objavio pravilo 1750.
11
Dan je linearni sustav od n jednadzbi s n nepoznanica x1x2 . . . xn
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
. . ....
...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn.
Prema teoremu 3.1:
xi =Di
det(A)
Dakle, Cramerovim pravilom dobivamo izraz za x1 tako da prvi stupac determinante
sustava zamjenimo sa stupcem slobodnih koeficijenata te podijelimo sa determinantom
samog sustava:
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 · · · a1nb2 a22 · · · a2n...
.... . .
...bn an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Zapravo, iz sustava jednadzbi dani kvocjent je jednak:
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn) a12 · · · a1n(a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn) a22 · · · a2n
......
. . ....
(an1x1 + an2x2 + · · · + annxn) an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
12
Oduzimanjem od prvog stupca drugi pomnozen sa x2, zatim treci stupac pomnozen
sa x3 i tako dok ne pomnozimo zadnji stupac sa xn dobijemo:
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11x1 a12 · · · a1na21x1 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1x1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Po drugom svojstvu determinanti dani kvocjent je jednak:
x1det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= x1
Kao rezultat dobijemo:
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b1 a12 · · · a1nb2 a22 · · · a2n...
.... . .
...bn an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= x1
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 b1 · · · a1na21 b2 · · · a2n...
.... . .
...an1 bn · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= x2
13
Na isti nacin, ako stupac b zamjenimo i-tim stupcem matrice sustava jednadzbi
rezultat ce biti jednak xi:
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1,i−1 b1 a1,i+1 · · · a1na21 a22 · · · a2,i−1 b2 a2,i+1 · · · a2n...
.... . .
......
.... . .
...an1 an2 · · · an,i−1 bn an,i+1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= xi
det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · b1a21 a22 · · · b2...
.... . .
...an1 an2 · · · bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= xn
14
3.2 Geometrijska interpretacija
Geometrijsku interpretaciju Cramerovog pravila mozemo smatrati i samim dokazom is-
toga. Dani geometrijski argumenti vrijede opcenito, ne samo u slucaju dvije jednadzbe
s dvije nepoznanice kao ovdje. Dan je sustav jednadzbi:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Mozemo ga smatrati kao vektorsku jednadzbu:
x1
(a11a21
)+ x2
(a12a22
)=(b1b2
)
Slika 3:
Povrsina paralelograma odredenog sa(a11a21
)i(a12a22
)je dana determinantom sustava jed-
nadzbi det
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣.
Stoga povrsina paralelograma odredenog sax1
(a11a21
)i(a12a22
)mora biti x1 puta povrsina
prvog paralelograma (dok je jedna stranicapomnozena tim faktorom.)
Slika 4:
15
Slika 5:
Sada ovaj treci paralelogram, Cavalieriovim principom 3, ima istu povrsinu kao
paralelogram odreden sa
x1
(a11a21
)+ x2
(a12a22
)=
(b1b2
)i
(a12a22
)Povrsine drugog i treceg paralelograma daju jednadzbu:
det
∣∣∣∣ b1 a12b2 a22
∣∣∣∣ = det
∣∣∣∣ a11x1 a12a21x1 a22
∣∣∣∣ = x1det
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣iz cega slijedi Cramerovo pravilo.
Geometrijska interpretacija Cramerovog pravila: povrsine drugog i treceg osjencanog
paralelograma su iste, i povrsina drugog paralelograma je x1 puta povrsina prvog par-
alelograma.
Opcenito, kada imamo vise jednadzbi i vise varijabli, determinanta od n vektora
duljine n, dati ce volumen paralelopipeda odredenog tim vektorima u n-dimenzionalnom
Euklidskom prostoru.
3Ako pri presijecanju dvaju likova u ravnini skupom paralelnih pravaca u svakom pojedinomslucaju dobijemo dvije duzine cije su duljine u istom omjeru, onda su u istom omjeru i povrsine tihdvaju likova.
16
3.3 Rjesavanje sustava n linearnih jednadzbi s n nepoznanicaCramerovim pravilom
• Ako je matrica regularna tj. determinanta sustava razlicita od nula, D 6= 0, onda
kazemo da je sustav odreden i ima jedinstveno rjesenje (x1, x2, . . . , xn).
Pokazat cemo primjerom kako se rjesavaju linearni sustavi Cramerovim pravilom:
Primjer 1.: Dan je sustavx1 + 2x2 + 3x3 = 52x1 − x2 − x3 = 1x1 + 3x2 + 4x3 = 6
Determinanta danog sustava je:
D =
∣∣∣∣∣∣1 2 32 −1 −11 3 4
∣∣∣∣∣∣ = 1[(−1) ·4− (−1) ·3]−2[2 ·4− (−1) ·1]+3[2 ·3− (−1) ·1] = 2;
Vidimo da je determinanta razlicita od nula, D 6= 0 , pa postoji jedinstveno rjesenje
sustava.
U determinanti Dx1 prvi stupac determinante D zamjenjenimo stupcem slobodnih
clanova:
Dx1 =
∣∣∣∣∣∣5 2 31 −1 −16 3 4
∣∣∣∣∣∣ = 5[(−1) ·4−(−1) ·3]−2[1 ·4−(−1) ·6]+3[1 ·3−(−1) ·6] = 2;
U determinanti Dx2 drugi stupac determinante D zamjenjen je stupcem slobodnih
clanova:
Dx2 =
∣∣∣∣∣∣1 5 32 1 −11 6 4
∣∣∣∣∣∣ = 1[1 · 4− (−1) · 6]− 5[2 · 4− (−1) · 1] + 3[2 · 6− 1 · 1] = −2;
Takoder, u Dx3 determinanti treci stupac determinante D je zamjenjen stupcem
slobodnih clanova:
Dx3 =
∣∣∣∣∣∣1 2 52 −1 11 3 6
∣∣∣∣∣∣ = 1[(−1) · 6− 1 · 3]− 2[2 · 6− 1 · 1] + 5[2 · 3− (−1) · 1] = 4;
17
Rjesenje sustava je:
x1 =Dx1
D= 1,
x2 =Dx2
D= −1,
x3 =Dx3
D= 2.
18
4 ZAKLJUCAK
Kada imamo mali sustav jednadzbi (kao u primjeru 1) determinante se lako izracunaju
(pravilom dijagonala tj. Sarrusovim pravilom). Medutim, za sustave od vise jednadzbi
neophodno je koristiti metodu razvoja po elementima nekog retka ili stupca svodenjem
na determinante drugog reda tj. metodu kofaktora za izracunavanje determinanti. Broj
monozenja i dijeljenja pri koristenju metode kofaktora jednak je (n−1)(n+1)! pri cemu
je n dimenzija kvadratne matrice.
Za slucaj od samo 10 jednadzbi, sto je mali sustav jednadzbi, broj operacija je
360000000, a za samo 100 jednadzbi taj broj je reda 10157.
Ocigledno je da Cramerovo pravilo nije efikasno u rjesavanju velikih sustava jed-
nadzbi pa je neophodno koristiti druge metode za rjesavanje vecih sustava linearnih
jednadzbi.
19
5 LITERATURA
Literatura
[1] N. Elezovic: Linearna algebra, Element, Zagreb, 2003.
[2] K. Horvatic: Linearna algebra, 9. izdanje, Tehnicka knjiga, Zagreb, 2003.
[3] S. Kurepa: Uvod u linearnu algebru, Skolska knjiga, Zagreb, 1987.
[4] http : //en.wikipedia.org/wiki/Cramer′s− rule
[5] http : //lavica.fesb.hr
20