tipología de errores luis_rico

Didctica de la Matemtica. Licenciatura de Matemticas. 5 Curso. Errores en el Aprendizaje de las Matemticas. Prof. L. Rico

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Errores y Dificultades en el Aprendizaje de las Matemticas.Luis Rico

11 .. PP rr ee ss ee nn tt aa cc ii nn1.1 ParadojasLa presencia permanente de errores en la adquisicin y consolidacin del conocimiento

humano es una cuestin compleja y delicada.El error es conocimiento deficiente e incompleto. El error es una posibilidad, y una realidad,

permanente en el conocimiento cientfico.La ciencia es conocimiento verdadero. El desarrollo del conocimiento cientfico est plagado

de errores.Objetivo del aprendizaje es la adquisicin de conocimiento verdadero. Los procesos de

aprendizaje incluyen errores sistemticos.El error es un objeto de estudio para la educacin matemtica.22 .. FF uu nn dd aa mm ee nn tt oo ss EE pp ii ss tt ee mm oo ll gg ii cc oo ss

La fiabilidad del conocimiento humano, es decir, la capacidad de considerar comoverdaderos conceptos y procedimientos que estn deficientemente desarrollados, que incluyenideas contradictorias o interpretaciones y justificaciones falsas, ha sido una preocupacinconstante en filsofos y pensadores que se han ocupado de estudiar la capacidad del hombre porconocer y comprender. El error es una posibilidad permanente en la adquisicin y consolidacindel conocimiento y puede llegar a formar parte del conocimiento cientfico que emplean laspersonas o los colectivos. Esta posibilidad no es una mera hiptesis, basta con observar lo queha ocurrido a lo largo de la historia de diversas disciplinas en las que se han aceptado comoconocimiento vlido multitud de conceptos que, hoy da, sabemos que son errneos.

La preocupacin por el conocimiento errneo, por las condiciones que lo hacen posible y porlas funciones que puede desempear en el dominio y avance de la ciencia, ha ocupado parteimportante de las reflexiones de filsofos de la ciencia y epistemlogos, entre los que queremosdestacar a Popper; Bachelard; Russell y Lakatos. En lo que sigue vamos a seleccionar algunasideas de los autores mencionados, que sirven de fundamentacin a este trabajo.

2.1. PopperEn Conjeturas y refutaciones, Popper pone a examen la siguiente cuestin: cul es

la fuente ltima del conocimiento?; a partir de ella deriva el papel destacable que tienen loserrores en la adquisicin del conocimiento cientfico.

Para ello desarrolla la siguiente lnea argumental:1) Considera que hay, bsicamente, dos respuestas clsicas a la cuestin anteriormente

planteada, la proporcionada por el empirsmo, que seala la observacin como fundamentoltimo del conocimiento; la proporcionada por el racionalismo o intelectualismo clsico, queconsidera como fundamento la intuicin intelectual de ideas claras y distintas.

Destaca en estas dos posiciones el optimismo epistemolgico sobre las posibilidadeshumanas de conocimiento: todo hombre lleva en s mismo las fuentes del conocimiento, bien en


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su facultad de percepcin sensorial o en su facultad de intuicin intelectual. El hombre es capazde conocer; por lo tanto, puede ser libre.

Contrapone estas posiciones con la creencia segn la cual, en ausencia de una verdadobjetiva y discernible, hay que optar entre aceptar la autoridad de la tradicin o el caos, posicina la que llama tradicionalista. El racionalismo epistemolgico ha defendido el derecho de larazn y de la ciencia a criticar y rechazar toda autoridad cuando se encuentra basada en la sinrazn, el prejuicio o el accidente. El rechazo del autoritarismo lleva a someter las propias teorasy conocimientos a un examen crtico minucioso.

2) Las posiciones clsicas se sustentan en lo que Popper denomina teora de la verdadmanifiesta. La verdad es siempre reconocible como verdad; si no es as, slo es necesariodesvelar esa verdad o descubrirla. Esta doctrina de que la verdad es manifiesta plantea lanecesidad de explicar la falsedad. El conocimiento no necesita ser explicado, pero cmopodemos caer en el error si la verdad es manifiesta?.

Una respuesta posible considera que la ignorancia es obra de poderes que conspiran paramantenernos en ella, que fomentan nuestros prejuicios para que no podamos ver la verdadmanifiesta.

Popper sostiene que esta explicacin conspiracional es, bsicamente, un mito. La realidad esque la verdad es difcil de alcanzar y, una vez encontrada, se puede volver a perder fcilmente.Las creencias errneas pueden tener un poder asombroso de supervivencia, en franca oposicina la experiencia y sin ayuda de ninguna conspiracin.

La teora de la verdad manifiesta puede conducir tambin al autoritarismo. Esto puededeberse a que la verdad, simplemente, no es manifiesta y por tanto necesita de modo constantede re-interpretacin y re-afirmacin, es decir, de una autoridad que proclame y establezca cual esla verdad.

3) Aunque las epistemologas de Bacon y Descartes eran claramente antiautoritarias tienenuna fundamentacin de carcter religioso y no fueron capaces de renunciar a pensar en trminosde autoridad; uno a la autoridad de los sentidos, el otro a la autoridad del intelecto.

La disyuntiva de tener que admitir que nuestro conocimiento es humano sin tener que aceptarque es mero capricho o arbitrariedad intelectual, no queda resuelta ni con el empirsmo ni con elracionalismo.

Scrates adelant una solucin con la doctrina de la falibilidad: todos nosotros podemoserrar, y con frecuencia erramos individual y colectivamente; pero la idea del error y la falibilidadimplica que podemos buscar la verdad, la verdad objetiva, an cuando por lo general nosequivoquemos por amplio margen. Tambin implica que, si respetamos la verdad, debemosaspirar a ella examinando persistentemente nuestros errores: mediante la infatigable crticaracional y mediante la autocrtica.

4) Popper propone reemplazar la pregunta acerca de las fuentes de nuestro conocimientocomo pregunta fundamental, por la pregunta totalmente diferente:

Cmo podemos detectar y eliminar el error?.Una respuesta adecuada a la cuestin anterior es la siguiente: criticando las teoras y

presunciones de otros y - si somos capaces de hacerlo- criticando nuestras propias teoras ypresunciones. A esta posicin la denomina racionalismo crtico.


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5) Popper resume en nueve tesis los resultados epistemolgicos de su reflexin:1. No hay fuentes ltimas del conocimiento. Debe aceptarse toda fuente y

toda sugerencia y, en primer lugar, deben ser sometidas a un examen crtico.2. La cuestin epistemolgica adecuada no es la relativa a las fuentes; ms

bien preguntaremos si la afirmacin hecha es verdadera, si concuerda con loshechos. Esto se determina examinando o sometiendo a prueba la afirmacinmisma, de modo directo, o bien sometiendo a prueba sus consecuencias.

3. En conexin con el examen y revisin crticas tienen importancia todotipo de argumentos.

4. La fuente ms importante de nuestro conocimiento es la tradicin. Lamayor parte de las cosas que sabemos las hemos aprendido por el ejemplo opor que las hemos leido u oido previamente.

5. Toda parte de nuestro conocimiento por tradicin es suceptible de examencrtico y puede ser abandonado.

6. El conocimiento no puede partir de la nada. El avance del conocimientoconsiste, principalmente, en la modificacin del conocimiento anterior.

7. No hay ningn criterio que permita reconocer la verdad. Pero sposeemos criterios que, con suerte, permiten conocer el error y la falsedad. Laclaridad y distincin no son criterios de verdad, pero la oscuridad y laconfusin indican el error. Anlogamente, la coherencia no basta paraestablecer la verdad pero la incoherencia y la inconsistencia permitenestablecer la falsedad.

8. La funcin ms importante de la observacin y el razonamiento, y an dela intuicin y la imaginacin, consiste en contribuir al examen crtico de lasconjeturas con la que se sondea lo desconocido.

9. La solucin de un problema plantea nuevos problemas sin resolver, y elloes tanto ms as cuanto ms profundo era el problema original y ms audaz susolucin.

Aunque la reflexin de Popper se refiere al conocimiento en general, y de un modo msexplcito al conocimiento en las ciencias experimentales, lo que hara necesarias algunasmatizaciones al referirnos a las matemticas, hay algunas conclusiones importantes quequeremos destacar. En primer lugar, sealar que no hay fuentes ltimas delconocimiento, admitir que todo conocimiento es humano, que est mezclado con nuestroserrores y nuestros prejuicios.

Esto lleva a admitir el error como parte constituyente de nuestra adquisicindel conocimiento. Las organizaciones insuficientes o claramente deficientes, las hiptesistentativas, las conceptualizaciones incompletas son parte legtima de nuestro acceso alconocimiento, forman parte de nuestro modo de conocer. An as, no es vlida cualquierconclusin, ya que hay una verdad objetiva a la que hemos de tratar de ajustarnos.

Idea complementaria de la presencia del error es la necesidad de un ejercicio constantede la crtica, sometiendo a prueba nuestros conocimientos y aproximaciones a la verdad. La


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bsqueda crtica del error para modificar nuestros conocimientos deficientes es un corolarioinevitable de las consideraciones anteriores.

2.2. BachelardEn otro orden de ideas, Bachelard plante la nocin de obstculo epistemolgico como

explicacin para esa aparicin inevitable de errores que, hemos visto, constituye parteimportante de nuestro avance en el conocimiento. As, al comienzo de su obra La formacin delespritu cientfico glosa las siguientes ideas:

Cuando se investigan las condiciones psicolgicas del progreso de la cienciahay que plantear el problema del conocimiento cientfico en trminos deobstculos; en el acto mismo de conocer, intimamente, es donde aparecen, poruna especie de necesidad funcional, los entorpecimientos y las confusiones; esah donde mostraremos causas de estancamiento y hasta de retroceso, es ah,donde discerniremos causas de inercia que llamaremos obstculosepistemolgicos.

El conocimiento de lo real es una luz que siempre proyecta alguna sombra;jams es inmediata y plena. Al volver sobre un pasado de errores se encuentrala verdad. En efecto, se conoce en contra de un conocimiento anterior,destruyendo conocimientos mal adquiridos o superando aquello que, en elespiritu mismo, obstaculiza.

La nocin de obstculo espistemolgico puede ser estudiada en el desarrollohistrico del pensamiento cientfico y en la prctica de la educacin.

El epistemlogo tendr que esforzarse en captar los conceptos cientficos ensntesis psicolgicas efectivas; vale decir, en sntesis psicolgicas progresivas,estableciendo respecto de cada nocin una escala de conceptos, mostrando cmoun concepto produce otro, cmo se vincula con otro.

En educacin, la nocin de obstculo epistemolgico es igualmentedesconocida; son poco numerosos los que han sondeado la psicologa del error,de la ignorancia y de la irreflexin.

En otra obra, La filosofa del no, al tratar de diferenciar las funciones del filsofo dela ciencia de las del cientfico profesional, desarrolla algunas de las ideas anteriores:

Para el cientfico el conocimiento surge de la ignorancia, como la luz surgede las tinieblas. El cientfico no ve que la ignorancia es una trama de errorespositivos, tenaces, solidarios. No advierte que las tinieblas espirituales poseenuna estructura y que, en esas condiciones, toda experiencia objetiva correctadebe siempre determinar la correccin de un error subjetivo. Pero los erroresno se destruyen uno por uno con facilidad. Estn coordinados. El espritucientfico solo puede constituirse destruyendo el espritu no cientfico. Amenudo, el hombre de ciencia se confia a una pedagoga fraccionada, mientrasque el espritu cientfico debiera tender a una reforma subjetiva total. Todoprogreso real en el pensamiento cientfico necesita una conversin.


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Con esta nocin de obstculo espistemolgico, retomada posteriormente por Brousseau parala Didctica de la Matemtica, Bachelard realiza una aproximacin sistemtica a los procesos decreacin y constitucin del conocimiento dentro de la comunidad cientfica y, al mismo tiempo,a los procesos de transmisin y asimilacin del conocimiento en el sistema educativo. La nocinde obstculo epistemolgico, y las sucesivas tipificaciones y caracterizaciones de la misma, seha utilizado como clave para el estudio, sistematizacin, anlisis y explicacin de los errores quese presentan en el pensamiento cientfico.

2.3. ConstructivismoLas ideas anteriores pueden completarse con los planteamientos constructivistas.

Recordamos que hay un acuerdo general entre los constructivistas sobre los siguientes puntos: 1. Todo conocimiento es construido. El conocimiento matemtico es construido, al menos

en parte, a travs de un proceso de abstraccin reflexiva.2. Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de construccin.3. Las estructuras cognitivas estn en desarrollo continuo. La actividad con propsito induce

la transformacin de las estructuras existentes.4. Reconocer el constructivismo como una posicin cognitiva conduce a adoptar el

constructivismo metodolgico.Si, por otra parte, los errores son elementos usuales en nuestro camino hacia el conocimiento

verdadero, hemos de concluir que en el proceso usual de construccin de los conocimientosmatemticos van a aparecer de forma sistemtica errores y por tanto el proceso mencionado deconstruccin deber incluir su diagnstico, deteccin, correcin y superacin medianteactividades que promuevan el ejercicio de la crtica sobre las propias producciones.

2.4. LakatosEn un plano diferente, este planteamiento es bsicamente coincidente con el estudio realizado

por Lakatos en Pruebas y refutaciones, relativo a la lgica del descubrimiento y laelaboracin de conceptos en Matemticas. Mediante la dialctica de plantear conjeturas queaproximen una respuesta a un problema o cuestin abierta; crtica de las conjeturas mediantecontraejemplos globales y locales; y superacin mediante un aumento del contenido y unalimitacin en la extensin de los conceptos, Lakatos ofrece una metodologa basada en losprincipios de la falsabilidad para la construccin del conocimiento matemtico.

Uno de los denominadores comunes entre Popper y Lakatos es la idea de que hay queconsiderar como posible la retransmisin de la falsedad en un sistema deductivo, en oposicin ala idea clsica de la retransmisin de la verdad como nica opcin. Se trata de un cuestn clave,que tuvo importancia en la segunda crisis de fundamentos (Gdel, 1930). En esencia, se cambiael estatuto positivo (epistemologa positivista), que toma la verdad como patrn, por el vaciadoen negativo de la verdad, la falsedad. As, la verdad objetiva pasa a ser una verdad relativa aunos conocimientos, unos esquemas de interpretacin y unas reglas metodolgicas que permitenacceder a esos conocimientos.

2.5. Conclusiones


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De toda esta reflexin concluimos haciendo referencia explcita a algunas consecuencias,importantes para nosotros, relativas a los procesos de enseanza-aprendizaje de lasMatemticas.

En primer lugar, sealar que los errores pueden contribuir positivamente en e lproceso de aprendizaje; en segundo trmino, indicar que los errores no aparecen porazar sino que surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre conocimientosadquiridos priviamente; en tercer lugar, argumentar la necesidad de que cualquier teora deinstruccin modifique la tendencia a condenar los errores culpabilizando a l o sestudiantes de los mismos, reemplazndola por la previsin de errores y s uconsideracin en el proceso de aprendizaje; y, finalmente, sealar que todo procesode instruccin es potencialmente generador de errores, debidos a diferentes causas,algunos de los cuales se presentan inevitablemente.

Hay que admitir como consecuencia de las reflexiones anteriores que, a partir de sus errores,un jven o un nio puede aprender distintas propiedades de un concepto de las que no erapreviamente consciente. Al cometer un error, el alumno expresa el caracter incompleto de suconocimiento y permite a los compaeros o al profesor ayudarle a completar el conocimientoadicional o llevarlo a comprender por s mismo aquello que estaba mal.

33 .. AAnntt eecceeddeenn tt eess eenn ee ll ee ss ttuudd iioo ddee ee rr rroo rreess eenn ee ll aapprreenndd ii zzaa jj ee

ddee ll aass mmaa tt eemmtt ii ccaass eessccoo ll aa rreess3.1. El error en el aprendizaje de las matemticasUna caracterstica diferenciadora de las matemticas escolares consiste en el carcter bien

definido de las cuestiones y problemas que se plantean a los nios y jvenes,independientemente del tpico tratado o del nivel de los escolares. Incluso cuando se incorporantpicos relativos a estimacin de medidas, clculo aproximado o nociones de probabilidad,todas las cuestiones planteadas tienen una respuesta, o un rango de respuestas, adecuada (s);cualquier otra respuesta se considera inadecuada o incorrecta.

Por ello, siempre resulta posible clasificar las contestaciones de los alumnos a cuestiones yproblemas matemticos en correctas o incorrectas; tambin hay una tercera opcin que consisteen dejar sin respuesta la cuestin planteada. El grado de complejidad de una cuestindeterminada nos puede permitir, en ocasiones, subdividirla en apartados o cuestiones parciales,cada una de las cuales a su vez puede ser correcta o incorrecta.

Cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una cuestin matemtica que se leplantea se puede decir que su respuesta es errnea, y la solucin proporcionada es un error enrelacin con la cuestin propuesta.

Los errores forman parte de las producciones de los alumnos durante su aprendizaje de lasmatemticas. Los errores son datos objetivos que encontramos permanentemente en losprocesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas; constituyen un elemento estable dedichos procesos. Por otra parte, siendo un objetivo permanente de la enseanza de lasmatemticas en el Sistema Escolar lograr un correcto aprendizaje de las mismas por parte detodos los alumnos, es claro que las producciones o respuestas incorrectas a las cuestiones que


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se plantean se consideran como seales de serias deficiencias e incluso fracaso en el logro dedicho objetivo.

Por ello el estudio de los errores en el aprendizaje de las matemticas ha sido una cuestin depermanente inters en Educacin Matemtica, que tiene una larga historia y se ha caracterizadopor aproximaciones e intereses muy diferentes. En cada poca el anlisis de errores eneducacin matemtica se ha visto orientado por las corrientes predominantes en pedagoga ypsicologa; tambin ha estado condicionado por los objetivos y formas de organizacin delcurrculo de matemticas en los correspondientes sistemas educativos.

En un trabajo ya clsico, Radatz1 sealaba tres rasgos caractersticos de los estudiosaparecidos hasta la fecha:

1. La Aritmtica, el conocimiento numrico, constituye el rea de contenidos dominante en lamayor parte de los estudios sobre errores en matemticas escolares.

2. En USA ha habido un desarrollo terico continuo desde comienzos de siglo para analizarlos errores en educacin matemtica; en los paises europeos el desarrollo ha sido msespordico y carece de continuidad hasta fechas muy recientes.

3. Hay una pluralidad de aproximaciones tericas y de intentos de explicacin acerca de lascausas de los errores de los estudiantes en el proceso de aprendizaje de las matemticas.

Siguiendo a este mismo autor, destacamos algunas de las contribuciones realizadas al anlisisde errores desde comienzos de este siglo hasta finales de los 70, agrupando los autores porpaises.

44 .. LLaa ii nnvveess tt ii ggaacc ii nn ssoobbrr ee ee rr rroo rr ee ss4.1. Planteamiento y cuestiones generales La reflexin actual sobre los errores en los estudios sobre aprendizaje de las matemticas los

considera como parte normal en los procesos de aprendizaje, Brousseau, Davis y Werner2expresan claramente esta idea:

Observaciones hechas en el aula ponen de manifiesto que:1. Los estudiantes piensan frecuentemente acerca de sus tareas matemticas

de un modo muy original, bastante diferente de lo que esperan sus profesores.2. Cuando esta va de pensamiento original se muestra inesperadamente til,

admiramos su poder y decimos que el estudiante ha tenido una comprensininusual; pero cuando, por el contrario, este modo personal de pensamientoomite algo que es esencial, decimos usualmente que el estudiante ha cometidoun error. De hecho, ambos casos tienen mucho en comn, en particular el datode que las ideas en la mente del alumno no son las que el profesor espera.

Dentro de la pedagoga actual una dimensin importante consiste en considerar los procesosde enseanza/aprendizaje como procesos de comunicacin, pero esta comunicacin debe fluir en

1 Radatz H. (1980). Students Errors in the Mathematical Learning Process: a Survey.

For the Learning of Mathematics. Vol. 1 (1), pgg. 1-20.2 Brousseau G., Davis R., Werner T. (1986). Observing students at work, en Christiansen B.,

Howson G. & Otte M. (Edt.): Perspectives on Mathematics Education. Dordrecht: Reidel Publishing comp.


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ambas direcciones: desde los estudiantes hacia el profesor igual que desde el profesor hacia losestudiantes.

Tarea principal del trabajo del profesor consiste en dirigir y guiar el desarrollo de ideas en lasmentes de sus estudiantes, por ello es importante para el profesor conocer qu es lo que susestudiantes se encuentran pensando, y no limitarse a hacer suposiciones sobre esas ideas.

Al comenzar una observacin cuidadosa del trabajo de los alumnos, los profesores seencuentran con una serie de sorpresas que, de nuevo, Brousseau, Davis y Werner describen delsiguiente modo:

1. Se hace evidente rpidamente que los errores de los alumnos son, confrecuencia, el resultado de un procedimiento sistemtico que tiene algunaimperfeccin; pero el procedimiento imperfecto lo utiliza el alumno de modoconsistente y con confianza. En estos casos, los errores muestran un patrnconsistente.

2. Los alumnos tienen con frecuencia grandes concepciones inadecuadas(misconceptions) acerca de aspectos fundamentales de las matemticas.

3. Cuando es posible observar a los alumnos y tambin intercambiarinformacin con sus profesores usuales, se ve que los alumnos emplean confrecuencia procedimientos imperfectos y tienen concepciones inadecuadas queno son reconocidas por sus profesores.

4. Tambin se hace evidente que los estudiantes son con frecuencia msinteligentes para inventar sus propios mtodos originales de lo que se espera deellos. Incluso cuando un mtodo ha sido presentado por el profesor, un alumnopuede desarrollar su propio mtodo original, llegando hasta ignorar el mtododel profesor.

Esta serie de fenmenos se vienen observando desde hace muchos aos, como hemos puestode manifiesto en el apartado anterior, pero no es hasta fechas recientes cuando se tiene en cuentala complejidad en la que se encuadran. Al estudiar los errores, de acuerdo con las dificultadesencontradas por los alumnos, se debiera reconocer que los errores tambin son funcin de otrasvariables del proceso educativo: el profesor, el currculo, el entorno social en el que se enmarcala escuela, el medio cultural y sus relaciones, as como las posibles interacciones entre estasvariables. Los errores en el aprendizaje de las matemticas son, en nuestra consideracin, elresultado de procesos muy complejos. Una delimitacin clara de las causas posibles de un errordado o una explicacin de cada error con la posibilidad de actuar sobre l, es con frecuenciabastante difcil debido a que hay una fuerte interaccin entre las variables del proceso educativoy, a menudo, es muy difcil aislar relaciones.

Sin embargo, desde fechas recientes, se ha producido un avance considerable en lainvestigacin sobre educacin matemtica y se aprecia un inters creciente por lograr unesquema claro de interpretacin y previsin de errores y concepciones inadecuadas.

Ya en 1979 Radatz3 seal varias razones por las que el estudio de errores y la necesidad deun marco terico de explicacin, eran importantes:

3 Radatz H. (1979). Error Analysis in Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics


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1. El desacuerdo y escepticismo tanto respecto de los tets con relacin anorma como con los tests con relacin a criterio para medir los logros enmatemticas han aumentado la atencin por los aspectos diagnsticos de laenseanza.

2. Las reformas sucesivas del currculo de matemticas probablemente nohan conducido a nuevos errores y dificultades, pero con seguridad han surgidonuevos errores, debido a los contenidos especficos.

3. La individualizacin y diferenciacin de la instruccin matemticarequiri, como posteriormente la socializacin y las relaciones decomunicacin en el aula, de una gran destreza en el diagnstico de dificultadesespecficas; los profesores necesitan de modelos de actuacin para diagnosticarla enseanza en los que los aspectos del contenido matemtico estn integradoscon ayuda de la psicologa educativa y la psicologa social.

4. La crtica sobre los paradigmas tradicionales de la investigacin educativahan estimulado otros mtodos de investigacin en educacin matemtica:investigacin clnica, estudio de casos y fenomenologa didctica.

En el momento actual, la mayor parte de los investigadores y especialistas4 coinciden enconsiderar como caractersticas generales de los errores cometidos por los alumnos lossiguientes:

1. Los errores son sorprendentes. Con frecuencia los errores cometidos por los alumnossurgen de manera sorprendente, ya que por lo general se han mantenido ocultos para el profesordurante algn tiempo.

2. Los errores son a menudo extremadamente persistentes, debido a que pueden reflejar elconocimiento de los alumnos sobre un concepto o un uso particular de reglas nemotcnicas. Sonresistentes a cambiar por s mismos ya que la correccin de errores puede necesitar de unareorganizacin fundamental del conocimiento de los alumnos.

3. Los errores pueden ser o bien sistemticos o por azar. Los primeros son muchos msfrecuentes y, por lo general, ms efectivos para revelar los procesos mentales subyacentes; estoserrores se toman como sntomas que sealan hacia un mtodo o comprensin equivocadasubyacente, que el estudiante considera y utiliza como correcto. Los errores por azar reflejanfalta de cuidado y lapsus ocasionales, y tienen relativamente poca importancia.

4. Los errores ignoran el significado; de este modo, respuestas que son obviamenteincorrectas, no se ponen en cuestin. Los alumnos que cometen un error no consideran elsignificado de los smbolos y conceptos con los que trabajan.

Es claro que no pueden ignorarse las capacidades de los estudiantes; tampoco puedenolvidarse los errores que comenten. Brousseau, Davis y Werner5 sealan cuatro vas mediantelas que el error puede presentarse:

Education. Vol. 9 pgg. 163-172.4 Mulhern G. (1989). Between the ears: Making inferences about internal processes, en Greer B.

& Mulhern G. (edtl): New directions in mathematics Education. Londres: Routledge.


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1. Los errores son a menudo el resultado de grandes concepcionesinadecuadas acerca de aspectos fundamentales de las matemticas.

2. Frecuentemente los errores se presentan como resultado de la aplicacincorrecta y crdula de un procedimiento imperfecto sistematizado, que se puedeidentificar con facilidad por el profesor.

3. Tambin los errores pueden presentarse cuando el alumno utilizaprocedimientos imperfectos y posee concepciones inadecuadas que no sonreconocidas por el profesor.

4. Los alumnos con frecuencia inventan sus propios mtodos, no formalespero altamente originales, para la realizacin de las tareas que se les proponeny la resolucin de problemas.

Estudiar y analizar los errores cometidos por los estudiantes ha emergido recientemente comouna gran lnea de estudio e investigacin en Educacin Matemtica, con implicacionesconsiderables en gran parte de los campos de estudio en nuestra rea.

4.2. Principales lneas de investigacinCuatro son los polos en torno a los cuales se articulan los estudios e investigaciones recientes

relativos a errores en el aprendizaje de las matemticas:Primero: Estudios relativos al analisis de errores, causas que los producen o elementos que

los explican, y taxonomas y clasificaciones de errores detectados. Estos trabajos proceden oconectan con alguna teora psicolgica o psicopedaggica que proporciona un marco explicativoy a la que el anlisis de errores ofrece una metodologa adecuada para aumentar su contenidoemprico. Tambin incluimos aqu las aproximaciones tericas hechas desde un planteamientoepistemolgico o estrictamente matemtico, que tratan de establecer causas estructurales para loserrores debidas a la propia naturaleza del conocimiento matemtico, con exclusividad sobrecualquier otro argumento; los trabajos sobre obstculos son un ejemplo potente de esta opcin.

Segundo: Estudios dedicados al tratamiento curricular de los errores del aprendizaje enmatemticas. Se incluyen aqu los trabajos dedicados a la organizacin didctica de la enseanzade las matemticas que contempla la consideracin de los errores como un dato destacable. Unalnea de trabajo es la denominada enseanza diagnstica o por diagnstico, que trata de preverlos errores, detectarlos y proponer los medios para su correccin. Tambin incluimos en estosestudios las propuestas realizadas por otros autores que contemplan los errores comoplataformas para incentivar el estudio e investigacin de los contenidos matemticos. Igualmentequedan comprendidos en este apartado los estudios sobre evaluacin y el papel que desempeanlos errores en las valoraciones que se deben realizar sobre las producciones de los alumnos.

Tercero: Se consideran aqu los estudios dedicados a determinar qu conviene que aprendanlos profesores en formacin en relacin con los errores que cometen los alumnos. Se trata deestudios relativos a la formacin del profesorado y al papel que la observacin, anlisis,interpretacin y tratamiento de los errores de los alumnos tienen en este proceso de formacin.

5 Obra citada.


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Aunque con un carcter ms restringido que los apartados anteriores se trata de un campo detrabajo delimitado que ha tenido cierto desarrollo recientemente.

Cuarto: incluimos en este apartado aquellos trabajos de carcter tcnico que implementan ysostienen una determinada clase de anlisis sobre errores. El carcter dicotmico de lavaloracin correcto/incorrecto para las producciones de los alumnos han permitido unautilizacin considerable de procedimientos estadsticos; gran parte de los trabajos de orientacinpsicomtrica van dirigidos al estudio de errores en el aprendizaje. Los programas de ordenadorelaborados para sustentar la interpretacin de los errores como bugs y el desarrollo posterior quese ha hecho de los mismos, aunque tienen una fundamentacin terica clara en el procesamientohumano de la informacin, tienen igualmente un desarrollo tcnico propio por lo que losconsideramos en este apartado.

Finalmente, incluimos en este apartado tcnicas de anlisis puestas a punto por algunosequipos investigadores para contrastar hiptesis alternativas que justifican el origen o causa deun determinado error.

Aunque estas cuatro categoras no son excluyentes, las vamos a utilizar para organizar lapresentacin y realizar una breve descripcin de los trabajos e investigaciones relativos a erroresdel aprendizaje en matemticas ms significativos para nosotros en estos ltimos aos.

4. 3 Anlisis, causas y clasificacin de erroresCaracterstica diferenciadora de la aproximacin cognitiva al estudio del aprendizaje con

respecto a los estudios conductistas es la necesaria postulacin de procesos mentales en larealizacin de tareas. Sin embargo, los procesos mentales no son visibles; por ello, losinvestigadores deben recurrir a una variedad de mtodos indirectos de observacin que permitanhacer inferencias sobre los procesos mentales considerados.

El surgimiento de la teora del procesamiento de la informacin ha resultado valioso para elestudio del pensamiento y, en particular, el trabajo de un nmero creciente de investigadores hapuesto de manifiesto que el pensamiento matemtico es especialmente indicado pararepresentarlo mediante modelos de procesamiento de la informacin.

El mtodo de procesamiento de la informacin est basado en la suposicin de que losproblemas matemticos pueden descomponerse en varios componentes de procesamiento. Sinembargo, estos subcomponentes son, por su naturaleza, internos y, por tanto, hay que utilizarmtodos indirectos de observacin. Entre estos mtodos indirectos se encuentra el anlisis delos errores de los sujetos en sus producciones matemticas.

Algunos de los resultados e interpretaciones ms valiosos mediante el procesamiento humanode la informacin se han encontrado estudiando los errores; la utilidad de esta aproximacin seincrementa con el hecho de que hay patrones consistentes en los errores. La consistencia puedeconsiderarse a dos niveles, por un lado, a nivel individual, ya que los sujetos muestran unaregularidad considerable en su modo de realizar tareas y resolver problemas matemticossimilares, con poca variabilidad en periodos cortos de tiempo. Por otro lado, tambin hayconsistencias en los grupos humanos, de carcter colectivo; se trata de ciertos errores quepersonas diferentes cometen en ciertas etapas de su desarrollo educativo.


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Mediante combinacin de resultados empricos con algunos supuestos acerca de estructurasmentales y ciertas leyes generales del procesamiento humano de la informacin, es posiblepredecir algunos patrones comunes de error.

Davis6 elabor una teora de esquemas o constructos personales, que se presentan de formasimilar en distintos individuos que comparten las mismas experiencias, y cuya combinacinmediante los principios generales que regulan el procesamiento humano de la informacin lepermiten tipificar e interpretar algunos de los errores ms usuales de los escolares en elaprendizaje de las matemticas. Los esquemas postulados por Davis tienen las siguientescaractersticas:

1.Deben considerarse como esquemas para asimilar informacin, es decir, para organizar losdatos de entrada.

2. Cada estructura de representacin puede identificarse por los errores que presenta, con loque revela parte de su modo interno de trabajo.

3. Cada estructura de representacin tiene un origen legtimo, en un aprendizaje inicialmentecorrecto.

4. Cada estructura de representacin necesita un tipo de informacin inicial y no funcionarcorrectamente si no se le proporciona toda la informacin inicial.

5. Los esquemas son persistentes. Es precisamente esta propiedad la que los hacereconocibles como entidades internas de procesamiento de la informacin: que pueden ponerseen correspondencia con ciertos comportamientos externos observables. Esto se observa porquefuncionan de modo idntico en una variedad de situaciones; producen alteraciones en los datosde entrada cuando no parecen encajar con el esquema; cuando se pretende ensear contra unesquema interiorizado el aprendizaje apenas se produce.

6. La creacin y el modo de operacin de los esquemas sigue ciertas reglas ordenadas. Unade estas reglas es la denominada de sobregeneralizacin inicial; un segunda expresa que no sediscrimina cuando no es necesario; una tercera dice que el procesamiento tiende a producirsesegn el esquema asumido y cuando encuentra algn inconveniente se producen modificacioneso adaptaciones que permiten continuar.

7. La recuperacin en memoria de un esquema puede realizarse mediante trminos clavebreves y explcitos.

8. Un alumno que realiza una tarea matemtica con xito encuentra gran parte de lainformacin necesaria en los esquemas que utiliza, que no suelen estar presentes en losenunciados de los problemas o tareas propuestas.

Al postular la representacin interna de informacin, las estructuras de su procesamiento yalgunas caractersticas de los componentes estructurales propuestos, Davis plantea unmecanismo mediante el que analiza el pensamiento matemtico humano y algunos de suserrores.

Algunos de los errores clsicos explicados por el modelo de Davis son:1. Reversiones binarias. Ejps. 4 x 4 = 8; 23 = 6.

6 Davis R. (1984). Learning Mathematics: the Cognitive Science Approach to Mathematics

Education. Australia: Crroom Helm.


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2. Errores inducidos por el lenguaje o la notacin. Ejp. 2 x - x = 2.3. Errores por recuperacin de un esquema previo. Entre los ejemplos que propone se

encuentran los errores usuales de la suma y la resta, justificados por esquemas tales como el deadicin con dos entradas, el simtrico de la sustracin y la comparacin de unidades en unarelacin de proporcionalidad.

4. Errores producidos por una representacin inadecuada.5. Reglas que producen reglas. As, de la implicacin: (x-2)(x-3) = 0 , x=2 o x=3, se pasa a : (x-2)(x-3) = 2 , x=4 o x=5.

Radatz7 realiza una clasificacin de errores a partir del procesamiento de la informacin yestablece cinco categoras generales.

1. Errores debidos a dificultades de lenguaje. Seala que el aprendizaje de los conceptos,smbolos y vocabulario matemticos es para muchos alumnos un problema similar al aprendizajede una lengua extrajera. Una falta de comprensin semntica de los textos matemticos es fuentede errores; por ello, la resolucin de problemas verbales est especialmente abierta a errores detraduccin desde un esquema semntico en el lenguaje natural a un esquema ms formal en ellenguaje matemtico.

2. Errores debidos a dificultades para obtener informacin espacial. Aunque se trata de uncampo de estudio cuyo desarrollo se est iniciando, es cierto que las diferencias individuales enla capacidad para pensar mediante imgenes espaciales o visuales es una fuente de dificultadespara muchos jvenes y nios en la realizacin de tareas matemticas.

Algunas representaciones icnicas de situaciones matemticas pueden suponer dificultades enel procesamiento de la informacin; el anlisis y sntesis perceptivos implican una demandaconsiderable para algunos alumnos, presentando dificultades y produciendo errores.

3. Errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos. Eneste tipo de errores se incluyen todas las deficiencias de conocimiento sobre contenidos yprocedimientos especficos para la realizacin de una tarea matemtica. Estas deficienciasincluyen la ignorancia de los algoritmos, conocimiento inadecuado de hechos bsicos,procedimientos incorrectos en la aplicacin de tcnicas y dominio insuficiente de smbolos yconceptos necesarios.

4. Errores debidos a asociaciones incorrectas o a rigidez del pensamiento.La experiencia sobre problemas similares anteriores puede producir una rigidez en el modo

habitual de pensamiento y una falta de flexibilidad para codificar y decodificar nuevainformacin. En estos casos los alumnos desarrollan operaciones cognitivas, que continanempleando an cuando las condiciones fundamentales de la tarea matemtica en cuestin sehayan modificado. Persisten en la mente algunos aspectos del contenido o del proceso desolucin, inhibiendo el procesamiento de nueva informacin. Dentro de esta clase de errores seencuentran los siguientes:

-Errores por perseveracin, en los que predominan elementos singulares de una tarea oproblema.

7 Obra citada.


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-Errores de asociacin, que incluyen interacciones incorrectas entre elementos singulares.-Errores de interferencia, en los que operaciones o conceptos diferentes interfieren con otros.-Errores de asimilacin, en los que una audicin incorrecta produce faltas en la lectura o

escritura.-Errores de transferencia negativa a partir de tareas previas, en las que se puede identificar el

efecto de una impresin errnea obtenida de un conjunto de ejercicios o problemas verbales.5. Errores debidos a la aplicacin de reglas o estrategias irrelevantes. Este tipo de errores

surgen con frecuencia por aplicar con xito reglas o estrategias similares en reas de contenidosdiferentes.

En una investigacin ms reciente sobre errores cometidos por alumnos de Secundaria enmatemticas, Movshovitz-Hadar, Zaslavksy e Inbar8 hacen una clasificacin emprica de loserrores, sobre la base de un anlisis constructivo de las soluciones de los alumnos realizada porexpertos.

De acuerdo con la metodologa propuesta determinan seis categoras descriptivas paraclasificar los errores encontrados. Estas categoras son:

1. Datos mal utilizados. Se incluyen aqu aquellos errores que se han producido por algunadiscrepancia entre los datos que aparecen en una cuestin y el tratamiento que le ha dado elalumno. Dentro de este apartado se encuentran los casos en los que: se aaden datos extraos;se olvida algn dato necesario para la solucin; se contesta a algo que no es necesario; se asignaa una parte de la informacin un significado inconsistente con el enunciado; se utilizan losvalores numricos de una variable para otra distinta; o bien, se hace un lectura incorrecta delenunciado.

2. Interpretacin incorrecta del lenguaje. Se incluyen en este caso los errores debidos a unatraduccin incorrecta de hechos matemticos descritos en un lenguaje simblico a otro lenguajesimblico distinto. Esto ocurre al poner un problema en ecuaciones expresando una relacindiferente de la enunciada; tambin cuando se designa un concepto matemtico mediante unsmbolo distinto del usual y operando con l segn las reglas usuales; a veces se producetambin una interpretacin incorrecta de smbolos grficos como trminos matemticos yviceversa.

3. Inferencias no vlidas lgicamente. Esta categora incluye aquellos errores que seproducen por falacias de razonamiento, y no se deben al contenido especfico. Encontramosdentro de esta categora aquellos errores producidos por: derivar de un enunciado condicional surecproco o su contrario; derivar de un enunciado condicional y de su consecuente, elantecedente; concluir un enunciado en el que el consecuente no se deriva del antecedente,necesariamente; utilizar incorrectamente los cuantificadores; o tambin, realizar saltosinjustificados en una inferencia lgica.

4. Teoremas o definiciones deformados. Se incluyen aqu aquellos errores que se producenpor deformacin de un principio, regla o definicin identificable. Tenemos en este caso la

8 Movshovitz-Hardar N., Zaslavksy O. & Inbar S. (1987). An Empirical clasification model for errors

in High School Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, Vol 18, pgg. 3-14


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aplicacin de un teorema sin las condiciones necesarias; aplicar la propiedad distributiva a unafuncin no lineal; realizar una valoracin o desarrollo inadecuado de una definicin, teorema ofrmula reconocibles.

5. Falta de verificacin en la solucin. Se incluyen aqu los errores que se presentan cuandocada paso en la realizacin de la tarea es correcto, pero el resultado final no es la solucin de lapregunta planteada; si el resolutor hubiese contrastado la solucin con el enunciado el errorhabra podido evitarse.

6. Errores tcnicos. Se incluyen en esta categora los errores de clculo, errores al tomardatos de una tabla, errores en la manipulacin de smbolos algebraicos y otros derivados de laejecucin de algoritmos bsicos.

La categorizacin de estos autores est fundamentada ms en el conocimiento matemtico queen el procesamiento de la informacin. Cuando se intenta avanzar desde la descripcin de lospatrones de error y las tcnicas falsas hasta llegar a un anlisis de las causas de los errores en lascogniciones de los alumnos, parece claro que la interpretacin en base al procesamiento de lainformacin ofrece una base terica ms completa para la clasificacin de errores.

Otra aproximacin diferente es la realizada por algunos investigadores desde un punto devista epistemolgico, que pasamos a comentar brevemente. Las ideas generales que sustentaneste planteamiento son como sigue:

La reconstruccin y apropiacin de conocimiento matemtico exige unalabor depurativa constante en la que se ponga en cuestin el conocimientovulgar, emprico, parcial, falso en unos casos o superficial en otros, que tienenlos individuos en cada momento educativo, para que se produzcan rupturas conlos conceptos y representaciones necesariamente limitados, y que aparezcan ensu lugar nuevas concepciones, teoras y procedimientos, como alternativas msamplias, profundas e integradoras.

Este punto de vista caracteriza el proceso de aprendizaje como resultado demodificaciones cualitativas del conocimiento en la direccin del conocimientocientfico y por tanto de un pensamiento ms evolucionado. A grandes rasgos,el conocimiento matemtico se construye paulatinamente mediante actossucesivos de abstraccin, a partir de la realidad, para desembocar en un nivelen el que el trabajo se realiza con entes y relaciones matemticas con poca onula conexin con la realidad en la mayora de los casos. Se trata de un procesoen cadena con sucesivas rupturas y ampliaciones, en el que aparecendificultades inherentes al salto cualitativo que supone el paso de la realidadconcreta cotidiana a la realidad matemtica formal. En este proceso, elindividuo debe ir abandonando y sustituyendo progresivamente ciertos tipos deconocimiento por otros ms evolucionados, venciendo las resistencias naturalesque suelen presentarse ante modificaciones. Los conocimientos antiguos quefuncionan no son desechados completamente sino que quedan integrados yvalorados dentro de la nueva y ms completa visin que surge del aprendizaje.En esta dinmica, los errores que cometen los individuos de forma persistente


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son manifestaciones de la presencia de un fenmeno ms amplio, que algunosautores denominan inadaptacin del conocimiento, provocada por obstculo. Elerror dentro de esta interpretacin es un hecho constatable que tiene su origeno es debido a la presencia de uno o varios obstculos como fenmenos msgenerales y arraigados en el individuo.9

Aunque se han hecho serios intentos por desarrollar un sistema de categorizacin de erroresen base a una tipificacin de obstculos y del anlisis derivado correspondiente, el hecho real esque, hasta el momento, no se han superado los niveles generales, meramente descriptivos, y noexiste un desarrollo terico sistemtico que permita clasificar, interpretar y predecir los erroresen trminos de obstculos, es decir, en funcin de argumentos fundamentalmenteepistemolgicos y con exclusin de categoras cognitivas.

4.4. Tratamiento curricular de los erroresSiguiendo a Bell10 consideramos que la enseanza diagnstica surge a partir de los estudios

actuales sobre comprensin de la matemtica, que presenta dos rasgos principales.En primer lugar, la enseanza se basa en tareas crticas que exponen las ideas, correctas y

equivocadas, de los alumnos. Proporcionan material para lecciones basadas en el conflictocognitivo y la discusin. En segundo lugar, se esfuerza en basar la enseanza directamente entareas lo ms cercanas posible a aquellas en las que se espera que los alumnos apliquen losprincipios que aprenden. Si se combinan estas dos ideas tenemos que, en su comienzo, hay queelegir una tarea realista que incorpore los conceptos errneos y provocar as un conflictocognitivo que desemboque en una discusin dirigida a resolver ese conflicto.

Los trabajos realizados o dirigidos por el Profesor Bell orientan su investigacin a descubriry poner de manifiesto un nmero de reas susceptibles de errores y equivocaciones graves yampliamente desconocidas. El comienzo se ha hecho observando los errores de los alumnos alrealizar tareas prescritas, aunque luego ha sondeado ms profundamente en los errores deconcepcin que los sostienen y gobiernan. Una vez que se ha puesto de manifiesto que muchoserrores no son simples fallos de memoria, sino que tienen raices ms profundas, se haceevidente que la enseanza necesaria para remediarlos o evitar su aparicin tiene que operar a unnivel profundo. El nfasis de la enseanza se aparta de la adquisicin de procedimientosalgortmicos y se dirige hacia el desarrollo de estructuras conceptuales correctas. Los estudiossobre estructuras multiplicativas y comprensin por los alumnos de las mismas, entran dentrode los ejemplos ms conocidos de investigacin sobre errores para producir un tratamientocurricular.

El material desarrollado se articula en torno a un modelo de leccin diagnstica a la que seincorporan algunos tipos de tareas. La leccin diagnstica tpica utiliza uno o unos cuantos

9 Gonzlez J. L. (1992). Pensamiento relativo. Anlisis de errores en tareas de traduccin-

interaccin entre sistemas de representacin. Tesis Doctoral indita.10

Bell A. (1986 ). Diseo de enseanza diagnstica en matemticas.


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problemas crticos (casi siempre desarrollados originalmente como items de tests) para descubrirconcepciones errneas y as provocar discusiones conducentes a una resolucin; a continuacinsiguen problemas similares que se dan con algn tipo de retroalimentacin inmediato en cuanto ala correccin, para consolidar la conciencia recin adquirida.

Se han desarrollado varios tipos de tareas que proporcionan diversas maneras de descubrirconocimientos errneos, provocar la reflexin o activar los conceptos pertinentes. Estas tareasson: empleo de diagramas, sustitucin de nmeros fciles, juegos, invencin de preguntas,calificacin de deberes y tareas colectivas. El desarrollo alcanzado en la ejemplificacin de estastareas con el material elaborado y editado por Shell Center de la Universidad de Nottingham(U.K.), que ha alcanzado un alto grado de difusin y una ejemplaridad didctica sobresalientes,nos eximen de entrar en ms detalles sobre estos aspectos.

Con posterioridad a las investigaciones del Prof. Bell han sido muchos los especialistas quese han dedicado a estudiar, clarificar y tratar de eliminar los conceptos errneos de los alumnos,abordando las dificultades de transferencia a aplicaciones realistas, incorporndolas desde elcomienzo a la enseanza.

Otra orientacin curricular surgida en estos ltimos aos es la que vienen desarrollandoBorassi11 y otros autores sobre la utilizacin de los errores como plataformas para explorarnuevos conocimientos matemticos, en vez de un uso exclusivamente diagnstico y preventivo.

Sobre la base de algunos errores usuales que se presentan en el estudio de las fracciones talescomo:

3/4 + 6/7 = 9/11; 2/3 + 5/7 = 7/10se plantean cuestiones como las siguientes:Cul es la regla alternativa que el estudiante est aplicando aqu?, por qu est haciendo

eso?, la regla de adicin utilizada puede tener significado en algunos casos? bajo qucondiciones ocurre esto?

Hay un sistema matemtico en el que opere esta nueva regla de adicin? qu propiedadestendra un tal sistema?

Escalonadamente, y mediante una serie de cuestiones con sentido, nos llega a mostrar que,aunque la operacin 2/3 + 5/7 = 7/10 puede considerarse como una equivocacin, hay algunoscontextos en los que esta regla puede resultar razonable. De este modo llegan a plantearsecuestiones ms de fondo, como las siguientes:

Puede haber algo que sea cierto y falso a la vez en matemticas? Cmo se puede decidir si una regla es cierta o falsa en matemticas? Es siempre posible hacer esa determinacin?Llegando a un nivel de anlisis como el que plantean estas otras cuestiones: Cmo escoger

reglas y definiciones para establecer un nuevo sistema en matemticas?, Cul es el efecto de la

11 Borassi R. (1987). Exploring Mathematics through the Analysis of Errors. For the Learning of

Mathematics. Vol. 7, pgg. 2-9.


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simbolizacin sobre el aprendizaje de las matemticas?, Cul es el efecto de elegir diferentessimbolizaciones sobre el desarrollo de un tpico matemtico?

Estas y otras reflexiones dan pie a plantear los errores como punto de partida para una nuevaorientacin de las clases de matemticas, que superen el nivel simplemente diagnstico. La lneaargumental es como sigue.

La interpretacin exclusiva de los errores como instrumentos de diagnstico y correccinexplota slo parcialmente el potencial educativo del error discutido. En primer lugar, con talsuposicin solamente profesores e investigadores podran estar implicados en el proceso deanalizar el error. Los propios estudiantes quedaran privados de la oportunidad de implicarse enla actividad de explicar y dotar de sentido a sus propios errores, una actividad que puede resultaraltamente motivadora y provocadora. Adems, la propia creatividad de los investigadores alanalizar el error se puede ver constreida por el enfoque limitado a buscar las causas del errordel estudiante de forma que se pueda eliminar. Esto sucede porque consideran el errornecesariamente como una desviacin de un cuerpo de conocimiento establecido al que no debenconceder la consideracin de un reto para los resultados estndar.

Pero a la vista del ejemplo anterior, incluso los errores matemticos ms simples puedenproponer tales retos, sin necesidad de un conocimiento matemtico sofisticado, ni tampoco unalto nivel de capacidad matemtica.

Hay al menos dos direcciones principales que pueden seguirse en el uso de los errores paramotivar la reflexin e interrogarse acerca de la naturaleza de nociones matemticas: Los errorespueden usarse para investigar la naturaleza de nociones matemticas fundamentales tales comoprueba, algoritmo o definicin. Debido a que utilizamos continuamentealgoritmos, pruebas y definiciones cuando estudiamos matemticas podra suponerse quesabemos muy bien lo que son esas nociones y si estamos cometiendo errores al trabajar conellas. Por el contrario, es muy difcil explicar qu es lo que caracteriza una pruebamatemticamente buena (o un algoritmo, o una definicin) e incluso es ms difcil llegar a serconsciente de sus funciones o sus lmites. Puede ser mucho ms sencillo sealar por qu unacierta prueba no parece correcta, intentar arreglarla y a partir de este proceso concreto intentarabstraer qu propiedades deseamos que tenga una prueba matemtica.

Los errores pueden ayudarnos a investigar cuestiones abstractas relativas a la naturaleza delas matemticas a las que es difcil acercarse por otra va. De nuevo esto implica utilizar elcontraste destacado por el error, al igual que de su contenido informativo, aunque con unenfoque distinto a un nivel superior de abstraccin.

Utilizar los errores como motivacin y medio para interrogar sobre la naturaleza de lasmatemticas puede mejorar la comprensin de las matemticas como disciplina por parte de losestudiantes. Comprender una materia implica mucho ms que simplemente aprender concomprensin su contenido bsico. Tambin incluye comprender su filosofa, la metodologaempleada, el alcance y las limitaciones de la disciplina; debe incluir el desarrollo de actitudespositivas hacia la disciplina. Este tipo de comprensin, por desgracia, no es muy comn enespecial en matemticas, y tratar de mejorarlo debiera ser extremadamente importante tanto paralos estudiantes como para los profesores de cada nivel y materia.


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Para poder apreciar completamente el potencial educativo de los errores como plataformaspara interrogar, en los dos niveles identificados, tambin es importante comprender la variedadde cuestiones y exploraciones que pueden motivarse por diferentes clases de erroresmatemticos. De hecho, aunque la mayor parte de la gente parece identificar los errores con eluso o la comprensin deficientes de una regla, los errores matemticos pueden presentarcaractersticas bastante diferentes, al menos con respecto a:

* Grado de incorreccin: adems de resultados falsos, se pueden tener de hecho resultadosparciales o aproximados, resultados correctos obtenidos mediante procedimientos ineficientes oinaceptables, resultados que se pueden tomar como correctos en un contexto determinado perono en otro, problemas para los que no se ha llegado a una solucin, etc.

* Contexto matemtico: es decir, si estamos trabajando con problemas, algoritmos,teoremas, definiciones, modelos, etc.

El punto de vista elegido por estos autores puede resumirse diciendo que los errores puedenemplearse como instrumento de motivacin y como punto de partida para exploracionesmatemticas creativas, que implican actividades valiosas de planteamiento y resolucin deproblemas. Tambin los errores pueden proporcionar una comprensin ms completa yprofunda del contenido matemtico y de la propia naturaleza de las matemticas.

Esta lnea de estudio e investigacin sobre el uso de errores en el desarrollo curricular estslo en sus comienzos y necesita an de esfuerzo investigador para llegar a propuestas mssistemticas y completas.

Para concluir este apartado realizaremos algunas reflexiones en torno a las conexiones entreel estudio de errores y la evaluacin.

Son muchos los investigadores que han cuestionado estos ltimos aos la naturalezaestrictamente psicomtrica de la evaluacin escolar. Los aspectos cuantitativos predominantes enlos tests y otros mtodos similares para medir el rendimiento no proporcionan criteriossuficientes para procedimientos instructivos eficientes.12

En los ltimos aos venimos asistiendo al desarrollo de nuevos modelos de evaluacin querequieren de nuevos procedimientos de valoracin; pero tan importante o ms que la valoracinque reciben los alumnos, est el hecho de que esas valoraciones sirvan para reorientar sucomprensin ayudndoles en la superacin de sus concepciones deficientes y en la supresin delos errores. La evaluacin no debe reducirse a los aspectos puramente externos y formales sinoque debe lograrse una interiorizacin de los juicios alcanzados para proceder a una modificaciny avance en los conocimientos. Nesher13 nos aporta algunas consideraciones claves para unaactualizacin del papel de la evaluacin, diferenciando las pruebas de evaluacin de losejercicios o instrumentos para la investigacin.

Las recomendaciones de Nesher, resumidamente, dicen:

12 Radatz H. Obra citada.

13 Nesher P. (1987). Toward on Instructional Theory: the Role of Students Misconceptions.

For the Learning of Mathematics. Vol. 7, pgg. 33-39.


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a) El aprendiz deber ser capaz, durante el proceso de aprendizaje devalorar las limitaciones e incomodidades de una pieza dada de conocimiento.Esto puede ser enfatizado desarrollando entornos de aprendizaje que funcionencomo sistemas de retroalimentacin dentro de los cuales el aprendiz sea librepara explorar sus creencias y obtener respuesta especfica a sus acciones.

b) En los casos en que el aprendiz reciba retroalimentacin inesperada, si noqueda bloqueado por ella, deber ser estimulado y motivado para continuar einterrogar respecto a su tarea.

c) El profesor no puede predecir completamente el efecto del sistema deconocimiento previo del estudiante en un nuevo entorno. Ms aun, antes de quecomplete su instruccin, debiera proporcionar oportunidades al estudiante paramanifestar sus concepciones deficientes y as relacionar la instruccinsubsiguiente a estas concepciones.

d) Las concepciones deficientes son, por lo general, una excrecencia de unsistema de conceptos y creencias ya adquiridos aplicados equivocadamente a undominio. No debieran tratarse como cosas terribles que deben desarraigarse yaque ello puede confundir a los aprendices y destruir su confianza en elconocimiento previo. En vez de ello, el nuevo conocimiento debiera conectarsecon el esquema conceptual previo del estudiante y situarlo en la perspectivacorrecta.

e) Las concepciones deficientes no slo se encuentran tras las realizacioneserrneas, sino que tambin se ocultan tras muchos casos de ejecucin correcta.Una teora de la instruccin deber cambiar su enfoque de las realizacioneserrneas hacia la comprensin del sistema de conocimiento completo de losestudiantes, del cual se derivan sus reglas de actuacin.

f) Los items diagnstico que discriminan entre concepciones adecuadas ydeficientes no son necesariamente los mismos que se emplean en los ejercicios ypruebas escolares. Un esfuerzo especial de investigacin debiera hacerse paraconstruir items diagnstico que establezcan la naturaleza especfica de lasconcepciones deficientes.

Tambin Romberg14 insiste en la complejidad de las tareas de evaluacin y en la necesidadde superar un tratamiento exclusivamente penalizador de las producciones errneas o incorrectasde los alumnos.

4.5. Los errores y la Formacin del ProfesoradoAl comienzo de este apartado ya se hizo refencia a la funcin prioritaria de los profesores en

dirigir y guiar el desarrollo de ideas matemticas en las mentes de los escolares, razn por lacual era de importancia destacable el entrenamiento en pautas de observacin cuidadosa sobre eltrabajo de los alumnos con el fin de conocer en profundidad lo que los estudiantes estn

14 Romberg T. (1989). Evaluation: a coat of many colours. En Robitaille (Edt.): Evaluation and

Assessment in Mathematics Education. Pars: Unesco.


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pensando. Este aprendizaje debe iniciarse durante el periodo de formacin inicial. A la preguntaqu conviene que aprendan los profesores en formacin al realizar laobservacin de los alumnos en su trabajo matemtico?, Brousseau, Davis yWerner15, contestan sealando algunas ideas directrices a tener en cuenta para esa observacin:

1. Proporcionar a los estudiantes una oportunidad para ver lo que conoceny lo que pueden inventar o descubrir con antelacin a ensearles un mtodo,tcnica o concepto supuestamente novedoso.

2. No dejar a la casualidad la creacin de las representaciones mentales delos alumnos. Se pueden proporcionar experiencias para los alumnos queinfluirn considerablemente en las representaciones mentales que ellosconstruyan mentalmente.

3. Mediante las relaciones de comunicacin con los alumnos, el profesorpuede conocer las representaciones mentales que los alumnos estn empleando.

Adems del entrenamiento en la observacin de las actuaciones de los alumnos y en una guaefectiva para ayudarles a superar las concepciones inadecuadas y los errores, los profesores enformacin inicial y permanente deben tener un conocimiento general de las consideracionestericas y de fundamentacin que hemos hecho en los apartados anteriores relativas a laclasificacin de errores, determinacin de causas, esquemas tericos de interpretacin ydesarrollo curricular derivado del diagnstico, tratamiento y superacin de los errores en elaprendizaje. Todas estas cuestiones tienen inters intrnseco para la formacin de profesores ydeben ser objeto de estudio, reflexin y prctica explcitas.

Hay, finalmente, otras dos cuestiones de inters en relacin con la formacin de profesoradoy el estudio de los errores. Por un lado, el anlisis de los errores cometidos por los alumnos y ladiscusin en seminario de vas posibles para su correccin ponen de manifiesto las propiasconcepciones que tiene cada profesor en formacin respecto del conocimiento matemtico y lanaturaleza de su aprendizaje. Esta comprensin sobre las propias creencias permite asumircrticamente los planteamientos profesionales de cada profesor en formacin, observando lasincoherencias y aspectos olvidados y promoviendo una concepcin ms completa de las tareasdocentes.

Introducir en el aula una consideracin sistemtica de los errores va ms all de introducir unnuevo tpico en el currculo, y hace necesario la enseanza de estrategias adecuadas. Esto esdebido a que tanto los profesores como los alumnos tienen fuertes concepciones previas sobrelos errores y, por tanto, estas consideraciones influirn sus comportamientos en relacin con lasactividades que impliquen errores. Ser pues importante que los profesores clarifiquen susconcepciones sobre las matemticas, su aprendizaje y los errores para que puedan ayudar a susalumnos a superar el sentimiento negativo que las personas tienen hacia los errores.

Por otro lado, tambin los profesores en formacin cometen errores en la realizacin detareas matemticas, muchas de ellas similares o debidas a las mismas causas que las quecomenten los escolares. Poner de manifiesto las concepciones deficientes y los errores

15 Brousseau G., Davis R. & Werner T. Obra citada.


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cometidos es una tarea formativa ineludible para el Profesor en formacin; conviene aprovechareste tipo de actividades para proponer esquemas de trabajo correctivos y situaciones en las queel conflicto cognitivo entre las concepciones inadecuadas y las adecuadas se ponga fuertementede manifiesto y obliguen a una reestructuracin positiva de los esquemas previos.

Algunas investigaciones recientes han trabajado en esta lnea.16

4.6. Tcnicas de anlisis A lo largo de los estudios e investigaciones en educacin matemtica podemos encontrar una

gran variedad de mtodos para el estudio de los errores en matemticas. Mulhern17 los agrupaen cuatro amplias categoras:

1. Contar simplemente el nmero de soluciones incorrectas a una variedad de problemas.Este mtodo, que tiene un valor diagnstico limitado es cercano al mtodo psicomtrico, y hadominado la educacin estatal hasta hace poco.

2. Anlisis de los tipos de errores cometidos. Esta tcnica implica usualmente clasificardiferentes tipos de error, examinar cmo se desvian de la solucin correcta y hacer inferenciassobre qu factores pueden haber conducido al error.

3. Anlisis de patrones de error. Tales anlisis pueden revelar errores sistemticos que seansntoma de concepciones inadecuadas, o bien al variar aspectos de las tareas los patrones deerror que resultan pueden proporcionar claves sobre qu estrategias se han utilizado.

4. Construir problemas de tal modo que puedan provocar errores en los individuos. Aqu elinvestigador observa los patrones de error realizados por los individuos; especula sobre lasposibles causas de estos errores; y, sistemticamente, construye nuevos problemas de los quepuede predecirse que inducirn a errores similares.

Ya hemos indicado, al considerar los antecedentes en el estudio de errores, que la mayorparte de los estudios hasta fechas recientes eran de la primera de las clases mencionadas, conuna fuerte influencia de la metodologa psicomtrica. Tambin hemos considerado en detallediversas aproximaciones a la clasificacin de errores. Vamos a presentar el planteamiento queestn siguiendo algunos autores como Nesher18 al realizar el anlisis de patrones de errorescomo sntomas de concepciones deficientes o inadecuadas (misconceptions).

La nocin de concepcin deficiente seala una lnea de pensamiento que causa una serie deerrores, todos ellos procedentes de una premisa incorrecta subyacente, en vez de erroresespordicos, desconectados y no sistemticos. No siempre resulta sencillo seguir la lnea depensamiento de los nios y poner de manifiesto cmo es de consistente y sistemtico. La mayorparte de los estudios, sin embargo, informan sobre la clasificacin de errores y su frecuencia,aunque sto no explica su origen y por tanto no pueden tratarse sistemticamente.

16 Tirosh D. & Graeber A. (1989). Preservice elementary teachers explict beliefs about

multiplication and division. Educ. Stud. Math. Vol. 20, pgg. 79-96.17

Mulhern G. Obra citada.

18 Nesher P. Obra citada.


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Parece que esta carencia de generalidad en los anlisis podra evitarse si se mira en losniveles de representacin ms profundos en los que evoluciona un sistema de significado quecontrola las realizaciones superficiales. Cuando se detecta un principio errneo en este nivel msprofundo, es posible explicar no un caso sino toda una clase de errores. Denominamos a una talregla para la gua de errores una concepcin deficiente.

La aplicacin de estos principios al estudio de dos tipos de errores detectados en lacomparacin de nmeros decimales19 , sirve para poner de manifiesto los esfuerzos de losalumnos por proporcionar sentido conceptual a nuevos conocimientos matemticos recibidosmediante instruccin en trminos de conocimientos previamente dominados; sto es lo queexplica la aparicin de los errores. En este estudio, el diseo de una prueba en la que se tienenen cuenta todas las posibles actuaciones de los alumnos en trminos de las concepcionesdeficientes que se hipotetizan, proporciona un modelo para analizar los patrones de error comocategoras consistentes, de un modo ms detallado y directo que en trabajos anteriores.

Las dificultades que se presentan usualmente para detectar estos errores, debido a que losalumnos pueden obtener buenas calificaciones en pruebas de comparacin de decimales (que esel contenido que se estudia), an cuando se encuentren afectados por algunas de lasconcepciones deficientes subyacentes, llevan a realizar las siguientes consideraciones de carctergeneral:

a) Para hacer el diseo sobre la instruccin relativa a un nuevo conocimiento, no es suficientecon analizar los procedimientos y sus requisitos previos, que es lo que se hace en muchoscasos. Debemos conocer cmo este nuevo conomiento se integra en un gran sistema designificados, que el nio ya posee, y del cual va a derivar sus directrices.

b) Es crucial conocer especficamente cmo los procedimientos ya conocidos puedeninterferir con el material que se est aprendiendo.

c) Todos los nuevos elementos que se asemejan, pero son distintos de los antiguos, debierandiscriminarse claramente en el proceso de instruccin, y el profesor debiera esperar encontrarerrores en estos elementos. Es innecesario decir que, aunque produzcan mayor nmero derespuestas errneas, tales elementos deben presentarse a los nios, y no tratar de evitarlos.

Otro desarrollo tcnico avanzado en el estudio de errrores, ya comentado, es el realizado enel campo de la sustraccin al aplicar el modelo de los bugs, considerando la metfora de lamente humana como un ordenador. Maurer20 nos explica los resultados ms importantes de estatcnica de anlisis. El conocimiento de los tipos de errores de sustraccin que cometen losestudiantes es ahora tan detallado que se han escrito programas de inteligencia artificial quecometen los mismos errores que los estudiantes, proporcionando al programa slo unos cuantosprincipios bsicos. Otros programas sirven para diagnosticar rpidamente qu bugs tiene unestudiante determinado. Otros ayudan a diagnosticar los bugs de los dems mediante unentrenamiento en esta tarea. Practicando las destrezas de bsqueda de bugs, los estudiantes

19 Resnick L., Nesher P., Leonard F., Magone M., Omanson S., Polet I. (1989). Conceptual bases

of Arithmetic Errors: the case of decimal fractions. Journal for Research in Mathematics Education Vol 20 pgg. 8-27.20

Maurer S. Obra citada.


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llegan a reconocer que sus propios razonamientos pueden tener bugs. Tambin la teora sobre lageneracin de bugs ha empezado a proporcionar ideas sobre las mejores y peores elecciones deejemplos y sobre los mtodos mejores y peores para seleccionar material. Esto era algo que nopoda hacer el antiguo conocimiento sobre errores sistemticos.

En cualquier caso, la investigacin actual indica que muchas respuestas a problemas que hansido considerados descuidos son, de hecho, el resultado de concepciones inadecuadassistemticas sobre sustraccin.

La figura muestra el trabajo de un estudiante con un bug. El bug se refiere a llevarse opedir prestado, en este caso llevarse de 0:

a 0 b - x y z donde z es mayor que b

El estudiante transforma la sustraccin en: (a -1) 0 (b + 10) (a -1) 9 (b + 10) - x y z en vez de: - x y z Procedimiento que conduce a su vez a una segunda dificultad: 0 - y = y (una versin) 0 - y = 0 ( otra versin). No hay nada aleatorio o chapucero en el trabajo del estudiante con bugs como estos. Est

trabajando cuidadosamente, siguiendo un procedimiento preciso, aunque incorrecto.Qu explican tales bugs?. Imaginemos que el estudiante comprende el algortmo de la

sustraccin de una manera muy mecnica. Lo ve como una mera manipulacin columna porcolumna, excepto si el dgito de arriba de una columna es ms pequeo que el de abajo, en cuyocaso se disminuye el dgito c de su izquierda en 1 y se sustituye d por 10 + d. Imaginemosadems que el profesor nunca ha presentado el caso en que c es cero, o que el estudiante estabadistraido cuando el profesor lo hizo. Qu hace el estudiante en un ejemplo en el que c valecero?. No se evade, sabe que debe dar una respuesta. As, generaliza imaginando algunaversin del procedimiento que incluye todos los casos previos y tambin este. En este ejemplo,la idea del estudiante es que el dgito del que se pide prestado no necesita ser el que estinmediatamente a la izquierda, sino que puede ser el dgito no nulo ms cercano a la izquierda.De este modo, ante una laguna en el algortmo, el estudiante hace un remiendoincorrectamente, creando un bug. El estudio de tales correcciones se llama Repair theory.

Si bien los crticos a la Repair theory han puesto de manifiesto las limitaciones de losanlisis hechos sobre esta fundamentacin, en especial por las caractersticas tan especficas quetienen los conocimientos a los que se puede aplicar, que le dan un carcter limitado y restrictivo,no cabe duda que, en su campo, la potencialidad del anlisis logrado es bastante completo.

4.6. Conclusin

El campo de estudio sobre errores en el aprendizaje de las matemticas escolares hemos vistoque se viene desarrollando y definiendo de manera crecientemente productiva durante los


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ltimos aos. Su inters para la mejora en la comprensin y conocimiento de los alumnos, ascomo para una realizacin eficaz de las tareas docentes, es indudable. Creemos que, en losprximos aos, asistiremos a un mayor desarrollo de estos estudios al avanzar en lacomprensin terica y en sus implementaciones prcticas. Para nosotros constituye un campo deinters permanente en el que pensamos continuar desarrollando una parte considerable denuestras investigaciones en el Area.

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