Tipos de Anualidades.

Este documento fue preparado por: José Sánchez Encarnación, tomando como referencia el libro: Matemáticas Financieras de Alfredo Díaz Mata.

Ya se han explicado los casos de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas y las anticipadas. En éste se analizan las anualidades diferidas. Al igual que en el capítulo anterior, se reduce el análisis a las anualidades simples y ciertas, ya que sus contrapartes, los casos, generales y contingentes, son materia de otros capítulos. Tal como se vio al presentar la clasificación de las anualidades, las diferidas surgen del criterio de clasificación referente al momento en que se inician los pagos o abonos. Las anualidades deferidas son aquellas en las el inicio de los cobros o depósitos se pospone para un período posterior al de la formalización de la operación. Al igual que con las anualidades anticipadas, tampoco se requieren nuevas fórmulas, ya que se manejan las misma expresiones que se utilizan para las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. Sólo es necesario hacer las modificaciones pertinentes para considerar la postergación del inicio de los pagos o depósitos.

Monto y Valor actual

Se ilustran estos conceptos a través de los siguientes ejemplos:

Ejemplo

En octubre, un almacén o9frece al público un plan de venta de “Compre ahora y pague después”. Con este plan el arquitecto Servín adquiere un escritorio, que recibe el 1º. De enero del año siguiente. Si se considera un interés de 36% anual convertible mensualmente, ¿cuál es el valor contado del mueble?

Solución:

C = R

C = 180(9.954004) = $1791.72

Es decir, $1791.72 sería el valor al 1º. De diciembre, ya que se calculó el valor actual de una anualidad vencida (la fórmula de siempre) durante 12 periodos, y el inicio del primero de ellos es, precisamente, el 10. De diciembre. Lo único que resta hacer es calcular el valor actual de 1791.72 en un mes atrás. Que es cuando el comprador recibió el escritorio. C = 1791.72 (1.03)-1=1791.72 (0.970874) C = 1739.54Y, en resumen:

C =

C = 180(9.954004) (0.970874)C = $1739.54

Como puede verse en este ejemplo, en el caso de las anualidades diferidas lo que hace es encontrar el valor actual(o monto de la anualidad vencida e inmediata correspondiente (1791.72 en este caso) y luego trasladarla tantos periodos hacia atrás como sea necesario. Esto es en otras palabras, el planteamiento de la ecuación de equivalencia apropiada.

Renta, Plazo

Ejemplo:

El 14 de mayo del año 1 se depositaron $100 000 en un fondo de inversiones con el objeto de retirar 10 mensualidades a partir del 15 de febrero del año 3. Si los intereses que gana la inversión son de 17.52% capitalizable cada mes, hallar el valor de las mensualidades que se podrán retirar.

La ecuación sería:

100,000 = X

1 2

En donde (1) nos daría el valor actual de una renta vencida al 14 de enero del año 3, cantidad que, multiplicada por (2), nos daría el valor actual al 14 de mayo del año 1, que es cuando se hizo el depósito, Observe que esta expresión es equivalente a:

100, 000

En donde el primer término nos da el valor de la inversión al 14 de enero del año 3, y algebraicamente esta última expresión

se obtiene multiplicando ambos términos de la primera expresión por .

100, 000 = X

100, 000 (1.336279) = X (9.2411758) y

X =

Ejemplo:

El valor al contado de una mesa de billar es de $22 000.Se puede adquirir a crédito mediante 6 pagos bimestrales, el primero de los cuales debe realizarse 6 mese después de la adquisición. Si el interés que se carga es de $% bimestral, ¿de cuánto deben ser los pagos?

Solución:

22, 000

22, 000 es el monto al término del segundo bimestre. Esta cantidad equivale al valor actual de los pagos

bimestrales, planteados éstos como una anualidad vencida:

22, 000(1.0816)= X (5.242137)

X

Planteado de la otra manera:

22, 000

22, 000 (0.924556) =

X = =

Retirar 21 mensualidades de $500 y una vigésimo segunda de:

8, 906.50 - 500 = 131,124.61 = $855.10

Pedro páramo contrae hoy una deuda de $10,075 que debe pagar mediante un abono de $3,000 dentro de 3 meses y, después, tantos pagos mensuales de $725 como sean necesarios hasta saldar el total, comenzando dentro de 6 meses. Si el interés al que se contrató el préstamo es de 37.68% capitalizable mensualmente,¿ cuántos pagos mensuales debe hacer?

Solución:

I = 0.3768/12 = 0.03314

Valor de la deuda en el momento de hacer el pago de $3,000

11 054.18 – 3000 = 8054.18El valor de este saldo de la deuda al quinto mes es equivalente al valor actual de las n mensualidades -----. Para determinarlo se calcula dicho valor a partir del que se determinó al tercer mes:

$8054.18 = $8567.92

Ahora, para calcular el número de pagos:

8567.92 =725

= 0.628920

-n log

n= - =

n =15

RENTAS PERPETUAS

En los negocios, es frecuente que ciertas rentas, salvo sucesos imprevistos, se paguen indefinidamente. Entre muchas otras, las rentas que se pagan a perpetuidad son la renta de un terreno, los legados para instituciones de beneficencia, los dividendos sobre acciones preferentes, las sumas que es necesario reservar cada año para proveer la reposición periódica de puentes, acueducto y, en general, todos los elementos de servicios de una comunidad.

Definición (Una renta perpetua es una anualidad cuyo plazo no tiene fin.)

En este capítulo se estudiarán las rentas perpetuas simples ordinarias. Todas las expresiones que cualifican las anualidades se aplican a las rentas perpetuas, lo que origina diversos tipos de rentas perpetuas. Así, pueden presentarse rentas perpetuas anticipadas, vencidas, diferidas, etc.

Símbolos utilizados en las rentas perpetuas

En el estudio de las rentas perpetuas se utilizan los mismos símbolos, con el mismo significado de los capítulos anteriores.

Valores de las rentas perpetuas simples

Valor futuro de una renta perpetua Puesto que nunca cesarán los pagos de una renta perpetua, resulta imposible calcular su valor futuro.Valor presente o actual de una renta perpetua simple ordinaria Sea la renta perpetua de $ A, pagadera al final de cada periodo, a la tasa i por periodo.

P

0 1 2 3 4 … periodos

A A A A

Se reduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad P que, en un periodo, produce como intereses la suma A o sea: A = Pi

Donde, P = A

Valor presente de las rentas perpetuas simples anticipadas Cuando el pago de la renta perpetua es de inmediato, al trazar el diagrama se observa que el valor actual es equivalente al de una renta perpetua vencida, aumentada en el primer pago que debe efectuarse de inmediato.

P

0 1 2 3 4 … periodos

A A A A A

Se deduce que el valor presente de la renta perpetua anticipada es aquella cantidad P que, disminuida en la primera cuota A, produce como intereses la suma A, o sea: (P - A) i = A

De donde P = A +

Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W distinto de A, se tiene, para el valor actual:

P = W +

EjemploEn el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se invertirán de modo que el hospital de ancianos reciba, a perpetuidad, una renta de $1.000.000 cada fin de año. Si en la localidad la tasa de interés es del 8%, hallar el valor actual de la donación.

P = A +

A= 1.000.000; i =0,08

P = 1.000.000 = 12.500.000

Al fallecer, una persona deja un legado a un sanatorio, estipulado así: $600.000 para la adquisición de ciertos equipos y $800.000 anuales para su mantenimiento. Hallar el valor actual del legado, si la tasa es del 8%.

P = W

A = 600.000; A = 800.000; i = 0,08

P = 600.000 + =$10.600.000

Valor presente de las rentas por pagar al final de cada cierto número de periodos de capitalización En la práctica comercial, es frecuente que los pagos de las rentas perpetuas deben efectuarse trascurrido cierto número de periodos de capitalización y, así, sucesivamente por siempre. Tal es el caso de los gastos que deben efectuarse para la reposición de activos. Por ejemplo, los puentes, las traviesas de los ferrocarriles, los equipos industriales, etc. Puesto que estos activos deben ser remplazados periódica e indefinidamente por otros nuevos, el costo de las sustituciones constituye una renta perpetua. Para analizar este tipo de rentas perpetuas se elabora un diagrama y, en él, se designa por W el costo de remplazo. w w W w

1 2 K k+1 k+2 2k 2k+1 3k 3k+1 … …

… …

A A A A A A A A A A A El valor W de cada pago puede considerarse como el valor futuro de k pagos de valor A, efectuados al final de cada periodo de capitalización.

Capitalización

Esta expresión que tiene un significado muy amplio, acostumbrase utilizar como sinónimo de valor presente, en las rentas perpetuas. Así, a la tasa del 12% convertible mensualmente, el valor capitalizado de un terreno alquilado en $3.000 mensuales por mes anticipado es:

P = A

A = 3.000; j = 0,12; m =12; i = 0,01

P = 3.000+ = $303.000

Es decir que desde el punto de vista de los resultados financieros, sería equivalente poseer un capital de $3.000, por mes anticipado.Estudiar un negocio desde el punto de vista de su capitalización es de suma importancia, ya que permite analizar el rendimiento de los activos vinculados al negocio.

Ejemplo:En una localidad, las inversiones rinden el 14%, con capitalización semestral. Un comerciante que muestra en sus libros una cantidad semestral de $252.000, en promedio de los últimos balances, ofrece en venta su negocio por $3.800.000. Determinar si es o no una oferta atractiva, e indicar el precio máximo que debe pagarse por el negocio.

P = A

A = 252.000; j = 0,14; m = 2; i = 0,07

P = 252.000 = $3.600.000

No es buena oferta, el máximo que se podría pagar es de $3.600.000.

Costos capitalizados.En los estudios financieros, los activos que es necesario remplazar cada cierto número de periodos k determinados por su vida útil, se analizan considerando la suma de su costo inicial más el valor presente de las renovaciones futuras a perpetuidad; esta suma corresponde al costo capitalizado del activo. En análisis financieros, suele remplazarse la renta perpetua por una renta cuyo horizonte sea determinado número de periodos.

Definición Costo capitalizado de un activo es la suma de su costo original más el valor presente de la renta necesaria para las renovaciones futuras. La vida útil del activo se mide en periodos de capitalización de las inversiones. A continuación se definen los símbolos utilizados en este texto:

K = costo capitalizado C = costo original o inicial

Anualidades Generales.

Como se mencionó en un capítulo anterior, las anualidades generales son aquellas en las que el período de pago no coincide con el periodo de capitalización.

Ejemplo

Una persona contrae una deuda de $10 000. Para saldarla, acuerda hacer 6 pagos bimestrales vencidos de x cantidad, que comenzarán dos meses después y con intereses de 15% anual capitalizable mensualmente. Por otro lado, se anota que el interés es capitalizable mensualmente y, como resulta obvio, el periodo de capitalización es de un mes. Dado que los periodos de pago y de capitalización son distintos, este ejemplo ilustra el caso de una anualidad general. Ya hemos visto en capítulos anteriores todos los casos de las anualidades, exceptuando las generales y las contingentes. Como este tipo se analiza en un capitulo posterior, en éste se revisan, primordialmente, las anualidades generales, ciertas, vencidas e inmediatas.

Los casos diferido y anticipado de las anualidades generales se pueden resolver mediante la combinación de los métodos de los capítulos anteriores y los que se presentan aquí. Por ello, sólo para efectos de ilustración se presentan alginas

ejemplos de estos casos en la última sección de este capitulo. Dad su importancia, vale la pena señalar desde momento que:

La forma más sencilla de resolver las anualidades generales es modificarlas para que se ajusten al caso simple, y luego utilizar las fórmulas ya conocidas de éstas para encontrar los valores deseados.

Existen dos principales maneras de convertir anualidades generales en anualidades simples:

1- Mediante la determinación de la tasa de interés equivalente.2-Mediante la determinación de la renta, o pago periódico, equivalente.

Hay dos casos de anualidades generales:

1. El periodo de pago es más largo que el periodo de capitalización o, al revés,2. El periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago.

Abundaremos sobre estas importantes cuestiones en las secciones restantes del capítulo.

Se realiza un ejemplo sencillo para ilustrar dos métodos más comunes para resolver anualidades generales.

Caso 1. El periodo de pago es más prolongado que el de capitalización.

Ejemplo:

Encontrar el monto de un conjunto de 4 pagos trimestrales de $5000, si el interés es de 36% anual convertible mensualmente.

Solución:

En primer lugar conviene auxiliarse de un diagrama para apreciar mejor las circunstancias.

$5000 $5000 $5000 $5000

1 2 3 4

M =?R = $5000n = 4 trimestresi = 0.36/12 = 0.03 mensual

Observe que las rentas se consideran vencidas (al final de cada periodo de pago) ya que, como se mencionó en la introducción, nos ocuparemos de anualidades vencidas. También, como el periodo de pago es de 3 meses y el de interés es de un mes, tenemos por lo que utilizaremos los métodos mencionados para resolverla:

Determinación de la tasa de interés equivalenteComo puede verse en la gráfica anterior, en cada uno de los trimestres hay tres periodos de capitalización. Si consideramos un solo trimestre tendríamos que encontrar la tasa trimestral efectiva que es equivalente a una mensual efectiva de 3.0&. Este procedimiento, que ya se vio en el capítulo sobre interés compuesto, sería:

i`=

i`=

Dondei`= la tasa por periodo de la anualidad general; en este caso es la tasa efectiva trimestral (0.092727).p = número de periodos de interés por periodo de pago; 3 en este caso.

Ahora, luego de haber determinado la tasa efectiva por trimestre, hemos convertido la anualidad general en una simple, con:R =5000n =4M =?i`=0.092727

que se resuelve aplicando la fórmula conocida del monto para una anualidad simple:

M = R

M =5000 = 5000(4.591552)

M = $22957.76

b) Determinación de la renta equivalente

Nuevamente, con referencia al diagrama, ilustramos un solo trimestre:

Como se planteo el interés capitalizable cada mes, tendríamos que encontrar la renta mensual durante 3 meses, que sea equivalente a una renta trimestral de $5000 y, como puede verse en la gráfica anterior, esto no es otra cosa que una anualidad simple con:

M = 5000 (la renta de uno de los periodos de la anualidad general)i =0.03p = 3R`=?Y, aplicando de nuevo la fórmula ya conocida:

M = R pero con la nueva simbología:

M = R

DondeR` es la renta mensual equivalente a una renta trimestral de $5000.

Entonces:

5000 =R` R` (3.090900)

R`= = $1617.65

Ahora se determina el monto de estas rentas equivalentes para el plazo completo de la anualidad:

M =?

R = 1 617.63

n = 4 trimestres por 3 meses cada uno = 12

i = 0.03

M =1617.63 M =R

M =$22 957.74

Que es prácticamente el mismo resultado que se obtuvo mediante el otro método.

El periodo de pago más corto que el de capitalización.

Ejemplo:

Determinar el monto de un conjunto de 10 depósitos mensuales de $2,500, si el interés que se gana es de 30% convertible semestralmente.

a) Determinación de la tasa de interés equivalente.

Como las rentas son mensuales, es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 15% semestral también efectivo:

= 1.16

023567

Y, el monto de la anualidad:

M = ¿

R = 2,500

i = 0.23567 (mensual efectivo)

n = 10

M = 2500 = 2500(11-129991)

M = $27824.97 y

b) Determinación de la renta equivalente.

En este caso se determina la renta que coincide con el periodo de capitalización de 6 meses; en la gráfica se puede apreciar que esa renta es el monto de las rentas mensuales por semestre:

R`= 2500 = 2500(6.364813)

R`=$15912.03

Y, para el plazo total de la operación:

R=$15912.03

n = 19 meses= 10/6 semestres = 1.666667 semestrales

i = 0.15 semestral

M = 15912.03 = 15912.03 (1.748676)

M = $27 824.98

Que es prácticamente igual al resultado anterior.A continuación se presentan unos ejemplos de cálculo del valor actual.

Ejemplo:

¿Cuál es el monto y el valor actual de un conjunto de 24 pagos bimestrales de $4 500 si el interés es de 5% trimestral efectivo? Utilice la tasa equivalente.

Solución:Se requiere encontrar qué tasa efectiva bimestral es equivalente a la tasa efectiva trimestral:

= 1.05

M = 4 500 = $73755.96

O, en forma de anualidad:

M =4 500 = $73755.95

RentaComo ya había mencionado, también aquí se convierte la anualidad general en otra simple equivalente, y dado que se busca la renta, entonces se utiliza la tasa equivalente.

Ejemplo:

Un empleado adquiere un seguro para su automóvil a través de la póliza grupal de la empresa donde trabaja. Si el valor del segundo al contado es de $5 759, la vigencia de la póliza es de 1 año, el interés es de 18% capitalizable mensualmente, y va a pagar mediante descuentos quincenales por nómina, ¿cuánto es lo que le descontarán cada quincena?

Solución:Aquí hay que encontrar la tasa quincenal equivalente. En este caso, 18% convertible mensualmente equivalente a 18/12 mensual efectivo, mientras que la tasa quincenal:

= 1.015

C = R

5 750= R

R =

Un empleado desea ahorrar $115 000 en los próximos 2 años. Si puede hacer depósitos semanales en una cuenta que paga 0.25% mensual efectivo, ¿cuánto debe depositar cada semana, si se consideran 48(12 x 4) semanas al año?

= 1.0025

M = 115 000

R =?

n = 96

115 000= R

R =