tpe anal num

8/19/2019 Tpe Anal Num

1/30

UNIVERSITE DEDOUALA

FACULTE DE GENIEINDUSTRIEL

www.fgi-ud.com

U E : ANALYSE NUMÉRIQUE

Licence III Semestre 5

Travail Personnelle de l’Étudiant I

Membre du Groupe 17

om et prénom matricule

TAPUMEU SIMO CYRILLE LANDRY (chef) 1 G 746NGONDI KOME ÉLISÉE CONSTANT

1 G 688

MOHAMADOU NDJIDDA 1 G 66

REPUBLIQUE DU CAMEROUN

Paix – Travail – Patrie

MINISTERE E L’ENSEIGNEMENT

SUPERIEUR

REPUBLIC OF CAMEROON

Peace – Work – Fatherland

MINISTRY OF HIGHER

EDUC TION

Enseignant : Mr Gervais DEME IMANO Année académique : 2012-2013


2/30

. Numérisation des problèmes sur MATLAB

TPE Analyse numérique

2

TPE N°1

I. Calcul numérique de la limite et du nombre dérivé

1. Calcul de la limite d’une suite numérique (U n ) définie par :

Diagramme de flux de la limite d’une suite (U n )

Programme en langage MATLAB

a)

sous programme de calcul des termes de la suite

function t=u(n) if n==0

t=3; else

t=sqrt(u(n-1)+3);

end

Nit←Nit+1

Début

Lire ɛ

Lire n, Nitmax

Nit←1

|Un+1−Un|< ɛ

l ←Un

Afficher l Nit>Nitmax

Afficher (‘pas de convergence’ )

Fin

Non

Oui

Oui

n←n+1

Non


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3

b)

programme centrale de calcul de la limite de la suite (U n )

fprintf('programme de calcul de la limite de la suite:\n'); e=input('donner la valeur de la precision: '); NITmax=input('donner le nombre d''iteration maximal: ');

n=1;

while(abs(u(n)-u(n-1))>=e && n=NITmax)

fprintf('pas de convergence apres %d iterations ',NITmax); else

l=u(n); fprintf('la suite converge vers %f à %fprès apres %d iterations\n',l,e,n)

end

2. Calcul de la limite de deux suites numériques (U n ) et (V n ) définies par :

Diagramme de flux de la limite de deux suites adjacentes (U n ) et (V n )


Nit←Nit+1

Début

Lire ɛ

Lire n, Nitmax

Nit←1

|Un−Vn|< ɛ

l ←Un

Afficher l Nit>Nitmax

Afficher (‘pas de convergence’ )

Fin

Non

Oui

Oui

n←n+1

Non


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4

a.

sous programme de calcul des termes de la suite pour (U n )

function y=u(n) if n==0 y=1; else

y=(u(n-1)+2*v(n-1))/3; end

pour (V n )

function y=v(n) if n==0

y=12; else

y=(v(n-1)+3*v(n-1))/4; end

b.

programme centrale de calcul de la limite des suites adjacentes (U n ) et (V n)

fprintf('programme de calcul de la limite d''une suite adjacente:\n'); e=input('donner la valeur de la precision: '); n=1; while(abs(u(n)-v(n))>=e)

n=n+1; end fprintf('la limite apres %d iterations est l=%f à %fprès',n,u(n),e)

3. Calcul des sommes des séries suivantes :

∑ ∑

∑ ∑

∑


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5

Diagramme de flux de la Somme de terme générale la suite (U n )


a.

sous-programme de calcul des termes de la suite

pour (U 1(n))n

function t=u1(n) t=(-1)^n/(2*n+1);

pour (U 2(n))n

function t=u2(n)

t=1/n*n;

pour (U 3(n))n

function t=u3(n) t=((-1)^(n-1))/n^2;

Debut

Fin

Lire ɛ Nitmax

n←1

s←0

n←n+1

Convergence

exact vers l

|Un|


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6

pour (U 4(n))n

function t=u4(n) t=1/n^4;

pour (U 5(n))n

function t=u(n) t=(2*n+1)/(n^2*(n+1)^2);

b.

programme centrale de calcul de la limite de la suite (U n )

pour (U 1(n))n

fprintf('programme de calcul de la somme d''une serie:\n'); e=input('donner la valeur de la precision e: '); NITmax=input('donner le nombre d''iteration maximale: '); n=0; s=u1(0);

while (n=e) n=n+1; s=s+u1(n) ;

end if abs(u1(n))>=e

fprintf('pas de convergence apres %d iterations\n',NITmax); else

l=abs(s-pi/4); if l>=e

fprintf('la somme de la serie est s=%f à %f pres. De plus abs(s-

pi/4)=%f>e',s,e,l) else

fprintf('la somme de la serie est s=%f et abs(s-pi/4)=%fe',s,e,l) else

fprintf('la somme de la serie est s=%f et abs(s-pi^2/6)=%f


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7

end

pour (U 3(n))n

fprintf('programme de calcul de la somme d''une serie:\n');

e=input('donner la valeur de la precision e: '); NITmax=input('donner le nombre d''iteration maximale: '); n=1; s=u3(1); while (n=e) n=n+1; s=s+u3(n) ;

end s=-abs(s); if abs(u3(n))>=e

fprintf('pas de convergence apres %d iterations\n',NITmax); else

l=abs(s+pi^2/12);

if l>=e fprintf('la somme de la serie est s=%f à %f pres.\n',s,e) fprintf('De plus abs(s-(-pi^2/12))=%f>e\n',l)

else

fprintf('la somme de la serie est s=%f et abs(s-(-pi/12))=%fe\n',l)

else

fprintf('la somme de la serie est s=%f et abs(s-pi^4/90)=%f


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8

n=1; s=u5(1); while (n=e) n=n+1; s=s+u5(n) ;

end

if abs(u5(n))>=e fprintf('pas de convergence apres %d iterations\n',NITmax); else

l=abs(s-1); if l>=e

fprintf('la somme de la serie est s=%f à %f pres.\n',s,e) fprintf('De plus abs(s-1)=%f>e\n',l)

else

fprintf('la somme de la serie est s=%f et abs(s-1)=%f


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9

g=g+p; while g>=x;

disp('soit reduire le pas et réessayer,soit il ya pas de limite à

gauche'); break

end

else Lg=g; end

if abs(Lg-Ld)>e; fprintf('%f est un point de discontinuité',x);

else l=(Lg+Ld)/2; fprintf('la limite de cette fonction en x=%f est l=%f',x,l);

end

pour g(x) functionlimh

e=input('donner la valeur de la précision e:');p=input('donner la valeur du pas p:');x=input('donner la valeur du point x:');d=input('donner la valeur d''un point à droite de la derniere d:');g=input('donner la valeur d''un point à gauche de x g:');while de;

d=d-p;while d=x;disp('g doit etre inférieur à x');

g=input('entrez à nouveau g:');end

end

if abs(h(g)-h(g+p))>e;g=g+p;

while g>=x;disp('soit reduire le pas et réessayer,soit il ya pas de limite à gauche');break

endelse Lg=g;end

if abs(Lg-Ld)>e;fprintf('%f est un point de discontinuité',x);else

l=(Lg+Ld)/2;fprintf('la limite de cette fonction en x=%f est l=%f',x,l);

end

II.

Calcul numérique des intégrales définies par :


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10

√

a.

sous-programme de déclaration des fonctions

f(x) pour le calcul de I

function y=f(x)y=(sin(x))/x;

g(x) pour le calcul de J

functiont=g(x) t=1/sqrt(1-x*x);

b. programme centrale de calcul d’intégrale

i. Méthode de Simpson calcul de I

fprintf('\n Programme de de calcul des integrales par la methode de Simpson:\n') a=input('donner la borne inferieur de l''intervalle:'); b=input('donner la borne superieur de l''intervalle:'); n=input('donner le nombre de subdivision l''intervalle:'); h=(b-a)/n; s=0; x=a; for i=1:n

x=a+i*h; s=s+f(x-h)+4*f(x-h/2)+f(x);

end s=h*s/6; fprintf('la valeur de l''integrale est I=%f',s)

calcul de Jfprintf('\n Programme de de calcul des integrales par la methode de simpson:\n') a=input('donner la borne inferieur de l''intervalle:'); b=input('donner la borne superieur de l''intervalle:'); n=input('donner le nombre de subdivision l''intervalle:'); h=(b-a)/n; s=0; x=a; for i=2:n-1

x=a+i*h; s=s+g(x-h)+4*g(x-h/2)+g(x);

end s=h*s/6; fprintf('la valeur de l''integrale dans les conditions choisies est I=%f\n',s) i=input('donner la valeur reel de cette integrale:'); fprintf('l''erreur commise est erreur=%f\n',abs(i-s));

ii. Méthode des Trapèses calcul de I

fprintf('\n Programme de de calcul des integrales par la methode des trapezes:\n') a=input('donner la borne inferieur de l''intervalle:'); b=input('donner la borne superieur de l''intervalle:');

n=input('donner le nombre de subdivision l''intervalle:'); h=(b-a)/n;


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11

s=(f(a)+f(b))/2; x=a; for i=1:n-1

x=a+i*h; s=s+f(x);

end

s=h*s; fprintf('la valeur de l''integrale est I=%f',s)

calcul de Jfprintf('\n Programme de de calcul des integrales par la methode des trapezes:\n') a=input('donner la borne inferieur de l''intervalle:'); b=input('donner la borne superieur de l''intervalle:'); n=input('donner le nombre de subdivision l''intervalle:'); h=(b-a)/n; s=0; x=a; for i=1:n-1

x=a+i*h;

s=s+g(x); end s=h*s; fprintf('la valeur de l''integrale dans les conditions choisies est I=%f\n',s) i=input('donner la valeur reel de cette integrale:'); fprintf('l''erreur commise est erreur=%f\n',abs(i-s));

i. la valeur approchée de π

Sa valeur approchée est ∫ √

à un nombre de subdivision important Il est à remarquer que dans le calcul numérique de ces intégrales pour des valeurs importantes du nombrede division, elles se rapprochent de leur valeur exacte analytique. Mais si on entre aussi une valeur trop

exorbitante, le programme MATLAB mettra beaucoup de temps pour calculer ces intégrales

III. Résolution numérique des équations non linéaires

1.

Résolution de l’équation f(x)=0 Par la méthode de Newton et dichotomie

a.

Déclaration des fonctions

i.

[] Sous-programme de déclaration de la fonction

function t=f(x)t=log(x)+(1+x*x)/(1-3*x*x);

ii. ][ Sous-programme de déclaration de la fonction

functiont=g(x)t=(2*x+7)*asin(x)-pi;

iii.


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12

Sous-programme de déclaration de la fonction

function t=h(x)t=x/2+(log(x))/x;

Diagramme de flux de la Résolution numérique des équations non linéaires f(x)=0

par Dichotomie

a←c

Début

Lire ɛ a b

f(a)=0 ?

f(b)=0 ?

c←

α←a

α←b

f(c)=0 ?

f(a).f(c)


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13

par Newton

b. Programme principale de Résolution par la méthode dichotomie

Pour la fonction f(x)fprintf('programme de resolution d''une equation par la methode dichotomie:\n'); e=input('donner la valeur de la precision e: '); a=input('donner la valeur de la borne inferieur de l''intervalle a: '); b=input('donner la valeur de la borne superieur de l''intervalle b: '); if f(a)==0

fprintf('s=%f est la solution',a); elseif f(b)==0 fprintf('s=%f est la solution',b);

Début

Lire ɛ, Nitmax, x

n←0

f(x)=0 ?

f ’(x)=0 ?

α←x Afficher α

Afficher (‘pas

de solution’ )

α←x

Afficher α à ɛ rès n←n+1

n≤ Nitmax Afficher (‘pas de

convergence’ )

Fin

oui

non

oui

oui

non

non

non

oui


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14

else c=(a+b)/2;

if f(c)==0 fprintf('s=%f est la solution',c); elseif f(a)*f(c)=e && f(c)~=0)

c=(a+b)/2; if f(c)==0 fprintf('s=%f est la solution',c); elseif f(a)*f(c)


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15

b=input('donner la valeur de la borne superieur de l''intervalle b: '); if h(a)==0

fprintf('s=%f est la solution',a); elseif h(b)==0 fprintf('s=%f est la solution',b); else

c=(a+b)/2; if h(c)==0 fprintf('s=%f est la solution',c); elseif h(a)*h(c)=e && h(c)~=0)

c=(a+b)/2; if h(c)==0 fprintf('s=%f est la solution',c); elseif h(a)*h(c)=e && n=NITmax) fprintf(' pas de solution apresNITmaxiterations')

elseifdif(x)==0; fprintf('l''equation n''pas de solution'); elseif f(x)==0

fprintf('s=%f est la solution',x); else fprintf('la solution est s=%f à %f pres\n',x,e); end end

2. Resolution de l’équation ax3+bx²+cx+d=0 par la methode de Neuton

pour x0=0 Declaration du polynome


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16

function t=p(x,a,b,c,d) t=a*x^3+b*x^2+c*x+d;

Programme principale

fprintf('programme de resolution d''une equation du type ax^3+bx^2+cx+d=0 par la

methode de Newton:\n'); a=input('donner le coefficient de x^3, a: '); b=input('donner le coefficient de x^2, b: '); c=input('donner le coefficient de x, c: '); d=input('donner le terme constant, d: '); e=input('donner la valeur de la precision e: '); NITmax=input('donner le nombre d''itration maximale NITmax: '); x=0; n=1; while(abs(p(x,a,b,c,d)/dif(x,a,b,c,d))>=e && n=NITmax) fprintf(' pas de solution apres NITmax iterations\n')

elseif dif(x,a,b,c,d)==0; fprintf('l''equation n''pas de solution\n'); elseif p(x,a,b,c,d)==0

fprintf('s=%f est la solution apres %d iterations\n',x,n); else

fprintf('la solution est s=%f à %f pres apres %d iterations\n',x,e,n); end

3. Résolution par la méthode de Newton dans les cas :

a)

pour x0≠0 quelconque

Declaration de la fonction

function t=f(x) t=x^(1\3);

Programme principale fprintf('programme de resolution d''une equation f(x)=0 par la methode de

newton:\n'); e=input('donner la valeur de la precision e: '); NITmax=input('donner le nombre d''itration maximale NITmax: '); x=input('donner le point initial x0 : '); while x==0

x=input('donner le point initial x0 tel qu''il soit non nul : ');

end n=0; if f(x)==0;

fprintf('s=%f est la solution\n',x); elseif dif(x)==0;

fprintf('l''equation n''pas de solution\n'); else while(abs(f(x)/dif(x))>=e && n=NITmax)

fprintf(' pas de solution apres %d iterations\n',NITmax)

elseif dif(x)==0; fprintf('l''equation n''pas de solution\n'); elseif f(x)==0


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17

fprintf('s=%f est la solution\n',x); else

fprintf('la solution est s=%f à %f pres\n',x,e); end

end

b ,x0=0 Declaration de la fonctionfunction t=g(x) t=(x+1)*exp(-x)+1;

Programme principale

fprintf('programme de resolution d''une equation f(x)=0 par la methode de

newton:\n'); e=input('donner la valeur de la precision e: '); NITmax=input('donner le nombre d''itration maximale NITmax: ');

x=0; n=1; if g(x)==0;

fprintf('s=%f est la solution\n',x); elseif dig(x)==0;

fprintf('l''equation n''pas de solution car g''=0 après %d iteration\n',n); else while(abs(g(x)/dig(x))>=e && n=NITmax)

fprintf(' pas de solution apres %d iterations\n',NITmax)

elseif dig(x)==0; fprintf('l''equation n''pas de solution\n'); elseif g(x)==0

fprintf('s=%f est la solution\n',x); else

fprintf('la solution est s=%f à %f pres apres %d iterations\n',x,e,n); end

end

IV. Intégration numérique d'une équation différentielle

a.

avec y(0)=1

Déclaration de la fonctionfunction t=f(x,y)t=x/y+y/2;

Programme principale pour Eulerfprintf('\nAlgorithme de calcul d''une equation differentielle par la methoded''Euler:\n');n=input('entrer le nombre de point à calculer: ');h=input('entrer le pas :');x=input('entrer la valeur de x0: ');y=input('entrer la valeur de y0: ');for k=0:n-1

y=y+h*f(x,y);x=x+h;fprintf('x%d=%f et y%d=%f\n',k+1,x,k+1,y)


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18

end

Programme principale pour Runge-Kuttafprintf('\nAlgorithme de calcul d''une equation differentielle par la methode deRunge Kutta:\n');n=input('entrer le nombre de point à calculer: ');

h=input('entrer le pas :');x=input('entrer la valeur de x0: ');y=input('entrer la valeur de y0: ');for k=0:n-1

p1=f(x,y);p2=f(x+h/2,y+h*p1/2);p3=f(x+h/2,y+h*p2/2);p4=f(x+h,y+h*p3);y=y+h*(p1+2*p2+2*p3+p4)/6;x=x+h;fprintf('x%d=%f et y%d=%f\n',k+1,x,k+1,y)

end

b. avec y(0)=1 Déclaration de la fonction

function t=g(x,y)t=(y-x)/(y+x);

Programme principale pour Eulerfprintf('\nAlgorithme de calcul d''une equation differentielle par la methoded''Euler:\n');n=input('entrer le nombre de point à calculer: ');h=input('entrer le pas :');x=input('entrer la valeur de x0: ');

y=input('entrer la valeur de y0: ');for k=0:n-1

y=y+h*g(x,y);x=x+h;fprintf('x%d=%f et y%d=%f\n',k+1,x,k+1,y)

end

Programme principale pour Runge-Kuttafprintf('\nAlgorithme de calcul d''une equation differentielle par la methode deRunge Kutta:\n');n=input('entrer le nombre de point à calculer: ');h=input('entrer le pas :');x=input('entrer la valeur de x0: ');y=input('entrer la valeur de y0: ');for k=0:n-1

p1=g(x,y);p2=g(x+h/2,y+h*p1/2);p3=g(x+h/2,y+h*p2/2);p4=g(x+h,y+h*p3);y=y+h*(p1+2*p2+2*p3+p4)/6;x=x+h;fprintf('x%d=%f et y%d=%f\n',k+1,x,k+1,y)

end

V. résolution numérique d'un système d’équations non linéaires

Diagramme des flux d’un système de deux équations non linéaires


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19

Ayant un système du genre

{ et en ayant définie les fonctionsVal (f,x,y) calculant la valeur de f pour le couple ( x,y) donné.

Dérivée (f,1,x,x,y ) calculant la valeur de la dérivée première par rapport à x pour lecouple ( x,y) donné.Det (A,n) calculant le déterminant de la matrice carrée A d’ordre n

Début

Lire (x 0 ,y 0 ), Nitmax

(x,y )← (x 0 ,y 0 )

Val (f 1 ,x,y )=0 &Val f 2 ,x,y )=0 ?

( x,y) est solutiondu système

a11← Dérivée (f 1 ,1,x,x,y )

a12← Dérivée (f 1 ,1,y,x,y ) a21← Dérivée (f 2 ,1,x,x,y ) a22← Dérivée (f 2 ,1,y,x,y )

Fin

n←0

Det (A,2)=0 ?

Afficher(‘Pas desolution’

( ) ( ) b1← − Val ( f 1 ,x,y)

b2← − Val ( f 2 ,x,y)

n←n+1

varx← Det (B,2)/ Det (A,2) var ← Det (C,2)/ Det (A,2)

(x,y )← (x+varx,y+vary )

oui

non

oui

non


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20


a) { fprintf('programme de résolution d''un système d''equation non linéaire:\nx^2-3x-

4=0\nx^3-3x^2-2xy+4x-2=0\n');Nitmax=input('entrer le nombre itérations max: Nitmax= ');fprintf('entrer les coordonnées du point initial\n');x=input('x0= '); y=input('y0= ');n=0;if (f1(x,y)==0 && f2(x,y)==0)

fprintf('le point de coordonnées x=%f et y=%f est solution du système\n',x,y);else

while (f1(x,y)~=0 || f2(x,y)~=0 && nNitmaxfprintf('pas de solution après Nitmax=%d itérations\n',Nitmax);

else

fprintf('pas de solution après %d itérations\n',n);end

end

b) { fprintf('programme de résolution d''un système d''equation non linéaire:\nx^2-2x-y+4=0\nx^3-2x^2-x-2xy+2y+2=0\n' );Nitmax=input('entrer le nombre itérations max: Nitmax= ');fprintf('entrer les coordonnées du point initial\n');x=input('x0= '); y=input('y0= ');n=0;if (f1(x,y)==0 && f2(x,y)==0)

fprintf('le point de coordonnées x=%f et y=%f est solution du système\n',x,y);else

while (f1(x,y)~=0 || f2(x,y)~=0 && n


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21

if (f1(x,y)==0 && f2(x,y)==0)fprintf('le point de coordonnées x=%f et y=%f est solution du système après %d

itération(s)\n',x,y,n);elseif n>Nitmax

fprintf('pas de solution après Nitmax=%d itérations\n',Nitmax);else

fprintf('pas de solution après %d itérations\n',n);end end


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22

TPE N°2

I. Résolution d’un système d’équations linéaire AX=B pour matrice

SDP1.

Sous-programme CHOLESKY permettant de déterminer la matrice L de la factorisation deCHOLESKY de la matrice A

Diagramme de flux

Début

Lire n

Lire A

l11←s rt a11

i←1

i←i +1

li1← a11/ l11

i = n ?

←1

← +1

S=0

k=0

k←k+1

S ← S +l *l

k= -1 ?

non

oui

21

non

oui


23/30



23

Sous Programmen=input('donner la dimension de la matrice A:'); a=input('entrer la matrice Symétrique Définie Positive A:'); l(1,1)=sqrt(a(1,1)); for i=2:n

l(i,1)=a(i,1)/l(1,1); end for j=2:n

s=0; for k=1:j-1

s=s+l(j,k)*l(j,k); end l(j,j)=sqrt(a(j,j)-s); for i=j+1:n

s1=0;

non

2 1

l ← s rt a -S

i←

i←i+1

S←0

k←k+1

S ← S +l k *l k

k= -1 ?

oui

li ← ai -S /l

i= n ?non

i= n ?

oui

oui

Afficher L

non

Fin


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24

for k=1:j-1 s1=s1+l(i,k)*l(j,k);

end l(i,j)=(a(i,j)-s1)/l(j,j);

end end

for i=1:n for j=1:n fprintf('l(%d,%d)=%f\n',i,j,l(i,j))

end

end

2. Sous-programme CROUT permettant de déterminer les matrice L et D de la factorisation deCROUT de la matrice A

Diagramme de flux

Sous Programme

II. Résolution d’un système d’équations linéaire AX=B pour matrice

pleine quelconque1. Transformation de A en matrice triangulaire


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25

Diagramme de flux

Début

Lire n

Lire A,B

k←0

k←k+1

i←k

i←i+1

p←aik /akk

j←k -1

j←j+1

aij←aij ─p*akj

j=n ?

bi←aij ─p*bk

i=n ?

k=n ?

oui

non

non

non

oui

oui

1


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26

Programmefprintf('Programme de systeme d''equation lineaires AX=B\n pour une matricequelconque:\n ') n=input('donner la dimension de la matrice A:'); a=input('entrer la matrice A:'); b=input('entrer la matrice B:'); for k=1:n

for i=k+1:n p=a(i,k)/a(k,k); for j=k:n

a(i,j)=a(i,j)-p*a(k,j); end b(i,1)= b(i,1)-p* b(k,1);

end

end x(n,1)=b(n,1)/a(n,n); fprintf('x%d=%f\n',n,x(n,1))

1

i←i−1

S←0

j←i

j←j+1

S←S+aij*x j

xn←bn/ann

j=n ?

xi←(bi−S)/aii

i=1 ?

Afficher x1,x2,…,xn

Fin

oui

non

non

oui


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27

for i=n-1:-1:1 s=0; for j=n:-1:i+1

s=s+a(i,j)*x(j,1); end x(i,1)=(b(i,1)-s)/a(i,i);

fprintf('x%d=%f\n',i,x(i,1)) end

2. Transformation de A en matrice diagonaleDiagramme de flux


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28

Début

Lire n

Lire A,B

k←0

k←k+1

i←k

i←i+1

p←aik /akk

j←k -1

j←j+1

aij←aij ─p*akj

j=n ?

bi←aij ─p*bk

i=n ?

k=n ?

oui

non

non

non

oui

oui

1


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29

k←n

k←k -1

i←k -1

i←i-1

p←aik /akk

←k -1

← +1

ai ←ai ─p*ak

j=n ?

b ←a ─ *b

i=1 ?

k=1 ?

oui

non

non

non

oui

oui

1

i←0

i←i+1

i=n ?

xi←bi/aii

Afficher x1 x2 … xn

Fin

oui

non


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Programmefprintf('Programme de systeme d''equation lineaires AX=B\n pour une matrice

quelconque:\n ') n=input('donner la dimension de la matrice A:'); a=input('entrer la matrice A:'); b=input('entrer la matrice B:'); for k=1:n

for i=k+1:n p=a(i,k)/a(k,k); for j=k:n

a(i,j)=a(i,j)-p*a(k,j); end b(i,1)= b(i,1)-p* b(k,1);

end end for k=n:-1:1

for i=k-1:-1:1 p=a(i,k)/a(k,k); for j=k:n

a(i,j)=a(i,j)-p*a(k,j); end b(i,1)= b(i,1)-p*b(k,1);

end end for i=n:-1:1

x(i,1)=b(i,1)/a(i,i); fprintf('x%d=%f\n',i,x(i,1))

end

tpe anal num

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