trabajo prÁctico integrador № i - celestino brutti · trabajo prÁctico integrador nº1 curso de...

UNIVERSIDADTECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL PARANÁ

CÁTEDRAS

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Curso de Electrónica 2016

TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR № I

Directores de Cátedra: Titular Ing. Celestino Benito Brutti (AMI) Titular Ing. Felicia Dora Zuriaga (A y GA)

Profesores de la Comisión: Adjunto Ing. María I. Gandulfo de Zapata (AMI) Adjunto Ing. María Mercedes Gaitán de Orsi (A y GA)

Auxiliares: JTP Ing. Gabriela A. Martínez (AMI)

JTP Ing. Maricel De Zan (A y GA)

Alumnos y correos: ………………………………….. ………………………………….. …………………………………..

Grupo Nº: ……

AÑO 2016

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ

ANÁLISIS MATEMATICO I – ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALITICA TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR Nº1

CURSO DE ELECTRÓNICA 2016

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD

REGIONAL PARANÁ

CURSO DE ELECTRÓNICA

CÁTEDRAS: ANÁLISIS MATEMÁTICO I – ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

TRABAJOS PRÁCTICOS DE INTEGRACIÓN 2016

INSTRUCCIONES DE PRESENTACIÓN 1- El trabajo práctico debe ser presentado en papel obra alisado con formato A4 de norma IRAM. Los márgenes deben ser:

2- Las hojas no estarán numeradas en forma correlativa. 3- Las hojas serán escritas a máquina o computadora en las dos caras. 4- Cada ejercicio se comenzará en una hoja aparte y se numerarán las hojas indicando ejercicio y página: Ejemplo: Ejercicio1/pág.1-1, 1-2,. . . 5- En cada ejercicio debe constar el enunciado con los datos y luego la resolución a continuación. Ejercicio1 ………………………….. Solución: ………………………….. 6- Los gráficos deben realizarse en computadora. 7- Cada trabajo debe venir acompañado de un CD que quedará para la cátedra (con los ejercicios corregidos). 8- Una vez presentado el trabajo, el mismo será evaluado verbalmente y en forma individual en un coloquio, con la presencia de todos los integrantes del grupo. 9- El trabajo práctico será presentado anillado con tapa transparente o en una carpeta con tapa transparente. 10- Losgrupostendrán2alumnoscomomínimoy3alumnoscomomáximo. 11-Las condiciones de aprobación se deben ver en La Planificación de la Cátedra.




N° Grupo Integrantes

1 Churichi-López-Santillán 2 Cancellieri-Sequeira-Baldini 3 Cian-Rottoli 4 Giménez-Ortiz 5 Kleng-Giles-Falcón Guillermo 6 Trigos-Varrone-Taborda 7 Rey- Gieco 8 Gozález Exequiel-Modenutti 9 Masat-Fabrisín

10 Buralli-Riquelme 11 Mazzarello-Roble

Ejercicio 1 Dadas las siguientes funciones:

a) Dada y=f(x) determinar las intersecciones con los ejes coordenados, asíntotas

verticales y horizontales, gráfica, dominio y rango.

I. Graficar y=|f(x)| indicando dominio y rango. II. Graficar y=Ln|f(x)| indicando dominio y rango.

b) Dada y=g(x)

I. Graficar la función del denominador.

II. Graficar la función del denominador. III. Determinar las intersecciones de y=g(x) con los ejes coordenados. IV. Determinar las asíntotas verticales y horizontales de y=g(x). V. En un solo sistema de ejes coordenados graficar con distintos colores todas las

funciones anteriores. VI. Determinar Dominio y Rango de y=g(x)

c) Idem anterior para y=1/g(x)

d) Dada y= h(x).

I. Graficar y=h(x), determinando las intersecciones con los ejes coordenados

II. Graficar conjuntamente y=h(x) e � = ��(�)condistintoscolores. Determinar dominio y rango de y= (h(x))1/2

III. Graficar conjuntamente y=h(x) e y=Ln|h(x)| con distintos colores. Determinar dominio y rango de y=Ln|h(x)|.




Grupo y =f(x) y =g(x) y=h(x)

1 � =2�

� 3

2

32

xx

xy � = 2�� + 7�� 14� + 5

2 � =5�

3 �

15183

62

xx

xy � = 3�� + x21 15332 x

3 � =4� 1

2� + 2

422

52

xx

xy � = 3�� + 15�� 3� 15

4 � =2� + 4

� 3

23

32

xx

xy � = �� + 5�� + 7� + 3

5 � =3 �

2 �

86

222

xx

xy � = �� + 3�� 4

6 � =� + 3

� + 4

43

22

xx

xy � = �� + �� 4� 4

7 � =� + 2

3 �

2

142

xx

xy � = �� + 7�� + 14� + 8

8 � =4

6 �

86

42

xx

xy 472 23 xxxy

9 � =� + 4

3� + 6 243

42

xx

xy

� = 3�� 8�� + 5� + 6

10 � =� 1

� + 4

2

42

xx

xy � = 3�� + 15�� 3� 15

11 � =� 3

2� + 4

422

32

xx

xy � = �� + 2�� 5� 6

Ejercicio 2 Dadas las funciones y=f(x) e y=g(x). Graficar por separado cada una de ellas y luego graficarlas conjuntamente en un solo sistema de ejes coordenados. Determinar los puntos de intersección entre ambas gráficas y graficarlos superpuestos con las gráficas anteriores. Realizar el gráfico de un tamaño que se visualicen correctamente las funciones. GRUPO

12;0)(xfy

12;0)(xgy

1 Ln(0,35x)cos(1,6x-0,6) 4sen(2x) 2 4cos(1,75x+0,25) 3ln(0,25x)cos(x-0,6) 3 Arctg(-1,5x) )3,29,1cos(2 18,0 xx

4 30ln(0,2x)sen(2x-4) -2sen(x-3) 5 3secx

)7,09,1()5

3( 25,0 xsenx

6 Sen(5-x) )5,04,2()

4

1( 5,0 xsenx




7 3cos(3x+0,5) )2,05,1cos(19,0 xe x

8 30ln(0,2x)sen(x-2) -2,3arctg(0,4x) 9 2,3arctg(-0,4x)

)7,04,2()5

4( )7,0( xsenx

10 3senx Ln(0,3x)cos(1,5x-0,5) 11 5sen(2x+1) )7,09,0()7( 16,0 xsenx

Ejercicio 3

Dados los puntos P1, P2, P3, P4, P5, P6 y P7 determinar la ecuación de la función

racional entera (� = �� + ��

� + �� + ��

� + �� + �� + ��) cuya gráfica

pasa por los puntos dados.

a) Determinar la intersección de la curva con los ejes coordenados. b) Determinar dominio y rango. c) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P1 y P5 y determinar los puntos de intersección entre la función lineal y la función racional entera d) Graficar las funciones. Los puntos datos y los puntos de intersección. Grupo

1x 1y 2x 2y 3x 3y 4x 4y

5x 5y 6x 6y 7x 7y

1 -13 10 -23 -22 0 -14 29 29 14 10 40 14 50 -11 2 -25 -22 -15 10 12 10 -2 -22 27 -13 38 14 48 -10 3 -19 -24 -9 -8 18 8 4 4 33 -15 54 -11 44 12 4 -7 -20 16 -20 3 12 66 66 56 16 45 -11 30 12 5 -11 -24 -1 8 12 -16 26 26 41 -15 52 12 62 15 6 -15 10 -25 -22 -2 -14 27 27 12 10 48 -10 38 14 7 -11 10 -21 -22 2 -14 31 31 16 10 52 -12 42 14 8 4 -16 -19 -24 -9 8 18 18 33 -15 54 -11 44 12 9 -9 -22 14 -14 1 10 43 43 28 10 54 14 64 -18 10 -3 8 -13 -24 24 8 10 10 39 -15 60 -14 50 12 11 -11 -24 -1 8 12 -16 26 26 41 -15 52 12 62 -15



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 Ejercicio 4 Dados los seis puntos: ),(),();;();;();,();,( 666555444333222111 yxyPyxPyxPyxPyxPyxP

a. Graficar los puntos.

b. Determinar la ecuación de la función racional entera (� = � 5(�) = ��

� +

�� + ��

� + ��2 + �� 5ax ) cuya gráfica pasa por los seis puntos.

c. Graficar conjuntamente la función y los seis puntos. d. Determinar los ceros de la función racional entera. e. Aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo [a;b] tal que f(a) = f(b) = 0 (siendo

x=a y x=b los ceros de mayor valor) y determinar el valor de x = c que verifica el teorema.

f. Determinar la ecuación de la recta tangente en Q1(a; 0) y en Q2[c; f(c)] g. Graficar conjuntamente la función y las dos rectas tangentes. h. Aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (T. de Lagrange) en

el intervalo [d;e] tal que d = x1 y e = x3 y determinar el valor de x = f que verifica el teorema.

i. Determinar la ecuación de la recta tangente a y = P5(x) en el punto P[f; P5(f)].

j. Determinar la ecuación de la recta secante a y = P5(x) que pasa por los puntos P1 y P3

k. Graficar conjuntamente y = P5(x) y las rectas tangente y secante. Grupo ),( 111 yxP ),( 222 yxP ),( 333 yxP ),( 444 yxP ),( 555 yxP

1 (-18,15) (-10,12) (0,23) (-3,-12) (8,25) 2 (7,25) (-4,-12) (1,23) (-9,-12) (-17,15) 3 (-16,-12) (-24,15) (-6,23) (14,25) (3,-12) 4 (-21,15) (-13,12) (-3,23) (1,-12) (11,25) 5 (-40,14) (-32,-13) (-24,22) (-11,-13) (2,24) 6 (-34,14) (-26,-13) (-16,22) (-3,-13) (8,24) 7 (-17,15) (-9,-12) (1,23) (-4,-12) (7,25) 8 (-20,15) (-12,-12) (-2,23) (-1,-12) (10,25) 9 (-25,15) (-17,-12) (-7,-12) (4,-12) (15,25) 10 (-38,14) (-30,13) (-7,-13) (-20,22) (4,24) 11 (-17,15) (1,23) (-9,-12) (7,25) (-4,-12)

Ejercicio 5 Dada la función y = f(x)

a. Calcular las derivadas. b. Determinar la expresión de la derivada enésima. c. Calcular las derivadas en x = a d. Desarrollar y = f(x) en polinomio de Taylor o Mc Laurin en x = a. e. Escribir la expresión del resto Rn(x) que corresponde al desarrollo de la función

y = f(x)



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 f. Graficar conjuntamente y = f(x) y el polinomio de Taylor o Mc Laurin

considerando solo los cuatro primeros términos del mismo, en el intervalo [a-2; a+2]

Grupo y =f(x) en Grupo y =f(x) en

1

xy

31

4

x=1 11

2

2

xy

x=3

2

xy

21

3

x=0

3

xy

2

3

x=-2

4

22

1

xy

x=3

5

42

5

xy

x=0

6

2

1

xy

x=0

7

12

4

xy

x=1

8

xy

21

1

x=0

9

23

1

xy

x=2

10

xy

32

2

x=1




Ejercicio 6 Dada la siguiente tabla de valores donde la primer columna corresponde a los valores de x y la segunda a los valores de la función y=f(x). Se pide:

a) Graficar la nube de puntos.

b) Determinar la recta de aproximación y=a 0 x +a1 por el método de los mínimos

cuadrados y calcular el grado de ajuste (R 2 ) de la misma a la nube de puntos.

Graficar conjuntamente la recta y la nube de puntos.

c) Determinar la parábola de aproximación y= a 0 x 2 + a1x +a 2 por el método de los

mínimos cuadrados y calcular el grado de ajuste (R 2 ) de la misma a la nube de

puntos. Graficar conjuntamente la parábola y la nube de puntos.

d) Determinar la parábola cúbica de aproximación y= a 0 x 3 + a1x 2 +a 2 x +a 3 por el

método de los mínimos cuadrados y calcular el grado de ajuste (R 2 ) de la misma

a la nube de puntos. Graficar conjuntamente la parábola cúbica y la nube de puntos.

e) Determinar el polinomio de grado cuarto de aproximación

y= a 0 x 4 + a 1 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x +a 0 por el método de los mínimos cuadrados y

calcular el grado de ajuste (R 2 ) de la misma a la nube de puntos. Graficar

conjuntamente el polinomio y la nube de puntos.

f) Si el grado de ajuste obtenido hasta ahora es R 2 <0,8, continuar el ajuste

incrementando el grado del polinomio (grado 5, grado 6…) hasta obtener un ajuste

R 2 0,8.

g) Para los ítems b) a f) anteriores determinar la ecuación de la recta tangente en el

séptimo punto de la tabla (P7) y graficarla junto a la nube de puntos y el polinomio

correspondiente. (4,236;

G

1 );( 111 yxP );( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(2,7; 4,8406) (0,3;5,345) (0,6;4,051) (0,9;2,341) (1,2:0,861) (1,5;0,129) (1,8;0,399

)

(2,1;1,578) (2,4;3,235)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP

);( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(0;5,9) (3;5,784) (3,6;4,764) (3,9;3,156) (4,2;1,494) (4,5;0,357) (4,6;0,478

)

(4,8;0,788)

2 );( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0;12) (0,3;13,123) (0,6;10,567) (0,9;9,345) (1,2;10,789) (1,5;8,234) (2,1;9,60) (2,4;5,43) (1,7;13,109)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(2,9;0,765) (2,7;0,980) (3,8;1,45) (3,9;3,120) (4;5,09) (5,4;6;543) (6,1;7,23) (7,23;8,97)

3 );( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP




(0;3,45) (0,2;4,78) (0,56;7,56) (0,67;9,65) (0,98;7,56) (2.34;10,120) (3,4;9,125

)

(4,56;10) (5,34;10,98)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP

);( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(0;8,67) (0,3;6,75) (0,45;9,763) (0,56;8,23) (0,8;9,45) (0,65;9,99) (0,78;10,1

2)

(0,9;11)

4 );( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0,2;3,67) (0,7;6,89) (0,67;7,88) (2,7;8,4) (3,1;9,65) (4,50;9,56) (5;11,8) (5,6;11,78) (6,45;12)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(7,7;12,5) (7,9;12,89) (8,5;13,22) (9,8;13,5) (10,024;14) (10,45;14,1) (11,3;16,9

8)

(12;15;76)

5 );( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0,12;2,34) (0,34;6,457) (0,456;7,56) (0,56;8,45) (2,54;9,76) (3,45;9,87) (4;10,5) (5,4;11,23) (6,54;11)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(7,65;3,89) (8,76;4,99) (9,05;12) (9,8;6,667) (10,89;15,4) (11;5,64) (12,03;8,7

4)

(13,65;9,90)

6 );( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0,1;4,789) (0,43;5,55) (0,456;6,87) (0,8;7,65) (0,89;7,369) (2,78;8,9) (3,45;9,87

)

(4,56;10,54) (5,56;11,67)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(7;8,6) (7,89;12,56) (8,9;13,77) (9;10,89) (10,1;11) (11,657;12,3) (12,3;14,7

8)

(13;15,67)

7 );( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0,2;4,23) (0,234;5,1) (0,45;6,12) (0,65;7,9) (0,77;9,45) (1,23;7,65) (2.45;10,7

)

(4,9;8,97) (5,34;10,34)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(6,5;7,99) (7,76;9,05) (8,04;9,45) (9,2;10) (10;9,87) (11,76;12,5) (12,6;13,6

5)

(12,9;14,8)

8 );( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0,234;5,1) (0,45;6,12) (0,65;7,9) (0,89;7,369) (2,78;8,9) (4,9;8,97) (5;11,8) (6,54;11) (7,76;9,05)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(8,04;9,45) (9,2;10) (10;9,87) (11,5;9,9) (12.4;11,23) (12,7;12,87) (12,77;13,

45)

(14;10,9)



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 9 );( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0,234;5,1) (0,45;6,12) (0,6;4,2) (1,23;5,1) (3,4;4,4) (4,56;6,77) (4,9;7,78) (4,9;8,97) (5;11,8)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(6,12;7,5) (7,6;8,45) (7,9;9) (8,03;10,8) (8,9;12) (9,88;12,34) (10,1;13) (11,8;14,7)

1

0

);( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0,2;4,23) (0,6;4,2) (5;11,8) (6,05;9) (7,76;9,05) (8,04;9,45) (9,2;10) (9,34;10,4) (9,1;10)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(9,2;10) (10,9;12,78) (12,9;14,8) (12,9;13,1) (13,76;10) (14;10,9) (14,6;11) (15;12,8)

1

1

);( 111 yxP

);( 222 yxP

);( 333 yxP

);( 444 yxP

);( 555 yxP

);( 666 yxP );( 777 yxP

);( 888 yxP

);( 999 yxP

(0,234;5,1) (0,56;5,66) (0,7;8,9) (0,45;6,12) (4,9;8,97) (5,3;7,987) (7,76;9,05

)

(7,9;10) (8;12,5)

);( 101010 yxP

);( 111111 yxP );( 121212 yxP

);( 131313 yxP

);( 141414 yxP

);( 151515 yxP

;( 161616 yxP

);( 171717 yxP

(8,04;9,45) (9,2;10) (9,8;10,8) (10,9;12,78) (11,8;13) (12,9;14,8) (13,5;6,9) (14;10,9)




Ejercicio 7 Realizar el estudio completo de la función. Para realizar el estudio completo se deben realizar los siguientes pasos:

a. Intersección con los ejes coordenados. b. Determinar todos los valores de la variable para los cuales la función es

discontinua, si hay saltos calcularlos y clasificar las discontinuidades. c. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d. Determinar los máximos y mínimos relativos. e. Determinar los máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado de

longitud r=10 que contenga como mínimo a los valores de x donde se dan la mayoría de los máximos y mínimos relativos.

f. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. g. Determinar los puntos de inflexión y hallar la ecuación de la recta tangente a la

curva en ellos. h. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. i. Realizar la representación gráfica. j. Determinar dominio y rango.

NOTA: El ejercicio C de cada grupo debe ser realizado mediante software matemático adecuado. G A B C

1 214

1 2 xxy 53

12

32

xxxy xxy 2,2cos51cos83

2 3

2

3

12

xxy 32

251 xxxy 5,7)5,3(3 5,0 xseney x

3 3 233 xxy

3

141

23xxxy 105,,3cos35,1cos5,8 xxy

4 223 xxy 51223

xxxy 5,85,2cos15,0 xey x

5 232 xxy 32

345 xxxy 125,0415,0cos9 xsenxy

6 323 xxy 23221 xxxy 303cos5,36,18 xxseny

7 323 xxy 41123

xxxy 55,3cos25,0cos5,7 xxy

8 3 223 xxy 415

32 xxxy 65,115,06 xsenxseny

9 342 xxy 32

152 xxxy 5,65,318,0 xseney x

10 3 23 2xxy 74123

xxxy 98,0215,03 xsenxseny




11 xxy 33 32127 xxxy 5,75,3cos3 15,0 xey x

Ejercicio 8 Resolver los siguientes problemas aplicando sistemas de ecuaciones lineales. Grupo Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4

1 40 39 153 55 2 30 92 122 63 3 8 58 129 33 4 52 81 113 43 5 27 76 156 32 6 40 92 163 74 7 53 75 130 65 8 15 84 123 60 9 9 82 152 37 10 36 75 112 26 11 10 76 155 29

PROBLEMAS

1- El techo en el frente de un galpón parabólico tiene las siguientes coordenadas de tres de sus puntos P1(2;0;10), P2(12;0;16), P3(24;0;8.8). Determinar la ecuación de la parábola.

2- Una empresa vendió 3 productos: A, B y C. Si vende todo el producto A a $50, el B a $16 y el C a $42 recauda $9414. En cambio si lo vende a 45, 18 y 40 respectivamente recauda $9064. El empresario sabe que la suma de las cantidades del producto A y B es la misma que la del producto C. ¿Qué cantidad de producto A, B y C tiene el empresario?

3- Un alumno rindió una evaluación de 50 preguntas. Cada respuesta correcta vale dos puntos. Por cada respuesta incorrecta o no respondida se le quitan un punto. Si obtuvo 60 puntos. ¿Cuántas respuestas respondió bien? ¿Cuántas preguntas respondió mal o no respondió?

4- Determinar el área de un rectángulo si su perímetro mide 66m y su altura es un quinto de la base.




5- Una ferretería vendió 50 amoladoras y recaudó $18000. la de marca B la vendió $200 c/u y la de marca A a $400 c/u. ¿Cuántas vendió de cada una?

6- Determinar las edades de dos personas sabiendo que la suma de sus edades es hoy de 64 años y dentro de 8 años el mayor tendrá el triple de edad que el menor.

7- Un campamento de obra tiene habitaciones con 2 camas y otras con 1 cama. Hay 80 camas y 48 habitaciones. ¿Cuántas habitaciones dobles y simples hay?

8- Determinar la base y la altura de un rectángulo tal que si se aumenta en 5m su altura y se disminuye en 6m su base, el área no cambia, teniendo en cuenta que en el rectángulo original la base medía 10m más que la altura.

9- Si la base de un rectángulo fuera 8m más larga y su altura fuese 10m más corta obtendríamos un cuadrado de la misma área que el rectángulo original. Determinar los lados y el área del cuadrado.

10- Determinar 3 números tal que su suma sea 222, la mitad de la suma del primero más el segundo más un tercio del tercero sea 101 y la media de los dos últimos sea 68.

11- La suma de las edades del padre y sus dos hijos es ahora de 96 años. Cuando el hijo mayor tenía la edad que hoy tiene el menor, este tenía 2/3 de la edad del mayor y cuando el pequeño tenga la edad del mayor la suma de edades será de 114 años. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?

12- Las sumas de las edades de tres hermanos sumadas de a dos son: 33, 43 y 40 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

13- El perímetro de un rectángulo es de 246 m y la base es el doble que la altura. Calcular el área del rectángulo.

14- Hace seis años Juan quintuplicaba en edad a Pablo y dentro de seis años solo lo duplicará. ¿Que edad tienen hoy Juan y Pablo?




15- Dos amigos tenían cierta cantidad de monedas cada uno. Uno le dijo al otro: si me das una de tus monedas yo tendré el doble de monedas que tu. El otro le respondió: si tu me das una de tus monedas ambos tendremos la misma cantidad de monedas. ¿Cuántas monedas tenía cada uno?

16- He comprado 15 botellas de gaseosa y 12 de cerveza y pague $ 178.20. Luego compre en el mismo sitio 8 botellas de gaseosa y 7 de cerveza y pague $ 99.30. ¿Cuál es el costo de la botella de cerveza y la de gaseosa?

17- Una empresa vial tiene 22 equipos entre motoniveladoras y cargadores frontales. Cada motoniveladora tiene 6 cubiertas 23.5x25 y cada cargador frontal tiene 4 cubiertas 23.5x25. Si en total tienen 102 cubiertas. ¿Cuántos cargadores frontales y motoniveladoras tiene la empresa?

18- En un depósito plano de 54m x 10m hay depositados cajones 3m x 3m x 2m de altura y de 2m x 2m x 2m de altura. En total hay 90 cajones que ocupan toda la superficie. ¿ Cuantos cajones de cada tipo hay en ese depósito?

19- Una empresa minera explota dos minas. De la mina I extrae un mineral con 0.5 % de niquel y 1.5 % de cobre y de la mina II extrae un mineral con el 1 % de niquel y 2.5 % de cobre. ¿Qué cantidad de mineral de cada mina debe extraer para obtener 14 Tn de níquel y 24 Tn de cobre?

20- En un campo hay vacas y avestruces. En total hay 372 patas y 99 cabezas. ¿Cuántas vacas y avestruces hay en ese campo?

21- En una clase hay varones y mujeres. Se retiran 20 varones y quedan el doble de mujeres que de varones. Luego se retiran 45 mujeres y quedan el doble de varones que de mujeres. ¿Cuántos varones y mujeres había inicialmente en la clase?

22- En una comisión el número de mujeres es igual a la mitad del número de varones más dos. Si se retiran dos mujeres el número de varones queda el doble que el de mujeres. ¿Cuántos varones y mujeres había inicialmente en la comisión?

23- Se compró un auto y un camión y de 200000 dólares sobraron 40000 dólares. Sabemos que un octavo del costo del camión es 5000 dólares mayor que un cuarto del costo del auto. ¿Cuál es el costo del auto y del camión?




24- Dos números sumados dan 140 y restados dan 46. ¿Cuáles son los números?

25- Tres números sumados dan 181. Si al mayor le restamos los otros dos obtenemos 65 y si al mayor solo le restamos siete sigue siendo el doble que la suma de los otros dos. ¿Cuales son los números?

26- La suma de las dos cifras de un número es siete. Si al número se le adiciona 27, el número que se obtiene tiene las mismas cifras pero en orden inverso. Determinar el número.

27- El cuádruplo de un número más el triple de otro es 176. Si al mayor le resto el menor obtengo el menor. ¿Cuáles son los números?

28- El cociente de una división es nueve y el resto es cuatro. Si el divisor disminuye en tres, el cociente aumenta en seis y el resto disminuye en tres. Determinar el dividendo y el divisor.

29- El doble de un número más el triple de otro es 93 y el primero más el cuádruplo del segundo es 99. ¿Cuales son esos números?

30- La suma de dos números es 60 y su diferencia es 14. ¿Cuales son los números?

31- Dado un número de dos cifras. La suma de sus cifras es 12. Si invertimos el orden de las cifras obtenemos otro número cuya diferencia con el primero es 18. ¿Cuáles son los números?

32- Calcular cuales son los números naturales tal que la suma de sus cuadrados es 289 y la diferencia es 161.

33- El doble de un número menos el sextuplo de otro es 10, mientras que el primero menos el doble del segundo es 11. ¿Cuáles son los números?

34- Para preparar una ración se utilizan tres cereales: A, B y C. La ración I tiene 20 Kg del cereal A, 50 Kg del cereal B y 100 Kg del cereal C. La ración II tiene 35 Kg del cereal A, 60 Kg del cereal B y 80 Kg del cereal C. La ración III tiene 45 Kg del cereal A, 45 Kg del cereal B y 50 Kg del cereal C. Se tiene




36000 Kg del cereal A, 40000 Kg del cereal B y 48000 Kg del cereal C. ¿Cuantas unidades de cada ración se pueden preparar si se utiliza todo el cereal disponible?

35- El gerente de una empresa fue al banco porque necesitaba comprar dolares, euros y libras. El lunes el dolar estaba a $3.82, el euro a $5.41 y la libra a $6.80 cada uno. El martes el dolar estaba a $3.82, el euro a $5.43 y la libra a $6.87 cada uno.El miércoles el dolar estaba a $3.84, el euro a $5.45 y la libra a $6.90 cada uno. ¿Cuantos dolares, euros y libras necesitaba comprar si el lunes hubiera gastado $22318.70, el martes $22423.60 y el miércoles $22521.50?

36- Una empresa metalurgica produce tres tipos de rolos para cintas transportadoras: de 20 cm, 25 cm y 30 cm de largo y 10 cm de diámetro. Los rolos se preparan por lotes. Para fabricar rolos de 20 cm se necesitan 5 minutos de corte, 20 minutos de torneado y 10 minutos de armado. Para fabricar rolos de 25 cm se necesitan 6 minutos de corte, 20 minutos de torneado y 12 minutos de armado. Para fabricar rolos de 30 cm se necesitan 7 minutos de corte, 22 minutos de torneado y 12 minutos de armado. ¿Cuántos rolos de cada uno se pueden producir si se trabajan 17 horas de corte, 54 horas de torneado y 30 horas de armado?

37- Los sueldos del padre, de la madre y de un hijo suman $12180. Si el sueldo de la madre duplica al del hijo y es de 5/7 del sueldo del padre; ¿cuál es el sueldo de cada uno?

38- Se venden 3 calidades de aceite en envases de un litro cada uno. La calidad A tiene un costo de $ 20 el litro, la calidad B de $ 15 y la calidad C de $ 5 el litro. Se venden 200 envases de un litro y se recaudan $ 2750. ¿Cuantos envases de cada uno se vendieron, si se compro por paquetes de 10 unidades?

39- Un productor agropecuario sembró soja, maíz y sorgo en su campo de 1008 Ha. Sembró el doble de Ha de soja que de maíz y la cantidad de Ha sembradas con soja superan en un 25% a las Ha sembradas con los otros dos cultivos. ¿Cuántas Ha sembró de cada cultivo?

40- Un productor compró para su tractor por $1220, 40 litros de aceite, 10 kg de grasa y 20 litros de anticorrosivo. Se sabe que el precio de la grasa es el 75% del precio del anticorrosivo. El productor saco la cuenta que si hubiera comprado 4 litros de aceite y 2 kg de grasa esto tiene un costo de




$4 menos que comprar 4 litros de anticorrosivo. ¿Cual es el precio del aceite, grasa y del anticorrosivo?

41- En una alcancía hay monedas de 5, 10 y 50 centavos. Hay 260 monedas que suman $52. El 40% de las monedas de 10 centavos más el 30% de las monedas de 5 centavos son igual cantidad que el 75% de las monedas de 50 centavos. ¿Cuántas monedas de cada una hay en la alcancía?

42- Este año ingresaron a la Facultad 210 estudiantes de ingeniería, para estudiar ing. Civil, Electromecánica o Electrónica. En Electrónica ingresaron 14 alumnos menos que en Civil, además estos alumnos superan en un 25 % a los de Electromecánica. ¿Cuántos alumnos ingresaron en cada carrera?

43- Una empresa minera adquirió 18 equipos. Compró cargadores frontales a 130000 dolares cada uno, topadoras a 175000 dolares cada una y excavadoras a 145000 dolares cada una y en total invirtió 2610000 dolares. Si la cantidad de cargadores frontales superan en dos unidades a las excavadoras, ¿cuántos equipos de cada tipo compró?

44- En la verdulería compré peras a 6,20 $/kg, bananas a 4,10 $/kg y ciruelas a 8,00 $/kg y pague $29,50. En total compré cinco kg de frutas y fueron medio kilo más de bananas que de ciruelas. ¿Cuántos kg de cada fruta compré?

45- Para una reunión se compraron 10 gaseosas chicas, 5 medianas y 3 grandes y se pago $ 61.80. Luego se compraron en el mismo lugar 6 gaseosas chicas, 9 medianas y 5 grandes y se pagó $78.80.

a) ¿Cuál sería el costo de 8 gaseosas chicas, 7 medianas y 4 grandes?

b) Si el costo de la gaseosa chica más el de la mediana supera en 10 centavos al de la grande, ¿Cuál es el costo de cada una?

46- En un examen con tres temas un alumno obtuvo 70 puntos. En el tema dos obtuvo treinta puntos más que en el tema uno y en el tema tres obtuvo 20 puntos menos que en tema dos. Calcular el puntaje que obtuvo en cada tema.

47- Para una función en el teatro se ponen en venta tres clases de entradas: palco, platea y general. La relación entre los precios de las entradas entre platea y palco es de tres cuartos y la relación entre los precios de general y platea es de 5/12. Se compró una entrada de cada clase y se pago 165$. ¿Cuál es el precio de cada entrada?




48- Un grupo de alumnos va el lunes a la cantina de la Facultad y piden: 6 milanesas, 5 gaseosas y cuatro helados y pagan $81.10. El martes piden: 9 milanesas, 6 gaseosas y cinco helados y pagan $110.20. El miércoles deciden reducir los gastos y piden: 6 milanesas y 4 gaseosas y pagan $62.80. ¿A cuánto vende las milanesas, gaseosas y helados el cantinero?

49- Se compraron escritorios, bibliotecas y sillas para una oficina. En total se compraron 23 elementos a un costo de 10480 pesos. Por cada escritorio se pago $ 1200, por cada biblioteca $ 950 y por cada silla $80. Las bibliotecas duplican en cantidad a los escritorios. ¿Cuántos muebles de cada tipo se compraron?

50- Un comedor vende tres tipos de picadas compuestas de tres ingredientes: salame, queso y papas fritas, todas en porciones. La picada uno se prepara con una porción de salame, dos de queso y tres de papas fritas. La picada dos se prepara con dos porciones de salame, dos de queso y dos de papas fritas y la picada tres se prepara con tres porciones de salame, una de queso y una de papas fritas. La picada uno se vende a $44, la dos a $ 48 y la tres a $44. ¿Cuál es el valor asignado a cada porción de los ingredientes?

51- Un señor envió a su secretario a comprar sillas y sillones, entregándole $3000. El

secretario compró 20 sillas y sillones en total gastando solo $2560. Cada silla la

paga $120 y cada sillón $140. ¿Cuántas sillas compró?¿Cuántos sillones compró?

52- Un señor tiene en su billetera billetes de $5 y de $10 solamente. En total tiene

$380 y54 billetes. ¿Cuántos billetes de $5 y cuántos billetes de $10 disponen en

la billetera?

53- Un grupo de alumnos de la facultad se inscribió en un curso especial. El costo del

curso es de $20 para los alumnos, con un descuento de $5 para los alumnos con

promedio mayor a 7. Se compran 220 entradas pagando $4180. ¿Cuántos

alumnos ingresaron pagando la entrada sin descuento y cuántos con el beneficio

del descuento?

54- Una tostadora de café elabora tres tipos de café a partir de la mezcla de café de

Colombia, café de Brasil y café de Perú. Se necesita saber el precio unitario de

cada café sabiendo que la composición de la mezcla y el costo de cada una está

dad por la tabla:

Nº de kg de

café de Colombia

Nº de kg de café de Brasil

Nº de kg de café de Perú

Costo de la mezcla

(en dólares)

Mezcla 1 3 1 3

Mezcla 2 2 3 2




Mezcla 3 2 1 4

55- Hoy la edad del padre es el triple de la suma de las edades de sus hijos Matías y

Leonardo. Matías es 9 años mayor que Leonardo. En 20 años la edad del padre

superará en 22 años la suma de las edades de sus dos hijos. ¿Qué edades tienen

el padre y los hijos?

56- Pedro nació en Paraná en el siglo XIX. Si la suma de las cifras del año que nació

es 18 y la cifra de las decenas excede en cinco a la de las unidades. ¿En que año

nació?

57- Un envasador de café ofrece al mercado bolsitas de café de 40 gramos y 250

gramos. Debe envasar kg de café pero le exigen que el número de bolsitas

grandes sea el doble de las pequeñas. ¿Cuántas bolsitas de cada una debe

envasar?

58- El perímetro de un rectángulo es de 66m. Si disminuimos la base en un cuarto y

la altura en un tercio el nuevo perímetro es de 48m. ¿Cuáles son las dimensiones

de ambos rectángulos?

59- Se disponen tres lingotes con la siguiente composición química:

El primer lingote tiene 20g de oro, 30g de plata y 40g de cobre.

El segundo lingote tiene 30g de oro, 40g de plata y 50g de cobre.

El primer lingote tiene 40g de oro, 50g de plata y 90g de cobre.

¿Qué peso habrá que tomar de los lingotes anteriores para formar un lingote

nuevo de 34g de oro, 46g de plata y 67g de cobre?

60- Determinar un número de tres cifras, sabiendo que éstas suman 21. Si al número

dado se le resta el número que resulta de invertir sus cifras, la diferencia es de

396, y además la cifra de las decenas es la mitad de la suma de las otras dos.

61- Un hotel tiene habitaciones con dos camas por habitación y otras con una sola

cama. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones dobles

y simples tiene el hotel?

62- El perímetro de un rectángulo es de 72m. Si se aumenta la base en 12metros y se

disminuye la altura en 4 metros, el área no cambia. Calcular las dimensiones del

rectángulo.

63- Se mezclaron dos cantidades de gasoil cuyo costo es de $2.5 por litro y $2.75 por

litro obteniendo una mezcla cuyo costo es de $2.6 por litro. La mezcla en total fue

de 2000 litros. ¿Qué cantidad de litros de cada gasoil se utilizaron?

64- Tres hermanos deben reunir $175 para comprar un equipo. Han acordado que el

mayor debe poner el triple que el pequeño y el del medio tres cuartas partes de lo

aportado por el mayor. ¿Cuánto debe aportar cada uno?

65- Un padre tiene dos hijos. La edad de los tres en conjunto es de 75 años; además

el hijo mayor tiene 4 veces la edad del hijo menor y el padre tiene el doble de la

suma de sus dos hijos. ¿Cuál es la edad del padre y la de sus hijos?

66- Al iniciar la carrera de ingeniería se les realiza a los estudiantes evaluación de

treinta preguntas sobre matemática. Por cada pregunta bien contestada se le



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 suman cinco puntos y por cada respuesta incorrecta o no contestada se le quitan

dos puntos. Un alumno obtuvo 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió bien?

67- Un señor compró 87 bolitas en total. Si el número de bolitas blancas es el doble

de las negras. ¿Cuántas bolitas de cada color compró?

68- Una envasadora de agua vende botellas de agua de 3 y 4 litros. Si ha envasado

5953 litros en 1768 botellas. ¿Cuántas botellas de 3 y 4 litros ha envasado?

69- Se venden tres cereales: soja, trigo y sorgo. La tonelada de soja se vende a

usd600, la de trigo a usd300 y la de sorgo a usd150 la tonelada y se reciben

usd420000. ¿Cuántas toneladas de cada cereal se vendieron?

70- La suma de las edades del padre y sus dos hijos es de 109 años. La diferencia

entre la edad del padre y la suma de las edades de sus hijos es la edad del hijo

menor. Cuando el hijo menor tenga el doble de la edad actual la suma de las

edades de los hijos será igual a la del padre. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

71- El área de un rectángulo es de 300m2 y sus lados están en relación de ¾. ¿Cuánto

mide la diagonal del rectángulo?

72- Determinar las edades de dos personas sabiendo que 10 años atrás la edad del

mayor era 6 veces la edad del menor, pero que en treinta años la edad del mayor

será solo 2.5 veces la edad del menor.

73- En una distribuidora se han envasado 5000 litros de aceite en botellas de 2 y 5

litros. Se utilizaron 1810 botellas. ¿Cuántas botellas de 2 y de 5 litros se envasaron?

74- Un hotel ofrece habitaciones simples dobles y triples. El número de habitaciones

es de 200. El día que se ocupan todas las habitaciones ingresan usd22000. Por la

habitación simple se pagó usd70, por la doble usd110 y por la triple usd130. El

número de habitaciones simples es la mitad de las dobles. ¿Cuántas habitaciones

de cada tipo hay?

75- Las edades de Leonardo, Marcelo y Matías suman 97 años. Leonardo tiene dos

años más que Marcelo y nueve más que Matías. ¿Qué edad tiene cada uno?

76- En una habitación hay moscas y arañas. En conjunto se contaron se contaron 37

cabezas y 254 patas. ¿Cuántas arañas y moscas hay en la habitación?

77- La suma de las tres cifras de un número es 9. La cifra de las centenas es igual a

la suma de las cifras de las decenas más el doble de las unidades. Si se invierte

el orden de las cifras el número disminuye en 396 unidades. ¿Cuál es el número?

78- José tiene ahora 25 años más que Pablo. Dentro de 5 años tendrá el doble que

Pablo. ¿Cuántos años tiene ahora José y Pablo.

79- Un señor compró en el mercado determinadas cantidades de bananas, manzanas

y peras, a un precio de $3, $4 y $3.5 por kg respectivamente. Por la compra pagó

$109 y el peso total de la compra fue de 29kg. Compró 1kg más de peras que de

manzanas. ¿Cuántos kg de cada fruta compró?

80- Una universidad tiene tres facultades. El número total de alumnos en la universidad

es de 2110. El número de alumnos de la tercera facultad es solo una cuarta parte

de los alumnos de la primera. Además la diferencia entre los alumnos de la primera

y los alumnos de la segunda es inferior en 10 alumnos al doble de la cantidad de

alumnos de la tercera. ¿Cuántos alumnos tiene cada facultad?




81- Si tengo 850 monedas. Algunas de 50 centavos y otras de 25 centavos. En total

suman $372. ¿Cuántas monedas de cada valor tengo?

82- Las edades de mi hermano y de mi abuelo sumadas son de 95 años. Mi abuelo

tiene 49 años más que mi hermano. ¿Qué edad tiene cada uno?

83- En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos es 16º mayor que el otro.

¿Cuánto mide cada ángulo?

84- Una empresa minera posee tres explotaciones mineras con minas de la siguiente

composición:

Oro% Plata% Cobre%

Mina 1 0.1 0.3 2

Mina 2 0.2 0.4 3

Mina 3 0.1 0.2 1.5

¿Cuántas toneladas de cada explotación minera se deben emplear para obtener

una tonelada de oro, dos toneladas de plata y 14 toneladas de cobre?

85- Encontrar tres números que cumplan con las siguientes condiciones. La suma de

todos sea 340, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del

otro sea 155 y la media de los dos últimos sea 130.

86- En un aula hay alumnos y alumnas. El número de alumnas es igual al doble de

alumnos menos cuatro. Con dos alumnos menos en el aula habría la misma

cantidad de alumnos que de alumnas. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en el aula?

87- El cociente de una división es cuatro y su resto es tres. Si el divisor disminuye en

tres unidades el cociente aumenta en 7 y ahora el resto es 1. Hallar el dividendo y

el divisor.

88- La base de un rectángulo es 15m mayor que la altura. El perímetro mide 110m.

Calcular la longitud de los lados del rectángulo.

89- Dado un número de tres cifras; la suma de sus tres cifras es 18. La suma de las

cifras de las decenas y centenas es igual a las cifras de las unidades. Si al número

se le suma 90 el número obtenido tiene invertida las cifras de las centenas y

decenas. Calcular el número dado.

90- Si sumamos las edades de tres personas obtenemos 184 años. La edad de la

menor sumada a la de la de la mediana es igual a la de la mayor. La menor tiene

18 años menos que la mediana. ¿Cuál es la edad de cada una de las tres personas?

91- María tiene 28 años más que su hija Florencia y dentro de 20 años María tendrá

el doble de la edad de Florencia. ¿Cuántos años tienen María y Florencia?

92- En una granja hay patos y conejos. Si contamos 85 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos

patos y conejos hay?

93- El perímetro de un terreno rectangular es de 150m. Si el lado mayor mide 15m

más que el otro lado. ¿Cuánto miden los lados del terreno?

94- Tres trabajadores T1, T2 y T3. Al finalizar el mes la planilla de tareas, contando las

horas trabajadas, los viáticos y los kilómetros recorridos:




Horas de

trabajo Viáticos Km recorridos

Trabajador T1 160 10 230



Todos los trabajadores son de la misma categoría y cobran lo mismo por igual

tarea. El primer trabajador T1 cobró en el mes $2965, el segundo $3294 y el

tercero $3925. Calcular cuanto paga la empresa por hora de trabajo, por día de

viático y por km recorrido.

95- Matías, Leonardo y Pablo colocan afiches de promoción en la ciudad. Pablo coloca

el 20% de los afiches. Leonardo coloca 200 afiches más que Matías. Entre Pablo

y Matías colocan 1580 afiches. ¿Cuántos afiches colocó cada uno?

96- Pablo y Cecilia son hermanos. Cecilia tiene el doble número de hermanos que de

hermanas y Pablo tiene el mismo número de hermanos que de hermanas.

¿Cuántos hermanos y hermanas son?

97- Se desea mezclar vino de $15 por litro con otro de $10 por litro para obtener un

vino de $13 por litro. ¿Cuántos litros de cada uno se deben mezclar para obtener

mil litros del vino mezclado?

98- Leonardo y Marcelo hablan entre si:

Marcelo: si me das dos monedas tendré la misma cantidad que tienes tú.

Leonardo: si me das dos monedas tendré el triple de las monedas que te quedan

a ti.

¿Cuántas monedas tienen inicialmente cada uno?

99- Una envasadora de gaseosa debe envasar en botellas de ½ litro, 1 litro y 2 litros.

La cantidad de botellas a llenar es de 2800 y la cantidad de litros a envasar es de

2400 litros. El operario observó que la cantidad de los envases de ½ litro es el

doble de los de litro. ¿Cuántos envases de cada capacidad se utilizaron?

100- Una empresa constructora tiene contratado tres camiones fleteros para

transportar mezcla asfáltica de la planta a la obra. Los tres camiones llevan en

total 32tn. El primer fletero cobra $5.5 la tonelada, el segundo $5 la tonelada y el

tercero $4.5 la tonelada. En cada viaje la empresa paga a los camioneros un total

de $157 que reparten entre ellos. La carga conjunta del segundo y tercer camión

triplica a la del primero. ¿Cuántas toneladas lleva cada camión? ¿Cuánto cobra

por viaje cada camión?

101- Una terminal automotriz debe comprar motores diesel, cajas de velocidad y diferenciales. Le ofrecen 80 motores, 78 cajas y 80 diferenciales a u/s 584750. Le ofrecen 62 motores, 65 cajas y 60 diferenciales a u/s 458965. Le ofrecen 57 motores, 60 cajas y 61 diferenciales a u/s 429750. ¿cuál es el precio cotizado por cada conjunto?




102- Para construir un tinglados se compraron 14 columnas, 5 vigas, 36 clavadores y 45 chapas y se pagaron $29820. El costo de cada columna duplica los costos sumados de cada chapa y clavador. El costo de cada viga es equivalente a los costos sumados de dos columnas, dos clavadores y dos chapas; además el costo de tres columnas equivalen al de una viga. ¿Cuál es el costo de cada componente del tinglado?

103- Para una parte de una obra se compraron: 1200tn de arena, 4100tn de piedra y 500tn de cemento y se pago $489000. La misma empresa para otra parte de la obra compro: 100tn de arena, 350tn de piedra y 42tn de cemento y pagó: $41340. El costo de 1tn de cemento es igual a la suma del costo de 6tn de arena y 8tn de piedra. ¿Cuál es el costo de la tonelada de arena, piedra y cemento?

104- En una comisión hay 24 personas entre varones y mujeres. El número de mujeres duplica al número de hombres. ¿Cuántas mujeres y varones hay en la comisión?

105- Se desea mezclar anticongelante de $20/l con otro de $27/l para obtener anticongelante de $23/l. ¿Cuántos litros de cada uno hay que colocar para obtener 2000l de anticongelante de $23/l?

106- Se desea envasar 1165l de aceite en envases de 1/2l, 1l y 4l. En total se llenaran 915 envases y los envases de 1/2l son 100 más que los de 4l. ¿Cuántos envases de cada uno se envasaron?

107- Juan le dice a Pablo: si me das un libro yo tendré el doble de libros que tú. Pablo le contesta a Juan. Si tu me das 5 libros ambos tendremos la misma cantidad. Cuantos libros tenian inicialmente cada uno.

108- Si del aula 1 se pasan dos sillas al aula 2 en el aula 1 quedan el doble de sillas que en el aula 2. Si paso 6 sillas del aula 2 al aula 1 en el aula 1 queda el triple que en el aula 2. ¿Cuántas sillas había originalmente en cada aula?

109- El costo de una mesa, un sillón y una silla suman $770. La mesa cuesta el doble que el sillón y éste el 50% más que la silla. ¿Cuál es el costo de cada uno?

110- Una empresa vial elabora mezclas asfálticas con tres tipos de asfaltos, haciendo 3 mezclas.

Asfalto 1 Asfalto 2 Asfalto 3 Costo en u/s




Mezcla 1 4 5 1 36.5

Mezcla 2 3 5 2 35.5

Mezcla 3 3 4 3 35

Se pide averiguar el costo de cada asfalto.

111- Determinar un número de tres cifras sabiendo que la suma de todas las cifras es 14. Si al número dado se le resta el número que resulta de invertir sus cifras se obtiene 198 y las cifras de las decenas es el doble de las cifras de las unidades.

112- El perímetro de un rectángulo es de 288m. Si disminuímos las bases en 1/5 y la altura en el 10% el perímetro nuevo es 240m. ¿Cuáles son las dimensiones de ambos rectángulos?

113- Un electricista compró cables de 1, 2 y 4mm2. En total compró 4700m. Los metros de cable de 1mm2 triplican a los de 4mm2. Si el cable de 1mm2 cuesta $03/m, el de 2mm2 cuesta $1.2/m y el de 4mm2 cuesta $4/m y se pagaron $5690 por todo el cable. ¿Cuántos metros de cada cable se compró?

114- Un tallerista compró 48 elementos entre arranques, alternadores y electroventiladores. Compró el triple de electroventiladores que alternadores. Los arranque le costaron $1200 cada uno, los alternadores $1050 cada uno y los electroventiladores $120 cada uno y pagó en total $23700. ¿Cuántos elementos de cada uno compró?

115- Un constructor compró 86m2 de mosaicos para pisos. Al porcelanato lo pagó $63/m2, al granito $40/m2 y el cerámico $26/m2. En total pagó $4080. Compró el doble de m2 de porcelanato que de cerámico ¿Cuántos m2 de cada tipo de mosaico compró?

116- El costo de tres sillas distintas suma $400. El costo de las dos sillas de menor valor sumados es igual al de la de mayor valor y la de valor medio es el 50% más cara que la de menor valor. ¿Cuál es el costo de cada silla?

117- Una empresa adquirió mesas y escritorios; en total 30 unidades. Por cada mesa pagó $520 y por cada escritorio $715. ¿Cuántas mesas y escritorios compró si pagó $19500?




118- Un señor tiene en total 98 billetes. Solo tiene billetes de 10 y 50 pesos y suman $1900. ¿Cuántos billetes de cada uno tiene?

119- La suma de las edades del padre y sus dos hijos es de 118 años. Hoy la edad del padre supera en 10 años a la suma de las edades de sus hijos, pero en 10 años la suma de las edades de los hijos superaran en 10 años a la edad del padre. ¿Cuál es la edad de cada uno?

120- En un instituto hay alumnos en cursos de mecánica, electricidad y computación. En total son 143 alumnos. Los alumnos de mecánica duplican a los de electricidad y si a electricidad se le agregan 17 alumnos, la suma de los alumnos de electricidad y mecánica es igual a la cantidad de alumnos de computación. ¿Cuántos alumnos tiene cada curso?

121- En un examen de física a los alumnos se les realizaron 25 preguntas. Por cada pregunta respondida correctamente obtenían 4 puntos y por cada respuesta incorrecta o no contestada se quitaban 2 puntos. Un alumno obtuvo 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió bien?

122- Si sumamos la edad del padre y la de sus dos hijos obtenemos 136 años. La diferencia entre la edad del padre menos la suma de las edades de sus dos hijos es igual a la edad del hijo mayor. En 16 años la suma de las edades de los hijos será igual a la edad actual del padre. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?

123- La cantidad de personas de los cuatro estamentos de la Facultad suman 2520 personas. La cantidad de alumnos supera por el 50% a la totalidad de los integrantes de los otros estamentos y la cantidad de egresados triplica la cantidad de docentes y administrativos. También se observa que por cada administrativo hay 5 docentes. ¿Cuántos alumnos, egresados, administrativos y docentes hay en la facultad?

124- En el bar de la facultad hay mesas con 4 sillas, otras con 6 sillas y otras con 8 sillas cada una. En total hay 11 mesas y 58 sillas. La cantidad de mesas con 4 sillas triplica al número de mesas con 8 sillas. ¿Cuántas mesas de cada tipo hay?

125- Tres amigos deciden comprar un auto, cuyo costo es de $78000. El primero pone el triple que el tercero y el segundo 2/5 de lo que pone el primero ¿Cuánto aportó cada uno?




126- La suma de las edades del padre y sus dos hijos es de 96 años. El hermano mayor tiene el triple de la edad del menor y la edad del padre duplica la suma de las edades de sus dos hijos. Calcular la edad de cada uno.

127- Se mezclan dos naftas cuyo costo es de $4.4 y $4.1 obteniendo una mezcla cuyo costo es de $4.25 el litro. Se obtuvieron 8000l de mezcla. ¿Qué cantidad de litros de cada nafta se mezclaron?

128- La suma de los pesos de tres personas es de 184kg. La suma de los pesos de las más livianas es igual al peso del más pesado y la diferencia de peso entre las dos mas livianas es de 22kg. ¿Cuánto pesa cada una?

129- En la facultad el doble de profesores varones menos el triple de profesoras es de 10 personas. Los docentes (profesores y profesoras) no superan las 100 personas. ¿Cuántos profesores varones y profesoras hay en esta facultad?

130- Tres fuerzas F1, F2 y F3 actúan en la misma dirección. Si las tres hacen el esfuerzo en la misma dirección realizan en total 2385kg. Si F3 cambia de sentido el esfuerzo resultante es de 755kg en el sentido de F1 y F2. Y si también cambia de sentido F2 el esfuerzo es de 385 en el sentido que ahora tienen F2 y F3. ¿Calcular F1, F2 y F3?

131- En un obrador trabajan 135 personas en total entre obreros, técnicos e ingenieros. Los técnicos e ingenieros sumados son el 12.5% de los obreros. Y los técnicos son 4 veces más que los ingenieros. ¿Cuántos obreros, técnicos e ingenieros trabajan en el obrador?

132- En una explotación agrícola hay 117 personas trabajando, entre ingenieros agrónomos, capataces, administrativos y peones. De ellos 17 no son peones. Hay 5 capataces por cada ingeniero y dos capataces por cada administrativo. ¿Cuántos ingenieros, capataces, administrativos y peones hay?

133- Andrés, Benito y Carlos tienen total $900. Andrés tiene el doble que Benito y éste el triple que Carlos. ¿Cuánto tiene cada uno?

134- Se necesitan preparar 3 raciones: la I, II y III. La ración I tiene el 30% del cereal A, el 35% del cereal B y el 35% del cereal C y su costo es de $523/tn. La ración II tiene el 25% del cereal A, el 40% del cereal B y el 35% del cereal




C y su costo es de $496.5/tn. La ración III tiene el 35% del cereal A, el 25% del cereal B y el 40% del cereal C y su costo es de $561.5/tn. ¿Cuál es el costo por tonelada de los cereales A, B y C?

135- Cuatro personas tiran un cuerpo. Cuando los cuatro (Juan, Pedro, Andrés y Carlos) tiran en la misma dirección y sentido suman una fuerza de 257kg. Si Juan y Pedro tiran en un sentido y Andrés y Carlos en otros la resultante es de 23kg en el sentido que tira Juan. Si solo traccionan Juan, Pedro y Andrés en la misma dirección y sentido el esfuerzo es de 189kg y si lo hacen Pedro, Andrés y Carlos es de 174kg. ¿Cuál es la fuerza que realiza cada uno?

136- En la biblioteca de la facultad hay libros de álgebra, análisis matemático, física y química. En total son 290 libros de estas materias. Los de álgebra más los de química son diez más que la suma de los de análisis y física. Los de matemática son 70 más que los de física y química juntos; en cambio el 40% de los de álgebra más el 50% de los de química son la misma cantidad que el 75% de los de física más el 25% de los de análisis. ¿Cuántos libros de cada uno hay en la biblioteca?

137- En una empresa distribuidora hay 48 móviles entre autos y motos. ¿Cuántos autos y motos tiene la empresa si las cubiertas son 120?

138- En el estacionamiento de la facultad hay combis con seis ruedas, autos con cuatro ruedas y motos con dos ruedas con un total de 42 móviles y 144 ruedas. Siendo las motos el triple de los autos. ¿Cuántos hay de cada uno?

139- Un alumno rindió tres exámenes y obtuvo un promedio de 55 puntos. En el segundo examen obtuvo un tercio de los puntos que en el primero y en el tercero 10 puntos más que en el segundo. ¿Cuántos puntos obtuvo en cada examen?

140- En un restaurant hay mesas con una silla, dos sillas y tres sillas. En total hay 122 mesas y 255 sillas. Las mesas con dos sillas tienen 12 sillas más que las mesas con una sola silla. ¿Cuántas mesas de cada tipo hay?

141- En una alcancía hay monedas 10, 25 y 50 centavos. Hay 368 monedas y 86 pesos. La suma del importe de las monedas de 10 y 25 centavos, superan en $8 a las de 50 centavos. ¿Cuántas monedas de cada una hay en la alcancía?




142- En una reunión los varones mayores están sentados en una mesa. Las mujeres mayores en otra y los niños en otra. En total son 24 personas. Si dos mujeres se pasan a la mesa de los varones en todas las mesas quedan igual cantidad de personas. ¿Cuántos varones mayores, mujeres y niños hay en la reunión?

143- En un depósito hay motos y autos, en total hay 68 vehículos y 220 ruedas colocadas en los vehículos. ¿Cuántos autos y motos hay en el depósito?

144- En un restaurant hay 74 mesas y 240 sillas. Solo hay mesas con dos sillas y con cuatro sillas. ¿Cuántas mesas con dos sillas y con cuatro hay en el restaurant?

145- En la facultad hay tres cursos de álgebra, uno para estudiantes de ingeniería civil, otro para ingeniería electromecánica y otro para ingeniería electrónica. En total hay 168 alumnos. Si de civil se pasan dos alumnos a electrónica, todos los cursos quedan con la misma cantidad de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso?

146- En el laboratorio de la facultad pidieron presupuestos por proyectores, impresoras, pantallas y notebooks. El proveedor cotizó cuatro opciones. La primera incluía 3, 5, 4 y 2 a $21970; la segunda 4, 6, 3 y 3 a $28340; la tercera 5, 5, 4 y 3 a $30910 y la cuarta 6, 4, 2 y 4 a $34820. ¿Qué costo cotizaron cada item?

147- Un alumno rindió 3 exámenes y obtuvo un promedio de 66. En el segundo examen obtuvo la mitad de puntos que en el primero y en el tercero solo 6 puntos más que en el segundo. ¿Cuántos puntos obtuvo en cada examen?

148- En un restaurant hay 48 mesas con 200 sillas. Hay mesas con dos, cuatro, seis y ocho sillas cada una. Las mesas de seis y cuatro sillas sumadas son la misma cantidad que las de dos sillas y las mesas de dos sillas son ocho menos que la suma de todas las otras. ¿Cuántas hay de cada una?

149- En un hotel hay habitaciones simples dobles y triples. En total hay 200 habitaciones y 390 camas. En las habitaciones con camas triples tienen 42 camas más que el total de las otras dos. ¿Cuántas habitaciones de cada una tiene el hotel?




150- Un productor sembró alfalfa, sorgo y trigo en un campo de 612Ha. Sembró el triple de Ha de alfalfa que de sorgo y de trigo sembró el 50% más que lo sembrado de alfalfa. ¿Cuánto Ha de cada uno sembró?

151- Un contratista compró puertas, ventanas y ventiluces. Compró 66 unidades a un importe de $91290. Si hubiera comprado la mitad de las ventanas, ¼ de las puertas y 1/3 de los ventiluces hubiera pagado $39210. ¿Cuántas ventanas, puertas y ventiluces compró?

152- Los sueldos de Andrés; Benito y Carlos suman $15184. Si Benito cobra 1/3 de lo que cobran Andrés, y Carlos cobra el 30% de la suma de que cobran Andrés y Benito. ¿Cuál es el sueldo de cada uno?

153- Una biblioteca compró libros de inglés, francés e italiano. Un total de 33 libros y pagó $3108. Por los libros de inglés pagó $80, por los de francés $125 y por los de italiano $68. Los libros de francés son el 80% de los libros de inglés ¿Cuántos libros de cada uno compró?

154- La suma de la edad del padre, la madre y un hijo es de 150 años. El promedio de la edad de la madre y el hijo es 24 años menor a la edad del padre y el 80% de la edad del padre sumada el 60% del hijo supera en 4 años a la edad de la madre. ¿Qué edad tiene cada uno?




155- Un señor compró en un supermercado tres veces según la siguiente tabla

Compra Yerba Arroz Gaseosa $

I 3 5 6 100

II 4 4 3 87

III 1 4 6 72

¿Cuál es el costo de cada uno?

156- Un mercadito vende tres marcas de arroz A, B y C. El precio medio de las tres marcas es de $7.1. Un señor compró 10 unidades de A, 15 de B y 20 de C y pago $329. Otro señor compró 7 unidades de A, 18 de B y 6 de C y pago $218. ¿Cuál es el precio de cada marca de arroz?

157- Un mayorista armó paquetes de cuadernos en grupos de 4, 6 y 10 cuadernos cada uno y le sobraron 3 cuadernos. Sabemos que los paquetes medianos contienen el 50% más que los pequeños y el 60% de los grandes. ¿Qué cantidad de cuadernos contiene cada paquete?

158- Se dispone de un depósito de 72l y tres tarros de capacidad A, B y C. Si el tarro de capacidad B tiene el doble de capacidad que el de A, si la capacidad de los tres tarros son la misma que la del depósito y si la capacidad de los tarros A y B suman la mitad de la capacidad del depósito ¿Qué capacidad tiene los tarros?

159- Para realizar asfalto se utilizan tres piedras A, B y C. La mezcla I tiene 300kg de A, 500kg de B y 800kg de C. La segunda mezcla tiene 350kg de A, 450kg de B y 700kg de C. La mezcla III tiene 400kg de A, 600kg de B y 600kg de C. Si tienen 26tn de A, 42tn de B y 50tn de C. ¿Cuántas unidades de cada mezcla se pueden preparar si se utiliza toda la piedra?

160- Un señor compró en una vinoteca 25 botellas entre vino y champagne. La botella de vino la pagó a $24.5 cada una y la de de champagne $42.5 cada una. Pagó $738.5 ¿Cuántas botellas de cada una compró?

161- Un productor agropecuario compró tractores, cosechadoras y sembradoras. En total compró 15 equipos y pagó en total u/s1329000. Observó con asombro que la sembradora cuesta 3000 dólares más que el tractor que pagó 57000 dólares y la cosechadora cuesta el equivalente a




tres y medio de tractores. También razonó que la cantidad de tractores y cosechadoras duplicaba a la cantidad de sembradoras. ¿Cuántos equipos de cada uno compró?

162- Tres personas disponen de cierta cantidad de dinero. Entre los tres tienen $390000. La media de lo que tienen el segundo y el tercero es de $140000. La suma de lo que tienen el primero y el segundo es de $30000 menor que tiene el tercero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

163- En dos comisiones de algebra hay en total 80 alumnos. Si de la comisión uno se pasan 14 alumnos a la comisión 2, en ambos quedan la misma cantidad de alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene cada comisión?

164- El cociente de una división es ocho y el resto 11. Si el divisor se disminuye en 4 unidades, el cociente aumenta en 5 unidades y el resto ahora es 3. Determinar dividendo y divisor.

165- La altura de un rectángulo es 11m mayor que la base y el perímetro es 70m. Calcular la longitud de cada lado.

166- Un señor tiene 1840 monedas, entre monedas 5, 10, 25 y 50 centavos. En total tiene $613. La cantidad de monedas de 5, 10 y 25 centavos son igual cantidad que las de 50 centavos y la cantidad de monedas de 5 y 10 sumadas son igual cantidad que las de 25 centavos. ¿Cuántas monedas de cada valor hay?

167- En la ferretería compré arandelas, tuercas, prisioneros y espárragos. En total 4000 elementos y pagué $1925. La cantidad de arandelas es igual a la suma de las cantidades de los tres restantes y la cantidad de espárragos es igual a la suma de tuercas y prisioneros. ¿Cuántos elementos de cada uno hay?

168- Un estudiante compra un libro de matemática, física y química y paga $260. Otro estudiante pasa meses después por la misma librería y el libro de matemática aumentó el 20%, el de física un 15% y el de química un 30% y le cobran $314 por los tres libros. Para el primer estudiante el libro de matemáticas le costo 50% más que el de física. ¿Cuánto pagó el primer estudiante por cada libro?




169- En una obra las edades del capataz, oficial, medio oficial y ayudante suman 152 años. Dentro de 20 años la edad del oficial será ¾ de la edad del capataz y la edad del ayudante de 2/3 la edad del oficial; pero hace diez años el capataz quintuplicaba la edad del ayudante ¿Cuántos años tienen ahora cada uno?

170- Un mecánico compró llaves martillos y destornilladores. En total compró 82 herramientas y pagó $843. Cada llave le costó en promedio $10, cada martillo $15 y cada destornillador $9. La cantidad de martillos es 1/9 de la cantidad de llaves ¿Cuántas herramientas de cada tipo compró?

171- En una facultad se cursan tres carreras: administración, informática y negocios. En total hay 1428 alumnos. Los alumnos de negocios son el 40% de los alumnos de informática y los de administración superan en un 40% a los de informática ¿Cuántos alumnos de cada carrera hay en la facultad?

172- Una empresa transporta cereales en tres camiones A, B, y C. En un día hicieron entre todos 19 viajes. El camión A transporta 9tn por viaje, el B 29tn y el C 26 tn. En ese día transportaron en total 376tn de cereales. Los camiones más grandes (B y C) hicieron en conjunto solo tres viajes más que el pequeño (A) ¿Cuántos viajes hizo cada uno?

173- Dispongo de billetes de $2, $5 y $10 y en total tengo $3315 y 495 billetes. La cantidad de billetes de 2 y 5 pesos superan en 15 unidades a los de 10 pesos. ¿Cuántos billetes de cada valor tengo?

174- La sumas de las edades de mi hermano, padre y abuelo suman 160 años. Mi abuelo tiene 31 años más que mi padre y mi padre 27 años más que mi hermano. ¿Qué edad tiene cada uno?

175- En un triángulo la suma de los ángulos agudos es de 40º menor que el ángulo obtuso y el agudo mayor es el triple del agudo menor ¿Cuáles son los ángulos?

176- Una distribuidora vende botellas con gaseosas de 1, 2 y 5 litros cada una. En total se envasaron 2600l en 780 botellas y la cantidad de botellas de uno y dos litros sumadas son la misma cantidad que las de cinco litros ¿Cuántas botellas de cada una hay?

177- Se vendieron tres productos. La tonelada del producto 1 se vende a 500 dólares; la del producto 2 a 400 dólares y la del 3 a 1000 dólares; y se




reciben 106000 dólares por 156tn de producto. Si la cantidad de toneladas sumadas del producto 2 y 3 duplican a los del producto 1 ¿Cuántas toneladas de cada producto se vendieron?

178- La suma de las edades del padre y sus dos hijos es de 140 años. La diferencia entre la edad del padre y la suma de las edades de sus hijos es la edad del hijo menor. Hace 10 años la edad del padre era el doble de la edad del hijo mayor más la edad del hijo menor. ¿Cuál es la edad de cada uno ahora?

179- Un obrero de la construcción trabajó 200 horas comunes, 15 horas extras comunes y 12 horas extras especiales y cobró 2958 pesos. Al mes siguiente trabajó 185 horas comunes, 20 horas extras comunes y 10 horas extras especiales y cobró 2820 pesos. Al siguiente mes trabajó 192 horas comunes, 16 horas extras comunes y 18 horas extras especiales y cobró 3024 pesos. ¿Cuánto paga la empresa cada tipo de hora?

180- En una quinta hay cerdos y gallinas. En total hay 1456 cabezas y 3664 patas. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay en la quinta?

181- Andrés, Beltrán y Carlos distribuyeron 2920 folletos de promoción en una exposición. Si Carlos hubiera entregado 30 folletos más que los que entregó hubiera entregado el 50% de los entregados por Andrés. Beltrán entregó 200 folletos menos que Andrés. ¿Cuántos folletos entregó cada uno?

182- En una pirámide de base rectangular la suma de las aristas es de 1000cm. La suma de las aristas de la base es el 25% de la suma de las aristas laterales y una arista de la base triplica a la otra. ¿Cuánto mide cara arista?

183- En un prisma rectangular la suma de todas las aristas es de 700m. El 75% de la arista mayor más el 20% de la arista media más el 60% de la arista más pequeña es de 100m, y la arista media es el 50% de la mayor. ¿Cuál es la medida de cada arista?

184- La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las unidades sumada a la de la decena es igual a la cifra de las centenas. Si se invierten las cifras de las unidades y las decenas el número aumenta en 9 unidades ¿Cuál es el número?

185- Las edades de tres personas sumadas llegan a 128 años. La suma de las edades de los menores es igual a la edad del mayor y dentro de 14 años el




mayor tendrá el doble de la edad del menor. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

186- Juana tiene 37 años más que su hija, pero en 14 años tendrá el doble de la edad de su hija. ¿Qué edad tienen ahora ambas?

187- Una empresa compra cubiertas para autos camiones y equipos. En total compró 64 cubiertas por 43900 dólares. Las cubiertas de autos las pagó 150 dólares cada una, las de camiones 500 y las de equipos las pagó 4000 dólares. Las cubiertas de autos sumadas a las de equipos son la misma cantidad que las de camiones. ¿Cuántas cubiertas de cada tipo se compraron?

188- En un examen un alumno obtuvo 80 puntos en 40 preguntas. Cada pregunta bien contestada vale 3 puntos y cada pregunta no contestada o mal contestada resta 2 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó bien?

189- Marcelo tiene ahora 39 años más que Juan, pero en 13 años tendrá el doble que Juan. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

190- La suma de las tres cifras de un número es 13. La suma de las cifras de las unidades y decenas supera en uno a la de la centena, pero si se invierte el orden de la cifra el número disminuye en 198 unidades. ¿Cuál es el número?

191- En una familia la suma de las edades del padre, madre y los hijos es de 175 años. La suma de las edades de los hijos supera en un año a la edad de la madre y en dos años menos que la edad del padre. En diez años la suma de la edad de la madre y del hijo mayor será un año menor a la suma de la edad del padre y del hijo menor. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?

192- Para fabricar rolos de cintas transportadoras se recibió de un proveedor 4 alternativas.

Propuesta Rodamiento Retenes Tubos Ejes Oferta $

1 2000 2100 1050 980 55210

2 1950 2000 1000 1020 53640

3 1500 1430 680 730 38750

4 1600 1600 800 820 43340

¿Cuánto cotizó cada elemento?




193- Para armar una planta se necesitan en total 2805 elementos entre bulones, pernos, bujes y rodamientos. La cantidad de bulones supera en un 50% a la cantidad de pernos y bujes sumados y solo supera en un 20% a la cantidad de pernos, bujes y rodamientos sumados. Como es de esperar la de bujes duplica a la cantidad de pernos ¿Cuántos elementos de cada uno se necesitan?

194- Un empresario teatral tiene funciones en la sala 1, 2 y 3. El domingo asistieron 325 en total y se recaudaron $10500. El costo de la entrada a la sala 1, 2 y 3 es de 20, 30 y 40 pesos respectivamente. Si las personas que asistieron a la sala uno hubieran ido a la dos y viceversa hubieran recaudado solo 250 pesos menos. ¿Cuántas personas hubo el domingo en cada sala?

195- Andrés, Benito y Juan deciden hacerle un regalo a Pedro. Andrés pone el doble que Benito y Juan juntos y Juan pone el 50% más que Benito. El regalo cuesta $172.50 ¿Cuánto aporta cada uno?

196- Una empresa de espectáculos presenta cuatro espectáculos distintos. El costo del espectáculo 1, 2, 3 y 4 es de 15, 20, 25 y 32 pesos respectivamente. El sábado concurrieron en total 500 personas y abonaron un total de $11325. Si la cantidad de personas que concurrieron al espectáculo 1 lo hubieran hecho al 2 y viceversa se hubiera recaudado $11700 pesos. Ahora si la cantidad de personas que concurrieron al espectáculo 1 la hiciera al tres, la del tres al cuatro y la de cuatro al uno se hubiera recaudado $12350. ¿Cuántas personas concurrieron a cada espectáculo?

197- A la cantina de la facultad llegan 11 estudiantes y piden 3 gaseosas, 5 cafés y 3 licuados y pagan 51 pesos. Luego llega un segundo grupo de 7 estudiantes y piden 4 gaseosas 2 cafés y 1 licuado y pagan 30 pesos; luego entra un tercer grupo de 9 estudiantes y piden 2 gaseosas 1 café y 6 licuados pagando $59. Por último llegó un cuarto grupo de estudiantes pidiendo tres gaseosas, dos cafés y licuados pagando $58 ¿Cuál es el costo de las gaseosas café y licuado y cuantos alumnos tenía el cuarto grupo?

198- La suma de las edades del padre la madre y sus dos hijos es de 196 años. La suma de las edades de los dos hijos iguala la edad de la madre, pero en diez años la suma de las edades de los dos hijos superaran en 6 años a la edad del padre y hace 15 años el doble de la edad del padre superaba en 23 años a la suma de las edades de su esposa y sus dos hijos. ¿Cuál es la edad actual de todos ellos?




199- Un tornero compró 60 insertos, 60 plaquitas y 3 porta herramientas y pagó 1470 dólares. Luego compró 80 insertos, 70 plaquitas y 2 porta herramientas y pagó 1590 dólares. Y en una tercera compra adquirió 50, 30 y 3 y pagó 1160 dólares. ¿A cuánto dólares pagó cada uno?

200- En un torneo el equipo A ganó 16, empató 5 y perdió 1 partido y tiene 96 puntos. El equipo B ganó 12, empató 5 y perdió 5 y tiene 80 puntos. Y el equipo C ganó 11, empató 7 y perdió 4 partidos y tiene 80 puntos. ¿Cuántos puntos se asignan a un equipo por ganar, empatar y perder un partido?

201- Para armar una transmisión hay tres opciones. La primera con 16 poleas, 6 engranajes y 24 correas y su costo es de $7960. La segunda opción es con 20 poleas, 4 engranajes y 30 correas y su costo es de $8760. La tercera opción es con 12 poleas, 8 engranajes y 20 correas y su costo es de $7320. ¿Cuál es el costo de cada una?

202- Se compró el repuesto A, B, C y D y se pagó por ellos $3520. El costo sumado de los repuestos B, C y D es igual al del repuesto A. El costo sumado de C y D más la 22 avas partes de A son el costo de B y si A aumenta el 15% B el 20% C el 10% y D mantiene el costo se deberá pagar $4022. ¿Cuál es el costo de cada uno?

203- Un empresario compró 7 motores Perkins, 9 Caterpillar y 12 John Deere por 950000 dólares. En una segunda oportunidad adquirió 6 motores Perkins, 15 Caterpillar y 4 John Deere por 890000 dólares. En una tercera oportunidad adquirió 20 motores Perkins, 4 Caterpillar y 3 John Deere por 765000 dólares. ¿Cuál es el precio de venta de cada motor?

204- Una colonia aislada de agricultores decidió tomar como moneda de cambio el kg de trigo. Un productor compró 5kg de azúcar, 10kg de arroz y 3kg de pan y pagó con 72.5kg de trigo. Otro productor compró 10kg de azúcar, 12kg de arroz y 4kg de pan y pagó con 100kg de trigo. Un tercero compró 6kg de azúcar, 10kg de arroz y 5kg de pan y pagó con 80.5kg de trigo. ¿Cuánto kg de trigo se pagó el kg de cada uno?

205- Las edades de 4 amigos suman 102 años. Las edades sumadas de Andrés y Domingo superan en 4 años a la suma de las edades de Carlos y Beltrán; en cambio el triple de la edad de Andrés más la edad de Benito es dos años mayor que la edad de Domingo más el doble de la edad de Carlos. Si consideramos 6 veces la edad de Domingo sumada a la edad de Andrés estos superan en 4 años a la suma del doble de la edad de Andrés más el




triple de la edad de Beltrán más el cuádruplo de la edad de Carlos ¿Qué edad tiene cada uno?

Ejercicio 10 Resolver los siguientes problemas de optimización. Grupo Problema 1 Problema 2 Problema 3

1 10 14 132 2 73 45 33 3 26 18 92 4 13 19 150 5 17 24 133 6 10 25 156 7 53 20 140 8 81 19 167 9 31 64 143 10 10 29 168 11 62 87 149

1. Un canal de riego, hecho de concreto, debe tener una sección en forma de trapezoide

con dos de sus lados de a = 4 my la base de b = 5 m;. ¿Cuál debería ser la forma del

trapezoide si se desea que tenga el área máxima? Considere el área como una función de x y resuelva.

2. Una persona dispone de 180 m de alambre tejido para cercar una huerta en tres de sus lados, dado que el cuarto lado da a un tapial. La huerta es rectangular o cuadrada. ¿Qué medidas se deben seleccionar en el ancho y largo para que el área encerrada sea máxima?

3. Una hoja de papel para un cartel debe tener 16 m2 de área. Las márgenes superior e inferior deben tener 0,5 m, y las márgenes de los lados, 0,4 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

4. Una ventana tiene forma de rectángulo con un semicírculo encima. El rectángulo es de vidrio claro y el semicírculo de vidrio coloreado, que transmite sólo la mitad de



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 luz por pie cuadrado que el claro, y el perímetro total es 4 m. Determínense las medidas de la ventana que admitirán más luz.

5. Entretodos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 4 m3 de volumen. ¿Cuál requiere menos material?

6. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal, de base circular que tenga una capacidad de 860 m3. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) una lata abierta y (b) una lata cerrada.

7. Un cable de 290 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.

8. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 240 m3 a un costo de 450 $/m cuadrado para la base y 310 $/m cuadrado para los cuatro lados. Hallar las dimensiones más económicas.

9. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de 2 m de ancho y 8 m de largo cortándole un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo.

10. Un cable de 10 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un cuadrado y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

11. Una caja rectangular con base cuadrada ha de contener 12 m3. El material de la tapa cuesta 80 m2 por metro cuadrado, el material de las caras laterales cuesta 130 por m2 , y el material de la base cuesta 200 por m2. Halle las dimensiones de la caja más económica.

12. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal de base circular que tenga una capacidad de 10000 cm3. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) un contenedor abierto y (b) un contenedor cerrado.

13. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 420 m de ancho. El punto P3 está a 1000 m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de energía debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 27% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

14. Un cartel debe incluir un grabado de 3 m2 con márgenes de 14 cm, en la parte superior e inferior, y 10 cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.

15. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1,5 m de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?

16. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su altura. Hállense las dimensiones de la viga más fuerte que pueda cortarse de un tronco cilíndrico circular de radio 40 cm.

17. Dado un vaso cilíndrico circular de capacidad 400 cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir el vaso sea mínima.

18. Un cable de 18 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

19. Cortando en dos un alambre de longitud 2 m, una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. ¿Cómo habría que cortar el alambre para que la suma de las dos áreas a) sea mínima, y b) sea máxima?

20. Una porción rectangular de tierra de 340 m2 ha de ser cercada y dividida en dos partes iguales por una cerca paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones del rectángulo exterior requerirá la menor longitud total de las dos cercas?¿Cuánta cerca se precisa?

21. Un rectángulo de dimensiones a cm por b cm ha de enrollarse formando un cilindro en dirección de a. El perímetro de la hoja es 100 cm. ¿Qué valores de a y b darán un cilindro de volumen máximo?¿Cuál es ese volumen?

22. Se dispone de un alambre de longitud 5 m para hacer un círculo y un cuadrado. ¿Cómo ha de cortarse el alambre en sus dos formas para que la suma de las áreas correspondientes sea máxima?

23. Un contenedor de base rectangular, lados rectangulares y sin tapa ha de tener un volumen de 3,2 m3. La anchura de la base ha de ser de 1,2 m. El material cortado a la medida cuesta 9u$s/m cuadrado para la base, y 6 u$s/m cuadrado para los lados. ¿Cuál es el costo del contenedor más barato?

24. El muro representado en la figura tiene a = 8 m de alto y dista b = 22 m del edificio. ¿Qué longitud tendrá la viga recta más corta que, apoyándose en el suelo al otro lado del muro, alcance la pared del edificio?



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 25. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 6500 cm3 de

volumen. ¿En cuál se usa menos material?

26. Dos pasillos de a = 2 m y b = 3 m de ancho están unidos en un ángulo recto. Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por esa esquina.

27. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 1,22 m de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener un cajón de máximo volumen?

28. Una caja de base cuadrada y sin tapa debe contener V = 2100 cm3 . Hállense las dimensiones que requieren la menor cantidad de material. Despréciense el espesor del material y los residuos.

29. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura por el cubo de su altura, pero no está relacionada con su longitud. Hállense las proporciones de la viga más rígida que puede cortarse de un tronco de diámetro 26 cm.

30. Un río tiene un codo de 120º, como muestra la figura. Un empresario desea construir un corral limitado en dos lados por el río y en los otros dos por 2,7 m de valla ABC, como se muestra en la figura. Halle las dimensiones del corral de área máxima

31. Un depósito abierto de base cuadrada y lados verticales ha de construirse con una cantidad dada de material (10 m2 ). Determínese sus dimensiones si el volumen es máximo. Despréciense el espesor del material y los residuos.

32. Un granjero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla paralela a uno de los lados. Dispone de 15 m de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de área máxima que puede encerrar?



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 33. Se trata de hacer una pileta como la de la figura, con una chapa de 9 m de longitud y

6 m de anchura. La pileta se hace doblando hacia arriba tiras de 1 m de anchura hasta formar ángulos iguales con la vertical, exprésese el volumen de la pileta en términos del ángulo. Hállese el máximo volumen posible de la pileta si l = 10 m.

34. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 15 m3¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?

35. Hay que construir un silo en forma de cilindro rematado por una semiesfera. El costo de la construcción por metro cuadrado de área superficial es del 37 % más para la semiesfera que para el cilindro. Determínense las dimensiones que han de utilizarse si el volumen es fijo y el costo de construcción ha de ser el mismo. Despréciense el espesor de la pared del silo y el desperdicio producido en la construcción.

36. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular, cuyo volumen es de 1000 cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir la lata sea mínima.

37. Si la distancia OB es de 60 m y la distancia OA es de 24 m, siendo OB un camino consolidado donde el costo de transporte es de 1,3 u$s el m y AC un camino no realizado donde se debe seleccionar la traza y el costo por m es de 1,7 u$s dólares. Seleccionar el recorrido más económico para ir de A a B.

38. En la ribera de un río de 0,5km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera, a 4 km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta 12 u$s por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 23 u$s por cada m. ¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usar cálculo, ¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si L fuera muy grande?, ¿si L fuera muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace las rutas para L=1/2, L=3/4, L=1 y L=2.

39. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 10000 cm3 El material de las caras laterales cuesta el triple que el de la tapa y el de la base. Si la base tiene lado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la caja más económica.



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 40. Encuentre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de 1400 cm3

de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

41. Se debe agregar una valla a una pared de 19 m de largo, como se muestra en la figura. ¿Cuánto debe agregarse para maximizar el área del rectángulo si la valla adicional tiene una longitud de: a) 71 m, b) 115m, c) 225m?

42. Un recipiente cilíndrico está diseñado para contener 17m3 . El material de la base y de la tapa cuesta el 21% más que el de su cara lateral. Halle el radio y la altura del recipiente más económico.

43. Una casa en forma de caja rectangular tiene base cuadrada. Allí entra dos veces más calor por metro cuadrado a través del techo que a través de las paredes. ¿Cuál debe ser la forma de la casa para que tenga un volumen de 965m3 y haga mínima la entrada de calor? (se supone que no entra calor por el suelo)



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 44. La siguiente figura muestra dos pasillos que forman un ángulo recto. Uno de ellos

tiene de ancho 3,5 m y el otro 4,2 m. Halle la máxima longitud de un tubo que pueda pasar horizontalmente por esa esquina.

45. Una araña que se encuentra en el vértice A de un cubo cuya arista tiene 73 m se propone capturar una mosca en el vértice opuesto B. La araña debe caminar por la superficie del cubo sólido y debe encontrar el camino más corto. Halle el camino más corto con ayuda del cálculo. Halle el camino más corto sin hacer uso del cálculo.

46. Sobre el lateral de una cancha de fútbol de 100m de longitud se quieren construir dos triángulos equiláteros de tal manera que la base de los triángulos estén sobre el lateral y la suma de las áreas de los triángulos sea mínima. ¿Cómo se deben dividir los 115 m para ello?

47. Se necesita construir un depósito de base cuadrada a cielo abierto para contener 1470000lt de un líquido. Las paredes y el piso serán de hormigón de 13cm de espesor. ¿Qué dimensiones debe tener para que se ocupe la menor cantidad de hormigón?¿Cuántos m3 de hormigón se necesitan?

48. Se necesita construir un depósito de base circular a cielo abierto para contener 1510000lt de un líquido. Las paredes y el piso serán de hormigón de 13cm de espesor. ¿Qué dimensiones debe tener para que se ocupe la menor cantidad de hormigón?¿Cuántos m3 de hormigón se necesitan?

49. Una ventana tiene la forma que indica la figura. Es rectangular en su parte inferior y su parte superior es un triángulo equilátero. Si el perímetro de la ventana es de 7,7 m, ¿cuáles deben ser las medidas de a y b para que la ventana tenga un área máxima?



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 50. Se desea realizar un cartel de ancho a y altura h. Deben quedar sin imprimir 60m

arriba y abajo y 40m a la izquierda y derecha.

El área impresa debe ser de 18m2. El fabricante cobra por metro cuadrado de área total (axh). ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para que el costo sea mínimo?

51. En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino perimetral de 3,5m de ancho en el lado sur y norte y de 4,7m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrar sea máxima si son 215ha.

52. Se desea alumbrar un terreno rectangular. El alumbrado norte cuesta $ 210 por metro, en cambio el de los otros tres lados cuesta $ 130 el metro. Determinar el área del mayor terreno que se puede alambrar si se dispone de $ 45000.

53. Sean AC y BD dos postes de 32m y 14 m de altura respectivamente distanciados entre sí 51 m. Al poste BD se le colocan dos riendas de cables de acero de 41$/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 36 $/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo de los cables utilizados sea el mínimo.

54. Con 2350 m de alambrado se deben cercar dos corrales rectangulares idénticos. Calcular las dimensiones del cercado para que el área encerrada sea máxima.

55. Con 2146 m de alambrado se desea cercar un terreno rectangular. Uno de los lados da a un río, por lo tanto solo deben cercarse tres lados. ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para abarcar la mayor área posible?



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 56. Dada una superficie cónica de base circular determinar cuál es el radio y la altura

para que el volumen sea de 4,40 m3y la cantidad de chapa para recubrir los laterales sea mínima.

57. El momento de inercia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al ancho de la viga y al cubo de su altura. Determinar cuáles son las dimensiones de la viga de madera de mayor momento de inercia que se puede obtener de un tronco de sección circular de diámetro 52cm.

58. Se necesita armar una ventana que en su parte inferior es rectangular y en su parte superior tiene un semicírculo de diámetro igual al ancho de la ventana. Si el marco tiene 4,3m, determinar las dimensiones de la ventana para que su superficie sea máxima.

59. Se desea construir un camino asfaltado desde A hasta C. Desde P1 a P2 hay AC= 15,5 km. Desde P3 a P2 hay BC= 42,3 km. Se debe seleccionar la traza más económica para el camino, teniendo en cuenta que el costo del camino desde A hasta B es de 754000$/km y el de B a C por la traza de un camino de broza

existente es de 600000$/km.

60. Se desea cercar un terreno rectangular, donde uno de sus lados es paralelo a una calle. El cerco que está pegando a la vereda tiene un costo de 520$/m , en cambio los otros tres lados tienen un costo de 370$/m. Si se dispone de $ $95200. ¿Cuál es la mayor área que puede cercarse?

61. Una ventana tiene una parte inferior rectangular y una superior en forma de un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 8,2m. ¿Cuáles son las medidas de la ventana para que el área ocupada sea máxima?

62. De una chapa se desea cortar un sector circular de la mayor área posible y cuyo perímetro sea 5,3m. Determinar el radio r del sector circular de área máxima.




63. Una viga de longitud L tiene un extremo empotrado en un muro, mientras que el otro se mantiene en el aire. Si la viga pesa p kilos por unidad de longitud, su flexión a una distancia x del extremo empotrado satisface la ecuación 48EIy = p(2.1x4 – 4.9Lx3 + 2.95L2x2), donde E e I son constantes que dependen del material de la viga y la forma de su sección transversal. ¿A qué distancia del extremo empotrado se da la máxima flexión?

64. Un cilindro circular recto de diámetro d y altura h, con un domo semiesférico encima, constituye un contenedor cerrado. Hállese la relación entre d y h que maximiza el volumen para un área superficial dada.

65. Un contratista que está removiendo tierra de una gran excavación puede conducir sus camiones por dos carreteras distintas. Hay que remover 60000m3 de tierra. Cada camión carga 15m3. Por una ruta, el costo por cada carga es de 1 + 2.3x2 centavos de dólar cuando x camiones usan la ruta; la función registra los gastos por congestión. Por la otra ruta, el costo es de 2 + 0.95x2 centavos de dólar por carga cuando x camiones usan la ruta. ¿Cuántos camiones deben despacharse por cada una de las dos rutas?

66. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su ancho por el cubo de la altura de su sección. ¿De qué forma debe cortarse la viga de un tronco circular recto de radio r con el fin de que la rigidez de la viga sea máxima?

67. Un canal de riego, hecho de concreto, debe tener una sección en forma de trapezoide con dos de sus lados de 4,5 m y la base de 5,4 m. ¿Cuál debería ser la forma del trapezoide si se desea que tenga el área máxima? Considere el área como una función de x y resuelva.




CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 69. Una hoja de papel para un cartel debe tener 24 m2 de área. Las márgenes superior e

inferior deben tener 0,6 m, y las márgenes de los lados, 0,5 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

70. Una ventana tiene forma de rectángulo con un semicírculo encima. El rectángulo es de vidrio claro y el semicírculo de vidrio coloreado, que transmite sólo la mitad de luz por pie cuadrado que el claro, y el perímetro total es 6 m. Determínense las medidas de la ventana que admitirán más luz.

71. Entre todos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 8,5 m3 de volumen. ¿Cuál requiere menos material?



74. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 320 m3 a un costo de 470 $/m cuadrado para la base y 280 $/m para los cuatro lados. Hallar las dimensiones más económicas.

75. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de 2,5 m de ancho y 9 m de largo cortándole un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo.


77. Una caja rectangular con base cuadrada ha de contener 20 m3. El material de la tapa cuesta 95 m2, el material de las caras laterales cuesta 140 m2, y el material de la base cuesta 230 m2. Halle las dimensiones de la caja más económica.





CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 80. Un cartel debe incluir un grabado de 10 m2 con márgenes de 20 cm, en la parte

superior e inferior, y 15 cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.

81. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1 m de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?








89. Un contenedor de base rectangular, lados rectangulares y sin tapa ha de tener un volumen de 4,8 m3. La anchura de la base ha de ser de 1,8 m. El material cortado a la medida cuesta 13,5u$s por metro cuadrado para la base, y 9 u$s por metro cuadrado para los lados. ¿Cuál es el costo del contenedor más barato?



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 90. El muro representado en la figura tiene 12 m de alto y dista 33 m del edificio. ¿Qué

longitud tendrá la viga recta más corta que, apoyándose en el suelo al otro lado del muro, alcance la pared del edificio?

91. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 7800 cm3 de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

92. Dos pasillos de 4,2 m y 6,3 m de ancho están unidos en un ángulo recto. Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por esa esquina.

93. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 1,5 m de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener un cajón de máximo volumen?

94. Una caja de base cuadrada y sin tapa debe contener 3400 cm3. Hállense las dimensiones que requieren la menor cantidad de material. Despréciense el espesor del material y los residuos.






97. Un depósito abierto de base cuadrada y lados verticales ha de construirse con una cantidad dada de material (18 m2 ). Determínese sus dimensiones si el volumen es máximo. Despréciense el espesor del material y los residuos.


99. Se trata de hacer una pileta como la de la figura, con una chapa de 12 m de longitud y 8 m de anchura. La pileta se hace doblando hacia arriba tiras de 1,4 m de anchura hasta formar ángulos iguales con la vertical, exprésese el volumen de la pileta en términos del ángulo. Hállese el máximo volumen posible de la pileta si l = 12 m.

100. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 23 m3 ¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?


102. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular, cuyo volumen es de 1500 cm3 . Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir la lata sea mínima.

103. Si la distancia OB es de 50 m y la distancia OA es de 20 m, siendo OB un camino consolidado donde el costo de transporte es de 1,4 u$s el km y AC un camino no realizado donde se debe seleccionar la traza y el costo por km es de 1,6 u$s. Seleccionar el recorrido más económico para ir de A a B.



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 104. En la ribera de un río de 0,7km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra

ribera, a 6km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta 11 u$s por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 27 u$s por cada m. ¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usar cálculo, ¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si L fuera muy grande?, ¿si L fuera muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace las rutas para L=1/2, L=3/4, L=1 y L=2.

105. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 4750 cm3. El material de las caras laterales cuesta el cuádruple que el de la tapa y el de la base. Si la base tiene lado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la caja más económica.

106. Encuentre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de 2570 cm3 de volumen. ¿En cuál se usa menos material?


108. Un recipiente cilíndrico está diseñado para contener 23m3. El material de la base y de la tapa cuesta el 19% más que el de su cara lateral. Halle el radio y la altura del recipiente más económico.

109. Una casa en forma de caja rectangular tiene base cuadrada. Allí entra cuatro veces más calor por metro cuadrado a través del techo que a través de las paredes. ¿Cuál debe ser la forma de la casa para que tenga un volumen de 1036m3 y haga mínima la entrada de calor? (se supone que no entra calor por el suelo)

110. La siguiente figura muestra dos pasillos que forman un ángulo recto. Uno de ellos tiene de ancho 3,7 m y el otro 4,1 m. Halle la máxima longitud de un tubo que pueda pasar horizontalmente por esa esquina.





112. Sobre el lateral de una cancha de fútbol de 100m de longitud se quieren construir dos triángulos equiláteros de tal manera que la base de los triángulos estén sobre el lateral y la suma de las áreas de los triángulos sea mínima. ¿Cómo se deben dividir los 92 m para ello?




116. Se desea realizar un cartel de ancho a y altura h. Deben quedar sin imprimir 65marriba y abajo y 47m a la izquierda y derecha.




CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 117. En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino

perimetral de 3,8m de ancho en el lado sur y norte y de 4,9m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrar sea máxima si son 256ha.

118. Se desea alumbrar un terreno rectangular. El alumbrado norte cuesta $ 235 por metro, en cambio el de los otros tres lados cuesta $ 142 el metro. Determinar el área del mayor terreno que se puede alambrar si se dispone de $ 68000.

119. Sean AC y BD dos postes de 37m y 17 m de altura respectivamente distanciados entre sí AB = 54 m. Al poste BD se le colocan dos riendas de cables de acero de 44 $/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 37 $/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo de los cables utilizados sea el mínimo.



122. Dada una superficie cónica de base circular determinar cuál es el radio y la altura para que el volumen sea de 3,25 m3y la cantidad de chapa para recubrir los laterales sea mínima.

123. El momento de inercia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al ancho de la viga y al cubo de su altura. Determinar cuáles son las dimensiones de la viga de madera de mayor momento de inercia que se puede obtener de un tronco de sección circular de diámetro 61 cm.

124. Se necesita armar una ventana que en su parte inferior es rectangular y en su parte superior tiene un semicírculo de diámetro igual al ancho de la ventana. Si el marco tiene 5,8 m, determinar las dimensiones de la ventana para que su superficie sea máxima.

125. Se desea construir un camino asfaltado desde A hasta C. Desde P1 a P2 hay AC= 19,3 km. Desde P3 a P2 hay BC= 20,2 km. Se debe seleccionar la traza más económica para el camino, teniendo en cuenta que el costo del camino desde A



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 hasta B es de 732000$/km y el de B a C por la traza de un camino de broza existente es de 632500$/km.

126. Se desea cercar un terreno rectangular, donde uno de sus lados es paralelo a una calle. El cerco que está pegando a la vereda tiene un costo de 575$/m, en cambio los otros tres lados tienen un costo de 473$/m. Si se dispone de $105200. ¿Cuál es la

mayor área que puede cercarse?

127. Una ventana tiene una parte inferior rectangular y una superior en forma de un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 6,5 m. ¿Cuáles son las medidas de la ventana para que el área ocupada sea máxima?

128. De una chapa se desea cortar un sector circular de la mayor área posible y cuyo perímetro sea 8,4 m. Determinar el radio r del sector circular de área máxima.

129. Un canal de riego, hecho de concreto, debe tener una sección en forma de trapezoide con dos de sus lados de 6 m y la base de 7 m. ¿Cuál debería ser la forma del trapezoide si se desea que tenga el área máxima? Considere el área como una función de x y resuelva.




CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 131. Una hoja de papel para un cartel debe tener 32 m2 de área. Las márgenes

superior e inferior deben tener 0,65 m, y las márgenes de los lados, 0,45 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

132. Una ventana tiene forma de rectángulo con un semicírculo encima. El rectángulo es de vidrio claro y el semicírculo de vidrio coloreado, que transmite sólo la mitad de luz por pie cuadrado que el claro, y el perímetro total es 8 m. Determínense las medidas de la ventana que admitirán más luz.

133. Entre todos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 6,3 m3 de volumen. ¿Cuál requiere menos material?

134. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal, de base circular que tenga una capacidad de 1200 m3 . Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) una lata abierta y (b) una lata cerrada.



137. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de 3 m de ancho y 12 m de largo cortándole un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo.


139. Una caja rectangular con base cuadrada ha de contener 30 m3. El material de la tapa cuesta 103$/m2 , el material de las caras laterales cuesta 150 $/m2 , y el material de la base cuesta 245 m2. Halle las dimensiones de la caja más económica.





CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 142. Un cartel debe incluir un grabado de 16 m2 con márgenes de 30 cm, en la parte

superior e inferior, y 20 cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.

143. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1,22 m de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?








151. Un contenedor de base rectangular, lados rectangulares y sin tapa ha de tener un volumen de 3,2 m3. La anchura de la base ha de ser de 1,2 m. El material cortado a la medida cuesta 20,25u$s/m por metro cuadrado para la base, y 13,5 u$s/m cuadrado para los lados. ¿Cuál es el costo del contenedor más barato?



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 152. El muro representado en la figura tiene 6 m de alto y dista 19 m del edificio.

¿Qué longitud tendrá la viga recta más corta que, apoyándose en el suelo al otro lado del muro, alcance la pared del edificio?

153. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 9150 cm3

de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

154. Dos pasillos de 5,2 m y 7,8 m de ancho están unidos en un ángulo recto. Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por esa esquina.

155. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 2 m de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener un cajón de máximo volumen?

156. Una caja de base cuadrada y sin tapa debe contener 5200 cm3 . Hállense las dimensiones que requieren la menor cantidad de material. Despréciense el espesor del material y los residuos.





CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 159. Un depósito abierto de base cuadrada y lados verticales ha de construirse con

una cantidad dada de material (27 m2 ). Determínese sus dimensiones si el volumen es máximo. Despréciense el espesor del material y los residuos.


161. Se trata de hacer una pileta como la de la figura, con una chapa de 16 m de longitud y 9 m de anchura. La pileta se hace doblando hacia arriba tiras de 1,6 m de anchura hasta formar ángulos iguales con la vertical, exprésese el volumen de la pileta en términos del ángulo. Hállese el máximo volumen posible de la pileta si l =13 m.

162. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 32 m3 ¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?


164. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular, cuyo volumen es de 2000 cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir la lata sea mínima.

165. Si la distancia OB es de 70 m y la distancia OA es de 30 m, siendo OB un camino consolidado donde el costo de transporte es de 1,5 u$s el km y AC un camino no realizado donde se debe seleccionar la traza y el costo por km es de 1,9 u$s el km. Seleccionar el recorrido más económico para ir de A a B.

166. En la ribera de un río de 0,4km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera, a 4 km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta 13 u$s por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 21 u$s por cada m. ¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usar cálculo, ¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si L fuera muy grande?, ¿si L fuera



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace las rutas para L=1/2, L=3/4, L=1 y L=2.

167. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 12500 cm3 . El material de las caras laterales cuesta el 2,5 veces que el de la tapa y el de la base. Si la base tiene lado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la caja más económica.

168. Encuentre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de 3420cm3 de volumen. ¿En cuál se usa menos material?


170. Un recipiente cilíndrico está diseñado para contener 32m3 . El material de la base y de la tapa cuesta el 24% más que el de su cara lateral. Halle el radio y la altura del recipiente más económico.

171. Una casa en forma de caja rectangular tiene base cuadrada. Allí entra 2,6 veces más calor por metro cuadrado a través del techo que a través de las paredes. ¿Cuál debe ser la forma de la casa para que tenga un volumen de 873m3 y haga mínima la entrada de calor? (se supone que no entra calor por el suelo)

172. La siguiente figura muestra dos pasillos que forman un ángulo recto. Uno de ellos tiene de ancho 3,3 m y el otro 4,3 m. Halle la máxima longitud de un tubo que pueda pasar horizontalmente por esa esquina.




CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 174. Sobre el lateral de una cancha de fútbol de 100m de longitud se quieren construir

dos triángulos equiláteros de tal manera que la base de los triángulos estén sobre el lateral y la suma de las áreas de los triángulos sea mínima. ¿Cómo se deben dividir los 36 m para ello?




178. Se desea realizar un cartel de ancho a y altura h. Deben quedar sin imprimir 80m arriba y abajo y 55m a la izquierda y derecha.


179. En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino perimetral de 4,2m de ancho en el lado sur y norte y de 5,1m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrar sea máxima si son 320ha.



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 180. Se desea alumbrar un terreno rectangular. El alumbrado norte cuesta $ 206 por

metro, en cambio el de los otros tres lados cuesta $ 123 el metro. Determinar el área del mayor terreno que se puede alambrar si se dispone de $ 73200.

181. Sean AC y BD dos postes de 43m y 19 m de altura respectivamente distanciados entre sí AB = 57 m. Al poste BD se le colocan dos riendas de cables de acero de 46 $/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 41 $/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo de los cables utilizados sea el mínimo.



184. Dada una superficie cónica de base circular determinar cuál es el radio y la altura para que el volumen sea de 5,10 m3y la cantidad de chapa para recubrir los laterales sea mínima.

185. El momento de inercia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al ancho de la viga y al cubo de su altura. Determinar cuáles son las dimensiones de la viga de madera de mayor momento de inercia que se puede obtener de un tronco de sección circular de diámetro 74cm.

186. Se necesita armar una ventana que en su parte inferior es rectangular y en su parte superior tiene un semicírculo de diámetro igual al ancho de la ventana. Si el marco tiene 5,1 m, determinar las dimensiones de la ventana para que su superficie sea máxima.

187. Se desea construir un camino asfaltado desde A hasta C. Desde P1 a P2 hay AC = 26,4 km Desde P3 a P2 hay BC= 71,4 km. Se debe seleccionar la traza más económica para el camino, teniendo en cuenta que el costo del camino desde A hasta B es de 707000$/km y el de B a C por la traza de un camino de broza existente es de 603000$/km.



CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 188. Se desea cercar un terreno rectangular, donde uno de sus lados es paralelo a una

calle. El cerco que está pegando a la vereda tiene un costo de 632$/m, en cambio los otros tres lados tienen un costo de 515$/m. Si se dispone de $163400. ¿Cuál es la

mayor área que puede cercarse?

189. Una ventana tiene una parte inferior rectangular y una superior en forma de un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 10,8 m. ¿Cuáles son las medidas de la ventana para que el área ocupada sea máxima?

190. De una chapa se desea cortar un sector circular de la mayor área posible y cuyo perímetro sea 7,1 m. Determinar el radio r del sector circular de área máxima.

191. Una hoja de papel para un cartel debe tener 40 m2 de área. Las márgenes superior e inferior deben tener 0,7 m, y las márgenes de los lados, 0,5 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

192. Entretodos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 10,5 m3 de volumen. ¿Cuál requiere menos material?






CURSO DE ELECTRÓNICA 2016 196. Encuentre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de

2965cm3de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

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