transporte paralelo na geometria frw
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE FISICA
EDINELSON PEREIRA DOS SANTOS
TRANSPORTE PARALELO DE VETORES NO UNIVERSO
DE FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER
Feira de Santana - Ba
Maio de 2009
EDINELSON PEREIRA DOS SANTOS
TRANSPORTE PARALELO DE VETORES NO UNIVERSO
DE FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER
Monografia apresentada ao Curso de Fısica da Uni-
versidade Estadual de Feira de Santana, como re-
quisito parcial para a obtencao do grau de LICEN-
CIADO em Fısica. Orientador Prof. Dr. Alexan-
dre Manoel de Morais Carvalho.
Feira de Santana - Ba
Maio de 2009
EDINELSON PEREIRA DOS SANTOS
TRANSPORTE PARALELO DE VETORES NO UNIVERSO
DE FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER
Monografia apresentada ao Curso de Fısica da Uni-
versidade Estadual de Feira de Santana, como re-
quisito parcial para a obtencao do grau de LICEN-
CIADO em Fısica. Orientador Prof. Dr. Alexan-
dre Manoel de Morais Carvalho.
Aprovada em 05 de maio de 2009.
BANCA EXAMINADORA
———————————————————————–
Prof. Dr. Alexandre Manoel de Morais Carvalho
Departamento de Fısica - UEFS
———————————————————————–
Prof. Dr. Carlos Alberto de Lima Ribeiro
Departamento de Fısica - UEFS
———————————————————————–
Prof. Dr. Josevi de Souza Carvalho
Departamento de Fısica - UEFS
Dedico este trabalho a meu pai Luiz, minha
mae Edinalva e aos meus irmaos, Val,
Luciano, Ney, Iana e Patrıcia e minha
esposa Lane, que sempre apoiaram todas as
decisoes, confortaram-me nos momentos
difıceis e proporcionaram momentos de
muita alegria e aprendizado ao vosso lado.
Agradecimentos
Agradeco a Deus por atender minhas oracoes.
Ao meu professor e orientador Alexandre Carvalho pelos ensinamentos, paciencia e
exemplo profissional o qual pretendo seguir.
Aos amigos Murilo Sodre, Murilo Silva, Gesse, Fabrıcio, Jones, Tony e Erveton, os
quais conheco desde o inıcio da graduacao, por todas discussoes e aconselhamentos.
A UEFS por tudo que me foi necessario para a conclusao da minha graduacao.
A Residencia Universitaria, a qual foi minha casa durante todo esse perıodo.
Aos colegas da Resi pelos momentos de descontracao.
Ao apoio financeiro da PROBIC durante a minha iniciacao cientıfica.
Muito obrigado!
Eu posso aprender todas as coisas atraves de
Jeova Deus.
Resumo
Em geral, o transporte paralelo de vetores no espaco-tempo curvo pode resultar em um
deficit angular entre as direcoes inicial e final do vetor. Neste trabalho o nosso ponto
de partida foi discutir o comportamento dinamico e a estrutura geometrica dos Modelos
Cosmologicos mais comuns que descrevem o Universo, especialmente os de Friedmann e
Einstein-de Sitter e os de Friedmann-Lemaıtre. Todos os modelos sao baseados na teoria
da Cosmologia Relativıstica. Descritos os respectivos modelos, todos foram analisados de
acordo com suas hipoteses, para daı ser possıvel inferir qual deles comporta melhor a ace-
lerada expansao do Universo, a radiacao cosmica de fundo e a Teoria Padrao. Em seguida
aplicamos o transporte paralelo de vetores em torno de orbitas circulares no espaco-tempo
de FRW, onde encontramos um resultado muito interessante. Observamos que no espaco-
tempo de FRW o vetor transportado paralelamente adquire um deficit angular depois
de n voltas inteiras no plano equatorial, exceto para orbitas com determinados raios
chamados de raio crıtico. Essa especie de quantizacao e tambem conhecida como banda
de invariancia de holonomia.
Abstract
In general, the parallel transport of vectors in curved space-time might result in angle
defict between the initial and final vector direction. In this work our starting point was
to discuss the dynamical behavior and the geometric framework of Cosmological Models
more common that describe the universe, specially the Friedmann and Einstein de Sitter’s
and the Friedmann-Lemaitre’s. All the models are based on the relativistic cosmology
theory. Once we described the respective models, all were analyzed in agreement with
its hypothesis, to be possible from there to deduce what better indicates the accelerated
expansion of the Universe, the cosmic background radiation and the Standard Theory.
Next, we applied parallel transport of vectors around circular orbits in the FRW’s space-
time, where we found a very interesting result. We observed that in the FRW’s space-time
the parallel carried vector acquire a angle defict after n entire turns in the equatorial plane,
except for orbits with determinate radius called critic radius. This kind of quantization
is also known as invariant band of holonomy.
Sumario
1 Introducao geral 12
2 Ideias fundamentais de cosmologia 15
2.1 Princıpio Cosmologico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Metrica de Friedmann-Robertson-Walker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Dinamica do Universo de FRW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Lei de Hubble e o Parametro de Densidade. . . . . . . . . . . . . . 23
3 Modelos Cosmologicos 24
3.1 Modelos de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Modelo de Einstein-de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Modelo de de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Modelo de Lemaıtre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Transporte Paralelo de Vetores 32
5 Transporte Paralelo de Vetores na Geometria de FRW 38
5.1 Transporte paralelo na 2-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Transporte em FRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.1 Universo aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.2 Universo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.3 Universo fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Orbitas circulares com tempo constante (R = 0) . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Orbitas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Conclusoes 52
Referencias
Lista de Tabelas
1 Valores de ω quando feito o transporte paralelo do vetor em orbitas equatoriais
com tempo constante para os devidos valores de k. . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Valores de ω quando feito o transporte paralelo do vetor em orbitas equatoriais
para os devidos valores de k, considerando o Universo nao-estatico. . . . . . . . 49
Lista de Figuras
1 Evolucao do Universo para o modelo de Friedmann Fechado, R× t. . . . . . . . 27
2 Evolucao do Universo para o modelo de Friedmann Aberto, R× t. . . . . . . . . . . . 28
3 Evolucao do Universo para o modelo de Einstein-de Sitter, R× t. . . . . . . . . 29
4 Evolucao do Universo para o modelo de de Sitter, R× t. . . . . . . . . . . . . 30
5 Evolucao do Universo para o modelo de Lemaıtre. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Um triangulo esferico APB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Triangulo construıdo em linhas curvas em um espaco plano. . . . . . . . . . . . 33
8 Transporte paralelo sobre um triangulo esferico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9 O vetor paralelo de xa + δxa em Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10 Transporte de V a no caminho infinitesimal fechado. . . . . . . . . . . . . . . . 37
12
1 Introducao geral
A humanidade sempre manteve uma relacao de curiosidade quanto a origem e a
evolucao do Universo, buscando uma melhor compreensao da estrutura deste. Para todos
nos, habitantes do Universo, conhecer os detalhes desta nossa casa e de muita importancia
[1]. Daı o surgimento de diversos modelos propostos para descrever o Universo. Por muito
tempo, sob a otica da cosmologia newtoniana, acreditou-se que o Universo era estatico e
imutavel no tempo absoluto.
No inıcio do seculo XX nossa visao sobre o mundo fısico sofreu uma consideravel
modificacao a respeito dos conceitos fısicos ate entao predominante. Isso foi gracas ao
surgimento da relatividade restrita, desenvolvida por Albert Einstein, onde esta propor-
cionou uma generalizacao das leis newtonianas (exceto a gravitacao) com resultados que
culminou na cosmologia moderna [2]. Por algum tempo, Einstein tambem, influenciado
pelas ideias newtoniana, acreditou que o Universo era estatico. Isso o induziu a introduzir
uma constante Λ em sua equacao de campo. A constante Λ seria uma especie de energia
extra, necessaria para contrabalancear a forca gravitacional [1]. So depois de observacoes,
verificou-se que o Universo era dinamico.
A essencia da relatividade restrita esta baseada em dois postulados de Einstein. O
primeiro coloca a luz como um ente de natureza especial que, na ausencia da gravidade,
tem velocidade constante, finita (tomada como velocidade limite para as velocidades e-
xistentes no Universo) e que, independente da direcao de propagacao, suas propriedades
sao as mesmas. Assim, a velocidade da luz e a mesma para todos os observadores i-
nerciais1. O segundo afirma que todos os observadores inerciais sao equivalentes [3]. A
partir desse momento, o tempo perde seu carater absoluto e nao se tem mais um espaco
separado do tempo, os dois passam a integrar agora uma unica entidade: o espaco-tempo
[2]. No entanto, Einstein incomodado com os limites impostos pela relatividade restrita,
na qual o observador deveria ser inercial, investiu no desenvolvemento de uma teoria
mais geral que se estendesse tambem a observadores nao-inerciais. Daı, influenciado
pelas ideias de E. Mach2, desenvolveu a teoria da Relatividade Geral. Esta se baseia em
alguns princıpios fundamentais, que determinam o comportamento das leis fısicas quando
1Observador nao acelerado2Ideias que afirmam que a distribuicao de materia modifica o espaco.
13
considerado a gravitacao. O primeiro diz respeito ao princıpio da equivalencia, na
qual afirma que nao existem testes, realizados por observadores locais, que permitam a
esses distinguir entre um campo gravitacional e um referencial acelerado[4]. A segunda
ideia diz respeito ao princıpio da covariancia, na qual afirma que todas as leis fısicas
devem ter a mesma forma em qualquer referencial. Daı a necessidade do calculo tensorial
no estudo da relatividade de Einstein. Agora, nesta nova visao relativıstica, devemos
considerar a influencia da gravitacao nos movimentos dos corpos e da luz. A materia
determina a geometria do espaco-tempo [3].
A nocao de distancia, na concepcao relativıstica, e alterada, ja que a parte temporal
esta inclusa nesta geometria. Assim ao inves de termos distancia entre dois pontos, agora
temos intervalos entre dois pontos (ou eventos). Infinitesimalmente, a distancia entre dois
eventos no espaco-tempo e descrita pela metrica ds2 = gµνdxµdxν , onde gµν e o tensor
metrico [3]. Isto pode ser entendido como uma generalizacao do teorema de Pitagoras.
Neste trabalho a metrica que utilizaremos e a de Robertson-Walker3, na qual iremos ver
que tal metrica carrega informacoes sobre a evolucao do Universo, inclusa no fator de
escala R(t), e informacoes com respeito a estrutura geometrica, inclusa no parametro de
curvatura k.
Sem duvida a cosmologia encontrou na relatividade geral uma forte parceria em seus
avancos, juntamente com grandes descobertas realizadas no seculo XX, tal como a desco-
berta feita por Edwin Hubble4 em 1920. Hubble descobriu que a velocidade relativa entre
duas galaxias era proporcional a distancia relativa entre elas. Esta descoberta mudou
radicalmente a visao que os cientistas tinham do Universo [4].
Na elaboracao deste trabalho, utilizamos metodos de geometria diferencial em conjunto
com a teoria da Relatividade Geral. Essa teoria, combinada com outras hipoteses, e
uma ferramenta muito poderosa na construcao de modelos para descrever a dinamica do
Universo. Fundamentado no Princıpio Cosmologico, o qual estabelece que o Universo, em
larga escala, se comporta como um fluido perfeito, homogeneo e isotropico e levando em
consideracao a Teoria Padrao (O chamado Big Bang), obtivemos a metrica de Robertson-
Walker. Essa metrica, como ja citamos, carrega um Fator de Escala R(t), que descreve a
3O fısico-matematico americano Howard Percy Robertson (1894-1979) e o matematico ingles Arthur
Geoffrey Walker (1909-), demostraram, em 1935 e 1936, que tal metrica e a mais geral para sastifazer a
condicao de homogeneidade e isotropia para a geometria do espaco-tempo [5]4Astronomo americano Edwin Powell Hubble (1889-1953) [5]
14
evolucao do Universo e o parametro de curvatura k, que pode assumir os valores:
k =
−1, Universo fechado
0, Universo plano
+1, Universo aberto
Com base na metrica de Robertson-Walker e idealizando o Universo como um fluido
perfeito, resolvemos a equacao de Einstein e chegamos as equacoes de Friedmann5. Daı
utilizando a lei de Hubble, alguns parametros e consideracoes, tratamos dos modelos mais
comuns que buscam descrever o universo, especialmente os de Friedmann e Einstein-de
Sitter e os de Friedmann-Lemaıtre6
Outros fatores importantes na analise de tais modelos sao os resultados de observacoes
feitas por V. Slipher7 [2], do deslocamento para o vermelho, ou redshift, da luz proveniente
das galaxias. Os resultados obtidos indicam que o Universo se encontra em expansao. Sur-
preendentemente, observacoes recentes de supernovas distantes, realizadas por dois grupos
independentes, liderados, respectivamente por A.G Riess e S. Perlmutter [1] indicam que
o Universo nao so esta se expandindo, mas tal expansao ocorre de forma acelerada. Estas
descobertas sao de importancia comparavel a descoberta na decada de 60, da existencia
da radiacao cosmica de fundo (prevista pela Teoria Padrao), que tambem fortalece a
aceitacao de alguns modelos tratados [1].
Depois de discutidos os modelos cosmologicos, fizemos um estudo do formalismo de
transporte paralelo vetorial. A ideia basica e transportar um vetor paralelamente a si
mesmo em torno de um caminho fechado ou de um ponto a outro por caminhos diferen-
tes. Tal transporte pode alterar a orientacao desse vetor de acordo com a curvatura do
espaco-tempo em questao. Aplicamos estas ideias as condicoes geometricas de Friedmann-
Robertson-Walker, nas quais calculamos o vetor transportado paralelamente para cada
valor de k. Um fato curioso e que, em algumas situacoes, a influencia do transporte
paralelo depende do raio da orbida adotada [6], que no nosso caso adotamos orbitas
circulares no plano equatorial e constante com tempo.
5O russo Alexander Alexadrovitch Friedmann era meteorologista e proporcionou notaveis contribuicoes
para a cosmologia (1888-1925) [5]6O padre e engenheiro civil e cosmologo belga George-Henri Edouard Lemaıtre foi, provavelmente, o
primeiro a propor um modelo especıfico para o Big Bang, em 1927 (1894-1966) [5]7O astronomo americano Vesto Melvin Slipher (1875-1969), demostrou que, das 41 galaxias que ele
estudou, a maioria apresentava deslocamento espectral para o vermelho [5].
15
2 Ideias fundamentais de cosmologia
2.1 Princıpio Cosmologico.
A cosmologia moderna e baseada no Princıpio Cosmologico, ou seja, isotropia e ho-
mogeneidade do Universo. Esse princıpio afirma que, em larga escala, nao ha no Universo
nenhuma localizacao privilegiada, nem possibilidade de distinguir entre varias linhas de
visada, ou seja, todos os pontos e as direcoes sao equivalentes[2]. Neste caso os diversos
observadores que acompanha o movimento cosmologico, independentes uns dos outros,
vao estar expostos, em um dado instante, a uma mesma interpretacao do Universo. Este
princıpio pode ser pensado como uma extensao da proposta de Einstein, segundo o qual
as leis da Fısica devem ser as mesmas para esses observadores. Nao somente as leis sao
identicas, mas a propria descricao da estrutura do Universo, feita pelos observadores,
deve ser tambem a mesma. O resultado e que, para evitar que diferentes observadores
tenham opinioes distintas sobre a distribuicao de massa do Universo, temos que este deva
ser homogeneo e isotropico em largas escalas. Como o proprio nome indica, este e um
princıpio que postulamos como verdadeiro e a partir dele desenvolvemos as consequencias
cosmologicas que se seguem[4].
Sabemos que o Universo local, ate distancias da ordem de 10 Mpc8, e manifestada-
mente nao homogeneo e tambem nao isotropico. Se observarmos, por exemplo, na direcao
do polo Norte galactico nao podemos deixar de notar a presenca de uma grande aglom-
eracao de galaxias na constelacao de Virgem. Esta e uma distorcao local que afeta a
distribuicao de galaxias a distancias da ordem de 10 a 20 Mpc da galaxia. Se observarmos
objetos mais e mais distantes (distancias da ordem de 100Mpc) o Universo vai parecer
cada vez mais proximo de uma distribuicao homogenea e isotropica [4]. Isto equivale, por
exemplo, a enxergar uma praia depois de ver a granulacao da areia na mao [2].
Notemos tambem que a isotropia e homogeneidade se referem as coordenadas espaciais
e nao ao tempo, ja que, por exemplo, homogeneidade temporal implicaria um Universo
estacionario no tempo, sem inıcio ou evolucao alguma, e assim em conflito com as ob-
servacoes. Como veremos, os cosmologos Robertson e Walker foram os responsaveis de
mostrar que a forma das equacoes de Friedmann e unica, se o Princıpio Cosmologico
81 pc (parcec) e aproximadamente igual a 3,26 anos-luz.
16
e sastifeito e a Relatividade Generalizada descreve a gravitacao, estabelecendo assim a
chamada Cosmologia Padrao de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) [2]. Em sıntese
a cosmologia de FRW se baseia em tres topicos. A saber: o Princıpio Cosmologico, a
Relatividade Geral e a idealizacao do Universo como um fluido perfeito.
2.2 Metrica de Friedmann-Robertson-Walker.
Nesta secao buscaremos determinar, a partir da simetria esferica, a metrica objeto de
nossa investigacao, conhecida como metrica de Friedmann-Robertson-Walker. Em termos
matematicos, um espaco de curvatura constante e caracterizado pela equacao [3]:
Rαβγδ = K(gαγgβδ − gαδgβγ), (1)
onde Rαβγδ e o tensor de curvatura e K e uma constante chamada de constante de cur-
vatura (ou curvatura gaussiana). Assim, contraindo a equacao (1) com gαγ, no caso de
um espaco 3-dimensional, temos:
gαγRαβγδ = Rβδ
Rβδ = Kgαγ(gαγgβδ − gαδgβγ)
= K(gαγgαγgβδ − gαγgαδgβγ)
= K(δααgβδ − δγ
δ gβγ)
= K((δ11 + δ2
2 + δ33)gβδ − δδ
δgβδ)
= K(3gβδ − gβδ)
Rβδ = 2Kgβδ, (2)
onde Rβδ e conhecido como tensor de Ricci [3]. Observe que usamos a propriedade:
gαγgαγ = δαα, com α = 1, 2, 3. O termo δβ
α e chamado de delta de Kronecker, sendo:
δβα = 1, se β = α e δβ
α = 0, se β 6= α.
Considere agora um espaco 3-dimensional, e que este seja isotropico em torno de cada
ponto. Logo teremos uma simetria esferica em torno de cada ponto. Isto resulta no
elemento de linha que e da forma [7]:
dl2 = eλdr2 + r2(dθ2 + sen2(θ)dφ2), (3)
17
onde λ(r) e uma funcao de r, pois para um sistema isotropico e homogeneo, podemos
escrever as coordenadas em um sistema esferico e considerar somente a coordenada radial
[5]. O que precisamos agora e encontrar a forma de eλ. Pela equacao (3), temos que os
elementos do tensor metrico sao:
g11 = eλ(r); g22 = r2; g33 = r2sen2(θ), (4)
e os seus respectivos componentes contravariante sao;
g11 = e−λ(r); g22 = r−2; g33 = r−2sen−2(θ). (5)
Note que pela equacao (2), a relacao entre Rβδ e gβδ pode nos dar informacao a respeito
de eλ. Sendo assim, faremos os calculos para as componentes dos tensores de Ricci [3],
que e dado pela equacao:
Rµν = ∂αΓαµν − ∂νΓ
αµα + Γβ
µνΓαβα − Γβ
µαΓαβν , (6)
onde os elementos “ Γαµν ” sao conhecidos como sımbolos de Christoffel. Para calcular o
tensor de Ricci e preciso calcular, antes, os sımbolos de Christoffel que pode ser escrito
em termos das componentes do tensor metrico do espaco-tempo como [3]:
Γαβγ =
1
2gαν(∂βgνγ + ∂γgνβ − ∂νgβγ), (7)
onde este tem uma relacao de simetria, nos dois ındices inferiores, tal que: Γαβγ = Γα
γβ.
Assim pelas equacoes (4) e (5) temos9:
Γ111 =
1
2g11(∂1g11 + ∂1g11 − ∂1g11) =
1
2e−λ(r)[∂1(e
λ(r))] ⇒ Γ111 =
1
2λ(r).
Pelo mesmo procedimento encotramos:
Γ111 =
1
2λ(r); (8a)
Γ112 = Γ1
21 = Γ123 = Γ1
32 = Γ113 = Γ1
31 = Γ213 = Γ2
11 = Γ222 = Γ2
31 = Γ223 = Γ2
32 = 0; (8b)
Γ122 = −re−λ(r); (8c)
Γ133 = −re−λ(r)sen2(θ); (8d)
Γ212 = Γ2
21 = Γ313 = Γ3
31 = r−1; (8e)
Γ233 = −cos(θ)sen(θ). (8f)
Γ311 = Γ3
33 = Γ322 = Γ3
12 = Γ321 = 0; (8g)
Γ323 = Γ3
32 = cotg(θ). (8h)
9Onde usamos: λ = dλdr .
18
Aplicando as equacoes (8) na (6) obtemos:
R11 = ∂1Γ111 + ∂2Γ
211 + ∂3Γ
311 − ∂1Γ
111 − ∂1Γ
212 − ∂1Γ
313+
+ Γ111Γ
111 + Γ2
11Γ121 + Γ3
11Γ131 + Γ1
11Γ212 + Γ2
11Γ222 + Γ3
11Γ232+
+ Γ111Γ
313 + Γ2
11Γ323 + Γ3
11Γ333 − Γ1
11Γ111 − Γ2
11Γ121 − Γ3
11Γ131−
− Γ112Γ
211 − Γ2
12Γ221 − Γ3
12Γ231 − Γ1
13Γ311 − Γ2
13Γ321 − Γ3
13Γ331
R11 =λ
r.
Pelo mesmo procedimento encontramos:
R12 = R21 = R13 = R31 = R23 = R32 = 0. (9a)
R11 =λ
r. (9b)
R22 =1
2rλe−λ − e−λ + 1. (9c)
R33 =
[1
2rλe−λ − e−λ + 1
]sen2(θ). (9d)
De acordo com as equacoes (2), (4) e (9), temos:
R11 = 2Kg11 ⇒ λ
r= 2Keλ(r). (10a)
R22 = 2Kg22 ⇒ 1
2rλe−λ − e−λ + 1 = 2Kr2. (10b)
Com as equacoes (10) temos: r = e−λλ2K
. Substituindo em R22:
1
2
(e−λλ
2K
)λe−λ − e−λ + 1 = 2K
(e−λλ
2K
)2
e−2λλ2
4K− e−λ + 1 =
2e−2λλ2
4K
e−2λλ2
4K− 2e−2λλ2
4K+ 1 = e−λ
1− e−2λλ2
4K= e−λ. (11)
Logo, com o uso da equacao (11) chegamos na forma de eλ, que e :
eλ =1
1−Kr2. (12)
Substituindo a (12) na (3) obtemos, para um espaco 3-dimensional de curvatura constante,
o elemento de linha:
dl2 =dr2
1−Kr2+ r2[dθ2 + sen2(θ)dφ2]. (13)
19
Considerando que o espaco-tempo pode ser “ fatiado ” em hipersuperfıcies com o tempo
constante, entao (levando em conta o Princıpio Cosmologico) temos que a estrutura em
repouso das galaxias concorda muito bem com o conceito de simultaneidade, ja que a cada
hipersuperfıcie do espaco-tempo temos um tempo t constante associado, o que significa que
todos os eventos que ocorrem nessa hipersuperfıcie possuem tambem a mesma coordenada
temporal t [7]. Isto nos permite adotar as coordenadas comoveis10, em que podemos
idealizar cada galaxia passuidora de um conjunto fixo de coordenadas t, x1, x2, x3, tal
que as hipersuperfıcies sao descritas para um dado t constante e coordenadas espaciais
x1, x2, x3 constantes ao longo das geodesicas. A coordenada temporal t, representa o
tempo proprio de cada galaxia. A expansao do Universo (variacao da distancia propria
entre as galaxias) e representada pela metrica de coeficientes dependentes com tempo.
Assim, em um instante t qualquer, uma hipersuperfıcie tera um elemento de linha da
forma:
dl(t)2 = hijdxidxj, (14)
com hij = R(t)2gij, onde R(t) e conhecido como fator de escala e hij e a metrica que
evolui com gij por um fator R(t)2, igual para toda hipersuperfıcie, com i, j = 1, 2, 3[3]. No instante inicial t0 temos R(t0) = 1. Pela condicao de ortogonalidade (em que as
geodesicas sao ortogonais a famılia de hipersuperfıcies), pode-se mostrar que a metrica
geral para o espaco-tempo, nessas condicoes, tera elemento de linha dado por11:
ds2 = dt2 −R(t)2gijdxidxj, (15)
combinando a equacao (15) com o resultado da (13), pode ser mostrado que a metrica
que atende a cosmologia no espaco-tempo, para um Universo homogeneo e isotropico12
possui elemento de linha dado por:
ds2 = dt2 −R(t)2 dr2
1− kr2−R(t)2r2(dθ2 + sin2(θ)dφ2). (16)
Essa metrica e conhecida como a metrica de Robertson-Walker. A curvatura gaussiana e
dada em termos do fator de escala pela relacao K = kR(t)2
, com k = −1, k = 0 e k = +1,
10Coordenadas comoveis sao coordenadas espaciais que permanecem constante ao longo da geodesica
para um obsevador fundamental, ou seja, aquele que se desloca junto com a hipersuperfıcie.11A partir de agora adotaremos a unidade relativıstica em que c = 1, onde c2dt2 = dt2
12A condicao de isotropia e homogeneidade explica o uso de simetria esferica na costrucao da equacao
(16).
20
representando curvatura negativa, nula e positiva, respectivamente[8]. Quando k = −1,
dizemos que o universo e aberto; k = 0 o universo e dito plano e finito. E para k = +1,
universo e fechado. Observe que na metrica da equacao (16), a evolucao do universo e sua
estrutura espacial sao independentes. O fator de escala R(t) deve sastifazer as equacoes
de Friedmann. Quando o universo obedece tais condicoes, ele e chamado de universo de
Friedmann-Robertson-Walker(FRW).
2.3 Dinamica do Universo de FRW.
Agora sera analisado qual a previsao que a equacao de campo de Einstein, pode fazer a
respeito do comportamento do universo de Friedmann-Robertson-Walker(FRW). Sabemos
que na Relatividade Geral de Einstein, geometria e materia estao acopladas atraves das
equacoes de Einstein (ja introduzida a constante cosmologica):
Gµν − Λgµν = 8πTµν , (17)
onde Gµν e o chamado tensor de Einstein, onde este e simetrico sob troca de ındices, Λ e
a constante cosmologica, gµν e o tensor metrico e Tµν o tensor energia-momentum. O lado
esquerdo da equacao esta relacionado com a geometria e o lado direito, a materia imersa
no espaco tempo, atraves do tensor energia-momentum, que para um fluido perfeito, como
idealizamos anteriormente, e dado por:
Tµν = (ρ + p)uµuν − pgµν , (18)
onde ρ(t) e p(t) sao a densidade total de energia e pressao totais (materia mais radiacao) e
uµ e a quadrivelocidade do fluido [7]. Para um meio isotropico e homogeneo, a densidade
e pressao sao funcoes dependente do tempo t.
Agora vamos resolver a equacao de Einstein para a metrica FRW, o que nos conduzira
as equacoes de Friedmann. Para isto, e interessante observar antes que a equacao de
Einstein (17) tambem pode ser escrita em termo do tensor de Ricci Rµν como:
Rµν − 1
2gµνR = Λgµν + 8πTµν , (19)
onde R e o escalar de Ricci dado pela contracao R = gµνRµν . Para a metrica de FRW
21
temos que os coeficientes nao-nulo do tensor metrico sao:
g00 = 1; (20a)
g11 = − R2
1− kr2; (20b)
g22 = −R2r2; (20c)
g33 = −R2r2sen2(θ). (20d)
Adotando um sistema de coordenadas em que as componetes espaciais sao fixas, entao
para o movimento de um elemento de volume do fluido perfeito, a quadrivelocidade e
dada por:
ua = (1, 0, 0, 0), (21)
onde adotamos c = 1. Assim, usando a equacao (18) e a quadrivelocidade da equacao
(21), podemos calcular as componentes do tensor energia-momentum fazendo:
T00 = (ρ + p)u0u0 − pg00 = ρ + p− p = ρ; (22a)
T11 = (ρ + p)u1u1 − pg11 =pR2
1− kr2; (22b)
T22 = (ρ + p)u2u2 − pg22 = pR2r2; (22c)
T33 = (ρ + p)u3u3 − pg33 = pR2r2sen2(θ), (22d)
onde as demais componentes sao nulas.
Calculando o tensor de Ricci, do mesmo modo que na equacao (9), para a metrica
FRW, temos os seguintes resultados:
R00 = −3R
R; (23a)
R11 =RR + 2R2 + 2k
1− kr2; (23b)
R22 = RRr2 + 2R2r2 + 2kr2; (23c)
R33 = RRr2sen2(θ) + 2R2r2sen2(θ) + 2kr2sen2(θ), (23d)
onde agora usamos R = dRdt
. Por outro lado o escalar de Ricci pode ser expresso como:
R = gµνRµν = g00R00 + g11R11 + g22R22 + g33R33, (24)
22
que aplicada ao lado esquerdo da equacao de Einstein (19), em conjunto com as equacoes
(23) e a (24), obtem-se:
G00 = 3R2
R2+ 3
k
R2; (25a)
G11 =−2RR− R2 − k
1− kr2; (25b)
G22 = −2RRr2 − R2r2 − kr2; (25c)
G33 = −2RRr2 sin2(θ)− R2r2 sin2(θ)− kr2 sin2(θ). (25d)
As equacoes (25), juntamente com o resultado do calculo do tensor energia-momentum
das equacoes (22), nos conduz a duas equacoes independentes:
−2RR + R2 + k
R2+ Λ = 8πp, (26)
e
3R2 + k
R2− Λ = 8πρ, (27)
onde foi usada a unidade relativıstica: c = 1 e G = 1, sendo c a velocidade da luz e G a
constante gravitacional. Finalmente, atraves da equacao (27), temos o seguinte resultado:
(R
R
)2
=8
3πρ +
1
3Λ− k
R2. (28)
Esta e a chamada equacao de Friedmann , com o fator de escala variando com o tempo
na ausencia de pressao. A equacao de Friedmann (28) sera a base na costrucao dos
modelos cosmologicos que abordaremos. Na equacao (26) a pressao p engloba todo tipo
de pressao, tais como as originadas do movimento aleatorio das estrelas e galaxias 13,
pressao de radiacao, dentre outras. Contudo, observacoes revelam que na epoca presente
a pressao e muito pequena em comparacao com a densidade de energia ρ. A razao entre
estas duas quantidade e da ordem de 10−5 a 10−6. Consequentemente, de acordo com essas
observacoes do Universo presente, podemos tomar p ∼ 0 (predominancia de materia).
13As estrelas e galaxias podem ser pensadas como um analogo as moleculas de um determinado gas,
que devido aos movimentos aleatorios das moleculas, exercem pressao em uma determinada superfıcie.
23
2.3.1 Lei de Hubble e o Parametro de Densidade.
Antes de resolver a equacao de Friedmann vamos discutir alguns conceitos fundamen-
tais, tais como: a Lei de Hubble e Parametro de Densidade.
No inıcio dos anos 20, enquanto a sociedade cientıfica acreditava em um Universo esta-
cionario, isto e, um Universo similar em todas direcoes e imutavel no tempo, a cosmologia
experimentava uma descoberta que inaugurava a Cosmologia Moderna. Em 1929, E. Hub-
ble demostrou, observando o deslocamento para o vermelho nas linhas espectrais (redshift)
de 18 galaxias espirais e medindo as distancia entre estas com uma razoavel precisao [9],
que as galaxias estavam se afastando com velocidade proporcionais a sua distancia. Desta
forma, quanto mais distantes a galaxia, maior sua velocidade de afastamento[5], ou seja,
o Universo estar se expandindo. Assim, considerando a expansao do Universo e que
este seja homogeneo e isotropico, podemos afirmar que a distancia ri entre dois obser-
vadores fundamentais, com coordenadas espaciais fixas, varia com o tempo de acordo com
a relacao:
ri(t) = R(t)ri(t0), (29)
onde R(t) e o fator de escala, o qual caracteriza a evolucao temporal do Universo.
Derivando a equacao (29) em relacao ao tempo, chegamos a equacao que expressa a
Lei de Hubble:
vi(t) = H(t)ri(t), (30)
onde H(t) = R(t)/R(t) e o parametro de Hubble. Esta lei afirma que a velocidade
relativa entre os observadores fundamentais e proporcional a distancia entre eles. Em
um Universo em expansao, H > 0, os observadores fundamentais estao se afastando, por
isso, tal velocidade e denominada velocidade de recessao. A velocidade de recessao entre
dois observadores comoveis indica como varia com o tempo a distancia propria entre eles.
Mas como nao e uma velocidade cinematica, nao existe contradicao com o princıpio da
relatividade, mesmo quando excede a velocidade da luz no vacuo [10].
Se considerarmos t = t0 (o tempo presente), a equacao (30) fica:
vi(t0) = H0(t0)ri(t0), (31)
onde H0(t0) e a constante de Hubble. Seu valor medido experimentalmente [11], segundo
dados medidos atraves do satelite da NASA, Wilkinson Microwave Anisotropy Probe
24
(WMAP), e atualmente cerca de H0(t0) = 71± 4Km · s−1 ·Mpc−1.
Para a construcao dos modelos cosmologicos, e interessante definirmos um parametro
que possa ser medido diretamente, nos dando informacoes a respeito da geometria do
Universo. Para isso, vamos reescrever a equacao (27), para Λ = 0 e com a ajuda do
parametro de Hubble como:
R2 + k =8πρ
3R2;
H2R2 + k =8πρ
3R2;
k =8πρ
3(H2)(H2)R2 −H2R2;
k = (ρ
ρc
− 1)H2R2,
onde ρc = 3H2/8π e a densidade crıtica, densidade de energia necessaria para que a
geometria do Universo seja espacialmente plana, k = 0, na ausencia da constante cos-
mologica [12]. Assim, definimos Parametro de Densidade como a razao entre a densidade
de energia e a densidade crıtica, ou seja,
Ω =ρ
ρc
. (32)
Veja que a relacao entre o parametro de densidade e a curvatura sera:
k = (Ω− 1)R2. (33)
Como veremos mais adiante, a equacao (33) nos indica que, se Ω > 1, a energia do Universo
sera suficiente para colapsa-lo, ou caso Ω = 1, o Universo tera secao espacial euclideana.
Medicoes mais recentes, feitas pelo satelite WMAP [13], nos da Ω = 1, 02± 0.02, ou seja,
a secao espacial do Universo atual e basicamente euclideana, ou plana [11]. A equacao
(33) e de grande utilidade nas descricoes das propriedades geometricas do Universo.
3 Modelos Cosmologicos
Nesta secao sera feito uma classificacao de alguns modelos do Universo, partindo de
certas hipoteses. Os modelos que serao investigados sao baseados na teoria do Big Bang
ou, tecnicamente, Teoria Padrao do Universo [1]. A teoria do Big Bang leva em conta que,
se as galaxias estao se afastando umas das outras, como observado por Edwin Hubble em
25
1929, no passado, elas deveriam estar cada vez mais proximas e, num passado remoto, 10
a 15 bilhoes de anos atras, deveriam estar todas num mesmo ponto, muito quente. Uma
singularidade espaco-tempo, que se expandiu no Big Bang [2]. O Big Bang, ou Grande
Explosao, criou nao somente a materia e a radiacao, mas tambem o proprio espaco e o
tempo [5]. Esse seria o inıcio do Universo.
O padre, engenheiro civil e cosmologo belga Georges-Henri Edouard Lemaıtre (1894-
1966) foi, provavelmente, o primeiro a propor um modelo especıfico para o Big Bang, em
1927. Ele imaginou que toda a materia estivesse concentrada no que ele chamou de atomo
primordial e que esse atomo se partiu em incontaveis pedacos, cada um se fragmentando
cada vez mais, ate formar os atomos presentes no Universo, numa enorme fissao nuclear.
Esse modelo nao pode ser correto, pois nao obedece as leis da relatividade e estrutura da
materia, mas ele inspirou os modelos modernos [5].
Independentemente de Lemaıtre, o matematico e meteorologista russo Alexandre Alexan-
drovitch Friedmann (1888-1925) ja tinha descoberto toda uma famılia de solucoes das
equacoes da Relatividade Geral de Einstein. Tais solucoes encontradas por Friedmann
e Lemaıtre descrevem um Universo em expansao, que pode expandir eternamente ou
colapsar [5].
3.1 Modelos de Friedmann
Nesses modelos, Friedmann considera um Universo sem a constante cosmologica Λ,
assim tomando Λ = 0 a equacao de Friedmann (28) assume a forma:
R2 =8πρR3
3R− k. (34)
Tomando R3 ∼ V , podemos fazer ρ ≈ MR3 . Substituindo em (34), temos o seguinte
resultado:
R2 =C
R− k, (35)
onde C = 8πM/3 e uma constante. Agora a nossa tarefa e resolver a equacao (35), para
daı descrever os modelos propostos por Friedmann.
Para um Universo em que a densidade de materia e maior que a densidade crıtica, ou
seja, ρ > ρc, o que implica que o parametro de densidade Ω > 1, e tomando k = +1, a
26
equacao (35) torna-se:
R2 =C
R− 1. (36)
Neste caso sera conveniente introduzir uma nova variavel temporal η, onde:
dt
dη= R, (37)
e a equacao (36) fica:
R2R2 = RC −R2
(dt
dη
dR
dt)2 = RC −R2
(dR
dη)2 = RC −R2
2d2R
dη2
dR
dη= C
dR
dη− 2R
dR
dη
d2R
dη2=
C
2−R, (38)
chamando R = Aepη + C2
temos:
R = Aepη +C
2;
dR
dη= Apepη;
d2R
dη2= Ap2epη,
substituindo na equacao (38) podemos ver que p = ±i. Assim a solucao geral da equacao
diferencial (38) pode ser expressa por:
R(η) = Aeηi + Be−ηi +C
2;
R(η) = (A + B)cos(η) + i(A−B)sen(η) +C
2.
Tomando a parte real e fazendo R(0) = 0 quando η → 0, temos que A + B = −C/2.
Assim:
R(η) =C
2[1− cos(η)]. (39)
Substituindo na equacao (37) e integrando, admitindo η = 0 quando t = 0, podemos
chegar facilmente na:
t =C
2[η − sin(η)]. (40)
27
As equacoes (39) e (40) formam uma equacao parametrizada de uma cicloide. Este
modelo e chamado de Modelo de Friedmann Fechado. Neste modelo o Universo e
finito e possui geometria semelhante a de uma superfıcie esferica.
O grafico da figura 1 mostra o comportamento de R(t) com o tempo t para as equacoes
parametrizadas (39) e (40). Observe que o Universo se expande e em um tempo futuro
colapsa (big crunch) e novamente se expande, continuando tudo novamente. Este modelo
tambem e chamado de oscilatorio devido a este comportamento[14]. Veja a figura 1.
R(t)
t
Figura 1: Evolucao do Universo para o modelo de Friedmann Fechado, R× t.
De maneira analoga podemos encontrar, para um Universo em que a densidade de
materia seja menor que a densidade crıtica, ou seja, ρ < ρc ⇒ Ω < 1 e tomando k = −1,
as seguintes equacoes parametrizadas:
R =C
2[cosh(η)− 1]; (41a)
t =C
2[sinh(η)− η]. (41b)
Este modelo e chamado de Modelo de Friedmann Aberto. Tal modelo e infinito
e possui secao espacial semelhante a uma superfıcie hiperboloide. Plotamos o grafico das
equacoes parametrizadas (41). Este nos revela um Universo sempre em expansao, porem
a expansao manifesta uma desaceleracao ou freamento (Veja figura 2).
28
R(t)
t
Figura 2: Evolucao do Universo para o modelo de Friedmann Aberto, R× t.
3.2 Modelo de Einstein-de Sitter
Neste modelo supoe que a densidade de materia e exatamente a densidade crıtica, ou
seja, ρ = ρc, portanto Ω = 1. Nesta versao tambem considera-se Λ = 0. Consequente-
mente pela equacao (33) temos k = 0. Assim a equacao (35) fica:
R =
√C√R
,
que por uma simples integracao e admitindo que no modelo do Big Bang R0 = 0 quando
t0 = 0, temos:
R(t) =3
√9Ct2
4. (42)
Este e o chamado Modelo de Einstein-de Sitter 14. Pelo fato de termos k = 0, a
geometria desse modelo e euclidiana, ou seja, o Universo e infinito e plano. Plotamos
o grafico para este modelo e o resultado esta na figura 3. Observe que, semelhante aos
modelos de Friedmann, nesse modelo o Universo esta em expansao mas tambem manifesta
uma desaceleracao. O modelo de Einstein-de Sitter e, as vezes, chamado modelo de
Friedmann de curvatura nula [1]. Ou seja, a expressao “modelos de Friedmann” pode
designar os tres modelos associados a k = −1, k = 0 e k = +1 que acabamos de ver.
Os tres modelos acima, de Friedmann e Einstein-de Sitter, todos preveem uma expansao
14Astronomo e matematico, o holandes Willem de Sitter (1872-1934), descobriu, em 1917, uma solucao
cosmologica para a equacao de campo de Einstein, para um espaco-tempo ausente de materia [16]. Isso
viola claramente os princıpios de Mach, como veremos, o Universo de de Sitter e dinamico e nao estatico
como previa Mach.
29
Ct
R(t)
Figura 3: Evolucao do Universo para o modelo de Einstein-de Sitter, R× t.
desacelerada do Universo, ou seja, a velocidade da expansao esta diminuindo. Isso se
deve ao fato de que a unica forca que atua e a gravitacional, que acaba por frear a
grande velocidade inicial. Ha poucos anos, os teoricos aceitavam nessa previsao como
verdadeira, e apenas se dividiam em duas preferencias principais: uma corrente, ligada
aos astrofısicos, que acreditava numa baixa densidade de materia, algo como 30% da
densidade crıtica, e que portanto o modelo apropriado era o de Friedmann aberto; outra,
principalmente dos fısicos trabalhando na teoria dos campos, preferia a de Einstein-de
Sitter. No entanto, recentemente apareceu um novo resultado que ninguem o esperava.
Da analise conjunta dos dados da radiacao cosmica de fundo das observacoes de estrelas
supernovas distantes, dois grupos independentes, liderados por A. G. Riess e S. Perlmutter,
chegaram a conclusao que: nao so o Universo esta em expansao, mas a taxa a qual se
expande esta crescendo com o tempo, ou seja, o Universo esta acelerando [1].
3.3 Modelo de de Sitter
No modelo de de-Sitter o Universo nao contem materia mas apenas a constante cos-
mologica Λ. Sua estrutura geometrica e plana [3], ou seja, k = 0. Assim, assumindo que
30
p = ρ = 0 a equacao (27) nos fornece:
3R2
R2− Λ = 0;
R
R=
√Λ
3;
dR
dt=
√Λ
3R. (43)
Integrando a eq. (43) encontramos a relacao do fator de escala com o tempo dada por:
R(t) = Ae√
Λ3
t, (44)
onde A e a constante de integracao.
Observe que neste modelo o Universo se expande exponencialmente, ou seja, sua ex-
pansao evolui rapidamente com o tempo. O comportamento da expansao do Universo
para este modelo, escolhendo R = 1 quando t = 0 ⇒ A = 1, esta representado no grafico
da figura 4. Este e o modelo de Universo mais simples.
t
R(t)
R(t)
t
Figura 4: Evolucao do Universo para o modelo de de Sitter, R× t.
Mas qual a utilidade de estudar um Universo vazio, sendo que as galaxias nos mostram
que existe materia por toda parte do Universo? Naquela epoca, o motivo de se estudar este
modelo, estava na facilidade de analisarmos como se comportaria o Universo em situacoes
extremas. Nos anos 80 surgiu o chamado cenario inflacionario do Universo primordial,
onde afirma que em uma epoca muito curta, logo apos o nascimento do Universo, este
se expandiu de forma muito rapida, como no modelo de Sitter. Isso antes de comecar a
fase de expansao “normal”, que e descrita pelos modelos de Friedmann e seus sucessores
[1]. Considerando que o estado inflacionario elimina qualquer curvatura que o Universo
31
pudesse ter [1], de tal forma que apos a inflacao, o Universo teria curvatura nula (k =
0). Assim, podemos afirmar que o modelo de de Sitter descreve muito bem o cenario
inflacionario.
3.4 Modelo de Lemaıtre.
O modelo de G. Lemaıtre adota-se uma constante cosmologica maior que o valor
proposto por Einstein e um Universo plano [3], ou seja, k = 0. Assim para Λ > 0 temos
pela equacao (28):
R2 =1
R(8
3πR3ρ) +
1
3ΛR2. (45)
Novamente, como R3 ∼ V podemos chamar C = 8πM3
onde M = ρR3. Logo:
R2 =C
R+
1
3ΛR2. (46)
Esta e a equacao diferencial para qual sua solucao nos conduzira ao modelo do cosmo
proposto por Lemaıtre. Para isto, vamos introduzir uma nova variavel x dada por:
x =2Λ
3CR3. (47)
Derivando x com respeito ao tempo, temos:
dx
dt=
2Λ
CR2dR
dt, (48)
elevando os dois lados da equacao (48) ao quadrado e substituindo na equacao (46) obte-
mos: (dx
dt
)2
= 3Λ(2x + x2),
que integrando para um modelo de Big Bang em que x0 = 0 quando t0 = 0, chegamos a:∫ x
0
dx√2x + x2
=
∫ t
o
(√
3Λ)dt = (√
3Λ)t,
completando os quadrados perfeitos da integral, podemos fazer;∫ x
0
dx√2x + x2 + 1− 1
=
∫ x
0
dx√(x + 1)2 − 1
= (√
3Λ)t. (49)
Se chamarmos cosh(z) = (x + 1) teremos sinh(z)dz = dx, que podemos substituir na
equacao (49) obtendo (para z0 = 0 quando x0 = 0):∫ z
0
senh(z)dz√cosh2(z)− 1
=
∫ z
0
senh(z)dz
senh(z)= z = (
√3Λ)t, (50)
32
como cosh(z) = (x+1) = ( 2Λ3C
R3 +1) = cosh(√
3Λt), entao finalmente chegamos a solucao
da equacao diferencial (46) que e dada por [3]:
R(t) =3
√3C
2Λ[cosh(
√3Λt)− 1]. (51)
Plotamos o grafico da equacao (51) e o resultado esta na figura 5. Observe que a curva
t
R(t)
R(t)
t
Figura 5: Evolucao do Universo para o modelo de Lemaıtre.
da figura 5, tem expansao primeiramente desacelerada. Depois, em um certo ponto de
inflexao, comeca a acelerar. Este modelo de Lemaıtre pode ser generalizado para varios
valores de Λ resultando nas mesmas variantes dos modelos de Friedmann, podendo ser
chamado ate de modelo de Friedmann-Lemaıtre. Com a descoberta da aceleracao do
Universo, a constante Λ tem sido alvo de varias pesquisas como recurso para explicar a
teoria do Big Bang com aceleracao [1]. Assim, podemos perceber que esse modelo e o que
melhor explica a observada aceleracao do Universo. No entanto, nesse modelo nao temos
inflacao.
4 Transporte Paralelo de Vetores
Aqui, discutiremos a respeito de uma ferramenta matematica muito util para analisar
curvaturas. Tal ferramenta e denominada de transporte paralelo. Uma nocao intuitiva
de transporte paralelo consiste em deslocar um vetor ao longo de uma curva e verificar a
mudanca na orientacao do vetor apos o transporte, isso nos informara se tal regiao a qual a
33
curva pertence possui curvatura ou nao. Para ilustrar, considere a Figura 6, em que duas
linhas proximas, perpendiculares ao equador, partem dos pontos A e B paralelamente
uma da outra. Quando contınuas essas linhas, localmente retas, descrevem um arco de
um grande cırculo, e as duas linhas se encontram no polo P . Linhas paralelas, quando
contınuas, se nao permanecem paralelas dizemos que o espaco e nao plano[7].
Figura 6: Um triangulo esferico APB.
Considere agora um espaco plano, em que tomamos um caminho fechado ABC. Na
Figura 7, um vetor e transportado paralelamente do ponto A ate o ponto B, depois para
C e finalmente retorna para A. Observe que o vetor final em A e naturalmente paralelo
ao vetor original.
Figura 7: Triangulo construıdo em linhas curvas em um espaco plano.
Agora veremos que isto e completamente diferente quando feito em uma esfera. Con-
sidere o caminho fechado APBA mostrado na Figura 8, onde a linha AP e perpendicular
ao equador, assim como BP . No ponto A escolhemos um vetor paralelo ao equador. Ar-
rastando paralelamente este vetor ate P e de P ate B, e facil perceber que quando chegar
em B, este novo vetor estara perpendicular ao equador. Finalmente, feito o transporte
paralelo de B ate A, observamos que o campo vetorial foi, por construcao, rotacionado em
90. Essa construcao feita na esfera e justamente o que chamamos de transporte paralelo
[7].
34
Figura 8: Transporte paralelo sobre um triangulo esferico.
Para uma definicao matematica mais precisa, consideremos um campo vetorial Xa(x)
avaliado no ponto Q, com coordenada xa + δxa proximo ao ponto P , com coordenada xa.
Expandindo em serie de Taylor, em torno de x, temos que:
Xa(x + δx) = Xa(x) + δxb∂bXa, (52)
onde despresamos os termos de ordem superiores. Chamando o segundo termo do lado
direito da equacao (52) de δXa(x) = δxb∂bXa, obtemos:
δXa(x) = Xa(x + δx)−Xa(x). (53)
Veja que δXa(x) e uma quantidade nao tensorial, pois nao se transforma como um tensor,
uma vez que envolve diferenca de tensores avaliados em pontos distintos.
Agora vamos construir a definicao de derivada covariante a partir do transporte de
vetores, introduzindo um vetor em Q que e “paralelo” a Xa em P ( Veja figura 9). Desde
que xa + δxa seja fechado em xa , podemos assumir que o vetor paralelo difere de Xa(x)
somente por uma pequena quantidade que aqui vamos chamar de δXa(x) , como mostra
a Figura 9. Observe que δXa nao e um tensor, pois tambem envolve diferenca de tensores
avaliados em pontos distintos. Mas podemos fazer:
Xa(x) + δXa(x)− [Xa(x) + δXa(x)] = δXa(x)− δXa(x), (54)
criando assim um vetor diferenca que e um tensor [3], ja que esta sendo avaliado no
mesmo ponto x. E facil observar que δXa(x) sera nulo, quando Xa(x) ou δxa tambem
for. Entao, por uma simples definicao, podemos assumir δXa(x) linear com Xa(x) e δxa,
o que significa que existe um fator mutiplicativo Γabc onde:
δXa(x) = −ΓabcX
bδxc. (55)
35
Figura 9: O vetor paralelo de xa + δxa em Q.
O sinal de menos e introduzido por convencao. A equacao define a lei geral de transporte
de um vetor Xa definido em x para o vetor Xa + δXa no ponto x + δx. A quantidade Γabc
e chamada de conexao afim ou simplesmente conexao. Agora feito o transporte do vetor
ao longo do caminho do ponto P ate o ponto Q, podemos definir a derivada covariante
de um vetor, que chamaremos de:
∇cXa, (56)
que por meio do processo de limite fazendo δxc → 0 ,
∇cXa = lim
δxc→0
1
δxcXa(x + δx)− [Xa(x) + δXa(x)].
Em outras palavras, a derivada covariante de Xa e a diferenca entre o vetor Xa(Q) e o
vetor paralelo a Xa(P ), dividido pela diferenca de coordenadas, no limite dessa diferenca
tendendo a zero. Das equacoes (52) e (55), encontramos:
∇cXa = lim
δxc→0
1
δxc[Xa(x) + δxb∂bX
a −Xa(x) + ΓabcX
bδxc];
∇cXa = lim
δxc→0
1
δxcδxb∂bX
a + ΓabcX
bδxc;
∇cXa = ∂cX
a + ΓabcX
b. (57)
Assim, a equacao (57) define a derivada covariante de um vetor.
Seja um campo vetorial tangente Xa = dxa
dλao longo da curva xa(λ) , onde λ e o
parametro da curva. Agora considere um campo vetorial V a(λ0) assinado no ponto xa =
xa(λ0) da curva. Podemos definir um campo vetorial V a(λ) ao longo da curva de tal forma
que cada vetor V a(λ) pode ser arrastado paralelamente ao vetor original em xa = xa(λ0).
36
Para isto vamos definir a derivada absoluta denotada por DV b
dλ= Xa∇aV
b. Dizemos que
o vetor V b e transportado paralelamente se:
DV b(λ)
dλ= Xa∇aV
b =dxa
dλ(∂aV
b + ΓbcaV
c) = 0, (58)
esta e uma equacao diferencial de primeira ordem para V b, em que fornecendo um valor
inicial para V b, a saber V b(P ), a equacao (58) determina um vetor ao longo da curva, que e
transportado paralelamente a V b(P ). Usando esta notacao, uma geodesica afim e definida
como uma curva privilegiada em que o vetor tangente ao longo da curva e propagado
paralelamente a si mesmo[3]. Em outras palavras, um vetor propagado paralelamente e
paralelo em todo ponto da curva, de modo que e proporcional ao vetor tangente no ponto,
ou seja:
Xa∇aXb = q(λ)X(b), (59)
onde q(λ) e uma funcao arbitraria de λ . Usando a equacao (57) na (59), temos:
dxa
dλ(∂aX
b + ΓbcaX
c) = qdxb
dλ;
dxa
dλ(
∂
∂xa(dxb
dλ) + Γb
caXc) = q
dxb
dλ;
d2xb
dλ2+ Γb
ca
dxc
dλ
dxa
dλ= q
dxb
dλ. (60)
Se a curva e parametrizada de tal maneira que q desapareca (isto pode ser feito trans-
portando paralelamente o proprio vetor tangente a curva Xa = dxa
dλ), entao o parametro e
um parametro privilegiado chamado de parametro afim, que denotaremos por s . Assim
sendo, a equacao (60) reduz a:
d2xb
ds2+ Γb
ca
dxc
ds
dxa
ds= 0. (61)
A equacao (61) e chamada de geodesica afim [3], ou seja, uma curva privilegiada em que
o vetor tangente e propagado paralelamente a si mesmo. Um parametro afim e somente
definido por uma transformacao afim do tipo s → as + b, onde a e b sao constantes. A
equacao (61) define precisamente as linhas geodesicas no espaco afim.
No espaco euclidiano podemos caracterizar uma linha reta pelo fato de que um vetor
arbitrario tangente a tal reta permaneca paralelo a ela quando deslocado ao longo da
mesma. A equacao (61) traduz esta caracterizacao para uma situacao geral em que o
espaco-tempo e curvo. Esta “linha reta” generalizada e chamada de geodesica.
37
Vejamos agora um resultado interessante: considere um caminho infinitesimal fechado
em uma variedade qualquer, que conecte xa com xa +δxa +dxa. Vamos fazer o transporte
paralelo do vetor V a de xa ate xa + δxa + dxa por dois caminhos diferentes, primeiro via
xa + δxa e depois via xa + dxa (Veja a Figura 10).
Figura 10: Transporte de V a no caminho infinitesimal fechado.
Primeiro faremos o transporte paralelo do vetor V a de xa ate xa + δxa, onde pela
equacao (52) obtemos o vetor:
V a(x + δx) = V a(x) + δV a(x).
V a(x + δx) = V a(x)− ΓabcV
a(x)δxc. (62)
Agora fazendo o transporte de xa + δxa ate xa + δxa + dxa, obtemos:
V a(x + δx + dx) = V a(x + δx)− Γabc(x + δx)V b(x + δx)dxc. (63)
Fazendo a expansao em serie de Taylor para Γabc(x + δx) avaliado em torno de x, temos
[3]:
Γabc(x + δx) = Γa
bc(x) + ∂cΓabcδx
c.
Substituindo este resultado na equacao (63) chegamos a:
V a(x + δx + dx) = V a(x + δx)− (Γabc(x) + ∂cΓ
abc(x)δxc)V b(x + δx)dxc,
que utilizando a equacao (62) torna-se:
V a(x + δx + dx) = V a − ΓabcV
bδxc − ΓabcV
adxc + ΓabcΓ
befV
eδxfdxc − ∂dΓabcδx
dV bdxc, (64)
onde desprezamos o ultimo termo de terceira ordem δxdδxfdxc. Da mesma forma en-
contramos resultado equivalente para o caminho que conecta xa ate xa + δxa + dxa, via
xa + dxa. Bastar substituir δxa por dxa na equacao (64), onde:
V a(x + dx + δx) = V a − ΓabcV
bdxc − ΓabcV
aδxc + ΓabcΓ
befV
edxfδxc − ∂dΓabcdxdV bδxc. (65)
38
Daı tomando a diferenca entre os dois vetores achados para cada caminho tomado, temos:
∆V a = V a(x + δx + dx)− V a(x + dx + δx).
∆V a = ΓabcΓ
befV
eδxfdxc − ΓabcΓ
befV
edxfδxc − ∂dΓabcV
bδxddxc + ∂dΓabcV
bdxdδxc.
Fazendo as devidas permutacoes de ındices mudos temos o seguinte resultado:
∆V a = ΓaedΓ
ebcV
bδxcdxd − ΓaecΓ
ebdV
bdxdδxc − ∂cΓabdV
bδxcdxd + ∂dΓabcV
bdxdδxc;
∆V a = (∂dΓabc − ∂cΓ
abd + Γa
edΓebc − Γa
ecΓebd)V
bδxcdxd;
∆V a = Rabdcδx
cdxd, (66)
onde,
Rabdc = ∂dΓ
abc − ∂cΓ
abd + Γa
edΓebc − Γa
ecΓebd, (67)
e chamado de tensor de Riemann15 ou tensor de curvatura [3]. Uma condicao necessaria
e suficiente para que a regiao do espaco-tempo, a qual foi feito o transporte paralelo,
seja plana e que o tensor de Riemann seja nulo. Observe que o resultado obtido por
transporte paralelo depende do caminho tomado, a menos que este transporte seja feito
em uma regiao plana do espaco-tempo. Se mudarmos os dois ultimos ındices inferiores do
tensor de Riemann teremos:
∆V a = −Rabcdδx
cdxd,
o que indica a anti-simetria do tensor de Riemann nos dois ultimos ındices inferiores.
5 Transporte Paralelo de Vetores na Geometria de
FRW
Apos estudado transporte paralelo de vetores, usamos esta tecnica para investigar a
curvatura na geometria de FRW. O transporte paralelo sera realizado ao longo de curvas
fechadas, onde trataremos os casos simples para orbitas circulares e orbitas circulares
com tempo constante. Mas antes, como exemplo para uma melhor compreensao, inicia-
remos fazendo o transporte paralelo do vetor arbitrario V µ = (Aθ, Aφ) ao longo de curvas
equatoriais, ou seja, com θ = π/2, na superfıcie de uma esfera ordinaria 2-esfera.
15Georg Friedrich Bernhard Riemann, matematico alemao (1826-1866)[5]
39
5.1 Transporte paralelo na 2-esfera
Para 2-esfera de raio constante r = a, temos a seguinte metrica:
ds2 = a2(dθ2 + sen2(θ)dφ2), (68)
onde as componentes nao nulas do tensor metrico sao: g11 = a2, g22 = a2sen2(θ), g11 = a−2
e g22 = a−2sen−2(θ). Assim as conexoes podem ser calculadas por:
Γαβγ =
1
2gαν(∂βgνγ + ∂γgνβ − ∂νgβγ);
Γ122 =
1
2g11(∂2g12 + ∂2g12 − ∂1g22); (69a)
Γ122 =
1
2g11(−∂1g22); (69b)
Γ122 = −cos(θ)sen(θ). (69c)
Continuando com os calculos das conexoes, temos as outras dadas por:
Γ212 = Γ2
21 =cos(θ)
sen(θ); (70a)
Γ122 = −cos(θ)sen(θ); (70b)
Γ111 = Γ1
21 = Γ112 = Γ2
22 = Γ211 = 0. (70c)
Da equacao (58) temos:dxν
dλ
(∂V β
∂xν+ Γβ
µνVµ
)= 0. (71)
Abrindo a soma em ν = 1, 2,
dx1
dλ
(∂V β
∂x1+ Γβ
µ1Vµ
)+
dx2
dλ
(∂V β
∂x2+ Γβ
µ2Vµ
)= 0. (72)
Para β = 1 temos:
dx1
dλ
(∂V 1
∂x1+ Γ1
11V1 + Γ1
21V2
)+
dx2
dλ
(∂V 1
∂x2+ Γ1
12V1 + Γ1
22V2
)= 0. (73)
Para β = 2 temos:
dx1
dλ
(∂V 2
∂x1+ Γ2
11V1 + Γ2
21V2
)+
dx2
dλ
(∂V 2
∂x2+ Γ2
12V1 + Γ2
22V2
)= 0. (74)
Sendo ∂V β
∂xν = δβν , as derivadas parciais que nao se anulam e quando β = ν, e daı podemos
fazer:
dxν
dλ
∂V β
∂xν=
dV β
dλ.
40
Usando as equacoes (69) e (70) chegamos aos seguintes resultados,
dV 1
dλ+ (Γ1
22V2)
dx2
dλ= 0, (75a)
dV 2
dλ+ (Γ2
12V1)
dx2
dλ+ (Γ2
21V2)
dx1
dλ= 0, (75b)
tomando orbitas na direcao de φ, ou seja λ = φ, chegamos as seguintes equacoes diferen-
cias:
dV 1
dφ− cos(θ)sen(θ)V 2 = 0; (76a)
dV 2
dφ+
cos(θ)
sen(θ)V 1 = 0. (76b)
Observe que diferenciando a equacao (76a) com respeito a φ e substituindo a equacao (76b)
no resultado obtido, chegamos facilmente por integracao direta nas seguintes componentes
do vetor transportado paralelamente:
V 1(φ) = αsen(φω) + βcos(φω); (77a)
V 2(φ) =αcos(φω)− βsen(φω)
sen(θ), (77b)
onde α e β sao constantes de integracao e usamos ω = cos(θ). O vetor quando parte de
φ = 0, tem suas componentes dadas por:
V 1(0) = β;
V 2(0) =α
sen(θ).
Depois de uma volta completa (φ = 2π) o vetor V µ = (V 1, V 2) tera componentes dadas
por:
V 1(2π) = αsen(2πω) + βcos(2πω);
V 2(2π) =αcos(2πω)− βsen(2πω)
sen(θ). (78)
Desde que o transporte paralelo seja feito no equador (θ = π2), as componentes do vetor
V µ = (V 1, V 2) nao serao afetadas.
Veja que para θ → 0 e θ → π temos uma singularidade em V 2. No entanto, para θ
arbitrario, teremos ∆V µ = V µ(2π) − V µ(0) 6= 0, o que indica uma mudanca na direcao
espacial do vetor V µ, como era de se esperar. Este exemplo foi escolhido por ser mais
intuitivo, pois o nosso trabalho analisara curvaturas no espaco-tempo de FRW, onde neste
caso perceber a geometria em quatro dimensoes esta alem da percepcao humana.
41
Como ja foi mencionado, a configuracao do espaco-tempo a qual sera nosso objeto
de investigacao sera a metrica de FRW. Aplicaremos o transporte paralelo do vetor V µ
semelhantemente ao adotado na 2-esfera, porem agora estamos trabalhando no espaco-
tempo e portanto o vetor tera quatro componentes, a saber: V µ = (V 0, V 1, V 2, V 3) ou
V µ = (V t, V r, V θ, V φ). A metrica FRW e dada pela equacao (16), onde:
ds2 = dt2 −R(t)2 dr2
1− kr2−R(t)2r2(dθ2 + sen2(θ)dφ2),
com os possıveis valores para k = −1, 0, +1, correspondente ao universo, repectivamente
aberto, plano e fechado. Analisamos para os tres casos: k = −1, 0, +1. Em que cada um
destes, aplicamos o transporte paralelo de vetores.
5.2 Transporte em FRW
Agora faremos o transporte paralelo, no Universo de FRW, para um vetor arbitrario
V µ = (V t, V r, V θ, V φ) ao longo de uma curva parametrizada, tal que: λ = φ.
5.2.1 Universo aberto
Vamos inicialmente considerar o caso em que o Universo de FRW e aberto, ou seja, k = −1.
A metrica que descreve este universo (Equacao (16)) e dada por:
ds2 = dt2 −R(t)2 dr2
1 + r2−R(t)2r2(dθ2 + sen2(θ)dφ2). (79)
Por simplicidade, podemos introduzir uma nova coordenada χ, definida em termos da
coordenada radial por:
r = senh(χ).
Calculando a variacao infinitesimal de r,
dr = cosh(χ)dχ = (1 + r2)12 dχ, (80)
onde usamos o fato em que cosh2(χ) − senh2(χ) = 1. Essa transformacao, permite
reescrever o elemento de linha (79) como:
ds2 = dt2 −R(t)2dχ2 −R(t)2senh2(χ)dθ2 −R2(t)senh2(χ)sen2(θ)dφ2, (81)
42
onde as componentes do tensor metrico sao dadas por;
g00 = 1, (82a)
g11 = −R2, (82b)
g22 = −R2senh2(χ), (82c)
g33 = −R2senh2(χ)sen2(θ). (82d)
Calculamos as conexoes para esta situacao e obtivemos os seguintes valores nao-nulos:
Γ101 = Γ2
02 = Γ303 =
R
R, (83a)
Γ212 = Γ3
13 =1
senh(χ), (83b)
Γ011 =
RR
1 + senh2(χ), (83c)
Γ022 = RRsenh2(χ), (83d)
Γ033 = RRsenh2(χ)sen2(θ), (83e)
Γ111 = − senh(χ)
cosh2(χ), (83f)
Γ122 = −cosh2(χ)senh(χ), (83g)
Γ133 = −cosh2(χ)senh(χ)sen2(θ), (83h)
Γ233 = −sen(θ)cos(θ), (83i)
Γ323 =
cos(θ)
sen(θ). (83j)
Feito estes calculos, aplicamos a equacao para transporte paralelo vetorial, que e fornecida
pela equacao (71), ou seja:dxν
dλ(∂V β
∂xν+ Γβ
µνVµ) = 0.
Abrindo a soma em ν, temos:
dx0
dλ
(∂V β
∂x0+ Γβ
µ0Vµ
)+
dx1
dλ
(∂V β
∂x1+ Γβ
µ1Vµ
)+
dx2
dλ
(∂V β
∂x2+ Γβ
µ2Vµ
)+
dx3
dλ
(∂V β
∂x3+ Γβ
µ3Vµ
)= 0. (84)
Para β = 0, os unicos termos da equacao (84) que nao se anulam sao:
dV 0
dλ+ Γ0
11V1 dr
dλ+ Γ0
22V2 dθ
dλ+ Γ0
33V3dφ
dλ= 0. (85)
43
Adotamos os mesmos procedimentos descritos para chegar na equacao diferencial (85)
para β = 1, 2 e 3 e encontramos as seguintes equacoes diferenciais:
dV 1
dλ+ Γ1
10V1 dt
dλ+ Γ1
01V0 dr
dλ+ Γ1
11V1 dr
dλ+ Γ1
22V2 dθ
dλ+ Γ1
33V3dφ
dλ= 0, (86a)
dV 2
dλ+ Γ2
20V2 dt
dλ+ Γ2
21V2 dr
dλ+ Γ2
02V0 dθ
dλ+ Γ2
12V1 dθ
dλ+ Γ2
33V3dφ
dλ= 0, (86b)
dV 3
dλ+ Γ3
30V3 dt
dλ+ Γ3
31V3 dr
dλ+ Γ3
32V3 dθ
dλ+ Γ3
03V0dφ
dλ+ Γ3
13V1dφ
dλ+ Γ3
23V2dφ
dλ= 0. (86c)
As equacoes diferenciais (85), (86a), (86b) e a (86c) , quando resolvidas, nos fornecem
as componentes do vetor V µ transportado paralelamente ao longo da curva xµ(λ). Es-
colhendo uma curva tal que λ = φ, temos das equacoes (85), (86a), (86b) e a (86c) o
conjunto de quatro equacoes diferenciais, a saber16:
dV t
dφ+ RRsenh2(χ)sen2(θ)V φ = 0, (87a)
dV r
dφ− cosh2(χ)senh(χ)sen2(θ)V φ = 0, (87b)
dV θ
dφ− sen(θ)cos(θ)V φ = 0, (87c)
dV φ
dφ+
R
RV t +
1
senh(χ)V r +
cos(θ)
sen(θ)V θ = 0. (87d)
Diferenciando a equacao (87d) com respeito a φ, encontramos:
d2V φ
dφ2+
(R
R
)dV t
dφ+
(1
senh(χ)
)dV r
dφ+
(cos(θ)
sen(θ)
)dV θ
dφ= 0 (88)
substituindo as equacoes (87a), (87b) e a (87c) na equacao (88), obtemos:
d2V φ
dφ2+ [cosh2(χ)sen2(θ) + cos2(θ)− Rsenh2(χ)sen2(θ)]V φ = 0. (89)
Tomando,
ω2 = cosh2(χ)sen2(θ) + cos2(θ)− R2senh2(χ)sen2(θ), (90)
a equacao (89) fica:d2V φ
dφ2+ ω2V φ = 0, (91)
onde esta tem a forma da equacao diferencial para o movimento oscilatorio com “frequencia”
ω. Neste caso podemos afirmar que a solucao geral da equacao (91) pode ser da forma:
V φ(φ) = αsen(ωφ) + βcos(ωφ), (92)
16Onde usamos as notacoes correspondentes 0 → t, 1 → r, 2 → θ e 3 → φ
44
onde α e β sao constantes de integracao. Combinando este resultado nas outras equacoes
(87a), (87b) e a (87c), chegamos facilmente por integracao direta nas componentes do
vetor transportado paralelamente ao longo da curva λ = φ, tal que:
V φ(φ) = αsen(ωφ) + βcos(ωφ), (93a)
V t(φ) =RRsenh2(χ)sen2(θ)
ω[αcos(ωφ)− βsen(ωφ)] + c1, (93b)
V r(φ) =cosh2(χ)senh(χ)sen2(θ)
ω[βsen(ωφ)− αcos(ωφ)] + c2, (93c)
V θ(φ) =sen(θ)cos(θ)
ω[βsen(ωφ)− αcos(ωφ)] + c3, (93d)
sendo c1, c2 e c3 constantes de integracao. Substituindo as equacoes (93 a - d) na equacao
(88), temos a seguinte relacao entre as constantes de integracao:(
R
R
)c1 +
(1
senh(χ)
)c2 +
(cos(θ)
sen(θ)
)c3 = 0. (94)
Assim, podemos ver que as constantes de integracao nao sao independentes. A relacao
entre elas pode ser expressa pela equacao (94). Mais a frente discutiremos melhor esses
resultados.
5.2.2 Universo plano
Para um Universo plano, ou seja, k = 0, a metrica de FRW (equacao 16) torna-se:
ds2 = dt2 −R(t)2dr2 −R(t)2r2(dθ2 + sin2(θ)dφ2). (95)
Lembrando que nao utilizamos a transformacao r = senh(χ), apenas k = 0 para a metrica
de FRW. Adotando procedimentos semelhantes para k = −1, obtivemos, para k = 0, as
seguintes coordenadas do vetor transportado paralelamente:
V φ(φ) = αsen(ωφ) + βcos(ωφ)
V t(φ) =RRr2sen2(θ)
ω[αcos(ωφ)− βsen(ωφ)] + c1
V r(φ) =rsen2(θ)
ω[βsen(ωφ)− αcos(ωφ)] + c2
V θ(φ) =sen(θ)cos(θ)
ω[βsen(ωφ)− αcos(ωφ)] + c3 (96)
com,
ω2 = 1− R2r2sen2(θ), (97)
45
e (R
R
)c1 +
(1
r
)c2 +
(cos(θ)
sen(θ)
)c3 = 0. (98)
Veja que as constantes de integracao c1, c2 e c3, tambem, sao dependentes uma das outras
e so diferem do caso anterior por um fator associado a constante c2.
5.2.3 Universo fechado
Para um Universo fechado, ou seja, k = +1, a metrica de FRW sera reescrita como:
ds2 = dt2 −R(t)2 dr2
1− r2−R(t)2r2(dθ2 + sen2(θ)dφ2).
Observe que neste caso temos uma singularidade quando r → 1. Introduzindo uma nova
coordenada χ tal que,
r = sen(χ),
dr = cos(χ)dχ = (1− r2)12 dχ,
e usando o fato que cos2(χ) + sen2(χ) = 1, chegamos a:
ds2 = dt2 −R(t)2dχ2 −R(t)2sen2(χ)dθ2 −R2(t)sen2(χ)sen2(θ)dφ2. (99)
Que tambem adotando procedimentos semelhantes ao que fizemos para encontrar as com-
ponentes do vetor transportado no caso k = −1, obtivemos as seguintes coordenadas:
V φ(φ) = αsen(ωφ) + βcos(ωφ), (100a)
V t(φ) =RRsen2(χ)sen2(θ)
ω[αcos(ωφ)− βsen(ωφ)] + c1, (100b)
V r(φ) =cos2(χ)sen(χ)sen2(θ)
ω[βsen(ωφ)− αcos(ωφ)] + c2, (100c)
V θ(φ) =sen(θ)cos(θ)
ω[βsen(ωφ)− αcos(ωφ)] + c3, (100d)
com,
ω2 = cos2(χ)sen2(θ) + cos2(θ)− R2sen2(χ)sen2(θ), (101)
e (R
R
)c1 +
(1
senh(χ)
)c2 +
(cos(θ)
sen(θ)
)c3 = 0. (102)
As equacoes (100) nos dao as componentes de um vetor arbitrario, transportado parale-
lamente ao longo de uma curva parametrizada por λ = φ, em um Universo fechado. A
46
equacao (102) mostra a relacao de dependencia entre as constantes de integracao. Na
proxima secao sera feito o transporte paralelo de vetores em orbitas circulares com tempo
constante e em orbitas circulares com tempo variavel, onde veremos com mais detalhes
suas implicacoes.
5.3 Orbitas circulares com tempo constante (R = 0)
Depois de termos determinado os respectivos vetores, os quais foram transportado
paralelamente ao longo da curva xµ(φ), para cada situacao de k, podemos agora examinar
estes resultados para orbtas circulares (r = constante) feitas no plano equatorial (θ = π2).
Vamos supor que o fator de escala R seja constante, daı temos um universo com
espaco-tempo em questao estatico[8]. Assim sendo, temos que a derivada do fator de
escala em relacao ao tempo e nulo, ou seja, R = 0. Nestas condicoes podemos observar
com o auxılio das equacoes (90), (97) e a (101), que ω pode ser reescrito como mostra a
Tabela 1.
k = −1 k = 0 k = +1
ω cosh(χ) 1 cos(χ)
Tabela 1: Valores de ω quando feito o transporte paralelo do vetor em orbitas equatoriais com
tempo constante para os devidos valores de k.
Supondo que inicialmente o vetor parte de φ = 0, para k = 0, temos pelas equacoes
(96) e (97) que as componentes iniciais do vetor sao:
V φ(0) = β, (103a)
V t(0) = c1, (103b)
V r(0) = −αr + c2, (103c)
V θ(0) = c3. (103d)
O fato de termos V t(0) = c1 e V θ(0) = c3, reflete a constancia do tempo (uma vez que
47
R e uma funcao do tempo) e de θ. Depois de uma volta completa φ = 2π temos,
V φ(2π) = αsen(2π) + βcos(2π) = β, (104a)
V t(2π) = c1 (104b)
V r(2π) = r[βsen(2π)− αcos(2π)] + c2 = −αr + c2, (104c)
V θ(2π) = c3. (104d)
Logo podemos observar que o vetor V µ depois de uma volta completa nao sofre alteracao
em sua orientacao sob transporte paralelo. Isto tambem pode ser estendido para n voltas
e mesmo assim o vetor nao muda sua orientacao, desde que n seja um inteiro.
V φ(2π) = αsen(2πn) + βcos(2πn) = β, (105a)
V t(2π) = c1, (105b)
V r(2π) = r[βsen(2πn)− αcos(2πn)] + c2 = −αr + c2, (105c)
V θ(2π) = c3. (105d)
Veja que depois de n voltas, sendo n um inteiro, temos ∆V t(2πn) = 0, ∆V r(2πn) = 0,
∆V θ(2πn) = 0 e ∆V φ(2πn) = 0, onde ∆ significa a diferenca entre as componentes depois
e antes do transporte. Estendemos esta situacao para θ e r arbitrarios e observamos, por
meio das equacoes (96) e (97), que depois de n voltas inteiras as componentes tornam-se:
∆V φ(2πn) = βcos(2πn)− β = 0, (106a)
∆V t(2πn) = 0, (106b)
∆V r(2πn) = rsen2(θ)[βsen(2πn)− αcos(2πn)] + rsen2(θ)α = 0, (106c)
∆V θ(2πn) = sen(θ)cos(θ)[βsen(2πn)− αcos(2πn)] + αsen(θ)cos(θ) = 0. (106d)
Isto nos mostra claramente que a invariancia do vetor sob transporte paralelo para k = 0,
independe da orbita ser circular ou nao, e de θ ser fixo ou nao. Novamente lembrando, isto
so e valido para n inteiro. Esta especie de “quantizacao”, Rothmann, Ellis e Murugan
denominaram de banda de invariancia de holonomia.17 Em um recente artigo em que
investigaram propriedades da geometria de Schwarzschild-Droste, utilizando calculo de
holonomia para transporte paralelo vetorial para determinadas classes de orbitas e curvas
17Holonomias sao objetos matematicos, que em gravitacao nos fornece informacao global sobre o campo
gravitacional de interesse. Estes objetos estao associados ao transporte paralelo vetorial, em torno de
caminhos fechados ou entre dois pontos distintos via diferentes caminhos em uma determinada variedade.
48
abertas no espaco-tempo[6]. Pela equacao (66) temos que ∆V µ = Rµβνγδx
γdxν = 0, logo
o tensor de curvatura e nulo Rµβνγ = 0, uma vez que δxγ e dxν sao arbitrarios. Daı
podemos concluir que para uma dada hipersuperfıcie com tempo constante, temos uma
geometria plana, ja que nao ha mudanca nas componentes do vetor, quando transportado
paralelamente, justificando assim o porque de ser chamado de Universo plano.
Para o Universo fechado, onde k = +1, as equacoes que nos fornecem a diferenca
entre as componentes do vetor transportado paralelamente depois de n voltas inteiras, em
acordo com as equacoes (100) e (101), sao dadas por:
∆V φ(2πn) = αsen(2πncos(χ)) + βcos(2πncos(χ))− β, (107a)
∆V t(2πn) = 0, (107b)
∆V r(2πn) = cos(χ)sen(χ) [βsen(2πncos(χ))− αcos(2πncos(χ)) + α] , (107c)
∆V θ(2πn) = 0. (107d)
As equacoes (107a-d) nos mostram claramente que na geometria FRW, com k = +1,
teremos mudanca na orientacao do vetor depois de n voltas sob transporte paralelo, com
θ = π2, exceto para os casos em que ncos(χ) e um inteiro. Daı, para que o transporte
paralelo nao mude a direcao do vetor, e necessario que exista invariancia, ou seja:
2πncos(χ) = 2πm, (108)
onde n e o numero de voltas e m um inteiro diferente de zero. Atraves da equacao (108),
podemos chegar a:
cos(χ) =m
n, (109)
ou,
r =
√1− m2
n2. (110)
Observe que, para k = +1, foi definido: r = sen(χ). Isto sugere que, depois de n voltas,
so existe invariancia na direcao do vetor para determinadas orbitas de raio r para as quais
temos 0 < m2
n2 < 1. Assim fixado m teremos um n mınimo.
Agora considerando o Universo aberto, onde k = −1 e R = 0, as equacoes que nos
fornecem a diferenca entre as componentes do vetor transportado paralelamente depois
49
de n voltas inteiras, considerando a equacoes (93) e a Tabela 1, sao:
∆V φ(2πn) = αsen(2πncosh(χ)) + βcos(2πncosh(χ))− β, (111a)
∆V t(2πn) = 0, (111b)
∆V r(2πn) =cosh2(χ)senh(χ)sen2(θ)
cosh(χ)[βsen(2πncosh(χ))−
− αcos(2πncosh(χ)) + α], (111c)
∆V θ(2πn) = 0. (111d)
Notamos tambem, que para o Universo de FRW o transporte paralelo vetorial, depois de
n voltas no plano equatorial (θ = π/2), modifica as componentes do vetor, com excecao
para orbitas de raio r determinado por:
r =
√m2
n2− 1, (112)
onde mn
> 1, pois o raio e uma quantidade positiva nao-nula. Observe que, para k = −1,
usamos: cosh(χ) = m/n, sendo r = senh(χ). Assim a invariancia da direcao do vetor sob
transporte paralelo depende do raio da orbita. As equacoes (110) e (112) nos fornece o
raio crıtico para as situacoes k = +1 e k = −1, respectivamente.
5.4 Orbitas circulares
Consideremos agora um Universo nao-estatico, caracterizado pelo fator de escala R(t)
variando com o tempo, ou seja, R(t) 6= 0. Isto implica que devemos considerar a con-
tribuicao de R na quantidade ω quando fizermos o transporte paralelo do vetor. Nova-
mente, fazemos o transporte paralelo vetorial em caminhos fechados no plano equatorial
(θ = π2) e os valores encontrados para ω atraves das equacoes (90), (97) e (101) para esta
situacao estar na Tabela 2:
k = −1 k = 0 k = +1
ω [cosh2(χ)− R2senh2(χ)]12 [1− R2r2]
12 [cos2(χ)− R2sen2(χ)]
12
Tabela 2: Valores de ω quando feito o transporte paralelo do vetor em orbitas equatoriais para
os devidos valores de k, considerando o Universo nao-estatico.
50
Assim, nestas condicoes temos que para o Universo de FRW com k = 0, as equacoes
que nos da a diferenca entre as componentes do vetor depois de n voltas, sao dadas pela
equacao (97) e a Tabela 2, onde obtivemos:
∆V φ(2πn) = αsen(2πnω) + βcos(2πnω)− β, (113a)
∆V t(2πn) =RRr2
√1− R2r2
[αcos(2πnω)− βsen(2πnω)− α], (113b)
∆V r(2πn) =r√
1− R2r2[βsen(2πnω)− αcos(2πnω) + α], (113c)
∆V θ(2πn) = 0. (113d)
Note que a diferenca entre as componentes depois de n voltas sob transporte paralelo,
na direcao de θ, nao varia. No entanto, as demais componentes do vetor variam sob
transporte paralelo, exceto para orbitas em que o raio obedeca a condicao que ja foi
discutida anteriormente, ou seja, nω deve ser um inteiro para que tenhamos invariancia
na orientacao do vetor depois de n voltas sob transporte paralelo. Assim o raio que
obedece a essa condicao de “quantizacao” e encontrado atraves da Tabela 2, onde:
r =
√1− m2
n2
R, (114)
sendo que devemos ter 0 < mn
< 1. Se fixado um valor de m, teremos um mınimo para n.
Para m = 2, por exemplo, depois de 3 voltas o raio da orbita para o qual as componentes
do vetor nao variem sera r =√
5/R√
9.
No Universo fechado, ou seja, constante de curvatura k = +1, as diferencas das com-
ponentes do vetor depois de n voltas sob transporte paralelo (se considerarmos partindo
de φ = 0) sao facilmente encontradas por meio das equacoes (100) e a Tabela 2, onde:
∆V φ(2πn) = αsen(2πnω) + βcos(2πnω)− β, (115a)
∆V t(2πn) =RRsen2(χ)√
cos2(χ)− R2sen2(χ)[αcos(2πnω)− βsen(2πnω)− α], (115b)
∆V r(2πn) =cos2(χ)sen(χ)√
cos2(χ)− R2sen2(χ)[βsen(2πnω)− αcos(2πnω) + α], (115c)
∆V θ(2πn) = 0, (115d)
e o raio das orbitas, para as quais o vetor nao sofre efeito sob transporte paralelo, usando
51
as equacoes (115) e considerando o fato de que usamos r = sinh(χ), e:
r =
√1− m2
n2
1 + R2(116)
Para o Universo aberto, onde a constante de curvatura e k = −1, podemos usar a equacao
(93) e a tabela 2 para encontrar as seguintes equacoes que determinam as componentes
do vetor depois de n voltas sob transporte paralelo, onde temos:
∆V φ(2πn) = αsen(2πnω) + βcos(2πnω)− β, (117a)
∆V t(2πn) =RRsenh2(χ)√
cosh2(χ)− R2senh2(χ)[αcos(2πnω)− βsen(2πnω)− α], (117b)
∆V r(2πn) =cosh2(χ)senh(χ)√
cosh2(χ)− R2senh2(χ)[βsen(2πnω)− αcos(2πnω) + α], (117c)
∆V θ(2πn) = 0. (117d)
semelhantemente aos casos anteriores, temos que o raio das orbitas nas quais o vetor nao
varia sua orientacao sob transporte paralelo e, pela Tabela 2 e as equacoes (117):
r =
√m2
n2 − 1
(1− R2), (118)
onde que m2
n2 > 1 ⇒ m > n. Usamos o fato de que r = sinh(χ). O transporte paralelo de
vetores, para o Universo aberto e fechado, nos fornece a informacao de que o Universo de
FRW tem curvatura nao-nula para as duas situacoes, exceto para os raios crıticos [6].
52
6 Conclusoes
Neste trabalho, analisamos as propriedades geometricas de alguns modelos cosmologicos
simples, todos pautados na hipotese da isotropia e homogeneidade do Universo (em larga
escala), onde a massa do Universo e distribuıda uniformemente[8]. Foi possıvel observar
que a Teoria Padrao, agora sob a otica do modelo de Friedmann-Lemaıtre, com constante
cosmologica positiva e geometria espacial euclidiana, acomoda muito bem suas antigas
previsoes, como a possibilidade de expansao acelerada do Universo, por exemplo. Mas a
teoria tambem manifesta um sinal de fragilidade, onde esta precisa recorrer a misteriosa
constante cosmologica Λ. Tambem existe uma dificuldade em conciliar a cosmologia com
outras areas da Fısica, como a teoria quantica de campos, por exemplo [1].
Nas ultimas secoes do nosso trabalho, apresentamos todo o formalismo matematico
(referente ao transporte paralelo de vetores) necessario para investigarmos as propriedades
geometricas do Universo de FRW. Os resultados obtidos nos mostraram claramente que
o Universo de FRW apresenta curvatura no espaco-tempo considerado, tanto para um
Universo em expansao quanto para um Universo estatico, exceto para orbitas em que o
raio e igual ao raio crıtico. Com restricao ao caso em que adotamos orbitas circulares com
tempo constante (R = 0) para o Universo com k = 0, onde constatamos que a invariancia
na orientacao do vetor transportado paralelamente, independe de θ e do raio r da orbita.
Nessas condicoes a metrica de FRW independe do tempo e assim sendo, a seccao espacial
desse espaco-tempo e euclidiano. Porem, para um Universo em expansao (R 6= 0) isto
nao acontece. Neste caso, mesmo sendo k = 0, o vetor tem sua orientacao afetada depois
de n voltas inteiras.
Como ja foi explicado, para orbitas com raio igual ao raio crıtico, o vetor transportado
paralelamente ao longo das curvas circulares consideradas, tem sua orientacao identica ao
vetor original apos varios ciclos completos. Mas um resultado interessante e que esses raios
crıticos estao condicionados a uma especie de “quantizacao”. Esta propriedade, tambem
obtida por Rothman et al, quando investigava holonomias na geometria de Schwarzschild-
Droste, foi denominada de banda de invariancia de holonomia. Em outras palavras, isto
pode ser entendido da seguinte maneira: suponhamos uma orbita fechada de raio r1 para o
qual o vetor nao sofre efeito do transporte paralelo. No entanto, para uma outra orbita de
raio r2, ligeiramente afastada de r1, espera-se que o vetor deva ter sua orientacao afetada
53
depois de transportado paralelamente, uma vez que o espaco entre as duas orbitas e
curvo[6]. Assim, o transporte paralelo de vetores pode ser uma otima ferramenta para se
estudar curvaturas em um determinado espaco-tempo.
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54
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