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Universidad Nacional Autónoma de MéxicoUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de IngenieríaFacultad de Ingeniería
Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM
Universidad Nacional Autónoma de MéxicoUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de IngenieríaFacultad de Ingeniería
Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM
• Tema Tema 1.4 Obtención de campos eléctricos 1.4 Obtención de campos eléctricos originados por distribuciones discretas y continuas originados por distribuciones discretas y continuas de carga (Carga puntual, segmento de línea, de carga (Carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, línea infinita).superficie infinita, línea infinita).
• Objetivo: Determinar la expresión matemática del campo eléctrico en distribuciones discretas y continuas de carga (Carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, línea infinita).
• Calcular el campo eléctrico resultante por efecto de las distribuciones discretas y continuas de carga..
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• Campo producido por un segmento de línea.Campo producido por un segmento de línea.• Distribución lineal de carga Distribución lineal de carga λλ y el campo eléctrico. y el campo eléctrico.
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Universidad Nacional Autónoma de MéxicoUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de IngenieríaFacultad de Ingeniería
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• Línea con carga negativa distribuida uniformemente
• Diferencial de carga dq
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• Campo producido por Campo producido por un segmento de línea.un segmento de línea.
Eje
Y
Eje X
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Componentes Componentes del vector del vector unitario unitario
Integrando el Integrando el campo campo
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Integrando el Integrando el componente componente en en x x
Integrando el Integrando el campo en Acampo en Ax x y y
dividir 2/2dividir 2/2
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Sustituyendo Sustituyendo en integrando en integrando en los límites.en los límites. 2
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Sustituyendo Sustituyendo límites y límites y considerando el considerando el signo (-)signo (-)
Expresado por Expresado por componentes de componentes de los ángulos los ángulos y y multiplicando multiplicando por por a/aa/a
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Recordando la Recordando la
expresión expresión trigonométrica.trigonométrica.
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Definir la sustitución trigonométrica en la expresión de la Definir la sustitución trigonométrica en la expresión de la componente en componente en yy
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Integrando la componente en Integrando la componente en y, y, por sustitución trigonométricapor sustitución trigonométrica
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Expresando por Expresando por componentes componentes de los ángulosde los ángulos
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• casos particularescasos particulares
• A) Si el punto A se encuentra en la mediatriz, entonces la componente en x es cero
• B) si a es mucho menor que l, (10 veces menor) y el punto esta en la región media, entonces:
AyAx EE a
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• Campo producido por una línea cargada muy larga a Campo producido por una línea cargada muy larga a una distancia una distancia aa [m] [m] y con una densidad lineal de y con una densidad lineal de carga carga λλ (C/m)(C/m)
aEA
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0
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• Campo eléctrico producido por anillo circular cargadoCampo eléctrico producido por anillo circular cargado
Eje X
Eje
Z
Eje Y
ds
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El campo en el punto El campo en el punto AA del anillo de acuerdo a del anillo de acuerdo a diferencial de carga diferencial de carga eléctrica eléctrica dq, dq, donde donde QQ es la carga total del es la carga total del anilloanilloLos componentes en Los componentes en xx y y zz se cancelan y solo se cancelan y solo existe componente en existe componente en yy
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Los componentes en Los componentes en xx y y zz se cancelan y solo existe componente se cancelan y solo existe componente en en yy
y
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Expresando el coseno Expresando el coseno en función de las en función de las componentes de componentes de aa y y bb, ,
Finalmente el campo en función del radio Finalmente el campo en función del radio aa y la y la distancia distancia bb
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• Casos particulares del campo por un anillo.Casos particulares del campo por un anillo.
• A) En el centro el campo E=0
• B) para un punto lejano del anillo.
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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada
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+
+
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Eje X
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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada
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br
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Se considera que se Se considera que se tienen anillos de tienen anillos de grosor grosor drdr y radio y radio r r y y su contribución son su contribución son diferenciales diferenciales
rdrdAdqA
q 2Como el diferencial de Como el diferencial de carga esta en una carga esta en una superficie circular superficie circular entonces: entonces:
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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada
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Sustituyendo Sustituyendo dqdq en la expresión del campo en el punto en la expresión del campo en el punto AA se tiene:se tiene:
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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada
Sustituyendo Sustituyendo los límites los límites en la expresión del campo en el en la expresión del campo en el punto punto AA se tiene: se tiene:
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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada
El campo en el El campo en el punto punto AA es: es:
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• Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie.
• A) la distancia b << r0 en el punto A , 1/ r0 tiende a cero Por lo que se obtiene el campo cuando esta cerca del centro de la superficie.
•
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• Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie.
• B) la distancia b >> r0 , la expresión se puede considerar como una carga puntual.
•
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• Desarrollando el binomio.Desarrollando el binomio.
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• Recordando el teorema del binomio, con exponentes Recordando el teorema del binomio, con exponentes fraccionarios o negativos: fraccionarios o negativos:
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• Sustituyendo los coeficientes rSustituyendo los coeficientes r00 y b: y b:
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• ComoComo b b mucho mayor que mucho mayor que rr0 , 0 , y el cociente y el cociente rr00/b /b tiende tiende
a cero. De acuerdo al desarrollo del binomioa cero. De acuerdo al desarrollo del binomio
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• El campo de una superficie esEl campo de una superficie es: :
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• ComoComo b b mucho mayor que mucho mayor que rr0 , 0 , y el cociente y el cociente rr00/b /b tiende tiende
a cero, entonces la unidad es mucho mayor que:a cero, entonces la unidad es mucho mayor que:
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0
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• El denominador tiende a cero y el campo de una El denominador tiende a cero y el campo de una superficie essuperficie es: :
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• Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie.
• La densidad La densidad
superficial de superficial de carga es:carga es:
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Sustituyendo en Sustituyendo en la ecuación de la ecuación de campo, para el campo, para el caso B caso B
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En la figura se muestra una superficie muy grande coincidente con el plano “XZ”, una línea muy larga que pasa por el punto C(0,2,0) [m] paralela al eje “X” y una carga puntual Q=30[μC] ubicada en el punto (0,2,3) [m]. Si Q experimenta la fuerza F=(300 j +500 k )[N]. Determine:
a) El valor y signo de la densidad lineal de carga λ .
b) El valor y signo de la densidad superficial de carga σ.
c) El vector campo eléctrico total en el punto D (0,2,-1) [m] si λ=8.31x10-4[C/m] y σ =177[mC/m2 ].
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• Resolviendo para calcular Resolviendo para calcular λλ..
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• La figura muestra dos alambres muy largos con carga, coplanares y paralelos al aje “X”. El alambre 1 posee una distribución lineal λ1 =- 0.5[ C/m] y cruza el eje “Z” en el punto M (0,0,3) [cm]; el alambre 2 con λ2 = 0.5 [ C/m] cruza el eje “Z” en el punto N(0,0,-3) [cm]. Calcule:
• a) El vector campo eléctrico en el punto O (0,0,0) [cm].• b) El vector campo eléctrico en el punto A (0, 1.5, 0)
[cm].
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La figura muestra una carga puntual q=-2 [nC] situada en el punto (0,-3,3) [cm], una línea cargada de longitud infinita paralela al eje “z” y que pasa por el punto (0,5,0) [cm].•Determine:•a) Si el campo eléctrico total en el punto B(0,0,3) [cm] es: E = -18.2×10ˆ3 j [N/C] obtener la densidad de carga λ en la línea.b) Si λ=4 [nC/m) obtener el vector de campo eléctrico total en el origen O (0,0,0).c) El vector fuerza que actúa sobre la carga q debido a la línea
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• Próxima clase: Tema 1.5 concepto y Próxima clase: Tema 1.5 concepto y definición de definición de Flujo eléctrico.
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