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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO – UNIBAN
Programa de Pós-graduação em Educação Matemática
Mestrado Acadêmico
Marco Antonio dos Santos
EXPLORANDO O USO DA CALCULADORA NAS SÉRIES
INICIAIS: UMA EXPERIÊNCIA NA FORMAÇÃO INICIAL
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante UNIBAN-Brasil como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob orientação da Profa. Dra. Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy).
2010
1
Banca examinadora
Presidente e Orientadora: Dra. Siobhan Victoria Healy (UNIBAN, presidente)
Assinatura:________________________________________________
2o Examinador: Ana Paula Jahn (UNIFESP)
Assinatura:________________________________________________
3o Examinador: Martha Salerno Monteiro (IME-USP)
Assinatura:_________________________________________________
2
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução parcial ou total desta dissertação por processos de
fotocopiadora ou eletrônico.
Assinatura ____________________ Data e local _______________
3
“Não consigo entender porque razão a calculadora ainda
não se incorporou integralmente à matemática escolar.
Alguns admitem o uso das calculadoras, mas... E por conta
desse “mas” vem as restrições, todas baseadas em ideias
falsas, verdadeiros mitos na Educação Matemática.
A
incorporação de toda a tecnologia disponível no mundo de
hoje é essencial para tornar a Matemática uma ciência de
hoje.”
Ubiratan D’Ambrósio
4
Dedicatória
À minha orientadora, Profa. Dra. Ana Paula Jahn, por conhecer plenamente a
concepção da palavra orientação...
5
Agradecimentos
« Quando você começar seu caminho, vai encontrar uma porta
com uma frase escrita- diz o mestre. Volte e me conte qual é
esta frase. O discípulo se entrega de corpo e alma à sua busca.
Chega um dia em que vê a porta, e volta até o mestre. – Estava
escrito no começo do caminho: isto não é possível – diz. – Onde
estava escrito isto, num muro ou numa porta? Pergunta o
mestre. – Numa porta – responde o discípulo. – Pois coloque a
mão na maçaneta e abra. O discípulo obedece. Como a frase
está pintada na porta, também vai se movendo com ela. Com a
porta totalmente aberta, ele já não consegue mais enxergar a
frase – e segue adiante. »
(Paulo Coelho, 1994)
À Uniban, por ter me dado a oportunidade de percorrer o caminho,
À Roseana Ialongo, por ter me inserido no caminho,
Às alunas do curso de Pedagogia que participaram da oficina, por me ensinarem a
olhar a porta,
À Lulu Healy e Rute Borba pelas importantes contribuições durante a qualificação,
que em muito facilitaram o caminho rumo à porta,
À todos os professores do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática
da UNIBAN-Brasil por me auxiliarem a abrir a porta.
À todos os amigos pós-graduandos do programa por tornarem o caminho mais
divertido.
Às professoras Ana Paula Jahn e Lulu Healy, as grandes mestres, por me
indicarem a maçaneta e me ensinarem a seguir adiante.
6
Resumo
A questão da integração de recursos tecnológicos no contexto escolar ocupa
um lugar importante na pesquisa em Educação Matemática, em nível nacional
e internacional. Contudo, a inserção da tecnologia, especificamente da
calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental, ainda causa
controvérsia e precisa ser estudada. A introdução de um instrumento
tecnológico na dinâmica de sala de aula implica em mudanças pedagógicas
que devem ser consideradas tanto no que se refere aos alunos quanto aos
professores. De fato, além de alterar o curso da própria atividade, modificando
processos mentais que constituem uma ação instrumentada, implica também
em importantes mudanças no papel do professor. Adotando-se uma
abordagem instrumental, considera-se que para integrar a calculadora na sala
de aula, o professor deve passar por um processo de apropriação no qual
transforma este artefato em um instrumento, tanto para suas práticas
matemáticas quanto para suas práticas didáticas. Nessa perspectiva, essa
pesquisa teve por objetivo investigar quais aspectos estão envolvidos nessa
apropriação por professores em formação inicial, e quais conhecimentos
entram em jogo nesse complexo processo. Mais precisamente, buscou-se
identificar elementos presentes nos processos de gênese instrumental e em
que medida as atividades propostas suscitaram e/ou facilitaram tais processos.
Para tanto, elaborou-se um conjunto de situações de tal forma que os sujeitos
envolvidos – um grupo de estudantes de Licenciatura em Pedagogia – fossem
confrontados a atividades com uso de calculadoras para fins didáticos. A
metodologia inspirou-se nos pressupostos da engenharia didática e o
referencial teórico baseou-se na abordagem instrumental e nas diferentes
dimensões do saber em jogo em uma situação instrumentada. Do confronto
entre a análise a priori e a análise a posteriori, constatou-se que os sujeitos
desenvolveram esquemas de utilização da calculadora, reconhecendo o papel
desta em cada atividade. Esse reconhecimento deu-se tanto no processo de
instrumentação no qual esquemas de uso foram elaborados, quanto no
processo de instrumentalização, à medida que a calculadora era pensada
como elemento pedagógico. A instrumentalização ocorreu em nível superficial
devido à falta de familiaridade dos sujeitos com determinados conceitos
matemáticos, bem como à ausência de práticas pedagógicas associadas.
Palavras-Chave: Educação Matemática. Tecnologia. Calculadora. Gênese
Instrumental. Formação de professores.
7
Abstract
The issue of integrating technological resources into the school context plays an
important role concerning the research in Mathematics Education, both at national and
international levels. Nevertheless, the insertion of technology, mainly when it refers to
the use of the calculator, in the introductory years of Elementary and Middle School
(from the first to the ninth grade) still presents incipient studies, besides causing a lot of
controversy. The insertion of a technological instrument into the classroom dynamics
implies pedagogical changes that must be considered concerning both students and
teachers. As a matter of fact, as well as altering the progress of the activity itself,
modifying mental processes that constitute an instrumented action, such a practice will
imply important changes in the teacher‟s role. It is believed that by adopting an
instrumental approach so as to integrate the calculator into the classroom, the teacher
must take a process of ownership in which he changes this artifact in an instrument for
both mathematics and didactic purposes. Therein, this research aimed at investigating
what kind of knowledge as well as which aspects, on the teachers‟ part, are involved in
this process of ownership concerning those professionals who work at the initial years
of formation. In fact, not only did this study try to identify elements present in the
processes of instrumental genesis but it also tried to outline to what extent the activities
proposed generated and/or facilitated such processes. In order to do so, a set of
situations was elaborated so that the subjects involved – a group of undergraduate
students who are taking a major in Pedagogy – were confronted with activities in which
they had to use calculators aiming at didactic purposes. Such methodology was
inspired in the assumptions underlying didactic engineering and the theoretical
referential was based on the instrumental approach as well as in the different
dimensions of knowledge at stake in an instrumented situation. The confrontation
between the analysis a priori and a posteriori demonstrated that the subjects
developed schemes to use the calculator, recognizing its role in each activity. Such
recognition took place both in the process of implementation in which schemes of usage
were elaborated, as well as in the process of instrumentalisation to the extent that the
calculator was thought as a pedagogical tool. The process of instrumentalisation occurred at a
superficial level due to the subjects‟ lack of familiarity with specific mathematics concepts, as
well as to the lack of associated pedagogical practices.
Keywords: Mathematics education. Technology. Calculator. Instrumental Genesis. Teacher in pre-service.
8
Lista de figuras
Figura 1 – Representação esquemática do modelo SAI .................................30
Figura 2 – Triângulo didático stricto sensu.......................................................33
Figura 3 – Os diferentes saberes na ação instrumentada ..............................36
Figura 4 – atividade com jogo “caça ao tesouro”..............................................85
Lista de quadros
Quadro 1 – Fases de uma Engenharia Didática ..............................................41
Quadro 2 – Quadro sinóptico do dispositivo experimental..........................48
Quadro 3 – Visão sinóptica dos encontros ocorridos.................................49
Quadro 4 – Divisão em grupos das licenciandas..............................................50
Quadro 5– Designação das licenciandas participantes da pesquisa............50
9
Sumário
CAPÍTULO I – APRESENTAÇÃO DO ESTUDO.............................................09
1.1 – INTRODUÇÃO.........................................................................................10
1.2 – CONCEPÇÕES SOBRE O USO DA CLACULADORA EM SALA DE
AULA........ ........................................................................................................17
1.3 – OBJETIVOS DA PESQUISA....................................................................24
CAPÍTULO II – QUADRO TEÓRICO...............................................................25
2.1 – ABORDAGEM INSTRUMENTAL............................................................26
2.2 – DIFERENTES SABERES ENVOLVIDOS NA FORMAÇÃO DE
PROFESSORES..............................................................................................30
CAPÍTULO III – PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...............................36
3.1 – METODOLOGIA DA PESQUISA.............................................................37
3.2 – PERCURSO METODOLÓGICO .............................................................40
3.3 – SUJEITOS PARTICIPANTES DA PESQUISA ........................................47
CAPÍTULO IV – ANÁLISES..............................................................................48
4.1 – ANÁLISE DAS ATIVIDADES....................................................................49
4.2 – DADOS E ANÁLISE DO 1º ENCONTRO.................................................49
4.3 – DADOS E ANÁLISE DO 2º ENCONTRO.................................................61
4.4 – DADOS E ANÁLISE DO 3º ENCONTRO.................................................66
4.5 – DADOS E ANÁLISE DO 4º ENCONTRO.................................................71
4.6 – DADOS E ANÁLISE DO 5º ENCONTRO.................................................75
4.7 – DADOS E ANÁLISE DO 6º ENCONTRO.................................................79
4.8 – DADOS E ANÁLISE DO 7º ENCONTRO.................................................85
4.9 – DADOS E ANÁLISE DO 8º ENCONTRO.................................................90
CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................................94
REFRÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................100
ANEXOS/ADENDOS/APÊNDICES.................................................................104
10
Capítulo I
APRESENTAÇÃO DO ESTUDO
“se ele aceita que [...] o mestre lhe ensine os resultados, ele
não os estabelece por si mesmo, e então não aprende. [...] Se,
pelo contrário, ele rejeita toda informação por parte do mestre,
então a relação didática é rompida. Aprender implica, para
ele, que aceite a relação didática mas que a considere
provisória e se esforce para rejeitá-la.”
G. Brousseau
11
1.1 Introdução
Em inúmeras práticas cotidianas da sociedade atual é comum o uso de
calculadoras. Por exemplo, calcular as despesas do mês de uma família, a
multa para pagamento de uma conta em atraso ou ainda obter uma melhor
aproximação do resultado de uma operação que apresente muitas casas
decimais são situações que, normalmente, podem ser resolvidas com maior
facilidade utilizando-se uma calculadora (FANIZZI, 2008). Na maioria dos casos
o uso cotidiano da calculadora tem um papel fundamental na agilização de
cálculos. Por outro lado, a maioria das pessoas não tem conhecimento da
serventia das funções de todas as teclas existentes em uma calculadora
simples. A escola, em particular no ensino da Matemática, poderia contribuir
nesse sentido, possibilitando um aprendizado efetivo que capacitasse as
pessoas a utilizar a calculadora em toda sua potencialidade.
Atualmente, esse recurso tecnológico pode ser considerado de fácil
acesso para a maioria da população nas diferentes classes sociais, sendo
encontrada, ainda, junto a objetos de fácil circulação como celulares, relógios
de pulso ou agendas. Com o desenvolvimento dessa tecnologia, e por
conseqüência, da redução dos custos de sua produção, é possível encontrar
uma calculadora „básica‟ com as quatro operações por menos de R$ 5,00.
O Ensino de Matemática pode ainda contribuir em outra dimensão:
repensar a potencialidade dessa tecnologia como recurso didático, ou seja,
focando sua utilização para o ensino e aprendizagem de conceitos e operações
matemáticas. A indicação do uso de recursos tecnológicos, por exemplo, a
calculadora, como ferramenta no processo de ensino aprendizagem de alunos
12
das séries iniciais não é algo novo. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática (PCN) de 1ª a 4ª séries, de 1997, já incentivava seu uso em
diferentes situações de aprendizagem, contanto que apresentasse desafios aos
alunos e que estes verbalizassem ou escrevessem todo o procedimento de que
fizeram uso. Em vários momentos do documento há citações sobre a utilização
da calculadora como ferramenta de verificação, controle de cálculos, geradora
de dados e na compreensão de procedimentos de cálculo.
Segundo os PCN (1997, p. 45), a calculadora é:
“um instrumento que pode, de imediato, contribuir para a
melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para
essa visão é o fato de que ela pode ser usada como
instrumento motivador na realização de tarefas
exploratórias e de investigação, além de levar o aluno a
perceber a importância do uso dos meios tecnológicos
disponíveis na sociedade contemporânea.”
Indicam ainda, como objetivo, desde o primeiro ciclo, a reflexão da
grandeza numérica utilizando a calculadora como instrumento para produzir e
analisar escritas no sistema de numeração decimal.
Na área da Educação Matemática, a utilização da calculadora na
aprendizagem dos alunos vem sendo pesquisada há algum tempo. Segundo
Fey (1991, p. 12), estudos que discutem o uso da calculadora no ensino da
Matemática aparecem a partir da segunda metade da década de 70. Eles
concentram-se no período de 1975 a 1980 e referem-se fundamentalmente às
implicações de sua utilização na aprendizagem dos alunos. No Brasil, a
13
utilização de calculadoras com as quatro operações já era discutida em 1977
por D‟Ambrósio. Logo, a influência das calculadoras nos objetivos e no ensino
da Aritmética vem sendo debatida há cerca de três décadas. No entanto,
pesquisas sobre a utilização da calculadora no ensino ainda não asseguraram
sua inserção nos currículos e nas práticas de formação. Tais discussões estão
ainda pouco presentes em disciplinas e atividades de cursos de formação de
professores tanto inicial quanto continuada.
Silva et al. (1989, p. 7), destacam que a aprendizagem dos alunos é
facilitada quando o professor utiliza a calculadora em suas aulas, afirmando
que “(...) Quanto à construção de conceitos, é afirmado que esta pode
enriquecer o processo, quer pelo tratamento numérico que é facilitado, quer
pelas diversas formas de raciocínio que podem ser estimuladas”.
Nessa mesma direção, Kindel (2006) e Assude (2006) discutem em seus
trabalhos o uso desse recurso tecnológico. Tais pesquisas revelam que esta
tecnologia permite, além de agilizar cálculos, uma maior concentração no
processo de resolução de problemas, servindo como instrumento de validação
de conjecturas.
Groves (1994), por comparação entre um grupo experimental de
crianças que utilizaram a calculadora na resolução de problemas, e um grupo
de controle que não utilizou a referida ferramenta, concluiu que o uso da
calculadora, a longo prazo, favorece significativamente o desempenho global
das crianças quanto a escolha de artifícios de cálculo para a resolução de
problemas e na computação de questões que envolvem o conhecimento de
valor de lugar dos números, subtração com resposta negativa, divisão com
resto, multiplicação e divisão envolvendo o sistema monetário. Esse autor
14
ressalta, ainda, a oportunidade dada aos alunos que utilizaram calculadora
para realizarem cálculos e se engajaram em investigações matemáticas,
compartilhando as descobertas com os colegas e com o professor, contribuindo
assim, para a discussão matemática em sala de aula.
Embora os PCN (1998) incentivem o seu uso e pesquisas indiquem uma
melhora qualitativa no processo de ensino e aprendizagem, além do seu baixo
custo, a presença da calculadora no ambiente escolar mostra-se ainda
bastante tímida. É o que ratifica a citação abaixo:
“Apesar deste artefato estar presente na vida da maioria
dos nossos alunos, muitas vezes ignoramos esse fato e
inventamos uma nova realidade, da qual a calculadora
não faz parte, o que nos parece muito cômodo, mas, na
verdade, causa uma inconformidade na nossa vida
escolar.” (PINHEIRO & CAMPIOL, 2005, p. 132)
De fato, essa ferramenta já está legitimada no meio social e, como
vimos, pelos menos em termos de indicação, em documentos oficiais como os
PCN e pesquisas no campo da Educação Matemática, ela também adquire
legitimidade em algumas instâncias do meio pedagógico. A título de
informação, nas escolas da rede municipal de ensino de São Paulo, uma
calculadora simples é incluída no material escolar distribuído aos alunos das
séries iniciais do Ensino Fundamental. Podemos novamente citar a importante
difusão de celulares entre os alunos dos diferentes níveis, o que faz da
calculadora um recurso presente na escola. Assim, a questão que discutiremos
não é se esse recurso deve ou não ser utilizado na escola, mas sim como esta
15
ferramenta pode ser inserida nas atividades pedagógicas e participar dos
processos de aprendizagem dos alunos.
Com isso, a questão evolui para outra dimensão: a forma pela qual essa
ferramenta vem sendo ou pode ser utilizada para organizar situações de
aprendizagem nas quais o aluno possa apropriar-se dela como instrumento
potencialmente útil para a compreensão e construção de conceitos e para o
desenvolvimento do raciocínio na resolução de problemas. Sabe-se de
antemão que para discutir essa questão, deve haver uma adequação na
atividade pedagógica, pois não se introduz simplesmente uma tecnologia. De
fato, a utilização da calculadora requer mudanças na postura do professor, nas
tarefas que propõe, na metodologia que usa e nas avaliações que faz. Nesse
sentido, Silva (1989, p. 30-31) esclarece que:
“A calculadora se introduzida na aula de Matemática sem
qualquer projecto educativo que a sustente será mais um
„modernismo‟ que nada mudará para além de poder criar
grande insegurança em professores e alunos.”
“(...) Para grande parte dos professores a calculadora não
servirá senão para fazer contas. Sendo assim, pensamos
que a calculadora deve fazer parte dos recursos a utilizar
pelos professores de Matemática, da sua “maleta
pedagógica”, mas a opção do sim à calculadora deve
também acompanhar e intersectar um outro desafio –
uma reflexão das suas potencialidades e um profundo
exame da Matemática que se ensina, por que se ensina e
a forma como se ensina.”
16
Ponte (2003, p. 4) vai além e afirma que “o uso das calculadoras não
anuncia o fim do cálculo, mas implica que o cálculo seja encarado de uma
outra maneira.” O professor tem que ser o primeiro a se conscientizar de que
se utiliza de um recurso tecnológico diferente do ambiente papel & lápis.
Acreditamos que um dos aspectos centrais de integração passa pela
consideração dessa não transparência das ferramentas. Se um professor utiliza
a calculadora como se estivesse usando a ferramenta papel & lápis, não está
consciente de que o fato de usar uma ferramenta no lugar da outra muda a
forma de fazer matemática, de relacionar-se com os objetos matemáticos.
Trouche (2003) insiste que as ferramentas com as quais um indivíduo
faz Matemática condicionam fortemente sua atividade - uma ferramenta não é
transparente. De fato, utilizar uma determinada ferramenta muda não somente
a forma de fazer Matemática, mas também a forma de ensinar a Matemática.
Assim, é preciso analisar essa “não transparência” das ferramentas, para um
professor diante da tecnologia, em duas instâncias:
Na componente matemática – o professor que faz Matemática utilizando
uma ferramenta, no caso a calculadora;
Na componente didática – o professor que ensina Matemática usando
essa ferramenta.
Como descreveremos mais adiante, na abordagem instrumental
(Rabardel, 1995), a integração da calculadora pelo professor pode ser vista
17
como um processo de apropriação no qual o professor transforma um artefato
em instrumento tanto para fazer matemática quanto para ensinar matemática.
A entidade “instrumento” é uma construção do indivíduo, produto de sua
atividade em uma dada situação, e não algo disponível que basta fornecer para
que o indivíduo o associe a sua ação.
Essa é a problemática que esse estudo visa investigar. Para tanto,
pretendemos analisar como uma engenharia curta de formação que propõe
situações de análise e elaboração de atividades integrando calculadora, pode
auxiliar na construção desse instrumento para estudantes em formação inicial.
Estamos interessados em estudar as possibilidades de um tipo de intervenção
em termos da apropriação e construção de conhecimentos por parte de
estudantes universitários, mais precisamente, de licenciandos em Pedagogia,
quanto à utilização da calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental.
Assim, o foco dessa pesquisa está centrado no contexto da formação do futuro
professor das séries iniciais, especificamente no que se refere à utilização de
uma engenharia didática (ARTIGUE, 2002) envolvendo situações para uso de
calculadora.
Na sequência, antes de apresentarmos os fundamentos teóricos que
embasam nosso estudo, faremos algumas considerações sobre mitos e
concepções existentes na comunidade escolar acerca do uso de calculadoras
no ensino. Para tanto, nos apoiaremos em resultados de algumas pesquisas no
campo da Educação Matemática, que tratam de questões sobre tecnologia no
ensino.
18
1.2 Concepções sobre o uso da calculadora em sala de aula
A sociedade contemporânea encontra-se fortemente influenciada pela
presença da tecnologia a qual modificou e continua modificando as relações
humanas, bem como a visão de homem e de mundo.
A escola, estando inserida no contexto social, econômico, cultural e
político da sociedade, não pode estar alheia ao desenvolvimento tecnológico.
Mas, a tecnologia não pode apenas ser vista como mais um recurso didático
para a transmissão do saber instituído, nem simplesmente como uma nova
prática pedagógica revolucionária. Não é a presença da tecnologia que garante
a aprendizagem, mas a maneira como é utilizada. Moran (2000), ao pensar as
novas tecnologias aplicadas à Educação, em particular as da informação e da
comunicação, considera-as importantes porque permitem a ampliação do
espaço e do tempo em sala de aula, possibilitando a comunicação presencial e
virtual, o estar junto num mesmo espaço ou em espaços diferentes. Já Kenski
(2001) entende a tecnologia como algo a ser utilizado para a transformação do
ambiente tradicional da sala de aula, buscando por meio dela criar um espaço
em que a produção do conhecimento aconteça de forma criativa, interessante e
participativa, de tal forma que educando e educador possam aprender
utilizando-se de imagens, sons, formas textuais e, com isso, adquiram
competências e habilidades exigidas pela sociedade tecnológica.
Essa forma de pensar as Tecnologias da Informação e Comunicação
(TIC) enquanto instrumento formador de sujeitos no espaço escolar não é
construída apenas com a simples presença ou inserção das ferramentas
tecnológicas na escola. Ela depende de outros fatores como a capacitação de
19
professores para mediarem as TIC e os processos de aprendizagem e
informações.
Os avanços na passagem do discurso pedagógico para a prática efetiva
em sala de aula ainda são pequenos e incipientes. Existe ainda na escola a
barreira da própria formação do professor para atuar com a tecnologia, ou seja,
as concepções e o entendimento do professor sobre o uso da tecnologia na
Educação Matemática, de como deve ser sua atitude ao utilizar a tecnologia.
No caso da calculadora, como recurso tecnológico, talvez a concepção
mais comumente encontrada na comunidade de professores de Matemática
seja a de “automatizadora” de tarefas. Como na metáfora de Goos et al. (2003,
p. 78), os professores pensam a calculadora como uma serva para realizar
contas: “...tecnologia é usada como uma substituição rápida e confiável para
cálculos mentais ou no papel e lápis, mas as tarefas de aula permanecem
inalteradas.” Contudo, ainda assim, pode representar um avanço na medida em
que o foco do ensino da Matemática passa de operacional ou procedimental
para conceitual. A utilização da calculadora como ferramenta pode despertar o
aluno para um problema proposto, possibilitando-lhe concentrar-se em analisar
possibilidades de resoluções em detrimento da tensão e da preocupação com o
tempo consumido para realizar os cálculos.
Um outro nível de entendimento indica a tecnologia como parceira
(GOOS et al., 2003). Nessa concepção, a utilização da calculadora pode
modificar a forma de fazer Matemática, o que implica em modificações nas
tarefas e problemas tradicionais, além de desenvolver novas formas de pensar
matematicamente. Neste sentido, a calculadora é utilizada para explorar
diferentes perspectivas, atuando como mediadora de uma discussão
20
matemática em sala de aula e possibilitando a modificação da Matemática
escolar. Assim, a calculadora é particularmente importante no desenvolvimento
do sentido de número, já que este vai além do fazer contas; possibilitando
construir uma rede de ideias, esquemas e operações conceituais de tal forma a
investigar propriedades, verificar possibilidades de manipulação, tomar
decisões em contextos variados, desenvolvendo uma atitude de pesquisa e
investigação nas aulas de Matemática (SMOLE et al., 2008). Para esses
autores, a calculadora auxilia ainda na percepção de regularidades e na
elaboração de conceitos.
"A utilização da calculadora humaniza e atualiza nossas
aulas e permite aos alunos ganharem mais confiança para
trabalhar com problemas e buscar novas experiências de
aprendizagem." (SMOLE, et al, 2008, p.1)
Assim, nossa visão do uso da calculadora em sala de aula não é
simplesmente facilitar as operações, mas exige novas posturas frente ao
cálculo, como a discussão dos resultados e análise das estratégias usadas
pelos alunos. Ela pode ser uma aliada para promover um melhor equilíbrio
entre o desenvolvimento de conhecimentos de natureza procedimental e
conceitual da Matemática realizada na sala de aula.
Segundo Noronha e Sá (2005), em pesquisa com um grupo de
professores de Matemática em exercício, aproximadamente 50% mostram-se
resistentes ao uso dessa ferramenta, principalmente nas séries iniciais. Esses
professores resistentes alegam que os alunos ficam dependentes das
máquinas, ou que elas diminuem o poder de raciocínio dos alunos, ou que não
21
aprenderiam os algoritmos das quatro operações fundamentais. Os professores
favoráveis ao uso, por sua vez, acreditam no aumento da rapidez na resolução
das operações mais complexas e, ainda, afirmam que a calculadora está
presente no dia a dia e que são boas para “fazer contas”, principalmente as
“longas”.
Como já citamos, apesar da calculadora estar presente no contexto
social, seu uso no ambiente escolar é bastante questionado. Os argumentos
apresentados pelos professores na pesquisa acima citada a respeito da
“interferência prejudicial” da calculadora devem ser analisados com maior
profundidade.
Os argumentos da dependência e da inabilidade no uso de algoritmos,
evocado pela maioria dos professores pesquisados, é controverso uma vez que
também somos dependentes do algoritmo e do papel e lápis, pois ninguém faz
0,236 x 2,475 mentalmente, por exemplo. Na verdade, haverá apenas a
substituição de um recurso por outro. Como bem sinaliza D‟Ambrósio (2002, p.
1):
“A história nos ensina que só pode haver progresso
científico, tecnológico e social se a sociedade incorporar,
no seu cotidiano, todos os meios tecnológicos disponíveis.
Assim, depois da invenção da escrita, não pode se
justificar que alguém se recuse a ler e escrever, [...] que,
existindo automóveis, ônibus e caminhões, se utilize o
cavalo como transporte. A sociedade se organiza em
função da tecnologia disponível. E como se justifica
continuar operando com a tecnologia da aritmética de
papel, lápis e tabuada? Há muitas que reagem à adoção
do novo por dúvidas conceituais.”
22
O argumento da atrofia de raciocínio (NORONHA & SÁ, 2005) pode ser
devido ao desconhecimento, por parte dos professores, das potencialidades da
calculadora como recurso didático e da visão restrita da Aritmética escolar
como do “arme e efetue”.
Como afirma Pucci (2008), para os professores, a calculadora seria um
objeto estranho ou até ilícito na aula de Matemática pois eles acreditam,
desmerecendo o valor da própria disciplina que ensinam, que a Matemática é
reduzida ao "aprender a fazer contas". Assim, vêem a calculadora da mesma
maneira que vêem a "cola" que um aluno faz de fórmulas de Física ou Química
para consultar em dia de prova (PUCCI, 2008, p. 1). Outro contraponto a esse
argumento da atrofia de raciocínio aparece nos PCN que indica a calculadora
como
“...um instrumento que pode, de imediato, contribuir
para a melhoria do ensino da Matemática. A
justificativa para essa visão é o fato de que ela pode
ser usada como instrumento motivador na realização
de tarefas exploratórias e de investigação, além de
levar o aluno a perceber a importância do uso dos
meios tecnológicos disponíveis na sociedade
contemporânea.” (BRASIL, 1997, p. 45).
Esses dois argumentos dos professores desconsideram que a
calculadora não toma a decisão sobre as operações a serem realizadas, cabe
ao aluno essa escolha, assim como elaborar conjecturas, investigar e
estabelecer caminhos lógicos na resolução dos exercícios, ações estas que
deflagram claramente o desenvolvimento do raciocínio.
23
Como bem afirmou Thomas O'Brien (2000, p. 1) "Se calcular trouxesse
algum ganho de inteligência, os computadores seriam grandes gênios [...] o
grande talento das pessoas é pensar. A elas devemos pedir o que é próprio da
mente humana: selecionar dados, organizar informações, elaborar hipóteses,
formular questionamentos, avaliar resultados e tantas outras coisas desse tipo."
Smole et al. (2008), ao refletirem sobre esses mesmos argumentos
contrários ao uso da calculadora em ambiente escolar, sugerem que eles são
frutos da tendência à defesa do cálculo como componente essencial do ensino
e aprendizagem da Matemática, sobretudo nas séries iniciais, com o que
concordamos considerando nossa experiência profissional de formação de
professores.
Borba (1994, p. 42) também justifica os argumentos dos professores
atrelando-os ao processo de formação: "quem foi educado na mídia do lápis e
do papel, e tem esta mídia tão impregnada na sua formação, [...], não
consegue conviver com outra mídia de maneira diferente".
Muitas dessas concepções são reforçadas nos cursos de formação que
não consideram suficientemente as questões da inserção de tecnologias no
processo de ensino e aprendizagem. Essa prática, da inserção da calculadora
como recurso didático em sala de aula, é ainda mais dificultada se os
professores formados ou em formação não tiverem oportunidade de discutir o
uso dessa tecnologia, ter acesso a atividades já existentes e elaborar ou
adequar atividades de introdução da calculadora no ensino de Matemática. E
como já apontamos, esse processo é complexo, pois os artefatos1 devem
tornar-se instrumentos não só nas práticas matemáticas desses professores
1 Na abordagem instrumental de Rabardel (1995), como descrita no próximo capítulo.
24
em formação, mas também em suas práticas didáticas. Os artefatos de um
aluno na aula de Matemática são objetos materiais ou simbólicos para o
aprender e o fazer matemático, ora para o professor de Matemática, esses
artefatos são, por um lado, para fazer Matemática e por outro, para ensinar a
Matemática.
É dessa complexidade que, segundo Trouche et al. (2007), surge a
necessidade de elaborar documentos que assistam o professor em sala de
aula: as chamadas fontes pedagógicas. Uma fonte pedagógica é um artefato
destinado ao professor para organizar cenários de aprendizagem em
Matemática (TROUCHE & GUIN, 2006, p. 2)2. Esses artefatos devem ser
elaborados considerando tanto os conteúdos de ensino quanto as condições
para o ensino destes conteúdos.
A partir destas considerações, podemos explicitar o objetivo geral de
nosso estudo, conforme descrito a seguir.
2 Uma fonte pode compreender vários artefatos indissociáveis, tais como fichas (do aluno, do
professor, técnica), descrição de cenários de uso, relatórios de experimentação, etc.
25
1.3 Objetivos da Pesquisa
A inclusão de qualquer ferramenta em uma atividade didática, além de
alterar o curso da própria atividade, deve também promover modificações
(reorganizações) nos processos mentais que entram no ato instrumental
gerando novos esquemas de uso a elas próprias. Cabe ao professor a criação
de ambientes educacionais de aprendizagem nos quais os alunos possam
vivenciar a experiência de aprender mediados pela ferramenta, no nosso caso,
a calculadora. Para isso, o professor deve, além de se apropriar da ferramenta,
possuir a capacidade de elaborar situações onde a calculadora será utilizada
com esse fim. Essas situações elaboradas devem inclusive reorganizar o saber
matemático e didático matemático uma vez que, como preconizam os
parâmetros curriculares de Matemática, o objetivo da resolução de problemas
não é prioritariamente a obtenção do resultado numérico, mas, sobretudo, a
atividade desenvolvida pelo aluno para chegar ao resultado. Isso relativiza a
importância da parte calculatória. Neste sentido, a utilização da calculadora é
frutífera uma vez que libera o aluno de cálculos repetitivos e/ou muito
complexos tornando-se uma ferramenta de pesquisa para gerar dados,
observar padrões, verificar conjecturas e levantar regularidades.
Surge dessas considerações o objetivo dessa pesquisa. É nosso
objetivo enfocar a elaboração de uma engenharia de formação, usando a
abordagem instrumental de Rabardel (1995), de tal forma que os envolvidos,
professores em formação inicial, possam vivenciar processos de gênese
instrumental nas suas duas dimensões: instrumentação e instrumentalização.
Por instrumentação entendemos a apropriação por parte do professor das
26
potencialidades da calculadora em suas práticas matemáticas, em suas
concepções “de uso”. Por instrumentalização, entendemos a elaboração, por
parte do professor, de novos esquemas de uso para a calculadora com fins
didáticos, a partir da apropriação de atividades específicas. Como já
mencionado, fazemos a hipótese de que os professores devem desenvolver
não somente esquemas para resolverem as tarefas com tecnologia (no nosso
caso, a calculadora), como também esquemas específicos para a concepção
e/ou adequação de tarefas integrando essa tecnologia. Em particular,
buscaremos investigar a pertinência de nossas escolhas na concepção de uma
engenharia de formação com esta finalidade.
27
CAPÍTULO II
QUADRO TEÓRICO
“Uma abordagem psicológica e didática da formação dos
conceitos matemáticos leva a considerar um conceito como um
conjunto de invariantes utilizáveis na ação. A definição
pragmática de um conceito faz, portanto, um apelo ao
conjunto de situações que constituem a referência de suas
diferentes propriedades, e ao conjunto de esquemas postos em
ação pelos sujeitos nessas situações.”
G. Vergnaud
28
2.1 Abordagem Instrumental
Para tratar diretamente o problema do desenvolvimento da
aprendizagem e do uso de artefatos tecnológicos, no nosso caso o da
calculadora, recorremos a Vérillon e Rabardel (1995). Segundo esses
pesquisadores, diversos modelos de atividades mediadas por artefatos
tecnológicos (atividades instrumentadas) têm sido desenvolvidos visando
auxiliar a compreensão de como e de que maneira esses recursos afetam o
desenvolvimento cognitivo. Rabardel (1995) afirma que existe uma ação
bilateral entre o homem e os artefatos tecnológicos, pois, ao mesmo tempo em
que cria recursos para facilitar sua vida, o homem também modifica seus
valores e comportamentos, criando novos níveis de exigências e de
necessidades (CHAVES, 1999).
O modelo de Rabardel (1995), fundamentando-se no conceito
psicológico de instrumento, coloca em evidência o processo mental elaborado
pelo sujeito para transformar um artefato em um instrumento de trabalho. Na
concepção desse autor, e contrário à definição do senso comum, o termo
artefato (ferramenta) faz alusão a um dispositivo material ou simbólico utilizado
como meio de ação. Já o termo instrumento, na acepção utilizada por este
autor, designa um artefato em situação de utilização pelo sujeito, como um
meio usado por este para agir sobre o objeto de sua ação. Nessa abordagem
cognitiva dos instrumentos contemporâneos, é essencial a compreensão de
que o termo instrumento é diferente do termo artefato, enquanto o primeiro não
existe por si mesmo, o segundo não possui um valor instrumental. Para
Trouche (2003), o artefato é fornecido ao usuário enquanto o instrumento é
29
construído por este. Portanto, um artefato não é automaticamente um
instrumento eficaz e prático, o instrumento vai sendo construído
progressivamente pelo sujeito. Essa construção progressiva ou gênese é
complexa estando aliada às características do artefato (potencialidades e
limitações) e ainda às atividades do sujeito (seus conhecimentos, suas
habilidades, hábitos de trabalho e experiências anteriores). De forma sintética,
podemos dizer que esta construção psicológica que é o instrumento,
constituído de um artefato e de esquemas de utilização que lhe são associados
com uma dimensão privada e uma dimensão social, é chamado de gênese
instrumental. Nesse contexto, o instrumento é portador de quatro propriedades
principais:
(1) mediação entre o sujeito e o objeto da ação;
(2) meio de ação e de atividade oferecendo ao sujeito um leque de
possibilidades de ação;
(3) operacionalidade na medida em que realiza parte do trabalho do sujeito;
(4) portador de experiência acumulada em termos de aquisição cultural da
espécie humana.
A noção de instrumento deve, ainda, ser pensada como sendo formada
por dois componentes indissociáveis: o artefatual e o psicológico. O
componente artefatual (material ou simbólico) do instrumento é produto do
sujeito enquanto o componente psicológico corresponde aos esquemas
cognitivos de utilização (individual ou coletiva), estabelecidos pelos sujeitos a
partir do uso do artefato. Quando um sujeito utiliza um artefato, ele constrói
30
esquemas de utilização e, paralelamente, constrói representações sobre as
propriedades da ferramenta. É sempre o uso do artefato por um sujeito ou um
grupo de sujeitos que lhe atribui o status de instrumento.
A noção de esquema de utilização faz referência a uma organização
invariante das ações que incluem o uso de um artefato para resolver um tipo de
tarefa. A elaboração dos esquemas cognitivos de utilização confere à
instrumentalização um papel central no processo de aprendizagem.
Para melhor delinear esse processo, Rabardel & Vérillon (1995)
propõem o Sistema de Atividade com Instrumento3 – SAI - que considera três
pólos: o sujeito, o instrumento e o objeto. Estes estão inseridos em um
ambiente singular que proporciona condições necessárias para que o sujeito
realize sua atividade. Esse modelo amplia a análise das interações que podem
ocorrer, pois, além da interação sujeito-objeto (S-O), consideram-se ainda as
interações sujeito-instrumento (S-i), instrumento-objeto (i-O) e sujeito-objeto
mediada pelo instrumento (S-i-O).
Figura 1 – Representação esquemática do modelo SAI (RABARDEL,1995b, p.65)
3 Traduzido por nós do original em francês: Système d'Activité avec Instrument.
Objeto
(O)
Instrumento
(i)
Sujeito
(S)
S-i
S-O
i-O
S-i-O
31
Imbricando as diferentes possibilidades de interação (S-O, S-i, i-O e S-i-
o) com os dois processos que caracterizam a gênese instrumental temos que,
segundo Verillon (1996), a instrumentação é relativa ao sujeito, consistindo na
elaboração das interações S-i, referindo-se às construções e reconstruções dos
esquemas de utilização dos artefatos nas ações instrumentadas. Nesse
processo, o sujeito enriquece seus esquemas mentais de utilização de
instrumentos. Já a instrumentalização é relativa ao artefato, consiste na
elaboração das interações i-O onde o sujeito constrói novos esquemas (ou
reconstrói os já existentes em outros contextos com outros artefatos)
necessários à implementação do artefato. Nesse processo, o sujeito
personaliza o artefato adaptando ou produzindo novas propriedades de acordo
com sua necessidade. É uma contribuição do usuário ao processo de
concepção do instrumento.
É a modelização por instrumentação e instrumentalização que descreve
a forma pela qual o instrumento influi por mediação na construção da interação
(S-O), fazendo surgir a interação (S-i-O).
Para melhor entender como o saber se (re)organiza durante a gênese
instrumental modificando as relações entre sujeito, objeto e instrumento, é
necessário desmembrar esse saber em dimensões distintas, para tanto
recorremos ao trabalho de Tapan (2006), como descreveremos a seguir.
32
2.2 Diferentes tipos de saber na formação de professores
Guy Brousseau4, um dos precursores da Didática da Matemática
Francesa, elaborou a Teoria das Situações Didáticas com o propósito de
modelizar as interações entre professor e alunos num sistema didático.
Partindo da premissa básica de que uma situação envolve três
dimensões, o sujeito, as circunstâncias nas quais ele se encontra e as relações
que os unem ao ”milieu”5, Brousseau define situações didáticas como situações
que servem para ensinar (BROUSSEAU, 1997, p. 2).
“Uma situação é caracterizada em uma instituição por um
conjunto de relações e de papéis recíprocos de um ou
vários sujeitos (aluno, professor, etc.) com um milieu,
visando à transformação deste meio segundo um projeto.
O meio é constituído por objetos (físicos, culturais,
sociais, humanos) com os quais o sujeito interage em
uma situação”. (BROUSSEAU, 2002, p. 1)
Uma situação didática modeliza as relações e as interações de um ou
mais agentes com um “milieu”. O agente pode ser tanto um aluno, que age
sobre o “milieu” e nesse agir aprende, quanto um professor, quando organiza a
4 Atuou no IUFM de Anquitaine e na Universidade de Bourdeaux 1, ambos na França, ganhou a
medalha Felix Klein devido a sua importante contribuição na solidificação da Didática da Matemática como campo de pesquisa. A bases para a construção da Teoria das Situações Didáticas foram desenvolvidas em sua tese de Doutorado, intitulada“La théorisation des phénomènes d'enseignement des mathématiques”
5 A acepção do termo “milieu” variou conforme a TSD foi sendo estruturada. Uma descrição da
evolução deste termo pode ser encontrada em Perrin-Glorian (1994, p.128-130,), mas, segundo D‟Amore (2007, p. 234), sua função é, dentro de um sistema didático, definir a parte ligada a funcionamentos específicos a-didáticos, previstos pelo professor, e, portanto, com objetivos didáticos, mas sem a presença constante do professor e sem a explicitação de tais objetivos.
33
situação para ensinar. De forma genérica, para Brousseau, o agente é aquele
que age sobre um “milieu” de modo racional e econômico de acordo com as
regras da situação e condições do contexto.
O que define as posições “professor” e “aluno” é o projeto do sistema
didático, que pode ser entendido como o passar de um estado inicial a um
estado final em relação a um saber, objeto da aprendizagem. Neste contexto, o
professor se distingue de um aluno não somente pelo “saber”, mas também
pelo que ele é “capaz” de antecipar sobre o que o aluno tem a aprender.
O sistema didático mínimo representante das interações entre professor
e aluno, relativas ao saber em uma situação com finalidade didática, pode ser
representado esquematicamente pelo triângulo a seguir.
Epistemologia
do professor
Relação do
aluno com o
saber
“milieu”
Figura 2 – Triângulo didático stricto sensu
Relação
pedagógica
34
O triângulo didático, conforme proposto por Brousseau (1986), serviu de
suporte para o desenvolvimento de uma série de ferramentas teóricas que, por
sua vez, modificaram a própria idéia original, levando a ressignificar esse
triângulo. Como sugere Leutenegger (2000), na revisão do conceito, o sistema
didático se refere a um sistema de relações entre o professor e os alunos, em
torno de uma intencionalidade de ensinar/aprender um conjunto de saberes,
compreendidos, por sua vez, no seu contexto institucional de produção e de
regulação.
Em nossa pesquisa, o pólo do saber sofrerá um desdobramento para
promovermos uma análise mais apurada dos conhecimentos envolvidos no
processo de gênese instrumental. Recorremos a Tapan (2006) que concebe
várias faces ou dimensões do saber quando considera um professor em
formação (inicial ou continuada) no pólo do aluno. Para estudar a formação de
futuros professores para a integração de tecnologias, essa autora partiu do
triângulo didático apresentado por Portugais (1992), constituído pelo formador,
pelo formando e pelo saber didático, que na verdade é uma adaptação do
triângulo de Brousseau. O saber didático é entendido como relativo às didáticas
das disciplinas escolares, referindo-se ao ensino e aprendizagem de saberes
disciplinares. A partir deste esquema, Tapan (2006) foi integrando outros
saberes, em particular para considerar as noções de artefato e instrumento:
- um saber matemático (Sm) que são os saberes relativos às disciplinas
escolares tradicionais (no nosso caso Sm por tratar-se de Matemática) para os
quais existe um saber sábio, cujo processo de transposição foi estudado e para
o qual existe, geralmente, um programa ou currículo explícito em termos da sua
formação e da prática;
35
- um saber instrumental (Si) que representa o saber sobre a utilização do
artefato e que é definido no nível institucional de produção, mas não no nível
de sua transposição;
- um saber didático-matemático (Sd-m) relacionado à utilização de objetos
matemáticos em uma situação didática; trata-se de saberes relativos à didática
da disciplina (no nosso caso, a Matemática), sem considerar o artefato;
- um didático-instrumental (Sd-i), relativo ao saber didático necessário para usar
um artefato em uma situação de aprendizagem. A relação do licenciando a
esse tipo de saber é (ou deveria ser) um dos objetivos maiores da formação
para integrar uma tecnologia no ensino de Matemática, que permite colocar em
relação Sm e Si,. Para isso, o futuro professor deve saber utilizar Sm e Si em
interrelação.
Esses quatro tipos de saberes não são de mesma natureza e podem
existir de maneiras diferentes. É importante observar que uma modificação da
relação do futuro professor ao saber didático-instrumental (Sd-i) traz,
indiretamente, uma modificação da relação desse sujeito ao Sm, pois o saber
matemático é modificado com sua implementação artefatual.
Reorganizando o triângulo didático mínimo à luz da contribuição de
Tapan (2006), temos o esquema abaixo (cf. Figura 3) que nos parece mais
adaptado aos nossos propósitos na investigação dos processos de apropriação
da calculadora por futuros professores, estudantes em formação inicial.
É importante frisar que esses quatro tipos de saberes estão imbricados e
vão sendo construídos simultaneamente. Nossa questão é justamente discutir
em que condições e com quais atividades estas construções são favorecidas.
Pretendemos verificar se propor aos licenciandos a realização de situações de
36
análise e concepção de atividades integrando calculadora, pode representar
uma contribuição nesse sentido, ou seja, pode favorecer processos de gênese
instrumental desses futuros professores. Para tanto, optamos por realizar um
estudo experimental, inspirado na metodologia de Engenharia Didática e que,
por envolver sujeitos adultos em formação no nível universitário, passamos a
denominar de “engenharia de formação”. Nesta engenharia, os sujeitos
participantes serão confrontados a situações didáticas a partir das quais se
espera que desenvolvam esquemas de uso da calculadora, e estabelecendo
ainda, relações entre os diferentes saberes em jogo.
Figura 3 – Os diferentes saberes na ação instrumentada (TAPAN, 2006, p. 31)
(Sd-m) (Sd-i)
(Sd)
FORMADOR FORMANDO
(LICENCIANDAS)
(Sm) (Si)
37
Conforme justificaremos mais adiante, a concepção da engenharia, ou
mais especificamente de um conjunto de situações e de recursos pedagógicos,
será embasada em alguns construtos da Teoria das Situações Didáticas de
Brousseau (1998), assim como nas considerações anteriores da abordagem
instrumental e dos diferentes tipos de saberes em jogo em uma situação
instrumentada.
38
CAPÍTULO III
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
“A Didática da Matemática estuda os processos de
transmissão e de aquisição dos diferentes conteúdos desta
ciência, particularmente numa situação escolar ou
universitária. Ela se propõe a descrever e explicar os fenômenos
relativos às relações entre seu ensino e sua aprendizagem. Ela
não se reduz a pesquisar uma boa maneira de ensinar uma
determinada noção partícular.”
R. Douady
39
3.1 Metodologia da Pesquisa
A presente pesquisa compreende um estudo experimental, cujas
análises serão de natureza qualitativa, envolvendo a elaboração, realização e
análise de uma seqüência de situações, inspirada na metodologia de
Engenharia Didática.
O termo Engenharia Didática (ARTIGUE, 1994; 1996) teve origem na
área da Didática da Matemática, na França, na década de 80, para atender a
duas questões essenciais: as relações entre pesquisa e ação no sistema
educativo e o lugar reservado às realizações didáticas nas metodologias de
pesquisa.
De acordo com Artigue (1988, p.5),
“Esse termo foi cunhado para o trabalho didático que é
aquele comparável ao trabalho do engenheiro que, para
realizar um projeto preciso, se apóia em conhecimentos
científicos de seu domínio, aceita submeter-se a um
controle do tipo científico, mas, ao mesmo tempo, se vê
obrigado a trabalhar sobre objetos bem mais complexos
que os objetos depurados da ciência e, portanto, a
enfrentar na prática, com todos os meios que dispõe,
problemas que a ciência não quer ou não pode levar em
conta”.
Porém, como bem ressalva Pais (2002a), não se trata da execução de
um projeto num sentido automatizado de repetição, mas num sentido pleno,
40
que envolva desde a gestação inicial das idéias, até a execução prática, que no
caso do professor-pesquisador, será quase sempre em sala de aula.
Douady (1993, p. 11) explica que uma Engenharia Didática pode ainda
ser entendida como:
“(...) uma seqüência de aula(s) concebida(s),
organizadas(s) e articulada(s) no tempo, de forma
coerente, por um professor-engenheiro para realizar um
projeto de aprendizagem para uma certa população de
alunos. No decurso das trocas entre professor e alunos,
o projeto evolui sob as reações dos alunos e em função
das escolhas e decisões do professor.”
Engenharia Didática é, portanto, uma expressão com duplo sentido, pois
pode tanto designar as produções para um projeto de ensino, como também
uma metodologia específica de pesquisa baseada em experiências de sala de
aula. É neste último sentido que estamos nos referindo à Engenharia Didática,
ou seja, como método para estudar uma questão de pesquisa.
Há dois níveis de Engenharia Didática que são complementares, o nível
micro e o nível macro. Na microengenharia, as pesquisas têm por objeto de
estudo um determinado assunto, são pesquisas localizadas, levando em conta
principalmente a complexidade dos fenômenos em sala de aula. Na
macroengenharia, as pesquisas permitem uma interação entre as pesquisas
em microengenharia e os fenômenos ligados à duração nas relações ensino-
aprendizagem. Nosso estudo se situa no nível micro, pois estamos
interessados em estudar um determinado assunto – condições para a
integração, pelo professor, da calculadora no ensino de Matemática em séries
41
iniciais – e de forma localizada – com um pequeno grupo de sujeitos em
formação (licenciandos em Pedagogia). Uma Engenharia Didática, enquanto
metodologia de pesquisa, inclui diversas fases, conforme descritas no quadro
abaixo.
Fases da engenharia
didática
Caracterização
Análise prévia ou preliminar
Permite ao pesquisador:
Promover o levantamento da conduta dos alunos frente ao ensino habitual;
Formular hipóteses cognitivas e didáticas;
Fundamentar a construção da engenharia didática;
Identificar as variáveis didáticas potenciais que serão manipuladas nas fases seguintes.
Concepção e análise a priori de situações didáticas (conjunto de situações a serem desenvolvidas em sala de aula)
Nessa fase, o pesquisador deve decidir com quais variáveis didáticas irá trabalhar e como essas variáveis permitirão controlar o comportamento dos alunos. Segundo Artigue (1988) há dois tipos de variáveis didáticas:
Variáveis Macrodidáticas – relativas à organização global da engenharia;
Variáveis Microdidáticas – relativas à organização local (uma sessão ou uma fase) da engenharia;
Sugere-se uma segunda diferenciação entre variáveis gerais ou dependentes do conteúdo trabalhado. São as variáveis do problema em si e das variáveis associadas ao meio que estrutura o fenômeno. É a análise a priori quem prediz se uma situação pode ser vivida como a-didática.
Implementação da experimentação (realização em classe da seqüência didática)
Fase onde o dispositivo construído, a engenharia didática elaborada, é colocada em cena. Momento da realização da seqüência em sala de aula e observação de alunos e professor.
Análise a posteriori
Fase onde ocorre o tratamento das informações obtidas. É a parte experimental da pesquisa. Deve atingir a realidade da produção dos alunos e, quando possível, revelar os processos de raciocínio. Essa análise enriquece ou complementa os dados obtidos por meio de outras técnicas (questionário, entrevista, gravações, diálogos, entre outras). É feita à luz da análise a priori, dos fundamentos teóricos, das hipóteses e da problemática da pesquisa. O objetivo da análise posteriori é oferecer um feedback para o desenvolvimento de uma nova análise a priori para uma nova experimentação, concebendo o desenvolvimento das atividades como uma atualização dos processos em questão.
42
Quadro 1 – Fases de uma Engenharia Didática
Nossa engenharia de formação – pois se trata de futuros professores –
será elaborada compreendendo análises a priori e a posteriori das situações
propostas aos sujeitos, de forma a proceder uma validação interna. Nessas
análises, estaremos também atentos ao papel do formador, especialmente nas
fases de devolução e institucionalização6.
Como um dos objetivos da engenharia é identificar as representações de
futuros professores sobre o uso de calculadoras nas séries iniciais, nosso
trabalho de concepção centra-se na manipulação de atividades integrando
esse artefato e na proposição de situações de exploração dessas atividades
pelos licenciandos. Com a observação e análise das sessões correspondentes
a tais situações, esperamos obter elementos para discutir nossas questões
iniciais e delinear um percurso de formação que permite pensar as “gêneses
instrumentais” desses futuros professores.
6 Na concepção de Brousseau (1998), devolução é o ato pelo qual o professor cede ao aluno uma parte
da responsabilidade pela aprendizagem, incluindo-o no jogo e assumindo os riscos por tal ato. A institucionalização, por sua vez, corresponde a fase com a finalidade de buscar o caráter objetivo e universal do conhecimento construído pelos alunos. Sob o controle do professor, é o momento onde se tenta proceder a passagem do conhecimento, do plano individual e particular, à dimensão histórica e cultural do saber científico.
Validação da experiência
Na Engenharia Didática, a validação dos resultados é obtida pelo confronto dos dados da análise a priori e a posteriori verificando as hipóteses feitas no início da pesquisa. Sob o ponto de vista metodológico, é uma etapa onde a vigilância deve ser ampliada para garantir o caráter científico. A fim de valorizar o aspecto epistemológico da pesquisa didática, é recomendável tratar a validação como um problema clássico da teoria do conhecimento.
43
3.2 Percurso metodológico
Com base no que foi apresentado até aqui, nossa pesquisa buscará
elementos de respostas às seguintes questões interrelacionadas:
Qual o potencial de situações de análise, adaptação e experimentação
de atividades integrando calculadora na construção de conhecimentos
por parte de professores em formação inicial (licenciandos em
Pedagogia)? Em particular, quais relações podem ser estabelecidas por
esses sujeitos entre os diferentes tipos de saberes em jogo?
Quais características ou elementos das atividades favorecem a
apropriação, pelos sujeitos, das especificidades da ferramenta no plano
matemático e didático?
Para responder a essas questões, nos propusemos a conceber e
analisar os resultados de uma engenharia de formação para licenciandos em
Pedagogia (3º ano). Tal engenharia está organizada em três fases as quais
passamos a descrever.
Fase I
Esta fase destina-se à caracterização dos sujeitos e familiarização deles
com recursos da calculadora. Ela está dividida em duas etapas:
44
Etapa 1: Destinada ao estabelecimento das relações e concepções dos
licenciandos em relação ao uso da calculadora. Ela é composta das seguintes
situações: aplicação de um questionário preliminar (cf. Anexo 1) e uma
atividade de sensibilização para introduzir o tema de estudo e debater a
utilização da calculadora (cf. Anexo 2).
O questionário compreende vários ítens visando determinar as
experiências pessoais e, eventualmente, profissionais dos sujeitos com a
calculadora, ou seja, levantar os aspectos do artefato (ou instrumento)
percebidos pelos sujeitos nesse momento inicial, tanto no nível pessoal quanto
institucional.
A sensibilização será proposta a partir do questionamento “A favor ou
contra?” para o qual os sujeitos deverão se posicionar e levantar argumentos
para justificar suas posições em relação à utilização dessa tecnologia no
ambiente escolar. Esta atividade será realizada na forma de debate coletivo,
cabendo ao formador organizá-lo de forma a que os sujeitos participem
ativamente da discussão. Acreditamos que a maioria dos sujeitos responderá
que é favorável ao uso da calculadora no ensino. Mesmo assim, devem
aparecer questionamentos sobre a relatividade desta posição ou, ainda, à
resistência de muitas pessoas a esse uso. Assim, todo o grupo será levado a
discutir os prós e contra da utilização de uma calculadora com alunos. Para
finalizar, serão propostas alguns textos para leitura e síntese em grupo (cf.
Anexo 3).
45
Etapa 2: Destinada à familiarização dos participantes com alguns
recursos ou funções da calculadora, tais como: uso das teclas igual, memória,
apagar registros e porcentagem. Essa fase busca o desenvolvimento de
esquemas de uso a partir de um trabalho com teclas ou funções normalmente
pouco familiares aos sujeitos. Assim, trata-se de uma fase que visa propiciar
processos de instrumentação, cujos saberes em jogo são principalmente de
natureza matemática (Sm) e instrumental (Si). Por meio de fontes pedagógicas
convencionais – do tipo “ficha da atividade” – os licenciandos serão convidados
a explorarem os recursos acima mencionados, realizando as atividades
propostas e respondendo às algumas questões colocadas.
Os sujeitos, após a realização dessas atividades, se reunirão em grupo e
compartilharão suas produções, em particular, os conhecimentos construídos
em relação à manipulação da calculadora. Caberá ao formador sintetizar as
informações básicas sobre o uso das referidas teclas, responder às questões
levantadas e zelar para que os grupos discutam e registrem suas discussões.
Ele buscará a participação e integração dos sujeitos para promover a
compreensão de suas idéias e pontos de vistas.
Pretende-se aqui observar quais relações são estabelecidas entre os
saberes matemáticos e instrumentais (Sm-Si) e também se já começam a ser
explicitados, por parte dos licenciandos, elementos do saber didático-
instrumental (Sd-i) em referência ao uso destas situações em sala de aula, com
alunos.
Após esta etapa, os participantes serão organizados em duplas e duas
delas serão selecionadas para serem observadas ao longo de todas as
46
sessões subseqüentes. O critério de escolha das duplas será definido com
base nas informações e dados obtidos nesta primeira fase, levando-se em
conta principalmente as respostas ao questionário, posição defendida no
debate e situação profissional (se já está lecionando ou não).
Fase II
Esta fase tem por objetivo avaliar o potencial – em termos da pertinência
e possibilidades – de atividades integrando calculadora na formação inicial.
Para isso, serão propostas algumas atividades, em diferentes formatos, que
inicialmente serão realizadas pelas licenciandas e, a seguir, serão por elas
analisadas numa perspectiva didática.
A análise das atividades será proposta enfatizando a identificação do
papel da calculadora na situação de aprendizagem proposta, bem como a
comparação entre a atividade desenvolvida com essa ferramenta e na
ausência dela.
Essas diferentes funções ou papéis da calculadora foram pensados com
base na pesquisa de Assude (2006) sobre a utilização da calculadora como
geradora de dados, ferramenta de agilização de cálculos, de problematização,
auxiliar na elaboração de conjecturas e como exploradora de regularidades.
Podemos supor que esse tipo de análise não será facilmente realizada
pelos futuros professores, pois envolve elementos bastante complexos das três
dimensões (epistemológica, didática e institucional) e, como já descrevemos,
47
diferentes tipos de saberes. Para estimular esse processo, o formador
organizou a análise em etapas, enfatizando: a determinação do papel da
calculadora na tarefa, o nível da escolaridade ao qual a fonte pedagógica está
adequada; os objetivos específicos de aprendizagem; as principais
intervenções e ações do professor para a gestão da tarefa.
Fase III
Nessa fase, cada um dos quatro grupos irá conceber uma atividade que
integra o uso de calculadora. Estamos entendendo que essa concepção de
atividades para uso em sala de aula no Ensino Fundamental não partirá do
zero, mas será resultado de uma “bricolagem” das atividades utilizadas nas
etapas anteriores, caracterizando mais um processo de adaptação de
atividades e sua complementação com a elaboração de um cenário de uso. De
fato, a cada grupo será solicitada a elaboração de uma atividade a ser utilizada
em um contexto específico, com uma determinada classe.
O grupo deve apresentar essa atividade, incluindo calculadora, em um
cenário de uso e analisando essa atividade segundo os itens estabelecidos e
mencionados anteriormente. Podemos resumir as três fases do nosso estudo
experimental conforme quadro que segue. Indicamos na segunda coluna os
instrumentos e dados a serem coletados.
48
Quadro 2 – Quadro sinóptico do dispositivo experimental
A experimentação e respectiva coleta de dados foi realizada como atividade
extra-curricular, sendo proposta pelo pesquisador como uma oficina
relacionada à disciplina de Metodologia de Ensino de Matemática e Ciências e
proposta pelo pesquisador, compreendendo 8 encontros de aproximadamente
2h de duração, perfazendo um total de 16 horas.
Quadro sinóptico do dispositivo experimental
Fases do estudo
Instrumentos de coleta de
dados
Fase 01
Relações pessoais e/ou institucionais dos sujeitos em relação ao artefato calculadora
Etapa 01
Questionário e Dinâmica de sensibilização
Respostas ao questionário; produções escritas (individuais e em grupo);; diário de bordo (individual) relativo à sessão Etapa 02
Realização de atividades integrando calculadora.
Fase 02
Exploração de atividades integrando calculadora
Realização e análise de atividades com calculadora.
Produções escritas das duplas; diário de bordo (individual) relativo à sessão; áudio-gravação de duas duplas e entrevistas informais com essas duplas
Fase 03
Concepção de uma atividade com calculadora
Escolha e adaptação/concepção de uma atividade para experimentação em sala de aula;
Atividades produzidas;; diário de bordo (individual) relativo à sessão; áudio-gravação de duas duplas e entrevistas informais com essas duplas
49
Encontro tempo fase atividade
1 2h 01 Resposta ao questionário preliminar seguida de
elaboração de atividades com calculadora.
2 2h 01 Levantamento com discussão dos prós e contras
ao uso de calculadora seguido da leitura de dois
textos sobre a mesma temática.
3 2h 01 e 02 Resolução da Ficha 01 e análise das atividades.
4 2h 01 e 02 Resolução da Ficha 02 e 03 e análise das
atividades.
5 2h 01 e 02 Resolução da Ficha 04 e análise das atividades.
6 2h 01 e 02 Discussão do papel da calculadora e resposta e
discussão à três questões.
7 2h 03 Produção e discussão de atividades elaboradas
em grupos pelas licenciandas.
8 2h 02 e 03 Leitura do texto final e reflexão
Quadro 3 – Visão sinóptica dos encontros ocorridos
A opção em realizar essa oficina em paralelo com as aulas dessa
disciplina deve-se a dois fatores: o primeiro relacionado ao acesso do
pesquisador a essa turma, pois ele é o responsável pela referida disciplina e
assumiu o papel de formador; e segundo porque a proposta da engenharia está
em consonância com um dos objetivos da disciplina que é o de levar aos
licenciandos a oportunidade de discutir o uso de recursos no ensino de
Matemática nas séries iniciais.
Ao longo dos encontros foram propostas atividades individuais, em
duplas, quintetos e grupo-maior de tal forma que as licenciandas tivessem a
50
possibilidade de confrontar seus conhecimentos com colegas, testando e
descobrindo diversas formas de realizar e discutir uma mesma situação. Ainda
assim, a maioria das atividades propostas permite a sucessão: resolução
individual, discussão em grupo para, finalmente, proceder à socialização com o
grupo-maior. Esta sucessão mostrou-se bastante produtiva para propiciar a
participação ativa e reflexiva de todos os estudantes, uma vez que são
convidados a explorar suas opiniões com vários grupos em diversos
momentos. A tabela abaixo indica os grupos e as respectivas licenciandas
inseridas em cada:
Grupos G1 G2 G3 G4
Licenciandas L3, L5, L6 ,
L11, L16
L1 , L2 , L9 ,
L12 , L20
L4 , L8 , L13 ,
L17 , L18
L7 , L10 , L14 ,
L15 , L19
Quadro 4 – Divisão em grupos das licenciandas
3.3 Sujeitos participantes da pesquisa
O nosso estudo envolveu 20 sujeitos, estudantes do último ano (3º ano)
do Curso de Pedagogia de uma universidade particular de São Paulo. As
estudantes, então denominadas de licenciandas, tiveram sua identidade
preservada, sendo seus nomes substituídos pelas designações presentes na
tabela abaixo:
Licenciandas
L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9
L10 L11 L12 L13 L14 L15 L16 L17 L18
L19 L20
Quadro 05– Designação das licenciandas participantes da pesquisa
51
Todas as licenciandas participaram da oficina voluntariamente. O
interesse das estudantes surgiu devido a uma discussão ocorrida em classe,
durante uma aula da disciplina de Metodologia do Ensino de Matemática,
ministrada pelo pesquisador, na qual uma das alunas, que é professora da rede
municipal de São Paulo, fez alguns questionamentos sobre o uso da
calculadora nas séries iniciais, já que a calculadora é parte integrante do
material escolar fornecido aos alunos.
Os sujeitos da pesquisa ainda não atuam como professores, 70% atuam
em outras áreas e 30% em área educacional, porém em atividades
administrativas. A maioria (80%) das licenciandas são oriundas do ensino
público gratuito e 40% delas são bolsistas do programa ProUni. A maioria
demonstra dificuldades tanto na aprendizagem de conceitos matemáticos como
no tratamento didático- deles, além de não apresentarem bom desempenho
nas atividades avaliativas da disciplina de Metodologia do Ensino de
Matemática. O grupo tem faixa etária média de 25 anos e são todas do sexo
feminino.
A formação de professores das séries iniciais é realizada em nível
superior nos cursos de Pedagogia a partir da LDBEN 5692/71. Utilizando o
buscador universitário www.interuni.com.br/cybercampus recolhi alguns dados
que merecem destaque: nos cursos de Pedagogia no Estado de São Paulo em
Instituições Particulares de Ensino Superior, apenas 66% possui em sua grade
curricular a disciplina “Metodologia de Ensino da Matemática”. Em todos os
casos onde essa disciplina estava presente a carga horária é bastante reduzida
(36h ou 72h), corresponde a menos de 4% da carga de um curso de carga
horária de 2.200 h. Da análise dos temas desenvolvidos nessa disciplina
52
pudemos identificar elementos da didática geral (como se dá o conhecimentos
teorias de Piaget e Constance Kamii), estratégias de ensino (material dourado,
jogos e técnica de leitura, teorias da aprendizagem), tópicos do PCN, sem
alusão a sua discussão, e de saber matemático específico (a construção do
número e as quatro operações com números naturais, frações). Em nenhum
caso há discussão sobre saberes específicos para introdução da tecnologia no
conhecimento matemático quer seja a partir da calculadora, quer seja a partir
do computador. Assim, além das defasagens no conhecimento de matemática
do ensino fundamental e médio soma-se a formação das licenciandas, uma
defasagem em nível superior de discussões mais profundas de saberes
didáticos-matemáticos e didático-instrumentais.
53
CAPÍTULO IV
Estudo Diagnóstico e Análises das
atividades
(...) o objetivo da análise a priori é determinar no que as escolhas feitas
permitem controlar o comportamento dos alunos e o significado de cada
um desses comportamentos. Para isso, ela vai se basear em hipóteses e são
essas hipóteses cuja validação estará em jogo, na confrontação entre a
análise a priori e a análise a posteriori a ser operada na quarta fase”.
Michele Artigue
54
4.1 Estudo Diagnóstico da Fase 1
O estudo diagnóstico foi realizado a partir de duas situações:
1. aplicação de um questionário preliminar (cf. Anexo 1).
2. atividade de sensibilização para introduzir o tema de estudo e debater a
utilização da calculadora (cf. Anexo 2).
Essas situações foram elaboradas com o objetivo de identificar as
relações pessoais e concepções das licenciandas em relação ao uso da
calculadora em aulas de Matemática no Ensino Fundamental-I.
4.1.1 Descrição dos dados e principais resultados do Primeiro
encontro
No 1º encontro, iniciamos a sessão com a distribuição individual do
questionário preliminar e com o pedido para que o respondessem sem
qualquer comunicação com os demais participantes.
As duas questões iniciais buscaram levantar o grau de inserção dessa
ferramenta no cotidiano das licenciandas, bem como identificar o contexto no
qual se deu o primeiro contato. A tabela abaixo resume as respostas obtidas.
Questão 01 - Você se lembra quando foi a primeira vez que utilizou uma calculadora? Poderia descrever em qual situação isso ocorreu?
Não se lembram 8
Em casa 3
No trabalho 1
55
Questão 02 - Em quais situações você faz usa de calculadora?
Cálculos de contas a pagar 8
Cálculos em compras (comércio) 4
Como se pode observar, ao responderem, a grande maioria – 8
licenciandas – não recordava qual foi a primeira vez e em que situação
ocorreu o uso da calculadora, mas afirmava que certamente foi em ambiente
doméstico.
Todas afirmaram que utilizam a calculadora em seu cotidiano para fazer
cálculos relativos a compras e calcular as contas no final do mês, este último
com maior freqüência (2/3). Ao serem indagadas, todas afirmaram que nunca
utilizaram calculadora em ambiente escolar.
Fica evidente que todas as participantes têm fácil acesso à ferramenta
calculadora e que a utilizam em suas atividades cotidianas. Infere-se, portanto,
que esse é um tipo de tecnologia incluído nas práticas desse grupo, mais
precisamente, em atividades envolvendo operações matemáticas, com a
função principal de agilizar cálculos com números decimais (relacionados ao
sistema monetário) e, consequentemente, obter com maior precisão
Apesar de recomendações ao uso da calculadora já estarem inseridas
nas propostas curriculares e algumas atividades já serem propostas, mesmo de
forma tímida, nos livros didáticos, cabe ao professor a decisão final de inserir
ou não essa ferramenta em atividades pedagógicas para sala de aula. Assim,
as demais questões foram elaboradas a fim de levantar as concepções iniciais
das licenciandas a respeito do uso pedagógico da calculadora.
56
Questão 03 - Você utilizaria a calculadora com seus alunos para ensinar Matemática?
sim
8
Sim, em exercícios de porcentagem
1
Sim, após dominarem as quatro operações
3
Sim, para facilitar contas e resolver problemas
2
Sim, para auto-correção 1
Sim, com crianças com problema de discalculia
1
não
4
Não, pois são pequenos e imaturos
2
Não, pois prejudica a agilidade do raciocínio
2
Na questão 3, cujas respostas estão indicadas na tabela acima, apesar
de oito licenciandas posicionarem-se favoráveis ao uso da calculadora e
indicarem uma situação ou condição de uso, sempre houve um “senão”: “desde
que os alunos já dominem os algoritmos das quatro operações”.
A posição de uma das licenciandas merece destaque: ela utilizaria a
calculadora com crianças que apresentassem discalculia. Essa afirmativa
ressalva o uso da calculadora , para transpor um obstáculo ou uma dificuldade
pressuposta na criança para efetuar operações matemática e na utilização de
algoritmos. A ferramenta surge então como uma alternativa, permitindo a essa
criança “avançar”, resolvendo problemas com o auxílio da calculadora que fará
a “conta” pelo aluno. Podemos ainda inferir que nenhuma das licenciandas
considera o uso da calculadora como recurso para o aprendizado de conceitos,
ou seja, para introduzir novos conceitos ou propriedades matemáticas, apenas
para “aplica-los” ou reforçá-los, uma vez já introduzidos. Essa é uma
57
concepção relativamente presente quando se discute o uso de calculadoras.
Como era esperado, o uso da calculadora é concebido então para realizar e
agilizar cálculos.
Questão 04 - Você acha que o uso da calculadora contribui ou prejudica a aprendizagem do aluno? Comente.
Contribui se utilizada de forma correta
Sem criar dependência. 2
Após dominar os algoritmos. 4
Prejudica
Pois deixa o raciocínio mais lento. 4
Pois o aluno se acomoda. 2
Na questão 4, como podemos perceber (cf. tabela acima), os
argumentos da dependência, diminuição de raciocínio e prejuízo na
aprendizagem de algorítmos são frequentes, mesmo na fala das licenciandas
que acreditam na contribuição da calculadora na aprendizagem. Todas as
licenciandas ressalvam a interferência prejudicial da calculadora ou de seu uso
“sem cautela”.
A questão 5 complementa essas respostas, no sentido de solicitar mais
especificamente o nível de inserção da calculadora, segundo a visão das
estudantes.
Questão 05 - Em que momento (EF-I, EF-II ou EM) você acha adequado introduzir o uso da calculadora?
Ensino Infantil L1 - Estimular o contato com a tecnologia e auxiliar no desenvolver da coordenação fina.
1
Ensino Fundamental - I
L2 – “As crianças devem utilizar a calculadora somente após as quatro operações estarem bem fixadas e só para autocorreção.
58
L5 – Após a segunda série onde o aluno já sabe o algoritmo e usada em jogos para estimular seu uso.
2
Ensino Fundamental– II L11 - Já dominam tabuada e as quatro operações. L9 - Já tem maturidade.
2
Ensino Médio
L4 - Facilita o trabalho com números “reais”, ou seja, para que cálculos com números decimais ou com o sistema monetário não desestimulem o aluno a chegar no resultado final que é a resposta ao problema proposto.
7
A resposta de nove licenciandas deflagra a inadequação da introdução
da calculadora no Ensino Infantil e Fundamental-I, o que parece reforçar a idéia
do uso da calculadora apenas como facilitadora de cálculos e após o trabalho
com os algoritmos para os cálculos escritos convencionais no ensino das séries
iniciais. Mesmo entre as licenciandas que acham adequado a introdução da
calculadora no Ensino Fundamental-I, as ressalvas permanecem. Este
resultado já era esperado para o Ensino Infantil e Fundamental 1º e 2º anos
mas não para a 3º, 4º e 5º anos.
Questão 06 - Qual sua opinião sobre a utilização da calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental?
Contato com a tecnologia. 1
Estimula a criatividade. 1
Material de apoio. 1
Bom, mas com orientação adequada do professor. 2
Não concorda. 3
Precoce, pois dificulta o desenvolvimento do raciocínio. 4
A resposta a esta questão complementa a questão anterior (questão 5)
pois enquanto lá pedíamos o nível, nesta pedimos a opinião para inserção em
um determinado nível. Cruzando as respostas verificamos que as 7
59
licenciandas que acham conveniente a introdução do uso da calculadora
apenas no Ensino Médio, são as mesmas que na questão 6 não concordam (3)
ou acham precoce (4) o uso nas séries iniciais pois dificulta o desenvolvimento
do raciocínio.
Na questão 7 (cf. tabela abaixo), apesar de cinco licenciandas afirmarem
desconhecer possibilidades de uso da calculadora como recurso didático e três
licenciandas associarem o uso a facilitação de cálculos com número “reais”,
surge nas respostas duas alternativas ao uso: auto-correção e em problemas
de raciocínio.
Questão 07 - Supondo que você pudesse usar a calculadora em suas aulas, qual(is) conteúdo(s) poderia(m) ser trabalhados e visando quais objetivos?
Não sei 5
Calculo com números reais 3
Comparar resultados 2
Auto-correção 1
Problemas de raciocínio 1
Nas respostas às questões 8 e 9 (cf. quadro abaixo) observa-se uma
unanimidade: nenhuma das licenciandas já desenvolveu atividades usando
calculadora, nem se sentem preparadas para realizar atividades deste gênero.
Isso, por um lado era esperado, já que ainda não atuam como professoras, e
também confirma nossa hipótese de que nem como alunas tiveram contatos
com atividades escolares envolvendo o uso de calculadoras, por conseqüência,
não se sentem preparadas.
60
Questão 08 - Caso já tenha desenvolvido alguma atividade com calculadora descreva-a
Questão 09 - Você se sente preparada para usar a calculadora como recurso didático? Justifique.
A análise das respostas ao questionário permite emitir uma visão desse
grupo em relação à utilização da calculadora no ensino de Matemática, em
particular nas séries iniciais. Como já era esperado, a maioria das licenciandas
acham que a calculadora somente deve ser utilizada após a aprendizagem e
domínio dos algoritmos das quatro operações, ou seja, usadas como
ferramenta de cálculo para subsidiar (ou eventualmente substituir) o cálculo
exato e escrito.
Essas estudantes em formação, em sua grande maioria, indicam que o
primeiro contato com essa tecnologia deu-se fora do ambiente escolar: em
casa ou no trabalho. Isso explica, em parte, algumas respostas às questões 3,
4 e 8, por exemplo.
Como vimos nas respostas às questões 1 e 2, a calculadora está
inserida no cotidiano da maioria das licenciandas como uma ferramenta para
agilizar cálculos em situações ligadas ao orçamento mensal em particular,
contas a pagar e compras no comércio. Nos termos de Rabardel (1995),
podemos dizer que o artefato calculadora foi transformado em um instrumento
de cálculo pelas práticas cotidianas.
A maioria dessas estudantes em formação inicial considera, mesmo de
maneira latente, que a calculadora pode intervir no desenvolvimento do
raciocínio e no domínio dos algoritmos das quatro operações, por isso,
61
sinalizam que utilizariam a calculadora, porém, após o domínio das quatro
operações por parte dos alunos. Infere-se, portanto, que para esse grupo, o
uso da calculadora pode substituir o algoritmo (do cálculo escrito), o que não é
conveniente para as séries iniciais, mesmo que o discurso indique outros usos,
e ainda que seu uso “contribui com a aprendizagem se for utilizada de forma
correta”. Apenas com o questionário, não é possível aprofundar a discussão
sobre esse “uso correto”. Voltaremos nessa questão quando da descrição e
análise das demais sessões do experimento.
Corrobora com isso o fato da maioria delas não concordar ou achar
precoce com a introdução da calculadora no EF-I (questão 6). E aquelas que
concordam, existe um “senão” com força de pré-requisito: após o domínio das
quatro operações (questões 3, 4 e 5).
Essa constatação vai na direção do que discutimos no Capítulo 1,
embora reconheçam a importância da presença da calculadora em sala de
aula, muitos professores em formação ainda se mostram inseguros por
desconhecerem diferentes maneiras de explorar a Matemática utilizando a
calculadora, não restrita apenas a agilizar cálculos.
As respostas às questões 3, 5 e 9 apontam uma contradição, pois 8
licenciandas afirmam que utilizariam a calculadora para ensinar Matemática,
porém 9 acham que o momento adequado para inserir a calculadora não é no
Ensino Fundamental-I e todas sentem-se despreparadas para atuar com essa
ferramenta. Essa contradição pode estar relacionada com o desconhecimento
de outras possibilidades de uso da calculadora em situações de ensino ou
62
ainda, com a falta de experiência, na condição de estudantes, com essa
ferramenta.
Após a coleta das respostas do questionário preliminar, as licenciandas
foram divididas em quatro grupos de 5 integrantes. Cada grupo deveria
elaborar uma atividade onde a calculadora fosse utilizada como recurso
didático, indicando a função (o papel) dessa ferramenta na atividade. O
principal objetivo dessa atividade era de estabelecer qual a concepção dessas
licenciandas quando inserem a calculadora em ambiente educacional.
Abaixo reproduzimos as atividades elaboradas pelos grupos.
Grupo 01
Letícia, na hora do intervalo, comprou 4 chocolates por R$ 1,50 cada e 3 refrigerantes por R$ 2,00 cada. Para sua amiga, vendeu dois chocolates por R$ 2,00 cada e um refrigerante por R$ 2,30. Quanto Letícia gastou?
Papel da calculadora: A calculadora vai dar o resultado preciso.
Em princípio, a situação elaborada pelo grupo, como esperado, refere-se
ao uso da calculadora para cálculos envolvendo o sistema monetário (situação
de compra e venda). Com o comentário “A calculadora vai dar o resultado
preciso”, podemos supor que as licenciandas visam a correção do cálculo, para
obtenção “do” resultado esperado. Cabe observar que provavelmente
preocuparam-se em fazer referência a um contexto familiar da criança (compra
do lanche na cantina da escola), mas a situação de revenda pode ser
considerada um tanto artificial. No caso, a introdução da calculadora não
enriquece necessariamente a atividade matemática do aluno.
63
Grupo 02
Lucas gastou em suas compras R$ 79,00 em cada calça, R$ 54,50 em cada camisa, R$ 39,00 no sapato e R$ 15,60 no chinelo. Comprou 2 calças, 3 camisas, 1 sapato e 1 chinelo, pagando com seus R$ 400,00 que ganhou de aniversário. Quanto sobrou?
Papel da calculadora: Nesta atividade a calculadora facilita as operações com dinheiro, aumentado a rapidez do resultado.
Assim como observado no grupo anterior, trata-se de uma situação
“convencional ” de compra e venda. O papel da calculadora aqui explicitado é
de ferramenta de cálculo, tornando-os mais ágeis e fazendo “ganhar tempo”.
Grupo 03
Um monstro tem 13 braços, em cada braço 3 mãos, em cada mão 6 dedos e em cada dedo 2 anéis. Quantos anéis tem juntos 4 monstros?
Papel da calculadora: Ajudar a chegar na resposta, mesmo quem não sabe fazer as contas.
Esse grupo apresenta o problema dentro de um contexto do imaginário
da criança. Pode-se dizer que a estrutura é análoga ao dos anteriores. Com
relação ao papel da calculadora, pelo exposto, podemos supor que as
estudantes a vêem como um recurso auxiliar para efetiva realização de
cálculos (substituindo o cálculo escrito), de forma a transferir para a calculadora
os algoritmos, cabendo ao aluno indicar as operações. Em termos da
aprendizagem, talvez estejam se referindo à resolução de problemas, na qual o
foco de atenção não é o uso dos algoritmos para realização dos cálculos, mas
sim a estrutura do problema e a determinação das operações a serem
realizadas.
Grupo 04
1) Dê o resultado com 4 casas depois da vírgula:
a) 45678,334 : 0,054
64
b) 756489,8678 x 9,928
Papel da calculadora: A calculadora faz a conta, mas os alunos vão dar o resultado tendo que eliminar casas.
2) Levar folheto de supermercado e um aluno faz uma compra e outro calcula quanto gastou.
Pape da calculadora: não citaram
Esse grupo apresentou um exercício de cálculo com decimais e fez
referência a uma situação de compra e venda, sem precisões.Com relação à
primeira proposição, não temos elementos que especifiquem os objetivos do
grupo com esse tipo de exercício. Talvez esteja relacionado à idéia de cálculo
não-exato, com aproximações de resultados, o que é muito comum quando se
trabalha com números “menos comportados” (não inteiros) na calculadora. A
referência ao “eliminar casas” parece nos indicar esse objetivo de trabalhar a
aproximação de resultados.
Ao indagarmos os grupos sobre o porquê de tais escolhas, a resposta foi
unânime: são operações enfadonhas e demoradas que são muito comuns no
cotidiano e onde a calculadora é muito útil. No caso, a máquina auxilia no
cálculo, de forma a agilizar e dar certa confiança no resultado, uma vez que os
erros na execução podem ser minimizados.
Para os grupos 1, 2 e 4, a elaboração de problemas dessa natureza
reforça a idéia de que as licenciandas vêem a calculadora prioritariamente para
cálculo o que justifica as ressalvas encontradas nas respostas às questões 3, 4
e 5: uso somente após domínio dos algoritmos das operações. Já para o grupo
3, a calculadora é um facilitador para se “operar”, mesmo desconhecendo as
técnicas ou algoritmos. A máquina realiza os cálculos, e o aluno se concentra
65
na compreensão do problema e na identificação das operações que permitem
sua resolução. Essa parece ser a idéia dos grupos 2 e 3.
De qualquer forma, observa-se uma preocupação com a questão de
obter resultados “precisos” (grupo 1), com maior “rapidez” (grupo 2), agilizando
cálculos para se chegar a um “resultado” (grupo 3). O grupo 4 parece indicar
embrionariamente a questão da aproximação de números na forma decimal.
4.1.2 Descrição dos dados e principais resultados do Segundo
Encontro
No 2º encontro, inicialmente pedimos para cada licencianda que
elencasse os prós e contras ao uso da calculadora como recurso didático nas
séries iniciais do EF-I em uma folha de papel. Em seguida, cada aluna
expressou sua opinião e justificou-se oralmente perante o grupo.
Posteriormente, abrimos uma discussão coletiva onde os tópicos mais
relevantes foram registrados no quadro negro. A maioria mostrou-se contra o
uso da calculadora – o que era esperado a partir do que responderam no
questionário (cf. descrição anterior).
Os principais argumentos surgidos foram registrados e estão
reproduzidos na tabela a seguir:
66
Favorável Não favorável
1. A máquina faz com que o aluno
“visualize” as operações matemáticas.
2. Para que o aluno lide desde o início com a tecnologia.
3. Usar como “máquina de conferir”. 4. Ajudar a facilitar as contas, mas não
deve ser usada na prova. 5. Apresentar e conhecer é valido, mas
não para uso regular.
1. aluno fica preguiçoso, se acomoda,
pois a maquina é facilitadora; 2. Não estimula o raciocínio; 3. A criança nessa fase não está
preparada cognitivamente nem para aprender a usar a máquina com todos os seus recursos, nem para saber quando e em que momento usá-la.
4. Foge do controle do professor; 5. A criança pode desvirtuar o uso, por
exemplo, usando para brincar e não para fazer matemática.
Durante a discussão, 8 licenciandas colocaram-se contra o uso da
calculadora nas séries iniciais e 4 manifestaram-se favoravelmente. Porém,
mesmo as alunas a favor do uso da calculadora eram reticentes ao uso no 1º e
2º anos, todas concordaram que a calculadora só pode ser usada após
introdução e “treino” dos algoritmos de cálculo.
Indagamos as licenciandas para que promovessem um melhor
esclarecimento de alguns termos que utilizaram em suas respostas.
Nos argumentos favoráveis surgiram os termos:
“visualizar” o que para a licenciandas significava “concentrar-se no
começo e no fim, não se dispersar por problemas com o algoritmo.
Muitas vezes na divisão quando tem que acrescentar um zero, ficamos
muito tempo explicando isso, aí o aluno até esquece o objetivo, que era
chegar a uma resposta para o problema”.
67
Nesse caso utilizamos os próprios exercícios por elas sugeridos para
exemplificar que o uso da calculadora, nesse caso, serve para modificar o foco
do resultado do problema priorizando o caminho utilizado na resolução
(operações que o resolvem) proporcionando assim um momento raro nas aulas
de Matemática que é a discussão de estratégias de resolução o que
seguramente contribui com o desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos.
O termo “visualize as operações” foi melhor adequado, reelaboramos dizendo
que as operações não são visualizadas na calculadora, apenas os resultados
são visualizados. Assim, o termo “visualizar” foi substituído por “mudança de
foco”, de resolução por algoritmo à elaboração de estratégias de resolução.
“máquina de conferir” na visão das licenciandas: “a máquina serve para
conferir se a criança usou o algorítmo corretamente, aí se deu errado ela
tem que refazer. Como a calculadora só dá o resultado é ela que tem
que pensar para saber em que momento do algoritmo ela errou.”
Como esse uso da calculadora foi “aceito” pela maioria das licenciandas (8),
achamos interessante legitimá-lo: o papel da calculadora apareceria no final,
depois que todos os alunos fizeram as contas sozinhos, com o intuito de auto
correção.
“uso regular” o que para as licenciandas significa que “a calculadora não
deve ser usada todo dia, toda hora, senão a agilidade do raciocínio
diminui”.
Utilizamos o seguinte exemplo: digite o número 23 na calculadora, faça
duas operações de tal forma que obtenha como resultado final o número 23.
68
Uma licencianda foi a lousa explicar o que tinham feito:
“23 +5 = 28 – 5 = 23” e disse “se eu somar e subtrair a mesma quantidade o
número fica igual.”
Outras licenciandas disseram “Ah se é assim, pode também multiplicar e dividir
também”.
Nesse momento indaguei: “Vocês estão realizando uma atividade com
calculadora e por isso seu raciocínio ficou mais lento? Ficaram mais
acomodadas?”
A resposta geral pode ser resumida na fala de uma educanda “a
calculadora não vai dar a resposta! Ela apenas dá o resultado mas quem
coloca os números e as operações somos nós!” (L8).
Nesse momento dois pontos foram destacados e institucionalizados:
1. O uso da calculadora pode estimular o raciocínio (a inserção do
termo “pode” foi exigência de algumas alunas para que ninguém
entenda que só porque usamos a calculadora estimulamos o
raciocínio). Nesse momento pedimos para que elas invertessem a
fala: “só porque utilizamos a calculadora não deixamos de
raciocinar”. Muitas concordaram sinalizando com a cabeça.
2. Um uso para a calculadora seria como “máquina de conferir” onde
os alunos após realizarem a operação, fariam a auto-correção
com o uso da calculadora.
Nos argumentos desfavoráveis surgiram os termos:
69
“se acomoda” na visão das licenciandas: “O aluno tem que exercitar a
mente depois os dedos. Se ele só usar a calculadora ele fica com
raciocínio preguiçoso, lento.
Esse argumento foi contraposto juntamente com o argumento do “não uso
regular”, fazendo assim com que as licenciandas que se colocavam favoráveis
percebessem que também apresentavam um certo desconforto, e que
indiretamente, ao restringir o uso da máquina estavam indicando um elemento
não favorável.
Discutimos algumas afirmações, perguntamos:
“Em que vocês se basearam para afirmar que a criança não está preparada
cognitivamente para usar a calculadora?”
Não houve resposta concreta, apenas disseram que é uma habilidade muito
abstrata, possivelmente comparando sua dificuldade de manipulação e
desconhecimento da máquina.
Em outro momento a afirmativa “foge do controle do professor” foi levada a
discussão, as licenciandas justificaram-se dizendo que “se, por exemplo, em
uma prova elaborarmos continhas para armar e efetuar, e ele usar a
calculadora, ele chega na resposta, assim o professor não conseguirá perceber
se o aluno sabe porque calculou usando o algoritmo ou a calculadora”. Outro
grupo interveio dizendo: “é só mandar deixar toda a resolução” e eu adicionei:
não seria então o momento de organizarmos outras atividades de tal forma que
a calculadora pudesse ser usada? Todas responderam sim porém nenhuma
arriscou a dizer como.
70
Utilizamos da ausências de exemplos „do como‟ para justificar a leitura coletiva
dos dois textos sobre o uso da calculadora em sala de aula.
O texto de autoria do Prof. Elon Lages Lima foi o menos discutido,
parecia ser de consenso geral, “um roteiro para o uso da calculadora na
escola” nas palavras de uma das licenciandas. Discordam do autor quando
este afirma falta de condições financeiras para aquisição de calculadoras e
concordam plenamente quando este acha apropriado o uso da calculadora no
Ensino Médio, quando os alunos dominam com proficiência as operações e
seus algoritmos. Todas as alunas reforçaram a importância dos algoritmos no
desenvolvimento cognitivo dos alunos o que entendem ser um dos principais
objetivos de aprendizagem das séries iniciais.
O texto do professor Ubiratan causou grande instabilidade, pois, apesar
de concordarem quando o autor afirma que a sociedade se organiza a partir da
tecnologia disponível, o conhecimento do algoritmo é ainda muito arraigado e
temem haver “perdas cognitivas” caso a calculadora seja introduzida
precocemente, ou substitutindo esse procedimento. Algumas licenciandas
saíram do encontro pensativas e disseram que gostariam de começar o
próximo encontro voltando a essa questão. Na verdade, queriam um tempo
maior para refletir e melhor justificar suas posições quanto ao uso da
calculadora, face às informações e posições dos autores dos textos.
71
4.2 Análise das atividades propostas na Fase 2
Na elaboração das atividades procuramos diversificar o formato delas,
bem como propor a concepção de outras atividades de forma a subsidiar o
trabalho na Fase 3. Assim, podemos dizer que os sujeitos foram confrontados a
situações de exploração de recursos da calculadora (Fase 1); de análise
dessas atividades (Fase 2) e de concepção de uma atividade integrando esta
ferramenta (Fase 3). Pretendemos com isso, proporcionar oportunidade para
que o futuro professor possa vivenciar essas atividades, mas também se
engajar em uma discussão mais abrangente de como esse tipo de atividade
poderia ser implementada em sala de aula, considerando-se outras
informações pertinentes para uma boa gestão da atividade pelo professor, ou
seja, refletir e organizar pelo menos um cenário de uso para uma determinada
atividade.
Optamos, para facilitar a leitura, por apresentar na sequência as análises
a priori e a posteriori das situações propostas às licenciandas. Assim, no que
segue, apresentamos as respectivas análises de cada situação.
4.2.1 Descrição dos dados e principais resultados do Terceiro
encontro
As atividades foram elaboradas para que as licenciandas se
familiarizassem com as funções das teclas de igual (como operador constante),
de memória e de porcentagem. Os problemas elaborados, propositalmente,
seguiram a mesma estrutura dos problemas propostos por cada grupo no
72
primeiro encontro, reproduzidos anteriormente, onde a calculadora servia
apenas como ferramenta de cálculo. No entanto, fizemos a hipótese de que
algumas teclas não eram muito familiares às alunas, e com essa atividade,
visamos acompanhar e analisar o processo de apropriação destas funções, ou
seja, identificar elementos do processo de instrumentação , além de favorecer
o processo de devolução.
Essa sequencia de atividades 01 (c.f. anexo 03), uma explorando as
teclas de memória e outra explorando a tecla de porcentagem, foi elaborada
com os seguintes objetivos potenciais :
1- Organizar esquemas de uso para as teclas de memória e de porcentagem,
desenvolvendo assim um saber instrumental (Si) resultado da interação entre
licenciandas e a calculadora (interações S-i) promovendo assim um processo
de instrumentação. Nessa atividade o processo de interação S-i se estabelece
a partir da observação dos resultados obtidos nas operações realizadas na
calculadora com as referidas teclas e espera-se que a compreensão destes
ocorra em relação ao conhecimento matemático (Sm) de porcentagem. Em
outras palavras, a atividade foi proposta dentro dos princípios de uma caixa
preta a ser decifrada.
2- Aplicar o saber instrumental, de agilização de cálculos, no processo de
resolução de um problema monetário ;
O papel da calculadora nesta atividade é de :
1-aliviar a carga de operacionalização permitindo que o foco esteja nas
estratégias para resolução do problemas e não no processo algorítmico. Nesse
caso como o foco não é a utilização do algorítmo, as licenciandas poderão
73
exercitar outras habilidades, como a interpretação de enunciados, a seleção de
dados e o estabelecimento de relações adequadas entre eles.
2- Objeto de ensino em si mesmo sendo o elemento problematizador. Nessa
atividade as licenciandas podem explorar as particularidades do funcionamento
da calculadora utilizando o recurso das teclas de memória.
O saber matemático (Sm) visado :
1-Grandezas e medidas (sistema monetário).
2-Sistema de numeração decimal (SND)
A resolução de problemas foi a estratégia escolhida para construção
dessa atividade pois promoveu um tratamento integrado entre números,
operações e grandezas e medidas além de possibilitar a explicitação de dois
possíveis papéis da calculadora.
4.2.1.1 Análise a posteriori
Nesse terceiro encontro, iniciamos retomando a discussão em grupo
sobre o texto do professor Ubiratan D‟Ambrosio chegando a uma unanimidade,
resumida na fala de uma integrante do grupo 3:
L17 : “A criança deve ter a oportunidade de se relacionar com a tecnologia a
qual deve ser parte integrante da vida cotidiana do aluno então a tecnologia
não pode ficar fora da escola.”
O grupo aceita a necessidade da inserção da tecnologia em ambiente
escolar dado que o mundo tende a orientar-se cada vez mais num sentido
tecnológico, mas são unânimes na recusa do argumento à substituição da
74
tecnologia da aritmética do papel & lápis e da tabuada pela tecnologia da
calculadora. Todas as licenciandas acreditam haver perdas significativas no
campo cognitivo (na concepção das alunas “perdas cognitivas” estão
relacionadas com “agilidade no raciocínio”) contradizendo o que anteriormente
haviam aceito: que o uso da calculadora pode auxiliar no desenvolvimento do
raciocínio.
Algumas falas merecem destaque:
L20: “Na minha calculadora, eu aperto o AC e apaga tudo... na calculadora dela
[uma colega], ela aperta o AC e só apaga o último registro, então só tem um
jeito, toda vez que eu pegar uma calculadora vou fazer um teste pra ver o que
o AC faz.” ( Integrante do Grupo 2)
Podemos dizer que num primeiro nível de instrumentação, essa aluna percebe
a importância de considerar o tipo de calculadora e o funcionamento específico
de algumas teclas. É a explicitação verbal de um esquema de uso, ligado a
uma característica do instrumento.
Isso sugere o início de um processo de gênese instrumental, ou seja, a
licencianda está se confrontando com aspectos e questões de como manipular,
criando esquemas de uso pessoais das teclas da calculadora para funções já
previstas no desenvolvimento dessa ferramenta.
Durante a atividade, uma integrante do grupo 4 fez a seguinte afirmação
para o grupo:
L10 : “Eu poderia ter feito, por exemplo, vezes 0,25 e nem apertar a tecla de
%... dá certo também!”
Outros componentes do grupo 4 tentaram explicar o que acontecia:
75
L7 : “Vai ver é como 2 x 3 e 3 x 2, dá a mesma coisa.”
L15 : “Não é não! É porque 0,25 já é 25 dividido por 100! Acho que a tecla serve
pra fazer a mesma coisa, vamos fazer com o outro exemplo ... ó ta vendo dá
certo... não consigo explicar direito, mas dá certo ó, faz você agora...”
O ocorrido foi levado ao grupo maior no final da atividade e outras
explicações surgiram, porém, todas se apresentaram inconsistentes. Nesse
momento, resolvemos retomar o conceito de porcentagem com o qual as
licenciandas conseguiram explicar o ocorrido. Recorrendo à idéia da aluna do
grupo 4 acima mencionada – 0,25 já é o 25 dividido por 100 –
institucionalizamos esse resultado matemático relativo à porcentagem e, ao
mesmo tempo, um conhecimento instrumental: a equivalência da tecla % com
esse tipo de operação. Destacamos, ainda, a função da calculadora como
elemento problematizador nesta atividade, uma vez que foi o uso da tecla %
que motivou essa discussão sobre a(s) operação(ões) matemática(s) que estão
nela representadas, como se estivessem abrindo uma “caixa preta”.
Ao final, os grupos indicaram o papel da calculadora nessa atividade:
1. auxilia no conceito de porcentagem: permite explorar esse conceito no
sentido de entender o uso da tecla e a(s) operação(ões) que esta representa;
2. agiliza os cálculos, mudando o foco de resolução por algoritmo para a
elaboração de estratégias de resolução
Intervimos no sentindo de ajudar as licenciandas a perceberem que,
durante todo o processo, surgiram questões, como por exemplo a questão da
porcentagem, que permitiram levantar hipóteses e fazer generalizações. Neste
76
momento, destacamos o papel da calculadora como elemento problematizador
durante a atividade, e elas acrescentaram um item:
3. problematizadora: o próprio manuseio da calculadora gera questões, permite
levantar hipóteses, permite observar as operações que estão envolvidas, e até
generalizar.
Essa atividade foi recebida com muita empolgação por parte dos
integrantes dos grupos, pois estes se surpreenderam com as possibilidades de
utilização das referidas teclas:
“Sempre tive curiosidade para saber o que eram aquelas letras na calculadora,
se os números são pra calcular pra que servia aquelas letras? Hoje acho que a
calculadora ficou maior, porque até as letras agora eu entendo e vou usar,
quero ensinar isso pro meu marido e pra meus filhos, é bom”. (L5, integrante do
Grupo 1).
Quando a aluna afirma “a calculadora ficou maior”, fica nítido a
ampliação de seus esquemas de uso da calculadora, caracterizando o
processo de gênese instrumental, no caso, de instrumentação. O mesmo pode
ser dito em relação à licencianda L4 do Grupo 3:
“Nossa, a gente passa anos com uma coisa achando que ela serve pra uma
coisa e depois aprende que ela serve pra muito mais, porque ninguém falou
isso antes?”
Essa fala também denota que a aprendizagem construída durante o uso
da calculadora leva a um desenvolvimento de competências para a sua
manipulação (esquemas de uso), ocorrendo assim um desenvolvimento
instrumental por parte da licencianda.
77
Acreditamos ter atingido o objetivo inicial que era o de motivar as
estudantes fazendo-as “descobrir” o funcionamento de algumas teclas, se
instrumentando (desenvolvendo esquemas de uso para funções já previstas), o
que representa fazê-las evoluir num processo de gênese para a construção do
instrumento calculadora. Mas é importante observar que é a construção de um
instrumento para elas, para uso em suas práticas, não necessariamente para o
ensino, para uma prática em sala de aula. É isso que buscamos fazer avançar
com as próximas atividades nos encontros seguintes.
4.2.2 - Descrição dos dados e principais resultados do Quarto
encontro
As atividades utilizadas nesse encontro tem como finalidade utilizar a
calculadora para explorar os campos aditivo e multiplicativo, onde o papel da
mesma pudesse ser reconhecido para além da ferramenta de cálculo, como
geradora de dados, para levantamento de conjecturas e validação experimental
destas.
Essa sequência de atividades 02 (c.f. anexo 04) foi elaborada com os
seguintes objetivos potenciais :
1-Explorar os campos aditivos e multiplicativos a partir da ferramenta
calculadora.
2-Desenvolver a capacidade de generalização e de observação de padrões
numéricos.
78
O papel da calculadora nessas atividades é de :
1-alíviar a carga de operacionalização permitindo que o foco esteja na análise
de regularidades e não no processo algorítmico .
2- explorar regularidades numéricas. Nesse atividade a calculadora permitirá a
observação mais rápida e direta de alguns padrões numéricos obtidos por meio
da realização de operações, tais como multiplicar por 10, 100, 1000,
observando a regularidade nos resultados obtidos.
3-ferramenta de generalização e geradora de dados. Nessa caso os dados
gerados pela calculadora são essenciais para que as licenciandas possam
estabelecer uma generalização elaborando assim, por exemplo, regras para a
divisibilidade por 2.
O saber matemático (Sm) visado é o Sistema de numeração decimal (SND).
4.2.2.1 Análise a posteriori
No 4º encontro, iniciamos com uma síntese das atividades
desenvolvidas no encontro anterior e destacamos mais uma vez que a
calculadora, por ela própria, é uma fonte de novos problemas, possuindo
portanto um papel problematizador.
Durante a atividade, as integrantes do Grupo 2 sentiram-se inseguras
quando se depararam com a elaboração de uma regra para a divisibilidade:
L9 : “Será que a gente já pode falar que dá certo pra todos os números?”
L2 : “Eu também tô achando que a gente tá se precipitando, vamos inventar uns
exemplos nossos e ver se também bate o resultado.”
79
L1 : “Olha, eu acho que a gente pode afirmar sim, já fizemos um monte e
sempre dá certo, pro resultado dar sem vírgulas só os pares podem ser
divididos por dois.”
Da sequência de falas anteriores, percebemos que, o grupo, mesmo
tendo efetuado os exemplos existentes na tarefa, resolveu realizar outros casos
antes de generalizar. A calculadora apresenta-se como geradora de dados, os
quais podem ser organizados e analisados para uma generalização.
Ao trabalharem com múltiplos e submúltiplos, os Grupos 1 e 2
elaboraram uma regra que segundo eles “funcionava” com números inteiros e
outra regra que “funcionava” com números decimais. Ao serem indagadas
sobre o porque dessa distinção, os dois grupos alegaram “praticidade” e maior
clareza do ponto de vista do trabalho com os alunos.
L3 :“Assim, não confunde as crianças.”
L11 : “Tendo duas regras, elas vão direto, é mais rápido.”
L2 : “Pedagogicamente, é melhor, pois tem uma regra pro número inteiro e
outra pro decimal, facilitando o aprendizado.”
A presença dos termos: criança, pedagogicamente e aprendizado, nas
falas anteriores, mostra que as licenciandas começam a se colocar em
situação de professoras, considerando a atividade para o ensino, a ser
proposta aos alunos e o que acham que é mais adequado pedagogicamente,
ou seja, um processo de apropriação, para transformação do artefato
calculadora em instrumento a ser usado com os alunos, em sala de aula, numa
situação de ensino.
80
Os dois grupos foram indagados sobre qual a importância da calculadora
nesse processo. Uma estudante do Grupo 2 afirma:
L1 : “Ela é importante porque depois a gente pode pedir para que os alunos
transformem essas duas regras em uma regra só, aí eles vão ter que fazer
muitos exemplos e a calculadora vai facilitar.”
Embora a estudante se refira à resolução específica mencionada acima,
reconhece o papel da ferramenta na verificação de um resultado, por facilitar o
teste de vários casos ou a produção de vários exemplos. O mesmo aparece no
comentário de outra estudante reproduzido abaixo.
L3 : “Facilita porque eles podem fazer um número maior de exemplos e montar
uma tabela bem grande para ter certeza que a regra dá certo.”
Nessa atividade, já notamos uma referência das estudantes aos alunos,
como se estivessem no papel de professoras, refletindo na resolução da
atividade pensando no aluno e como a calculadora poderia contribuir para a
atividade do ponto de vista da aprendizagem. Nessa atitude, podemos
perceber um início do processo de instrumentalização, uma vez que as
licenciandas começam a estabelecer relações entre o uso do artefato, numa
situação de ensino: a calculadora que, inicialmente era utilizada para realizar
cálculos, agora passa a ser vista como um recurso pedagógico, para ser usado
com os alunos, devendo-se pensar no uso que estes podem fazer. Elas
modificam assim a relação com esse artefato, atribuindo uma função particular,
identificando-o com uma situação de ensino.
Ao final da atividade, discutimos no grupo maior o papel da calculadora
nessa atividade, a partir das idéias e afirmações das estudantes nos grupos
menores. Retomamos a discussão de alguns papéis da calculadora, a
81
exemplo do que foi discutido no final da Atividade 1. As licenciandas
destacaram:
1. acelerar cálculos;
2. produtora de dados;
3. facilita a generalização das regras;
4. auxilia na interpretação e discussão sobre hipóteses.
Mesmo sabendo que os itens 2, 3 e 4 se integram e se complementam,
pois geramos dados para elaborar conjecturas a partir da identificação de um
padrão, o que permite generalizar após a verificação de vários casos,
resolvemos não interferir e não sugerir outra formulação, entender que as
licenciandas conseguiram perceber que a calculadora pode assumir esses
diferentes papeis em uma mesma atividade.
Neste encontro, além de conseguirmos atingir o objetivo inicial, que era
de reconhecer a calculadora como ferramenta geradora de dados, para o
levantamento de conjecturas e validação experimental, constatamos, pela
primeira vez, o início do processo de instrumentalização, uma vez que a
calculadora passa a ser vista segundo seu potencial pedagógico, com funções
que não eram antes conhecidas e atribuídas explicitamente pelas estudantes.
82
4.2.3 - Descrição dos dados e principais resultados do Quinto
encontro
Atividades do quinto encontro tem como finalidade explorar os campos
aditivos e multiplicativos com o auxílio da calculadora atuando como ferramenta
de validação e generalização.
Essa sequência de atividades 03 (c.f. anexo 05) foi elaborada com os
seguintes objetivos potenciais :
1-Explorar os campos aditivos e multiplicativos a partir da ferramenta
calculadora.
2-Socializar estratégias de resolução usando calculadora. A resolução das
situações permite que as licenciandas possam desenvolver estratégias
próprias e compará-las com as estratégias desenvolvidas por outras
licenciandas validando ou não seus procedimentos.
O papel da calculadora nesta atividade é de :
1-Ferramenta problematizadora.
2-Estimular diferentes procedimentos de cálculo. A resolução de cada ítem
proposto pode ser realizada por diversas maneiras.
O saber matemático (Sm) visado é :
- número e suas operações (SND). As atividades exploram a reflexão sobre o
resultado de operações sobre um número, ordem de grandezas e valor
posicional.
83
4.2.3.1 Análise a posteriori
No primeiro jogo “Aumentando o número de zeros”, observamos que os
integrantes dos grupos mais discutiam usando papel e lápis do que a própria
calculadora que, na maioria dos casos, foi utilizada apenas no final do
processo para validá-lo. Algumas estudantes perceberam isso e se
expressaram a respeito:
L7 : “Nunca fiz tanta conta no papel com uma calculadora do lado!”
Ao ser indagada sobre o porquê então não utilizava a calculadora ela
responde:
L7 : “Porque no papel eu vejo o número e sei onde mexer (referindo-se a
unidade, dezena e centena), aí se der certo eu ponho na calculadora e
confirmo.”
A calculadora aparece então como elemento de verificação, sendo
utilizada para validar a hipótese inicial e que levaria a um maior resultado. Na
verdade, o que a estudante coloca pode ser interpretado como uma dificuldade
que ela vê para o registro. Em sua estratégia, ela desejava manter o registro da
seqüência de operações, o que para ela a calculadora não permitia ou não era
adequada.
O segundo jogo “Caça ao tesouro” causou uma grande discussão.
Inicialmente, 2 grupos G1 e G3 após 5 minutos, já diziam ter encontrado a
resposta. Após fazer uma reprodução do mapa no quadro negro, pedi para que
um componente de cada grupo indicasse o percurso escolhido e o porquê da
escolha.
84
G1 : “Escolhemos esse caminho porque só tem soma e multiplicação assim o
número final é maior.”
Figura 4 – atividade com jogo “caça ao tesouro”.
G3 : “A adição e a multiplicação aumentam o número e o resultado fica sendo o
maior.”
Nesse momento um componente do Grupo 4 diz:
L14 : “Eu não concordo! Eu ainda não terminei mas já fiz aqui uma divisão e
uma subtração. Na subtração o número diminuiu, mas na divisão ele
aumentou!
85
Figura 5 – atividade com jogo “caça ao tesouro”.
Um componente do Grupo 3 intervem:
“Você errou na hora de apertar a tecla, digita de novo.”
Nesse momento, surgem falas entre integrantes do grupo discutindo
entre si. Foi pedido para que pensassem um pouco mais e “experimentassem”
outros caminhos para tentar solucionar o problema, diante das posições
distintas nos grupos.
Apesar de estarem em grupos, as ações ocorreram de maneira
individual, com cada integrante escolhendo um percurso e indicando a
resposta, enquanto outros procuravam outros caminhos para conseguir um
86
resultado menor, até que as possibilidades se esgotaram e elegeram uma
sequência cujo resultado era o maior valor.
O Grupo 4 venceu o jogo, pois encontrou o maior resultado porém não
conseguiu explicar porque certas divisões aumentavam o resultado.
Abrimos a discussão geral e algumas hipóteses foram levantadas:
L20 : “Acho que é porque a divisão tá sendo feita com número com vírgula.”
L4 : “Não é não, porque aqui eu dividi por 2,3 e não deu maior, acho que isso é
coincidência.”
L3 : “Ó gente, agora piorou, olha aqui no mapa quando multiplica por 0,03 o
número diminui .... professor acho que o senhor montou errado... “
Após várias proposições, intervimos relembrando a propriedade do
elemento neutro da multiplicação e divisão e depois pedimos para que
verificassem o que ocorria com multiplicações e divisões com números maiores
que um, e depois com números menores que 1, incluindo números inteiros e
racionais (na forma decimal).
Após alguns minutos de experimentação, as integrantes do grupo 3
foram a frente e no quadro negro deram uma explicação:
2 : 1 = 2
chegando à seguinte conclusão:
“Porque é menor que um, quando é um dá o mesmo número, quando é maior
que um dá um número maior e quando é menor que um dá um número maior,
isso é uma regra, pode fazer na calculadora para ver.”
87
A sessão chegou ao seu final e não tivemos tempo suficiente para
esgotar essa discussão, nem para indicar o papel da calculadora nessa tarefa,
o que ficou para ser discutido no início do encontro seguinte.
4.2.4 - Descrição dos dados e principais resultados do Sexto
encontro
Iniciamos com uma discussão sobre o papel da calculadora nas
atividades do encontro anterior, as licenciandas foram citando oralmente
enquanto uma delas fazia o registro na lousa, ao final selecionamos as falas
mais representativas:
1. auxiliar pra não nos perdermos no processo e verificar mais rápido se o
resultado é valido ou não;
2- automatizadora de cálculos para nos concentrarmos nas estratégias;
3- auxiliar para a ruptura de “mitos” (a divisão sempre diminui e a multiplicação
aumenta) ajudando a pensar em outras explicações;
4- auxilia na produção de dados para serem analisados;
5- auxilia a validar uma hipótese.
A seguir, cada uma das licenciandas recebeu uma folha com três questões:
O que você pensava sobre o uso da calculadora no Ensino Fundamental?
O que mudou após o curso?
O que você gostaria de destacar?
88
Cada grupo, utilizando-se das respostas a essas três perguntas elaborou
um texto único, o qual foi lido no grupo maior e entregue.
4.2.4.1 Análise a posteriori
Todos os grupos são unânimes quanto ao desconhecimento da
calculadora como um recurso pedagógico, todos reduziam o papel da
calculadora como de “agilizadora” de cálculos e, portanto, viam sua utilização
em ambiente escolar como um entrave ao desenvolvimento intelectual dos
alunos. Isso fica evidenciado nas afirmações dos grupos:
Grupo 1: “Como a calculadora é um instrumento para facilitar e agilizar as
contas do dia-a-dia, achávamos que na escola não seria necessária sua
utilização, pois o aluno se acomodaria e não ajudaria em nada em seu
desenvolvimento mental.”
Grupo 02: “A visão que tínhamos sobre esse instrumento é que ele tinha tão
somente o objetivo de facilitador em nosso cotidiano e com isso reduzíamos o
tempo gasto em cálculos... Seu uso na escola não era por nós bem visto, pois
interferiria no raciocínio lógico e o aluno se acomodaria.”
Grupo 03: “Achávamos que o uso da máquina em sala de aula causaria
dependência porque o professor não teria como monitorar... achávamos que
iria atrapalhar a aprendizagem dos algoritmos e assim traria prejuízo ao
desenvolvimento do raciocínio.”
Grupo 04: ...a calculadora era prejudicial às crianças se introduzida no
ambiente de sala de aula pois poderia fazer com que elas perdessem a
motivação em relação a usar o algoritmo, pois a calculadora era mais fácil...”
Após os encontros e as discussões realizadas, todos os grupos
reconhecem que a calculadora pode ser utilizada como recurso para
89
aprendizagem, assumindo outras funções. Afirmamos isso com base nas
seguintes constatações:
Grupo 01: “...aguça a curiosidade, serve para estimular o raciocínio já que o
aluno vai ter que pensar que conta fazer... era tudo uma questão de aprender a
usar a calculadora para outras coisas, não só pra fazer contas...”
Nessa fala o grupo demonstra que após a realização e análise das
atividades reconhece o saber instrumental e o saber didático envolvido no uso
da calculadora em sala de aula, declinando assim indícios de
instrumentalização e instrumentação (Gênese instrumental).
Grupo 02: “A calculadora é algo mais, é um instrumento que pode ser usado
para desenvolver a motivação e o raciocínio... ela só faz a conta, mas não
pensa pelo aluno ... a mediação do professor e as atividades que ele inventa
fazem a diferença no uso da calculadora, senão ela só serve pra fazer
contas...”
Grupo 03: “A calculadora é um instrumento que pode contribuir para a melhoria
do ensino da Matemática porque é motivador na realização de tarefas
exploratórias e de investigação... o uso da calculadora é importante, mas mais
importante são as atividades que o professor inventa para usar a calculadora.”
Grupo 04: “A calculadora é um instrumento para aprender matemática se o
professor construir tarefas que usem essa calculadora com outras funções que
não a de apenas fazer cálculos. A atividade com a tecla quebrada desenvolve
muito o raciocínio, pois a calculadora não dá a resposta, ela apenas é o lugar
onde a gente vai tentar verificar se a resposta é lógica ou não... a calculadora
só ajuda se estiver bem planejada.”
Dois grupos destacam a importância da ação do professor no processo,
como podemos ler nos depoimentos reproduzidos abaixo.
90
Grupo 02: “...antes de entrar na sala de aula, a calculadora deve fazer parte de
um planejamento de curso, com objetivos claros, possibilitando
encaminhamento de atividades que contribuirão para o desenvolvimento do
raciocínio dos alunos, e isso só um professor bem preparado conseguirá fazer.
Ele deve elaborar atividades onde o aluno utilize-se da calculadora para
aprender matemática e desenvolver o raciocínio lógico como por exemplo na
atividade de tecla quebrada..”
Grupo 03: “Os professores só poderão contar com a calculadora como um
recurso pedagógico se eles souberem usá-la em diferentes situações e
elaborarem exercícios onde a calculadora seja usada para criar dados, analisar
os resultados ou criar regras... mas isso ainda está muito longe da sala de aula,
porque o professor não consegue nem usar direito a calculadora...Então o
professor precisa de dois aspectos: um deles é saber usar a calculadora e
outro é saber usá-la em aula para melhorar o ensino de matemática pois ela
pode servir para realizar atividade onde o foco não seja só as contas, como por
exemplo no jogo.”
Nesse momento percebemos o emergir de um saber didático, há uma
preocupação em destacar o uso da calculadora agora como um “recurso
pedagógico” bem como o emergir de um saber didático instrumental quando os
grupos passam a se preocupar com a maneira de inserir o instrumento
calculadora. Destacamos, então, a importância das situações didáticas
elaboradas pelo professor no processo de utilização da calculadora como
recurso pedagógico. O grupo maior reconheceu que a introdução da
calculadora no ambiente escolar está fortemente vinculada ao tipo de atividade
proposta elaborada pelo professor, segundo as licenciandas é a atividade
quem determinará se a calculadora será utilizada apenas para agilizar cálculos
ou se assumirá outros papéis. Nessa fala reconhecemos o processo de
instrumentalização pois já há uma preocupação em utilizar a calculadora em
91
outras situações que não simplesmente para agilização de cálculos. Outras
possibilidades de uso emergiram o saber instrumental foi ampliado. Nota-se
aqui como o saber instrumental modifica também os saberes matemático e
didático uma vez que a utilização do artefato que passa a instrumento modifica
o desenvolvimento cognitivo.
O que mais surpreendeu as licenciandas não foi a utilização da
calculadora em atividades pedagógicas, mas outrossim aprender a explorar os
recursos das teclas de memória e de porcentagem, ou seja, instrumentação.
Nesse sentido podemos dizer que a apropriação do artefato se deu pela
integração deste à estrutura cognitiva das licenciandas ou seja, houve a
construção de esquemas ampliando assim o saber instrumental (Si). A falas
abaixo denotam essas observações:
Grupo 01: “Gostaríamos de destacar a grande importância da aprendizagem
das teclas de memória e de porcentagem, tão importantes para uso do
cotidiano e nós não sabíamos...”
Grupo 02: “...destaque deve ser feito a aprendizagem do uso das teclas que
eram desconhecidas e que agora facilitarão ainda mais nossas vidas...”
Grupo 03: “...para ensinar, temos que aprender por isso saber usar as teclas de
memória foi importante, assim temos mais segurança porque conhecemos
melhor os recursos da máquina...”
Grupo 04: “...vale destacar a grande utilidade de termos aprendido usar as
teclas que não sabíamos, assim vamos pra sala de aula mais seguros pois não
tem nada na máquina que se os alunos perguntarem nós não conhecemos.”
92
4.2.5 - Descrição dos dados e principais resultados do Sétimo
encontro
No sétimo encontro cada grupo concebeu atividades para serem
utilizadas com alunos do EF-I, juntamente com cada atividade o grupo indicou
a finalidade da calculadora. O principal objetivo desse procedimento foi verificar
o impacto que as atividades com calculadora proporcionaram no saber didático
matemático e didático intrumental das licenciandas.
4.2.5.1 Análise a posteriori
Abaixo reproduzimos as atividades elaboradas ao final do curso por
cada um dos grupos, bem como a sugestão de aplicação. Essas atividades,
quando comparadas às atividades iniciais, denotam um enriquecimento dos
esquemas mentais de utilização da calculadora, tanto no saber instrumental
quanto no saber didático instrumental, o saber matemático e didático
matemático tanto foram enriquecidos pelo contato com a calculadora. Fica
clara a preocupação das licenciandas com a compreensão do funcionamento
da ferramenta pelo aluno e da dependência dessa compreensão com a
maneira como são apresentadas e organizadas a sequência de atividades.
Grupo 01
Atividade 01 - Ditado com calculadora
Objetivos:
* exploração das teclas de memória existentes na calculadora, dando ao aluno condições de manipulá-las de maneira ágil e correta.
* agilizar os cálculos para que o aluno tenha mais tempo para organizar uma estratégia de resolução do problema.
93
Desenvolvimento: Os alunos resolverão com a calculadora usando as teclas de memória, ao final do ditado, o resultado tem que aparecer no visor da calculadora. A professora depois de ensinar a usar as teclas de memória, lê em voz alta um problema, os alunos prestam atenção. Durante uma segunda leitura, os alunos vão imediatamente calculando, no final da leitura todos os alunos anotam o resultado e entregam para a professora.
Ditado:
João comprou 3 camisas por R$ 15,00 cada uma, 4 calças por R$ 60,00 cada uma e 12 pares de meia cada um por R$ 2,0. Pagou com R$ 350,00, quanto recebeu de troco?
Atividade 02 – Tecla Quebrada
Objetivos:
*estimular o raciocínio do aluno na elaboração de estratégias.
*utilizar a calculadora como situação problema.
Desenvolvimento: o professor entrega aos alunos a atividade e em grupos discutem.
Usando apenas as teclas 2, 3, 5, x, +, = e AC faça aparecer, por pelo menos dois caminhos diferentes, na calculadora os seguintes números 6, 7, 8, 10 e 12.
Atividade 03 – múltiplos e submúltiplos de 10
Objetivo:
* usar a calculadora como geradora de dados para produzir generalizações.
* Refletir sobre divisão por 10 e seus múltiplos.
Desenvolvimento: o professor distribui a atividade e vai juntamente com os alunos buscar uma generalização para que sem usar a calculadora e o lápis consiga chega ao resultado a partir do cálculo mental.
Utilizando a calculadora resolva:
a-) 66 x 10 d-) 66 : 10
b-) 66 x 100 e-) 66 : 100
c-) 6,6 x 100 f-) 6,6 : 100
qual regra prática você criaria para resolver as mesmas operações sem calculadora?
94
Nas atividades propostas pelo grupo 01 fica claro como as
especificidades e potencialidades do artefato calculadora condicionaram as
ações das licenciandas ao resolver (saber matemático) e por conseqüência,
elaborar (saber didático matemático e instrumental) um dado problema. O
saber matemático específico de operação com decimais é introduzido via
calculadora ou seja, a mediação da desvia o foco do algoritmo aumentando a
capacidade de atenção nas diferentes maneiras de resolução. Nesse caso
nota-se uma relação do tipo S-i-O.
Na atividade 1 o grupo pretendeu condicionar o uso dos esquemas de
ação para as teclas de memória indicando uma preocupação com o saber
instrumental. Essa escolha parece assinalar a importância de conhecer certas
especificidades (no caso uso da tecla de memória) para explorar os recursos
da ferramenta de maneira a potencializar uma dada atividade matemática (que
foi organizada na forma de ditado).
A atividade 3 indica um redimencionamento no saber didático
matemático uma vez que o grupo elaborou uma atividade de generalização (o
que não é comum no Ensino de Matemática) incluindo a calculadora (saber
instrumental e didático instrumental)
Grupo 02
Atividades com calculadora
Objetivo: usar a calculadora em diferentes situações para desenvolver novas aplicações desta maquina, usando teclas que eram desconhecidas e estimulando o raciocínio. Facilitar as operações para refletir mais sobre o problema apresentado na aula de matemática.
1-) Um homem ganha R$ 4106,00 e gasta R$ 650,00 de aluguel, R$ 560,00 com alimentação, R$ 320,00 com transporte e R$ 1900,00 com saúde e educação. Quanto
95
lhe sobra para outros gastos?
2-) Quanto é:
a-) 12% de 420?
b-) 2,3% de 98,64?
c-) 12% de 600?
3-) Usando apenas uma vez cada tecla numérica da calculadora e necessariamente as 4 operações fundamentais, também apenas uma vez, obtenha o maior número possível.
4-) Encontre mais de uma maneira de digitar o número 54 na calculadora sem usar as teclas 5 e 4.
5-) Uma moto pode ser paga em 49 vezes de R$ 139,00. Qual é o valor pago pela moto? Descreva como você chegou ao resultado.
As atividades elaboradas pelo grupo 2 denotam um crescimento nos esquemas
de uso da calculadora, indicando a ocorrência da gênese instrumental nas
licenciandas em seu duplo processo de apropriação dos instrumentos, a
instrumentação a partir da elaboração de esquemas de uso para as teclas de
porcentagem e a instrumentalização a partir da utilização da calculadora como
elemento problematizador (questão 4) ou ainda, como elemento mediador entre
a resolução de problemas e o conceito de porcentagem. Aqui nota-se a relação
S-i-O ou seja, a relação entre o sujeito e o objeto (no caso a noção de
porcentagem) mediada pelo instrumento (no caso a calculadora). Percebe-se a
evolução de um saber matemático e de um saber instrumental à um saber
didático matemático e didático instrumental uma vez que a calculadora foi
utilizada em um situação de aprendizagem antes não concebida.
96
Grupo 03
Objetivos: Aprender a utilizar as teclas da calculadora que são desconhecidas. Utilizar a calculadora para estimular o raciocínio dos alunos a partir da resolução de problemas.
Desenvolvimento: ensinar os alunos a usarem as teclas de porcentagem, igual e memória, depois introduzir os exercícios 1 e 2. Tirar dúvidas. Propor o exercícios 3 e estabelecer uma gincana premiando os ganhadores.
Atividades
1-) Com o auxílio da calculadora, use a tecla de porcentagem para resolver os exercícios abaixo:
a-) 10% de 485 =
b-) 5% de 2798 =
2-) Rodrigo comprou um carro novo por 50.000,00, deu como parte de pagamento seu carro velho no valor de 46% do carro novo.
a-) Quanto valia o carro de Rodrigo?
b-) Quanto Rodrigo terá que pagar para completar o valor do carro?
3-) Faça a seguinte operação 423 x 13 sem usar a tecla 3 da calculadora.
Grupo 04
Objetivo das atividades:
Atividade 1: -uso da calculadora para validar procedimentos e comparar calculo mental com papel e lápis.
Atividade 2: -uso das teclas especiais da calculadora para ensinar os alunos a usá-las. Agilizar o cálculo e dar preferência ao raciocínio matemático.
Desenvolvimentos: após ensinar os alunos a usarem as teclas especiais da calculadora, propor a atividade 2 e verificar em que condições usaram a calculadora para descobrir o papel dela na atividade.
Atividade 1: Na sala de aula, um colega ou a professora dita “3 x 4”, enquanto uns fazem a conta de cabeça, outros no papel, outros na calculadora, os alunos que fizeram na calculadora dizem se os que fizeram mentalmente e no papel e lápis acertaram.
Atividade 2: a-) Como podemos obter 40% de R$ 139,00 utilizando as teclas da calculadora?
b-) Na 25 de março, comprei, 5 bolas por R$ 5,50, 2 carrinhos por R$3,59, 6 bonecas por R$ 7,00 e 8 jogos por R$ 40,00. Quanto gastei em cada boneca? E em cada bola?
97
As atividades dos grupos 2 e 3 demonstram um processo ainda inicial de
gênese instrumental com destaque na instrumentação focando portanto
relações do tipo S-i ou seja, as atividades evocam a construção e reconstrução
de dos esquemas de utilização do artefato calculadora. Daí nos levando a
perceber que o processo de gênese instrumental é pessoal e necessita de
tempos diferentes para se processar. Esse grupo ainda não consegue elaborar
satisfatoriamente relações S-i-O características do processo de
instrumentalização. As atividades ainda são concebidas com o intuito de
atualizar e de modificar os esquemas de utilização do artefato calculadora, o
que fica deflagrado pelo objetivo proposto para a atividade.
4.2.5 - Descrição dos dados e principais resultados do Oitavo
encontro
Para finalizar, no último encontro lemos um texto extraído do site matemática
hoje que traz uma pergunta para reflexão:
Mas se o estudo da Matemática com calculadoras não faz mal, por que faria
bem?
Para 10 licenciandas o uso da calculadora seria um estímulo a mais às
aulas e uma maneira de inserir a tecnologia em atividades de desenvolvam o
raciocínio. Todas as licenciandas indicam e reforçam a idéia do “faz bem”
desde que não substitua os algoritmos e em situações muito bem planejadas.
Outras duas licenciandas acreditam que a introdução da calculadora nas aulas
de matemáticas é um importante meio para explorar conceitos matemáticos
98
como números decimais, e ainda para desenvolver atividades que não são
comuns nas aulas de matemática como validação, levantamento de dados e
problematização. Alguns registros merecem destaque:
L1: “Faria bem pois essa máquina pode ser um recurso didático assim como os
jogos, ela pode ser usada para produzir outras formas de pensar na
Matemática, como por exemplo na atividade da tecla quebrada onde o aluno
passa a perceber que há várias formas possíveis e, portanto, mais de uma
possibilidade correta”.
L4: “Faria bem primeiro porque uma tecnologia que só servia para fazer contas
pode ser usada como elemento didático e auxiliar o professor a propor outras
formas de ensinar Matemática . Gerar dados e usar a calculadora para verificar
hipóteses é uma dessas maneiras.
L5: “Porque amplia a utilização dessa máquina, os alunos aprenderão usar
teclas que antes pareciam „enfeites‟ e ainda o professor passa a ver essa
máquina como um elemento a mais para ensinar Matemática e não
simplesmente uma fazedora de contas automática.
L3: “Eu não era a favor do uso porque pensava apenas no uso que se faz da
calculadora no dia-a-dia, mas agora vejo que essa máquina na escola não
serve apenas para acelerar as contas, ela mesma pode ser um recurso a mais
para melhorar a aprendizagem dos alunos, mas para isso é preciso que o foco
mude, não podemos apenas ensinar a fazer contas, precisamos pensar outros
objetivos da Matemática.”
Nota-se a partir das falas anteriores, indícios de um processo de
instrumentalização pois essas licenciandas, que no questionário preliminar
eram contra o uso da calculadora por “substituir” os algoritmos, agora
apropriam-se, pelo menos em seus discursos, da calculadora como um recurso
didático havendo portanto ampliado as relações S-i e S-i-O bem como os
99
saberes instrumental e didático-instrumental. A criação de novos esquemas de
uso, adaptação de esquemas já existentes bem como a utilização dos
esquemas já existentes indicam o processo de instrumentação ou seja, houve
modificação nas relações S-i. A ampliação das relações S-i possibilitou as
licenciandas novas possibilidades de organizar sua ação pedagógica quer com
o saber matemático quer com o saber didático instrumental surgindo assim
novas relações S-i-O.
100
CAPÍTULO IV
Considerações finais
(...) na Engenharia Didática, a validação é
essencialmente interna, fundada no confronto
entre a análise a priori e a análise a
posteriori ”.
Michele Artigue
101
Para organizar nossas considerações finais, resgataremos alguns
elementos essenciais de nosso referencial teórico.
Os estudos de Rabardel e Verillon (1995) tornaram óbvio que o
desenvolvimento cognitivo construído a partir das relações humanas com os
artefatos não pode ser limitado somente à relação dual sujeito–instrumento.
Esses estudos ressaltam as múltiplas relações que, na atividade
instrumentada, associam o sujeito, o instrumento e o objeto para o qual a ação
instrumental é dirigida. Logo, além da interação sujeito-instrumento (S-i)
devemos também considerar a interação objeto-instrumento de mediação (i-o),
a interação direta entre sujeito-objeto (S-O), a interação objeto-instrumento de
mediação e a interação sujeito-objeto indireta através da mediação do
instrumento (S-i-O). Essas interações caracterizam os processos de
instrumentação (relativos ao sujeito) e instrumentalização (relativos ao objeto)
ou seja, de gênese instrumental, isto é, de transformação de um artefato em
instrumento.
Como nosso estudo envolve licenciandas do curso de Pedagogia e,
portanto, tem um viés na formação inicial de professores, surgiu a necessidade
de também se discutir a relação desse processo de gênese instrumental na
relação saber – professor – aluno; onde, além do saber específico matemático
e instrumental, surge a necessidade de análise do saber didático matemático e
do saber didático instrumental. Nesse sentido, recorremos a TAPAN que,
modificando o triângulo didático de Brousseau, concebe várias dimensões do
pólo saber quando no pólo aluno nos referimos a um professor ou futuro
professor: o saber matemático (Sm), o saber instrumental (Si), o saber didático-
matemático (Sd-m) e o saber didático instrumental (Sd-i).
102
Durante o caminhar da Engenharia de formação percebemos que à
medida que as licenciandas modificavam sua relação com o saber instrumental
(Si) e com o saber didático-instrumental (Sd-i) a partir da gênese instrumental, o
saber matemático (Sm) e o saber didático-matemático (Sd-m) também sofriam
modificações a fim de acomodar as novas interações com o instrumento
calculadora.
Nosso estudo mostrou que a postura contra a utilização da calculadora
nas séries inicias se deve a construção cognitiva do artefato sob a influência de
sua aplicabilidade no cotidiano social: agilização de cálculos, substituta dos
algoritmos. À medida que as licenciandas realizavam as atividades, iniciou-se
um processo de apropriação da calculadora como instrumento uma vez que
esquemas de uso foram sendo construídos, ou seja, o artefato foi se integrando
à estrutura cognitiva dos sujeitos. Essa autoconstrução dirigida é indício do
processo de instrumentação. A utilização das teclas de memória e de
porcentagem exemplifica essa autoconstrução uma vez que acionaram o
processo de apropriação do instrumento mudando a visão que se tinha da
calculadora e enriquecendo assim as possibilidades de uso. Dois saberes
estão diretamente envolvidos nesse processo, o saber instrumental, que
possibilitou organizar esquemas de uso para as teclas da calculadora e o saber
matemático, conceito de porcentagem especificamente, resultante da interação
com a atividade envolvendo calculadora. À medida que outras atividades eram
realizadas, as licenciandas puderam atribuir outros usos à calculadora uma vez
que a mesma não estava sendo utilizada segundo a visão inicial: agilizadora de
cálculos. Em cada caso de uso situado, a calculadora não estava sendo usada
da mesma forma o que provocou nas licenciandas uma modificação na relação
103
com o artefato e com suas propriedades funcionais sugerindo o início de um
processo de instrumentalização. Simultaneamente, pudemos observar a
evolução da apropriação da calculadora como elemento pedagógico, fruto da
reflexão sobre as funções da calculadora em cada atividade e de como adaptar
a atividade para ser aplicada em determinada série do EF-I. A discussão em
grupo mostrou-se muito importante por explicitar novas possibilidades de uso,
fazendo surgir um movimento circular de desenvolvimento mútuo que levou as
licenciandas a descentrar-se de suas próprias ações para ressituá-las e
coordená-las em outra, a do aluno, condição suficiente para determinar a
presença de um saber didático instrumental surgindo.
Assim, ao findarmos nosso estudo, acreditamos ter atingido nosso
objetivo inicial: enfocar a elaboração de uma engenharia de formação, usando
a abordagem instrumental de Rabardel (1995), de tal forma que os envolvidos,
professores em formação inicial, pudessem vivenciar processos de gênese
instrumental nas suas duas dimensões: instrumentação e instrumentalização.
A progressiva gênese instrumental promoveu novas relações entre as
dimensões do saber segundo Tapan (2006), a medida em que as relações
entre as licencinadas e a calculadora foram se ampliando.
Devemos contudo considerar algumas limitações dessa investigação. A
primeira é a limitação temporal, primeiro porque a gênese instrumental
envolvendo futuros professores é um processo complexo que requer um tempo
maior porque mobiliza, além de saberes instrumentais, saberes matemáticos e
saberes didáticos. Segundo porque os esquemas de uso, desenvolvidos ao
longo dos encontros, necessitam de um período de tempo maior para sua
apropriação pois exigem um momento de assimilação que é provocado pela
104
repetição desses esquemas no mesmo tipo de atividade e um momento de
acomodação provocado pela aplicação dos esquemas em atividades
diferentes. A segunda limitação deve-se a grande dificuldade com os
conhecimentos específicos de Matemática a serem mobilizados .... A terceira
limitação relaciona-se falta de aplicação das atividades desenvolvidas pelas
licenciandas para explorar com maior compêtencia suas potencialidades. A
elaboração de atividades e sua posterior aplicação em sala de aula faz surgir
uma análise da extensão dessas atividades bem como um repensar das
possibilidades e potencialidades. Nosso estudo não proporcionou esse
momento o que em muito teria contribuído para desenvolver o processo de
elaboração de atividades diferenciadas para a integração da calculadora. Uma
quarta limitação foi a exigência criativa e enovação necessária para a
elaboração de atividades para serem aplicadas em sala de aula. Essa evolução
nas práticas profissionais exigiu das licenciandas uma nova maneira de
organizar atividades envolvendo tanto saberes matemáticos e instrumentais
quanto saberes didáticos matemáticos e didáticos instrumentais que ainda são
estavam « amadurecidos » de maneira satisfatória.
Apoiados nos resultados deste trabalho, pensamos em algumas
perspectivas futuras de investigação sobre a inserção de calculadoras na
abordagem de Rabardel que aprofundem o estudo de como se dá a gênese
instrumental nesse processo. Acreditamos que novas pesquisas devam
considerar a aplicação das atividades desenvolvidas pelos sujeitos da pesquisa
em sala de aula com um retorno ao grupo para adaptações e reflexões
posteriores. Seguramente o processo de instrumentalização necessita de um
105
tempo maior bem como de uma aplicação das atividades elaboradas em
ambiente de ensino para que o processo possa sedimentar-se.
106
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110
Anexos
111
Anexo 01
Questionário Preliminar
1) Você se lembra quando foi a primeira vez que utilizou uma calculadora? Poderia descrever em qual situação isso ocorreu?
2) Em geral, atualmente, em quais situações você faz uso da calculadora?
3) Você utilizaria calculadora com seus alunos para ensinar Matemática?
Em caso afirmativo, em quais situações?
Em caso negativo, explique por quê.
4) Você acha que o uso da calculadora contribui ou prejudica a aprendizagem do aluno? Comente.
5) “... é fato que o acesso a calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos já é uma realidade para parte significativa da população. A calculadora pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação, é também um recurso para a verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação.” (PCN, 1998, p. 87)
Em que momento da Educação Básica (EFI , EFII ou EM) você acha adequado introduzir o uso da calculadora? Comente.
6) Qual sua opinião sobre a utilização da calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental?
7) Supondo que você pudesse utilizar a calculadora em suas aulas, qual(is) conteúdo(s) poderia(m) ser trabalhados e visando quais objetivos?
8) Caso já tenha desenvolvido alguma atividade com calculadora, descreva-a.
9) Você se sente segura e preparada para usar a calculadora como um recurso didático? Justifique-se.
112
Anexo 02
Iniciando a conversa: “A favor ou contra?”
Você é contra ou a favor do uso da calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental? Apresente dois argumentos que sustentem sua posição.
A utilização da calculadora nos ambientes educacionais ainda é controversa e mesmo quando ocorre, se faz, na maioria das vezes apenas para agilizar cálculos. No quadro abaixo, vamos tentar reunir argumentos que justifiquem as posições “a favor” ou “contra” o uso da calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental.
Favorável Não favorável
113
ANEXO 03
Leitura: O uso da Calculadora na sala de aula
TEXTO 1
O uso da calculadora nas salas de aula continua sendo questionado por professores, pais, legisladores e, até mesmo, por alunos. Acham que o uso da calculadora pode afetar a memória e mesmo a capacidade de raciocinar bem. Nada existe, em pesquisa, que apóie esses temores. Atribuo essas atitudes a um excessivo conservadorismo e uma falta de visão histórica sobre como a tecnologia é parte integrante da sociedade e determina os rumos tomados pelas civilizações. A história nos ensina que só pode haver progresso científico, tecnológico e social se a sociedade incorporar, no seu cotidiano, todos os meios tecnológicos disponíveis. Assim, depois da invenção da escrita, não se pode justificar que alguém se recuse a ler e escrever, depois da invenção da imprensa, não se justifica que alguém não tenha acesso a livros e jornais, depois da adoção, na Europa, da aritmética indo-arábica, não se justificaria alguém se limitando a fazer contas com os ábacos, e assim, desde que há relógios não se justifica exigir que se diga as horas, olhando para o céu, nem se justifica que, existindo automóveis, ônibus e caminhões, se utilize o cavalo como transporte. A sociedade se organiza em função da tecnologia disponível. E como se justifica continuar operando com a tecnologia da aritmética de papel, lápis e tabuada? Há muitas que reagem à adoção do novo por dúvidas conceituais.
Outros recusam com alegações como custo, falta de recursos para a compra de uma calculadora, o que resulta no desvio da atenção para uma questão muito mais grave, que é a pobreza. E com base nessa fixação contra a calculadora, contribuem para que a criança não tenha condições de se incorporar ao mundo moderno. A criança está sendo preparada para utilizar tecnologia velha, que está rapidamente entrando em desuso.
(D’Ambrósio, 2003)7
TEXTO 2
O professor Douglas Leite Bicudo, de Campinas, S.P., me propõe, sem rodeios, a seguinte questão:
“Qual a sua opinião sobre o uso das calculadoras nos cursos ginasial e colegial?”
Darei uma resposta concisa e, em seguida, procurarei explicar as razões da minha posição. Acho absolutamente necessário que a criança, ao fim do 4º ano primário, conheça de cor a tabuada e saiba efetuar manualmente as quatro operações com números inteiros, com frações ordinárias e com frações decimais. Uma vez conseguido este objetivo, não me oponho ao uso de máquinas, mais tarde, quando houver vantagem em usá-las. O surgimento das calculadoras eletrônicas representa um enorme progresso na direção da eficiência, precisão e rapidez nas contas, em quase todos os segmentos da sociedade moderna. Seria impossível negar, ou mesmo tentar diminuir a ênfase desta afirmação, pois o sucesso comercial de tais máquinas prova eloqüentemente sua utilidade. Em conseqüência disto, é natural que se procure introduzir as calculadoras na Escola. Tal medida tem sido proposta e executada em nome de dois princípios bastante aceitáveis. O primeiro é que a Escola deve adaptar-se à vida atual,
7 Texto elaborado pelo Prof. Ubiratan D’Ambrosio para um curso a distância, oferecido pela SBEM em Junho de 2003.
114
modernizar-se e adequar seus alunos à sociedade em que vivem, na qual vou lutar pela vida. O segundo é que o uso da máquina, liberando o aluno de longas, enfadonhas e desnecessárias tarefas, deixa-o com mais tempo para aprimorar sua capacidade de raciocinar e desenvolver-se mentalmente. Um corolário desta argumentação parece inevitável e tem, de fato, sido defendido como norma a ser adotada: devem ser abolidas a tabuada e as contas manuais. Use-se a máquina em lugar delas. Mas não incorramos no erro de tirar conclusões apressadas. As calculadoras são extremamente eficazes para fazer contas, principalmente as longas, as repetidas e as difíceis (como extrações de raízes). Mas é bom que se tome conhecimento de algumas de suas desvantagens, como as seguintes:
1. Uma calculadora só lida com frações decimais. Se comermos dois terços de um bolo, a calculadora nos dirá que sobra 0,33333333 do bolo. Num universo em que as operações aritméticas fossem todas feitas com auxilio dessas máquinas, não haveria lugar para frações ordinárias. Uma operação simples como 3/7 - 2/7 = 1/7 seria escrita assim: 0,42857142 - 0,28571428 = 0,14285714. Evidentemente, a idéia de “um sétimo” é conceitualmente mais simples, mais fácil de escrever, mais exata e muito mais acessível ao entendimento de uma criança do que “0,14285714”. Logo, não creio haver dúvidas quanto à permanência das frações ordinárias entre os assuntos que nossos alunos aprendem nas escolas. (Bem entendido: não estamos propondo a supremacia absoluta das frações ordinárias sobre as decimais, nem que estas sejam abolidas da Escola. Cada uma delas tem seus méritos e sua hora de ser aprendida e usada.)
2. Os números que aparecem no mostrador de uma calculadora são valores aproximados. Daí resulta que várias das regras usuais de cálculo aritmético não são válidas para contas feitas com a máquina(*)[1Em particular, quando multiplicamos x por 1 /x não obtemos um resultado igual a 1, mas uma fração como 0,99999999. Pior do que isto: se n for um inteiro muito grande, o produto de xn por (1/x)n pode resultar mais diferente de 1 ainda. Por exemplo, 232 vezes (1/2)32 na máquina dá 0,987.
3. Mesmo que não existissem os defeitos apontados acima, haveria ainda a considerar fatores sócio-econômicos que inviabilizam o uso em larga escala das calculadoras. A grande maioria dos alunos de primeiro e segundo grau no Brasil não tem condições financeiras para comprar calculadoras ou baterias para fazê-las funcionar, nem para substituí-las quando quebram ou se perdem.
Memorizar a tabuada e as regras de cálculo aritmético, quando se é jovem e se tem a memória fresca, é adquirir uma habilidade a mais, aprender a efetuar um ato mecânico, como andar de bicicleta, que não atrapalha em nada, mas pode ser útil em várias ocasiões. Isto sem falar no aspecto educativo, na disciplina mental, na ordem e na atenção necessárias a essas operações, as quais podem vir a constituir-se em hábitos de trabalho quando transferidas a outras situações. Mais tarde, principalmente a partir do segundo grau, quando já domina com proficiência as operações e suas regras, quando os cálculos numéricos são meros auxiliares no estudo de outras teorias Quando quer evitar uma grande e desnecessária perda de tempo com cálculos prolongados, o aluno pode vir a utilizar a calculadora, em seu próprio proveito, e em prol do melhor aproveitamento nos estudos. Mas é preciso primeiro verificar se isto não constitui mais uma discriminação contra os menos dotados financeiramente, que poderão ter rendimento inferior, não por culpa de sua deficiência intelectual mas por falta de condições para adquirir uma máquina.
(ELON LAGES LIMA)
115
Em grupo, discuta os textos acima analisando os argumentos de cada autor para o uso ou não da calculadora na sala de aula.
Leitura para casa
TEXTO DO SITE:
http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_publicados.asp?aux=Calculadoras#Anchor-KK
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ANEXO 04
Sequência de Atividades 01
.
Utilizando as teclas de memória
1-) Realize a seguinte sequência de teclas:
*Em algumas calculadoras a tecla pode aparecer como
a-) Qual a função da tecla ?
b-) Qual a função da tecla ?
2-) Realize a seguinte sequência de teclas:
a-) Qual a função da tecla ?
b-) Execute a seguinte sequência de Teclas:
Descreva o que aconteceu.
RM
M+ 30 MR 6 M+
M+
MR
MR RCL MRC
M- 30 MR 6 M+
3 x 5 M+
M-
x 30 5 2 M+ M+ MRC
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Significado das letras da tecla de memória:
M = Memory (memória)
RM = Recall Memory (chamar a memória)
MR = Memory Recall (chamar a memória)
RCL = Recall (chamar)
MRC = Memory Recall and Clear (chama e memória e limpa)
M+ = Additive memory (memória aditiva)
M- = Subtractive Memory (memória subtrativa)
O problema abaixo deve ser resolvido sem o auxílio de papel e lápis, utilizando-se apenas a calculadora (indique a sequência de teclas (ST) utilizada:
Luis Fernando foi à cantina da escola e resolveu comprar fichas para a semana toda. Comprou 5 copos de refrigerante a R$ 1,50 cada um, 5 mistos quentes a R$ 3,20 cada um, 8 chocolates a R$ 0,75 cada um e 3 coxinhas a R$ 1,50 cada uma. Quanto gastou? Pagou com uma nota de R$ 100,00 quanto recebeu de troco?
Utilizando a tecla de porcentagem
Dona Margarida sabe que 10% de 600 corresponde 60. Tentando obter esse valor utilizando a tecla de porcentagem executou as seguintes sequências de teclas:
a-)
b-)
c-)
Qual delas indica a sequência correta para determinação da porcentagem?
% 600 10 +
% 600 10 x
x 600 10 %
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Concluindo ...
Como proceder (elaborar a sequência de teclas) para determinar a porcentagem de um número utilizando-se a tecla de porcentagem ?
Para passar uma semana em Porto Seguro/BA, Laís foi a uma agência de viagens e recebeu um desconto de 5% em um pacote turístico de R$ 1.200,00. Como pagou a vista, pediu um desconto total de 15%.
a-) Se a agência não der o desconto pedido por Lais, quanto pagará pelo pacote turístico?
b-) Caso a agencia aceite a proposta de Laís e conceda o desconto pedido, quanto ela pagará pelo mesmo pacote turístico?
Refletindo e ampliando
1. Qual o papel da calculadora nesta atividade?
2. Esta atividade poderia ser proposta, tal qual, sem o uso da calculadora?
3. Proponha uma atividade que possa ser realizada por seus alunos onde a calculadora seja usada com o mesmo papel da sequência de atividades 01
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ANEXO 05
Sequência de Atividades 02
.
Descobrindo as regras de divisibilidade
1) Divisibilidade por 2
Utilizando a calculadora promova as divisões abaixo:
a-) 100 : 2 = d-) 2617 : 2 = f-) 213 : 2 =
b-) 508 : 2 = c-) 845 : 2 = g-) 2610 : 2 =
h-) 906 : 2 = i-) 8844 : 2 = e-) 437 : 2 =
Quais números divididos por 2 resultaram em números inteiros (naturais)?
Esses números são pares ou ímpares?
Elabore uma regra para prever quando um número apresenta divisão por 2.
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2) Divisibilidade por 5
tilizando a calculadora, divida os números abaixo por 5 e verifique quais divisões resultam em números inteiros naturais.
a-) 205 : 5 = e-) 357 : 5 =
b-) 1711 : 5 = f-) 355 : 5 =
c-) 514 : 5 = g-) 350 : 5 =
d-) 720 : 5 = h-) 6090 : 5 =
Invente um número qualquer terminado em 5 e divida por 5. O que acontece? Repita com mais dois números diferentes.
Invente um número qualquer terminado em 3 e divida por 5. O que acontece? Repita com mais dois números diferentes.
Invente um número qualquer terminado em 6 e divida por 5. O que acontece? Repita com mais dois números diferentes.
Invente um número qualquer terminado em 0 e divida por 5. O que acontece? Repita com mais dois números diferentes.
Elabore uma regra para prever quando um número apresenta divisão por 5.
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Operando com múltiplos e submúltiplos de 10
Utilizando a calculadora resolva:
a-) 77 x 10 c-) 77 x 1000 e-) 122 x 10000
b-) 7,7 x 100 = d-) 12,2 x 1000 = f-) 1,32 x 100000
Observe os resultados e tente estabelecer uma regra para prever o resultado da multiplicação por 10 e seus múltiplos sem utilizar calculadora.
Como você resolveria 23145 x 1000000000 ?
Utilizando sua regra, resolva sem calculadora:
a-) 13 x 100 = d-) 947 x 10000 =
Utilizando a calculadora resolva:
a-) 77 : 10 = d-) 125 : 1000 =
b-) 7,7 : 100 = e-) 1,25 : 10000 =
c-) 77 : 100 = f-) 300 : 1000 =
Observe os resultados e tente estabelecer uma regra para prever o resultado da divisão por 10 e seus múltiplos sem utilizar calculadora.
Como você resolveria 23145 : 1000000000 ?
Utilizando sua regra, resolva sem calculadora:
a-) 13 : 100 b-) 2,6 : 1000 c-) 900 : 10000
122
Refletindo e ampliando
1. Qual o papel da calculadora nesta atividade?
2. Esta atividade poderia ser proposta, tal qual, sem o uso da calculadora?
3. Proponha uma atividade que possa ser realizada por seus alunos onde a calculadora seja usada com o mesmo papel da sequência de atividades 02
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ANEXO 06
Sequência de Atividades 03
1-) Elabore uma sequência de teclas a fim de registrar no visor da calculadora o número 68 sem apertar as teclas numéricas e
2-) Resolva a multiplicação 12 x 23 sem utilizar a tecla
3-) Utilizando a calculadora ao lado, indique uma sequência de teclas a fim de que no visor da calculadora apareça o número 15.
4-) Sem utilizar a calculadora nem papel e lápis, Se somarmos 498 e 2504 o resultado obtido está entre
( ) 1500 e 2000 ( ) 2000 e 2500 ( ) 1000 e1500
obtenha o resultado com uma calculadora e veja se sua estimativa estava correta.
Refletindo e ampliando
1. Qual o papel da calculadora nesta atividade?
2. Esta atividade poderia ser proposta, tal qual, sem o uso da calculadora?
3. Proponha uma atividade que possa ser realizada por seus alunos onde a calculadora seja usada com o mesmo papel da sequência de atividades 03
2
8 6
124
ANEXO 07
Sequência de Atividades 04.
Jogo 01 – Aumentando os zeros
Um dos jogadores (A) digita um número inteiro com 4 ou 5 algarismos na calculadora. P. ex. 47058. Sem apagar, utilizando apenas as teclas “+” e “=”, deve-se, em cada jogada, fazer aparecer um novo número, com o mesmo número de algarismos do inicialmente escolhido e com um algarismo zero a mais.
Ex.: 47058 +2 = 47060
47060 + 3000 = 50060
50060 + 9940 = 60000
Jogo 02 – Caça ao tesouro :
Cada jogador recebe um mapa e tem 5 minutos para tentar encontrar o tesouro. Ganha o jogador que escolher o caminho que resulte no maior número possível.
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Refletindo e ampliando
1. Qual o papel da calculadora nesta atividade?
2. Esta atividade poderia ser proposta, tal qual, sem o uso da calculadora?
3. Proponha uma atividade que possa ser realizada por seus alunos onde a calculadora seja usada com o mesmo papel da sequência de atividades 04.
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Anexo 08
Reflexão Final
Demorou mas, enfim chegou. O debate, engasgado, sobre o uso da calculadora no ensino de matemática, por fim ocupa a atenção, agora com mais visibilidade, daqueles que se dedicam à educação matemática em especial da educação de adultos. Antes tarde do que nunca. Não se trata de uma questão nova, Malba Tahan em seu Didática da Matemática (1961) já propunha que os cálculos trabalhosos e intrincados fossem feitos por máquinas de calcular, isto num tempo que as máquinas eram movidas a manivela. Mais recentemente há registros de diversas experiências com educandos adultos explorando calculadoras no ensino de matemática como são as da Profa. Gelsa Knijnik com os trabalhadores sem terra do Rio Grande do Sul e as do prof. Eduardo Sebastiane com povos indígenas do Brasil Central, só para citar alguns membros da comunidade da Educação Matemática brasileira.
Houve um tempo em que o argumento para não explorar a calculadora no ensino era que se tratava de um objeto caro cuja prioridade não se colocava (?¿). claro que tal justificativa era frágil, uma desculpa sem pé nem cabeça atropelada pelos fatos. Atualmente uma calculadora comum custa menos do que um maço de cigarros e além do mais não polui nem faz mal à saúde. Este discurso com aparentes intenções sociais, só serviu para aumentar ainda mais o fosso entre dirigentes, com acesso ao conhecimento e a tecnologia, e os dirigidos privados na escola, do acesso e domínio desta mesma tecnologia. Mas o que sempre emperrou uma tomada de posição mais firme sobre presença das calculadoras no ensino foram as crenças, desprovidas de investigação consistente, de que alunos e alunas, não importa a faixa etária ou condição social, ".. ficariam preguiçosos", ".. desaprenderiam os algoritmos" e ".. deixariam de raciocinar" caso usassem calculadoras na escola. Isto é tanto verdade como o velho mito de que "manga com leite faz mal à saúde".
Porém não bastou combater estes mitos, muitos educadores libertos da idéia de que a calculadora no ensino não traz malefícios, inverteram a questão:
Mas se o estudo da matemática com calculadoras não faz mal, por que faria bem ? Taí uma boa questão para refletir e tomar posição a fim de se ajustar aos tempos atuais.
(Bigode)
http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_publicados.asp?aux=Calculadoras#Anchor-KK
Dividam-se em grupo discutam o texto e respondam a questão presente no final.