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Universita’ di Roma ’Sapienza’

Dispense per il corso di Segnali Deterministici e Stocastici

Corso di Laurea in Ingegneria Clinica

Segnali aleatori

Lorenzo Piazzo

Versione Bozza del 10/12/2020

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Indice

1 Introduzione 5

2 Segnali aleatori 7

2.1 Segnali e sequenze aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Densita’ di probabilta’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Medie d’insieme del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Medie d’insieme del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Densita’ e medie congiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Operazioni sui processi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Processi stazionari 27

3.1 Funzioni invarianti alla traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Processi stazionari in senso stretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Processi stazionari in senso lato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Medie di insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Spettro e banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Filtraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.8 Ergodicita’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Processi notevoli ed applicazioni 43

4.1 Classificazione e processi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Somma di processi indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Appendice 53

5.1 Fenomeni e variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Valori attesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Densita’ notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Unita’ logaritmiche - Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5 Formule utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

4 INDICE

Capitolo 1

Introduzione

Questa dispensa e’ il seguito della dispensa ”Segnali deterministici” dello stesso autore [1] e fornisce

un’introduzione ai segnali aleatori. Si da’ per scontato che il lettore abbia letto la [1], a cui ci si riferisce

in molti punti. Per esempio, le notazioni che useremo sono le stesse che abbiamo introdotto in [1] sezione

1.4. Inoltre, per seguire questo testo, il lettore deve possedere qualche conoscenza di base di calcolo

delle probabilita’. Alcuni risultati, presi da [2], vengono riassunti in appendice per poterli citare durante

l’esposizione.

Per quanto riguarda i segnali deterministici, ottime presentazioni sono [7, 8]. Per quanto riguarda

calcolo delle probabilita’ e segnali aleatori, ottimi libri sono [3, 4, 5]. Testi che coprono sia i segnali

determinstici che quelli stocastici sono [6, 9].

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6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Capitolo 2

Segnali aleatori

Molti fenomeni fisici di interesse emettono segnali non noti a priori. Per esempio uno strumento che suona,

un bersaglio che riflette il segnale di un radar, il rumore termico che disturba un apparecchio di misura

sono tutti esempi di fenomeni fisici che emettono segnali non noti a priori. Questi segnali non possono

essere analizzati con gli strumenti introdotti per trattare i segnali deterministici, cioe’ considerando i

segnali come funzioni note, ma possono essere caratterizati in termini statistici. Questo approccio viene

formalizzato nel seguito di questo capitolo, introduendo il concetto di segnale o processo aleatorio.

Dopo le definizioni, date nella prima sezione, vengono presentati gli strumenti quantitativi con i quali

si analizzano questi segnali ed in particolare le densita’ di probabilita’ e le medie di insieme. Nell’ultima

parte del capitolo vengono discusse alcune operazioni che si applicano ai processi aleatori.

2.1 Segnali e sequenze aleatori

Ricordiamo che, nel calcolo delle probabilita’, dato un fenomeno aleatorio ed indicato con Ω l’insieme dei

suoi possibili risultati, una variabile aleatoria e’ una regola per associare ad ognuno dei possibili risultati

un numero. Quindi, come illustrato in figura 2.1, una variabile aleatoria e’ una funzione X(ω) dove ω ∈ Ωe’ il risultato di una esecuzione (ripetizione) del fenomeno. In modo simile un processo aleatorio e’ una

regola per associare ad ognuno dei possibili risultati una funzione [3]. Quindi un processo aleatorio e’

una funzione x(z, ω) definita per ω ∈ Ω e per z appartenente ad un insieme opportuno1. Il caso di cuici occuperemo e’ quello in cui z e’ una variabile temporale. In particolare, se l’insieme di definizione di

z e’ continuo, useremo t al posto di z. In questo caso il processo x(t, ω) e’ una funzione del tempo e

del risultato del fenomeno e viene anche detto un segnale aleatorio oppure un processo tempo continuo.

Se invece l’insieme di definizione di z e’ discreto, useremo n al posto di z. In questo caso il processo

x(n, ω) e’ una funzione dell’indice n e del risultato del fenomeo aleatorio e viene anche detto una sequenza

aleatoria oppure un processo tempo discreto. Lo sviluppo della teoria e’ praticamente identico nei casi

tempo continuo e tempo discreto, quindi tratteremo principalmente il caso continuo estendendo al caso

discreto quando ritenuto utile. Sulla base della definizione, un processo si puo’ visualizzare in modo

schematico come mostrato in figura 2.2 e cioe’ come un insieme di funzioni del tempo, dette realizzazioni

del processo, ciascuna etichettata con uno dei possibili risultati. La variabile ω viene detta la variabile

d’insieme e le variabili t oppure n le variabili temporali.

E’ utile notare che la scrittura x(t, ω) ha le seguenti quattro interpretazioni. Pensando sia t che ω

come variabili rappresenta un processo. Pensando t variabile ed ω assegnato, e’ una particolare funzione

del tempo (realizzazione). Pensando t assegnato e ω variabile, e’ una variabile aleatoria che viene detta

estratta dal processo. Pensando sia t che ω come valori assegnati, e’ un numero. Il contesto chiarira’ quale

1Una deifnizione equivalente e’ dire che un processo aleatorio e’ una infinita’ di variabili aleatorie, x(z, ω), indicizzate

con un parametro z che varia in un insieme opportuno.

7

8 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

Figura 2.1: Rappresentazione schematica di una variabile aleatoria. E’ una funzione che associa un

numero reale ad ogni risultato del fenomeno aleatorio.

Figura 2.2: Rappresentazione schematica di un processo. E’ una funzione che associa una funzione del

tempo ad ogni risultato del fenomeno aleatorio.

delle quattro interpretazioni viene usata. Le stesse considerazioni valgono per il caso tempo discreto,

ovvero per la scrittura x(n, ω). Nel seguito, per semplificare la notazione, ometteremo di indicare la

dipendenza dalla variabile di insieme e quindi scriveremo semplicemente x(t) per indicare il processo

x(t, ω).

Per fissare le idee e semplificare la presentazione, conviene imporre alcune condizioni sulle realizzazioni,

che d’ora in poi verrano ritenute valide se non specificato altrimenti. Per prima cosa, assumeremo che,

nel caso continuo, le realizzazioni siano definite per tutti i valori di t, da −∞ a +∞. Analogamente,nel caso discreto, le realizzazioni sono definite per tutti i valori interi di n, da −∞ a +∞. Inoltre, nelcaso continuo, conviene assumere che le realizzazioni verifichino alcuni requisiti minimi di regolarita’.

In particolare, assumiamo che siano funzioni continue quasi ovunque. In generale, le realizzazioni sono

funzioni a valori complessi ma, per semplicita’, nello sviluppo e negli esempi ci concentriamo sul caso dei

processi a valori reali, estendendo al caso complesso dove ritenuto utile.

Sorgente aleatoria. Ricordiamo che nella definizione di una variabile aleatoria, si suppone che il

fenomeno aleatorio sia ripetibile un numero a piacere di volte, in modo che sia possibile produrre diverse

determinazioni della variabile aleatoria. Ma quando il fenomeno aleatorio viene usato per definire un

processo, visto che il risultato e’ una funzione del tempo che dura da −∞ a ∞, non e’ pensabile diripetere il fenomeno aleatorio piu’ di una volta. Quindi l’ipotesi di ripetibilita’ viene sostituita con

quella di replicabilita’, ovvero si suppone di disporre di un numero alto a piacere di copie dello stesso

fenomeno aleatorio, dette sorgenti aleatorie, ciascuna delle quali produce una realizzazione del processo

corrispondente. In particolare, data una sorgente, a priori non e’ noto quale delle realizzazioni verra’

prodotta e la sorgente va analizzata come un processo aleatorio. Invece a posteriori, dopo aver osservato

l’uscita, la sorgente produce una realizzazione del processo e cioe’ un segnale deterministico. A livello

grafico una sorgente aleatoria viene indicata con un cerchio da cui esce una freccia etichettata con la

realizzazione emessa, come mostrato in figura 2.3.

2.1. SEGNALI E SEQUENZE ALEATORI 9

Figura 2.3: Rappresentazione grafica di una sorgente aleatoria.

Esempio 1 Rumore termico. Consideriamo una resistenza. Gli elettroni contenuti al suo interno sono

in continuo e casuale movimento e questi movimenti fanno si’ che ai capi della resistenza sia presente

una differenza di potenziale (tensione), indicata con v(t), anche quando la resistenza non e’ inserita in un

circuito. Questa tensione non e’ nota a priori, varia nel tempo ed e’ diversa fra resistenza e resistenza.

Inoltre la sua ampieza dipende dalla temperatura a cui si trova la resistenza, visto che questa e’ una

misura appunto della velocita’ con cui si muovono gli elettroni. Per questo motivo la tensione v(t) e’

detta rumore termico. Per trattare il rumore termico in modo quantitativo e’ possibile modellarlo come

un processo aleatorio di cui ogni resistore sia una sorgente che produce una particolare realizazione. �

Notiamo che nell’esempio che abbiamo appena visto non abbiamo dato una descrizione completa

del fenomeno aleatorio ne’ del processo. Per esempio non abbiamo specificato l’insieme dei risultati, ne’

l’associazione fra risultati e realizzazioni. Questa e’ la situazione normale, la piu’ diffusa in pratica. Infatti,

le definizioni che abbiamo dato sono astrazioni, utili per inquadrare il ragionamento a livello teorico ma

normalmente troppo complicate per essere sfruttate in un approccio quantitativo. Per affrontare i processi

in modo operativo, useremo altri strumenti, in particolare i concetti di densita’ e medie di insieme, che

verranno introdotti nelle sezioni successive. Solo in casi particolarmente semplici, e’ possibile specificare

il fenomeno aleatorio ed il processo in modo piu’ completo. Qui sotto vediamo due casi importanti.

Processi ad aleatorieta’ parametrica. Un processo si dice ad aleatorieta’ parametrica quando le sue

realizzazioni possono essere espresse come funzioni del tempo contenenti uno o piu’ parametri aleatori.

Per esempio, data una variabile aleatoria A = A(ω) con densita’ pA(a), possiamo considerare il seguente

processo

x(t) = Acos2(2πft)

le cui realizzazioni sono costituite da coseni quadri a frequenza f , fase zero e ampiezza aleatoria. Per

rendersi conto che l’espressione precedente definisce in effetti un processo possiamo riscriverla rendendo

esplicita la dipendenza dalla variabile di insieme. Si ottiene

x(t, ω) = A(ω)cos2(2πft).

In questo caso e’ spesso possibile specificare il fenomeno aleatorio sottostante e quindi il legame fra

risultati e realizzazioni. Per esempio, possiamo pensare che la variabile A sia ottenuta facendo girare un

puntatore (si veda sezione 5.1) e sommando 1/2 al risultato, in modo che abbia distribuzione uniforme

in [0, 1]. Alcuni esempi di realizzazioni ottenute in questa ipotesi sono mostrati in figura 2.4.

In conclusione, per i processi ad aleatorieta’ parametrica si dispone di una espressione analitica espli-

cita. Questi processi sono quindi un caso particolarmente semplice e sono piu’ facili da analizzare e

studiare. Inoltre, sono un modello adeguato per molti fenomeni ed apparati fisici di interesse pratico.

Esempio 2 Processo armonico Un oscillatore e’ un circuito realizzato in modo da produrre una tensio-

ne sinusoidale con una frequenza f , una ampiezza a ed una fase φ nominalmente assegnate. Naturalmente,

gli oscillatori reali producono forme d’onda i cui parametri si discostano dai valori nominali. Mentre lo

scostamento per l’ampiezza e la frequenza e’ di solito piccolo e puo’ essere trascurato, la fase risulta

difficile da controllare ed e’ praticamente casuale. Allora, la forma d’onda prodotta da un oscillatore puo’

essere moedellata come un processo ad aleatorieta’ parametrica dato da

x(t) = cos(2πft+ φ)

10 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

Figura 2.4: Esempi di realizzazioni del processo x(t) = Acos2(2πft) con A variabile aleatoria uniforme

nell’intervallo [0, 1].

dove φ e’ una variabile aleatoria con densita’ uniforme in [0, 2π] oppure in [−π, π]. Questo processo vienedetto un processo armonico. Le realizzazioni del processo sono coseni con ampiezza e frequenza assegnate

e fase aleatoria. Alcuni esempi sono mostrati in figura 2.5. �

Sequenza iid. Consideriamo una sequenza aleatoria xn cosi’ definita. Per un qualsiasi n assegnato, xne’ una variabile aleatoria con densita’ p(a). Per ogni coppia di interi n e m 6= n, le variabili aleatorie xne xm sono statisticamente indipendenti. Quindi, la sequenza e’ costituita da variabili indipendenti e con

la stessa densita’ di probabilita’ e viene detta una sequenza di variabili indipendenti ed identicamente

distribuite (iid, independent, identically distributed). La sequenza iid e’ un processo aleatorio semplice

ed importante. Vediamo due esempi.

Esempio 3 Consideriamo un puntatore del tipo descritto in sezione 5.1 che viene fatto girare infinite

volte. Numeriamo le girate con gli interi da −∞ a +∞ ed indichiamo con xn il risultato dela n-esimagirata. Il risultato e’ una variabile aleatoria con densita’ uniforme in [−1/2, 1/2]. Inoltre xn e’ statisti-camente indipendente da xm poiche’ il risultato di una girata non ha impatto sul risultato di un’altra

girata. La sequenza e’ dunque una sequenza iid. Alcune realizzazioni sono mostrate in figura 2.6. �

Esempio 4 Consideriamo una moneta che viene lanciata infinite volte. Numeriamo i lanci con gli interi

da −∞ a +∞ ed indichiamo con xn il risultato dell’n-esimo lancio, ponendo xn = 1 se esce testa exn = 0 se esce croce. Il risultato e’ una variabile aleatoria con densita’ uniforme discreta. Inoltre xne’ statisticamente indipendente da xm poiche’ il risultato di un lancio non ha impatto sul risultato di

un’altro lancio. La sequenza e’ dunque una sequenza iid. Alcune realizzazioni sono mostrate in figura

2.6. �

2.2 Densita’ di probabilta’

Densita’ del primo ordine. Consideriamo un processo x(t) a valori reali e fissiamo l’attenzione sul

valore che assume in un particolare istante, per esempio t1. Come abbiamo visto nella sezione precedente

questo valore non e’ noto a priori ed e’ invece una variabile aleatoria, indicata con x(t1), che si dice

estratta dal processo nell’istante t1. Per comprendere meglio la situazione si osservi la figura 2.7 che

2.2. DENSITA’ DI PROBABILTA’ 11

Figura 2.5: Esempi di realizzazioni del processo armonico.

Figura 2.6: Esempi di realizzazioni di processi iid. Sulla sinistra, girate di puntatori. Sulla destra, lanci

di moneta.

mostra alcune realizzazioni ed il valore che assumono per t = t1. Come si vede il valore che il processo

assume in t1 puo’ essere il valore di una qualsiasi delle sue realizzazioni e non e’ noto fino a che non si

osserva la realizzazione. Visto che x(t1) e’ una variabile aleatoria, possiamo descriverla tramite la sua

densita’ di probabilita’, che e’ una funzione di una variabile data da

px(t1)(a).

La notazione che abbiamo usato qui sopra e’ quella tipica del calcolo delle probabilita’, in cui si usa p per

indicare la densita’ e si pone a pedice la variabile aleatoria di cui p e’ la densita’. Inoltre abbiamo usato

a come variabile indipendente invece di x perche’ il simbolo x e’ gia’ usato per indicare il processo.

Nella densita’ che abbiamo appena scritto, t1 e’ pensato come un numero assegnato. Ma possiamo

cambiare punto di vista e pensare invece che t1 sia una variabile, che assume valori sui numeri reali (sui

tempi). Per maggiore chiarezza, possiamo sostituire t1 con t, che e’ il simbolo usato di preferenza per

indicare una variabile temporale. Con questo cambiamento di punto di vista la funzione

px(t)(a)

non e’ piu’ la semplice densita’ di probabilita’ di una variabile aleatoria ma una infinita’ di densita’, una

per ogni valore di t, e viene detta la densita’ del primo ordine del processo. Per sottolineare la differenza

12 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

Figura 2.7: Variabile aleatoria estratta al tempo t1. A priori, la variabile puo assumere il valore di una

qualsiasi realizzazione.

Figura 2.8: Esempio di densita’ del primo ordine di un processo. Per ogni assegnato t resta definita la

densita’ di una normale variabile aleatoria.

e’ possibile introdurre una seconda notazione per questa funzione, che rende esplicita la dipendenza dalla

variabile temporale. In particolare, la indicheremo anche come

px(a; t).

L’ultima espressione rende chiaro che la densita’ del primo ordine di un processo e’ una funzione di due

variabili, di cui la seconda e’ una variabile temporale che indica l’istante di estrazione. Un esempio e’

riportato in figura 2.8. In modo del tutto simile, si puo’ definire la densita’ del primo ordine per un

processo tempo discreto: basta sostituire t con n. Anche l’estensione al caso di un processo a valori

complessi e’ immediata. In questo caso, la variabile estratta e’ complessa e occorre considerare la densita’

congiunta delle parti reale ed immaginaria. Quindi la densita’ del primo ordine risulta essere una funzione

di tre variabili.

Esempio 5 Consideriamo il processo x(t) = A cos2(2πt) dove A e’ una variabile aleatoria con densita’

uniforme nell’intervallo [−1/2, 1/2]. Per un assegnato t, la variabile estratta x(t) sara’ quindi uniformenell’intervallo [− cos2(2πt)/2, cos2(2πt)/2]. Usando la (5.25) si ottiene la seguente densita’ per il processo

px(a; t) =1

cos2(2πt)rect

(

a

cos2(2πt)

)

.

Si noti che per t = k/2+ 1/4 con k intero, il coseno vale zero. In questo caso la variabile x(t) non e’ piu’

aleatoria ma puo’ valere solo zero. Questo fatto viene rispecchiato nella densita’, che non e’ definita per

2.2. DENSITA’ DI PROBABILTA’ 13

Figura 2.9: Variabili aleatorie estratte dal processo in t1 e t2.

t = k + 1/4, ma che per t → k + 1/4 e’ una delta-successione tendente ad un impulso di area unitariaallocato in zero. �

Esempio 6 Consideriamo il processo x(t) = A cos2(2πt) dove A e’ una variabile aleatoria con densi-

ta’ uniforme nell’intervallo [0, 1]. Per un assegnato t, la variabile estratta x(t) sara’ quindi uniforme

nell’intervallo [0, cos2(2πt)]. Usando la (5.25) si ottiene la seguente densita’ per il processo

px(a; t) =1

cos2(2πt)rect

(

a− cos2(2πt)/2cos2(2πt)

)

.

�

Esempio 7 Consideriamo il processo iid ottenuto lanciano infinite volte una moneta, in cui testa vale 1

e croce vale 0. In questo processo la variabile estratta x[n] ha una densita’ discreta uniforme a due valori.

Allora, usando la (5.24), la densita’ del processo si scrive

px(a;n) =1

2δ(a) +

1

2δ(a− 1).

Si noti che non dipende da n. �

Esempio 8 Consideriamo il processo iid ottenuto facendo girare infinite volte un puntatore. In questo

processo la variabile estratta x[n] ha una densita’ uniforme nell’intervallo [−1/2, 1/2]. Allora, usando la(5.25), la densita’ del processo si scrive

px(a;n) = rect(a).

Si noti che non dipende da n. �

Misura della densita’ di probabilita’. Negli esempi precedenti e’ stato possibile ricavare la densita’ di

probabilita’ in modo analitico, ma per la maggior parte dei processi questo non e’ possibile. In questi casi,

quando il processo modella un sistema fisico, e’ possibile, almeno in linea di principio, misurarla. A questo

fine si deve disporre di un numero sufficiente di sorgenti che producano una realizzazione del processo.

Si osservano poi i valori delle realizzazioni nell’istante t1. Questi valori sono altrettante determinazioni

della variabile x(t1) e permettono di stimare la sua densita’, per esempio tramite un istogramma [2].

Densita’ del secondo ordine. La densita’ del primo ordine fornisce informazioni sul valore del processo

in un certo istante ma non dice se e come sono legati i valori del processo in istanti diversi. Quindi, non

fornisce una descrizione sufficiente del processo da un punto di vista statistico. Per ovviare a questo

14 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

problema, possiamo introdurre la densita’ del secondo ordine. A questo fine, consideriamo due istanti

di tempo, indicati con t1 e t2. I valori che il processo assume in questi istanti, cioe’ x(t1) e x(t2),

non sono noto a priori, come mostrato in figura 2.9, ma sono sono una coppia di variabili aleatorie,

estratte dal processo. Supponendo che il processo sia a valori reali, questa coppia di variabili aleatorie

sara’ caratterizzata da una densita’ congiunta che possiamo scrivere con le due notazioni che abbiamo

introdotto e cioe’ come

px(t1)x(t2)(a, b) oppure px(a, b; t1, t2).

Nelle scritture qui sopra abbiamo supposto che gli istanti t1 e t2 siano assegnati, cosi’ che le espressioni

forniscono la densita’ congiunta di una coppia di variabili aleatorie. Ma possiamo cambiare punto di vista

e pensare che t1 e t2 siano variabili che assumono valori sull’asse dei tempi. Con questo secondo punto di

vista, le scritture qui sopra esprimono la densita’ del secondo ordine del processo, che risulta essere una

funzione di quattro variabili, di cui due temporali. In modo del tutto simile, si puo definire la densita’

del secondo ordine per un processo tempo discreto: basta sostituire t con n. Anche l’estensione al caso di

un processo a valori complessi e’ immediata. In questo caso, le variabili estratte sono complesse e occorre

considerare la densita’ congiunta delle loro parti reali ed immaginarie. Quindi la densita’ del secondo

ordine risulta essere una funzione di sei variabili.

Esempio 9 Consideriamo la sequenza iid ottenuta facendo girare infinite volte un puntatore e ricavia-

mone la densita’ del secondo ordine px(a, b;n1, n2). Consideriamo due variabili estratte x[n1] e x[n2] ed

indichiamo con p1(a) e p2(b) le loro densita’. Come sappiamo, hanno tutte e due densita’ uniforme e

quindi

p1(a) = rect(a) p2(b) = rect(b).

Per ricavare la densita’ congiunta, analizziamo separatamente i casi in cui n1 e n2 sono diversi o uguali.

Nel primo caso, in cui n1 6= n2, le variabili x[n1] e x[n2] sono due variabili diverse e sono statistica-mente indipendenti per ipotesi (la sequenza e’ iid). Quindi la densita’ congiunta, che sara’ indicata con

pn1 6=n2(a, b) si ottiene dal prodotto delle marginali ed e’ pari a

pn1 6=n2(a, b) = p1(a)p2(b) = rect(a)rect(b).

Nel secondo caso, in cui n1 = n2, le variabili x[n1] e x[n2] sono la stessa variabile. Quindi la densita’

congiunta e’ degenere e si compone di un termine pari alla densita’ della prima, rect(a), e di un secondo

termine che e’ un impulso che impone l’uguaglianza fra le determinazioni delle due variabili, δ(a− b). Lacongiunta, che sara’ indicata con pn1=n2(a, b), e’ quindi pari a

pn1=n2(a, b) = p1(a)δ(a− b) = rect(a)δ(a− b).

A questo punto, per scrivere la densita’ del processo, possiamo unire i due casi tramite l’impulso discreto,

δ[n1 − n2], che vale zero se n1 6= n2 e vale uno se n1 = n2. Procedendo in questo modo si ricava

p(a, b;n1, n2) = (1− δ[n1 − n2]) pn1 6=n2(a, b) + δ[n1 − n2] pn1=n2(a, b),

e cioe’, esplicitamente

p(a, b;n1, n2) = (1− δ[n1 − n2]) rect(a)rect(b) + δ[n1 − n2] rect(a) δ(a− b). (2.1)

Si noti che la densita’ del secondo ordine dipende dalla differenza fra n1 e n2. �

Densita’ di ordine superiore. Il procedimento che abbiamo usato per definire le densita’ del primo

e del secondo ordine puo’ essere esteso ad un ordine qualsiasi. A questo scopo si assegnano n di istanti

di tempo, t1, ..., tn, e si estraggono le corrispondenti variabili dal processo, x(t1), ..., x(tn). La densita’

2.3. MEDIE D’INSIEME DEL PRIMO ORDINE 15

congiunta delle variabili estratte si scrive (supponendo il processo a valori reali ed usando la notazione

con i tempi esplicitati)

px(a1, ..., an; t1, ..., tn).

Se si pensa che gli istanti t1, ..., tn siano assegnati, la scrittura precedente fornisce la densita’ congiunta

delle variabili estratte. Invece, pensando gli istanti come variabili temporali, la scrittura fornisce la

densita’ di ordine n del processo, che risulta essere una funzione di 2n variabili.

A livello teorico, se siamo in grado di ricavare le densita’ di ordine comunque elevato, abbiamo una

conoscenza statistica completa del processo. Ma naturalmente questo e’ possibile solo in casi molto

semplici. Di norma non siamo in grado di specificare tutte le densita’. Questo non e’ un problema

perche’, in pratica, per la maggior parte delle applicazioni e’ sufficiente una conoscenza solo delle densita’

del primo e del secondo ordine. Anzi, in molte applicazioni anche questa e’ una conoscenza troppo

dettagliata e ci si puo’ accontentare di una descrizione statistica piu’ sintetica, basata su alcune medie

che vengono introdotte nelle prossime sezioni.

2.3 Medie d’insieme del primo ordine

Dato un processo x(t), estraiamo una variabile aleatoria all’istante t, indicata ancora con x(t). Possiamo

valutare la media, la varianza ed il valore quadratico medio di questa variabile. In particolare, indicando

con E{.} l’operatore di valore atteso (si veda sezione 5.2), il valore medio e’

µx(t) = E{x(t)}, (2.2)

il valore quadratico medio (VQM, oppure MSV, Mean Square Value) e’

πx(t) = E{|x(t)|2} (2.3)

e la varianza e’

σ2x(t) = E{|x(t)− µx(t)|2}. (2.4)

Inoltre la radice della varianza viene detta la deviazione standard ed si indica con σx(t). Ora notiamo

che, nelle scritture precedenti, possiamo pensare che t sia assegnato e in questo caso x(t) e’ una variabile

aleatoria, le medie appena viste sono numeri e sono le normali medie della variabile aleatoria, che si

incontrano in calcolo delle probabilita’. Se invece pensiamo che t sia variabile, le scritture precedenti

definiscono le medie d’insieme del primo ordine del processo, che non sono numeri ma, in generale,

funzioni del tempo, visto che la variabile aleatoria cambia per ogni diverso t. Questo fatto e’ stato

evidenziato mettendo il tempo come argomento fra parentesi. Come secondo commento notiamo che

abbiamo dato le definizioni nel caso generale di un processo complesso. Nel caso di un processo reale, il

modulo quadro puo’ essere sostituito da un semplice quadrato.

Per quanto riguarda il calcolo delle medie di insieme, questo puo’ farsi utilizzando il teorema fonda-

mentale del valore atteso e cioe’ la (5.2). In particolare, supponendo che il processo sia reale e indicando

la sua densita’ di probabilita’ con px(a; t), si ricava

µx(t) = E{x(t)} =∫

apx(a; t)da (2.5)

πx(t) = E{|x(t)|2} =∫

|a|2px(a; t)da (2.6)

σ2x(t) = E{|x(t)− µx(t)|2} =∫

|a− µx(t)|2px(a; t)da. (2.7)

Nel caso in cui il processo sia a valori complessi la valutazione del valore atteso si puo’ fare in modo

del tutto simile, con la sola complicazione che l’integrale da semplice diviene doppio, visto che va fatto

16 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

Figura 2.10: A sinistra, legame qualitativo fra densita’, valore medio, valore quadratico medio e varianza

di una variabile aleatoria. Sulla destra, reppresentazione schematica della media di un processo: e’ il

baricentro della densita’ del processo al variare del tempo.

congiuntamente sulla parte reale e sulla parte immaginaria. Per semplicita’ omettiamo le espressioni

relative.

Le espressioni precedenti permettono di calcolare le medie del primo ordine a partire dalla densita’

del primo ordine del processo ma questo non e’ l’unico modo di ricavarle. Come vedremo, in molti

casi le medie possono essere ricavate per altre vie, sfruttando le proprieta’ del valore atteso e il teorema

fondamentale. Per concludere notiamo che l’estensione delle definizioni appena date e delle considerazioni

appena fatte al caso di processi tempo discreti e’ immediata. E’ sufficente sostituire la variabile t con un

indice n.

Interpretazione e proprieta’. Il significato delle medie del primo ordine di un processo e’ analogo

a quello delle medie di una normale variabilie aleatoria, si veda figura 2.10. La differenza e’ che danno

informazioni sul valore del processo al tempo t, visto che sono calcolate sulla variabilie aleatoria estratta

dal processo in un istante t. In particolare il valore medio rappresenta il valore attorno al quale, nell’istante

t, si concentrano i valori di x(t). Il valore quadratico medio indica di quanto il quadrato di x(t) si

distacca dallo zero e quindi e’ una misura della entita’ del processo nell’istante t. La varianza e’ la media

del quadrato della distanza di x(t) dal suo valore medio e quindi e’ ancora una misura della entita’ del

processo. La radice della varianza, e cioe’ deviazione standard, indica di quanto l’ampiezza del processo, in

un istante t, si distacca dal valore medio nello stesso istante e quindi e’ una terza misura di entita’. Infine,

notiamo che le tre medie che abbiamo introdotto non sono indipendenti l’una dall’altra. In particolare,

dalla (5.22), si ottiene

σ2x(t) = πx(t)− |µx(t)|2 (2.8)

da cui segue che se la media e’ zero, varianza e MSV sono uguali. L’equazione si estende al caso discreto

semplicemente sostituendo il tempo t con un indice n.

Esempio 10 Consideriamo il processo x(t) = Acos(2πft) dove A e’ una variabile aleatoria unifome in

[0, 1]. Per il valore medio abbiamo

µx(t) = E{x(t)} = E{Acos(2πft)} = E{A}cos(2πft) =1

2cos(2πft),

dove abbiamo usato le proprieta’ del valore atteso e il valore medio di una variabile a densita’ uniforme

riportati in appendice. Per il valore quadratico medio abbiamo

πx(t) = E{x2(t)} = E{A2cos2(2πft)} = E{A2}cos2(2πft) =1

3cos2(2πft),

2.3. MEDIE D’INSIEME DEL PRIMO ORDINE 17

Figura 2.11: Grafico dell densita’ uniforme nell’intervallo [−π, π].

dove abbiamo usato le proprieta’ del valore atteso e il valore quadratico medio di una variabile a densita’

uniforme riportati in appendice. Per la varianza, usando la (2.8), abbiamo

σ2x(t) = πx(t) + µ2x(t) =

1

12cos2(2πft).

�

Esempio 11 Processo iid. Consideriamo la sequenza iid ottenuta facendo girare un puntatore infinite

volte. La generica variabile estratta ha densita’ uniforme in [−1/2, 1/2]. Quindi, usando i risultati diappendice, abbiamo

µx[n] = 0 πx[n] =1

12σ2x[n] =

1

12

Si noti che le medie del primo ordine di questo processo non dipendono dal tempo. �

Esempio 12 Processo armonico. Consideriamo il processo armonico x(t) = cos(2πt + φ) in cui φ e’

una variabilie aleatoria con distribuzione uniforme nell’intervallo [−π, π] e quindi

pφ(a) =1

2πrect

( a

2π

)

,

come mostrato in figura 2.11. Usando la (5.2) possiamo scrivere

µx(t) = E{x(t)} = E{cos(2πt+ φ)} =∫

cos(2πt+ a)pφ(a)da.

L’ultimo integrale si calcola facilmente sostituendo pφ(a) con la sua espressione e risulta

µx(t) =1

2π

∫ π

−π

cos(2πt+ a)da = 0

dove l’ultima uguaglianza si ottiene notando che nell’integrale e’ presente una funzione sinusoidale

integrata esattamente su un periodo. In modo simile usando la (5.2) possiamo scrivere

πx(t) = E{|x(t)|2} = E{cos2(2πt+ φ)} =∫

cos2(2πt+ a)pφ(a)da.

L”ultimo integrale si calcola facilmente sostituendo pφ(a) con la sua espressione ed usando poi la (5.28).

Risulta

πx(t) =1

2π

∫ π

−π

cos2(2πt+ a)da =1

2π

∫ π

−π

[1

2+

1

2cos(4πt+ 2a)]da =

=1

4π

∫ π

−π

da+1

4π

∫ π

−π

cos(4πt+ 2a)da =1

2

dove abbiamo usato il fatto che l’ultimo integrale si annulla visto che e’ una funzione sinusoidale integrata

esattamente su due periodi. La varianza sara’ uguale al VQM, visto che la media e’ zero. Si noti che le

medie del processo armonico non dipendono dal tempo. �

18 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

Figura 2.12: Realizzazioni di due processi con differenti velocita’ di variazione e stesse medie del primo

ordine.

Misura delle medie di insieme. Esattamente come accade per la densita’ di probabilita’, nei casi in

cui il processo e’ un modello per un fenomeno fisico, anche se non si dispone di una espressione analitica

che permetta il calcolo delle sue medie d’insieme e’ comunque possibile ricavarle tramite una misura.

Consideriamo per esempio il valore medio. Supponendo di disporre di n sorgenti aleatorie che producono

altrettante realizzazioni del processo, che indichiamo con x(i)(t) per i = 1, ..., n, una stima del valore

medio del processo, indicata con µ̂(t) e’ data da [2]

µ̂(t) =1

n

n∑

i=1

x(i)(t)

e la stima risulta tanto migliore quanto maggiore e’ n.

2.4 Medie d’insieme del secondo ordine

Le medie d’insieme del primo ordine caratterizzano il valore di un processo in un certo istante t, ma non

dicono nulla sulle relazioni che esistono fra i valori del processo in istanti diversi. Per esempio in figura

2.12 abbiamo riportato alcune realizzazioni di due processi, x(t) e y(t). I due processi sono chiaramente

diversi ed in particolare il primo varia piu’ velocemente del secondo, ma hanno le stesse medie del primo

ordine. Quindi, queste medie non sono in grado di catturare questo aspetto.

La relazione fra i valori di un processo in istanti diversi puo’ essere caratterizzata introducendo le

medie d’insieme del secondo ordine del processo. In particolare, assegnati due istanti t1 e t2 ed estratte

le variabili corrispondenti x(t1) e x(t2), possiamo considerare la loro correlazione

Rx(t1, t2) = E{x(t1)x∗(t2)}. (2.9)

e la loro covarianza

Cx(t1, t2) = E{[x(t1)− µx(t1)][x(t2)− µx(t2)]∗}. (2.10)

Come per medie del primo ordine, nelle ultime scritture, possiamo pensare che t1 e t2 siano assegnati; in

questo caso le medie sono numeri e normali medie di una coppia di variabili, gia’ studiate in calcolo delle

probabilita’. Se invece pensiamo che t1 e t2 siano variabili, le scritture precedenti definiscono le medie

d’insieme del secondo ordine del processo, che non sono numeri ma, in generale, funzioni di una coppia

di variabili temporali. Questo fatto e’ stato evidenziato mettendo le variabili t1 e t2 come argomento fra

parentesi. In particolare, la prima equazione viene chiamata la funzione di autocorrelazione del processo

e la seconda la funzione di autocovarianza. Piu’ brevemente spesso si dice semplicemente correlazione e

2.4. MEDIE D’INSIEME DEL SECONDO ORDINE 19

covarianza. Notiamo anche che abbiamo dato le definizioni nel caso generale di un processo complesso.

Nel caso di un processo reale, le definizioni possono essere semplificate eliminando il coniugato.

Il calcolo delle medie di insieme del secondo ordine puo’ farsi utilizzando il teorema fondamentale

del valore atteso. In particolare, supponendo che il processo sia reale e indicando la sua densita’ di

probabilita’ del secondo ordine con px(a, b; t1, t2), dalla (5.2) si ricava

Rx(t1, t2) = E{x(t1)x∗(t2)} =∫

ab∗px(a, b; t1, t2)da db. (2.11)

Cx(t1, t2) = E{[x(t1)− µx(t1)][x(t2)− µx(t2)]∗} =

=

∫

[a− µx(t1)][b− µx(t2)]∗px(a, b; t1, t2)da db. (2.12)

Nel caso in cui il processo sia a valori complessi la valutazione del valore atteso si puo’ fare in modo

del tutto simile, con la sola complicazione che l’integrale da doppio diviene quadruplo, visto che va fatto

congiuntamente sulla parte reale e sulla parte immaginaria delle due variabili. Per semplicita’ omettiamo

le espressioni relative.

Le espressioni precedenti permettono di calcolare le medie del secondo ordine a partire dalla densita’

del secondo ordine del processo ma anche in questo caso spesso le medie possono essere ricavate per altre

vie, sfruttando le proprieta’ del valore atteso e il teorema fondamentale. Per concludere notiamo che

l’estensione delle definizioni appena date e delle considerazioni appena fatte al caso di processi tempo

discreti e’ immediata. E’ sufficente sostituire i tempi t1 e t2 con due indici n1 e n2.

Interpretazione e proprieta’. Le interpretazioni e le proprieta’ delle medie del secondo ordine di un

processo seguono immediatamente da quelle delle medie di una coppia di variabili aleatorie. Esaminiamo

il caso tempo continuo ma l’estensione al caso discreto e’ immediata, basta sostituire t con n. In primo

luogo, dalla (5.23), si ricava

Cx(t1, t2) = Rx(t1, t2)− µx(t1)µx(t2)∗, (2.13)

che mostra che correlazione e covarianza sono legate e sono uguali negli istanti in cui la media del processo

e’ nulla. Un’altra osservazione utile e’ che, a partire dalle definizioni, e’ immediato verificare le seguenti

relazioni

Rx(t, t) = πx(t) (2.14)

Cx(t, t) = σ2x(t) (2.15)

che mostrano che varianza e MSV si possono ricavare da covarianza e correlazione.

Visto che correlazione e covarianza sono legate, studiamo le proprieta’ della covarianza: quelle della

correlazone sono analoghe. Dalla discussione fatta in sezione 5.2 sappiamo che la covarianza e’ una misura

di somiglianza fra variabili aleatorie. Quindi la covarianza del processo misura la somiglianza fra i valori

del processo negli istanti t1 e t2. In particolare, la covarianza gode delle seguenti proprieta’

1) x(t1) e x(t2) statisticamente indipendenti → Cx(t1, t2) = 0.2) |Cx(t1, t2)| ≤ σx(t1)σx(t2)3) x(t2) = ax(t1) ↔ |Cx(t1, t2)| = σx(t1)σx(t2)

Come si vede la covarianza vale zero se i valori del processo sono statisticamente indipendenti. In questo

caso la conoscenza del valore del processo in t1 non da’ nessuna informazione sul valore in t2 (e viceversa):

i valori sono massimamente diversi e la covarianza e’ minima. Inoltre il modulo della covarianza e’

limitato dal prodotto delle deviazioni standard e se raggiunge questo valore per qualche coppia di istanti,

i valori del processo in quegli istanti sono proporzionali, determinsticamentre legati. Quindi, se e’ noto il

coefficiente di proporzionalita’, da uno dei due si puo’ calcolare l’altro: i valori sono massimamente simili

e la covarianza e’ massima. La covarianza puo’ essere nulla anche se i due valori non sono statisticamente

indipendenti. In questo caso i valori si dicono scorrelati. Questa e’ una condizione simile ma meno forte

20 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

Figura 2.13: Grafico qualitativo delle funzioni di covarianza per i due processi di figura 2.12.

dell’indipendenza statistica. In particolare, due valori scorrelati sono ancora poco legati e le variabili

aleatorie scorrelate godono di alcune delle proprieta’ di quelle indipendenti.

Consideriamo di nuovo i processi mostrati in figura 2.12 e tracciamo un grafico qualitativo della

covarianza nei due casi. Visto che la covarianza e’ una funzione a due variabili, per semplicita’ tracciamo

il grafico di C(t, 0) e cioe’ il grafico della covarianza fra il valore del processo al tempo zero ed il valore ad

un generico tempo t. Il grafico e’ tracciato in figura 2.13 e mostra che la covarianza e’ molto diversa nei

due casi. Per il processo x(t), che varia velocemente, il valore in zero e il valore in t perdono raidamente

correlazione all’aumentare di t. La covarianza ha un picco in zero, dove i due valori sono identici, e poi

diminuisce rapidamente verso lo zero. Per il processo y(t), che varia lentamente, il valore in zero e in t

restano correlati molto piu’ a lungo e la covarianza rimane vicina al massimo per un ampio intervallo di

tempo. L’intervallo di tempo in cui la covarianza rimane vicina al massimo valore si chiama l’intervallo

di correlazione o di coerenza e la sua durata misura per quanto tempo i valori del processo rimangono

correlati.

Esempio 13 Consideriamo il processo x(t) = Acos(2πft) dove A e’ una variabile aleatoria unifome in

[0, 1]. Per la correlazione abbiamo

Rx(t1, t2) = E{x(t1)x(t2)} = E{Acos(2πft1)Acos(2πft2)} =

= E{A2}cos(2πft1)cos(2πft2) =1

3cos(2πft1)cos(2πft2),

dove abbiamo usato le proprieta’ del valore atteso e il valore medio di una variabile a densita’ uniforme

riportati in appendice. Per questo processo, nell’esempio 10 avevamo ricavato la media, che era

µx(t) =1

2cos(2πft).

Allora, per la covarianza, usando la (2.13) si ottiene

Cx(t1, t2) = Rx(t1, t2)− µx(t1)µx(t2) =1

3cos(2πft1)cos(2πft2)−

1

4cos(2πft1)cos(2πft2) =

=1

12cos(2πft1)cos(2πft2).

�

2.4. MEDIE D’INSIEME DEL SECONDO ORDINE 21

Esempio 14 Consideriamo la sequenza iid ottenuta facendo girare infinite volte un puntatore. Per questa

sequenza, nell’esempio 9 abbiamo ricavato la densita’ del secondo ordine px(a, b;n1, n2). Possiamo quindi

usare le (2.11) e (2.12) per calcolare correlazione e covarianza. Questo non e’ il metodo piu’ veloce, come

vedremo nel prossimo esempio, ma e’ istruttivo. Per la correlazione abbiamo

Rx[n1, n2] =

∫

a b px(a, b;n1, n2) da db =

=

∫

a b {(1− δ[n1 − n2]) rect(a)rect(b) + δ[n1 − n2] rect(a) δ(a− b)} da db

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito la densita’ del processo data dalla (2.1). Sviluppando

l’integrale ricaviamo

Rx[n1, n2] = (1− δ[n1−n2])[∫

a rect(a)da

] [∫

b rect(b)db

]

+ δ[n1−n2]∫

a rect(a)

[∫

b δ(a− b)db]

da.

I primi due intergrali sono tutti e due nulli, come e’ facile verificare (sono il valore medio di una variabile

uniforme), quindi

Rx[n1, n2] = δ[n1 − n2]∫

a rect(a)

[∫

b δ(a− b)db]

da.

L’integrale interno, in db, si valuta con le proprieta’ dell’impulso e vale a. Quindi si ottiene

Rx[n1, n2] = δ[n1 − n2]∫

a2 rect(a) da.

L’ultimo intergrale si valuta facilmente (e’ il VQM di una variabile uniforme) per ottenere

Rx[n1, n2] =1

12δ[n1 − n2].

Visto che la media del processo e’ zero, come abbiamo gia’ verificato, la covarianza e’ identica. Si noti

che correlazione e covarianza dipendono dalla differenza fra gli indici n1 e n2. �

Esempio 15 Consideriamo la stessa sequenza iid vista nell’esempio precedente e ricaviamo la correla-

zione per altra via. La correlazione e’ il seguente valore atteso

Rx[n1, n2] = E{x[n1]x[n2]}.

Quando n1 6= n2 le variabili sono indipendenti e a media nulla, quindi abbiamo

Rx[n1, n2] = E{x[n1]x[n2]} = E{x[n1]}E{x[n2]} = 0.

Quando n1 = n2 le variabili sono la stessa variabile, uniforme nell’intervallo [−1/2, 1/2], quindi abbiamo

Rx[n1, n2] = E{x[n1]x[n2]} = E{x2[n1]} =1

12.

Unendo i due casi con l’impulso discreto si riottiene la correlazione dell’esempio precedente. �

Misura delle medie del secondo ordine. Quando il processo e’ un modello per un fenomeno fisico

e’ possibile ricavare le medie del secondo ordine tramite una misura [2]. Consideriamo per esempio

l’autocorrelazione. Supponendo di disporre di n sorgenti aleatorie che producono altrettante realizzazioni

del processo, che indichiamo con x(i)(t) per i = 1, ..., n, una stima della autocorrelazione del processo,

indicata con R̂(t1, t2) e’ data da

R̂(t1, t2) =1

n

n∑

i=1

x(i)(t1)x(i)(t2)

∗

e la stima risulta tanto migliore quanto maggiore e’ n.

22 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

2.5 Densita’ e medie congiunte

In alcune applicazioni e’ necessario introdurre e analizzare piu’ di un processo contemporaneamente. Per

cominciare, consideriamo il caso semplice in cui sono presenti due processi, x(t) e y(t). Per caratterizzare

statisticamente la coppia di processi, possiamo considerare una coppia di variabili aleatorie, x(tx) e y(ty),

ottenute estraendo il valore del primo processo nell’istante tx e il valore del secondo processo nell’istante

ty. In questo modo resta definita la densita’ congiunta delle due variabili, che si scrive

pxy(a, b; tx, ty).

La scrittura qui sopra, se tx e ty sono pensati come valori assegnati, definisce la densita’ congiunta della

coppia di variabuli aleatorie estratte. Ma cambiando punto di vista e pensando tx e ty come variabili,

definisce la densita’ congiunta della coppia di processi, che risulta essere una funzione di quattro variabili e

che costituisce il primo livello di descrizione statistica della coppia di processi. Naturalmente, e’ possibile

considerare densita’ di ordine superiore, estraendo un numero maggiore di variabili, ma di solito non e’

necessario ne’ pratico nelle applicazioni. Inoltre, l’approccio si estende in modo ovvio per caratterizzare

statisticamente piu’ di due processi, estraendo una variabile aleatoria da ogni processo di interesse.

Oltre che la densita’ di probabilita’ congiunta, e’ possibile considerare anche medie d’insieme con-

giunte, che coinvolgono variabili aleatorie estratte da entrambi i processi. Per esempio si definisce la

cross-correlazione (o intercorrelazione) come

Rx,y(t1, t2) = E{x(t1)y∗(t2)}

e la la cross-covarianza (o intercovarianza) come

Cx,y(t1, t2) = E{[x(t1)− µx(t1)][y(t2)− µy(t2)]∗}.

L’interpretazione ed il significato di queste medie d’insieme sono analoghi a quelli gia’ visti per il caso

della autocorrelazione e della autocovarianza ed in particolare sono entrambi una misura di somiglianza

fra le due variabili aleatorie coinvolte nella loro definizione.

Per brevita’ rinunciamo ad una trattazione piu’ approfondita di questi argomenti per la quale il lettore

interessato puo’ consultare testi specifici, per esempio [3]. Notiamo pero’ che un caso che spesso ricorre

nelle applicazioni e’ quello in cui i processi risultano statisticamente indipendenti, perche’ generati da

apparati o fenomeni distinti. In questo caso l’analisi si semplifica e le densita’ e le medie congiunte si

ottengono da quelle marginali. Per esempio, se i processi sono indipendenti, per la densita’ congiunta

risulta

pxy(a, b; tx, ty) = px(a; tx)py(b; ty).

Inoltre, come e’ facile verificare valutando le medie, la covarianza e’ nulla mentre la correlazione si riduce

al prodotto delle medie. Infatti

Rx,y(t1, t2) = E{x(t1)}E{y∗(t2)} = µx(t1)µ∗y(t2).

2.6 Operazioni sui processi

Sui processi e’ possibile definire tutte le operazioni che vengono applicate ai segnali deterministici. Il

risultato e’, in generale, un nuovo processo. La definizione delle operazioni e’ intuitiva e una descrizione

generale dell’approccio e’ la seguente. Supponiamo di avere uno o piu’ processi ed una operazione che

opera sui segnali deterministici. Possiamo applicare questa operazione ad una realizzazione dei processi

ed ottenere un altro segnale deterministico, che viene riguardato come una realizzazione del processo

risultato. Vediamo alcuni casi di interesse.

2.6. OPERAZIONI SUI PROCESSI 23

Figura 2.14: Passaggio di un processo attraverso un sistema. Ogni realizzazione del processo di ingresso

attraversa il sistema e produce una realizazione del processo di uscita.

Somma di processi. Supponiamo di avere due processi x(t) e y(t) e di voler definre la loro somma

z(t) = x(t) + y(t).

Per ogni assegnato valore della variabile di insieme ω, la realizzazione del processo x e’ un segnale

deterministico x(t, ω) e quella del processo y un segnale deterministico y(t, ω). Sommando questi due

segnali si ottiene

z(t, ω) = x(t, ω) + y(t, ω)

che e’ la realizzazione del processo risultato per l’assegnato valore di ω. Al variare di ω sui possibili

risultati del fenomeno aleatorio, l’espressione precedente definisce il processo risultato z(t).

Passaggio attraverso un sistema. Consideriamo un processo x(t) ed un sistema Γ. Facendo passare

una realizzazione del processo, sia x(t, ω) attraverso il sistema si ottiene un segnale di uscita y(t, ω), come

illustrato in figura 2.14. Al variare di ω resta definito il processo

y(t) = Γ{x(t)}

che viene detto il processo di uscita. Si noti che questo esempio comprende, come casi particolari, i

sistemi LTI ed quindi la traslazione e la scalatura di un processo.

Esempio 16 Consideriamo un processo dato da

x(t) = A[cos(2πt) + cos(2π3t)]

dove A e’ una variabile aleatoria uniforme in [0, 1]. Supponiamo che il processo attraversi un sistema LTI

con risposta in frequenza

H(f) = rect(f/4).

Per ricavare una espressione per il processo di uscita y(t), consideriamo una realizzazione del processo di

ingresso, che si scrive come sopra ma pensando che A sia un numero assegnato, e calcoliamo l’uscita corri-

spondente. Per il calcolo lavoriamo in frequenza e ricaviamo la trasformata di Fourier (FT) dell’ingresso,

che e’ la somma di quattro impulsi:

X(f) =A

2[δ(f + 1) + δ(f − 1) + δ(f + 3) + δ(f − 3)]

La trasformata dell’uscita si ottiene come Y (f) = X(f)H(f). Il prodotto e’ mostrato in figura 2.15 ed e’

Y (f) =A

2[δ(f + 1) + δ(f − 1)].

24 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

Figura 2.15: Trasformate dei segnali e risposta in frequenza del filtro dell’esempio 16.

Figura 2.16: Campionamento di un processo. Ogni realizzazione del processo viene campionata e produce

una realizazione del processo tempo discreto di uscita.

Antitrasformando, si ottiene

y(t) = Acos(2πt).

Nell’espressione precedente, A e’ un valore assegnato e y(t) una realizzazione del processo di uscita. Ma

cambiando punto di vista e considerando di nuovo A una variabile aleatoria l’espressione precedente

fornisce il processo di uscita. �

In linea di principio, le densita’ e le medie di insieme del processo risultato si possono calcolare a partire

dalle densita’ e medie dei processi operandi. In pratica, questo e’ effettivamente possibile solo in casi

molto semplici. Per brevita’, non sviluppiamo questo punto in modo organico. Ci limitiamo a studiare

alcuni casi importanti. Uno e’ riportato qui sotto. Altri verranno analizzati nei capitoli successivi.

Campionamento. Un campionatore a passo T e frequenza F = 1/T e’ un particolare sistema, in cui

entra un processo tempo continuo x(t) e da cui esce un processo tempo discrto x[n]. Le realizzazioni

dell’uscita si ottengono campionando le realizzazioni dell’ingresso, come mostrato in figura 2.16. In questo

caso, le densita’ e le medie dell’uscita si ottengono immediatamente dalle densita’ e medie dell’ingresso.

Infatti, consieriamo una variabile aleatoria estratta all’indice n dal processo di uscita, x[n]. Questa e’ la

stessa variabile che si estrae dal processo di ingresso all’istante t = nT e cioe’ x[n] = x(nT ). Allora, per

2.6. OPERAZIONI SUI PROCESSI 25

esempio, la densita’ del primo ordine del processo di uscita (indicata con le parentesi quadre) sara’

p[a;n] = p(a;nT )

e cioe’ si ottiene campionando la densita’ del processo di ingresso (indicata con le parentesi tonde) sulla

variabile temporale. Analogamente, per il valore medio del processo avremo

µx[n] = E{x[n]} = E{x(nT )} = µx(nT ),

e cioe’, ancora, che si ottiene campionando il vaore medio del processo di ingresso. Gli stessi risultati

si ottengono per le altre medie e si estendono immediatamente anche alle densita’ e medie di ordini

superiori.

26 CAPITOLO 2. SEGNALI ALEATORI

Capitolo 3

Processi stazionari

Il concetto di processo aleatorio introdotto nel capitolo precedente e’ un modello adatto per molti feno-

meni di interesse, ma e’ anche troppo generale per i nostri scopi ed e’ complicato da un punto di vista

matematico. Fortunatamente, molti dei segnali di interesse nelle applicazioni possono essere rappresen-

tati con un modello semplificato, quello di processo stazionario. In questi processi, le caratteristiche

statistiche di interesse non cambiano se tutte le realizzazioni vengono traslate di un certo tempo. I pro-

cessi stazionari sono piu’ semplici da trattare matematicamente. In particolare, come vedremo in questo

capitolo, per questi processi esistono strumenti analitici sostanzialmente identici a quelli esistenti per i

segnali di potenza. Grazie a questo fatto, l’analisi dei processi stazionari si sviluppa in modo molto simile

a quella dei segnali deterministici.

Come nel capitolo precedente ci concentriamo sui segnali tempo continui limitandoci a considerare i

segnali tempo discreti negli esempi e nei casi in cui l’ estensione dei concetti ai segnali tempo discreti non

sia immediata.

3.1 Funzioni invarianti alla traslazione

Visto che ci servira’ nel corso del capitolo, diamo la seguente definizione

Definizione 1 Una funzione f di n variabili, f(t1, t2, ..., tn), si dice invariante alla traslazione se risulta

f(t1, t2, ..., tn) = f(t1 + T, t2 + T, ..., tn + T ) ∀t1, t2, ..., tn, T. (3.1)

�

A parole, il valore della funzione non cambia se a tutti i suoi argomenti viene aggiunta una stessa quantita’

ovvero, pensando che le variabili siano temporali, se tutti vengono traslati della stessa quantita’ tempo.

Esaminiamo una proprieta’ delle funzioni invarianti.

Una funzione f , di n variabili e invariante alla traslazione puo’ essere specificata tramite una funzione

f̄ di n− 1 variabili. Infatti, usando la definizione con T = −tn otteniamo

f(t1, t2, ..., tn) = f(t1 − tn, t2 − tn, ..., 0).

Allora, possiamo definire

f̄(t1, t2, ..., tn−1) = f(t1, t2, ..., tn−1, 0) (3.2)

che e’ una funzione di n− 1 variabili, e dalle relazioni precedenti si ricava

f(t1, t2, ..., tn) = f̄(t1 − tn, t2 − tn, ..., tn−1 − tn), (3.3)

27

28 CAPITOLO 3. PROCESSI STAZIONARI

che mostra che f si puo’ ottenere dalla f̄ . Visto che ci serviranno fra poco, specializziamo la proprieta’

ai casi particolari di funzioni ad una e due variabili.

Consideriamo una funzione f(t), di una variabile, e supponiamo che sia invariante ad una traslazione.

Dalla definizione segue che

f(t) = f(t+ T ) ∀t, T

e visto che l’equazione precedente deve essere verificata per qualsiasi T , usando T = −t ricaviamo

f(t) = f(0) = f̄

ovvero che la funzione f(t) e’ una costante, cioe’ una funzione di 0 variabli, ed e’ pari al valore che assume

nell’origine.

Consideriamo ora una funzione f(t1, t2), di due variabili, e supponiamo che sia invariante ad una

traslazione. Dalla definizione segue che

f(t1, t2) = f(t1 + T, t2 + T ) ∀t1, t2, T

e visto che l’equazione precedente deve essere verificata per qualsiasi T , usando T = −t2 ricaviamo

f(t1, t2) = f(t1 − t2, 0).

Allora, introducendo

f̄(t) = f(t, 0). (3.4)

dalle ultime due equazioni ricaviamo che

f(t1, t2) = f̄(t1 − t2).

L’ultima espressione mostra che la f non dipende dai suoi argomenti separatamente, ma solo dalla loro

differenza. E’ utile notare che, di conseguenza, nella espressione analitica della f gli argomenti compaiono

sempre sottratti, cioe saranno sempre nella forma (t1− t2). Inoltre, si noti che, visto che la f e’ invariantealla traslazione, la funzione f̄ si puo’ definire, piu’ in generale, cosi’

f̄(t) = f(τ + t, τ). (3.5)

dove τ e’ un numero qualsiasi.

La definizione di funzione invariante alla traslazione si estende senza difficolta’ al caso tempo discreto,

sotituendo t con n e imponendo che la traslazione sia un numero intero. Anche le proprieta’ sono le

stesse.

3.2 Processi stazionari in senso stretto

Definizione 2 Un processo x(t) si dice Stazionario in Senso Stretto (SSS, Strict Sense Stationary) se le

sue densita’ di probabilita’ sono invarianti ad una traslazione delle variabili temporali, ovvero se verificano,

per qualsiasi n, la seguente condizione

p(a1, a2, ..., an; t1, t2, ..., tn) = p(a1, a2, ..., an; t1 + T, t2 + T, ..., tn + T ) ∀t1, t2, ..., tn, T.

Se la condizione e’ verificata fino ad un certo valore di n e non oltre, il processo si dice stazionario fino

all’ordine n. �

A parole, la definizione precedente richiede che le densita’ del processo non cambino se si traslano gli

istanti di estrazione delle variabili tutti della stessa quantita’.

3.2. PROCESSI STAZIONARI IN SENSO STRETTO 29

Sulla base delle proprieta’ delle funzioni invarianti alla traslazione viste nella sezione precedente, se il

processo e’ SSS la densita’ del primo ordine, px(a; t), non dipende dalla variabile temporale. In particolare,

si puo’ definire una funzione densita’ ad una sola variabile, data da

p̄x(a) = px(a; 0)

e scrivere

px(a; t) = p̄x(a). (3.6)

Inoltre, la densita’ del secondo ordine, px(a, b; t1, t2), dipende solo dalla differenza delle variabili temporali.

Usando la (3.2) si puo’ definire la seguente densita’

p̄x(a, b; t) = px(a, b; t, 0)

e poi esprimere la densita’ del processo tramite la (3.3) come

px(a, b; t1, t2) = p̄x(a, b; t1 − t2). (3.7)

Analogamente, tutte le densita’ di ordine superiore si semplificano e possono essere espresse con una

variabile temporale in meno. Infine, usando la (3.6) nelle (2.5),(2.6) e (2.7) si ricava immediatamente che

le medie di insieme del primo ordine sono costanti, non dipendono dal tempo. E usando la (3.7) nelle

(2.11) e (2.12) si verifica che le medie di insieme del secondo ordine dipendono solo dalla differenza delle

variabili temporali.

Nel caso tempo discreto, la definizione di processo SSS e’ identica, sostituendo t con n. Anche in

questo caso le densita’ e le medie di insieme si semplificano come gia’ visto per il caso tempo continuo.

Esempio 17 Processo iid. Consideriamo il processo iid ottenuto facendo girare infinite volte un pun-

tatore. Per questo processo abbiamo ricavato la densita’ del primo ordine nell’esempio 8 e quella del

secondo nell’esempio 9. In particolare abbiamo trovato

px(a;n) = rect(a).

p(a, b;n1, n2) = (1− δ[n1 − n2]) rect(a)rect(b) + δ[n1 − n2] rect(a) δ(a− b).E’ facile controllare che le densita’ precedenti sono invarianti ad una traslazione degli indici temporali.

Quindi il processo e’ SSS al II ordine. Il processo e’ in realta’ SSS a qualsiasi ordine, ma non lo dimostriamo

per brevita’. �

Esempio 18 Consideriamo il processo x(t) = A cos2(2πt) dove A e’ una variabile aleatoria con densita’

uniforme nell’intervallo [−1/2, 1/2]. Per questo processo, nell’esempio 5, abbiamo ricavato la densita’ delprimo ordine, che era

px(a; t) =1

cos2(2πt)rect

(

a

cos2(2πt)

)

.

Visto che la densita’ dipende dal tempo e non e’ invariante alla traslazione, il processo non e’ SSS,

nemmeno al primo ordine. �

Come abbiamo accennato, quando un processo e’ SSS, densita’ e medie si semplificano. Inoltre, come

vedremo, per questi processi e’ possibile introdurre ulteriori strumenti matematici, che agevolano l’analisi

e la rendono simile a quella per i segnali deterministici di potenza. Purtroppo, la stazionarieta’ stretta

e’ una condizione forte, che non sempre e’ verificata dai processi che si incontrano in pratica. Inoltre,

per verificare analiticamente che un processo sia SSS, e’ necessario avere un’espressione per le densita’

di probabilita’, che di solito non e’ disponibile. Fortunatamente, molte delle semplificazioni che si hanno

per i processi SSS, si hanno anche per una classe piu’ ampia di processi, che soddisfa condizioni di

stazionarieta’ meno forti. Questa seconda classe di processi stazionari viene introdotta nella prossima

sezione.

30 CAPITOLO 3. PROCESSI STAZIONARI

3.3 Processi stazionari in senso lato

Definizione 3 Un processo x(t) si dice Stazionario in Senso Lato (WSS, Wide Sense Stationary) se il

suo valore medio e la sua funzione di autocorrelazione sono invarianti alla traslazione. �

La definizione precedente richiede che media e correlazione del processo non cambino se si traslano gli

istanti di estrazione delle variabili tutti della stessa quantita’. Sulla base delle proprieta’ delle funzioni

invarianti alla traslazione che abbiamo discusso in sezione 3.1, possiamo equivalentemente dire che un

processo e’ WSS se sono verificate le seguenti due condizioni:

C1) La media e’ una costante: µx(t) = µx,

C2) L’autocorrelazione dipende dalla differenza degli argomenti: Rx(t1, t2) = R̄x(t1 − t2),

dove, nell’ultima condizione, abbiamo usato la (3.4) per definire la funzione

R̄x(t) = Rx(t, 0). (3.8)

Quindi, per un processo WSS, possiamo considerare due funzioni di autocorrelazione: la Rx(t1, t2), a due

variabili, e la R̄x(t), a una variabile. Le due autocorrelazioni sono equivalenti, nel senso che da una delle

due si puo’ ricavare l’altra, come si vede dalle formule qui sopra. Notiamo anche che, visto che Rx e’

invariante, R̄x si puo’ anche definire come

R̄x(t) = Rx(τ + t, τ),

e visto che Rx(t1, t2) = E{x(t1)x∗(t2)} risulta

R̄x(t) = E{x(τ + t)x∗(τ)}. (3.9)

L’ultima equazione fornisce una definizione alternativa di R̄x, come valore atteso. Inoltre mostra che, per

un processo WSS, il valore atteso considerato qui sopra non dipende da τ , ma solo da t, che e’ un’altra

maniera di dire che la correlazione e’ invariante.

Anche se le due funzioni Rx(t1, t2) e R̄x(t) sono equivalenti, quella a una variabile e’ piu’ facile

da trattare analiticamente. Quindi sara’ quella che useremo di preferenza d’ora in poi. Inoltre, per

semplificare la notazione, d’ora in poi lasceremo cadere la barra ed indicheremo tutte e due le funzioni

con Rx: si potranno ancora distinguere osservando il numero di variabili.

Come abbiamo visto nella sezione precedente, se un processo e’ SSS al secondo ordine o piu’, le medie

del primo e del secondo ordine verificano le due consizioni scritte qui sopra e quindi il processo e’ anche

WSS. Al contrario, un processo WSS non e’ necessariamente SSS, nemmeno al secondo ordine.

Tutte le definizioni, le proprieta’ ed i concetti che abbiamo introdotto in questa sezione si estendono

in modo ovvio al caso tempo discreto. Basta sostituire t con n.

Esempio 19 Processo armonico. Consideriamo il processo armonico x(t) = cos(2πt+ φ) in cui φ e’

una variabilie aleatoria con distribuzione uniforme nell’intervallo [−π, π] e quindi

pφ(a) =1

2πrect

( a

2π

)

.

Per questo processo abbiamo calcolato la media, nell’esempio 12, ed abbiamo trovato che non dipendeva

dal tempo ed era nulla. Per verificare che il processo sia WSS dobbiamo studiare la correlazione. Abbiamo

Rx(t1, t2) = E{x(t1)x(t2)} = E{cos(2πt1 + φ)cos(2πt2 + φ)} =

= E

{

1

2cos[2π(t1 + t2) + 2φ] +

1

2cos[2π(t1 − t2)]

}

3.3. PROCESSI STAZIONARI IN SENSO LATO 31

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la (5.32). Per proseguire usiamo la (5.10) e scriviamo

Rx(t1, t2) =1

2E {cos[2π(t1 + t2) + 2φ]}+

1

2E {cos[2π(t1 − t2)]} =

=1

2E {cos[2π(t1 + t2) + 2φ]}+

1

2cos[2π(t1 − t2)]

dove l’ultimo passaggio vale perche’ l’argomento del secondo valore atteso non e’ aleatorio, ma determi-

nistico. A questo punto, usando il teorema fondamentale del valore atteso, abbiamo

Rx(t1, t2) =1

2

∫

cos[2π(t1 + t2) + 2a]pφ(a)da+1

2cos[2π(t1 − t2)] =

=1

4π

∫ π

−π

cos[2π(t1 + t2) + 2a]da+1

2cos[2π(t1 − t2)] =

1

2cos[2π(t1 − t2)]

dove l’ultimo passagio segue dal fatto che l’integrale e’ nullo, essendo l’integrale di una funzione sinusoidale

su due periodi. Osservando l’ultima equazione si nota che la correlazione dipende dalla differenza degli

istanti di estrazione e quindi risulta invariante alla traslazione, come e facile verificare. Quindi il processo

armonico e’ WSS.

Visto che e’ WSS, per il processo armonico si puo’ definire una funzione di autocorrelazione ad una

sola variabile. Usando l’ultima espressione e la (3.8) si ricava

Rx(t) =1

2cos(2πt). (3.10)

La correlazione ad una sola variabile puo’ essere ricavata anche dalla definizione (3.9), come vediamo nel

prossimo esempio. �

Esempio 20 Processo armonico. Consideriamo ancora il processo armonico dell’ultimo esempio e

controlliamo la stazionarieta’ per altra via. In particolare, valutiamo direttamente il valore atteso (3.9)

e controlliamo che non dipenda da τ . I calcoli sono molto simili a quelli gia fatti. Abbiamo

E{x(τ + t)x(τ)} = E{cos[2π(τ + t) + φ]cos(2πτ + φ)} =

= E

{

1

2cos[2π(2τ + t) + 2φ] +

1

2cos(2πt)

}

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la (5.32). Per proseguire usiamo la (5.10) e scriviamo

E{x(τ + t)x(τ)} = 12E {cos[2π(2τ + t) + 2φ]}+ 1

2E {cos(2πt)} =

=1

2E {cos[2π(2τ + t) + 2φ]}+ 1

2cos(2πt)

dove l’ultimo passaggio vale perche’ l’argomento del secondo valore atteso non e’ aleatorio, ma determi-

nistico. A questo punto, usando il teorema fondamentale del valore atteso, abbiamo

E{x(τ + t)x(τ)} = 12

∫

cos[2π(2τ + t) + 2a]pφ(a)da+1

2cos(2πt) =

=1

4π

∫ π

−π

cos[2π(2τ + t) + 2a]da+1

2cos(2πt) =

1

2cos(2πt)

dove l’ultimo passagio segue dal fatto che l’integrale e’ nullo, essendo l’integrale di una funzione sinusoidale

su due periodi. Osservando l’ultima equazione si nota che il valore atteso non dipende da τ e quindi la

correlazione dipende solo dalla differenza degli istanti di estrazione e risulta invariante alla traslazione.

Questa e’ una seconda maniera di verificare che il processo e’ WSS ed inoltre permette di ricavare

direttamente la correlazione ad una variabile. �

32 CAPITOLO 3. PROCESSI STAZIONARI

Esempio 21 Consideriamo il processo x(t) = Acos(2πft) dove A e’ una variabile aleatoria unifome in

[0, 1]. Il valore medio di questo processo e’ stato ricavato nell’esempio 10 ed era

µx(t) =1

2cos(2πft).

Il valore medio dipende dal tempo e non e’ invariante alla traslazione. Quindi il processo non e’ WSS.

Visto che e’ istruttivo, calcoliamo il valore atteso (3.9). Abbiamo

E{x(τ + t)x(τ)} = E{Acos[2π(τ + t)]Acos(2πτ} =

= E{A2}cos[2π(τ + t)]cos(2πτ) = 13cos[2π(τ + t)]cos(2πτ)

dove abbiamo usato le proprieta’ dei valori attesi ed il valore quadratico medio di una variabile uniforme

riportati in appendice. Come si vede, in questo caso il valore atteso dipende sia da τ che da t. Quindi

l’autocorrelazione non dipende solo dalla differenza degli istanti di estrazione e non e’ invariante alla

traslazione, confermando che il processo non e’ WSS. �

Esempio 22 Consideriamo il processo iid ottenuto facendo girare infinite volte un puntatore. Come

abbiamo visto nell’esempio 17, questo processo e’ SSS al secondo ordine e quindi sara’ anche WSS.

Ammette quindi una seconda funzione di autocorrelazione, ad una variabile. La correlazione a due

variabili e’ stata ricavata nell’esempio 14 ed era

Rx[n1, n2] =1

12δ[n1 − n2].

Dall’ultima equazione, usando la (3.8), per la correlazione ad una variabile si ricava

Rx[n] =1

12δ[n] (3.11)

La correlazione ad una variabile puo’ anche essere ricavata usando la (3.9). In particolare si puo’ valutare

il seguente valore atteso

E{x[m+ n]x[m]}

che non dipende da m perche’ il processo e’ WSS. Il calcolo e’ facile e viene lasciato come esercizio. �

3.4 Medie di insieme

Nella sezione precedente abbiamo visto che in un processo WSS la media e la correlazione si semplificano

e diventano rispettivamente una costante ed una funzione ad una variabile. In particolare, nei processi

WSS valgono, per definizione, le seguenti condizioni

C1) La media e’ una costante: µx(t) = µx.

C2) L’autocorrelazione dipende dalla differenza degli argomenti: Rx(t1, t2) = Rx(t1 − t2).

E’ facile verificare che anche le altre medie si semplificano. Infatti risulta che

C3) Il VQM e’ una costante: πx(t) = πx,

C4) La varianza e’ una costante: σ2x(t) = σ2x,

C5) La covarianza dipende dalla differenza degli argomenti: Cx(t1, t2) = Cx(t1 − t2).

La C3) si ricava usando la (2.14) e scrivendo

πx(t) = Rx(t, t) = Rx(t− t) = Rx(0), (3.12)

3.4. MEDIE DI INSIEME 33

Figura 3.1: Misura della media in un istante t1 per un processo stazionario (a sinistra) e non (a destra).

che fornisce anche un legame fra il VQM e la correlazione ad una variabile. La C5) si ricava usando la

(2.13), la C1) e la C2). Infatti

Cx(t1, t2) = Rx(t1, t2)− µx(t1)µx(t2)∗ = Rx(t1 − t2)− |µx|2 = Cx(t1 − t2)

che fornisce anche un legame fra la correlazione e la covarianza ad una variabile. Infine la C4) si ricava

usando la (2.15) e la C5). Infatti

σ2x(t) = Cx(t, t) = Cx(t− t) = Cx(0)

che fornisce anche un legame fra la varianza e la covarianza ad una variabile. Tutti i risultati si estendono

facilmente al caso tempo discreto: basta sostituire t con n.

Significato e proprieta’. Il significato delle medie di insieme di un processo WSS e’ lo stesso che queste

medie hanno nei processi in generale. E quindi, la media e’ il valore attorno a cui oscillano i valori del

processo, il VQM e la varianza misurano l’entita’ del processo e la correlazione e la covarianza misurano

la somiglianza fra i valori del processo in due istanti temporali. La differenza fondamentale con il caso

generale e’ che per un processo WSS, le medie del primo ordine sono costanti e quelle del secondo ordine

dipendono solo dalla differenza dei due istanti. Questi fatti hanno implicazioni importanti. Il fatto che

le medie del primo ordine siano costanti implica che l’entita’ del processo rimane uguale su tutto l’asse

dei tempi. Quindi, le realizzazioni non tendono a zero e sono di norma1 segnali di potenza. Un’altra

conseguenza, fondamentale, e’ che su un processo stazionario diventa piu’ semplice fare previsioni sui

valori futuri sulla base dei valori presenti o passati. Per esempio, supponiamo di effettuare una misura

del valore medio di un processo stazionario x(t) nell’istante t1, usando un certo numero di realizzazioni,

come mostrato in figura 3.1. Visto che il processo e’ stazionario, il valore cosi’ misurato fornisce la media

anche per tutti i futuri istanti di tempo. Al contrario, effettuare la misura in t1 per un processo non

stazionario y(t) non e’ di nessuna utilita’, perche non da’ nessuna indicazione sui valori che la media potra’

assumere nel futuro. Analoghe considerazioni possono essere ripetute per le altre medie di insieme, sia

del primo che del secondo ordine.

Le medie di insieme di un processo WSS godono di proprieta’ che pero’ non approfondiamo. Ci

limitiamo a notare che, come e’ facile verificare, l’autocorrelazione e la covarianza godono di simmetria

Hermitiana e cioe’

Rx(−t) = R∗x(t) Cx(−t) = C∗x(t).1Da un punto di vista matematico, e’ possibile costruire processi stazionari che contengono realizzazioni che sono segnali

di energia. Ma questa situazione non e’ di interesse pratico. Inoltre gli eventuali segnali di energia possono essere assimilati

ad un segnale nullo ed il processo puo’ essere ridefinito senza comprenderli.

34 CAPITOLO 3. PROCESSI STAZIONARI

Figura 3.2: Andamento tipico della autocorrelazione di un processo WSS a media nulla e senza componenti

periodici.

Inoltre, per motivi che saranno chiari fra poco, nei processi stazionari, il VQM si chiama anche la potenza

del processo e si indica con Px. Usando questa nuova simbologia, la (3.12) si riscrive cosi’

Px = Rx(0) (3.13)

e, a parole, afferma che la potenza del processo e’ pari all’autocorrelazione valutata in zero.

Osservando la (3.9) si vede che la correlazione Rx(t) e’ una misura della somiglianza fra due valori del

processo presi a distanza t. Sulla base delle proprieta’ della covarianza viste in sezione 2.4 e del legame

fra correlazione e covarianza, per la correlazione risulta

|Rx(t)| ≤ Px = Rx(0)

e quindi che la correlazione ha un massimo in zero. Inoltre, di solito i valori estratti dal processo sono

sempre meno correlati all’aumentare della loro distanza. Quindi la correlazione tende a diminuire e, per

un processo a media nulla, tende a zero ed ha tipicamente la forma riportata in figura 3.2. Il tempo

in cui rimane vicina al valore massimo indica il tempo per il quale il valore del processo cambia poco e

si chiama il tempo di correlazione o di coerenza del processo. La forma della correlazione cambia se le

realizzazioni sono periodiche, nel qual caso la correlazione risulta anch’essa periodica. Inoltre se la media

e’ diversa da zero, la correlazione non tende a zero ma al quadrato della media.

Relazione con le medie temporali. Le realizzazioni del processo sono segnali deterministici. Su

questi segnali sono definite alcune medie temporali che hanno significato analogo alle medie di insieme

definite sul processo. Vogliamo approfondire il legame fra le medie temporali delle realizzazioni e le

medie di insieme del processo. Cominciamo col riscrivere le definizioni di entrambi perche’ e’ utile per

confrontarle. Per tenere queste quantita’ distinte, usiamo il grassetto per indicare le medie temporali.

Inoltre, nelle definizioni per le medie temporali, usiamo l’operatore di media temporale introdotto in [1]

sezione 3.6. Con queste notazioni, abbiamo la seguente tabella

Media temporale Media d’insieme

Media Mx = T{x(t)} µx = E{x(t)}Potenza Px = T{|x(t)|2} Px = E{|x(t)|2}Correlazione Rx(t) = T{x(τ + t)x∗(τ)} Rx(t) = E{x(τ + t)x∗(τ)}

La tabella mostra che esiste una somiglianza formale fra le medie di insieme e quelle temporali. Ci

chiediamo se esista anche un legame quantitativo fra i due tipi di medie. Per approfondire questo punto

concentriamoci, per esempio, sulla potenza. Nelle definizioni precedenti, quando la potenza viene valutata

come media temporale, x(t) rappresenta un segnale deterministico, mentre quando viene valutata come

media di insieme, x(t) rappresenta un processo. In tutti e due i casi la potenza e’ un numero, un valore

3.5. SPETTRO E BANDA 35

Figura 3.3: Esempi delle realizzazioni di un processo, per i vari valori di ω, il risultato del fenomeno

aleatorio sottostante. Su ognuna di queste si puo’ calcolare la potenza P = P (ω), che risulta una

variabile aleatoria.

deterministico. D’altra parte, dato un processo, possiamo pensare di valutare la potenza come media

temporale su ogni realizzazione, come mostrato in figura 3.3. In questo modo Px diventa una variabile

aleatoria, di cui e’ possibile valutare il valore atteso E{Px}. Sviluppando il calcolo2 si ottiene

E{Px} = Px.

Ripetendo il ragionamento per le altre medie, con passaggi del tutto simili si ottiene anche

E{Mx} = µx.

E{Rx(t)} = Rx(t). (3.14)Le equazione precedenti, a parole, dicono che, per i processi stazionari, le medie di insieme sono il valore

atteso delle medie temporali delle realizzazioni del processo. Questo risultato stabilisce precisamente il

legame fra i due tipi di medie e permette di pensare le medie di insieme in modo piu’ intuitivo. Inoltre

sara’ utile per lo sviluppo della teoria.

Tutte le definizioni, le proprieta’ ed i concetti che abbiamo introdotto in questa sezione si estendono

in modo ovvio al caso tempo discreto. Basta sostituire t con n.

3.5 Spettro e banda

Per un processo WSS x(t), si definisce lo spettro di densita’ di potenza, indicato con Px(f), come la FT

della funzione di autocorrelazione (a una variabile) e cioe’

Px(f) = FT{Rx(t)}.

Visto che la correlazione gode di simmetria Hermitiana, lo spettro risulta una funzione reale delle fre-

quenza. Inoltre, ricordando che l’integrale della trasformata e’ pari al valore della funzione nell’origine

2Per valutare il valore atteso, ricordiamo la definizione esplicita di potenza, che e’ la seguente:

Px = limT→+∞

1

T

∫ T/2

−T/2|x(t)|2dt.

A questo punto, valutiamo il valore atteso. Abbiamo

E{Px} = E

{

limT→+∞

1

T

∫ T/2

−T/2|x(t)|2dt

}

= limT→+∞

1

T

∫ T/2

−T/2E

{

|x(t)|2}

dt =

= limT→+∞

1

T

∫ T/2

−T/2Pxdt = Px lim

T→+∞

1

T

∫ T/2

−T/2dt = Px.

36 CAPITOLO 3. PROCESSI STAZIONARI

(proprieta’ dei valori nell’origine della FT), dalla (3.13) e dall’ultima relazione si ricava

Px =

∫

Px(f)df,

e cioe’, a parole, che l’integrale dello spettro di densita’ di potenza e’ pari alla potenza (VQM) del processo.

Si noti che questa e’ esattamente la stessa relazione che esiste nel caso di un segnale deterministico di

potenza e giustifica il nome dato allo spettro di densita’ di potenza. Piu’ in generale, come vedremo, lo

spettro di un processo WSS ha la stessa definizione e proprieta’ simili a quello di un segnale di potenza.

Per proseguire, si noti che, trasformando la (3.14) e scambiando il valore atteso con la trasformata, si

ricava

E{Px(f)} = Px(f) (3.15)

dove Px(f) e’ lo spettro di densita’ di potenza della generica realizzazione. La formula precedente mostra

che lo spettro del processo e’ la media dello spettro delle singole realizazioni, come succedeva per le altre

medie. Inoltre, visto che gli spettri delle realizzazioni sono non negativi, lo spettro del processo, che e’ il

valore atteso di quantita’ non negative, risulta non negativo anch’esso.

Banda. A partire dallo spettro, e’ possibile definire la banda di un processo stazionario. Possiamo

considerare diverse definizioni, che tornano utili in casi diversi. Le piu’ stringente e’ la seguente

Definizione 4 Dato un processo stazionario, la sua banda e’ l’insieme dell’asse delle frquenze su cui lo

spettro di densita’ di potenza e’ maggiore di zero. �

La definizione precedente puo’ essere inadeguata per certe applicazioni o quando lo spettro e’ composto

da impulsi. In questi casi puo’ essere utile sostituire la banda con l’intervallo di banda:

Definizione 5 Dato un processo stazionario, il suo intervallo di banda e’ il piu’ piccolo intervallo

simmetrico dell’asse delle frequenze che contiene le frequenze su cui lo spettro e’ maggiore di zero. �

Le due definizioni precedenti si dicono in senso stretto, perche’ richiedono che lo spettro ad una certa

frequenza sia nullo per escludere la frequenza dalla banda. Ma in pratica puo’ essere sufficiente assumere

che lo spettro sia piccolo a sufficenza per escludere le corrispondenti frequenze dalla banda. Quindi

possiamo dare queste altre due definizioni, che definiscono la banda in senso pratico:

Definizione 6 Dato un processo stazionario, la sua banda e’ l’insieme dell’asse delle frquenze su cui lo

spettro di densita’ di potenza e’ non trascurabile. �

Definizione 7 Dato un processo stazionario, il suo intervallo di banda e’ il piu’ piccolo intervallo

simmetrico dell’asse delle frequenze che contiene le frequenze su cui lo spettro e’ non trascurabile. �

Chiaramente, le definizioni precedenti vanno completate specificando un criterio per ritenere lo spettro

trascurabile. Questo criterio puo’ variarare a seconda dell’applicazione che si sta’ considerando. In tutti i

casi, una volta ricavata la banda con una delle definizioni viste prima, resta definita la larghezza di banda

del processo (spesso detta, per brevita’, semplicemente banda), che e’ pari alla misura della banda.

Nella sezione precedente abbiamo visto che la durata della funzione di correlazione e’ pari al tempo

di coerenza del processo. Visto che lo spettro e’ la FT della correlazione e visto che, come noto dalla

teoria della FT, banda e durata sono inversamente legate, risulta che, qualitativamente, i processi con

un tempo di correlazione breve, che quindi variano velocemente nel tempo, hanno una banda larga, come

mostrato in figura 3.4. Al contrario, come mostrato nella stessa figura, i processi che variano lentamente

e quindi hanno lunghi tempi di correlazione, risultano a banda stretta.

Relazione fra banda del processo e banda delle realizzazioni. Le realizzazioni del processo hanno

uno spettro di densita’ di potenza e quindi una banda corrispondente, che puo’ variare da realizzazione a

3.5. SPETTRO E BANDA 37

Figura 3.4: Correlazione e spettro di un processo a banda larga e basso tempo di correlazione (sopra) e

a banda stretta e alto tempo di correlazione (sotto).

realizzazione. E’ utile chiedersi se e come sono legate la banda del processo con quella delle realizzazioni.

Una risposta a questa domanda viene data qui sotto, limitatamente alla banda in senso stretto.

Assegnamo una frequenza f0 e consideriamo il valore dello spettro del processo, Px(f0), che e’ un

numero, ed il valore dello spettro della generica realizzazione, Px(f0), che e’ una variabile aleatoria.

Usando la (3.15) possiamo concludere che Px(f0) e’ il valore atteso di Px(f0). Ora notiamo che Px(f0)

e’ non negativo e che, se una variabile aleatoria non negativa ha media nulla, allora le sue determinzaioni

devono essere tutte nulle3. Possiamo quindi concludere che se Px(f0) = 0, allora Px(f0) = 0. Questo

implica che tutte le realizzazioni hanno banda (in senso stretto) minore o uguale a quella del processo.

Tempo discreto. Nel caso tempo discreto lo sviluppo si puo’ ripetere. Lo spettro viene definito come la

trasformata dell’autocorrelazione. Ma visto che nel caso tempo discreto la correlazione e’ una sequenza,

occorre usare la DTFT,

Px(f) = DTFT{Rx[n]},che risulta periodica di periodo 1, se si usa la versione normalizzata, o F se si usa la versione non

normalizzata. Usando la proprieta’ dei valori nell’origine, dallo spettro si ricava la potenza come l’integrale

normalizzato su un periodo e cioe’

Px =

∫ 1/2

−1/2

Px(f)df Px =1

F

∫ F/2

−F/2

Px(f)df

a seconda che lo spettro sia normalizzato o meno. Anche le definizioni di banda e larghezza di banda

si ripetono identiche, con la sola avvertenza di limitarsi a considerare le frequenze