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Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012-13

1 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan

IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO

Osservazione di Fenomeni Naturali (fisici, chimici,...)

Sociali (economici, finanziari, psicologici,...)

⎧⎪⎨⎪⎩

sui quali è difficile fare una previsione a causa di meccanismi molto

complessi che li regolano.



IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO Esempio: Tutti sappiamo che una goccia di pioggia cade sempre.

Ma se si studia la sua velocità o si cerca di stabilire il punto esatto di caduta

la risposta è tutt’altro che univoca.

Considerando una seconda goccia, pure se osservata con la massima

accuratezza, difficilmente si avrà un risultato compatibile o univoco.

⇓

Fenomeno Aleatorio



INCERTEZZA DEL RISULTATO

• Momentanea - (concetto di “probabilità soggettiva”) Esempio: l’esito di una partita che si giocherà questa sera

• Fisica e Tecnologica Esempio: stabilire istante per istante posizione, velocità e accelerazione di un insieme di corpi. Esempio: le molecole di un gas ⇒ meccanica statistica

• Intrinseca Esempio: principio di indeterminazione di Heisenberg (1927) ⇒ meccanica quantistica

• Psicologica e sociologica Esempio: quanto la pubblicità incide sulla vendita di un prodotto



IL METODO STATISTICO

Alle domande come:

• “Quanto è “casuale” o “aleatorio” il risultato a cui si è pervenuti e

che fiducia riporre in esso?”

• “Quanto si può scommettere sulla validità dell’ipotesi A rispetto a B con un rischio accettabile?”

Si può rispondere solo all’interno di una logica probabilistica (“matematica

dell’incerto”) definendo metodi statistici in grado di pervenire a leggi generali

partendo dall’osservazione di “tanti casi singoli” o dall’analisi del grado di

fiducia.



IL METODO STATISTICO

Trasformare un

PROBLEMA REALE

(non trattabile deterministicamente)

in un

PROBLEMA STATISTICO



ESEMPI DI PROBLEMI STATISTICI

• Problemi connessi al monitoraggio e alla misura di un parametro (serie storiche) - Temperatura - Livello dei bacini fluviali - Cambio euro-dollaro - Come evolve nel tempo il prezzo delle azioni della società X nella

borsa Y - Problemi di marketing

• Problemi connessi alla misure di variazioni - Tolleranze di fabbricazione - Stabilità di un mercato azionario - accuratezza di un sistema - accuratezza di un processo produttivo




• Problemi nella trasmissione di segnali:

- Ricezione di informazione in presenza di disturbi (es. rumore)

- Decodifica di segnali segreti (crittografia)

• Problemi psicologici, sociologici, economici di dipendenza: - Legame tra professione e possesso di beni - Legame tra livello scolastico e livello di benessere - Dipendenza delle vendite dagli investimenti pubblicitari - Dipendenza di una malattia dall’età del soggetto

⇓ Problema della dipendenza statistica e della correlazione




• Problemi di stima: - Determinazione della popolazione nel 2020 - Valutazione annua e previsione dell’inflazione - Calcolo del fabbisogno finanziario di uno Stato in un dato anno

finanziario

⇓ Problema della previsione statistica



Un esempio reale

Lancio di due dadi con le facce numerate da 1 a 6 e scommessa sulla somma X dei valori sulle due facce superiori indicate con 1Y e 2Y :

( )1Y 1,2,3,4,5,6∈ , ( )2Y 1,2,3,4,5,6∈

1 2X Y Y= +

( )X 2,3,4,...,11,12∈

Domanda: Conviene scommettere su X 7= piuttosto che su X 10= ?



Approccio Sperimentale Si effettuano N lanci (prove) e si contano il numero di occorrenze di ciascuna faccia. Si riportano i risultati in un diagramma a barre. Ad esempio per N 50= :

Diagramma a barre della frequenza assoluta



Su 100 lanci (prove) si ottiene:





Si vede che al crescere delle prove la frequenza assoluta si stabilizza mostrando un andamento triangolare con massimo per X = 7. Conviene scommettere sul 7.



Considerazioni sull’esempio del lancio di due dadi

• Alla faccia di un singolo dado associamo un valore numerico: “variabile aleatoria” discreta

( )1Y 1,2,3,4,5,6∈

• Caratterizzazione del secondo dado: stesso comportamento del primo, ma “nuova variabile” 2Y indipendente dalla precedente

( )2Y 1,2,3,4,5,6∈

• Dado “non truccato” o regolare: concetto di variabilità uniforme (modello uniforme). Dado “truccato”: il risultato è sbilanciato su una faccia (modello non uniforme)



Dado NON truccato: Variabilità Uniforme

Per un dado non truccato il numero di occorrenze atteso per ogni faccia, su N prove, è costante e pari a N / 6 1666.66⇔ se N = 10000.

1666.66



Dado truccato: Variabilità non Uniforme

In questo caso il dado è sbilanciato a favore delle facce con numerazione inferiore.



Considerazioni sull’esempio del lancio di due dadi (continua)

• Modello probabilistico di un oggetto fisico. Nell’esempio del dado regolare, normalizzando il numero di occorrenze rispetto al numero di prove, ci si aspetta di ottenere 1/6 quando N →∞ .

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Considerazioni sull’esempio del lancio di due dadi (continua)

• X è definito dalla somma: 1 2X Y Y= + , cioè la variabile X è funzione di

una coppia di variabili ( )1 2Y ,Y .

• Dopo aver osservato e contato tutti i valori assunti da X è necessario un “Test Statistico” per verificare l’adattamento del modello alla realtà, cioè ai dati osservati.



Probabilità nel continuo Esempio: Una freccia raggiunge un bersaglio nel punto P, indicando con X e Y le coordinate di P , la distanza dal centro del bersaglio è 2 2R X Y= + . Lanciando N frecce sul bersaglio con centro nell’origine:

P(X,Y)



Diagramma a barre della frequenza assoluta di R (distanza dal centro)



Aumentando il numero di prove



Diagramma a barre della frequenza assoluta di R

Il diagramma a barre tende ad una curva continua se il numero N di prove tende ad infinito e la larghezza delle barre è presa sempre più piccola.



Esempio applicativo

o Istallazione di un traliccio sul tetto dell’edificio di Ingegneria dell’Informazione per la posa dell’antenna di una stazione di riferimento differenziale GPS.

o Problema: Il vento (fenomeno aleatorio) se fa oscillare il traliccio altera

le misure.

o Impiego dei dati misurati dalla stazione meteo sperimentale (Edificio di

Ingegneria Industriale – Prof. A. Spena) per progettare il traliccio destinato al sostegno dell’antenna.



(Dati gentilmente forniti dal Prof. A. Spena e dalla Dott.ssa C. Cornaro)



Esempio: Capacità di Canale, Banda e Rumore

Il limite teorico C della cadenza di bit che si può trasmettere senza

errori in funzione della banda del canale B e del rapporto s

n

PP

tra la

potenza ricevuta sP e la potenza di rumore nP , è:

s2

n

PC B log 1 bit/sP

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Claude E. Shannon, 1948-49



Capacità di Canale, Banda e Rumore



IL MODELLO PROBABILISTICO

REALTÀ = Componente Osservabile + Componente NON Osservabile

• VEDERE la realtà (osservazioni, acquisizioni, misure)

• CAPIRE la realtà all’interno di una impostazione probabilistica nella

quale l’esistente è esaminato in rapporto a ciò che poteva accadere o

che verosimilmente accadrà.

• AGIRE sulla realtà per raggiungere scopi predefiniti.

La descrizione e la comprensione orientate verso l’azione generano il

modello definito in funzione di una finalità operativa.



IL MODELLO PROBABILISTICO

DATI ⇒ ANALISI STATISTICA ⇒ MODELLO

⇓

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ⇓

MODELLO MATEMATICO PER LA VALUTAZIONE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

(Esempio: Controllo del Traffico Aereo)



Definizione di fenomeno aleatorio

MISURE RILEVAMENTI

O SINTESI DI DATI

ANALISI PROBABILISTICA

PROBABILITÀ DI EVENTI DI INTERESSE

PREVISIONEPER PROGETTO

O VERIFICA

MONDOESTERNO AZIONI

INFORMAZIONI

M E T O D I S T A T I S T I C I

Calcolo delle probabilità e statistica:

connessioni operative nel lavoro dell’ingegnere



Richiami di teoria degli Insiemi Definizione di Insieme:

“Una riunione in tutto di oggetti ben distinti” (Cantor)

(collezione)

Classe: estensione di una proprietà pP A→

Insieme universale (S oppure Ω ): riunisce tutti gli insiemi

Insieme vuoto (∅): non contiene alcun elemento



Classificazione degli Insiemi

Insiemi

Finiti Infiniti

Infinitonumerabile

Infinito nonnumerabile



Rappresentazione degli Insiemi

Diagrammi di Venn

A

A B

A B∪

A B

A B∩ Rappresentazione Unione di due insiemi Intersezione di due

dell'insieme A di due insiemi

S S S



Operazioni sugli insiemi

A

A

E

E E

F- E

(E- F)

F

FF

(E F)

Insieme Complementare Differenza

Differenza Differenza Simmetrica

E F∩

( ) ( )E F F E∩ ∪ ∩

F E∩



Principali proprietà delle operazioni tra insiemi

[commutatività] A B B A∩ = ∩ A B B A∪ = ∪

[associatività] ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

[idempotenza] A A A∩ = A A A∪ =

[distributività] ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

A∩∅ =∅ A S S∪ = A S A∩ = A A∪∅ =

Teoremi di De Morgan: A B A B∩ = ∪ A B A B∪ = ∩



Corrispondenza tra operazioni su insiemi e logica booleana

Operazioni su Insiemi Operazione corrispondente nella logicabooleana

Nome Simbolo nome Simbolo SimboloCircuitale

Unione ∪ Somma(OR)

+

Intersezione ∩ Prodotto(AND)

⋅

Complementaredi A

cA,'A,A Negazione(NOT)

A ,A ¬

Differenzasimmetrica

F EΔ OResclusivo(XOR)

E ⊕ F

A

B A B

A B

Z

Z

Z

A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

0 1 1 0

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0



Rappresentazione di una Partizione dell’insieme A

B2

B1

B5

B4

B3

A

1 2 3 4 5A B B B B B= ∪ ∪ ∪ ∪

i jB B∩ =∅ i, j 5∀ ≤ i j≠

S



Richiami di Calcolo combinatorio Esempio Quante parole di m = 3 lettere possono essere scritte utilizzando solo le N = 5 vocali? (esempio: aoe, iii, uaa, ...)

Attraverso un diagramma ad albero è facile verificare che si possono scrivere 5 5 5 125× × = parole di tre lettere.

In generale vale il seguente principio • Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali

una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi, e, per

ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza

scelta può essere effettuata in t modi diversi (così a seguire …) allora la

successione di tutte le scelte può essere compiuta in r t s× × modi

diversi.



Calcolo combinatorio Esempio Se 6 persone si vogliono mettere in fila da sinistra a destra, in quanti modi diversi possono farlo?

Formulazione equivalente: Se 6 persone arrivano contemporaneamente ad uno sportello, in quanti modi diversi possono mettersi in coda?

Per il primo posto abbiamo 6 possibilità, per il secondo 5 possibilità, …, per l’ultimo posto 1 possibilità.

Le 6 persone possono mettersi in fila (coda) in 6 5 4 3 2 1 720 6 !⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = modi diversi.

In generale vale il seguente principio • Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o “mettere in coda”, o

“mettere in colonna”) in n! modi diversi. Dove:

( ) ( )n! n n 1 n 2 ... 2 1= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅



Calcolo combinatorio

Esempio In una classe di 25 alunni, si devono scegliere 6 "volontari" per

l’interrogazione. In quanti modi può essere effettuata la scelta?

⇓

• Gruppi di 6 alunni che si possono estrarre dai 25. In questo esempio

l’ordine con cui si presentano i 6 alunni nel gruppo non è rilevante, cioè

tutti i gruppi ordinati costituiti dagli stessi ragazzi contano una sola volta

⇓

Combinazioni



Richiami di calcolo combinatorio Le disposizioni

Le disposizioni (inglese: permutations) di N oggetti presi "ad m ad m" sono i

gruppi ordinati (configurazioni) ottenuti prendendo in un dato ordine m

oggetti su N.

Il numero di tali disposizioni è indicato con NmD .



Disposizioni di tre oggetti a, b, c (N = 3)

m CONFIGURAZIONI NmD

1 a, b, c 3

2 ab, ac, bc, 6

ba, ca, cb

3 abc, acb, bac, 6

bca, cab, cba

ab e ba costituiscono due disposizioni distinte



Le Disposizioni (segue)

Per ricavare una espressione per NmD , si procede per induzione:

N1D N=

( ) ( )N N2 1D D N 1 N N 1= − = −

( ) ( )( )N N3 2D D N 2 N N 1 N 2= − = − −

………………

( ) ( )NmD N N 1 ... N m 1= − ⋅ ⋅ − +

Nel caso m = N si hanno le permutazioni (o permutazioni semplici):

( )( )NND N ! N N 1 N 2 ... 2 1= = − − ⋅ ⋅ ⋅

Esempio: numero di nomi di siti Web con tre lettere distinte 263D 15 600= i ( )326 17 576= i



Le combinazioni Le combinazioni di N oggetti presi "ad m ad m" sono i gruppi non ordinati di m oggetti presi da un insieme di N oggetti.

Il loro numero è indicato con NmC .

Combinazioni di tre oggetti a, b, c (N = 3)

m CONFIGURAZIONI NmC

1 a, b, c 3

2 ab, ac, bc 3

3 abc 1



Legame tra Disposizioni e Combinazioni La relazione tra il numero di disposizioni ed il numero di combinazioni è

N Nm mD m! C= ⋅

e quindi ( ) ( ) !

! !( )!Nm

N N N 1 N m 1 NCm m m N m

⋅ − ⋅ ⋅ − +⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

…

NmC uguaglia il coefficiente binomiale dello sviluppo del binomio

( )N

N m N m

m 0

Na b a b

m−

=

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ .

Si intende che: N

10

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Esempio: 26

26 33

DC 2 6003!

= = i



Il coefficiente binomiale

I coefficienti Nm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sono rappresentati da (triangolo di Tartaglia):

(N = 1) 1 1

(N = 2) 1 2 1

(N = 3) 1 3 3 1

(N = 4) 1 4 6 4 1

……… …… …… …… ……

Esempio:

Combinazioni delle 26 lettere dell’alfabeto a gruppi di 10: 2610C 5 311735= i i , !26 26

26D 26 4 10= ≅ ⋅ “esplosione combinatoria”.



Esperimenti ed Eventi

Esperimento casuale

È un procedimento di osservazione (misura di una tensione, riconoscimento

di una carta, etc.) dello stato finale del sistema sottoposto ad un processo,

che si suppone ripetibile un numero illimitato di volte con le stesse modalità

di esecuzione.

Risultato dell’esperimento È lo stato finale del sistema, specificato dai parametri che in un dato

esperimento vengono presi in esame.



Insieme Universale (o Spazio Campione S) (*) È l'insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento casuale, può essere

finito o infinito.

Prova Ogni esecuzione dell'esperimento prende il nome di prova.

Evento Un evento è un insieme di risultati ed è pertanto un insieme appartenente

ad S (un sottoinsieme di S).

____________________ (*) Spesso l’Insieme Universale è indicato con Ω.



Eventi particolari

L'evento impossibile è quello che non si verifica in nessuna prova.

L'evento certo è quello che si verifica in ogni prova.

Esempio:

Nell'esperimento costituito dall'estrazione di una carta, l’evento certo è

l'estrazione di uno qualsiasi dei quattro semi: cuori, quadri, fiori, picche;

l’evento impossibile è l'estrazione di una carta che non esiste.



Esperimenti ed Eventi - ESEMPIO

• Esperimento: lancio di un dado

• Si possono definire gli eventi semplici

a) Faccia del dado: [ ]1,2,3,4,5,6∈

b) La coppia di numeri reali ( )0 0x , y che individua la posizione baricentro sul tavolo

0 x

y

x0

y0

Tavolo

0 x

y

x0

y0

Tavolo



Operazioni sugli eventi

• Il complementare di un evento A o "negato" A (cioè il non verificarsi di

A) è un evento. { }A Tutti gli elementi di S che ad A= ∉ .

• L'unione di più eventi è un evento composto da tutti i risultati che

costituiscono i singoli eventi. Per due eventi A e B si scrive A B∪ o

anche A B+ .

• L'intersezione di più eventi è un evento composto dai soli risultati

comuni a tutti gli eventi. Per due eventi A e B si scrive A B∩ o anche

A B⋅ .

• La differenza di due eventi A e B (si scrive A B− ) è un evento composto

dai risultati di A che non fanno parte di B.



Operazioni sugli eventi

1 2 3

4 5 6

Spazio Campione Slancio di un dado

Ac

A

1 2 3

4 5 6

B

A C

A: Faccia “pari”B: Faccia “multipla di tre”C: A intersezione B = “faccia 6”

1 2 3

4 5 6

Spazio Campione Slancio di un dado

Ac

A

1 2 3

4 5 6

B

A C

A: Faccia “pari”B: Faccia “multipla di tre”C: A intersezione B = “faccia 6”



Eventi incompatibili

Due eventi sono incompatibili se la loro intersezione è l’evento impossibile

(è nulla), cioè gli eventi non hanno elementi (risultati) in comune.

Si scrive A B⋅ = ∅.

A B

S

A B

S



Numero di eventi definibili

Dato un esperimento con N possibili risultati (la cardinalità di S vale N), il

numero di eventi definibili eguaglia il numero di sottoinsiemi dello spazio

campione S:

2N (inclusi ∅ e S)

Esempio:

Se un esperimento ammette 3 risultati: A, B, C, possiamo definire, oltre

all’evento impossibile { }∅ , i 3 eventi semplici: { }A , { }B , { }C

ed i 4 eventi composti: { }A B+ , { }A C+ , { }B C+ , { }A B C+ + .



Campi Il risultato di operazioni (unione, intersezione, complementazione) su eventi

è ancora un evento.

La classe degli eventi costituisce quindi un campo o algebra, cioè un

insieme chiuso rispetto alla somma (o unione), al prodotto (o intersezione)

ed alla complementazione.

Nello specificare un esperimento casuale occorre definire la classe degli

eventi in modo che il risultato di somme, prodotti e complementazioni di

eventi sia ancora un evento.

Tale aspetto è poco rilevante dal punto di vista ingegneristico.



Esempio di risultati Esperimento: lancio di una freccia contro il piano YZ (bersaglio).

Eventi definibili: i punteggi ( )0,1,2,3 if i = , e costituiti dai seguenti

sottoinsiemi di S:

( ) ( ){ }2 2 20 0 0 0f : z z y y R− + − >

( ) ( ){ }2 22 21 1 0 0 0f : R z z y y R< − + − ≤

( ) ( ){ }2 22 22 2 0 0 1f : R z z y y R< − + − ≤

( ) ( ){ }2 2 23 0 0 2f : z z y y R− + − ≤

X

Y

Z

Z0

Y0

R1

R2

R0

f0f3



Il concetto di probabilità

Nel corso della storia, il concetto di probabilità è stata oggetto di numerose

interpretazioni. Storicamente il concetto di probabilità di un evento si è

sviluppato in diversi contesti, a partire dai giochi d'azzardo, seguendo due

filoni principali:

• descrizione di una proprietà oggettiva dell'evento;

• rappresentazione del grado di fiducia nutrito nel verificarsi dell'evento.



Il concetto di Probabilità - Esempi

(a) Probabilità come descrizione di una proprietà oggettiva dell’evento. Esempio la probabilità di ottenere 4 lanciando due dadi

(b) Probabilità come grado di fiducia nel verificarsi di un evento: - Valore delle Azioni di una Società nella giornata di domani - Superamento di un esame universitario

1 2 3 4 5 6

123456

Spazio Campione

Dado 1

Dad

o 2

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

123456

Spazio Campione

Dado 1

Dad

o 2



Il concetto di probabilità (segue) Le quattro interpretazioni più significative sono le seguenti:

• Assiomatica (Kolmogorov, 1933);

• Frequentista (Von Mises e Laplace);

• Classica (principio della ragione insufficiente, H. Bernoulli, 1713);

• Soggettiva (De Finetti).



La teoria assiomatica

La teoria assiomatica, introdotta da A. N. Kolmogorov nel 1933 si basa sulla

definizione di alcune caratteristiche (assiomi) che deve possedere la

probabilità ( )P A dell’evento A.

Riferimento bibliografico A. N. Kolmogorov, “Concetti fondamentali di teoria della probabilità” a cura di Luigi Accardi, Edizioni TEKNOS, Roma, 1995



La teoria assiomatica (segue)

Essa deve soddisfare i seguenti tre assiomi:

I. ( )P A è un numero non negativo:

( )P A 0≥

II. L'evento certo S ha probabilità unitaria:

( )P S 1=

III. Se due eventi A e B non hanno elementi comuni (sono “incompatibili” o

“disgiunti”) la probabilità dell'evento unione è uguale alla somma delle

probabilità dei singoli eventi

( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +



La teoria assiomatica (segue)

L'assioma III. comporta che, se 1 2 NA ,A ,...,A sono disgiunti

( ) ( ) ( ) ( )1 2 N 1 2 NP A A ... A P A P A .... P A∪ ∪ ∪ = + + +

Ciò va esteso al caso di un numero infinito di eventi:

( ) ( ) ( )1 2 1 2P A A ... P A P A ....∪ ∪ = + +

(assioma III. bis dell'additività infinita).



L’interpretazione frequentista

Si effettua, per un numero N di volte e sempre nelle medesime condizioni,

un esperimento in cui si può osservare se l’evento d’interesse si è verificato

oppure no.

La frequenza relativa ( )Nf A di un evento A è il rapporto tra il numero di

volte ( )n A in cui si è verificato l’evento A ed il numero N di prove

dell'esperimento:

( ) ( )N

n Af A

N≡

( ) ( )N Nf A P A→∞⎯⎯⎯→



L’interpretazione frequentista (segue)

La frequenza relativa gode delle seguenti proprietà:

• La frequenza relativa dell'evento certo è unitaria

( )f S 1=

• La frequenza relativa di un qualsiasi evento A è non negativa

( )f A 0≥

• Se A e B sono eventi incompatibili si ha

( ) ( ) ( )f A B f A f B+ = +

dato che A e B non possono presentarsi simultaneamente.



La definizione classica

La probabilità di un evento A è il rapporto tra i possibili risultati favorevoli

all'evento A, ( )n A , ed il numero N dei possibili risultati:

( ) ( )n Ap A

N≡

Osservazione:

( )n A ed N non sono i risultati effettivi di un esperimento, ma i possibili

risultati di esso, cioè sono la cardinalità di A (numero di elementi di A) e di S

rispettivamente.



La definizione classica (continua)

La definizione classica presenta delle ambiguità e conduce a risultati non

corretti nel caso in cui i vari risultati possibili non siano equiprobabili.

Principio della ragione insufficiente

Si deve inserire nella definizione classica la condizione che i diversi risultati

possibili siano equiprobabili.



Applicazione della definizione classica al lancio di due dadi

Es.: Nel lancio di due dadi calcolare la probabilità che la somma sia 7.

Soluzione 1 Soluzione 2 Soluzione 3

Possibili risultati Possibili risultati Possibili risultati

2, 3, ..., 7, ..., 12 11 possibilità

Coppie (1+1), (1+2), ..., (6+6)

21 possibilità (non distinguendo tra primo

e secondo dado)

Coppie (1+1), (1+2), ...,(6+6)

36 possibilità (distinguendo tra primo e

secondo dado) Risultati favorevoli

7 1 risultato

Risultati favorevoli (1+6), (2+5), (3+4)

3 risultati

Risultati favorevoli 1+6, 6+1,2+5,5+2,3+4,4+3 :

6 risultati 1p

11= NO!

3 1p21 7

= = NO! 6 1p36 6

= =



Critiche alla definizione classica

• La definizione classica di probabilità fa uso del concetto di equiprobabile, cioè del concetto stesso che dovrebbe definire.

• L'assegnazione dei valori di probabilità secondo la definizione classica non tiene conto dell'esperienza. A volte la condizione di equiprobabilità non ha giustificazioni logiche a priori se non la “ragione insufficiente” e può essere solamente estrapolata dall'esperienza.

• L'utilizzo della definizione classica è limitato ai casi in cui i possibili risultati sono equiprobabili e conduce ad ambiguità quando i possibili risultati sono infiniti.



Considerazioni sulle definizioni di probabilità

• Teoria assiomatica della probabilità:

Pregio: consente uno sviluppo completo e privo di contraddizioni ed è possibile considerare “oggetti” ai quali attribuire opportuni modelli probabilistici (dado).

Limite: nulla dice in ordine ai valori numerici delle probabilità.

• Teoria frequentista della probabilità:

Pregio: permette di ricavare valori di probabilità non in contraddizione col metodo assiomatico e inoltre di gettare un primo ponte verso la statistica.

Limite: i valori di probabilità sono ricavati per N finito.



Il Paradosso di Bertrand Dato un cerchio C di raggio r si deve trovare la probabilità p che

una corda AB, selezionata a caso, sia più lunga della lunghezza

(pari a r 3 ) del lato del triangolo equilatero iscritto.



Soluzione n. 1 del paradosso di Bertrand 2

2

r14p

r 4

π= =

π

A

B

Mr/2

r



Soluzione n. 2 del paradosso di Bertrand Arco DE 2 r / 3 1p

Circonferenza 2 r 3π

= = =π

A

B

E



Soluzione n. 3 del paradosso di Bertrand

MH MG r / 2= = GH r 1p2r 2FK

= = =

r/2

r/2A B

M

F

H

K

G



Il Paradosso di Bertrand Il paradosso deriva dalla imprecisa definizione dell'esperimento contenuta nella frase:

"selezionare a caso una corda AB"

che dà adito a tre interpretazioni diverse e quindi a tre

esperimenti diversi.



Probabilità condizionata ed indipendenza

Legame tra eventi: per valutare quantitativamente questa dipendenza si introduce il concetto di probabilità condizionata.

Se A e B sono due eventi di uno spazio campione S, con ( )P B 0≠ si

definisce la probabilità condizionata di A rispetto a B (o “probabilità

di A dato B”), e si indica con ( )P A| B , il rapporto:

( ) ( )( )

P ABP A B

P B=

(AB è l’evento intersezione di A con B)

A B

S

A B

S



Probabilità condizionata - Esempio Lanciando due dadi (uno rosso e uno nero), si vuole ricavare la probabilità che la somma delle facce sia 3 dato che (condizionata a) il dado rosso presenti la faccia 1, 2, 3.

• N = valore della faccia del dado nero;

• R = valore della faccia del dado rosso;

• S = somma: S R N= + ;

( ) 1P S 3| R 26

= = =

( ) ( )( )

1P S 3,R 1 136P S 3| R 1 6P R 1 6

36

= == = = = =

=

( )P S 3| R 3 0= = =



Esempio (segue) In grigio l’evento { }S 3= In tratteggio gli eventi condizionanti: { } { } { }R 1 , R 2 , R 3= = =

1 2 3 4 5 6

123456

Spazio Campione

Dado rosso

Dad

o ne

ro R=1R=2R=3

1 2 3 4 5 6

123456

Spazio Campione

Dado rosso

Dad

o ne

ro R=1R=2R=3



Probabilità condizionata di eventi particolari • Se A e B sono incompatibili, allora

AB = ∅ ⇒ ( )P A| B 0= • Se A B⊂ allora

AB A= ⇒ ( ) ( )( ) ( )P A

P A| B P AP B

= ≥

• Se B A⊂ allora

AB B= ⇒ ( )P A| B 1= (infatti se si verifica B, si verifica sicuramente anche A).

A BSA BS

AB

S

AB

S

A

BS

A

BS



La probabilità condizionata secondo l'interpretazione della frequenza relativa

Se si ripete N volte l'esperimento casuale e si indica con ( )n A , ( )n B e

( )n AB rispettivamente il numero di volte in cui si presenta l'evento A,

l'evento B e ed entrambi:

( ) ( )( )

( )

( )( )( )

n ABP AB n ABNP A B

n BP B n BN

= ≅ =

Quindi, la probabilità condizionata di A rispetto a B è uguale,

approssimativamente, alla frequenza relativa con cui si presenta l'evento A

nella successione di prove in cui si verifica l'evento B.



Proprietà della probabilità condizionata

I) ( )P A| B 0≥

II) ( )P S | B 1=

La probabilità dell’unione di due eventi, dato un terzo evento M, gode della seguente proprietà:

III) Se AB = ∅ allora (“+” unione , “.” Intersezione)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1P A B | M P A| M P B | M P A M P B MP M

⎡ ⎤+ = + = ⋅ + ⋅⎣ ⎦

A B S

M

A B S

M



Fattorizzazione delle probabilità congiunte

Nel caso di due eventi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P AB P A P B A P B P A B= ⋅ = ⋅

Nel caso di tre eventi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P ABC P C B A P BA P C B A P B A P A= ⋅ = ⋅ ⋅

Per N eventi:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 N N 1 N 2 1 N N 1 N 2 1

N 2 1 N 1 N 2 1 N N 1 N 2 1

1 2 1 N 1 N 2 N 3 1 N

P A A A P A A A P A | A A A

P A A P A | A A P A | A A A......................................................................P A P A | A ... P A | A A A P A

− − − −

− − − − −

− − −

⋅…⋅ = ⋅…⋅ ⋅ ⋅…⋅ =

= ⋅…⋅ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ ⋅…⋅ =

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ ( )N 1 N 2 1| A A A− − ⋅…⋅



Eventi indipendenti • Due eventi A e B si dicono statisticamente indipendenti se e solo

se la probabilità della loro intersezione si fattorizza nel prodotto delle loro probabilità:

( ) ( ) ( )P AB P A P B= ⋅

• Gli eventi 1 2 NA ,A ,...,A si dicono mutuamente statisticamente

indipendenti se e solo se la probabilità dell'intersezione di un qualunque loro insieme è uguale al prodotto delle probabilità di ogni evento in questo insieme:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 r 1 2 rk k k k k kP A A A P A P A P A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅… …

r : 1 r N∀ < ≤ i1 k N≤ ≤



Esempio di eventi indipendenti e dipendenti

, , ,

∑ 1 1

Condizione di indipendenza:

1

R1 R2

R3 R4A

B

S



Prove Indipendenti e Dipendenti - Esempi • Nell’esperimento del “lancio di due monete” (due lanci consecutivi

o un lancio contemporaneo di entrambe) è ragionevole pensare che il presentarsi di “testa” o “croce” su una moneta non modifichi le probabilità sull’altra. (Indipendenza tra le prove)

• Nella “estrazione di due palline” da un’urna con reinserimento della pallina estratta, per l’estrazione della prima pallina tutti i risultati possibili sono equiprobabili così come per la seconda estrazione che è una replica della precedente. (Indipendenza tra le prove)

• Nella “estrazione di due palline” da un’urna senza reinserimento della pallina estratta, per la seconda estrazione si modifica lo stato del sistema, e quindi lo spazio campione S in relazione alla pallina estratta precedentemente. (Dipendenza tra le prove)



Prove Indipendenti - Esempio

Un urna contiene 9 palline Nere e 1 pallina Bianca. Si estraggono in successione due palline con reinserimento della prima estratta. Si vince se almeno una delle due palline è bianca. Calcolare la probabilità di vittoria.

• Prima Estrazione: ( ) 1P B10

= ( ) 9P N10

=

• La seconda estrazione opera sullo stesso sistema, e quindi è una

replica della precedente.



Prove Indipendenti - Esempio (segue)

Quindi si ha:

( ) 1P B10

= ( ) 9P N10

=

( ) ( ) ( ) ( )P Vincere P B,B P B,N P N ,B

1 1 1 9 9 110 10 10 10 10 10

= + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

19100

Si può calcolare la probabilità di vincere anche come:

( ) ( ) ( ) 9 9P Vincere 1 P Perdere 1 P N ,N 110 10

= − = − = − × =19

100



Prove Dipendenti - Esempio

Un urna contiene 9 palline Nere e 1 pallina Bianca. Si estraggono in successione due palline senza reinserimento della pallina estratta. Si vince se almeno una delle due palline è bianca. Calcolare la probabilità di vittoria.

Prima Estrazione: ( ) 1P B10

= ( ) 9P N10

=

Seconda estrazione: ( )P B | B 0= ( )P N | B 1=

( ) 1P B | N9

= ( ) 8P N | N9

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P Vincere P B,B P B,N P N ,B P B P B | B P B P N | B P N P B | N1 1 9 10 1

10 10 10 9

= + + = + + =

= × + × + × =15

( ) ( ) ( ) 9 8P Vincere 1 P Perdere 1 P N ,N 110 9

= − = − = − × =15



Indipendenza di eventi e probabilità condizionata

Se A e B sono indipendenti allora

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )P AB P A P B

P A| B P AP B P B

= = =

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )P AB P A P B

P B | A P BP A P A

= = =

Si può dire che "se due eventi sono indipendenti il condizionamento di un evento dall'altro non ne altera la probabilità". Il concetto di indipendenza statistica è fondamentale: esso rende la teoria della probabilità qualcosa di più di una semplice teoria della misura.



Probabilità dell’Unione di eventi Disgiunti

A

B

BBAB

P A B P A P B A( + )= ( ) + ( - )= ( ) + ( ) - ( )P A P B P AB

A

Per eventi indipendenti

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B+ = + − ⋅



Rappresentazione di una Partizione dello Spazio Campione S

1 2 3 4 5S A A A A A= ∪ ∪ ∪ ∪

i jA A∩ =∅ i, j 5∀ ≤ i j≠

S

A1

A2

A3

A4 A5

B

S

A1

A2

A3

A4 A5

B



Teorema della probabilità totale La probabilità di un evento B definito su uno spazio campione S può

essere espressa mediante le probabilità condizionate.

Teorema: Data una partizione di S negli m eventi disgiunti:

1 2 mA ,A ,...,A (incompatibili)

la probabilità ( )P B è:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 m mP B P A P B | A .... P A P B | A= ⋅ + + ⋅

Dimostrazione:

( )1 2 mB B S B A A .... A= ⋅ = ⋅ + + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 m 1 m

1 1 m m

P B P B A A .... A P B A .... P B A

P B | A P A .... P B | A P A

⎡ ⎤= + + + = ⋅ + + ⋅ =⎣ ⎦= ⋅ + + ⋅



Esempio: il Canale Numerico – Probabilità di Errore

Se { }a a= ⇔ { } { }C Decisione Corretta=

Se { }a a≠ ⇔ { } { }E Decisione Errata=

Probabilità di Errore: { } { } { }Prob Errore P E 1 P C= = −

SorgenteNumerica Trasmettitore Canale di

Trasmissione Ricevitore Utentea s(t) r(t) a

MessaggioNumerico

Trasmesso

SegnalePortante ilMessaggio

Disturbi Rumore

SegnaleRicevuto

MessaggioNumericoRicevuto

Canale Numerico

SorgenteNumerica TrasmettitoreTrasmettitore Canale di

TrasmissioneCanale di

Trasmissione RicevitoreRicevitore UtenteUtentea s(t) r(t) a

MessaggioNumerico

Trasmesso

SegnalePortante ilMessaggio

Disturbi Rumore

SegnaleRicevuto

MessaggioNumericoRicevuto

Canale Numerico



Canale Numerico Si opera una trasformazione tra simboli trasmessi e ricevuti

Probabilità “a priori”: ( )iP a i 0,1,2,...,M 1= −

Probabilità “congiunte”: ( )i jp a ,b i, j 0,1,2,...,M 1= −

Probabilità “a posteriori”: ( )i jp a |b i, j 0,1,2,...,M 1= −

Probabilità “di transizione”: ( )j ip b | a i, j 0,1,2,...,M 1= −

ia A∈ jb B∈Canale di TrasmissioneNumerico

{ }0 1 M 1A a ,a ,...,a −= { }0 1 M 1B b ,b ,...,b −=

ia A∈ jb B∈Canale di TrasmissioneNumerico

{ }0 1 M 1A a ,a ,...,a −= { }0 1 M 1B b ,b ,...,b −=



Sorgente binaria con Canale Numerico binario simmetrico

Probabilità a priori Probabilità di transizione ( )0 0P a 0 P= = ( )0 0p b | a 1 ε= − ( )1 0p b | a ε=

( )1 1P a 1 P= = ( )0 1p b | a ε= ( )1 1p b | a 1 ε= −

0 1P P 1+ =

Probabilità di Errore

( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 1 0 1P E P p b | a P p b | a P Pε ε ε= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

0a 0=

1a 1=1b 1=

0b 0=1 ε−

1 ε−

ε

ε0P

1P

Sorgentebinaria

0a 0=

1a 1=1b 1=

0b 0=1 ε−

1 ε−

ε

ε0P

1P

Sorgentebinaria



Prob. di Errore di bit all’uscita del Filtro Adattato: PAM M-ario

16

2

4

8



Il teorema di Bayes

Discende direttamente da quello della Probabilità Totale.

Teorema: Data una partizione 1 2 mA ,A ,...,A di S ed un evento B, la

probabilità dello i-esimo evento iA condizionata a B è:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

i ii

1 1 m m

P A P B | AP A | B

P B | A P A ... P B | A P A⋅

=⋅ + + ⋅

Dimostrazione:

La probabilità congiunta di iA e B si può scrivere in due maniere

( ) ( ) ( )i i iP A B P A P B | A= ⋅

( ) ( ) ( )i iP A B P B P A | B= ⋅



Il teorema di Bayes (segue)

Combinando queste due espressioni si ottiene

( ) ( ) ( )( )

i ii

P A P B | AP A | B

P B⋅

= =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

i i

1 1 m m

P A P B | A P A P B | A .... P A P B | A

⋅=

⋅ + + ⋅

dove nello scrivere l'espressione a denominatore, si è usato il Teorema della Probabilità Totale.



Teorema di Bayes - Esempio

Un medico sa che un sintomo, indicato con E (es. una febbre associata ad un dato quadro clinico) è l’effetto di sole tre malattie: 1H ,

2H , 3H . La ricerca medica ha stabilito che:

( )1P E | H 0.90= ( )2P E | H 0.10= ( )3P E | H 0.30=

inoltre le probabilità di contrarre le malattie sono:

( )1P H 0.03= ( )2P H 0.70= ( )3P H 0.27=

Un paziente mostra il sintomo E, il medico a quale malattia attribuisce la causa?



Teorema di Bayes - Esempio

• A priori la malattia 2H è la più probabile ( ( )2P H 0.70= ), ma il

sintomo E è con maggiore verosimiglianza associato a 1H che

sembra essere una malattia rara ( ( )1P H 0.03= ).

• A posteriori (presenza del sintomo) il medico propende per 3H .

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