Dalle radici sofistiche ai numeri complessiUn caso di studio per la storia della matematica in classe

Veronica GavagnaUniversità di Salerno

Bozza Indicazioni Ministeriali: «connettere le varie teorie matematiche studiate con le problematiche storiche che le hanno originate e di approfondirne il significato.»

Formazione degli insegnantiReperimento delle fonti (cartacee e/o

elettroniche)

Home page Il Giardino di Archimedehttp://web.math.unifi.it/archimede/

http://php.math.unifi.it/convegnostoria/convegnostoria2/index.html

Un progetto di laboratoriosull’algebra rinascimentale

• Le equazioni di II grado nell’algebra retorica e sincopata

• Le equazioni di III grado: (storia) e analisi della formula risolutiva

• Il problema del caso irriducibile e la questione delle radici di numeri negativi: strumenti e soluzioni

Perché avvicinare uno studente all’algebra rinascimentale?

(Luis Radford on the historical costruction of the mathematical knowledge)… most of the time the teachers’ ideas about the mathematical content they teach derive from the only contemporary mathematical formulation of the content under consideration. Now the contemporary formulation is the result of a long process of conceptual changes and transformation and not necessarily the best starting point for students […] Where algebra is concerned, contemporary formulation favours, in particular the ‘symbolism’ of algebra; in this context, algebra is often seen as the mastering of a certain symbolic language so, right from the beginning, all efforts in the classroom are made for students to become competent in this language […] Is it possible to introduce algebra in school without having the immediate objective of mastering the modern symbolic language?

Perché avvicinare uno studente all’algebra rinascimentale?

Un approccio storico a taluni argomenti, magari favorito da progetti interdisciplinari, favorisce negli studenti• la consapevolezza dell’unitarietà della cultura e

un atteggiamento critico verso la dicotomia artificiale

cultura scientifica vs cultura umanistica• la percezione del fatto che la matematica ha una

profondità storica e uno spessore culturale e non è un insieme di tecniche applicate talvolta a simboli vuoti di significato

L’algebra rinascimentaleIl contesto storico

Erede dell’algebra araba del IX-X secolo, penetra nell’Occidente latino soprattutto a partire dal XIII secolo tramite Leonardo Pisano (e altre fonti indipendenti)

Fiorisce nelle (migliori) botteghe d’abaco, dove si educa lo strato culturale intermedioE’ un’algebra retorica che serve essenzialmente per risolvere problemi pratici

Come avvicinare uno studente all’algebra rinascimentale?

Lettura delle fonti -- mediata dall’insegnante -- non disgiunta dalla contestualizzazione storica. La scelta dell’autore/autori può offrire la possibilità di attività interdisciplinari che esplorino aspetti inediti di questo periodo storico.

Piero della Francescarappresentante sui generis dello strato sociale intermedio poiché scrive libri in volgare e in latinoOltre al De prospectiva pingendi… è anche autore del Libellus de quinque corporibus regularibus e del Trattato d’abaco

Le equazioni di secondo gradoUna necessaria premessa

Non esiste un’equazione di II grado, ma tre casi, determinati dalla condizione che i coefficienti devono essere positivi

con b, c >0

con b, c di segno qualsiasi

Piero della FrancescaTrattato d’abaco

Et i composti sono quando i censi e le cose sono equali a li numeri [4], et quando i censi e i numeri sono equali a le cose [5] , et quando il censo equale a le cose e al numero [6].Quando i censi e le cose sono equali al numero se vole recare a un censo, et demeççare le cose et moltiplicare in sé, e quello che fa ponare sopra il numero; e la radici de la somma meno il dimeççamento de le cose vale la cosa [4a].Quando i censi e numeri sono equali a le cose, se vole recare a un censo, e demeççare le cose e moltiplicare in sé e trarne il numero: et la radici del rimanente meno del dimeççamento de le cose vale la cosa [5a].E quando i censi sono equali a le cose e al numero, se dèi recare a un censo, et demeççare le cose, moltiplicare in sé e ponare sopra il numero; e la radici de la summa più de dimeççamento de le cose vale la cosa [6a].

Censi e cose uguale a numero

Quando i censi e le cose sono equali al nu-mero se vole recare a un censo, et demeççare le cose et moltiplicare in sé, e quello che fa ponare sopra il numero; e la radici de la somma meno il dimeççamento de le cose vale la cosa [4a].

Problemi dell’algebra rinascimentale

Cardano, Practica arithmeticae

M.° Dardi, Aliabraa argibra

R. Capriglione, Un percorso storico-didattico per l’insegnamento dell’algebra, Tesi di Laurea

Giuseppe Unicorno (Bergamo, 1523-1610)De l’arithmetica universale, 1598

Uno fa doi viaggi, al primo guadagnò la radice del suo capitale, al secondo guadagnò alla ragion del primo & al fine si trovò con ducati 25; dimando con quanti ducati se partì da prima. Poni che’l se partisse con 1 cen. de duc. adonque il suo guadagno fù 1 co. Onde dirai per trovar l’altro capitale, se 1 cen. mi da 1 cen. p. 1 co. che mi darà 1 ce. p. 1 co.? Multiplica la seconda nella terza sarà 1 ce.ce. p. 2 cu. p. 1 ce. da partir p. 1 ce. adonque averai….. (p. 660)

http://bibdig.museogalileo.it/rd/bd

Girolamo CardanoArs magna (1545)

Secundum haec formabimus regulas tres, pro quarum memoria subiungemus carmen hoc

Querna, da bis Nuquer, admi

Requan, minue dami

x2 = bx + cc = x2 + bx bx = x2 + c

Querna, da bisIn hoc Querna, igitur, seu capitulo quadrati aequalis rebus et numero addes quadrato dimidij rerum numerum aequationis & totius accipe radicem quadratam, cui adde dimidium numeri rerum & aggregatum est rei aestimatio.

x2 = bx + cQuerna corrisponde al caso del quadrato uguale alle incognite e ai numeri, in cui devi aggiungere i numeri al quadrato della metà delle incognite, considerare la radice quadrata della somma e aggiungerci la metà del numero delle incognite: questa somma è il valoredell’incognita

Nuquer, admiSi autem numerus quadrato & rebus aequalis sit, quadrato dimidii numeri rerum adiicies numerum aequationis & totius aggregati accipe radicem, a qua minue dimidium numeri rerum, & residuum est rei aestimatio

c = x2 + bx Se poi i numeri sono uguagliati ai quadrati e alle incognite [Nuquer] , aggiungi i numeri al quadrato della metà delle incognite, prendi la radice della somma e da questa sottrai la metà del numero delle cose: quello che resta è il valore dell’incognita

Requan, minue damiSi vero res aequales sint quadratis & numero, ut prius, dimidio numeri rerum in se & ab eo detracto numero aequationis, radicem residui minue ex dimidio numeri rerum aut adde, & tam aggregatum quam residuum est rei aestimatio

bx = x2 + c

Dove trovare le fontiGirolamo Cardano. Strumenti per la storia del Rinascimento in Italia settentrionalehttp://www.cardano.unimi.it/Opera omnia (1663): http://www.cardano.unimi.it/testi/opera.htmlArs Magna (editio princeps, 1545)http://bibdig.museogalileo.it/rd/bd

Possibili attività in classe

Lettura (traduzione) ed interpretazione di testi originali che descrivono le formule risolutive delle equazioni di secondo grado.• Gruppi che leggono lo stesso testo e

discutono la traduzione e l’interpretazione simbolica

• Gruppi che leggono testi diversi (latino/volgare) e si confrontano

Da notare che…• Le radici delle equazioni devono

essere positive (vere) • Sono accettabili solo i numeri interi, i

numeri rotti, i numeri surdi• Non sono contemplate equazioni con

due soluzioni negative (, con • e nemmeno equazioni a

discriminante negativo

Una prima osservazioneLa necessità di considerare le radici quadrate di numeri negativi non nasce dalle formule risolutive delle equazioni di secondo grado. E’ opinione condivisa chele equazioni a discriminante negativo non ammettano soluzioni

Le equazioni di terzo grado

Anche in questo caso abbiamo 3 casi

Non si considerano equazioni cubiche complete manessuno avanza dubbi sulla generalità delle

equazioniCome mai?Perché era noto che la trasformazione

x = y – r/3x3 + rx2 + px + q = 0 → y3 + py + q = 0

Le equazioni di terzo gradoCome si è trovata la formula risolutiva?

Ipotesi di E. Bortolotti – Estrazione della radice cubica di un binomioDati con si cercano due numeri e tali che

Elevando al cubo la relazione si ottiene+

Se si moltiplicano tra loro le due relazioni si ricava

E quindi inserendo nell’equazione precedente il valore di v così trovato

D’altra parte, sottraendo l’una dall’altra le due relazioni iniziali si ricava

Ponendo i può ora pervenire alla soluzione della

con e ovvero + i avrà allora

Le equazioni di terzo gradoUn tentativo ingenuo : qual è la ratio?

Quando li cubi sono equali a le cose et al numero, dese partire per li cubi et poi demeççare le cose et montiplicare in sè e ponere sopra al numero; e la radici di quello che fa più il dimeçamento de le cose, vale la cosa.(Piero della Francesca, Trattato d’abaco)

Le equazioni di terzo gradoUn tentativo ingenuo : qual è la ratio?

Quando li cubi sono equali a li censi et al numero, si vole partire per li cubi, poi demeçare i censi et montiplicare in sé e quello che fa porre sopra il numero; et la radici di quello più il dimeçamento de’ censi, vale la cosa. (Piero della Francesca, Trattato d’abaco)

Le equazioni di terzo gradoUn tentativo ingenuo : qual è la ratio?

Quando li cubi sono equali ai censi e a le cose e al numero, se dèi porre il numero sopra le cose e fare numero, et poi partire per li cubi et poi dimeçare li censi e montiplicare in sé e porre sopra lo numero; et la radici di quello, varrà la cosa più il dimeçamento dei censi. (Piero della Francesca, Trattato d’abaco)

Corrispondenza Cardano - Tartaglia

N. Tartaglia, 1546Quesiti et inventioni diverse

L’ultimo libro è dedicato alla ricostruzione dellavicenda

12 febbraio 1539 – 5 gennaio 1540

Dove trovare le fontiEdizione Nazionale Mathematica ItalianaBiografia di Tartagliahttp://mathematica.sns.it/autori/1323/Quesiti et inventioni diverse (1546) (download)http://mathematica.sns.it/opere/27/

Fabio Toscano,La formula segreta, Sironi Editore, 2009

Proposta di attività (in classe)

Ricostruzione della polemica attraverso la lettura della corrispondenza fra Cardano e Tartaglia pubblicata nei Quesiti

Esempio «vivo» di prosa vernacolare del Cinquecento

Primi contatti fra Cardano e TartagliaQuesiti et inventioni diverse

[2 gennaio 1539] … et per tanto sua eccellentia vi prega che voi gli vogliati mandare di gratia tal regola da voi trovata [cosa e cubo uguale a numero], & se 'l vi pare lui la dara fora in la presente sua opera sotto vostro nome, & se anchor el non vi pare, che lui la dia fora, la tenera secreta ...

[risposta di Tartaglia]: Diceti a sua eccellentia, che quella mi perdona, che quando vorò publicar tal mia inventione la voro publicar in opere mie, & non in opere de altri, si che sua eccellentia mi habbia per iscuso.

Cardano a Tartaglia12 febbraio 1539

… e trarvi fora di fantasia che voi vi crediate essere si grande vi faro conoscere con amorevole admonitioni per le vostre parole medesime che seti più appresso a la valle che alla sumita del monte… vi domando di gratia con che credeti di parlare con li vostri scolari, over con huomini… oltra a ciò vi laudai molto al Signor Marchese, pensando fosti più gentil riconoscitore et piu humano, et piu cortese

Cardano a Tartaglia19 marzo 1539

… et mi comandò di subito vi scrivesse la presente con grande instantia in nome suo, avvisandovi che vista la

presente dovesti venire à Milano senza fallo, che vorria parlar con voi. Et così ve essorto à dover venir subito, et non pensarvi su, perche il detto S. Marchese è si gentil remuneratore delli virtuosi, si liberale, et si magnanimo che niuna persona che serve sua eccellentia … resta discontento

La regola di Tartaglia25 marzo 1539

Quando chel cubo con le cose appresso

Se agguaglia à qualche numero discreto

Trovan due altri differenti in esso

Ch’el lor produtto sempre sia eguale

Al terzo cubo delle cose netto

x3 + px = q [1]

u – v = q

uv = (p/3)3

La regola di Tartaglia25 marzo 1539

El residuo poi suo generale

Delli lor lati cubi ben sottratti

Varra la tua cosa principale

3√u – 3√v = x

La regola di Tartaglia

In el secondo de cotesti attiQuando che’l cubo restasse lui soloTu osservarai quest’altri contrattiDel numero farai due tal part’à voloChe l’una in l’altra si produca schiettoEl terzo cubo delle cose in stoloDelle qual poi, per comun precetto

La regola di Tartaglia

Terrai li lati cubi insieme giontiEt cotal somma sara il tuo concetto

x3 = px + q [2]

La regola di Tartaglia

El terzo poi de questi nostri contiSe solve col secondo se ben guardiChe per natura son quasi congionti

x3 + q = px [3]Se si confronta con la

x3 = px + q [2]si nota che il termine quadratico è nullo (somma delle radici cambiata di segno), il termine lineare non cambia, mentreil termine noto (prodotto delle radici cambiato di segno) cambia segno, quindi le radici di [3] e [2] hanno lo stesso

modulo e segno opposto.

Il caso irriducibilex3 = px + q

Quando (q²/4) - (p³/27)<0

l’equazione ammette 3 soluzioni reali, ma si pone il problema di estrarre la radice quadrata di un numero negativo: questa volta non si può ignorare.

Cardano a Tartaglia4 agosto 1539

… io ve ho mandato a domandare la resolutione de diversi quesiti alli quali non mi haveti risposto, et tra li altri quello di cubo equale a cose e numero… quando che il cubo della terza parte delle cose eccede il quadrato della metà del numero, allora non posso farli seguir la equatione come appare [Caso irriducibile]

Tartaglia a Cardano7 agosto 1539

E pertanto ve rispondo, et dico che voi non haveti appresa la buona via per risolvere tal capitolo; anzi dico che tal vostro procedere è in tutto falso.

Le equazioni di terzo grado nell’Ars magna (1545)

XI. De cubo et rebus aequalibus numero

XII. De cubo aequali rebus & numero

XIII. De cubo et numero aequalibus rebus

Ars MagnaCap. XII De cubo aequali rebus & numero

Regula igitur est, cum cubus tertiae partis numerum rerum, maior non fuerit quadrato dimidij numeri aequa-tionis, auferes ipsum ex eodem & residui radicem adde dimidio numeri aequationis, atque iterum minue ab eodem dimidio;

Ars MagnaCap. XII De cubo aequali rebus & numeroHabebis, ut dicunt, Binomium & Apoto-men, quorum R. cubicaeIunctae rem ipsam constituunt.

Ars MagnaCap. XII De cubo aequali rebus & numero

At ubi cubus tertiae partis numeri rerum excedat quadratum dimidij numeri aequationis…

1. Regole operative per trattare con le radici di numeri negativi

2. Cercare una formula senza radici di numeri negativi

L’approccio di CardanoCardano non si pone problemi «fondazionali» ma problemi «operativi».

Un primo approccio alla questione si trova nell’Ars magna in relazione allo studio delle soluzioni false delle equazioni di secondo grado (tanto per smentirmi…).

Cap.XXXVII De regula falsum ponendiSecundum genus positionis falsae, est per radicem . Et dabo exemplum: si quis dicat, divide 10 in duas partes, ex quarum unius in reliquam ductu, producatur 30 aut 40. Manifestum est quod casus seu quaestio est impossibilis, sic tamen operabimur.

De regula falsum ponendiRegula IIDividemus 10 per aequa-lia, & fiet eius medietas 5; duc in se fit 25, auferes ex 25 ipsum producendum , utpote 40 … fiet residuum . 15 cuius R. addita & detracta a 5 ostendit par-tes quae invicem ductae producunt 40. Erunt igitur hae, 5 R. 15 & 5 R. 15

De regula falsum ponendiRegula II

La natura della nuova radice è particolare:

… quae vere est sophistica, quoniam per eam, non ut in puro meno nec in aliis operationes exercere licet, nec venari quid sit… hucusque progreditur Arithmetica subtilitas, cuius hoc extremum ut dixi, adeo est subtile ut sit inutile.

L’idea di subtilitas però non ha valenza negativa nel pensiero cardaniano

De regula falsum ponendiRegula III

Un calcolo (sbagliato) ma molto rivelatore…

Invenias tres numeros in continua proportione [x : y = y : z] quorum R. primi detracta a primo faciat secundum, & R. secundi detracta a secundo faciat tertius.

De regula falsum ponendiRegula IIIPonemus igitur primum 1. quadratum, & secun-dus erit 1 quadratum m. 1 positione & tertius erit 1 quad. m. 1 positione m. R.V. 1 quadrati m. 1 positione. Duc primum in tertium & secundum in se, habebis quantitates ipsas

De regula falsum ponendiRegula III

, m. , m. m. R. m. Operando ut vides, & productum primi in tertium, est m. p. R. quod est m. & tantum fit ducto secundo numero in se.

= - +

il che presuppone .

Qual è il segno di ?Paradosso del quadrato negativo

Ars magna arithmeticae (1538-1542, ed. 1663) p.373Et nota quod R. 9 est 3 vel 3 nam in in faciunt Igitur R. 9 non est 3 nec sed quaedam tertia natura abscondita.

Una nuova regola dei segniDe regula aliza libellus, 1570Cap. XXII De contemplatione et et quod in facit Et ideo patet communis error dicentium, quod in producit neque enim magis in producit quam in producat . Et quia nos ubique diximus contrarium, ideo docebo causam huius, quare in operatione in videatur producere et quomodo debeat intelligi.

Cardano padre dei numeri complessi?

Cardano non riesce a superare il problema del segno delle radici di numeri negativi e non può dunque operare con esse.In alternativa, cerca una formula risolutiva che possa fare a meno delle radici di numeri negativi. La sua strategia è quella di cercare di generalizzare casi particolari in cui è semplice abbassare il grado dell’equazione.

Ars MagnaCap. XXV De capitulis imperfectis & specialis

Cubus aequatur 16 rebus 21; tunc quia addito 27 numero cubo ad 21 fit 48 qui producitur ex 3 R cubica 27 in 16 numerum rerum, ideo dico quod res 3 erit communis divisor, … inde facta divisione habebis quadratum 3 rebus 9 aequalia 16…

R.BombelliL’Algebra

1572 primi 3 libri

ms. B.1569 Archiginnasio

5 libri (trovati nel 1923, pubblicati nel 1929 da Ettore Bortolotti)

Dove trovare le fontiEdizione Nazionale Mathematica Italiana

Biografia di Bombellihttp://mathematica.sns.it/autori/1325/L’Algebra 1572 (download)http://mathematica.sns.it/opere/9/

A gli Lettori… o sia per la difficultà della

materia, o per il confuso scrivere de’scrittori i quali sino ad hora ne hanno trattato […] mi son posto nell’animo di volere a perfetto ordine ridurla, e dirne quanto dagli altri è stato taciuto in questa mia presente opera […]

A gli Lettori… ma invero alcuno non è stato che

nel secreto della cosa sia penetrato, oltre che il Cardano Melanese nella sua arte magna, ove di questa scientia assai disse, ma nel dire fu oscuro […] dico che havendo visto dunque quanto da detti Autori n’è stato trattato, ho poi anco io con ordine continuato ridutto insieme la presente opera a beneficio commune

A gli LettoriLibro I … tutta la pratica del decimo di

Euclide, l’operar delle radici cube com’esso decimo opera nelle radici quadrate

Libro II … Algorismi dell’Algebra … con dimostrationi geometriche

Libro III … Trecento problemi

Le radici legateTutte le quantità composte di dui nomi,

delle quali se ne haverà a pigliare il lato … tal quantità non haveranno lato, o volendo nominare il lato si dirà Radice legata di tal composto come sarebbe se si dicesse trovami il lato di 7 p. Rq. 48, che non vuol dir’altro che trovare un composto che moltiplicato in se stesso faccia 7 p. Rq. 48…

RL di 7 p. Rq. 48 →

Le radici cubiche legateHo trovato un’altra sorte di R.c.legate molto differenti dalle altre, la qual nasce dal Capitolo di cubo eguale a tanti e numero, quando il cubato del terzo delli tanti è maggiore del quadrato della metà del numero…

La qual sorte di R.q. ha nel suo Algorismo diversa operatione dall’altre e diverso nome; perché quandoil cubato del terzo delli tanto è maggiore del quadrato della metà del numero,

lo eccesso loro non si può chiamare né più né meno, però lo chiamerò più di meno quando egli si doverà aggiongere, e quando si dovrà cavare lo chiamerò men di meno e questa operatione è necessarijssima…

Bombelli inventa i numeri immaginari?

Bombelli non inventa nuovi numeri (quelli che noi oggi chiamiamo numeri immaginari) quanto piuttosto inventa nuovi segni per poter manipolare algebricamente le radici quadrate dei numeri negativi.

La regola del più et meno Più via più di meno, fa più di meno [+1 · i = i]Meno via più di meno, fa meno di meno [-1 · i

= - i]Più via meno di meno, fa meno di meno [+1· -i

= - i]Meno via meno di meno, fa più di meno [-1· -i

= +i]

Più di meno via più di meno, fa meno [i· i= -1]Più di meno via men di meno, fa più [i· -i= 1]Men di meno via più di meno, fa più [- i· +i= 1]Men di meno via men di meno, fa meno [- i· -

i= -1]

Gli esempi di CardanoEsercizio in classe

+

Più via meno di meno, fa meno di menoPiù via più di meno, fa più di menoPiù di meno via men di meno, fa più

Meno via più di meno, fa meno di meno .

Il caso irriducibile è risolto?

+ Volendo trovare il lato cubico di simil specie di radici per prattica si terrà in questo modo: Giongasi il quadrato del numero col quadrato della R. e della somma si pigli il lato cubico, poi si cerchi a tentone di trovare un numero et una R.q. che li loro quadrati gionti insieme faccino tanto quanto fu il lato cubico detto di sopra..

Esempio

Bombelli 1572, pp.193-4, 180-181

Le radici cubiche legatemolti di più sono li casi

dell’agguagliare dove ne nasce questa sorte di R. che quelli dove nasce l’altra, la quale parerà a molti più tosto sofistica che reale.

E tale opinione ho tenuto anch’io, sin che ho trovato la sua dimostratione in linee

Costruzione geometrica di una radice reale

di una cubica irriducibile

La dimostrazione in linea

Si considera lo squadro inferiore vincolato a scorrere per i punti r e m ()Si assume che e che Rett(=4Si muove il secondo squadro in modo che scorra sulla retta da e che i punti p, f e r siano allineati. Quando questo accade, il segmento x rappresenta l’incognitaml : li = li : lg quindi lg=x2

Rett(rlg)=x3 e Rett(abhr)=6x+4Ma Rett(labf)=Rett(fgh)Rett(rlg)=x3 = Rett(abhr)=6x+4

Squadri di Bombelli (2)http://www.museo.unimo.it/theatrum/

macchine/149ogg.htm

Risoluzione della equazione x³ = px + q (*). Su un piano π si collochino due scanalature rettilinee parallele: una (fissa) ET, l'altra (mobile) MZ. Una terza scanalatura fissa AR (con A appartenente a ET) è normale a ET. Il vertice I di una squadra SIP scorre entro AR, mentre il suo lato IP (scanalato) è costretto a scivolare sul perno B, fissato su ET in modo che AB=1. La squadra NLD ha un lato scorrevole entro la scanalatura MZ, dove il suo vertice L può trovarsi in qualsiasi posizione. Un filo teso fra i due vertici L, I passa per un occhiello praticato sul cursore F, che si può spostare all'interno di ET. Si blocchi F in modo che AF=p; si blocchi MZ in posizione tale che il rettangolo ACDF (compreso tra ET, MZ) abbia area q. Manovrare ora le due squadre affinché: 1) L, F, I siano allineati 2) I lati LN ed IS delle due squadre si incontrino su ET in G. Ciò fatto, AI=x risolve la (*).

Squadri di Bombelli (1)http://www.macchinematematiche.org/index.php?option=com_content&view=article&id=160&Itemid=241

Risoluzione della equazione x³ + px = q .Sul piano sono praticate tre scanalature rettilinee: LX, KY (parallele), SR (perpendicolare alle precedenti). Un cursore rettangolare ABCD, che trasporta una quarta scanalatura MN (parallela a SR e praticata in modo che sia DM=1), scivola avanti e indietro guidato da LX, KY. Una squadra TQV ha il vertice Q che può essere fissato in un punto qualsiasi della scanalatura SR; una seconda squadra ZGW ha il vertice G scorrevole entro MN e il lato GZ costretto a passare per D. Si fissi Q in modo che , ed M in una posizione tale da avere SM=p. Infine, si faccia ruotare la squadra TQV attorno a Q e si muova ZGW in modo che siano realizzate le due seguenti condizioni: 1) i lati QV e GW si incontrino in un punto P appartenente a KY; 2) Sia TS = GM. Indicata con x la comune lunghezza di questi due ultimi segmenti, l'equazione  risulta soddisfatta

A.Girard, 1629Invention

nouvelle en l’algèbre

http://books.google.it/

Invention nouvelle en l’algèbre

Toutes les equations d'algèbre reçoivent autant des solutions que la denomination de la plus haute quantité le demontre excepté les incomplettes.

Soluzioni:

Invention nouvelle en l’algèbre

Donc il se faut resouvenir d'observer tousjours cela: on pourroit dire à quoy sert ces solutions qui sont impossibles, je respond pour trois choses, pour la certitude de la reigle generale, & qu'il ny a point d'autre solutions, & pour son utilité.

A coloro i quali ritengono impossibili queste soluzioni io rispondo che bisogna accettarle per tre motivi: per assicurare la validità generale della regola, perché non ci sono altre soluzioni, e per la loro utilità.

Sappiate dunque che in ogni Equazione possono darsi tante diverse radici – cioè valori della quantità incognita – quante sono le dimensioni della stessa incognita

(“teorema fondamentale dell’algebra” in forma debole)

R.DescartesGéométrie, 1637Edizione latina 1649http://bibdig.museogalileo.it/rd/bd

D’altronde, tanto le radici vere quanto le false non

sono sempre reali, ma talvolta soltanto immaginarie: cioè è sempre possibile immaginarne in ogni Equazione tante quante ho detto, ma talvolta non v’è nessuna quantità che corrisponde a quelle che immaginiamo.

Altri riferimenti biblio/sitograficidi facile reperimento

R.Franci, Momenti di storia delle equazioni algebriche,http://php.math.unifi.it/convegnostoria/materiali/franci.pdf

R.Franci, L'insegnamento dell'algebra nel Tre-Quattrocento in Italia, ed in particolare a Firenze http://web.math.unifi.it/users/mathesis/conferenze/files-presentazioni/1112/Franci.html

V.Gavagna, Un progetto di laboratorio storico-didattico sull'origine dei numeri complessi, Associazione Subalpina Mathesis, Conferenze e Seminari 2011-2012, Torino, Kim Williams Books 2012 pp.229-247

V.Gavagna, La soluzione per radicali delle equazioni di terzo e quarto grado e la nascita dei numeri complessi: Del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli, http://web.math.unifi.it/archimede/note_storia/gavagna-complessi.pdf

Sperimentazioni sulle equazioni di II grado presentate al Convegno Valdarnohttp://php.math.unifi.it/convegnostoria/convegno.php?id=14