Vibraciones 2014

Cap. I. Sistemas de un solo grado de libertadCap. II. Dos grados de libertad

Cap.III. Varios grados de libertadCap.IV . Vibracion Torcional

Cap.V. Vibraciones en Medios ContinuosCap. VI. Vibraciones no LinealesCap. VII. Analogias Electricas

Movimiento osilatorio: vibracin de una sola La vibracin es el movimiento oscilatorio de partculas y de cuerpos rigidos y elstico, bajo la accin de fuerzas fluctuantes.Estas fuerzas fluctuantes pueden ser inherentes los sistemas o pueden aplicarse exteriormente a dichos sistemas. Los problemas de vibracin se presentan en muchos aspectos de la ingeniera tales como la vida de la mquina que operan a altas velocidades (aeroplanos, vehculos espaciales, edificios torres, puentes instrumentos dinmicos de medicin y vibracin aisladas por mencionar unos cuantos.Primero definiremos algunos trminos bsicos relativos a la usando un modelo vibratorio simple consistente de una masa y un resorte como se indica en la fig. 1a.

La masa se designa por m o por su peso W y el resorte por k. La fig. 1b indica que el indica que el resorte se alarg al unirse a el peso siendo el alargamiento. Supongamos tambin que no hay movimiento en el caso 1b en la parte c de la figura la oscilacin descendente y ascendente de la masa se indica mediante las flechas y las posiciones extremas se indican con lneas discontinuas. No nos importara saber cmo comienza la oscilacin, puede deberse a una fuerza perturbadora impulsiva o a un desplazamiento inicial.

Con este modelo sencillo definiremos los siguientes trminos.1.- k, la constante del resorte es la fuerza necesaria para alargar o comprimir el resorte una unidad de longitud. (lb/in), (kg/cm).2.- Posicin de equilibrio (o posicin neutro o central) es la posicin en la cual m est bajo la accin de 2 fuerzas iguales y opuestas , k y se encuentra en equilibrio esttico.3.-posiciones extremas: son las posiciones ms lejanas de la posicin de equilibrio en donde las velocidades son cero.4.-amplitud: es el valor numrico del mximo desplazamiento hacia cualquier lado de la posicin de equilibrio (en la mayora de los casos las 2 amplitudes son iguales).5.- Desplazamiento total: es la suma de las 2 amplitudes.6.- movimiento peridico: son movimientos que se repiten en intervalos de tiempo iguales.7.- periodos: es el tiempo que transcurre mientras el movimiento se repite.8.- Ciclo: es el movimiento ejecutado durante 1 periodo.9.- Frecuencia; es el nmero de ciclos completos de movimientos en la unidad de tiempo.10.- movimiento armnico: en la forma ms simple de movimiento peridico y se representa mediante una funcin seno o coseno (todos los movimientos armnicos son peridicos pero no todos los movimientos peridicos son armnicos).

Usando los conceptos de los trminos anteriores

1.-Frecuencia Angular.Como al movimiento armnico puede representrsela por medio de la proteccin sobre un dimetro de un vector giratorio, con forme se mueve alrededor de un crculo con una rapidez W (fig.2) podemos deducir la relacin existente entre el periodo (tau) la frecuencia f y la rapidez angular constante , como siguiente: Ya que una funcin circular se repite cada 2rad un ciclo de movimiento se completa cuando tambin por definicin por lo que tenemos: --->rad/seg. ---> --->

En dnde las unidades son las ms comnmenteusadas en problemas de vibraciones.f= (omega directamente proporcional a la frecuencia) a se le llama frecuencia angular o circular.

2.- Vibraciones libres y vibraciones forzadasEn el caso del modelo de vibratorio masa-resorte, la fuerza del resorte el que produce la vibracin, como esta fuerza es inherente al sistema la vibracin se llama vibracin libre. Cuando hay una fuerza aplicada exteriormente sobre la masa o el soporte de le llama vibracin forzada. La (fig.3) muestra varios tipos de fuerzas aplicadas.a) Fuerza senoidalb) Fuerza peridicac) Fuerza no peridicad) Fuerza aleatoria

3.- resortes equivalentes (composicin de resortes)Cuando 2 resortes se conectan en paralelo o en serie, podemos sustituir los por un solo resorte equivalente, el procedimiento usado para obtener este resorte equivalente se llama composicin de resorte. Para un sistema simple consistente de 2 resortes conectados en paralelo tal como se indica en la (fig.4) podemos decir:

Para "n" resortes se dice que .Para un sistema simple consistente de 2 resortes conectados en serie, tal como lo indica en la (fig.5) tenemos.

Y para n resortes conectados en serie:

4.- Fuerza amortiguadoraA menudo un sistema vibratorio se sujeta a una fuerza amortiguadora que puede deberse a un dispositivo amortiguador o a las fuerzas de friccin que existen en todos los sistemas fsicos o a ambas causas. Algunas veces la fuerza de friccin puede ser despreciable en comparacin con otras fuerzas que actan sobre el sistema en cuyo caso, el sistema puede considerarse como no amortiguado. Un tipo muy comn de amortiguamiento que desarrolla una fuerza que es proporcional y de sentido contrario a la velocidad se llama amortiguamiento viscoso, para una velocidad B la fuerza de amortiguamiento es C x B (en donde la constante de proporcionalidad C se llama coeficiente de amortiguamiento viscoso).

5.- Grado de libertadEl nmero de coordenadas independientes necesarias para especificar un sistema es el grado de libertad del sistema, si una partcula se esa moviendo en una direccin se dice que tiene un grado de libertad.

Ecuacin General de movimiento para una partcula vibratoria con un grado de libertad.Consideremos una partcula oscilante de masa "m" que est sujeta a la accin de una fuerza de resorte, una fuerza amortiguadora y una fuerza aplicada exteriormente. Consideremos que esta partcula tiene 1grado de libertad y que el movimiento vibratorio se efecta a lo largo del eje X como se indica en la (fig.6a)

La (fig.6b) nos muestra el diagrama de cuerpo libreLa ecuacin de movimiento es:

En donde: Fs = Fuerza del resorte = -kxFd = Fuerza amortiguadora = -CF (t) =Fuerza aplicada = F0sen(t)

Si el resorte es lineal, el amortiguamiento es viscoso y la fuerza aplicada exteriormente es armnica. Por lo tanto.

Sean ,,

Entonces, la ecuacin general de movimiento es:

Caso de Vibracin.Caso 1.- Vibracin libre no amortiguadaEn este caso tanto la fuerza amortiguada como las fuerzas aplicadas exteriormente son cero es decir:

La solucin de esta ecuacin diferencial lineal y homognea, es:

En donde y son constantes de integracin que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Si, y para

Derivando

Y de la condicin inicial

As, ,YEsta solucin puede escribirse como:

Donde,

Y de

As,

En donde es la amplitud y es el ngulo de desfase, como solamente hay una partcula en movimiento y no hay amortiguacin ni fuerza aplicada exteriormente el ngulo de desfase puede escogerse arbitrariamente, esto significa que el tiempo puede escogerse de modo que aqu sucede cuando , por consiguiente

El periodo de este movimiento es:

Y la frecuencia es

Esta es la frecuencia natural del sistema.El sistema y su movimiento se indican en la Fig. 7

Caso 2.- Vibracin forzada sin amortiguamientoEn este caso la fuerza amortiguada es cero en la ecuacin diferencial general de movimiento convirtindose en:

La solucin de esta ecuacin diferencial mi eso no homognea consiste en 2 partes una solucin complementaria y una solucin particular La solucin complementaria es la solucin de la parte homognea de la ecuacin diferencial, es decir, hace que el miembro izquierdo de la ecuacin se anul de este modo es igual a la solucin del caso 1. La solucin particular tendr que satisfacer completamente la ecuacin.Primero escogemos una solucin de prueba.

En dnde la amplitud B se determin de modo que satisfaga la ecuacin diferencial.Derivando con respecto al tiempo:

Sustituyendo y en la ecuacin diferencial, obtenemos:

Multiplicando la ecuacin por: , obtenemos:

Sustituyendo la amplitud en la solucin propuesta tenemos:

Y Observamos que la solucin particular correspondiente a la vibracin forzada y la complementaria a la vibracin libre.

Es importante hacer notar que aqu estamos interesados en la solucin particular de la vibracin forzada. Un sistemas in amortiguamiento es un caso idealizado ya que la friccin existe en todos los sistemas fsicos i dependientemente de lo pequeo que puede ser. Eventualmente en un sistema real la vibracin libre se disipa (no sucediendo as en la vibracin matemtica que se ha presentado aqu), y solamente se conserva la vibracin forzada del estado permanente.Una investigacin de la solucin particular indica las siguientes caractersticas de la vibracin forzada del estado permanente sin amortiguamiento.1) La respuesta tiene la misma frecuencia que la funcin de la fuerza.2) Si la frecuencia de la fuerza es menor que la frecuencia natural del sistema la respuesta esta en fase con la fuerza, sin embargo, si la repuesta esta 180 fuera de fase.3) Definimos la deformacin esttica Sabiendo que: ,, y

y Tenemos que la deformacin esttica es igual a:

Y podemos describir la amplitud de la respuesta, como:

Si Donde es el factor de amplificacin que se muestra en la fig. 8

4) Cuando la amplitud se vuelve infinita, esta situacin se llama resonancia. En general la resonancia es un estado que deber evitarse. La solucin particular para tiene la forma:

Donde

Si

Multiplicando por tenemos:

Dnde:

Esta expresin rebela el hecho de que la amplitud de la respuesta correspondiente al estado permanente en el caso de resistencia crese ilimitadamente con el tiempo, en otras palabras la amplitud no se har inmediatamente infinita cuando como se indica en la expresin . La fig. 9 indica este incremento con el tiempo.

Caso 3.- Vibracin libre amortiguadaEn este caso la funcin de la fuerza es cero y la ecuacin de movimiento se convierte en

Sustituyendo en esta ecuacin una solucin de prueba

Que corresponde a una ecuacin diferencial de este tipo, obtenemos la ecuacin caracterstica.

Simplificando dnde: ; ;

Lo cual tiene las 2 siguientes soluciones para

;

Por lo tanto la solucin de la ecuacin diferencial del movimiento es:

Es obvio que la naturaleza de la solucin depende de si la cantidad del subradical es positivo, negativo o cero.

i. Sobre amortiguacin: ; En donde y son nmeros reales y positivos De este modo la vibracin desaparece como se indica en la fig. 10En este caso se conoce como caso de pulso muerto.La amplitud se aproxima a cero exponencialmente por cmo crece y no se afectua ninguna oscilacin

ii. Sub amortiguado: Donde

Como

Aqu e deben ser reales ya que este casi es un requisito pero el desplazamiento de un problema fsico resulte real, por lo tanto y deben ser nmeros complejos conjugados, sean:

, en donde y son reales.Entonces la solucin es:

Esta solucin se muestra en la fig. 11 y tiene 2 partes:La atenuacin y la parte senoidal

El movimiento no es peridico y ya que las amplitudes de ciclos sucesivos decrecen, sin embargo como los periodos de ciclos sucesivos son iguales, este movimiento se llama movimiento con tiempo peridico, siendo el periodo y la frecuencia de la vibracin libre amortiguada es Ntese la diferencia entre la frecuencia natural , y la frecuencia de la vibracin libre amortiguada.

La razn entre las 2 amplitudes sucesivas puede expresarse como:

Donde se llama decremento logartmico.

Para una pequea disminucin de la amplitud debida a su sub-amortiguacin tenemos:

Despreciando las cantidades pequeas de orden superior tenemosiii. Amortiguamiento crtico: En este caso la solucin es ; Siendo ; Con forme , como se aproxima a cero ms rpido que a infinito, el movimiento se disipa exponencialmente, de hecho, el caso de amortiguamiento crtico es el caso lmite del sobre-amortiguamiento.

Designamos el valor de para el caso de amortiguamiento crtico, asi resulta que ; El coeficiente de , se define como el factor de amortiguamiento.

Caso 4.- Vibracin forzada con amortiguamientoEn este caso se aplica la ecuacin diferencial general .La solucin completa consiste de una solucin complementaria asi como de una solucin particular.

La solucin complementaria es igual a la del caso de vibracin libre amortiguado y la solucin de prueba para la solucin particular es:

En donde y se determinan de manera que satisfagan la ecuacin diferencial

Quitando el desfase para que quede en trminos de

Sustituyendo valores en la ecuacin general

Para se encuentra la siguiente solucin general del sistema:

;

, ,

Llamaremos al primer termino, el termino transitorio , y al segundo, el termino del estado permanente. El termino transitorio se disipa exponencialmente, dejando solamente el termino del estado permanente. La figura.12 muestra la solucin , notese que hay una diferencia entre el termino transitorio y el estado transitorio.

Introduciendo el factor de frecuencia r .

En donde es la frecuencia forzada y la frecuencia natural, y usando el factor de Amortiguamiento , , tenemos la solucin anterior de la forma siguiente.

En funcin del factor de amortiguamiento .

Por lo tanto podemos deducir las siguientes condiciones para la vibracin forzado con amortiguamiento.

1-) En la vibracin forzada el termino transitorio , que depende de las condiciones iniciales, se disipa exponencialmente para el caso de subamortiguacion. Tienen algn efecto sobre el estado transitorio y en general , es de poco inters. El estado permanente es el objeto de estudio.

2)La frecuencia de la respuesta en la vibracin forzada es igual a la frecuencia de la fuerza.

3) La amplitud se define como.

Donde

donde

La figura 13 muestra el factor de amplificacin contra el factor de frecuencia , usando a 2 como parmetro. 5) Para cualquier la amplitud de resonancia, es decir cuando es notndose que la amplitud de resonancia no es la mxima amplitud, sin embargo, para su subamortiguamiento, las 2 son prcticamente iguales. Como es mas fcil hallar la amplitud de resonancia que la mxima amplitud, generalmente se usa la amplitud en resonancia en vez de la mxima amplitud.

Ecuacin de Lagrange.Consideremos la ecuacin de movimiento de una partcula de masa m F=m , expresada en forma escalar segn sus componentes rectangulares Fx=m, Fy=m, F=m. Consideremos un desplazamiento virtual r= xi+ yi+ k en donde x, y y son arbitrarios e infinitamente pequeos. El trabajo virtual realizado por la fuerza es entonces F. r=Fx x+Fy y+ F = mx+my+m sean q1,q2, y q3 u n conjunto de coordenadas generalizadas para la partcula. Entonces tenemos que x=(q1,q2,q3), y=(q1,q2,q3), =(q1,q2,q3) y podemos expresar los desplazamientos virtuales x,y, y z en trminos de 1,2 y 3.

Sustituyendo estos en la ecuacin del trabajo virtual tenemos

Como el miembro izquierdo de las ecuaciones es el trabajo virtual y q1,q2 y q3 son coordenadas generalizadas designaremos a los coeficientes q1, q2 y q3 por Q1, Q2 y Q3, respectivamente, y le llamaremos fuerzas generalizadas, por lo tanto.

Como q1, q2, y q3 son arbitrarios, la ecuacin del trabajo virtual es vlida para

Ahora transformaremos los miembros derechos de estas ecuaciones.

y

y

donde dx corresponde de

Para los otros trminos de los mismos miembros derechos de las ecuaciones para Qi se puede obtener ecuaciones semejantes As, resulta que :

En donde T que es la energa cintica de la partculaAnlogamente podemos obtener ecuacin por Q2 y Q3. Todas estas ecuaciones puedes representarse como i=1,2,3 que es la llamada ecuacin de Lagrange.

Si las fuerzas generalizadas Qi son conservativas tenemos en donde v es la energa potencial de la partcula y la ecuacin de Lagrange puede escribirse como Como V es una funcin de qi , solamente, , sea L entonces , tenemos que la ecuacin de lagrange en la forma en donde L se le llama la funcin de Lagrange o Lagrangiano Si Qi consisten tanto de fuerzas conservativas tanto fuerzas no conservativas podemos escribir Qi como se suma. Por lo tanto .

Y entonces la ecuacin de Lagrange toma la forma:

Donde es la parte no conservativa de la fuerza generalizada .

Problema 1.-Determinar la ecuacin de movimiento y la frecuencia natural de vibracin del sistema masa resorte mostrado en la figura.

Nulo (el peso se equilibra mediante la fuerza restauradora).

Donde

Primera raz, solucin:

Frecuencia natural del sistema

Donde

Transformando esto queda:

Condiciones iniciales:

Problema 2.-

Un sistema vibratorio consiste de una masa m se encuentra libre de un voladizo mediante un resorte . El voladizo, que acta como resorte tiene una longitud espesor , ancho y mdulo de elasticidad .Hallar la frecuencia natural del sistema y la ecuacin del movimiento dado que m pesa y .

Para el caso de una viga en cantilver y Para y donde y Donde as, La masa De acuerdo a la ecuacin de movimiento: Donde Solucin propuesta: Donde De Tenemos Transformando

Para encontrar las constantes A y B las condiciones son: Entonces tenemos que: Y Sustituyendo en la ecuacin principal:

Problema 3.-Considerando el sistema mostrado en la figura. Si se aplica una fuerza , dermine la fuerza y deformacin de cada elemento, el elemento es de acero de de claro y de seccin transversal circular de de dimetro, el elemento es de aluminio de de claro y de seccin transversal cuadrado de .El resorte es de .

Para la viga en cantilver Mdulo de elasticidad del acero Mdulo de elasticidad del aluminio Momento de inercia para secciones circulares: Momento de inercia para secciones rectangulares La deformacin total ser:

Problema 4.- La masa m colocada al extremo de la cuerda de un pndulo cnico esta girando alrededor del eje vertical, como se indica en la figura. El plano de la trayectoria circular es horizontal y la masa sube o baja, cuando la velocidad angular de rotacin aumenta o disminuye respectivamente.

a) Usando coordenadas rectangulares para este caso curvilneo, determinar la frecuencia del sistema.b) Del resultado anterior obtener la frecuencia de un pndulo simple.

a) Tomando en cuenta que: Por lo tanto, haciendo el anlisis en el eje y:

Anlisis en el eje x:

b) Para pndulo simple

Problema 5. Determinar la ecuacin del movimiento del pndulo simple mostrado en la figura, cuando tiene importancia el efecto de la amplitud de oscilacin, y encontrar su frecuencia natural.

Donde

Si es muy pequeo, es decir 0sen =y

Entonces Despreciando los trminos infinitamente pequeos

Ejercicio 6En el sistema consistente de una masa m y dos resortes y como se indica en la figura , al estirar el resorte se le da un momento tal que a , hallar el movimiento de m

Sumatoria de fuerza (posicionado en m)

Vibracin forzada sin amortiguamiento

donde la solucin particular es

Sustituyamos los valores dados a la ecuacin de sin amortiguamiento

Ejercicio 7Para determinar el desbalanceo del rotor de un motor, tenemos montado el motor en el centro de una viga simplemente apoyado ,como se indica la figura . el motor tiene un peso total de y la deformacin esttica debido al peso W -actuada sobre la viga es de 0.0386 plg. y el balance del roctor se define como es decir todos motor se considera una partcula situada a una distancia en el centro geomtrico . Calcular la excentricidad ,del centro geomtrico dado que la velocidad del motor es y la amplitud de la vibracin forzada vertical es X pulg.

Siendo As

Proponiendo solucin

As ,

Si de

Problema 8. Un sistema masa -resortes con amortiguamiento viscoso se desplaza una distancia , con receptor su posicin de equilibrio y se suelta .Determinar el moviente del sistema cuando el factor de amortiguamiento es ;

Las condiciones iniciales para los tres casos son

Ya que el sistema es su sobre amortiguamiento y

Solucin propuesta

Donde

Y debido a los condiciones iniciales

Por consiguiente

La solucin es :

condiciones iniciales

pero Y

pero

Entonces

caso de amortiguamiento critico

La solucin es

y las condiciones iniciales

Y

Problema 9. Una vibracin forzada de un sistema masa resorte con amortiguamiento viscoso, tiene las condiciones iniciales siguientes cuando .La frecuencia de la fuerza , es igual a la frecuencia natural no amortiguada . Encontrar la solucin final.

Se toma la solucin para el caso de vibracin forzada con amortiguamiento.

Donde

Asi, se tiene que

Usando las condiciones iniciales , , , , =90 Para la posicin

Para la velocidad

Se observa que si y entonces.

y .. entocnes

Y considerando que y , la solucin es.

Problema 10.Un sistema simple con dos grados de libertad consta de dos partculas de igual masa m, conectadas mediante tres resortes idnticos k, como se indica en la figura. Determinar las ecuaciones de movimiento.

Del Diagrama de Cuerpo libre, se pueden deducir las ecuaciones de movimiento

Sean las soluciones de prueba.

Y

Por lo tanto sustituyendo.

Agrupando.

Se construye una determinante.

Primer caso. Segundo caso.

Entonces de acuerdo a una relacin de amplitudes Y sustituyendo

Y para

Sustituyendo

Y para

Estn en fase Consideremos que las amplitudes y corresponden a las 2 frecuencias naturales y , respectivamente , las ecuaciones de movimiento para las dos partculas son. en fase fuera de fase (180)

Problema.11.-El sistema masa-resorte de dos grados de libertad, est restringido a tener oscilaciones verticales nicamente. Determinar: a) La solucin general.

= + ( ) = + ( ),

por lo tanto:

+ + ( ) = 0 + + ( ) = 0

Supongamos que el movimiento es peridico y se compone de movimientos armnicos de diferente frecuencia y amplitud.

= = = , = = =

De

De

Estas son ecuaciones algebraicas linealmente homogneas en A y B, la solucin esA = B = 0 define la condicin de equilibrio del sistema.La otra solucin se obtiene igualando a cero el determinante de los coeficientes de A y B, es decir:

As: (

Si Aplicando la formula general: = = = = = = = =

= Si , y , son las relaciones entre los resortes y sus masas.Por lo tanto: y Las razones de amplitud son:Ec. 1.-

, por lo tanto:

Ec. 2.-

, por lo tanto: La solucin del sistema ser:

Explicacin de como actan las frecuencias con las masas: ,

Problema 12.Si la masa se desplaza 1 pulgada de su posicin de equilibrio esttico y se suelda, determine los desplazamientos resultantes y de las masas mostradas en la figura.

y..

Suponiendo movimiento armnico simple. Sustituyendo.

y..

Y

Por lo tanto los movimientos de la masa estn expresados por.

Los desplazamientos iniciales son para , ,

De

De

Al sustituir se tiene que

Volviendo a sustituir en tenemos.

De la solucin.

De las condiciones iniciales : las velocidades del sistema con

De

Y sustituyendo en

De

Y sustituyendo en

Pueden notarse de

Y Que y son cero, ya que hemos encontrado que , , hacen las ecuaciones de valor cero

Asi:

Y .

Sustituyendo en la Solucin general.

Se observa de la solucin que las masas se mueve con amplitudes iguales pero en direcciones opuestas.

Problema. 13.-Encuentre las frecuencia naturales de del pndulo doble que se muestra e n la figura ,desde

Determinar la energa potencial

Factorisando

Determinar la energa cintica

Usando lagrange :

Coor generalizados

Tenemos que para angulos muy pequeos

Tomando en cuenta que

Segundo de moviente

Y

Supongamos que los movientes son peridicas y se copuras de moviento de diferentes frecuencia y amplitudes sea

De la primera ecuacin

Para la segunda ecuaciones

Si