vibraciones mecanicas

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

Desarrollar en el estudiante la capacidad de identificar, analizar y resolver problemas asociados con el fenómeno de las vibraciones mecánicas, utilizando modelos matemáticos que le permitan simular situaciones reales que se presentan en el campo de la Dinámica Estructural, el Diseño de Maquinaria y Equipo, y el Mantenimiento Preventivo y Correctivo de los mismos.

MODALIDAD DE AVANCE DE MATERIA

El método de enseñanza—aprendizaje a aplicarse en la asignatura es el método autodidacta. Se asignará el contenido por capítulos, según el libro de texto de la materia. Cada parte teórica de cada capítulo en su contenido se dividirá en dos partes con igual número de páginas (excepto el primer capítulo que se considera una sola unidad); y cada parte será asignación de estudio semanal juntamente con los problemas propuestos al final de cada capítulo. En cada clase se deberá entregar un resumen manuscrito de un máximo de dos hojas tamaño carta, de la parte pertinente al estudio semanal asignado. La evaluación de estos resúmenes en la totalidad del número alcanzado en el semestre, asignará cierto porcentaje de calificación. En cada clase se rinde un examen previo de control de lectura de la parte teórica asignada al estudio semanal, el cual incluirá problemas elementales. La evaluación de estos exámenes en la totalidad del número de los mismos en el semestre, asignará cierto porcentaje de calificación. La clase se concluye con una sesión de discusión grupal entre los alumnos y el docente de la asignatura, la cual servirá simplemente como sesión de reafirmación y aclaración de los conceptos funda-mentales asimilados en el transcurso de la semana por el estudio de la temática asignada como trabajo individual.

Asignatura: VIBRACIONES MECANICAS Docente: Ing. Efrain Chura Acero

La clase posterior a la finalización de un determinado capítulo, obliga al estudiante a entregar en dicha oportunidad la solución de un mínimo de 10 problemas propuestos (problemas de práctica) por cada capítulo que se asigne como materia de estudio. El número total de problemas entregados hasta la finalización del semestre asignará cierto porcentaje de calificación en este rubro. La asignación de la calificación será efectuada según el siguiente esquema: Número mínimo de problemas obligatorios 10 % Número de problemas en exceso al mínimo 20 % (asignado en forma proporcional y relativa al número máximo de problemas en exceso del alumno que puso mayor esfuerzo en este ítem) Se rendirán tres exámenes parciales durante el semestre; cada uno de ellos como asignación de auto—evaluación del aprendizaje personal. Estos exámenes serán planteados un par de días previos a la clase semanal que está determinada por el horario asignado a la asignatura. La entrega de este examen será realizada en el día de clase semanal inmediatamente posterior a la fecha en la que fue planteado el mismo. La evaluación de estos exámenes asignará cierto porcentaje de calificación.

SISTEMA DE EVALUACIÓN: Resúmenes de Capítulo 10 % Exámenes de Control de Lectura 40 % Problemas de Práctica 30 % Exámenes Parciales 20 % ---------- TOTAL 100 %

Indice de Contenido

1. Conceptos fundamentales 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Modelos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3. Elementos de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Modelos matematicos 17

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Modelos de un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1. Modelos con parametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2. Modelos consistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


3. Sistemas de un grado de libertad 37

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Ecuacion de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Movimiento no–amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1. Oscilacion libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Oscilacion forzada no–amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.1. Funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.2. Respuesta mediante razonamiento fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

i

ii INDICE DE CONTENIDO

3.5. Movimiento amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5.1. Movimiento libre amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.2. Forma estandar de la ecuacion de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6. Movimiento forzado amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6.1. Respuesta mediante razonamiento fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


4. Exitacion armonica 77

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Oscilacion no–amortiguada. Exitacion armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1. Espectro de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.2. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3. Oscilacion amortiguada. Excitacion armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3.1. Espectro de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.2. Aislamiento de la vibracion. Exitacion armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4. Exitacion armonica de amplitud variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4.1. Balanceo de rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5. Evaluacion del amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.6. Exitacion periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.6.1. Respuesta del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.6.2. Maquinas de movimiento alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.7. Medicion de la vibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


5. Excitacion transitoria 139

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2. Excitacion transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.2.1. Respuesta a excitacion transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3. Exitacion tipo impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3.1. Naturaleza de la excitacion impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

INDICE DE CONTENIDO iii

5.4. Espectros de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.4.1. Pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.4.2. Pulso triangular creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.5. Analisis aproximado – Excitacion tipo impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.5.1. Sistemas no–amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.5.2. Sistemas amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.6. Aislamiento al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.7. Movimiento de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159


6. Metodos numericos 169

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2. Integracion numerica de la ecuacion diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.2.1. Metodo paso a paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.2.2. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.2.3. Metodo de Runge–Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.3. Evaluacion numerica de la integral de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181


7. Sistemas de varios grados de libertad 189

7.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.1.1. Convenciones de notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.2. Condiciones de equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.3. Sistemas de parametros distribuıdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.3.1. Seleccion de grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.3.2. Funciones de interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.3.3. Construccion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.4. Propiedades del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.4.1. Matriz de masa del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.4.2. Matriz de rigidez del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.4.3. Matriz de amortiguamiento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.4.4. Vector de cargas del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

iv INDICE DE CONTENIDO

7.4.5. Ecuacion de movimiento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.5. Condensacion estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.6. Formulacion energetica general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224


8. Evaluacion de la respuesta 239

8.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.2. Vibracion libre no–amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.3. Propiedades modales de vibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

8.3.1. Relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

8.3.2. Matrices modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.4. La matriz de flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

8.5. La matriz dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.6. Vibracion forzada no–amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

8.6.1. Condiciones iniciales en coordenadas normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8.7. Vibracion forzada amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.7.1. Especificacion del amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.8. Respuesta elastica del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269


A. El principio de superposicion 273

B. Funciones singulares 279

Capıtulo 1

Conceptos fundamentales

La dinamica, dentro del contexto de la mecanica, es el estudio de los cuerpos, o conjuntos departıculas, en movimiento. La dinamica se divide en dos campos: la cinematica, la cual estudia lageometrıa del movimiento, relacionando el desplazamiento, la velocidad, la aceleracion y el tiempo,sin hacer referencia a las causas provocadoras del movimiento (las fuerzas o momentos); y la cinetica,la cual estudia la relacion entre las fuerzas que actuan sobre un cuerpo, la masa del mismo y sumovimiento, permitiendo predecir los movimientos resultantes que causan las fuerzas y/o momentosaplicados, o determinar las acciones externas necesarias para producir un movimiento dado con ciertascaracterısticas pre–especificadas.

Si el cuerpo se considera como una unidad y se desprecian las deformaciones relativas entre susdiferentes partes, se aplican los principios de la dinamica de cuerpos rıgidos. Cuando es apropiado teneren cuenta los desplazamientos relativos entre las diferentes partes del cuerpo, se aplican los principiosde la dinamica de cuerpos flexibles. Para los problemas de interes en este texto, los efectos de lamecanica relativista (variaciones de los parametros — la masa especialmente — debido al movimiento,comparados con el movimiento de la luz) son considerados absolutamente despreciables, de modo quelos movimientos resultantes son gobernados por las leyes de la mecanica Newtoniana.

Cuando un cuerpo se desplaza de una posicion estatica de equilibrio estable, el cuerpo tiende avolver a esta posicion al verse afectado por la accion de fuerzas y/o momentos (cuplas) que tiendena restablecer la situacion de equilibrio original; este puede ser el caso de las fuerzas gravitacionalesen un pendulo, o de las fuerzas elasticas impuestas por un resorte en el caso de una masa conectadaen un extremo de el. En general en el instante que el cuerpo vuelve a su posicion de equilibrio tienealguna velocidad que lo lleva mas alla de esa posicion, hasta alcanzar otra en la que instantaneamentese detiene e invierte su movimiento, presentandose ası una oscilacion alrededor del punto de equilibrio.Estas oscilaciones en el campo de la mecanica se denominan vibraciones.

Ası, las vibraciones, u oscilaciones, pueden ser vistas como un subconjunto de la dinamica, en lacual un sistema esta sujeto a fuerzas restitutivas que permiten el movimiento hacia un lado y otro deuna posicion de equilibrio; donde un sistema es definido como un ensamble de partes o elementos inter–conectados actuando juntos como un todo. Las fuerzas restauradoras surgen debido a la elasticidad delos materiales involucrados en el fenomeno de movimiento, o debido a la accion del campo gravitatorioactuante sobre el mismo.

1.1. Introduccion

Como indicamos anteriormente, las vibraciones pueden considerarse fluctuaciones de movimientoalrededor de cierta posicion de equilibrio (generalmente estatica). Una vibracion se inicia cuando unelemento inercial es desplazado de su posicion de equilibrio, debido a cierto monto de energıa impartidaal sistema a traves de una fuente externa. Una accion restauradora (fuerza o momento) obliga al

1

2 CAPITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

elemento a retornar a su condicion de equilibrio inicial. El movimiento oscilatorio que se presenta delmodo anteriormente descrito, podrıa ser atenuado hasta desaparecer si actuan acciones de caracterdisipativo de energıa (como fuerzas de rozamiento o de amortiguacion, por ejemplo); o mantenerse demanera contınua, si la accion perturbadora externa mantiene su presencia.

Los problemas de mecanica estructural donde la perturbacion aplicada es dependiente del tiempo,tienen un tratamiento particular y su estudio se halla cubierto por las tecnicas derivadas de la mecanicageneral (mas propiamente la dinamica) que se han agrupado para constituir una disciplina llamadadinamica estructural.

La dinamica estructural estudia las vibraciones de cuerpos flexibles, aunque en muchos casos lasdeformaciones relativas entre algunas partes de la estructura son de un orden de magnitud tan pequena,que pueden aplicarse los principios de la dinamica de cuerpos rıgidos en algunas porciones de laestructura.

La dinamica estructural se ha desarrollado ampliamente a partir de la aparicion del computadordigital. Sus fundamentos se remontan mas de dos siglos y medio atras, pero puede decirse que elenfoque moderno proviene de las ultimas cuatro decadas.

La solucion de problemas donde se halla involucrado el tiempo como parametro, ademas de las coor-denadas espaciales, requiere evidentemente un esfuerzo mayor al tener que evaluar el comportamientode la estructura a diferentes intervalos de tiempo, o si es que es necesario para conocer la “historia”completa de la respuesta.

Cualquier intento para resolver el problema, debera comenzar por formular las ecuaciones de mo-vimiento; pero esto sera logrado luego de formular un modelo que sea susceptible de ser analizado yque ademas refleje las caracterısticas preponderantes del prototipo real, ademas de que el esfuerzo quese requiere para el analisis del problema sea consistente con la aproximacion deseada en las soluciones.

1.2. Modelos matematicos

En su mayor parte, los sistemas de ingenierıa son tan complicados que su respuesta a los estımulosexternos es difıcil de determinar exactamente. Todavıa mas, la habilidad de pronosticar el comporta-miento de un sistema es esencial para el diseno del mismo. En tal caso, es necesario formular un modelosimplificado actuando como un sustituto para el sistema verdadero.

Resumidamente, el proceso consiste en identificar los componentes constituyentes, determinar lascaracterısticas dinamicas de los componentes individuales, quizas experimentalmente, y ensamblardichos componentes en un modelo representativo de todo el sistema que es puesto en estudio. Lospasos de detalle en la aplicacion de este procedimiento son los que presentamos a continuacion

Identificacion — El sistema a ser modelado es abstraıdo de sus entorno, y son identificados los efectosde este sobre el sistema. Se especifica la informacion a ser obtenida desde el proceso de modelado.Y finalmente, son identificadas las constantes conocidas y los parametros variables.

Hipotesis — Se plantean una serie de suposiciones (hipotesis) para simplificar el modelado. Si todoslos efectos son incluidos en el modelo de un sistema fısico, las ecuaciones resultantes son general-mente tan complicadas que una solucion matematica cerrada es imposible. Cuando son usadashipotesis adecuadas, un sistema fısico aproximado es hecho modelo. Una aproximacion debe serhecha si la solucion para el problema reducido que considera la hipotesis es mas facil de obtenerseque la solucion para el problema original y si la suposicion incorporada hace que el modelo arrojeresultados que son suficientemente exactos para el uso previsto.Ciertas hipotesis implıcitas se usan para el modelado de la mayorıa de sistemas fısicos, las queraramente son mencionadas explıcitamente. Las hipotesis implıcitas usadas a lo largo de estelibro incluyen:

1. Las propiedades fısicas son funciones contınuas de las variables espaciales. Esta hipotesis decontinuidad implica que el sistema puede ser tratado como una pieza contınua de materia.

1.2. MODELOS MATEMATICOS 3

2. El globo terraqueo (donde se producen los fenomenos de vibracion que seran de nuestrointeres) se constituye en un sistema de referencia inercial, lo que permite la aplicacion de lamecanica Newtoniana.

3. Los efectos de la mecanica relativıstica (de nivel atomico) no son considerados en el analisis.

4. La intensidad de la gravedad terrestre es el unico campo de fuerza externo que se considera.

5. El sistema considerado no esta sujeto a reacciones nucleares, reacciones quımicas, transfe-rencia de calor externa, y otras fuentes de energıa termica.

6. Todos los materiales son isotropos, homogeneos, y tienen comportamiento de respuestalineal.

7. Se aplican todas las hipotesis de la mecanica y resistencia de materiales basica, a menos quese indique lo contrario.

Todos los sistemas fısicos en su comportamiento son eminentemente no–lineales por naturaleza. Elmodelado matematico exacto de estos sistemas conduce a ecuaciones diferenciales no–lineales, lascuales en generalidad no poseen solucion analıtica. Puesto que se conocen soluciones exactas paralas ecuaciones diferenciales lineales, las hipotesis mencionadas anteriormente, y otras especıficasal problema que esta siendo analizado, se incluyen para linealizar el problema y obtener unsistema fısico reducido que sea suceptible de ser modelado matematicamente.

Formulacion — Significa la traduccion de la descripcion fenomenologica del sistema fısico haciaecuaciones matematicas que se obtienen aplicando las leyes fundamentales de la mecanica y lasecuaciones constitutivas del medio material que compone el sistema fısico en analisis.Entre las leyes fundamentales podemos mencionar a la conservacion de la masa, conservacionde la energıa, conservacion del momentum (tanto traslacional como angular) y las leyes de latermodinamica. La conservacion del momentum (o cantidad de movimiento) es la unica ley fısicasignificativa en aplicacion a los sistemas vibratorios, ya que las otras leyes no tienen relevanciaen el analisis o se cumplen de principio por las hipotesis adoptadas. En cuanto a las ecuacionesconstitutivas, estas proveen informacion acerca del comportamiento mecanico de los materialesen los elementos utilizados en la construccion o fabricacion del sistema.

Restricciones — La aplicacion de restricciones geometricas es a menudo necesario para completar elproceso de modelado, las cuales pueden establecerse como relaciones de tipo cinematico relacio-nados a posiciones, velocidades y aceleraciones necesarias para formular condiciones de borde alproblema matematico o condiciones iniciales de movimiento.

Solucion — El modelado matematico de un sistema fısico conduce a un problema matematico, elcual obviamente debe resolverse para hallar la solucion que representa la respuesta del modelo alas influencias externas que actuan sobre el.El modelado matematico de los problemas de vibraciones mecanicas conducen a ecuaciones dife-renciales. Las soluciones analıticas exactas, cuando ellas existen, son preferibles a las solucionesnumericas o aproximadas mediante procesos de discretizacion. Afortunadamente existen solucio-nes analıticas exactas para una gran mayorıa de problemas lineales de relativa complejidad, ytambien soluciones aproximadas para los problemas de elevada complejidad.

Interpretacion — Luego de haber obtenido la solucion matematica asociada con el modelo elaboradopara un caso determinado, la interpretacion fısica de los resultados hallados es un importantepaso final en el proceso de modelado. En las ciertas situaciones esto puede suponer en traducirgraficamente las conclusiones generales de la solucion matematica, puede involucrar el desarrollode curvas y/o abacos tabulares de datos de diseno, o podrıa requerir solamente simple algebra yaritmetica para llegar a una conclusion para el problema especıfico.


1.2.1. Grados de libertad

El modelado matematico de un sistema fısico requiere la seleccion de una serie de variables quedescriben su comportamiento. La variables dependientes son las variables que describen el comporta-miento fısico del sistema. Ejemplos de variables dependientes son: el desplazamiento de una partıculaen un sistema dinamico vibratorio, las componentes del vector velocidad en un flujo fluido, o la tem-paeratura en la transferencia de calor; y otros. Las variables independientes son las variables debido alas cuales las variables dependientes cambian. Esto es, las variables dependientes son funciones de lasvariables independientes.

Una variable independiente para los problemas vibratorios dinamicos es el tiempo; en un flujo fluido,el vector velocidad es dependiente de las coordenadas espaciales de posicion y el tiempo, que serıanlas variables independientes; y en la transmision de calor la temperatura es funcion de la posicion (lascoordenadas espaciales) y el tiempo, que en este caso son las variables independientes.

Como sera aclarado posteriormente, la respuesta de un sistema esta referida a un numero de coor-denadas independientes llamadas grados de libertad ; en consecuencia una definicion serıa: Se dice queun sistema tiene uno o mas grados de libertad, dependiendo del numero de coordenadas indepen-dientes necesarias para definir su configuracion en todo instante; o dicho de otro modo, el numero decoordenadas independientes necesarias para determinar la respuesta temporal del sistema.

En consecuencia, el numero de ecuaciones requeridas sera consistente con el numero de gradosde libertad necesarios para definir el problema. La Figura 1.1 muestra un conjunto de ejemplos desistemas, los cuales tienen un solo grado de libertad.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 1.1: Sistemas de un solo grado de libertad

En cada uno de los ejemplos (a), (b) y (c) la configuracion esta definida por la unica coordenadaposicional mostrada. En cada uno de los ejemplos (d) y (e) cualquiera de las coordenadas: x o θ puedenser igualmente utilizadas, pero en ambos casos las dos variables estan relacionadas por la geometrıa del


sistema y no son independientes una de la otra. En el ejemplo (f), x1 es prescrita por una restriccionexterna y en cualquier instante dado tiene un valor completamente definido por la funcion que describesu variacion temporal; solamente x2 podrıa ser escogida arbitrariamente y en consecuencia el sistematiene un solo grado de libertad.

En la Figura 1.2 cada uno de los sistemas tiene dos grados de libertad y para cada uno de ellosson necesarias dos coordenadas para definir su configuracion. Debe notarse que el termino coordenadaes usado aquı en un sentido mas general que en la simple geometrıa descriptiva. En la Figura 1.2(a),por ejemplo, x1 y x2 son coordenadas separadas y distintas, aun cuando ellas se definan a lo largo delmismo eje o direccion espacial.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 1.2: Sistemas de dos grados de libertad

Si un sistema consiste de un numero establecido de cuerpos rıgidos inter–conectados mediantedispositivos flexibles (resortes), el mismo tendra un numero finito de grados de libertad, ya que suconfiguracion en todo instante esta definida cuando la posicion de todas las masas se especifica. Laposicion relativa de dos partıculas cualesquiera en un cuerpo rıgido permanece inalterable mientras elmovimiento de todo el cuerpo ocurre. Todos los ejemplos en las Figuras 1.1 y 1.2 caen en esta categorıa.

Cualquier serie de n coordenadas cinematicamente independientes para un sistema con n grados delibertad es llamada una serie de coordenadas generalizadas. La eleccion de coordenadas generalizadasusadas para describir el movimiento de un sistema no es unica. Las coordenadas generalizadas son lasvariables dependientes para un problema de vibracion, y son funciones de la variable independiente:el tiempo. Si la historia temporal de las coordenadas generalizadas es conocida; el desplazamiento,velocidad y aceleracion de cualquier partıcula en el sistema puede ser determinada usando las relacionesque plantea la cinematica.

Ejemplo 1.1.

En la Figura 1.3 se muestra un liston rıgido articulado fijamente en un extremo y conectado a unresorte en su otro extremo. Si este sistema efectua oscilaciones de pequena amplitud (por ejemplo


al desplazarlo de su configuracion de equilibrio estatico, y luego soltarlo), determinar el numero degrados de libertad del sistema y especificar las coordenadas generalizadas necesarias para describir sucomportamiento dinamico vibracional.

Figura 1.3: Sistema oscilante liston–resorte

> Solucion

En el esquema se muestra una configuracion del sistema durante la fase de movimiento vibratorio,donde se aprecia que inicialmente podemos identificar las coordenadas mostradas (u, φ) como posiblesgrados de libertad. Pero, podemos afirmar que este sistema posee simplemente un solo grado de libertad,porque si escogemos cualquier partıcula a una distancia l desde el extremo articulado; la misma tieneuna posicion horizontal x = l cosφ ∼= l y un desplazamiento vertical y = l sinφ ∼= lφ. La deformaciondel resorte en cualquier instante estarıa determinada por u = L sinφ ∼= Lφ.

Por tanto, en el caso de este problema los dos grados de libertad identificados no son independientes,pues existe una relacion entre estas variables. Ası, podrıamos escoger a φ como el grado de libertad delsistema y tambien como la coordenada generalizada que permite definir su configuracion geometricaen todo instante. O de modo alternativo, podemos escoger a x para el mismo proposito. >

Ejemplo 1.2.

En la Figura 1.4(a) se muestra una polea escalonada articulada fijamente en su centro y de dimensionesradiales determinadas, la cual tiene cadenas inextensibles arrolladas en la periferia de ambos escalonesque se conectan mediante resortes a sendos bloques de masa conocida. Este sistema cuando es pertur-bado, efectua oscilaciones de pequena amplitud alrededor de su configuracion estatica. Determinar elnumero de grados de libertad de este sistema vibratorio.

(a) (b)

Figura 1.4: Sistemas vibratorio de varios elementos inter–conectados

> Solucion


La Figura 1.4(b) muestra a los diversos elementos componentes del sistema y una configuracion posibleen un instante dado durante la fase de movimiento vibratorio. En este esquema se tienen marcados losdesplazamientos posibles para el sistema en un tiempo generico arbitrario. Notamos que inicialmentedefinimos cinco coordenadas espaciales que establecen la posicion instantanea de los puntos relevantesdel sistema, por tanto de principio existirıan cinco grados de libertad asociados. No es posible establecerninguna relacion cinematica entre los desplazamientos de ambos bloques y la rotacion angular dela polea, ya que existen elementos flexibles entre ellos. Sin embargo, en virtud que las cadenas soninextensibles (no cambian su longitud) se deberan cumplir las siguientes relaciones de restriccion dedesplazamientos:

x3 = Rφ x4 = r φ

Estas ecuaciones permiten la reduccion del numero de grados de libertad necesarios para establecerla configuracion del sistema en todo instante. Por tanto, el sistema analizado posee solamente tresgrados de libertad independientes. Podrıamos escoger adecuadamente la rotacion angular horaria de lapolea φ, el desplazamiento vertical ascendente x1 del bloque de masa m1, y el desplazamiento verticaldescendente x2 del bloque de masa m2 como coordenadas generalizadas para escribir las ecuacionesque gobiernan el comportamiento dinamico vibratorio del sistema; todas ellas medidas a partir de laconfiguracion de equilibrio estatico. >

Ahora consideremos el caso de una viga flexible empotrada en uno de sus extremos, como esmostrado en la Figura 1.5. La viga en este caso representa a un sistema en el que no es posible identificaruna serie definida de masas; pero podemos dividir la viga en un numero finito arbitrario de secciones yespecificar la ubicacion de los centros de esas secciones por un numero finito de coordenadas. Poniendoatencion un poco mas cerca hacia el interior de la viga, vemos que la misma puede distorsionarse dentrode las secciones de modo que un mayor numero de coordenadas son necesarias para definir su forma.En ultima instancia la conclusion es que es necesario un numero infinito de coordenadas para definirla forma desplazada de la viga. Tales sistemas se dice que son contınuos y tienen un infinito numerode grados de libertad.

Figura 1.5: Viga empotrada en un extremo

Las partıculas en un cuerpo elastico pueden moverse relativamente entre ellas mientras ocurre elmovimiento del mismo. Las partıculas A y C estan ubicadas a lo largo del eje neutro de la viga envoladizo de la figura, mientras que la partıcula B esta en la seccion transversal obtenida pasando unplano perpendicular al eje neutro a traves del punto A. Por la hipotesis que las secciones planas semantienen planas durante la deformacion de la viga, los desplazamientos transversales de las partıculasA y B son los mismos. Sin embargo, el desplazamiento de la partıcula C respecto a la partıcula Adepende del tipo de carga aplicada. Por lo tanto, los desplazamientos de A y C son cinematicamenteindependientes. Debido a que A y C representan partıculas arbitrarias del eje neutro de la viga, seinfiere que no existe relacion cinematica alguna entre los desplazamientos de cualquier par de partıculasa lo largo del eje neutro. Debido a que existe un infinito numero de partıculas sobre el eje neutro, laviga en voladizo tiene un infinito numero de grados de libertad. En este caso es definida una variableindependiente x, la distancia para una partıcula a lo largo del eje neutro cuando la viga esta enequilibrio estatico. La variable dependiente, el desplazamiento transversal υ, resultara entonces seruna funcion de las variables independientes: la posicion x a lo largo de la viga y el tiempo t.


1.2.2. Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de movimiento deben ser formuladas de acuerdo a los principios establecidos en lamecanica, segun conceptos de la dinamica de movimiento, y su uso sera aclarado a medida que vayamosganando material en este nuevo conocimiento. Sin embargo, con el objetivo de identificar los distintoselementos que componen los modelos matematicos recordaremos los tipos de fuerzas que intervienenal establecer una ecuacion de movimiento para sistemas de un solo grado de libertad; estas son:

Fi — fuerza de inerciaFc — fuerza de amortiguamientoFk — fuerza elastica

P (t) — fuerza de exitacion

En un modelo de un sistema de un solo grado de libertad, la imposicion del equilibrio dinamicoexpresado en terminos que la resultante de fuerza interna al sistema en todo instante esta equilibradacon la fuerza perturbadora exterior, nos llevara siempre a una relacion del siguiente tipo

Fi + Fc + Fk = P (t) (1.1)

situacion que sera verificada posteriormente. Un analisis de las componentes de la ecuacion anteriornos ayudara a identificar los elementos significativos a tratar en el modelo asociado con el fenomenovibratorio puesto bajo estudio.

1.2.3. Elementos de los modelos

Las propiedades esenciales de cualquier sistema mecanico o estructural elastico sujeto a una fuenteexterna de exitacion o carga dinamica que tienen movimiento de tipo oscilatorio estan asociadas adiversos tipos de energıa que se intercambian en el transcurrir del tiempo: las propiedades inercialesque provienen de la materia en movimiento se asocian a la energıa cinetica; las propiedades elasticasestan asociadas a la energıa potencial acumulada por proceso de deformacion; las propiedades decapacidad de generacion de trabajo mecanico por efectos de friccion se asocian a la energıa disipada; yfinalmente, la capacidad de generacion de trabajo mecanico generado por la fuente de exitacion externase asocia con la energıa aportada al sistema en movimiento. Los elementos de todo modelo matematicoson entidades abstractas mostradas en forma de dispositivos convencionales que representan a todasestas propiedades intrınsecas del sistema vibratorio que se analiza.

Masa

La segunda ley de Newton establece proporcionalidad entre la fuerza aplicada a un cuerpo rıgidoy la aceleracion producida. El coeficiente de proporcionalidad de esta relacion se denomina masa1, lacual da una medida de la cantidad de materia contenida en el cuerpo.

Figura 1.6: Representacion de la masa

1 Conviene aclarar en este punto que cuando se habla de fuerza, desplazamiento y masa, se lo hace en un sentidogeneralizado dependiendo del tipo de coordenada utilizada. Ası por ejemplo, si se tienen coordenadas angulares porfuerza debera entenderse una cupla o momento, por masa el correspondiente momento de inercia, y por desplazamientola rotacion angular; lo mismo vale para las derivadas respecto al tiempo.


Para fines de representacion grafica la masa se representa mediante un bloque de materia con ciertaforma geometrica (generalmente rectangular), la cual es mostrada en la Figura 1.6. La fuerza necesariapara mover esta masa con cierto monto de aceleracion, es denominada fuerza de inercia. La expresionmatematica que define a la fuerza de inercia (o grado de resistencia al movimiento) es la siguiente

Fi = ma (1.2)

donde m es la masa del cuerpo y a = x es la aceleracion del movimiento producido.2

Debe recordarse que para la correcta aplicacion de la relacion anterior, debe suponerse el valorde la masa concentrada en un punto inmaterial que coincide con el centro de gravedad del cuerporepresentado.

Amortiguamiento

Al igual que en otras disciplinas, las fuerzas de amortiguamiento constituyen una parte no cono-cida totalmente y su origen, evaluacion y correcta representacion son objeto de constante estudio.El amortiguamiento puede hacerse presente por diversas razones: movimiento del sistema inmerso enun fluido circundante, amortiguamiento por deformacion y reordenamiento de la estructura molecular(amortiguamiento estructural) o amortiguamiento inducido en forma intencional con el proposito decontrolar la respuesta del sistema.

El amortiguamiento de tipo viscoso (sistema inmerso en un fluido Newtoniano) se adapta bien altratamiento matematico, porque su uso proporciona ecuaciones de movimiento lineales; por lo tantosu utilizacion se ha generalizado y el mismo sera usado a lo largo de este escrito. Su expresion analıticapuede deducirse a partir del desarrollo de la ley de viscosidad de Newton.

Supongamos una placa rıgida deslizando sobre una pelıcula delgada de un medio fluido por la accionde una fuerza tangencial aplicada sobre este objeto rıgido como es mostrado en la Figura 1.7(a).

(a) Placa movil sobre pelıcula fluida (b) Pelıcula fluida (vista ampliada) (c) Elemento fluido

Figura 1.7: Placa en movimiento sobre una pelıcula fluida

La tension cortante transmitida hacia el fluido por la fuerza Ft aplicada a la placa a traves delarea de contacto A esta determinada por τ = Ft/A; en tanto que la velocidad angular de deformacioninducida en el interior del medio fluido a causa de esta accion es medida a traves del gradiente develocidad segun direccion normal a la de movimiento principal que tienen las partıculas fluidas; o sea∂v/∂n [vease la Figura 1.7(b)]. La ley de viscosidad de Newton establece proporcionalidad directaentre estas dos cantidades, es decir: τ ∝ ∂v/∂n. Para levantar esta relacion de proporcionalidad seintroduce una constante, de modo que resulta:

τ = µ∂v

∂n(1.3)

donde µ es el coeficiente de viscosidad dinamica del medio fluido, v la velocidad relativa entre partıculas,y n la direccion normal a la direccion de flujo.

2 Por razones de brevedad en la redaccion usando simbologıa matematica, si β = β(t) es una variable dependiente

del tiempo, utilizaremos la siguiente convencion de escritura: β ≡ dβdt

, β ≡ d2β

dt2, etc.


Suponiendo flujo uni–dimensional en el interior del medio fluido en movimiento, podemos desecharlos operadores diferenciales parciales y usar derivadas comunes; por lo que tendrıamos:

τ = µdv

dn(1.4)

En la Figura 1.7(c) mostramos un elemento fluido o volumen diferencial en el que consideramos lareciprocidad de tensiones cortantes actuantes en sus caras, y considerando un ancho b (profundidad)para el mismo se tiene a partir de la ecuacion anterior

τ dn b = µdv b (1.4a)

integrando∫A

τ dA = µ b

∫v

dv

Fc = c v (1.5)

donde c = µ b, es denominado coeficiente de amortiguamiento viscoso.Si las condiciones del problema son distintas a aquellas establecidas para el amortiguamiento viscoso

y la evaluacion de la respuesta no requiere gran precision, se evalua la energıa disipada durante elintervalo de tiempo de estudio y se introduce en el modelo un amortiguamiento viscoso equivalente; esdecir, que disipe la misma cantidad de energıa en el mismo intervalo de tiempo.

Figura 1.8: Representacion del amortiguador

Para fines de representacion grafica el amortiguamiento se representa mediante un amortiguadorde tipo embolo–piston, el cual es mostrado en la Figura 1.8. La fuerza transmitida por este elementoes proporcional a la velocidad relativa de sus partes componentes, lo cual se mide por la diferencia develocidades absolutas de sus puntos extremos; es decir que

Fc = c (x2 − x1) (1.6)

Debemos notar que las fuerzas transmitidas por el amortiguador a traves de sus extremos hacia otroselementos con los cuales se inter–conecta este dispositivo, en todo instante se hallan en equilibriodinamico (suponiendo al amortiguador carente de masa, por supuesto).

Elasticidad

La capacidad de los cuerpos para cambiar de longitud, area, volumen y/o forma ante la aplicacionde cargas actuantes sobre ellos, esta definida para los cuerpos elasticos como una relacion funcionalque liga la carga aplicada y la deformacion producida o desplazamiento elastico que aparece en esteelemento.

Esta relacion funcional para los materiales comunmente utilizados en ingenierıa presenta zonasclaramente distinguibles segun el nivel de deformacion alcanzado. La Figura 1.9(a) ilustra tal situacion,donde tenemos como regiones caracterısticas:

I — zona de proporcionalidad elasticaII — zona de fluencia plastica

III — zona de endurecimiento


(a) Diagrama experimental (b) Diagrama idealizado

Figura 1.9: Diagramas carga–deformacion de un material elastico

En cambio, la Figura 1.9(b) muestra el diagrama asociado idealizado, que generalmente es utilizadocomo modelo simplificado en los calculos numericos.

No obstante pueden existir materiales que no presenten la curva de respuesta anterior, y por tantosu modelaje debera constituir un estudio particular; sin embargo, considerando que la mayorıa de losmateriales tienen curvas de respuesta similar a la mostrada en la Figura 1.9(a) y teniendo en cuentaque los esfuerzos en la etapa de servicio no exceden la zona de proporcionalidad elastica, es lıcitoadmitir como valida la ley de Hoocke. En caso de ser necesario un analisis mas alla de la zona elastica,la solucion del problema es aun posible, naturalmente con esfuerzo adicional debido a la perdida delinealidad de las ecuaciones de movimiento.

En el caso que nos atane, para preservar linealidad en las ecuaciones de comportamiento dinamico,aceptamos la validez de la ley de Hoocke que indica: “En la zona lineal elastica de un material existeproporcionalidad directa entre la fuerza aplicada y la deformacion producida por ella ”; por lo tantoanalıticamente se cumple: Fk ∝ δ [vease la Figura 1.9(b)]. Por lo tanto, la relacion funcional lineal quese adopta para un comportamiento dentro la zona elastica del material es como sigue:

Fk = k δ (1.7)

donde k es la constante de proporcionalidad denominada coeficiente de rigidez y δ es la deformacionproducida o desplazamiento elastico.

Figura 1.10: Representacion del resorte

Con fines de representacion grafica, la elasticidad del material se representa mediante un resorte,el cual es mostrado en la Figura 1.10. La fuerza transmitida por este elemento, a traves de sus puntosextremos, es proporcional al desplazamiento relativo o deformacion producida, lo cual se mide por ladiferencia de desplazamientos absolutos de sus puntos extremos; es decir que

Fk = k (x2 − x1) (1.8)

Debemos puntualizar aquı que los desplazamientos de los puntos extremos del elemento resorte debenser medidos a partir de la configuracion de equilibrio estatico. Tambien apreciamos que este elementose encuentra en equilibrio dinamico en todo instante, suponiendolo de masa despreciable.

Exitacion

La exitacion actuante sobre un sistema mecanico vibratorio (o estructural) es normalmente unafuerza en el sentido generalizado; sin embargo puede ser tambien, como veremos despues, un despla-zamiento, velocidad o aceleracion aplicados a algun apoyo o soporte de la estructura. Su dependencia


con el tiempo le da su naturaleza dinamica. Sin embargo, hablando estrıctamente, todas las cargasson dinamicas, y puede decidirse en algun momento si es adecuado o no el tratamiento dinamico deun problema. Explicando mejor: Si una carga varıa muy suavemente en el transcurrir del tiempo conrelacion al periodo del sistema vibratorio 3 , es posible que no sea adecuado un tratamiento dinamicodebido a que sus efectos de caracterıstica dinamica sean despreciables. No obstante, y esto debe to-marse muy en cuenta, una carga con las mismas caracterısticas de duracion podrıa ser fatal para otrotipo de estructura, que tenga un periodo mayor que el tiempo de variacion de la carga. Estos aspectosapareceran claros posteriormente.

Tipos de exitacion

Se pueden intentar diversas clasificaciones de las exitaciones existentes; aparentemente la maslogica es aquella que divide las exitaciones en: determinısticas y no–determinısticas (o aleatorias). Lasdeterminısticas abarcan la gama de perturbaciones cuya dependencia funcional tanto respecto al tiempocomo al espacio estan definidas ya sea en forma analıtica o numerica. El grupo no–determinıstico oaleatorio comprenderıa a las exitaciones que estan definidas en un sentido estadıstico conociendo paraellas, por ejemplo, su densidad de probabilidades.

El listado presentado a continuacion ilustra algunos ejemplos de los tipos de exitaciones definidasen lıneas anteriores.

Determinısticas

• tipo: armonicoexpresion: P0 sin Ωt

caso tıpico: rotor desequilibrado

• tipo: impulsivoexpresion: definida numericamente

caso tıpico: explosion

No–determinısticas (Aleatorias)

• tipo: probabilısticoexpresion: definida estadısticamente

caso tıpico: presion dinamica del viento

Las tecnicas empleadas para obtener la respuesta dependen del tipo de exitacion actuante sobreel sistema en estudio, lo mismo que la informacion obtenida a partir de la solucion hallada para elproblema en analisis.

Problemas propuestos

1.1.En la Figura se muestra un mecanismo manivela (M)– biela (B) – piston (P) de dimensiones determina-das, el cual tiene hipoteticamente uniones articula-das entre estos elementos. La manivela se encuentraconectada hacia un apoyo articulado fijo, y rota con

velocidad angular ω de magnitud constante. Mostrar que el piston tiene movimiento oscilatorioperiodico, y hallar la amplitud de su movimiento suponiendo que parte desde una condicion de

3 Periodo de un sistema vibratorio (o estructura) es el tiempo que tarda el sistema en realizar una oscilacion librecompleta. Su calculo e importancia seran tema de desarrollo posterior en siguientes capıtulos.

Problemas propuestos 13

reposo en cierta posicion conocida.

1.2.Para el sistema indicado en la Figura, determinar ladeformacion estatica en los resortes para la configu-racion de equilibrio estable. Considere las variablesindicadas como datos conocidos, las poleas de masadespreciable, y el cable que tiene contacto con ellascomo inextensible.

1.3.Una varilla rıgida homogenea de 60 Kg de peso y 1,25m de longitud esta conectada en un extremo a un re-sorte de coeficiente de rigidez igual a 200 Kg/cm, yen la posicion indicada a un apoyo articulado fijo.Si en la configuracion vertical mostrada, el resorteesta deformado en 2 mm, determinar la longitud in-deformada del resorte y la magnitud de la reaccion enel apoyo articulado cuando el sistema se reestableceen su configuracion de equilibrio estatico

1.4.En el sistema de la Figura 1.4(a) que por convenien-cia aquı repetimos, las dos masas se sostienen a unaidentica altura tal como muestra el esquema adjunto.Considerando como datos todas las variables indica-das, determinar la configuracion de equilibrio estati-co, cuando ambas masas son soltadas y llegan a sucondicion de reposo.

1.5.

En la Figura se muestra un par de bloques rıgidosde masa conocida interconectados mediante un ca-ble inextensible, la cual resbala por la periferia de unpar de poleas. Ademas, se tiene un resorte de coefi-ciente de rigidez determinado conectado a uno de losbloques. determine el numero de grados de libertadde este sistema y especifique las coordenadas genera-lizadas que describan su configuracion en cualquierinstante.

1.6.


En la Figura adjunta se muestra un par de bujesde masa conocida conectados por una varilla rıgidade longitud determinada. Estos bujes pueden resba-lar en contacto con los tubos sobre los que deslizan.Ademas uno de los bujes tiene conectado un resorteque en su otro extremo esta soldado a la base del tu-bo. Cuantos grados de libertad son requeridos paramodelar el sistema mostrado ?. Identificar una seriede coordenadas generalizadas las cuales puedan serutilizadas para analizar la vibracion de este sistema.

1.7.Una esfera de radio r y masa m rueda sin deslizaren contacto con una superficie cilındrica inmovil deradio R, en la parte inferior de la misma. Si el mo-vimiento es alrededor de la posicion vertical de equi-librio estatico, con desplazamientos muy pequenos,determinar el numero de grados de libertad del siste-ma y un conjunto de coordenadas generalizadas quepermita analizar el movimiento oscilatorio del cuerpoesferico.

1.8.

Cuantos grados de libertad son requeridos para mo-delar el sistema mostrado en la Figura ?. Identifi-car una serie de coordenadas generalizadas las cualespuedan ser utilizadas para analizar la vibracion ver-tical del conjunto de elementos componentes de estesistema.

1.9.Demuestre que si un resorte lineal de coeficiente derigidez k es solicitado por fuerzas identicas Fk ensus extremos, como se muestra en la Figura, y si lospuntos de aplicacion de estas fuerzas tienen desplaza-

mientos x1 y x2 (x2>x1) conocidos; la fuerza transmitida por el resorte a traves de sus extremosesta determinada por: Fk = k(x2 − x1).

1.10.En la Figura se muestra un amortiguador viscoso tor-sional de tipo piston–embolo, que sirve para el mode-lado en vibracion rotacional. El piston (placa circularde radio R conectado a un pequeno eje) rota en elinterior del cilindro con rapidez angular constante ω,en contacto con un lıquido lubricante de viscosidaddinamica µ y espesor de pelıcula e, como muestrael esquema. Determinar el coeficiente de amortigua-miento torsional ct de este dispositivo.

1.11. Un “resorte neumatico” consiste de un piston circular de area A en el interior de un embolocilındrico que contiene un gas. A medida que el embolo se mueve, el gas se expande y contraecambiando la presion ejercida sobre el piston. Si el proceso ocurre adiabaticamente (sin inter-


cambio de calor con el medio circundante), entonces se cumple: p = C ργ , donde p es la presiondel gas, ρ su densidad, γ la relacion de calores especıficos (γ = cp/cV ), y C es una constantedependiente del estado inicial del gas contenido en el embolo.Considere un resorte donde la presion inicial es p0 a temperatura T0. A esta presion la alturade columna de gas en el cilindro es h. Sea F = p0A + δF la fuerza de presion sobre el pistoncuando el mismo ha sido desplazado una distancia x dentro el gas desde su altura inicial.

(a) Determine la relacion entre δF y x.

(b) Linealizar la relacion del anterior inciso para aproximar el resorte neumatico a un resortelineal elastico. Cual es la rigidez equivalente del resorte ?.

(c) Cual es el area requerida del piston para un resorte neumatico de aire (γ=1, 4) que tengaun coeficiente de rigidez de 300 N/m para una presion absoluta de 150 kPa, con un valorde altura de gas de 30 cm ?.

1.12.

Considere nuevamente la viga en voladizo mostradaen la Figura 1.5 que repetimos algo modificada, ypara ella suponga que no existe ningun tipo de exi-tacion externa ni tampoco considere los efectos defriccion en la disipacion de energıa. Realice un bos-

quejo esquematico de un modelo con cinco grados de libertad que sirva para analizar la vibra-cion libre segun direccion vertical de este elemento estructural. En el esquema se indican losvalores globales de los parametros para la viga entera. Explique brevemente las caracterısticasdel modelo elaborado.

Capıtulo 2

Modelos matematicos

El esquema global del Proceso de Modelado Matematico es diagramado en la Figura 2.1. En esteflujograma, el sistema fısico a ser analizado es primariamente convertido a traves de la consideracion deciertas hipotesis simplificativas en un modelo matematico, el cual por generalidad posee caracterısti-cas de continuidad en sus aspectos materiales y de propiedades mecanicas. Este modelo matematicoası planteado tiene comportamiento definido por una ecuacion gobernante (que en el caso presente esformulado usando los principios generales de la mecanica y la teorıa de ecuaciones diferenciales) la cualposee solucion para un numero finito de variables de estado con las cuales se ha formulado el modelo,i.e., esta solucion analıtica es obtenida para el dominio de definicion del problema. El procedimientoanteriormente descrito, utiliza secuencialmente los procesos de idealizacion, y solucion; en los que sefundamentan en generalidad las tecnicas de analisis basados en modelos matematicos.

Figura 2.1: Flujograma del Proceso de Modelado Matematico

El problema fısico tıpicamente involucra un sistema mecanico o una estructura real con compo-nentes sujetos a ciertos sistemas de carga dinamica. La idealizacion del problema fısico en un modelomatematico requiere establecer ciertas asunciones o hipotesis que juntamente a la primacıa de ecua-ciones diferenciales gobiernan el modelo matematico. Este modelo puede escogerse a ser contınuo odiscreto dependiendo de las tecnicas de formulacion matematica que sean utilizadas para este proposito.

Los procesos de verificacion y validacion del modelo simulado en su comportamiento por el calculoanalıtico efectuado, es realizado mediante apropiados bucles de retroalimentacion mediante el contrastede resultados teoricos intermedios y finales que arroja el modelo matematico, con aquellos que puedenobtenerse mediante vıas experimentales en el sistema fısico real a traves de mediciones en un prototipoo un modelo a determinada escala geometrica que puede ser construıdo para realizar dichas pruebasexperimentales. El modelo utilizado en el analisis de caracter teorico se considera verificado y validado,cuando la discrepancia de sus resultados comparados con los valores practicos o experimentales esmenor que cierta magnitud pre–establecida de error porcentual, el cual sea aceptable en calculos de

17

18 CAPITULO 2. MODELOS MATEMATICOS

diseno en ingenierıa.

2.1. Introduccion

Los sistemas mecanicos o estructurales reales tienen la masa, amortiguamiento y rigidez (frecuen-temente tambien la carga) distribuidas en el dominio espacial ocupado por ellos; en consecuencia sucomportamiento dinamico esta gobernado por las ecuaciones de los sistemas elasticos deformables, lasmismas que por ser funciones de las coordenadas espaciales y del tiempo, vienen dadas en terminosde derivadas parciales y por lo tanto su solucion, aun para los casos sencillos, implica un esfuerzomatematico considerable. Sin embargo, la naturaleza de su solucion proporciona alguna luz sobre elmetodo alternativo que puede emplearse para la solucion de diversos problemas.

Figura 2.2: Viga simplemente apoyada

Consideremos un caso general en el que los parametros asociados con la dinamica vibratoria deun sistema tienen distribucion espacial, como el caso de la viga mostrada en la Figura 2.2. La teorıade flexion dinamica de vigas rectas indica que la dinamica de movimiento de este tipo de estructurassimples tiene como ecuacion gobernante a la expresion:

E I∂4υ

∂x4+ m

∂2υ

∂t2= q(x, t) (2.1)

donde: E I — coeficiente de rigidez flexionantem — masa por unidad de longitud

q(x, t) — carga aplicada distribuidaυ(x, t) — desplazamiento vertical

La solucion de la Ecuacion (2.1) se puede expresar como la siguiente serie infinita:

υ(x, t) =

∞∑n=1

Φn(x)Ψn(t) (2.2)

Obviamente cuando se realiza el computo de υ(x, t) es imposible incluir la totalidad de terminosque corresponden a la serie, y por tanto siempre se obtiene solo un valor aproximado de la solucion.

El numero infinito de terminos se debe a que υ(x, t) esta definida en todo el intervalo 0 6 x 6 L,y por tanto el sistema de la Figura 2.2 tiene infinitos grados de libertad 1. No obstante, en la practicael problema estara resuelto si podemos determinar el movimiento de algunos puntos relevantes con-venientemente elegidos. Esto sugiere aproximar el problema real con uno que tenga solo un numerofinito de grados de libertad, lo que por tratarse de puntos fijos conducira a un problema planteado enterminos de ecuaciones diferenciales ordinarias 2 reduciendo la dificultad matematica, y permitiendocomo se vera despues, la formulacion del problema con menor tamano en terminos matriciales.

1 En lenguaje matematico, significa que el espacio solucion de la Ecuacion (2.1) es infinito dimensional.2 La dimension del espacio solucion de una ecuacion diferencial ordinaria es igual al orden de la ecuacion.

2.2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD 19

2.2. Modelos de un grado de libertad

Frecuentemente es posible aproximar la solucion de un problema dado en terminos de un solo gradode libertad; esto sucede cuando: (a) el movimiento de un punto dado de la estructura es identificado,conjuntamente los parametros dinamicos asociados a el, o (b) cuando el movimiento de la estructurase puede escribir en funcion del movimiento de un punto dado.

Normalmente el criterio y el buen juicio ingenieril son importantes para la rapida eleccion delmodelo y la identificacion de las coordenadas a considerarse. Particularmente en el caso de problemascomplicados, el ingeniero debe recordar que cualquier complicacion en el modelo se traduce en grandesvolumenes de calculo, frecuentemente innecesarios y que no dan mayor luz al problema.

Con el objeto de ilustrar los distintos procedimientos para la obtencion de modelos matematicos,consideremos las tecnicas para los modelos de un grado de libertad.

2.2.1. Modelos con parametros concentrados

Si los parametros dinamicos: masa, elasticidad, amortiguamiento, y carga, son rapidamente identifi-cados y el movimiento se puede asociar con un solo punto; el modelo se puede considerar de parametrosconcentrados. Esto podrıa interpretarse como si todas las caracterısticas parametricas de vibracion delsistema en estudio, pudieran concentrarse en un unico punto espacial. Ejemplos de este tipo de modelosse presentan cuando se estudia el aislamiento de un motor electrico montado sobre vigas elasticas depeso despreciable frente al peso propio del motor, o cuando se analiza en forma preliminar el movi-miento vertical de un automovil; en este caso la masa oscilante la proporciona el peso del automovil,y los elementos elasticos los muelles del mismo. Como estos dos casos existen muchos otros tıpicos, enlos que son rapidamente identificables los parametros dinamicos del sistema asociados con un modelode un solo grado de libertad.

(a) Diagrama esquematico (b) Modelo

Figura 2.3: Motor montado sobre vigas elasticas

Para el primero de los casos mencionados en el parrafo anterior: un motor electrico montado sobrevigas elasticas de peso despreciable, supongamos que un diagrama esquematico de la situacion es comola mostrada en la Figura 2.3(a). Por razones de simetrıa, escojamos el punto A como punto de apoyoasumido del motor sobre las vigas (consideradas sin masa) cuyos apoyos se denotan con la letra B.Notemos ademas que este punto A esta contenido en el mismo plano vertical que el centro de gravedaddel motor (punto G), donde se supone que se concentra todo el peso del mismo. Si el peso propio Wdel motor considerado cuerpo rıgido se asume conocido, la masa de nuestro modelo tendra como valor:m = W/g, donde g es la magnitud de la intensidad del campo gravitatorio local.

Por otra parte, las vigas por la deformacion que presentan (con relacion a sus apoyos que no poseenmovimiento vertical) durante el movimiento de vibracion del conjunto; proporcionan la caracterısticade elasticidad al sistema, que podemos suponer tiene comportamiento lineal elastico y esta asociadocon determinado valor de coeficiente de rigidez de valor constante (relativo a los puntos de apoyo) quesea equivalente a la rigidez de tipo distribuido, que en realidad tienen las vigas de soporte. Supongamosque dicho valor lo denotamos con k, que serıa la magnitud del coeficiente de rigidez elastico equivalentede las vigas.


Implıcitamente en el analisis anterior hemos escogido el desplazamiento vertical del centro de gra-vedad G del motor, como grado de libertad del sistema 3 y por tanto el modelo representativo delmismo asociado a un solo grado de libertad serıa el mostrado en la Figura 2.3(b), donde u denota aldesplazamiento que tiene el punto G, previamente identificado, del motor electrico.

A menudo un sistema posee mas de un elemento que tiene caracterıstica de flexibilidad, es decirposee capacidad de almacenamiento de energıa mediante un proceso de deformacion. En estas apli-caciones, los resortes que los reemplazarıan en el modelo estarıan dispuestos segun cierta disposicionasociada con la respuesta mecanica que ellos presentan cuando actuan en conjunto. Las disposicionesposibles son: (a) configuracion en serie y (b) configuracion en paralelo. En cualquiera de estos casoses conveniente, por propositos de modelado y analisis reemplazar la combinacion de elementos por unsolo resorte que tenga rigidez equivalente a la de todo el conjunto (vease los Problemas 2.1 y 2.2 alfinal del capıtulo).

No obstante cuando los parametros dinamicos estan distribuidos, la aproximacion con un modelode un solo grado de libertad es aun posible; sin embargo, la eleccion de los valores adecuados es masdependiente del juicio y experiencia del ingeniero.

Reconsideremos ahora la situacion analizada recientemente, con el objetivo de refinar el modeloplanteado y optimizarlo de manera que la solucion obtenida posea una mayor exactitud. Para ello,asumamos que la viga tenga cierto peso propio considerado conocido a partir del cual se puede calcularsu masa por unidad de longitud m, que resultara un parametro de valor constante (asumiendo que laviga es homogenea y de seccion transversal invariable). Ademas, supondremos que la viga tiene modulode elasticidad E, longitud L, y momento de inercia centroidal I; como es indicado en el esquema de laFigura 2.4. Para esta viga, se desea encontrar la frecuencia natural de vibracion. 4


Como punto representativo elegiremos el movimiento del punto medio de este elemento estructural,para efectos de calculo de la rigidez en el punto de analisis. Se supone que durante la vibracion, ladeformada de la viga adopta un aspecto geometrico de amplitud variable similar a la causada por laaplicacion de una carga concentrada P aplicada en medio del vano; en consecuencia la deflexion δ enel punto donde actua la fuerza es de acuerdo a la mecanica de materiales basica:

δ =P L3

48E I

por lo tanto,P =

48E I

L3δ (2.3)

comparando con la ecuacion basica del resorte que sustituye la viga P = k u, se deduce que:

k =48E I

L3(2.4)

3 Notemos que el punto A tiene identico desplazamiento vertical que el centro de gravedad G del motor, ya queambos puntos pertenecen al mismo cuerpo rıgido, y tambien podrıa ser escogido como punto donde se asocie el gradode libertad del sistema.

4 La frecuencia natural de vibracion es un parametro de la respuesta dinamica, cuyo significado exacto sera explicadocon precision luego.


La Ecuacion (2.4) proporciona el valor de la rigidez a usarse en el modelo. De la Ecuacion (2.3) sededuce que: “La rigidez es la carga necesaria para producir un desplazamiento unitario en el punto deaplicacion de la carga, segun la direccion de esta”.

La identificacion de la masa vibrante es menos directa, y su valor se determina por tanteos enbase al dato referencial que la frecuencia fundamental (primera o principal) de una viga simplementeapoyada viene determinada por: 5

ω1 = π2

√E I

mL4(2.5)

El porcentaje de la masa total a utilizarse en el modelo sera aquel que proporcione la mejoraproximacion al valor exacto determinado por la Ecuacion (2.5). En la Figura 2.5 se muestra la graficaque ilustra los diferentes valores hallados mediante un rapido calculo segun los datos mostrados en laTabla adjunta.

ω1 = α

√E I

mL4

% mL α % ε

100 6,93 - 29,860 8,94 - 9,450 9,80 - 0,740 10,96 11,030 12,65 28,220 15,50 57,0

(a) Tabla de datos (b) Datos y ajuste grafico

Figura 2.5: Aproximacion hacia la frecuencia fundamental

Segun la Figura 2.5, el valor de la masa vibrante a ser concentrada en el punto medio de la vigapara obtener un error porcentual muy reducido ( % ε = −0, 7 %) sera alrededor de 0, 5 mL (es decir50 % de la masa total de la viga). Usted puede comprobar que se obtiene un error nulo si se tomapara el calculo 48,6 % de la masa total, pero por comodidad usaremos como dato solucion el valorespecificado previamente.

Finalmente, con estos ultimos valores solucion obtenidos, estamos en capacidad de establecer quelos parametros del modelo de analisis del motor electrico apoyado sobre vigas, mostrado en la Figu-ra 2.3(a), tiene como masa equivalente al sistema original: meq = m + mL, y como coeficiente derigidez equivalente: keq = 48E I/L3. Estos valores parametricos reemplazarıan a aquellos indicados enla Figura 2.3(b) en el modelo optimizado.

El procedimiento aquı ilustrado solo es aplicable cuando se conoce la frecuencia natural de vibracion,la misma que en la mayorıa de los casos es desconocida, y por lo tanto el exito del procedimientodependera de la habilidad y experiencia del analista.

Si el modelo requiere la inclusion de amortiguamiento, la aproximacion no es directa y lo unicoque quedara es suponerla concentrada al igual que los demas valores, adoptando para el coeficiente

5 Este dato puede ser obtenido de un manual de propiedades dinamicas de elementos estructurales.


de amortiguamiento equivalente ceq un valor de acuerdo al material de la estructura, el mismo quefrecuentemente es dado como un porcentaje de un valor caracterıstico asociado con la amortiguacionpresente en el sistema real, situacion que sera explicada con detalle en el momento preciso.

Muchas veces es posible la elaboracion de un modelo algo grosero como una “primera aproximacion”hacia la solucion de una situacion planteada. Esto ocurre cuando en el proceso de modelado se imponenhipotesis drasticas que simplifican de modo casi absoluto la complejidad natural de la situacion enanalisis, y la elaboracion del modelo resulta casi obvia de principio. El siguiente ejemplo nos muestrauna situacion en la que las hipotesis de planteamiento del problema permiten una identificacion directadel modelo matematico de analisis asociado, con un solo grado de libertad.

Ejemplo 2.1. En la Figura 2.6(a) se muestra una viga de peso despreciable empotrada en un extremo,la cual en su otro extremo libre soporta un volante de peso W conocido, sobre el cual actua unafuerza dinamica P (t) descrita como funcion conocida; que obliga a que el conjunto vibre en direccionvertical. La viga de soporte es de material conocido con modulo de elasticidad E, y tambien de formageometrica determinada con longitud L y momento de inercia de seccion transversal I de valoresconocidos. Determinar un modelo matematico de analisis de un grado de libertad, asociado al conjuntoviga–volante tomado como sistema.

(a) Sistema o prototipo real

meq = W/g

keq = 3EI/L3

Peq = P (t)

(b) Modelo de analisis

Figura 2.6: Sistema viga–volante y modelo de parametros concentrados

> Solucion

Si estamos interesados en la magnitud de amplitud maxima de la vibracion producida, debemos tomarcomo grado de libertad del sistema al desplazamiento vertical del centro de gravedad del volante, alcual lo consideramos cuerpo rıgido. La viga de soporte al tener masa despreciable no aporta a la inerciade oposicion al movimiento del sistema; y sabemos que la masa neta del volante puede concentrarse enel centro de gravedad de este cuerpo, suponiendolo homogeneo. Con estas consideraciones es evidenteque: meq = W/g, siendo g el valor de la intensidad del campo gravitatorio.

Asumiendo que la deformada elastica dinamica tiene el mismo aspecto geometrico que la deforma-cion producida en la viga soporte por una carga vertical puntual estatica F aplicada en el extremo

libre; tenemos como referencia a la deflexion estatica maxima producida: δ = FL3

3EI , que puede obte-nerse de un manual. Recordando que el significado fısico del coeficiente de rigidez equivalente es lamagnitud de fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en su punto de aplicacion,segun la direccion de la fuerza (F =keq δ); resulta que: keq = 3EI/L3.

Como las partıculas materiales en un cuerpo rıgido no poseen movimiento relativo interno, seproduce movimiento de conjunto para todas ellas cuando el cuerpo se desplaza; y en el caso de laexitacion externa aplicada esto es equivalente a que la fuerza de exitacion se aplicase en el centro degravedad del volante, por lo que Peq = P (t).

En la Figura 2.6(b) mostramos el modelo de parametros concentrados que obtuvimos. >

2.2.2. Modelos consistentes

Los modelos consistentes son aquellos que determinan todos los parametros de vibracion del sistema(mecanico o estructural) a partir de una misma configuracion deformada. Como se recordara, en el caso


anterior la rigidez se derivo a partir de una cierta hipotesis, mientras que la masa vibrante fue obtenidamediante procedimiento de tanteo.


Para considerar este tipo de modelos analicemos nuevamente el caso anterior. Con relacion alesquema mostrado en la Figura2.7, si suponemos que la deformacion de la viga durante la vibracionsera la misma que bajo la accion de una carga concentrada estatica actuando en la mitad de la misma;la expresion que define la deflexion vertical en funcion de la posicion sera: 6

υ(x) =PL3

48EI

[3( xL

)− 4

( xL

)3]

0 < x < L/2 (2.6)

llamando u = PL3/48EI al factor constante que aparece en la relacion anterior, esta resulta:

υ(x) = u

[3( xL

)− 4

( xL

)3]

o lo que es lo mismo, en generalυ(x) = uφ(x) (2.7)

donde u es el desplazamiento relevante o coordenada de movimiento espacial que es tomada como elgrado de libertad del sistema, y φ(x) es funcion adimensional, que cumple las condiciones de bordeextremo del problema en el intervalo en el cual tiene validez. Esta funcion es denominada “funcion deinterpolacion”, pues permite obtener el valor del desplazamiento en cualquier punto interno de la viga,en base al valor del desplazamiento que se presenta en la mitad de su longitud. 7 En el caso de la vigasimplemente apoyada en sus extremos, la funcion de interpolacion asociada al problema serıa:

φ(x) = 3( xL

)− 4

( xL

)3

(2.8)

Para encontrar los parametros equivalentes en el modelo de un grado de libertad, debemos imponerque el modelo contenga la misma cantidad de energıa que el prototipo real de parametros distribuidos,considerando todas las formas de energıa significativas. Procediendo en esa forma, la rigidez equivalentese obtiene de la manera siguiente:

La energıa potencial de deformacion del resorte equivalente en el modelo sabemos que vale:

Um =1

2k u2

En cambio, la energıa potencial de deformacion de la viga de acuerdo con la teorıa de la mecanica demateriales basica esta determinada por:

U =1

2

∫ L

0

EI(x)[υ′′(x)]2 dx

6 Notemos que la deformada estatica para este caso es simetrica con respecto a la seccion que pasa a traves de lamitad de la longitud de la viga.

7 Este es evidentemente un proceso de interpolacion, pues estamos determinando un valor interno al dominio dedefinicion en base al valor asumido conocido en uno de los extremos del rango de la variable que esta siendo manipulada !.


donde υ′′(x) = d2υ(x)/dx2 es la segunda derivada espacial del campo de deformaciones. Notemosademas que por generalidad asumimos que el momento de inercia centroidal de la seccion transversalde la viga puede variar con la posicion a lo largo de la misma (en caso que la seccion transversal varıe).

Equiparando ambas energıas de deformacion, es decir: Um = U , se plantea la identidad:

1

2keq u

2 =1

2

∫ L

0

EI(x)[uφ′′(x)]2 dx =1

2

(∫ L

0

EI(x)[φ′′(x)]2 dx

)u2

que se obtuvo utilizando la Ecuacion (2.7). Por comparacion se obtiene entonces:

keq =

∫ L

0

EI(x)[φ′′(x)]2 dx (2.9)

Como indicamos, esta expresion es valida aun para el caso de inercia variable, y fue deducida bajo lahipotesis que solo la energıa por efecto del momento flexionante interno es significativa (se despreciala energıa potencial de deformacion inducida por el esfuerzo cortante interno).

Para el caso particular que nos atane, podemos ahora reemplazar la funcion de interpolacion de-terminada por la Ecuacion (2.8)

keq = 2

∫ L/2

0

EI(−24

x

L

)2

dx =48EI

L3

Notemos que consideramos el momento de inercia invariable a lo largo de la longitud, y que la integralen realidad evalua solo la mitad de la energıa de deformacion (por ello es que su valor aparece dupli-cado). El valor de este resultado es el que se esperaba, y Usted puede verificar que es el mismo queestablece la Ecuacion (2.4) acorde a la mecanica de materiales basica.

Veamos ahora que ocurre cuando tratamos de evaluar la masa equivalente para el modelo. Paracumplir tal cometido imponemos que la energıa cinetica del sistema real y del modelo sean iguales.Procediendo en esa forma, para el modelo la energıa cinetica serıa:

Tm =1

2mequ

2

donde debemos entender el sımbolo de un punto sobre el desplazamiento como la primera derivadatemporal: u = du/dt, es decir una medida de la rapidez instantanea de movimiento o magnitud de lavelocidad.

Para una masa elemental componente de la viga, la energıa cinetica infinitesimal asociada es:dT = 1

2dm υ(x)2. Considerando que υ(x) = uφ(x) y dm = m(x) dx, e integrando para toda la viga enmovimiento tendremos:

T =1

2

∫ L

0

m(x)[u φ(x)]2dx

Equiparando la energıa cinetica del modelo con la del prototipo real, es decir Tm = T , se planteala relacion de identidad

1

2mequ

2 =1

2

(∫ L

0

m(x)[φ(x)]2dx

)u2

por lo tanto, por comparacion de terminos resulta:

meq =

∫ L

0

m(x)[φ(x)]2dx (2.10)

expresion valida aun para el caso de un sistema (elemento estructural) con masa variable.


Para el ejemplo particular que estamos desarrollando (viga simplemente apoyada en sus extremos),remplazando la expresion de la Ecuacion (2.8) en la Ecuacion (2.10) se tiene:

meq = 2

∫ L/2

0

m

[3( xL

)− 4

( xL

)3]2

dx =272

560mL

o sea,meq = 0, 486 mL ∼= 0, 5 mL

valor que coincide casi exactamente con aquel valor determinado mediante tanteos.

Si el amortiguamiento se debe incluir en el modelo y este lo suponemos con coeficiente caracterısticodistribuido en el sistema real con un valor c(x) medido por unidad de longitud; se puede demostrarque equiparando la energıa disipada en el modelo y el prototipo debido a los efectos de friccion creadospor la amortiguacion del movimiento, se alcanza la siguiente expresion que es aplicable para el casogeneral

ceq =

∫ L

0

c(x)[φ(x)]2dx (2.11)

Si en nuestro ejemplo de la viga simplemente apoyada suponemos que el coeficiente de amorti-guamiento por unidad de longitud tiene distribucion contınua, con valor constante c a lo largo de lalongitud; por analogıa directa con la Ecuacion (2.10) y el resultado obtenido para ella, podemos escribiren este caso particular:

ceq = 0, 486 c L ∼= 0, 5 c L

La solicitacion externa distribuida aplicada al sistema o carga de exitacion variable es suceptibletambien de un tratamiento similar. Consideremos que sobre el sistema actua una carga distribuida porunidad de longitud q(x, t), 8 es decir variable en el espacio y el tiempo. Es posible hallar una cargaequivalente consistente con los parametros dinamicos, siendo que el procedimiento a seguir en este casoes simplemente igualar el trabajo mecanico realizado: tanto por una carga concentrada equivalenteactuante en el modelo, como por la solicitacion de carga distribuida aplicada en el sistema real.

Aplicando el procedimiento anteriormente mencionado, suponiendo la aplicacion de la magnitudde carga en forma linealmente gradual hasta llegar a su valor final, el trabajo mecanico en el modelorealizado por la carga concentrada aplicada en el punto donde se ha definido el grado de libertad demovimiento serıa:

Wm =1

2Pequ

En cambio, suponiendo la carga distribuida en el sistema real con intensidad variable por unidad delongitud descrita por q(x, t), el trabajo mecanico elemental realizado sobre una longitud infinitesimalde la viga serıa: dW = 1

2 dF υ(x). Pero, dF = q(x, t)dx y υ(x) viene determinada por la Ecuacion (2.7);remplazando e integrando a lo largo de toda la longitud obtenemos:

W =1

2

∫ L

0

q(x, t)uφ(x) dx =1

2

(∫ L

0

q(x, t)φ(x) dx

)u

Ahora, igualando ambos trabajos recientemente calculados Wm=W , y comparando terminos simi-lares obtenemos como relacion final:

Peq =

∫ L

0

q(x, t)φ(x) dx (2.12)

8 En un sentido mas general, el termino q(x, t) puede ser interpretado como la funcion de distribucion de carga aplicadasobre el elemento estructural, que puede consistir de un conjunto de acciones (fuerzas y/o momentos) distribuidos oconcentrados en sub–intervalos internos (o puntos en el caso de acciones concentradas) al interior de la longitud, queactuen simultaneamente variando temporalmente. Este conjunto puede describirse por una ecuacion unica, por ejemploutilizando el metodo de funciones singulares.


Si en el caso tomado como ejemplo (la viga simplemente apoyada en sus extremos) suponemos laaplicacion de una carga linealmente distribuida sobre toda la longitud que depende solo del tiempo;es decir su magnitud no varıa con la posicion q = q(t), aplicando la relacion recientemente deducidaobtendrıamos:

Peq(t) = 2

∫ L/2

0

q(t)[3( xL

)− 4

( xL

)]dx

Peq(t) =10

24q(t)L

Con este ultimo calculo habrıamos terminado de establecer todos los parametros dinamicos aso-ciados al modelo de analisis de un solo grado de libertad para una viga simplemente apoyada en susextremos que tiene caracterısticas dinamicas de comportamiento vibracional distribuidas a lo largo detoda su longitud. El modelo con todos sus elementos componentes equivalentes al sistema original queposee parametros dinamicos distribuidos se ilustra en la Figura 2.8.


meq = 0, 5 mL

keq = 48EI/L3

ceq = 0, 5 c L

Peq = 10/24 q L


Figura 2.8: Viga simplemente apoyada y modelo de parametros concentrados

El modelo obtenido, mostrado en la Figura 2.8(b), es una representacion tan solo aproximada delproblema fısico; es decir de la viga en movimiento de vibracion mostrada en la Figura 2.8(b). Estemodelo al ser resuelto proporcionara como solucion el desplazamiento o deflexion instantanea de laseccion transversal ubicada a la mitad de la longitud de la viga. De esta solucion pueden obtenersela velocidad y la aceleracion de movimiento instantaneos para dicha seccion particular en la viga porsimple proceso de derivacion temporal. El desplazamiento, velocidad y aceleracion de cualquier otraseccion transversal de la viga pueden luego obtenerse haciendo uso de las Ecuaciones (2.7) y (2.8),que dan la solucion de respuesta dinamica que presenta este sistema estructural en todo el dominio dedefinicion original del problema.

Esta tecnica puede ser facilmente adaptada a otro tipo de situaciones en las que se tiene un sistemade parametros dinamicos distribuidos y se desea elaborar su representacion mediante un modelo de unsolo grado de libertad. El ejemplo que elaboramos a continuacion nos muestra la aplicacion reiteradade la tecnica recientemente desarrollada.

Ejemplo 2.2. La Figura 2.9(a) muestra una barra empotrada en un extremo, la cual tiene longitudL, area transversal A, modulo de elasticidad E y masa distribuida por unidad de longitd m; siendoconsiderados estos valores parametricos todos constantes. Este elemento estructural es perturbado poruna carga dinamica distribuida en toda su longitud actuando segun direccion axial, invariable respectoa la posicion; pero de intensidad variable q(t) en el tiempo. Se desea hallar un modelo de parametrosconcentrados de un solo grado de libertad para analizar la vibracion uni–dimensional de este elementoestructural.

> Solucion

Podemos suponer que la configuracion de deformacion instantanea durante la vibracion es similar aaquella estatica que la barra presenta cuando se aplica una fuerza concentrada en su extremo libre,


(a) Sistema o prototipo real (b) Esquema de desplazamientos

Figura 2.9: Barra empotrada en vibracion longitudinal

como muestra la Figura 2.9(b). De la mecanica de materiales, sabemos que el desplazamiento axialinterno u(x) de un punto a una distancia x desde el extremo empotrado debe satisfacer la ecuaciondiferencial

d

dx

[EA(x)

du(x)

dx

]+ q(x) = 0 06x6 L (a)

donde el producto EA(x) es comunmente conocido como rigidez axial, y q(x) es la carga distribuidapor unidad de longitud aplicada sobre la barra (nula en el caso planteado, ya que la carga es con-centrada actuando en el extremo libre en el esquema de elaboracion de nuestro modelo). Esta es unaecuacion diferencial de segundo–orden; donde el desplazamiento axial solucion u(x) debe satisfacer doscondiciones de borde, una en cada extremo. Las condiciones de borde que se pueden identificar parael problema son:

u(0) = 0 , E Adu

dx

∣∣∣x=L

= F

donde la primera condicion de borde refleja el hecho que el desplazamiento debe ser nulo en el extremoizquierdo, por estar la barra empotrada en ese punto; y la segunda condicion de borde extremo estableceque el esfuerzo resultante proveniente de la tension normal interna en x = L esta balanceado por lafuerza externa F actuante en ese punto.

Puesto que la rigidez axial es constante, la ecuacion diferencial se reduce a:

d2u(x)

dx2= 0 06x6 L

con las mismas condiciones de borde ya identificadas. La solucion general de esta ecuacion es simple-mente,

u(x) = c0 + c1x

donde c0 y c1 son las constantes de integracion, las mismas que son evaluadas invocando las condicionesde borde dando como resultado: c0 = 0 y c1 = F/E A, de modo que la solucion llega a ser

u(x) =F

E Ax

Pero, en el otro extremo se debe cumplir: u(L)=δ=F

EAL; y de este modo, el campo de desplaza-

mientos internos podrıa escribirse como:

u(x) =FL

EA

( xL

)= δ

( xL

)expresion que comparada con: u(x) = δ φ(x), proporciona como funcion de interpolacion del campo dedesplazamientos internos a:

φ(x) =x

L(b)

Aquı, de manera implıcita, estamos escogiendo como grado de libertad del sistema al desplazamientodel extremo libre δ de la barra.


Ahora bien, la energıa cinetica del modelo de parametros concentrados es Tm = 12meq δ

2; en

cambio la energıa cinetica de la barra viene dada por T = 12

∫ L0dm [u(x)]2 = 1

2

∫ L0m [u(x)]2dx =

12 (∫ L

0m [φ(x)]2dx) δ2. Igualando ambas energıas, logramos determinar la expresion general de masa

equivalente del modelo

meq =

L∫0

m [φ(x)]2dx (c)

Si evaluamos esta integral utilizando la funcion de interpolacion hallada,

meq =

L∫0

m( xL

)2

dx =m

L2

L∫0

x2 dx =mL

3

es decir que solamente un tercio de la masa total de la barra se concentra en el extremo libre de lamisma para que exista equivalencia de energıa cinetica del modelo con el prototipo real.

Para conseguir el valor del coeficiente de rigidez equivalente equiparamos la energıa potencial acu-

mulada por deformacion. Para el modelo: Um = 12keqδ

2; en cambio para el eje: U = 12

∫ L0σ(x)ε(x) dV =

12

∫ L0

[E ε(x)]ε(x)A(x)dx = 12

∫ L0E [du(x)/dx]2A(x)dx = 1

2 (∫ L

0E [φ′(x)]2A(x)dx)δ2. Igualando ambas

expresiones, obtenemos para el coeficiente de rigidez equivalente del modelo:

keq =

∫ L

0

E [φ′(x)]2A(x) dx (d)

Aplicando esta expresion al caso particular en analisis, considerando A(x) = A (cte) 06x6L, yφ(x) = x/L, tendremos:

keq = E A

L∫0

(1

L

)2

dx =E A

L

Este resultado era previsible a partir de la condicion de borde de extremo derecho u(L) = δ = F LE A ,

hallada al plantear el campo de desplazamientos internos; pues por definicion: keq = F/δ = E A/L.Debe ser puntualizado que aunque este sea un sistema dinamico, la constante o coeficiente de rigidezes un concepto estatico que simplemente expresa la relacion carga – deformacion.

Para hallar la carga equivalente de exitacion externa actuante en el modelo, debemos equiparar eltrabajo mecanico inducido por la solicitacion aplicada, suponiendo que esta incrementa su magnitudgradualmente hasta llegar a su magnitud final. Para el modelo: Wm= 1

2Peqδ; en cambio para la estruc-

tura real W = 12

∫ L0q(x, t)u(x) dx= 1

2 (∫ L

0q(x, t)φ(x) dx)δ. Igualando ambas ecuaciones y comparando

terminos se obtiene:

Peq =

∫ L

0

q(x, t)φ(x) dx (e)

Aplicando esta ecuacion al caso particular nuestro:

Peq =

∫ L

0

q0(t)x

Ldx =

q0(t)L

2

lo que nos indica que solamente la mitad de la fuerza neta actuante sobre la barra se concentra en suextremo libre como carga equivalente.

Con este ultimo calculo hemos terminado de establecer todos los parametros dinamicos del modelode analisis de un solo grado de libertad. El modelo obtenido con todos sus elementos componentesequivalentes al sistema original que posee parametros dinamicos distribuidos se muestra en la Figu-ra 2.10(b).



meq = mL/3

keq = EA/L

Peq(t) = q0(t)L/2


Figura 2.10: Barra en vibracion longitudinal y modelo de parametros concentrados

Cuando se resuelve la ecuacion diferencial que gobierna el comportamiento del modelo matematicode analisis se obtiene como solucion δ = δ(t); es decir, la variacion temporal del desplazamiento vi-bracional del extremo libre de la barra. Y, mediante la funcion de interpolacion que fue identificadapara este caso se puede conocer la cinematica completa (posicion, velocidad y aceleracion) de cualquierpunto interno de este elemento durante la fase de duracion de la vibracion inducida por la exitacionexterna aplicada. >

Para el ejemplo resuelto anteriormente, la suposicion que la deformada elastica se asemeja a aquellaque se produce en condicion estatica debida a una fuerza concentrada actuante en el extremo libre dela barra; no es la unica posibilidad.

Como alternativa, podrıamos haber escogido una deformada debida a carga distribuida axial demagnitud constante y actuante sobre toda la longitud, lo que tendrıa mayor compatibilidad con lacarga de exitacion aplicada en este caso. Le sugerimos efectuar un nuevo calculo de los parametrosdinamicos adoptando esta sugerencia, y comparar los resultados obtenidos con aquellos del ejemploprevio.

Ejemplo 2.3. Un eje circular metalico de masa m, radio r, longitud L y modulo de elasticidadtransversal o modulo de Young G empotrado en un extremo, sostiene libremente en su otro extremoun volante circular de radio R y masa M . Ademas sobre el volante se aplica un momento torsorarmonico M(t) = M0 sin Ωt donde M0 es la amplitud y Ω la frecuencia de esta perturbacion, comose muestra en la Figura 2.11(a). Suponiendo que el sistema inicia su movimiento a partir del reposo,determinar la ecuacion diferencial que gobierna la vibracion torsional de este conjunto respecto al ejeaxial del mismo.

(a) Diagrama esquematico del sistema (b) Desplazamientos angulares en vibracion

Figura 2.11: Sistema eje–volante en vibracion torsional

> Solucion

Supondremos que la deformacion dinamica del eje tiene apariencia similar a la deformacion produ-cida en condicion estatica, y escogeremos la rotacion de extremo libre (donde esta acoplado el volante)como la coordenada generalizada o grado de libertad del sistema, del modo como se muestra en laFigura 2.11(b).

La dinamica de movimiento rotacional de un sistema de parametros concentrados esta gobernadabasicamente por la segunda ley de Newton en su forma angular:

MR = I α


donde MR =n∑i=1Mi es el momento resultante aplicado, I el momento de inercia masico polar neto,

y α la aceleracion angular. Pero, esta relacion fundamental no es aplicable al caso presente porquelos parametros dinamicos del eje estan distribuıdos a lo largo de su longitud; por esta razon debemosaplicar el metodo energetico para resolver el problema.

Considerando el eje circular sometido a solicitacion torsional, de la mecanica de materiales sabemosque el desplazamiento angular interno o rotacion ϕ(x) de una seccion transversal a una distancia x desdeel extremo empotrado, como es mostrado en la Figura 2.11(b), debe satisfacer la ecuacion diferencial

d

dx

[GJ(x)

dϕ(x)

dx

]+ η(x) = 0 06x6 L ()

donde G es el modulo de elasticidad transversal o al corte (modulo de Young), J(x) es el momento deinercia polar centroidal geometrico del area de la seccion transversal del eje (supuestamente variablecon la posicion axial), y η(x) es el momento torsor distribuido por unidad de longitud aplicado sobre eleje (de valor nulo en el caso planteado, ya que la carga aplicada es concentrada actuando en el extremolibre).

Notemos la similitud que tiene la Ecuacion () gobernante del comportamiento torsional del ejecircular que estamos analizando, con la Ecuacion (a) del Ejemplo anterior que gobierna el compor-tamiento de la deformacion axial de una barra esbelta. El aspecto matematico de ambas ecuacioneses identico, por lo que podemos afirmar que existe analogıa de ambos fenomenos fısicos. Ademas, ladisposicion de apoyos en ambos problemas tambien es similar; por lo que las condiciones de bordeextremo tambien son analogas. En conclusion podemos aseverar que los resultados obtenidos en elejemplo anterior son aplicables al problema que aquı nos preocupa. Para ello, simplemente debemosidentificar las variables y parametros que son analogos en ambos problemas.

Suponiendo constante el modulo de Young G, ası como tambien el momento de inercia polargeometrico J de la seccion circular transversal del eje; la ecuacion diferencial de comportamientomecanico de este elemento resulta:

GJd2ϕ

dx2= 0 ⇒ d2ϕ

dx2= 0

en virtud que: GJ 6= 0 y η(x) = 0. La solucion general de esta ecuacion diferencial es:

ϕ(x) = a0 + a1x (a0, a1 ctes)

Las condiciones de borde del problema pueden identificarse facilmente observando la Figura 2.11(b),y es evidente que estas son:

ϕ(x=0) = ϕ(0) = 0 ϕ(x=L) = ϕ(L) = θ

Aplicando estas condiciones obtenemos como solucion del campo de desplazamientos angulares internoso rotaciones de las secciones transversales alrededor de eje axial del eje, a la expresion:

ϕ(x) = θ( xL

)En condicion dinamica tendremos que: ϕ(x, t) = θ(t)φ(x), donde φ(x) es la funcion de interpolacion

que aproxima el campo de deformaciones angulares interno. Comparando con la solucion recientementeobtenida concluimos que en este caso: φ(x) = x

L . Este resultado era en realidad previsible puesto quees el mismo resultado obtenido en el Ejemplo anterior [vease la Ecuacion (b)]; por lo que la analogıamencionada anteriormente esta plenamente confirmada !.

El momento de inercia masico polar equivalente del eje puede ser evaluado mediante la siguienterelacion:

Iejeeq =

∫ L

0

iφ(x) dx =iL

3


donde i es el momento de inercia masico polar distribuıdo por unidad de longitud del eje (por analogıacon la Ecuacion (c) del Ejemplo anterior).

En el caso del problema aquı planteado, como el eje es considerado de propiedades materiales ygeometricas invariables a lo largo de su longitud, tendremos que:

i =Ieje

L⇒ Ieje

eq =Ieje

3=mr2/2

3=mr2

6

Como el volante esta ubicado en el extremo del eje, donde precisamente esta definido el grado delibertad del sistema, hace que su contribucion hacia la inercia equivalente del sistema sea directa; demodo que:

Ieq = Iejeeq + Ivol =

mr2

6+MR2

2

El coeficiente de rigidez torsional del eje circular lo podemos calcular aplicando la siguiente expre-sion:

kteq =

∫ L

0

G [φ′(x)]2 J(x) dx =GJ

L=G (π r4/2)

L=Gπ r4

2L

debido a la aplicacion de analogıa con la ecuacion (d) del Ejemplo anterior.La carga externa aplicada; o sea el momento torsor actuante sobre el volante, actua directamente

en el grado de libertad del sistema como perturbacion externa.Recordemos ahora que la ecuacion gobernante del modelo en vibracion forzada de un sistema de

un solo grado de libertad no–amortiguado en movimiento de traslacion es:

meq u(t) + keq u(t) = P (t)

Para movimiento vibratorio de caracter rotacional, por analogıa directa podemos escribir la siguienterelacion general:

Ieq θ(t) + kteq θ(t) = M(t) (♣)

Si aplicamos la ecuacion previamente establecida al presente problema, tendremos que la ecuaciongobernante del movimiento vibratorio rotacional del conjunto eje–volante sera en este caso:(

mr2

6+MR2

2

)θ(t) +

Gπ r4

2Lθ(t) = M0 sin Ωt (?)

con condiciones iniciales: θ(0) = θ0 = 0 θ(0) = θ0 = 0

La Ecuacion (?), aquı planteada, gobierna el movimiento angular rotacional del sistema eje–volantedurante la vibracion torsional que ocurre debido al momento armonico que se aplica como perturbacionexterna que obliga al sistema a oscilar desplazandose de modo angular perpendicularmente al eje axialdel conjunto. >

El metodo energetico recientemente desarrollado es tambien susceptible de ser aplicado a sistemasde elementos inter–conectados, los cuales de hecho son de parametros concentrados, con el objetivode hallar un modelo de un solo grado de libertad el cual represente el comportamiento dinamicovibracional de todo el conjunto. Un ejemplo muy simple de este tipo de sistemas es el que analizamosa continuacion.

Ejemplo 2.4. La Figura 2.12 muestra un par de cuerpos rıgidos de masas determinadas conectadosmediante cadenas inextensibles que se enrollan en la periferia de los pasos de una polea escalonada,de radios especificados, la cual tiene momento de inercia polar de magnitud conocida. Ambos cuerposademas se conectan a sendos resortes de coeficientes de rigidez conocidos. Este sistema, como es deimaginarse, al ser perturbado (mediante un desplazamiento inducido en cualquiera de sus elementos


Figura 2.12: Sistema vibracional de elementos inter–conectados

inerciales) desde su posicion de equilibrio estatico, efectua oscilaciones de manera libre (no existe nin-guna perturbacion externa). Se desea hallar un modelo de parametros concentrados equivalentes de unsolo grado de libertad para analizar la vibracion de todo este sistema.

> Solucion

Supongamos que inducimos un desplazamiento vertical x2 al cuerpo colgante de este sistema, queasumiremos es instantaneamente identico al desplazamiento de esta masa durante la fase de vibraciondel conjunto. Al hacerlo, es evidente que implıcitamente estamos induciendo desplazamientos tambienen los otros elementos inerciales (la polea escalonada y el otro cuerpo que tiene movimiento horizontal).

Escogeremos al desplazamiento inducido como el grado de libertad representativo del sistema. En-tonces, la energıa cinetica instantanea del conjunto de elementos inerciales que se hallan en movimientosimultaneo sera:

T = 12m1x

2

1 + 12Ipφ

2 + 12m2x

2

2 = 12mx

2

1 + 12Ipφ

2 + 12 (2m)x2

2

Pero, las ecuaciones de restriccion del sistema son: x1 = Rφ , x2 = 2Rφ ; de donde resulta: φ = x2/2Ry x1 = x2/2. Reemplazando en la ecuacion de la energıa cinetica:

T =1

2m

(x2

2

4

)+

1

2Ip

(x2

2

4R2

)+

1

2(2m)x2

2 =1

2

(m

4+

Ip4R2

+ 2m

)x2

2

=1

2

(9m

4+

Ip4R2

)x2

2

Si este resultado lo comparamos con la energıa cinetica del modelo, que es: Tm = 12meqx

22, obtenemos

como valor de la masa equivalente a la expresion:

meq =1

4

(9m+

IpR2

)La energıa potencial instantaneamente acumulada por proceso de deformacion de los elementos con

propiedad de elasticidad (los resortes) sabemos que es:

U = 12k1x

2

1 + 12k2x

2

2 =1

2k

(x2

2

4

)+

1

2(2k)x2

2 =1

2

(k

4+ 2k

)x2

2

En cambio, la energıa potencial acumulada por deformacion en el modelo es: Um = 12keqx

22. Igualando

estas dos expresiones de energıa de deformacion, obtenemos para el coeficiente de rigidez equivalentedel modelo al valor:

keq = 94k

2.3. CONCLUSIONES 33

Las expresiones de meq y keq halladas, constituyen los valores parametricos equivalentes de los ele-mentos del modelo de analisis que reemplaza a todo el sistema original de elementos inter–conectados.El diagrama esquematico del mismo es como aquel mostrado en la Figura 2.10(b), en el que debemosponer: δ = x2 y P (t) = 0 para que el mismo represente al sistema analizado. >

Este ultimo ejemplo muestra que cuando se realiza el proceso de modelado matematico de un siste-ma vibracional dinamico de elementos inter–conectados que tienen movimiento oscilatorio simultaneo,puede lograrse una reduccion hacia un sistema equivalente mucho menos complejo, el cual tiene unarepresentacion esquematica estandarizada que es la misma para todos los sistemas de un solo grado delibertad, sea este indistintamente de parametros dinamicos distribuidos o concentrados.

2.3. Conclusiones

Mediante los procedimientos de parametros concentrados o parametros consistentes es posible mo-delar un sistema mecanico o estructural real. Ambos procedimientos son aproximados y su utilizacionestara limitada ademas por otras consideraciones que no son claras en este momento; sin embargo con-viene en este punto hacer algunas observaciones, particularmente al metodo de parametros consistentesy esto se puede resumir como sigue:

— La ‘clave’ del exito radico en suponer que el campo de desplazamientos dentro el elemento (ennuestro ejemplo, la viga) se puede expresar como el producto del grado de libertad bajo analisisy una funcion adimensional con variacion espacial, esto es υ(x) = uφ(x).

— No se hizo ningun requerimiento o restriccion que deba cumplir la funcion de interpolacion φ(x);no obstante, esto estuvo presente siempre en forma implıcita: continuidad dentro el elemen-to, diferenciabilidad en el dominio de definicion, y cumplimiento de las condiciones de bordegeometricas de la deformacion.

— La existencia de la funcion de interpolacion φ(x) solo esta garantizada para condiciones estaticas ypara elementos estructurales donde es posible una determinacion ‘exacta’ del estado de equilibrio.Esto supone que el problema estatico asociado a la condicion dinamica del sistema en analisispueda ser soluble.Bajo condiciones dinamicas, φ(x) sera una funcion de los parametros dinamicos que a–priori noson conocidos, y por lo tanto sera necesario aproximarla por una relacion de tipo estatico, lamisma que solo es valida para deformaciones pequenas.En consecuencia, la masa, rigidez y todos los parametros dinamicos son solo aproximados perosuceptibles de correccion en algunos casos.

No se debe perder de vista que el modelo matematico de analisis obtenido por aplicacion de cualquierprocedimiento, sera siempre tan solo una representacion aproximada de la situacion real; esto en virtudde toda la serie de hipotesis simplificativas incluidas durante las diversas instancias de elaboracion delmodelo. A partir de este hecho, tambien debemos inferir que la solucion obtenida a partir de estemodelo sera tambien una aproximacion de la verdadera respuesta presentada por el sistema vibratorioreal, objeto del proceso de modelado.


2.1.La Figura adjunta muestra un sistema simple masa–resorte, en el que se supone que el resorte esta ca-racterizado con su correspondiente coeficiente de ri-gidez; pero, tambien posee propiedades inerciales ya


que se asume que tiene masa. Determine la porcion de masa del resorte que deberıa anadirse ala masa principal, de modo que se considere la inercia propia del resorte que se conecta a ella.

2.2.La Figura adjunta muestra un conjunto de resortes,de coeficientes de rigidez conocidos, que tienen com-portamiento lineal elastico en una disposicion de con-figuracion en serie. Demuestre que el coeficiente derigidez equivalente del resorte que los reemplaza vie-ne determinado por:

keq =1

n∑i=1

1ki

2.3.La Figura adjunta muestra un conjunto de resortes,de coeficientes de rigidez conocidos, en una disposi-cion de configuracion en paralelo. Demuestre que elcoeficiente de rigidez equivalente del resorte que losreemplaza viene determinado por:

keq =

n∑i=1

ki

2.4.Considerando vibracion segun direccion longitudinalde la masa conectada a un conjunto de resortes comoes mostrado en la Figura, determinar los parametrosdinamicos equivalentes del modelo de un solo gradode libertad.

2.5.En la Figura mostrada considere que: W = 200 Kg,k1 = 150, k2 = 100, k3 = 180 Kg/cm respectivamen-te. Determinar la deformacion estatica de cada unode los tres resortes componentes de este sistema.

2.6.


Repetir el procedimiento resumido en la Figura 2.5para el caso de una viga en voladizo con inerciaconstante. Suponga la funcion de interpolacion co-mo aquella asociada a la deformada elastica debidaa una carga concentrada actuante en el extremo li-bre. Son datos todos los mostrados en el esquema.

nota: Valor exacto: ω = 3, 516

√EI

mL4

2.7.Aplicar el procedimiento de parametros consistentesal problema mostrado en la Figura adjunta, donde sesuponen todas las variables mostradas como datos.Hallar todos los parametros equivalentes del modelomatematico de un solo grado de libertad, suponiendo

la funcion de interpolacion a utilizarse como sigue:

a) Deformacion elastica debida a una carga concentrada aplicada en el extremo libre.

b) Deformacion elastica debida a una carga de intensidad constante repartida en toda lalongitud.

c) Deformada aproximada mediante: φ(x) = 12 (1− cos πxL ).

2.8. Si en el problema anterior se supone que φ(x) = (x/L)2, que ocurre con la distribucion de mo-mentos flectores al interior de la viga ?. Razone meditadamente su respuesta.

2.9.Considere la viga doblemente empotrada mostra-da en la Figura y suponga que la deflexion verti-cal dinamica de la misma tiene el mismo aspectogeometrico que aquel que posee la viga cuando sobreella actua una carga estatica concentrada aplicada a

la mitad de su longitud. Identifique las condiciones de borde de la deformacion y suponga que elgrado de libertad utilizado para la construccion del modelo de parametros consistentes de un sologrado de libertad se define en el punto donde se aplica la carga. Plantee una funcion polinomicageneralizada del mismo orden que el numero de condiciones identificadas previamente, halle lasconstantes indeterminadas en esta relacion y determine la funcion de interpolacion asociada.

2.10. Si en el problema anterior se supone que φ(x) = α sin2 βx (α, β ctes). Determine el valor delas constantes de manera que la funcion de interpolacion general indicada sea apropiada paraevaluar los parametros dinamicos del modelo asociado de un solo grado de libertad.

2.11.En el esquema adjunto se muestra un volante circu-lar conectado al extremo de un eje tambien circular,que tiene su otro extremo empotrado. Este conjuntoesta sometido a dos momentos torsionales concentra-dos M(t) como es indicado. El eje tiene modulo de

Young G, momento de inercia polar (axial) Je y longitud L; mientras que el volante, en cambio,tiene momento de inercia polar J . Elaborar un modelo de parametros consistentes de un sologrado de libertad, que sirva para analizar la vibracion torsional de este sistema.

2.12.


Aplicando el metodo energetico determinar el coefi-ciente de rigidez equivalente del modelo de un gradode libertad asociado al sistema mostrado. Se elige eldesplazamiento horizontal del cuerpo como grado delibertad representativo de todo el conjunto de ele-mentos inter–conectados. Suponga las poleas de ma-sa despreciable y el cable que las rodea como inex-tensible,

2.13.En el esquema adjunto se muestra una varilla rıgidade peso W y longitud L, que esta conectada a un apo-yo articulado fijo en la posicion mostrada. Ademas,este cuerpo no–deformable en su extremo izquierdoesta conectado a un resorte de coeficiente de rigidezk1 y peso w1, y en su extremo derecho a otro resortede coeficiente de rigidez k2 y peso w2. Aplicando elmetodo energetico, determinar los parametros dina-

micos equivalentes del modelo de un solo grado de libertad que sea susceptible de ser utilizadopara analizar la vibracion de movimiento angular de este sistema.

Capıtulo 3

Sistemas de un grado de libertad

Aquı algo de texto (solo lo necesario).

3.1. Introduccion

Este capıtulo abarca uno de los aspectos fundamentales de la teorıa basica de la mecanica devibraciones, su importancia radica en el hecho que:

Muchos sistemas reales pueden ser aproximados con modelos de un solo grado de libertad, y lasolucion obtenida para ellos es una primera aproximacion de las caracterısticas primordiales delsistema en estudio.

Los sistemas lineales con numero multiple de grados de libertad pueden ser aproximados como unacombinacion de sistemas de un solo grado de libertad, y la solucion de estos modelos proporcionatambien una primera aproximacion de las caracterısticas predominantes de estos sistemas.

En consecuencia, el lector interesado debera proporcionar toda su atencion posible en el estudio delos diversos topicos que seran tratados aquı, de manera de obtener el mayor beneficio posible de estecapıtulo.

3.2. Ecuacion de movimiento

En el anterior capıtulo se realizo una introduccion a la tecnica de obtencion de modelos de unsolo grado de libertad, la mayorıa de los cuales tienen un arreglo de los parametros dinamicos comose ensena en la Figura 3.1(a), en la que suponemos al sistema en posicion vertical suspendido de unapoyo fijo e inmovil. Los parametros que caracterizan este modelo son los equivalentes concentradosque representan a los del sistema o prototipo real.

En la Figura 3.1(b) se muestra el diagrama de cuerpo libre segun el principio de D’Alembert (seincluye la fuerza de inercia), en la que se identifican las fuerzas activas en un instante generico durantela fase de movimiento del sistema.

El modelo incluye todos los tipos de energıa significantes, considerando tambien la exitacion dinami-ca externa P (t), que en este caso tiene las dimensiones de la carga aplicada.

El desplazamiento neto o total de la masa m en cualquier instante viene determinado por:

xt = x+ δest (3.1)

donde x es el desplazamiento a partir del punto de equilibrio estatico, y δest = W/k es el desplazamientoestatico, o deformacion estatica del resorte, debido al peso propio W .

37

38 CAPITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

(a) Esquema estandar (b) Fuerzas actuantes

Figura 3.1: Modelo de un grado de libertad

El principio de D’Alembert establece que: “ Todo problema dinamico puede convertirse en problemaestatico mediante la introduccion de las fuerzas inerciales que son generadas por el movimiento, demodo que en todo instante el sistema debe estar en equilibrio dinamico ”. Entonces para el movimientode traslacion se debe cumplir: (FR =

∑Fj = 0). En forma desarrolada,

Fi + Fc + Fk −W − P (t) = 0

Si ahora describimos a todas las fuerzas en funcion de las caracterısticas cinematicas instantaneas dela masa en movimiento, tendremos:

mxt + c xt + k xt −W − P (t) = 0

Usando la Ecuacion (3.1), derivando temporalmente la misma, y remplazando en la ecuacion anterior:

mx+ c x+ k x+ k δest = W + P (t)

Pero, como fue planteado: k δest = W , quedando finalmente:

mx+ c x+ k x = P (t) (3.2)

Esta relacion es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, cuyasolucion nos proporcionara el desplazamiento y su variacion temporal x = x(t) para el modelo de laFigura 3.1(a). Aquı remarcamos que el desplazamiento durante el movimiento de vibracion (estadodinamico), se mide a partir de la configuracion de equilibrio estatico.

Muchas veces los sistemas presentan varias coordenadas generalizadas que estan relacionadas entresı por restricciones de tipo geometrico. Si todas ellas son suceptibles de ser expresadas en funcion deuna sola de las mismas, entonces el sistema puede modelarse con un solo grado de libertad. El ejemplodesarrollado a continuacion nos muestra tal posibilidad.

Ejemplo 3.1. Una barra rıgida esbelta de longitud L y masa m esta articulada en el punto O comomuestra la Figura 3.2(a). Un resorte de coeficiente de rigidez k esta conectado a la barra en el puntoP, mientras que un amortiguados con coeficiente c esta conectado en el punto Q. Asumiendo desplaza-mientos de pequena amplitud, deducir la ecuacion diferencial gobernante de las vibraciones libres deeste sistema. Se sugiere usar u, el desplazamiento del punto P, medido desde la posicion de equilibrioestatico del sistema, como coordenada generalizada.> Solucion

3.2. ECUACION DE MOVIMIENTO 39

(a) Sistema vibratorio en analisis

(b) Configuracion estatica (c) Configuracion dinamica

Figura 3.2: Motor montado sobre vigas elasticas

Para establecer la posicion de equilibrio estatico del sistema, sumemos los momentos ejercidos por lasfuerzas respecto al punto de articulacion en base al esquema mostrado en la Figura 3.2(b)

∑Mo = kuest

3L

4−mg L

4= 0 ⇒ uest =

mg

3k(a)

En esta ecuacion no interviene la fuerza ejercida por el amortiguador que es proporcional a la velo-cidad relativa de sus extremos, por que ambos puntos estan inmoviles en la configuracion estatica deequilibrio.

Siendo consistentes con la hipotesis que los desplazamientos son de pequena amplitud, las lıneas deaccion de las fuerzas ejercidas por el resorte y el amortiguador se asumen verticales. De la Figura 3.2(a)podemos establecer que:

u =3L

4sinφ ∼=

3L

4φ ⇒ φ =

4u

3L(b)

donde hemos usado la aproximacion de la funcion seno de un angulo de reducida magnitud.En la Figura 3.2(a) mostramos el diagrama de cuerpo libre de la barra rıgida componente del

sistema en una configuracion dinamica generica durante la fase de movimiento oscilatorio. Incluımosla fuerza de inercia (fuerza de D’Alembert) debido a la traslacion del centro de masa (cm), ası comotambien el momento o cupla inercial (momento de D’Alembert) proveniente de la rotacion que tieneeste cuerpo rıgido. En cualquier instante, todas las acciones mostradas deberan estar en equilibriodinamico; por lo que podemos escribir de acuerdo al principio de D’Alembert:

∑Mo = Fk

3L

4+ FD’A

L

4−mg L

4+MD’A + Fc

L

4= 0

simplificando, 3Fk + FD’A −mg + 4MD’A/L+ Fc = 0 (c)

La fuerza proporcionada por el resorte es proporcional a su deformacion: Fk = k(u + uest). Lafuerza de D’Alembert proveniente del movimiento de traslacion del cm es: FD’A = maCM, siendo aCM

la aceleracion del centro de masa. El desplazamiento instantaneo que tiene el cm sera de acuerdo ala Figura 3.2(c): v = (u + uest)/3, de donde: aCM = v = u/3; entonces, FD’A = mu/3. El momentode D’Alembert proveniente de la rotacion es MD’A = ICMα, siendo ICM = mL2/12 el momento de


inercia centroidal de la barra y α = φ = 4u/3L la aceleracion angular instantanea. Por tanto nosqueda: MD’A = (mL2/12)(4u/3L) = mLu/9. Finalmente la fuerza ejercida por el amortiguador esFc = cv = cu/3.

Si reemplazamos todos los valores hallados en la Ecuacion (c), tendremos:

3k(u+ uest) +mu/3−mg + 4mLu/9L+ cu/3 = 0

simplificando, 3ku+ 3kuest + 7mu/9−mg + cu/3 = 0

Pero, de la Ecuacion (a): 3kuest = mg y los terminos que no dependen del grado de libertad relevantese cancelan. Eliminando dichos terminos de la ecuacion anterior, finalmente resulta que la ecuacion demovimiento en este caso es:

7m

9u+

c

3u+ 3 k u = 0 (d)

Aquı debemos enfatizar que el desplazamiento vertical ‘u’ empleado como coordenada generalizadaprincipal (grado de libertad relevante del sistema) es medido desde la configuracion de equilibrioestatico. >

En el ejemplo recientemente resuelto, la ecuacion gobernante obtenida puede ser escrita como:

meq u+ ceq u+ keq u = 0

donde meq = 7m/9, ceq = c/3 y keq = 3k ; la cual tiene el mismo aspecto matematico que la Ecua-cion (3.2), donde la exitacion externa aplicada al sistema es nula (P (t) = 0 ) como en realidad lo esen el ejemplo que recien resolvimos. De aquı concluimos que todo proceso de modelado de un sistemacon un solo grado de libertad conduce a una ecuacion gobernante del movimiento vibratorio que esanaloga a la Ecuacion (3.2), donde los parametros dinamicos de la misma corresponden a sus similaresequivalentes del sistema original.

Antes de intentar una solucion general de la Ecuacion (3.2), debemos analizar las formas simplifi-cadas de la misma con el objeto de definir parametros de respuesta importantes.

3.3. Movimiento no–amortiguado

En este tipo de movimiento se supone la ausencia de un mecanismo que disipe la energıa durante elmovimiento; se trata de un caso ideal ya que en la practica cualquier tipo de movimiento incluye siemprealgun mecanismo de disipacion de energıa por amortiguamiento debido a las fuerzas de rozamiento ofriccion. La relacion matematica que rige este caracterıstico tipo de movimiento se obtiene con lacondicion c = 0, en la Ecuacion (3.2)

mx+ kx = P (t) (3.3)

De acuerdo con la teorıa de ecuaciones diferenciales, la solucion de la Ecuacion (3.3) debe encararseen terminos de su ecuacion homogenea asociada:

mx+ kx = 0 (3.4)

la misma que define un estado de movimiento conocido como oscilacion libre, el mismo que pasamosa discutir a continuacion.

3.3.1. Oscilacion libre

Este movimiento esta definido por la Ecuacion (3.4), y se presenta cuando un sistema no–amortiguadoha dejado de ser exitado por una accion externa (P (t) = 0 ). Si re–escribimos la Ecuacion (3.4) en lasiguiente forma:

x+ ω2x = 0 (3.4a)

3.3. MOVIMIENTO NO–AMORTIGUADO 41

donde se ha tomado ω2 = k/m; la misma tiene como solucion general a la expresion:

x(t) = A cosωt+B sinωt

donde A y B son las constantes de integracion a determinarse a partir de las condiciones inicialesde movimiento. Si imponemos que el sistema en el instante inicial t0 comienza su movimiento concondiciones determinadas de posicion y velocidad iniciales (asumidas conocidas)

x(t0) = xt0 , x(t0) = xt0 (3.5)

la respuesta del sistema resulta ser:

x(t) = xt0 cosω(t− t0) +xt0ω

sinω(t− t0) (3.6)

Esta expresion es valida para cualquier valor de las condiciones iniciales al tiempo t0 de iniciarsela observacion del movimiento.

(a) f(x) = xt0 cosωt (b) g(x) = (xt0/ω) sinωt

Figura 3.3: Funciones componentes de la respuesta dinamica

Notamos que la solucion obtenida esta conformada por dos de las funciones trigonometricas masconocidas, las que son mostradas en la Figura 6.16. El movimiento total como lo indica la ecuacionobtenida es la superposicion de las dos curvas.

Frecuencia y periodo del movimiento

La Ecuacion (3.6) es una expresion que indica la superposicion de dos funciones periodicas cir-culares. Si consideramos cualquiera de ellas tendremos que recordar que su valor se repite cuando ladiferencia entre dos argumentos secuenciales es igual a 2π. Procediendo en ese sentido, se obtiene:

ω(t− t0 + T )− ω(t− t0) = 2π

De aquı:

T =2π

ω(3.7)

donde

ω =

√k

m(3.8)

La Ecuacion (3.7) establece una propiedad importante del sistema al que se lo denomina periodonatural del sistema (o estructura), y viene medido en segundos si ω se mide en rad/seg. El periodonatural es el intervalo de tiempo necesario para que el valor de magnitud de la respuesta se repita deforma identica en un tiempo posterior a partir de cierto instante anterior tomado como referencia.

La Ecuacion (3.8) define un otro parametro trascendental al que se denomina frecuencia naturalcircular del sistema, y sus unidades de medida son por lo general rad/seg. La interpretacion geometricaque tiene este parametro proviene de la representacion fasorial de las funciones trigonometricas.


Supongamos un fasor (vector rotacional) de magnitud A,el cual gire alrededor de su extremo inicial con velocidadangular constante ω, de modo que el desplazamiento an-gular del mismo en cualquier instante generico o angulosubtendido con relacion a uno de los ejes que pasa por elorigen del fasor esta determinado por: φ = ωt. Cuandoesta entidad geometrica se encuentra en una configura-cion generica cualquiera, las proyecciones sobre los ejesdeterminan las magnitudes instantaneas de las funcionestrigonometricas: A sin φ (proyeccion en el eje vertical) yA cos φ (proyeccion en el eje horizontal). Estas dos fun-ciones son precisamente las que aparecen en la respues-ta no–amortiguada en vibracion libre, determinada por laEcuacion (3.6). Por esta razon al valor parametrico ω selo denomina frecuencia natural ‘circular ’ del sistema.

Notemos que por la interpretacion de respuesta dinamica efectuada anteriormente, el tiempo nece-sario para completar un ciclo de movimiento completo es el periodo T del sistema. Un ciclo completosubtiende un angulo φ = 2π = ωT , de donde resulta: T = 2π/ω como se determino anteriormente.

A partir de la Ecuacion (3.7) es posible definir otro parametro; este se llama frecuencia natural yse define como el numero de oscilaciones completas efectuadas en la unidad de tiempo, por lo tanto:

f =1

T(3.9)

o, en su forma equivalente

f =ω

2π(3.9a)

En cualquiera de estas dos definiciones, el valor de su magnitud se mide en ciclos/seg. Se acostumbrautilizar la denominacion de Hertz para la unidad dimensional que mide la frecuencia natural; es decir,Hertz ≡ ciclos/seg.

Las distintas relaciones halladas [nos referimos a las Ecuaciones (3.7), (3.8) y (3.9)] estan todasrelacionadas, y el conocimiento de una de ellas implica el conocimiento de las tres; pero lo mas im-portante de su naturaleza es el hecho de que dependen de las propiedades intrınsecas del sistema(especıficamente de la inercia y la elasticidad).

La Figura 6.16 muestra en forma separada las graficas de las componentes de la respuesta, en ellasestan indicadas el periodo T (menor tiempo en el que se repite exactamente el movimiento) y el tiempot0 a partir del cual se inicia la observacion del fenomeno de oscilacion. Es obvio que el movimientoneto o total sera la superposicion de las dos componentes graficadas.

Una forma comoda de manejar la solucion, sobretodo para el calculo numerico, es la forma deno-minada respuesta en amplitud–fase.

Definamos el triangulo rectangulo mostrado en la Figura 3.4(a), del cual obtenemos las relaciones:

A =√x2

0 + (x0/ω)2 , x0 = A sinϕ , x0/ω = A cosϕ

Remplazando en la Ecuacion (3.6)

x(t) = A sinω(t− t0) cosϕ+A cosω(t− t0) sinϕ

Puesto que en general: sin(α−β) = sinα cosβ+cosα sinβ, la relacion anterior puede ser escrita como:

x(t) = A sin[ω(t− t0)− ϕ] (3.10)

donde: A =√x2

0 + (x0/ω)2 es la amplitud, y ϕ = arctan [x0/(x0/ω)] es el angulo de fase del movi-miento vibratorio. Un bosquejo de la grafica de la respuesta se muestra en la Figura 3.4(b), dondetambien se muestran la amplitud, el angulo de fase y el periodo.


(a) Angulo de fase (b) Variacion temporal del desplazamiento

Figura 3.4: Respuesta en vibracion libre no–amortiguada

Ejemplo 3.2. La barra rıgida mostrada en la Figura 3.5(a) tiene longitud total 3L, y se la considerade peso despreciable; sostiene tres masas m identicas (dos de las cuales se conectan a resortes de coe-ficiente de rigidez k conocido) y esta conectada a un apoyo articulado fijo en la posicion indicada. Sise supone que la configuracion horizontal esquematizada corresponde a la configuracion de equilibrioestatico, determinar: (a) La ecuacion de movimiento para oscilacion libre y (b) el periodo natural yparametros derivados asociados para el sistema.

(a) Sistema vibratorio en equilibrio (b) Diagrama de cuerpo libre

Figura 3.5: Barra rıgida con masas conectadas a resortes

> Solucion

Para plantear la ecuacion de movimiento es necesario identificar la coordenada a utilizarse en el analisiscomo grado de libertad del sistema. En este problema en particular se elige la rotacion con respecto alpunto de articulacion O. La ecuacion que describe el comportamiento dinamico es la segunda ley deNewton en su forma rotacional, ∑

Mo = Io φ (♠)

donde∑Mo es la sumatoria de momentos de las fuerzas actuantes respecto al punto de articulacion,

Io es el momento de inercia rotacional del sistema respecto tambien al eje de articulacion, y φ es laaceleracion angular rotacional instantanea del sistema.

La Figura 3.5(b) nos muestra un diagrama de cuerpo libre donde se indican los desplazamientosque ocurren para una configuracion instantanea generica y las fuerzas activas en ese mismo tiempo.∑

Mo = −(k u) 2L− (k v)L

Suponiendo las oscilaciones de muy pequena amplitud: u=2Lφ y v=Lφ. Remplazando en la relacionanterior y simplificando, obtenemos:∑

Mo = −(k 2Lφ) 2L− (k Lφ)L = − 5 k L2φ

El momento de inercia rotacional de las masas respecto al punto de articulacion es mas facil deevaluarse.

Io = m(2L)2 +mL2 +mL2 = 6mL2


Remplazando estos dos ultimos resultados en la Ecuacion (♠) se tiene:

− 5 k L2φ = 6mL2 φ

Ordenando esta ultima relacion, obtenemos la ecuacion de movimiento

6mL2 φ+ 5 k L2φ = 0

que podrıa ser expresada en terminos del desplazamiento vertical de una de las masas, digamos me-diante la relacion: v=Lφ. En funcion de esta nueva variable tendrıamos como ecuacion de movimientoequivalente:

6mv + 5 k v = 0 (†)

Observemos que si tomamos: meq = 6m, keq = 5 k , v = x ; esta ecuacion toma la forma:

meq x+ keq x = 0

que es exactamente la misma que la Ecuacion (3.4), lo que indica que para todo problema es posibledefinir masa y rigidez equivalentes.

La Ecuacion (†) podrıa ser escrita tambien en su forma estandarizada equivalente

v + ω2 v = 0 , ω2 =5 k

6m(‡)

Y, la frecuencia natural circular sale de la solucion general de esta ultima ecuacion; que como sabemoses superposicion de las funciones trigonometricas fundamentales en la forma:

v(t) = A cosωt+B sinωt = A cos

√5 k

6mt+B sin

√5 k

6mt

Por lo tanto:

ω =

√5 k

6m, T =

2π

ω= 2π

√6m

5 k, f =

1

T=

1

2π

√5 k

6m

Tambien la frecuencia natural circular podrıa haber sido obtenida directamente de la definicionbasica:

ω =

√keq

meq

=

√5 k L2

6mL2=

√5 k

6m

NOTA: Las constantes A y B en la solucion general planteada, se determinan a partir de las condi-ciones iniciales de movimiento del problema; en este caso particular la posicion y velocidad angularesiniciales [vease las Ecuaciones (7.49)]. >

Ejemplo 3.3. El pendulo de la Figura 3.6(a) consiste de una barra uniforme de 2 Kg de peso y 0,8 mde longitud suspendida de un pasador exento de rozamiento situado en uno de sus extremos. Determi-nar la frecuencia y el periodo propios de la oscilacion libre resultante cuando la barra es apartada desu configuracion de equilibrio y luego se la suelta. Considere que se producen oscilaciones de pequenaamplitud.

> Solucion

En la Figura 3.6(b) puede verse el diagrama de solido libre de la barra. Como el movimiento es derotacion en torno al eje fijo 0, podemos escribir la segunda ley de Newton en su forma rotacional:∑M0 = Iα = Iβ, lo cual requiere previamente el calculo del momento de inercia respecto al eje

rotacional.


(a) Sistema analizado (b) Fuerzas actuantes (c) Momento de inercia

Figura 3.6: Barra rıgida en movimiento oscilatorio

Denotando con ρ = dm/dl a la densidad lineal masica de la barra, el momento de inercia elementalesta definido por: dI = (dm)l2 = (ρ dl) l2 = (m/L) l2 dl considerando al cuerpo homogeneo (ρ=m/L).Integrando tenemos:

I =m

L

∫ L

0

l2 dl =m

L

L3

3=mL2

3

Tomando momentos repecto al eje de articulacion, las reacciones de apoyo no tienen ningun efectorotacional, por tanto: 1 ∑

M0 =−mg(L2 sinβ)

Remplazando en la segunda ley de Newton:

−mgL2

sinβ =mL2

3β

Pero si la amplitud de las oscilaciones es pequena, tambien lo sera el angulo β y se podra tomarsinβ ∼= β [rad]; con lo que la ecuacion del pendulo fısico se transforma ordenando y simplificando, a:

β +3g

2Lβ = 0

Comparando con la Ecuacion (3.4a) del modelo estandar, podemos identificar la frecuencia naturalcircular de oscilacion libre, y con ella evaluar el periodo y la frecuencia de movimiento; entonces,

ω =

√3g

2L=

√3(9, 81)

2(0, 8)= 4, 29 rad/seg

f =ω

2π=

4, 29

2π= 0, 683 rad/seg = 0, 683 Hz

T =1

f=

1

0, 683= 1, 465 seg

1 El signo negativo (−) proviene del hecho que el momento generado por el peso propio es contrario en sentido al delmovimiento angular asumido.


>Pueden compararse estos resultados con los correspondientes a un pendulo simple en el cual toda

la masa estuviera concentrada en el extremo de una varilla o cuerda sin masa de identica longitud.Le sugerimos resuelva este problema para efectuar la comparacion propuesta, y determine tambien elporcentaje de masa a ser concentrada en el extremo de la cuerda para obtener los resultados aquı ha-llados.

Ejemplo 3.4. La placa semicircular delgada de radio R es capaz de mecerse en contacto con lasuperficie horizontal rugosa, como se indica en la Figura 3.7(a). Suponiendo que no existe ningundeslizamiento del punto instantaneo de contacto, obtener la ecuacion diferencial de movimiento paraeste caso. Muestre que para oscilaciones pequenas, la placa se comporta como un oscilador armonicoy calcule la frecuencia natural del movimiento oscilatorio.

(a) Sistema en equilibrio estatico (b) Diagrama de cuerpo libre

Figura 3.7: Placa semi–circular oscilante

> Solucion

Este ejemplo nos permite deducir la ecuacion diferencial de movimiento para un sistema relativamentemas complicado que un sistema masa–resorte–amortiguador o un pendulo simple. Para establecer laecuacion de movimiento, permitamos que la placa delgada se incline en un angulo φ, y denotemos porcm el centro de masa del cuerpo y por a el punto de contacto de la placa con la superficie horizontalrugosa. La distancia entre el centro de curvatura de la placa semicircular y el centro de masa esdenotada como rc, donde como Usted puede comprobar en base al esquema de la Figura 3.7(a) seobtiene: rc = 2R/π.

La Figura 3.7(b) muestra un diagrama de cuerpo libre para el sistema en una posicion genericadurante la fase de movimiento. Siendo este un caso de movimiento plano, se dispone de tres ecuacionesque describen la dinamica de movimiento; especıficamente dos ecuaciones de movimiento traslacional yuna ecuacion de movimiento rotacional. En virtud que el punto a es en general un punto movil, escribi-remos la ecuacion de dinamica rotacional respecto al centro de masa. Esto introduce las componentesde la fuerza de contacto con la superficie rugosa (la fuerza normal y la fuerza de rozamiento) comoincognitas; pero las mismas pueden eliminarse si se operan adecuadamente las ecuaciones escalares demovimiento.

A partir de la dinamica de cuerpo rıgido en movimiento plano, las ecuaciones que gobiernan elcomportamiento son: ∑

Fx = max ,∑Fy = may ,

∑MCM

z = ICM α (a)

donde ax y ay son las componentes cartesianas del vector aceleracion instantanea del centro de masay α es la aceleracion angular instantanea de la placa semi–circular.

Para calcular el vector ~a, consideramos un sistema inercial de ejes x–y con el origen en el punto o,donde o y a coinciden cuando φ= 0 y en una configuracion generica durante la fase de movimiento


como es mostrada en la Figura 3.7(b), escribimos el vector posicion ~r del centro de masa desde o hastael cm en terminos de las componentes cartesianas como sigue:

~r = (−Rφ+ rc sinφ)ı+ (R− rc cosφ) (b)

donde ı y son los vectores unitarios segun las direcciones x y y respectivamente. Derivando tempo-ralmente dos veces, obtenemos el vector aceleracion del centro de masa:

~a = [ (−R+ rc cosφ)φ− φ2rc sinφ ]ı+ rc(φ sinφ+ φ2 cosφ) (c)

Los coeficientes de ı y se reconocen como ax y ay respectivamente.El momento de inercia de la placa semi–circular respecto del eje perpendicular al dibujo que pasa

por su centro de curvatura se demuestra que vale I=mR2, y por aplicacion del teorema de Stteinnerse demuestra que el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pasa a traves delcm da como resultado: Ic = m(R2 − r2

c ).Ahora, utilizando el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la Figura 3.7(b), y considerando

las Ecuaciones (a) y (c), las ecuaciones de movimiento pueden ser escritas en forma explıcita como:

F = m [ (−R+ rc cosφ)φ− φ2rc sinφ ]

N −mg = mrc(φ sinφ+ φ2 cosφ)

F (R− rc cosφ)−Nrc sinφ = m(R2 − r2c )φ

Despejando F y N de las primeras dos ecuaciones y remplazando en la tercera, se obtiene comoecuacion de movimiento:

2R(R− rc cosφ)φ+ φ2Rrc sinφ+ grc sinφ = 0 (d)

La Ecuacion (d) representa una ecuacion diferencial no–lineal de segundo orden. Claramente lasolucion trivial φ= 0, es una posicion de equilibrio. Proponemos linealizar esta relacion considerandooscilaciones de pequena amplitud alrededor del punto de equilibrio; lo cual implica que el movimientoestara restringido a valores pequenos de magnitud angular (φ→ 0). Para esta ultima condicion tenemosque se cumplen las aproximaciones: sinφ ∼= φ [rad] y cosφ ∼= 1. Mas aun, ignorando cualquier terminono–lineal en la Ecuacion (d); esto es, terminos de orden superior al primero (como φ2) y recordandoque rc=2R/π, obtenemos la ecuacion de movimiento linealizada:

φ+g

(π − 2)Rφ = 0 (e)

Comparando la Ecuacion (e) con la Ecuacion (3.4a), concluimos que para angulos pequenos enmagnitud, la placa semi–circular tiene comportamiento de oscilador armonico con frecuencia naturalcircular

ω =

√g

(π − 2)R(f)

Con este valor se puede calcular el periodo de las oscilaciones, ası como tambien la frecuencia delmovimiento armonico que se produce (ideal e hipoteticamente perpetuo). >

El anterior ejemplo requirio un desarrollo conceptual mas elaborado, pues fue necesario aplicar losprincipios basicos de la dinamica del cuerpo rıgido, en particular las ecuaciones de Newton y Euler,juntamente con la evalucion de propiedades geometricas y materiales de los cuerpos solidos.

Ejemplo 3.5. Para el portico de acero mostrado en la Figura 3.8(a), calcular el periodo de las oscila-ciones laterales horizontales naturales libres, considerando como datos conocidos: L=4, 5 m, a=6 m,E=2, 1×106 Kg/cm2, w=3000 Kg/m. Despreciar la energıa almacenada por deformacion axial de los


(a) Diagrama esquematico (b) Deformacion unitaria (c) Diagramas de cuerpo libre

Figura 3.8: Portico en oscilacion lateral libre

perfiles que hacen de elementos columna, y tambien despreciar el peso propio de los mismos.

> Solucion

Para hallar la frecuencia natural circular y posteriormente el periodo, es necesario hallar la masa yrigidez del modelo de un grado de libertad asociado al portico en analisis.

(a) masa — Como los elementos columna no poseen peso propio, solo consideramos la masa de la vigahorizontal que esta asociada al grado de libertad asignado a la estructura, entonces:

m =W

g=w a

g=

3000×6

9, 81= 1834, 9 Kg-seg2/m

(b) rigidez — De acuerdo con la definicion basica, es la carga necesaria a ser aplicada a la estructurade modo de lograr en la misma un desplazamiento lateral de magnitud unitaria para el grado delibertad escogido. La Figura 3.8(b) nos muestra un esquema que sirve para interpretar la definicionanterior.

Aplicando los metodos ordinarios proporcionados por la teorıa de la mecanica estructural a la formadesplazada del portico, se obtienen los esfuerzos internos mostrados en la Figura 3.8(c); donde Ustedpuede verificar los siguientes valores:

V = 11, 26E I/L3 , M = 5, 5E I/L2 , M0 = 5, 76E I/L2

La carga necesaria para deflectar lateralmente la estructura con desplazamiento unitario, es la sumade los esfuerzos cortantes mostrados en la Figura 3.8(c); por lo tanto:

k = 2V = 2×11, 26EI/L2 = 22, 52EI/L2

donde I corresponde al momento de inercia centroidal del perfil 8WF24, y es igual a 3433,91 cm4. Parael calculo tomamos la longitud como L= 4, 5 m y como modulo de elasticidad E = 2, 1×106 Kg/cm2

correspondiente al acero comercial. Realizando el calculo numerico:

k =22, 52 (2, 1×106) 3433, 91

4502= 1782, 13 Kg/cm = 178213 Kg/m

Con los valores previamente obtenidos, la frecuencia circular es por lo tanto

ω =

√k

m=

√178213

1834, 9= 9, 86 rad/seg


El periodo fundamental y la frecuencia natural resultan ser

T =2π

ω=

2π

9, 86= 0, 64 seg , f =

1

T=

1

0, 64= 1, 57 Hz

>Este ejemplo ha mostrado que en muchos casos es necesario aplicar conceptos teoricos que son ajenos

a la mecanica de vibraciones especıficamente, para hallar los parametros dinamicos del modelo asociadoa la situacion real en analisis. En particular, tuvimos que aplicar conceptos de mecanica estructuralpara evaluar la rigidez equivalente del portico, que resulto ser el doble del valor de rigidez de cada unade las columnas, porque las mismas tienen efecto de una disposicion de “resortes en paralelo”; no porsu configuracion geometrica, sino porque el desplazamiento lateral para ambos elementos estructuraleses el mismo (lo cual es caracterıstico de la disposicion de rigideces en paralelo).

Ejemplo 3.6. Un cuerpo de 10 Kg de peso cae desde una altura de 30 cm sobre el extremo libre de unaviga empotrada, quedandose conectada posteriormente a ella. La viga es de aluminio con peso linealw = 8 Kg/m, modulo de elasticidad E=8×105 Kg/cm2, longitud L = 80 cm, de seccion transversalde base b = 10 cm y altura a = 2 cm. En la Figura 3.9(a) se muestra un diagrama esquematico delsistema. Determinar la tension normal maxima que se presenta en la viga (en la seccion coincidentecon el empotramiento) durante el movimiento vibratorio que ocurre despues de que la masa impactasobre ella.

(a) Diagrama esquematico (b) Diagrama dinamico de cuerpo libre

Figura 3.9: Viga empotrada en vibracion libre no–amortiguada

> Solucion

Cuando en el extremo libre de una viga empotrada se aplica una fuerza puntual estatica, se demuestraque se produce una deformacion vertical en ese mismo punto determinada por la relacion:

δ =P L3

3E I⇒ P =

3E I

L3δ

comparando con la relacion carga – deformacion de un resorte lineal elastico equivalente P = keq δ,resulta:

keq =3E I

L3

El momento de inercia centroidal correspondiente a una seccion rectangular cuadrada es:

I =b a3

12=

10(2)3

12= 6, 66 cm4

Y, reemplazando en la ecuacion anterior,

keq =3E I

L3=

3 (8×105) 6, 66

803= 31, 22 Kg/cm

El peso lineal de la viga es conocido, y con este dato podemos calcular facilmente la masa lineal:

m =w

g=

8

9, 81= 0, 82 Kg-seg2/m2


La ecuacion de la deformada de la viga empotrada debida a una fuerza puntual estatica aplicada ensu extremo libre, como se puede demostrar esta asociada a la siguiente funcion de interpolacion:

φ(x) =

(3x2

L2− 2

x3

L3

)la cual cumple con todas las condiciones de borde extremo del problema, como puede comprobarse.

Por tanto, aplicando la tecnica de parametros dinamicos consistentes, la porcion de masa de vigaque se concentra en su extremo libre sera:

m∗ =

∫ L

0

m [φ(x)]2 dx =

∫ L

0

m

(3x2

L2− 2

x3

L3

)2

dx =13

35mL

Evaluando numericamente: m∗ = 1335 0, 82(0, 8) = 0, 244 Kg-seg2/m

La masa del bloque se puede calcular a partir del valor conocido de su peso propio;

m =W

g=

10

9, 81= 1, 019 Kg-seg2/m

Por tanto, la masa equivalente asociada al grado de libertad relevante del problema (desplazamientovertical del extremo libre de la viga) serıa:

meq = m∗ +m = 0, 244 + 1, 019 = 1, 263 Kg-seg2/m = 1, 263×10−2 Kg-seg2/cm

Habiendo calculado los parametros dinamicos del modelo matematico de analisis, podemos ahoraevaluar otros parametros; por ejemplo la frecuencia natural circular de las oscilaciones libres

ω =

√keq

meq=

√31, 22

1, 263×10−2= 49, 72 rad/seg

La ecuacion de movimiento del modelo de analisis en condicion de vibracion libre no–amortiguada,en su forma estandar, sabemos que es:

x+ ω2 x = 0

sujeta a condiciones iniciales de movimiento, las cuales debemos identificarlas acorde con las condicionesdel problema.

Suponiendo que la viga no esta flexionada en t = 0, cuando el bloque impacta sobre ella adquierecierta deflexion estatica en su extremo libre proveniente del peso propio de la masa equivalente actuanteen el grado de libertad escogido; entonces:

x(0) = x0 = δest =meq g

keq=

1, 263×10−2(981)

31, 22= 0, 397 cm

La velocidad con la cual el bloque impacta sobre la viga al caer desde una altura conocida es porcondicion de caıda libre:

v =√

2 g h =√

2(981)30 = 242, 61 cm/seg

y, como esta masa se mantiene acoplada a la viga luego del impacto, la velocidad inicial de conjuntosera pues la velocidad previamente calculada; es decir:

x(0) = x0 = v = 242, 61 cm/seg

La respuesta en vibracion libre del sistema en su forma amplitud–fase, esta determinada por:

x(t) = A sin(ω t− ϕ) , A =√x2

0 + (x0/ω)2 , ϕ = arctan[x0/(x0/ω)]

3.4. OSCILACION FORZADA NO–AMORTIGUADA 51

Evaluando:A = xmax =

√x2

0 + (x0/ω)2 =√

0, 3972 + (242, 61/49, 72)2 = 4, 89 cm

ϕ = arctan[x0/(x0/ω)] = arctan[0, 397/(242, 61/49, 72)] = 0, 081 rad = 4, 65

La aceleracion instantanea de movimiento se obtiene derivando temporalmente dos veces el despla-zamiento.

x(t) = −ω2A sin(ω t− ϕ)

Es claro por esta ecuacion que en cualquier instante la aceleracion es de sentido contrario al desplaza-miento, que las amplitudes maximas se dan simultaneamente, y que la amplitud de la aceleracion esproporcional a la del desplazamiento y es dada en su valor absoluto por:

xmax = ω2A = 49, 722(4, 89) = 12088, 46 cm/seg2

La Figura 3.9(b) nos muestra el diagrama dinamico de cuerpo libre en el instante en el que se pre-senta la amplitud maxima de desplazamiento (y tambien de aceleracion), y en este grafico se muestrantodas las fuerzas dinamicas incluıdas la fuerza y el momento de reaccion en el empotramiento ası comotambien la fuerza de D’Alembert o inercial.

El equilibrio rotacional instantaneo impone que el momento resultante sea nulo, por lo que debecumplirse: ∑

M = M + keq xL−meq(x+ g)L = 0

de donde, el momento en el empotramiento (de valor maximo) resulta:

Mmax = [meq (xmax + g)− keq xmax ]L

Mmax = [ 1, 263×10−2 (12088, 46 + 981)− 31, 22 (4, 89) ] 80 = 992, 12 Kg-cm

La tension normal maxima sobre la viga, en la seccion transversal ubicada en el empotramiento, escalculada aplicando la formula de flexion simple,

σmax =Mmax c

I=Mmax (a/2)

I=

992, 12(1)

6, 66= 148, 95 Kg/cm

2

>En el ejemplo que hemos resuelto, el valor de tension normal maxima que se presenta en la viga,

por cierto en su seccion de corte transversal mas peligrosa por la solicitacion interna actuante – enel empotramiento – es de magnitud pequena, ya que es mucho menor que el valor de tension normallımite de fluencia del material. Por tanto, podemos concluir que la tension normal dinamica maximaen la viga se mantiene dentro la zona lineal elastica del material !.

3.4. Oscilacion forzada no–amortiguada

Establecidos los conceptos que definen la oscilacion libre, estamos en condiciones ahora de encararla solucion de la Ecuacion (3.3). Los requerimientos sobre la funcion P (t) son solo la continuidad deesta relacion funcional en el intervalo de aplicacion temporal de la ecuacion diferencial gobernante delmovimiento vibratorio.

La solucion de la Ecuacion (3.3) se puede lograr por distintos procedimientos: la teorıa de lasecuaciones diferenciales, mediante transformadas integrales o mediante un razonamiento congruentecon el fenomeno fısico que representa la ecuacion. Con el solo objetivo de mostrar la coincidencia delos distintos tipos de aproximacion usados, encontraremos la solucion utilizando la teorıa de ecuacionesdiferenciales, y luego usando el razonamiento fısico.


3.4.1. Funcion de Green

La Ecuacion (3.3) puede ser escrita de la manera siguiente:

x+ ω2 x = P (t)/m (3.11)

despues de dividir entre la masa asociada con el modelo, a la que denominaremos “forma estandar” dela ecuacion de movimiento de la oscilacion forzada no–amortiguada. La solucion total de esta ecuacionsabemos que esta determinada por:

x = xL + xP (3.12)

donde:

xL es la solucion de la ecuacion diferencial homogenea (P (t) = 0) asociada: x + ω2 x = 0, envibracion libre.

xP es la solucion particular de la ecuacion diferencial forzada (P (t) 6= 0), debido a la exitacionexterna aplicada.

Claramente la solucion particular xP elegida debera tomar los siguientes valores de condiciones enel instante inicial t0 del movimiento,

xP (t0) = 0 , xP (t0) = 0 (3.13)

Aplicando estas condiciones a la Ecuacion (3.12), se tiene que en el instante inicial:

x(t0) = xL(t0) + xP (t0) = xL(t0)

x(t0) = xL(t0) + xP (t0) = xL(t0)

Esto significa desde el punto de vista fısico que la sola aplicacion de la carga no puede alterarsubitamente el movimiento del sistema. Ademas

x(t0) = xL(t0) = xt0

x(t0) = xL(t0) = xt0(3.14)

deben considerarse condiciones iniciales debidas a cualquier otro efecto. Una solucion xP (t) que cumplacon las condiciones iniciales nulas caracterısticas para esta solucion particular puede hallarse por mediode la siguiente relacion:

xP (t) =

∫ t

t0

K(t, τ)P (τ)

mdτ (3.15)

donde K(t, τ) se conoce como funcion de Green del problema de valores iniciales definido por lasEcuaciones (3.11) y (3.14), que es precisamente el problema de oscilacion forzada no–amortiguada.

La funcion de Green asociada al operador D2 + ω2 de la ecuacion de movimiento, se calcula por:

K(t, τ) =

∣∣∣∣ sinωτ cosωτsinωt cosωt

∣∣∣∣∣∣∣∣ sinωτ cosωτω cosωτ −ω sinωτ

∣∣∣∣ (3.16)

K(t, τ) =sinωτ cosωτ − sinωt cosωt

−ω

K(t, τ) =sinω(t− τ)

ω


La solucion forzada generalizada, establecida por la Ecuacion (3.15), resulta ser en este caso:

xP (t) =

t∫t0

sinω(t− τ)

ω

P (τ)

mdτ (3.17)

Es posible demostrar que la ecuacion (3.17) cumple las condiciones iniciales establecidas por lasEcuaciones (3.13). La solucion completa del problema es entonces la superposicion de las Ecuacio-nes (3.6) y (3.17); es decir:

x(t) = xt0 cos(t− t0) +xt0ω

sin(t− t0) +1

mω

∫ t

t0

P (τ) sinω(t− τ) dτ (3.18)

relacion que satisface plenamente el problema de valores iniciales planteado.De la Ecuacion (3.18) se deduce que es posible obtener la solucion de un problema cualquiera de

vibracion forzada no–amortiguada cualquiera sea la forma de la funcion perturbatriz P (t), incluso aunsi se la conoce numericamente.

Ejemplo 3.7. Encontrar la respuesta de un modelo masa–resorte lineal que parte del reposo, el cuales perturbado por una fuerza temporalmente variable P (t) de amplitud unitaria e igual a la funciondelta de Dirac. 2 (Este tipo de exitacion simula una carga de impacto – golpe subito – aplicada sobrela masa del sistema).

> Solucion

De acuerdo al planteamiento del problema, la ecuacion diferencial de movimiento a resolver es:

mx+ k x = δ(t) x(0) = 0 x(0) = 0

Aplicando la Ecuacion (3.18), la respuesta del sistema resultara ser:

x(t) =1

mω

∫ t

0

δ(τ) sinω(t− τ) dτ =1

mωsinω t

>Observemos que en el ejemplo aquı resuelto, la solucion encontrada es la funcion de Green definida

anteriormente excepto por la presencia de la masa que aparece en el denominador de la relacion hallada.

3.4.2. Respuesta mediante razonamiento fısico

La solucion que define la Ecuacion (3.18) es posible lograrla mediante un razonamiento basado enlas consideraciones fısicas del problema, y se la plantea como un metodo alternativo para verificar lavalidez de la solucion general hallada.

Sea un sistema vibratorio no–amortiguado forzado externamente, con condiciones iniciales conoci-das al instante inicial t0; y consideremos la aplicacion de un impulso de fuerza I aplicado al tiempo τ ,como se muestra en la Figura 3.10.

La aplicacion del principio dinamico de impulso–cambio de momentum lineal, establece que elimpulso de fuerza aplicado durante cierto intervalo de tiempo es igual al cambio del momentum linealproducido en el mismo intervalo temporal; por tanto se debe cumplir:

I∆τ = P (τ)∆τ = m∆x

2 La funcion delta de Dirac – impulso unitario aplicado en t = t0 – se define como:

δ(t) = 0 t 6= t0 ,

∫ ∞−∞

δ(t) dt = 1

Tambien cumple la propiedad:∫ b

aδ(t− t0)f(t) dt = f(t0) a < t0 < b


Figura 3.10: Carga externa variable aplicada al sistema

donde ∆x es el cambio en la velocidad instantanea producido en el intervalo de tiempo en el que tieneduracion el impulso aplicado que consideramos. De la ecuacion anterior,

∆xτ =P (τ)∆τ

m(3.19)

Pero, por la definicion basica de velocidad:∆x =

∆x

∆τ

entonces,∆xτ =

P (τ)

m(∆τ)2 (3.20)

La Ecuacion (3.20) nos indica que el cambio del desplazamiento al tiempo τ , en el que se aplicael impulso, es insignificante frente al cambio de la velocidad al mismo instante medido por la Ecua-cion (3.19); por lo que el incremento de movimiento forzado (o cambio en el desplazamiento debidoal impulso elemental de fuerza aplicado) del sistema a partir del tiempo τ viene dado por la Ecua-cion (3.6).

∆xP =P (τ)

mωsinω(t− τ) ∆τ

Pasando al lımite cuando ∆τ → 0,dxP =

P (τ)

mωsinω(t− τ) dτ

Debido a que pueden existir muchos impulsos entre t0 y t, su efecto puede evaluarse integrando laecuacion anterior entre los lımites de este intervalo finito de tiempo; es decir,

xP (t) =1

mω

∫ t

t0

P (τ) sinω(t− τ) dτ , t>τ (3.21)

La solucion total o completa considerando todos los efectos sera por lo tanto:

x(t) = xt0 cos(t− t0) +xt0ω

sin(t− t0) +1

mω

∫ t

t0

P (τ) sinω(t− τ) dτ

que coincide exactamente con la Ecuacion (3.18), hallada anteriormente.La solucion establecida por los dos procedimientos elegidos coincide, como se esperaba. La super-

posicion de impulsos nos llevo a la solucion encontrada mediante la funcion de Green. Esto mas elresultado del Ejemplo B.2 confirma el hecho de que la funcion de Green es la respuesta a un impulsounitario aplicado al sistema bajo estudio.

Ejemplo 3.8. Hallar la respuesta forzada del portico del Ejemplo 3.5, el cual es sometido a una cargalateral como es mostrado en la Figura 3.11(a), cuya variacion temporal se ilustra en la Figura 3.11(b).Este tipo particular de exitacion habitualmente es denominada “tipo escalon”, donde la amplitud de


(a) Diagrama esquematico (b) Variacion temporal de la carga aplicada

Figura 3.11: Portico en oscilacion lateral forzada

carga es: P0 = 2000 Kg y el tiempo de duracion: td = 0, 5 seg. Suponer que el sistema al instante inicial(t0 = 0) se encuentra en equilibrio estatico; o sea inicia su movimiento desde una condicion de reposo.

> Solucion

Las condiciones iniciales de movimiento se especifican como: x(0) = x0 = 0 y x(0) = x0 = 0. Encambio, la descripcion matematica de la funcion de carga es:

P (t) =

P0 0 6 t 6 td

0 t > td

En el analisis debemos considerar dos intervalos para la evaluacion de la respuesta del sistema:mientras dura la carga, y cuando la misma se hace nula. En consecuencia, las ecuaciones de movimientoserıan las descritas a continuacion:

mx+ k x = P0 0 6 t 6 td (a)

mx+ k x = 0 t > td (b)

La solucion de la Ecuacion (a) es:

x(t) =x0 cosωt+ x0

ωsinωt+

1

mω

∫ t

0

P0 sinω(t− τ) dτ

x(t) =1

mω

∫ t

0

P0 sinω(t− τ) dτ =−P0

mω

1

ωcosω(t− τ)

∣∣∣t0

x(t) =−P0

mω2(cosωt− 1) =

P0

mω2(1− cosωt)

Pero recordemos que: ω2 = k/m, entonces: mω2 = k y ademas denotemos como xest = P0/k a ladeformacion estatica provocada por la aplicacion de la amplitud de carga externa; de modo que lasolucion finalmente resulta,

x(t) = xest(1− cosωt) 0 6 t 6 td (c)

La Ecuacion (b) tiene la forma de relacion que gobierna una oscilacion libre; y en efecto ası es, yaque al termino de la aplicacion de la carga el movimiento restante es una oscilacion libre con condicionesiniciales que seran iguales a las condiciones finales (evaluadas en td = 0, 5 seg) del movimiento forzado.

Para obtener la solucion de la Ecuacion (b), las condiciones finales del movimiento forzado son:

x(td) = xest(1− cosωtd) , x(td) = ωxest sinωtd


Aplicando ahora la Ecuacion (3.6), con las condiciones iniciales recien calculadas, la solucion resulta:

x(t) = xest(1− cosωtd) cosω(t− td) + xest sinωtd sinω(t− td)

valida para t > td. Simplificando obtenemos:

x(t) = xest [ cosω(t− td)− cosωt ] t > td (d)

Las Ecuaciones (c) y (d) pueden ser escritas de la manera mostrada a continuacion,

x(t)

xest= fdc(t, ω) = 1− cosωt 0 6 t 6 td

x(t)

xest= fdc(t, ω, td) = cosω(t− td)− cosωt t > td

donde fdc(t, ω) se conoce como el factor dinamico de carga, y se define como la relacion del despla-zamiento dinamico comparado con un desplazamiento estatico debido a la aplicacion de alguna cargadeducible de la funcion de solicitacion o exitacion externa aplicada al sistema.

En situaciones de diseno estaremos interesados en los valores maximos del fdc, situacion que inves-tigaremos en su momento. Por ahora, simplemente nos quedamos con el concepto recien establecido.

Para concluir el analisis, del Ejemplo 3.5 obtenemos como valores necesarios para el calculo numeri-co: k = 1782, 13 Kg/cm y ω = 9, 86 rad/seg. Primero calculemos el desplazamiento estatico,

xest =P0

k=

2000

1782, 13= 1, 12 cm

Remplazando estos valores en las Ecuaciones (c) y (d), obtenemos:

x(t) = 1, 12 (1− cos 9, 86 t) 0 6 t 6 0, 5 seg

x(t) = 1, 12 (cos 9, 86(t− 0, 5)− cos 9, 86 t) t > 0, 5 seg

como respuesta dinamica de la variacion temporal de desplazamiento lateral (medido en cm) que tieneel portico en cualquier instante de tiempo (medido en seg). >

En el ejemplo resuelto se definio el factor dinamico de carga (fdc), que de acuerdo a lo establecidose ve que es una medida adimensional de la respuesta y es independiente de la carga aplicada. Se recalcaque sus valores maximos son los utilizados en el diseno, y constituyen el factor por el que se deberanmultiplicar todos los parametros de respuesta de un sistema, evaluados en condicion estatica, paraconocer la maxima respuesta dinamica de estos mismos parametros (cuando se produce la vibracion);por lo tanto:

Rmax din = Rmax est fdcmax (3.22)

donde R es variable asociada a la respuesta que puede ser un desplazamiento, tension normal, momentoflector, o cualquier otra variable de interes que sea calculada en base a la solucion de la ecuaciondiferencial gobernante de la dinamica vibracional del modelo asociado al sistema en estudio.

3.5. Movimiento amortiguado

La inclusion de un mecanismo de amortiguamiento es necesario en un modelo matematico pararepresentar el comportamiento real del sistema modelado. De los muchos tipos de amortiguamientoexistentes, escogeremos aquel conocido como amortiguamiento viscoso; por lo tanto la ecuacion demovimiento es la Ecuacion (3.2), correspondiente al modelo de la Figura 3.1, que aquı es repetida porcomodidad:

mx+ c x+ k x = P (t) (3.23)

donde P (t) representa la exitacion (fuerza) aplicada al sistema.

3.5. MOVIMIENTO AMORTIGUADO 57

3.5.1. Movimiento libre amortiguado

Si se supone que el efecto que dio origen al movimiento desaparece, la Ecuacion (3.23) se reducecon esta condicion y se convierte en:

mx+ c x+ k x = 0 (3.24)

la misma que define el movimiento libre amortiguado del sistema; su solucion de acuerdo con la teorıade ecuaciones diferenciales esta ligada a la naturaleza de las raıces de su ecuacion caracterıstica asociada

mr2 + c r + k = 0 (3.25)

La Ecuacion (3.25) es una expresion polinomica cuadratica, que tiene raices determinadas por:

r1,2 = − c

2m±

√(c

2m− k

m

)

r1,2 = − c

2m±√D

donde D se conoce como el discriminante de la ecuacion caracterıstica; el mismo que define los tiposde raıces que son solucion de la Ecuacion (3.25), definiendo tambien el tipo de movimiento que ocurre.

Movimiento sobre–amortiguado

Si el discriminante D de la ecuacion caracterıstica es mayor que cero, las raıces seran reales, nega-tivas y distintas; dando lugar a la siguiente solucion de la ecuacion de movimiento:

D > 0 ,( c

2m

)2

.k

m

r1,2 = − c

2m±

√(c

2m− k

m

)= − c

2m±√D

Sabemos que la solucion general es: x(t) = Aer1t +Aer2t

Entonces,x(t) = Ae( −c2m+

√D) t +Be( −c2m−

√D) t = e( −c2m ) t

(Ae√D t +Be−

√Dt)

o en forma equivalente:

x(t) = e(− c2m ) t

(A sinh

√D t+B cosh

√D t)

(3.26)

La solucion en este caso, de acuerdo con la Ecuacion (3.26) es una combinacion lineal de funcioneshiperbolicas, las cuales no tienen periodo real y en consecuencia no representan un movimiento osci-latorio, indicando ademas que el movimiento se anula despues de un tiempo infinitamente largo (portener un factor exponencialmente decreciente); por lo tanto al no definir un movimiento vibratorio, suestudio carece de interes para la tematica que estamos abordando.

Ejemplo 3.9. Hallar la respuesta de un sistema sobre–amortiguado que cumple las siguientes condi-ciones iniciales:

x(0) = x0 = 0 , x(0) = x0 6= 0

y esquematizar la curva desplazamiento vs tiempo, para:c

2m= 1, 5.

> Solucion


Aplicando las condiciones iniciales, podemos determinar a las constantes en la solucion,

x0 = 0 = e0(A sinh 0 +B cosh 0) = B ⇒ B = 0

x0 = e( −c2m ) 0(A√D cosh 0− c

2mA sinh 0

)= A√D ⇒ A =

x0√D

Por lo tanto, la solucion es:

x(t) =x0√D

e( −c2m ) t sinh√D t

Para dibujar la grafica podemos normalizarla y ası apreciar la amplitud relativa de la respuesta.Para ello, escribimos la solucon anterior como:

x(t)√D

x0

= e( −c2m ) t sinh√D t

En la Figura 3.12 se muestra la representacion visual de la ecuacion obtenida como solucion de esteejemplo.

Figura 3.12: Respuesta de sistema sobre–amortiguado

>La grafica obtenida del desplazamiento nos muestra con claridad que el movimiento resultante no

es una oscilacion !.

Movimiento con amortiguamiento crıtico

Este tipo de movimiento se presenta cuando el discriminante se anula, dando lugar a que las raıcesde la ecuacion caracterıstica sean reales, iguales y negativas. En consecuencia,

D = 0 ,( c

2m

)2

=k

m, r1,2 = r = − c

2m

y la solucion de la ecuacion de movimiento, como sabemos que en el caso de raıces repetidas, resulta:

x(t) = Aer t +B ter t

x(t) = Ae( −c2m ) t +B te( −c2m ) t

x(t) = e( −c2m ) t(A+B t ) (3.27)

La Ecuacion (3.27) indica claramente que el movimiento no es del tipo oscilatorio, y en consecuenciacarece de interes para los fines que perseguimos. De acuerdo con la respuesta obtenida para estecaso particular, se establece que se trata de un movimiento similar al que se presenta en un sistemasobre–amortiguado; sin embargo, define un parametro extremadamente importante, el cual pasamos aestablecer.


Fraccion de amortiguamiento crıtico El valor de coeficiente de amortiguamiento c que anulael discriminante de la ecuacion caracterıstica se denomina coeficiente de amortiguamiento crıtico. Sidenominamos cc a dicho valor caracterıstico, para esta condicion tendremos:

D =( cc

2m

)2

− k

m= 0

de aquı, cc2m

=

√k

m= ω

Por tanto, cc = 2mω = 2√km (3.28)

De la Ecuacion (3.28) se deduce que el coeficiente de amortiguamiento crıtico es una caracterısticapropia del sistema, al ser funcion de la masa y la rigidez. Esto permite definir el amortiguamientode todo sistema o estructura como una fraccion del amortiguamiento crıtico. Por lo tanto, si c es elcoeficiente de amortiguamiento que posee el sistema, su fraccion relativa o comparada al valor crıticoestarıa definida por:

β =c

cc=

c

2mω=

c

2√km

(3.29)

De esta definicion, para el movimiento con amortiguamiento crıtico se debera tener: β = 1. Es facildemostrar que para amortiguamiento super–crıtico (movimiento sobre–amortiguado) se debera cum-plir: β > 1.

En terminos del caso aquı tratado, el movimiento correspondiente al valor de amortiguamientocrıtico descrito por la Ecuacion (3.27), puede ser ahora escrita como:

x(t) = e−ω t(A+B t) (3.30)

Ejemplo 3.10. Hallar la respuesta de un sistema cuyo coeficiente de amortiguamiento es igual a suvalor crıtico. Suponer que las condiciones iniciales de movimiento en este caso son:

x(0) = x0 6= 0 , x(0) = x0 = 0

Asımismo bosquejar la grafica de la solucion obtenida.

> Solucion

De acuerdo al enunciado: c = cc, y por tanto β = 1. Para este caso particular es aplicable la Ecua-cion (3.30), que determina la respuesta del sistema. Evaluando las constantes,

x(0) = x0 = (A+B · 0) ⇒ A = x0

x(0) = x0 = 0 = B − ω(A+B · 0) ⇒ B = x0 ω

Por lo tanto, la solucion es:

x(t) = e−ω t(x0 + x0 ω t) = x0 e−ω t(1 + ωt)

A fin de obtener una apreciacion de la forma general grafica que tiene este tipo de respuesta,normalizaremos la solucion con respecto a la condicion inicial impuesta, del modo:

x(t)

x0

= e−ω t(1 + ωt)

Su representacion es mostrada en la Figura 3.13. >Aquellos sistemas en los que el discriminante de la ecuacion caracterıstica cumple: D > 0, tienen

fracccion de amortiguamiento crıtico β > 1; y por al analisis anterior presentan respuesta en vibracionlibre que no es armonica, o sea que en estos casos no se puede hablar de un movimiento vibratorio !.


Figura 3.13: Respuesta de sistema con amortiguamiento crıtico

Movimiento sub–amortiguado

Si el valor del discriminante es negativo, la ecuacion caracterıstica tiene raices complejas conjugadascon parte real negativa. Considerando este caso, la ecuacion de movimiento tiene la siguiente solucion:

D < 0 ,( c

2m

)2

<k

m

r1,2 =−c2m±√−D = − c

2m± i√k

m−( c

2m

)2

Utilizando la Ecuacion (3.29) que define la fraccion de amortiguamiento crıtico,

r1,2 = −βω ± i√ω2 − β2ω2 = −βω ± iω

√1− β2

Si denotamos como:ωa = ω

√1− β2 (3.31)

al parametro que llamaremos frecuencia natural circular amortiguada, obtenemos la ecuacion equiva-lente:

r1,2 = −βω ± iωaSabemos que en el caso de raıces diferentes de la ecuacion caracterıstica, la solucion general esta de-

terminada por:x(t) = Aer1t +Ber2t

Entonces, la solucion general de un sistema en vibracion libre sub–amortiguada es:

x(t) = Ae(−βω+iωa)t +Be(−βω−iωa)t

x(t) = e−βωt(Aeiωa t +Be−iωa t

)Utilizando la formula de Moivre, 3 se obtiene:

x(t) = e−βωt(A cosωat+B sinωat) (3.32)

De la definicion que hicimos de coeficiente de amortiguamiento crıtico, se establece que en movi-miento sub–amortiguado: β < 1; esta condicion en realidad permitio escribir la solucion de la ecuacionde movimiento como una combinacion de funciones trigonometricas circulares, las mismas que definenoscilaciones periodicas.

En consecuencia, la solucion de la Ecuacion (3.24) define un movimiento vibratorio y su formadefine la respuesta del sistema cuando oscila en forma libre, pero con el mecanismo de amortiguamiento

3 Segun el calculo en variable compleja, la formula de Moivre indica el cumplimiento de: e±iθ = cos θ ± i sin θ


presente. Resulta redundante indicar que las constantes en la Ecuacion (3.32) se determinan a partirdel conocimiento de las condiciones iniciales del problema.

La solucion hallada para el movimiento sub–amortiguado, especificada por la Ecuacion (3.32), sepuede escribir en su forma amplitud–fase como:

x(t) = Ce−βωt′cosωat

′ (3.33)

utilizando identidades trigonometricas y un juego de constantes adecuado [como es realizado en laobtencion de la Ecuacion (3.39)].

Figura 3.14: Respuesta en vibracion libre de un sistema sub–amortiguado

En la Figura 3.14 se muestra un esquema de la respuesta del sistema, expresada por la Ecua-cion (3.33). Sabemos que la funcion coseno se hace igual a la unidad cuando su argumento se anula,lo que sucede cuando t′ = 0; por lo tanto:

x(0) = x0 = C

y el movimiento queda definido como:

x(t) = x0e−βωt′cosωat

′ (3.34)

El valor x0 es el maximo desplazamiento del sistema a partir del tiempo inicial de observacion,en este caso t′ = 0. Debido a la naturaleza periodica de la funcion coseno, es claro que los maximossucesivos se repetiran a intervalos regulares de tiempo; es decir, toda vez que la funcion coseno tomevalor unitario. Este lapso de tiempo se calcula como sigue:

ωa(t′ + Ta)− ωa t′ = 2π

de donde,Ta =

2π

ωa(3.35)

Esta relacion define el parametro conocido como periodo natural amortiguado. Este nombre noes correcto, ya que por definicion periodo es el lapso de tiempo en el cual se repite exactamenteun movimiento; sin embargo debido a que el denominativo adjudicado es de uso estandarizado en


toda la literatura referida a las vibraciones mecanicas, lo mantendremos durante todo nuestro estudioposterior. De la ecuacion (3.35) se deduce que la frecuencia circular amortiguada se calcula por:

ωa =2π

Ta(3.36)

o por la Ecuacion (3.31) que re–escribimos aquı,

ωa = ω√

1− β2

De acuerdo con esta ultima relacion, se deduce que para un sistema amortiguado se debera cumplir:

ωa < ω

La frecuencia natural amortiguada, o sea el numero de oscilaciones completas de amplitud decre-ciente efectuadas en la unidad de tiempo, es por lo tanto:

fa =1

Ta(3.37)

Las Ecuaciones (3.36) y (3.37) tienen las mismas observaciones con respecto a su denominativo, quelas efectuadas para el periodo natural amortiguado; pero, como ya lo indicamos haremos caso omisode este minusculo detalle.

Como observacion adicional se puede acotar que para el movimiento sobre–amortiguado (β > 1),la Ecuacion (3.31) se hace imaginaria; reafirmando el hecho de que esta clase de movimiento no es deltipo vibratorio !.

Cuando imponemos condiciones iniciales al movimiento libre sub–amortiguado, suponiendo queestas se establecen en un instante inicial generico de observacion, como:

x(t0) = x0 , x(t0) = x0

podemos evaluar las constantes A y B en la Ecuacion (3.32). Procediendo ası, Usted podra demostrarque la solucion puede presentarse en la forma siguiente:

x(t) = e−βω(t−t0)

[x0 + βωx0

ωasinωa(t− t0) + x0 cosωa(t− t0)

](3.38)

que representa la respuesta libre de un sistema amortiguado con condiciones iniciales de movimientodefinidas al tiempo t = t0.

La solucion obtenida para el movimiento libre amortiguado, expresada por la Ecuacion (3.38), puedeser tambien presentada en su forma amplitud–fase. Para ello, definamos las relaciones siguientes:

A =

√x2

0 +

(x0 + βωx0

ωa

)2

, ϕ = arctan(x0 + βωx0)/ωa

x0

x0 = A cosϕ ,x0 + βωx0

ωa= A sinϕ

Haciendo uso de estas ecuaciones, la respuesta resulta:

x(t) =

√x2

0 +

(x0 + βωx0

ωa

)2

e−βω(t−t0) cos

[ωa(t− t0)− arctan

x0 + βωx0

ωax0

](3.39)

Resulta claro que debido a la presencia del termino exponencial, las oscilaciones libres en un sistemaamortiguado desaparecen con el tiempo y normalmente no se consideran en el calculo de la respuestacuando el sistema es forzado a vibrar mediante aplicacion de una exitacion externa; sin embargo, laEcuacion (3.38) [o su equivalente (3.39)] es de suma utilidad para evaluar el amortiguamiento presenteen el sistema en forma experimental.


Calculo de la fraccion de amortiguamiento crıtico Si un sistema es analizado durante su vi-bracion libre, es posible evaluar la cantidad de amortiguamiento presente mediante una medicion fısicade su respuesta. Consideremos para tal efecto la Ecuacion (3.34). Si x0 es la amplitud de movimientoal tiempo t′ = 0, y xn es la amplitud de respuesta al tiempo t′ = nTa; entonces de la Ecuacion (3.34)obtenemos:

x(nTa) = xn = x0e−βωnTa cosωa(nTa) = x0e−βωnTa

De aquı, xnx0

= e−βωnTa = e− 2π nβ√

1−β2 (3.40)

o lo que es lo mismo:x0

xn= e

2π nβ√1−β2

y, tomando logaritmos:ln

(x0

xn

)=

2π nβ√1− β2

(3.41)

Si consideramos dos amplitudes consecutivas, de la Ecuacion (3.41) se deduce:

dl = ln

(xnxn+1

)= lnxn − lnxn+1 =

2π β√1− β2

(3.42)

La ecuacion anterior define una caracterıstica muy importante, denominada decremento logarıtmico,la cual se define como la diferencia de los logaritmos naturales de dos amplitudes consecutivas.

En movimiento libre amortiguado, la solucion de la ecuacion diferencial gobernante del fenomenovibratorio es el desplazamiento, que resulta ser una funcion armonica exponencialmente decrecientecomo lo indica la Ecuacion (3.39). Es posible demostrar que la velocidad y aceleracion son propor-cionales al desplazamiento en cualquier instante de tiempo, por lo que la relacion de proporcion deamplitudes de estas variables cinematicas (la velocidad y la aceleracion) resulta identica a la proporcionde amplitudes del desplazamiento; o sea que:

dl = ln

(vnvn+1

)= ln

(anan+1

)=

2π β√1− β2

(3.42a)

En general mediante mediciones experimentales se puede determinar el decremento logarıtmico, yluego efectuar una estimacion de la fraccion de amortiguamiento crıtico empleando la Ecuacion (3.42)evaluada de forma inversa; o sea:

β =dl√

4π2 + dl2(3.43)

En particular, si consideramos un valor pequeno de fraccion de amortiguamiento crıtico (β → 0),se cumplira: √

1− β2 ∼= 1

Por lo tanto, tomando en consideracion la Ecuacion (3.42), tendremos:

dl ∼= 2π β (3.44)

Habiendose medido el decremento logaritmico, resulta elemental la estimacion de la fraccion deamortiguamiento crıtico. Por tanto, de la ecuacion anterior resulta:

β =dl

2π=

1

2πln

(xnxn+1

)(3.45)

Si β no es de magnitud despreciable, la Ecuacion (3.42) aun es aplicable con la dificultad de queeste valor parametrico estara dado como la solucion de una ecuacion algebraica de segundo grado. Sin


embargo, en la mayorıa de las aplicaciones, valores de fracccion de amortiguamiento crıtico β como0,25 (25 % de amortiguamiento) son todavıa despreciables en primera aproximacion.

Para tener una idea exacta de la correspondencia entre el decremento logarıtmico y la fraccion deamortiguamiento crıtico, en la Figura 3.15 mostramos la apariencia grafica de las Ecuaciones (3.42) y(3.44) para comparacion y verificacion de la aseveracion establecida en el parrafo anterior.

Figura 3.15: Grafica dl vs β (aproximada y exacta)

Si no se desea aplicar logaritmos naturales, y considerando valores de β pequenos, es posible elcalculo de la fraccion de amortiguamiento crıtico a partir de la Ecuacion (3.40) recurriendo al desarrolloen serie de McLaurin de la funcion exponencial como sigue:

xnx0

= 1− 2π nβ√1− β2

+ · · · (terminos despreciables)

De esta ecuacion obtenemos: 2π nβ√1− β2

∼=x0 − xnx0

(3.46)

Si consideramos la amplitud de movimiento en dos ciclos consecutivos, tendremos por inferencia:

xn − xn+1

xn=

2π β√1− β2

Ahora, considerando la fraccion de amortiguamiento crıtico de pequena magnitud (β 1)

2π β ∼=xn − xn+1

xn=

∆x

xn

β =1

2π

∆x

xn(3.47)

En razon de que la fraccion de amortiguamiento crıtico define la cantidad de amortiguamientopresente en el sistema, su valor se halla tabulado para directa aplicacion; sin embargo, su rango devariacion es amplio y no se conocen valores definitivos para este parametro.


Ejemplo 3.11. La estructura tipo portico del Ejemplo 3.5 es sometida a un ensayo para evaluarlos parametros dinamicos de amortiguamiento. Durante el ensayo se determino que la amplitud deldesplazamiento decae de 1 cm a 0,8 cm en 10 ciclos de movimiento. Determinar: (a) la fraccion deamortiguamiento crıtico; (b) el coeficiente de amortiguamiento; y (c) el numero de ciclos necesariopara que la amplitud del movimiento se reduzca al 10 % del valor inicial.

> Solucion

(a) Sabiendo que la amplitud del desplazamiento pasa de 1 cm a 0,8 cm despues de 10 ciclos demovimiento, y considerando la fraccion de amortiguamiento crıtico de magnitud pequena (β 1); apartir de la Ecuacion (3.41) obtenemos:

ln

(x0

xn

)=

2π nβ√1− β2

∼= 2π nβ

De aquı,β =

1

2π nln

(x0

xn

)=

1

2π 10ln

(1

0, 8

)= 0, 0036

%β = 0, 36 %

Para comprobar, podrıamos evaluar la Ecuacion (3.46)

2π nβ√1− β2

∼= 2π nβ =x0 − xnx0

por tanto,β =

1

2π n

(x0 − xn)

x0

=1

2π 10

(1− 0, 8)

1= 0, 0032

Los valores hallados casi coinciden; no obstante, el valor dado por la Ecuacion (3.41) aproximadase puede considerar mas exacto de acuerdo a las simplificaciones realizadas para deducir las formulascorrespondientes.

(b) El coeficiente de amortiguamiento se determina por aplicacion de la Ecuacion (3.29),

β =c

cc=

c

2mω

Del Ejemplo 3.5 obtenemos el valor de la masa: m = 18, 35 Kg-seg2/cm, y la frecuencia natural circular:ω = 9, 86 rad/seg. Con estos datos,

c = 2mω β = 2(18, 35)(9, 86)(0, 0036) = 1, 3 Kg-seg/cm

(c) El numero de ciclos necesario para que la amplitud de movimiento se reduzca al 10 % de su valorinicial, se determina nuevamente por aplicacion de la Ecuacion (3.41);

ln

(x0

xn

)=

2π nβ√1− β2

, xn = x0/10

Por tanto:n =

√1− β2

2π βln

(x0

x0/10

)=

√1− 0, 00362

2π 0, 0036ln 10 = 102 ciclos

>

nota: El valor de fraccion de amortiguamiento crıtico encontrado en el ejemplo anterior: β = 0, 36 %,es tıpico de las estructuras metalicas con uniones soldadas.


3.5.2. Forma estandar de la ecuacion de movimiento

Utilizando los parametros definidos en este capıtulo es posible escribir la ecuacion de movimientode una manera particular a la que comunmente se la denomina forma estandar. Para tal efecto,consideremos nuevamente el movimiento de un sistema general modelado con un solo grado de libertad,que fue establecida mediante la Ecuacion (3.2).

mx+ c x+ k x = P (t)

Los parametros de esta ecuacion correspondiente al modelo, son los valores equivalentes del prototipoobtenidos mediante el proceso de modelado. Dividiendo entre la masa resulta:

x+c

mx+

k

mx =

P (t)

m

pero; recordemos que: c/m = 2β ω , k/m = ω2 , y denotemos: P (t) = P (t)/m como la carga especıfi-ca externa (medida por unidad de masa) aplicada al sistema. Con estas ecuaciones, la ecuacion demovimiento modificada resulta:

x+ 2β ω x+ ω2 x = P (t) (3.48)

Esta es la forma estandar de la ecuacion de movimiento, la cual sera utilizada con frecuencia apartir de esta seccion.

Si empleamos la Ecuacion (3.48) para estudiar el movimiento libre amortiguado (P (t) = 0), laecuacion gobernante en este caso resulta:

x+ 2β ω x+ ω2 x = 0

sujeta a condiciones iniciales de movimiento. La ecuacion caracterıstica asociada es por tanto:

r2 + 2β ω r + ω2 = 0

cuyas raıces se determinan por la formula conocida,

r1,2 = −β ω ±√β2ω2 − ω2 = ω

(−β ±

√β2 − 1

)= ω

(−β ±

√D)

donde en este caso el discriminante de la ecuacion caracterıstica resulta ser: D = β2 − 1.Sabemos que la solucion general viene determinada por:

x(t) = Aer1t +Ber2t

donde A y B son constantes especificadas por las condiciones iniciales de movimiento, y cuya formafinal esta determinada por la naturaleza del discriminante. El movimiento podra ser:

sobre–amortiguado — D > 0 , β > 1 ⇒

r1 = ω(−β +

√D)

r2 = ω(−β −√D)

crıtico–amortiguado — D = 0 , β = 1 ⇒ r1 = r2 = −β ω

sub–amortiguado — D < 0 , β < 1 ⇒

r1 = ω(−β + i

√D)

r2 = ω(−β − i√D)

Si Usted continua con este desarrollo para los tres casos ya analizados a fin de obtener una soluciondesarrollada explıcita que involucre condiciones iniciales conocidas, comprobara que se obtienen lasmismas ecuaciones que anteriormente obtuvimos.


Ejemplo 3.12. La barra esbelta del Ejemplo 3.1 mostrada en la Figura 3.16(b) tiene un peso de30 kg y una longitud de 2 m. Una fuerza de 60 Kg es aplicada estaticamente a misma en P y luegoretirada. Las oscilaciones subsiguientes de P son monitoreadas y un osciloscopio suministra la graficade datos de aceleracion mostrada en la Figura 3.16(a) donde la escala de tiempo esta calibrada, perola escala de aceleracion no lo esta. Use los datos para hallar el coeficiente de rigidez k y el coeficientede amortiguamiento c. Tambien calibre la escala de aceleracion.

(a) Datos en osciloscopio

(b) Posicion inicial del sistema (c) Configuracion estatica

Figura 3.16: Barra en movimiento vibratorio libre amortiguado

> Solucion

En el Ejemplo 3.1 determinamos la ecuacion gobernante del movimiento oscilatorio (en vibracion libre)del sistema amortiguado que aquı tratamos:

7m

9u+

c

3u+ 3 k u = 0

Dividiendo entre el coeficiente de la derivada de orden mayor, podemos poner la ecuacion de movimientoen su forma estandar, ası tendrıamos:

u+3 c

7mu+

27 k

7mu = 0

de donde resulta,2β ω =

3 c

7m, ω2 =

27 k

7m(κ)

por comparacion con la ecuacion estandar generica:

u+ 2β ω u+ ω2 u = 0 (?)


Las condiciones iniciales de movimiento en este caso serıan:

u(0) = u0 6= 0 , u(0) = u0 = 0

por lo que la solucion general del movimiento oscilatorio libre, de acuerdo con la Ecuacion (3.39) es:

u(t) =

√u2

0 +

(u0 + βωu0

ωa

)2


[ωa(t−t0)− arctanu0 + βωu0

ωau0

]Recordando que: ωa = ω

√1− β2, la anterior ecuacion se simplifica a:

u(t) =u0√1−β2

e−βωt cos

(ωat− arctan β√

1−β2

)De esta ecuacion, se demuestra que la aceleracion instantanea resulta:

a(t) = u(t) = ω2(2β2 − 1)u0√1−β2

e−βωt cos

(ωat− arctan β√

1−β2

)= ω2(2β2 − 1)u(t) ()

es decir, que la aceleracion es proporcional al desplazamiento en cualquier instante de tiempo.El periodo natural amortiguado, o tiempo transcurrido entre dos “picos” consecutivos en la res-

puesta, esta determinado por lectura de los datos proporcionados en la pantalla del osciloscopio. De laFigura 3.16(a) obtenemos:

Ta = 0, 1 seg ⇒ ωa =2π

Ta=

2π

0, 1= 62, 83 rad/seg

es el valor de la frecuencia natural circular amortiguada.Sabemos que el decremento logarıtmico es la diferencia de los logaritmos naturales de dos amplitudes

consecutivas; es decir,

dl = lnun − lnun+1 = ln

(unun+1

)donde: un = u(t)

∣∣∣t=nTa

= u(nTa) , un+1 = u(t)∣∣∣t=(n+1)Ta

= u((n+ 1)Ta

)Por la proporcionalidad hallada entre aceleracion y desplazamiento en cualquier instante, podemos

tambien definir:

dl = ln

(unun+1

)= ln

(ω2(2β2 − 1)unω2(2β2 − 1)un+1

)= ln

(anan+1

)O sea, que el decremento logarıtmico estara tambien medido de forma equivalente por la diferenciade dos amplitudes consecutivas en la aceleracion de movimiento. En la Figura 3.16(a) podemos medirdicha discrepancia tomando las primeras dos amplitudes, entonces:

dl = ln

(anan+1

)= ln

(a(0)

a(0, 1)

)= ln

(3

2

)= 0, 405

Ahora, podemos realizar la estimacion de la fraccion de amortiguamiento crıtico empleando laEcuacion (3.43)

β =dl√

4π2 + dl2=

0, 405√4π2 + 0, 4052

= 0, 0643 = 6, 43 %

Y, tambien podemos comprobar el resultado obtenido utilizando la Ecuacion (3.44)

dl ∼= 2π β ⇒ β ∼=dl

2π=

0, 405

2π= 0, 0644


que nos indica que la fraccion de amortiguamiento crıtico es de un valor reducido (β 20 %) !.La frecuencia natural circular no–amortiguada puede ser ahora obtenida en base a la siguiente

relacion:

ωa = ω√

1− β2 ⇒ ω =ωa√

1− β2=

62, 83√1− 0, 06432

= 62, 96 rad/seg

La masa de la barra se calcula a partir del peso propio de la misma,

W = mg ⇒ m =W

g=

60

981= 0, 0612 Kg-seg2/cm

valor que permite calcular los parametros dinamicos del modelo de analisis del movimiento vibratorio.De las Ecuaciones (κ);

2βω =3c

7m⇒ c =

14

3mβω =

14

30, 0612 (0, 0643) 62, 96 = 1, 156 Kg-seg/cm

ω2 =27k

7m⇒ k =

7mω2

27=

7(0, 0612)62, 962

27= 62, 89 Kg/cm

El analisis estatico de la configuracion del sistema mientras actua la carga externa provee el despla-zamiento inicial x0 medido desde el equilibrio. En la Figura 3.16(c) mostramos el diagrama de cuerpolibre de la barra cuando es aplicada la fuerza inicial. Sumando momentos respecto al eje de articulacion,tenemos: ∑

Mo = [k(uest + u0)− F0]3L

4−mg

L

4= 0

Simplificando, 3 k uest + 3 k u0 − 3F0 −mg = 0

En la condicion de equilibrio estatico del sistema, previo al instante de aplicacion de la fuerza, esevidente que las condiciones son: F0 = 0 y u0 = 0, por lo que:∑

Mo = 3 k uest −mg = 0 ⇒ 3 k uest = mg

Remplazando esta relacion en la anterior ecuacion, se eliminan terminos asociados con la configu-racion de equilibrio y por tanto:

3 k u0 − 3F0 = 0 ⇒ u0 =F0

k=

60

62, 89= 0, 954 cm

es el desplazamiento inicial del sistema (recuerde que la velocidad inicial es nula).La aceleracion inicial a(0) = a0 la podemos determinar de la Ecuacion (?), es decir de la ecuacion

de movimiento al ser evaluada en el instante inicial t = 0,

a0 = a(0) = −2β ωu(0)− ω2 u(0) = −ω2 u0 = − 62, 962(0, 954) = − 3781, 62 cm/seg2

Podemos verificar este resultado por aplicacion de la Ecuacion (),

a0 = ω2 (2β2 − 1)u0 = 62, 962 [2 (0, 0643)2 − 1 ]0, 954 = − 3750, 35 cm/seg2

La discrepancia de estos dos ultimos resultados es atribuıble al manejo de un limitado numero de cifrassignificativas en el calculo numerico. Aceptaremos como valor mas confiable aquel que proporciona lasolucion de la ecuacion de movimiento.

La escala de aceleraciones de la grafica de datos de aceleracion mostrada en la Figura 3.16(a) puedeser calibrada por una simple relacion de proporciones,

1 [u]a =3750, 35 cm/seg

2

3⇒ 1 [u]a = 1250, 16 cm/seg

2


Entonces, por ejemplo tendrıamos que:

a(0, 15 seg) = a0,15 = 1, 75[u]a

1250, 16 cm/seg2

1[u]a

= 2187, 78 cm/seg2

serıa la verdadera aceleracion del punto P a los 0,15 seg de haberse iniciado el movimiento. >

El anterior ejemplo mostro la aplicacion de los diversos conceptos desarrollados hasta esta seccion,y el mismo tiene el merito de exponer una metodologıa basica de evaluacion de diversos parametrosde respuesta dinamica en base a datos de medicion experimental.

3.6. Movimiento forzado amortiguado

La presencia de una exitacion en el movimiento, permite que este se sostenga debido a la energıaproporcionada por la carga externa aplicada. Su efecto se evalua en una forma similar que para el casode un sistema con modelo sin amortiguamiento.

En una correspondencia totalmente analoga es posible llegar a la solucion del problema aplicandolos recursos que proporciona la teorıa de ecuaciones diferenciales, como tambien el metodo alternativomediante la superposicion de impulsos. Para encontrar la solucion emplearemos la segunda opcion,dejando como tarea de ejercicio al estudiante la obtencion de la funcion de Green correspondiente alaplicar la teorıa clasica de las ecuaciones diferenciales.

3.6.1. Respuesta mediante razonamiento fısico

Sea un sistema, el cual tenga detetrminadas condiciones iniciales al tiempo inicial de observaciont0. Supongase la aplicacion de un impulso al tiempo τ (vease la Figura 3.10). El efecto del impulsoaplicado, como en el caso ya tratado, es proporcionar un cambio en la velocidad del sistema sin quese altere el desplazamiento en forma apreciable (se demostro que este es un infinitesimo de segundoorden); entonces, como en el caso de vibracion no–amortiguada:

∆x = 0 , F (τ)∆τ = m∆x ⇒ ∆x =F (τ)∆τ

m

Considerando estas relaciones como condiciones iniciales, el desplazamiento posterior del sistemase calcula utilizando la Ecuacion (3.38); por tanto:

∆xp(t) = e−βω(t−τ) ∆x

ωasinωa(t− τ) = e−βω(t−τ) P (τ)∆τ

mωasinωa(t− τ)

En el lımite cuando ∆τ → 0, esta ecuacion se convierte en:

dxp(t) = e−βω(t−τ) P (τ)

mωasinωa(t− τ) dτ

El desplazamiento total se calcula a partir de esta ecuacion, integrandola desde el instante inicialde observacion t0 hasta el instante generico de interes t; para ası superponer el efecto de todos losimpulsos elementales proporcionados al sistema por la carga externa aplicada al mismo. Luego,

xp(t) =1

mωa

∫ t

t0

e−βω(t−τ) P (τ) sinωa(t− τ) dτ t > τ (3.49)

La solucion obtenida descrita por la Ecuacion (3.49) es completamente general, y es aplicable atodos los sistemas vibratorios de comportamiento dinamico lineal.

3.6. MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO 71

Recordando que la solucion total de una ecuacion diferencial es la superposicion de la solucionde la ecuacion homogenea asociada (en vibracion libre) y la respuesta debida a la exitacion extenaaplicada (denominada tambien solucion forzada); podemos ahora escribir la solucion completa para elmovimiento del sistema, del modo aquı mostrado:


[x0 + βωx0


]

+1

mωa

∫ t

t0

e−βω(t−τ) P (τ) sinωa(t− τ) dτ t > τ

(3.50)

donde x(t0) = x0 y x(t0) = x0 son la posicion y velocidad iniciales, respectivamente.En la practica, sin embargo, las oscilaciones libres desaparecen con el tiempo (debido al amorti-

guamiento presente) y la solucion efectiva estara dada solamente por el termino integral de la Ecua-cion (3.50) que involucra a la exitacion externa aplicada al sistema.

Ejemplo 3.13. Considerando el valor de fraccion de amortiguamiento crıtico hallado en el Ejemplo3.11, resuelva nuevamente el problema planteado en el Ejemplo 3.8 consistente en hallar la respuestaforzada de una estructura tipo portico sujeta a una exitacion de clase escalon con los mismos datos es-tablecidos; pero ahora considere la existencia de amortiguamiento en el sistema. Nuevamente supongaque la estructura inicia su movimiento desde una condicion de reposo.

> Solucion

En el Ejemplo 3.8 se especificaron los siguientes valores: Amplitud de carga P0 = 2000 Kg, Tiempo deduracion td = 0, 5 seg. En el Ejemplo 3.5 tambien se establecio la Frecuencia natural circular ω = 9, 86rad/seg. Y finalmente, en el Ejemplo 3.11 se determino como valor de la Fraccion de amortiguamientocrıtico β = 0, 36 %. Suponiendo que el tiempo inicial de observacion corresponde a t0 = 0, las condicionesiniciales de movimiento serıan:

x(t0 = 0) = x(0) = x0 = 0 , x(t0 = 0) = x(0) = x0 = 0

Como lo hicimos en el Ejemplo 3.8, debemos considerar dos intervalos de tiempo para el analisisde movimiento del sistema:

(a) movimiento forzado amortiguado:

x+ 2βωx+ ω2x = P (t) , P (t) =P0

m0 < t < td

ci de mov: x(0) = x0 = 0 , x(0) = x0 = 0

(b) movimiento libre amortiguado

x+ 2βωx+ ω2x = 0 t > td

ci de mov: x(td) = xtd , x(td) = xtd

En el primer intervalo de tiempo: 0 < t < td, la respuesta del sistema esta determinada por laEcuacion (3.50).


[x0 + βωx0

ωasinωa(t− t0) +x0 cosωa(t− t0)

]

+1

mωa

∫ t

t0

e−βω(t−τ) P (τ) sinωa(t− τ) dτ


x(t) =P0

mωa

∫ t

0

e−βω(t−τ) sinωa(t− τ) dτ

Integrando, como se puede comprobar, se obtiene:

x(t) =P0

mω2

[1− e−βωt (cosωat+

βω

ωasinωat)

]Pero, ω2 = k/m ⇒ mω2 = k y ademas P0/k = xest, donde este parametro tiene el mismo significadoque para el caso de oscilacion no–amortiguada. Ası, la respuesta del sistema en este intervalo de tiempoestara determinada por:

x(t) = xest

[1− e−βωt (cosωat+

βω

ωasinωat)

]0 < t < td (a)

fdc(t, β, ω) =x(t)

xest= 1− e−βωt (cosωat+

βω

ωasinωat) (a -1)

Para el segundo intervalo de tiempo: t > td, la respuesta del sistema esta determinada por laEcuacion (3.38).

x(t) = e−βω(t−td)

[xtd + βωxtd

ωasinωa(t− td) + xtd cosωa(t− td)

](b)

donde xtd = x(td) y xtd = x(td) se determinan en el instante final del primer intervalo de tiempo, pormedio de la Ecuacion (a).

fdc(t, β, ω, td) =x(t)

xest= e−βω(t−td)

[κtd + βωκtd

ωasinωa(t− td) + κtd cosωa(t− td)

](b -1)

donde:κtd = 1− e−βωtd

(cosωatd +

βω

ωasinωatd

), κtd =

(β2ω2

ωa+ ωa

)e−βωtd sinωatd

En razon de que para el diseno estaremos interesados en el valor maximo del factor dinamico decarga (fdcmax); este se hallara en general graficando la respuesta o resolviendo la ecuacion trascendenteque da lugar el igualar la primera derivada temporal del fdc a cero para encontrar el instante de tiempoal cual ocurre el valor fdcmax.

Sin embargo, para este caso se puede suponer que el maximo ocurre durante el primer intervalo detiempo para ωat = π (por que ?); entonces obtenemos remplazando en la Ecuacion (a -1):

fdcmax = 1 + e−βωπ/ωa = 1 + e−βπ/√

1−β2

Introduciendo datos, fdcmax = 1 + e−0,0036π/√

1−0,00362= 1, 989

valor que indica que el primer maximo no es afectado substancialmente por la presencia del amorti-guamiento. En consecuencia, se puede suponer un valor igual a 2 como cota maxima del fdc. >

En el Ejemplo 3.8 se resolvio el problema que trata el ejemplo anterior, sin considerar amortigua-miento en el sistema. Para el mismo intervalo de tiempo obtuvimos para el fdc la expresion

fdc(t, ω) = 1− cosωt 0 < t < td

Pero, recordemos que la amplitud de la funcion cosωt varıa en el intervalo −1 6 cosωt 6 1; por tanto,tomando el lımite inferior:

fdcmax = 1− (−1) = 2


que nos indica que cualquier variable de respuesta de tipo estatico, en el sistema no–amortiguado,calculada con la amplitud de la carga aplicada; se duplicara en magnitud durante la condicion dinamicade vibracion de la estructura. Esta misma conclusion fue la que determinamos en base a los resultadoshallados para el sistema amortiguado en el Ejemplo 3.13 que recien resolvimos. Entonces, para losdatos utilizados en el analisis de comportamiento de esta estructura tipo portico, el amortiguamientono tiene ningun efecto en la magnitud maxima de las diversas variables asociadas con la respuestadinamica.

3.7. Conclusiones

En este capıtulo se han obtenido expresiones totalmente generales para los diferentes tipos demovimiento de sistemas modelados con un solo grado de libertad. Se establecieron definiciones delos parametros fundamentales de la respuesta dinamica de sistemas sin amortiguamiento y tambienamortiguados.

La respuesta en vibracion forzada de los sistemas vibratorios de un solo grado de libertad seobtuvo en aspecto generico en terminos de integrales convolutivas que incorporan la funcion de Green,las mismas que son muy frecuentemente difıciles de evaluar aun para funciones de exitacion sencillas.Sin embargo, siempre queda el recurso de su calculo mediante metodos numericos; siendo que este tipode aproximacion sera discutido posteriormente con algun detalle en razon de su importancia practicay el creciente acceso que se tiene a los metodos de calculo automatico mediante computador.

La tematica referida a la respuesta dinamica maxima presentada por el modelo a la aplicacionde diversos tipos de exitaciones externas, evaluada mediante el calculo del factor dinamico de cargamaximo, sera discutida con relativo mayor detalle en los proximos capıtulos.


3.1.Un eje empotrado en ambos extremos sostiene unamasa concentrada a la mitad de su longitud, como semuestra en la Figura adjunta. Calcular la frecuencianatural circular de este sistema donde se escoge eldesplazamiento vertical de la masa concentrada co-mo grado de libertad relevante, y considerando comodatos a todas las variables mostradas en el esquema.

3.2.Para medir el momento de inercia polar centroidal J(referido a un eje perpendicular al dibujo que pasepor el cm) de una rueda de automovil – neumaticoy aro – se lo cuelga de un apoyo y se mide el periodonatural no–amortiguado de sus oscilaciones. Deter-minar una formula que permita medir este parame-tro. Los datos necesarios se dan en el esquema.

3.3.Asumiendo amplitud de desplazamiento angular pe-quena y utilizando la rotacion como coordenada ge-neralizada, hallar la ecuacion diferencial gobernantede la oscilacion del sistema mostrado en la Figura.Hallar tambien el periodo natural de vibracion. Con-sidere datos a todas las variables indicadas.


3.4.En un tubo manometrico en U cuyo diametro internoes d = 6 mm, se vacıa mercurio de peso especıficorelativo s = 13,6; de modo que en condicion estaticaen las ramas verticales este lıquido alcance una alturah = 60 cm. En uno de los extremos se instala untapon y el aire atrapado en su interior incrementa supresion hasta llegar al valor: p = 1, 08 Kg/cm2. Si enun instante determinado subitamente se retira el ta-

pon, determinar: (a) El desplazamiento instantaneo x(t) de la interfase mercurio–aire, con respec-to al nivel en condicion de equilibrio (b) El periodo natural de las oscilaciones. (c) La velocidady aceleracion maximas del mercurio durante el movimiento oscilatorio producido.

3.5.El pendulo invertido es un modelo simple que es usado en estudios de estabilidadde sistemas de naturaleza inestable como un cohete. Considere que el penduloconsta de una masa concentrada m conectada a una varilla rıgida sin peso delongitud L, la cual esta articulada en uno de sus extremos y restringida en sumovimiento angular por un resorte torsional cuyo coeficiente de rigidez es k

t,

como muestra la Figura. (a) Determinar la ecuacion gobernante del movimientooscilatorio. (b) Obtener una expresion para la frecuencia natural circular de laspequenas oscilaciones alrededor de la posicion vertical de equilibrio. (c) Bajoque condiciones dichas oscilaciones no seran posibles ? (es decir, el sistema sehace inestable).

3.6.En el sistema mostrado en la Figura, considerela barra rıgida a–b de masa despreciable y labarra rıgida homogenea c–d de masa conoci-da. Determinar la ecuacion diferencial gober-nante de su comportamiento dinamico, y cal-cular la frecuencia amortiguada de vibracion.Los datos necesarios se indican en el esquema.

3.7. Una viga de acero comercial (perfil 18WF50) simplemente apoyada en sus extremos, tiene modu-lo de elasticidad E = 2×106 Kg/cm2, longitud L = 3 m, peso propio longitudinal w = 40 Kg/m,y momento de inercia centroidal I = 10 cm4; soporta una carga rıgidamente conectada a lamitad de su longitud. Concentrar la mitad de la masa a la mitad del tramo y una cuarta partede la misma en cada apoyo. Determinar el desplazamiento y velocidad dinamicos maximos dela mitad de la viga para t = 12 seg, si la carga de magnitud P0 = 500 Kg es:

(a) – Subitamente removida al instante t = 2 seg.(b) – Subitamente aplicada al instante t = 2 seg.

En cada uno de los casos anteriores, asumir que la viga esta en condicion de reposo antes de laremocion o aplicacion de la carga.

Considere nuevamente la viga, pero ahora suponga que esta empotrada en un extremo y la cargase aplica en el otro extremo. Repita los calculos efectuados anteriormente, con los mismos datosnumericos, e indique en que configuracion la vibracion y sus efectos resultan ser mas peligrosos(para viga simplemente apoyada, o para viga en voladizo).


3.8.Considere el esquema mostrado en la Figura, el cualrepresenta a un sistema no–amortiguado y forzado,modelado con un solo grado de libertad. A este sis-tema se le aplican las cargas descritas en las Figuras

mostradas en la parte inferior. Deducir las formulas mostradas que evaluan el factor dinamicode carga – fdc – que se indican al pie de estas graficas.

fdc(t, ω,Ω) = Ω2

(t2 +

2 cosωt

ω2− 2

ω2

)fdc(t, ω, α) =

ω2

ω2 + α2(e−αt−cosωt+

α sinωt

ω)

nota: Suponer que el sistema se encuentra en reposo absoluto al instante inicial: t0 = 0.

3.9.Considere el nuevamente el modelo mostrado en el Ejemplo 3.8,correspondiente a un sistema forzado no–amortiguado. Demostrarque si a este sistema se le aplica la carga mostrada en la Figuraadjunta, el factor dinamico de carga maximo viene determinadopor:

fdcmax =Ω

ω[ω(n− 1)π − sinω(n− 1)π ]

donde: n = 1, 2, . . . es valor parametrico discreto.

3.10.Para el sistema mostrado en la Figura, determinarla ecuacion gobernante de la dinamica de movimien-to oscilatorio considerando el desplazamiento verti-cal del extremo derecho de la viga como grado delibertad. Calcule el periodo natural amortiguado yel decremento logarıtmico. Considere datos a todaslas variables indicadas en el esquema mostrado.

3.11.Un sistema puede ser exitado externamente tambienmediante un movimiento de apoyo. La figura adjun-ta muestra el modelo de analisis, donde y(t) descri-be funcionalmente el movimento que posee el apoyo.Suponga condiciones iniciales de movimiento nulas:x(0) = x(0) = 0, y que el soporte del sistema se mue-ve de acuerdo a: y(t) = y0 e−Ω t, donde y0, Ω (ctes).Hallar la respuesta x(t) del sistema.

3.12. En el Problema 3.8, suponga que se considere el amortiguamiento, estimandose una fraccion deamortiguamiento crıtico β = 8 % para el mismo. Determinar el periodo natural amortiguado.


Tambien determinar la amplitud de movimiento despues de 100 ciclos de oscilacion.

3.13. Considere el modelo de un sistema amortiguado en vibracion libre. Si E = E(t) denota la energıamecanica total (energıa cinetica + energıa potencial) en cualquier instante, demostrar que laenergıa total en el sistema al final del n–esimo ciclo de movimiento esta dado por:

En = 12 k x

′0

√1− β2 e−4πβ/

√1−β2

donde x′0 es la amplitud inicial maxima de movimiento.

Tambien demostrar que la energıa disipada en un ciclo de movimiento, comparada con la energıatotal al inicio del mismo ciclo viene determinada por:

∆EnEn

= 1− e−4πβ/√

1−β2

3.14.Un disco de pequeno espesor de 10 Kg de peso y 20cm de radio, se conecta en su centro a un resorte cuyocoeficiente de rigidez es 60 Kg/cm y a un amortigua-dor con coeficiente determinado. Este cuerpo circularrueda sin deslizar en contacto con una superficie ho-rizontal rugosa. (a) Cual es el valor del coeficientede amortiguamiento crıtico cc del sistema ?. (b) Sic = cc/2, graficar la respuesta del sistema cuando el

centro del disco se desplaza horizontalmente 5 mm desde la condicion de equilibrio y luego se losuelta. Cual es el valor del decremento logarıtmico ?. (c) Repetir el calculo del inciso anterior, sise considera que c = 3cc/2.

3.15. Hallar la funcion de Green para un sistema forzado amortiguado, el cual en el instante inicialse encuentra en condicion de reposo absoluto. Expresar la respuesta dinamica del sistema enterminos de la funcion de Green encontrada.

3.16. Deducir la Ecuacion (a -1) del Ejemplo 3.13 que establece la expresion del factor dinamico decarga, sin omitir ningun detalle. Graficando la expresion deducida (utilizando los mismos valorespara los parametros dinamicos del Ejemplo 3.13) hallar aproximadamente el tiempo maximo derespuesta y el valor de magnitud del factor dinamico de carga maximo fdcmax.

3.17.Considere el modelo de un grado de libertad de unsistema amortiguado forzado cuyos parametros seconsideran conocidos [vease la Figura 3.1(a)] que enel instante inicial de observacion t0 se encuentre encondicion de reposo, es decir: x(t0) = x(t0) = 0. Lacarga P (t) aplicada supongamos se describe en formanumerica con valores establecidos P (τ) a intervalosregulares e identicos de tiempo (∆τ cte), como semuestra en la Figura adjunta. Escriba una formulaque permita evaluar en forma numerica la respuesta

temporal x(t) del sistema. Explique brevemente como se utilizarıa la relacion planteada.sugerencia: Adecue la respuesta forzada de un sistema amortiguado, con condiciones inicialesnulas, descrita en forma integral.

Capıtulo 4

Exitacion armonica

Poner algo de texto en este espacio.

4.1. Introduccion

Hemos visto la posibilidad que existe de encontrar la respuesta de un sistema lineal a un tipo generalde exitacion y aparentemente no habrıa suficientes razones para emprender el estudio particularizadode un tipo de exitacion; sin embargo, esto no es cierto y necesitamos investigar con mas detalle larespuesta a cierto tipo de cargas; primero por la frecuencia con que se presentan y, segundo por losconceptos que introduce su estudio. Esto es particularmente cierto para las exitaciones que varıan comouna funcion circular trigonometrica.

Existe una amplia gama de casos practicos donde el ingeniero tiene que resolver problemas asocia-dos con funciones armonicas que van desde el analisis de soportes (fundaciones), hasta el analisis deun motor de varios cilindros, o un volante rotatorio excentrico que generan fuerzas dinamicas desba-lanceadas. Nosostros nos limitaremos a una exposicion de los aspectos teoricos y una introduccion alos problemas de fundacion de maquinaria.

4.2. Oscilacion no–amortiguada. Exitacion armonica

Las vibraciones forzadas de un sistema de un grado de libertad se presentan cuando el trabajomecanico es realizado sobre el sistema, mientras las oscilaciones ocurren. La exitacion externa aplicadase dice periodica (o armonica) cuando existe un tiempo Tp de modo que:

P (t+ Tp) = P (t) , ∀t

Entonces, la frecuencia de una exitacion o carga periodica es:

Ω =2π

Tp

Una exitacion de frecuencia unica tiene la forma general:

P (t) = P0 sin(Ωt− ψ)

donde P0 es la amplitud de la exitacion, Ω su frecuencia y ψ su angulo de fase. La frecuencia de laexitacion Ω es independiente de la frecuencia natural ω del sistema.

77

78 CAPITULO 4. EXITACION ARMONICA

Figura 4.1: Sistema no–amortiguado forzado

Consideremos un sistema no–amortiguado sometido a una exitacion externa de tipo senoidal, comose muestra en la Figura 4.1. La ecuacion de movimiento es en este caso:

mx+ k x = P (t) = P0 sin Ωt

Si escribimos esta ecuacion en la forma estandar, tenemos:

x+ ω2x =P0

msin Ω t (4.1)

Suponemos que el sistema parte del reposo al instante t0 = 0; y acorde con la Ecuacion 3.26 lasolucion viene determinada por:

x(t) =P0

mω

∫ t

0

sin Ω τ sin ω(t− τ) dτ =P0 Ω2

mω2(Ω2 − ω2)

(sin Ω t− ω

Ωsin ω t

)Pero, recordemos que: ω2 = k/m, de donde mω2 = k, y ademas definiendo h = Ω/ω que de ahora enadelante se llamara relacion de frecuencias, se puede poner la solucion en la forma:

x(t) =P0/k

1− h2(sin Ω t− h sin ω t) (4.2)

Observando esta ecuacion, podemos apreciar que la respuesta de un sistema no–amortiguado for-zado mediante una carga externa senoidal tiene dos componentes:

1. Componente con frecuencia Ω, debida a la exitacion externa aplicada.

2. Componente con frecuencia ω, como consecuencia de las condiciones inicales .

Si bien desde el punto de vista teorico debemos utilizar todos los terminos de la Ecuacion (4.2)solucion del problema, para evaluar la respuesta del sistema; en la practica solo se considera el terminodebido a la exitacion que llamaremos respuesta en estado estacionario. Este modo de operar se basa enel hecho que todo sistema real posee cierto monto de amortiguamiento, y por lo tanto las oscilacioneslibres desapareceran con el tiempo. Procediendo en ese sentido, la respuesta desde el punto de vistapractico es:

x(t) =P0

k

1

(1− h2)sin Ω t (4.3)

La respuesta de un sistema no–amortiguado sometido a carga armonica senoidal, descrita por laEcuacion (4.3), es posible de ser obtenida desde un punto de vista fısico considerando el equilibriodinamico del sistema en todo instante.

Si suponemos que la respuesta, al igual que la carga aplicada, es tambien armonica con la mismafrecuencia y en fase con la exitacion; podemos postular:

x(t) = A sin Ωt

4.2. OSCILACION NO–AMORTIGUADA. EXITACION ARMONICA 79

(a) Diagrama cinematico (b) Diagrama dinamico

Figura 4.2: Diagramas de Argand

donde A es la amplitud de la respuesta todavıa desconocida. Derivando temporalmente dos veces,

x(t) = −Ω2A sin Ωt

En la Figura 4.2(a) se dibujan estas entidades como fasores (vectores que rotan en su propio planocon velocidad angular Ω cte) en un diagrama cinematico de Argand. En la misma figura, y con trazosegmentado, se muestra la amplitud P0 de la exitacion. Los valores instantaneos de estas cantidadesresultan ser las proyecciones de estos fasores sobre el eje vertical.

Recordando que tanto la fuerza elastica como la fuerza de inercia son contrarias en sentido aldesplazamiento y la aceleracion respectivamente, es posible dibujar un diagrama dinamico de Argandque involucre a las fuerzas actuantes, analogo al diagrama cinematico, tal como se muestra en laFigura 4.2(b). Imponiendo el equilibrio segun la direccion del fasor representativo de la exitacionexterna aplicada tendremos:

P0 + Ω2mA = k A ⇒ A =P0

k − Ω2m

Pero, ω2 = k/m y h = Ω/ω, y la amplitud de respuesta puede ser escrita como:

A =P0

k

1

(1− h2)

Reemplazando en la ecuacion que postulamos, esta resulta finalmente:

x(t) =P0

k

1

(1− h2)sin Ωt

que coincide exactamente con lo hallado en la Ecuacion (4.3).

4.2.1. Espectro de respuesta

Se ha puntualizado repetidas veces la importancia que tiene en el diseno el conocer los valoresmaximos de la respuesta. Hasta ahora habıamos definido el factor dinamico de carga – fdc – comola relacion entre el desplazamiento dinamico del sistema o estructura y un desplazamiento estaticodeducible a partir de la exitacion aplicada.

En general, como sucede frecuentemente, el criterio de falla de un diseno no estara ligado siempreal desplazamiento, ya que muchas situaciones pueden requerir en general que se limite la velocidad


o la aceleracion del sistema. Esto es particularmente cierto cuando en el ambito estructural, porejemplo, debido al personal que ocupa una instalacion es necesario reducir las aceleraciones a nivelesno perceptibles y que no causen molestias; en estas circunstancias sera necesario conocer los valoresmaximos de la aceleracion y velocidad en los movimientos de tipo armonico. Esto es particularmentesencillo debido a la simplicidad funcional de la respuesta de un sistema a una exitacion armonicatambien.

Un espectro de respuesta se define como la relacion que liga la respuesta maxima de todos lossistemas de un grado de libertad a su correspondiente periodo, frecuencia, o cualquier otro parame-tro caracterıstico del sistema bajo consideracion; entendiendose como respuesta el desplazamiento,velocidad o aceleracion debido(a) a un tipo particular de exitacion.

El factor dinamico de carga maximo de desplazamientos – fdcmax – para una exitacion de tipoarmonico se obtiene considerando los efectos debidos a la frecuencia natural en la Ecuacion (4.2),cuando se considera P0/k = xest,

x(t) =xest

(1− h2)(sin Ω t− h sin ω t)

fdc(Ω, ω, t) =x(t)

xest=

1

1− h2(sin Ω t− h sin ω t)

El valor maximo de esta relacion se obtiene considerando que simultaneamente se cumple: sin Ω t = 1y sin ω t = −1, de modo que:

fdcmax =1 + h

1− h2=

1 + h

(1 + h)(1− h)

fdcmax =

∣∣∣∣ 1

1− h

∣∣∣∣ (4.4)

donde se tomo el valor absoluto recordando que solo estamos interesados en el valor numerico de laEcuacion (4.4) cuando se la evalua. En realidad el valor ası calculado es un valor extremo con unabaja probabilidad de ocurrencia (recuerde la imposicion de simultaneidad impuesta en el proceso deobtencion de la formula que aquı mencionamos).

Si por el contrario se desprecian los efectos de la vibracion libre, el fdcmax obtenido a partir de laEcuacion (4.3) serıa:

fdc(Ω, ω, t) =1

1− h2sin Ωt

pero, −1 sin Ωt 1; y por tanto:

fdcmax =

∣∣∣∣ 1

1− h2

∣∣∣∣ (4.5)

La Ecuacion (4.5) proporciona valores menores que la ecuacion (4.4), y resulta ser mas consistentecon el tipo de movimiento que en realidad se produce recordando que en todo este analisis no seesta considerando el amortiguamiento. En la Figura 5.11 se muestran las graficas correspondientes aambas ecuaciones deducidas. En consecuencia, la Ecuacion (4.5) sera utilizada como la expresion delfdcmax, debido a que en su deduccion se despreciaron los efectos transitorios de la respuesta asociadoscon la frecuencia natural del sistema.

Espectros de velocidad y aceleracion

Se indico que de acuerdo al criterio de diseno, los espectros de velocidad y aceleracion pueden sernecesarios. Si derivamos la Ecuacion (4.3) obtenemos la velocidad instantanea

x(t) =P0/k

1− h2Ω cos Ωt


Figura 4.3: Espectro de respuesta – Exitacion armonica (sistema no–amortiguado)

de aquı, maximizando: x(t)

P0/k= fdcmax Ω

Y, para la aceleracion, despues de derivar la velocidad y tomar el valor maximo

x(t)

P0/k= fdcmax Ω2

por lo tanto, si D, V yA representan el desplazamiento, velocidad y aceleracion maximos respectiva-mente, tenemos:

D = xest fdcmax (4.6a)

V = DΩ (4.6b)

A = DΩ2 (4.6c)

Las Ecuaciones (4.6) indican otro aspecto muy importante; que obtenida una expresion en su valornumerico, el calculo de los otros dos valores es inmediato.

Para fines de representacion grafica, es posible modificar ligeramente las relaciones anteriores sidefinimos:

Vest = P0 ω/k = xest ω , Aest = P0 ω2/k = xest ω

2

entonces, las Ecuaciones (4.6) se convierten en:

D/xest = fdcmax = BD (4.7a)

V/Vest = fdcmax h = BV (4.7b)

A/Aest = fdcmax h2 = BA (4.7c)

Ademas, resulta evidente que se cumple:

BV = hBD (4.8a)

BA = h2BD (4.8b)


Las Ecuaciones (4.7) se conocen como factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y acele-racion respectivamente.

Si elegimos una representacion grafica logarıtmica, en la que en abcisas se tomen los valores de larelacion de frecuencia y en ordenadas el factor de respuesta de la velocidad, es posible en el mismografico representar en ejes a 45 el factor de respuesta para desplazamientos y aceleracion. Esto sedemuestra por el procedimiento indicado a continuacion.

Tomando logaritmos decimales a ambos miembros de la Ecuacion (4.8a)

logBV = log h+ logBD

Si llamamos: logBV = Y , log h = X , logBD = K1 (cte)

obtenemos: Y = X +K (4.9)

Esta ecuacion corresponde graficamente a una recta con pendiente positiva igual a 1 (recta a +45).De la misma manera, si tomamos logaritmos a ambos miembros de la Ecuacion (4.8b), despues de

reemplazar BD en funcion de BV , tenemos:

logBA = log h+ logBV

y realizando los cambios de variables similares a aquellos definidos previamente, obtenemos comorelacion final:

Y = −X +K2 (4.10)

que resultara ser una recta con pendiente igual a −1 (recta a −45).El tipo de representacion definido anteriormente es de gran utilidad en el analisis de vibraciones

mecanicas, y recurriremos a ella siempre que sea necesario. La Figura 4.38 muestra un ejemplo de loexpuesto en lıneas anteriores, y fue realizada considerando la respuesta definida por la Ecuacion (4.3).El origen para BV como para h, debe elegirse en funcion del rango de frecuencias considerado y elrango de valores de respuesta esperado; en consecuencia, los valores mostrados en la Figura 4.38 soloson valores para el origen de coordenadas elegido !.

Aquı viene el codigo de la figura del espectro de respuesta armonica, y en paginasiguiente deberıa aparecer la Figura !!

Ejemplo 4.1. La estructura tipo portico del Ejemplo 3.2 soporta una carga lateral de 4000 Kg deamplitud, debido a la instalacion de un motor cuya velocidad angular de funcionamiento es de 500 rpm.Un diagrama esquematico de la situacion se muestra en la Figura 4.4(b). Calcular el desplazamiento,velocidad y aceleracion laterales maximas del portico. Aplicar en el analisis el espectro de respuestagrafico de la Figura 4.38. Verificar los caculos efectuados hallando los valores ‘exactos’ mediante eva-luacion numerica de las formulas deducidas.

> Solucion

La ecuacion gobernante de la dinamica de movimiento oscilatorio del sistema es:

mx+ k x = P0 sin Ω t

o, en forma estandar:x+ ω2 x =

P0

msin Ω t

La respuesta forzada del sistema es dada por la Ecuacion (4.3)

x(t) =P0

k

1

(1− h2)sin Ω t


Resumen de datos conocidos

Parametro Valor Unidades

Frec. forzada – Ω 500 rpmFrec. natural – ω 9,86 rad/segAmp. de carga – P0 4000 KgMasa – m 18,35 Kg-seg2/cmRigidez – k 1782,13 Kg/cm

(a) Tabla de datos (b) Diagrama esquematico

Figura 4.4: Portico solicitado armonicamente por motor electrico

Para utilizar el espectro de respuesta mostrado en la Figura 4.38, necesitamos conocer el dato deentrada a la misma: la relacion de frecuencias. Pero, previamente pongamos ambas frecuencias en unmismo sistema de unidades de medida en virtud que el parametro requerido es adimensional.

Ω = 500rev

min×

2π rad

1rev×

1min

60 seg= 52, 36 rad/seg

De aquıh =

Ω

ω=

52, 36

9, 86= 5, 31

Y, de la Figura 4.38 obtenemos los siguientes valores (aproximados):

BV = 0, 190 ; BD = 0, 035 ; BA = 1, 00

La deformacion estatica generada por aplicacion de la amplitud de carga es:

xest =P0

k=

4000

1782, 13= 2, 245 cm

Y, de aquı obtenemos valores ‘virtuales’ de velocidad y aceleracion asociados a este desplazamiento ycalculados en base al mismo segun:

Vest = xest ω = 2, 245(9, 86) = 22, 134 cm/seg

Aest = xest ω2 = 2, 245(9, 86)2 = 218, 25 cm/seg

2

Por lo tanto, las respuestas maximas de posicion, velocidad, y aceleracion; resultan ser:

Dmax = BD xest = 0, 035(2, 245) = 0, 078 cm

Vmax = BV Vest = 0, 190(22, 134) = 4, 205 cm/seg

Amax = BAAest = 1, 00(218, 25) = 218, 25 cm/seg2

Verifiquemos ahora los resultados previamente hallados. Segun las Ecuaciones (4.5) y (4.7a)

BD = fdcmax =

∣∣∣∣ 1

1− h2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

1− 5, 312

∣∣∣∣ = 0, 037


Dmax = BD xest = 0, 037(2, 245) = 0, 083 cm

Por las Ecuaciones (4.7b) y (4.8a),

BV = hBD = 5, 31(0, 037) = 0, 196

Vmax = BV Vest = BV xestω = 0, 196(2, 245)(9, 86) = 4, 338 cm/seg

Por las Ecuaciones (4.7c) y (4.8b),

BA = h2BD = 5, 312(0, 037) = 1, 041

Amax = BAAest = BAxestω2 = 1, 041(2, 245)(9, 86)2 = 227, 20 cm/seg

2

Estos ultimos valores tienen buena concordancia con los valores hallados previamente utilizando elnomograma que describe la Figura 4.38; por lo tanto podemos aceptar como validos los resultados deprimera aproximacion obtenidos a partir de valores que proporciona la grafica del espectro de respuestapara exitacion armonica !. >

Un rapido analisis estructural del portico nos mostrara que el momento flexionante producidoen los apoyos de las columnas portantes, debido al desplazamiento maximo (amplitud de vibracion)Dmax = 0, 078 cm, es apenas: Mmax = 1, 518 Kg-cm; valor muy pequeno desde el punto de vistaestructural.

Mayor atencion requiere la amplitud maxima de la aceleracion: Amax = 218, 25 cm/seg2, la cualexpresandola como fraccion de la aceleracion gravitatoria (g = 981 cm/seg2) vale:

Amax = 0, 223 g > 0, 1 g

Esta magnitud de amplitud de la aceleracion durante el movimiento oscilatorio de la estructura essumamente elevado, ya que sus efectos son molestos y hasta peligrosos para los ocupantes del ambienteocupado por el portico. En general, si la estructura esta revestida por tabiquerıa de ladrillo, esta sedeteriorara para aceleraciones superiores a 0, 1 g y frecuencias mayores a 3 Hz (vease la Referencia[28]). Por lo tanto, la respuesta es inadecuada desde el punto de vista de la aceleracion (y posiblementetambien desde la perspectiva de la velocidad maxima hallada) !.

4.2.2. Resonancia

Las Figuras 5.11 y 4.38 muestran que la respuesta se hace infinita para un valor de la relacion defrecuencias igual a la unidad; es decir, cuando la frecuencia circular Ω de la exitacion toma identicovalor que la frecuencia circular natural ω del sistema. El valor de la frecuencia de exitacion para elcual h = 1 produce el fenomeno llamado resonancia.

El comportamiento de un sistema real en la resonancia no es exactamente el mostrado por losespectros de respuesta, ya que estos fueron elaborados despreciando los efectos debidos a la frecuencianatural del sistema. Para su analisis requerimos considerar la respuesta completa, por lo tanto sihacemos que en la Ecuacion (4.2) la frecuencia de exitacion tienda hacia el valor de la frecuencianatural obtenemos:

lımΩ→ω

x(t) = lımΩ→ω

P0/k

1− (Ωω )2

(sin Ω t− Ω

ωsin ω t

)= lım

h→1Ω→ω

xest

1− h2(sin Ω t− h sin ω t) =

0

0

indeterminacion que puede “levantarse” utilizando la regla de L’Hopital ; procediendo ası:

lımh→1Ω→ω

x(t) = xest lımΩ→ω

t cos Ω t− sin ω t · (1/ω)

−2Ω/ω2= xest lım

Ω→ω

ω t cos Ω t− sin ω t

−2Ω/ω


Figura 4.5: Respuesta resonante para exitacion armonica

y, de aquı obtenemos la respuesta del sistema en condicion resonante:

x(t) =xest

2(sen ω t− ω t cos ω t) , ω = Ω (4.11)

En la Figura 4.5 mostramos un bosquejo grafico de esta solucion a la ecuacion de movimiento.La Ecuacion (4.11) por ser una funcion proporcional al tiempo, indica que la respuesta crece sin

lımite hasta alcanzar valores de amplitud extremadamente grandes, pero en un tiempo finito, lo quetambien se aprecia de forma nıtida en la Figura 4.5.

Cuando las vibraciones de un sistema conservativo (no–amortiguado) se inician, el movimiento essostenido con la frecuencia natural propia sin adicion de energıa externa. Luego, cuando la frecuencia deexcitacion es la misma que la frecuencia natural del sistema, el trabajo realizado por la fuerza externaaplicada no es necesario para mantener el movimiento. La energıa total del sistema en este caso seincrementa porque la adicion de trabajo efectuado por la perturbacion externa se convierte en unincremento contınuo de la amplitud, ya que se produce almacenamiento de esta energıa proporcionadaal sistema. Cuando la frecuencia de excitacion es diferente que la frecuencia natural del sistema,el trabajo efectuado por la perturbacion externa es necesario para sostener el movimiento a dichafrecuencia de excitacion.

La respuesta de un sistema o estructura real en condicion de resonancia estara gobernada por sucaracterıstica esfuerzo–deformacion, por lo que al sobrepasar el lımite elastico del material y al ingresara la zona plastica del mismo; el sistema cambiara de naturaleza y por lo tanto otra sera la ecuacionque gobierne el movimiento y su respuesta debera ser computada por otras tecnicas ya que el sistemadejara de ser lineal.

Cuando la frecuencia de excitacion es muy cercana, pero no igual, a la frecuencia natural circular,ocurre un interesante fenomeno denominado pulsacion. La pulsacion es un crecimiento y decrecimientosecuencial contınuo y finito de la amplitud de vibracion del sistema como se muestra en la Figura 4.6.Ası, si la frecuencia de excitacion Ω difiere en una mınima cantidad con respecto a la frecuencia naturaldel sistema ω, y las condiciones iniciales de movimiento son nulas: x0 = x0 = 0; la respuesta del sistemadeterminada por la Ecuacion 3.26, puede ser escrita como:

x(t) =2P0

m(Ω2 − ω2)sin

(Ω− ω

2t

)cos

(Ω + ω

2t

)(4.12)

En virtud que en la Ecuacion (4.12) consideramos |Ω− ω | de muy pequena magnitud, la solucionpuede ser interpretada como una onda cosenoidal con amplitud lentamente variable. El perıodo de laamplitud es llamada periodo de pulsacion y es igual a 2π/|Ω−ω |. En cambio el perıodo de la vibraciones 4π/(Ω + ω).


Figura 4.6: Respuesta de pulsacion de sistema no–amortiguado

Las condiciones de restriccion impuestas para la aparicion del fenomeno de pulsacion, raras vecesse encuentran satisfechas en situaciones practicas, por lo que la observacion de este tipo de vibraciones extremadamente eventual.

4.3. Oscilacion amortiguada. Excitacion armonica

Frecuentemente sera necesario incluir el amortiguamiento en el analisis de un sistema sometido aexitacion armonica, ya sea porque su presencia esta relacionada a la naturaleza del sistema, como porejemplo cuando se analiza la interaccion suelo–fundacion en la instalacion de maquinaria que vibra,o cuando el analista incluye el amortiguamiento en el sistema con el objeto de reducir la respuestamaxima que se presenta.

Figura 4.7: Sistema amortiguado forzado

Por lo tanto, un estudio de los efectos del amortiguamiento sobre la respuesta de un sistema envibracion se hace absolutamente necesario. Comenzaremos este analisis suponiendo la presencia deamortiguamiento viscoso; por lo tanto la ecuacion de movimiento para el sistema mostrado en laFigura 4.7 es en su forma estandar:

x+ 2β ω x+ ω2x =P0

msin Ω t (4.13)

La solucion de esta ecuacion diferencial es posible hallarla utilizando la misma tecnica que parael caso de un sistema no–amortiguado sujeto a una exitacion de tipo general; es decir realizando laevaluacion de la integral de tipo convolutivo que incluye la funcion de Green. Sin embargo, con elproposito de ilustrar el estado de equilibrio dinamico durante el movimiento evaluaremos la respuestaparticular mediante un equilibrio de las fuerzas actuantes en todo instante.

Supongamos que la respuesta debida a la aplicacion de la carga (respuesta forzada) tiene la forma:

x(t) = A sin(Ω t− φ) (4.14)

4.3. OSCILACION AMORTIGUADA. EXCITACION ARMONICA 87

donde A es la amplitud todavıa desconocida y φ es el angulo de fase. El significado que tiene la Ecua-cion (4.14) serıa que la respuesta tiene la misma frecuencia circular que la exitacion, pero esta retrasadaen un angulo de cantidad φ con respecto a la perturbacion aplicada. Derivando consecutivamente laEcuacion (4.14), obtenemos la velocidad y aceleracion instantaneas:

x(t) = AΩ cos(Ω t− φ) = AΩ sin(Ω t+ π/2− φ) (4.15)

x(t) = −AΩ2 sin(Ω t− φ) = AΩ2 sin(Ω t+ π − φ) (4.16)

(a) Diagrama cinematico (b) Diagrama dinamico

Figura 4.8: Diagramas de Argand

Considerando las entidades cinematicas definidas por las Ecuaciones (4.14), (4.15) y (4.16) comofasores rotatorios, podemos representarlas en el diagrama cinematico de Argand mostrado en la Fi-gura 4.8(a). Luego, estos fasores se multiplican por cantidades adecuadas para obtener las fuerzasasociadas que son mostradas tambien como fasores en la Figura 4.8(b), que representa el diagramadinamico de Argand en este caso. Imponiendo el equilibrio segun direccion paralela y perpendicular aldesplazamiento, obtenemos:

P0 cosφ+mΩ2A = k A

P0 sinφ = cΩA

Resolviendo este sistema para la amplitud y el angulo de fase, se demuestra que se obtiene:

tanφ =Ω c

k − Ω2m=

2β h

1− h2(4.17)

A =P0/k√

(1− h2)2 + (2βh)2(4.18)

Ahora, la respuesta completa del sistema (solucion homogenea mas solucion particular) es:

x(t) =

√x2

0 +

(x0 + βωx0

ωa

)2


[ωa(t− t0)− arctan

x0 + βωx0

ωax0

]+

P0/k√(1− h2)2 + (2βh)2

sin

[Ω t− arctan

(2β h

1− h2

)]donde x(t0) = x0 y x(t0) = x0 son las condiciones iniciales de movimiento.

Aquı es necesario recalcar que la respuesta asociada con las condiciones iniciales (respuesta envibracion libre) que figura como primer termino de la ecuacion anterior, desaparece con el transcurrir


del tiempo debido al factor exponencial decreciente. Por ello, en situaciones practicas se consideracomo respuesta solo al termino asociado con la exitacion aplicada (respuesta forzada)

x(t) =P0/k√

(1− h2)2 + (2βh)2sin

[Ω t− arctan

(2β h

1− h2

)](4.19)

que sera la expresion que utilizaremos para el computo de la respuesta maxima.Notemos que la respuesta presentada por el sistema tiene la misma frecuencia circular que la exita-

cion externa aplicada sobre el mismo, pero esta retrasada en el tiempo en cierta magnitud determinadapor el angulo de fase. Ası tenemos que el angulo de fase calculado mediante la Ecuacion (4.17) nosproporciona el “retraso” de la respuesta del sistema ante la aplicacion de la exitacion.

Figura 4.9: Angulo de fase vs relacion de frecuencias

La Figura 4.9 nos muestra la relacion existente entre el angulo de fase como funcion de la relacionde frecuencias, consideranfo la fraccion de amortiguamiento crıtico como parametro. En esta grafica,por razones de orden de interpretacion fısica, limitamos el rango de variacion del angulo de fase alintervalo: 0 < φ < π. De esta grafica podemos obtener las siguientes conclusiones:

1. La respuesta forzada y la fuerza de exitacion estan en fase para β = 0. Para β > 0, la respuestay la exitacion estan en fase solo para h = 0.

2. Si β > 0 y 0 < h < 1 entonces 0 < φ < π/2. La respuesta se rezaga con respecto a la exitacion.

3. Si β > 0 y h = 1 entonces φ = π/2. Si las condiciones iniciales de movimiento son nulas, laexitacion es una onda senoidal pura y la respuesta de estado estacionario (forzada) es una ondacosenoidal pura. La exitacion esta en fase con la velocidad. La direccion de la exitacion es lamisma que la del movimiento.

4. Si β > 0 y h > 1 entonces π/2 < φ < π. La respuesta se anticipa a la exitacion.

5. Si β > 0 y h 1 entonces φ ∼= π. El signo o sentido de la respuesta estacionaria es contrario aaquel de la exitacion.

6. Para β = 0, la respuesta esta en fase con la exitacion para h < 1; y π rad (180) fuera de fasepara h > 1.


Para comprender de mejor manera estas conclusiones, le sugerimos aprecie con mayor cuidado losdiagramas de Argand que son mostrados en la Figura 4.8 y compatibilizar la modificacion de estosesquemas con cada una de las conclusiones aquı establecidas.

4.3.1. Espectro de respuesta

Si consideramos la respuesta del sistema a la aplicacion de una perturbacion externa, descrita porla Ecuacion (4.19), y recordamos que la funcion senoidal tiene variacion de magnitud: −1 < sin < 1,tendremos que la amplitud maxima de respuesta estara determinada por el coeficiente que precede ala funcion senoidal en la Ecuacion (4.19). Ası, considerando que: xest = P0/k, el factor dinamico decarga maximo para desplazamiento es por tanto:

fdcmax(β, h) =xmax

xest=

1√(1− h2)2 + (2βh)2

(4.20)

donde todas las variables de esta ecuacion tienen el significado ya explicado anteriormente.Podemos observar por la Ecuacion (4.20) que el factor dinamico de carga maximo es funcion de la

fraccion de amortiguamiento crıtico, el cual es un parametro dinamico del sistema; en consecuencia,esta ecuacion define una curva para cada valor de la fraccion de amortiguamiento crıtico β.

Las relaciones encontradas para los desplazamientos, velocidades y aceleraciones subsisten en sutotalidad; sin embargo, la investigacion de los valores maximos requiere algunas consideraciones adicio-nales. Para facilitar nuestro trabajo, calculemos el valor que arroja la Ecuacion (4.20) para la condicionde resonancia; esto es cuando la frecuencia circular de la exitacion se iguala con la frecuencia naturalcircular no–amortiguada del sistema, es decir cuando: h = Ω/ω = 1.

Introduciendo esta condicion en la Ecuacion (4.20), obtenemos como factor dinamico de cargaresonante:

fdcres =1

2β(4.21)

Valor que no es el maximo, y que como propiedad fundamental se observa que es calculable con solo elconocimiento de la fraccion de amortiguamiento crıtico; o sea que se puede considerar una propiedaddel sistema.

El valor maximo que provee la Ecuacion (4.20) se evalua igualando la primera derivada a cero.Procediendo ası, hallamos:

− 12

[(1− h2)2 + (2βh)2

]−3/2 [2(1− h2)(−2h) + 8β2h

]= 0

de donde, h2 = 1− 2β2 , ⇒ h =√

1− 2β2 < 1

es el valor que representa la relacion de frecuencias circulares para el cual el fdcmax toma el maximovalor (maximo maximorum). Reemplazando el valor hallado en la Ecuacion (4.20):

fdcmax(β) =1

2β√

1− β2(4.22)

El fdcmax(β) 1 es mayor al valor resonante especificado mediante la Ecuacion (4.21), y se presentapoco antes que la resonancia. Sin embargo, si la fraccion de amortiguamiento crıtico es muy pequeno(β → 0), la Ecuacion (4.22) se reduce a:

fdcmax(β) ∼=1

2β= (fdcmax)res

relacion que indica que en sistemas con un amortiguamiento de valor muy pequeno, el valor del factordinamico de carga resonante se puede tomar como el valor maximo.

1 Observese la diferencia de notacion con aquella utilizada en la Ecuacion (4.21) para la condicion resonante.


Figura 4.10: Espectro de respuesta – Exitacion armonica (sistema amortiguado)

En la Figura 4.10 mostramos la dependencia del factor dinamico de carga maximo fdcmax de larelacion de frecuencias h = Ω/ω, para diversos valores de la fraccion de amortiguamiento crıtico β quese lo toma como parametro.

Hacemos notar en este punto que una representacion del tipo de la Figura 4.38 es enteramenteposible. Se deja como ejercicio para el lector la elaboracion del nomograma que establece valores delos factores de desplazamiento, velocidad y aceleracion como funciones de la relacion de frecuencias, enescalas logarıtmicas, similar a la Figura 4.38; pero que en este caso sirva para un sistema amortiguado.

Con respecto a la respuesta resonante en sistemas amortiguados, puede ser provechoso aclarar queel valor dado por la Ecuacion (4.21) se alcanza en una forma asintotica. La demostracion de estaaseveracion se realiza en forma similar que para el caso no–amortiguado, siendo que la comprobacionse deja como ejercicio para el lector.

Las curvas que se presentan en la Figura 4.10 tambien son denominadas curvas de respuesta enfrecuencia. El analisis algo mas detallado de este conjunto de curvas nos permite establecer las siguientesconclusiones:

1. fdcmax = 1 cuando h = 0. En este caso la exitacion aplicada es una constante P (t) = P0 yla amplitud de desplazamiento es identico al valor del desplazamiento estatico generado por laamplitud de carga aplicada.

2. fdcmax → 0 como h → ∞. La amplitud de la respuesta forzada es muy pequena para valoreselevados de la relacion de frecuencias.

3. Para un valor dado de la relacion de frecuencias h, el factor dinamico de carga maximo fdc max

disminuye con el incremento de la fraccion de amortiguamiento crıtico β.

4. fdcmax → ∞ solo si β = 0. El factor dinamico de carga no esta acotado en valor solo parasistemas no–amortiguados.


5. Para 0 < β < 1/√

2 (0, 707), el fdcmax posee un maximo para algun valor de la relacion defrecuencias h.

6. Para 0 < β 6 1/√

2, el valor maximo del fdcmax (maximo maximorum) ocurre para la relacion

de frecuencias caracterıstica: hmax =√

1− 2β2.

7. El correspondiente valor maximo asociado con la relacion de frecuencias hmax esta dado por:fdcmax(β) = 1/(2β

√1− β2).

8. Para β = 1/√

2 se cumple: dfdcmax/dh|h=0 = 0. Es decir la curva lımite correspondiente aβ = 0, 707 es horizontal para h = 0.

9. Para β > 1/√

2, el factor dinamico de carga maximo fdcmax decrece en forma monotona amedida que se incrementa el valor de la relacion de frecuencias h.

Como se vera posteriormente, el espectro de respuesta para exitacion armonica de un sistemaamortiguado, resumido en la Figura 4.10, tiene radical importancia en los procesos de diseno de lossistemas vibratorios que tienen comportamiento del desplazamiento (mas propiamente su amplitud)en funcion de los parametros dinamicos como describen las diversas curvas en la grafica mencionada.

Ejemplo 4.2. La barra rıgida esbelta del Ejemplo 3.12 es sometida ahora a la accion de una fuer-za armonica senoidal como muestra la Figura 4.11(b), donde la frecuencia de la exitacion es de 200rpm. Utilizando los valores de los parametros dinamicos hallados en el Ejemplo 3.12, determinar lamagnitud maxima de amplitud de carga externa que se podra aplicar, de modo que la amplitud dedesplazamiento vertical de las oscilaciones forzadas de la barra en el punto de aplicacion de la exitacionno exceda 2 cm de magnitud.

Resumen de datos conocidos

Parametro Magnitud

Frec. forzada – Ω 200 rpmFrec. natural – ω 62,96 rad/segMasa – m 0,0612 Kg-seg2/cmRigidez – k 62,89 Kg/cmAmortiguacion – c 1,156 Kg-seg/cmAmp. desplaz. – umax 2 cm

(a) Tabla de datos (b) Diagrama esquematico

Figura 4.11: Sistema solicitado armonicamente por carga externa

> Solucion

La ecuacion de movimiento del modelo de un grado de libertad, facilmente comprobable, es:

7m

9u+

c

3u+ 3 k u = 3F0 sin Ωt

o, escrita en su forma estandar:u+

3c

7mu+

27k

7mu =

27F0

7msin Ωt

comparando con la forma generica de la ecuacion gobernante del modelo de analisis,

x+ 2βωx+ ω2x =P0

meqsin Ωt


resulta:2βω =

3c

7m, ω2 =

27k

7m,

P0

meq=

27F0

7m

La fraccion de amortiguamiento crıtico puede determinarse a partir de una de las ecuaciones ante-riores, utilizando los datos resumidos en la Figura 4.11(a).

β =3c

14mω=

3(1, 156)

14(0, 0612)62, 96= 0, 0643

La frecuencia circular de la exitacion externa es:

Ω = 200rev

min×

2π rad

1rev×

1min

60 seg= 20, 94 rad/seg

de modo que la relacion de frecuencias toma el valor:

h =Ω

ω=

20, 94

62, 96= 0,33

El factor dinamico de carga maximo puede ser ahora calculado mediante aplicacion de la Ecua-cion (4.20)

fdcmax(β, h) =1√

(1− h2)2 + (2βh)2=

1√(1− 0, 332)2 + (2(0, 0643)0, 33)2

= 0, 746

El desplazamiento estatico generado por la amplitud de carga equivalente actuante en el modelode analisis es:

uest =P0

keq=

27F0meq

7m

3k=

27F0(7m/9)

7m3k

=F0

k

resultado que en realidad era obvio. Ademas, por definicion del fdcmax tenemos:

fdcmax =umax

uest⇒ umax = fdcmax uest = fdcmax

F0

k

De esta ultima expresion obtenemos la solucion al problema planteado,

F0 =k umax

fdcmax=

62, 89 (2)

0, 746= 168, 6 Kg

>

Ejemplo 4.3. Una maquina de 260 Kg de peso es instalada sobre una fundacion cimentada elastica.Una fuerza sinusoidal de 30 Kg de magnitud es aplicada a la maquina para verificar la cimentacion.Una barrida de frecuencia de la exitacion revela que la amplitud maxima de vibracion en estado esta-cionario es de 1,8 mm, cuando el perıodo de la respuesta es 0,22 seg. Determine la rigidez equivalentey la fraccion de amortiguamiento crıtico de la fundacion de la maquina.

> Solucion

El sistema es modelado como una masa conectada a un resorte y un amortiguador montados en paralelocon una fuerza sinusoidal aplicada sobre la masa, como muestra la Figura 4.7. Sabemos que para unsistema lineal, la respuesta en estado estacionario se da con la misma frecuencia que la exitacion, luegola maxima respuesta ocurre para el periodo especificado. Por tanto:

T =2π

Ω⇒ Ω =

2π

T=

2π

0, 22= 28, 56 rad/seg


El maximo valor proporcionado por el espectro de respuesta (asociada con la maxima respuestaposible del sistema) ocurre cuando la relacion de frecuencias toma el valor dado por la relacion siguiente:

h =Ω

ω=√

1− 2β2 ⇒ ω2 =Ω2

1− 2β2(a)

Por otra parte, el factor dinamico de carga maximo dado en esta condicion (el maximo de losmaximos o maximorum) esta dado por la Ecuacion (4.22),

fdcmax(β) =1

2β√

1− β2

donde en este caso:fdcmax(β) =

xmax

xest, xest =

P0

k=

P0

mω2

y, de aquı: xmaxmω2

P0

=1

2β√

1− β2⇒ ω2 =

P0

xmaxm 2β√

1− β2(b)

Igualando las Ecuaciones (a) y (b) resulta:

Ω2

1− 2β2=

P0

xmaxm 2β√

1− β2⇒ 2mxmax Ω2 β

√1− β2 = P0 (1− 2β2)

Reemplazando datos, elevando al cuadrado ambos miembros y ordenando, se obtiene la ecuacion:

β4 − β2 + 0, 0932 = 0

cuyas raıces son β21 = 0, 896 y β2

2 = 0, 104

Entonces: β1 = 0, 946 y β2 = 0, 322

La solucion de mayor magnitud debe desecharse, puesto que el fdcmax presenta un valor maximo solocuando β < 1/

√2 = 0, 707. Entonces, la fraccion de amortiguamiento crıtico de la fundacion cimentada

es:β = 0, 322 = 32, 2 %

La frecuencia natural circular del sistema puede calcularse ahora en base a la Ecuacion (a),

ω =Ω√

1− 2β2=

28, 56√1− 2(0, 322)2

= 32, 08 rad/seg

La rigidez equivalente de la fundacion elastica instalada en la base de la maquina es entonces:

k = mω2 =260

98132, 082 = 272, 75 Kg/cm

>

4.3.2. Aislamiento de la vibracion. Exitacion armonica

Los conceptos anteriormente establecidos en este capıtulo tienen aplicacion practica en las tecnicaspara el aislamiento de las vibraciones; como es logico, restringiremos nuestro tratamiento al caso devibraciones armonicas.

Consideremos la Figura 4.12(a) en la que se muestra un artefacto cualquiera (podrıa ser algunamaquinaria) que es capaz de generar una carga de exitacion. Si se supone que la masa que se quiereaislar de las vibraciones esta directamente apoyada sobre el suelo de fundacion (que lo suponemosrıgido), es evidente que la intensidad de la carga se transmitira en toda su magnitud al suelo de


(a) Dispositivo generador de carga (b) Sistema aislador de vibracion

Figura 4.12: Proceso de aislamiento de la vibracion

fundacion; y si las tensiones generadas por la carga aplicada sobre el suelo de fundacion exceden losvalores permisibles de este, se produciran asentamientos por compactacion del suelo considerables quepodrıan afectar el funcionamiento del equipo que se quiere aislar con los consiguientes inconvenientes.

Si R es la reaccion de apoyo ejercida por el suelo sobre el equipo cuando este esta simplemente encontacto con el, se cumplira:

R(t) = P (t) = P0 sin Ωt

Considerando que el area de contacto de la base del equipo con el piso es A, la tension normal ejercidasobre el suelo resultara ser:

σ =R(t)

A=P0 sin Ωt

Ay, por tanto:

σmax =P0

A

si se supone una distribucion uniforme de tensiones.Nuestro proposito es reducir la magnitud de la reaccion (idealmente a valores ınfimos), que a partir

de ahora la denominaremos fuerza transmitida. Para cumplir el proposito planteado introducimos entreel suelo de fundacion y la maquinaria, un elemento flexible incluyendo al mismo tiempo el mecanis-mo disipador de energıa que puede deberse a un amortiguamiento inducido o a un amortiguamientointrınseco del sistema (como propiedad inherente al elemento aislador).

En la Figura 4.12(b) mostramos el modelo de analisis de esta situacion, donde el resorte representa-tivo de la flexibilidad y el amortiguador representativo del proceso de disipacion energetica, sustituyenal aislador de vibracion instalado entre la maquinaria y el suelo de fundacion.

En este caso la fuerza transmitida a la fundacion es a traves del resorte y el amortiguador; por ello:

R(t) = Fk(t) + Fc(t) = k x(t) + c x(t)

Considerando regimen de funcionamiento permanente, la respuesta del sistema estara dada por lacomponente forzada simplemente; entonces reemplazando expresiones conocidas para el desplazamientoy velocidad instantaneas tendremos:

R(t) =P0√

(1− h2)2 + (2βh)2

[sin(Ωt− φ) +

cΩ

kcos(Ωt− φ)

]

R(t) =P0√

(1− h2)2 + (2βh)2[ sin(Ωt− φ) + 2βh cos(Ωt− φ) ]

que puede ponerse en su forma amplitud–fase en la forma mostrada a continuacion;

R(t) = P0

√1 + (2βh)2√

(1− h2)2 + (2βh)2sin(Ωt− φ+ φ′) , tanφ′ = 2βh (4.23)


En base a la respuesta hallada se define una propiedad importante denominada transmisibilidadde fuerza – tr, la cual es la relacion de la fuerza transmitida a los apoyos y la amplitud de fuerza deexitacion aplicada; es decir: tr = R(t)/P0. Como en el caso del factor dinamico de carga estaremosinteresados en el valor maximo de esta relacion proporcional al cual se conoce con el nombre detransmisibilidad maxima que resultarıa ser la comparacion de la amplitud de fuerza transmitida alapoyo con la amplitud de la fuerza de exitacion aplicada, o sea:

trmax(β, h) =Rmax

P0

=

√1 + (2βh)2

(1− h2)2 + (2βh)2(4.24)

Similarmente al fdcmax(β, h) la transmisibilidad maxima maximorum es diferente a la transmisi-bilidad maxima en la resonancia; la primera se produce cuando:

h2 =−1 +

√1 + 8β2

4β2(4.25)

Despues de reemplazar la Ecuacion (4.25) en la Ecuacion (4.24) se obtiene:

trmax(β) =4β2√

16β4 − 8β2 − 2 + 2√

1 + 8β2

(4.26)

Mientras que la transmisibilidad en la resonancia (h = Ω/ω = 1) es como puede comprobarse:

trres =

√1 + 4β2

4β4∼=

1

2β, β < 0, 2 (4.27)

De la Ecuacion (4.25) se deduce que el valor maximo de los maximos se produce antes que lacondicion de resonancia: h = 1, y su valor no es muy diferente al valor maximo en condicion resonantesi la fraccion de amortiguamiento crıtico no es muy grande.

Es muy provechoso, tanto para el diseno como para el analisis, graficar la Ecuacion (4.24). LaFigura 4.13 nos ensena algunas curvas para diferentes valores de β.

De la grafica podemos apreciar que la misma define dos intervalos marcados. Para: 0 < h <√

2 seve que trmax > 1, es decir que la amplitud de la fuerza transmitida es mayor que la amplitud de laexitacion; y en este rango no tiene efectividad el sistema de aislacion usado. En cambio en el rango:h >

√2 se verifica que trmax < 1, es decir que la amplitud de fuerza transmitida es menor que la

amplitud de la exitacion, y por tanto en este rango el sistema aislador de vibracion cumple con elcometido de reducir la fuerza transmitida a los apoyos.

Una caracterıstica notable de las curvas es que todas se cruzan en el punto correspondiente a:(h , trmax) =

(√2 , 1

). Pero mas notable desde el punto de vista fısico de las aplicaciones de la

Ecuacion (4.24) es el hecho que a mayor amortiguamiento, mayor es la transmisibilidad; cuando larelacion de frecuencias es: h >

√2. Esto sugerirıa que el amortiguamiento es indeseable para el rango

de relacion de frecuencias altas; situacion que es relativa por los siguientes aspectos:

1. Debido a que en general una maquinaria adquiere gradualmente su velocidad de regimen ofuncionamiento, la presencia del amortiguamiento es necesaria ya que evita problemas duranteel lapso de tiempo en el cual la maquinaria adquiere su velocidad final (etapa de arranque),principalmente al pasar por la condicion de resonancia.

2. Las tecnicas aquı expuestas son solo utiles para aislar al sistema contra la resonancia en una solafrecuencia. En la practica, los elementos elasticos que desempenan la funcion de resorte son vigas,placas, o cualquier otro elemento estructural; como se vera despues, estos elementos de apoyotienen otras formas de vibracion generalmente mas altas. En consecuencia, subsiste el peligroque se presente la condicion resonante en estas frecuencias altas no consideradas en el modelo.Por lo tanto, la presencia de amortiguamiento sera beneficioso en estos casos.


Figura 4.13: Transmisibilidad maxima – Exitacion armonica

3. Los conceptos emitidos en el punto anterior deben considerarse cuando se esta aislando unamaquinaria con velocidad variable o un sistema sometido a exitaciones de tipo aleatorio, lascuales tienen componentes en un ancho de frecuencias muy grande.

Ejemplo 4.4. Un ventilador que pesa 100 Kg y funciona a 1200 rpm genera una fuerza dinamica des-balanceada de 20 Kg de amplitud. Si se desea que la fuerza transmitida a la cimentacion de la maquinano supere el 30 % de la amplitud de la exitacion, determinar los parametros dinamicos equivalentesdel sistema aislador a instalarse entre el piso y la base de la maquina. Un esquema de la situacionplanteada se muestra en la Figura 4.14.

Figura 4.14: Maquina vibrante con sistema de aislacion

> Solucion

La dinamica de movimiento del modelo de analisis [vease la Figura 4.12(b)] esta gobernada por laEcuacion (4.13),

x+ 2β ω x+ ω2x =P0

msin Ω t


cuya solucion en regimen estacionario (respuesta forzada) esta determinada por la Ecuacion (4.19)

x(t) =P0/k√

(1− h2)2 + (2βh)2sin

[Ω t− arctan

(2β h

1− h2

)]Suponemos que el sistema aislador a instalarse posee propiedades de elasticidad y amortiguamiento,

por lo que debemos especificar el valor de los parametros dinamicos equivalentes a estas dos carac-terısticas intrınsecas propias del sistema de aislacion.

La relacion de la fuerza transmitida maxima a la fundacion (a traves del resorte y el amortiguador)y la amplitud de fuerza de exitacion, define la transmisibilidad maxima; que se expresa mediante laEcuacion (4.24)

trmax(β, h) =Rmax

P0

=

√1 + (2βh)2

(1− h2)2 + (2βh)2

La amplitud de fuerza de exitacion es P0 = 20 Kg, y se desea que solo un 30 % de ella sea transmitidaa la cimentacion; por lo que la fuerza transmitida maxima sera: Rmax = 30

100 20 = 6 Kg. Con estosvalores la transmisibiludad maxima resulta:

trmax =Rmax

P0

=6

20= 0, 3

que evidentemente equivale al dato proporcionado, es decir: % trmax = 30 %.Acorde con la Figura 4.13, debe ser claro que h >

√2 y 0 < β < 1 para cumplir el cometido

planteado. Pero, como datos solo conocemos la magnitud de masa vibrante, la cual se obtiene a partirdel peso propio;

m =W

g=

100

981= 0, 102 Kg-seg2/cm

y, tambien conocemos la frecuencia de la exitacion externa:

Ω = 1200rev

min×

2π rad

1rev×

1min

60 seg= 125, 66 rad/seg

Para resolver el problema solo podemos asumir un valor para la fraccion de amortiguamiento crıtico;digamos 10 %. Entonces:

β =c

cc=

c

2mω=

c

2√km

= 0, 1

Reemplazando valores en la ecuacion que establece la transmisibilidad maxima, esta resulta:

0, 3 =

√1 + (2×0, 1×h)2

(1− h2)2 + (2×0, 1×h)2

desarrollando, 0, 09 [ (1− h2)2 + 0, 04h2 ] = 1 + 0, 04h2

0, 09h4 − 0, 2164h2 − 0, 91 = 0 , ⇒ h = 2, 145

De aquı:h =

Ω

ω, ⇒ ω =

Ω

h=

125, 66

2, 145= 58, 58 rad/seg

Entonces, el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente del aislador resulta:

c = β 2mω = 0, 1×2×0, 102×5, 85 = 1, 195 Kg-seg/cm

y, el coeficiente de rigidez de resorte lineal equivalente (del aislador) tiene el valor:

k =c2

4β2m=

1, 1952

4×0, 12×0, 102= 350 Kg/cm


>

Hasta aquı hemos definido el comportamiento de la fundacion en terminos de la transmisibilidad,cuando se trata de reducir la amplitud de la fuerza transmitida a los apoyos de una maquinaria odispositivo que en su funcionamiento genera una fuerza de exitacion que induce al sistema a vibrar, yal hacerlo transmitir esta fuerza hacia la fundacion, con las consiguientes consecuencias perjudicialesque podrıan surgir debido a este fenomeno.

Existe en la practica otra situacion donde se requiere el aislamiento de algun dispositivo o equi-po de los efectos vibratorios exteriores, y que se traducen en un excesivo movimiento del equipo sieste esta directamente apoyado en una superficie que tiene movimiento vibratorio, como se indicaesquematicamente en la Figura 4.15(a); lo que puede dar lugar a mal funcionamiento del mismo. En-tonces, el objetivo del diseno consiste en limitar el desplazamiento del equipo que se quiere aislar. Paracumplir tal objetivo, consideremos el esquema de la Figura 4.15(b) donde suponemos que la exitaciones aplicada al soporte en forma de desplazamiento vibratorio de caracterıstica armonica.

(a) Dispositivo con movimiento deapoyo

(b) Sistema aislador de vibracion

Figura 4.15: Proceso de aislamiento de la vibracion

Sea y = y0 sin Ωt el movimiento armonico de apoyo o soporte, donde y0 es la amplitud y Ω lafrecuencia de la exitacion externa. Si el equipo esta rıgidamente conectado a su soporte o superficie deapoyo como se muestra en la Figura 4.15(a), entonces el equipo vibra solidariamente con el soporte yla amplitud maxima de desplazamiento es transmitida completamente. Para reducir la magnitud de lavibracion producida en el equipo, se propone instalar un elemento intermedio flexible y disipador deenergıa que funcione como elemento aislador de la vibracion inducida.

Midiendo el desplazamiento x(t) de la masa en movimiento con respecto a una referencia inercial,es decir considerando el desplazamiento absoluto, neto o total, que deseamos aislar en este caso; resultaque la ecuacion de movimiento es:

mx+ c(x− y) + k(x− y) = 0

Denotando ahora como: z = x − y, al desplazamiento relativo de la masa en movimiento (conrespecto al soporte o apoyo) y reemplazando en la ecuacion anterior,

m z + c z + k z = −my

m z + c z + k z = my0 Ω2 sin Ωt (4.28)

Considerando el termino: my0 Ω2, podemos verificar que dimensionalmente corresponde al valor demagnitud de una fuerza a la que denominaremos P0. Con estas consideraciones, la ecuacion gobernantedel movimiento relativo del equipo o dispositivo resulta:

m z + c z + k z = P0 sin Ωt

o, en forma estandar:


z + 2β ω z + ω2z =P0

msin Ω t

Esta ecuacion diferencial es completamente similar a la Ecuacion (4.13), y tiene como solucion auna expresion parecida a la que establece la Ecuacion (4.19). En nuestro caso la solucion resulta ser:

z(t) =y0 h

2√(1− h2)2 + (2βh)2

sin(Ω t− φ) , φ = arctan

(2β h

1− h2

)(4.29)

donde todos los terminos tienen significado ya conocido. De acuerdo a lo afirmado, nos proponemosconocer el desplazamiento total de la masa en movimiento, la cual puede calcularse mediante:

x(t) = z(t) + y(t) =y0 h

2√(1− h2)2 + (2βh)2

sin(Ω t− φ) + y0 sin Ωt

No es muy difıcil demostrar que esta solucion puede escribirse en la forma indicada a continuacion:

x(t) = y0

√1 + (2βh)2√

(1− h2)2 + (2βh)2sin(Ωt− ψ) , tanψ =

2βh3

1 + (4β2 − 1)h2(4.30)

Definimos la transmisibilidad de desplazamiento como la relacion de la respuesta de desplazamientodel equipo y la amplitud de desplazamiento del movimiento de apoyo: tr = x(t)/y0. Como en el casode la transmisibilidad de carga estaremos interesados en el valor maximo de esta relacion proporcionalal cual se conoce con el nombre de transmisibilidad maxima (de desplazamiento) que resultarıa serla comparacion de la amplitud maxima de movimiento transmitido al equipo con la amplitud deldesplazamiento de exitacion aplicado, o sea:

trmax(β, h) =xmax

y0

=

√1 + (2βh)2

(1− h2)2 + (2βh)2(4.31)

La Ecuacion (4.31) nos dice que la transmisibilidad del desplazamiento tiene exactamente la mismaexpresion que describe la transmisibilidad de la fuerza; por esta razon la Figura 4.13 tiene tambienaplicacion para el diseno de una aislacion para el desplazamiento vibratorio que podrıa presentar elapoyo de un instrumento o equipo que deseamos no vibre con la misma amplitud que el soporte.

Ejemplo 4.5. Un mecanismo de yugo–escoces proporciona una exitacion armonica a la base de unsistema masa–resorte–amortiguador como se muestra en la Figura 4.16. El brazo de manivela del me-canismo tiene 80 mm de largo. La velocidad de rotacion del brazo de manivela de este mecanismo esvariada y la amplitud resultante de estado estacionario es grabada para cada valor de velocidad impri-mida. La amplitud maxima registrada del bloque de 14,5 kg es de 13 cm cuando la velocidad angulares de 1000 rpm. Determine los coeficientes de rigidez y amortiguamiento equivalentes del sistema quees perturbado por el movimiento de su base.

> Solucion

La ecuacion de movimiento en este caso corresponde a la de un sistema de un grado de libertad conmovimiento de soporte:

mx+ c x+ k x = y0 sin Ω t

donde la amplitud de la exitacion – movimiento de apoyo – esta determinada por la longitud que tieneel brazo de manivela del mecanismo: y0 = L. Por los datos proporcionados, la transmisibilidad maximade desplazamiento esta determinada por:

trmax(β, h) =xmax

y0

=xmax

L=

130

80= 1, 625


Figura 4.16: Mecanismo de yugo–escoces como movimiento de apoyo

El valor de la fraccion de amortiguamiento crıtico que corresponde a esta transmisibilidad maximaesta determinada por la Ecuacion (4.26). Sin embargo, la manipulacion algebraica de esta relacion,como puede comprobarse, conduce a valorar las raıces de una ecuacion polinomial de quinto grado enβ2; lo cual evidentemente es demasiado engorroso.

Para resolver el problema utilizaremos un metodo numerico basado en el rastreo de las raıces deuna funcion arbitraria mediante aproximaciones sucesivas. Para ello, reordenamos la Ecuacion (4.25)en la forma indicada a continuacion;

h2 =−1 +

√1 + 8β2

4β2, ⇒ β =

√1− h2

2h4

Un valor de h < 1 se escoge como prueba, y el valor correspondiente de β se calcula con la ecuacionanterior; luego, con este valor procedemos a evaluar el valor correspondiente de trmax(β, h) mediantela Ecuacion (4.31), que por comodidad repetimos aquı:

trmax(β, h) =

√1 + (2βh)2

(1− h2)2 + (2βh)2

El valor ası calculado de trmax se compara con el valor deseado. Si el error porcentual relativo esmuy elevado, se escoge un nuevo valor de h y se repite el procedimiento hasta obtener un error desolucion que se considere aceptable. Otros esquemas de iteracion por supuesto que son posibles, peroel metodo que presentamos es el mas directo para las ecuaciones a manipularse.

Los resultados de aplicacion del procedimiento descrito a la situacion en analisis, es presentada enforma tabular mediante el arreglo de datos siguiente:

h β trmax

0,98 0, 147 3,180

0,90 0, 381 1,702

0,89 0, 407 1,640

0,88 0, 437 1,573

Por los valores de resultado en la columna de trmax, es evidente que la solucion buscada se ubica entrelos dos ultimos de la misma. Probando con h = 0, 887 se tiene:

β =

√1− h2

2h4=

√1− 0, 8872

2(0, 887)4= 0, 415


trmax =

√1 + (2βh)2

(1− h2)2 + (2βh)2=

√1 + (2×0, 415×0, 887)2

[1− (0, 887)2]2 + (2×0, 415×0, 887)2= 1, 62

que podemos aceptar como una solucion muy razonable. Entonces, tomamos como solucion del pro-blema planteado a los valores recientemente calculados:

h = 0, 887 y β = 0, 415

La frecuencia natural circular del sistema se avalua ahora como:

h =Ω

ω⇒ ω =

Ω

h=

1000

0, 887= 1127, 4

rev

min×

2π rad

1rev×

1min

60 seg= 118, 06 rad/seg

de donde resulta que el coeficiente de rigidez equivalente del sistema es:

k =

√k

m⇒ k = mω2 =

14, 5

981118, 062 = 206, 02 Kg/cm

y, el coeficiente de amortiguamiento equivalente resulta ser:

c

m= 2β ω ⇒ c = 2β ωm = 2×0, 415×118, 06×

14, 5

981= 1, 45 Kg-seg/cm

>

Efectividad del aislamiento

Algunos autores definen la cantidad denominada efectividad del aislamiento, que generalmente seexpresa en terminos porcentuales para indicar la eficiencia que tiene el sistema de aislacion instalado;ya sea para mitigar la amplitud de fuerza transmitida a los apoyos (en el caso de una maquina quegenera una fuerza dinamica), o para reducir la amplitud del movimiento transferido (en el caso deun dispositivo o equipo cuyo soporte posea desplazamiento dinamico). Esta caracterıstica del sistemaaislador se define como:

% ef = (1− trmax)×100 , trmax < 1 (4.32)

donde la transmisibilidad maxima se determina mediante la Ecuacion (4.31) (que es la Ecuacion (4.24)repetida).

Sabemos que el sistema de aislacion incorporado en cierta situacion para mitigar el efecto de lavibracion cumple con este cometido cuando la transmisibilidad es menor que la unidad trmax < 1, loque ocurre cuando la relacion de frecuencias cumple la condicion: h >

√2. Ademas, si suponemos que

la fraccion de amortiguamiento crıtico es de valor muy pequeno β ∼= 0, entonces la transmisibilidadresulta ser:

trmax =1

h2 − 1

y, por tanto:% ef =

(1− 1

h2 − 1

)×100

% ef =

(h2 − 2

h2 − 1

)×100 (4.33)

El desarrollo anterior puede tener mejor interpretacion cuando se relaciona la efectividad del aisla-miento con la frecuencia de la exitacion y la deflexion estatica producida por el peso propio del equipoo maquinaria a ser aislada. La Ecuacion (4.32) puede ser escrita como se muestra aquı:

% ef

100= 1− trmax = 1− 1

h2 − 1

despejando h,


h =

√200− % ef

100− % ef(4.34)

Recordemos que la relacion de frecuencias se define mediante:

h =Ω

ω=

2πfΩ√k/m

= 2πfΩ

√m

k= 2πfΩ

√mg

kg

La deformacion estatica provocada por el peso propio del equipo o maquinaria a ser aislada es:xestW = W/k = mg/k, que nos permite escribir:

h = 2πfΩ

√xestW

g(4.35)

Si ahora combinamos las Ecuaciones (4.34) y (4.35), tendremos como resultado:

2πfΩ

√xestW

g=

√200− % ef

100− % ef

de donde,fΩ =

√g/(2π)√xestW

√200− % ef

100− % ef(4.36)

Figura 4.17: Efectividad de un sistema aislador de vibraciones

En la Figura 4.17 se muestra una grafica de la Ecuacion (4.36), en la que se toma el valor del % efcomo parametro variable. En esta figura, tambien mostramos las zonas que estan involucradas en elproceso de aislamiento de los efectos de vibracion: la zona de aislamiento – donde el aislador poseeverdadera efectividad; y la zona de amplificacion – donde los efectos de la perturbacion se magnifican.

Ejemplo 4.6. Un equipo de medicion que tiene un peso de 28 Kg va a utilizarse en una instala-cion industrial para realizar la toma de algunos datos de control de funcionamiento, eventualmente.Debido a la maquinaria instalada en dicha factorıa, se sabe que se el tablero donde se apoyara el


equipo vibra armonicamente con amplitud de desplazamiento de 2,5 mm y 12 Hz de frecuencia. Pa-ra reducir la vibracion transmitida al equipo se propone poner una lamina delgada de espuma decaucho entre la base del equipo y el tablero, como muestra la Figura 4.18; la cual se estima tieneuna fraccion de amortiguamiento crıtico equivalente al 15 %. Determinar los parametros dinamicos delsistema aislador necesarios para obtener un 60 % de efectividad de aislacion de la vibracion ambiental.

Figura 4.18: Equipo con sistema de aislacion de vibracion ambiental

> Solucion

La transmisibilidad maxima del sistema aislador la podemos determinar en base al dato de efectividaddel mismo:

% ef = (1− trmax)×100 , ⇒ trmax = 1− % ef

100= 1− 60

100= 0, 4

Suponiendo que el funcionamiento ocurre en el intervalo de aislacion optima h >√

2 y el coeficientede amortiguamiento es pequeno para la lamina de caucho (β = 0, 15), podemos hacer uso de laEcuacion (4.31) para determinar la relacion de frecuencias correspondiente,

trmax =

√1 + (2βh)2

(1− h2)2 + (2βh)2, ⇒ 0, 4 =

√1 + (2×0, 15h)2

(1− h2)2 + (2×0, 15h)2

Realizando operaciones, llegamos a plantear la ecuacion siguiente:

h4 − 3, 575h2 − 5, 25 = 0 , ⇒ h = 2, 17 >√

2

La frecuencia de la exitacion (del movimiento de apoyo) permitira determinar la frecuencia circulardel sistema aislador;

Ω = 2π f = 2×π×12 = 75, 4 rad/seg

h =Ω

ω⇒ ω =

Ω

h=

75, 4

2, 17= 34, 75 rad/seg

La masa del sistema se obtiene a partir del peso propio del equipo:

m = W/g = 28/981 = 0, 0285 Kg-seg2/cm

y, en base a la fraccion de amortiguamiento crıtico conocida y la frecuencia natural no–amortiguadaobtenida, podemos estimar el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente;

c

m= 2β ω , ⇒ c = 2β ωm = 2×0, 15×34, 75×0, 0285 = 0, 297 Kg-seg/cm


La rigidez de resorte lineal elastico equivalente requerida, ahora puede calcularse a partir de:

ω2 =k

m, ⇒ k = mω2 = 0, 0285×34, 752 = 34, 41 Kg/cm

Si se van a elegir laminas de espuma de caucho disponibles, se encontrara que en el mercado soloexisten rigideces comerciales de valores discretos enteros; digamos: 33, 34 y 35 Kg/cm. Eligiendo elvalor mas flexible cercano (porque ?) debemos verificar el valor de la efectividad del aislamiento delmodo siguiente:

ω =

√k

m=

√34

0, 0285= 34, 54 rad/seg

f =ω

2π=

34, 54

2π= 5, 49 Hz

h =Ω

ω=

12

5, 49= 2, 18

trmax =

√1 + (2βh)2

(1− h2)2 + (2βh)2=

√1 + (2×0, 15×2, 18)2

(1− 2, 182)2 + (2×0, 15×2, 18)2= 0, 31

% ef = (1− trmax)×100 = (1− 0, 31)×100 = 69 %

Por lo que el diseno puede considerarse satisfactorio !.Como cambiarıa el diseno del sistema aislador si se considera el amortiguamiento de valor nulo ?.

En este caso: β = c/cc = 0, y puesto que se requiere que % ef = 60 % (trmax = 0, 4); entonces conseguridad h >

√2. Por lo tanto,

trmax =1

h2 − 1, ⇒ h =

√1 + trmax

trmax=

√1 + 0, 4

0, 4= 1, 87

h =Ω

ω, ⇒ ω =

Ω

h=

75, 4

1, 87= 40, 32 rad/seg

k = mω2 = 0, 0285×40, 322 = 46, 33 Kg/cm

Si por ejemplo consideramos una lamina con coeficiente de rigidez de valor: k = 45 Kg/cm, se tiene:

ω =

√k

m=

√45

0, 0285= 39, 74 rad/seg

f =ω

2π=

39, 74

2π= 6, 32 Hz

h =Ω

ω=

12

6, 32= 1, 89

trmax =1

h2 − 1=

1

1, 892 − 1= 0, 38

% ef = (1− trmax)×100 = (1− 0, 38)×100 = 62 % >Un analisis de los dos procedimientos mostrados en este ejemplo nos revela que si bien se ha

logrado satisfacer el requerimiento de una adecuada aislacion con efectividad pre–determinada, elsuponer el sistema aislador excento de amortiguamiento lleva a elegir un resorte equivalente mas rıgido(y posiblemente mas costoso) como tambien a esperar problemas en la zona de resonancia debido a laausencia de amortiguacion.


Consideraciones adicionales

La mecanica del cuerpo rıgido nos ensena que en general cualquier cuerpo en el espacio tiene seisgrados de libertad (tres traslaciones y tres rotaciones). Esto nos indica que tendremos seis tipos defrecuencia resonante, pese a que el movimiento predominante estara limitado a un numero menor decoordenadas generalizadas. Se deben tomar precauciones que eviten se presenten efectos indeseables enlos modos de movimiento no considerados, lo cual se puede lograr haciendo que todas las frecuenciasno aisladas sean considerablemente mayores que la frecuencia resonante fundamental o principal.

En toda la discusion anterior se supuso que el suelo de fundacion era infinitamente rıgido. Estahipotesis es totalmente valida cuando el peso de la fundacion es por lo menos dos veces el peso dela maquinaria, o cuando la superficie de contacto entre suelo y fundacion es tal que proporcione unarigidez mucho mayor a la rigidez proporcionada por los elementos elasticos. Si esta situacion no sepresenta, sera necesario corregir la frecuencia natural del sistema mediante la siguiente relacion:

ω′ = ω

√1 +

m

M(4.37)

Figura 4.19: Modelo de maquina vibrante y su fundacion

La Ecuacion (4.37) se la obtiene considerando el sistema compuesto maquina + fundacion mostradoen la Figura 4.19 (este sistema tiene dos grados de libertad). Este modelo considera la masa propiaque tiene la fundacion, su amortiguamiento que generalmente se especifica como una fraccion del valorde amortiguamiento crıtico, y la rigidez propia de la fundacion que puede calcularse analıticamentemediante las formulas indicadas en la Figura 4.20, para fundaciones circulares de hormigon armado enlas que E es el modulo de elasticidad, G el modulo de Young, ν el coeficiente de Poison (ν = 1/3 parael hormigon), y r0 es el radio de la fundacion circular. Para fundaciones de geometrıa rectangular, r0

es el radio de fundacion circular equivalente que tiene identica area que la fundacion rectangular.

Movimiento Rigidez

Vertical kx =4Gr0

1− ν

Cabeceo kΨ =8Gr3

0

3(1− ν)

(a) Coeficientes de rigidez

G =E

2(1− ν)

(b) Diagrama esquematico

Figura 4.20: Fundacion tipo placa circular

Antes de finalizar esta breve exposicion sobre aislamiento de maquinaria, se recomienda tomar lassiguientes precauciones de tipo practico:


(a)Los aisladores deben ser colocados en forma simetrica conrespecto al centro de gravedad de la maquina, de manera deasegurar que la resultante de las fuerzas en los muelles tengalınea de accion que pase a traves del centro de gravedadpara que no surja ninguna cupla o momento.

(b)El centro de gravedad de la maquinaria debe colocarse lomas bajo posible, esto para eliminar el movimiento de cabe-ceo, que puede dar lugar a un modo de respuesta indeseable.Para hacerlo, se puede adosar una masa de peso considera-ble a la base de la maquina.

(c)Como indicamos, se puede ‘bajar’ el centro de gravedad dela maquinaria, adosando una masa entre el equipo y susaisladores; o se puede recurrir al concepto de piso flotante(aislador generalmente de goma) que tiene el mismo efecto.

4.4. Exitacion armonica de amplitud variable

Todo el analisis llevado a cabo anteriormente considero el caso de exitacion armonica con amplitudconstante; no obstante existen situaciones, particularmente para maquinaria rotativa, en las que laamplitud de la exitacion varıa con la frecuencia de la misma. Este caso se presenta cuando el eje derotacion de cierto elemento motriz no coincide con su centro de masa. Este efecto de la respuesta delsistema se considerara brevemente en esta seccion.

(a) Seccion en movimiento rotacional (b) Elemento masico diferencial (c) Fuerza centrıfuga resultante

Figura 4.21: Elemento material en movimiento rotacional

En la Figura 4.21(a) se muestra la seccion de un elemento material o masa en movimiento rotacional,en la que el centro de gravedad no coincide con el eje de rotacion. En el esquema se elije el origen delsistema coordenado coincidente con el eje de rotacion (eje z), y se muestra un elemento diferencial demasa ubicado en cierta posicion generica (x, y).

Con referencia a la Figura 4.21(b) suponiendo que este cuerpo rota con velocidad angular constanteΩ, la aceleracion de la partıcula de masa elemental se puede obtener a partir del vector posiciongenerico:

~r = r cos Ωtı+ r sin Ωt , r = |~r|

4.4. EXITACION ARMONICA DE AMPLITUD VARIABLE 107

~a = ~r = −Ω2 r cos Ωtı− Ω2 r sin Ωt = −Ω2 ~r

La fuerza centrıfuga o fuerza inercial (fuerza de D’Alembert) a la que esta sometida la masaelemental componente del cuerpo en rotacion es:

d~P = −(dm) ~a = Ω2 ~r dm

Integrando sobre toda la masa del cuerpo en movimiento, obtenemos la fuerza centrıfuga resultante:

~P =

∫m

Ω2 ~r dm = Ω2

∫m

~r dm

Pero, sabemos que la ubicacion del centro de masa esta determinada por la relacion:

~rcm =

∫m~r dm

m, ~rcm = xcı+ ycı , e = |~rcm| =

√x2c + y2

c

Si combinamos estas ultimas dos ecuaciones, obtenemos:

~P = Ω2m~rcm

cuya magnitud es, P = |~P | = Ω2m |~rcm| = Ω2me

y es una fuerza rotacional que esta aplicada como resultante en la ubicacion que posee el centro demasa del cuerpo en movimiento rotacional, como muestra la Figura 4.21(c).

Si nos proponemos estudiar el movimiento segun la direccion ‘y’, la componente de fuerza a consi-derar vendra dada por:

P (t) = Ω2me sin Ωt (4.38)

Si llamamos P0 = Ω2me a la amplitud de esta carga, vemos que se trata de una solicitacioncon amplitud variable; ya que la velocidad angular de regimen en funcionamiento normal no se laadquiere instantaneamente, sino que existe un intervalo de tiempo en el que la velocidad angular seincrementa desde cero hasta su valor final. Este tipo de solicitacion se presenta en la rotacion de ejesque sostienen masas solidarias como en el caso de sistemas de transmision o generacion de potenciamecanica mediante poleas, rotores, etc.

(a) Diagrama esquematico (b) Diagrama de cuerpo libre

Figura 4.22: Maquina con elemento material desbalanceado en movimiento rotacional

La maquina de la Figura 4.22(a) tiene un elemento componente que rota con velocidad angularconstante Ω, que tiene su centro de masa localizado a una distancia e (denominada excentricidad)con respecto al eje de rotacion. La masa del componente rotante es m; mientras la masa de la maqui-na (incluyendo la masa rotacional) es M . La maquina esta restringida a moverse verticalmente. La


aceleracion del elemento que rota relativo a la maquina es meω2 dirigida desde su propio centro demasa hacia el eje de rotacion. Puesto que la localizacion del centro de masa del elemento rotante semueve sincronizadamente con el movimiento de este elemento, la direccion de esta aceleracion tambiencambia.

La suma de fuerzas efectivas (que incluyen las fuerzas inerciales o de D’Alembert provenientes dela aceleracion) mostradas en la Figura 4.22(b) deben dar una resultante nula, debido al equilibriodinamico existente en cualquier instante; entonces:

−FM

i − Fmi − Fc − Fk + P (t) = 0

−(M −m) x−mx− c x− k x+meΩ2 sin Ωt = 0

O sea, que la ecuacion de movimiento resulta:

M x+ c x+ k x = meΩ2 sin Ωt (4.39)

Ahora, si denotamos la amplitud de carga externa aplicada como: P0 = meΩ2, la ecuacion anteriorescrita en su forma estandarizada es:

x+ 2β ω x+ ω2 x =P0

Msin Ωt (4.39a)

la misma que la Ecuacion (4.13), que tiene como solucion de estado estacionario a la Ecuacion (4.19);puesto que no se considera la vibracion libre a causa de condiciones iniciales de movimiento. Ası, larespuesta de desplazamiento del sistema es:

x(t) =Ω2me/k√

(1− h2)2 + (2βh)2sin(Ω t− φ) , φ = arctan

(2β h

1− h2

)Recordando que ω =

√k/M y h = Ω/ω, la solucion anterior puede ponerse en la forma:

x(t) =(m/M) e h2√

(1− h2)2 + (2βh)2sin(Ω t− φ) (4.40)

De aquı podrıamos establecer una ‘relacion analoga al factor dinamico de carga’ para este tipo deexitacion, definida mediante:

fdc∗ (t, β, h) =M x(t)

me=

h2√(1− h2)2 + (2βh)2

sin(Ω t− φ)

En virtud que estaremos interesados en el valor de amplitud de vibracion maximo, de la relacionanterior se obtiene: 2

fdc∗max =M xmax

me=

h2√(1− h2)2 + (2βh)2

(4.41)

En la Figura 4.23 se muestra el espectro de respuesta definido por la Ecuacion (4.41) para diversosvalores de la fraccion de amortiguamiento crıtico β (tomado como parametro).

Las siguientes conclusiones pueden obtenerse del analisis de la Ecuacion (4.41), y la Figura 4.23como representacion grafica de esta relacion matematica:

1. fdc∗max = 0 si y solamente si h = 0 para todos los valores de la fraccion de amortiguamientocrıtico β.

2 Se previene al lector que la Ecuacion (4.41) no es exactamente un factor dinamico de carga, debido a que laexcentricidad de masa rotacional del sistema ‘e’ no es un factor de respuesta de la estructura. Muchos autores denominana este parametro dinamico como: factor de amplificacion. Por ello, denotaremos a esta caracterıstica como fdc∗max (noteseel uso del super–ındice).


Figura 4.23: Espectro de respuesta – Exitacion armonica variable

2. fdc∗max → 1 para valores muy grandes de la relacion de frecuencias h, para todos los valoresadmisibles de β para sistemas amortiguados.

3. fdc∗max →∞ cuando h ∼= 1, para β = 0 (sistema no–amortiguado).

4. Para 0 < β < 1/√

2 existe un valor maximo para la Ecuacion (4.41),que se presenta cuando larelacion de frecuencias es igual a:

hM =1√

1− 2β2(4.42)

que se obtiene hallando el valor de h para el que: dfdc∗max/dh = 0.

5. Para un valor determinado de la fraccion de amortiguamiento crıtico 0 < β < 1/√

2, el valormaximo (maximorum) del factor dinamico de carga, correspondiente a hM esta dado por:

fdc∗max(β) =1

2β√

1− β2(4.43)

6. Para β > 1/√

2, el fdc∗max no presenta un valor maximo, ya que crece desde un valor nulo yasintoticamente tiende hacia la unidad.

Si consideramos nuevamente la Ecuacion (4.41) y la escribimos en la forma siguiente:

fdc∗max =M xmax

me=

1√(1− h2)2 + (2βh)2

h2


mediante simples operaciones algebraicas, se demuestra que puede ser escrita como:

fdc∗max =1√

[1− (h′)2]2 + (2βh′)2(4.44)

donde: h′ = 1/h = ω/Ω es la relacion de frecuencias original invertida. Y, lo notable de esta relacion esque podemos apreciar que es completamente similar a la Ecuacion (4.20), donde se toma h′ en lugar deh. Esto, ademas nos indica que podemos utilizar el espectro de respuesta establecido para solicitacionarmonica no–amortiguada de amplitud constante, mostrada en la Figura 4.10, para realizar el analisisy calculo numerico de problemas relacionados con exitacion armonica de amplitud variable debido acondicion de masas rotantes excentricas !.

Si ahora consideramos un sistema no–amortiguado; es decir: c = 0, y por tanto β = c/cc = 0, laEcuacion (4.44) se transforma en:

fdc∗max =1√

(1− h′)2=

∣∣∣∣ 1

1− (h′)2

∣∣∣∣ (4.45)

Esta expresion se hace infinita cuando la relacion de frecuencias inversa toma valor unitario; es decir:

fdc∗max =∞ ⇔ h′ = 1 ⇒ ω = Ω

que es la condicion resonante del sistema. Ası, la velocidad angular de funcionamiento Ω para la cual elsistema entra en resonancia se llama velocidad angular crıtica; y esta asociada con la vibracion verticalde la maquina.

Ejemplo 4.7. En la Figura 4.24 se muestra un eje acoplado a sendos cojinetes instalados en susextremos y una masa rotatoria excentrica en medio de su longitud. El conjunto de estas piezas rotacon relacion a la direccion axial del eje con velocidad angular determinada. Suponiendo conocidaslas propiedades materiales y mecanicas del sistema, determinar la velocidad crıtica. Los parametrosnecesarios para el analisis se indican en la Figura, y los mismos se consideran de magnitudes conocidas.

Figura 4.24: Eje y volante en movimiento rotacional

> Solucion

Durante la puesta en marcha del sistema pueden presentarse violentas vibraciones laterales asociadascon el modo de vibracion flexional del eje cuando el sistema alcance la condicion de resonancia. Dostipos de respuesta deberan considerarse en el analisis general del problema:

(a) Las vibraciones torsionales, que no se veran substancialmente afectadas por la presencia de loscojinetes o rodamientos en los que se apoyan los extremos del eje.

(b) Las vibraciones laterales debido a la presencia de la masa rotativa conectada solidariamente aleje que la sostiene.


El problema planteado en el inciso (b) es de nuestro interes, y en general para un eje de secciontransversal circular podra tratarse en forma independiente del problema torsional (a).

Si suponemos que es posible despreciar el peso propio del eje, considerando los efectos de amor-tiguamiento y asumiendo que los cojinetes no absorven movimiento de empotramiento, entonces ladisposicion de montaje puede suponerse con el eje simplemente apoyado; por lo que la ecuacion demovimiento resulta:

mx+ c x+ k x = Ω2me sin Ωt

donde ‘e’ es la distancia entre el centro de masa del volante y el centro del eje de rotacion, a la cual comoindicamos se la denomina comunmente excentricidad. Notemos que en este caso, la masa del sistemaes identica a la masa del elemento rotante, por lo que la proporcion de masas m/M que aparece en lasecuaciones deducidas en esta seccion vale la unidad (m/M = 1).

Para el caso planteado y puesto en analisis, la condicion resonante del sistema se presenta cuando lafrecuencia de la exitacion externa aplicada – la fuerza de exitacion que proviene del desbalanceamientodel volante – se iguala con la frecuencia natural no–amortiguada del sistema; entonces:

Ω = ω =

√k

m

donde:k =

48E I

L3, I =

π d4

64

E es el modulo de elasticidad, L la longitud, y d el diametro del eje circular. Por lo tanto, la velocidadangular crıtica del sistema es:

Ω = ω =

√3Eπ d4

4mL3 >Si el sistema se disena en forma adecuada, es decir manteniendo el valor de la Ecuacion (4.45) a nive-

les razonables, no se presentaran oscilaciones laterales flexionantes muy grandes en el sistema. Ademasdebemos considerar que en la realidad todo sistema siempre posee algun monto de amortiguamientoque mitigara las amplitudes en condicion de resonancia.

Sin embargo, se previene que en caso de considerarse una amplia gama de velocidades de funcio-namiento, puede ser necesario un analisis que incluya otros modos de oscilacion no tomados en cuentaen este modelo. La tecnica apropiada, sin embargo, entra en el dominio de los sistemas con un numeromultiple de grados de libertad.

Ejemplo 4.8. Una bomba hidraulica tiene un peso total de 128 Kg, y posee un rotor de 36 Kg de pesoel cual tiene una excentricidad equivalente a 3,2 mm con relacion a su eje de rotacion. Para evitar laamplificacion de fuerza transmitida a la cimentacion a causa del desbalanceo, se sugiere instalar cuatroresortes y amortiguadores; un par de ellos en cada vertice de su placa base rectangular como muestrala Figura 4.25. Si la velocidad de regimen de funcionamiento de la maquina esta en el rango de 1600a 2000 rpm, y se estima en 8 % la fraccion de amortiguamiento crıtico; especificar los coeficientes decada uno de los elementos que conforman el sistema de aislacion de vibracion propuesto, si se limitala amplitud de vibracion de la maquina a un maximo de 2 mm.

> Solucion

La bomba hidraulica, debido al desbalanceo de su rotor, generara una fuerza de exitacion durante sufuncionamiento. La ecuacion que gobierna la dinamica de su movimiento en direccion vertical es:

M x+ c x+ k x = meΩ2 sin Ωt

donde los parametros asociados con la flexibilidad y el amortiguamiento, son valores equivalentes parael sistema de aislacion en conjunto.


Figura 4.25: Bomba hidraulica con sistema aislador de vibracion

El factor dinamico de carga maximo atribuıdo al caso de carga de exitacion debido al desbalanceode masas rotantes esta dado por la Ecuacion (4.41)

fdc∗max =M xmax

me=

h2√(1− h2)2 + (2βh)2

que para el caso presente da como resultado un valor predeterminado:

fdc∗max =M xmax

me=

128×2

36×3, 2= 2, 22

Como la fraccion de amortiguamiento crıtico del sistema esta especificado: β = 8 % = 0, 08 podemosresolver la ecuacion anterior para la relacion de frecuencias. Ademas, como calculamos que fdc∗max > 1y β < 1/

√2, la Figura 4.23 muestra que dos valores de h corresponderan al valor especificado del factor

dinamico de carga. Reemplazando datos y desarrollando, se logra plantear la ecuacion siguiente:

h4 − 2, 477h2 + 1, 255 = 0

cuyas raıces, como puede comprobarse facilmente, resultan ser:

h1 = 0, 843 y h2 = 1, 329

Luego, fdc∗max < 2, 22 si h < 0, 843 o si h > 1, 329. Estos son valores que nos permitiran calcularla frecuencia natural circular, y posteriormente la rigidez de la aislacion, puesto que conocemos lafrecuencia de exitacion: 1600 6 Ω 6 2000 rpm (167, 55 6 Ω 6 209, 44 rad/seg)

Requiriendo que h < 0, 843 sobre todo el rango de frecuencias de funcionamiento de la maquinaria,tendremos:

h <Ω

ω, ⇒ ω <

Ω

h=

209, 44

0, 843= 248, 45 rad/seg

Pero ω2 = keq/M , entonces:

keq < M ω2 =128

981248, 452 = 8054, 14 Kg/cm

Como los resortes estan instalados en paralelo (la deformacion es la misma para todos ellos), sedebe cumplir en este caso:

keq =

4∑i=1

ki = 4 k , ⇒ k =keq

4< 2013, 54 Kg/cm

El coeficiente de amortiguamiento de cada uno de los dispositivos se calcula como sigue:

ceq

M< 2β ω , ⇒ ceq < 2β ωM = 2×0, 08×209, 44×

128

981= 4, 37 Kg-seg/cm


ceq =

4∑i=1

ci = 4 c , ⇒ c =ceq

4< 1, 09 Kg-seg/cm

Si ahora requerimos se cumpla la otra posibilidad: h > 1, 329 sobre todo el rango de funcionamiento,tendremos repitiendo el calculo.

h >Ω

ω, ⇒ ω >

Ω

h=

167, 55

1, 329= 126, 07 rad/seg

keq > M ω2 =128

981126, 072 = 2073, 79 Kg/cm

k >keq

4> 518, 32 Kg/cm

ceq > 2β ωM = 2×0, 08×167, 55×128

981= 3, 49 Kg-seg/cm

c =ceq

4> 0, 87 Kg-seg/cm

En resumen, si se desea que la amplitud de la vibracion de la maquina no exceda los 2 mm ;los coeficientes de rigidez (para los resortes) y de amortiguacion (para los amortiguadores) que sepretenden instalar en los vertices de la placa base de la maquina, deberan tener valores en los rangossiguientes:

518, 32 6 k 6 2013, 54 Kg/cm y 0, 87 6 c 6 1, 09 Kg-seg/cm

Obviamente, otras consideraciones adicionales deben establecerse para escoger los dispositivos ainstalarse como: la tension interna maxima, el material, la durabilidad, y el costo de los mismos; comoaspectos importantes de simple ejemplo. >

A modo de comprobacion de los resultados obtenidos en el ejemplo anterior, indicamos que la Ecua-cion (4.44) puede utilizarse para resolver problemas con exitacion de amplitud variable. Si comproba-mos solo una de las soluciones encontradas para la fraccion de amortiguamiento crıtico, tendrıamos:

h = 0, 843 , h′ =1

h=

1

0, 843= 1, 186

fdc∗max =1√

[1− (h′)2]2 + (2βh′)2=

1√(1− 1, 1862)2 + (2×0, 08×1, 186)2

= 2, 22

lo cual ratifica que efectivamente se obtiene el valor del fdc∗max especificado para el problema.

4.4.1. Balanceo de rotores

En el desarrollo teorico previo, el sistema fue idealizado como una unidad resorte – masa – amorti-guador con un desbalance rotatorio que actua en un solo plano. Es mas probable que el desbalance deun rotor este distribuıdo en varios planos. Queremos distinguir entre dos tipos de desbalance rotatorioy mostrar como este desperfecto puede corregirse.

Desbalance estatico

Cuando las masas no–balanceadas yacen en un plano singular, como en el caso de un rotor dedisco delgado, el desbalance resultante es una fuerza radial. Como se muestra en la Figura 4.26(a),tal desbalance puede detectarse por medio de una prueba estatica en la cual el conjunto eje–rueda escolocado sobre un par de rieles horizontales. La rueda rodara girando hasta detenerse en una posicionen donde el punto pesado estara directamente debajo el eje. Como tal desbalance puede detectarse sinnecesidad de hacer girar la rueda, se llama desbalance estatico.


(a) Desbalance estatico (b) Desbalance dinamico (c) Maquina de balanceo de rotor

Figura 4.26: Tipos de desbalanceo y equipo para su correccion

Desbalance dinamico

Cuando el desbalance aparece en mas de un plano, la resultante es una fuerza y un momento debalanceo que constituyen el llamado desbalance dinamico. Como se describio previamente, una pruebaestatica puede detectar la fuerza resultante, pero el momento de balanceo no puede detectarse sinhacer girar el rotor.

Por ejemplo, consideremos un eje con dos discos como se muestra en la Figura 4.26(b); si las dosmasas no balanceadas son iguales y estan a 180, el rotor estara estaticamente balanceado con respectoal eje del arbol. Sin embargo, cuando el rotor esta girando, cada disco no–balanceado establecera unafuerza centrıfuga rotante que tiende a mecer el arbol en sus cojinetes.

En general, un rotor largo tal como una armadura de motor o el ciguenal del motor de automovil,pueden considerarse como una serie de discos delgados con algun desbalance. Tales rotores deben serensayados haciendolos girar para poder detectar el desbalance.

Las maquinas que detectan y corrigen el desbalance del rotor se denominan maquinas de balanceo.esencialmente la maquina de balanceo consiste de cojinetes portantes montados sobre resortes a fin dedetectar las fuerzas no balanceadas por su movimiento, como muestra la Figura 4.26(c). Conociendola amplitud de movimiento de cada cojinete y su fase relativa, es posible determinar el desbalance ycorregirlo.

Ejemplo 4.9. Aunque un disco delgado puede ser balanceado estaticamente, tambien puede serlodinamicamente. Describir una prueba que pueda ser realizada facilmente.

(a) Diagrama esquematico (b) Fuerzas de desbalanceo

Figura 4.27: Balanceo experimental de disco delgado

> Solucion


El disco esta soportado por cojinetes sobre resortes que pueden moverse horizontalmente como muestrala Figura 4.27(a). Funcionando a cualquier velocidad predeterminada, la amplitud x0 y la posicion dela rueda “a” en amplitud maxima se registran. Para esto puede utilizarse un acelerometro en el cojinetey un estroboscopio. La amplitud x0, debido al desbalance original m0, es dibujada a escala en la rueda;en la direccion de o hacia a.

Seguidamente, una masa de ensayo m1 es anadida a cualquier punto de la rueda y el procedimientose repite a la misma velocidad de funcionamiento. La nueva amplitud x1 y la posicion de la rueda “b”,que son debidas al desbalance original m0 y a la masa de ensayo m1, estan representadas por el vector~ab, el cual es trazado sobre la rueda a continuacion del vector ~oa.

El vector diferencial ~ab es entonces el efecto de la masa de ensayo m1 sola. Si la posicion de m1

es ahora avanzada en un angulo Ψ mostrado en el diagrama de la Figura 4.27(b) y, se incrementa la

magnitud de m1 a m1(oa/ab), el vector ~ab se tornara igual y opuesto al vector ~oa. La rueda esta ahorabalanceada puesto que x1 es cero en estas condiciones. >

Un rotor largo puede ser balanceado adicionando o removiendo pesos de correccion en dos planosparalelos cualquiera, genaralmente, la correccion se hace perforando en los dos planos extremos; es decir,cada fuerza radial de inercia meΩ2 es reemplazada por dos fuerzas paralelas, una en cada extremo.Con varias masas desbalanceadas tratadas similarmente, la correccion requerida se determina a partirde su resultante en los dos planos extremos.

Ejemplo 4.10. Consideremos el balanceo de un rotor de 4 pulg de largo mostrado en la Figura 4.28.Tiene un desbalance de 3 onzas–pulg en un plano a una pulgada del extremo izquierdo y, un desbalancede 2 onzas–pulg en el plano medio, desplazado angularmente 90 del primer desbalance. Realizar elanalisis pertinente para efectuar el balanceo dinamico del rotor.

Figura 4.28: Balanceo de un rotor largo en planos extremos

> Solucion

El desbalance de 3 onzas–pulg es equivalente a 2 14 onzas–pulg en el extremo izquierdo y 3

4 onzas–pulgen el extremo derecho, como se muestra en la Figura 4.28. El desbalanceo de 2 onzas–pulg en el centro,es obviamente igual a 1 onza–pulg en cada uno de los extremos. Combinando (u componiendo) losdesbalances en cada extremo, las correcciones son:

En el extremo izquierdo:

C1 =√

12 + 2, 252 = 2, 47 onzas–pulg que deben removerse

θ1 = arctan1

2, 25= 240′ en direccion horaria a partir del plano del primer desbalance

En el extremo derecho:

C2 =

√(34

)2+ 12 = 1, 25 onzas–pulg que deben removerse


θ2 = arctan1

3/4= 530′ en direccion horaria a partir del plano del primer desbalance

Efectuandose la remocion de las masas calculadas en las direcciones angulares y posiciones radialesestablecidas, el rotor estara balanceado dinamicamente. >

4.5. Evaluacion del amortiguamiento

En el Capıtulo 3 se expuso un metodo para calcular la cantidad de amortiguamiento presente en unsistema o estructura. Es evidente a partir de la Ecuacion (4.20) y la grafica mostrada en la Figura 4.13que la forma de las diversas curvas esta controlada por el monto de amortiguamiento presente enel sistema, medido a traves de la fraccion de amortiguamiento crıtico. Por tanto, la respuesta a unaexitacion armonica puede utilizarse tambien con el objetivo de evaluar la cantidad de amortiguamientopresente en el sistema, lo cual puede hacerse de diversas formas. Expondremos en esta secion una delas maneras de procedimiento, conocido como el “metodo del ancho de banda”.

Esta tecnica, como todas sus similares, se aplica cuando por metodos experimentales podemosconocer la respuesta de un sistema. Si con el equipo disponible podemos medir la respuesta del sistemahacia una exitacion armonica aplicada al mismo y es posible, desde luego, graficar la curva de respuestahallada variando la frecuencia de exitacion; podemos elaborar una grafica similar a la mostrada en laFigura 4.29.

Figura 4.29: Espectro de respuesta – Exitacion armonica

Asumiendo que la fraccion de amortiguamiento crıtico no es de valor muy elevado (β < 20 %),sabemos que el maximo valor del espectro de respuesta se presenta casi practicamente para la condicionresonante (en realidad ocurre algo antes) con magnitud:

fdcmax(β) ∼= fdcres =1

2β

4.5. EVALUACION DEL AMORTIGUAMIENTO 117

como lo indica la Ecuacion (4.21).En la curva de respuesta ubicamos los puntos para los cuales el factor dinamico de carga maximo

toma el valor caracterıstico:fdc∗max =

fdcres√2

(4.46)

asociado con la potencia media de disipacion de energıa. Entonces de la Ecuacion (4.20) tendremos:

1√(1− h2)2 + (2βh)2

=1

2β√

2

expresion que nos permitira hallar los valores de h para los cuales la respuesta es igual al valor esta-blecido por la Ecuacion (4.46). Elevando al cuadrado esta ultima ecuacion y desarrollando, se obtiene:

h4 + (4β2 − 2)h2 + (1− 8β2) = 0

Resolviendo para h2 tendremos:

h21,2 = 1− 2β2 ± 2β

√1 + β2

Pero, como la fraccion de amortiguamiento crıtico es pequena, β2 1; por tanto las raıces serıan:

h21 = 1− 2β2 − 2β

h22 = 1− 2β2 + 2β

Obteniendo la raız cuadrada de las relaciones anteriores, y desarrollando el radical por expansionsegun el binomio de Newton (despreciando terminos de orden superior al segundo), se obtiene:

h1 =√

1− 2(β + β2) = 1− β − β2

h2 =√

1 + 2(β − β2) = 1 + β − β2

Combinando estas ecuaciones, tenemos finalmente para la fraccion de amortiguamiento crıtico:

β = 12 (h2 − h1) (4.47)

Esta tecnica requiere una evaluacion precisa de la curva de respuesta en el ancho de banda definidoentre h2 − h1, siendo la misma ademas independiente de la deflexion o deformacion estatica debida ala aplicacion de la amplitud de la carga de exitacion.

Ejemplo 4.11. En la Figura 4.30 se muestran los datos de respuesta en frecuencia a una exitacionarmonica de un sistema de un grado de libertad, donde se grafica la amplitud de vibracion maxima enfuncion de la frecuencia de la carga armonica aplicada. Estimar con los datos presentados, la fraccionde amortiguamiento crıtico del sistema.

> Solucion

De la grafica podemos apreciar que la frecuencia crıtica (resonante) del sistema es:

Ω = ω ∼= 20 Hz

En esta condicion, la amplitud maxima de vibracion resonante es: xres = 5, 67×10−2 pulg.Como el metodo del ancho de banda no tiene dependencia del desplazamiento estatico debido a la

aplicacion de la amplitud de carga armonica, podemos tomar convencionalmente xest = 1×10−2 pulg;para que los valores de amplitud proporcionados (sin el factor multiplicador 10−2) sean aquellos que seindican en la Figura 4.29 como valores adimensionales del factor dinamico de carga maximo fdcmax;entonces el valor pico (maximo maximorum) del espectro de respuesta es:

fdcres = 5, 67


Figura 4.30: Funcion de respuesta de sistema – Exitacion armonica

Calculamos ahora el valor caracterıstico asociado con la potencia media de disipacion de energıamediante:

fdc∗max =fdcres√

2=

5, 67√2

= 4, 01

En la Figura 4.30 se muestra esta lınea de referencia, para la cual debemos hallar los valores de relacionde frecuencias h = Ω/ω que se corresponden con este ultimo valor, los cuales definen precisamente elancho de banda asociado con el sistema en analisis.

De la Figura 4.30 podemos estimar que los valores de frecuencia de exitacion que se correspondencon fdc∗max serıan:

Ω1 = 19, 45 Hz y Ω2 = 20, 4 Hz

Por tanto:h1 =

Ω1

ω=

19, 45

20= 0, 9725 h2 =

Ω2

ω=

20, 4

20= 1, 02

La fraccion de amortiguamiento crıtico del sistema puede ser ahora estimada aplicando la Ecua-cion (4.47) que indica que este valor es igual a la mitad del ancho de banda, es decir:

β = 12 (h2 − h1) = 1

2 (1, 02− 0, 9725) = 0, 024 = 2, 4 % >El ejemplo resuelto anterior muestra de manera clara la simplicidad y facilidad de aplicacion del

metodo del ancho de banda en la determinacion de la fraccion de amortiguamiento crıtico. La exactitudde la solucion obtenida, sin embargo, estara en directa dependencia de la fiabilidad de los datosexperimentales obtenidos y de una adecuada representacion grafica de ellos.

4.6. Exitacion periodica

Muchos sistemas soportan exitaciones que son periodicas, es decir se repiten a intervalos regularesde tiempo. Su tratamiento puede reducirse al caso de funciones armonicas, en virtud de los desarrollosen serie mediante funciones armonicas que tienen las exitaciones periodicas, debidas al matematicofrances Fourier.

El metodo se basa en el hecho que bajo ciertas condiciones, una funcion P (t) puede escribirse como:

P (t) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnΩt+ bn sinnΩt (4.48)

4.6. EXITACION PERIODICA 119

donde los diferentes terminos constantes, se definen como sigue:

an =2

Tp

∫ Tp

0

P (t) cosnΩt dt n = 0, 1, 2 . . . (4.48a)

bn =2

Tp

∫ Tp

0

P (t) sinnΩt dt n = 1, 2 . . . (4.48b)

Ω =2π

Tp(4.48c)

El parametro Tp es el perıodo, o sea el intervalo de tiempo despues del cual la funcion periodica serepite de forma identica; el mismo que es mostrado en la Figura 4.31, donde se ejemplifica graficamenteuna funcion de este tipo.

Figura 4.31: Funcion periodica variable en el tiempo

Las condiciones que debe cumplir la funcion periodica para poder ser representada mediante unaserie infinita como en la Ecuacion (4.48), se resumen a continuacion:

1. La funcion periodica debe ser acotada en en interior del intervalo temporal coincidente con supropio perıodo. ∫ Tp

0

|P (t) | dt <∞

2. La funcion periodica P (t) tiene que tener solo discontinuidades de primera especie y ser seccio-nalmente contınua en el intervalo (0, Tp].

Naturalmente, definiciones mas precisas pueden encontrarse en un libro especializado en el tema;sin embargo, usualmente la generalidad de las funciones periodicas que se manejan en el analisis devibraciones mecanicas cumpliran los requisitos mınimos en razon de que en nuestro caso representaneventos de tipo fısico.

4.6.1. Respuesta del sistema

Si el sistema bajo consideracion esta sometido a una exitacion periodica, y esta es representablemediante una serie de Fourier, la respuesta se determina utilizando las tecnicas ya desarrolladas parafunciones armonicas.

La respuesta del sistema se evalua superponiendo las componentes individuales de cada termino dela serie; esto naturalmente trae implıcito que la integral de la serie converge a la integral de la funcion.El procedimiento es el siguiente para un sistema no–amortiguado:

mx+ k x = P (t)


donde P (t) se supone periodica; por tanto:

mx+ k x =a0

2+

∞∑n=1

an cosnΩt+ bn sinnΩt (4.49)

Si asumimos a–priori que las oscilaciones libres, dependientes de la frecuancia natural circular,desaparecen con el transcurrir del tiempo, la respuesta del sistema en estado estacionario es:

Para los terminos que contienen la funcion cosnΩt

xnc(t) =an/k

1− h2n

cosnΩt , hn =nΩ

ω

Para los terminos que contienen la funcion sinnΩt

xns(t) =bn/k

1− h2n

sinnΩt , hn =nΩ

ω

Para el termino constante a0

x0(t) =a0

2 k

La respuesta estacionaria del sistema es la superposicion de las soluciones parciales establecidas ante-riormente; por lo tanto:

x(t) = x0(t) +

∞∑n=1

xnc(t) + xns(t)

x(t) =1

k

[a0

2+

∞∑n=1

1

1− h2n

( an cosnΩt+ bn sinnΩt )

](4.50)

Si es necesario considerar el amortiguamiento en la respuesta del sistema, el procedimiento esabsolutamente similar al presentado aquı. Se deja como ejercicio para el lector interesado la evaluacionde la respuesta de un sistema amortiguado sometido a la accion de una exitacion periodica externaaplicada a el.

Ejemplo 4.12. Evaluar la respuesta de un sistema no–amortiguado sometido a la exitacion periodicamostrada en la Figura 4.32(a), conocida como ‘tren de pulsos rectangulares’.

(a) Exitacion (carga) externa aplicada (b) Respuesta (desplazamiento) del sistema

Figura 4.32: Ejemplo de vibracion periodica

> Solucion

La ecuacion de movimiento del sistema es:

mx+ k x = P (t)


donde la fuerza de exitacion P (t) se muestra en la Figura 4.32, y por ser esta periodica hallamos sudesarrollo en serie de Fourier.

an =2

Tp

∫ Tp

0

P (t) cosnΩt dt n = 0, 1, 2, . . .

an =2

Tp

∫ Tp/2

0

P0 cosnΩt dt =P0

nπsinnπ n = 0, 1, 2, . . .

por tanto: a0 = P0 , an = 0 n = 1, 2, 3, . . .

bn =2

Tp

∫ Tp

0

P (t) sinnΩt dt n = 1, 2, . . .

bn =2

Tp

∫ Tp/2

0

P0 sinnΩt dt =P0

nπ(1− cosnπ) =

P0

nπ[1− (−1)n] n = 1, 2, . . .

que puede escribirse:b2n+1 =

2P0

(2n+ 1)πn = 0, 1, 2, . . .

Por lo tanto, el desarrollo final de la carga de exitacion P (t) en serie de Fourier es:

P (t) =P0

2+

∞∑n=0

2P0

(2n+ 1)πsin(2n+ 1)Ωt

La respuesta del sistema se obtiene aplicando el principio de superposicion, la cual resulta:

x(t) =P0

k

[1

2+

2

π

∞∑n=0

(1

1− h22n+1

)(1

2n+ 1

)sin(2n+ 1)Ωt

]

donde:h2n+1 =

(2n+ 1)Ω

ωn = 0, 1, 2, . . .

Si se supone por ejemplo: Ω/ω = 2/3, y recordando que: xest = P0/k; para este caso particular seobtiene como respuesta del sistema:

x(t) = xest

(1

2+

18

5πsin Ωt− 2

9πsin 3Ωt− 18

455πsin 5Ωt− 18

1309πsin 7Ωt+ · · · · · ·

)donde la amplitud de sin 7Ωt es solo el 6,18 % de la amplitud de sin 3Ωt, y por lo tanto su contribucion aldesplazamiento total sera menor; sin embargo, si se desea evaluar la velocidad o aceleracion se deberanconsiderar mas terminos del desarrollo en serie que para el calculo del desplazamiento (porque ?). Enla Figura 4.32(b) mostramos un bosquejo de la respuesta obtenida. >

4.6.2. Maquinas de movimiento alterno

Los motores de combustion interna, las bombas de desplazamiento positivo, y cualquier maquinariaque involucra un mecanismo de ciguenal mediante el cual un movimiento rotatorio produce movimientolineal alterno o viceversa, originan fuerzas de tipo periodico las mismas que pueden ser evaluadas unavez que se conoce la geometrıa y masas involucradas en el movimiento. Consideremos el conjunto depiston, biela y ciguenal o manivela mostrados en la Figura 4.33.

Si se supone que el ciguenal tiene velocidad angular Ω, el movimiento del piston puede calcularsede la geometrıa de la Figura 4.33. Se supone que para Ωt = 0, xp = 0; entonces:

xp(t) = L (1− cosφ) + r (1− cos Ωt) (4.51)


Figura 4.33: Mecanismo ciguenal–biela–piston

ademas,L sinφ = r sin Ωt ⇒ cosφ =

√1−

( rL

)2

sin2 Ωt

Si la relacion r/L es pequena (como en general se presenta en casos practicos), se puede tomar los dosprimeros terminos del desarrollo binomial, entonces:

1− cosφ =1

2

( rL

)2

sin2 Ωt

Expresando el sin2 Ωt en funcion del angulo doble, la Ecuacion (4.51) se transforma en:

x(t) = L

[1

2

( rL

)2(

1− cos 2Ωt

2

)]+ r (1− cos Ωt)

Simplificando, finalmente el desplazamiento del piston viene dado por:

x(t) =

(r +

r2

4L

)− r

(cos Ωt+

r

4Lcos 2Ωt

)(4.52)

Derivando temporalmente esta expresion obtenemos la velocidad y aceleracion del piston,

x = r ω(

sin Ωt+r

2Lsin 2Ωt

)(4.52a)

x = r ω2(

cos Ωt+r

Lcos 2Ωt

)(4.52b)

Las Ecuaciones (4.52) nos indican que el movimiento del piston tiene componentes armonicas defrecuencias Ω y 2Ω, sin embargo el movimiento real contendra componentes de frecuencias mayoresque fueron despreciadas al realizar el desarrollo binomial, las mismas que seran menos importantessegun la relacion r/L sea mas pequena.

Al movimiento del piston estan asociadas fuerzas debidas a la masa de los componentes en movi-miento. Estas masas se pueden suponer concentradas con una aproximacion en los puntos a y b (veasela Figura 4.33).

Si el brazo del ciguenal esta desequilibrado, su efecto se puede evaluar considerando una masaconcentrada en el punto b, la cual produce el mismo efecto. Del mismo modo, la masa de la biela sedescompone en dos masas situadas en los puntos a y b, las cuales tienen el mismo centro de gravedadque la biela. La masa del piston obviamente se puede suponer concentrada en el punto a.

Llamando malt a la masa concentrada en el punto a, que tendrıa un movimiento rectilıneo alter-nante, la fuerza de inercia debido a su movimiento se calcula por:

PA = malt Ω2 r(

cos Ωt+r

Lcos 2Ωt

)La fuerza de inercia debida al movimiento del punto b en la direccion del eje x se calcula conside-

rando una masa concentrada en dicho punto, la cual llamamos mrot por el movimiento de rotacion que


posee el punto b asociado a la misma. La aceleracion de este punto en la direccion del eje x se calculapor:

xB = r (1− cos Ωt)

derivando: xB = Ω2r cos Ωt

Por lo tanto: PB = mrot Ω2r cos Ωt

La fuerza de inercia total segun la direccion x se obtiene sumando las fuerzas previas: Px = PA+PB,que resulta:

Px = (malt +mrot ) Ω2 r cos Ωt+malt Ω2 r2

Lcos 2Ωt (4.53)

Mientras que la componente de fuerza en la direccion y viene determinada por:

Py = −mrot Ω2 r sin Ωt (4.54)

La Ecuacion (4.53) indica que la fuerza de inercia segun la direccion x es periodica con dos com-ponentes: una con frecuencia Ω llamada componente primaria, y otra con frecuencia 2Ω denominadacomponente secundaria. Mientras que la componente segun la direccion y tiene una sola componente.

El efecto de estas fuerzas de inercia se traduce en una excitacion sobre la estructura portanteque contiene al mecanismo, y en consecuencia su evaluacion es necesaria particularmente cuando seanaliza la fundacion de un motor estacionario, recalcando sin embargo que debido a las multiples partesmoviles involucradas en el funcionamiento de una maquinaria, en general habra diferentes fuerzas queexcitaran segun su magnitud los distintos grados de libertad de la fundacion.

En el caso de un motor de varios cilindros, el efecto de las fuerzas de inercia desbalanceadas puedeser minimizado o anulado completamente arreglando en forma adecuada la posicion de los cilindros;las tecnicas, desde luego, se encuentran en literatura especializada sobre el tema. Concluimos haciendonotar que un motor de un solo cilindro es intrınsecamente desbalanceado, y por lo tanto su balanceo espracticamente imposible. La Tabla 4.1 proporciona datos de dos motores de un solo cilindro. Adaptadode: Vibration of soils and foundations. F.E. Richart, Jr. et all.

Tabla 4.1: Resumen de datos – Motores de un solo cilindro

Calibre Desplaz. Radio Longitud Proporc. Peso Peso Peso Peso Pesocilindro piston ciguenal biela r/L piston perno biela malt motor[mm] [mm] r [cm] L [cm] [Kg] A [Kg] [Kg] [Kg] [Kg]

146 203 10,16 38,10 0,267 4,80 1,31 8,15 8,61 1028130 165 8,26 27,31 0,302 3,26 0,85 5,07 5,38 1028

Se supone que el eje del ciguenal esta completamente balanceado: mrot = 0 .

Ejemplo 4.13. Un motor de un solo cilindro 146×203 esta instalado sobre una plataforma conectadarıgidamente a columnas metalicas. Si se supone que el motor funciona a 400 rpm, evaluar el desplaza-miento lateral de la estructura. Suponer ademas que el ciguenal tiene un peso estimado desbalanceadode 2,5 Kg. Las propiedades de la estructura se muestran en la Figura 4.34(a).

> Solucion

Primeramente realizaremos una compilacion de datos y calcularemos valores basicos para el analisis.

datos del motor


(a) Estructura portante y datos (b) Rigidez lateral estructural

Figura 4.34: Estructura portico y motor alternativo

De la Tabla 4.1 tenemos:

malt = Walt/g = 8, 61/981 = 0, 0087 Kg-seg2/cm

mrot = Wrot/g = 2, 5/981 = 0, 0025 Kg-seg2/cm

Ω = 400rpm×1 rad/seg

60/2πrpm= 41, 89 rad/seg

datos de la estructura

Denotando: mplat a la masa de la plataforma, mmot a la masa del motor, y m a la masa vibrante,tendremos: mplat = Wplat/g = 500×4/981 = 2, 038 Kg-seg2/cm

mmot = Wmot/g = 1028/981 = 1, 048 Kg-seg2/cm

m = mplat +mmot = 2, 038 + 1, 048 = 3, 086 Kg-seg2/cm

Por suponerse conexion rıgida y tenerse dos columnas con disposicion en paralelo [vease la Figu-ra 4.34(b)]:

k = 2kcol = 2F

δ= 2

12EI/L3

1=

24EI

L3=

24×2×106×3433, 91

3503= 4036, 59 Kg/cm

ω =

√k

m=

√4036, 59

3, 086= 36, 16 rad/seg

datos de la exitacion

La amplitud de la componente primaria de fuerza esta determinada por:

PI = malt +mrot ) Ω2 r = ( 0, 0087 + 0, 0025 ) 41, 892×10, 16 = 199, 68 Kg

mientras que la amplitud de la componente secundaria es:

PII = maltΩ2 r

2

l= 0, 0087×41, 892 10, 162

38, 10= 41, 36 Kg

4.7. MEDICION DE LA VIBRACION 125

La fuerza de exitacion del modelo estara definida por:

Px(t) = PI cos Ω t+ PII cos 2Ω t

Px(t) = 199, 68 cos 41, 86 t+ 41, 36 cos 83, 72 t Kg

modelo de analisis y respuesta

La ecuacion gobernante de la dinamica vibracional lateral del sistema es:

mx+ k x = Px(t)

que tiene por solucion de estado estacionario:

x(t) =PI/k

1− (h′)2cos Ω t+

PII/k

1− (h′′)2cos 2Ω t

donde:h′ =

Ω

ω= 1, 157 h′′ =

2Ω

ω= 2, 315

Reemplazando valores: x(t) = − 0, 146 cos 41, 86 t− 0, 0023 cos 83, 72 t cm

El valor maximo (amplitud de vibracion) se produce para Ω t = 0, 2π, 4π, . . . rad, y vale:

|xmax| = 0, 146 cm

La velocidad se obtiene derivando temporalmente,

x(t) = 6, 112 sin 41, 86 t+ 0, 193 sin 83, 72 t cm/seg

|xmax| = 6, 117 cm/seg

y, la aceleracion derivando nuevamente,

x(t) = 255, 85 cos 41, 86 t+ 16, 16 cos 83, 72 t cm/seg2

|xmax| = 256, 36 cm/seg2 = 0, 26 g !

Los valores encontrados para las variables cinematicas maximas (posicion, velocidad y aceleracion)son relativamente altos, e indican que el comportamiento de la estructura no es satisfactorio. Se puedemejorar el diseno variando la rigidez de la estructura portante, o si es posible la masa oscilante; ya queusualmente serıa muy difıcil modificar las condiciones de funcionamiento del motor alternativo. >

4.7. Medicion de la vibracion

Los registros de las vibraciones son efectuadas usando transductores sısmicos. El uso de cualquierdispositivo con el fin de efectuar mediciones de parametros de interes es denominada instrumentacion.En el ambito de la mecanica de vibraciones se utilizan diversos dispositivos para medir la vibracioninducida por diversas causas que la producen. En esta seccion desarrollamos el principio teorico defuncionamiento de los instrumentos de uso mas comun.

Un transductor es un dispositivo que convierte el movimiento mecanico en voltaje. Un esquema deun transductor piezoelectrico es mostrado en la Figura 4.35(a), el cual corresponde a una representa-cio simplificada de un prototipo fısico que es mostrado en la Figura 4.35(c).


(a) Esquema de un transductor (b) Modelo de analisis (c) Prototipo fısico real

Figura 4.35: Diagrama esquematico de instrumento sısmico

El transductor esta montado sobre un cuerpo cuya vibracion desea ser medida. Cuando la vibracionocurre, la masa sısmica se mueve con relacion al bastidor del transductor, causando la deformacion delcristal piezoelectrico. Una carga electrica es producida en el cristal piezoelectrico que es proporcional asu deformacion. La senal medida es el desplazamiento relativo de la masa sısmica, o sea el movimientode esta con relacion al bastidor del transductor.

Un modelo del transductor es mostrado en la Figura 4.35(b). Se supone que el cristal piezoelectricoprovee cierto amortiguamiento viscoso. El proposito del transductor es medir el movimiento del cuerpo,y(t). Sin embargo mide z(t), el desplazamiento relativo de la masa con respecto al cuerpo movil encontacto con la base del instrumento. Supongamos que las vibraciones del cuerpo son armonicas defrecuencia unica, de la forma:

y(t) = y0 sin Ω t (4.55)

El desplazamiento de la masa sısmica relativa al movimiento del cuerpo vibrante: z(t) = y(t)−x(t)esta determinada por la Ecuacion (4.29):

z(t) = z0 sin (Ω t− φ) = y0 Λ(h, β) sin (Ω t− φ) (4.56)

donde,Λ(h, β) =

h2√(1− h2)2 + (2βh)2

, φ = arctan

(2β h

1− h2

)(4.56a)

siendo: h = Ω/ω con ω y β la frecuencia natural y la fraccion de amortiguamiento crıtico del trans-ductor, respectivamente.

La Figura 4.23 muestra que el factor amplificador de respuesta Λ(h, β) es aproximadamente iguala la unidad para valores grandes de la relacion de frecuencias h (h > 3). En este caso la amplitud deldesplazamiento relativo, el cual es monitoreado por el transductor, es aproximadamente la misma quela amplitud de vibracion del cuerpo cuyo movimiento oscilatorio esta siendo medido. Ademas, en laFigura 4.9 se nota que para valores grandes de la relacion de frecuencias h, el angulo de desfase φ esaproximadamente de magnitud: φ = π. Luego, para valores elevados de h, la respuesta del transductores aproximadamente aquella respuesta que se pretende medir, pero desfasada en π radianes.

Un transductor sısmico que requiere un elevado valor de la relacion de frecuencias para una medicionadecuada es llamado “sismometro”. Un valor elevado de h requiere una frecuencia natural muy bajaen magnitud. Esto, a su vez, requiere una masa sısmica de elevado valor de magnitud y un resorte muyflexible. Debido al tamano requerido para la medicion exacta, los sismometros no son practicos paramuchas aplicaciones.

Cuando la frecuencia natural ω del instrumento es baja con respecto a la frecuencia de vibracionΩ que se va a medir, la relacion de frecuencias h dada por la relacion Ω/ω es un valor grande y,la amplitud del desplazamiento relativo z0 se aproxima a la amplitud de la vibracion a medir y0, sinimportar el valor del amortiguamiento, como se indica en la Figura 4.23. La masa sısmica m permanece


entonces estacionaria mientras que la caja portante o bastidor se mueve simultaneamente con el cuerpovibrante.

Una de las desventajas del sismometro es su tamano. Como en este instrumento z0 = y0, el movi-miento relativo de la masa sısmica debe ser del mismo orden de magnitud que el de la vibracion que seva a medir. Esta exigencia instrumental es practicamente independiente de la fraccion de amortigua-miento crıtico y como ya lo indicamos anteriormente, se verifica solamente para valores relativamentegrandes de la relacion de frecuencias: h > 3.

El error porcentual en el uso de un transductor sısmico es:

% ε =

∣∣∣∣ yreal0 − ymedido

0

yreal0

∣∣∣∣ 100 (4.57)

Cuando se utiliza un sismometro, el error porcentual es:

% ε =

∣∣∣∣ y0 − z0

y0

∣∣∣∣ 100 = | 1− Λ | 100 (4.58)

La aceleracion del cuerpo vibrante que sometido a testeo es:

y(t) = −Ω2 y0 sin Ω t

Notando ahora que: z0/y0 = Λ(h, β) y Λ(h, β) = h2 fdcmax(h, β), la relacion anterior puede escribirsecomo:

y(t) = −Ω2 z0

Λsin Ω t = −Ω2 z0

h2fdcmaxsin Ω t

entonces, y(t) = −ω2 z0

fdcmaxsin Ω t (4.59)

Comparando la Ecuacion (4.56) con la Ecuacion (4.59), se hace evidente que:

y(t) =ω2

fdcmaxz

(t− φ

Ω− π

Ω

)(4.60)

El signo negativo en la Ecuacion (4.59) es tomado en cuenta en la Ecuacion (4.60), sustrayendo π delangulo de fase en la respuesta. Para valores pequenos de la relacion de frecuencias h = Ω/ω, sabemosque fdcmax = 1 como es mostrado en la Figura 4.10, y por tanto:

y(t) ∼= ω2 z

(t− φ

Ω− π

Ω

)(4.61)

De esta relacion resulta completamente evidente que las amplitudes de las dos senales involucradas enla misma responden a la condicion:

z0∼=y0

ω2=

Ω2y0

ω2(4.61a)

Ası que la amplitud de movimiento relativo de la masa sısmica del instrumento z0 se vuelve proporcionala la amplitud de la aceleracion del movimiento que se va a medir y0, con un factor igual a 1/ω2.

Luego, para valores reducidos de la relacion de frecuencias h, la aceleracion de la parte del cuerpovibrante a la cual esta conectado el instrumento sısmico es aproximadamente proporcional al despla-zamiento relativo entre la parte que es medida y la masa vibrante del instrumento, pero en una escalade tiempo cambiada o diferente. Un instrumento de medida de vibracion que trabaja en base a esteprincipio es denominado “acelerometro”. El transductor en un acelerometro registra el desplazamientorelativo z(t) que es electronicamente multiplicado por ω2; y esta senal de aceleracion es integradadoblemente para proporcionar como salida el movimiento y(t) que se desea ser medido.

La frecuencia natural de un acelerometro debe ser muy alta para medir con adecuada exactitudsobre un amplio rango de frecuencias. La masa sısmica de este instrumento debe ser relativamente


pequena y la constante de rigidez de resorte de elevado valor (recuerde que ω =√k/m). El error de

medicion cometido al usar un acelerometro para medir la vibracion de un cuerpo oscilante es:

% ε =

∣∣∣∣ Ω2 y0 − ω2 z0

Ω2 y0

∣∣∣∣ 100 =

∣∣∣∣ Ω2 y0 − ω2 Λ y0

Ω2 y0

∣∣∣∣ 100 = | 1− fdcmax | 100 (4.62)

El error porcentual de medicion del acelerometro se reducira significativamente mientras mayor sea lafraccion de amortiguamiento crıtico, pero sin sobrepasar el valor lımite de amplificacion de respuesta(β < 1/

√2) del instrumento.

El rango util del acelerometro puede verse en la Figura 4.10. El grafico muestra que el rango derelacion de frecuencias del acelerometro no–amortiguado esta limitado. Sin embargo, con β = 1/

√2,

el rango de frecuencia util es 0 6 h 6 0, 2 con un error maximo % ε = 0, 01 %. Ası, un instrumento conuna frecuencia natural de 100 Hz, tiene un rango de frecuencia util comprendida entre 0 Hz y 20 Hz,con error despreciable. Los acelerometros del tipo electromagnetico utilizan generalmente un factorβ = 1/

√2 que, no solamente extiende el rango de frecuencia util sino que tambien evita distorsion de

fase para ondas complejas, como se mostrara mas adelante.

Ejemplo 4.14. Un sismometro cuya fraccion de amortiguamiento crıtico es de 35 %, se emplea paraencontrar la magnitud de la vibracion de la estructura portante de una maquina. Este instrumentoda una lectura del desplazamiento relativo de 0,002 pulg. La frecuencia natural del sismometro esdada como 500 rpm, y la maquina testeada funciona a 100 rpm. Cual sera la magnitud del desplaza-miento, velocidad y aceleracion de la parte de la maquina que vibra, donde es instalado el instrumento.

> Solucion

Como se discutio anteriormente, la amplitud de movimiento relativo de la masa del transductor sısmicoesta dada por:

z0 = Λ y0 , Λ =h2√

(1− h2)2 + (2βh)2

donde, en este caso particular:

β = 35 % = 0, 35 h =Ω

ω=

100

500= 0, 2

y, por tantoΛ =

h2√(1− h2)2 + (2βh)2

=0, 22√

(1− 0, 22)2 + (2×0, 35×0, 2)2= 0, 0412

Entonces,y0 =

z0

Λ=

0, 002

0, 0412= 0, 048 pulg

es la magnitud del desplazamiento. La magnitud de la velocidad es:

y0 = Ω y0 = 100

(2π

60

)0, 048 = 0, 503 pulg/seg

y la magnitud de la aceleracion resultarıa:

y0 = Ω2 y0 = 10, 472×0, 048 = 5, 26 pulg/seg2

>

Desafortunadamente, la vibracion que se presenta en la mayorıa de los casos no es perfectamentearmonica, sino que en generalidad es periodica. Ası, si consideramos la medicion de un movimientooscilatorio de multiples frecuencias, determinado por la expresion:

y(t) =

n∑i=1

y0i sin(Ωi t+ Ψi) (4.63)


Acorde con la teorıa de vibracion periodica, el desplazamiento de la masa sısmica relativa al bastidordel transductor o instrumento sısmico es

z(t) =

n∑i=1

Λ(hi, β) y0i sin (Ωi t+ Ψi − φi)

=1

ω2

n∑i=1

Ω2i fdcmaxi y0i sin (Ωi t+ Ψi − φi)

(4.64)

El acelerometro mide −ω2 z(t). Pero, notese que cada termino en la sumatoria de la Ecuacion (4.64)tiene un diferente angulo de fase.Cuando todas estas senales son sumadas con diferentes angulos defase, la salida proporcionada por el acelerometro puede resultar distorsionada con relacion a la salidareal que es producida por la vibracion que esta siendo medida. Esta distorsion de fase es mostradaen la Figura 4.36(a), la cual compara la salida de un acelerometro con la senal a ser medida de unavibracion con 10 frecuencias componentes. La fraccion de amortiguamiento crıtico del acelerometro es0,25 y la relacion de frecuencias mas alta en la medicion es 0,66.

(a) Grafica comparativa por medicion (b) Grafica comparativa por prediccion

Figura 4.36: Comparacion entre aceleracion real y aceleracion medida (o predecida)

Los acelerometros son usados solamente cuando h < 1. En este rango de relacion de frecuencias, elangulo de fase es aproximadamente lineal con h para el valor caracterıstico β = 1/

√2 = 0, 707 (vease

la Figura 4.9). Entonces,

φi = αΩiω

(4.65)

donde α es la constante de proporcionalidad. Usando la Ecuacion (4.65) en la Ecuacion (4.64), esta seconvierte a:

z(t) = − 1

ω2

n∑i=1

fdcmaxi y0i sin[Ωi

(t− α

ω

)+ Ψi

](4.66)

Si hi 1, entonces fdcmaxi∼= 1 para i = 1, 2, . . . , n y en consecuencia

z(t) ∼= −1

ω2y(t− α

ω

)(4.67)

Luego, cuando un acelerometro es utilizado con β = 1/√

2, el dispositivo de salida replica congran exactitud la aceleracion real, pero en una escala de tiempo desfasada. Esto es ilustrado en la


Figura 4.36(b), la cual compara el uso de la Ecuacion (4.64) con β = 0, 707 con la aceleracion real parael ejemplo de la Figura 4.36(a).

Figura 4.37: Superposicion (suma) de funciones armonicas

Para reproducir una onda compleja tal como la mostrada en la Figura 4.37, sin cambiar su forma,la fase de todas las componentes armonicas debe permanecer invariable con respecto a la fundamental.Esto requiere que el angulo de fase sea cero o que todas las componentes armonicas deban ser despla-zadas igualmente en el dominio del tiempo. El primer caso de cero desplazamiento de fase, correspondea β = 0 para h = 1. El segundo caso, de igual desplazamiento en el tiempo, de todos los armonicos escasi satisfecho para β = 0, 707 y h < 1. Como se muestra en la Figura 4.9, cuando β = 0, 707 la fasepara h < 1 puede expresarse como:

φ ∼=π

2

Ω

ω

Ası, para β = 0 o β = 0, 707 la distorsion de fase es practicamente eliminada.

Ejemplo 4.15. Estudiar la salida de un acelerometro con fraccion de amortiguamiento crıtico devalor: β = 0, 707 cuando se lo usa para medir un movimiento periodico cuyo desplazamiento esta dadopor la ecuacion:

y(t) = y1 sin Ω1t+ y2 sin Ω2t

> Solucion

Sabemos que para β = 0, 707 el angulo de fase esta determinado por: φ ∼= π/2×Ω/ω, ası que tendremos:

φ1 =π

2

Ω1

ωφ2 =

π

2

Ω2

ω

La salida del acelerometro es entonces,

z(t) = z1 sin(Ω1t− φ1) + z2 sin(Ω2t− φ2)

Sustituyendo z1 y z2 de la Ecuacion (4.61a), la salida del instrumento es:

z(t) =1

ω2

[Ω2

1y1 sin Ω1

(t− π

2ω

)+ Ω2

2y2 sin Ω2

(t− π

2ω

)]Como la funcion (t−π/2ω) es la misma en ambos terminos, el desplazamiento (adelanto o retraso)

de ambas componentes a lo largo del eje temporal es el mismo. Ası, el instrumento reproduce fielmentela aceleracion y sin distorsion. Es obvio que si φ1 o φ2 son ambos nulos, de nuevo obtendremos distorsionde fase nula.

>


4.8. Conclusiones

Los diversos tipos de exitacion tratados en este Capıtulo se presentan en una amplia variedad desituaciones de tipo practico, y como se vio su tratamiento no ofrece dificultades.

Se remarca el hecho que los conceptos aquı desarrollados son susceptibles de extension de caracterteorico, particularmente debido a la serie de Fourier la cual permite descomponer toda funcion periodicaen una serie infinita de funciones armonicas simples (funciones seno y coseno).

El problema de aislar una maquinaria de los efectos generados por exitaciones que no son armonicasni periodicas introducira nuevos conceptos y quizas nuevas dificultades, por lo que se insta al amablelector para que intente un dominio certero de las tecnicas aquı presentadas.


4.1.Un disco circular de espesor reducido de 20 Kg depeso y 10 cm de radio esta conectado a un resortecon coeficiente de rigidez de 8 Kg/cm y a un amor-tiguador con coeficiente de 0,5 Kg-seg/cm como semuestra en la Figura. Este cuerpo esta en contactocon una superficie horizontal que tiene coeficiente derozamiento igual a 0,12 y se mueve sobre ella debidoa la aplicacion de un momento armonico de frecuen-

cia circular de 16,5 rad/seg. Cual debera ser la maxima amplitud de esta exitacion para que eldisco oscile rodando sin deslizar ?.

4.2.El sistema de la Figura adjunta soporta un movi-miento de apoyo definido por la relacion:

y(t) = y0 sin Ω t

Si x representa el desplazamiento absoluto de lamasa (con respecto al terreno), demostrar que laecuacion de movimiento viene determinada por:

mx+ k x = k y = k y0 sin Ω t

Resolver la ecuacion asumiendo condiciones iniciales nulas, y hallar la maxima fuerza de defor-macion en el resorte durante la fase de movimiento.

4.3.Si se supone que el sistema del problema anteriorrepresenta el modelo de un automovil pequeno (di-gamos un VW–Golf) y el camino por donde circulaes sinuoso, dado por la relacion: y(t) = y0 sin Ω tcm. Calcular la amplitud maxima de desplazamiento(vibracion) y aceleracion que soportan sus ocupan-tes, si el vehıculo viaja a lo largo del camino conuna rapidez constante V de:

(a) 30 Km/hr y (b) 80 Km/hr.Suponer que el automovil pesa 1650 Kg, los 4 ocupantes tienen peso total de 245 Kg, y que larigidez neta equivalente de los neumaticos y muelles es 260 Kg/cm. Los resultados hallados con-firman la practica establecida por los conductores: Cuando se viaja por un camino ‘acalaminado’es mejor aumentar la velocidad ?. Cual es la velocidad crıtica del automovil en movimiento ?.


4.4.El extremo izquierdo de la viga en voladizo mostradaen la Figura esta sujeto a un movimiento armonicodescrito por: y(t) = y0 cos Ωt. Determinar la ecua-cion diferencial del movimiento de la masa m conec-tada en el otro extremo de la viga, y determinar lafrecuencia de resonancia del sistema. Asumir que laviga es de peso despreciable y que su coeficiente derigidez flexionante EI es constante y conocido.

4.5.Deducir la ecuacion diferencial gobernante de ladinamica del pendulo invertido mostrado en la Fi-gura, el cual es exitado mediante un desplazamientoarmonico aplicado a traves de un resorte lineal derigidez conocida. Asumiendo desplazamientos angu-lares de pequena amplitud y despreciable el peso delbrazo que sostiene el pendulo, resolver la ecuacionplanteada para hallar la solucion. Cual es la ampli-tud maxima de la velocidad que adquiere la masa enmovimiento ?.

4.6.Durante un sismo de larga duracion, la una estruc-tura tipo marco de la Figura esta sujeta a una ace-leracion del suelo de 50 mm/seg2 de amplitud a unafrecuencia de 88 rad/seg. Determine la amplitud deaceleracion de la estructura. Suponer que la loza escompletamente rıgida y la estructura tiene una frac-cion de amortiguamiento crıtico de 0,03. El peso de laloza es de 4,6 Ton, y cada columna tiene una rigidezlateral de 8600 Kg/cm.

4.7.Un gran ventilador es montado sobre un porticode acero, el cual esta rıgidamente conectado alpiso del edificio. Debido a un desbalance en elrotor del ventilador este es sometido a una fuerzavertical sinusoidal con una velocidad angular de1750 rpm. El portico de acero es flexible, y enefecto el punto de apoyo del ventilador se desplazaverticalmente 0,65 mm bajo el peso de esta maqui-na el cual es de 225 Kg incluıdo por supuesto el rotor.

Su ayudante ha disenado el portico de apoyo, y despues de que el ventilador ha sido instalado ypuesto en marcha, el mismo comenzo a vibrar violentamente en la direccion vertical. Nuevamen-te su ayudante se hizo cargo del problema y diseno unos refuerzos, los cuales se muestran en laFigura. Este personaje indica que estos elementos adicionales incrementan la rigidez vertical dela estructura portante por un factor de 2, y por lo tanto la vibracion se reducira por el mismofactor.El desea que Usted como jefe principal apruebe esta modificacion. Esta Usted dispuesto a acep-tar esta proposicion ?. Si es que no la aprueba, que alternativa podrıa sugerirle para remediar el


problema ?. En el analisis desprecie los efectos del amortiguamiento.

4.8.Una fuerza sinusoidal P (t) = P0 sin Ω t es subita-mente aplicada al sistema mostrado en la Figura, enel instante inicial t0 = 0. Hallar el movimiento pos-terior x(t) de la masa. Luego, elabore un grafico dela velocidad de la masa en funcion del tiempo, paralas siguientes relaciones:

(a) mΩc = 0, 1 (b) mΩ

c = 1, 0 (c) mΩc = 10, 0

Para cada caso, cuantos ciclos de la exitacion deberan pasar antes que la parte natural de lavelocidad de la respuesta sea el 5 % de la amplitud de la parte estacionaria de la misma ?.

4.9. Demostrar que para un sistema con amortiguamiento viscoso, la energıa disipada por ciclo demovimiento en una vibracion forzada con frecuencia Ω y amplitud A es:∫ 2π/Ω

0

Fc(t) x dt = π A2 cΩ

donde Fc(t) es la fuerza de amortiguamiento.

4.10. Con el objetivo de simular el amortiguamiento estructural, se han propuesto diferentes modelos;uno de ellos postula que el coeficiente de amortiguamiento varıa con la frecuencia de acuerdocon la siguiente relacion:

c(Ω) = kg

Ωdonde k es la rigidez y g es un factor usualmente muy pequeno (0, 005 < g < 0, 015).Si se supone que el sistema es sometido a una exitacion armonica de frecuencia Ω, demostrarque la energıa disipada por cada ciclo de oscilacion esta dada por:∫ 2π/Ω

0

Fc x = π Ak g

4.11. Para un sistema con amortiguamiento estructural inversamente proporcional a la frecuenciasometido a una exitacion armonica, demostrar que el factor dinamico de carga maximo vienedeterminado por:

fdcmax(h, g) =1√

(1− h2)2 + g2, tanφ =

g

1− h2

Puede usted detectar la causa por la cual este modelo adolece de significado fısico ? (sugerencia:hacer h = 0 en la expresion para tanφ).

4.12. Investigar el comportamiento en condicion resonante de un sistema amortiguado. Se supone queel sistema parte de la condicion de reposo al instante t0 = 0 inicial de observacion. Demostrarque el valor de respuesta xest/2β se alcanza en forma asintotica.

4.13. La Ecuacion (4.20) deducida para un sistema amortiguado separa los efectos de frecuenciay amortiguamiento (vease la Figura 4.10); desde el punto de vista practico frecuentemente esdifıcil controlar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema y por lo tanto es deseableexpresar la Ecuacion (4.20) separando los efectos de masa y rigidez, ya que estos parametrospueden ser ajustados con mayor facilidad. Lyssmer demostro que:

fdcmax(a0, b) =1√

(1 + b a20)2 + a2

0

, tanφ =a0

1− b a20


donde a0 es el factor adimensional de frecuencia, y b = mk/c2 se conoce como factor de masa.Realizar un grafico del fdcmax(a0, b) para los valores de b = 10, 5, 2, 0 y comparar con el graficopresentado en la Figura 4.10.

4.14. Si el ventilador del Problema 4.7 se apoya directamente sobre el suelo por medio de una zapatacircular de 65 cm de radio, cual es el valor del fdcmax ?. Utilizar las Ecuaciones de Lyssmerdefinidas anteriormente, donde ahora:

a0 =Ω r0

Vs, b =

1− ν4

m

ρr30

Utilizar los siguientes datos numericos:

Peso de la zapata — Wz = 950 Kg/m2

Coeficiente de Poisson del suelo — ν = 0, 355Peso especıfico del suelo — γ = 1870 Kg/m3 ρ = ω/g

Velocidad de las ondas de corte en el suelo — Vs = 400 m/segMasa del sistema — m = mmotor +mfundacion

4.15. Repetir el Problema 4.3. suponiendo que se incluye en el modelo un amortiguador que poseefraccion de amortiguamiento crıtico β = 0, 4.

4.16. Repetir el Problema 4.7. suponiendo que se incluye en el modelo un amortiguador que poseefraccion de amortiguamiento crıtico β = 0, 62.

4.17. En el Ejemplo 4.13. se obtuvieron desplazamientos y aceleraciones excesivos para la estructuraportante. Investigar los efectos sobre la respuesta si: (a) se duplica la rigidez total del portico(b) se reduce a un 50 % la rigidez total del portico.

4.18. Un compresor de 310 Kg es montado sobre un aislador de piso flotante de 450 Kg/cm de rigidez.Cuando es perturbado mediante una carga de exitacion armonica de 200 Kg de amplitud a unafrecuencia de 100 rad/seg, el angulo de diferencia de fase entre la perturbacion y la respuestade estado–estacionario es 24,3. Cual es el valor de la fraccion de amortiguamiento crıtico delaislador y su maxima deflexion debida a esta excitacion.

4.19. Considere nuevamente el Ejemplo 4.13. pero ahora suponga que la fraccion de amortiguamientocrıtico de la estructura es 20 %. Investigar los efectos del amortiguamiento ahora incluıdo so-bre la respuesta de estado estacionario de la estructura portante. Considerando la deformacionestatica producida por la amplitud de carga primaria actuante, elaborar la grafica del fdcmax

en funcion de la relacion de frecuencias h suponiendo que el motor alternativo de un solo ci-lindro funciona incrementando su velocidad de rotacion desde un valor nulo en el instante dearranque hasta una magnitud muy elevada, cubriendo todos los valores posibles para la relacionde frecuencias. Cuales son las amplitudes de vibracion en las dos condiciones de resonancia quese presentan en este caso.

4.20.


La seccion del rotor de cola del helicoptero de la Fi-gura consta de cuatro alabes, cada uno de 2,1 Kg depeso, y una caja de motor de 25 Kg de peso. El centrode gravedad de cada alabe esta a 170 mm respectodel eje rotacional. La seccion de cola esta conectadaal cuerpo principal del helicoptero por una estructu-ra flexible. La frecuencia natural de la seccion de colaha sido estimada con un valor de 150 rad/seg. Du-rante el vuelo, el rotor funciona a 900 rpm. Supongaque el sistema tiene una fraccion de amortiguamientocrıtico del 5 %.

Si estando el helicoptero en funcionamiento de vuelo, una partıcula de 75 gr de peso se atascaen uno de los alabes a 25 mm del eje de rotacion; cual es la amplitud de vibracion de estadoestacionario causada por el desbalanceamiento rotacional resultante de esta pequena masa quese adosa al sistema ?.

4.21. En el problema anterior, determine la amplitud de estado estacionario de la vibracion, si uno delos alabes se rompe en su base y desprende de su lugar durante el vuelo del helicoptero.

4.22.El rotor de una turbina es modelada como un discode espesor reducido, el cual esta montado a la mitadde la luz de un eje circular uniforme de acero de 50cm de longitud como muestra la Figura. El peso delrotor es de 20 Kg y su diametro de 40 cm. Paraconsiderar el desbalanceo de montaje, se asume queel disco tiene una perforacion circular de 3 cm de

diametro situada a 12 cm del centro geometrico del mismo. El coeficiente de rigidez del eje esEI = 1, 6×104 Kg-cm2. Determine la amplitud de vibracion, si el rotor de la turbina gira convelocidad angular de 4000 rpm. Asumir que los extremos del eje se conectan rıgidamente a losrodamientos que sostienen el conjunto.

4.23. Un disco circular que rota con respecto a su eje geometrico, tiene dos agujeros a y b. El diametroy posicion de a son: dA = 10 mm, rA = 30 cm, θA = 0. El diametro y posicion del agujero bson: dB = 5 mm, rB = 20 cm, θB = 90. Determine el diametro y posicion de un tercer agujero,a 10 cm de radio, que balanceara el disco.

4.24.El rotor de un motor electrico tiene 20 cm de longi-tud, y el mismo posee un desbalanceamiento equiva-lente a 2 gr–cm en un plano a 5 cm de su extremoizquierdo. Un segundo desbalanceamiento equivalen-te a 3 gr–cm se ubica en un plano a 5 cm del extremoderecho y en una direccion horaria a 45 respecto alprimer desbalanceo. Elaborar con detalle los calculosnecesarios para balancear dinamicamente este rotor.

4.25. Hallar el desarrollo en serie de Fourier para las cargas armonicas mostradas en las Figurasadjuntas.


4.26. Hallar la respuesta en estado estacionario de un sistema amortiguado sometido a una exitacionperiodica arbitraria. Pruebe sus resultados para la exitacion mostrada en la Figura adjunta.

4.27. El uso de un acelerometro con frecuencia natural de 100 Hz y fraccion de amortiguamientocrıtico 0,15 revela que una maquina vibra a una frecuencia de 20 Hz y tiene una amplitud deaceleracion de 14,3 m/seg2. Determinar:(a) El porcentaje de error en la medicion.(b) La amplitud de aceleracion real.(c) La amplitud del desplazamiento.

4.28. Una maquina de coser industrial de 255 Kg tiene un desbalanceamiento rotacional de 0,24 Kg-m.La maquina opera a velocidades entre 2000 y 3000 rpm. La maquina esta colocada sobre unaplaca de caucho aisladora de vibracion con coeficiente de rigidez de 500 Kg/cm y fraccion deamortiguamiento crıtico de 0,12. Cual es la frecuencia natural de un sismografo no–amortiguadoque puede ser usado para medir las vibraciones de estado–estacionario en todas las velocidadesde funcionamiento con un error menor al 4 %. Si este sismometro es usado, cual es la salidacuando la maquina esta operando a 2500 rpm.

4.29.En el sistema de la Figura adjunta considere que:k = 48 Kg/cm c = 0, 01 Kg-seg/cm L = 1, 8 mW = 20, 8 Kg y esta sujeto a la fuerza de exitaciondefinida por:P (t) = 100 sin 24, 2t+ 80 sin(48t+ 0, 35)− 30 sin(100t+ 0, 21) Kg

Cual es la salida en mm/seg de un acelerometrode 100 Hz de frecuencia natural y fraccion deamortiguamiento crıtico 0,7 colocado en A.

4.30. Cual es la salida, medida en mm, de un sismometro con una frecuencia natural de 2,5 Hz y unafraccion de amortiguamiento crıtico igual a 0,05 que es instalado en el punto A del sistema delProblema anterior.

4.31. Un bloque de 20 Kg de peso es conectado a un soporte movil a traves de un resorte con coefi-ciente de 100 Kg/cm en paralelo con un amortiguador viscoso con coeficiente de 0,6 Kg-seg/cm.


El soporte esta sometido a un movimiento de desplazamiento armonico de 15 mm de amplitud auna frecuencia de 40 rad/seg. Un acelerometro de 25 Hz de frecuencia natural y 0,2 de fraccionde amortiguamiento crıtico es conectado al bloque. Determinar la salida proporcionada por elacelerometro en mm/seg2.

4.32. Un acelerometro tiene una frecuencia natural de 80 Hz y un coeficiente de amortiguamiento de0,08 Kg-seg/cm. Cuando este dispositivo es conectado a una estructura vibrante, registra unamedida de amplitud de 8 m/seg2 y una frecuencia de 50 Hz. La aceleracion verdadera de laestructura es 7,8 m/seg2. Determinar la masa y la rigidez equivalentes del acelerometro.


Figura 4.38: Espectro de respuesta – Exitacion armonica

Capıtulo 5

Excitacion transitoria

Cuando las vibraciones de un sistema mecanico o estructural son iniciadas por una excitacionperiodica, existe un lapso de tiempo transitorio inicial donde la respuesta de vibracion libre es tangrande como la respuesta forzada. La respuesta de vibracion libre rapidamente decae, resultando enun movimiento de estado–estacionario. Los sistemas sujetos a excitaciones no–periodicas usualmenteno consiguen arribar a un estado–estacionario no–nulo. En muchos casos, cuando un sistema esta sujetoa una excitacion no–periodica, la respuesta de vibracion libre interactua con la respuesta forzada y esimportante durante toda la duracion del movimiento oscilatorio del sistema. Este es el caso cuando unsistema esta sujeto a un pulso de duracion finita donde el perıodo de la vibracion libre es mayor quela duracion del pulso aplicado.

Un ejemplo de una excitacion no–periodica es el temblor de tierra ocasionado por un sismo oterremoto. La respuesta de las estructuras debidas al temblor de la tierra es obtenida usando losmetodos presentados en este capıtulo. Un sismo es generalmente de duracion muy breve, pero losdesplazamientos y tensiones maximas ocurren mientras el sismo tiene lugar. La forma del terrenorecorrido por un vehıculo es generalmente no–periodica. Los sistemas de suspension de un vehıculodeben ser disenados para proteger a los pasajeros de cambios repentinos en la forma del contornodel camino que el automovil recorre, por la vibracion que se induce al atravesar estas irregularidadespresentes en la ruta de movimiento. La fuerza producida en la operacion de maquinas en procesosde fabricacion es a menudo no–periodica. Los cambios subitos en las fuerzas generadas ocurren porejemplo en prensas de impacto y aparatos de moldeado o extrusion de materiales.

Los simples ejemplos mencionados anteriormente, evidentemente nos obligan a establecer una me-todologıa de calculo de la respuesta que presenta un sistema para el caso general de perturbacionesque no son ni armonicas, ni periodicas. El procedimiento a ser desarrollado en este capıtulo, nos permi-tira posteriormente evaluar el comportamiento de sistemas que tengan propiedades inerciales, elasticas,y amortiguadoras; ante excitaciones externas que son de caracterıstica variable temporalmente en modogeneralizado, las cuales no tengan propiedades de periodicidad en la forma de su ocurrencia.

5.1. Introduccion

Desde un punto de vista completamente estricto, todos los tipos de excitacion que pueden afectarun sistema mecanico o estructural son transitorios, ya que en algun momento dejaran de perturbar alsistema. Sin embargo, desde el punto de vista de analisis se acostumbra distinguir las excitaciones deacuerdo a su duracion. En consecuencia, una excitacion transitoria se puede definir como aquella cuyaduracion y accion sobre el sistema esta determinada.

Las vibraciones forzadas de los sistemas de un grado de libertad estan descritas por la ecuaciondiferencial:

meq x+ ceq x+ keq x = Peq(t)

139

140 CAPITULO 5. EXCITACION TRANSITORIA

o en su forma estandarizada habitual:

x+ 2β ω x+ ω2 x = P (t) , P (t) =Peq(t)

meq(5.1)

Las condiciones iniciales, es decir los valores: de x(t0) = x0 y x(t0) = x0, completan la formulaciondel problema. La solucion de la Ecuacion (5.1) para formas periodicas de P (t) fueron discutidas en elcapıtulo anterior.

El proposito de este capıtulo es analizar el movimiento de sistemas pasando por vibraciones transi-torias. La Ecuacion (5.1) es una ecuacion diferencial ordinaria de segundo–orden lineal no–homogenea.Para ciertas formas de Peq(t), el metodo de los coeficientes indeterminados, puede ser usado paradeterminar la solucion particular. La solucion homogenea es anadida a la solucion particular, resultan-do en una solucion general que involucra dos constantes de integracion. Las condiciones iniciales sonaplicadas para valorar estas constantes. Si en el modelo esta presente un determinado monto de amor-tiguamiento, la solucion homogenea se extingue o desaparece despues de un breve tiempo, dejandoa la solucion particular o forzada como la solucion de estado–estacionario. El metodo de los coefi-cientes indeterminados es mas adecuado en el tratamiento de excitaciones armonicas, polinomiales, oexponenciales; y no resulta util para la mayorıa de las excitaciones estudiadas en este capıtulo.

Las condiciones iniciales y la solucion homogenea tienen un efecto importante sobre el movimientovibratorio transitorio breve de algunos sistemas. Para estos problemas, es conveniente usar un metodode solucion en el que la solucion homogenea y la solucion particular sean obtenidas simultaneamentey las condiciones iniciales sean incorporadas naturalmente en la solucion.

Muchas excitaciones aplicadas son de duracion muy breve. Para las respuestas de duracion breves,la respuesta maxima podrıa ocurrir despues de que la excitacion ha cesado. Es necesario por lo tanto,desarrollar un metodo de solucion el cual determine la respuesta de un sistema para todo tiempo,incluso despues de que la excitacion es retirada. Ademas, muchas excitaciones cambian su forma aveces de manera discontınua. Para estas excitaciones un metodo de solucion en el que una formamatematica unificada de la respuesta sea determinada es un mecanismo de gran utilidad.

El metodo principal de solucion presentado en este capıtulo es el uso de la integral de convolucion. Laintegral de convolucion es obtenida usando el principio fundamental del impulso–cambio de momentumlineal y el principio de superposicion. Tambien puede ser deducida por aplicacion del metodo devariacion de parametros. La integral de convolucion provee la solucion de forma–cerrada mas generala la Ecuacion (5.1) de movimiento del sistema. Las condiciones iniciales son aplicadas en la deduccionde la integral, y no necesitan ser consideradas durante la solucion de cada problema. La integral deconvolucion puede ser usada para generar una respuesta matematica unificada para las excitacionescuya forma cambia a veces en instantes discretos. Puesto que solamente requiere la evaluacion de unarelacion integral, el metodo es facil de ser aplicado.

5.2. Excitacion transitoria

De acuerdo con lo expresado, este tipo de excitacion tiene una duracion finita con respecto al pe-riodo del sistema o estructura. Observese que la accion armonica de una maquinaria sobre su fundacionse supuso sin lımite, y en consecuencia de acuerdo con lo definido no es de tipo transitorio. En cambio,la accion de un terremoto sobre una estructura esta limitada a un intervalo de tiempo durante el cualse puede analizar el efecto del mismo, ası como sus efectos posteriores; es decir una vez que termina laexcitacion. en consecuencia, definimos:

Excitacion transitoria es aquella que se mantiene actuando sobre un sistema al menos por untiempo que es igual a varias veces el periodo del mismo.

Se previene sobre el hecho de que la definicion anterior es arbitraria, y que tiene un sentido relativo,al estar definida en funcion del periodo del sistema o estructura.

5.3. EXITACION TIPO IMPULSO 141

La respuesta de un sistema a la aplicacion de una perturbacion o excitacion transitoria es necesariade ser evaluada en el intervalo de tiempo en el cual la accion externa actuante tiene presencia y duracion;ası como tambien cuando esta perturbacion se ha extinguido y deja de actuar sobre el sistema, porqueen muchos casos los efectos remanentes de una solicitacion transitoria son mucho mas importantes quedurante la fase de duracion de la misma. Esta respuesta, como se indico anteriormente sera obtenidamediante la integral de convolucion que involucra a la funcion de Green, metodo que fue tratado consuficiente detalle en el Capıtulo 3.

Existen algunas formas de excitacion en las que una solucion de forma–cerrada de la Ecuacion (5.1)no existe. En estos casos, la integral de convolucion no tiene una evaluacion y aplicacion de forma ce-rrada, de modo que cualquier otra tecnica que sea aplicada en estos casos conducira irremediablementehacia la integral de convolucion nuevamente como relacion matematica final. Ademas, la situacion pre-viamente descrita siempre existe cuando la excitacion no esta explıcitamente definida en todos valoresde tiempo del intervalo de interes. Una de estas situaciones de da cuando la excitacion pudo habersido obtenida, por ejemplo, empıricamente mediante mediciones experimentales. En estas situacioneslos metodos numericos deben ser desarrollados para proveer aproximaciones discretas a la respuestabuscada. Estos metodos discretos incluyen la evaluacion numerica de la integral de convolucion y cual-quier otro tipo de soluciones numericas directas de la Ecuacion (5.1), como por ejemplo mediante elmetodo de Runge–Kutta.

5.2.1. Respuesta a excitacion transitoria

Al igual que todos los casos, la respuesta se obtiene en funcion del criterio de diseno utilizado; enconsecuencia, estaran involucrados desplazamientos, velocidades, aceleraciones, etc.

Para hallar la respuesta del sistema se requiere el conocimiento completo de la “historia” de laexcitacion, o sea su variacion secuencial completa con respecto al tiempo.

Una vez que se cuenta con esta informacion, la respuesta se obtiene mediante aplicacion de las Ecua-ciones 3.34 o 3.61 segun se incluya o no el amortiguamiento en el modelo. La investigacion de los valoresmaximos de la respuesta se realiza en forma totalmente analoga a los procedimientos establecidos encapıtulos anteriores.

La respuesta podra establecerse en terminos analıticos siempre y cuando sea posible la evaluacionde las integrales que sean planteadas en el proceso de solucion de la ecuacion de movimiento; si esto noes posible se debera recurrir a tecnicas numericas, las mismas que seran motivo de un capıtulo especial.

5.3. Exitacion tipo impulso

Este tipo de excitacion se caracteriza por su corta duracion; se la distingue del tipo de excitaciontransitoria porque su naturaleza permite un analisis diferente, simplificando el tratamiento general.Antes de intentar cualquier analisis definamos que se entendera por excitacion impulsiva.

Excitacion impulsiva es aquella que se mantiene actuando sobre un sistema por un tiempo deduracion muy pequeno comparado con el periodo natural de oscilacion del mismo. En concepcionsimple es la transmision externa instantanea de energıa mediante cierta perturbacion (carga,desplazamiento, velocidad, etc.) hacia el sistema.

En los terminos establecidos en la definicion anterior que es relativa, pueden incluirse excitaciones deduracion relativamente apreciable en terminos de la duracion de esta perturbacion actuante; pero lasperturbaciones de aplicacion y duracion casi instantaneas, como las cargas de impacto por ejemplo, seincluyen con exactitud en el grupo de excitaciones que cumplen la definicion establecida previamente.


5.3.1. Naturaleza de la excitacion impulsiva

Sea la excitacion mostrada en la Figura 5.1(a) para la cual se supone un tiempo de duracion pequenotd, comparado con el periodo de algun sistema mecanico o estructura.

(a) Carga impulsiva original (b) Carga impulsiva equivalente

Figura 5.1: Excitacion de tipo impulsivo

La magnitud de la fuerza perturbadora aplicada puede definirse en funcion del cambio de cantidadde movimiento lineal (o momentum lineal) que se produce en el sistema. Por la segunda ley de Newtontendremos:

P = ma = mdv

dt, ⇒ P (t) dt = mdv

e, integrando durante el intervalo de tiempo de duracion de la perturbacion,∫ td

0

P (t) dt = m

∫ vtd

v0

dv = m (vtd − v0) = m∆v (5.2)

donde m es la masa equivalente y ∆v es el cambio en la velocidad del sistema.

La integral que aparece en la Ecuacion (5.2) es el impulso de fuerza conferido al sistema en elintervalo de tiempo ∆t ≡ 0 6 t 6 td. Entonces, denotamos el impulso aplicado como:

I =

∫ td

0

P (t) dt

cuya magnitud es identica al area por debajo de la funcion de carga aplicada P (t), por la interpretaciongeometrica que tiene la integral.

Si se aplica el teorema de valor medio integral a esta relacion, tendremos en terminos fısicos queel impulso de fuerza original puede ser reemplazado por el impulso equivalente que proporciona unacarga de magnitud media constante actuando en identico intervalo temporal. Por tanto:

I =

∫ td

0

P (t) dt = I∗ = P ∗td

donde t∗ (0 < t∗ < td) es un valor caracterıstico asociado con el valor de magnitud de carga media, demodo que: P (t∗) = P ∗ es el valor medio de carga aplicada en el mismo intervalo de tiempo en el cualtiene existencia la carga impulsiva original.

Si se supone que el tiempo de duracion de la carga impulsiva td es muy pequeno, se puede suponeresencialmente que la carga aplicada puede admitirse de valor equivalente constante de menor magnituden el mismo intervalo de tiempo de duracion, de modo que la carga original puede reemplazarse conla funcion pulso mostrada en la Figura 5.1(b) la cual tiene la misma area encerrada por debajo que la

5.3. EXITACION TIPO IMPULSO 143

perturbacion original, o sea el mismo impulso. De la ultima ecuacion escrita, se puede determinar lamagnitud del pulso equivalente, lo cual resulta:

P ∗ =

∫ td0P (t) dt

td(5.3)

Entonces, en terminos del impulso equivalente tendrıamos:

P ∗ td = m∆v

Si hallamos ahora la transformada de Fourier de la funcion pulso mostrada en la Figura 5.1(b),hallamos lo siguiente:

P (t) =

P ∗ 0 < t < td

0 t > td(5.4)

P (Ω) =

∫ td

0

P ∗e−jΩtdt =P ∗

jΩ

(1− e−jΩtd

)(5.5)

donde j≡√−1 es el elemento unitario complejo. Multiplicando y dividiendo esta ecuacion por 2e−jΩtd/2

se obtiene finalmente:

P (Ω) =2P ∗

Ωe−jΩtd/2 sin

(Ωtd2

)(5.6)

Recordando ahora la expresion para la anti–transformada Fourier de una funcion variable en eltiempo, podemos obtener una conclusion preliminar. Aplicando la transformada inversa, tendremos:

P (t) =1

2π

∫ ∞−∞

P (Ω) e−jΩtdt (5.7)

La Ecuacion (5.7) muestra que para recuperar la funcion original debemos integrar (realizar unasuma infinita) la Ecuacion (5.6) en todo el rango de variacion del parametro Ω. Esto es equivalente asuperponer todas las componentes de P (t) asociadas con cada valor de Ω. Recuerdese que para el casode una funcion periodica se encontro que esta podrıa expresarse como una suma infinita de funcionesarmonicas, cada una asociada con un valor de Ω, las mismas que estaban espaciadas de forma discretaa lo largo del eje Ω.

De acuerdo con la Ecuacion (5.6) vemos que la misma es una funcion contınua, y por lo tanto defineinfinitas componentes de P (t). Si el parametro Ω es interpretado como frecuencia, esta ecuacion indicaque la funcion de perturbacion P (t) tiene componentes asociadas con todas las frecuencias posibles.

Por otra parte, la Ecuacion (5.7) es totalmente analoga a la serie de Fourier y se denomina expresionintegral de Fourier de la funcion P (t); donde P (Ω) esta definida en la Ecuacion (5.5). Observese queP (t) no necesita ser periodica, y por lo tanto la Ecuacion (5.7) brinda un tratamiento analogo a laserie de Fourier para funciones no–periodicas. La integral definida en la Ecuacion (5.5) en general nosera convergente, La condicion de convergencia y otras condiciones adicionales son necesarias paraque la suplencia de una funcion perturbatriz mediante la Ecuacion (5.7) sea representativa de laperturbacion real actuante sobre el sistema.

De acuerdo con la Ecuacion (5.5), se ve que en general la transformada de una funcion P (t) es unafuncion compleja. Para los fines que perseguimos aquı, tomaremos el modulo de la funcion |P (t)| quecomunmente se conoce con el nombre de espectro de amplitudes, y para el caso de la funcion definidaen la Ecuacion (5.4) se demuestra que es:

|P (t)| = 2P ∗

Ωsin(

Ωtd

2

)(5.8)

Esta es una funcion real valorada, y su representacion grafica se muestra en la Figura 5.2.


Figura 5.2: Espectro de amplitud de la Figura 5.1(b)

Una inspeccion de la Figura 5.2 nos muestra que la parte mas importante del espectro se encuentraen el intervalo 0 6 |Ω| 6 2π/td; y este intervalo se amplıa cuando td tiende a cero. Ademas, cuando Ωse hace infinitamente pequeno se tiene:

lımΩ→0|P (Ω)| = I∗ = P ∗td (5.9)

que nos indica que cuando la magnitud de la transformada de Fourier se evalua en el origen defrecuencias, o se realiza la composicion de todos los terminos que la componen, se obtiene el impulso defuerza que confiere la funcion perturbadora. La Ecuacion (5.9) es tıpica de las excitaciones transitorias.Si suponemos ademas que P (t) es de tipo impulso, de acuerdo a la definicion establecida para este tipode perturbacion, evidentemente se debe cumplir:

td T

donde T es el perıodo natural no–amortiguado del sistema; luego tendremos,

2π

td 2π

T⇒ Ω ω

Por tanto, cuando Ω tiende hacia cero, se cumplira la Ecuacion (5.9) cualquiera sea la forma delpulso. Esta afirmacion en otros terminos significa que:

La respuesta de un sistema hacia una excitacion tipo impulso para la cual se cumple que el tiempode duracion td es mucho menor que el perıodo natural no–amortiguado T del sistema o estructura,esta gobernada por la magnitud del impulso transmitido (area bajo la curva de la funcion pulso),y es independiente de la forma que tiene esta funcion.

Esta importantısima conclusion nos permitira establecer de manera directa la respuesta de un sistemahacia una perturbacion tipo pulso; pues el efecto de esta perturbacion actuante en un intervalo temporalextremadamente corto, sera simplemente un cambio repentino y subito de la velocidad del sistema.

5.4. Espectros de respuesta

Los problemas de diseno requieren a menudo la determinacion de los parametros del sistema, deforma que las restricciones establecidas sean satisfechas. En muchos problemas los criterios de disenoinvolucran la limitacion de los desplazamientos maximos y tambien las tensiones maximas para unparticular tipo de excitacion.

Por ejemplo, si se ha establecido que los sismos en cierta area determinada tienen formas simi-lares de excitaciones, solamente con diferentes niveles de intensidad; entonces el conocimiento de losdesplazamientos maximos como una funcion de los parametros del sistema es util en el diseno de una

5.4. ESPECTROS DE RESPUESTA 145

estructura para soportar cierto nivel del sismo. La habilidad de la estructura de soportar el sismo de-pende del desplazamiento maximo desarrollado en la estructura durante y despues de esta perturbaciony las tensiones maximas que se desarrollan en la estructura a causa de la respuesta a esta excitacionexterna.

Discutiremos ahora con algun detalle la respuesta de un sistema de un solo grado de libertada diferentes tipos de excitaciones con el objeto de discutir algunas caracterısticas importantes delcomportamiento dinamico del sistema causado por la accion de la perturbacion externa aplicada sobreellos.

En general intentaremos encontrar los valores maximos del factor dinamico de carga fdcmax, ad-virtiendo que las Ecuaciones 4.18 y 419 ya no seran estrictamente aplicables.

Distinguiremos dos fases en la respuesta del sistema: la fase i que sera la respuesta cuando laexcitacion esta actuando sobre el sistema, y la fase ii la parte residual que sera la respuesta en eltiempo posterior a la accion de la perturbacion aplicada o cuando la misma ya se ha extinguido.

5.4.1. Pulso rectangular

Consideremos la excitacion tipo pulso rectangular que se muestra en la Figura 5.3; la cual suponemosesta aplicada sobre un sistema no–amortiguado. Este caso ya fue analizado en un capıtulo anterior(vease el Ejemplo 3.8).

Figura 5.3: Perturbacion tipo pulso rectangular

Las ecuaciones de movimiento son las siguientes:

mx+ k x = P0 0 6 t 6 td (5.10a)

mx+ k x = 0 t > td (5.10b)

Si se supone que el sistema en el instante inicial t0 = 0 parte del reposo, obtenemos:

fdc(ω, t) = 1− cosωt 0 6 t 6 td (5.11a)

fdc(ω, t) = cosω(t− td)− cosωt t > td (5.11b)

Nos interesa ahora hallar los valores maximos de las Ecuaciones (5.11). Un analisis de la Figu-ra 5.4(a), donde se ha dibujado esquematicamente la respuesta del sistema, nos indica que siempre quese cumpla la condicion:

td >T

2se tendra |fdcmax| = 2

Notemos ademas la maxima respuesta se produce durante la aplicacion de la carga, en la fase i.Si por el contrario el tiempo de duracion del pulso td es menor que la mitad del periodo fundamental

T , el maximo tendremos que buscarlo en la fase ii de respuesta, o sea despues de pasada la duracion


(a) Respuesta para td > T/2 (b) Respuesta para td 6 T/2

Figura 5.4: Respuesta a excitacion de tipo pulso rectangular

de la carga mediante la Ecuacion (5.11b); la cual puede re–escribirse en la siguiente forma:

fdc(ω, t) = 2 sinωtd2− sinω

(t− td

2

)De esta relacion se ve claramente que:

Si td 6T

2entonces |fdcmax| = 2 sin

ωtd2

La respuesta maxima se presenta luego de haber finalizado el tiempo de duracion de la excitacion (faseii). La Figura 5.4(b) esquematiza tal situacion.

Por todo el analisis efectuado anteriormente, en el caso de esta respuesta en particular es posibledefinir el espectro de respuesta como sigue:

fdcmax =

2 sinωtd2

td 6 T2

2 td > T2

Recordando que: ω = 2π/T , las relaciones anteriores pueden ser modificadas para establecer ecuacionesen funcion de parametros adimensionales, resultando:

fdcmax =

2 sinπtdT

tdT 6 1

2

2 tdT > 1

2

(5.12)

No olvidemos que el espectro de respuesta es un grafico extermadamente util, que no solamentesirve para predecir la amplitud maxima de la vibracion, la cual esta relacionada con las deformacio-nes producidas en todo elemento componente del sistema. Cualquier caracterıstica relacionada conel desplazamiento, como la tension dinamica interna (a traves de la deformacion producida), puedeser facilmente evaluada apelando al concepto de que el espectro de respuesta define en realidad unfactor de magnificacion o amplificacion de los efectos estaticos producidos por la amplitud maximade la carga dinamica aplicada al sistema, que sirve para estimar la magnitud de los efectos dinamicosmaximos producidos por la carga temporal aplicada durante la vibracion del sistema durante el tiempode duracion de la carga o despues que ha pasado este intervalo de tiempo inicial.

Por ejemplo, en el caso de la tension normal podemos escribir:

σdinmax = fdcmax σ

estmax


donde σdinmax es la amplitud maxima de la tension normal dinamica durante la vibracion, y σest

max es latension normal maxima generada por la amplitud maxima de la carga dinamica aplicada estaticamenteal sistema o estructura.

5.4.2. Pulso triangular creciente

Consideremos ahora la respuesta de un sistema hacia un pulso triangular creciente como el mostradoen la Figura 5.5.

Figura 5.5: Perturbacion tipo pulso triangular creciente

Las ecuaciones de movimiento son para este caso:

mx+ k x = P0

t

td0 6 t 6 td (5.13a)

mx+ k x = 0 t > td (5.13b)

Si se supone que el sistema en el instante inicial t0 = 0 parte del reposo, se obtiene:

fdc(ω, t) =1

ωtd(ωt− sinωt) 0 6 t 6 td (5.14a)

fdc(ω, t) =1

ωtd

√(ωtd − sinωtd)2 + (1− cosωtd)2 sin(ωt+ α) t > td (5.14b)

dejando los detalles de la obtencion de las formulas anteriores para el amable lector.Para obtener el espectro de respuesta consideremos lo siguiente. Si definimos:

α1 =tdT

α2 =t

td(5.15)

la Ecuacion (5.14a) se puede escribir como:

fdc(ω, t) =1

2πα1

( 2πα1α2 − sin 2πα1α2 ) (5.16)

Es evidente que cuando α1 adquiere un valor de magnitud muy grande, se cumplira:

lımt→∞

fdc(ω, t) = fdc(td) = α2 =t

td

y por lo tanto para α1 muy grande, el fdcmax tiende hacia la unidad: fdcmax∼= 1.

Sin embargo, la aplicacion de la Ecuacion (5.14a) depende si el maximo se produce o no duranteel intervalo de duracion de la carga (fase i), y esto sucede muy aproximadamente cuando el tiempo de


duracion del pulso triangular es por lo menos mayor que las tres cuartas partes del periodo naturalno–amortiguado del sistema. Entonces:

fdc(ω, t) =1

2πα1

( 2πα1α2 − sin 2πα1α2 ) td >3

4T

Si no se cumple la condicion anterior, habra que buscar el maximo en la fase ii, es decir lue-go que ha cesado la aplicacion de la carga (durante la vibracion libre del sistema). Entonces, de laEcuacion (5.14b) tenemos:

fdcmax =1

ωtd

√(ωtd − sinωtd)2 + (1− cosωtd)2 td 6

3

4T

y la evaluacion del maximo se calcula directamente de esta ecuacion para diferentes valores del tiempode duracion de la carga td, siempre y cuando se cumpla la condicion de restriccion que se especifica enla ecuacion anterior.

El calculo del factor dinamico de carga maximo para diferentes valores del tiempo de duracion delpulso cuando se cumple td > 3T/4, o sea durante la aplicacion de la carga, se obtiene mediante laevaluacion de la Ecuacion (5.14a) para diferentes valores de td. Pero, se sugiere utilizar la forma dadapor la Ecuacion (5.16), para la cual debera tomarse en cuenta que

0 6 α2 6t

td

Recordando que ω = 2π/T , podemos hacer ahora un resumen del factor dinamico de carga maximoasociado a un pulso triangular creciente, mostrado de la manera siguiente: Recordando que ω = 2π/T ,podemos hacer ahora un resumen del factor dinamico de carga maximo asociado a un pulso triangularcreciente, mostrado de la manera siguiente:

fdcmax =

1

2πtdT

√(2π tdT − sin 2π tdT

)2+(1− cos 2π tdT

)2 tdT 6 3

4

1

2πtdT

(2π tdT α2 − sin 2π tdT α2

) ∣∣∣α2max

tdT > 3

4

(5.17)

En la Tabla 5.1 se dan los valores del fdcmax para el pulso triangular creciente, mostrado en laFigura 5.5, en funcion de la relacion temporal adimensional: td/T . Se dan tambien los valores deltiempo maximo de respuesta comparados con el tiempo de duracion del pulso en la forma: tm/td,donde tm es el tiempo de maxima respuesta.

Tabla 5.1: Respuesta maxima – Pulso triangular creciente

td/T 0,0 0,25 0,40 0,65 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,75 3,00 3,25 4,25 5,25fdcmax 0,0 0,73 1,05 1,26 1,21 1,00 0,87 1,00 1,09 1,00 0,93 1,06 1,00 0,95 0,96 0,97tm/td 0,0 2,33 1,58 1,06 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

En la Figura 5.6 se muestran los graficos de respuesta maxima para: 1© el pulso rectangular [vease laEcuacion (5.12)] y 2© el pulso triangular creciente [vease la Tabla 5.1 y la Ecuacion (5.17)] , consideradoshasta aquı.

El calculo y trazado de espectros de respuesta similares a los mostrados en la Figura 5.6 es muyutil en el diseno, ya que proporcionan la respuesta maxima a la exitacion de todos los sistemas de ungrado de libertad !.

Ejemplo 5.1. Un eje circular de acero (G = 1, 8×105 Kg/cm2) de 60 cm de longitud, 1,5 cm de radioy 3,2 Kg de peso empotrado en un extremo, sostiene libremente en su otro extremo un volante circularrıgido de 20 cm de radio y 28,4 Kg de peso. Ademas sobre el volante se aplica un momento torsor tipo


Figura 5.6: Espectros de respuesta de pulsos: rectangular y triangular

pulso rectangular de 1200 Kg-cm de amplitud y 0,6 seg de duracion, como se muestra en la Figura 5.7.Suponiendo que el sistema inicia su movimiento a partir del reposo, determinar la amplitud maximay la tension cortante maxima soportada por el eje durante la vibracion torsional de este conjuntorespecto al eje axial del mismo.

Figura 5.7: Sistema eje–volante y pulso rectangular aplicado

> Solucion

En el Ejemplo 2.7 se analizo este problema, con la unica diferencia que la perturbacion aplicada erade tipo armonico. Sin embargo, la ecuacion diferencial gobernante del movimiento vibratorio es validacon la ligera excepcion del momento torsor aplicado. La ecuacion gobernante de la vibracion torsionalhallada es repetida aquı:

Ieq θ(t) + kteq θ(t) = M(t)

Si aplicamos la ecuacion previamente establecida al presente problema, tendremos que la ecuaciongobernante del movimiento vibratorio rotacional del conjunto eje–volante sera en este caso:(

mr2

6+MR2

2

)θ(t) +

Gπ r4

2Lθ(t) = M(t)

con condiciones iniciales: θ(0) = θ0 = 0 θ(0) = θ0 = 0

y la excitacion definida como:

M(t) =

M0 0 6 t 6 td

0 t > td


El uso del espectro de respuesta para carga impulsiva tipo pulso rectangular (o cualquier otrasolicitacion similar de impacto) requiere previamente un analisis de tipo estatico del problema, consi-derando la aplicacion de la amplitud maxima de la exitacion particularmente. Entonces si pensamosque M0 se aplica en forma estatica al sistema eje–volante, el momento torsor interno en el eje denotadocomo Mt, sera constante a lo largo del mismo y de identica magnitud que el momento aplicado; es decir:

Mt(x) = M0 0 6 x 6 L

En el esquema adjunto mostramos la seccion transversal del eje circular,el momento torsor actuante, y la distribucion de tensiones cortantes quese genera en cualquier linea radial perteneciente a la seccion de cortehipoteticamente efectuada.Si denotamos: ρ a la posicion radial, J al momento de inercia polarcentroidal del area circular y Mt al momento torsor actuante en dichaseccion; podemos establecer la relacion siguiente como descripcion dela distribucion de tensiones cortantes internas:

τ(ρ) =Mt ρ

JJ =

π r4

2Como se aprecia en la grafica la tension cortante maxima estatica se presenta en la periferia del eje,es decir: τ est

max = τ(r), la cual tiene como valor de magnitud:

τ estmax =

2M0

π r3=

2×1200

π1, 53= 226, 35 Kg/cm2

A fin de calcular los parametros dinamicos del sistema, evaluemos primero la masa del eje y elvolante:

m =w

g=

3, 2

981= 3, 26×10−3 Kg-seg2/cm

M =W

g=

28, 4

981= 28, 95×10−3 Kg-seg2/cm

Luego, la inercia masica polar centroidal y el coeficiente de rigidez torsional equivalentes resultan:

Ieq =mr2

6+MR2

2=

(3, 26×10−3)1, 52

6+

(28, 95×10−3)202

2= 5, 79 Kg-cm-seg2

kteq =

Gπ r4

2L=

(1, 8×105)π 1, 54

2×60= 23856, 47 Kg-cm/rad

Por tanto, la frecuencia y el periodo natural no–amortiguando del sistema son:

ω =

√kt

eq

Ieq=

√23856, 47

5, 79= 64, 19 rad/seg T =

2π

ω=

2π

64, 19= 0, 098 seg

En tanto, el desplazamiento angular estatico maximo debido a la aplicacion de la amplitud de laexitacion es:

θest =M0

kteq

=1200

23856, 47= 0, 05 rad

Comparamos ahora el tiempo de duracion del pulso rectangular aplicado con el perıodo naturalno–amortiguado del sistema,

tdT

=0, 6

0, 098= 6, 12


Como este valor parametrico cumple: td/T > 1/2, resulta ser un indicativo el cual nos dice que larespuesta maxima del sistema se producira durante la aplicacion del pulso, en la fase i de vibracionforzada del sistema.

De la Figura 5.6, o de la Ecuacion (5.12), concluimos que:

tdT

= 6, 12 ⇒ fdcmax = 2

por tanto, la amplitud maxima de vibracion (en estado dinamico) resulta:

fdcmax =θmax

θest⇒ θmax = fdcmaxθest = 2×0, 05 = 0, 1 rad

Como la tension cortante al interior del eje es funcion directa de su deformacion angular, resul-tara que la tension dinamica maxima estara magnificada por el mismo valor fdcmax respecto a latension cortante que se produce en condicion estatica; es decir, tambien se cumplira:

τdinmax = fdcmaxτ

maxest = 2×226, 35 = 452, 7 Kg/cm2

>Este ejemplo nos muestra claramente el efecto, casi siempre pernicioso, que tienen las cargas im-

pulsivas o de impacto; puesto que en el caso analizado vemos que la tension cortante interna se duplicaen su magnitud en comparacion a la situacion en la que la amplitud maxima de la perturbacion fue-se aplicada estaticamente. Entonces en muchos casos puede suceder que la aplicacion de una cargaimpulsiva de muy corta duracion lleve al sistema hasta un estado de falla dinamica.

En la situacion analizada anteriormente, si la magnitud maxima del pulso aplicado fuese muchomayor, de modo que la tension cortante estatica sea algo menor que la tension cortante lımite defluencia, se podrıa producir la ruptura instantanea del eje porque la tension dinamica ya se ubicarıaen zona plastica del material con elevada probabilidad de haber alcanzado el punto de rotura !.

Ejemplo 5.2. Una maquina de 370,5 Kg de peso esta sujeta a una fundacion elastica que tiene rigidezequivalente de 280 Kg/cm, y es modelada como un sistema de un solo grado de libertad que esta so-metido a una excitacion triangular creciente con un valor maximo de 225 Kg y una duracion de 0,15seg debido a una carga subita de desperfecto. Hallar la fuerza maxima que se transmite a traves delresorte hacia el suelo que sirve de apoyo a la maquina.

> Solucion

La ecuacion de movimiento vibratorio del sistema es:

mx+ k x = P0

t

td0 6 t 6 td

mx+ k x = 0 t > td

con el significado ya establecido para el conjunto de variables y parametros involucrados.La frecuencia natural del sistema es:

ω =

√k

m=

√280×981

370, 5= 27, 228 rad/seg

y el periodo:T =

2π

ω=

2π

27, 228= 0, 23 seg

entonces, tdT

=0, 15

0, 23= 0, 65 < 0, 75


Por lo tanto, la respuesta maxima se produce despues de haber cesado la aplicacion de la carga;entonces de la Figura 5.6, la Tabla 5.1, o la Ecuacion (5.17); obtenemos:

fdcmax =xmax

xest= 1, 26

De aquı,xmax = fdcmax xest = fdcmax

P0

k= 1, 26

225

280= 1, 012 cm

La fuerza maxima transmitida por el resorte es evaluada segun:

Fkmax= k xmax = 280×1, 012 = 283, 36 Kg

El instante en el que se produce esta fuerza transmitida hacia el apoyo es:

tm = 1, 06 td = 1, 06×0, 15 = 0, 16 seg

Cuales serıan los valores de la respuesta maxima y la fuerza transmitida hacia el suelo, si la exci-tacion aplicada fuese del tipo pulso rectangular con la mitad de amplitud e igual tiempo de duracionque el del pulso triangular creciente considerado en el modelo?. >

5.5. Analisis aproximado – Excitacion tipo impulso

En los casos en que la excitacion es del tipo impulsivo, se puede intentar un calculo aproximadode la respuesta, basandonos en el hecho de que por ser pequeno el tiempo de duracion de la exitacioncon respecto al periodo del sistema o estructura, la energıa cinetica transmitida al sistema medianteel impulso de fuerza cedido se produce en un tiempo tan pequeno, de manera que la misma es luegoliberada en forma paulatina y lenta, despues de la aplicacion de la carga (vibracion libre).

En estos casos la forma de la excitacion no afecta substancialmente la respuesta del sistema. Estopuede verse en forma mas clara si se supone que el impulso aplicado es reemplazado por otro de tiporectangular que tenga la misma area (vease la Figura 5.1). Entonces recordando que la amplitud decarga equivalente esta determinada por la Ecuacion (5.3)

P ∗ =

∫ td0P (t) dt

td

Por lo tanto:fdcmax =

xmax

xest=kxmax

kxest=Pmax

Peq

entonces,fdcmax =

Pmax

1td

∫ td0P (t)dt

(5.18)

Para el caso del pulso triangular creciente se tiene:

fdcmax =Pmax12P0

(5.19)

Con el objeto de comparar las respuestas de los pulsos considerados, volvamos a dibujar la Figura 5.6con referencia a un mismo valor de amplitud de la carga impulsiva P0 como se muestra en la Figura 5.8donde se bosquejan las curvas normalizadas hacia un mismo valor de magnitud del impulso aplicado.

La Figura 5.8 claramente nos muestra que las respuestas coinciden hasta casi un valor de 0,25 parala relacion td/T , lo que nos indica que para valores de la relacion temporal adimensional td/T < 1/4la respuesta es independiente de la forma de los pulsos considerados, y esta afirmacion es cierta paracualquier tipo de pulso. Estas conclusiones podemos resumirlas como sigue:

5.5. ANALISIS APROXIMADO – EXCITACION TIPO IMPULSO 153

Figura 5.8: Espectros normalizados de respuesta de pulsos: rectangular y triangular

Para excitaciones de corta duracion (td/T < 1/4) la respuesta maxima es independiente de laforma del pulso, y depende principalmente del impulso aplicado (area por debajo de la curvaexcitacion–tiempo).

Para duraciones de perturbacion mayores (td/T > 1/4) habra que considerar en la respuesta laforma de la excitacion utilizando la expresion apropiada para el fdcmax; ya que el espectro derespuesta asociado depende del tipo de excitacion aplicado.

Tomando como base las conclusiones anteriores, estamos en condiciones de evaluar la respuestaaproximada de un sistema a una excitacion tipo impulso.

5.5.1. Sistemas no–amortiguados

Si suponemos que se cumplan las condiciones anteriores, entonces es posible suponer para el calculode la respuesta que la aplicacion del impulso origina un cambio instantaneo en la velocidad del sistema(recuerdese que en este caso el desplazamiento es un infinitesimo de segundo orden), por lo tanto:

I =

td+τ∫τ

P (t) dt = m∆v (5.20)

y este impulso aplicado efectua un cambio en la velocidad del sistema, el cual puede aproximarsemediante:

∆v = ∆x = x(τ)− x(0) =I

m

Si suponemos que el sistema parte del reposo: x(0) = x(0) = 0,

∆x = x(τ) =I

mx(τ) = 0

Esto porque el impulso solamente efectua un cambio en la velocidad del sistema; por lo que la respuesta(en vibracion libre) esta determinada por:

x(t) =x(τ) cosω(t− τ) +x(τ)

ωsinω(t− τ)


x(t) =1

mω

td+τ∫τ

P (µ) dµ

sinω(t− τ) (5.21)

donde τ es el instante de aplicacion del impulso; ademas:

xmax =1

mω

td+τ∫τ

P (µ) dµ (5.22)

La utilizacion de la Ecuacion (5.22) como aproximacion que permite evaluar la respuesta maximadel sistema se ilustra en el siguiente problema hipotetico de calculo numerico.

Ejemplo 5.3. Una gran prensa hidraulica que sirve para estampar planchas metalicas laminadas yla fundacion sobre la que descansa es modelada como un sistema de un solo grado de libertad no–amortiguado para estudiar en primera aproximacion su comportamiento. Hallar la respuesta maximadel sistema, que tiene las siguientes caracterısticas: peso total W = 482 Ton, rigidez equivalentek = 4, 97 Ton/cm; y el mismo es sometido a una excitacion tipo pulso parabolico de td = 0, 2 seg deduracion y P0 = 20 Ton de amplitud maxima, como es mostrado en la Figura 5.9.

Figura 5.9: Perturbacion tipo pulso parabolico

> Solucion

La masa en movimiento vibrante es: m =W

g=

482

981= 0, 4913 Ton-cm/seg2

La frecuencia circular y el perıodo del sistema son:

ω =

√k

m=

√4, 97

0, 4913= 3, 18 rad/seg ⇒ T =

2π

ω=

2π

3, 18= 1, 98 seg

La respuesta puede ser obtenida aplicando la integral de convolucion que involucra a la funcion deGreeen asociada al problema; sin embargo podemos ver que se cumple:

td <T

4ya que, 0, 2 <

1, 98

4= 0, 49 seg

Por lo tanto, para evaluar la respuesta maxima del sistema se puede aplicar la expresion aproxima-da establecida mediante la Ecuacion (5.22). Pero, es necesario previamente describir analıticamentemediante una funcion al pulso parabolico aplicado.

P (t) = a0 + a1t+ a2t2 a0, a1, a2 ctes.

5.5. ANALISIS APROXIMADO – EXCITACION TIPO IMPULSO 155

Aplicando las condiciones de borde: P (0) = 0, P (td/2) = P0, P (td) = 0 y evaluando las constantesai (i = 1, 2, 3) hallamos,

P (t) = 4P0

[t

td−(t

td

)2]

La magnitud del impulso transmitido al sistema por el pulso parabolico esta determinado por:

I =

td+τ∫τ

P (µ) dµ =

td∫0

4P0

[µ

td−(µ

td

)2]dµ =

2

3P0 td

Y la respuesta maxima, aplicando la Ecuacion (5.22), nos da como resultado final:

xmax =1

mω

td+τ∫τ

P (µ) dµ =23P0 td

mω=

2×20×0, 2

3×0, 4913×3, 18= 1, 71 cm

>

5.5.2. Sistemas amortiguados

Frecuentemente en los sistemas mecanicos y estructurales sometidos a cargas de poca duracion, elamortiguamiento tiene poco efecto en el primer maximo y por lo tanto usualmente no es considerado.Esto es cierto aun para valores de la fraccion de amortiguamiento crıtico que cumplen: β < 0, 03. Sinembargo, puede darse la situacion en la que sea necesario considerar su accion, como en el caso cuandoun sistema suelo–fundacion para una maquinaria es analizado. En este caso, y debido a diferentesfactores, los valores de β pueden ser tan altos como β = 0, 6 y su efecto debe ser considerado.

El procedimiento para obtener los espectros de respuesta es similar al caso no–amortiguado, conla sola diferencia de que existira una curva para cada valor de la fraccion de amortiguamiento βque debera ser tomado como parametro; esto aparte del mayor esfuerzo invertido en la obtencion deformulas analıticas y valores numericos debido a la presencia de este parametro.

Es posible tambien, desde luego, el calculo de una respuesta aproximada como lo hicimos anterior-mente para el caso de sistemas no–amortiguados; pero siempre y cuando se cumpla la restriccion basica:que el tiempo de duracion del pulso aplicado sea menor que la cuarta parte del periodo fundamentaldel sistema: td < T/4.

Entonces, si se cumple esta hipotesis, se puede demostrar que la respuesta al impulso esta dadapor:

x(t) =I

mωe−βω(t−τ) sinωa(t− τ , ) ωa = ω

√1− β2 (5.23)

donde:

I =

td+τ∫τ

P (µ) dµ

Por lo tanto, es tambien posible demostrar que la respuesta maxima viene dada por:

xmax =I

mωe−βωtmax (5.24)

donde:tmax =

1

ωaarc sen

√1− β2 (5.24a)

es el instante de tiempo al cual se produce el primer maximo en la respuesta amortiguada, luego dehaber sido aplicado el pulso sobre el sistema.


Ejemplo 5.4. En el Ejemplo anterior considere la presencia de un 4 % de fraccion de amortiguamientocrıtico en el sistema, y evalue nuevamente la magnitud de la maxima respuesta en este caso.

> Solucion

En virtud de no haber modificado la exitacion, ni tampoco los parametros dinamicos del sistema, secumple la condicion basica: td < T/4 para poder obtener la respuesta maxima mediante una expresionaproximada, especıficamente por uso de la Ecuacion (5.24).

La frecuencia natural amortiguada del sistema tiene valor:

ωa = ω√

1− β2 = 3, 18√

1− 0, 042 = 3, 177 rad/seg

El instante de respuesta maxima se presenta en:

tmax =1

ωaarc sen

√1− β2 =

1

3, 177arc sen

√1− 0, 042 = 0, 48 seg

y, la magnitud de la amplitud de respuesta maxima al tiempo calculado anteriormente es:

xmax =I

mωe−βωtmax =

23P0td

mωe−βωtmax =

2×20×0, 2

3×0, 4913×3, 18e−0,04×3,18×0,48 = 1, 60 cm

La inclusion de amortiguamiento, aun de un reducido valor de magnitud, hizo que la amplitud derespuesta maxima del sistema se reduzca en un monto no muy apreciable. El porcentaje de reduccionlogrado con esta modificacion alcanza aproximadamente al 6,43 %. >

Por la comparacion de resultados obtenidos en los dos ultimos ejemplos, resulta claro que la pre-sencia de amortiguamiento en el sistema es completamente beneficioso en la reduccion de la magnitudde desplazamiento maximo que se presenta durante la vibracion debida a la aplicacion de una cargaimpulsiva de corta duracion !.

5.6. Aislamiento al impulso

Frecuentemente muchos sistemas o estructuras son sometidas a cargas impulsivas, las cuales generangrandes tensiones internas en algunos casos, y en otros fuerzas de elevada magnitud que se transmitena la fundacion. En el ultimo caso es posible desarrollar expresiones que permitan cuantificar su efecto.Consideraremos aquı el caso general y supondremos que el impulso se aplica en el instante τ = 0.

Supondremos entonces un sistema de masa determinada, el cual se conecta a un elemento aisladorde vibraciones que tiene rigidez y amortiguamiento equivalentes conocidos, que ademas es sometidoa la accion de una carga impulsiva (vease la Figura 4.8). La fuerza transmitida hacia la fundacion, oreaccion ejercida por esta sobre el sistema, es:

R(t) = Fk(t) + Fc(t) = k x(t) + c x(t)

donde el desplazamiento esta determinado por la Ecuacion (5.23), siendo entonces la velocidad:

x(t) =I

me−βωt

(cosωat−

β√1− β2

sinωat

)(5.25)

Si reemplazamos en la ecuacion que describe la fuerza de reaccion, tenemos:

R(t) =k I

mωae−βωt sinωat+

c I

me−βωt

(cosωat−

β√1− β2

sinωat

)

5.6. AISLAMIENTO AL IMPULSO 157

Recordando que: ω2 = k/m y c/m = 2βω, la relacion anterior cambia hacia:

R(t) =I ω√1− β2

e−βωt sinωat+ 2βωIe−βωt(

cosωat−β√

1− β2sinωat

)

R(t) = Iω e−βωt(

1√1− β2

sinωat−2β2√1− β2

sinωat+ 2β cosωat

)

R(t) = Iω e−βωt(

1− 2β2√1− β2

sinωat+ 2β cosωat

)Esta ultima ecuacion es posible de ser escrita en su forma amplitud – fase, como:

R(t) = Iω e−βωt1√

1− β2sin(ωat+ Ψ) (5.26)

donde,tan Ψ =

2β√

1− β2

1− 2β2(5.26a)

Para encontrar la maxima fuerza transmitida, derivamos la Ecuacion (5.26) e igualamos a cero conel objetivo de determinar el tiempo asociado con el valor maximo;

dR(t)

dt=

Iω√1− β2

e−βωt[ωa cos(ωat+ Ψ)− βω sin(ωat+ Ψ) ] = 0

de aquı:tmax =

1

ωa

(arcsin

√1− β2 −Ψ

)(5.27)

y el valor maximo de la fuerza transmitida, como puede comprobarse, resulta en este caso:

R(t)max = Iω e−βωtmax (5.28)

Las Ecuaciones (5.24) y (5.28) permiten ahora analizar la respuesta a la accion de un impulso.Si recordamos que esta perturbacion es la transmision de energıa cinetica al sistema en un tiemporelativamente corto, entonces su buena performance se reflejara en la capacidad del sistema de liberaresta energıa en una forma ‘lenta y suave’; y esto desde un punto de vista fısico implica grandesdeformaciones.

Por lo tanto, de la Ecuacion (5.24) se observa que el desplazmiento maximo es inversamente pro-porcional a la frecuencia natural circular del sistema; en consecuencia para permitir una deformaciongrande del sistema bastara con reducir la frecuencia circular del mismo. Sin embargo, esta accion im-plicara un aumento de la fuerza transmitida, ya que esta es proporcional a la frecuencia circular delsistema [vease la Ecuacion (5.28)]. Estos factores y el hecho de que una perturbacion de este tipo excitauna amplia gama de frecuencias, complican el diseno de un aislamiento a la exitacion tipo impulso.

Frecuentemente cuando se enfrenta el diseno de un sistema sometido al impulso, el analista nodebera dejar la posibilidad de adoptar un sistema no–lineal con el objeto de cumplir los requerimientosde diseno; sin embargo, es posible considerar los siguientes aspectos generales:

1. Se debe elegir cuidadosamente la frecuencia natural del sistema, de manera de eliminar la posi-bilidad de que los efectos del impulso sean amplificados.

2. En razon de que la efectividad del aislamiento esta dada en funcion del desplazamiento a permi-tirse, se deberan tomar precauciones para permitir este movimiento.

3. Si no es posible compatibilizar el desplazamiento y la transmisibilidad maximas, se debe consi-derar la posibilidad de elegir un modelo con caracterısticas no–lineales.


Si bien la Ecuacion (5.28) proporciona un valor maximo, debe investigarse la posibilidad de hallarotro maximo (vease la referencia [16]). Esto puede lograrse recurriendo al concepto de impulso. Sisuponemos nuevamente que el tiempo de aplicacion de la perturbacion es suficientemente pequeno, demanera que el desplazamiento originado es un infinitesimo de segundo orden, es entonces evidente quetoda la fuerza transmitida se debera al movimiento del amortiguador (mas propiamente su velocidad);entonces:

R(t)max = c x(t)max = cI

m

esto en virtud de la amplitud maxima de la velocidad, obtenida a partir de la Ecuacion (5.25). Pero,

c

m= 2βω

entonces: R(t)max = 2βωI (5.29)

Por comparacion de los valores maximos de la fuerza transmitida se ha encontrado que para unafraccion de amortiguamiento crıtico en el rango: β < 0, 5 es aplicable la Ecuacion (5.28); y para β > 0, 5es posible la aplicacion de la Ecuacion (5.29).

Ejemplo 5.5. Con el proposito de ilustrar el tipo de analisis descrito, supondremos que el sistema delEjemplo 5.2 es sometido al mismo tipo de impulso (parabolico), pero en el analisis se incluye ademasel amortiguamiento con fraccion de valor crıtico igual a: β = 0, 3.

> Solucion

El procedimiento de solucion es ahora el siguiente: Se encontro que el impulso de la exitacion es,

I =2

3P0 td =

2

320×0, 2 = 2, 66 Ton-seg

Puesto que β < 0, 5 la Ecuacion (5.28) es aplicable para obtener una solucion aproximada.

ωa = ω√

1− β2 = 3, 18√

1− 0, 32 = 3, 03 rad/seg

Ψ = arctan2β√

1− β2

1− 2β2= arctan

2×0, 3√

1− 0, 32

1− 2×0, 32= 0, 61 rad

tmax =1

ωa

(arcsin

√1− β2 −Ψ

)=

1

3, 03

(arcsin

√1− 0, 32 − 0, 61

)= 0, 217 seg

R(t)max = Iω e−βωtmax = 2, 66×3, 18 e−0,3×3,18×0,217 = 6, 87 Ton

El desplazamiento maximo puede ser estimado a partir de la Ecuacion (5.24),

tmax =1

ωaarc sen

√1− β2 =

1

3, 03arc sen

√1− 0, 32 = 0, 42 seg

xmax =I

mωe−βωtmax =

2, 66

0, 4913×3, 18e−0,3×3,18×0,42 = 1, 14 cm

A la luz de los resultados obtenidos, podemos estimar aun de muy elevada magnitud el despla-zamiento maximo durante la vibracion (que puede afectar el proceso de estampado de las laminasmetalicas). Si modificamos la frecuencia del sistema (variando la rigidez del aislador), pero mantenien-do la relacion: td/T < 1/4 se produciran los siguientes cambios. Supongamos que escogemos:

tdT

= 0, 24 ⇒ T =td

0, 24=

0, 2

0, 24= 0, 83 seg

5.7. MOVIMIENTO DE APOYO 159

ω =2π

T=

2π

0, 83= 7, 57 rad/seg

El coeficiente de rigidez equivalente del aislador debera ser ahora,

k = mω2 = 0, 4913×7, 572 = 28, 154 Ton/cm

Entonces, estamos en capacidad de evaluar los nuevos valores maximos (solo por variacion de lafrecuencia circular del sistema); que serıan:

R(t)max =7, 57

3, 186, 87 = 16, 35 Ton

xmax =3, 18

7, 571, 14 = 0, 48 cm

Si bien se ha logrado reducir la amplitud maxima de respuesta, en contraposicion se ha incrementadola fuerza transmitida hacia el suelo (que podrıa tener consecuencias de tipo estructural). Entonces, elestablecer condiciones restrictivas para una sola de las variables de diseno no parece ser lo adecuado.El analisis tambien deberıa restringir la magnitud de la fuerza transmitida en un valor lımite razonablesegun las circunstancias del entorno del sistema.

Si este nuevo analisis aun no es satisfactorio, se puede intentar aumentar la frecuencia por ‘encima’de la zona donde se hallan concentradas las componentes mas importantes de la respuesta (vease laFigura 5.2); y en este caso tendrıamos que tomar mınimamente,

ω = Ω >2π

td=

2π

0, 2= 31, 42 rad/seg

esto ultimo en razon que la respuesta forzada del sistema se da con la misma frecuencia que la excitacion.Y, luego tendremos:

T =2π

ω=

2π

31, 42= 0, 199 seg ⇒ td

T=

0, 2

0, 199= 1, 005 > 1/4

Por lo tanto, el procedimiento aproximado utilizado anteriormente no serıa aplicable; debiendose re-currir ahora a la evaluacion de las integrales de convolucion que involucran a la funcion de Greenasociada, para determinar la respuesta del sistema.

>Este ultimo ejemplo muestra que el problema de aislamiento a una excitacion impulsiva requiere el

ajuste de los valores parametricos del sistema aislador a utilizarse. Apreciamos en el proceso numeri-co de calculo que cuando disminuye la amplitud del movimiento vibratorio, se incrementa la fuerzatransmitida al apoyo. Por esta razon, en el proceso de diseno de una adecuada fundacion del equipo omaquinaria que se desea aislar de perturbaciones exteriores tipo pulso, se deben establecer rangos devalores restrictivos para las variables de respuesta que se consideren mas importantes y lograr que losparametros dinamicos del sistema aislador cumplan con estas especificaciones.

5.7. Movimiento de apoyo

Muchos sistemas mecanicos o estructuales estan sujetos a excitaciones de apoyo no–periodicas.Una rueda o meumatico de un vehıculo que transita sobre una carretera que posee una depresion ouna protuberancia (abultamiento) induce vibracion a traves del sistema de suspension. Los sismos oterremotos de igual manera producen oscilaciones de las estructuras apoyadas directamente sobre elsuelo.


Figura 5.10: Sistema con excitacion de movimiento de apoyo

Si recordamos la ecuacion gobernante para el movimiento relativo entre una masa y su base cuandoentre estos elementos se interconectan a traves de un resorte y un amortiguador viscoso dispuestos enparalelo, como se muestra en la Figura 5.10; resulta que el movimiento tiene como ecuacion gobernante:

m z + c z + k z = −my

o, de modo normalizado: z + 2βω z + ω2 z = −y (5.30)

donde y = y(t) es el movimiento de apoyo prescrito asumido conocido. Si al instante inicial de obser-vacion consideramos: z(0) = z(0) = 0, es decir que el sistema parte en condicion de reposo, la integralde convolucion puede ser utilizada para hallar la solucion de la ecuacion diferencial gobernante delmovimiento relativo.

Recordando que para un sistema amortiguado forzado, la ecuacion gobernante de la dinamica desu movimiento vibratorio es:

x+ 2βωx+ ω2x =P (t)

m

siendo la respuesta de desplazamiento, asumiendo condiciones iniciales nulas, determinada por:

x(t) =

∫ t

0

K(t, τ)P (τ)

mdτ

En nuestro caso, tomamos como carga la fuerza inercial proveniente de la aceleracion resultante delmovimiento de apoyo: P (t) = −my(t); por lo que en el caso presente de interes adecuamos la soluciongeneral y obtenemos como respuesta:

z(t) = −∫ t

0

y(τ)K(t, τ) dτ (5.31)

donde K(t, τ) es la funcion de Green asociada a la ecuacion diferencial de movimiento planteada.La Ecuacion (5.31) puede ser modificada al aplicar sobre ella un procedimiento de integracion por

partes, dando como resultado el desplazamiento relativo en terminos de la velocidad del apoyo:

z(t) = y(0)K(t)−∫ t

0

y(τ)K(t, τ) dτ (5.32)

donde:K(t) = − e−βωt√

1− β2sin(ωat− χ) (5.32a)

χ = arctan

(√1− β2

β

)(5.32b)

5.7. MOVIMIENTO DE APOYO 161

Si el movimiento de la base o apoyo es conocido, puede ser diferenciado para calcular la velocidad,y la Ecuacion (5.32) puede ser utilizada para determinar el desplazamiento relativo.

Alternativamente, el desplazamiento absoluto de la masa en movimiento vibratorio puede obtenerseresolviendo:

x+ 2βωx+ ω2x = −2βωy − ω2y (5.33)

cuando a esta ecuacion se aplica la integral de convolucion, se obtiene como solucion:

x(t) = −∫ t

0

[2βωy(τ) + ω2y(τ)

]K(t, τ) dτ (5.34)

Ejemplo 5.6. Determinar la respuesta de un bloque de masa m conectado a traves de un resortede coeficiente de rigidez k a la base o apoyo, cuando este soporte esta sujeto a un pulso de velocidadrectangular mostrado en la Figura 5.11. Utilice primero la Ecuacion (5.31), y luego la Ecuacion (5.32)para determinar la solucion.

Figura 5.11: Excitacion por velocidad de apoyo

> Solucion

Puesto que en este caso estamos tratando con un sistema no–amortiguado (β = 0), la ecuacion gober-nante del movimiento vibratorio producido por la aplicacion de esta perturbacion es:

z + ω2 z = −y

siendo la respuesta determinada por la Ecuacion (5.31),

z(t) = −∫ t

0

y(τ)K(t, τ) dτ (a)

La expresion que describe la velocidad de apoyo aplicada al sistema es:

y(t) = v0u(t− 0)− v0u(t− td) = v0 [u(t)− u(t− td) ]

donde u(t− t∗) en forma generalizada denota a la funcion escalon unitario (vease el Apendice A). Deaquı, la aceleracion del movimiento resulta:

y(t) = v0 [ δ(t)− δ(t− td) ]

donde, de manera generalizada, δ(t− t∗) denota a la funcion impulso unitario o delta de Dirac (veasenuevamente el Apendice A).

Mientras que la funcion de Green asociada a la ecuacion diferencial gobernante es aquella halladaen el Capıtulo 3 – Seccion 3.4.1; que aquı transcribimos:

K(t, τ) =sinω(t− τ)

ω


Ahora, reemplazamos las relaciones anteriores en la Ecuacion (a) que da la respuesta del sistema,

z(t) = −∫ t

0

v0 [ δ(t)− δ(t− td) ]sinω(t− τ)

ωdτ

z(t) = − v0

ω

∫ t

0

[ δ(t)− δ(t− td) ] sinω(t− τ) dτ

Las integrales se evaluan aplicando una de las propiedades de la funcion Delta de Dirac, la cualindica que siendo f(t) una funcion arbitraria; para ella se cumple:∫ t

0

δ(τ − t0)f(τ) dτ = f(t0)u(t− t0)

Evaluando las integrales aplicando la formula anterior, determinamos como solucion:

z(t) = − v0

ω

[sinω(t− τ)

∣∣τ=0

u(t− 0)− sinω(t− τ)∣∣τ=td

u(t− td)]

z(t) =v0

ω[−u(t) sinωt+ u(t− td) sinω(t− td) ]

Ahora, verificaremos la solucion aplicando la Ecuacion (5.32) que proporciona una relacion alter-nativa para evaluar la respuesta del sistema.

z(t) = y(0)K(t)−∫ t

0

y(τ)K(t, τ) dτ

Hemos determinado que la velocidad de apoyo viene determinada por:

y(t) = v0 [u(t)− u(t− td)]

Evaluando esta ecuacion al instante inicial: y(0) = v0 [u(0)−u(0− td)] = 0, ası que la respuestaestara determinada mediante:

z(t) = −∫ t

0

y(τ)K(t, τ) dτ = − v0

∫ t

0

[u(τ)− u(τ − td)] cosω(t− τ) dτ

Para evualuar las integrales hacemos uso de la formula (vease el Apendice A):∫ t

0

f(τ)u(τ − t0) dτ = u(t− t0)∫ t

t0

f(τ) dτ

z(t) = − v0

[u(t)

∫ t

0

cosω(t− τ) dτ − u(t− td)∫ t

td

cosω(t− τ) dτ

]

z(t) = − v0

ω

[−u(t) sinω(t− τ)

∣∣∣t0

+ u(t− td) sinω(t− τ)∣∣∣ttd

]z(t) =

v0

ω[−u(t) sinωt+ u(t− td) sinω(t− td) ]

Como debıa esperarse, hemos obtenido la misma solucion hallada anteriormente !.


>

El metodo de hallar la respuesta de un sistema a una excitacion tipo pulso mediante funciones sin-gulares y la integral de convolucion que involucra la funcion de Green asociada a la ecuacion diferencialgobernante, puede ser tambien aplicada al estudio realizado en las secciones anteriores. Muchas veceseste procedimiento es mucho mas directo que hacer la descripcion de la perturbacion en intervalosdiscretos de tiempo, como fue efectuado previamente a esta seccion, a lo largo de todo este capıtuloen las secciones previas.

Anadir aquı unos parrafos de discusion de la utilizacion de los espectros de respuesta en vibracionpor movimiento de apoyo, y tambien algo de aislamiento de vibracion de apoyo!!!

Poner aquı algo de texto (CONCLUSIONES)


5.1. Un sistema no–amortiguado de un solo grado de libertad esta inicialmente en condidicion deequilibrio estatico y sujeto a una carga descrita por P (t) = P0e−t/2. Determine la respuestadel sistema usando la integral de convolucion. Compruebe su respuesta mediante el metodo deintegracion de parametros variables.

5.2.Considere el pulso sinusoidal de la Figura adjunta, elcual esta definido como:

P (t) =

P0 sin Ωt 0 6 t 6 td

0 t > td

Demostrar que las siguientes expresiones dan la res-puesta maxima:

fdcmax(h) =1

1− hsin

2π nh

1 + h0 6 t 6 td

Si el maximo se produce durante la aplicacion de la carga, siendo n un numero entero de manerade proporcionar el maximo valor de la funcion, mientras el argumento se mantiene inferior a π.

fdcmax(h) =2h

1− hcos

π

2ht > td

si el maximo se presenta despues de la aplicacion de la perturbacion (vibracion libre).Dibujar el espectro de respuesta correspondiente.

5.3.Hallar las expresiones para la respuesta a la excita-cion del pulso mostrado en la Figura. Dibujar el es-pectro de respuesta asociado con esta perturbacion.

5.4.


Haciendo uso del metodo de funciones singulares, ha-llar la expresion matematica que describe la pertur-bacion mostrada en la Figura adjunta.

5.5. Repita el Ejemplo 5.3, pero esta vez obtenga la respuesta del sistema debido a la exitacionaplicada mediante la utilizacion de funciones singulares.

5.6.Considere un sistema amortiguado de un solo gra-do de libertad inicialmente en condicion de reposo,al cual se le aplica una carga impulsiva de magni-tud unitaria en el instante t = τ , la cual se muestraen la Figura. Determinar la respuesta de variaciontemporal de desplazamiento del sistema para el in-tervalo: t>τ . En base a la solucion hallada, muestrela respuesta que tiene un sistema no–amortiguadosometido a la misma carga de perturbacion.

5.7.El ‘tren de pulsos rectangulares’ mostrado en la Fi-gura se trata de una perturbacion periodica que co-mo sabemos puede ser representada mediante seriede Fourier; pero tambien puede ser descrita hacien-do uso de las funciones singulares. Demuestre que larepresentacion de esta perturbacion viene dada por:

P (t) = P0

∞∑i=0

u(t− iT )− u[t− 12 (2i− 1)T ]

Suponga ahora que esta perturbacion se aplica a un sistema no–amortiguado de un solo gra-do de libertad en condicion inicial de reposo. Haciendo uso de la integral de convolucion y laspropiedades de integracion de las funciones singulares (vease el Apendice B), demuestre que larespuesta esta determinada por:

x(t) =P0

mω2

∞∑i=0

u(t− iT )[1− cosω(t− iT )]− u[t− 1

2 (2i− 1)T ]

1− cosω[t− 12 (2i− 1)T ]

5.8.

La leva giratoria de la Figura imparte un despla-zamiento y(t) en la forma de una funcion ‘dientede sierra’ al extremo de un sistema seguidor mo-delado como se muestra. Asumiendo conocidos to-dos los valores parametricos mostrados en el esque-ma, hallar la respuesta de desplazamiento relativoz(t) = x(t) − y(t), de la masa en movimiento. Uti-lice la integral de convolucion y las propiedades deintegracion de las funciones singulares para hallar lasolucion.


5.9. Suponga que un sistema es excitado mediante una aceleracion aplicada al apoyo. Demostrar que:

fdcmax =

∣∣∣∣xmax

xest

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ xmax

y0

∣∣∣∣donde: xmax es la respuesta de aceleracion maxima del sistema, y y0 es la amplitud de la acele-racion aplicada. Esto es equivalente a afirmar que los espectros de respuesta encontrados para eldesplazamiento, pueden ser utilizados para hallar la aceleracion maxima absoluta del sistema.sugerencia: Considere que y(t) = y0f(t) es la aceleracion aplicada al apoyo del sistema, y hallela respuesta del mismo mediante las integrales de convolucion.

5.10. En los sistemas amortiguados, se puede evaluar la respuesta aproximada a una excitacion tipopulso mediante la evaluacion del impulso que esta perturbacion transmite al sistema cuandoes aplicado. Deducir las Ecuaciones (5.24) y (5.24a) que determinan relaciones para calcular larespuesta.

5.11.Un pendulo simple es construıdo con una cuerda del-gada de peso despreciable de 60 cm de longitud quesostiene en su extremo un peso de 200 gr, el cualcuelga libremente bajo la accion de la gravedad. A lamasa de este sistema se le aplica un golpe para po-nerlo en movimiento, el cual es modelado como unafuerza impulsiva de variacion cosenoidal de 1,6 Kgde intensidad maxima y 0,02 seg de duracion, como

se muestra en la Figura. Si el aire proporciona un amortiguamiento con fraccion de 3 % relati-vo al valor crıtico, determinar con aproximacion la amplitud maxima de la oscilacion del pendulo.

5.12. Un sistema que tiene las siguientes propiedades: peso total W = 700 Ton, y rigidez equivalentek = 350 Ton/cm; es sometido al pulso triangular decreciente mostrado en el Problema 5.3 convalores: amplitud maxima P0 = 6, 8 Ton y tiempo de duracion td = 0, 15 T siendo T el perıodonatural no–amortiguado del sistema.

(a) Usando los resultados del Problema 5.3 hallar el maximo desplazamiento.

(b) Utilizando el metodo aproximado, hallar el maximo desplazamiento producido, y comparecon el resultado hallado en el inciso anterior.

(c) Si se considera un amortiguamiento con fraccion de valor crıtico β = 3 %, como se modifi-cara el valor maximo del desplazamiento ?.

5.13.Hallar la respuesta del sistema del Problema ante-rior a la fuerza de exitacion tipo pulso mostrada enla Figura.sugerencia: Debido a que la excitacion esta deter-minada en forma discreta y numerica, utilice un pro-cedimiento con estas caracterısticas para evaluar lasintegrales necesarias y obtener una respuesta aproxi-mada.

5.14.


La estructura tipo portico analizada en el Ejem-plo 4.1 es sometida a una aceleracion de tipo pulsoarmonico en su base, definido como y(t) = y0 sin Ωtdonde sus parametros se pueden obtener de la Figu-ra mostrada. Hallar la aceleracion maxima del mo-vimiento lateral horizontal que surge en el porticodebido a esta perturbacion.

5.15.Una bomba hidraulica rotativa instalada en un sub-marino pesa 290 Kg, y esta montada sobre un sistemaaislador que la protege de posibles explosiones sub-marinas que tiene rigidez equivalente k = 3 Kg/cm,como se muestra en la Figura. Si se supone que elsistema esta en reposo al instante inicial t = 0, y elmovimiento de su apoyo causada por una gran explo-sion distante es idealizada como un pulso rectangular

como es tambien mostrada en la Figura. Con el objetivo de evaluar el comportamiento de labomba durante su movimiento vibratorio, desarrollar los siguientes aspectos:

(a) Escribir la ecuacion de movimiento que gobierna el desplazamiento vertical absoluto delequipo hidraulico.

(b) Si se supone que la amplitud del desplazamiento de apoyo es y0 = 30 cm y el tiempode duracion td = π seg; hallar la respuesta del movimiento absoluto de la bomba para elintervalo de tiempo mientras dura la perturbacion 0 < t 6 td y luego de que esta ha cesadot > td.

(c) Hallar la magnitud maxima de la fuerza transmitida hacia la base de la bomba debido alefecto de vibracion producida por la explosion traducida como movimiento de apoyo.

(d) El encargado de mantenimiento del equipo en el submarino despues de verificar el funciona-miento del sistema, recomienda la inclusion de un amortiguador con coeficiente equivalentede magnitud c = 0, 89 Kg-seg/cm entre la bomba y el apoyo sobre el cual esta instaladoeste equipo. El afirma que esto reducira las oscilaciones, y por lo tanto las fuerzas actuantessobre la bomba. Evaluando el efecto del amortiguamiento sobre el movimiento, aceptarıaUsted esta sugestion ?.

5.16.Un vehıculo de 1,84 Ton de peso, que tiene un sistemade suspension con un coeficiente de rigidez equiva-lente de 0,95 Ton/cm y fraccion de amortiguamientocrıtico de 15 %, esta circulando por una vıa con ra-pidez constante de 85 Km/hr. En cierto lugar de suruta, existe una protuberancia que tiene 14 cm dealtura y 60 cm de ancho como muestra la Figura ad-

junta, la cual puede ser modelada por la expresion y(s) = y0[1− cos2(b0s)], donde y0, b0 (ctes).Determinar la amplitud de vibracion maxima que afecta a los ocupantes del vehıculo en movi-miento. Tambien determinar la magnitud de aceleracion maxima que afecta a los tripulantes delvehıculo como una fraccion del valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre.sugerencia: Si las integrales planteadas para hallar la solucion se hacen muy dificultosas de serevaluadas analıticamente en forma–cerrada, intente hallar la respuesta aplicando alguna tecnicadiscreta de evaluacion numerica de dichas integrales; y en ese caso presente las graficas corres-pondientes a la solucion buscada.


5.17.Considere nuevamente el Problema anterior, peroahora considere que el vehıculo pasa a traves de unadepresion que existe en la carretera que tiene 14 cmde profundidad y 60 cm de ancho, como se mues-tra en la Figura. Pero, esta vez dicha anomalıa enla carretera se describe mediante la ecuacion de unaparabola cuadratica. Halle los mismos valores de res-puesta que en el Problema anterior, y compare losresultados.

5.18.Una varilla rıgida de masa m y longitud L, esta co-nectada en un extremo a una articulacion fija y a unresorte de coeficiente k en su parte media. Un objetopequeno de un decimo de la masa de la viga se muevecon velocidad constante v0 e impacta en el extremolibre de la varilla haciendo que la misma vibre pos-teriormente, como muestra la Figura. Si se asume lacolision perfectamente elastica, determinar la ampli-tud maxima de oscilacion de la varilla luego de habersucedido el impacto del objeto.

5.19.Un computador personal tipo ‘laptop’ de masa mes empacado en el interior de una caja de carton,con plastoformo como material de embalaje el cualprotege al equipo en el interior de la caja. Este sis-tema de proteccion contra accidentes es en realidadun sistema aislador (con rigidez k y amortiguamien-to c) contra las cargas de impacto que eventualmentepodrıan ocurrir durante el transporte.

La caja en cierto instante es accidentalmente soltada desde una altura h y cae sobre una super-ficie dura sin rebotar. Determinar el desplazamiento maximo del instrumento (el computador),relativo a su caja, despues de haberse producido el impacto.

Capıtulo 6

Metodos numericos

La integral de convolucion y su utilizacion cuando la perturbacion es descrita por tramos o atraves de una expresion unica utilizando funciones singulares, son metodos para resolver la ecuaciondiferencial gobernante de la vibracion de un sistema. Sin embargo, las soluciones de forma–cerradautilizando estos metodos esta limitado a los casos donde la funcion perturbatriz tiene formulacionmatematica explıcita y la evaluacion en forma–cerrada de la integral de convolucion que involucra ala funcion de Green asociada a la ecuacion diferencial es posible.

Adicionalmente, existen funciones de perturbacion explıcitamente definidas como aquellas propor-cionales a potencias no–integrables del tiempo donde una evaluacion de forma–cerrada de la integral deconvolucion es extremadamente dificultosa.Cuando estas situaciones ocurren, los metodos numericosdeben ser usados para obtener una solucion aproximada a la ecuacion diferencial en valores discretosde tiempo.

Las soluciones numericas de los problemas de vibracion de sistemas modelados con un solo gradode libertad son de dos clases: la evaluacion numerica de la integral de convolucion y la integracionnumerica directa de la ecuacion diferencial gobernante del movimiento oscilatorio. Ası, para los sistemaslineales estudiados en los capıtulos anteriores, expondremos dos tipos de evaluacion numerica; y ambasilustraran dos diferentes aproximaciones para la solucion de problemas lineales.

6.1. Introduccion

En este Capıtulo efectuaremos una breve inspeccion a algunos procedimientos numericos utilizadospara evaluar la respuesta de un sistema. La importancia de estos metodos radica en el hecho de que enuna infinidad de casos, la evaluacion de las integrales convolutivas de respuesta no es posible realizarlaen forma cerrada por la naturaleza de la funcion excitadora o debido a que el movimiento del sistemaesta definido por una ecuacion diferencial no–lineal; y en consecuencia los procedimientos analıticosno son de aplicacion general, o simplemente no permiten la obtencion de una solucion en terminos defunciones elementales.

Estudiaremos aquı procedimientos numericos desarrollados para evaluar la respuesta de sistemasdinamicos y en consecuencia no seran aplicables a ecuaciones diferenciales no–lineales, salvo que estassean analogas a una ecuacion de movimiento. Advertimos en este punto que solo se expondran algunosde estos procedimientos elegidos, talvez arbitrariamente, de una variedad muy grande de metodosexistentes y aplicados con normalidad en esta epoca.

169

170 CAPITULO 6. METODOS NUMERICOS

6.2. Integracion numerica de la ecuacion diferencial

La ecuacion diferencial gobernante del movimiento oscilatorio de un sistema no–amortiguado for-zado, como se determino en capıtulos anteriores, es:

mx+ c x+ k x = P (t) ; x(0) = x0 y x(0) = x0 (6.1)

o, de modo normalizado:x+ 2βωx+ ω2x =

P (t)

m(6.1a)

con condiciones iniciales de valores prescritos. 1 Una alternativa para obtener la solucion de esta ecua-cion diferencial es la integracion numerica directa. Existen disponibles muchos metodos para la soliucionnumerica de las ecuaciones diferenciales ordinarias, como la que aquı estamos tratando.

Puesto que el problema de vibracion de un sistema de parametros equivalentemente concentradosesta gobernado por una ecuacion diferencial de valores iniciales, es conveniente usar un metodo deauto–inicio, que es de conocimiento previo de la solucion en cierto instante. Ası que estas condicionespre–establecidas sirven de modo suficiente para iniciar el proceso de solucion.

6.2.1. Metodo paso a paso

Desarrollaremos uno de los procedimientos de integracion numerica directa de la ecuacion diferencialde movimiento considerando un sistema no–amortiguado, el mismo que puede extenderse facilmenteal caso de aplicacion hacia un sistema amortiguado.

Entonces, supongamos un sistema no amortiguado sometido a una excitacion constante P0 que seaplica al instante τ (esta es una perturbacion tipo escalon). La Figura 6.1 ilustra tal situacion.

Figura 6.1: Carga aplicada al sistema (tipo escalon)

La ecuacion de movimiento en este caso es:

mx+ k x = P0 t > τ

Si ademas se suponen las siguientes condiciones iniciales:

x(τ) = xτ x(τ) = xτ

la solucion es,

1 El tomar como instante inicial de observacion: t = 0, no quita generalidad al desarrollo presentado; pues si lascondiciones iniciales fuesen prescritas en un instante arbitrario t0 como: x(t0)=x0 y x(t0)= x0 , se podrıa efectuar unatraslaciıon del origen de tiempos utilizando el cambio de variable: τ = t − t0; y el desarrollo aquı presentado tendrıaabsoluta validez en esta nueva variable independiente temporal.

6.2. INTEGRACION NUMERICA DE LA ECUACION DIFERENCIAL 171

x(t) =

(xτ −

P0

k

)cosω(t− τ) +

xτω

sinω(t− τ) +P0

k(6.2a)

x(t)

ω= −

(xτ −

P0

k

)sinω(t− τ) +

xτω

cosω(t− τ) (6.2b)

Esta solucion es valida para todos los valores de t posteriores al instante τ de aplicacion de lacarga. Si ahora se supone que la excitacion actuante puede representarse por medio de una funcionescalonada, como la mostrada en la Figura 6.2, entonces es evidente que las Ecuaciones (6.2) seranvalidas en el intervalo donde P (t) fue aproximada por un valor constante, cuyas condiciones finalesseran las condiciones iniciales del siguiente intervalo.

Figura 6.2: Carga aproximada como funcion escalonada

La tecnica consiste entonces en aplicar las Ecuaciones (6.2) sucesivamente a cada intervalo ade-cuando los valores de la carga de cada intervalo, y tomando como condiciones iniciales las condicionesfinales del intervalo anterior. En consecuencia si las ecuaciones solucion son escritas en forma recursiva,para el intervalo n+ 1 tendremos:

xn+1 =

(xn −

Pnk

)cosω(tn+1 − tn) +

xnω

sinω(tn+1 − tn) +Pnk

(6.3a)

xn+1

ω= −

(xn −

Pnk

)sinω(tn+1 − tn) +

xnω

cosω(tn+1 − tn) (6.3b)

donde x(tn) = xn x(tn) = xn x(tn+1) = xn+1 x(tn+1) = xn+1

Aquı existe cierta posibilidad en escoger el valor de carga de magnitud constante con la cual calcularla respuesta del sistema al final de cada uno de los intervalos (o pasos) de integracion que se considerenadecuados para la solucion. El valor a tomar para Pn puede ser el valor de la carga en el instanteal inicio del intervalo considerado P (tn−1) (esto es lo que se muestra en la Figura 6.2). Tambien espermisible adoptar como valor para la carga constante, aquel que se presenta en el instante final delintervalo en consideracion P (tn). Pero, parece ser mas razonable siempre y cuando sea posible, escogercomo valor de calculo aquel que se presenta en el instante intermedio del intervalo o paso de integracionP [(tn − tn−1)/2] como valor representativo de la perturbacion variable que esta siendo considerada enel procedimiento de integracion.

Si en el analisis se emplean intervalos de identica longitud, las funciones trigonometricas solo secalcularan una vez. La aplicacion practica de este metodo requiere que los calculos numericos seanordenados en forma tabular. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento explicado.

Ejemplo 6.1. El sistema del Ejemplo 5.3 sera resuelto usando la tecnica delineada anteriormente. Laexcitacion de la Figura 5.4 se la repite aquı, conjuntamente con la aproximacion escalonada para ella,


Figura 6.3: Pulso parabolico y su funcion escalonada

la cual mostramos en la Figura 6.3.

> Solucion

Adoptamos en el analisis una longitud de intervalos constantes ∆t = tn+1 − tn = 0, 02 seg. Los datosnecesarios para los calculos a efectuarse son tomados desde el Ejemplo 5.3:

m = 0, 4913 Ton-cm/seg2 k = 4, 97 Ton/cm ω = 3, 18 rad/seg P0 = 20 Ton td = 0, 2 seg

P (t) = 4P0

[t

td−(t

td

)2]

= 80

[t

0, 2−(

t

0, 2

)2]

Pn = P (tn)

cosω∆t = cos(3, 18×0, 02) = 0, 99797 sinω∆t = sin(3, 18×0, 02) = 0, 06356

Las ecuaciones recursivas a utilizarse en el proceso de inhtegracion numerica son:

xn+1 =

(xn −

Pnk

)cosω∆t+

xnω

sinω∆t+Pnk

xn+1 = −ω(xn −

Pnk

)sinω∆t+ xn cosω∆t

Reemplazando los valores numericos conocidos, estas ecuaciones resultan:

xn+1 = 0, 99797

(xn −

Pn4, 97

)+ 0, 01998 xn +

Pn4, 97

xn+1 = − 0, 20212

(xn −

Pn4, 97

)+ 0, 89797 xn

Los calculos efectuados con las anteriores formulas son presentados en la Tabla 6.1. Y, para unamejor comprension de los valores hallados, mostramos las graficas de variacion temporal del desplaza-miento y la velocidad en la Figura 6.4.

Los resultados de la respuesta al tiempo t = 0, 02 seg segun el analisis anterior son cero. Esto sedebe a la aproximacion usada para la funcion de carga. Observese que en el intervalo 0<t<0, 02 segla carga aplicada tiene valor cero (vease la Figura 6.3).

Segun el analisis efectuado en el Ejemplo 5.2 esta es una excitacion tipo impacto, y la respuestamaxima de desplazamiento se halla luego que la perturbacion ha finalizado (fase ii de movimientolibre). Considerando los valores de la respuesta al tiempo t = 0, 2 seg como valores iniciales de larespuesta en la siguiente fase de movimiento, tendremos:

x(t) =

√(x0,2)2 +

(x0,2

ω

)2

sin(ωt+ φ)


Tabla 6.1: Evaluacion numerica paso a paso

n tn tn/td Pn xn xn xn+1 xn+1

0 0 0 0 0.000 0.000 0.000 0.0001 0.02 0.1 7.2 0.000 0.000 0.003 0.2932 0.04 0.2 12.8 0.003 0.293 0.014 0.8123 0.06 0.3 16.8 0.014 0.812 0.037 1.4914 0.08 0.4 19.2 0.037 1.491 0.075 2.2615 0.1 0.5 20 0.075 2.261 0.128 3.0556 0.12 0.6 19.2 0.128 3.055 0.197 3.8047 0.14 0.7 16.8 0.197 3.804 0.279 4.4398 0.16 0.8 12.8 0.279 4.439 0.372 4.8959 0.18 0.9 7.2 0.372 4.895 0.472 5.10210 0.2 1 0 0.472 5.102 0.573 4.99611 0.22 1.1 0 0.573 4.996 0.672 4.87012 0.24 1.2 0 0.672 4.870 0.768 4.72513 0.26 1.3 0 0.768 4.725 0.861 4.56014 0.28 1.4 0 0.861 4.560 0.950 4.37715 0.3 1.5 0 0.950 4.377 1.036 4.17616 0.32 1.6 0 1.036 4.176 1.117 3.958

(a) Desplazamiento vs. tiempo (b) Velocidad vs. tiempo

Figura 6.4: Graficas de la respuesta aproximada

Por lo tanto, la respuesta maxima es:

xmax =

√(x0,2)2 +

(x0,2

ω

)2

=√

0, 4722 + 1, 6242 = 1, 69 cm

Valor que es muy aproximadamente cercano con el calculado en el Ejemplo 5.3 (xmax = 1, 71 cm), querecordemos se obtuvo mediante una tecnica tambien aproximada de evaluacion directa de la respuestamaxima. La discrepancia de estos valores la podemos atribuir a la longitud del intervalo de tiempoadoptado para la evaluacion numerica de la ecuacion diferencial de movimiento. >

6.2.2. Metodo de Euler

Se puede adquirir una mejor versatilidad de aplicacion de los metodos numericos de auto–iniciopara la integracion de ecuaciones diferenciales, cuando la ecuacion diferencial gobernante de n-esimoorden es convertida primero en un sistema simultaneo de n ecuaciones diferenciales lineales. Esteprocedimiento se efectua para la Ecuacion (6.1a) definiendo:

y1(t) = x(t) y2(t) = x(t) (6.4)


entonces,

y1(t) = y2(t) (6.5a)

Y, desde la Ecuacion (6.1a) se obtiene:

y2(t) =P (t)

m− 2β ω y2(t)− ω2 y1(t) (6.5b)

Las Ecuaciones (6.5a) y (6.5b) son dos ecuaciones diferenciales lineales simultaneas de primer–ordencuya solucion numerica proporciona los valores de desplazamiento y velocidad en tiempos discretos,cuando este sistema es aproximado por un proceso de division del intervalo temporal de definicion delproblema en sub–intervalos de menor longitud contenidos en dicho intervalo global.

En lo posterior, sean tj (j = 1, 2, . . .) los instantes de tiempo discretos a los cuales la solucionsera obtenida, y tambien sean y1,i y y2,i los desplazamientos y velocidades en estos instantes; y defina-mos:

∆ti = ti+1 − ti

como el intervalo de tiempo entre dos instantes de tiempo discretos consecutivos.Las relaciones de recurrencia para el mas simple de los metodos de auto–inicio, llamado el metodo de

Euler, son obtenidas truncando las expansiones en serie de Taylor para yk,i+1 alrededor de yk,i despuesde los terminos lineales. Procediendo de este modo, se demuestra que estas relaciones de recurrenciason las indicadas a continuacion:

y1,i+1 = y1,i + (ti+1 − ti) y2,i (6.6a)

y2,i+1 = y2,i + (ti+1 − ti)[F (ti)

m− 2β ω y2,i − ω2 y1,i

](6.6b)

Cuando se proporcionan los valores iniciales de y1 y y2; es decir los valores: x0 y x0, las Ecuacio-nes (6.6) son utilizadas recursivamente (i = 0, 1, . . .) para calcular el desplazamiento y la velocidad entiempos incrementales. El metodo de Euler tiene precision de primer orden, queriendo significar estoque el error es del orden de ∆ti.

Si somos algo mas perspicaces en la interpretacion de las Ecuaciones (6.6), advertiremos que lasmismas establecen relaciones basicas de la cinematica del movimiento. Considerando un intervalo detiempo arbitrario durante la fase de movimiento: ∆ti = ti+1 − ti, advertimos que las condicionescinematicas iniciales y finales, respectivamente, en los instantes extremos de este intervalo serıan:

x(ti) = xi x(ti) = xi x(ti+1) = xi+1 x(ti+1) = xi+1

Ademas, consideramos las Ecuaciones (6.4) y (6.5) en las que se establecen cambios de variable paratodas las caracterısticas cinematicas (posicion, velocidad, y aceleracion) del movimiento. Con todasestas consideraciones, las Ecuaciones(6.6) pueden ser re–escritas como:

xi+1 = xi + xi ∆ti

xi+1 = xi + xi ∆ti

donde xi = x(ti) es la aceleracion del movimiento al inicio del intervalo. Estas ecuaciones evidente-mente corresponden a relaciones cinematicas basicas de movimiento uniforme en el intervalo de tiempoconsiderado. La primera de las ecuaciones considera que la velocidad al inicio del intervalo se mantieneal interior del mismo; y la segunda de ellas indica que la aceleracion se mantiene invariable en el mismointervalo de tiempo. 2

2 Esto podrıa ser interpretado como una contradiccion, pero en esencia no lo es; porque la aceleracion en el intervaloen consideracion es calculada en base a las condiciones iniciales cinematicas del mismo y la perturbacion externa aplicadaen identico instante.


Si la perturbacion actuante es cero en t= 0; o sea P (0) = 0, y las condiciones iniciales son nulas,resultara que y2(0) = y2,0 dada por la Ecuacion (6.5b) sera tambien cero y los calculos no puedeniniciarse adecuadamente, porque las Ecuaciones (6.6) dan como resultado de la primera iteracion:y1,1 = y2,1 = 0. Esta condicion puede rectificarse desarrollando nuevas ecuaciones de inicializacionbasadas en la hipotesis que durante el primer intervalo de tiempo, la aceleracion varıa linealmente dey2,0 hasta y2,1 como sigue:

y2 = α t

Integrando, obtenemos: y2 = y1 =α

2t2 , y y1 =

α

6t3

Cuando se evaluan estas ecuaciones al final del primer intervalo t = ∆t1 = t1 − t0 = t1, las mismasquedan como:

y2,1 = αt1 ⇒ α =y2,1

t1

y1,1 =α

6t31 =

y2,1

6t21 , y2,1 =

α

2t21 =

y2,1

2t1 (6.7)

Reemplazando estos ultimos valores en la ecuacion diferencial de movimiento [Ecuacion (6.5b)], yevaluandola al instante t1, tenemos:

y2,1 =P1

m− βω y2,1 t1 − ω2 y2,1

6t21 (6.8)

Ahora, resolvemos la Ecuacion (6.8) para y2,1 y reemplazamos en las Ecuaciones (6.7) para determinary1,1 y y2,1, que serıan los valores cinematicos (posicion y velocidad) al final del primer intervalo deiteracion (que evidentemente son no–nulos), que serviran de valores iniciales para el segundo intervalo.

Ejemplo 6.2. Un tanque elevado para almacenar agua es sostenido por una estructura como semuestra en la Figura 6.5. Cuando se escoge el desplazamiento horizontal del tanque como grado delibertad del sistema, se establecio que los parametros dinamicos equivalentes son: la masa 5 Kg-seg2/cm,el coeficiente de rigidez 790 Kg/cm, y la fraccion de amortiguamiento crıtico 4 %. En cierto instanteocurre una explosion que produce una onda de choque de fuerza equivalente, la cual es modelada comomuestra la Figura, donde la amplitud maxima es 1000 Kg y la duracion 0,4 seg. Evaluar la vibracionde este sistema, adoptando como intervalo de tiempo para las iteraciones de integracion secuencial unvalor razonable, y considerando condiciones iniciales de movimiento nulas.

Figura 6.5: Sistema tanque–estructura y perturbacion actuante

> Solucion

Los calculos previos al procedimiento de iteracion son hallados a continuacion:

ω =

√k

m=

√790

5= 12, 57 rad/seg ⇒ T =

2π

ω=

2π

12, 57= 0, 5 seg


La perturbacion aplicada se describe como:

P (t) =

4P0

ttd

0<t< td/4

P0 td/46 t63td/4

4P0

(1− t

td

)3td/4<t<td

0 t>td

Adoptando un intervalo de tiempo constante en el proceso de iteracion, siendo un valor razonable:∆t = T/10 = 0, 05 seg y denotando P (ti) = Pi, las ecuaciones recursivas a utilizar seran:

xi =Pim− 2βωxi − ω2xi , xi+1 = xi + xi ∆t , xi+1 = xi + xi ∆t

Reemplazando valores numericos, estas ecuaciones resultan:

xi =Pi5− xi − 158xi , xi+1 = xi + 0, 05 xi , xi+1 = xi + 0, 05 xi

Como la magnitud de la perturbacion en t = 0 es nula al igual que las condiciones iniciales a estemismo instante, sera necesario aplicar la tecnica desarrollada para evaluar las condiciones de movi-miento al instante final del primer intervalo de integracion. Con la notacion aquı adoptada, este calculoes como sigue: t0 = 0 x0 = x0 = 0 t1 = 0, 02 P1 = P (t1) = 500

x1 =P1/m

1 + βωt1 + ω2t21/6= 91, 96 x1 =

x1t21

6= 0, 038 x1 =

x1t12

= 2, 291

Las demas filas se calculan con las ecuaciones recursivas planteadas, siendo que los valores del calculonumerico iterativo son resumidos en la Tabla 6.2, y las graficas de variacion para el desplazamiento yla velocidad del movimiento horizontal del tanque se muestran en la Figura 6.6.

(a) Desplazamiento vs. tiempo (b) Velocidad vs. tiempo

Figura 6.6: Graficas de la respuesta aproximada

De los valores encontrados, resumidos en la Tabla 6.2, determinamos que el desplazamiento maximotiene valor aproximado: xmax = 18, 46 cm, y el mismo ocurre aproximadamente en t = 0, 85 seg. Lospicos de maximo desplazamiento posteriores a este, seran de menor magnitud por tratarse de unsistema amortiguado. La velocidad maxima de respuesta sera xmax = −354, 36 cm/seg ?. Esta Ustedde acuerdo con este valor ?. Sı, No, Porque ?. >

6.2.3. Metodo de Runge–Kutta

El metodo de Euler desarrollado anteriormente si bien da una solucion directa al problema, adolecede una desventaja de exactitud, pues el orden del error con el uso de este metodo es del mismo ordendel intervalo de tiempo utilizado en el proceso de integracion discreta O(εEu) ≡ O(∆t).


Tabla 6.2: Evaluacion por el metodo de Euler

ti xi xi Pi xi xi+1 xi+1

0.00 0.00 0.00 0 91.66 0.04 2.290.05 0.04 2.29 500 91.70 0.15 6.880.10 0.15 6.88 1000 168.95 0.50 15.320.15 0.50 15.32 1000 106.15 1.26 20.630.20 1.26 20.63 1000 -20.19 2.29 19.620.25 2.30 19.62 1000 -182.23 3.28 10.510.30 3.28 10.51 1000 -328.12 3.80 -5.890.35 3.80 -5.90 500 -494.82 3.51 -30.640.40 3.51 -30.64 0 -523.47 1.98 -56.810.45 1.98 -56.81 0 -255.24 -0.87 -69.570.50 -0.87 -69.57 0 206.40 -4.34 -59.250.55 -4.35 -59.25 0 745.76 -7.31 -21.960.60 -7.31 -21.96 0 1176.63 -8.41 36.870.65 -8.41 36.87 0 1291.28 -6.56 101.430.70 -6.56 101.43 0 935.52 -1.49 148.210.75 -1.49 148.21 0 87.37 5.92 152.580.80 5.92 152.58 0 -1087.78 13.55 98.190.85 13.55 98.19 0 -2238.77 18.46 -13.750.90 18.46 -13.75 0 -2902.45 17.77 -158.870.95 17.77 -158.88 0 -2648.63 9.83 -291.311.00 9.83 -291.31 0 -1261.04 -4.74 -354.36

Un metodo de uso muy popular, que contiene un error implıcito de menor magnitud es el metodoplanteado por Runge–Kutta, y se lo considera mucho mas exacto por la comparacion de los resultadosque arroja con los valores exactos de solucion de una ecuacion diferencial. El metodo se inicia convir-tiendo la ecuacion diferencial gobernante en un sistema de ecuaciones lineales de primer orden, comofue efectuado anteriormente. La formula de Runge–Kutta para la solucion de una ecuacion diferencialde primer orden

y = f(y, t)

es de la forma:yi+1 = yi +

n∑j=1

aj kj (6.9)

donde: k1 = (ti+1 − ti) f(yi, ti)

k2 = (ti+1 − ti) f(y1 + q1,1 k1, ti + p1)

k3 = (ti+1 − ti) f(yi + q2,1 k1 + q2,2 k2, ti + p2)

......

kn = (ti+1 − ti) f(yi + qn−1,1 k1 + qn−2,2 k2 + · · ·+ qn−1,n−1 kn−1, ti + pn−1)

(6.10)

donde los coeficientes a, q, y p son escogidos usando expansiones en serie de Taylor para aproximar laecuacion diferencial a una deseada exactitud.

El error para una formula de Runge–Kutta de cuarto orden es proporcional a ∆4j ; es decir:

O(εR-K) ≡ O(∆t4). La formula de cuarto–orden de Runge–Kutta es:

yi+1 = yi + 16 (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4) (6.11)


donde: k1 = (ti+1 − ti) f(yi, ti)

k2 = (ti+1 − ti) f(yi + 1

2 k1,12 (ti + ti+1)

)k3 = (ti+1 − ti) f

(yi + 1

2 k2,12 (ti + ti+1)

)k4 = (ti+1 − ti) f (yi + k3, ti+1)

(6.12)

La Ecuacion (6.11), juntamente con las Ecuaciones (6.12), puede ser utilizada para resolver unaecuacion diferencial de orden superior al primero, si esta previamente es escrita como un sistema; comose lo hizo en las Ecuaciones (6.5). Para este caso particular tendremos:

y1,i+1 = y1,i + 16 (k1,1 + 2 k1,2 + 2 k1,3 + k1,4) (6.13a)

y2,i+1 = y2,i + 16 (k2,1 + 2 k2,2 + 2 k2,3 + k2,4) (6.13b)

donde: k1,1 = (ti+1 − ti) y2,i

k1,2 = (ti+1 − ti)(y2,i + 1

2 k2,1

)k1,3 = (ti+1 − ti)

(y2,i + 1

2 k2,2

)k1,4 = (ti+1 − ti) (y2,i + k2,3)

k2,1 = (ti+1 − ti)[P (ti)

m− 2β ω y2,i − ω2 y1,i

]k2,2 = (ti+1 − ti)

[P(

12 (ti + ti+1)

)m

−2β ω(y2,i + 1

2k2,1

)− ω2

(y1,i + 1

2k1,1

)]

k2,3 = (ti+1 − ti)

[P(

12 (ti + ti+1)

)m

−2β ω(y2,i + 1

2k2,2

)− ω2

(y1,i + 1

2k1,2

)]

k2,4 = (ti+1 − ti)[P (ti+1)

m− 2β ω (y2,i + k2,3)

−ω2 (y1,i + k1,3)

]

(6.14)

El metodo de Runge–Kutta es usado a menudo porque es facil de programar en un computadordigital. Su limitacion mas restrictiva es que la extension de la aproximacion entre dos tiempos discretosrequiere la evaluacion de la excitacion en un tiempo intermedio. Si la funcion perturbatriz es conocidasolo en tiempos discretos (por ejemplo especificada en forma tabular), la evaluacion de tiempos inter-medios es a menudo imposible. En adicion a esto, un gran numero de evaluaciones de las diferentesfunciones puede redundar en un excesivo tiempo de calculo numerico en el computador. Sin embar-go, esto ultimo es solo valido para sistemas en los cuales se requiere obtener la historia completa dela respuesta; que en la practica a menudo no es necesario cuando estamos interesados en valores derespuesta maxima simplemente.

Ejemplo 6.3. Un sistema con amortiguamiento despreciable es modelado con un solo grado de li-bertad, resultando la masa equivalente de magnitud m = 4 Kg-seg2/cm y el coeficiente de rigidezequivalente k = 2000 Kg/cm. Si a este sistema estando inicialmente en condicion de reposo se le aplicala carga mostrada en la Figura 6.7, donde: P0 = 100 Kg y td = 0, 2 seg; determinar la respuestaaplicando el metodo de Runge–Kutta.


Figura 6.7: Carga actuante sobre el sistema

> Solucion

La ecuacion de movimiento considerando c = 0 (β = 0) resulta ser:

mx+ k x = P (t) , x(0) = x(0) = 0

Por propositos comparativos, en este caso es posible hallar la solucion analıtica, la cual consi-deraremos como solucion ‘exacta’. Esta solucion se obtiene por superposicion de las soluciones ensub–intervalos para la funcion escalon y la funcion rampa en la siguiente manera:

Figura 6.8: Perturbacion modelada mediante funciones singulares

La Figura 6.8 muestra las funciones de fuerzas componentes que deben superponerse para reproducirla carga aplicada original mostrada en la Figura 6.7. Las soluciones en los sub–intervalos de analisiscomo puede comprobarse son:

x1(t) = 0, 05(1− cos 22, 36t) 06 t60, 1

x2(t) = −[

12 (t− 0, 1)− 0, 02236 sin 22, 36(t− 0, 1)

]0, 1< t60, 2

x3(t) =[

12 (t− 0, 2)− 0, 02236 sin 22, 36(t− 0, 2)

]0, 2< t

Luego, la solucion analıtica del problema es hallada por superposicion de estas soluciones parciales,

x(t) =

x1(t) 06 t60, 1

x1(t) + x2(t) 0, 1< t60, 2

x1(t) + x2(t) + x3(t) 0, 2< t


Esta solucion considerada exacta puede ser mas facilmente evaluada con valores numericos, si esque se la programa en el computador mediante cualquier paquete matematico. Esto es lo que hicimospara poder efectuar la comparacion con la solucion aproximada que sera obtenida a continuacion.

Para utilizar el esquema de solucion aplicando el metodo de Runge–Kutta, sea:

y1 = x , y2 = x ⇒ y2 = x = P (t)/m− ω2y1

El periodo natural no–amortiguado del sistema es encontrado primero como:

ω =

√k

m=

√2000

4= 22, 36 rad/seg ⇒ T =

2π

ω=

2π

22, 36= 0, 281 seg

De acuerdo con la regla enunciada debemos adoptar como intervalo de integracion:

∆t 6 T/10 = 0, 028 seg

Pero, por conveniencia de representacion de la carga aplicada escogeremos ∆t = 0, 02 seg.Si escogemos un procedimiento de interpolacion de cuarto orden, las relaciones aplicables en este

caso estaran representadas por las Ecuaciones (6.13) y (6.14). Con ∆t = 0, 02 seg se calcula la siguientetabla:

t y1 y2 y2

t0 0,0 0,0 0,0 250,01 0,0 0,25 250,01 0,0025 0,25 23,75

t1 0,02 0,005 0,475 22,5

El calculo de y1,1 y y2,1 sigue como:

y1,1 = 0 +0, 02

6(0, 0 + 0, 5 + 0, 5 + 0, 475) = 0, 004917

y2,1 = 0 +0, 02

6(25 + 50 + 47, 50 + 22, 50) = 0, 483333

Para continuar, el punto 2 se evalua de modo similar llenando nuevamente la tabla anterior, cuyosvalores a continuacion son como sigue:

t y1 y2 y2

t1 0,02 0,004917 0,4833330 22,541660,03 0,009750 0,7087499 20,125000,03 0,012001 0,6845833 18,99791

t2 0,04 0,018608 0,8632913 15,69583

El calculo de y1,2 y y2,2 se efectua como:

y1,2 = 0, 004917 +0, 02

6(0, 4833330 + 1, 417499 + 1, 369166 + 0, 86329) = 0, 018694

y2,2 = 0, 4833330 + 0, 388277 = 0, 871611

Para completar los calculos, el problema fue programado en un computador digital y los resulta-dos mostraron excelente precision. La Tabla 6.3 da los valores de respuesta de desplazamiento paradiferentes instantes de tiempo, comparados con la solucion analıtica. Puede observarse que el meto-do de Runge–Kutta tiene elevada coincidencia con los valores asumidos como exactos (de la solucionanalıtica). La Figura 6.9 muestra comparativamente los resultados de solucion obtenidos en este caso.

6.3. EVALUACION NUMERICA DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCION 181

Tabla 6.3: Evaluacion por el metodo de Runge–Kutta

ti xi exact. xi r–k ti xi exact. xi r–k

0.00 0.00000 0.00000 0.26 -0.07581 -0.075710.02 0.00492 0.00492 0.28 -0.08910 -0.089030.04 0.01870 0.01869 0.30 -0.08486 -0.084850.06 0.03864 0.03862 0.32 -0.06393 -0.064000.08 0.06082 0.06076 0.34 -0.03043 -0.030560.10 0.08086 0.08083 0.36 0.00906 0.008870.12 0.09451 0.09447 0.38 0.04677 0.046560.14 0.09743 0.09741 0.40 0.07528 0.075090.16 0.08710 0.08709 0.42 0.08898 0.088860.18 0.06356 0.06359 0.44 0.08518 0.085160.20 0.02949 0.02956 0.46 0.06463 0.064730.22 -0.01005 -0.00955 0.48 0.03236 0.031570.24 -0.04761 -0.04750 0.50 0.00335 0.00337

Figura 6.9: Graficas de la respuesta aproximada y exacta

>Aunque el metodo de Runge–Kutta no requiere el calculo de derivadas mas alla de la primera, su

precision mayor es lograda por cuatro evaluaciones de las primeras derivadas para obtener concordanciacon la solucion de la serie de Taylor, mediante terminos de O(∆t4). Ademas, la versatilidad del metodode Runge–Kutta es evidente en el hecho de que reemplazando la variable por un vector, el mismometodo es aplicable a un sistema de ecuaciones diferenciales (como en el caso de resolver numericamenteuna ecuacion diferencial ordinaria de primer grado y n–esimo orden).

6.3. Evaluacion numerica de la integral de convolucion

Expondremos ahora un metodo que permite el analisis de sistemas vibratorios lineales amortiguadosy no–amortiguados. El mismo consiste en evaluar por cualquier procedimiento numerico estandar laintegral convolutiva de respuesta. Presentaremos el metodo en su forma general, de modo que lasolucion para el caso no–amortiguado se obtenga haciendo β = 0 en las expresiones correspondientes.

Sin perdida de generalidad asumamos que el sistema parte desde una condicion de reposo al instante


inicial de observacion. Para estas condiciones, la respuesta del sistema correspondera solamente a laparte forzada de la solucion completa, la cual viene determinada por:

x(t) =1

ωa

∫ t

0

P (τ) e−βω(t−τ) sinωa(t− τ) dτ t>τ (6.15)

En la literatura especializada a esta integral se la denomina a veces con el nombre de integral deDuhamel. Desarrollando la expresion trigonometrica interior a la integral, permite re–escribir la Ecua-cion (6.15) en la siguiente forma:

x(t) = A(t) sinωat−B(t) cosωat (6.16)

donde en este caso, los coeficientes temporalmente variables A(t) y B(t) vienen definidos por:

A(t) =1

mωa

∫ t

0

P (τ)eβωτ

eβωtcosωaτ dτ (6.17a)

B(t) =1

mωa

∫ t

0

P (τ)eβωτ

eβωtsinωaτ dτ (6.17b)

Las integrales establecidas en las Ecuaciones (6.17) pueden ser ahora evaluadas con cualquier pro-cedimiento de integracion numerica. Llamando y(τ) a cualquiera de los sub–integrandos interiores,tenemos utilizando la regla trapecial;

1

mωa

∫ t

0

y(τ) dτ =∆t

mωa

(y0 + y1

2+y1 + y2

2+ · · ·+ yN−1 + yN

2

)1

mωa

∫ t

0

y(τ) dτ =∆t

mωa

1

2( y0 + 2y1 + 2y2 + 2yN−1 + yN ) (6.18)

donde tomamos: y(k∆t) = yk k = 0, 1, 2, . . . ,n

Sin embargo como es usual, a menudo se requiere el conocimiento de la respuesta durante sucesi-vos incrementos de tiempo; esto puede logarse utilizando una conocida propiedad de las inntegrales.Entonces factorizando terminos en la Ecuacion(6.18) hallamos:

1

mωa

∫ t

0

y(τ) dτ =∆t

mωa

1

2

(∑(t−∆t) + yN−1 + yN

)donde:

∑(t−∆t) representa el valor de la integral al tiempo (N − 1)∆t.

Si aquı reemplazamos la expresion de y(τ) adecuada para el calculo de los coeficientes varaiblesA(t) y B(t), obtendremos expresiones recursivas muy utiles para el calculo numerico de la respuesta.Ası por ejemplo, el calculo de A(t) se lleva a efecto de la siguiente manera:

y(τ) = P (τ)eβωτ

eβωtcosωaτ

llamando tk = k∆τ k = 0, 1, 2, . . . ,n

Ak = A(tk) Pk = P (tk)

donde n es el numero de intervalos utilizados en la integracion, que se escoge como:

∆τ =tfn

6.3. EVALUACION NUMERICA DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCION 183

siendo tf el tiempo final al que se desea hallar la respuesta.Si consideramos la Ecuacion (6.18) hallamos el valor de A(t) al tiempo (k− 1)∆τ , entonces obten-

dremos lo siguiente:

Ak−1 =∆τ

2mωa

(P0e−βω(k−1)∆τ + 2P1e−βω(k−2)∆τ cosωa∆τ + 2P2e−βω(k−3)∆τ cosωa2∆τ + · · ·

· · ·+ 2Pk−2e−βω∆τ cosωa(k − 2)∆τ + Pk−1 cosωa(k − 1)∆τ)

Calculemos ahora el valor de A(t) al tiempo tk = k∆τ

Ak =∆τ

2mωa

(P0e−βωk∆τ + 2P1e−βω(k−1)∆τ cosωa∆τ + 2P2e−βω(k−2)∆τ cosωa2∆τ + · · ·

· · ·+ Pk−1e−βω∆τ cosωa(k − 1)∆τ + Pk−1e−βω∆τ cosωa(k − 1)∆τ + Pk cosωak∆τ)

La expresion anterior se puede re–escribir factorizando el valor exponencial de todos los terminosexcepto los dos ultimos; realizando esto,

Ak =∆τ

2mωa

e−βω∆τ

[P0e−βω(k−1)∆τ + 2P1e−βω(k−2)∆τ cosωa∆τ + 2P2e−βω(k−3)∆τ cosωa2∆τ + . . .

. . . +Pk−1 cosωa(k − 1)∆τ ] + Pk−1e−βω∆τ cosωa(k − 1)∆τ + Pk cosωak∆τ

La expresion entre los parentesis rectos es exactamente el valor de Ak−1, por lo que:

Ak = e−βω∆τ Ak−1 +∆τ

2mωa

(e−βω∆τ cosωa(k − 1)∆τ + Pk cosωak∆τ

), k = 1; n (6.19)

La Ecuacion (6.19) evidentemente es una expresion de tipo recursivo; es decir, permite evaluar Aken funcion del valor inmediato anterior Ak−1. Similar expresion puede deducirse para B(t) simplementeintercambiando la funcion coseno por la funcion seno en esta ecuacion.

Bk = e−βω∆τ Bk−1 +∆τ

2mωa

(e−βω∆τ sinωa(k − 1)∆τ + Pk sinωak∆τ

), k = 1; n (6.20)

donde en estas relaciones se debe considerar ademas que: Ak=Bk=0 , ∀k<0.Habiendo calculado los coeficientes variables en modo discreto y recursivo, la respuesta al tiempo

tk es entonces de acuerdo con la Ecuacion (6.16),

x(tk) = Ak sinωa tk −Bk cosωa tk (6.21)

Utilizando la regla de integracion numerica de Simpson, se habrıan obtenido resultados similares.Se invita al lector interesado a aplicar este procedimiento y obtener relaciones recursivas como lasencontradas aquı. Los resultados seran optimos en general si ∆τ es elegido de magnitud suficientementepequena; y al respecto se aconseja en general adoptar para el intervalo de integracion ∆τ un valor quecomo maximo sea un decimo del valor del periodo natural no–amortiguado del sistema; es decir:

∆τ6T

10(6.22)

La efectividad del procedimiento numerico desarrollado sera ahora evaluada mediante la aplicaciondel mismo a un problema practico, y para ello presentaremos los calculos efectuados en forma tabular.

Ejemplo 6.4. Resolver numericamente el problema del Ejemplo 5.1 (vease el Capıtulo anterior), su-poniendo que se tiene un valor de fraccion de amortiguamiento crıtico igual a 10 % (β = 0, 1).

> Solucion


Para proceder con el hallazgo de la solucion, previamente recapitulemos los valores ya calculados:

ω = 25, 34 rad/seg m = 0, 229 Kg-seg2/cm ωa = ω√

1− β2 = 25, 213 rad/seg

Debido a que el valor ∆τ/(2mωa) es una constante que multiplica el resultado final, se lo mantendra fac-torizado hasta la evaluacion del resultado completo con el que hace el producto indicado en la formula.

El incremento de tiempo que utilizaremos para la aplicacion del procedimiento numerico, es eva-luado considerando la recomendacion dada para ello,

∆τ =T

10=

2π

10ω= 0, 0248 seg

Adoptamos ∆τ = 0,025 seg (redondeando).La integracion sera llevada a efecto hasta el tiempo td = 0,175 seg. El arreglo de valores que resume

el proceso de calculo numerico se muestra en la Tabla 6.4, donde se ha omitido la multiplicacion porel valor:

K =∆τ

2mωa=

0, 025

2×0, 229×25, 213= 0, 0022 cm/Kg

La correccion necesaria se la realiza hacia el final de todos los calculos en la ultima columna. La forma enla que las operaciones efectuadas han sido organizadas, mostradas en la Tabla 6.4, es auto–explicativa.

Aquı tambien debemos considerar el hecho que la excitacion aplicada es nula al instante inicialP (t0) = 0, al igual que las condiciones iniciales x(t0) = x(t0) = 0; lo que se traducirıa en un valor deresultado nulo para la primera iteracion x(t1)=0. Para subsanar este hecho, en el proceso de calculo seha incorporado una modificacion: El sentido de las flechas en las columnas (5), (7), (10) y (12) indicaque los valores de dichas columnas han sido desplazados una posicion luego de ser multiplicados porel factor M = exp(−βω∆t) = 0,9386.

Ademas, debido a que el valor de la fraccion de amortiguamiento crıtico es muy pequeno β= 0, 1se ha tomado ωa ∼= ω, por lo que el calculo de los desplazamientos se ha realizado con la expresion:x(t) = A sinωt−B cosωt, en lugar de usar la Ecuacion (6.16).

Por los resultados mostrados en la ultima columna de la Tabla 6.4, se ve que el maximo desplaza-miento hallado es: xmax = 0, 897 cm; el que se produce al tiempo t = 0, 175 seg. >

Una evaluacion analıtica del problema recientemente resuelto hubiese mostrado que el desplaza-miento maximo se produce al tiempo t = 0, 16 seg. La discrepancia se debe a la discretizacion delproblema y a la naturaleza del metodo de integracion usado: La regla del trapecio, que aproxima lafuncion mediante segmentos lineales. Este hecho no permitio modelar con precision la transicion de lacarga desde su valor maximo hasta cero, lo cual es mostrado en la Figura 6.10.

Figura 6.10: Discrepancia por la regla de trapecio


La lınea de puntos indica la variacion lineal con cierta pendiente implıcitamente adoptada, la cualevidentemente difiere de la recta vertical de la perturbacion original aplicada en su transicion desdesu valor maximo hasta cero.

Como comentario final, vale la pena destacar la influencia del amortiguamiento en la respuestamaxima; ya que esta fue reducida de 1,012 cm a 0,897 cm !.


6.1. Considere un sistema amortiguado forzado de un solo grado de libertad y repita el procedi-miento mostrado en la Seccion 6.2.1 para obtener las ecuaciones recursivas necesarias [similaresa las Ecuaciones (6.3)] para hallar una solucion aproximada de la respuesta del sistema haciala excitacion aplicada. Con los valores solucion de posicion y velocidad calculados en tiemposdiscretos especıficos, como obtendrıa Usted una serie de valores aproximados para la aceleracioninstantanea de movimiento ?.

6.2. Aplique las ecuaciones deducidas en el Problema anterior, al calculo del desplazamiento maximoproducido en el pendulo que oscila debido a un golpe aplicado a la masa del mismo. El enunciadocompleto lo puede hallar en el Problema 5.11 del Capıtulo anterior.

6.3.Un piston que pesa 0,444 Kg esta soportado por unresorte cuyo coeficiente de rigidez es 8,5 Kg/cm es-tando inicialmente en reposo en su posicion de equi-librio. El piston es accionado por una explosion quecrea una fuerza perturbadora P(t) tipo pulso, la cualse muestra en la Figura. Determinar la fuerza maxi-ma que se ejerce sobre el resorte durante el movi-miento vibratorio. Utilice el metodo de Euler paraefectuar la solucion numerica aproximada. Muestreel diagrama de flujo de informacion del algoritmo

matematico de este metodo; ası como el listado de sentencias programadas en cualquier lenguaje.Dibuje tambien una grafica de la respuesta del sistema.

6.4.Un sistema modelado con un solo grado de libertadtiene los siguientes parametros dinamicos: masa 0,2Kg-seg2/cm, coeficiente de rigidez 420 Kg/cm, yfraccion de amortiguamiento crıtico del 8 %. Estesistema es perturbado por una fuerza aplicada conforma de un pulso senoidal completo como muestrala Figura, donde la amplitud maxima es 40 Kg y eltiempo de duracion 0,2 seg. Suponiendo condiciones

iniciales nulas de movimiento, hallar la respuesta aproximada discreta del sistema haciendo usodel metodo de Runge–Kutta. Escriba la solucion analıtica exacta para el problema (busquelaen paginas anteriores) y compare los resultados mostrandolos en una grafica. Cual es el errorporcentual relativo maximo de la solucion aproximada hallada ?.

6.5. Dibuje el diagrama de flujo de informacion para encontrar la respuesta discreta aproximada me-diante evaluacion numerica de la integral de convolucion (Duhamel). Transcriba este diagramade flujo en lıneas de sentencias, expresadas en cualquier lenguaje informatico programable.


6.6.

Un sistema modelado con un solo grado de liber-tad tiene los siguientes parametros dinamicos: masa0,12 Kg-seg2/cm, coeficiente de rigidez 120 Kg/cm,y fraccion de amortiguamiento crıtico del 18 %. Estesistema es perturbado por un movimiento de apo-yo de tipo pulso triangular como muestra la Figu-ra, donde la amplitud maxima es 2 cm y el tiempode duracion 0,8 seg. Suponiendo condiciones inicialesnulas de movimiento, hallar la respuesta aproximadadiscreta del sistema proporcionada por el metodo deevaluacion numerica de la integral de convolucion.

6.7. Este problema es planteado para que Usted pueda analizar comparativamente la calidad deresultados que proporcionan los metodos de evaluacion numerica de la ecuacion de movimientode un sistema vibratorio modelado con un solo grado de libertad, desarrollados anteriormenteen las diversas secciones del presente Capıtulo.Haciendo abstraccion del sistema de magnitudes utilizado para expresar dimensionalmente losvalores parametricos de un sistema, supongamos que el mismo tiene una masa m = 2, uncoeficiente de rigidez k = 50, y un coeficiente de amortiguamiento c = 2 en unidades compatibles.Una fuerza perturbadora cuya magnitud en tiempos discretos es la indicada en el arreglo tabularmostrado debajo se aplica sobre la masa del sistema con el tiempo de duracion indicado.

ti 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 · · ·P (ti) −4, 0 −8, 0 −12, 0 −7, 0 −4, 0 −1, 0 1, 5 3, 0 5,0 2,0 0,0 0,0 0,0 · · ·

Hallar la respuesta del sistema mediante aplicacion de los siguientes procedimientos numericos:

— El metodo paso a paso— El metodo de Euler— El metodo de Runge–Kutta— Evaluacion numerica de la integral de convolucion

Muestre los resultados de todos los procedimientos en una sola grafica y comente las discrepan-cias a este respecto.

6.8. Los metodos de evalucion numerica de la respuesta de un sistema vibratorio presentados en esteCapıtulo, son simplememte una pequena muestra de los variados procedimientos para obteneruna aproximacion del comportamiento del sistema frente a una perturbacion externa.Desarrolle un metodo distinto a los presentados, dibuje el diagrama de flujo de informacion, ytraduzcalo a un lenguaje informatico programable. Luego de hacerlo, resuelva cualquiera de losproblemas anteriores y realice la comparacion de resultados con aquel metodo sugerido en elproblema que escoja como aplicacion del nuevo metodo planteado por Usted.


Tab

la6.

4:E

valu

aci

on

nu

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)

Eva

luaci

on

deBk

Eva

luaci

on

deAk

(15)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)Bk

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)Ak

(14)×

(3)

(15)×

kt k

F(tk)

sinωat k

cosωat k

(2)×

(3)

(5)×

m(5

)+(6

)(7

)×m

(7)+

(8)

(2)×

(4)

(10)×

m(1

0)+

(11)

(12)×

m(1

2)+

(13)−

(9)×

(4)

x(tk)

0.0

00

0.0

00

0.0

00

1.0

00

0.0

00

0.0

00

0.0

00

0.0

00

0.0

25

37.5

00

0.5

92

0.8

06

22.2

00

0.0

00

22.2

00

0.0

00

22.2

00

30.2

25

0.0

00

30.2

25

0.0

00

30.2

25

0.0

00

0.0

00

0.0

50

75.0

00

0.9

54

0.2

29

71.5

50

20.8

37

92.3

87

20.8

37

113.2

24

22.4

25

28.3

69

50.7

94

28.3

69

79.1

63

91.6

68

0.2

02

0.0

75

112.5

00

0.9

46

-0.3

24

106.4

25

67.1

57

173.5

82

86.7

14

260.2

96

-36.4

50

21.0

48

-15.4

02

47.6

75

32.2

73

114.8

66

0.2

53

0.1

00

150.0

00

70.5

71

-0.8

21

85.6

50

99.8

99

185.5

41

162.9

24

348.4

65

-123.5

00

-34.2

12

-157.7

12

-14.4

56

-172.1

68

187.7

82

0.4

13

0.1

25

187.5

00

-0.0

26

-1.0

00

-4.4

85

80.3

91

75.5

16

174.1

49

249.6

65

-187.5

00

-115.9

17

-303.4

17

-148.0

28

-451.4

45

261.4

03

0.5

75

0.1

50

225.0

00

-0.6

13

-0.7

90

-137.9

25

-4.5

76

-142.0

02

70.8

79

-71.6

22

-177.7

50

-175.8

88

-353.7

38

-289.7

87

-638.5

25

334.8

34

0.7

37

0.1

75

0.0

00

-0.9

62

-0.2

74

0.0

00

-129.4

56

-129.4

56

-133.7

51

-263.2

07

0.0

00

-166.8

36

-166.8

36

-332.0

18

-498.8

54

407.7

79

0.8

97

0.2

00

0.0

00

-0.9

37

0.3

48

0.0

00

0.0

00

0.0

00

-121.5

07

-121.5

07

0.0

00

0.0

00

0.0

00

156.5

92

-156.5

92

189.0

11

0.4

16

En

elca

lcu

lose

uti

liza

elva

lor:

M=

exp

(−βω

∆t)

=0,9

386

com

om

ult

ipli

cad

or.

Capıtulo 7

Sistemas de varios grados delibertad

Redactar aquı algo de texto!!.

7.1. Introduccion

Hasta el Capıtulo anterior se ha discutido la respuesta de sistemas modelados con un solo grado delibertad. Es evidente que una infinidad de sistemas reales pueden modelarse en tal forma, de manerade evaluar satisfactoriamente la respuesta de los mismos; sin embargo, existen sistemas que no admitenuna representacion tan simple, ya sea por su configuracion geometrica o aun mismo por el estado decargas a que estan sometidos. En tales casos, es necesario modelar dichos sistemas con mas de ungrado de libertad, trayendo consigo complicaciones adicionales que van desde la correcta o adecuadarepresentacion del sistema en estudio, hasta el aumento no proporcional de los calculos necesarios parahallar la respuesta de tales sistemas.

En este Capıtulo introducimos al estudiante hacia la obtencion de modelos matematicos de unamanera totalmente paralela a lo desarrollado en el Capıtulo 2; y de aquı en adelante la notacionmatricial sera, sin duda alguna, nuestra principal herramienta en el desarrollo de las ecuaciones quegobiernan el comportamiento mecanico vibracional de los sistemas que poseen diversidad de gradosde libertad, es decir aquellos sistemas que requieren un numero mayor a la unidad de coordenadasgeneralizadas que especifiquen su configuracion geometrica generica instantanea durante la fase de sumovimiento oscilatorio.

7.1.1. Convenciones de notacion

En el presente Capıtulo y subsiguientes, la notacion matricial sera utilizada a discrecion; por lo queconviene en este momento establecer nıtidamente la nomenclatura que se utilizara para tal finalidad.

Los arreglos rectangulares (o cuadrados) de valores numericos o simbolicos, comunmente cono-cidos con el denominativo de matrices, seran identificados de manera concisa mediante una letramayuscula en negrilla encerrada entre parentesis rectos. Ası por ejemplo, el ordenamiento en filasy columnas de coeficientes numericos o simbolicos mostrado a continuacion,

a11 a12 · · · · · · a1n

a21 a22 · · · · · · a2n

......

......

...am1 am2 · · · · · · amn

189

190 CAPITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

sera considerada una matriz de m filas y n columnas 1 cuando se la escriba de la manera aquı in-dicada:

[A] =

a11 a12 · · · · · · a1n

a21 a22 · · · · · · a2n

......

......

...am1 am2 · · · · · · amn

= [aij ] i = 1;m j = 1;n (7.1)

donde aij identifica a un coeficiente o elemento generico cualquiera del arreglo de valores.

Los arreglos mas simples de un conjunto de valores pertenecientes a una misma serie, a los cualesse los denomina vectores se distinguiran si se los escribe en un ordenamiento en fila o en columna.Si por ejemplo, esta serie de valores numericos o simbolicos son ordenados con un aspecto vertical,el mismo se considerara un vector columna; que tıpicamente sera escrito de modo conciso conuna letra de preferencia minuscula en negrilla flanqueada a la izquierda con una barra, y a laderecha mediante un parentesis de cierre angular agudo como se muestra a continuacion:

|b〉 =

b1

b2

...

...bn

= |bi〉 i = 1;n (7.2)

donde bi identifica a un coeficiente o elemento generico cualquiera del arreglo en columna devalores. En cuanto a su tamano o dimension, diremos que este vector es de: dim(n×1).

En cambio, si la misma serie de valores son ordenados en forma horizontal, los mismos definiranun vector fila, el cual de manera concisa sera escrito con letra minuscula en negrilla flanqueadaa la izquierda con un parentesis de apertura angular agudo y a la derecha por una barra; comose muestra a continuacion:

〈b| =b1 b2 · · · · · · bn

= 〈bi| i = 1;n (7.3)

Muy eventualmente para denotar un vector usaremos una letra mayuscula (en negrilla); estosimplemente por preservar la consistencia en la notacion adoptada para ciertas variables en loscapıtulos anteriores, y cuando decidamos alterar la notacion para un vector por factores de meraconveniencia, se emitira una vehemente declaracion explıcita al respecto.

Recordando que el vector fila de una serie de valores, numericos o simbolicos, corresponde al vectorcolumna transpuesto de la serie identica de los mismos valores; sera evidente el cumplimiento dela siguiente relacion matematica: 2

|b〉T = 〈b| (7.4)

7.2. Condiciones de equilibrio dinamico

Consideremos un sistema completamente generalizado, el cual tiene capacidad de adquirir movi-miento oscilatorio cuando es perturbado mediante cierta accion proveniente del medio circundante oentorno al mismo como se muestra en la Figura 7.1. El movimiento vibratorio que se produce en elsistema es debido a las propiedades inerciales, elasticas, y de amortiguamiento que intrınsecamenteestan contenidas en el medio material que conforma este sistema.

1 Esto significa que la dimension del arreglo matricial de coeficientes aij (i = 1;m j = 1;n) en este caso sera denotadacomo: dim[A] = (m×n), siendo m el numero de filas y n el numero de columnas del arreglo matematico en cuestion.

2 Esta aseveracion se cumple identicamente de forma viceversa, es decir: Un vector columna de una serie de valoreses el vector fila transpuesto de los valores identicos; lo que resumidamente se escribe como: 〈b|T = |b〉.

7.2. CONDICIONES DE EQUILIBRIO DINAMICO 191

Figura 7.1: Sistema generico en movimiento vibratorio

Como se aprecia en la Figura 7.1, sobre el sistema actua todo un sistema de perturbaciones o cargasexternas: P1, P2, . . . , Pr. Los grados de libertad (desplazamientos y rotaciones angulares) necesariospara establecer la configuracion geometrica generica instantanea del sistema son: u1, u2, . . . , un.

La ecuacion de movimiento del sistema de la Figura 7.1 puede ser formulada expresando el equilibriode las fuerzas efectivas asociadas con cada uno de sus grados de la libertad. En general cuatro tipos defuerza estaran involucradas en cualquier punto j: la carga exteriormente aplicada Pj(t) y las fuerzasprovenientes del movimiento; esto es, la fuerza de inercia Fi,j , la fuerza de amortiguamiento Fc,j , yla fuerza elastica Fk,j . Por lo tanto, para cada uno de los diversos grados de la libertad, el equilibriodinamico puede ser expresado como:

Fi,1 + Fc,1 + Fk,1 = P1(t)

Fi,2 + Fc,2 + Fk,2 = P2(t)· · · · · · · · · · · ·Fi,j + Fc,j + Fk,j = Pj(t)· · · · · · · · · · · ·

Fi,n + Fc,n + Fk,n = Pn(t)

(7.5)

Esta serie de ecuaciones puede ser escrita de forma compacta apelando a la notacion matricial, de-finiendo vectores que aglomeren los terminos contenidos en el sistema de Ecuaciones (7.5) del modoindicado a continuacion:

|Fi〉+ |Fc〉+ |Fk〉 = |P(t)〉 (7.6)

donde por ejemplo: 〈Fc| =Fc,1 Fc,2 · · · Fc,n

, y los otros vectores son arreglos similares.

La Ecuacion (7.6) representa el equilibrio dinamico del sistema, ya que la misma equipara la resul-tante de las fuerzas internas provenientes del movimiento con la fuerza perturbatriz externa actuante.Ademas, es sobresaliente el hecho que esta relacion tiene identico aspecto matematico que la obtenidapara la Ecuacion 1.1, que gobierna la dinamica de movimiento vibratorio de un sistema de un sologrado de libertad. La Ecuacion (7.6) recien deducida es practicamente la misma que la Ecuacion 1.1,solo que esta escrita en notacion matricial !.

Cada una de las fuerzas activas se expresa mas convenientemente por medio de una serie apropiadade coeficientes de influencia. Consideremos, por ejemplo, la componente de fuerza elastica desarrolladaen el punto 1; la cual depende en general de todas las componentes de desplazamiento (es decir, gradosde libertad) en todos los puntos relevantes del sistema, o estructura, que han sido escogidos en elproceso de discretizacion en el analisis dinamico del sistema; sera expresada mediante:

Fk,1 = k11u1 + k12u2 + · · ·+ k1nun

Similarmente, la fuerza elastica correspondiente al grado de libertad u2 es,

Fk,2 = k21u1 + k22u2 + · · ·+ k2nun


Y, en general,Fk,j = kj1u1 + kj2u2 + · · ·+ kjnun

En todas estas expresiones ha sido tacitamente asumido que el comportamiento elastico es lineal,de modo que el principio de superposicion sea aplicable. Los coeficientes kij son llamados coeficientesde influencia de rigidez, o mas simplemente coeficientes de rigidez, los mismos que en forma genericase definen como:

kij es la fuerza elastica correspondiente a la coordenada i, debido a un desplazamientounitario inducido en la coordenada j.

En forma matricial, la serie completa de relaciones que definen las diversas fuerzas elasticas aso-ciadas a los diversos grados de libertad especificados para el sistema, pueden escribirse como:

Fk,1Fk,2

...Fk,j

...

=

k11 k12 · · · k1j · · ·k21 k22 · · · k2j · · ·...

......

......

kj1 kj2 · · · kjj · · ·...

......

......

u1

u2

...uj...

(7.7)

O, de modo conciso: |Fk〉 = [K] |u〉 (7.7a)

en la cual, la matriz de coeficientes [K] = [kij ] (i, j = 1;n) es llamada matriz de rigidez del sistema (oestructura), para la serie especificada de coordenadas de desplazamiento o grados de libertad usadosen el modelo; y |u〉 es el vector que representa a los grados de libertad elegidos en la descripcion decomportamiento dinamico del sistema.

Si se asume que el amortiguamiento es de tipo viscoso, la fuerza generada por esta caracterısticadependera linealmente de la velocidad; ası las fuerzas disipativas correspondientes a los grados delibertad pueden ser expresadas por medio de coeficientes de influencia de amortiguamiento, en modosimilar a lo desarrollado anteriormente para las fuerzas elasticas. La serie completa de fuerzas deamortiguamiento estara determinada por:

Fc,1Fc,2

...Fc,j

...

=

c11 c12 · · · c1j · · ·c21 c22 · · · c2j · · ·...

......

......

cj1 cj2 · · · cjj · · ·...

......

......

u1

u2

...uj...

(7.8)

O, simbolicamente: |Fc〉 = [C] |u〉 (7.8a)

donde |u〉 = |uj〉 (j = 1;n) sera el vector velocidad, siendo que uj representa la razon de cambiotemporal (velocidad) del j–esimo desplazamiento o grado de libertad, y los coeficientes cij (i, j = 1;n)son llamados coeficientes de amortiguamiento. La definicion de cualquiera de estos coeficientes es porsimilaridad la siguiente:

cij es la fuerza amortiguadora correspondiente a la coordenada i, debido a una velocidadunitaria en la coordenada j.

El arreglo de coeficientes de amortiguamiento [C] = [cij ] (1, j = 1;n) de aquı en adelante sera de-nominada matriz de amortiguamiento del sistema (para los grados de libertad especificados).

Las fuerzas inerciales pueden ser expresadas similarmente por una serie de coeficientes de influenciallamados coeficientes de masa, o coeficientes inerciales con mas generalidad. Estos representan larelacion entre las aceleraciones de los diversos grados de libertad y las fuerzas inerciales resultantes;


por analogıa con la Ecuacion (7.7), las fuerzas inerciales pueden ser expresadas como:

Fi,1Fi,2

...Fi,j

...

=

m11 m12 · · · m1j · · ·m21 m22 · · · m2j · · ·

......

......

...mj1 mj2 · · · mjj · · ·

......

......

...

u1

u2

...uj...

(7.9)

O, en forma condensada: |Fi〉 = [M ] |u〉 (7.9a)

donde |u〉 = |uj〉 (j = 1;n) sera el vector aceleracion, ya que uj es la aceleracion de la j–esima coor-denada de desplazamiento o grado de libertad, y los coeficientes mij (i, j = 1;n) son los coeficientesde influencia masica o inercial. La definicion de cualquiera de estos coeficientes es:

mij es la fuerza inercial correspondiente a la coordenada i, debido a una aceleracion unitariaen la coordenada j.

La disposicion en filas y columnas de los coeficientes inerciales define una matriz caracterıstica delas propiedades inerciales [M ] = [mij ] (i, j = 1;n), que sera denominada matriz de masa del sistemao estructura.

Substituyendo las ecuaciones (7.7), (7.8), y (7.9) en la Ecuacion (7.6); esta proporciona el equilibriodinamico completo del sistema o estructura asociado al numero total de grados de libertad usados enel proceso de modelado,

[M ] |u(t)〉+ [C] |u(t)〉+ [K] |u(t)〉 = |P(t)〉 (7.10)

Esta relacion matematica representa a la ecuacion gobernante del comportamiento vibratorio de unsistema de multiples grados de libertad, la cual es equivalente a la Ecuacion 2.3 que gobierna elcomportamiento de sistemas modelados con un solo grado de libertad. El orden de esta ecuacionmatricial diferencial es identico al orden del vector de grados de libertad utilizados en la representaciondinamica del comportamiento oscilatorio del sistema en analisis.

Luego, la Ecuacion (7.10) expresa a las n ecuaciones diferenciales de movimiento, asociados a losn grados de libertad, que sirven para definir la respuesta dinamica de un sistema de multiples gradosde libertad ante cierta perturbacion proveniente del exterior al mismo. Ciertamente resulta evidenteque para hallar la solucion completa de la ecuacion diferencial gobernante, es necesario especificar lascondiciones iniciales de movimiento:

|u(t0)〉 = |u0〉 |u(t0)〉 = |u0〉

que expresan a los desplazamientos y velocidades de todos los grados de libertad al instante inicialde observacion t0 del movimiento oscilatorio del sistema, que se produce a causa de la perturbacionexterna aplicada a el.

Figura 7.2: Modelo de un sistema de varios grados de libertad

En la Figura 7.2 se muestra un diagrama esquematico general de un sistema de varios gradosde libertad; donde las relaciones de equilibrio dinamico, expresadas matematicamente por la Ecua-cion (7.10), se verifican en su cumplimiento. Es de gran relevancia que este modelo esquematico tiene


absoluto parecido con el diagrama grafico que representa al modelo de un sistema de un solo grado delibertad, el cual puede ser observado en la Figura 5.2.

Aquı es pertinente indicar que todas las matrices de propiedades dinamicas de un sistema repre-sentado por diversos grados de libertad; es decir las matrices: [K], [C], y [M ] son todas matricescuadradas simetricas; de dim(n×n), siendo n el numero total de grados de libertad utilizados en elmodelado del sistema. Y, los vectores u(t) y P (t) son arreglos en columna de dim(n×1) (o dim n demodo abreviado). Ademas, en virtud que por generalidad las matrices de propiedades dinamicas noson matrices diagonales resultara que el comportamiento de los diversos grados de libertad del sistemaestara dinamicamente acoplado; queriendo significar con esto que el movimiento de cualquier grado delibertad que sea escogido, se vera irremediablemente afectado por el movimiento de todos los demasgrados de libertad que componen al sistema; por lo que el vocablo ‘acoplado’ tiene aquı el correctosignificado semantico.

Ejemplo 7.1. En la Figura 7.3(a) se muestra un sistema de parametros dinamicos concentrados endos grados de libertad (asociados con las masas en movimiento). El sistema, como se aprecia, constade dos cuerpos rıgidos con masas especificadas conectados a resortes y amortiguadores de coeficientesconocidos. El sistema es perturbado externamente mediante las fuerzas indicadas. Hallar la ecuacionmatricial gobernante del comportamiento dinamico oscilatorio de este sistema.

(a) Disposicion de elementos

(b) Diagramas de cuerpo libre

Figura 7.3: Sistema de parametros dinamicos concentrados

> Solucion

En la Figura 7.3(a) mostramos los grados de libertad x1(t) y x2(t), que establecen la configuracion demovimiento horizontal instantaneo que tiene el sistema.

En cambio, en la Figura 7.3(b) se muestra los diagramas de cuerpo libre de los diversos elementoscomponentes de este sistema indicando las fuerzas actuantes (no se incluyen fuerzas verticales, porqueno se considera el movimiento en esta direccion) ; asumiendo que se ha producido movimiento delos puntos relevantes de interconexion entre estos elementos. En estos diagramas asumimos que en elinstante de interes, las velocidades y aceleraciones de las masas en movimiento tienen identica direcciony sentido que los desplazamientos en el mismo instante para el cual se establecen estos diagramas.

Los diagramas de cuerpo libre de ambas masas son aquı de nuestro interes particular; en ellosmostramos las fuerzas instantaneas actuantes, usando en particular el metodo de D’Alembert pararepresentar las fuerzas inerciales que actuan en sentido opuesto a las aceleraciones instantaneas aso-ciadas. Para ambas masas representadas por sus pertinentes diagramas de cuerpo libre, el principio


de equilibrio dinamico establece que la resultante de fuerzas instantaneas actuantes sobre estos cuer-pos en movimiento debe ser nula, de acuerdo al principio de D’Alembert: FR =

∑Fj = 0. 3 Entonces

tendremos:Para m1 : Fk2

+ Fc2 − P1(t)− Fk1− Fc1 − Fi1 = 0

Para m2 : P2(t)− Fk3− Fk2

− Fc2 − Fi2 = 0

Ordenando, Fi1 + Fc1 − Fc2 + Fk1− Fk2

= −P1(t)

Fi2 + Fc2 + Fk2+ Fk3

= P2(t)

Ahora, recordamos las leyes de descripcion para las diversas fuerzas activas actuantes en los ele-mentos componentes de este sistema;

m1 x1 + c1 x1 − c2 (x2 − x1) + k1 x1 − k2 (x2 − x1) = −P1(t)

m2 x2 + c2 (x2 − x1) + k2 (x2 − x1) + k3 x2 = P2(t)

Ordenando nuevamente,

m1 x1 + (c1 + c2) x1 − c2 x2 + (k1 + k2)x1 − k2 x2 = −P1(t)

m2 x2 − c2 x1 + c2 x2 − k2 x1 + (k2 + k3)x2 = P2(t)

Matricialmente, estas dos ecuaciones simultaneas pueden ser escritas del modo indicado a conti-nuacion: [

m1 00 m2

] x1

x2

+

[c1 + c2 −c2

−c2 c2

] x1

x2

+

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

] x1

x2

=

−P1(t)P2(t)

donde de manera obvia se tiene: x1 = x1(t) y x2 = x2(t) como soluciones de este sistema. En formasimbolica compacta, este sistema matricial de ecuaciones diferenciales obtenido para este ejemploparticular se escribe:

[M ] |x(t)〉+ [C] |x(t)〉+ [K] |x(t)〉 = |P(t)〉

que evidentemente es la misma Ecuacion (7.10), que es generica de los sistemas con multiples gradosde libertad como el analizado aquı. >

En el ejemplo recientemente resuelto, evidenciamos que la matriz de masa [M ] del sistema esmatriz diagonal, lo que infiere que no existe influencia o transmision de fuerza inercial desde una de lasmasas hacia la otra; y tambien implica que los elementos de interconexion entre ellas (el resorte k2 y elamortiguador c2) son considerados excentos de masa propia. Si se considerarıa a estos elementos conmasa propia, parte de ella se concentrarıa en los grados de libertad sumandose estos valores hacia losterminos de la diagonal principal de la matriz de masa; y la otra parte restante describirıa la interaccioninercial entre los grados de libertad, apareciendo como valores fuera de la diagonal principal en la matrizde masa !.

Ejemplo 7.2. Considere la varilla rıgida delgada uniforme de la Figura 7.4(a), conectada a un par deresortes y un amortiguador. Suponga que los resortes y el amortiguador permanecen verticales duranteel movimiento, y que la barra esta en equilibrio cuando tiene adquiere configuracion horizontal. Tam-bien se acepta la suposicion de desplazamiento angular de magnitud muy pequena, de modo que lalinealizacion directa de las ecuaciones obtenidas sea aplicable. Determinar las ecuaciones diferencialesque gobiernan la vibracion forzada de este sistema.

> Solucion

3 Convencionalmente, para el desarrollo de las ecuaciones de equilibrio dinamico se acostumbra considerar a las fuerzasactuantes coincidentes con el sentido instantaneo de aceleracion asumida, como positivas.


(a) Diagrama esquematico del sistema (b) Diagrama dinamico de cuerpo libre

Figura 7.4: barra rıgida en movimiento vibratorio

En la Figura 7.4(b) se muestra el conjunto de acciones durante la fase generica de movimiento de labarra rıgida. Escogemos como grados de libertad: el desplazamiento vertical del centro de masa x(t) yel desplazamiento angular de este cuerpo φ(t) respecto a la configuracion horizontal de equilibrio. Eneste diagrama incluımos la fuerza y momento inerciales (segun el principio de D’Alembert) provenientesdel movimiento que se produce.

El equilibrio dinamico del sistema requiere que la fuerza y el momento resultantes sean simultanea-mente nulos; entonces:

↑+∑F = 0 ⇒ Fk1

+ Fc + Fi + Fk2− P (t) = 0

y+

∑MCM = 0 ⇒ (Fk1

+ Fc)L2 cosφ−Mi − Fk2

L4 cosφ+ P (t) L2 cosφ = 0

Como el desplazamiento angular es de magnitud reducida (φ→ 0), entonces cosφ ∼= 1 y sinφ ∼= φ [rad];de modo que las ecuaciones anteriores pueden ser escritas como:

Fi + Fc + Fk1+ Fk2

= P (t)

Mi − Fc L2 − Fk1

L2 + Fk2

L4 = P (t) L2

Las leyes para las diferentes fuerzas y momento actuantes sobre la barra rıgida son en este caso:

Mi = ICM α = mL2

12 φ , Fi = ma = mx , Fc = c ddx (x− L

2 sinφ) ∼= c ddx (x− L

2 φ) = c (x− L2 φ)

Fk1= k1 (x− L

2 sinφ) ∼= k1 (x− L2 φ) , Fk2

= k2 (x+ L4 sinφ) ∼= k2 (x+ L

4 φ)

Reemplazando en las ecuaciones previas, las mismas desarrolladas resultan:

mx+ c (x− L2 φ) + k1 (x− L

2 φ) + k2 (x+ L4 φ) = P (t)

mL2

12 φ − c (x− L2 φ) L2 − k1 (x− L

2 φ) L2 + k2 (x+ L4 φ) L4 = P (t) L2

Ordenando de modo mas conveniente a nuestros propositos,

mx+ c x− c L2 φ+ (k1 + k2)x− (k1L2 − k2

L4 )φ = P (t)

mL2

12 φ− cL2 x+ cL2

4 φ− (k1L2 − k2

L4 )x+ (k1

L2

4 + k2L2

16 )φ = P (t) L2

y escribiendo en notacion matricial resulta finalmente:[m 0

0 mL2

12

]x

φ

+

[c −cL2−cL2 cL

2

4

]x

φ

+

[k1 + k2 −k1

L2 + k2

L4

−k1L2 + k2

L4 k1

L2

4 + k2L2

16

]x

φ

=

P (t)

P (t) L2

>

7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBUIDOS 197

7.3. Sistemas de parametros distribuıdos

Toda la discusion presentada en el Capıtulo 2 ha demostrado que un sistema o estructura puede serrepresentado por un solo grado de libertad, cuya respuesta dinamica ante una perturbacion externapuede ser evaluada por la solucion de la ecuacion diferencial gobernante. Si las propiedades fısicasdel sistema son tales que su movimiento puede ser descrito por una sola coordenada geometrica yningun otro movimiento es posible, entonces el mismo es un sistema de un unico grado de libertad y lasolucion de la ecuacion diferencial que gobierna su comportamiento es dinamicamente exacta. Por otraparte si el sistema o estructura realmente tiene mas de un modo posible de movimiento y es reducidomatematicamente a un sistema de un solo grado de libertad asumiendo su disposicion deformada,entonces la solucion de la ecuacion diferencial es solo una aproximacion del comportamiento dinamicoreal de este sistema.

La calidad de los resultados obtenidos con una aproximacion de un modelo de un solo grado delibertad depende de muchos factores, especialmente de la distribucion espacial y variacion temporalde la perturbacion aplicada, y de las propiedades inerciales, elasticas y de amortiguamiento del mediomaterial que compone el sistema en estudio. Si las propiedades fısicas del sistema restringen a que elmismo se mueva mas facilmente segun la configuracion asumida, y la excitacion aplicada es congruentecon una respuesta significativa segun esta deformacion; entonces la solucion del modelo de un solo gradode libertad probablemente sea una buena aproximacion, de otro modo el verdadero comportamientosera una pobre aproximacion al comportamiento dinamico verdadero. Una de las grandes desventajas dela aproximacion mediante modelos con un unico grado de libertad estriba en la dificultad de conseguiruna buena fiabilidad de los resultados obtenidos a partir de este modelo aproximado.

En general, la respuesta dinamica de un sistema complejo no puede ser descrita adecuadamente porun modelo de un solo grado de libertad; usualmente la respuesta incluye variaciones temporales de laforma del desplazamiento como tambien de su amplitud. Dicho comportamiento solo puede ser descritoen terminos de un numero multiple de coordenadas de desplazamiento; esto es, el movimiento debe serrepresentado por mas de un solo grado de libertad. Como fue especificado en el Capıtulo 1, los grados delibertad en un sistema de parametros dinamicos discretos pueden ser tomados como las amplitudes delos desplazamientos de ciertos puntos caracterısticos contenidos en el sistema o estructura, o puedenser coordenadas generalizadas que representen las amplitudes de una serie especificada de patronesde desplazamiento. En la presente discusion se adoptara el metodo de aproximacion de la geometrıaadoptada por el sistema durante su comportamiento dinamico oscilatorio; esto incluye ambos tipos deidealizacion que seran discutidas en el capıtulo presente: mediante el metodo de elementos finitos y deconcentracion de propiedades parametricas dinamicas.

7.3.1. Seleccion de grados de libertad

En el Capıtulo 2 se discutio brevemente el problema de hallar la solucion a los movimientos osci-latorios de una viga simplemente apoyada. Allı se mostro que si se elige en forma adecuada el gradode libertad relevante, y se realizan apropiadas estimaciones para la masa y rigidez equivalentes a estaspropiedades distribuıdas a lo largo de la viga, es posible calcular con gran exactitud la frecuenciafundamental de vibracion. Sin embargo, a partir de tal modelo no es posible evaluar los otros modosde vibrar que posee esta simple estructura; es decir, los llamados modos superiores de vibracion solopueden ser calculados a partir de modelos mas refinados, los cuales incluyan grados adicionales delibertad que permitan considerar modos o formas de vibracion adicionales.

En el caso de la viga simplemente apoyada, el proyectista puede sofisticar su modelo eligiendo gradosde libertad adicionales, tal como se muestra en la Figura 7.5. El procedimiento a seguir es suponer queel dominio de definicion del problema (la longitud total de la viga en este caso) puede ser discretizadoen una serie conjunta de sub–dominios de menor magnitud (segmentos de menor longitud), cuyonumero y eleccion dependera de los propositos del calculo. Al efectuar este procedimiento, se vera quesurgen puntos de relevancia, a los que se denominan nodos, que en el caso que estamos estudiando


Figura 7.5: Viga simplemente apoyada en movimiento vibratorio

corresponderıan a las secciones hipoteticas a traves de las cuales se efectuo la particion propuesta.Ası, el movimiento de esta simple estructura se asumira definida por los desplazamientos de esta

serie de puntos: υ1(t), υ1(t), . . . , υn(t) (n = 3 en nuestro caso). En principio, estos puntos puedenlocalizarse arbitrariamente sobre la estructura; en la practica, ellos deberıan ser asociados con com-portamientos especıficos de las propiedades fısicas que podrıan ser significativas, y deberıan estardistribuıdos para proveer una buena definicion de la deflexion dinamica υ(x, t). Debemos mencionar,sin embargo, que no se llega a una mayor exactitud con solo el simple hecho de aumentar los gradosde libertad del sistema en el proceso de su modelado, ya que es mucho mas importante la ubicacionde los puntos a los cuales estos desplazamientos estan asociados.

El numero de grados de libertad (componentes de desplazamiento) a ser considerados se deja adiscrecion del analista; un gran numero de ellos provee mejores aproximaciones al comportamientodinamico verdadero, pero en muchos casos se obtienen excelentes resultados con solamente dos o tresgrados de libertad. En la viga de la Figura 7.5 se ha asociado solo un desplazamiento (la deflexionvertical) a cada punto nodal. Deberıa notarse, sin embargo, que mas componentes de desplazamien-to podrıan ser identificados en cada punto nodal; e.g., la rotacion ∂υ(x, t)/∂x y el desplazamientohorizontal u(x, t) podrıan ser usados como grados de libertad adicionales en cada nodo. El vectordesplazamiento para el modelo postulado para la viga mostrada en la Figura 7.5, sera en este casoparticular:

〈υ| =υ1 υ2 υ3

y el modelo tendra tres grados de libertad, o sea el numero de coordenadas de desplazamiento conside-rado suficiente para definir la posicion generica instantanea de la viga durante la fase de su vibracion.

Figura 7.6: Modelo de analisis de vibracion de la viga

El paso subsiguiente en el proceso de modelado del sistema consistira en obtener los valores delas propiedades parametricas dinamicas asociadas a los puntos nodales y grados de libertad definidosasociados a ellos. En el caso que estamos analizando, podemos suponer que la masa distribuıda de cadasegmento se reparte en forma concentrada identica en cada uno de sus extremos, y ası se obtiene el valorde masa neta que se concentra en cada punto nodal. La rigidez de la viga, que esta distribuıda en todasu longitud puede repartirse de manera similar, concentrando cierta porcion en los puntos nodales


y dejando otra como manifestacion de la interaccion proveniente de la elasticidad de interconexionentre los nodos definidos a lo largo de la viga. Las propiedades de elasticidad del sistema (la viga, ennuestro caso) se calculan por un procedimiento estatico apelando a la definicion establecida para loscoeficientes de rigidez kij que relacionan las fuerzas actuantes con las deformaciones o desplazamientosproducidos: kij es la fuerza elastica correspondiente a la coordenada i, debido a un desplazamientounitario inducido en la coordenada j. La solicitacion distribuıda longitudinalmente aplicada, ası mismopuede ser concentrada como perturbacion de caracterıstica puntual actuante directamente sobre lospuntos nodales, como se muestra en la Figura 7.6. Si se asume el amortiguamiento presente en estesistema de magnitud despreciable, como resultado del procedimiento aquı descrito literalmente seobtendra la ecuacion gobernante del comportamiento dinamico de vibracion de la viga, la cual enterminos genericos da como resultado una ecuacion similar a la que se plantea a continuacion:m1 0 0

0 m2 00 0 m3

υ1

υ2

υ3

+

k11 k12 k13

k21 k22 k23

k31 k32 k33

υ1

υ2

υ3

=

P1(t)P2(t)P3(t)

o de modo simbolico, [M ] |υ(t)〉+ [K] |υ(t)〉 = |P(t)〉que tendra como solucion, especificadas las condiciones iniciales de movimiento, al vector desplaza-miento en su caracterıstica de variacion temporal: |υ(t)〉.

Este modelo puede ser mejorado aceptando que la masa de la viga, distribuıda en toda su longitud,produce transferencia de efectos inerciales desde cualquiera de los nodos considerados hacia todos losdemas contenidos en la estructura. Entonces parte de la masa de cada uno de los segmentos se concentraen sus puntos nodales extremos y la parte restante se mantiene entre los nodos como manifestacion dela interaccion de las propiedades inerciales existente entre ellos. Con esta metodologıa, resultara quela matriz de masa exhibira coeficientes no–nulos fuera de su diagonal principal, los cuales describen lainteraccion de tipo inercial existente entre los grados de libertad asociados a los nodos del sistema enanalisis.

En las secciones siguientes efectuaremos un analisis detallado para establecer la metodologıa ade-cuada que nos permita definir la descripcion correcta de las propiedades parametricas dinamicas queposee el sistema y como ellas se asocian a los diversos grados de libertad que sean utilizados en laelaboracion del modelo matematico de analisis.

7.3.2. Funciones de interpolacion

El conocimiento en un momento dado del vector desplazamiento no proporciona informacion adicio-nal acerca de lo que ocurre entre los tramos del sistema comprendidos entre dos componentes de dichovector. Para realizar estimaciones es preciso hacer hipotesis acerca de la deformacion del sistema bajoanalisis. Estas hipotesis, en forma analoga a lo que sucede en sistemas con un solo grado de libertad,equivale a asignar a cada grado de libertad una funcion adimensional de las coordenadas espaciales,de manera de expresar el movimiento del sistema como una combinacion lineal de dichas funciones.En el caso de la Figura 7.5 tendremos:

υ(x, t) = φ1(x)υ1(t) + φ2(x)υ2(t) + φ3(x)υ3(t) (7.11)

donde: υ(x, t) — desplazamiento transversal interno.

φi(x) — funciones de interpolacion.

υj(t) — grados de libertad (coordenadas geometricas).

Como es obvio, las funciones de interpolacion φi(x) tendran que cumplir condiciones en los extremosdel sistema y al interior de el; de manera de representar adecuadamente el campo de desplazamientos.Es facil ver que por ejemplo debera cumplirse:

φi(xj) = δij (7.12)


donde δij es la funcion delta de Kronecker, 4 y xj es la distancia desde el origen del sistema coordenado,hasta la coordenada υj .

7.3.3. Construccion del modelo

Para obtener las caracterısticas estructurales del modelo, seguiremos un procedimiento analogo alutilizado para los sistemas con un solo grado de libertad; es decir, el modelo debera ser capaz dealmacenar la misma cantidad de energıa que el prototipo. Sin embargo, con el proposito de avanzargradualmente hacia el manejo de sistemas con multiples grados de libertad, sera necesario introduciralgunas definiciones y establecer algunas simplificaciones en el tratamiento de esta tematica.

(a) Diagrama esquematico (b) Elemento tıpico componente

Figura 7.7: Estructura tipo cercha triangular

En la Figura 7.7(a) se muestra un reticulado plano triangular, donde se especifican los movimientosposibles en cada nudo de inter–conexion. Estos desplazamientos estan referidos a un mismo sistema decoordenadas (el sistema X–Y ), que se usa para la descripcion de comportamiento de toda la estructurapor lo que este sistema es denominado sistema coordenado global, y los desplazamientos indicados seranentonces los grados de libertad globales. Un analisis dinamico del sistema no parece ser simple a primeravista; aunque efectivamente esta no es la situacion. Es posible realizar el analisis desde una perspectivasistematica y relativamente sencilla. Para lograr tal proposito deberemos, sin embargo, suponer laestructura total como un ensamble de un conjunto de elementos rectilıneos, denominados “barras”,como el mostrado en la Figura 7.7(b). Si logramos definir las propiedades deseadas para este elementotıpico, y luego a partir de estas propiedades obtener las propiedades de todo el sistema o estructura,habremos logrado nuestro proposito.

El primer paso es definir un sistema de coordenadas para cada elemento, adecuado al estado deesfuerzos internos y desplazamientos posibles; este sistema sera llamado sistema de coordenadas locales.Ası por ejemplo, para la barra del reticulado triangular, el cual se muestra en la Figura 7.7(b), el sistemade coordenadas esta dado por una lınea coincidente con su eje longitudinal que tiene origen en uno delos extremos, y los desplazamientos posibles o grados de libertad locales tendran que estar referidos aeste sistema. Recuerdese que las barras de un reticulado solo soportan esfuerzos internos, y tambientensiones, de tipo normal.

Cuando ya se han establecido las coordenadas locales para el elemento tıpico componente delsistema, debemos definir el campo de desplazamientos internos en el mismo; y luego, establecer laspropiedades dinamicas parametricas de su comportamiento oscilatorio. Esto nos permitira escribir laecuacion gobernante de dicho comportamiento para este sub–sistema componente de la totalidad departes en las cuales se ha discretizado o subdividido el sistema original.

De modo final, ahora se puede apelar al principio general de superposicion bajo la premisa que elcomportamiento dinamico de todo el sistema o estructura es la suma simbolica de los comportamientosde sus partes o elementos componentes, procedimiento conocido con el nombre de ensamble del sistemael cual reproduce el comportamiento de la globalidad de las partes ya interconectadas como en el

4 La funcion delta de Kronecker, a menudo tambien llamada funcion ındice, se define como: δij =

1 si i=j

0 si i 6=j


sistema original del cual se partio en el analisis mediante un proceso de discretizacion. Este pasoultimo permite establecer la ecuacion gobernante del comportamiento dinamico del sistema duranteel movimiento de oscilacion producido, la cual se obtiene superponiendo las ecuaciones de movimientode las partes que componen dicho sistema (las cuales son conocidas en un paso previo de analisis).Esta ecuacion representa al modelo matematico de analisis elaborado para describir la dinamica demovimiento oscilatorio del sistema que es de nuestro interes.

La solucion de esta ecuacion, que precisa del conocimiento de las condiciones iniciales de movimien-to, provee las relaciones funcionales que describen las variaciones que sufren las diversas coordenadasde desplazamiento identificadas para el sistema (o grados de libertad) en el transcurrir del tiempo,mientras el mismo se encuentre en movimiento vibratorio.

Propiedades inerciales

Sea un elemento estructural cualquiera, como el elemento rectilıneo tıpico viga (que es un segmentode este tipo de estructura) en el cual se han definido sus grados de libertad locales, referido a su propiosistema coordenado o de elemento (sistema coordenado local); que tiene masa distribuıda m(x) yrigidez flexionante EI(x) distribuıdas a lo largo de su longitud L, como mostramos en la Figura 7.8.

Figura 7.8: Elemento tıpico viga (sometido a flexion)

Con el objetivo de simplificar el tratamiento, supongamos ademas que el campo de desplazamientosal interior del elemento es unidimensional; ası por ejemplo: la deflexion transversal en una viga, o eldesplazamiento axial en un elemento sometido solo a esfuerzo normal (un elemento barra). Entoncespodemos escribir para el caso general de este tipo:

υ(x, t) =

n∑i=1

φi(x)δi(t) = 〈φ| |δ〉 = 〈δ| |φ〉 (7.13)

donde δi (i = 1;n) son los grados de libertad nodales locales y φi (i = 1;n) son las funciones deinterpolacion, con n como numero total de grados de libertad de elemento.

La energıa cinetica elemental de una porcion diferencial del elemento prototipo que tratamos sera:

dTp = 12 (dm) υ2(x, t) = 1

2 [m(x)dx] υ2(x, t)

e integrando sobre toda la longitud, la energıa cinetica del elemento resulta,

Tp = 12

∫ L

0

m(x) υ2(x, t) dx (7.14)

Si el modelo pretende representar las propiedades del prototipo, debe tener la capacidad de almace-nar la misma cantidad de energıa. Ademas que los parametros a encontrarse deberan estar relacionadosdirectamente con las posiciones y direcciones de los desplazamientos o grados de libertad elegidos pa-ra representar su comportamiento. Es decir, las propiedades de inercia deberan concentarse en estospuntos a partir del hecho de aceptar que el prototipo tiene la inercia distribuıda. Asumiendo que laEcuacion (7.13) da la descripcion correcta del campo de desplazamientos internos, tendremos:

υ(x, t) =

n∑i=1

φi(x)δi(t) = 〈φ| |δ〉 = 〈δ| |φ〉 (7.15)


Reemplazando en la Ecuacion (7.14), la misma resulta:

Tp = 12

∫ L

0

〈δ| |φ〉 m(x) 〈φ| |δ〉 dx

Tp = 12 〈δ|

∫ L

0

|φ〉 m(x) 〈φ| dx |δ〉 (7.16)

Para el modelo, en virtud de un razonamiento completamente analogo, la energıa cinetica acumu-lada es:

Tm = 12

n∑i,j=1

mij δiδj = 12 〈δ| [M ] |δ〉 (7.17)

siendo n el numero de desplazamientos locales de elemento, y [M ] matriz cuadrada de dim(n×n). Larepresentacion de la energıa cinetica en la forma establecida en la Ecuacion(7.17) es posible gracias aque por ser esta propiedad una forma cuadratica, puede asociarse a ella una matriz definida positivaque representa la transformacion lineal efectuada sobre el vector velocidad de los grados de libertadlocales.

Si el modelo representa fielmente al prototipo, las energıas cineticas acumuladas en ambos debe seridentica Tp = Tm, y por comparacion de las Ecuaciones (7.16) y (7.17) resulta:

[M ] =

∫ L

0

|φ〉 m(x) 〈φ| dx (7.18)

Esta ecuacion define a la llamada matriz de masa local de elemento, o con mas generalidad matrizde masa local consistente, por estar deducida en base al campo de desplazamientos internos y serconsistente con el mismo; y como todo arreglo de este tipo, estara referida a un sistema de coordenadas(en este caso particular, el sistema de coordenadas local o propio del elemento). Ademas, debemosaquı mencionar que esta relacion es completamente general y nos sirve para evaluar la matriz de masade cualquier elemento componente de un sistema que haya sido discretizado mediante un hipoteticoprocedimiento de particion material.

Ejemplo 7.3. En la Figura 7.9 mostramos un elemento tıpico barra, componente de una estructuracercha, el cual tiene masa distribuıda a lo largo de su longitud en modo uniforme con magnitudinvariable conocida. Determinar la matriz de masa local consistente que describe sus propiedadesinerciales.

Figura 7.9: Elemento tıpico barra (en solicitacion axial)

> Solucion

Si llamamos δ(x) al desplazamiento longitudinal instantaneo de cualquier seccion transversal internade este elemento, podemos suponer que su variacion es lineal con la posicion espacial que esta seccionocupa a lo largo de la longitud; por tanto:

δ(x) = a0x+ a1


donde a0 y a1 son constantes de inicio indeterminadas, que se evaluan con las condiciones de bordeextremo siguientes:

δ(x = 0) = δ(0) = δ1 , δ(x = L) = δ(L) = δ2

Utilizando estas condiciones y evaluando las constantes, obtenemos como resultado:

a0 =δ2 − δ1

L, a1 = δ1 ⇒ δ(x) =

δ2 − δ1

Lx+ δ1

ordenando,δ(x) =

(1− x

L

)δ1 +

( xL

)δ2 = φ1 x1 + φ2 x2

Aquı identificamos las funciones de interpolacion como:

φ1(x) = 1− x

L, φ2(x) =

x

L

y, podemos escribir:δ(x) =

φ1 φ2

δ1

δ2

= 〈φ| |δ〉

Si ahora reemplazamos en la Ecuacion (7.18),

[M ] =

∫ L

0

φ1

φ2

m(x)

φ1 φ2

dx =

∫ L

0

1− x

LxL

m0

1− x

LxL

dx

[M ] =

∫ L

0

[ (1− x

L

)2 (1− x

L

) (xL

)(xL

) (1− x

L

) (xL

)2]dx =

m0L

6

[2 11 2

]Observese que [M ] es matriz simetrica, y que m0L es la masa total del elemento barra.

>

Propiedades elasticas

En un sistema o estructura real, las propiedades elasticas estan distribuıdas en el ambito espacialocupado por el medio material bajo analisis. Cualquier deformacion del elemento supone asociar con elmismo un valor llamado energıa de deformacion. para cuerpos elasticos y lineales su calculo dependede los esfuerzos actuantes y desplazamientos interiores existentes en el manejo de su deformacion. Enparticular, si la relacion de dependencia tension–deformacion unitaria sigue una funcion lineal como loprescribe la ley de Hoocke, la energıa de deformacion elastica para el prototipo o sistema real, puedeser escrita como:

Up = 12

∫V

〈σ||ε〉 dV = 12

∫V

〈ε||σ〉 dV (7.19)

donde |σ〉 es el vector de tensiones internas y |ε〉 el vector de deformaciones unitarias. La integral tienecomo dominio de definicion el volumen involucrado, y el factor 1/2 que precede a la formula provienedel hecho de suponer que los desplazamientos se producen gradualmente a medida que cargas actuantesse aplican tambien gradualmente hasta alcanzar sus valores de magnitud final. Esta expresion de laenergıa de deformacion elastica interna, llamada tambien energıa potencial de deformacion, es muygeneral para nuestros propositos y sera llevada a formas especıficas segun sea necesario acorde con losdiversos tipos de elementos existentes para el analisis de sistemas vibratorios de parametros dinamicosdistribuıdos.

El proceso de evaluar las propiedades elasticas del modelo es analogo al proceso utilizado para eva-luar las propiedades de inercia. El razonamiento usado es el mismo; es decir, pretendemos representarel comportamiento elastico del prototipo a traves de relaciones elasticas que liguen desplazamientos yfuerzas aplicadas en las coordenadas elegidas. Para tal efecto, imponemos nuevamente la condicion de


que la capacidad de almacenamiento de energıa potencial de deformacion en este caso, debe ser igualpara prototipo y modelo. Para el modelo podemos escribir por lo tanto:

Um = 12

n∑i,j=1

kijδiδj = 12 〈δ|[K]|δ〉 (7.20)

siendo n el numero de desplazamientos locales de elemento, y [K] matriz cuadrada de dim(n×n) quees denominada matriz de rigidez local consistente de elemento. La representacion matricial es correctadebido a que la energıa potencial de deformacion elastica responde a una forma cuadratica.

Manteniendo la restriccion de representar el campo de desplazamientos internos en forma unidi-mensional como se explico anteriormente, tendrıamos:

υ(x, t) =

n∑i=1

φi(x)δi(t) = 〈φ||δ〉 = 〈δ||φ〉

De la mecanica de solidos basica sabemos ademas que el campo de deformaciones unitarias se puedeobtener a partir del campo de desplazamientos por medio de un operador diferencial; es decir,

ε(x, t) = L(D)υ(x, t) (7.21)

donde L(D) es el operador diferencial pertinente al tipo de comportamiento dinamico que esta siendoanalizado.

Reemplazando relaciones apropiadas, que fueron establecidas previamente, 5

ε(x, t) = L(D)〈φ||δ〉 = 〈ψ||δ〉 = 〈δ||ψ〉

donde L(D)〈φ| = 〈ψ| es el vector gradiente espacial de las funciones de interpolacion. Si ahora supo-nemos una relacion generalizada lineal tension–deformacion unitaria, como predice la ley de Hoocke,se podra establecer:

|σ〉 = [D]|ε〉 (7.22)

donde [D] es la matriz de propiedades elasticas del elemento, que esta definida en base a los coeficientesde elasticidad lineal E, transversal G y el coeficiente de Poisson ν, la cual generalmente se considera quees matriz de coeficientes constantes. Utilizando esta relacion para la energıa de deformacion elasticadel prototipo, reemplazando en la Ecuacion (7.19) tendrıamos lo siguiente:

Up = 12

∫V

〈ε|[D]|ε〉 dV

Up = 12 〈δ|

∫V

|ψ〉[D]〈ψ| dV |δ〉 (7.23)

Por comparacion de las Ecuaciones (7.20) y (7.23), que equivale a igualar las energıas de deformacionelastica de modelo y prototipo, rapidamente se deduce que:

[K] =

∫V

|ψ〉[D]〈ψ| dV (7.24)

Esta relacion define la llamada matriz de rigidez local consistente de elemento, y la misma sera simetricası y solamente si [D] es matriz simetrica; lo que usualmente ocurre si el elemento es linelamente elastico

5 Cuando se considera la condicion de analisis unidimensional del comportamiento dinamico del elemento, no existeincongruencia al establecer que: ε(x, t) = |ε(x, t)〉, pues en este caso muy particular el vector tendra un unico coeficienteque lo define !.


e isotropo (es decir, que el material tiene propiedades elasticas identicas segun todas las direccionesespaciales posibles).

Es evidente que la Ecuacion (7.24) es demasiado general para nuestros propositos, y su evaluacionpuede simplificarse si partimos de expresiones de energıa del prototipo menos generales; es decir, ex-presiones que consideren solamente las formas de energıa mas significativas presentes en el elemento,las que obviamente estan relacionadas con el tipo o tipos de esfuerzos internos que contribuyen ma-yormente a la deformacion del elemento. Con el proposito de ilustrar las aplicaciones de la Ecuacion(7.24), veamos el siguiente ejercicio.

Ejemplo 7.4. Considere el elemento simplificado viga (no se consideran los desplazamientos trans-versales de sus extremos) mostrado en la Figura 7.10, al que comunmente se lo denomina “elementotıpico viga contınua”. Determinar la matriz de rigidez local consistente para este elemento particular,suponiendo el coeficiente de rigidez flexionante EI de valor constante.

Figura 7.10: Elemento simplificado viga (en flexion)

> Solucion

En la Figura mostramos los grados de libertad nodales locales que consideraremos en el analisis (lasrotaciones en los extremos del elemento).

El primer paso es hallar las funciones de interpolaciona asociadas a los grados de libertad estableci-dos. Nuestra experiencia en mecanica de materiales basica nos permite suponer a la deflexion verticalcomo una funcion cubica de la coordenada espacial posicional; entonces postulamos:

υ(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3

donde aj (j=0; 3) son constantes indeterminadas, que pueden ser evaluadas aplicando las condicionesde borde extremo:

υ(0) = 0 , υ(L) = 0 , υ′(0) = δ1 , υ′(L) = δ2

Aplicando las condiciones anteriores, obtenemos el siguiente sistema simultaneo de ecuaciones:

0 = a0

0 = a0 + a1L+ a2L2 + a3L

3

δ1 = a1

δ2 = a1 + 2a2L+ 3a3L2

que como puede comprobarse, tiene como solucion:

a0 = 0 , a1 = δ1 , a2 = − 2δ1

L− δ2

L, a3 =

δ1

L2+δ2

L2

entonces, υ(x) = δ1x−(

2δ1L + δ2

L

)x2 +

(δ1L2 + δ2

L2

)x3

Factorizando los grados de libertad nodales locales del elemento, obtenemos:

υ(x) = x(

1− x

L

)2

δ1 +x2

L

( xL− 1)δ2


Aquı se reconoce facilmente que las funciones de interpolacion asociadas son:

φ1(x) = x(

1− x

L

)2

y φ2(x) =x2

L

( xL− 1)

El siguiente paso es definir el campo de deformaciones unitarias a partir del campo de desplaza-mientos. Para una viga donde usualmente se desprecian las deformaciones debidas al esfuerzo cortanteinterno, con reducido error se considera como unico esfuerzo interno al momento flector, y como defor-maciones unitarias las curvaturas correspondientes; porque el desplazamiento se considera la rotacionangular o pendiente de la deformacion. Entonces de la teorıa de flexion tenemos:

M(x) = EIdθ

dx= EIε

donde,ε ∼= υ′′ =

d2υ

dx2= 〈φ′′||δ〉 = 〈ψ||δ〉

Ademas, [D] = EI sera la matriz de propiedades elasticas en este caso. Reemplazando en laEcuacion (7.24), tendremos:

[K] =

∫ L

0

|φ′′〉EI〈φ′′| dx

donde el vector (fila) de las derivadas segundas de las funciones de interpolacion estara definido como:

〈φ′′| =φ′′1 φ′′2

=

6xL2 − 4

L6xL2 − 2

L

Reemplazando, haciendo operaciones y factorizando terminos constantes,

[K] = EI

∫ L

0

[ (6xL2 − 4

L

)2 (6xL2 − 4

L

) (6xL2 − 2

L

)(6xL2 − 2

L

) (6xL2 − 4

L

) (6xL2 − 4

L

)2]dx

[K] =2EI

L

[2 11 2

]Observese que si en la Ecuacion (7.19) hacemos: 〈σ| = M y |ε〉 = M/EI, entonces:

Up = 12

∫ L

0

M2

EIdx

que es la conocida formula para la energıa de deformacion por flexion de una viga recta, la cual seaprende en el curso de mecanica de materiales basica. >

El ejemplo anterior nos ilustro el poder del metodo expuesto; es decir, es posible desde el punto devista teorico, formular las propiedades elasticas de un elemento con solo una expresion de tipo general.En particular,

[K] =

∫ L

0

|φ′′〉EI〈φ′′| dx (7.25)

es la formula con la cual se puede determinar la matriz de rigidez local de un elemento viga sometidoa flexion. De la misma forma, la relacion

[K] =

∫ L

0

|φ′〉EA〈φ′| dx (7.26)

servira para calcular la matriz de rigidez local de un elemento barra sometido a solicitacion de esfuerzonormal de sentido axial. Tome en cuenta que mientras la Ecuacion (7.25) involucra las derivadasespaciales segundas de las funciones de interpolacion, la Ecuacion (7.26) involucra solamente a laprimera derivada, porque ?.


Propiedades disipativas

La disipacion de energıa como fenomeno presente en todo movimiento de un sistema mecanicoque tiene la capacidad de vibrar es suceptible tambien de ser modelada. Obviamente el modelo debeser evaluado a partir de ciertas hipotesis. De los distintos tipos de eleccion posibles, elegiremos paranuestro desarrollo el modelo viscoso, siendo los motivos de esto los mismos que establecimos para lossistemas con un solo grado de libertad.

Definamos previamente la siguiente funcion (para un prototipo con campo de desplazamientosunidimensional)

Rp = 12

∫ L

0

v2(x, t) c(x) dx (7.27)

donde v es la velocidad instantanea de movimiento, y c(x) el coeficiente de amortiguamiento espa-cialmente distribuıdo. Esta relacion matematica recibe el nombre de funcion de disipacion energeticade Raleigh, y mide el monto de energıa que desecha el sistema hacia el medio circundante durantesu movimiento oscilatorio. Si el prototipo tiene varios grados de libertad, es posible generalizar laEcuacion (8.25) para el modelo como sigue:

Rm = 12

n∑i,j=1

cij δiδj = 12 〈δ|[C]|δ〉 (7.28)

donde [C] es la matriz de amortiguamiento local que pretendemos evaluar. Nuevamente, nos esta-mos enfrentando a una forma cuadratica que admite representacion matricial, como la que es esta-blecida mediante la Ecuacion (7.28) que en realidad representa al trabajo efectuado por las fuerzasno–conservativas provenientes de la propiedad de amortiguacion del modelo que representa al sistema.

Utilizando nuevamente la suposicion de unidimensionalidad del campo de desplazamiento, tendre-mos que:

υ(x, t) = 〈φ(x)||δ(t)〉 = 〈φ||δ〉 = 〈δ||φ〉

de donde la velocidad resulta,v = υ(x, t) =

∂υ

∂t= 〈φ||δ〉 = 〈δ||φ〉 (7.29)

Reemplazando en la Ecuacion (8.25), obtenemos para el prototipo,

Rp = 12

∫ L

0

〈δ||φ〉 c(x) 〈φ||δ〉 dx = 12 〈δ|

∫ L

0

|φ〉 c(x) 〈φ| dx |δ〉

Imponiendo nuevamente la condicion de igualdad de la cantidad de energıa disipada para modelo yprototipo; es decirRp = Rm, obtenemos para la matriz de amortiguamiento asociada a las coordenadaslocales del elemento:

[C] =

∫ L

0

|φ〉 c(x) 〈φ| dx (7.30)

Esta relacion puede utilizarse para calcular las propiedades disipativas de energıa de un elementocon campo de desplazamientos unidimensional. Se alerta, sin embargo, sobre el hecho de que en lapractica la evaluacion de la matriz de amortiguamiento se la realiza en forma indirecta, por las dife-rentes alternativas de calculo existentes, y la dificultad de conocer la distribucion espacial exacta delamortiguamiento presente en el sistema o estructura real.

Ejemplo 7.5. Considere nuevamente el elemento viga recta sometido a esfuerzo flexionante, tratadoen el Ejemplo 7.4 anteriormente resuelto. Suponga que el coeficiente de amortiguamiento tiene distri-bucion espacial constante a lo largo de la longitud de este segmento de viga: c(x) = c0 cte. Determinarla matriz de amortiguamiento local correspondiente.


> Solucion

Aquı el problema se reduce a la evaluacion de la Ecuacion (7.30), para lo cual incluso disponemos delas funciones de interpolacion ya evaluadas en el anterior ejemplo resuelto.

φ1(x) = x(

1− x

L

)2

y φ2(x) =x2

L

( xL− 1)

Entonces,[C] =

∫ L

0

|φ〉 c(x) 〈φ| dx =

∫ L

0

φ1

φ2

c0

φ1 φ2

dx

[C] = c0

∫ L

0

[x2(1− x

L

)4 −x3

L

(1− x

L

)3−x

3

L

(1− x

L

)3 x4

L2

(xL − 1

)2]dx

Efectuando las integraciones indicadas, obtenemos finalmente:

[C] =c0L

3

420

[4 −3−3 4

]>

El resultado obtenido para la matriz de amortiguamiento del elemento simplificado viga, llamadotambien elemento viga contınua, nos muestra que el arreglo es simetrico; lo cual es caracterıstica propiade un material homogeneo e isotropo.

Solicitacion externa equivalente

Hasta ahora hemos concentrado nuestra atencion en discretizar las propiedades dinamicas de loselementos componentes de un sistema o estructura; esto en una seccion posterior nos permitira escribirlas ecuaciones de movimiento referidas al sistema local coordenado o propio del elemento. Al contenerestas ecuaciones terminos provenientes de la perturbacion externa actuante, se hace necesario encon-trar procedimientos que nos permitan discretizar cualquier distribucion de carga que actue sobre elelemento, al igual como discretizamos las propiedades de inercia, elasticidad y amortiguamiento. Estopuede llevarse a cabo siguiendo el mismo punto de vista utilizado anteriormente; es decir, igualandoen prototipo y modelo, el trabajo mecanico de las cargas reales actuantes sobre el sistema o estructuray las cargas equivalentes a ser introducidas en el modelo de analisis, en este caso.

Si llamamos, Wm = 12 eq〈P ||δ〉 = 1

2 〈δ||P 〉eq (7.31)

al trabajo mecanico realizado por las cargas equivalentes en el modelo; este tendra que ser igual altrabajo mecanico realizado por las cargas reales aplicadas sobre el prototipo. El coeficiente 1/2 seincorpora en esta relacion por el hecho de suponer que la relacion carga–deformacion sigue una leylineal.

Figura 7.11: Elemento sometido a carga transversal

En la Figura 7.11 mostramos un elemento rectilıneo (segmento de una viga), la cual esta sometidoal efecto de una carga linealmente distribuıda transversal q(x, t) la cual produce la defoemacion delelemento. La deformacion interna se especifica mediante el apropiado campo de desplazamientos υ(x, t).


El trabajo mecanico elemental en el prototipo causado por la carga aplicada esta definido como:

dWp = 12 dF υ = 1

2 q(x, t)dx υ(x, t)

Esto manteniendo la hipotesis de unidimensionalidad en el campo de desplazamientos internos en elprototipo. Integrando sobre toda la longitud de este elemento, se obtiene el trabajo mecanico realizadopor la carga externa sobre el prototipo,

Wp = 12

∫ L

0

q(x, t) υ(x, t) dx (7.32)

El campo de desplazamientos interno en el elemento es aproximado mediante apropiadas funcionesde interpolacion segun:

υ(x, t) = 〈φ(x)||δ(t)〉 = 〈δ(t)||φ(x)〉

Ahora, reemplazando en la Ecuacion (7.32)

Wp = 12

∫ L

0

q(x, t) 〈δ||φ〉 dx

Wp = 12 〈δ|

∫ L

0

q(x, t) |φ〉 dx (7.33)

Si el modelo es fiel representacion del prototipo, entonces el trabajo mecanico realizado por laperturbacion externa debe ser el mismo. Entonces, igualando las Ecuaciones (7.31) y (7.33), se obtiene:

|P 〉eq =

∫ L

0

q(x, t) |φ(x)〉 dx (7.34)

que es el vector de cargas equivalentes, y cuyas componentes tienen la posicion y direccion de lascorrespondientes coordenadas o grados de libertad del elemento.

Ejemplo 7.6. Consideremos nuevamente el elemento simplificado viga, el cual esta sometido a unacarga axialmente distribuıda de variacion lineal como indica la Figura 7.12(a), donde la misma tienecaracterıstica de variacion temporal armonica con frecuencia conocida. Si q0 denota a la amplitudmaxima de carga, la cual tiene variacion cosenoidal en el tiempo; determinar las cargas nodales localesequivalentes asociadas a los grados de libertad mostrados (rotaciones en ambos extremos).

(a) Esquema de la solicitacion (b) Cargas (momentos) nodales equivalentes

Figura 7.12: Elemento simplificado viga y solicitacion externa

> Solucion

La carga linealmente distribuıda aplicada se describe mediante:

q(x, t) = − q0

x

Lcos Ωt


la cual como puede comprobarse cumple las condiciones que se muestran implıcitamente en el esquemade solicitacion del elemento viga: q(0, t) = 0 q(L, t) = − q0 cos Ωt. El signo negativo proviene delsentido que posee la carga aplicada (convencionalmente se asumio como positivo el sentido de ladireccion vertical – hacia arriba: ↑+).

Las cargas equivalentes seran evaluadas aplicando la Ecuacion (7.34), para lo cual recordamos quelas funciones de interpolacion asociadas a los grados de libertad indicados son:

φ1(x) = x(

1− x

L

)2

y φ2(x) =x2

L

( xL− 1)

|P 〉eq =

∫ L

0

q(x, t) |φ(x)〉 dx = − q0 cos Ωt

∫ L

0

x

L

x(1− x

L

)2x2

L

(xL − 1

) dx

Realizando las integraciones indicadas en la ecuacion anterior, se obtiene como resultado:

|P 〉eq =

P1eq

P2eq

=q0L

2

60cos Ωt

−23

Estas cargas de tipo equivalente a la original, seran las que actuen en los puntos nodales del modelode elemento que fue puesto en analisis.

Lar cargas nodales locales obtenidas como resultado se muestran en la Figura 7.12(b), donde seasume como sentido positivo para los momentos encontrados el sentido horario: x

+ , en congruencia alo aceptado para los desplazamientos angulares. >

Debemos notar que las cargas equivalentes, relacionadas al sistema coordenado local o propio delmismo elemento, estaran asociados a los grados de libertad definidos para el mismo porque son calcu-ladas en base a las funciones de interpolacion referidos a estos desplazamientos. En el ejemplo anterior,los desplazamientos considerados eran rotaciones o deformaciones angulares, y por ello debe resultarque las cargas equivalentes sean cuplas o momentos de tipo flexionante; como se puede comprobarfacilmente efectuando una simple verificacion de dimensionalidad de los resultados obtenidos.

Ecuacion local de movimiento

Estamos ahora en condiciones de escribir la ecuacion de movimiento de un elemento componentedel sistema o estructura en su forma discretizada y referida al sistema coordenado local. Previamentedebemos postular algunas hipotesis adicionales que nos permitan relacionar las fuerzas que intervienenen la dinamica de movimiento, con las deformaciones o desplazamientos producidos durante la oscila-cion. Estas hipotesis ya utilizadas anteriormente no son mas que la ley de Hoocke, la segunda ley deNewton, y la ley de amortiguamiento viscoso; matematicamente:

|Fk〉e = [K]|δ〉 (7.35a)

|Fc〉e = [C]|δ〉 (7.35b)

|Fi〉e = [M ]|δ〉 (7.35c)

donde el subındice ‘e’ se refiere a un elemento individual generico componente del sistema bajo estudio.Entonces, en un cuerpo en movimiento y segun el principio de D’Alembert el conjunto de fuerzas

que actuan sobre el, inclusive las cargas aplicadas, deben mantenerse en equilibrio; o de modod equi-valente podemos decir que la resultante de fuerzas debe ser nula, o tambien que el conjunto de lasfuerzas internas al sistema deben equilibrarse dinamicamente con la solicitacion externa. Aplicandoeste principio, en nuestro elemento en particular, tendremos:

|Fi〉e + |Fc〉e + |Fk〉e − |P eq〉e = 0 (7.36)


Reemplazando las Ecuaciones (7.35), y desechando el subındice identificatorio de elemento, se obtiene:

[M ]|δ〉+ [C]|δ〉+ [K]|δ〉 = |P 〉eq (7.36a)

que es la ecuacion de movimiento para el elemento, en su forma discretizada. Observese su similaridadcon la Ecuacion 2.1 de movimiento para un sistema de un grado de libertad, y tambien con la Ecua-cion (7.10) que gobierna el comportamiento dinamico de una estructura o sistema completo de variosgrados de libertad.

Ejemplo 7.7. En la Figura 7.13 se muestra una viga empotrada en un extremo y articulada fijamenteen el otro, ademas de poseer un apoyo de rodillo intermedio (esta es una tıpica viga contınua). Estaestructura tiene propiedades materiales y geometricas conocidas; la cual esta sometida a la solicitacionexterna mostrada, de parametros determinados. Hallar la ecuacion de movimiento del segmento cargadomediante la fuerza linealmente distribuıda de variacion triangular.

Figura 7.13: Viga contınua y solicitacion aplicada

> Solucion

Supondremos que la estructura fue discretizada mediante dos elementos que aparecen contiguos. Losgrados de libertad asignados a cada uno de ellos son los mostrados en la figura, donde el desplazamientoangular central es grado de libertad compartido por ambos elementos.

Las propiedades inerciales, traducidas en la matriz de masa de elemento, pueden ser evaluadaspor aplicacion de la Ecuacion (7.18). Las funciones de interpolacion del elemento considerados sonya conocidas,

φ2(x) = x(

1− x

L

)2

y φ3(x) =x2

L

( xL− 1)

que en este caso estan siendo asociadas a los grados de libertad pertinentes para este elemento. Sireemplazamos en la relacion matematica que define la matriz de masa, tendremos:

[M ] =

∫ L

0

|φ〉 m(x) 〈φ| dx = m0

∫ L

0

x(1− x

L

)2x2

L

(xL − 1

) x (1− xL

)2 x2

L

(xL − 1

)dx

multiplicando,[M ] = m0

∫ L

0

[x2(1− x

L

)4 − x3

L

(1− x

L

)3− x3

L

(1− x

L

)3 x4

L2

(xL − 1

)2]dx

e integrando,[M ] =

m0L3

420

[4 −3−3 4

]Este resultado pudo haber sido obtenido mas facilmente por analogıa de definicion con la matriz deamortiguamiento (para ello, compare las Ecuaciones (7.18) y (7.30) que presentan diferencia en unsolo termino).

Las propiedades dispativas de energıa ya fueron evaluadas en el Ejemplo 7.5, a traves de la matrizlocal de amortiguamiento, la cual recordamos que es en este caso:

[C] =c0L

3

420

[4 −3−3 4

]


Las propiedades de elasticidad fueron calculadas en el Ejemplo 7.4, mediante la correspondientematriz de rigidez local de elemento, la cual re–escribimos aquı:

[K] =2EI

L

[2 11 2

]Las cargas nodales equivalentes a la carga linealmente distribuıda de variacion triangular actuante

al interior de este elemento componente de la estructura fueron determinadas en el Ejemplo 7.6. ComoUsted puede verificar, el resultado obtenido en el ejemplo mencionado era:

|P 〉eq =q0L

2

60cos Ωt

−23

Con todos los calculos previos, estamos en capacidad de escribir la ecuacion gobernante del com-

portamiento dinamico vibracional del elemento considerado, referido a su propio sistema coordenadoo sistema local que tiene origen en el extremo izquierdo del elemento. En la Figura 7.13 mostramos elsistema coordenado global X–Y al cual se refiere el comportamiento dinamico de toda la estructura,ası como tambien el sistema coordenado local x al que referimos el comportamiento dinamico del seg-mento de viga que consideramos como elemento en este ejemplo. De acuerdo con la Ecuacion (7.36a),la ecuacion diferencial matricial que gobierna el comportamiento vibratorio del elemento es:

[M ]|δ〉+ [C]|δ〉+ [K]|δ〉 = |P 〉eq

que desarrollada en todos sus terminos resulta en este caso,

m0

m0L3

420

[4 −3−3 4

]δ2

δ3

+c0L

3

420

[4 −3−3 4

]δ2

δ3

+

2EI

L

[2 11 2

]δ2

δ3

=q0L

2

60cos Ωt

−23

en virtud que el vector de grados de libertad locales de este elemento esta definido por el ordenamiento

de coeficientes siguiente: |δ〉e =δ2δ3

.

Resulta relevante el hecho que segun la ecuacion de movimiento obtenida, los grados de libertadestan completamente acoplados dinamicamente: el comportamiento dinamico del grado de libertad δ3

afecta el movimiento del grado de libertad δ2 (primera ecuacion del desarrollo de la ecuacion diferencialmatricial anterior); y viceversa (segunda ecuacion). >

Para completar el analisis de comportamiento dinamico de toda la viga continua, tomada comoestructura, habra que escribir una ecuacion similar la cual sea valida para el primer tramo de la vigaque es el otro elemento componente; y luego superponer ambas ecuaciones para obtener la ecuacionglobal valida para el sistema entero. Esta complementacion teorica sera desarrollada en una seccionsiguiente.

Matriz de masa no–consistente

A lo largo de todo el desarrollo anterior se han mostrado las posibilidades que existen de formular unmodelo basado en una equivalencia energetica. Los distintos parametros encontrados fueron derivadosa partir de un mismo campo de desplazamiento, y en este sentido pueden llamarse consistentes. Estaaproximacion nos permite considerar dentro el modelo todas las interacciones entre las diferentescoordenadas del elemento; esto se ve claramente en la matriz de masa donde los elementos fuera dela diagonal principal representan tal interaccion. Si bien el uso de este tipo de modelos lleva a unarepresentacion ‘mas exacta’, no es menos cierto que su uso lleva a mas complicaciones de tipo numericoen el momento de realizar los calculos. En este sentido, existe la posibilidad de utilizar una formulacionalternativa para la obtencion de la matriz de masa, como se describe a continuacion.

Consideremos el elemento de la Figura 7.14, suponiendo que solo tiene los grados de libertadmostrados. Ademas supongamos que la masa distribuıda espacialmente m(x) = m0 es de magnitud

7.4. PROPIEDADES DEL SISTEMA 213

Figura 7.14: Elemento con masa propia y su representacion inercial

invariable en toda la longitud; entonces la masa neta o total del elemento sera: m = m0L. Ahoraconcentremos una parte esta masa en un extremo, y la parte sobrante en el otro. En el caso hipoteticoque nos atane, el resultado serıa: m1 =m2 = m0L/2; es decir que repartimos la masa en los grados delibertad en montos identicos como se muestra en la Figura 7.14.

Con las consideraciones previas, la matriz de masa de elemento resultara ser:

[M ] =

[m1 00 m2

]=m0L

2

[1 00 1

]una matriz diagonal, debido a que una fuerza en una de las coordenadas solo produce aceleracion enesa coordenada y no en la otra (porque no existe material en el espacio comprendido entre ambascoordenadas)

Los valores a ser concentrados en los extremos dependen obviamente de la geometrıa del elemento,de su densidad o distribucion de la materia en el espacio ocupado, y del juicio del analista en laconsideracion de las restricciones presentes. Como se vera claro, el procedimiento puede presentaralgunas dificultades de apreciacion en la asignacion de montos inerciales particularmente cuando enla descripcion del movimiento se utilizan coordenadas rotacionales; ya que la primera intencion serıaasignar valores de masa nulas a dichas coordenadas, lo cual evidentemente es un craso error. Sinembargo, en los casos en que su aplicacion es facil, puede reportar grandes ahorros en el procesode calculo sin mucho sacrificio en la exactitud de los resultados obtenidos. Este procedimiento quedenominamos no–consistente se conoce tambien como el metodo de parametros concentrados, y su usoesta ampliamente generalizado por ser un metodo facil y directo en aquellas situaciones que a primeravista resultan obvias.

7.4. Propiedades del sistema

Habiendo definido completamente las propiedades de los elementos que constituyen un sistema,es posible ahora encontrar las propiedades del sistema a partir de las propiedades de los elementosya evaluadas. Este proceso llamado de ensamble de elementos, se lo efectua hallando las relaciones queligan a los grados de libertad locales (asignados a los elementos) con los grados de libertad globales(asignados a los puntos nodales del sistema o estructura).

Para la existencia de la relacion mencionada previamente, es importante postular que el sistemaglobal de coordenadas es un sistema linealmente independiente; en tal caso existe la siguiente relacionpara un elemento componente cualquiera,

|δ〉e = [β]e|u〉 e=1;n (7.37)

donde |δ〉e vector de coordenadas (grados de libertad) de elemento, [β]e matriz de conectividad delelemento, |u〉 vector de coordenadas globales y n el numero total de elementos que componen el sistema.

Si consideramos ahora el trabajo mecanico realizado por las fuerzas actuantes sobre la estructura,es evidente que este puede calcularse a partir de las contribuciones individuales de los elementos oa partir del trabajo referido a las coordenadas del sistema como trabajo neto o global; dando como


resultado el mismo valor, es decir:

12 〈u||F 〉 = 1

2

n∑e=1

〈δ|e|P 〉e

donde |P 〉e denota al vector de cargas nodales locales equivalentes de un elemento generico cualquieracomponente del sistema o estructura.

Transponiendo la Ecuacion (7.37), y reemplazando,

〈u||F 〉 =

n∑e=1

〈u|[β]Te |P 〉e = 〈u|n∑

e=1

[β]Te |P 〉e

Esta relacion obtenida implica el cumplimiento de:

|F 〉 =

n∑e=1

[β]Te |P 〉e (7.38)

como vector fuerza del sistema o estructura obtenido como superposicion de los vectores de fuerzasequivalentes actuantes sobre los elementos componentes.

Desarrollando esta ecuacion en sus terminos componentes, y reagrupando;

|F 〉 = [β]T1 |P 〉1 + [β]T1 |P 〉1 + · · ·+ [β]Tn|P 〉n =[[β]T1 [β]T1 · · · [β]Tn

]|P 〉1|P 〉2

...|P 〉n

Si denotamos como:

[β]T =[[β]T1 [β]T2 · · · [β]Tn

]〈P | =

〈P |1 〈P |2 · · · 〈P |n

podemos escribir:

|F 〉 = [β]T |P 〉 (7.39)

Habiendo supuesto que el sistema se compone de n elementos, desarrollando la Ecuacion (7.37)generica y ordenando los terminos, obtenemos:

|δ〉1|δ〉2

...|δ〉n

=

[β]1|u〉[β]2|u〉

...[β]1|u〉

=

[β]1[β]2

...[β]1

|u〉que simbolicamente escribimos: |δ〉 = [β]|u〉 (7.40)

como vector desplazamiento superpuesto de coordenadas locales de la estructura o sistema, obtenidodesde el vector de coordenadas globales especificado para el mismo.

Las Ecuaciones (7.39) y (7.40) se conocen como relaciones de contragradiencia, las cuales asocianfuerzas y desplazamientos en los sistemas global y local de coordenadas utilizadas en el analisis. Estasrelaciones nos permitiran susperponer las matrices de propiedades dinamicas de los diversos elementos,para ası obtener las matrices que sean validas para todo el sistema o estructura.


7.4.1. Matriz de masa del sistema

La matriz de masa del sistema, puede ahora obtenerse a partir de las matrices de masa locales delos diversos elementos que lo componen. Para ello, consideremos la energıa cinetica neta obtenida apartir de la serie de coordenadas o grados de libertad globales asignados al sistema entero y la energıacinetica total del sistema obtenida a partir de las contribuciones individuales que hacen sus elementos;entonces tendremos que debe cumplirse: T =

∑eTe, o en forma desarrollada:

12 〈u|[M ]|u〉 = 1

2

n∑e=1

〈δ|e[M ]e|δ〉e

donde [M ] es la matriz de masa del sistema. Utilizando ahora la Ecuacion 7.37, derivandola previa-mente y reemplazando;

〈u|[M ]|u〉 =

n∑e=1

〈u|[β]Te [M ]e[β]e|u〉 = 〈u|

(n∑

e=1

[β]Te [M ]e[β]e

)|u〉

Por comparacion resulta que:[M ] =

n∑e=1

[β]Te [M ]e[β]e

o, de modo equivalente, [M ] = [β]T [M ][β] (7.41)

donde a [M ] la llamamos matriz de masa no–ensamblada del sistema, la cual se define con el aspectosiguiente:

[M ] =

[M ]1

[M ]2. . .

[M ]n

(7.42)

es decir, una matriz formada por las matrices de masa locales de los elementos, dispuestas ocupan-do los coeficientes de la diagonal principal (los terminos o coeficientes no escritos en esta matriz,corresponden a sub–matrices nulas). Entonces, la Ecuacion (7.41) establece a la matriz de masa delsistema, la cual ya esta referida al sistema global coordenado respecto del cual se hace la descripciondel comportamiento dinamico del sistema completo.

7.4.2. Matriz de rigidez del sistema

El desarrollo de una expresion para la matriz de rigidez del sistema, equivalente a la Ecuacion(7.41) deducida para la matriz de masa, es absolutamente similar y parte de equiparar la enegıa dedeformacion del sistema expresada segun los grados de libertad globales, y la energıa de deformacionobtenida por la contribucion hacia ella que hacen todos lo elementos componentes; es decir: U =

∑eUe,

o en forma desarrollada:

12 〈u|[K]|u〉 = 1

2

n∑e=1

〈δ|e[K]e|δ〉e

Utilizando la Ecuacion 7.37,

〈u|[K]|u〉 =

n∑e=1

〈u|[β]Te [K]e[β]e|u〉 = 〈u|

(n∑

e=1

[β]Te [K]e[β]e

)|u〉

comparando terminos;[K] =

n∑e=1

[β]Te [K]e[β]e


o, en forma equivalente: [K] = [β]T [K][β] (7.43)

que es la matriz de rigidez del sistema, y donde a [K] se la conoce como matriz de rigidez no–ensamblada, cuya forma es:

[K] =

[K]1

[K]2. . .

[K]n

(7.44)

donde las sub–matrices ubicadas en la diagonal principal son las matrices de rigidez locales de loselementos que componen el sistema, y los terminos no escritos corresponden a sub–matrices nulas dedimensiones adecuadas que no alteren el orden de la matriz de rigidez no–ensamblada ası definida.

7.4.3. Matriz de amortiguamiento del sistema

La matriz de amortiguamiento del sistema se deriva en una forma totalmente analoga a los casosanteriores. La relacion de contragradiencia se utiliza nuevamente derivandola temporalmente, debidoa que la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad de movimiento (modelo viscoso).No resulta nada dificil demostrar que la matriz de amortiguamiento del sistema vien expresada por:

[C] = [β]T [C][β] (7.45)

donde [C] es la matriz de amortiguamiento no–ensamblada del sistema, que esta definida como:

[C] =

[C]1

[C]2. . .

[C]n

(7.46)

O sea, que la ley de formacion responde en forma totalmente identica a las utilizadas para laformacion de las matrices de rigidez y masa no–ensambladas.

7.4.4. Vector de cargas del sistema

Las fuerzas equivalentes que actuan en las coordenadas locales de los elementos tienen que sertransformadas al sistema global de coordenadas. Para tal efecto se usa la Ecuacion (7.39) de contra-gradiencia de fuerzas. Si es que denotamos como |P 〉 al vector de cargas actuantes sobre el sistema,referido al sistema global coordenado, y 〈P |eq =

〈P |1eq 〈P |2eq · · · 〈P |neq

al vector no ensam-

blado de cargas equivalentes actuantes sobre los elementos, se debera cumplir:

|P 〉 = [β]T |P 〉eq (7.47)

con lo que completamos el conjunto de expresiones que describen las propiedades dinamicas referidastodas ellas al sistema global coordenado utilizado para la descripcion del comportamiento vibratoriodel sistema.

7.4.5. Ecuacion de movimiento del sistema

La ecuacion de movimiento del sistema se obtiene ahora en una forma directa a partir de las ex-presiones encontradas. Sea la ecuacion de movimiento de un elemento generico cualquiera componentedel sistema,

[M ]e|δ〉e + [C]e|δ〉e + [K]e|δ〉e = |P 〉e e=1, 2, . . . , n


Si el conjunto de las n ecuaciones anteriores las escribimos en forma desarrollada y conjuncionada,tenemos:

[M ]|δ〉+ [C]|δ〉+ [K]|δ〉 = |P 〉eq

donde todos los sımbolos utilizados ya fueron definidos. Utilizando nuevamente la Ecuacion (7.40) decontragradiente de desplazamientos, y sus derivadas, se obtiene:

[M ][β]|u〉+ [C][β]|u〉+ [K][β]|u〉 = |P 〉eq

Pre–multiplicando con la transpuesta de la matriz de transformacion de grados de libertad quetambien denominamos matriz de conectividad;

[β]T [M ][β]|u〉+ [β]T [C][β]|u〉+ [β]T [K][β]|u〉 = [β]T |P 〉eq

y, reconociendo los terminos que preceden a los vectores cinematicos y de cargas equivalentes aplicadas:

[M ]|u〉+ [C]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉 (7.48)

que es la ecuacion de movimiento del sistema, y cuya solucion sera objeto de desarrollo teorico yanalisis de los siguientes capıtulos. Remarcamos aquı que la perturbacion externa actuante en lospuntos nodales de la estructura o sistema, posee variacion temporal: |P 〉 = |P (t)〉, y la solucion:|u〉 = |u(t)〉 describe la variacion temporal de los grados de libertad nodales asignados al sistema enconjunto.

Ejemplo 7.8. Hallar la ecuacion de movimiento para la estructura tipo marco o portico plano, mos-trado en la Figura 7.15(a). Suponer que la cantidad de energıa disipada durante el movimiento esınfima, y que se desprecia la deformacion segun sentido axial en ambos segmentos que componen estesistema. Las caracterısticas de la estructura establecidas por sus valores parametricos se muestran enel esquema, donde ademas la perturbacion aplicada esta definida por: q(x, t) = q0 sin Ωt.

(a) Diagrama esquematico (b) Elemento tıpico componente

Figura 7.15: Estructura tipo marco (portico)

> Solucion

Debido a la inexistencia de desplazamientos segun cualquier sentido espacial (solo se producen rota-ciones en los apoyos y el punto vertice durante la deformacion), el elemento tıpico aplicable en el casopresente es el mostrado en la Figura 7.15(b). Para este elemento se ha hallado la matriz de rigidezlocal, que recordamos tiene la forma:

[K]e =2EI

L

[2 11 2

]


La matriz de masa, considerando la densidad longitudinal constante m(x) = m0 es la siguiente:

[M ]e =m0L

3

420

[4 −3−3 4

]

(a) Grados de libertad globales (b) Grados de libertad locales

Figura 7.16: Definicion de grados de libertad

Utilizando los datos mostrados en la Figura 7.15(a), obtenemos para el elemento 1©

[K]1 =2EI

L

[2 11 2

][M ]1 =

m0L3

420

[4 −3−3 4

]y para el elemento 2©

[K]2 =7EI

4L

[2 11 2

][M ]2 =

m0L3

420

(8

7

)3 [4 −3−3 4

]Estas matrices estan referidas al sistema coordenado local propio de cada elemento y sus valores decoeficientes estan asociados a los grados de libertad locales, que se muestran en la Figura 7.16(b). En laFigura 7.16(a), en cambio, mostramos los grados de libertad nodales globales asignados a la estructura.

La matriz de conectividad [β] puede ser generada por columnas, dando desplazamientos unita-rios a cada coordenada global secuencialmente mientras se mantienen las restantes igual a cero; yhallando los valores de los desplazamientos en las coordenadas locales para cada estado. El conjuntoası obtenido representa la columna correspondiente de la matriz de conectividad o transformacion dedesplazamientos.

Si definimos al vector de grados de libertad locales de ambos elementos como el arreglo (transpuesto)indicado a continuacion:

〈δ| =〈δ|1 〈δ|2

=δ1 δ2 δ3 δ4

De los esquemas mostrados en la Figura 7.17, obtenemos como relacion fundamental contragradientede desplazamientos:

δ1

δ2

δ3

δ4

=

1 0 00 1 00 1 00 0 1

u1

u2

u2

⇒ [β] =

1 0 00 1 00 1 00 0 1

El siguiente paso es formar las matrices de rigidez y masa no–ensambladas del sistema; esto se logra

colocando sobre las diagonales principales a las matrices de rigidez y masa locales halladas para los


(a) Primera columna (b) Segunda columna (c) Tercera columna

Figura 7.17: Generacion de la matriz de conectividad

dos elementos. Estas matrices tienen el siguiente aspecto:

[M ] =m0L

3

420

4 −3−3 4

4( 87 )3 −3( 8

7 )3

−3( 87 )3 4( 8

7 )3

[K] =EI

L

4 22 4

72

74

74

72

donde aquellos coeficientes que no fueron escritos tienen valor cero.

Calculamos ahora las cargas equivalentes. De acuerdo a la Figura 7.15, solo el elemento 1© soporta laaplicacion de una carga externa. Para hallar los momentos equivalentes en los puntos nodales extremosde este segmento de la estructura, aplicamos la Ecuacion (7.34) y las funciones de interpolacion quefueron obtenidas en el Ejemplo 7.4; luego:

〈φ| =x(1− x

L )2 x2

L ( xL − 1)

|P 〉1eq =

∫ L

0

q0 sin Ωt

x(1− x

L )2

x2

L ( xL − 1)

dx =

q0L2

12

1−1

sin Ωt

donde el subındice es incorporado para indicar que las cargas equivalentes corresponden al elemento1©. Para el elemento 2© las cargas equivalentes son nulas, por lo que el vector no–ensamblado de cargasequivalentes resulta en este caso:

|P 〉eq =q0L

2

12

1−100

sin Ωt

Las matrices y el vector de cargas equivalentes no–ensamblados aun, tienen que transformarse yexpresarse en el sistema coordenado global y asociarse a los grados de libertad globales establecidospara la estructura; esto se logra aplicando las relaciones ya deducidas:

[M ] = [β]T [M ][β] [K] = [β]T [K][β] |P 〉 = [β]T |P 〉eq

Luego de efectuar los productos indicados en las ecuaciones anteriores, Usted puede comprobar queel resultado es:

[M ] =m0L

3

420

4 −3 0−3 4[1 + ( 8

7 )3] −3( 87 )3

0 −3( 87 )3 4( 8

7 )3

[K] =EI

L

4 2 02 15

274

0 74

72


|P 〉 =q0L

2

12

1−10

sin Ωt

Estos arreglos describen las propiedades dinamicas parametricas de la estructura tipo marco oportico plano en analisis, y nos sirven para establecer la ecuacion gobernante del comportamientodinamico estructural; la cual como recordamos serıa en este caso:

[M ]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉

ya que el amortiguamiento se asume despreciable; la misma que en forma completamente desarrolladaestablece la ecuacion de movimiento de la estructura aquı analizada:

m0L3

420

4 −3 0−3 4[1 + ( 8

7 )3] −3( 87 )3

0 −3( 87 )3 4( 8

7 )3

u1

u2

u3

+EI

L

4 2 02 15

274

0 74

72

u1

u2

u3

=q0L

2

12

1−10

sin Ωt

Esta es la ecuacion gobernante del movimiento oscilatorio que ejecuta la estructura, de la cual lasolucion resultara ser la respuesta a la perturbacion externa aplicada a ella. >

La aplicabilidad de la metodologıa planteada y las relaciones encontradas para establecer la ecuaciongobernante de la vibracion de un sistema es amplia; aun para sistemas en movimiento como los sistemasde transmision de movimiento rotacional con engranajes de comportamiento lineal, la teorıa anteriores valida. El ejemplo siguiente nos mostrara como aplicar estos conceptos, ademas que utilizaremos unmodelo no–consistente de parametros concentrados.

Ejemplo 7.9. Para el sistema mostrado en la Figura 7.18 escribir la ecuacion de movimiento. Suponerque los ejes tienen inercia despreciable, pero sı poseen elasticidad, al formular un modelo de parame-tros concentrados. Este sistema soporta como perturbacion externa un momento torsional aplicado ala mitad de la longitud de uno de sus elementos, como se muestra. Ademas, en el analisis supongaque este sistema tiene una cantidad de disipacion de energıa mecanica que es de un valor de magnituddespreciable.

M(t) = M0f(t) ki =GiJiLi

i=1, 2

Figura 7.18: Sistema rotacional de engranajes y ejes

> Solucion

En razon a que es posible despreciar el peso (masa) de los ejes, la masa de los engranajes concentrada enlos extremos de los ejes nos proporciona automaticamente un modelo de parametros concentrados. Delos diversos modelos posibles elegimos las configuraciones mostradas en la Figura 7.19 para la definicionde elementos. En la Figura 7.19(a) mostramos los grados de libertad globales (de todo el sistema), yen la Figura 7.19(a) mostramos los grados de libertad locales (asociados a ambos elementos).

Por la eleccion de los elementos componentes del sistema, tendremos:


(a) Coordenadas globales (b) Coordenadas locales

Figura 7.19: Definicion de coordenadas (grados de libertad)

Para el elemento 1©:

[M ]1 =

[I1 00 0

][K]1 = k1

[1 −1−1 1

]k1

G1J1

L1

Para el elemento 2©:

[M ]2 =

[I2 00 I3

][K]2 = k2

[1 −1−1 1

]k2

G2J2

L2

Las cargas equivalentes al momento puntual concentrado que actua a la mitad de longitud delelemento 2© son calculadas utilizando las siguientes funciones de interpolacion:

〈φ(x)| =

1− xL

xL

ya que el fenomeno de torsion de ejes lineales es un estado uni–dimensional de solicitacion (analogo alestado de solicitacion axial de una barra).

El vector de cargas equivalentes sabemos que esta determinada por la relacion siguiente:

|P 〉eq =

∫ L

0

M(x, t)|φ(x)〉 dx

donde M(x, t) describe a la funcion de momento torsor aplicado sobre el elemento, variando espacialy temporalmente. Pero, antes de aplicar la ecuacion planteada, conviene recordar que la solicitacionactuante corresponde a un momento torsional puntual o concentrado; y por tanto no procede la apli-cacion directa de la integral, sin alguna consideracion previa de las caracterısticas particulares de estetipo de carga.

Para poder efectuar la integracion, podemos apelar a las definiciones que nos proporcionan lasfunciones singulares (vease el Apendice B), y serıa preciso escribir la carga aplicada como:

M(x, t) = M0f(t)δ(x− L2 )

donde δ(x− L2 ) es la funcion delta de Dirac aplicada en x = L

2 . Entonces para el elemento 2©, el procesode evaluacion conduce a:

|P 〉2eq =

∫ L

0

M0f(t)δ(x− L2 )

1− x

LxL

dx = M0f(t)

∫ L

0

δ(x− L2 )

1− x

LxL

dx

= M0f(t)

1− x

LxL

x=L

2

=M0f(t)

2

11

Y, por estar el elemento 1© descargado, para todo el sistema tendremos:

|P 〉eq =M0f(t)

2

0011

resultado que de principio era previsible desde un punto de vista estatico.


Ahora, debemos ensamblar los arreglos hallados para obtener las propiedades dinamicas de todo elsistema y referidas al sistema de coordenadas globales. Para tal objetivo, hallamos primero la matrizde conectividad con ayuda de la Figura 7.19. Generando esta matriz, columna por columna, con lametodologıa planteada en el Ejemplo resuelto anterior, se demuestra que:

[β] =

1 0 00 1 00 1 00 0 1

La matriz de masa global del sistema es hallada como sigue:

[M ] = [β]T [M ][β] =

1 0 0 00 1 1 00 0 0 1

I1 0 0 00 0 0 00 0 I2 00 0 0 I3

1 0 00 1 00 1 00 0 1

=

I1 0 00 I2 00 0 I3

La matriz de rigidez global se encuentra con metodo completamente similar:

[K] = [β]T [B][β] =

1 0 0 00 1 1 00 0 0 1

k1 −k1 0 0−k1 k1 0 0

0 0 k2 −k2

0 0 −k2 k2

1 0 00 1 00 1 00 0 1

=

k1 −k1 0k1 k1 + k2 −k2

0 −k2 k2

El vector de cargas nodales que actuan sobre el sistema, en cambio, se calcula mediante:

|P 〉 = [β]T |P 〉eq =

1 0 0 00 1 1 00 0 0 1

M0f(t)

2

0011

=M0f(t)

2

011

Como paso final, estamos en condiciones de escribir la ecuacion de movimiento del sistema, la cual

de manera generica sabemos que en el caso de un sistema no–amortiguado es:

[M ]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉

y la misma desarrollada en todos sus terminos queda como:I1 0 00 I2 00 0 I3

u1

u2

u3

+

k1 −k1 0k1 k1 + k2 −k2

0 −k2 k2

u1

u2

u3

=M0f(t)

2

011

>

Es completamente evidente que la ecuacion de movimiento hallada en este Ejemplo, podrıa serobtenida tambien mediante aplicacion del metodo tradicional Newtoniano. Para efectos de comparacionde metodologıas de modelado de este tipo de sistemas, le proponemos que aplique la metodologıasugerida; incorporando las acciones de D’Alembert si Usted ası lo desea, para verificar la solucionobtenida al Ejemplo recien resuelto.

7.5. Condensacion estatica

El uso de un procedimiento no–consistente en la evaluacion de la matriz de masa conduce frecuente-mente a que la dimension de la misma sea menor que la dimension de la matriz de rigidez; situacion enla cual no es posible, al menos sin realizar algunas operaciones, de escribir la ecuacion de movimientodel sistema.

7.5. CONDENSACION ESTATICA 223

La situacion planteada anteriormente se presenta con frecuencia en los casos donde se definen losgrados de libertad asociados al sistema: desplazamientos de traslacion y rotacion. La identificacion delos coeficientes de masa asociados a las coordenadas de desplazamiento es establecida; en cambio nolo son los coeficientes asociados a las coordenadas rotacionales, los cuales a menudo no se consideranen la definicion de la matriz de masa global.

Para enmendar tal clase de problemas, el analista debe recurrir a un metodo que compatibilice elorden de ambas matrices. Tal metodo llamado de condensacion estatica se explica inmediatamente.

El procedimiento se basa en el hecho de que las coordenadas no incluıdas en la matriz de masa,pero sı en la matriz de rigidez, no soportan fuerzas de inercia, ası como cargas aplicadas. Esto nos llevadirectamente a suponer que tampoco se produciran reacciones elasticas, por lo que si particionamosla matriz de rigidez en una forma adecuada de manera de segregar en un sector los grados de libertadincluıdos en la matriz de masa podemos escribir: [K]aa [K]ab

[K]ba [K]bb

|u〉a|u〉b =

|F 〉a|F 〉b

=

|F 〉a|0〉 (7.49)

donde el subındice ‘b’ se refiere a los grados de libertad no incluıdos en la magtriz de masa, y por tantocon fuerzas elasticas iguales a cero.

Recordando que la relacion anterior se trata de un sistema con sub–matrices, hagamos las opera-ciones necesarias que nos permitan escribir las coordenadas “no incluıdas” en la matriz de masa [M ],en funcion de las coordenadas consideradas.

[K]aa|u〉a + [K]ab|u〉b = |F 〉a[K]ba|u〉a + [K]bb|u〉b = |0〉

De la segunda de las ecuaciones, obtenemos para las coordenadas no–incluıdas:

|u〉b = − [K]−1bb [K]ba|u〉a

y reemplazando en la primera ecuacion, agrupando terminos:

[K]aa|u〉a − [K]ab[K]−1bb [K]ba|u〉a = |F 〉a

( [K]aa − [K]ab[K]−1bb [K]ba )|u〉a = |F 〉a

que en forma sintetica y condensada puede escribirse:

[K]∗aa|u〉a = |F 〉a [K]∗aa = [K]aa − [K]ab[K]−1bb [K]ba (7.50)

donde [K]∗aa es una matriz que tiene ahora la dimension de la matriz de masa [M ] obtenida pormetodos no–consistentes, y que contiene solo los grados de libertad considerados originalmente en lamatriz de masa establecida.

Si en el analisis se establecerıa tambien una matriz de amortiguamiento obtenida por un proce-dimiento consistente, la dificultad identificada se replicarıa tambien para esta matriz. Para reducirlaen orden, considerando solo los grados de libertad asociados con la matriz de masa no–consistente, seprocede de manera identica a lo anteriormente desarrollado; de modo que la ecuacion de movimientopara el sistema reducido en sus grados de libertad serıa:

[M ]|u〉a + [C]∗aa|u〉a + [K]∗aa|u〉a = |P 〉a (7.51)

con la cual se analiza la vibracion del sistema, con un modelo reducido que en realidad tendrıa dimensionmenor a todos los grados de libertad presentes originalmente.


7.6. Formulacion energetica general

El principio del trabajo mecanico – cambio de energıa cinetica, establece que: El trabajo mecanicoefectuado por el conjunto de fuerzas aplicadas a un sistema sobre cierta trayectoria de movimiento ∆sasociada a cierto intervalo de tiempo ∆t, se iguala con el cambio de energıa cinetica del sistema en elmismo intervalo de tiempo.

W∆s = ∆T∆t (7.52)

Sin perdida de generalidad, si asumimos que en la aplicacion de la ecuacion anterior el instante inicialcorresponde a t0 = 0, y que se tienen condiciones iniciales nulas de movimiento; entonces podemosdecir que: El trabajo mecanico realizado hasta cierto instante se debe equiparar con la energıa cineticaadquirida por el sistema hasta dicho instante. Bajo estas condiciones, la energıa cinetica del sistemavendra determinada por la conocida expresion:

∆T∆t = 12 〈u|[M ]|u〉 (7.53)

Las fuerzas actuantes sobre un sistema (excluyendo las fuerzas de inercia, que son resultado delmovimiento) son de dos tipos: conservativas y no–conservativas o disipativas. En un sistema vibratorio,son fuerzas conservativas las que provienen de la elasticidad o capacidad de deformacion del sistemay aquellas fuerzas que provienen del campo gravitatorio o fuerzas de peso propio, por ejemplo. Paradichas fuerzas, el trabajo mecanico sobre la trayectoria de movimiento se iguala con la disminucion deenergıa potencia asociada a dichas fuerzas. Por tanto, para las fuerzas de tipo conservativo se cumple:

Wc = 12 〈u||P 〉c = −∆U∆t = − 1

2 〈u|[K]|u〉

siendo Wc el trabajo mecanico efectuado por las cargas (fuerzas y/o momentos) conservativas.Entre las fuerzas no conservativas actuantes sobre un sistema vibratorio, basicamente tenemos a

las cargas externas aplicadas y las fuerzas disipativas de energıa provenientes del amortiguamiento.El trabajo mecanico de estas ultimas (las fuerzas de friccion con base en el amortiguamiento) eseminentemente negativo, en virtud que estas fuerzas actuan con sentido opuesto al movimiento. 6 Elmonto de energıa disipada por el sistema, que es equivalente en magnitud al trabajo mecanico que estasrealizan puede ser medida por la funcion de disipacion energetica de Raleigh; por tanto, adecuando lasvariables que estan siendo manipuladas en el caso presente, tendremos:

Wnc = 12 〈u||P 〉nc = −R = − 1

2 〈u|[C]|u〉

siendo Wnc el trabajo mecanico efectuado por las cargas no–conservativas.El trabajo mecanico realizado por la solicitacion externa a traves de las cargas de excitacion ac-

tuantes sobre el sistema y asociados con los grados de libertad definidos para el mismo es:

Wext = 12 〈u||P 〉

siendo Wext el trabajo mecanico efectuado por las cargas externas de perturbacion aplicadas al sistema.Generalmente, las cargas que componen la perturbacion externa aplicada son del tipo no–conservativo,y el trabajo mecanico que las mismas realizan sobre el sistema se podrıa incluir en la evaluacion del tra-bajo no–conservativo considerado anteriormente. Pero, por razones de caracter didactico simplemente,evaluaremos el trabajo asociado a estas cargas por separado.

Resulta completamente evidente que el trabajo mecanico neto, por ser este una cantidad escalar,sera igual a la suma de los trabajos mecanicos componentes; ası tendremos que:

W∆s = Wc +Wnc +Wext = − 12 〈u|[M ]|u〉 − 1

2 〈u|[C]|u〉+ 12 〈u||P 〉 (7.54)

6 Recuerde que el trabajo mecanico realizado por una fuerza ~F sobre una determinada trayectoria de longitud L,se define como: W =

∫L~F ~dr donde ~dr es el vector desplazamiento elemental medido a lo largo de la trayectoria

de movimiento, y ‘’ denota el producto escalar de ambos vectores. Cuando ambos vectores son siempre opuestos ensentido: W = −

∫LF dr, en terminos modulares.

7.6. FORMULACION ENERGETICA GENERAL 225

En todos los terminos se tiene el coeficiente 1/2 que precede a los mismos, como indicativo que lasolicitacion aplicada al sistema es realizada en forma gradual y proporcional al desplazamiento queocurre por el movimiento producido.

Ahora, reemplazamos las Ecuaciones (7.53) y (7.54) en la Ecuacion (7.52):

− 12 〈u|[K]|u〉 − 1

2 〈u|[C]|u〉+ 12 〈u||P 〉 = 1

2 〈u|[M ]|u〉Ordenando, 1

2 〈u|[M ]|u〉+ 12 〈u|[C]|u〉+ 1

2 〈u|[K]|u〉 = 12 〈u||P 〉 (7.55)

Esta relacion representa un balance energetico instantaneo, pues equipara la energıa neta contenidaen el sistema (energıa interna) con la energıa proporcionada al mismo (de caracterıstica externa) enforma de trabajo mecanico efectuado por la perturbacion actuante desde el medio circundante; siendoque la misma esta expresada y asociada con el sistema de coordenadas (grados de libertad) globales.

Esta formulacion de caracterıstica energetica esta subyascente en todo el desarrollo teorico de granparte del presente capıtulo, y resulta evidente que es una formulacion alternativa al metodo Newtonianodel analisis de sistemas dinamicos.

El metodo de Lagrange, que tambien tiene base de formulacion energetica e incorpora el pricipio delos trabajos virtuales, es capaz de demostrar que con ciertas breves modificaciones, es posible a partir dela Ecuacion (7.55) deducir la ecuacion generica que gobierna el comportamiento dinamico vibracionalde un sistema con multiples grados de libertad; efectuando derivaciones de caracter espacial y temporalde los diversos tipos de energıa y trabajo involucrados con respecto a los vectores de desplazamientoy velocidad.

Entonces, sin efectuar deduccion alguna y aplicando el metodo de Lagrange, se demuestra que elcumplimiento de la Ecuacion (7.55), requiere el cumplimiento simultaneo de la ecuacion siguiente:

[M ]|u〉+ [C]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉

la cual como podemos reconocerla, es la ecuacion gobernante de la dinamica de movimiento vibracionalde un sistema sometido a la accion de una perturbacion externa aplicada a el.

El desarrollo teorico presentado en esta seccion, implıcitamente nos plantea una metodologıa al-ternativa para obtener la ecuacion de movimiento de un sistema modelado con un numero multiplede grados de libertad, el cual se aplica con naturalidad y de manera directa sobre todo a sistemasde parametros concentrados. La aplicacion del metodo consiste en evaluar las diversas energıas pre-sentes en el sistema: energıa cinetica, energıa potencial y energıa disipada, juntamente con el trabajomecanico realizado por la perturbacion externa aplicada; en terminos de los grados de libertad globalesasignados al sistema en movimiento. Evaluadas estas caracterısticas, resulta inmediata la identificacionde las matrices asociadas con los parametros dinamicos del sistema y tambien del vector que especificala exitacion externa actuante; lo que nos permite en un paso final escribir la ecuacion gobernante dela vibracion producida. A continuacion mostraremos un par de ejemplos simples de la metodologıaaquı planteada.

Ejemplo 7.10. Consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 7.1, cuyo esquema principal es re-producido en la Figura 7.20. Esta vez, deseamos obtener la ecuacion de movimiento de este sistemaaplicando la formulacion de analisis energetico.

> Solucion

En la Figura 7.20 mostramos los grados de libertad globales asignados al sistema. Considerando quelos resortes y amortiguadores de interconexion entre los cuerpos en movimiento son carentes de masa,es completamente evidente que la energıa cinetica del sistema resulta ser:

T = 12m1x

21 + 1

2m2x22 = 1

2

x1 x2

m1x1

m2x2

= 1

2

x1 x2

[m1 00 m2

]x1

x2

= 1

2 〈x|[M ]|x〉


Figura 7.20: Sistema en movimiento vibratorio

En cambio, la energıa disipada durante el movimiento o trabajo no conservativo, realizado por lasfuerzas de amortiguamiento resulta ser:

Wnc = R = 12c1x

21 + 1

2c2(x2 − x1)2 = 1

2 [(c1 + c2)x21 − 2c2x1x2 + c2x

22 ]

= 12

x1 x2

[c1 + c2 −c2

−c2 c2

]x1

x2

= 1

2 〈x|[C]|x〉

La energıa potencial acumulada por la deformacion de los resortes existentes en el sistema es deidentica magnitud que el trabajo mecanico efectuado por las fuerzas conservativas actuantes sobreestos elementos:

Uc = Wc = 12k1x

21 + 1

2k2(x2 − x1)2 + 1

2k3x22 = 1

2 [(k1 + k2)x21 − 2k2x1x2 + (k2 + k3)x

22 ]

= 12

x1 x2

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

]x1

x2

= 1

2 〈x|[K]|x〉

El trabajo mecanico, realizado por el conjunto de cargas externas aplicadas al sistema suponiendouna aplicacion gradual de las mismas, obviamente es:

Wext = − 12P1x1 + 1

2P2x2 = 12 (−x1P1 + x2P2) = 1

2

x1 x2

−P1

P2

= 1

2 〈x||P 〉

En todas las anteriores ecuaciones, nıtidamente aparecen los arreglos matriciales que especificanlas propiedades dinamicas parametricas del sistema, por lo que no resulta nada difıcil recurrir a laecuacion generica de movimiento, la cual sabemos que es:

[M ]|x〉+ [C]|x〉+ [K]|x〉 = |P 〉

la misma que en forma desarrollada en todos sus terminos que son pertinentes al problema que estamosanalizando, resultarıa:[

m1 00 m2

] x1

x2

+

[c1 + c2 −c2

−c2 c2

] x1

x2

+

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

] x1

x2

=

−P1(t)P2(t)

que evidentemente es la misma ecuacion que aquella obtenida en el Ejemplo 7.1 (compruebelo Ustedpor si mismo !). >

Ejemplo 7.11. Un bloque de masa M esta conectado a un resorte de coeficiente de rigidez k y aun amortiguador con coeficiente c. En el centro de este cuerpo, mediante un pasador se encuentraconectada una varilla rıgida de masa m y longitud L, la cual puede oscilar libremente mientras la masaM se desliza sobre una superficie rıgida horizontal sin rozamiento. En el extremo libre de la varillaactua una fuerza horizontal temporalmente variable como se muestra en la Figura 7.21(a). Determinarla ecuacion de movimiento de las oscilaciones efectuadas por este sistema. Linealice las ecuaciones

7.6. FORMULACION ENERGETICA GENERAL 227

(a) Sistema en movimiento (b) Diagrama de cuerpo libre

Figura 7.21: Sistema vibratorio y cargas actuantes

obtenidas bajo la suposicion que la varilla oscila con desplazamiento angular de pequena magnitud.

> Solucion

En la Figura 7.21(a) mostramos las coordenadas generalizadas (grados de libertad) que especifican laconfiguracion del sistema en un instante arbitrario durante su movimiento.

La carga externa aplicada en el extremo de la varilla, afecta tambien el comportamiento del bloque alcual este elemento se conecta por uno de sus extremos. Para considerar esta influencia, trasladaremos lafuerza aplicada de manera mecanicamente equivalente hacia el punto de articulacion; esto se muestra enla Figura 7.21(b) que establece el diagrama de cuerpo libre del sistema. Como efecto de este cambio deubicacion de la fuerza aplicada debe surgir un momento por la traslacion efectuada, el cual facilmentese calcula que es: M(t) = P (t)L cos θ. Entonces, el trabajo mecanico efectuado por la solicitacionexterna actuante serıa:

Wext = 12P (t)x+ 1

2M(t)θ = 12 (P (t)x+ P (t)L cos θ θ) = 1

2

x θ

P (t)P (t)L cos θ

= 1

2 〈u||P 〉

El amortiguador es el elemento encargado de la disipacion de energıa del sistema, por ello:

Wnc = R = 12cx

2 = 12

x θ

[c 00 0

]x

θ

= 1

2 〈u|[C]|u〉

La fuerza de reaccion normal sobre el bloque es tambien fuerza de tipo no–conservativo; pero el trabajoque esta realiza es nulo, debido a que la misma siempre esta en cuadratura con el desplazamientoasociado a su punto de aplicacion.

La fuerza en el resorte y las fuerzas de peso propio son fuerzas conservativas; siendo que para ellasestan asociados montos de energıa potencial. Si tomamos el nivel a la altura de interconexion de estoscuerpos como nivel de energıa potencial gravitatoria nula, entonces la energıa potencial gravitatoriapara el bloque de peso Mg sera nula; ya que tambien el trabajo mecanico que realiza esta fuerza seanula por condicion de perpendicularidad con el desplazamiento que adquiere este cuerpo. La energıapotencial gravitatoria asociada con el peso propio de la varilla se estima concentrando toda la masade este elemento en su propio centro de masa. Con estas consideraciones, la energıa potencial asociada


Figura 7.22: Diagrama cinematico del sistema

con las fuerzas conservativas actuantes sobre el sistema es:

Uc = Wc = 12kx

2 + 12mgL(1− cos θ) = 1

2kx2 + 1

2mgL(

1−√

1− sin2 θ)

∼= 12kx

2 + 12mgL

(1− 1 + 1

2 sin2 θ)

= 12kx

2 + 12mgL

2 sin2 θ

= 12

x sin θ

[k 0

0 mgL2

]x

sin θ

= 1

2 〈u∗|[K]|u∗〉

donde se ha utilizado el desarrollo binomial de Newton truncado en un par de terminos, para el elementoradical matematico componente de la ecuacion, que surge asociado a la energıa potencial gravitatoriade la varilla.

La evaluacion de la energıa cinetica del sistema requiere cierto cuidado, y para comprender sudesarrollo presentamos el diagrama cinematico con la especificacion de velocidades instantaneas en laFigura 7.22. Recordemos que la energıa cinetica de un cuerpo rıgido se calcula sumando la energıacinetica de traslacion y la energıa cinetica de rotacion; entonces, en terminos generales se tiene que laenergıa cinetica de un cuerpo rıgido en movimiento general es:

T = Ttras + Trot =mv2

2+Icmω

2

2

donde m es la masa del cuerpo, Icm el momento de inercia centroidal respecto al centro de masa,v la velocidad absoluta del movimiento traslacional, y ω la velocidad angular tambien absoluta delmovimiento rotacional. El bloque tiene movimiento de traslacion pura; en cambio, la varilla tienemovimiento general (traslacion y rotacion). Con estas consideraciones tendremos:

T = 12Mx2 + 1

2m[(x+ L2 θ cos θ)2 + (L2 θ sin θ)2] + 1

2mL2

12 θ2

= 12Mx2 + 1

2m(x2 + L cos θxθ + L2

4 θ2) + 1

2mL2

12 θ2

= 12 (M +m)x2 + 1

2mL cos θxθ + 12mL2

3 θ2

= 12

x θ

[M +m mL2 cos θ

mL2 cos θ mL2

3

]x

θ

= 1

2 〈u|[M ]|u〉

En las anteriores ecuaciones, podemos identificar los arreglos matriciales que decriben las propieda-des dinamicas parametricas del sistema, con las cuales es posible establecer la ecuacion de movimiento,la cual en su forma generica puede ser aquı escrita como,

[M ]|u〉+ [C]|u〉+ [K]|u∗〉 = |P 〉


que desarrollada asume el aspecto siguiente:[M +m mL

2 cos θmL2 cos θ mL2

3

]x

θ

+

[c 00 0

]x

θ

+

[k 0

0 mgL2

]x

sin θ

=

P (t)

P (t)L cos θ

Resulta evidente que en estas ecuaciones, las coordenadas generalizadas o grados de libertad es-cogidos para representar la configuracion generica instantanea del sistema poseen variacion temporal;es decir: x = x(t) y θ = θ(t), por lo que la anterior ecuacion matricial gobernante del movimiento esuna ecuacion no–lineal !. Para linealizar las ecuaciones componentes que conforman el anterior sistemade ecuaciones diferenciales, podemos asumir la amplitud del movimiento oscilatorio de la varilla demagnitud muy pequena; lo que nos permite introducir las aproximaciones siguientes:

sin θ ∼= θ [rad] cos θ ∼= 1

Incorporando estas relaciones en la ecuacion gobernante no–lineal del movimiento, obtenemos comoecuacion linealizada alrededor de la configuracion de equilibrio del sistema:[

M +m mL2

mL2

mL2

3

]x

θ

+

[c 00 0

]x

θ

+

[k 0

0 mgL2

]xθ

=

P (t)P (t)L

>

Este ejemplo mostro las bondades de aplicacion de la formulacion energetica en la pretencion deobtener la ecuacion matricial diferencial gobernante del movimiento oscilatorio de cualquier sistema.El ‘secreto’ de la correcta aplicacion de la metodologıa presentada radica en primer lugar en la identi-ficacion de las cargas (fuerzas y/o momentos) conservativas y no–conservativas actuantes, para luegoevaluar el trabajo mecanico que cada uno de estos dos tipos de cargas realizan sobre el sistema enmovimiento; y en segundo lugar el cuidado en evaluar la energıa cinetica del sistema, considerandosiempre velocidades absolutas que sean pertinentes, las mismas que esten asociadas y descritas porel conjunto de grados de libertad que hayan sido especificados en la descripcion de la configuraciongeometrica temporal generica.


7.1.Dos masas de magnitud conocida estan suspendidasde una cuerda de peso despreciable y longitud deter-minada, en la cual existe una tension interna cons-tante a lo largo de su longitud. Determinar la confi-guracion de equilibrio estatico, cuando el sistema esabandonado a la accion del campo gravitatorio.

7.2.El sistema mostrado en la Figura consiste de una va-rilla rıgida que se conecta a sendos resortes a travesde sus extremos. Cuando los resortes estan con lon-gitud indeformada, la varilla se encuentra en disposi-cion horizontal. Determinar la configuracion de equi-librio, especificado por el angulo θ, cuando el siste-ma esta sometido simplemente a la accion del campogravitatorio.

7.3.


Una barra rıgida uniforme de masa m y longitud L,esta soportada por un resorte de rigidez k y una su-perficie horizontal exenta de rozamiento. Determi-nar su configuracion de equilibrio, especificada porel angulo θ, bajo influencia del campo gravitatorio.El resorte tiene como longitud indeformada un va-lor de h/4, y el mismo solo se deforma en direccionvertical.

7.4.Determinar la configuracion de equilibrio, especifica-do por el angulo θ, de dos masas puntuales m1 y m2

conectadas por una barra de masa despreciable y lon-gitud L; colocadas en un tazon semiesferico de radioR, como se muestra en la Figura adjunta. Despreciarla fuerza de friccion por contacto entre las masas yla superficie curva.

7.5.

La Figura muestra un sistema de parametros concentrados que se perturba externamente me-diante las fuerzas indicadas. Aplicando el metodo Newtoniano mediante las ecuaciones deD’Alembert, determinar la ecuacion matricial gobernante de la dinamica de movimiento vi-bratorio efectuado por los cuerpos mostrados.

7.6.Considere el sistema de la Figura, y demuestre quesu ecuacion de movimiento puede reducirse a otrade un modelo de un solo grado de libertad de masaequivalente: meq = m1m2

m1+m2. Notese que un sistema

no–restringido como este, es en realidad un sistemasemi–definido.

7.7.El sistema mostrado en la Figura oscila en sus propioplano. Asumiendo las magnitudes de desplazamientodurante la vibracion de magnitud muy pequena, ha-llar la ecuacion matricial gobernante de la vibracionlibre de este sistema.

7.8.


Si se asumen conocidos todos los valores parametri-cos dinamicos asociados al sistema mostrado en laFigura, y se escogen como grados de libertad losindicados, demostrar que la ecuacion gobernante delas oscilaciones libres del sistema es:2m 0 0

0 m 00 0 I

x1

x2

θ

+

k 0 −3kr0 2k −6kr−3kr −6kr 28kr2

x1

x2

θ

=

000

7.9. Considere un sistema lineal de varios grados de libertad, cuya ecuacion de movimiento puederepresentarse en la forma establecida:

[M ]|u〉+ [C]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉

Aplicando el principio de superposicion de efectos, demuestre el teorema de reciprocidad deMaxwell, que indica que cualquiera de las matrices involucradas en esta ecuacion goza de lapropiedad de simetrıa. Por ejemplo para la matriz de rigidez, si la misma se define mediante:[K] = [kij ] (i, j=1;n), se pide demostrar que se debe cumplir: kij = kji.

7.10.La Figura muestra una replica de la varilla que vi-bra con desplazamiento vertical, tratada en el Ejem-plo 7.2. Determine nuevamente la ecuacion matricialdel movimiento oscilatorio de este sistema; pero es-ta vez considere como grados de libertad globales,los mostrados en la Figura. Utilice el metodo New-toniano, si Usted prefiere mediante las ecuaciones deD’Alembert.

7.11.En la Figura se muestra un pendulo doble compuesto de una varilla rıgi-da de masa M y longitud L articulada en un extremo; y una masa matada al final de una cuerda sin peso de longitud L, la cual se une conel extermo libre de la varilla. Cuando este sistema es perturbado me-diante la fuerza horizontal mostrada, se ejecutan oscilaciones angularesalrededor de la configuracion vertical de equilibrio estatico. Suponien-do el amortiguamiento despreciable, y los desplazamientos angulares dereducida amplitud; determinar la ecuacion matricial que gobierna lasoscilaciones de este sistema.

7.12.Para el sistema mostrado en la Figura, escribir laecuacion matricial que gobierna las oscilaciones libresde desplazamiento vertical de este sistema. Suponerdespreciable la masa de las vigas, ası como tambienel amortiguamiento.


7.13. En el Problema anterior, considere que la densidad masica lineal de las vigas es m0 cte. Formulemediante proceso de inspeccion directa una matriz de masa no–consistente, asociada a los gradosde libertad ya definidos anteriormente; y modifique con ella la ecuacion de movimiento obtenidaen el Ejemplo anterior, de modo que la nueva ecuacion considere la inercia propia de las vigasen movimiento.

7.14.Considere la viga en voladizo mostrada en la Figura,en la que los parametros dinamicos indicados se asu-men todos conocidos; ademas que se considera des-preciable el amortiguamiento. Formular un modelode parametros concentrados utilizando simplementetres grados de libertad globales, para analizar la vi-bracion de movimiento vertical de este sistema.

7.15.La Figura muestra un elemento eje de seccion circu-lar sometido a torsion, el cual tiene modulo de elas-ticidad transversal (modulo de Young) G, momentode inercia geometrico J, y longitud L. El campo dedesplazamiento angular interno, cuando se supone ri-gidez torsional GJ de valor constante, esta gobernadopor la ecuacion diferencial:

d2θ(x)

dx2= 0

Utilizando la solucion como base de identificacion de las funciones de interpolacion, demuestreque la matriz de rigidez torsional de este elemento viene determinada por la relacion:

[Kt] =GJ

L

[1 −1−1 1

]7.16. Suponiendo que el momento de inercia polar por unidad de longitud para el eje del anterior

problema varıa segun la relacion:

i = i0

(1− x

L

)Hallar la matriz de inercia polar correspondiente.

7.17. Cual serıa el vector de cargas equivalentes para el eje del Problema 7.15, si a lo largo de sulongitud se aplica un momento torsor que varıa segun la ley:

M(x, t) = M0

(2 +

x

L

)sin Ωt

Es su resultado compatible con un razonamiento estatico de la situacion planteada ?.

7.18.Considere el elemento tıpico barra, componentede las estructuras reticuladas tipo cercha, el cualesta solicitado mediante una carga axialmente dis-tribuıda con variacion parabolica a lo largo de sulongitud, siendo q0 su intensidad maxima. Determi-nar el vector de cargas nodales equivalentes para elelemento.


7.19.Usted ordena a su asistente que calcule las propie-dades del sistema mostrado en la Figura. Este per-sonaje, le indica que con el objeto de evitar la ‘com-plicacion’ del amortiguador que esta instalado en elpunto medio de la viga, realizarıa el analisis dividen-do la estructura en dos segmentos de igual tamano; ysegun el elemento tıpico mostrado en la parte infe-rior determinarıa todas las propiedades dinamicas

parametricas estructurales. Aceptarıa Usted la sugerencia planteada por su asistente ?. Podrıasugerir otro elemento tıpico que sirva en la situacion planteada ?.

7.20. Calcule la matriz de amortiguamiento del Problema 7.19 considerando un solo elemento de lon-gitud 2L, y las funciones de interpolacion asociadas a un elemento reducido viga que fueronutilizadas en el Ejemplo 7.4, que fue resuelto en paginas anteriores.

7.21.La viga en voladizo mostrada en la Figura es tratadacomo un solo elemento. Determinar las funciones deinterpolacion asociadas a los grados de libertad indi-cados. Asumiendo constantes los valores parametri-cos indicados, determinar la matriz de masa y la ma-triz de rigidez para este elemento tıpico.

7.22.La viga mostrada en la Figura va a ser analizadaen su comportamiento dinamico mediante los gradosde libertad globales mostrados (solamente desplaza-mientos verticales). Determinar las funciones de in-terpolacion asociadas a los grados de libertad locales

establecidos para un elemento tıpico como el mostrado en la parte inferior. Asumiendo constan-tes la masa por unidad de longitud m0 y el coeficiente de rigidez EI, determinar la matriz demasa y la matriz de rigidez para este elemento tıpico.

7.23.Considere la estructura cercha plana triangular mos-trada en la Figura adjunta, en la que las barras sontodas del mismo material con densidad masica linealconstante e identica area de seccion transversal. Lainterconexion de los elementos, con longitudes deter-minadas, se efectua mediante conexiones articuladassegun los angulos especificados. Esta estructura essolicitada mediante la fuerza mostrada, la cual actua

segun la direccion axial de uno de los elementos; y tambien por la fuerza de peso propio pro-veniente del campo gravitatorio. Determinar la ecuacion matricial gobernante de la oscilacionefectuada por la estructura en el mismo plano espacial que lo contiene.

7.24.


El portico mostrado en la Figura tiene todos suselementos con rigidez EI y longitud L. Ningunode ellos sufre deformacion axial, pero el elementohorizotal posee desplazamiento de cuerpo rıgido.Sobre el vertice superior izquierdo del portico actuala carga P (t) = P0 sin Ωt. Despreciando la masa delas columnas, y tomando solo en cuenta la masadel elemento horizontal, cuya densidad lineal es m0;determine las siguientes aspectos:

• Establecer las matrices de masa y rigidez del sis-tema, asociados a los grados de libertad mostrados.

• Despreciando el amortiguamiento y tomando en cuenta las cargas mostradas, escriba la ecua-cion matricial de movimiento.• Mediante un procedimiento de condensacion estatica, elimine los grados de libertad rotacio-nales, y escriba la ecuacion de movimiento para la coordenada de desplazamiento horizontal.

7.25.El portico mostrado en la Figura tiene todos sus ele-mentos como los del Problema 7.24, donde el elemen-to horizontal solo tiene el desplazamiento indicado.Escriba la ecuacion diferencial gobernante del movi-miento para la coordenada horizontal mostrada.Compare el resultado obtenido, con aquel hallado enla ultima pregunta del Problema 7.24; y si existendiscrepancias, dar las razones para ello.

7.26.Considere la estructura mostrada en la Figura ad-junta, en la que se indican como datos las propieda-des parametricas de la misma; siendo que la cargaaplicada es P (t) = P0 cos Ωt. Escribir la ecuacion demovimiento, considerando que los nodos se definenen los vertices de la estructura y en sus apoyos ex-tremos.Utilice el procedimiento de condensacion estatica pa-ra obtener la ecuacion de movimiento asociada exclu-sivamente a los desplazamientos rotacionales.

7.27.


Asumiendo que los elementos horizontales son rıgidosy despreciando la elasticidad axial ası como tambienla masa de las columnas, escribir las ecuaciones demovimiento para el portico mostrado en la Figura.Suponga conocidos los valores parametricos que semuestran en el esquema de esta estructura, y utilicecomo coordenadas (grados de libertad) globales, losdesplazamientos horizontales indicados.

7.28.El portico espacial de un solo piso mostrado en laFigura, tiene cuatro columnas iguales con rigidecesflexionales de: EIx= 20 y EIy = 10. La rigidez fle-xionante de cada uno de los elementos horizontales(vigas) es EI=1; ademas se considera que todos es-tos elementos son inextensibles longitudinalmente ensus propias direcciones axiales y carentes de masa.Sin embargo, todos los nodos de esta estructura (losvertices de union superiores)son libres de rotar man-

teniendo la ortogonalidad entre columnas y vigas. La masa rıgida que sostiene esta estructuratiene densidad superficial m = 4, la que esta igualmente distribuıda sobre toda el area de lacubierta, y tiene tres grados de libertad: dos traslaciones ux y uy, y una rotacion uz alrededordel eje vertical. Las longitudes mostradas en el esquema tienen las siguientes magnitudes: L1 =4,L2 = 6 y L3 = 3; con todos los datos numericos proporcionados en unidades compatibles. Si sedesprecia la rigidez torsional de las columnas portantes de la estructura, determinar la ecuaciongobernante del movimiento vibracional libre que tiene este sistema.

7.29.En la Figura mostramos un sistema de transmisionde movimiento rotacional compuesto de una serie deengranajes conectados mediante ejes. Los momentosde inercia polares centroidales de los engranajes seasumen conocidos; y los ejes considerados de masadespreciable, tienen coeficientes de rigidez torsionaldeterminados. Ademas, este sistema es perturbadoexteriormente mediante un momento torsor explıci-

tamente definido, el cual actua sobre el engranaje del extremo izquierdo como se muestra. Si lascoordenadas rotacionales globales son las indicadas, determinar la ecuacion matricial de movi-miento oscilatorio del sistema.

7.30.


El sistema de engranajes conectados mediante ejesmostrado en la Figura, es lo que comunmente sedenomina un “tren de engranajes”; en el que lamasa de los ejes se considera de magnitud despre-ciable. Los valores parametricos de los engranajesmostrados tienen las proporciones siguientes:

r13 = r r11 = r12 = r21 = 3r r22 = 2r

I13 = I I11 = I21 = 2I I11 = I21 = 3I I0 = 4I

y los ejes de conexion entre los engranajes, tienen proporcion: kt1 = 2kt kt2 = kt.

Definir adecuadamente los grados de libertad rotacionales asociados al sistema, y escribir laecuacion matricial gobernante del movimiento vibratorio rotacional asociada a las coordenadasglobales elegidas.

7.31.Los discos mostrados en la Figura ruedan sin deslizaren contacto con una superficie algo rugosa de coe-ficiente de friccion despreciable, donde los parame-tros mostrados tienen valores conocidos. Si se esco-gen como grados de libertad, los desplazamientos ho-rizontales indicados, demostrar mediante el metodoenergetico general que la ecuacion de vibracion libredel sistema resulta:[

32m 00 3

2m

]x1

x2

+

[9k −8k−8k 10k

]x1

x2

=

00

7.32.En el sistema mostrado en la Figura en el que loselementos principales son un bloque deslizante yuna varilla rıgida, se escogen las coordenadas x y θcomo los grados de libertad del mismo. Suponiendoconocidos todos los valores parametricos mostradosen el esquema, y aplicando el metodo energeticogeneral, demostrar que la ecuacion linealizada demovimiento libre es:[

3m mLmL 2

3mL2

]x

θ

+

[2c cLcL cL2

]x

θ

+

[3k 2kL

2kL 2kL2 +mgL

]xθ

=

00

7.33. Considere nuevamente el Ejemplo 7.2, con el mismo planteamiento efectuado para la situacionanalizada. Determine nuevamente la ecuacion de movimiento vibratorio del sistema, pero estavez haciendo uso del metodo energetico general.

7.34.


Suponiendo conocidos los valores de los diversosparametros del sistema mostrado en la Figura, y apli-cando el metodo energetico general, determinar laecuacion de movimiento de las oscilaciones libres delmismo.

7.35. Aplicando el metodo energetico general, resolver nuevamente los Problemas 7.11 – 7.12 y 7.30.

Capıtulo 8

Evaluacion de la respuesta

Aquı es necesario redactar algo de texto!!!.

8.1. Introduccion

Formulado el modelo para un sistema de multiples grados de libertad, corresponde ahora resolver laecuacion matricial gobernante del movimiento oscilatorio. Para tal proposito utilizaremos los metodosde una poderosa herramienta matematica: el Algebra Lineal. El proceso de solucion, sin embargo,seguira una senda totalmente paralela a la solucion de un problema de un solo grado de libertad; esdecir, definir primero parametros de respuesta para el sistema en condicion autonomica (vibracionlibre) y luego obtener la solucion del problema debida a una excitacion externa aplicada en particular.

En el Capıtulo anterior, que estuvo enteramente dedicado a la formulacion de modelos matematicospara sistemas con varios grados de libertad, obtuvimos la ecuacion gobernante de esta clase de sistemascuando se admite que los mismos eran perturbados desde el medio circundante externo. Dicha ecuacion,como recordamos aquı esta descrita por:

[M ]|u〉+ [C]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉 (8.1)

que es la ecuacion de movimiento del sistema, y cuya solucion sera objeto de desarrollo teorico y analisisdel presente capıtulo. Remarcamos aquı que la perturbacion externa actuante en los puntos nodalesde la estructura o sistema, posee variacion temporal: |P 〉 = |P (t)〉, y la solucion: |u〉 = |u(t)〉 describela variacion temporal de los grados de libertad nodales asignados al sistema en conjunto (por ello a loscoeficientes de este vector los denominamos coordenadas globales).

En la Ecuacion (8.1) se suponen conocidos los parametros dinamicos del sistema, descritos porlos valores que conforman los diferentes coeficientes de las matrices de masa [M ], amortiguacion[C], y rigidez [K]; y tambien se asume conocida la descripcion de la perturbacion externa actuante:|P 〉 = |P (t)〉. La formulacion del problema se completa con la especificacion de las condiciones inicialesde movimiento; es decir, la definicion explıcita de los vectores posicion y velocidad iniciales:

|u(t0〉 = |u0〉 |u(t0〉 = |u0〉 (8.1a)

donde t0 es el instante inicial de observacion, que por comodidad de descripcion de la evolucion temporalde la respuesta del sistema a menudo se escoge con valor: t0 = 0 ; lo cual de ningun modo restageneralidad a la solucion obtenida, cuando se decide escoger el origen de tiempos coincidente con elorigen de la escala de medida temporal de los eventos de vibracion que ejecuta el sistema en estudio !.

239

240 CAPITULO 8. EVALUACION DE LA RESPUESTA

8.2. Vibracion libre no–amortiguada

La vibracion libre no–amortiguada para un sistema con varios grados de libertad se define enforma totalmente analoga que para un sistema de un solo grado de libertad; es decir, ausencia deamortiguamiento [C] = [0] y excitacion externa nula |P 〉 = |0〉. Matematicamente esto es equivalentea reducir la Ecuacion (8.1) y escribirla como:

[M ]|u〉+ [K]|u〉 = |0〉 (8.2)

Si se supone ahora que el sistema vibra en una forma armonica (esto es lo que se denomina modode vibracion), entonces se tendrıa como solucion de la ecuacion gobernante:

|u〉 = |a〉 sinωt (8.3)

donde |a〉 es vector de amplitudes constante y ω la frecuencia de vibracion o movimiento oscilatorio.Reemplazando esta solucion supuesta en la Ecuacion (8.2),

−ω2 sinωt[M ]|a〉+ sinωt[K]|a〉 = |0〉

o, de modo equivalente ([K]− ω2[M ])|a〉 = |0〉 (8.4)

que representa un sistema algebraico de ecuaciones lineales homogeneo, el mismo que admite solucionesdistintas de cero si y solamente si, el determinante de la matriz de coeficientes se anula; es decir:

||[K]− ω2[M ]|| = 0 (8.5)

relacion que proporciona un polinomio de n–esimo grado (el numero de grados de libertad) en ω2, alque comunmente se lo denomina polinomio caracterıstico. De modo desarrollado, la ecuacion anteriortoma el siguiente aspecto:

βn(ω2)n + βn−1(ω2)n−1 + · · ·+ β1ω

2 + β0 = 0 (8.5a)

donde βi (i = 0, 1, . . . , n) son coeficientes constantes conocidos. Las raıces o valores solucion quecumplen la anterior ecuacion anulando el polinomio caracterıstico, hacen que el mismo proporcione loscuadrados de n posibles frecuencias naturales circulares, a partir de las cuales se pueden determinar lasn frecuencias naturales asociadas fi = 2π/ωi (i = 1, 2, . . . , n) las cuales ordenadas en forma crecienteestablecen el espectro de frecuencias del sistema.

La raiz cuadrada del menor valor de magnitud entre las n soluciones de la Ecuacion (8.5a) seconoce como la frecuencia natural fundamental, y el periodo asociado con ella es denominado periodofundamental del sistema. Las demas frecuencias y periodos asociados, se denominan en forma co-rrespondiente al orden que ocupan despues de la primera frecuencia cuando son ordenadas en formacreciente; es decir:

ω1 6 ω2 6 . . . 6 ωi 6 . . . 6 ωn (8.6)

ωi = i–esima frecuencia natural circular i = 1, 2, . . . , n

Ti =2π

ωi(8.6a)

Ti = i–esimo perıodo natural i = 1, 2, . . . , n

fi =1

Ti=ωi2π

(8.6b)

fi = i–esima frecuencia natural [Hz] i = 1, 2, . . . , n

De lo anterior, es completamente evidente que a toda frecuencia natural corresponde una formao modo de vibrar particular; y que un sistema de n grados de libertad posee tambien n frecuencias

8.2. VIBRACION LIBRE NO–AMORTIGUADA 241

naturales y modos de vibracion asociados. El procedimiento de hallar estas formas posibles de vibraciones comunmente denominado analisis modal del sistema. Un modo de vibracion particular, asociadoa una frecuencia natural especıfica del conjunto de valores establecidos en la Ecuacion (8.6), puedeencontrarse con el siguiente procedimiento.

Supongamos que |a〉r corresponde a ωr (r=1;n), entonces se deberıa cumplir la Ecuacion (8.4):

([K]− ω2r [M ])|a〉r = |0〉 (8.7)

Si el vector de amplitudes asociado a la frecuencia escogida es distinto de cero, entonces el sistemahomogeneo anterior tiene infinitas soluciones para el vector de coeficientes incognita |a〉r; lo que parafines operativos puede calcularse como sigue.

Sea [B]r una matriz cuadrada no singular (por el momento), que esta definida por coeficientes aevaluarse cumpliendo las condiciones del problema. De la definicion de matriz inversa asociada a estearreglo, se tiene:

Adj [B]r = ||[B]r||[B]−1r

Pre–multiplicando por [B]r la relacion anterior, obtenemos:

[B]r Adj [B]r = ||[B]r||

Si suponemos ahora que la matriz que estamos manipulando no admite inversa, entonces cumplecon: ||[B]r|| = 0; y en consecuencia,

[B]r Adj [B]r = [0]

Haciendo ahora que se cumpla: [B]r = [K]− ω2r [M ] (8.8)

entonces, ([K]− ω2r [M ]) Adj ([K]− ω2

r [M ]) = [0]

Por comparacion con la Ecuacion (8.7), esta ultima relacion se interpreta como:

|a〉r ∝ Colj Adj [B]r = Colj Adj ([K]− ω2r [M ]) (8.9)

o sea que el vector de amplitudes solucion de la Ecuacion (8.7) es proporcional a cualquier vectorcolumna de la adjunta de la matriz [B]r. En consecuencia, cualquier columna de Adj [B]r satisfacela Ecuacion (8.7) y es por lo tanto un modo de vibracion del sistema, el cual esta asociado con lafrecuencia natural escogida; pues define las amplitudes de magnitud relativas que adoptan los gradosde libertad que fueron asignados al sistema, en ese modo particular de oscilacion.

Ejemplo 8.1. En la Figura 8.1(a) se muestra una estructura tipo portico de dos pisos. Suponiendo loselementos horizontales (entrepisos) completamente rıgidos, hallar las frecuencias naturales y los mo-dos asociados de vibracion. En el calculo numerico, se sugiere utilizar los siguientes valores dinamicosparametricos:

m1 = 2 Ton-seg2/cm m2 = 4 Ton-seg2/cm k1 = 40 Ton/cm k2 = 100 Ton/cm

Ademas, como propuesta complementaria, interpretaremos graficamente los resultados obtenidosde solucion al problema planteado.

> Solucion

En la Figura 8.1(a) se incluyen las coordenadas de desplazamiento asignadas a la estructura (los gradosde libertad), suponiendo que los elementos horizontales son rıgidos y que las columnas son inextensiblesaxialmente. En cambio, en la Figura 8.1(b) mostramos el modelo de parametros dinamicos concentradosasociado al prototipo real o estructura portico doble en analisis.

Solamente por propositos de tipo didactico, obtendremos las matrices involucradas en la ecuaciongobernante de la vibracion libre del modelo planteado utilizando el metodo de ensamble de elementos,


(a) Diagrama esquematico estructural (b) Modelo de parametros concentrados

Figura 8.1: Vibracion libre de portico doble

(a) Elemento 2© (b) Elemento 1©

Figura 8.2: Elementos componentes y grados de libertad locales

planteado y desarrollado en el capıtulo anterior. Para ello, definamos los elementos mostrados en laFigura 8.2 en los que ademas mostramos las coordenadas locales asignadas a ambos.

Las matrices de masa y rigidez locales correspondientes a los elementos mostrados en la Figura 8.2son las indicadas a continuacion:

[K]1 =

[k1 −k1

−k1 k1

][M ]1 =

[m1 00 0

][K]2 =

[k2

][M ]2 =

[m2

]La matriz de conectividad o matriz de transformacion de desplazamientos o grados de libertad,

sabemos esta definida en la relacion generica: |δ〉 = [β] |u〉, la cual en forma desarrollada se demuestrafacilmente que es: δ1

δ2

δ3

=

1 00 10 1

u1

u2

La matriz de rigidez del sistema se la evalua mediante la conocida ecuacion:

[K] = [β]T [K][β]

donde, como sabemos, [K] es la matriz de rigidez no–ensamblada del sistema, compuesta de las matricesde rigidez locales de los elementos dispuestas en los coeficientes de la diagonal principal de este arreglomatricial. Entonces, si evaluamos esta ecuacion de modo desarrollado, obtenemos:

[K] =

[1 0 00 1 1

] k1 −k1 0−k1 k1 0

0 0 k2

1 00 10 1

=

[1 0 00 1 1

] k1 −k1

−k1 k1

0 k2

=

[k1 −k1

−k1 k1 + k2

]La matriz de masa se evalua de manera completamente analoga:

[M ] = [β]T [M ][β] =

[1 0 00 1 1

]m1 0 00 0 00 0 m2

1 00 10 1

=

[m1 00 m2

]


Reemplazando valores,[K] =

[40 −40−40 140

][M ] =

[2 00 4

]Las frecuencias naturales del sistema se obtienen hallando las raıces del polinomio caracterıstico;

es decir resolviendo la ecuacion:

det ([K]− ω2[M ]) = ||[K]− ω2[M ]|| = 0

Con las matrices previamente halladas, esta relacion sintetica se desarrolla como se muestra a conti-nuacion; ∣∣∣∣∣∣∣∣[ 40 −40

−40 140

]− ω2

[2 00 4

]∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣40− 2ω2 −40−40 140− 4ω2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

(40− 2ω2)(140− 4ω2)− 402 = 0 ⇒ ω4 − 55ω2 + 500 = 0

Las soluciones o raıces de la ecuacion bi–cuadratica anterior, como puede comprobarse facilmente,resultan ser:

ω21 = 11, 49 ω1 = 3, 39 rad/seg

ω22 = 43, 51 ω2 = 6, 60 rad/seg

las mismas que tienen asociadas los siguientes valores de frecuencia natural, medidas en Hertz:

f1 =ω1

2π= 0, 54 [Hz] f2 =

ω2

2π= 1, 05 [Hz]

Los modos de vibracion se hallan como sigue:

Para la frecuencia fundamental o primaria ω1:

[B]1 = [K]− ω21 [M ] =

[40− 2(11, 49) −40

−40 140− 4(11, 49)

]=

[17, 02 −40−40 94, 04

]

Adj [B]1 =

[94, 04 40

40 17, 02

]De lo anterior, se observa que se puede tomar como forma de vibrar en este modo particularasociado con la frecuencia fundamental, a cualquiera de las columnas de esta matriz; por lotanto:

|a〉1 =

40

17, 02

Para la frecuencia secundaria ω2:

[B]2 = [K]− ω22 [M ] =

[40− 2(43, 51) −40

−40 140− 4(43, 51)

]=

[−47, 02 −40−40 −34, 04

]

Adj [B]1 =

[−34, 04 40

40 −47, 02

]Por las mismas razones, adoptamos para el vector de amplitudes del segundo modo:

|a〉2 =

40

−47, 02


(a) Espectro de frecuencias (b) Formas modales de respuesta

Figura 8.3: Respuesta libre no–amortiguada del sistema vibratorio

Los resultados obtenidos pueden ser representados graficamente. Las frecuencias naturales caracterısti-cas asociadas al modelo de analisis ordenadas en forma ascendente segun su orden de magnitud, definenlo que hemos denominado espectro de frecuencias, el cual es mostrado en la Figura 8.3(a). La forma devibrar de la estructura asociada cada una de ellas a las correspondientes frecuencias naturales halladases la que mostramos en la Figura 8.3(b) mediante un esquema de los modos de vibracion.

En razon de que los modos de vibracion son vectores independientes del tiempo, se deduce que siel sistema vibra en una frecuencia particular, digamos ω2, todos los puntos del sistema (estructura) sedesplazaran proporcionalmente a |a〉2; esto se ve facilmente a partir de la relacion basica:

|u(t)〉 = |a〉2 sinω2t

que define la respuesta del sistema, en este caso asociada a un particular modo de vibracion. >Las frecuencias naturales y los modos normales asociados de vibracion de un sistema son mas facil de

ser calculados, si asumimos que efectivamente los mismos existen. Como fue establecido previamente, elasumir una respuesta de tipo armonico al movimento libre del sistema, nos permitio plantear la ecuacioncaracterıstica asociada al modelo planteado, la cual proporciona las frecuencias naturales posibles devibracion y la forma caracterıstica de movimiento asociado a cada una de ellas. Sin embargo, existensituaciones especiales donde se presentan modos de comportamiento degenerados, que no precisamenteestan asociados con una respuesta de tipo oscilatorio. El siguiente ejemplo nos muestra tal situacion.

Ejemplo 8.2. La Figura 8.4 nos muestra un sistema rotacional consistente de dos volantes circularescon inercia masica polar conocida, los cuales estan interconectados mediante un eje de rigidez torsionaldeterminado que se apoya en un par de cojinetes como se muestra. Deseamos determinar los modosde vibracion torsional de este sistema.

Figura 8.4: Sistema en movimiento vibratorio torsional

> Solucion


En el esquema grafico de planteamiento del problema, se establecen las coordenadas globales o gradosde libertad asignados al sistema (desplazamientos angulares de los volantes o placas rıgidas circula-res). Como no se especifica ninguna perturbacion externa, resulta evidente que el vector de cargas deexitacion es nulo (|P (t)〉 = |0〉); y como tampoco se indica presencia de fuerzas amortiguadoras delmovimiento, es tambien evidente que la matriz de amortiguamiento es nula ([C] = [0]). Estas condi-ciones, evidentemente, determinan que el sistema tenga comportamiento dinamico de vibracion libreno–amortiguada, el cual esta gobernado por la ecuacion siguiente:

[I]|θ〉+ [Kt]|θ〉 = |0〉 (a)

que es la adecuada en notacion, a la vibracion de tipo rotacional.Resulta evidente que la energıa cinetica de movimiento del sistema es:

T = 12I1θ

21 + 1

2I1θ21 = 1

2

θ1 θ2

[I1 00 I2

]θ1

θ2

= 1

2 〈θ|[I]|θ〉

En cambio, la energıa potencial acumulada por deformacion elastica resulta ser en este caso:

U = 12kt(θ2 − θ1)

2 = 12kt(θ

21 − 2θ1θ2 + θ2

2 ) = 12

θ1 θ2

[ kt −kt−kt kt

]θ1

θ2

= 1

2 〈θ|[Kt]|θ〉

Las relaciones anteriores nos permiten identificar claramente las matrices de parametros dinami-cos del sistema: la matriz de inercia polar y la matriz de rigidez torsional. Ademas, como sabemos,las mismas tambien nos permiten escribir la ecuacion que gobierna la vibracion torsional de este sis-tema. Entonces, reemplazando en la Ecuacion (a), la ecuacion de movimiento del sistema en formadesarrollada resulta ser en este caso:[

I1 00 I2

]θ1

θ2

+

[kt −kt−kt kt

]θ1

θ2

=

00

(b)

Las frecuencias naturales del sistema se obtienen hallando las raıces del polinomio caracterısticoasociado; es decir resolviendo la ecuacion:

det ([Kt]− ω2[I]) = ||[Kt]− ω2[I]|| = 0 (c)

Con las matrices previamente halladas, esta relacion sintetica se desarrolla como se muestra a conti-nuacion; ∣∣∣∣∣∣∣∣[ kt −kt

−kt kt

]− ω2

[I1 00 I2

]∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣kt − ω2I1 −kt−kt kt − ω2I2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

(kt − ω2I1)(kt − ω2I2)− k2t = 0 ⇒ ω2

[ω2 − kt(I1 + I2)

I1 I2

]= 0

La ecuacion caracterıstica obtenida, tiene como raıces a los valores siguientes:

ω21 = 0 ω1 = 0

ω22 =

kt(I1 + I2)

I1 I2

ω2 =

√kt(I1 + I2)

I1 I2

Estos resultados nos muestran que la frecuencia fundamental es nula (ω1 = 0), que posee un modo devibracion asociado que se puede obtener segun el siguiente procedimiento:

[B]1 = [Kt]− ω21 [I] =

[kt −kt−kt kt

]= kt

[1 −1−1 1

]


Adj [B]1 = kt

[1 11 1

]Se puede tomar como forma de vibrar en este modo singular asociado con la frecuencia fundamental,a cualquiera de las columnas de esta matriz; 1 por lo tanto:

|a〉1 =

11

El modo secundario de vibracion se evalua con procedimiento completamente similar,

[B]2 = [Kt]− ω22 [I] =

[kt − ω2

2 I1 −kt−kt kt − ω2

2 I2

]= kt

[− I1I2 −1

−1 − I2I1

]

Adj [B]2 = kt

[− I2I1 1

1 − I1I2

]Si por ejemplo, y solamente para propositos de tipo ilustrativo, asumieramos como valores numericos:I2 =2I1 =2; se puede escoger como vector de amplitudes relativas en este modo de vibracion al siguientearreglo de coeficientes:

|a〉2 =

1− 1

2

En la Figura 8.5 mostramos ambos modos de vibracion calculados, cada uno de ellos asociado a un

valor de frecuencia de oscilacion determinado.

(a) Modo fundamental, ω1 =0 (b) Modo secundario, ω2

Figura 8.5: Formas modales de respuesta libre no–amortiguada

En este ejemplo, uno de los valores de ω2 que satisface la ecuacion caracterıstica es cero (ω1 = 0).Esto ocurre por que el eje y los dos volantes son libres de rotar en conjunto en movimiento de cuerporıgido en sus soportes (cojinetes o rodamientos), sin ninguna deformacion del eje que conecta losvolantes; ya que los mismos no tienen movimiento relativo entre ellos: θrel =θ2 − θ1 =0 !.

Que la solucion ω1 = 0 pueda ser interpretada de esta manera, se deduce resolviendo la ecuaciondiferencial gobernante para una de las coordenadas, digamos para θ1. En notacion operacional, laecuacion diferencial a resolver para esta coordenada (vease el Problema 8.4) es:

D2(D2 + ω22 ) θ1 = 0 D2 ≡ d2

dt2(d)

donde ω2 = kt(I1 + I2)/I1I2. La solucion del sistema se demuestra que es:

θ1 = (A+Bt) + (C cosω2t+D sinω2t)(e)

θ2 = (A+Bt)− (I1/I2)(C cosω2t+D sinω2t)

1 Recuerdese que el vector modal de amplitudes |a〉r asociado a cualquier frecuencia natural ωr para un sistema demultiples grados de libertad, tiene como coeficientes a las magnitudes maximas relativas de las coordenadas globalesasignadas al sistema, en dicha forma particular de oscilacion.

8.3. PROPIEDADES MODALES DE VIBRACION 247

donde A, B, C y D son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales de movimiento;es decir de la especificacion de desplazamientos y velocidades angulares iniciales.

Los terminos en los primeros parentesis en el lado derecho de cada expresion representa una rotacionpermanente con velocidad angular B (rotacion de cuerpo rıgido); acompanada simultaneamente deuna vibracion torsional con frecuencia natural circular ω2, representada por los terminos en los ultimosparentesis del lado derecho de ambas ecuaciones. >

El ejemplo recien resuelto permite emitir una conclusion general muy importante: Si un sistema demultiples grados de libertad no posee restriccion al movimiento mediante desplazamientos de traslaciono rotacion segun cierta direccion espacial, entonces es suceptible de tener movimiento de cuerpo rıgidosegun dicha direccion; con una frecuencia natural circular nula, y un vector modal asociado compuestode coeficientes con valores numericos identicos.

8.3. Propiedades modales de vibracion

De la ecuacion caracterıstica de un sistema de varios grados de libertad, se deduce que las formasde vibrar son auto–vectores de un problema de valores propios generalizados; lo cual se aprecia si laEcuacion (8.7) se escribe del modo siguiente:

[K]|a〉r = ω2r [M ]|a〉r (8.10)

donde los cuadrados de las frecuencias naturales son los auto–valores correspondientes. En cosecuencia,es posible deducir ciertas propiedades inherentes a la naturaleza matematica del problema. Estasrelaciones seran posteriormente aprovechadas para generar las soluciones de respuesta del sistema deecuaciones diferenciales que plantea la ecuacion matricial de movimiento de un sistema dinamico.

8.3.1. Relaciones de ortogonalidad

Sean dos valores propios no–nulos y distintos entre sı,

ω2r 6= ω2

s 6= 0 r 6= s

Entonces, considerando los vectores propios asociados se cumple para estas parejas:

[K]|a〉s = ω2s [M ]|a〉s (8.11a)

[K]|a〉r = ω2r [M ]|a〉r (8.11b)

Pre–multiplicando las Ecuaciones (8.11a) y (8.11b) por |a〉r y |a〉s, respectivamente; y transponiendola primera de las relaciones,

〈a|s[K]|a〉r = ω2s〈a|s[M ]|a〉r

〈a|s[K]|a〉r = ω2r〈a|s[M ]|a〉r

Ahora, restando la segunda ecuacion de la primera,

(ω2s − ω2

r)〈a|s[M ]|a〉r = 0

En virtud de que por hipotesis: ω2s 6= ω2

r , deducimos que:

〈a|s[M ]|a〉r = 0 (8.12)

Ademas, de la Ecuacion (8.11b) se obtiene como relacion adicional:

〈a|s[K]|a〉r = 0 (8.13)


Las Ecuaciones (8.12) y (8.13) se conocen como relaciones de ortogonalidad de las formas modales.A partir de la Ecuacion (8.11a) y de las ultimas ecuaciones, es posible deducir aun relaciones de

ortogonalidad generales, cuya utilidad sera demostrada mas adelante. Para este proposito, consideremosla Ecuacion (8.11a) y pre–multipliquemos por 〈a|r[K][M ]−1:

〈a|r[K][M ]−1[K]|a〉s = ω2s〈a|r[K][M ]−1[M ]|a〉s = ω2

s〈a|r[K]|a〉s = 0

esto en virtud de la Ecuacion (8.12). Si ahora pre–multiplicamos la Ecuacion (8.11a) por el termino:〈a|r[K][M ]−1[K][M ]−1, obtenemos:

〈a|r[K][M ]−1[K][M ]−1[K]|a〉s = ω2s〈a|r[K][M ]−1[K][M ]−1[M ]|a〉s

= ω2s〈a|r[K][M ]−1[K]|a〉s = 0

debido a la ecuacion precedente.En general, si realizamos b productos del tipo anterior, tendremos que:

〈a|r([K][M ]−1)b[K]|a〉s = 0 (8.14)

donde ‘b’ toma valores enteros. La Ecuacion (8.14) es la relacion generalizada de ortogonalidad, e incluyea las dos previamente halladas [Ecuaciones (8.12) y (8.13)] cuando b=−1 y b=0, respectivamente.

En este momento, y para fines posteriores de desarrollo teorico, conviene evaluar el siguiente pro-ducto: 〈a|s([K][M ]−1)b[K]|a〉s. Para tal efecto, definamos:

〈a|s[K]|a〉s = ω2sms

y, a continuacion formemos los siguientes productos:

〈a|s[K][M ]−1[K]|a〉s = ω2s〈a|s[K][M ]−1[M ]|a〉s = ω4

sms

〈a|s[K][M ]−1[K][M ]−1|a〉s = ω2s〈a|s[K][M ]−1[K][M ]−1[M ]|a〉s = ω6

sms

Ası, en general, se obtiene:〈a|s([K][M ]−1)b[K]|a〉s = ω2b+2

s ms (8.15)

Expresion que sera absolutamente necesaria en el manejo de la ecuacion matricial gobernante desistemas de multiples grados de libertad con amortiguamiento.

8.3.2. Matrices modales

Se ha establecido la metodologıa de calculo y la significacion fısica de cada modo o forma devibracion de un sistema. En razon de que para un sistema de n grados de libertad existen n modosde vibracion, conviene establecer una notacion que sea descriptiva de los coeficientes contenidos enlos vectores modales. En particular sea el siguiente vector modal o vector propio del problema deautovalores asociado a un sistema vibratorio:

|a〉r =

a1r

a2r

...anr

(8.16)

Cualquier elemento o coeficiente aij del vector anterior se interpreta como: el desplazamiento de lacoordenada i en el nodo j. Si ahora tomamos los n modos de vibracion, representados por los vectoresmodales |a〉r (r = 1;n) asociados a las n frecuencias naturales de un sistema; y los ordenamos demanera de formar una matriz, tendremos el siguiente arreglo:

[Ψ] =[|a〉1 |a〉2 · · · |a〉n

](8.17)

8.3. PROPIEDADES MODALES DE VIBRACION 249

en forma desarrollada:

[Ψ] =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... · · ·

...an1 an2 · · · ann

(8.17a)

La matriz [Ψ] se denomina matriz modal natural (no–normalizada), y su uso se vera mas adelantecuando se este hallando la respuesta de sistemas vibratorios forzados.

Debido a que los modos de vibracion no estan definidos en forma unıvoca, se tendra que la ma-triz modal [Ψ] no es unica. Este aspecto no es vital, ni afecta la solucion final del problema. Sinembargo, puede ser util efectuar un procedimiento de normalizacion para las formas modales. De losvariados procedimientos posibles, elegiremos el que obliga a que la longitud o norma del vector modal,transformado a partir del vector modal original |a〉r, respecto de la matriz de masa sea unitaria.

Si |a〉r es el vector de amplitudes del r–esimo modo de vibracion, podemos exigir que este vectorcumpla la relacion siguiente:

〈a|r[M ]|a〉r = ηr (8.18)

siendo ηr cierto valor escalar que es siempre positivo, porque ?. Y, tomamos para el vector modalnormalizado asociado tambien al r–esimo modo de oscilacion:

|φ〉r =1√ηr|a〉r (8.19)

Evaluemos ahora la norma de este vector respecto de la matriz de masa, efectuando el producto:

〈φ|r[M ]|φ〉r =1√ηr〈a|r[M ]

1√ηr|a〉r =

〈a|r[M ]|a〉r√ηr√ηr

=ηr√ηr√ηr

= 1

El vector modal definido mediante la Ecuacion (8.19), efectivamente es vector modal normalizadorespecto de la matriz de masa, pues como demostramos cumple:

〈φ|r[M ]|φ〉r = 1 (8.20)

De este modo, asociado a cada vector modal original |a〉r podremos hallar un vector modal normalizadoasociado |φ〉r, el cual posee longitud o norma relativa a la matriz de masa de magnitud unitaria.

Los vectores modales normalizados |φ〉r, definidos por medio de la Ecuacion (8.19), son propor-cionales a los vectores modales originales |a〉r. Por esta razon, los mismos deben ser mutuamenteortogonales; es decir, si tomamos dos vectores modales normalizados distintos |φ〉r y |φ〉s (r 6= s),las relaciones de ortogonalidad respecto de la matriz de masa y la matriz de rigidez descritas porlas Ecuaciones (8.12) y (8.13) respectivamente, deben satisfacerse tambien por estos vectores modalesnormalizados:

〈φ|s[M ]|φ〉r = 0 (8.21a)

〈φ|s[K]|φ〉r = 0 (8.21b)

Si ahora, ordenamos todos los vectores modales normalizados y los agrupamos (en columnas) enun arreglo matricial, tendremos una matriz cuadrada definida como:

[Φ] =[|φ〉1 |φ〉1 · · · |φ〉n

](8.22)

que en forma desarrollada con todos sus coeficientes tendra el aspecto,

[Φ] =

φ11 φ12 · · · φ1n

φ21 φ22 · · · φ2n

...... · · ·

...φn1 φn1 · · · φnn

(8.22a)


que llamaremos matriz modal normalizada (aunque el termino “normalizada” no sea estricta y exacta-mente aplicable desde el punto de vista general de la dinamica analıtica).

Debido al cumplimiento de las Ecuaciones (8.20) y (8.21a), para las columnas que conforman lamatriz modal normalizada establecida anteriormente, se puede demostrar (vease el Problema 8.6) queesta matriz diagonaliza la matriz de masa hacia la matriz unitaria o identidad; es decir que se cumple:

[Φ]T [M ][Φ] = [I] (8.23)

Ademas, podemos aseverar que la matriz modal normalizada no solamente diagonaliza la matriz demasa, pues se puede demostrar (vease el Problema 8.7) que tambien diagonaliza a la matriz de rigidezhacia la denominada matriz de frecuencias naturales cuadraticas; pues, tambien se cumple:

[Φ]T [K][Φ] = [ω2] [ω2] =

ω2

1

ω22

. . .

ω2n

(8.24)

donde la matriz [ω2] es matriz diagonal que tiene como coeficientes solamente no–nulos, a las diversasfrecuencias naturales cuadraticas ω2

r (r = 1;n); que se ubican sobre la diagonal principal de estamatriz. Los coeficientes no escritos son obviamente ceros.

El hecho de que la matriz de rigidez [K] de un sistema sea semi–definida positiva y que la matrizde masa [M ] sea definida positiva, permite establecer la siguiente propiedad fundamental para lasfrecuencias naturales de vibracion asociados a los diversos modos de oscilar de un sistema.

Sea el problema fundamental de vectores y valores propios que plantea el comportamiento envibracion libre de un sistema de multiples grados de libertad, descrito por la Ecuacion (8.10):

[K]|a〉r = ω2r [M ]|a〉r

Si en esta relacion introducimos los vectores modales normalizados, calculados por aplicacion de laEcuacion (8.19), tendremos como resultado:

[K]√ηr |φ〉r = ω2

r [M ]√ηr |φ〉r ⇒ √ηr [K]|φ〉r = ω2

r√ηr [M ]|φ〉r

[K]|φ〉r = ω2r [M ]|φ〉r

Si esta ecuacion es pre–multiplicada por la transpuesta del vector modal normalizado, tendremos:

〈φ|r[K]|φ〉r = ω2r〈φ|r[M ]|φ〉r

y, despejando:ω2r =

〈φ|r[K]|φ〉r〈φ|r[M ]|φ〉r

(8.25)

conocido en la literatura especializada como el cociente de Raleigh; de donde por las condiciones depositividad de las matrices de masa y rigidez, se concluye que: ω2

r > 0; y por tanto:

ωr > 0 r = 1;n (8.26)

es decir, que todas las frecuencias naturales asociadas con los diversos modos de vibracion de un sistemade varios grados de libertad, son siempre positivas (y en casos de particularidad extrema, nulas).

Ejemplo 8.3. Considere el sistema vibratorio que fue analizado en el Ejemplo 8.1. Obtener la matrizmodal normalizada asociada al sistema analizado y verifique los procedimientos de diagonalizacionrespecto de la matriz de masa y la matriz de rigidez.

> Solucion

8.4. LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD 251

En el Ejemplo 8.1 hemos determinado como vectores modales naturales, a los siguiente arreglos:

〈a|1 =

40 17, 02

〈a|2 =

40 −47, 02

los cuales debemos normalizar mediante el procedimiento establecido anteriormente.

η1 = 〈a|1[M ]|a〉1 =

40 17, 02 [2 0

0 4

]40

17, 02

= 4358, 722

η2 = 〈a|2[M ]|a〉2 =

40 −47, 02 [2 0

0 4

]40

−47, 02

= 12043, 522

〈φ|1 =1√η1

〈a|1 =1√

4358, 722

40 17, 02

=

0, 606 0, 258

〈φ|2 =1√η2

〈a|2 =1√

12043, 522

40 −47, 02

=

0, 364 −0, 428

La matriz modal normalizada sera entonces determinada por el ordenamiento en columna de estosvectores,

[Φ] =[|φ〉1 |φ〉2

]=

[0, 606 0, 3640, 258 −0, 428

]Verificamos ahora los procesos de diagonalizacion respecto de la matriz de masa y la matriz de

rigidez;

[Φ]T [M ][Φ] =

[0, 606 0, 2580, 364 −0, 428

] [2 00 4

] [0, 606 0, 3640, 258 −0, 428

]=

[1, 009 0, 0000, 000 1, 001

]∼= [I]

[Φ]T [K][Φ] =

[0, 606 0, 2580, 364 −0, 428

] [40 −40−40 140

] [0, 606 0, 3640, 258 −0, 428

]=

[11, 50 0, 000, 00 43, 50

]∼= [ω2]

Vemos que la matriz modal normalizada que hallamos, diagonaliza a la matriz de masa hacia lamatriz identidad; y tambien diagonaliza a la matriz de rigidez hacia la matriz de frecuencias naturaleselevadas al cuadrado (verifique en el Ejemplo 8.1, los valores de ω2

1 y ω22 hallados). >

Es probable que hasta el momento Usted no aprecie de manera clara la utilidad que posee la matrizmodal normalizada asociada a un sistema vibratorio, por lo que insinuo su paciencia hasta arribar haciaalgunas lıneas mas adelante; donde surgiran con prıstina claridad las cualidades que posee esta matrizen el procedimiento de obtencion de la solucion de la ecuacion matricial gobernante del movimientovibratorio de un sistema.

8.4. La matriz de flexibilidad

Las propiedades elasticas de un sistema vibratorio se evaluan mediante un analisis del mismo enuna configuracion de equilibrio estatico, para develar la relacion carga–deformacion existente en elsistema o estructura.

Como ya vimos anteriormente, esta relacion basicamente esta descrita por la matriz de rigidez [K]del sistema; cuya evaluacion mediante la generacion de sus columnas individuales requiere para cadauna de ellas la solucion de un sistema algebraico de n ecuaciones simultaneas, si el sistema posee ngrados de libertad; lo cual representa un extenso gasto de tiempo y esfuerzo en la determinacion de lamatriz de rigidez. La evaluacion de las propiedades elasticas de un sistema puede efectuarse medianteun procedimiento inverso a traves de los denominados coeficientes de influencia de flexibilidad.


Figura 8.6: Sistema perturbado con carga individual

Sea un sistema elastico modelado con n grados de libertad: u1, u2, . . . , un. Si aplicamos una fuerzaF1 en el punto donde esta definida la coordenada u1, segun la direccion de este grado de libertad; seproducira un desplazamiento (deformacion) en dicho punto, de magnitud:

u1 = f11F1

donde f11 es el coeficiente de influencia de flexibilidad asociado al grado de libertad considerado. Pero,como esta fuerza produce la deformacion de todo el sistema, tambien surgiran desplazamientos en losotros grados de libertad con magnitudes:

u2 = f21F1 , u3 = f31F1 , · · · · · · un = fn1F1

relaciones en las cuales se incorporan diversos coeficientes de influencia de flexibilidad, asociados a losgrados de libertad considerados. Un esquema de este comportamiento se muestra en la Figura 8.6.

Si aplicaramos n fuerzas en todos los puntos donde estan definidos los grados de libertad condireccion segun dichas coordenadas; los desplazamientos (deformaciones producidas) asociados a losdiversos grados de libertad, por el principio de superposicion de efectos considerando el sistema decomportamiento lineal elastico, resultarıan ser:

u1 = f11F1 + f12F2 + · · ·+ f1nFn

u2 = f21F1 + f22F2 + · · ·+ f2nFn

· · · · · · · · · · · · · · ·un = fn1F1 + fn2F2 + · · ·+ fnnFn

En notacion matricial, este sistema de ecuaciones puede ser escrito como:u1

u2

...un

=

f11 f12 · · · f1n

f21 f22 · · · f2n

...... · · ·

...fn1 fn2 · · · fnn

F1

F2

...Fn

(8.27)

o, sinteticamente |u〉 = [F ]|F 〉 (8.28)

donde [F ] es conocida como matriz de flexibilidad, la cual establece de manera equivalente la relacioncarga–deformacion en un sistema elastico lineal. Por el desarrollo de deduccion establecido, resultara seresta una matriz de dim(n×n), simetrica (por el principio de reciprocidad de Maxwell), y por lo generalno–singular.

La matriz de flexibilidad en modo sintetico estarıa definida como: [F ] = [ fij ] (i, j = 1;n), dondelos coeficientes fij son llamados coeficientes de influencia de flexibilidad, o mas simplemente coeficien-tes de flexibilidad, los mismos que en forma generica se definen como: 2

2 En esta definicion, los terminos desplazamiento y carga tienen sentido generalizado: para un desplazamiento o gradode libertad de traslacion, la carga sera una fuerza; en cambio, para un desplazamiento angular o rotacion, la cargaasociada sera un momento.

8.4. LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD 253

fij es el desplazamiento elastico correspondiente a la coordenada i, debido a una cargaunitaria aplicada en la coordenada j, segun la direccion de esta.

El uso de esta definicion en cualquier sistema bajo analisis, nos permitira generar la matriz deflexibilidad por columnas. De modo generalizado, para generar la j–esima columna se debe aplicar unacarga unitaria en la coordenada j (Fj=1) concordante en direccion con la coordenada uj en dicho punto[siendo todas las demas cargas nulas Fi = 0 (i 6= j)]; y en esta condicion evaluar los desplazamientosproducidos en todas las coordenadas ui (i=1;n). Estos valores ordenados en columna constituyen laj–esima columna de la matriz de flexibilidad [F ].

Bajo la suposicion que la matriz de flexibilidad sea no–singular; es decir, que admita la evaluacionde una matriz inversa asociada a ella, tendremos que pre–multiplicando la Ecuacion (8.28) por lamatriz inversa de flexibilidad:

[F ]−1|u〉 = [F ]−1[F ]|F 〉 = [I]|F 〉 = |F 〉

por tanto, |F 〉 = [F ]−1|u〉

Cuando las propiedades de elasticidad del sistema que describen la relacion carga–deformacion, sonexpresadas en terminos de los coeficientes de rigidez, la ecuacion que hace esta descripcion vimos queera expresada en terminos matriciales como:

|F 〉 = [K]|u〉

La comparacion de esta relacion con la anterior escrita, nos induce a establecer una importante pro-piedad de reciprocidad para las matrices de rigidez y flexibilidad:

[K] = [F ]−1 y, en consecuencia: [F ] = [K]−1 (8.29)

O sea, que la existencia de la matriz de flexibilidad esta garantizada cuando la matriz de rigidez seano–singular (es decir, que posea inversa).

Cuando un sistema posee grados de libertad de movimiento no–restringidos (sistema semi–definido),es suceptible de tener movimiento de cuerpo rıgido; y en tal caso se demuestra que la matriz de rigidez[K] es singular, lo cual se puede verificar porque para esta clase de sistemas: det([K]) = ||K|| = 0.Entonces, de la Ecuacion (8.29) concluımos que la matriz de flexibilidad [F ] no existe !. Este hechosucede debido a que no existen reacciones de apoyo que balanceen las cargas unitarias que deben seraplicadas a la estructura o sistema mecanico, para deteminar las columnas de la matriz de flexibilidad;y el equilibrio estatico no es posible. Este es el caso, como simple muestra de lo afirmado, del sistemaque fue analizado en el Ejemplo 8.2.

Ejemplo 8.4. Para ilustrar la formulacion de la matriz de flexibilidad mediante proceso de generacionpor columnas de la misma, consideremos el sistema torsional mostrado en la Figura 8.7. Este sistemaesta compuesto de tres volantes (discos) con momentos de inercia polar distintos, conectados entresı mediante ejes de identica rigidez torsional como se muestra;1 donde los valores parametricos indicadosse consideran conocidos.

Figura 8.7: Sistema en movimiento vibratorio torsional


> Solucion

En el problema particular planteado, la relacion carga–deformacion que describe las propiedades elasti-cas del sistema en terminos de la matriz de flexibilidad, la cual en forma generica fue establecida como:|u〉=[F ]|F 〉; sera ahora descrita como: |θ〉 = [F ]|M〉, por tratarse de un sistema rotacional en el quelas cargas son torques o momentos y los desplazamientos son rotaciones angulares asociadas.

En la Figura 8.7 se muestra la asignacion de grados de libertad globales (desplazamientos angulareso rotaciones) para este sistema, en los puntos nodales que asumimos son coincidentes con los centrosde los volantes. Los elementos (coeficientes) de la matriz de flexibilidad, son determinados calculandolas deflexiones o deformaciones angulares debidas a torques o momentos unitarios aplicados en turnoa cada uno de los discos.

(a) Primera columna

(b) Segunda columna

(c) Tercera columna

Figura 8.8: Generacion de la matriz de flexibilidad

En la Figura 8.8(a) mostramos un esquema que nos permite generar la primera columna de lamatriz de flexibilidad. Para ello se aplica un momento unitario M1 = 1 (asociado a θ1), con los otrosgrados de libertad descargados: M2 =M3 = 0; y en tal condicion se determinan las deformaciones quese producen, lo cual da como resultado: θ1 =θ2 =θ3 =1/kt.

Para generar la segunda columna aplicamos: M2 = 1 y M1 =M3 = 0, y se calculan las deflexionesque resultan ser: θ1 =1/kt, y θ2 =θ3 =2/kt.

La tercera columna es generada en base a la solicitacion siguiente: M3 =1 y M1 =M2 =0; condicionen la cual se verifica que las deformaciones angulares que se producen son: θ1 = 1/kt , θ2 = 2/kt , yθ3 =3/kt.

En todos los calculos anteriores hicimos uso de la relacion que establece el coeficiente de rigidezequivalente asociado a un conjunto de resortes (en este caso torsionales) con disposicion en serie, que

indica: 1/keq =n∑j=1

1/kj .

8.5. LA MATRIZ DINAMICA 255

Los resultados anteriormente obtenidos, son ordenados como arreglos verticales (en columna comovectores) y dispuestos en un arreglo mayor que resultarıa ser la matriz de flexibilidad, la cual para elcaso presente resulta:

[F ] =

1kt

1kt

1kt

1kt

2kt

2kt

1kt

2kt

3kt

=1

kt

1 1 11 2 21 2 3

Esta matriz hallada es no–singular, lo cual se verifica rapidamente pues: ||F ||= 1, y por tanto en

este caso es posible a partir de ella establecer la matriz de rigidez asociada al sistema en analisis.Facilmente Usted puede invertir la matriz de flexibilidad, y obtener como solucion:

[K] = [F ]−1 = kt

2 −1 0−1 2 −10 −1 1

Para comprobar este ultimo resultado, se puede verificar que se cumple: [K][F ] = [F ][K] = [I]. >

En la mayorıa de las situaciones de elaboracion de un modelo matematico asociado a cualquiersistema vibratorio, siempre resultara de menor dificultad la evaluacion de la matriz de flexibilidad encomparacion con la evaluacion de la matriz de rigidez para el mismo sistema. Por ello, es que en situa-ciones sobretodo de analisis dinamico estructural, se prefiere efectuar la descripcion de las relacionescarga–deformacion elastica en terminos de la matriz de flexibilidad, ademas que para ello existen adisposicion tablas elaboradas que especifican las cargas y desplazamientos asociados producidos, parauna diversidad de elementos o miembros estructurales sometidos a los diversos tipos de solicitacionexistentes en la mecanica basica de un medio solido deformable.

La utilizacion de la matriz de flexibilidad en lugar de la matriz de rigidez para la representacionde las propiedades dinamicas elasticas de un sistema, requiere la modificacion de la ecuacion matricialgobernante del modelo matematico de analisis en funcion de esta matriz. Este aspecto sera tratado enla seccion que viene a continuacion.

8.5. La matriz dinamica

Sea un sistema vibratorio general, que ha sido modelado con multiples grados de libertad, cuyocomportamiento dinamico vibratorio esta gobernado por la ecuacion matricial asociada a un sistemalineal,

[M ]|u〉+ [C]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉

donde |P 〉 = |P (t)〉 es la perturbacion externa aplicada, |u〉 = |u(t)〉 el vector de grados de libertadglobales, solucion de la ecuacion gobernante, y las matrices representan a las propiedades dinamicasparametricas de inercia, amortiguamiento y elasticidad del sistema, respectivamente.

Si esta ecuacion se pre–multiplica por la matriz de flexibilidad (bajo la suposicion que esta matrizexiste) se tiene:

[F ][M ]|u〉+ [F ][C]|u〉+ [F ][K]|u〉 = [F ]|P 〉

Puesto que se verifica que: [F ][K]=[K]−1[K]=[I], la relacion anterior se transforma hacia:

[F ][M ]|u〉+ [F ][C]|u〉+ |u〉 = [F ]|P 〉 (8.30)

Esta es la ecuacion matricial gobernante general del comportamiento dinamico vibracional del sistema,en terminos de la matriz de flexibilidad.

Si estamos interesados en la valoracion de las frecuencias naturales circulares asociadas al sistema,debemos considerar la ecuacion gobernante reducida, pertinente con la vibracion libre no–amortiguada


contenida en la ecuacion anterior. Entonces introduciendo las hipotesis convenientes para este casoparticular: [C] = [0] , |P 〉 = |0〉, tendremos:

[F ][M ]|u〉+ |u〉 = |0〉 (8.31)

como ecuacion que gobierna el fenomeno de oscilacion natural, que es susceptible de ejecutar el sistemacon tan solo imponerle condiciones iniciales de movimiento.

Si suponemos que la solucion de la Ecuacion (8.31) es de tipo armonico, podemos postular comomodo posible de vibracion:

|u(t)〉 = |a〉r sinωrt

derivando temporalmente, reemplazando en la Ecuacion (8.31), y simplificando la funcion senoidaltemporal; se obtiene como relacion final de todo este proceso:

−ω2r [F ][M ]|a〉r + |a〉r = |0〉

y, ordenando[F ][M ]|a〉r =

1

ω2r

|a〉r (8.32)

Para tener una representacion mucho mas simple de la ecuacion que gobierna el fenomeno deoscilacion libre de un sistema de multiples grados de libertad, introduzcamos un nuevo arreglo matricialdefinido por:

[D] = [F ][M ] (8.33)

que en la teorıa de dinamica analıtica estructural recibe el nombre de matriz dinamica, porque lamisma sintetiza las propiedades energeticas fundamentales involucradas en la dinamica de vibracionlibre: la energıa de deformacion elastica y la energıa cinetica.

Tambien por comodidad de representacion matematica, definamos el valor parametrico:

λr =1

ω2r

(8.34)

como el valor inverso de la frecuencia natural circular cuadratica asociada con el modo de oscilacionparticular que estamos tratando de evaluar. Con estas definiciones, la Ecuacion (8.32) se convierte a:

[D]|a〉r = λr|a〉r (8.35)

En palabras muy sencillas: El problema original planteado, ha sido reducido a un problema estandarde vectores y valores propios de la matriz dinamica [D] asociada al sistema; donde los valores propiosλr (r = 1;n) son los inversos de los cuadrados de las frecuencias naturales circulares, y los valorespropios asociados |a〉r (r=1;n) son los vectores de amplitud relativa maxima de los grados de libertaden el modo particular de vibracion que esta siendo considerado, los cuales son invariables con respectoal planteamiento de la solucion inicial propuesta.

En la forma alternativa de planteamiento del problema de oscilacion libre no–amortiguada de unsistema con multiples grados de libertad, descrita por la Ecuacion (8.35), la ecuacion caracterısticaasociada con la cual se evaluan todas las frecuencias naturales circulares pertenecientes al sistemamodelado resultara ser:

det ([D]− λ[I]) = || [D]− λ[I] || = 0 (8.36)

que plantea un polinomio caracterıstico de n–esimo orden que se anula; relacion matematica queproporcionara n raıces λr (r = 1;n) soluciones de esta ecuacion, con las cuales se determinan lasfrecuencias naturales circulares mediante aplicacion de la formula que se establece en la Ecuacion (8.34):ωr = 1/

√λr (r= 1;n); donde λr (r= 1;n) son las raıces del polinomio caracterıstico, que satisfacen

identicamente la Ecuacion (8.36).


Una vez conocidas las frecuencias naturales circulares, los vectores modales naturales asociados,aun no–normalizados, se determinan resolviendo las ecuaciones subsidiarias:

([D]− λr[I]) |a〉r = |0〉 r=1;n (8.37)

para el vector modal natural de amplitudes relativas maximas |a〉r, asociado con la frecuencia naturalcircular ωr del modo de oscilacion que esta siendo considerado en turno.

Por el desarrollo de esta problematica en su concepcion original al inicio del presente capıtulo,recordemos que el vector modal natural asociado con cierta frecuencia natural circular, puede deter-minarse efectuando la serie de calculos siguientes:

Definir primero: [B]r = [D]− λr[I]

luego determinar: Adj[B]r = Adj([D]− λr[I])

y, finalmente escoger cualquier columna de esta ultima matriz como vector propio asociado; es decir:

|a〉r = Colj Adj[B]r

El poder escoger cualquier columna de la matriz Adj[B]r como vector propio asociado a ciertafrecuencia utilizada en el calculo de esta matriz no es caprichoso, debido al hecho que el vector modales de amplitudes maximas relativas; lo que quiere decir que si se escoge una determinada columna,mediante un simple factor de proporcionalidad esta columna se convierte en otra que no haya sidoescogida !.

Ejemplo 8.5. La Figura 8.9 muestra una viga simplemente apoyada de longitud L conocida, coefi-ciente de rigidez EI determinado, la cual tiene densidad masica linealmente distribuıda con intensidadm constante. Soporta una carga distribuida en parte de su longitud de intensidad constante, pero va-riable en el tiempo, la cual esta descrita mediante: q(x, t) = q0f(t). Despreciando el amortiguamientoy utilizando como grados de libertad los indicados (igualmente espaciados), hallar la ecuacion gober-nante de la vibracion transversal de la viga en terminos de la matriz dinamica. Plantear la ecuacioncaracterıstica que permite la evaluacion de las frecuencias naturales circulares para este sistema.

Figura 8.9: Viga simplemente apoyada en vibracion transversal

> Solucion

Formularemos un modelo de parametros concentrados (no–basado en el campo de desplazamientosinternos de la viga), y para ello concentraremos las propiedades dinamicas de la estructura en los pun-tos nodales donde estan definidas las coordenadas generalizadas de movimiento (los desplazamientosverticales o grados de libertad) indicadas en la Figura 8.9 como: ϑ1 , ϑ2 , y ϑ3.

La masa total de la viga es m = mL, la cual esta distribuida a lo largo de toda su longitud. Debemosconcentrar parte de esta magnitud de masa en todos los puntos nodales, de modo que su distribucion


represente adecuadamente a las fuerzas inerciales originalmente actuantes sobre la viga en movimiento.Una forma posible es efectuar la discretizacion de la viga segun se muestra en la Figura 8.10(a), en laque definimos segmentos de la misma y el resultado de concentrar la masa de cada segmento de modoproporcional, en los puntos nodales y los apoyos.

(a) Propiedades inerciales (b) Solicitacion externa

Figura 8.10: Esquemas de discretizacion

De la Figura 8.10(a) se obtiene la matriz de masa del sistema, la cual de acuerdo al proceso dediscretizacion de las propiedades inerciales se define como:

[M ] =

M 0 00 M 00 0 M

=mL

4

1 0 00 1 00 0 1

La carga de perturbacion externa tambien debe ser concentrada en los puntos nodales. Para ello se

propone el procedimiento de discretizacion mostrado en la Figura 8.10(b), en la que la fuerza resultanteha sido distribuida proporcionalmente asociada a los grados de libertad establecidos para el sistema.Entonces, tomando como referencia el esquema mencionado, el vector de cargas externas aplicado alsistema resulta ser:

|P (t)〉 =

P2PP

=q0f(t)L

8

121

Para determinar las propiedades de elasticidad del sistema, generaremos la matriz de flexibilidad a

traves de la identificacion de sus columnas. Para ello mostramos el diagrama de la Figura 8.11, dondese aplica sobre la viga una carga unitaria en una posicion generica de la misma.

Figura 8.11: Viga simplemente apoyada solicitada con carga puntual unitaria

Mediante una breve formulacion del problema estatico aquı planteado, se demuestra que la defor-mada de la viga debida a la carga unitaria aplicada tiene como expresion:

ϑ(x) = −PL3

6EI

[bx

L2

(1− b2

L2− x2

L2

)+

1

L3〈x− a〉3

]06x6L

donde:


P =1 b = L− a 〈x− a〉3 =

0 x6a

(x− a)3 x>a

Para evaluar la primera columna de la matriz de flexibilidad hacemos a = L/4, y determinamos lasdeflexiones ϑ1 , ϑ2 , y ϑ3 en los puntos nodales. Estos valores ordenados en forma vertical constituyenla primera columna de la matriz de flexibilidad. Para generar la segunda columna repetimos el proce-dimiento con a = L/2; y para generar la tercera columna de principio se debe especificar a = 3L/4.Realizando estos calculos (no es necesario evaluar todos los coeficientes, pues recuerde que la matrizde flexibilidad es simetrica), se demuestra que la matriz de flexibilidad esta determinada por:

[F ] =L3

768EI

9 11 711 16 117 11 9

Habiendo determinado todas las propiedades parametricas dinamicas del sistema, estamos en ca-

pacidad de escribir la ecuacion matricial gobernante de su movimiento vibratorio. Para ello, debemosadecuar la Ecuacion (8.30) a la notacion aquı adoptada y tambien a la hipotesis de ausencia de amor-tiguamiento. Con estas consideraciones, la ecuacion gobernante en terminos abreviados es:

[F ][M ]|ϑ〉+ |ϑ〉 = [F ]|P 〉

donde el producto [F ][M ] = [D] es la matriz dinamica. Reemplazando los arreglos matriciales previa-mente calculados,

L3

768EI

9 11 711 16 117 11 9

mL4

1 0 00 1 00 0 1

ϑ1

ϑ2

ϑ3

+

ϑ1

ϑ2

ϑ3

=L3

768EI

9 11 711 16 117 11 9

q0f(t)L

8

121

multiplicando:

mL4

3072EI

9 11 711 16 117 11 9

ϑ1

ϑ2

ϑ3

+

ϑ1

ϑ2

ϑ3

=q0f(t)L4

3072EI

192719

Esta ecuacion es la que gobierna la vibracion forzada del sistema, asociada con un modelo de parametrosconcentrados en el que los grados de libertad son aquellos definidos al principio de este analisis.

La ecuacion caracterıstica, que permite la determinacion de las frecuencias naturales circularesmodales, definida en terminos de la matriz dinamica asociada al sistema; es representada por la Ecua-cion (8.36), la cual por comodidad repetimos aquı:

det ([D]− λ[I]) = || [D]− λ[I] || = 0

Reemplazando la matriz dinamica determinada en un paso previo de calculo, tenemos:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ mL4

3072EI

9 11 711 16 117 11 9

− λ1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Si se desarrollara el determinante anterior, obtendrıamos como resultado la expresion siguiente:

β3λ3 + β2λ

2 + β1λ+ β0 = 0 βi (i=0; 3) ctes.

Las raıces λr (r= 1, 2, 3) de esta ecuacion polinomica cubica, proporcionan las frecuencias naturalescirculares asociadas con la vibracion libre del sistema, las cuales se determinan mediante la relacionrecursiva: ωr = 1/

√λr (r = 1; 3). La evaluacion numerica del espectro de frecuencias del sistema se

deja como ejercicio al lector.


>La evaluacion del espectro de frecuencias, o sea la determinacion de las frecuencias naturales circu-

lares y por ende los vectores de amplitud asociados en cada una de las formas de oscilar, o modos devibracion del sistema en condicion de comportamiento libre, es mas directa de ser calculada en termi-nos de la matriz dinamica; que como vimos plantea un problema basico de vectores y valores propiosque es susceptible de ser resuelto eficientemente mediante cualquier tecnica que provee el algebra lineal(incluso metodos iterativos, como veremos en el siguiente capıtulo). Este aspecto es fundamental parala determinacion de la matriz modal normalizada, con la cual obtenderemos la solucion a la ecuacionmatricial gobernante con valores iniciales frontera, que gobierna la vibracion forzada del sistema.

8.6. Vibracion forzada no–amortiguada

Como indicamos, la obtencion del espectro de frecuencias de oscilacion y las formas modales devibracion correspondientes, son sin duda una de las partes mas laboriosas durante el procedimiento desolucion de un problema; y por cierto solo alcanzables numericamente en forma computarizada cuandoel sistema tiene mas de un par de grados de libertad en la formulacion de su modelo matematico. Sinembargo, su obtencion mediante cualquier procedimiento proporciona la herramienta necesaria parala solucion del sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento.

Suponiendo ausencia de amortiguamiento: [C] = [0], el conjunto de ecuaciones que define el mo-vimiento vibratorio forzado de un sistema de n grados de libertad esta dado por la Ecuacion (8.1),reducida con la suposicon de fuerzas de amortiguamiento nulas; resultando:

[M ]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉 (8.38)

donde suponemos que la perturbacion externa actuante sobre el sistema: |P 〉= |P (t)〉 es conocida, aligual que las condiciones iniciales de movimiento especificadas por los desplazamientos y velocidadesiniciales de todas las coordenadas globales asignadas al sistema en el proceso de su modelado.

Es importante mencionar en este punto, que debido al hecho que en general las matrices de masa yrigidez no son arreglos diagonales; resultara que el comportamiento dinamico de cualquier coordenadaui componente de la Ecuacion (8.38) gobernante del movimiento vibratorio, se vera afectada por elcomportamiento dinamico de todas las demas coordenadas uj (j 6= i , j=1;n). Por esta razon se diceque el sistema esta “acoplado dinamicamente”.

Recordando que el conjunto de modos de vibracion normalizados constituye una base generadoradel espacio vectorial de la solucion del problema de valores iniciales que tiene representacion matricialmediante la matriz dinamica (o las matrices de parametros dinamicos de inercia y elasticidad); entonceses posible postular una solucion de la Ecuacion (8.38) en terminos de estos vectores (los vectoresmodales normalizados asociados a la vibracion libre no–amortiguada). En cualquier instante dado, lasolucion buscada |u〉= |u(t)〉 puede ser expresada como una combinacion lineal de los vectores propiosnormalizados, luego:

|u(t)〉 = ξ1(t)|φ〉1 + ξ2(t)|φ〉2 + · · ·+ ξn(t)|φ〉nque podrıamos escribir como;

|u(t)〉 =[|φ〉1 |φ〉2 · · · |φ〉n

]ξ1(t)ξ2(t)

...ξn(t)

= [Φ]|ξ(t)〉

la cual, por simplicidad de notacion, sera escrita en forma condensada como:

|u〉 = [Φ]|ξ〉 (8.39)

donde [Φ] es la matriz modal normalizada y |ξ〉 = |ξ(t)〉 es denominado vector de coordenadas normales.Derivando temporalmente la Ecuacion (8.39), y reemplazando en la Ecuacion (8.38), resulta la relacion:

[M ][Φ]|ξ〉+ [K][Φ]|ξ〉 = |P 〉

8.6. VIBRACION FORZADA NO–AMORTIGUADA 261

Y, pre–multiplicando por la transpuesta de la matriz modal normalizada;

[Φ]T [M ][Φ]|ξ〉+ [Φ]T [K][Φ]|ξ〉 = [Φ]T |P 〉 (8.40)

Pero, segun las Ecuaciones (8.23) y (8.24), recordemos que los productos triples de matrices cumplenlas relaciones aquı indicadas:

[Φ]T [M ][Φ] = [I] [Φ]T [K][Φ] = [ω2]

Ademas, que introduciremos el denominado vector de cargas modales mediante la relacion:

|P (t)〉 = [Φ]T |P (t)〉 (8.41)

la cual por brevedad simplemente sera escrita como: |P 〉 = [Φ]T |P 〉. Luego, reemplazando estas ultimasrelaciones en la Ecuacion (8.40), esta queda finalmente como:

[I]|ξ〉+ [ω2]|ξ〉 = |P 〉 (8.42)

que en forma desarrollada en todos sus terminos, provee el sistema de ecuaciones diferenciales indicadoa continuacion:

ξ1(t) + ω21 ξ1(t) = P1(t)

ξ2(t) + ω22 ξ1(t) = P2(t)

......

......

ξn(t) + ω2n ξn(t) = Pn(t)

(8.42a)

Este sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden no–homogeneas, puede considerarse comoel modelo de un sistema dinamico vibracional de parametros concentrados transformado de modo quelas masas del mismo sean todas unitarias; sin embargo, las dimensiones de sus otros terminos en generalestaran alteradas comparativamente con las dimensiones del sistema original.

Ademas, notemos algo muy relevante en este sistema de ecuaciones diferenciales: Con la transforma-cion de coordenadas efectuada, hemos logrado “desacoplar” las coordenadas originales que describıanel comportamiento dinamico del sistema; pues la ecuacion gobernante de cualquiera de las coordenadasnormalizadas ξi=ξi(t) no contiene ni se ve afectada por el comportamiento dinamico que tienen todaslas demas coordenadas normalizadas.

Cualquiera de las ecuaciones componentes que conforman el sistema de ecuaciones diferencialesobtenido [nos referimos a las Ecuaciones (8.42a)], tiene como aspecto generico:

ξi(t) + ω2i ξi(t) = Pi(t) i=1;n (8.43)

la cual representa a todo el sistema de ecuaciones diferenciales gobernantes independientes, expresadasen terminos de las coordenadas normalizadas, que puede ser resuelta por las tecnicas desarrolladasanteriormente para sistemas de un solo grado de libertad; que combinadas luego mediante aplicacionde la Ecuacion (8.39) proporcionan la solucion del problema en terminos de las coordenadas originalescon las cuales fue elaborado el modelo matematico de analisis.

En particular, la solucion de la Ecuacion (8.43) que gobierna el comportamiento dinamico decualquiera de las coordenadas normalizadas, viene determinada por:

ξi(t) = ξ0i cosωit+ξ0i

ωisinωit+

1

ωi

∫ t

0

Pi(τ) sinωi(t− τ) dτ i=1;n (8.44)

dondePi(τ) =

n∑j=1

φjiPj(τ) = 〈φ|i|P (τ)〉 (8.44a)


serıa la carga normalizada concentrada actuante en el punto nodal concordante con la coordenadanormalizada considerada en turno, y ξ0i, ξ0i la posicion y velocidad iniciales de la misma coordenadanormalizada, respectivamente. Implıcitamente, ademas, se ha considerado t0 =0 en la Ecuacion (8.44)como instante inicial de observacion.

Esta solucion generica de comportamiento dinamico de cualquiera de las coordenadas normaliza-das, fue obtenida adecuando la notacion de la Ecuacion (2.4) que describe la solucion de la ecuaciongobernante de la dinamica de vibracion de un sistema forzado no–amortiguado de un solo grado delibertad.

8.6.1. Condiciones iniciales en coordenadas normalizadas

Si el sistema no parte del reposo, o el analisis del movimiento comienza en un instante dadocon valores de desplazamiento y velocidad conocidos, puede ser necesario calcular las condicionesiniciales asociadas a las coordenadas normales. El procedimiento es el que desarrollamos a continuacion,partiendo de la relacion planteada para la transformacion de coordenadas:

|u(t)〉 = [Φ]|ξ(t)〉

derivando, |u(t)〉 = [Φ]|ξ(t)〉donde [Φ] es la matriz modal normalizada. Si pre–multiplicamos ambas relaciones por [Φ]T [M ], ob-tendremos:

[Φ]T [M ]|u(t)〉 = [Φ]T [M ][Φ]|ξ(t)〉[Φ]T [M ]|u(t)〉 = [Φ]T [M ][Φ]|ξ(t)〉

Recordando que se cumple: [Φ]T [M ][Φ] = [I], y valorando ambas relaciones en el instante inicialt = t0 (por generalidad se asume t0 = 0, como instante inicial de observacion), tendremos:

|ξ(t0)〉 = [Φ]T [M ]|u(t0)〉 (8.45a)

|ξ(t0)〉 = [Φ]T [M ]|u(t0)〉 (8.45b)

que resultan ser relaciones a partir de las cuales obtenemos los valores ξ0i = ξi(t0) y ξ0i = ξi(t0), nece-sarios para establecer explıcitamente la solucion de comportamiento de cualquiera de las coordenadasnormalizadas, acorde con la Ecuacion (8.44) que describe el comportamiento dinamico de ellas.

Si en lugar de la matriz modal normalizada [Φ] habitual, se utiliza la matriz modal natural [Ψ](no–normalizada), es evidente que el procedimiento anterior involucra la inversion de la matriz pro-ducto [Ψ]T [M ][Ψ]; situacion que no presentarıa esfuerzo adicional extraordinario, por ser esta matrizdiagonal. En ese caso se puede demostrar que las condiciones iniciales en coordenadas normalizadas seevaluaran segun las relaciones siguientes:

ξ0i = ξi(t0) =〈a|i[M ]|u(t0)〉

ηi(8.46a)

ξ0i = ξi(t0) =〈a|i[M ]|u(t0)〉

ηi(8.46b)

donde: ηi = 〈a|i[M ]|a〉i i = 1;n (8.46c)

Estas ecuaciones se transformaran en las Ecuaciones (8.45) precedentes, si es que en ellas hacemos:〈a|i = 〈φ|i y ηi=1 como puede Usted facilmente comprobar.

Ejemplo 8.6. Consideremos nuevamente el portico de dos pisos que fue analizado de modo parcial enel Ejemplo 8.1. Ahora someteremos a la estructura a las cargas mostradas en la Figura 8.12, donde:

P1(t) = P10 sin Ω1t P10 = 30 Ton Ω1 = 3, 05 rad/seg

P2(t) = P20 sin Ω2t P20 = 40 Ton Ω2 = 2, 37 rad/seg

8.6. VIBRACION FORZADA NO–AMORTIGUADA 263

Deseamos calcular la respuesta del sistema, considerando condiciones iniciales de movimiento nulas ydespreciable el amortiguamiento; es decir, la variacion temporal de los desplazamientos horizontalesque producen las cargas aplicadas a la estructura.

Figura 8.12: Estructura tipo portico con perturbacion externa

> Solucion

Las frecuencias naturales, y los vectores de amplitud de los modos de vibracion son conocidos, ası comotambien la matriz modal normalizada; a partir de los resultados obtenidos en los Ejemplos 8.1 y 8.3.Por lo tanto, para hallar la solucion buscada al problema aquı planteado solo requerimos calcular elvector de carga modal

|P (t)〉 = [Φ]T |P (t)〉En el Ejemplo 8.3 determinamos que la matriz modal normalizada era:

[Φ] =[|φ〉1 |φ〉2

]=

[0, 606 0, 3640, 258 −0, 428

]y, el vector de cargas externas aplicadas a la estructura es en este caso:

|P (t)〉 =

P10 sin Ω1tP20 sin Ω2t

Entonces,

|P (t)〉 =

P1(t)

P2(t)

=

[0, 606 0, 2580, 364 −0, 428

]P10 sin Ω1tP20 sin Ω2t

=

0, 606P10 sin Ω1t+ 0, 258P20 sin Ω2t0, 364P10 sin Ω1t− 0, 428P20 sin Ω2t

Las ecuaciones desacopladas, descritas en terminos de las coordenadas normalizadas, estan esta-

blecidas mediante la Ecuacion (8.43), que para el caso presente conduce al sistema de ecuacionesdiferenciales independientes siguiente:

ξ1(t) + ω21 ξ1(t) = 0, 606P10 sin Ω1t+ 0, 258P20 sin Ω2t

ξ2(t) + ω22 ξ2(t) = 0, 364P10 sin Ω1t− 0, 428P20 sin Ω2t

Como suponemos que el amortiguamiento anula las vibraciones libres, y que el sistema parte ensu movimiento de una condicion de reposo absoluto; la respuesta temporalmente variable para lascoordenadas normalizadas serıa en este caso particular aquella dada por la respuesta en regimenpermanente debida a una perturbacion senoidal con dos componentes armonicas de diferente frecuencia:

ξ1(t) =0, 606P10

(1− h211)ω

21

sin Ω1t+0, 258P20

(1− h221)ω

21

sin Ω2t

ξ2(t) =0, 364P10

(1− h212)ω

22

sin Ω1t−0, 428P20

(1− h222)ω

22

sin Ω2t


siendo,hij =

Ωiωj

i, j=1, 2

la relacion de frecuencias en la respuesta de las formas modales en coordenadas normalizadas.Las expresiones anteriores se escribieron aplicando el principio de superposicion y adecuando la

notacion establecida para la Ecuacion (3.4), que da la respuesta forzada de un sistema de un sologrado de libertad sometido a una perturbacion externa armonica senoidal. 3

Conocida la solucion en terminos de las coordenadas normalizadas, podemos retornar mediante elproceso de transformacion aplicado, hacia las coordenadas geometricas o grados de libertad originalespor medio de la Ecuacion (8.39),

|u(t)〉 = [Φ]|ξ(t)〉para obtener las relaciones matematicas que describen la variacion temporal de los desplazamientoshorizontales de los entrepisos del portico en analisis. Evaluando la ecuacion precedente, tendrıamos:

|u(t)〉 =

u1(t)u2(t)

=

0, 606 ξ1(t) + 0, 364 ξ2(t)0, 258 ξ1(t)− 0, 428 ξ2(t)

Reemplazando las expresiones halladas anteriormente para ξ1(t) y ξ2(t), y evaluando numericamente

con los datos disponibles, obtenemos como relaciones definitivas que describen el comportamiento delos desplazamientos horizontales del portico a las expresiones siguientes:

u1(t) = 5, 15 sin 3, 05t+ 0, 88 sin 2, 37t

u2(t) = 2, 00 sin 3, 05t+ 0, 67 sin 2, 37t

Tratando estas ecuaciones como descripciones fasoriales de los desplazamientos solucion del pro-blema, resultara que las amplitudes maximas de movimiento serıan:

umax

1 =√

5, 152 + 0, 882 = 5, 22 [cm]

umax

2 =√

2, 002 + 0, 672 = 2, 11 [cm] >Aquı es necesario algo de texto

8.7. Vibracion forzada amortiguada

La solucion de la ecuacion gobernante de la dinamica de vibracion de un sistema en el cual seincluye el amortiguamiento, esta condicionada a la forma de la matriz de amortiguamiento [C] querepresenta las caracterısticas de disipacion energetica que posee el sistema, y tambien depende de larelacion que esta matriz posee con las matrices de masa [M ] y rigidez [K] que describen propiedadesinerciales y elasticas, respectivamente.

Sea la ecuacion de movimiento para un sistema forzado y amortiguado modelado con n gradosde libertad, como fue planteado a inicios del presente capıtulo por medio de la Ecuacion (8.1), queconsidera todos los valores parametricos dinamicos de un sistema que tiene movimiento vibratorio,

[M ]|u〉+ [C]|u〉+ [K]|u〉 = |P 〉

Si aplicamos la Ecuacion (8.39) que efectua una transformacion de las coordenadas geometricashacia coordenadas normalizadas, y premultiplicamos la relacion obtenida por la transpuesta de lamatriz modal normalizada, obtendremos como resultado:

|ξ〉+ [Φ]T [C][Φ]|ξ〉+ [ω2]|ξ〉 = |P 〉3 En el caso presente analizado, consideramos ademas que las masas del modelo de parametros concentrados del

sistema vibratorio transformado, expresado en coordenadas normalizadas, son todas de valor unidad. Por ello, en lasamplitudes de las funciones senoidales aparece la frecuencia natural cuadratica en cada uno de los terminos que definenla amplitud de los modos de vibracion normalizados.

8.7. VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA 265

De esta ecuacion inferimos que el sistema de ecuaciones diferenciales representado sera desacopla-ble (sistema de ecuaciones diferenciales independientes en sus coordenadas variables unas de otras)solamente si el producto matricial [Φ]T [C][Φ] tiene como resultado una matriz diagonal. Se puededemostrar que esta situacion solo puede darse cuando la matriz de amortiguamiento es proporcionala la matriz de masa, o proporcional a la matriz de rigidez; o cuando es combinacion lineal de ambas(que es mas general), en cuyo caso podemos asumir que:

[Φ]T [C][Φ] = [2βω] =

2ω1β1

2ω2β2

. . .

2ωnβn

(8.47)

Y, aceptando como valida esta relacion, la ecuacion precedente adquiere el aspecto matematico mos-trado a continuacion:

|ξ〉+ [2βω]|ξ〉+ [ω2]|ξ〉 = |P 〉 (8.48)

la misma que desarrollada en todos sus terminos define un sistema de ecuaciones diferenciales desaco-plado, en el que una ecuacion arbitraria componente del conjunto se escribe como:

ξi + 2ωi βi ξi + ω2i ξ = Pi i=1;n (8.48a)

que ademas se asocia con pertinentes condiciones de borde lımite: ξi(t0) = ξi0 y ξi(t0) = ξi0, querepresentan las condiciones iniciales de movimiento en la coordenada normalizada que esta siendoconsiderada en turno.

La solucion de la Ecuacion (8.48a) puede obtenerse aplicando las tecnicas desarrolladas anterior-mente para sistemas con un solo grado de libertad, recordando que el sistema considerado en el casopresente posee valor de masa unitaria. Aplicando esta concepcion para resolver la ecuacion genericaplanteada anteriormente, tendremos:

ξi(t) = ξi(t)L + ξi(t)F

donde los subındices tienen el significado de: “L”– libre, y “F”– forzada. Es decir, que la respuesta ge-neral de cualquier coordenada normalizada tiene una componente asociada con las condiciones inicialesde movimiento (respuesta libre), y una segunda componente asociada con la perturbacion aplicada alsistema (respuesta forzada). De modo desarrollado, asumiendo que el instante inicial de observaciones t0 =0, la respuesta que se presenta en cualquier coordenada normalizada generica es:

ξi(t) = e−βiωit(ξi0 cosωait+

ξi0 + ωiξi0ωai

sinωait

)

+1

ωai

∫ t

0

e−βiωi(t−τ) Pi(τ) sinωai(t− τ) dτ i=1;n

(8.49)

donde,ωai = ωi

√1− β2

i

es la frecuencia natural circular amortiguada asociada al i–esimo modo de oscilacion, el cual tieneasignado un valor de fraccion de amortiguamiento crıtico de magnitud βi que se ha especificado.Ademas, en la ecuacion precedente, el termino sub–integral de carga modal normalizada tiene la mismaexpresion que aquella establecida para el caso de vibracion forzada no–amortiguada, en la Ecuacion(8.44a) de la seccion anterior.

Aplicando la Ecuacion (8.49) a cada una de las coordenadas normalizadas en turno, podemos luegoagrupar estas soluciones obtenidas en un arreglo matricial en columna (vector), que resultarıa ser:

〈ξ(t)| =ξ1(t) ξ2(t) · · · ξn(t)


Y, para obtener la solucion final de los desplazamientos en las coordenadas geometricas originales delmodelo matematico de analisis, apelamos a la aplicacion de la relacion que define la transformacion decoordenadas:

|u(t)〉 = [Φ]|ξ(t)〉

con lo que habrıamos obtenido finalmente la respuesta de vibracion forzada amortiguada de un sistemamodelado con multiples grados de libertad.

8.7.1. Especificacion del amortiguamiento

La diagonalizacion de la matriz de amortiguamiento mediante la matriz modal normalizada en lapractica solo se da bajo condiciones muy especiales. En ese sentido, la Ecuacion (8.47) es una imposicionde caracter teorico, y la forma del resultado mostrado solo puede ser defendida y justificada en base aresultados teoricos obtenidos que sean concordantes con mediciones practicas experimentales.

Este aspecto, sin embargo, no debe preocupar al analista; ya que dada la dificultad para conocer lamatriz de amortiguamiento, ademas de no ser nada practico intentar su calculo, existe la alternativade asignar coeficientes de amortiguamiento crıticos a cada uno de los modos de vibracion, y de esaforma generar la forma diagonal asociada a la matriz de amortiguamiento.

Este punto de vista, arbitrario; pero consagrado por la practica, tiene el inconveniente que noes posible asignar, sin dificultad, valores a todos los modos de vibrar de un sistema con multiplesgrados de libertad; corriendo el riesgo de perder criterio a medida que se inicia la asignacion devalores. En consecuencia, es deseable tener un procedimiento analıtico para asignar todo el conjuntode coeficientes de amortiguamiento a partir de unos cuantos de ellos inicialmente asumidos con ciertocriterio respaldado por la practica.

Consideremos la Ecuacion (8.15) repetida aquı:

〈a|s([K][M ]−1)b[K]|a〉s = ω2b+2s ms (8.50)

Si suponemos que la matriz de amortiguamiento tiene proporcionalidad con la matriz de masa y rigidezsegun la forma:

[C] =∑b

([K][M ]−1)b[K]db (8.51)

donde db son coeficientes constantes a evaluarse. Si esta ecuacion es pre–multiplicada por 〈a|s y post–multiplicada por |a〉s, respectivamente (siendo este un vector modal no–normalizado generico); seobtiene:

〈a|s[C]|a〉s =∑b

〈a|s([K][M ]−1)b[K]|a〉sdb = 2ωs βsms (8.52)

Reemplazando la Ecuacion (8.50) en la Ecuacion (8.52) hallamos:∑b

db ω2b+2s ms = 2ωs βsms

de donde,βs =

1

2

∑b

db ω2b+1s (8.53)

Debido a que tenemos determinado numero p de frecuencias naturales asociadas con igual numerode modos de vibracion que se consideren para el calculo, como identico numero de coeficientes dbque debemos determinar, el sistema especificado por la Ecuacion (8.53) puede resolverse para loscoeficientes constantes; en el supuesto que se conocen los valores de la fraccion de amortiguamientocrıtico βs de los diferentes modos de vibracion que se esten considerando. Es decir, que si se aplica laecuacion precedente de forma reiterada a los diversos modos cuyos datos de algun modo sean conocidos,

8.7. VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA 267

se obtiene un sistema de ecuaciones simultaneo que puede escribirse como ecuacion matricial sinteticaen la forma:

[Q]|d〉 = 2|β〉de la cual obtenemos como solucion a los coeficientes de proporcionalidad buscados:

|d〉 = 2[Q]−1|β〉 (8.54)

Luego de determinar los coeficientes buscados, aplicando la ecuacion anterior, la matriz de amorti-guamiento [C] puede calcularse a partir de la Ecuacion (8.51), con todos sus coeficientes completamentedeterminados; con el anadido que este arreglo ası calculado de forma garantizada sera diagonalizado me-diante la matriz modal normalizada; pudiendose con ello lograr desacoplar las coordenadas geometicasoriginales en la ecuacion gobernante de la dinamica de movimiento vibratorio del sistema amortiguado,al ser convertidas hacia coordenadas normalizadas.

El ejemplo que sera desarrollado a continuacion, proporciona un uso alternativo de la Ecua-cion (8.53) que permite determinar una forma especıfica (proporcional a las matrices de masa y rigidez)para la matriz de amortiguamiento.

Ejemplo 8.7. Un sistema vibratorio, modelado con diversos grados de libertad, tiene como valoresde menor magnitud de sus diversas frecuencias naturales circulares a:

ω1 = 11, 62 [rad/seg] ω2 = 27, 50 [rad/seg] ω3 = 45, 90 [rad/seg] · · ·

Suponiendo que las fracciones de amortiguamiento crıtico del modo fundamental y terciario tienen losvalores:

β1 = 5 % β3 = 15 %

Calcular la fraccion de amortiguamiento crıtico β2 que posee el modo secundario de vibracion, y tam-bien determinar la expresion que define a la matriz de amortiguamiento en terminos de las matricesde masa y rigidez.

> Solucion

Como disponemos datos completos para dos modos de vibracion del sistema en analisis, supongamosque la variable parametrica “b” adopta los valores b = −1 y b = 0. Entonces, aplicando la Ecua-cion (8.53) con estos valores se determina como ecuacion recursiva valida para todos los modos deoscilacion:

2βs = d−1 ω−1s + d0 ωs ∀s (?)

Apliquemos ahora esta ecuacion a los dos modos cuyos valores parametricos de comportamiento dinami-co amortiguado son conocidos; es decir aplicamos la ecuacion precedente tomando las formas modales:s = 1, 3 en orden correlativo. Entonces reemplazando valores numericos,

2×0, 05 = d−10, 086 + d011, 62 (Para s = 1)

2×0, 15 = d−10, 022 + d045, 22 (Para s = 3)

Matricialmente resulta, [0, 086 11, 620, 022 45, 22

]d−1

d0

=

0, 10, 3

que tiene como solucion:

d−1

d0

=

[0, 000 0, 0000, 000 0, 000

]0, 10, 3

=

0, 2850, 007

La fraccion de amortiguamiento crıtico del modo secundario de vibracion se calcula a partir de la

Ecuacion (?) establecida previamente,

β2 =1

2

(d−1 ω

−12 + d0 ω2

)


Si ahora reemplazamos datos:

β2 =1

2

[0, 285 (27, 50)−1 + 0, 007 (27, 50)

]= 0, 101

Este valor hallado de fraccion de amortiguamiento crıtico del segundo modo de vibracion (s= 2) enterminos porcentuales resulta ser: β2 = 10, 1 % ; lo cual es indicativo que la eleccion de los valorestomados para la variable parametrica “b”, es adecuada y aceptable.

Como paso de calculo final, ahora podemos determinar una expresion general aplicable para laevaluacion de la matriz de amortiguamiento en terminos de las matrices de masa y rigidez. De laEcuacion (8.51),

[C] =∑b

([K][M ]−1)b[K]db

tendremos que en el caso particular que nos atane, el desarrollo de esta expresion (b=−1, 0) adquierela forma mostrada:

[C] = ([K][M ]−1)−1[K]d−1 + ([K][M ]−1)0[K]d0

= ([M ]−1)−1[K]−1[K]d−1 + [I][K]d0

= [M ][I]d−1 + [I][K]d0

En consecuencia, [C] = d−1[M ] + d0[K]

En terminos simples, la matriz de amortiguamiento resulta ser combinacion lineal de las matricesde masa y rigidez; y por lo tanto es proporcional a ambos arreglos matriciales (lo que garantiza sudiagonalizacion mediante la matriz modal). Si reemplazamos los valores numericos hallados para loscoeficientes de proporcionalidad:

[C] = 0, 007[M ] + 0, 285[K]

serıa la forma que adopta la matriz de amortiguamiento para los valores establecidos en este ejemplo.

>nota: En general se deben elegir valores para la variable parametrica “b” tan cercanos a cero comosea posible; recordando que este parametro asume valor en numeros enteros comprendidos entre:

−∞<b<∞La practica ensena que si se tienen conocidos varios modos de oscilacion, se debe tratar de escogeridentico numero de valores negativos como positivos de ser posible, a fin de obtener una buena exac-titud en la prediccion de la forma matematica aproximada, adoptada por la matriz de amortiguamiento.

El ejemplo anterior mostro que la matriz de amortiguamiento puede ser expresada como combina-cion lineal de las matrices de masa y rigidez en la forma general:

[C] = α0[M ] + α1[K] α0, α1 ctes. (8.55)

que es denominada matriz de amortiguamiento de Raleigh. Si pre–multiplicamos esta relacion por latranspuesta de la matriz modal normalizada, y post–multiplicamos por la matriz modal normalizada;queda:

[Φ]T [C][Φ] = α0[Φ]T [M ][Φ] + α1[Φ]T [K][Φ]

Previamente, asumimos que todos estos productos matriciales tiene como resultado matrices dia-gonales:

[Φ]T [C][Φ] = [2βω] [Φ]T [M ][Φ] = [I] [Φ]T [K][Φ] = [ω2]

Y, por ende, la ecuacion precedente adopta la forma de relacion entre matrices diagonales:

[2βω] = α0[I] + α1[ω2] (8.56)

8.8. RESPUESTA ELASTICA DEL SISTEMA 269

siendo cualquier ecuacion generica componente de esta serie,

2βi ωi = α0 + α1 ω2i i=1;n (8.56a)

Esta ecuacion recursiva nos permitira determinar las constantes, bajo la condicion de tener conoci-miento de las propiedades dinamicas asociadas a dos modos particulares cualquiera del sistema enestudio. Ası, considerando dos modos de vibrar distintos (r 6= s), y aplicando esta ecuacion a dichasformas modales;

α0 + α1 ω2r = 2βr ωr

α0 + α1 ω2s = 2βs ωs

Operando matricialmente,[

1 ω2r

1 ω2s

]α0

α1

=

2βr ωr2βs ωs

y, resolviendo resulta:

α0

α1

=

1

(ω2s − ω2

r)

[ω2s −ω2

r

−1 1

]2βr ωr2βs ωs

(8.57)

Estos valores solucion reemplazados en la Ecuacion (8.56a), permitira que usando la misma podamosasignar de modo consistente las fracciones de amortiguamiento crıtico βi (i = 1, n i 6= r, s) masrecomendables a los demas modos de oscilacion que no fueron considerados en este procedimiento deevaluacion de las constantes que definen a la matriz de amortiguamiento de Raleigh. Este proceso deasignacion de fracciones de amortiguamiento crıtico se lo hace utilizando la siguiente ecuacion:

βi =α0

2ωi+α1ωi

2i=1, n i 6=r, s (8.56b)

la cual se la obtiene desde la Ecuacion (8.56a), mediante un simple despeje de la variable de interes.Le sugerimos que como ejercicio de evaluacion numerica, aplique la metodologıa aquı desarrollada

para verificar la solucion obtenida en el Ejemplo 8.7 resuelto recientemente.La matriz de amortiguamiento de Raleigh contiene implıcitamente las dos formas alternativas

posibles para la matriz de amortiguamiento de un sistema:

Matriz de amortiguamiento proporcional a la matriz de masa: [C] = α0[M ] (α1 = 0)

Matriz de amortiguamiento proporcional a la matriz de rigidez: [C] = α1[K] (α0 = 0)

Las relaciones entre las fracciones de amortiguamiento crıtico y las frecuencias de los modos deoscilacion, las que fueron expresadas mediante las anteriores ecuaciones que fueron presentadas, sonmostradas graficamente en la Figura 8.13.

En este punto convendrıa discutir cual el motivo del calculo de la matriz de amortiguamiento [C].En realidad, si se utiliza como base de calculo el metodo de superposicion modal que fue ampliamenteexpuesto como herramienta de analisis; no hay motivo para conocer la matriz de amortiguamiento. Elconocimiento de esta matriz tiene utilidad cuando la integracion de las ecuaciones de movimiento sela realiza por metodos directos discretos, muy usuales para el analisis de sistemas no–lineales !.

8.8. Respuesta elastica del sistema

A partir del conocimiento de los desplazamientos asociados con los grados de libertad que fueronespecificados en la construccion del modelo matematico de analisis (productos de la solucion de laecuacion gobernante), es posible calcular las fuerzas elasticas en el sistema. Esto puede hacerse apartir de la ecuacion basica que relaciona estas fuerzas elasticas con los desplazamientos, a traves dela matriz de rigidez:

|Fk〉 = [K]|u〉 (8.58)


Figura 8.13: Fraccion de amortiguamiento crıtico en funcion de la frecuencia

Pero, por la transformacion de coordenadas: |u〉 = [Φ]|ξ〉, obtenemos:

|Fk〉 = [K][Φ]|ξ〉 (8.58a)

donde |ξ〉 = |ξ(t)〉 es el vector de coordenadas modales normalizadas, las cuales se asumen conocidas porser solucion de la ecuacion gobernante de la dinamica de movimiento oscilatorio del sistema expresadaen estas coordenadas mediante la ecuacion general:

|ξ〉+ [2βω]|ξ〉+ [ω2]|ξ〉 = |P 〉

que precisamente se resuelve para el vector |ξ〉, el mismo que permite que la identidad postulada porla ecuacion anterior se cumpla.

Luego, cualquiera de las ecuaciones anteriores nos sirve para el calculo de las fuerzas elasticasactuantes sobre el sistema durante el movimiento vibratorio del mismo.

Las fuerzas elasticas tambien pueden ser calculadas apelando a la ecuacion que describe el problemabasico de vectores y valores propios hacia el cual deviene el fenomeno de vibracion de un sistema devarios grados de libertad; pues se ha demostrado que para un modo cualquiera de vibracion, expresadoeste en terminos de los vectores modales normalizados, se cumple la relacion:

[K]|φ〉r = ω2r [M ]|φ〉r r=1;n

Utilizando esta ecuacion, o las relaciones generales de diagonalizacion de las matrices de masa yrigidez mediante la matriz modal normalizada, se puede demostrar (vease el Problema 8.7) que lasfuerzas elasticas son tambien suceptibles de ser calculadas mediante:

|Fk〉 = [ω2][M ][Φ]|ξ〉 (8.59)

O bien:|Fk〉 = [ω2][M ]|u〉 (8.59a)

Esta forma de evaluacion de las fuerzas elasticas es menos laboriosa que aquella basada en lamatriz de rigidez, sobretodo para los casos en los que el sistema ha sido modelado utilizando el metodode parametros concentrados, que conduce a un procedimiento de definicion de una matriz de masadiagonal para la descripcion de las propiedades inerciales.



8.1. En base a la expresion que define la energıa de deformacion elastica de un sistema con multiplesgrados de libertad, demostrar que la matriz de flexibilidad [F ] es matriz simetrica; es decir quecumple [F ] = [F ]T .En la teorıa del analisis matricial estructural esta propiedad usualmente se establece medianteel teorema de desplazamientos recıprocos de Maxwell, que indica: “La deflexion en un deter-minado punto de una estructura debida a una carga unitaria aplicada en otro punto, es iguala la deflexion que se produce en el segundo punto cuando una carga unitaria es aplicada en elprimer punto”, donde en esta expresion debe entenderse que la deflexion en un punto cualquieraes medido en la misma direccion que la carga aplicada en dicho punto.

8.2. Deducir las Ecuaciones (8.46)

8.3. Determinar la frecuencias naturales y los vectores de amplitud modales del Ejemplo 8.5.

Apendice A

El principio de superposicion

Si consideramos un sistema dinamico, o sea aquel en el que las variables fısicas que definen su“estado” de comportamiento tienen dependencia directa del tiempo, la manera en la cual responde aexcitaciones o perturbaciones provenientes de su entorno exterior depende de la naturaleza de estasacciones aplicadas y de las caracterısticas propias del sistema (sus parametros fısicos). En los primeroscapıtulos de este libro examinamos varios tipos de excitaciones, y en este Apendice deseamos investigarcomo las caracterısticas del sistema afectan su comportamiento a causa de los estımulos actuantes sobreel, los mismos que provienen de su entorno exterior o medio ambiente.

Para el fin expresado anteriormente consideremos el diagrama simbolico de bloques mostrado en laFigura A.1, en el cual el sistema es representado como una “caja negra” conteniendo las caracterısticaso parametros del sistema (en el caso de un sistema vibratorio: la masa, la elasticidad y el amortigua-miento). El significado implıcito de este diagrama es que un sistema dinamico sujeto a una excitacionvariable en el tiempo P (t) exhibe cierta respuesta tambien temporalmente variable x(t).

Figura A.1: Diagrama de bloques de sistema dinamico

En general, un sistema es definido como una agregacion de elementos componentes interconectados,los cuales trabajan funcionando simultaneamente como una sola unidad. Las caracterısticas del sistemano solo estan determinadas por las relaciones excitacion–respuesta de los componentes individuales,sino tambien de la manera en la cual estos elementos estan conectados entre sı dentro los lımitesdel sistema. Las caracterısticas de todo el sistema estan determinadas naturalmente en el proceso dededuccion de las ecuaciones dinamicas de su comportamiento (en sistemas vibratorios, las ecuacionesde movimiento), como podemos concluir de los desarrollos efectuados en los diversos capıtulos de estedocumento.

Una de las preguntas mas importantes en la mecanica de vibraciones es determinar si un sistemaes lineal o no–lineal. Como la respuesta a esta interrogante tiene implicancias profundas que vanmas alla del interes de la propia solucion a las ecuaciones del movimiento, adoptaremos una vıa deanalisis centrado en el propio sistema y sus caracterısticas inherentes. Para responder a esta pregunta,suponemos que un sistema en particular, cuando es sometido a la accion de dos fuerzas distintas P1(t)y P2(t), presenta las respuestas x1(t) y x2(t), respectivamente. Entonces, si aplicamos al sistema unafuerza de la forma:

P (t) = c1 P1(t) + c2 P2(t) (A.1)

273

274 APENDICE A. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

donde c1 y c2 son constantes, y la respuesta a P (t) es:

x(t) = c1 x1(t) + c2 x2(t) (A.2)

el sistema es lineal. Esta situacion es mostrada en la Figura A.2

Figura A.2: Relacion excitacion–respuesta para sistema lineal

Por otra parte, si la respuesta es:

x(t) 6= c1 x1(t) + c2 x2(t) (A.3)

el sistema es no–lineal. Las Ecuaciones (A.1) y (A.2) pueden ser extendidas al caso en el que P (t) yx(t) son la suma de cualquier numero de excitaciones y respuestas, respectivamente.

Las ecuaciones anteriormente establecidas representan matematicamente al principio de superposi-cion, el cual puede establecerse como sigue:

Si un sistema lineal es sometido a la accion de una perturbacion que es una combinacion lineal deun numero determinado de excitaciones individuales; las respuestas individuales a cada una deestas perturbaciones pueden ser obtenidas primero por separado y luego ser superpuestas medianteuna combinacion lineal para obtener la respuesta total a la perturbacion que fue originalmenteaplicada al sistema.

Como una ilustracion, consideremos un sistema cuyo comportamiento de respuesta x = x(t) a unaexcitacion temporal externa P (t) aplicada, esta descrita por la ecuacion diferencial gobernante:

md2x

dt2+ c

dx

dt+ k x = P (t) (A.4)

y denotemos la respuesta a la perturbacion P1(t) como x1(t), y la respuesta a la perturbacion P2(t)como x2(t); de modo que:

md2x1

dt2+ c

dx1

dt+ k x1 = P1(t) (A.5a)

md2x2

dt2+ c

dx2

dt+ k x2 = P2(t) (A.5b)

Luego, asumamos una excitacion de la forma establecida en la Ecuacion (A.1). Multiplicando laprimera de las Ecuaciones (A.5) por c1 y la segunda por c2, anadimos los resultados y podemos escribir:

c1

(md2x1

dt2+ c

dx1

dt+ k x1

)+ c2

(md2x2

dt2+ c

dx2

dt+ k x2

)= m

d2

dt2(c1x1 + c2x2) + c

d

dt(c1x1 + c2x2) + k (c1x1 + c2x2)

= c1P1(t) + c2P2(t) = P (t)

(A.6)

275

Comparando las Ecuaciones (A.4) y (A.6), concluimos que la Ecuacion (A.2) se satifisface identi-camente; y por tanto el sistema es lineal !.

Consideremos ahora otro sistema, cuyo comportamiento esta gobernado por la ecuacion:

md2x

dt2+ c

dx

dt+ k (x+ εx3) = P (t) (A.7)

Siguiendo el mismo procedimiento, escribimos:

md2x1

dt2+ c

dx1

dt+ k (x1 + εx3

1) = P1(t)

md2x2

dt2+ c

dx2

dt+ k (x2 + εx3

2) = P2(t)

multiplicando la primera ecuacion por c1, la segunda por c2, y sumando los resultados

c1

[md2x1

dt2+ c

dx1

dt+ k (x1 + εx3

1)

]+ c2

[md2x2

dt2+ c

dx2

dt+ k (x2 + εx3

2)

]= m

d2

dt2(c1x1 + c2x2) + c

d

dt(c1x1 + c2x2) + k (c1x1 + c2x2) + kε (c1x

31 + c2x

32)

= c1P1(t) + c2P2(t) = P (t)

Pero, en razon que: c1x31 + c2x

32 6= (c1x1 + c2x2)

3 (A.8)

concluımos que la Ecuacion (A.2) no se cumple; y por tanto el sistema descrito por la Ecuacion (A.7)no es lineal !. Esto se explica por el hecho que la Ecuacion (A.7) representa la ecuacion de movimientode un sistema de un grado de libertad amortiguado forzado con un resorte no–lineal. Para ε > 0, esteelemento es un resorte endurecido; en cambio, para ε < 0 se trata de un resorte reblandecido.

Comparando las Ecuaciones (A.4) y (A.7), vemos que la unica diferencia entre ambas radica enel termino cubico en x que aparece en la Ecuacion (A.7). De aquı podemos extractar una importanteconclusion: “Un sistema es lineal si la variable dependiente x(t) y todas sus derivadas temporales,aparecen en la ecuacion de movimiento con exponente unitario o nulo solamente”, donde la potenciacero implica que el termino correspondiente es constante. 1

Basados en esta conclusion, es posible en mayor parte averiguar si un sistema es lineal o no–lineal,simplemente inspeccionando la ecuacion diferencial que describe el fenomeno fısico en estudio, y probara todas las variables dependientes involucradas en su comportamiento de linealidad no es absolutamentenecesario. Aunque llegamos a esta conclusion en base de un sistema con un solo grado de libertad, unaconclusion similar puede ser emitida para sistemas con multiples grados de libertad y tambien para lossistemas de parametros distribuidos. Efectivamente, es suficiente que una sola variable dependiente ocualquiera de sus derivadas sea no–lineal para que todo el sistema sea no–lineal.

La distincion entre sistemas lineales y no–lineales no es un aspecto de simple eleccion como podrıaparecer, ya que un mismo sistema puede ser tratado como lineal en cierto rango de sus variablesdependientes y como no–lineal sobre otros rangos. Para ilustrar la idea, consideremos el sistema dela Ecuacion (A.7) asumiendo que ε es una cantidad muy pequena. Luego, para el rango en el cualεx3 x, el sistema puede ser tratado como lineal. De otro modo, si x adopta magnitudes de amplitudtales que εx3 es del mismo orden de magnitud que x; el sistema debe ser tratado como no–lineal.Claramente, para este caso existe un estado, o punto de funcionamiento, por encima del cual unsistema que es lineal deja de serlo. Este punto lımite establece un rango de variacion en el interior delcual el elemento tiene comportamiento lineal, lo cual es mostrado en la Figura 1.9 (vease el Capıtulo1). Desafortunadamente, a menudo, este punto lımite no esta definido con absoluta exactitud; y sueleccion en este caso dependera del nivel de precision deseado en el proceso de modelado.

1 En terminos mas precisos, esto significa que la variable dependiente y sus derivadas temporales consecutivas sonterminos de orden unidad o menor: x, x, x, . . . 6 O(1).

276 APENDICE A. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

Figura A.3: Relacion excitacion–respuesta para sistema lineal permanente

Antes de concluir con toda esta discusion, es necesario introducir un concepto adicional. Con esteobjetivo, nos referimos al diagrama de bloques mostrado en la Figura A.3 y consideramos aquellasexcitaciones P (t) que, si las mismas son retrasadas en un monto de tiempo τ especificado; la respuestax(t) tambien se retrasa en el mismo monto de tiempo τ . Esta condicion es completamente satisfechapor un sistema lineal, para el cual los coeficientes que multiplican a la variable dependiente x(t) ytodas sus derivadas temporales no dependen explıcitamente del tiempo. Dichos sistemas son conocidoscomo sistemas lineales permanentes o temporalmente invariantes, o mas comunmente como sistemaslineales de parametros o coeficientes constantes.

Los sistemas lineales invariables en el tiempo tienen la caracterıstica de que los analisis que seefectuan en un tiempo determinado son validos para cualquier otro tiempo; es decir, sus propiedadesson invariables con traslaciones en el tiempo.

Un ejemplo de un sistema invariable en el tiempo es aquel que tiene como ecuacion gobernantede su comportamiento a la Ecuacion (A.4), en la cual los coeficientes constantes son los parametrosdinamicos del sistema: m, c, y k. Por otra parte, en el caso que un sistema digamos este gobernadopor la siguiente ecuacion diferencial:

mx(t) + k(1 + cos Ωt)x(t) = P (t) (A.9)

la relacion excitacion–respuesta no esta descrita por el diagrama de bloques de la Figura A.3. Estopodrıa probarse simplemente realizando un cambio de la variable independiente: t# t− τ ;

mx(t− τ) + k[1 + cos Ω(t− τ)]x(t− τ) = P (t− τ)

La diferencia de comportamiento en el sistema en dos instantes distintos se establece especıficamenteen la fuerza proporcionada por el resorte. Si al instante t se produce un desplazamiento x(t), la fuerzaen el resorte en ese instante es: Fk(t) = k(1 + cos Ωt)x(t). Si en un instante anterior t− τ se estableceun desplazamiento de identica magnitud que al instante t; es decir: |x(t− τ)| = |x(t)|, la fuerza en elresorte sera: Fk(t− τ) = k[1 + cos Ω(t− τ)]x(t− τ), que evidentemente es diferente que F (t) debido alhecho que: cos Ωt 6= cos Ω(t− τ). Ası la fuerza en el resorte depende del instante en el cual se producesu elongacion (o contraccion), lo cual hace al sistema de caracterısticas internas variable en el tiempode forma que su respuesta (la fuerza producida en el resorte, en este caso) no cumple con la condicionde retraso.

La razon para esto es que la Ecuacion (A.9) representa a un sistema transitorio o un sistema deparametros temporalmente variables. El tratamiento de estos sistemas efectivamente es mucho mas difi-cultoso que los sistemas temporalmente invariables o permanentes; siendo esta tematica de tratamientoespecializado que no sera tratado en este libro. A menos que se indique explıcitamente lo contrario,asumimos que en todo el desarrollo analıtico presentado en los diversos capıtulos anteriores de estetexto estuvimos tratando con sistemas lineales de parametros dinamicos o coeficientes constantes !.

El poder del principio de superposicion se hace evidente en la respuesta de los sistemas vibratorioshacia perturbaciones periodicas. Aquı podemos recordar que una exitacion periodica puede ser repre-sentada por una serie de Fourier, i.e. una serie infinita de funciones armonicas. La respuesta a cada unade estas excitaciones armonicas es tambien armonica, como pudimos comprobar en el Capıtulo 4. Lue-go, invocando al principio de superposicion, la respuesta a excitaciones periodicas puede ser expresadaen la forma de una serie de estas respuestas armonicas, mas propiamente como una combinacion lineal

277

de las mismas. Ademas, la respuesta de un sistema hacia excitaciones periodicas es una respuesta deestado–estacionario tambien (despreciando las condiciones iniciales de movimiento).

Como fue mostrado en el Capıtulo 3 al hallar la respuesta de un sistema forzado mediante razo-namiento fısico, una excitacion arbitraria puede ser considerada como la superposicion (suma) de unaserie de fuerzas impulsivas de diferente magnitud y aplicadas en diferentes instantes de tiempo. Pero,la respuesta a un impulso unitario aplicado en el instante inicial t=0 define la respuesta al impulso delsistema, y la misma representa una propiedad intrınseca del mismo. Efectivamente, es una funcion deltiempo que refleja las propiedades inerciales, de amortiguamiento, y elasticas del sistema. Asumiendoque la respuesta al impulso de un sistema es conocida, la respuesta de un sistema lineal con coefi-cientes constantes puede ser expresada como una superposicion de respuestas al impulso de diferentesmagnitudes y aplicadas en tiempos diferentes. Esta superposicion es llamada integral de convolucion ointegral de superposicion de Duhamel, que como no podıa ser de otro modo aprovecha las propiedadeslineales de un sistema aplicando sobre ellos el principio general de superposicion para establecer unarelacion matematica–integral que de manera directa proporciona la respuesta de un sistema hacia unaexitacion completamente general. Recuerde Usted que hicimos amplio uso de esta tecnica en los pri-meros capıtulos de este documento para hallar la respuesta de un sistema hacia diversas excitacionesexternas aplicadas.

El principio de superposicion se encuentra en la base del analisis lineal y es en gran parte respon-sable de que la teorıa de sistemas lineales sea tan bien elaborada. Efectivamente, las consecuenciasdel principio son tan penetrantes que muchas de ellas son tomadas de hecho como garantizadas. Unejemplo perfecto es el hecho de que la solucion de las ecuaciones de movimiento para las excitacionesdebidas a condiciones iniciales, o la solucion homogenea; y la solucion para una fuerza aplicada, o lasolucion inhomogenea o forzada, pueden ser obtenidas por separado y luego combinadas linealmen-te para obtener la solucion completa o total. Este hecho es solamente aplicable a sistemas linealesexclusivamente.

En este momento, una palabra de precaucion debe ser considerada. Mientras que la superposicionde las soluciones es valida para los sistemas lineales sin restricciones, hay casos en los cuales la razonfundamental para superponer soluciones debe ser cuestionada. Con respecto a esto, recordemos quelos desplazamientos y las velocidades iniciales son excitaciones transitorias, con la respuesta para talesexcitaciones mejor descritas en el dominio del tiempo comenzando en el instante inicial t0. Por otro lado,las fuerzas constantes, armonicas y periodicas son excitaciones de estado–estacionario, las dos ultimasde descripcion mas comprensible en el dominio de la frecuencia, en lugar que en el dominio del tiempo.Pero, las respuestas hacia excitaciones armonicas y periodicas son tambien de estado–estacionario ytambien son mejor descritas en el dominio de la frecuencia que en el dominio del tiempo. Por lo tanto,aunque el principio de superposicion lo permite, desde un punto de vista fısico es difıcil justificar laadicion de la respuesta a las excitaciones provenientes de condiciones iniciales de movimiento con larespuesta forzada de estado–estacionario proveniente de la excitacion externa aplicada a un sistemapara obtener la respuesta total debida a ambos efectos.

Apendice B

Funciones singulares

Cuando las cargas o cualquier tipo de perturbacion externa la constituyen entidades concentra-das (como una fuerza o un momento puntual), o cuando la intensidad de la carga distribuıda varıabruscamente, el procedimiento de evaluacion de la respuesta de un sistema sometido a este tipo deperturbaciones es muy laborioso a menos de disponer de procedimientos matematicos especiales paramanejar las cargas discontınuas. En este Apendice introduciremos una serie de funciones singulares,especialmente pensadas para este proposito.

Consideremos la funcion pulso elemental : f∆(x; a), la misma que es mostrada en forma grafica enla Figura B.1. La descripcion matematica de esta funcion es como sigue:

f∆(x; a) =

0 −∞ < x < a− ∆

2

1∆ a− ∆

2 6 x 6 a+ ∆2

0 a+ ∆2 < x <∞

(B.1)

Figura B.1: Funcion pulso elemental

Esta funcion tiene la propiedad: ∫ ∞−∞

f∆(x; a) dx = 1 (B.2)

Si tomamos el lımite de la funcion pulso elemental definida por la Ecuacion (B.1), haciendo que elintervalo de su definicion no–nula se convierta practicamente en un punto, tenemos:

lım∆→0

f∆(x; a) = δ(x− a) =

0 x 6= a

∞ x = a(B.3)

279

280 APENDICE B. FUNCIONES SINGULARES

Pero, a partir de la Ecuacion (B.2) concluimos que:∫ ∞−∞

δ(x− a) = 1 (B.4)

La funcion definida en la Ecuacion (B.3), cuya propiedad de evaluacion esta establecida en laEcuacion (B.4) es llamada funcion impulso unitario o tambien se denomina funcion delta de Dirac,cuya grafica representativa es mostrada en la Figura B.2.

Figura B.2: Funcion impulso unitario

La funcion delta de Dirac tiene variadas aplicaciones en la Fısica y la Ingenierıa. Es usada pararepresentar matematicamente a la fuerza que es aplicada para causar un impulso unitario en t = a, enun sistema mecanico. Tambien es usada para representar una carga concentrada aplicada sobre unaestructura en la posicion x = a. La funcion impulso unitario tambien es utilizada para representar unafuente calorica unitaria en un problema de transferencia de calor.

Definamos ahora una nueva funcion mediante el siguiente procedimiento:

u(x− a) =

∫ x

0

δ(x− a) dx =

∫ x

0

lım∆→0

f∆(x; a) dx =

0 x 6 a

1 x > a(B.5)

La funcion definida en la Ecuacion (B.5) es llamada funcion escalon unitario, y es ilustrada en laFigura B.3.

Figura B.3: Funcion escalon unitario

Diferenciando la Ecuacion (B.5), obtenemos como resultado la relacion basica:

du(x− a)

dx= δ(x− a) (B.6)

281

Ahora, definamos una funcion adicional de caracterıstica singular como las anteriores, de modo queel procedimiento siguiente sea valido incondicionalmente:

r(x− a) =

∫ x

0

u(x− a) dx =

0 x 6 a

x x > a(B.7)

La funcion definida en la Ecuacion (B.7) es llamada funcion rampa unitaria, corresponde a una funcionlineal cuya pendiente es de valor unitario; y es ilustrada en la Figura B.4.

Figura B.4: Funcion rampa unitaria

Diferenciando la Ecuacion (B.7), obtenemos como resultado la relacion basica:

dr(x− a)

dx= u(x− a) (B.8)

Las definiciones de la funcion impulso unitario, la funcion escalon unitario, y la funcion rampaunitaria, pueden ser usadas para deducir las siguientes formulas integrales. Para cualquier funcionarbitraria g(t) se debera cumplir:∫ t

0

δ(τ − a)g(τ) dτ = u(t− a) g(a) (B.9a)

∫ t

0

u(τ − a)g(τ) dτ = u(t− a)

∫ t

a

g(τ) dτ (B.9b)

∫ t

0

r(τ − a)g(τ) dτ = r(t− a)

∫ t

a

g(τ) dτ (B.9c)

La correspondencia de los resultados de evaluacion de las integrales de las funciones singularesse hace completamente evidente en el sentido que todas ellas se anulan cuando el argumento de lasmismas es de valor negativo, lo cual es explıcitamente indicado en todas las ecuaciones de definicionde estas funciones.

A continuacion mostramos un ejemplo simple de modelado de una determinada perturbacion lacual es contınua por tramos, y la misma es representada graficamente en la Figura B.5.

Con el objetivo de modelar la perturbacion definida graficamente, podemos aprovechar el princi-pio de superposicion y las propiedades de traslacion de las funciones singulares establecidas en suscorrespondientes definiciones.

La funcion original puede ser desagregada en las funciones singulares mostradas en la Figura B.6,las cuales cuando son superpuestas (sumadas algebraicamente) reproducen exactamente la funcion deexcitacion original. Notese en las diferentes graficas que fue necesario modificar la pendiente (unitaria)de las funciones rampa, y tambien se modifico la amplitud (unitaria) de las funciones escalon.


Figura B.5: Funcion perturbadora contınua por tramos

Figura B.6: Funciones singulares componentes

La funcion de perturbacion, con las consideraciones previas, resultara ser:

P (t) =P0

t∗r(t− 0)− P0

t∗r(t− t∗) + P0 u(t− t∗)− P0 u(t− 2t∗)

y, si simplificamos esta relacion podrıamos escribirla de manera equivalente como:

P (t) = P0

[1

t∗r(t)− 1

t∗r(t− t∗) + u(t− t∗)− u(t− 2t∗)

]Puesta de la manera anterior la funcion de perturbacion, es claro que simplemente la hemos ex-

presado en terminos de las funciones singulares definidas. Notemos que las funciones rampa se anulana partir de t = t∗, y las funciones escalon tambien se anulan a partir del instante t = 2 t∗; quedandocomo resultado una funcion rampa de duracion finita y una funcion escalon tambien de duracion finitacomo se establece en la definicion de la perturbacion original.

Como ejemplo de aplicacion de las funciones singulares, ahora consideremos un sistema no–amortiguado,inicialmente en condicion de reposo, al cual se le aplica una perturbacion impulso unitario como semuestra en la Figura B.7.

Figura B.7: Sistema no–amortiguado sometido a impulso unitario

283

La ecuacion gobernante del movimiento oscilatorio del sistema, sabemos que es:

mx+ c x+ k x = P (t) = P0δ(t)

donde: x(0) = x(t) = 0 y P0 = 1. Escribiendo la ecuacion en forma estandarizada,

x+ 2βωx+ ω2x =δ(t)

m

siendo en esta ecuacion: ω2 = k/m, 2βω = c/m.Integrando la ecuacion diferencial gobernante normalizada con respecto al tiempo sobre el intervalo:

∆t = ε y tomando el lımite cuando este tiende a anularse, tenemos:

lımε→0

∫ ε

0

[x+ 2βωx+ ω2x] dt = lımε→0

∫ ε

0

δ(t)

mdt

lımε→0

∫ ε

0

x dt+ 2βω lımε→0

∫ ε

0

x dt+ ω2 lımε→0

∫ ε

0

x dt =1

mlımε→0

∫ ε

0

δ(t) dt (B.10)

Pero,lımε→0

∫ ε

0

x dt = lımε→0

x(t)∣∣∣ε0

= lımε→0

[x(ε)− x(0)] = x(0+)

lımε→0

∫ ε

0

x dt = lımε→0

x(t)∣∣∣ε0

= lımε→0

[x(ε)− x(0)] = x(0+)

lımε→0

∫ ε

0

x dt = lımε→0

x(0) ε = 0

lımε→0

∫ ε

0

δ(t) dt = 1

La notacion x(0+) debe ser interpretada como el cambio ocurrido en el desplazamiento asociadoal intervalo de tiempo ∆t = ε. Similarmente, x(0+) se refiere al cambio en la velocidad al final delmismo intervalo de tiempo. Ademas notemos que el resultado de la penultima integral, fue obtenidoinvocando el teorema del valor medio. Reemplazando todos estos resultados en la Ecuacion (B.10):

x(0+) + 2βωx(0+) =1

m

Aquı, apelaremos al sentido fısico de los efectos de la aplicacion de la carga impulsiva de valor uni-tario P (t) = P0δ(t) (P0 = 1). Habiendo considerado el intervalo de tiempo ∆t=ε∼=0, resulta evidenteque el sistema no tiene tiempo a reaccionar como para cambiar su desplazamiento inicialmente nulo porlo que: x(ε) ∼= x(0) = 0 (este hecho es debido a la inercia propia del sistema, mas especıficamente por lapresencia de la masa). Pero sı es suficiente para cambiar subitamente su velocidad por el principio deimpulso – cambio de momentum lineal que nos indica la mecanica basica. Entonces, comparativamentetendremos que: x(0+) ≡ O(1) y x(0+) ≡ O(2) (x(0+) ∼= 0); por lo que la anterior ecuacion se reduce a:

x(0+) = 0 ⇒ x(0+) =1

m

Entonces, el efecto fısico que se produce en el sistema por la aplicacion de una carga de impactode reducido tiempo de duracion (practicamente instantanea), es que la misma genera un impulso quese traduce en cierto monto de velocidad inicial que obliga a que el sistema se ponga en movimiento re-pentinamente. Si ahora recordamos la respuesta libre de un sistema amortiguado, debido a condicionesiniciales de movimiento x(t0) = x0 y x(t0) = x0 impuestas al mismo,


[x0 + βωx0


]


podemos aplicarla en este caso particular considerando que: t0 =ε=0+≡0 , x0 =0 , x0 =1/m. Entonces,reemplazando en la ecuacion anterior tendremos:

x(t) =1

mωae−βωt sinωat , ωa = ω

√1− β2

como respuesta al impulso del sistema amortiguado de un solo grado de libertad. Notemos ademasque en esta solucion implıcitamente hemos obtenido la funcion de Green K(t, τ) asociada a la ecuaciondiferencial gobernante de la vibracion del sistema; la cual se obtiene haciendo m = 1 y t# t− τ en laexpresion anterior. Por lo tanto,

K(t, τ) =1

ωae−βω(t−τ) sinωa(t− τ) (B.11)

Esto ultimo puede comprobarse apelando a la formula general que define la respuesta forzada deun sistema, la cual recordamos que es:

x(t) =1

m

∫ t

0

P (τ)K(t, τ) dτ

Si en esta expresion hacemos: P (τ)=P0 δ(τ)=1 δ(τ)=δ(τ), y tomamos la funcion de Green establecidaen la Ecuacion (B.11), obtenemos:

x(t) =1

m

∫ t

0

δ(τ)1

ωae−βω(t−τ) sinωa(t− τ) dτ =

1

mωa

∫ t

0

δ(τ) e−βω(t−τ) sinωa(t− τ) dτ

Aplicando ahora la Ecuacion (B.9a), considerando en la misma a = 0 y u(t) = 1 para t > 0, setendra:

x(t) =1

mωae−βω(t−τ) sinωa(t− τ)

∣∣∣τ=0

=1

mωae−βωt sinωat

lo cual establece la prueba de validez de la respuesta obtenida anteriormente en base a la concepcionfısica del problema.

La respuesta a impulso es muy importante en el estudio de los sistemas vibratorios, pues la mismapermite estimar el valor de magnitud de los parametros dinamicos de un sistema. Supongamos queexperimentalmente se aplica un impulso unitario a un sistema amortiguado modelado con un sologrado de libertad, permitiendose que el mismo vibre y se registre dicho movimiento. La medida dela velocidad con la cual el sistema inicia su movimiento es una valoracion indirecta de la masa equi-valente que este posee. La medicion del periodo natural amortiguado y el decremento logarıtmico, atraves de la respuesta obtenida experimentalmente, permiten estimar los valores de los coeficientes deamortiguamiento y rigidez equivalentes del sistema.

vibraciones mecanicas

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