voltmetri digitali

VOLTMETRI DIGITALI VOLTMETRI DIGITALI VOLTMETRI DIGITALI VOLTMETRI DIGITALI EEEE

CONVERTITORICONVERTITORICONVERTITORICONVERTITORI( / / )( / / )(D/A e A/D)(D/A e A/D)

Convertitori D/A e A/DConvertitori D/A e A/D

convertitoreOUTINn bit

1 filoconvertitoreD/A

lineelinea

analogicanumero

tensione

digitalig

N =2nla tensione voutè quantizzata

numero

livellin bit o

V E L O C I T A’

convertitoreIN OUTrange o

dinamica N livelli

valore tensioneanalogicad'ingresso

A/D

Voltmetri e ConvertitoriVoltmetri e Convertitori 22/79/79

numericod'uscita

d ingresso

Voltmetro o Convertitore A/DVoltmetro o Convertitore A/DE’ uno strumento che riceve in ingresso una tensione analogica e la digitalizza (discretizzando prima nel analogica e la digitalizza (discretizzando prima nel dominio del tempo e poi nel dominio dell’ampiezza):

A D C

(t) (t ) vD(tk)

A D C

campionatoreSample & Hold

quantizzatorein ampiezza

v(t) v(tk) vD(tk)

discretizzazione nel tempo

discretizzazione in ampiezza

In particolare, la quantizzazione nel dominio del tempo avviene con risoluzione Tc=1/fc (periodo [s]


tempo avviene con risoluzione Tc 1/fc (periodo [s] e frequenza [Sa/s o Hz] di campionamento)

Quantizzazione in ampiezzaQuantizzazione in ampiezzaLa quantizzazione in ampiezza avviene suddividendo la dinamica D di misura (intervallo di valori di tensione

l i i bili i i ) i N i lli analogica misurabili in ingresso) in N sottointervalli (livelli) di larghezza costante ΔV=D/N (risoluzione)

DΔV

1 2 3 4 i N 2 N 1 N livelli

1 2 3 … i … N-2 N-1 soglie

1 2 3 4 … i … N-2 N-1 N livelli

g0 1 2 3 … i-1 … N-3 N-2 N-1valore

numerico

Alle tensioni analogiche che cadono nell’intervallo i-esimosi associa un valore numerico corrispondente all’intero i-1


si associa un valore numerico corrispondente all intero i 1(da 0 a N-1) che identifica l’intervallo in questione

Errori nei convertitori: quantizzazione Errori nei convertitori: quantizzazione

Caratteristica a passi uniformi e senza

ΔV=(1/8)VFS

uniformi e senza “traslazione di ½ bit”


Errori nei conv. A/D e D/A: Errori nei conv. A/D e D/A: offsetoffsetffff

Input(ΔV units)(ΔV units)


ADC DAC

Errori nei convertitori: Errori nei convertitori: gaingaingg

ADC DAC

Input(ΔV units)


ADC DAC

Errori nei convertitori: Errori nei convertitori: DNLDNLDifferential Non-Linearity (non-linearità differenziale)


ADC DAC

Errori nei convertitori: Errori nei convertitori: INLINLIntegral Non-Linearity (non-linearità integrale)


ADC DAC

Campionamento di un segnale (1/3)Campionamento di un segnale (1/3)

tra le repliche spettrali


tra le repliche spettrali.

Campionamento di un segnale (2/3)Campionamento di un segnale (2/3)p g ( / )p g ( / )

campionamento campionamento correttocorretto

fc /2 viene detta frequenza di Nyquiste, una volta fissata la frequenza dicampionamento, questa è la massimafrequenza spettrale correttamente

l l l l


misurabile/ricostruibile per il segnale

Campionamento di un segnale (3/3)Campionamento di un segnale (3/3)p g ( / )p g ( / )campionamento campionamento erratoerrato( i )( i )(sottocampionamento)(sottocampionamento)

-fMax +fMax

-fMax +fMax


Convertitore D/AConvertitore D/A

OUTINn bitconvertitore

D/A linea

OUTIN1 filo

/linee

digitalianalogica

la tensione voutN =2n

livelliè quantizzata


Convertitore D/A a rete di R (1/4)Convertitore D/A a rete di R (1/4)Da un’unica tensione di riferimento costante (Vref) siprelevano n correnti pesate attraverso n interruttori(switch) S0, S1, … Sn-1


Su ciascuno switch Si è posta una resistenza ri=2(n-1)-iR

Convertitore D/A a rete di R (2/4)Convertitore D/A a rete di R (2/4)Gli switch si sono comandati dalle cifre binarie bi delnumero da convertire in tensione con pesi t cnumero da convertire in tensione, con pesi t.c.

b0 = LSB Least Significant Bitb 1 = MSB Most Significant Bitbn-1 MSB Most Significant Bit

L’operazionale serve da t d ll ti sommatore delle correnti

pesate che passano attraverso gli switch e

l converte la corrente risultante i0, attraverso la resistenza di feedback, in

’ df

un’uscita di tensione vo


Convertitore D/A a rete di R (3/4)Convertitore D/A a rete di R (3/4)( )( )

Le correnti pesate sonon bit Imin

Le correnti pesate sono

minrefref 22 IVVi ii

i === min)1()1( 22 RR nin

i−−−

con i = 0, 1, … , n-1 (come i bit della parola numerica)( p )

La corrente complessivamente passante dagli switch

( )V

La corrente complessivamente passante dagli switchchiusi (Si è chiuso ⎯ posizione dx ⎯ quando bi=1) è

( )11

22

10)1(ref

o 22...22 −

−−

−− ++++= n

nn

nn bbbb

RVi


Convertitore D/A a rete di R (4/4)Convertitore D/A a rete di R (4/4)

( )bbbVIR n+++ −1ref 22vLa tensione generata in uscita è

( )( ) VkVbbb

bbbIR

n

nnf

Δ=Δ+++=

+++=−=

−

−

1

110ref

oo

22

2...22

v

v

( ) VkVbbb n Δ=Δ+++= −110o 2...2vcon k numero intero, compreso tra 0 e 2n-1

L’accuratezza del DAC dipende da Vref, dalle ri e dalla qualità ΔV = Vo,max / 2n

ref idegli switchI valori di tensione analogica Vo

d d

( ) 2/ nV

in uscita, provenendo da campioni digitali a n bit, hanno


( )12

2/max,oo

VVu =una incertezza

Voltmetri digitali (DVM) e DMMVoltmetri digitali (DVM) e DMMg ( )g ( )TIPI D'IMPIEGO: misure (V,I,R,T,C,...) e acq. dati

CARATTERISTICHE:numero di campi (portata,range,dinamica) di misura,numero di cifre decimali (m) o numero di bit (n) o ( ) ( )numero di livelli (N)

RISOLUZIONE, ACCURATEZZA, RISOLUZIONE, ACCURATEZZA, VELOCITA’ DI LETTURA

DVM DMM DISPLAY DIGITALE

reiezione al rumore di modo differenziale


DVM e DMM DISPLAY DIGITALE

Tipi di voltmetri e RisoluzioneTipi di voltmetri e RisoluzioneVoltmetri - DIFFERENZIALI

- INTEGRATORI mediano V0ref ≅− kVVx

INTEGRATORI mediano Vx

OP-AMP come COMPARATORE o INTEGRATORE

RISOLUZIONE - dimensionale ΔV (V)di i l δ (1)- adimensionale δ (1)

dinamicaΔ

DV 1VΔδ“parti per …”

livellin°==Δ

NV

maxND==δ e.g. 1 x 10-4

con Nmax=10000

( )max10cifre log N=δ“cifre” e.g. 5

m cifre decimali N=10m

n bit N=2n


cifre e.g. 5con Nmax=99999

n bit N 2m = log10(2n)=nlog10(2)≅0.3n

Prestazioni dei voltmetriPrestazioni dei voltmetriVELOCITA’ × ACCURATEZZA ~ costante

[letture/s] [1/incertezza] (voltmetro)

alta bassa (flash a 8 bit)alta - bassa (flash a 8 bit)

media - media (approx. successive a 10 – 16 bit)

bassa - alta (integratori a16 26 bit)


16 -26 bit)

Voltmetri differenziali (1/2) Voltmetri differenziali (1/2) ( )( )

Effettuano la misura di una tensione incognita Vxmediante il confronto con una tensione diriferimento Vr generata internamente allostrumento

Vr è una tensione di riferimento variabile e pergenerarla si ricorre al riferimento interno che ègenerarla si ricorre al riferimento interno che èuna tensione V0 di elevata precisione e stabilità

L’accuratezza di V0 e dunque di Vr si ripercuotesull’accuratezza dei singoli confronti e infine su


sull accuratezza dei singoli confronti e infine suquella della misura

Voltmetri differenziali (2/2)Voltmetri differenziali (2/2)( )( )Schema di principio di un

lt t diff i l voltmetro differenziale

La transizione avviene perLa transizione avviene per

x*

rr VVV ==

Vr viene variata da Vx, min a Vx, max e si registra, ,il valore Vr

* per cui l’uscita del comparatorescatta di livello

Vr* viene quindi inviato al display del voltmetro


Voltmetro potenziometrico (1/2)Voltmetro potenziometrico (1/2)"Sistema elettromeccanico servo-assistito"

Vr=kV0 e Vr*= k*·V0=Vxr 0 r 0 x

La risoluzione di misura dipende dalla risoluzione del divisore potenziometrico (passo del motore)


p (p )Accuratezza: pot., comp., motore, indicatore, ...

Voltmetro potenziometrico (2/2)Voltmetro potenziometrico (2/2)La sensibilità di misura viene aumentatagrazie all’amplificazione in ingresso (AMP)g p g ( )consentendo di rivelare segnali Vx debolicon una maggiore insensibilità al rumored l ( )del comparatore (COMP)

Caratteristiche generali:Caratteristiche generali:Risoluzione bassa (3 cifre)Velocità bassa (poche letture/s)Costo contenuto (~20 kLit. ≅10 €)( )

☺ Validità didattica!Voltmetro elettromeccanico (lento e inaccurato)


Voltmetro elettromeccanico (lento e inaccurato)⇒ oggi risulta praticamente in disuso

Voltmetro DigitaleVoltmetro Digitaleo Convertitore A/Do Convertitore A/D

titIN OUTrange o

dinamica

n bit o N livelli

tensioneanalogica

convertitoreA/D

dinamica

valore numericod'uscita

analogicad'ingresso


Voltmetro a rampa analogica (1/6 )Voltmetro a rampa analogica (1/6 )COMP. DILIVELLO CONTATORE

DIGITALE

capacitàNc,max

LIVELLO DIGITALE

COMP. ZERO

E’ una versione a stato solido (molto più veloceffid bil ) d l lt t t i t i


e affidabile) del voltmetro potenziometrico.La risoluzione è di 4 o 5 cifre (10 000 o 100 000 conteggi)

Voltmetro a rampa analogica (2/6 )Voltmetro a rampa analogica (2/6 )p g ( )p g ( )

costanteT

:: rampaMx

TVTVp G =Δ=

Trampa


2Mxp G

Voltmetro a rampa analogica (3/6 )Voltmetro a rampa analogica (3/6 )p g ( )p g ( )Opera secondo una conversione tensione/tempoe la tensione Vx viene misurata contando un certoxnumero di periodi di clock Tc in un intervallo ditempo ΔTG (proporzionale al modulo di Vx)

Mcc

M VTNVTV G =Δ

= Mrampa

Mrampa

x 2/2/V

TV

TV

Il segno di Vx si deduce da quale comparatorescatta primaACCURATEZZA: dipende dalla linearità dellarampa, dalla stabilità del clock (fC) e da rumore e


rampa, dalla stabilità del clock (fC) e da rumore ederive dei comparatori

Voltmetro a rampa analogica (4/6 )Voltmetro a rampa analogica (4/6 )p g ( / )p g ( / )Misura

per Errore di quantizz. = [0,1] conteggio per conteggio

q [ , ] ggIncertezza = 1 conteggio / 12M lt lt l’ ò l itiMolte volte l’errore può essere solo positivo(approx. per eccesso), o solo negativo (approx.per difetto), risultando ad es. limitatoall’intervallo [0 T ]

ccTNTG =Δall intervallo [0, Tc]

xstartstop VTTT G ∝Δ=−7 ΔT NT7

e

ΔTG = NTc +e1 -e2σ 2(ΔTG) = σ 2(e1) + σ 2(e2)


e2e1

( G) ( 1) ( 2)u(ΔTG)=σ (ΔTG)= (Tc/ )122

Voltmetro a rampa analogica (5/6 )Voltmetro a rampa analogica (5/6 )p g ( )p g ( )La rampa analogica varia linearmente da –VM a+VM con periodo 1T =+VM con periodo

ramparampa f

T =

Il tempo di misura è T =T (≈ms)Il tempo di misura è Tmis=Trampa (≈ms)(velocità o frequenza di lettura pari a frampa (≈kHz)

tot. livelli sia

Per una lettura con risoluzionemaxc2

11NN ==δ

pos.che neg.capacità delcontatore

maxc,dove Nc,max=N/2 è il massimo numero di conteggidel contatore (su dinamica unipolare), deve essere( p ),

c

ffN =

b l dfc = N × frampa = 2Nc,max × frampa ⇒


rampafcome ricavabile da NTc=Trampa

Voltmetro a rampa analogica (6/6 )Voltmetro a rampa analogica (6/6 )rampac1f

fT

TDV

N==

Δ==δ RISOL. liv.=N=2Nc,max

crampa fTDN( ) ( )rampac1010 /loglog ffNm == CIFRE

DECIMALI( )p DECIMALI

( ) ( )rampac22 /loglog ffNn == BIT

La risoluzione migliora al crescere del rapporto fc / frampaConviene lavorare con f alta ma per f elevata occorre un Conviene lavorare con fc alta, ma per fc elevata occorre un contatore a “molte cifre” e “veloce”. Altri parametri:

Vdp

VTNTTpV GGx

ccx da ==ΔΔ⋅=2V

dinamica


con p pendenza della rampa analogica: (V/s) rampa

M2T

Vp =tempomisura

Voltmetro Voltmetro -- convertitore Flash (1/4) convertitore Flash (1/4) ( )( )E’ il più veloce convertitore A/D con Tmis ≈ 1Tc

i f di i fi 40 GS /raggiunge frequenze di conversione fino a 40 GSa/s

La complessità circuitale (e il costo) cresceLa complessità circuitale (e il costo) cresceesponenzialmente con il numero di bit (come 2n) e quindi si lavora a bassa risoluzione: e quindi si lavora a bassa risoluzione:

n ~ 8 bitn 8 bit

A così elevate velocità di campionamento p(alta banda di segnale e rumore) occorre tenere presente il numero di bit equivalenti…


p q⇒ non conviene salire con il numero di bit

Voltmetro Voltmetro -- convertitore Flash (2/4)convertitore Flash (2/4)( )( )N resistori

N 1 IN-1soglie


Voltmetro Voltmetro -- convertitore Flash (3/4)convertitore Flash (3/4)( )( )

V f VN resistori tutti uguali

ΔVΔV

NRVI ref= ( )

NViRIiVi

ref== i = 1, … N - 1N - 1 soglieN 1 soglie

VVI refref

Primo e ultimo resistore diversi

VR ⎞⎛⎤⎡ 1NRRNR

I refref)(

=−+

=22

NViIRiRVi

ref)( ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=

211

2N - 1 soglie

Con la rete di resistori 3/2 R e R/2 la soglia del1° livello viene dimezzata in ampiezza il che è utileper non avere offset nella caratteristica di conversione


per non avere offset nella caratteristica di conversionee per convertire segnali bipolari 1° ed N° livello sono

disuniformi dagli altri

Voltmetro Voltmetro -- convertitore Flash (4/4)convertitore Flash (4/4)( )( )E’ il convertitore A/D utilizzato negli oscilloscopidi it li d i l i d t èdigitali dove una risoluzione modesta non è unfattore limitante ma la velocità è importante

La dinamica di misura viene suddivisa in N = 2n

livelli equispaziati (ΔV = Vmax / 2n) utilizzandoq p ( max / )N– 1 = 2n – 1 soglie (e comparatori)

Ti i t i l N 256 li lli ( 8 bit) Tipicamente si lavora con N=256 livelli (n=8 bit) e dunque la risoluzione relativa è δ=1/256≅4⋅10-3

(l i di d d di i l i t )(la ris. ass. dipende da dinamica e valore misurato)

È usato per misure su segnali molto veloci


p g(TLC, Fisica, ...) ma con accuratezza limitata

Esercizio (convertitore Flash)Esercizio (convertitore Flash)( )( )Oscilloscopio digitale a larga banda

Dinamica D = ± 10 V n = 8 bit fsample = 1 GS /GSa/s

mV80256

V202

≅==Δ n

DV?=ΔV2562n

( ) ( ) 23ΔVVV V( ) ( ) ( ) 2312q ≅==VVuVu mV( ) ?=Vu

fx, max = fsample / 2 = 500 MHzfx,max = ?


Oltre alla quantizzazione ci sarà anche un rumore elettronico...(v. bit equivalenti) e utot(V) sarà maggiore di u(V)=uq(V)

Voltmetro ad approssimazioniVoltmetro ad approssimazionisuccessive (1/6)successive (1/6)

Approccio digitale al metodo potenziometricosuccessive (1/6)successive (1/6)


Voltmetro ad approssimazioniVoltmetro ad approssimazionisuccessive (2/6)successive (2/6)successive (2/6)successive (2/6)

Convertitore D/A a Convertitore D/A a nn bit (“potenziometro”) bit (“potenziometro”) Convertitore D/A a Convertitore D/A a nn bit ( potenziometro ) bit ( potenziometro ) Comparatore e Logica di controlloComparatore e Logica di controlloClockClock (temporizzazione del sistema) (temporizzazione del sistema) ClockClock (te po a o e de s ste a) (te po a o e de s ste a)

Con un Con un metodo di BISEZIONEmetodo di BISEZIONE si “provano” tutti si “provano” tutti i bi ( l 1) i d l iù i ifi i (MSB) i bi ( l 1) i d l iù i ifi i (MSB) i bit (valore =1) a partire dal più significativo (MSB) i bit (valore =1) a partire dal più significativo (MSB) fino al bit meno significativo (LSB)fino al bit meno significativo (LSB)Ad i f Ad i f VV i d id i d id Ad ogni confronto con Ad ogni confronto con VVxx si decide se manteneresi decide se mantenereil bit a “1” o riportarlo a “0”il bit a “1” o riportarlo a “0”

[ ]011

1FS

D/A 2...22

bbbVV nnn +++= −−Uscita DAC:


2


Con soli n confronti si ottiene


Con soli n confronti si ottiene una risoluzione δ = 1/N = 1/2n


La La cifra meno significativacifra meno significativa ha un PESOha un PESOΔΔVV = = VVFSFS / 2/ 2nn NN = 2= 2nn

FSFS

La La più significativapiù significativa vale vale VVFSFS / 2/ 2

Si eseguono Si eseguono “solo” “solo” nn = log= log2 2 NN confronticonfronti ciascunociascunodi durata di durata mTmTCC con con mm compreso tra 2 e 5compreso tra 2 e 5di durata di durata mTmTCC con con mm compreso tra 2 e 5compreso tra 2 e 5

Il Il tempo di misuratempo di misura è è fissatofissato indipendentementeindipendentementeda da VVxx e vale e vale TTmismis = = nn ((mTmTCC))



Il rumore differenziale può portare “istantaneamente” a


Il rumore differenziale può portare istantaneamente aerrate decisioni sul singolo confronto e dunque a unerrore di misura

Voltmetro ad approssimazioniVoltmetro ad approssimazionisuccessive (6/6)successive (6/6)

Risoluzione effettivaRisoluzione effettiva ((da 3 a 5 cifre effettiveda 3 a 5 cifre effettive))

successive (6/6)successive (6/6)Risoluzione effettivaRisoluzione effettiva ((da 3 a 5 cifre effettiveda 3 a 5 cifre effettive))dipende dal rumore presente agli stadi didipende dal rumore presente agli stadi diingresso del comparatore (non è sempre ingresso del comparatore (non è sempre VVFSFS //22nn......))ingresso del comparatore (non è sempre ingresso del comparatore (non è sempre VVFSFS //22 ......))

AccuratezzaAccuratezza: dipende dal : dipende dal riferimento internoriferimento interno,,pp ,,dalla dalla qualità del DACqualità del DAC e dal e dal rumore del comparatorerumore del comparatore

STATO DELL’ARTE:STATO DELL’ARTE:nn [bit] 12 16 18 [bit] 12 16 18 (5(5½ cifre)½ cifre)

N=4 096 N=65536 N=262144nn [bit] 12 16 18 [bit] 12 16 18 (5(5½ cifre)½ cifre)

TTmismis [ns] 50 [ns] 50 100 100 500500


ffmismis [MSa/s] [MSa/s] 2020 1010 (AD7626)(AD7626) 22 (AD7641)(AD7641)

Prestazioni DVM ad approx. succ.Prestazioni DVM ad approx. succ.pppp

Questi voltmetri possono essere anche Questi voltmetri possono essere anche piuttosto piuttosto Questi voltmetri possono essere anche Questi voltmetri possono essere anche piuttosto piuttosto veloci mantenendo un’ottima risoluzioneveloci mantenendo un’ottima risoluzione((e.g.e.g. nelle DAQ, nelle DAQ, TTmismis = 5 = 5 μμs, ovvero s, ovvero ((e.g.e.g. nelle DAQ, nelle DAQ, TTmismis 5 5 μμs, ovvero s, ovvero ffsamplesample = 200 kSa/s = 200 kSa/s con con nn = 16 bit= 16 bit) )

Filtro passaFiltro passa--basso in ingressobasso in ingresso per limitare le per limitare le “errate decisioni” dovute al rumore elettronico “errate decisioni” dovute al rumore elettronico presente in ingresso presente in ingresso si riduce anche la si riduce anche la

l dl dvelocità di conversionevelocità di conversione


Esercizio sul voltmetro Esercizio sul voltmetro ad approssimazioni successivead approssimazioni successivead approssimazioni successivead approssimazioni successive

Dinamica 0 - 2 V n = 7 bitff 1 MH 1 MH TT 2 2 TTffcc = 1 MHz = 1 MHz TTconfrontoconfronto = 2 = 2 TTcc

Indicare il Indicare il tempo di misuratempo di misura TTmis mis , il , il valore misuratovalore misuratoVV il il t l t l i tt i tt VVmismis e il suo e il suo errore percentualeerrore percentuale rispetto a una rispetto a una tensione sotto misura di valore tensione sotto misura di valore VVxx = 1205 mV= 1205 mV


Soluzione (1/2)Soluzione (1/2)( )( )


Soluzione (2/2)Soluzione (2/2)( )( )μs1/1 cc == fT

μs22 cconfr == TT

kS / )70( 14TT kSa/s)70( μs14confrmis ≈== nTT

mVi 1251203=V mV1205quando =VmV.mis 1251203V

%.ERR% mis 15560=−

= x VV

mV1205 quando xV

%.ERR% 15560xV

Con soli 7 bit si ha una risoluzioneCon soli 7 bit si ha una risoluzione

VVVV n m6.151282

2max ≅==Δ


1282Naturalmente Naturalmente ⎜⎜VVxx--VVmismis⎜⎜< < ΔΔVV (1.875 mV<15.6 mV)(1.875 mV<15.6 mV)

Voltmetri a integrazioneVoltmetri a integrazioneggIl valore di lettura dipende dal segnale (tensione)i i d l i i t lin ingresso secondo una relazione integrale:

∫∝I

d)(1 T

ttVV ∫∝0I

m d)( ttVT

V

Reiezione al disturbo in uno strumento a integrazione:a integrazione:

)()( dx tVVtV += segnale + disturbo

[ ] ∫∫ +=+=II

dxdxIm d)(1d)(1)(TT

ttVT

VttVVT

TV


∫∫0I0I TT

Esempio di reiezione al disturboEsempio di reiezione al disturbo

Se è nota la frequenza deldisturbo può essere utile1 IT disturbo, può essere utilescegliere un TI opportuno;in generale comunque per"TI lungo" la reiezione al

→∫0

dI

0d)(1 I

ttVT


TI lungo la reiezione aldisturbo migliora∞→I

0Iper T

[[richiamirichiami] Funzioni trigonometriche] Funzioni trigonometricheggcos(x)=sin(x+π/2)

d

( ) ( )sin(x)=cos(x-π/2)

{ } )cos()sin(dd xxx

=

d { } )sin()cos(dd xxx

−=

)cos(d)sin( xxx −=∫

)(d)(∫ )sin(d)cos( xxx =∫


[[richiamirichiami] Formula di Eulero] Formula di Eulero

θθθ sincos je j +=θj θθθ sincos je j −=−

θθθ

jj ee −+

122 =+ θθ cossin2θ =cos

ee jj θθ −

jee jj

2sinθ −

=


j

[[richiamirichiami] Somme di seni e coseni] Somme di seni e coseni

)sin()cos()cos()sin()sin( βαβαβα ±=± )()()()()( βββ)sin()sin()cos()cos()cos( βαβαβα m=±

da cui

)cos()sin(2)sin()sin( βαβαβα =−++

)sin()cos(2)sin()sin( βαβαβα =−−+

)cos()cos(2)cos()cos( βαβαβα ++ )cos()cos(2)cos()cos( βαβαβα =−++

)sin()sin(2)cos()cos( βαβαβα −=−−+


)s ()s ()cos()cos( βαβαβαsomma e differenza ← prodotto

Integrazione (caso particolare)Integrazione (caso particolare)Il disturbo misurato all’uscita dello strumento vale:

T

g ( p )g ( p )

∫=I

dImd, d)(1)(T

ttVT

TV0IT

Immaginiamo che all’ingresso sia presente undisturbo sinusoidale:

)2cos()( d0dd tfVtV π=

)sin()2i (I xTfVV TIn uscita si avrà:

)()( d0d,d f

0d,p

p

d

Id0d,

0d

I

0d,Imd, )(

)sin(2

)2sin(d)2cos()(I

Vx

xf

TfT

Vttf

TV

TVI

T

=ππ

=π= ∫il di b i d


con xp=2πfdTIil disturbo misurato decresceall'aumentare di xp≈fdTI

( )

Integrazione (caso generale) (1/2)Integrazione (caso generale) (1/2)g ( g ) ( )g ( g ) ( )

)2sin()( d 0d ϕ+π= ftVtV )2sin()( d,0d ϕ+πftVtV++ TtTt 11 2/2/ 00

=+π== ∫∫ tftVT

ttVT

VTtTt

d)2sin(1d)(1

2/0d,

2/dmd,

00

ϕ−− TtTt 2/2/ 00

2/d,0

0)2cos(Tt

ftV+

⎥⎤

⎢⎡ +π−

=ϕ

2/02

TtfT

−

⎥⎦

⎢⎣ π

=

⎫⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +π−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

π= ϕϕ

22cos

22cos

2 000d,

md,TtfTtf

fTV

V


⎭⎩ ⎦⎣ ⎠⎝⎦⎣ ⎠⎝f

Integrazione (caso generale) (2/2)Integrazione (caso generale) (2/2)g ( g ) ( )g ( g ) ( )

⎬⎫

⎨⎧ ⎤⎡

⎟⎞

⎜⎛⎤⎡

⎟⎞

⎜⎛0d TTV

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

π= ϕϕ

22cos

22cos

2 000d,

md,TtfTtf

fTV

V

)2/2sin()2sin(22 0

0d, fTftfT

Vπ+π

π= ϕ essendo

)cos()cos( βαβα =−−+

)2sin()sin(0d,0 ϕ+π

ππ

= ftfT

fTV)sin()sin(2

)cos()cos(βα

βαβα−=

=+

massimizzabileπfT

)()sin()( ϕtFxVTVil particolare

l di i i

massimizzabilecon +1 (worst case)

),()()( 00d,md, ϕtFx

VTV =

dove x =πf T e F(t ϕ)=sin(2πft + ϕ) con 1 ≤ F(t ϕ) ≤ +1

valore di reiezione dipende da t0 e ϕ


dove x =πf T e F(t0,ϕ)=sin(2πft0+ ϕ) con -1 ≤ F(t0,ϕ) ≤ +1

Integrazione (generale vs particolare)Integrazione (generale vs particolare)Se nel caso generale scegliamo t0 = T/2 e φ = π/2allora GENERALE PARTICOLARE

=ππ

=π

+π=)cos()sin()sin()2sin()( VfTfTVfTftTV ϕ =

π=

π+π= 0d,0d,0md, )2sin()( V

fTV

fTftTV ϕ

)2sin( VfTπ d 2 )sin()()in( xxx0d,2

)( VfT

fπ

= essendo2

)()cos()sin( xx =

In ogni caso, potendo lavorare con TI=T=1/f o anche con T=m(1/f ) si ottiene, idealmente, una completa eliminazione del disturbo essendo Vd,m(T=m/f )≡0Naturalmente, questo è possibile solo a patto di


, q p pconoscere bene il valore della frequenza f del disturbo

Integrazione (disturbo min e max)Integrazione (disturbo min e max)g ( )g ( )),()sin()( 00d,md, ϕtFxVTV = x = πf T

F(t0,ϕ)=sin(2πft0+ϕ),, x ( 0,ϕ) ( f 0 ϕ)Mentre sin(x)/x dipende dal prodotto ( f T ), variare t0 e φ vuole dire scegliere una diversa fase per l’onda sinusoidale di disturbog pe dunque un particolare valore ∈[-1,+1] per la funzione F(t0,φ)Scegliendo una fase opportuna per il disturbo (o meglio

l fi t di i t i ) i ò tt per la finestra di integrazione) si può sempre ottenere F(t0,ϕ)=sin(2πft0+ϕ)=0 e dunque un valore di minimo peril disturbo integrato Vd m min=0. Invece, senza alcun g d,m,min ,controllo sulla fase/finestra, nel caso peggiore, ossia per F(t0,ϕ)=sin(2πft0+ϕ)=±1, il disturbo residuo "massimo" è

0d,0d,maxm,d,1)sin(

VTf

Vx

xV

π≤=


Tfx πattenuando il disturbo Vd,0 di πfT, che è >> 1 se T >> 1/f o f>>1/T

Integrazione (disturbo efficace)Integrazione (disturbo efficace)g ( )g ( )

),()sin()( 00dmd ϕtFxVTV = x = πf TF(t0,ϕ)=sin(2πft0+ϕ)),()( 00d,md, ϕ

x F(t0,ϕ) sin(2πft0+ϕ)

Mentre sin(x)/x dipende dal prodotto (f T), i parametri t0 e φ id ti i bili li

Per φ variabile casuale con φ ∈ [-π, π]possono essere considerati come variabili casuali

<F> = 0 <F2> = ½ ( ) 212 /=><= FFuAnche per "t0 casuale" si ricava u(F)=1/ 2Lavorando a f e T fissati e facendo variare arbitrariamente φe/o t0, si ottiene per il disturbo integrato un “valore efficace”

Anche per t0 casuale si ricava u(F) 1/ 2

0d2

dffd

)sin(1)( Vx

TVV ==

e/o t0, si ottiene per il disturbo integrato un valore efficace

maxmd7.0 V×≅


0d,md,effm,d, 2)( V

xTVV maxm,d,

Integrazione (trasmissione e reiezione)Integrazione (trasmissione e reiezione)La trasmissione (t) e la reiezione (r) del disturbo,i iin ampiezza, saranno:

xV )sin( Vx

xVV

t )sin(0,d

md, ==IN

OUTV

V

x =πf T= πfd T

)sin(0d,

xx

VV

r ==OUT

INVV

x =πf T= πfd TI

)sin(md, xV OUTV

La reiezione cresce (tendenzialmente) al crescereLa reiezione cresce (tendenzialmente) al cresceredi x e dunque di fd e TI e inoltre r ∞ se fd ⋅TI = n


Integrazione (reiezione in potenza)Integrazione (reiezione in potenza)

La trasmissione in potenza del disturbo è:La trasmissione in potenza del disturbo è:

2

22 )(sin xtT ==

La reiezione in potenza al disturbo sarà data da:

2xLa reiezione in potenza al disturbo sarà data da:

xrR2

2 ==)(sin x

rR 2

che in scala logaritmica diventa:

log20log10 1010dBxRR ==

che in scala logaritmica diventa:


)sin(log20log10 1010dB x

RR

Andamenti di trasmissione e reiezioneAndamenti di trasmissione e reiezionex =πf T

il 2° grafico è "molto qualitativo" perchè?qualitativo ... perchè?

Ovviamente per f=f


Ovviamente, per f=fdfissata, i diagrammi restano validi in funzione di T=TI variabile

Circuito integratoreCircuito integratoreggL’impedenza complessa Z per un generico carico è

ZR=R per un resistoreR pZC=1/jωC per un condensatore

ZL=jωL per un induttore

∫=−= tRCVV

RCV x

x dj

1C ω

I=Vx /R corrente costante (fissata Vx) e dunque il condensatore si carica a corrente costante con una

RCRCjω


condensatore si carica a corrente costante, con una tensione VC che cresce linearmente nel tempo

Voltmetro a doppia rampa (1/5 )Voltmetro a doppia rampa (1/5 )Conversione tensione-tempo e misura di ΔTG(come nel voltmetro a rampa analogica)


Voltmetro a doppia rampa (2/5 )Voltmetro a doppia rampa (2/5 )


Voltmetro a doppia rampa (3/5 )Voltmetro a doppia rampa (3/5 )

Tu = NuTc = cost. è fissato Tmis = Tu + Tdu u c

TVTVTtVV x druC0 )( =−===

mis u d

RCRCTtVV uC0 )(

VT ⎞⎛ ⎞⎛ Vd

u

r

u

dr T

TV

TTVVx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=→

u

r

TVS VT

costante strumentale

⎠⎝

rcd NVTNVV ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

dNSV VN→=sensibilità

du

r

cu

cdr N

NTNVVx ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝−=−=

var. cost var

dNSV VNx →misuro Vxcon il numero


var. cost. var. di conteggi Nd

ConsiderazioneConsiderazioneT

Era stato scritto che ∫∝I

m d)(1 T

ttVT

V

In realtà si misura Vm come ΔTg=Td= TT

∫0IT

Il voltmetro confronta, con una differenza,

( )( )∫

∫ =

=

−uI

uI

000

d TT

TT

x RCttV

VV

l’integrale di Vx e l’integrale di Vr

( )∫=−

=−

==0rr

0

r

00 d)/()/( x ttV

VRC

RCVRCVV

pV

e dunque è vero che ( )∫=

∝Δ=∝uI

Gdm dTT

x ttVTTV

In salita, sia il segnale Vx che il disturbo Vd vengono integrati per un tempo TI per poi ricavare in maniera

0


integrati per un tempo TI per poi ricavare, in maniera proporzionale all'integrale, la tensione misurata Vm

Voltmetro a doppia rampa (4/5 )Voltmetro a doppia rampa (4/5 )La misura è teoricamente svincolata dai valori di R e Ce dagli altri parametri strumentali (anche da fc e Tc)g p fc c

Naturalmente l’INC di Vr si trasferisce sull’INC di Vx


Pb. Instabilità di frequenza del clock in Tmis (con Tmis ≈ 1 s)

ConsiderazioneConsiderazioneNaturalmente l’INC di Vr si trasferisce sull’INC di Vx

Da Vx= -Vr Nd/Nu, essendo ur(Nu)=0 si ha naturalmente

( ) ( ) ( )222 ( ) ( ) ( )d2rr

2r

2r NuVuVu x +=

( ) 1-ddr

3.012/1 NNN

Nu ∝≅=dd NN

Per Nd>> 1/ur(Vr) si ha ur(Nd)<<ur(Vr) e ur(Vx) ≅ ur(Vr)LIMITE ULTIMO DI

INC. DELLA MISURA

Poiché il valore limite per ur(Vr) è ≈2×10-7 se ne deduce che il migliore DVM può avere ∼6½ cifre (significative):

d / r( r) r( d) r( r) r( x) r( r)


che il migliore DVM può avere ∼6½ cifre (significative): Nmax≈5×106 (n=log2Nmax≈22 bit … equivalenti!)

Voltmetro a doppia rampa (5/5 )Voltmetro a doppia rampa (5/5 )Come nel caso del voltmetro a rampa analogica, essendo la misura effettuata per conteggio, ci sarà

’i t di ti isempre un errore e un’incertezza di quantizzazioneErrore di quantizzazione = 0÷1 conteggio

L’INC di quantizzazione si può vedere sullaIncertezza = 1 conteggio / (σPDF-unif.)12

q pmisura di Td, con risoluzione ΔTd=Tc, o anchesulla misura di Nd, con risoluzione ΔNd=1d, d

( )121

121 rc

rq ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅−=

NVT

TVVu x 1212 uu

q ⎟⎠

⎜⎝ NT

SN V deve essere t.c. Vx,max= SN V ⋅Nd,max d l ibilità ( i INC ) di d d


e dunque la sensibilità (e ris. e INCq) dipende da:“portata del voltmetro” e “capacità del contatore”

Voltmetro a doppia rampa (esempio )Voltmetro a doppia rampa (esempio )Misura di tensione a 16 bit in presenza di disturbo a fdis = 50 HzTI = 100 ms con QUARZO a fc = 1 MHzI fc[[velocità di lettura fmis = ? ; cifre decimali Mcontatore = ?]]

11

disdisI

1f

mmTT ==misdis

minI, ms201 Tf

T ≤== o in genere

⇒ Nu = TI/Tc = TI fc = 105 (5 cifre di conteggio)

n=16 bit ⇒ N=N =216=65 536 livelli (4½ cifre)

qui TI=5Tdis=100 ms

n=16 bit ⇒ N=Nd,max=216=65 536 livelli (4½ cifre)

⇒ Td,max = Nd,maxTc= 65 536 µs ≅ 65 ms⇒ T = T + T ≅ 165 ms e quindi f =1/T ≅ 6 Hz

(( ⇒ ncontatore ≠ nADC ))⇒ Tmis,max = TI + Td,max ≅ 165 ms e quindi fmis=1/Tmis,max ≅ 6 HzMcontatore = log10(max{Nu, Nd}) = log10(Nu) = 5 cifre

ΔV=80V/65536≅1 2mV


Se Vx=1 V e D=80 V ⇒ ΔV=? e ur(V)=?ΔV=80V/65536≅1.2mVu(V)=ΔV/(12)0.5≅0.35mVur(V)=u(V)/Vx≅3.5×10-4

Digital MultiDigital Multi--MeterMeter (DMM)(DMM)

Strumento di misura per:tensione e corrente (DC e AC)resistenza, capacità,prova-transistor o diodi,temperatura, …


Misure di Misure di VV, , II, , RR e e displaydisplayVX=RXI

RRN

IRIRN

VVN xxx ∝=−

= uur

dR

I

RX

VR=RIII

visualizzatore(a 3½ cifre)( )


Uscita digitale e display a 7 segmentiUscita digitale e display a 7 segmentiDISPLAY a 7 segmenti

(per la singola cifra decimale)(per la singola cifra decimale)

Uscita digitaledi valore “5”di valore 5

Comando del display con codifica BCD(Binary Coded Decimal)a 4 lineeOgni uscita quantizzata avrà una incertezza di quantizzazione(qui pari al valore dell’ultima cifra diviso per radice di 12):


in generale uq(V)=ΔV/ 12

Bit equivalenti (1/7)Bit equivalenti (1/7)q ( )q ( )segnale s(t) = Vx ∈ [-D/2, +D/2]

D

D D

22 D=σLa dinamica di variazione ⇒


12s =σdel segnale è D=±D/2 ⇒

Bit equivalenti (2/7)Bit equivalenti (2/7)q ( )q ( )Disponendo di un convertitore/voltmetro che quantizza il segnale s(t) su n bit, si avrà unPASSO DI QUANTIZZAZIONE Q=D/2nPASSO DI QUANTIZZAZIONE Q=D/2n

Se D è la dinamica del segnale e anche del voltmetro, si ha una varianza (“incertezza di quantizzazione")

⎞⎛22 1 DQ 2σ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==2

q 2121

12 n

DQσ n2s

2σ

=

n22

2s 2costante ==⇒

σidealeorequantizzatunper

NS

=


2qσ

qpN è possibile ricavare n (bit)

dal rapporto S/N (Signal/Noise)

Bit equivalenti (3/7)Bit equivalenti (3/7)q ( )q ( )

⎞⎛In un convertitore ideale

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

q

2s

2log21

σσn

⎠⎝ q

2sσ=S

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= log1 Sncaso

“id l ”2qq σ=N ⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝

=q

2log2 N

n “ideale”

rumoreaggiunto

N = N + N + N > N2q

2extn,

2A/Dn,

2q

2c σσσσσ >++=

tit rumoreIn un convertitore reale

Nc = Nq + NA/D + Next > Nq


convertitorereale

rumoreesterno

Bit equivalenti (4/7)Bit equivalenti (4/7)q ( )q ( )Si definisce il numero di bit equivalenti come

nn <⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡ 2

2s

2e log21

σσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2e log

21

NSn caso

reale ⎟⎠

⎜⎝ c2 σ

rumore complessivo del convertitore

⎟⎠

⎜⎝ c2 N reale

⎟⎞

⎜⎛⎟

⎞⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ 2222 111 σσσσ

p(quantizzazione + rumore aggiunto)

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

c

q22

q

s22

c

q2q

s2e log

21log

21log

21

σσ

σσ

σσ

σσn

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ++−=⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

−=2

extn,2

A/Dn,2

2c

2 1log1log1 σσσ nn

rumore aggiunto


⎟⎠

⎜⎝+⎟

⎠⎜⎝

2q

22q

2 1log2

log2 σσ

nn

Bit equivalenti (5/7)Bit equivalenti (5/7)N 2

q ( )q ( )

N22 +σσ 22 σ

rumore aggiuntoN=σn

2 rum.aggiunto

SNn2

2q

extn,A/Dn, 2=+σσσ

n2s2

q 2σσ =essendo

ci domandiamo se (σ 2 /σ 2 )=22n(N/S) sia << 1 o >> 1

Esistono due condizioni limite perS

ci domandiamo se (σn2 /σq

2 )=22n(N/S) sia << 1 o >> 1 ...

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++− 2

2extn,

2A/Dn,

2 1log21

σσσ

n

⎞⎛ 211

n

NS 22>> nn ≅e“alto”

⎟⎠

⎜⎝ q2 σ

n

NS 22<< ( ) =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≅ 2

2n

22

2e log212log

21

s

nnnσσ

⎞⎛

“basso”l d b d d l d l

⎠⎝

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

NS

22n

2s

2 log21log

21

σσil numero di bit dipende solo dal

rapporto segnale/rumore (S/N)(e non da n originario)


⎠⎝⎠⎝ n

Si perde 1 bit per ogni calo di S/N di un fattore 4 (Si perde 1 bit per ogni calo di S/N di un fattore 4 (--6 dB)6 dB)

Bit equivalenti (6/7)Bit equivalenti (6/7)q ( )q ( )

1log1 Nnn ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛+=

i

q2e

con

1log2

NNN

nn

≡

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝+−=

aggiuntocon NN ≡


Bit equivalenti (7/7)Bit equivalenti (7/7)q ( )q ( )Perdendo un Perdendo un fattore 4fattore 4 = 6 dB in S/N = 6 dB in S/N si perde 1 bitsi perde 1 bitPer ogni Per ogni fattore 2 = 3 dBfattore 2 = 3 dB, sempre perso, sempre perso in S/N, in S/N, Per ogni Per ogni fattore 2 3 dBfattore 2 3 dB, sempre perso, sempre perso in S/N, in S/N, si perde invece ½ bit...si perde invece ½ bit...Se anziché perdere in S/N si guadagna in S/N Se anziché perdere in S/N si guadagna in S/N Se anziché perdere in S/N si guadagna in S/N Se anziché perdere in S/N si guadagna in S/N (S/N aumenta), allora si guadagnano gli stessi (S/N aumenta), allora si guadagnano gli stessi incrementi in bit equivalenti incrementi in bit equivalenti ((+0.5 bit ogni +0.5 bit ogni ××2 in S/N2 in S/N))qq (( gg ))Esercizio: in zona di S/N "basso", si passa da (S/N)Esercizio: in zona di S/N "basso", si passa da (S/N)11 a (S/N)a (S/N)22e si perdono 30 dB. Come diminuiscono i bit equivalenti?e si perdono 30 dB. Come diminuiscono i bit equivalenti?

1⎟⎞

⎜⎛ S 1

⎟⎞

⎜⎛ S

1000130

1

2 =−= dB)/()/(

NSNSsese

121,e log

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

NSn

222,e log

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

NSn

bit 510)/(l1 2 ≅+NS


bit 52)/(

)/(log2 1,e1,e

1

221,e2,e −=−≅+= nn

NSnn

infatti 1000infatti 1000≈≈4455e si perde 1 bit ogni fattore 4e si perde 1 bit ogni fattore 4

voltmetri digitali

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