volum -- lengde -- areal forelesning i matematikk 1 tma4100€¦ · volum – lengde – areal...

Volum – Lengde – ArealForelesning i Matematikk 1 TMA4100

Hans Jakob RivertzInstitutt for matematiske fag

4. oktober 2011

www.ntnu.no H.J. Rivertz, Volum – Lengde – Areal

Kapittel 6.2.Volum ved sylindriske skall


3

Skall-metoden

1

2

1

2

3

−1

−2

1

2

12

3

−1

−2

z = g(x)

z = f (x)


3

Skall-metoden

1

2

1

2

3

−1

−2

1

2

12

3

−1

−2

∆xRadius = x

Høy

de

z = g(x)

z = f (x)


3

Skall-metoden

Volumet av“tønnebåndet” eromkrets · høyde · bredde

∆Vk = 2π · radius ·høyde ·∆x

1

2

1

2

3

−1

−2

1

2

12

3

−1

−2

∆xRadius = x

Høy

de

z = g(x)

z = f (x)


4

Formel for skallmetoden og eksempelVolumet til et legeme som dreies om linjen x = L er

V = 2π

∫ b

a(x − L) · Skallhøyde(x) dx

f (x) = x2 − 6x + 9

g(x) = −x2 + 6x − 7

R(x) = x − 1www.ntnu.no H.J. Rivertz, Volum – Lengde – Areal

5

Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet


5


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse?3 Grenser?4 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?

V?


5


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grenser?4 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?

V?


5


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?

V?


5


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde?6 Skall volum?

V?


5


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde = −2x2 + 12x − 166 Skall volum?

V?


5


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde = −2x2 + 12x − 166 Skall volumet er ∆V = 2π · (x − 1) · (−2x2 + 12x − 16) · ∆x

V?


5



V =

∫ 4

22π · (−2x3 + 14x2 − 28x + 16) dx


5



V =

∫ 4

22π · (−2x3 + 14x2 − 28x + 16) dx =

32π

3


Kapittel 6.3.Lengder av plane kurver


7

Aproksimasjon av ∆x og ∆y

Gitt funksjonene

x = f (t) og y = g(t).

Da er∆x ≈ f ′(t)∆t

∆y ≈ g′(t)∆t


8

Lengde av parametriserte kurverTeoremLengden av den parametriske kurven

x = f (t) y = g(t) a ≤ t ≤ b

er gitt ved L =

∫ b

a

√

[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 dt

Eksempel (Lengde av kurve)


8

Lengde av parametriserte kurverTeoremLengden av den parametriske kurven

x = f (t) y = g(t) a ≤ t ≤ b

er gitt ved L =

∫ b

a

√

[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 dt


Gitt kurven x =√

t3, y =√

(1 − t)3, t ∈ [0, 1]Finn lengden


9

Lengde av param. kurver

Parametrisk kurvex = f (t) y = g(t) a ≤ t ≤ b

x

y

∆y

k=

g(t


9



Deler opp intervallet i nintervaller a = t0, · · · , tn = b

x

y

b

b

b

b

b

b∆

yk

=g(t


9




Tilnærmer lengden somL = ∆s1 + · · ·+∆sn =

∑

k ∆sk

x

y

b

b

b

b

b

b

∆s1

∆s

2

∆s 3

∆s

4 ∆s5

∆y

k=

g(t


9





∑

k ∆sk

Pytagoras gir

∆sk =√

∆x2k + ∆y2

k

x

y

b

b

b

b

b

b

∆s1

∆s

2

∆s 3

∆s

4 ∆s5

b b

b

∆s1=

√

∆x21+ ∆y

21

(Hypotenusen)

∆xk = f (t1) − f (t0) ∆y k

=g(t

1)−

g(t

0)


9





∑

k ∆sk

Pytagoras gir

∆sk =√

∆x2k + ∆y2

k

≈√

[f ′(tk )]2 + [g′(tk )]2∆t x

y

b

b

b

b

b

b

∆s1

∆s

2

∆s 3

∆s

4 ∆s5

b b

b

∆s1=

√

∆x21+ ∆y

21

(Hypotenusen)

∆xk = f (t1) − f (t0) ∆y k

=g(t

1)−

g(t

0)


9





∑

k ∆sk

Pytagoras gir

∆sk =√

∆x2k + ∆y2

k

≈√

[f ′(tk )]2 + [g′(tk )]2∆t

Lengde:

L =

∫ b

a

√

[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 dt

x

y

b

b

b

b

b

b

∆s1

∆s

2

∆s 3

∆s

4 ∆s5

b b

b

∆s1=

√

∆x21+ ∆y

21

(Hypotenusen)

∆xk = f (t1) − f (t0) ∆y k

=g(t

1)−

g(t

0)


10

Lengde av grafer y = f (x)

TeoremLengden av den grafen

y = f (x), a ≤ x ≤ b

er gitt ved L =

∫ b

a

√

1 + [f ′(t)]2 dx



10

Lengde av grafer y = f (x)

TeoremLengden av den grafen

y = f (x), a ≤ x ≤ b

er gitt ved L =

∫ b

a

√

1 + [f ′(t)]2 dx


Gitt kurven y = 13

(

x2 − 2)3/2

, x ∈ [32 , 2]

Finn lengden


11

Kortform for linjeintegral

L =

∫

ds =

∫

√

dx2 + dy2


Kapittel 6.4.Areal til omdreiningslegemer


13

Overflate-areal av en rotasjonsflateEksempel

1

2

3

−1

−2

12

3

−1

Finn arealet til flate som frem-kommer ved å roterey = 2

√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.


13


1

2

−1

−2

−3

1

2

−1

−2

−3

1

2

3

−1

−2

12

3

−1 2√

x∗ k

x ∗k

Finn arealet til flate som frem-kommer ved å roterey = 2

√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.


13


1

2

−1

−2

−3

1

2

−1

−2

−3

1

2

3

−1

−2

12

3

−1 2√

x∗ k

x ∗k

∆sFinn arealet til flate som frem-kommer ved å roterey = 2

√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.Arealet til typisk bånd (gult) er∆A = 2π · 2

√

x∗

k · ∆s

Der ∆s =√

1 + 1x∗

k· ∆x


13


1

2

−1

−2

−3

1

2

−1

−2

−3

1

2

3

−1

−2

12

3

−1 2√

x∗ k

x ∗k

∆sFinn arealet til flate som frem-kommer ved å roterey = 2

√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.Arealet til typisk bånd (gult) er∆A = 2π · 2

√

x∗

k · ∆s

Der ∆s =√

1 + 1x∗

k· ∆x

Areal: S =∫ 2

1 4π

√x + 1 dx ≈

19,8358


14

Overflate-areal av en rotasjonsflate

Definisjon (Overflateareal ved rotasjon om x aksen)La f (x) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved årotere grafen y = f (x), x ∈ [a, b] om x-aksen er

S =

∫ b

a2πy

√

1 + [f ′(x)]2 dx =

∫ b

a2πf (x)

√

1 + [f ′(x)]2 dx


15

Overflate-areal av en rotasjonsflateDefinisjon (Overflateareal ved rotasjon om y aksen)La g(y) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved årotere grafen x = g(y), y ∈ [a, b] om y-aksen er

S =

∫ b

a2πx

√

1 + [g′(y)]2 dy =

∫ b

a2πg(y)

√

1 + [g′(y)]2 dy

∆s

x =g(y)

xOmkrets er 2π x Arealet er 2π x ∆s


16

Overflate-areal av en rotasjonsflateDefinisjon (Overflateareal ved rotasjon om y aksen)La g(y) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved årotere grafen y = f (x), x ∈ [a, b] om y-aksen er

S =

∫ b

a2πx

√

1 + [f ′(x)]2 dx

∆s

y =f (x

)

xOmkrets er 2π x Arealet er 2π x ∆s


volum -- lengde -- areal forelesning i matematikk 1 tma4100€¦ · volum – lengde – areal...

Documents