บทท 1

ธรรมชาตและโครงสรางทวไปคณตศาสตร

» คณตศาสตรคออะไร

คณตศาสตรมบทบาทและความสำาคญตอชวตของมนษยเปนอนมากจนอาจกลาวไดวามนษยนนเตบโตมาพรอมกบการพฒนาความเขาใจทางคณตศาสตร ทงทเปนการเรยนรโดย

ธรรมชาตทแวดลอมและเรยนรในชนเรยน คนทเกยวของกบคณตศาสตรเสมอแตมกเกดขอคำาถามตลอดเวลาวาคณตศาสตรคออะไร มผใหคำาจำากดความไวมากมาย และดเปนเรองททาทายและสมเสยงตอการวพากษวจารณ ยงในยคสมยใหมความพยายามในการใหความหมายจะนอยลงอกทงยงพยายามทจะแชแขงความหมายและเนอหาสาระของเรองนนๆ ซงฐานะของนกการศกษาคณตศาสตรหรอผสอนคณตศาสตรกไมควรเลยงคำาถามของผเรยนวาคณตศาสตรคออะไร อยางนอยไดมผใหความหมายทแตกตางกนไวดงตอไปน

Trimble, Hamilton & Silvey (1955) คณตศาสตรคอภาษา

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 2

National Research Council (1989) คณตศาสตรคอศาสตรทวาดวยแบบรปและลำาดบ

ราชบณฑตยสถาน (2542: 214) ไดอธบายวา คณต คอการนบ การคำานวณ วชาคำานวณ มกใชเปนคำาหลงของวชาบางประเภท เชน พชคณต เรขาคณต เปนตน และคณตศาสตรเปนวชาวาดวยการคำานวณ

จากความหมายดงกลาว อาจกลาวไดวาวชาคณตศาสตรนนกถอวาเปนเครองมอในการศกษาหาความรในศาสตรอนๆ และใชในการคดคนสงประดษฐอนๆ นกการศกษาคณตศาสตรพยายามจดหมวดหมความรคณตศาสตรออกเปน 2 ประเภทใหญๆคอ 1) คณตศาสตรเปนความรทเกดจากการคนพบ และ 2) คณตศาสตรเปนความรทเกดจากการคดขน จากสองแนวคดนไดมการนำามาอภปรายอยางกวางขวางเพราะสองแนวคดนสงผลตอความคดทเกยวของกบการเรยนการสอนคณตศาสตร

» ความรทางคณตศาสตร

Hieber and Lefeure (1986) ไดอธบายความรทางคณตศาสตรเปนความสมพนธพนฐานของความรเกยวกบมโนทศนและความรเกยวกบขนตอน/วธการ ซงทงสองสวนนจะขาดกนไมไดและแตละสวนกมเอกลกษณทชดเจน สมาคมครคณตศาสตรแหงสหรฐอเมรกา (NCTM, 1989) อธบายวา ความรทางคณตศาสตรคอการทำาคณตศาสตร ซงการทำาคณตศาสตรเปนความสมพนธของความรเกยวกบมโนทศนและความรเกยวกบขนตอน/วธการ

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 3

Kieren (1993) ไดอธบายการสรางความรทางคณตศาสตรโดยเรมจาก Ethnomathematical Knowledge คอ ความรทเกดจาการแลกเปลยนของบคคลในสงคม Intuitive Knowledge คอ ความรทเปนเครองมอพนฐานในการคด ความนกคด และมใชภาษาทางคณตศาสตรอยางไมเปนทางการ Technical Symbiotic Knowledge คอ ความรทเกดจากการใชสญลกษณทางคณตศาสตร และ Axiomatic Deductive Knowledge คอ ความรทไดมาจากสถานการณทเปนตรรกะผานโครงสรางทเปนสจพจนทางคณตศาสตร

Intuitive Knowledge

Ethnomathematical

Knowledge

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 4

รปท 1.1 แบบจำาลองของการสรางความรทางคณตศาสตร

ทมา T.E. Kieren, 1993: 197

อมพร มาคะนอง (2547) ไดแบงความรทางคณตศาสตรออกเปน 2 ประเภทใหญๆดงน

1. ความรเกยวกบมโนทศน (Conceptual Knowledge) เปนความรทเกยวของกบแนวคดสำาคญ สาระ และโครงสรางของเนอหาคณตศาสตร ซงครอบคลมความรตอไปน

- ความรเกยวกบมโนทศน (Concept) ทฤษฎ (Theory) กฎหรอหลกการ (Principle) ทางคณตศาสตร

- ความรเกยวกบเหตผลหรอทมาของขนตอน/วธการ (Algorithm) ทาง คณตศาสตร

- ความรเกยวกบความสมพนธและการเชอมโยงของแนวคดตางๆในวชา คณตศาสตร

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 5

2. ความรเกยวกบขนตอน/วธการ (Procedural Knowledge) ทางคณตศาสตรเปนความรเกยวกบวธคดคำานวณ และขนตอนการทำางานทางคณตศาสตร ซงครอบคลมความรตอไปน

- ความรเกยวกบวธการระบปญหา

- ความรเกยวกบขนตอนการคำานวณตามกฎและเงอนไขของกฎ

- ความรเกยวกบการดำาเนนการแกปญหาเพอใหไดคำาตอบทถกตอง

» ทำาไมตองเรยนคณตศาสตร

ในการจดกจกรรมการเรยนรเพอใหนกเรยนมความรทางคณตศาสตรนน จะมวธการจดกจกรรมทหลากหลาย Pirie and Kieren (1994) ไดอธบายถงกระบวนการทแสดงถงการเกดความเขาใจในการเรยนเนอหาคณตศาสตรวาประกอบดวย 8 ระดบ ไดแกความรเดม (Primitive Knowing) การสรางภาพ (Image Making) การเกดภาพในใจ (Image Having) การสงเกตสมบต (Property Noticing) การจดระเบยบ (Formalizing) การสงเกต (Observing) การสรางโครงสราง (Structuring) และการสราง (Inventising)

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 6

รปท 1.2 รปแบบการพฒนาความเขาใจทางคณตศาสตรของ Pirie and Kieren

ทมา: Pirie and Kieren, 1994: 63

การสรางการสรางโครงสรางการสงเกต

การจดระเบยบ

การสงเกตสมบต

การสรางภาพ

การเกดภาพในใจ

ความรเดม

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 7

จากความรเกยวกบความหมายและแนวคดความรทางคณตศาสตร นกการศกษาคณตศาสตรไดสรปประเดนสำาคญของธรรมชาตวชาคณตศาสตรไวดงน

1. คณตศาสตรมลกษณะเปนนามธรรม เปนวชาทเกยวกบความคดรวบยอด ความคดรวบยอดทางคณตศาสตรเปนความคดทเกดจากการสรปความคดเหนทเหมอนๆกน อนเกดจากประสบการณหรอปรากฏการณทเกดขน เชน ความคดรวบยอดเกยวกบปรมาณ จำานวน การเทากน การเทากนทกประการ เปนตน

2. คณตศาสตรมลกษณะเปนภาษาสากล คณตศาสตรเปนวชาทเกยวกบความคดของมนษย และมนษยกสรางสญลกษณแทนความคดนน แลวสรางกฎในการนำาสญลกษณนนมาใชเพอใหเกดความเขาใจทตรงกน คณตศาสตรจงมภาษาเฉพาะของตวเอง เปนภาษาทกำาหนดขนดวยสญลกษณทรดกม และสอความหมายไดถกตอง เปนภาษาททกชาตทกภาษาทเรยนคณตศาสตรเขาใจตรงกน เชน =3 เปนตน สญลกษณโดยทวไปแบงออกเปน 2 ชนด คอ

2.1 สญลกษณทสามารถคดลอกได (Copiable Symbols) สญลกษณทคดลอกไดอาจถกเขยนโดยบคคลและในสถานการณทตางกน แตสญลกษณเหลานน กยงคงเอกลกษณของสญลกษณไวได เชน เครองหมายทางคณตศาสตร (Mathematical Notations) ไดมการแบงประเภทของเครองหมายทางคณตศาสตรออกเปน 2 ประเภท คอ ความสมพนธ (Relations) เชน

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 8

เปนตน และการดำาเนนการ (Operation) เชน เปนตน โดยทเครองหมายทางคณตศาสตรทบอกความสมพนธจะเปนการเชอมโยงระหวางวตถ 2 วตถ สวนเครองหมายทเปนการดำาเนนการนนถานำาวตถ 2 ตวมาดำาเนนการจะทำาใหเกดวตถใหม โดยทสญลกษณทเปนความสมพนธจะผลตประโยคแตการดำาเนนการจะผลตวตถ เชน จำานวน หรอ เซต

2.2 สญลกษณทไมสามารถคดลอกได (Non-Copiable Symbols) สญลกษณทไมสามารถคดลอกไดนนจะสญเสยเอกลกษณหากมการเปลยนแปลงรปแบบทางกายภาพของสญลกษณเพยงเลกนอย ตวอยางของสญลกษณประเภทนคอ ภาพวาด

3. คณตศาสตรเปนวชาทแสดงความเปนเหตเปนผลกน เปนวชาทมโครงสรางหรอแบบแผน การสรปผลในแตละขนตอนจะตองมเหตผลอางองอยางสมเหตสมผล ดวยความมเหตผลของคณตศาสตร มนษยสามารถใชคณตศาสตรเปนเครองมอในการศกษาความรใหมๆ และคดคนสงประดษฐตางๆไดมากมาย

4. คณตศาสตรเปนศลปะอยางหนง เชนเดยวกบศลปะอนๆความงามของคณตศาสตรอยทความมระเบยบและความกลมกลนกนของความคด ตลอดจนความละเอยดถถวนรอบคอบ ซงแสดงออกใหเหนไดจากการกำาหนดโครงสรางของคณตศาสตร อนประกอบดวย อนยาม (undefined) นยาม (definition) สจพจน (axiom) และทฤษฎบท (theorem)

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 9

คณตศาสตรมบทบาทสำาคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ทำาใหมนษยมความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผล มแบบแผน สามารถวเคราะหปญหาหรอสถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ ชวยใหคาดการณ วางแผน ตดสนใจ แกปญหาแนะนำาไปใชในชวตประจำาวนไดอยางถกตองเหมาะสม นอกจากนคณตศาสตรยงเปนเครองมอในการศกษาทางดานวทยาศาสตร เทคโนโลยและศาสตรอนๆ คณตศาสตรจงมประโยชนตอการดำาเนนชวต ชวยพฒนาคณภาพชวตใหดขน และสามารถอยรวมกบผอนไดอยางมความสข (กระทรวงศกษาธการ, 2552) ซงการเรยนรคณตศาสตรจะสงผลใหเกดการคดเปน คดอยางเปนระบบและมความหมาย

» เรยนรอะไรในคณตศาสตร

พทธศกราช 2551 กระทรวงศกษาธการไดจดทำาหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน โดยกำาหนดวากลมสาระการเรยนรคณตศาสตรมงเนนใหเยาวชนทกคนไดเรยนรคณตศาสตรอยางตอเนองตามศกยภาพ โดยกำาหนดสาระหลกทจำาเปนสำาหรบผเรยนทกคนดงน

1. จำานวนและการดำาเนนการ ความคดรวบยอดและความรสกเชงจำานวน ระบบจำานวนจรง สมบตเกยวกบจำานวนจรง การดำาเนนการของจำานวน อตราสวน รอยละ การแกปญหาเกยวกบจำานวน และการใชจำานวนในชวตจรง

2. การวด ความยาว ระยะทาง นำาหนก พนท ปรมาตรและความจ เงนและเวลา หนวยวดระบบตางๆ การคาดคะเนเกยวกบการวด

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 10

อตราสวนตรโกณมต การแกปญหาเกยวกบการวด และการนำาความรเกยวกบการวดไปใชในสถานการณตางๆ

3. เรขาคณต รปเรขาคณตและสมบตของรปเรขาคณตหนงมต สองมต และสามมต การนกภาพ แบบจำาลองทางเรขาคณต ทฤษฎบททางเรขาคณต การแปลงทางเรขาคณต (geometric transformation) ในเรองการเลอนขนาน (translation) การสะทอน (reflection) และการหมน (rotation)

4. พชคณต แบบรป (pattern) ความสมพนธ ฟงกชน เซตและการดำาเนนการของเซต การใหเหตผล นพจน สมการ ระบบสมการ อสมการ กราฟ ลำาดบเลขคณต ลำาดบเรขาคณต อนกรมเลขคณต และอนกรมเรขาคณต

5. การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน การกำาหนดประเดน การเขยนขอคำาถาม การกำาหนดวธการศกษา การเกบรวบรวมขอมล การจดระบบขอมล การนำาเสนอขอมล คากลางและการกระจายของขอมล การวเคราะหและการแปลความขอมล การสำารวจความคดเหน ความนาจะเปน การใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนในการอธบายเหตการณตางๆและชวยในการตดสนใจในการดำาเนนชวตประจำาวน

6. ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร การแกปญหาดวยวธการทหลากหลาย การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการนำาเสนอ การเชอมโยงความรตางๆทาง

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 11

คณตศาสตร และการเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆและความคดรเรมสรางสรรค

ในการเรยนรคณตศาสตรใหเปนไปอยางถกตองตามการเรยนรทตองการนน National Council of Educational Research and Training (2006) ไดเสนอแนวคดเกยวการสอนการเรยนคณตศาสตรทผเรยนสามารถนำาความรทางคณตศาสตรไปใชไดมากกวาความรคณตศาสตรทเรยนมา ผสอนตองจดการเรยนการสอนใหสงผลตอผเรยนดงน

1. ผเรยนควรเรยนรคณตศาสตรอยางมความสข การทำาใหผเรยนเรยนรคณตศาสตรอยางมความสขนนเปนเปาหมายสำาคญ โดยผเรยนสามารถใชความรทางคณตศาสตรในชวตประจำาวนอยางมประสทธภาพ โรงเรยนจะมหนาทออกแบบกจกรรมหรอจำาลองปญหาใหผเรยนฝกแกไขและขจดความกลวทเกดจากขอผดพลาดในการใชความรทางคณตศาสตรในการแกปญหา

2. ผเรยนเหนความสำาคญของวชาคณตศาสตร ผสอนตองพยายามจดสถานการณหรอปญหาเพอใหผเรยนตระหนกถงความสำาคญของวชาคณตศาสตรมากกวาการทำาโจทยปญหาในหนงสอเรยนหรอการเรยนคณตศาสตรเพอใหไดผลการเรยนทด

3. ผเรยนสามารถพด อธบาย สอสาร ในเรองทเกยวของกบคณตศาสตรหรองานททำาดวยตนเอง ผสอนตองพยายามทำาใหประสบการณสวนหนงในชวตผเรยนซงเปนโอกาสในการการศกษาคณตศาสตรทสำาคญทสด

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 12

4. ผเรยนสามารถตงปญหาและแกปญหาคณตศาสตรไดอยางมความหมาย ในโรงเรยน คณตศาสตรถกจดวาเปนวชาทใชในการแกปญหาซงความสามารถในการแกปญหา เทคนคและการประยกตความรนนเปนสงทมคณคา (value) คณตศาสตรยงใหโอกาสในการสนใจปญหา และสรางปญหาใหมๆ ทางคณตศาสตร

5. ผเรยนใชการรบรทเปนนามธรรมในการมองเหนโครงสราง ใหเหตผล และตดสนไดวาอะไรเปนจรงหรอเปนเทจของประพจนทางคณตศาสตร การคดแบบตรรกศาสตร (Logical thinking) เปนสงทคณตศาสตรปลกฝงกบผเรยนโดยไมรตว และจะสงผลตอนสยการสอสารของผเรยนอยางเปนเหตเปนผล เปนหลกการสำาคญของการสอนคณตศาสตร

6. ผเรยนมความเขาใจเกยวกบโครงสรางพนฐานของวชาคณตศาสตร เลขคณต (Arithmetic) พชคณต (Algebra) เรขาคณต (Geometry) และตรโกณมต (Trigonometry) ซงเปนความรพนฐานของผเรยนในโรงเรยนทวไป การเขาใจความรในเรองดงกลาวจะสามารถทำาใหผเรยนเชอมโยงความรไปส นามธรรม โครงสราง และรปแบบทวไป ตลอดจนมความเขาใจอยางลกซงของขอบเขตและพลงของวชาคณตศาสตร

7. ผสอนคาดหวงใหผเรยนทกคนมสวนรวมในการเรยนคณตศาสตร ในหองเรยนปกต ผสอนจะไดรบความรวมมอจากผเรยนทมความสามารถทางคณตศาสตรในการตอบคำาถาม แสดงความคดเหน หรอนำาเสนอ แตในขณะเดยวกนกมผเรยนสวนหนงทผสอนไมอาจละเลยไปได ผสอนตองพยายามออกแบบกจกรรมทใหทกคนนนแสดงออกถงศกยภาพทางคณตศาสตร

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 13

» สมรรถนะของครคณตศาสตร

ผสอนคณตศาสตรตองมสมรรถนะและคณภาพเปนทยอมรบของผเรยน โรงเรยน ผปกครอง และครคณตศาสตรดวยกน Ball และคณะ (2008) ไดศกษาความรคณตศาสตรทผสอนตองม (Mathematics Knowledge for Teaching) ซงประกอบไปดวย 1. ความรในเนอหา (Subject Matter Knowledge) 2. ความรเกยวกบการสอน (Pedagogical Content Knowledge)

รปท 1.3 ประเภทความรตามแนวคด Ball และคณะ f

ทมา: Ball et al, 2008: 403

ความรคณตศาสตรสำาหรบการสอน (Mathematics Knowledge for Teaching: MKT) เปนความรระหวางความรทางดานเนอหาและความรเกยวกบการสอนคณตศาสตร ดงรปท 1.3 มความหมายดงน

ความรเกยวกบการสอน

ความรในเนอหา

ความรเนอหาเกยวกบ

เนอหาและความรเกยวกบ

เนอหาและ

ความรเกยว

เนอหาและความรเนอหาจำาเพาะ

ความรเนอหา

สมพนธ

ความรเนอหาทวไป

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 14

1. ความรในเนอหา (Subect Matter Knowledge) เปนความรทสำาคญในการใชสอนวชาคณตศาสตร ซงประกอบดวยกน 3 สวน ดงน

1.1 ความรเนอหาทวไป (Common Content Knowledge) เปนความรและทกษะทวไปของวชาคณตศาสตร เชน สามารถหาผลคณระหวาง 35×42 ไดอยางถกตอง

1.2 ความรเนอหาเฉพาะ (Specialized Content Knowledge) เปนความรและทกษะทครคณตศาสตรตองร ซงเปนความรลกซงโดยอาศยพนฐานจากความรทวไปจากคณตศาสตร ความรชนดนครจะใชสำาหรบการแยกความยากงายของปญหา การเลอกวธการนำาเสนอ การอธบายความสมพนธของนกเรยน การประเมนการเรยนของนกเรยน รวมทงใชในการวเคราะหนกเรยน เชน ความรเกยวกบการคณจำานวนสองจำานวนโดยใชคาประจำาหลกและสมบตการแจกแจง 35×42 = 35×(40+2) = (35×40) + (35×2) = 140+70 = 210

1.3 ความรเนอหาสมพนธ (Horizon Content Knowledge) เปนความตระหนกของเนอหาคณตศาสตรทมความสมพนธกน เชน ความรเกยวกบขนตอนการคณจำานวนสองจำานวนมความสมพนธกบการคณพหนาม เปนตน

2. ความรเกยวของกบการสอน (Pedagogical Content Knowledge) เปนความรในทฤษฎและวธการสอน ระดบขนการสอนซงจะทำาใหนกเรยนเขาใจในเนอหาหรอหวขอทเรยน พรอมทงยงรวมไปถงความรหรอเทคนคในการวดผลและประเมนผล

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 15

ความรเกยวกบกลวธในการสอนเพอชวยใหผเรยนสามารถเชอมโยงความรในสงทเรยนไปยงสงทอยรอบตว และกลวธในการสอนเพอขจดหรอสรางความเขาใจเกยวกบมโนทศนทคลาดเคลอนของนกเรยน ความรเกยวกบการสอนประกอบไปดวย 3 สวน ดงน

2.1 ความรเกยวกบเนอหาและผเรยน (Knowledge of Content and Student) เปนความรทเกยวกบความร คณตศาสตรและความรเกยวกบผเรยน เชน ผสอนจะตองรวาผเรยนเกดความสบสนหรอมโนทศนทคลาดเคลอนในเรองใดบาง

2.2 ความรเกยวกบเนอหาและการสอน (Knowledge of Content and Teaching) เปนความรทเกยวของกบการสอนและความรคณตศาสตร เชน การออกแบบกจกรรมการเรยนรทสอดคลองกบเนอหาวชาคณตศาสตร รถงลำาดบเนอหาวชาทจะสอน เปนตน

2.3 ความรเกยวกบเนอหาและหลกสตร (Knowledge of Curriculum) เปนความรความเขาใจเกยวกบหลกสตร ทงในภาพรวมและรายละเอยดปลกยอย มความรเกยวกบเนอหาวชาทมความสมพนธและความเกยวเนองกน รวมทงสามารถวเคราะหตวชวดและออกแบบกจกรรมกาเรยนการสอนทสอดคลองกบตวชวดไดอยางเหมาะสม

National Research Council หรอ NRC (2011) ไดเสนอคณลกษณะ 5 ประการ ทดของครคณตศาสตร ดงน

1. มความเขาใจเชงมโนทศน เกยวกบความรทเปนแกนหรอสาระหลกทจำาเปนทใชสอน

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 16

2. มความชำานาญในการปฏบตการเกยวกบสงทเปนพนฐานของการสอน

3. มสมรรถภาพในการใชกลวธและเทคนคในการวางแผนการสอนทมประสทธภาพ รวมถงการแกปญหาทเกดขนระหวางการเรยนการสอน

4. สามารถปรบเปลยนและใชเหตผลในการตดสนใจและอธบายการสอนของตน รวมทงการสะทอนความคดเกยวกบการสอนเพอนำาไปสการปรบปรงและพฒนา

5. มความกระตอรอรนเกยวกบคณตศาสตร การสอน การเรยนร และการพฒนาการปฏบตงานของตน

Jonathan (2008: 18) อธบายวาการเปนผสอนทดนนตองใสใจเกยวกบการคด

ทาง

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 17

คณตศาสตรของผเรยนดวย โดยอธบายการสรางความเขาใจเกยวกบคณตศาสตรดงน

จาก

แนวคดของ Jonathan พบวาวชาคณตศาสตรเปนวชาทเกยวของกบการคดซงการใชความคดทางคณตศาสตรมความสำาคญตอการดำาเนนชวตและการแกปญหาคณตศาสตร เปนการสงเสรมผเรยนใหมความเขาใจ นำาความสามารถในการเรยนรคณตศาสตรไปใชในการแกปญหาไดอยางมประสทธภาพ สงทจะชวยใหผเรยนมการคดทางคณตศาสตรทดและชวยในการแกปญหาไดนน นกเรยนตองมความสามารถในดานตางๆดงน

1. ความรเกยวกบคณตศาสตรทลกซง

2. ความสามารถในการใหเหตผลนยทวไป

กก กก ก กกกกก กก กก กกก ก

กก กกก กก ก กก ก

กก

กก กกก กก กกกกก ก กก ก กก

กก กกก ก กกก กกก กกก กกกก กกก กกกก กกกก ก กกกก กก

กกก ก กกกก กกกก กกกก กก กกก กก ก

กก กกก กกกกก ก ก

กก กกก ก กกกก กก กก กกก กกกก ก กก กกกก ก

กก กกกก กก ก กกก ก

กก กกก กก ก กก ก

กก

รปท 1.4 แสดงการสรางความเขาใจทางคณตศาสตรตามแนวคด Jonathan

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 18

3. ความรเกยวกบการเลอกใชกลวธทถกตองในการแกปญหา

4. ความเชอและทศนคต (เชน การคาดหวงวาคณตศาสตรสามารถนำาไปใชไดจรง)

5. คณลกษณะสวนบคคล (เชน ความเชอมน ความมระบบ ความแนนอน)

6. ทกษะการสอสารในการแกปญหา

» การเรยนการสอนคณตศาสตรในศตวรรษท 21

การจดการเรยนการสอนนนมการแปลงแปลงไปตามยคสมย ในอดตผเรยนจะเรยนเลขคณต (Arithmetic) อาทวธการบวกหรอการหารยาว ซงผเรยนตองจดจำาวธการเหลานนใหได แตการเรยนการสอนคณตศาสตรปจจบนเทคโนโลยเขามามบทบาท ผเรยนสามารถสบคนขอมลเกยวกบความรใหมๆ จากอนเตอรเนต เชน แฟรกทล (Fractals) หรอ จำานวนฟโบนกช (Fibonacci Numbers) เปนตน ซงเครอขายองคกรความรวมมอเพอทกษะการเรยนรในศตวรรษท 21 (Partnership for 21st century Skills) หรอทมชอวา เครอขายท P21 ไดพฒนาวสยทศนเพอความสำาเรจของนกเรยนในระบบเศรษฐกจโลกใหม ซงประกอบไปดวยทกษะทจำาเปนในศตวรรษท 21 ประกอบดวย

1. ทกษะการเรยนรและนวตกรรม

2. ทกษะดานสารสนเทศ สอและเทคโนโลย

3. ทกษะชวตและอาชพ

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 19

จากแนวคดดงกลาวนทำาใหการเรยนการสอนคณตศาสตรตองเปลยนไป การจดการศกษาคณตศาสตรในศตวรรษท 21 กลายเปนการจดการศกษาเพอปวงชน (Mathematics for All) ทจะทำาใหผเรยนเกด การรเรองคณตศาสตร (Mathematics Literacy) ซงการรเรองทางคณตศาสตรเปนการนำาความรทางคณตศาสตรภายในหองเรยนมาใชในสถานการณตางๆ โดยผเรยนตองสามารถระบสถานการณทสำาคญของปญหา กระตนการหาขอมล สำารวจตรวจสอบ และนำาไปสการแกปญหา ผเรยนตองมทกษะหลายอยาง เชน ทกษะการคดและการใหเหตผล ทกษะการโตแยงการสอสาร ทกษะการสรางตวแบบ การตงปญหาและการแกปญหา การนำาเสนอ การใชสญลกษณ การดำาเนนการ โดยในปจจบนนนความรในเนอหาคณตศาสตรลวนๆยงไมเพยงพอตอการแกปญหา ประเดนสำาคญของการรเรองคณตศาสตรกคอ กระบวนการทางคณตศาสตร หรอ คดใหเปนคณตศาสตร (Mathematising) ซงกระบวนการทผเรยนนำามาใชในความพยายามทจะแกปญหานนถอวาเปน สมรรถนะทางคณตศาสตร สมรรถนะตางๆเหลานจะสะทอนถงวธทผเรยนใชกระบวนการทางคณตศาสตรแกปญหา สมรรถนะทจำาเปนทนกเรยนจะตองเกดม 3 ประการ คอ

1. การผลตขนมาใหม (Reproduction)

2. การเชอมโยง (Connection)

3. การสะทอนและการสอสารทางคณตศาสตร (Reflection and Communication)

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 20

The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM 1998) ไดกำาหนดความตองการทผเรยนตองมในการรเรองทางคณตศาสตรไวดงน

1. ผเรยนตองเปนนกแกปญหาทางคณตศาสตร

2. ผเรยนตองสามารถสอสารดวยความร

3. ผเรยนตองมการใหเหตผลทางคณตศาสตร

4. ผเรยนตองเรยนเพอรคณคาทางคณตศาสตร

5. ผเรยนตองมความมนใจในความสามารถในการทำางานทเกยวของกบคณตศาสตร

ในการประเมนผลนกเรยนนานาชาต (Programme for International Student Assessment: PISA) ซงเปนโครงการประเมนผลตามหลกสตรทนกเรยนไดเรยนในปจจบน และประเมนผลมงความชดเจนทจะหาคำาตอบวานกเรยนสามารถนำาสงทไดศกษาเลาเรยนไปใชในสถานการณทมโอกาสทจะตองพบเจอในชวตจรงไดหรอไม ทาง PISA ไดกำาหนดกรอบการประเมนความสามารถทางคณตศาสตรไว 8 ประการ ดงน (กรอบโครงสรางการประเมนผลนกเรยนนานาชาต PISA 2009, 2554)

1. การคดและการใชเหตผล (Thinking and Reasoning) เปนสมรรถนะทเกยวของกบความสามารถในการตงคำาถาม รคำาตอบทางคณตศาสตร บอกความแตกตางของประโยค (statements) เชน นยาม ทฤษฎ การคาดคะเน สมมตฐาน ตวอยาง เปนตน และความเขาใจและการใชขอจำากดของคณตศาสตร

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 21

2. การสรางขอโตแยง (Argumentation) เปนการรจกการพสจนทางคณตศาสตร (และรวาการพสจนแตกตางจากการใชเหตผลอยางไร) สามารถตดตามและประเมนการโตแยงทางคณตศาสตรแบบตางๆ มความรสกถงความจรง (รวาอะไรเกดขนได/ไมได และทำาไม) และสามารถสรางและแสดงการโตแยงทางคณตศาสตร

3. การสอสาร (Communication) เปนสมรรถนะทเกยวของกบการแสดงออกของตน ความสามารถททำาใหผอนเขาใจตน โดยวธการตางๆบนพนฐานของคณตศาสตร ทงในรปของการพดและการเขยน และสามารถเขาใจการพดและการเขยนของผอนดวยเชนกน

4. การสรางตวแบบ (Modeling) เปนสมรรถนะทเกยวของกบการวางโครงสรางของสถานการณทจะตองนำามาสรางตวแบบ (Model) การแปลความเปนจรงใหเขาสโครงสรางทางคณตศาสตร การประเมนความเชอถอของตวแบบ วเคราะห วจารณตวแบบและผลทเกดขน การสอสารแนวคดของตวแบบและผล (รวมทงขอจำากด) การตดตามและควบคมกระบวนการของการสรางตวแบบ

5. การตงและการแกปญหา (Problem Posing and Solving) เปนสมรรถนะทเกยวของกบการตงคำาถาม การสรางเปนปญหาคณตศาสตร และการนยามปญหาคณตศาสตรแบบตางๆ เชน การแก การประยกต คำาถามเปด คำาถามปด เปนตน และการแกปญหาคณตศาสตรแบบตางๆโดยวธการทหลากหลาย

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 22

6. การแสดงเครองหมายแทน (Representation) สมรรถนะดานนเกยวของกบการแปลรหส (Decoding) และการเขารหส (Encoding) การแปลความ การตความ และการบอกความแตกตางของการแสดงเครองหมายของคณตศาสตรแบบตางๆและความสมพนธระหวางการแสดงเครองหมายแทนแบบตางๆ การเลอกและการเปลยนระหวางรปแบบตางๆของการแสดงเครองหมายแทน (Representation) ใหสอดคลองกบสถานการณและจดประสงค

7. การใชสญลกษณ ภาษา และการดำาเนนการ (Using Symbolic, Language and Operation) เกยวของกบกบการแปลรหส การตความสญลกษณ ภาษาคณตศาสตร และความเขาใจการเชอมโยงของภาษาคณตศาสตรกบภาษาธรรมดา การแปลความจากภาษาธรรมดาไปเปนสญลกษณ/ภาษาคณตศาสตร สามารถจดการกบประโยคหรอพจนทมสญลกษณและสตร ความสามารถในการใชตวแปร การแกสมการ และการคำานวร

8. การใชตวชวยและเครองมอ (Use of Aids and Tools) สมรรถนะนเกยวของกบการรบร และความสามารถในการใชตวชวยและเครองมอ (รวมทงเครองมอภาคเทคโนโลยสารสนเทศ) ทสามารถชวยกจกรรมทางคณตศาสตร นอกจากนยงหมายถงความรถงขอจำากดของเครองมอนนๆดวย

จากสมรรถนะทง 8 ขอนน ทาง PISA ไมไดวดสมรรถนะโดดๆแตในการตอบแบบทดสอบ นกเรยนจำาเปนตองมและสามารถใชสมรรถนะดงกลาว แตอาจจะใชหลายสมรรถนะหรอเปนกลมของสมรรถนะในการแกปญหา ซงจำาแนกเปน 3 กลม ดงน

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 23

กลมการทำาใหม (Reproduction Cluster) กลมสมรรถนะนหมายรวมถงการทำาคณตศาสตรตามแบบตวอยางทเคยฝกฝนมาแลว โดยใชกระบวนการความร และทกษะทางคณตศาสตรทวไปทมกใชอยในการสอบคณตศาสตรตามมาตรฐานโรงเรยน ซงมกเปนการแกโจทย การคำานวณแบบเดมๆแตกตองใชสมรรถนะทางคณตศาสตรทกสมรรถนะขางตนในการแกปญหาโจทย

กลมการเชอมโยง (Connection Cluster) กลมเชอมโยงตอยอดมาจากกลมการทำาใหม โดยประยกตตอไปใชแกปญหาในสถานการณทไมเหมอนเดม ไมไดพบบอยๆเปนประจำา แตเนอหาของปญหายงคงเกยวพนกบสมรรถนะกลมแรกอยบางบางสวน

การสะทอนและสอสาร (Reflection and Communication Cluster) สมรรถนะกลมการสะทอนและสอสารทางคณตศาสตรน มเรองของการคดไตรตรอง สะทอนกลบทนกเรยนตองใชในการแกปญหา เขามารวมอยดวย จงเกยวของกบความสามารถในการวางแผน กลยทธการแกปญหา และใชกลยทธนนในการแกปญหาตามสถานการณของปญหานนซงมกมองคประกอบทเพมมากขนหรอซบซอนขน หรอมความหมายใหม (หรอไมคนเคย) มากขนกวาในกลมการเชอมโยง

การจำาแนกกลมสมรรถนะทางคณตศาสตร มลกษณะจำาเพาะตางกน สรปไดดงรปท 1.5

กลมการสะทอนกลมการเชอมโยงกลมการทำาใหม

การรเรองคณตศาสตร

ธ ร ร ม ช า ต แ ล ะ โ ค ร ง ส ร า ง ท ว ไ ป ค ณ ต ศ า ส ต ร | 24

รปท 1.5 สรปสมรรถนะทางคณตศาสตร

สรป

การเรยนการสอนคณตศาสตรไมไดสำาคญทใหความหมายของคณตศาสตร แตผสอนควรอธบายถงการนำาคณตศาสตรไปใชในบรบทตางๆได ซงความรคณตศาสตรสามารถจำาแนกไดเปน 2 ประเภทคอ ความรเกยวกบมโนทศนและความรเกยวกบขนตอน/วธการซงความสำาเรจอยทผสอนวชาคณตศาสตรตองมสมรรถนะในเรองความรดาน ความรเกยวกบการสอน การสรางความเขาใจทางคณตศาสตร และพฒนาการคดเชงคณตศาสตรทสอดคลองกบทมการเปลยนแปลงและกาวหนาไปตลอดเวลาโดยเฉพาะสงคมของการสอสารและเทคโนโลยทเรมตนมาในศตวรรษท 21

กลมการสะทอนกลมการเชอมโยงกลมการทำาใหม