wykład 2 - kinematyka mechanizmów. metoda grafo analityczna.pdf

Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda grafoanalityczna 1

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMW PASKICH METODA GRAFOANALITYCZNA

Rodzaje ruchu czonw mechanizmw paskich

Ruch postpowy czonu Ruch postpowy czonu zachodzi wwczas, jeeli dowolny odcinek AB

zwizany sztywno z czonem zachowpooeniach mechanizmu: A1B1 A2B

Rys. 1. Ruch postpowy czonu (bryy)

Twierdzenie: Jeeli czon (brya)wszystkie jego punkty poruszaj si pczasu t maj te same prdkoci i prz

Tory punktw B, C, K, M s rwnolegrwne.

MKCB vvvv === , 02 = ,

Rys. 2. Ruch postpowy cznika mechanizmuje pooenie rwnolege w kolejnych 2. porusza si ruchem postpowym to o torach przystajcych i w kadej chwili yspieszenia.

e a ich prdkoci i przyspieszenia

MKCB aaaa === , 02 =

u rwnolegoboku przegubowego

2B2A1B1A

2B2A1B1Aaaaavvvv

==

==

Rozkad prdkoci i przyspiesze punktw czonu w ruchu postpowym.

(1)

Czon w ruchu postpowym na paszczynie ma dwa stopnie swobody : x(t), y(t)



Ruch obrotowy bryy Ruch obrotowy bryy zachodzi wtedy gdy wszystkie punkty tej bryy

poruszaj si po torach koowych lecych w paszczyznach do siebie rwnolegych. rodki geometryczne torw (okrgw) le na jednej prostej, ktra jest osi obrotu bryy.

Rys. 3. Brya w ruchu obrotowym

Kt obrotu bryy: )t( = (2a)

Prdko ktowa: dtd)t( = (2b)

Przyspieszenie ktowe: dtd

dtd)t( 2

2 == (2c)

Prdko liniowa dowolnego punktu bryy: rv,rv == (2d) Przyspieszenie liniowe styczne dowolnego punktu bryy:

rara tt == , (2e) Przyspieszenie liniowe normalne dowolnego punktu bryy:

rarva nn === 2, (2f)

Rys. 4. Rozkad prdkoci i przyspies

Brya w ruchu obrotowym ma jeden stopie swobody, )t( = ,

,ABa 2nB =

ABvB =

AMv

ABv MB

==ABatB = ze liniowych czonu w ruchu obrotowym

24B ABa +=

22nB

tB

ABAB

aatg

=

==



Ruch paski czonu

Ruch paski czonu (bryy) zachodzi wtedy, gdy wszystkie jego punkty poruszaj si w paszczyznach rwnolegych do pewnej paszczyzny nieruchomej zwanej paszczyzn kierownicz.

Kady punkt czonu w oglnym przypadku posiada inne co do wartoci i kierunku prdko i przyspieszenie. Wszystkie wektory prdkoci i przyspiesze le w paszczyznach rwnolegych do paszczyzny kierowniczej.

Rys. 5. Stopnie swobody bryy w ruchu paskim

Ruch paski czonu mona zatem interpretowa jako ruch zoony

skadajcy si z postpowego ruchu unoszenia i obrotowego ruchu wzgldnego.

Prdko dowolnego punktu K bryy wyraa si wzorem:

(3) gdzie:

1Ov - prdko ukadu wsprzdnych wynikajca z jego translacji (prdko

unoszenia), dtrdv 1O =

1KOv - prdko punktu K wzgldem punktu O1 wynikajca z rotacji ukadu ruchomego (prdko wzgldna).

Oxy nieruchomy ukad wsprzdnych, O1x1y1 ruchomy ukad wsprzdnych wykonujcy translacj (ruch postpowy) xO1 = xO1(t), yO1 = yO1(t),

zwizany sztywno z bry poruszajc si ruchem paskim, wykonujcy rwnoczenie translacj xO1= xO1(t), yO1= yO1(t) oraz rotacj z = z(t).

1KO1OWUK vvvvv +=+=

Brya w ruchu paskim ma trzy stopnie swobody: dwa wynikajce z translacji )t(yy),t(xx 1O1O1O1O == oraz jeden z rotacji )t(zz = . O1 - ruchomy ukad wsprzdnych



Rys. 5. Stopnie swobody bryy w ruchu paskim Przyspieszenie dowolnego punktu K wyraa si wzorem:

(4)

gdzie: 1Oa - przyspieszenie pocztku ukadu ruchomego wynikajce z jego

translacji (przyspieszenie unoszenia), t

1KOn

1KO a,a - odpowiednio przyspieszenie normalne i styczne punktu K wzgldem punktu O1 wynikajce z rotacji ukadu ruchomego (przyspieszenie wzgldne). Przykadem czonu wykonujcego ruch paski jest czon 2 (cznik) mechanizmu korbowo-suwakowego (Rys. 6). Rys. 6. Mechanizm korbowo-suwakowy w ukadzie wsprzdnych

t1KO

n1KO1OWUK aaaaaa ++=+=



Ilustracj graficzn wyznaczania przewodnich prdkoci i przyspieszenia odcinka ruchomego BKC (cznika mechanizmu korbowo-suwakowego) wykonujcego ruch paski przedstawiono na Rys. 7. Skadanie wektorw prdkoci : (5)

Rys. 7. Wyznaczanie przewodniej prdkoci punktw czonw w ruchu paskim

KBv,CBv

vvvvvv

2KBCB

2

KBBK

CBBC

==

+=

+=



Skadanie wektorw przyspieszenia dokonujemy korzystajc z zalenoci:

KBaCBa

,KBKBva,CB

CBva

aaaa,aaaa

2tKB2

tCB

22

2KBn

KB22

2CBn

CB

tKB

nKBBK

tCB

nCBBC

==

====

++=++=

(6)

Rys. 8. Wyznaczanie przewodniej przyspiesze punktw czonw w ruchu paskim Prdko Bv i przyspieszenie Ba wynikaj z postpowego ruchu unoszenia,

prdko CBv oraz przyspieszenie tCB

nCBCB aaa += wynikaj

z obrotowego ruchu wzgldnego.

nBB1 aa,const ==



Ruch suwaka wzgldem ruchomej prowadnicy Na Rys. 9 oznaczono :

Oxy nieruchomy ukad wsprzdnych, O1 ruchomy ukad wsprzdnych zwizany sztywno z krzywoliniow prowadnic 2, poniewa o O1 przechodzi stale przez punkty B i C prowadnicy.

Rys. 9. Ruch suwaka wzgldem ruchomej prowadnicy

Ruch unoszenia prowadnicy (ukadu O1) moe by w oglnym przypadku ruchem

postpowym, obrotowym lub ruchem paskim. Suwak wykonuje ruch wzgldny wzgldem prowadnicy, ktry moe by ruchem

postpowym w przypadku prowadnicy prostoliniowej lub ruchem paskim w przypadku prowadnicy krzywoliniowej.

Prdko bezwzgldna bv w ruchu zoonym wyraa si wzorem:

wub vvv += (7)

gdzie:

uv - prdko unoszenia (prdko punktu sztywno zwizanego z ukadem ruchomym), rvv u1Ou +=

wv - prdko wzgldna punktu (prdko punktu wzgldem ruchomego

ukadu wsprzdnych),

1Ov - prdko pocztku ukadu ruchomego wynikajca z jego translacji, u - prdko ktowa ukadu ruchomego,

r - wektor promie wodzcy rozwaanego punktu w ukadzie ruchomym, ru - prdko punktu sztywno zwizanego z ukadem ruchomym

wzgldem jego pocztku wynikajca z rotacji ukadu ruchomego.



Rys. 9. Ruch suwaka wzgldem ruchomej prowadnicy

Przyspieszenie bezwzgldne ba w ruchu zoonym wyraa si wzorem: (8)

gdzie: au - przyspieszenie unoszenia,

tu

nu1Ou aaaa ++= ,

1Oa - przyspieszenie pocztku ukadu ruchomego wynikajce z translacji ukadu ruchomego,

ra uunu = - przyspieszenie normalne unoszenia wynikajce

z rotacji ukadu ruchomego (przyspieszenie normalne punktu sztywno zwizanego z ukadem ruchomym wzgldem jego pocztku),

ra utu = - przyspieszenie styczne unoszenia wynikajce z rotacji

ukadu ruchomego (przyspieszenie styczne punktu sztywno zwizanego z ukadem ruchomym wzgldem jego pocztku),

wa - przyspieszenie wzgldne, tw

nww aaa += ,

2wn

wva = - przyspieszenie wzgldne normalne, - promie krzywizny

prowadnicy, W przypadku prowadnicy prostoliniowej,

twa - przyspieszenie wzgldne styczne,

wucor v2a = - przyspieszenie Coriolisa, Przyspieszenie Coriolisa 0acor = gdy : 0u = , lub 0vw = ,lub uw IIv .

0vlima2wn

w ==

corwub aaaa ++=



Skadowe prdkoci w ukadzie prowadnica prostoliniowa suwak (szczeglny przypadek ruchu suwaka wzgldem ruchomej prowadnicy) Prowadnica wykonuje ruch obrotowy, natomiast suwak ruch postpowy prostoliniowy Rys. 10. Skadowe prdkoci suwaka poruszajcego si po prostoliniowej prowadnicy 1D - punkt nalecy do czonu 1 (prowadnica) i sztywno z nim zwizany, 2D - punkt nalecy do czonu 2 (suwak), ktry przemieszcza si wzgldem

punktu 1D Prdko bezwzgldn punktu rodka suwaka 2Dv zapiszemy za pomoc rwnania wektorowego: (9)

gdzie: ADv 11D = - prdko unoszenia punktu 1D wynikajca z obrotowego uchu prowadnicy,

1D2Dv - prdko wzgldna suwaka 2 wzgldem prowadnicy 1.

IIADAD1D2D1D2D vvv

+=



Skadowe przyspiesze w ukadzie prowadnica prostoliniowa suwak (szczeglny przypadek ruchu suwaka wzgldem ruchomej prowadnicy)

Rys. 11. Skadowe przyspiesze suwaka poruszajcego si po prostoliniowej prowadnicy

Przyspieszenie bezwzgldne rodka suwaka a 2D zapiszemy za pomoc rwnania wektorowego:

cor1D2D

t1D2D1D2D aaaa ++= (10)

gdzie: t 1Dn1D1D aaa += , std: ADADIIDADII

cor1D2D

t1D2D

t1D

n1D2D aaaaa

+++=

A

ADa 21

n1D = - przyspieszenie normalne unoszenia punktu 1D wynikajce z

ruchu obrotowego prowadnicy, ADa 1

t1D = - przyspieszenie styczne unoszenia punktu 1D wynikajce z

ruchu obrotowego prowadnicy, t

1D2Da - przyspieszenie wzgldne styczne suwaka 2 wzgl. prowadnicy 1. W rozwaanym przypadku przyspieszenie wzgldne normalne nie zostao

uwzgldnione poniewa:

0vlima1

21D2Dn

1D2D ==

1D2D1cor

1D2D v2a = - przyspieszenie Coriolisa punktu 2D wzgldem 1D



Podziaki rysunkowe W metodach graficznych wprowadza si podziak zdefiniowan w postaci zalenoci oglnej:

(11) gdzie: R modu danej rzeczywistej wektorowej wielkoci fizycznej,

(R) dugo rysunkowa danej wektorowej wielkoci fizycznej. Wymiar podziaki okrelamy w oglnym przypadku ze wzoru: (12)

=

mmm

)l(l

k l - podziaka przemieszczenia liniowego, (13a)

=

mmsm

)v(v

kv1

- podziaka prdkoci liniowej, (13b)

=

mmsm

)a(a

ka2

- podziaka przyspieszenia liniowego. (13c)

Grafoanalityczna metoda planw prdkoci i przyspiesze

Metoda planw prdkoci i przyspiesze zwana jest rwnie metod superpozycji lub metod wykresw biegunowych. Jest to metoda grafoanalityczna, poniewa niektre wielkoci (prdkoci i przyspieszenia liniowe oraz prdkoci i przyspieszenia ktowe) obliczamy z rwna algebraicznych a pozostae prdkoci i przyspieszenia liniowe wyznaczamy rozwizujc wykrelnie rwnania wektorowe.

Kolejno postpowania w metodzie planw prdkoci i przyspiesze: - naley narysowa mechanizm w podziace kl w pooeniu przewidzianym do analizy

kinematycznej, - okreli ruchliwo i klas mechanizmu, - wskaza czon lub czony napdzajce, - oznaczy cyframi czony mechanizmu, od czonu napdzajcego poczynajc, - oznaczy duymi literami istotne punkty mechanizmu, - okreli parametry kinematyczne czonu napdzajcego, - napisa rwnania wektorowe okrelajce relacje pomidzy prdkociami punktw

mechanizmu, - rozwiza wykrelnie rwnania wektorowe rysujc w podziace kv odpowiednie

wieloboki wektorowe na tzw. planie prdkoci wychodzc z jednego punktu biegunowego,

- analogiczne rozwiza zadanie dotyczce przyspiesze korzystajc z wartoci wyznaczonych na podstawie planu prdkoci i narysowa w podziace ka.

( )RRk =

[ ] [ ]( )[ ]RRk =



Przykad 1. Mechanizm korbowo-suwakowy Wyznaczymy prdkoci i przyspieszenia liniowe punktw B, C, K oraz prdko ktow

2 i przyspieszenie ktowe 2 czonu 2 dla mechanizmu korbowo-suwakowego

przedstawionego na Rys. 12. Dane: const1 = , AB, BC, BK.

Rwnania planu prdkoci:

V

BB1B k

v)v(;ABv == (P1.1)

BCABACII

CBBC )v()v()v(

+=

(P1.2)

Pojedyncze podkrelenie oznacza e znany jest tylko kierunek wektora. Podwjne podkrelenie oznacza e znany jest i kierunek i warto wektora. Z planu otrzymamy: (P1.3) (P1.4)

(P1.5)

v

KBKB2KB

KB

KBBK

kv)v(,BKv

)v()v()v(

==

+=

)BK()BC(

bkbc

)v()v(

KB

CB==

BCk)v( vCB

2

=

Rys. 12. Plan prdkoci punktw mechanizmu korbowo-suwakowego



Rwnania planu przyspiesze: Rwnania przyspiesze piszemy podobnie jak rwnania prdkoci.

a

nBn

B21

nB

tB

nB

tB

nBB

ka)a(ABa

0a,aaaa

==

==+=

(P1.6)

BCIIBCIIABIIAC

tCB

nCBBC )a()a()a()a(

++= (P1.7)

a

nCBn

CBCBn

CB kaaBC

BCva === )(,22

2

BKIIBK

aaaa tKBnKBBK

++= )()()()( (P1.8)

a

nKB k

BKa =22)( , ,k

BK)a(a

2tKB

=

(P1.9) (P1.10)

Rys. 13. Plan przyspiesze punktw mechanizmu korbowo-suwakowego

)BK()BC(

bkbc

)a()a(

KB

CB==

BCk)a( a

tCB

2

=



CDk)v( vC

3

=

Przykad 2. Mechanizm czworoboku przegubowego Wyznaczymy metod planw prdkoci i przyspieszenia liniowe punktw B, C i K,

prdko 2 i przyspieszenia ktowe 2 cznika 2, oraz prdko 3 i przyspieszenie

ktowe 3 dwigni 3 dla czworoboku przegubowego przedstawionego na Rys. 14,

Dane: 1 = const, AB, BC, CD, BK, CK.

(P2.1) (P2.2)

(P2.3)

Rys. 14. Plan prdkoci mechanizmu czworoboku przegubowego

Naley zwrci uwag, e trjkt bck jest podobny do trjkta BCK i obrcony o kt 90o zgodnie ze zwrotem prdkoci ktowej 2 .

KC

KCCK

KB

KBBK

)v()v()v(

)v()v()v(

+=

+=

BCk)v( vCB

2

=

BCABCD

CBBC )v()v()v(

+=

V

BB1B k

v)v(;ABv ==



Rwnania planu przyspiesze

(P2.4) (P2.5)

(P2.6)

Rys. 15. Plan przyspiesze mechanizmu czworoboku przegubowego Naley zwrci uwag na to,e trjkt bck jest podobny do trjkta BCK i obrcony o kt 180o - zgodnie ze zwrotem przyspieszenia ktowego 2 .

a

nBn

B

nB

tB

nB

tB

nBB

kaa

ABa

a

aaaa

=

=

=

=+=

)(

021

BCIIBCIIABACIIAC

tCB

nCBB

tC

nC )a()a()a()a()a(

++=+

KCKCII

tKC

nKCCK

KBKBII

tKB

nKBBK

)a()a()a()a(

)a()a()a()a(

++=

++=

CDk)a( a

tC

3 =

BCk)a( a

tCB

2 =



Przykad 3. Mechanizm jarzmowy z suwakiem w ruchu paskim Wyznaczymy metod planw prdko i przyspieszenie liniowe punktu B oraz prdko

3 i przyspieszenie ktowe 3 jarzma 3 dla mechanizmu jarzmowego przedstawionego

na Rys. 16. Dane: 1 = const, AC, BC Rozwizanie Rwnania planu prdkoci Znajdujemy prdko punktu 1B nalecego do czonu napdzajcego:

V

BB1B k

v)v(;ABv == (P3.1)

Suwak porusza si po prostoliniowej prowadnicy i jego prdko ktowa jest rwna prdkoci ktowej prowadnicy 21 = . Zapisujemy rwnanie prdkoci punktu 2B , ktry znajduje si na czonie 2 - suwaku poruszajcym si ruchem paskim. Ruch tego punktu traktujemy jako ruch zoony gdzie: ruchem unoszenia jest obrotowy ruch prowadnicy - prdko unoszenia 1Bv , natomiast ruchem wzgldnym jest ruch suwaka po prostoliniowej prowadnicy -

prdko wzgldna 1B2Bv .

ABIIABBC

1B2B1B2B )v()v()v(

+=

(P3.2)

Rozwizujc wykrelnie rwnanie (P3.2) znajdziemy punkt przecicia kierunkw prdkoci )v( 2B , oraz prdkoci )v( 1B2B tj. punkt b2.

)v()v( 3B2B =

Rys. 16. Plan prdkoci mechanizmu jarzmowego

BCk)v( v3B

3

=



Rwnania planu przyspiesze Znajdujemy przyspieszenia punktu nalecego do czonu napdzajcego.

a

n1B

1B21

n1B1B k

a)a(;ABaa === 021 == (P3.3)

Zapisujemy rwnanie przyspieszenia punktu 2B , ktry znajduje si na czonie 2 suwaku, poruszajcym si ruchem paskim. Ruchem unoszenia jest obrotowy ruch prowadnicy. Przyspieszenie unoszenia to 1Ba . Ruchem wzgldnym jest ruch suwaka po

prostoliniowej prowadnicy. Przyspieszenie wzgldne to t

1B2Ba . Ponadto wystpi przyspieszenie Coriolisa - a cor 1B2B .

BIIAABABIIBCBCII

t1B2B

cor1B2B

n1B

t2B

n2B2B )a()a()a()a()a()a(

++=+=

(P3.4)

gdzie: a

23n

2B kBC

)a(

=

,

a

v1B2B1cor1B2B k

k)v(2)a(

=

Rozwizujc wykrelnie rwnanie (P3.4) otrzymamy punkt przecicia b2 kierunkw

przyspieszenia t2Ba i przyspieszenia

t1B2Ba , 3B2B aa =

Ponadto obliczymy:

BCk)a( a

t2B

3 =

Rys. 17. Plan przyspiesze mechanizmu jarzmowego



0)v()v( 0C3C ==

Przykad 4. Mechanizm jarzmowy z jarzmem w ruchu paskim Wyznaczymy metod planw prdkoci i przyspieszenia liniowe punktw 2C i D oraz

prdko 2 i przyspieszenie ktowe 2 jarzma 2 dla mechanizmu jarzmowego przedstawionego na Rys. 18. Dane: 1 = const, AB, BD, AC. Rozwizanie Rwnania planu prdkoci Znajdujemy prdko punktu B nalecego do czonu napdzajcego:

V

BB1B k

v)v(;ABv == (P4.1)

Poniewa suwak 3 obraca si razem z jarzmem to jego prdko ktowa jest rwna prdkoci ktowej jarzma 32 = . W celu znalezienia prdkoci liniowych naley rozwiza ukad rwna (P4.2).

(P4.2)

(P4.3) (P4.4) Rys. 18. Plan prdkoci mechanizmu jarzmowego.

BCk)v( vB2C

2

=

BD

DBBD )))v( v(v(

+=

BDv 2DB =

)CB()DB(

b2cdb

)v()v(

B2C

DB==

BCII0

3C2C2C3C2C3C2C

BCAB

B2CB2C

)v()v(;)v()v()v(

)v()v()v(

=

=+=

+=



Rwnania planu przyspiesze Rwnania przyspiesze piszemy analogicznie jak rwnania prdkoci

(P4.5) (P4.6) (P4.7) (P4.8) Rys. 19. Plan przyspiesze mechanizmu jarzmowego

a

nB

B

21

nBB

ka)a(

ABaa

=

==

BCIIBC0

t3C2C

cor3C2C3C2C

BCBCIIABII

tB2C

nB2CB2C

)a()a()a()a(

)a()a()a()a(

=

++=

++=

BCBDII

tDB

nDBBD )a()a()a()a(

++=

a

22n

2C kBC)a(

=

a

v3C2C2cor3C2C k

k)v(2)a(

=

a

22n

DB kBD)a(

=

a

2tDB k

BD)a(

=

)CB()DB(

b2cdb

)a()a(

B2C

DB==



Przykad 5. Mechanizm Oldhama Wyznaczymy metod planw prdko i przyspieszenie liniowe rodka suwaka

punktu 2B dla mechanizmu Oldhama przedstawionego na Rys. 20.

Dane: 1 = const, AC, 2ABCkt =

Rozwizanie Rwnania planu prdkoci:

(P5.1)

)

Rys. 20. Plan prdkoci mechanizmu Oldhama

v

1B1B

11B

kv)v(

ABv

=

= ABIIAB

1B2B1B2B )v()v()v(

+=

BCIIBC

3B2B3B2B )v()v()v(

+=

321 ==

v

3B3B

13B

kv)v(

BCv

=

=

=

mmm

)AB(ABkl



Rwnania planu przyspiesze

(P5.2)

Rys. 21. Plan przyspiesze mechanizmu Oldhama

ABIIABABII

t1B2B

cor1B2B1B2B )a()a()a()a(

++=

BCIIBCBCII

t3B2B

cor3B2B3B2B )a()a()a()a(

++=

a

21n

1B1B kAB)a()a(

==

1B2B1cor

1B2B v2a = 3B2B3cor

3B2B v2a =

a

23n

3B3B kBC)a()a(

==

321 ==

wykład 2 - kinematyka mechanizmów. metoda grafo analityczna.pdf

Documents