charakterystyki kinematyczne …home.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/pmism/kinematyka.pdf · podstawy...

Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.

Opracował J. Felis str. 1

CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH

PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH.

Charakterystyki kinematyczne to zapis parametrów ruchu członów mechanizmów: zapis przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń Charakterystyki kinematyczne mogą być uzyskane i zapisane w po-staci analitycznej lub wykreślnej. Synteza geometryczna – dobór parametrów geometrycznych członów mechanizmu w celu uzyskania wymaganych parametrów kinema-tycznych członów. Syntezę geometryczną można przeprowadzić metodami wykreślnymi właściwymi dla różnych mechanizmów, metodami analitycznymi lub poprzez wykorzystanie odpowiednich programów komputerowych.



CZ. 1. CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW 1. WPROWADZENIE Kinematyka mechanizmów obejmuje się badanie ruchu łańcuchów kinematycznych

istniejących (analiza) lub projektowanie nowych łańcuchów, które mają realizować ruch zgodnie z przyjętymi założeniami (synteza).

Metody kinematyki mechanizmów Metody wykreślne (graficzne i grafoanalityczne) 1) toru ocechowanego (metoda przybliżona, idea tej metody jest wykorzystywana w niektórych programach komputerowych), 2) chwilowego środka prędkości i chwilowego środka przyspieszeń, 4) rzutów prędkości, 5) prędkości i przyspieszeń obróconych, 6) biegunowych wykresów prędkości i przyspieszeń (metoda superpozycji, metoda

planów prędkości i przyspieszeń, 7) różniczkowania wykresów czasowych (analiza i synteza mechanizmów

krzywkowych).



Metody analityczne: 1) Metoda wieloboku wektorowego (wygodna metoda do analizy i syntezy łańcuchów płaskich mechanizmów o łańcuchu zamkniętym) 2) Metoda macierzowa (przydatna szczególnie do kinematyki łańcuchów otwartych, płaskich i przestrzennych). Metody analityczne pozwalają na wyznaczenie analitycznych związków określają-

cych położenia, prędkości i przyspieszenia kątowe członów mechanizmów oraz tory, prędkości i przyspieszenia charakterystycznych punktów mechanizmu w funkcji czasu lub w funkcji położenia członów napędzających.

Do analizy płaskich zamkniętych łańcuchów kinematycznych mechanizmów dźwi-

gniowych wygodnie jest stosować metodę wieloboku wektorowego. W analizie pła-skich lub przestrzennych łańcuchów otwartych bardzo przydatna jest metoda macie-rzowa



2. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK KINEMATYCZNYCH MECHANIZMÓW DŹWIGNIOWYCH METODĄ WIELOBOKU WEKTOROWEGO

2.1. Podstawy teoretyczne Metoda wieloboku wektorowego polega na zastąpieniu łańcucha kinematycznego

płaskiego mechanizmu dźwigniowego odpowiednim zamkniętym łańcuchem wektoro-wym spełniającym równaniem:

0l

n

1ii (1)

Każdy z wektorów tego wieloboku zdefiniowany jest we współrzędnych bieguno-

wych przez dwa parametry: długość wektora ii ll oraz kąt i określający jego kieru-nek.

Wielobok wektorowy opisany równaniem (1) po zrzutowaniu go na osie płaskiego układu współrzędnych odpowiada dwóm równaniom skalarnym.



0ll0lln

1iii

n

1iiy

n

1iii

n

1iix sin;cos

(2) Układ dwóch równań (2) pozwalają na wyznaczenie dwóch parametrów geometrycznych np. dwóch kątów,

dwóch długości lub długości i kąta. Ponieważ wielobok wektorowy (1) posiada n2 parametrów, zatem w mo-mencie tworzenia łańcucha kinematycznego mechanizmu należy przyjąć 2n2 parametry.

Różniczkując układ równań (2) otrzymujemy

0

dtdl

0dt

dl n

1i

iyn

1i

ix , (3)

0dt

ld0

dtld n

1i2iy

2n

1i2ix

2,

oraz (4)

Układ równań (3) pozwala wyznaczyć dwie nieznane prędkości kątowe i lub liniowe dtdli , natomiast (4)

dwa nieznane przyspieszenia kątowe i lub liniowe 2i

2

dtdl

Rys. 1. Warianty usytuowania układu współrzędnych dla mechanizmu korbowo-suwakowego



Przykład 1 Przeprowadzić analizę kinematyczną mechanizmu korbowo-suwakowego przedstawionego na rysunku 1

metodą wieloboku wektorowego.

W celu analizy przedstawionego mechanizmu wygodnie jest przyjąć układ współrzędnych Oxy i opisać me-

chanizm wielobokiem wektorowym w taki sposób jak to przedstawiono na rysunku 2. Mechanizm opisany został czterema wektorami 020121 llll ,,, . Zatem należy przyjąć 6242 parametrów

łańcucha kinematycznego. Dane: )( t11 - kąt obrotu członu napędzającego, BClABl 21 , ,

01 , DAl02 , 202 . Szukane: )(),(),(),( ttvvttrr 22CC22CC , )(),( ttaa 22CC

Rys. 2. Mechanizm korbowo-suwakowy opisany wielobokiem wektorowym



Rozwiązanie Zapisujemy zamknięty wielobok wektorowy równaniem wektorowym

0l4

1ii , czyli 0llll 020121 (5)

Wektory 21 ll , oraz 02l mają stałą długość, natomiast wektor 01l zmienia swoją długość podczas ruchu me-chanizmu.

Równanie (5) odpowiada po zrzutowaniu na osie układu współrzędnych dwóm równaniom skalarnym.

0lll 012211 coscos (6)

0lll 022211 sinsin (7)

Przyjmując oznaczenie 2

1ll

oraz 2

02

lla na podstawie (7) mamy

12 a sinsin (8)

Ponieważ 11sin , na podstawie (8) otrzymujemy warunek umożliwiający obrót korby 1l o kąt 2 .

1a lub 2102 lll (9) Na podstawie (8) mamy

)sinarcsin( 12 a (10) Przyjmujemy dalej oznaczenie

122

12

22

2 a2a11A sinsinsincos (11)

W celu wyznaczenia prędkości liniowej oraz przyspieszenia liniowego punktu C wprowadzamy wektor promień wodzący tego punktu.



0ya2A2A250aA

2AaAal2A50aAlxa

CCy

11

1233

11

11322

1232

12111

11

1111CCx

)cossin,sin

cossincos(cossin,cossin

Na podstawie (5) oraz rysunku (2) mamy

020121CCC llllyxr );( (12)

Współrzędne określające położenie suwaka na podstawie (3.6) i (3.7) wynoszą

022211y2y1C

012112211x2x1Cllllly

lAllllllxsinsin

coscoscos (13)

W celu wyznaczenia prędkości kątowej łącznika 2 różniczkujemy (8) względem czasu.

1122 coscos

11

12

1122 A cos

coscos

(14)

Różniczkując (3.13) względem czasu obliczamy prędkość liniową punktu C:

0yv)2sinA5,0cosaA(sinlxv

CCy

11

11

111CCx

(15)

W celu obliczenia przyspieszenia kątowego łącznika 2 różniczkujemy (14) względem czasu

111122

122

121

122 2A50AaA cossincos,cossin (16)

Następnie różniczkujemy (15) otrzymując przyspieszenie liniowe punktu C

(17)



Rys. 3. Wykresy parametrów kinematycznych łącznika mechanizmu korbowo-suwakowego

przedstawionego na rys. 2

Jeżeli korba ABl1 obraca się ze stałą prędkością kąto-wą, wtedy jej przyspieszenie kątowe jest równe zero czyli

01 , co należy uwzględnić w równaniach (16) i (17). Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono wynik obliczeń nume-

rycznych parametrów kinematycznych analizowanego me-chanizmu dla następujących danych liczbowych: t21 ,

4,0l,2,0l 21 , 01 , 1,0l02 , 202 .



Rys. 3. Wykresy parametrów kinematycznych łącznika mechanizmu korbowo-suwakowego przedstawionego

na rys. 2

SAM



Przykład 2 Przeprowadzić analizę kinematyczną mechanizmu jarzmowego przedstawionego na rysunku 5 metodą wie-

loboku wektorowego

Rys. 5. Mechanizm jarzmowy opisany wielobokiem wektorowym Mechanizm opisany jest czterema wektorami, zatem przyjmiemy 6242 parametrów łańcucha kinema-

tycznego.

Dane: )( t11 , ABl1 , CEl4 , 23

4 , AEl5 , 5 .

Szukane: )t(ll 22 , )t(22 , )t(lv 23C2C , )t(22 , )t(la 2

t3C2C , )t(22 , Dv , Da .



Rozwiązanie Zamknięty wielobok wektorowy ma postać:

0llll 5421 (18)

Jedynie wektor )t(ll 22 zmienia swoją długość w czasie ruchu mechanizmu. Po zrzutowaniu równania (18) na osie układu Oxy otrzymujemy

0lsinlsinl0lcoslcosl

42211

52211 (19)

Z równań (19) wyznaczymy długość jarzma 2l

11422

11522llllllsinsincoscos

(20)

Po podniesieniu układu równań (3.20) do kwadratu i dodaniu stronami znajdujemy długość jarzma 2l .

2114

21152 )sinll()cosll(l (21)

Dzieląc równania (3.20) stronami otrzymujemy:

115

1142 cosll

sinlltg , 115

1142 cosll

sinllarctg (22)

W celu znalezienia prędkości kątowych i liniowych jarzma różniczkujemy pierwsze z równań (19) podstawiając 11 i 22

0sinlcosdtdlsinl 2222

2111 (23)



Obracając układ współrzędnych Oxy o kąt 2 znajdziemy na podstawie (23) prędkość względną punktu na jarzmie 2 poruszającego się względem suwaka 3.

0)sin(l)cos(dtdl)sin(l 222222

22111

stąd )sin(lvdtdl

21113C2C2

(24)

Prędkość kątową jarzma 2 znajdziemy obracając układ współrzędnych Oxy o kąt )90( 2 na podstawie (23).

0)90sin(l)90cos(dtdl)90sin(l 222222

22111

stąd )cos(ll

2112

12 (25)

W celu znalezienia przyspieszeń kątowych i liniowych różniczkujemy równanie (23) podstawiając 11 , 22 .

(26)

0ll

dtdl2

dtldll 2

22222222

222

22

1211111 cossinsincoscossin

Styczne pkt.B, normalne pkt.B, względne styczne pkt. C2C3, Coriolisa pkt. C2C3, styczne pkt.C2B, normalne pkt.C2B



Obracając układ współrzędnych Oxy o kąt 2 na podstawie (26) znajdujemy

przyspieszenie styczne 22

2t

3C2C dtlda

0l

ldtdl2

dtldll

22222

22222222

2222

2

212112111

)cos(

)sin()sin()cos()cos()sin(

Ostatecznie 0l)cos(l)sin(ldt

lda 22221

21121112

22

t3C2C (27)

Obracając układ współrzędnych Oxy o kąt )90( 2 na podstawie (26) obliczymy przyspieszenie kątowe

jarzma 2 .

090l90l

90dtdl290

dtld90l90l

222222222

2222

2222

2

212112111

)cos()sin(

)sin()cos()cos()sin(

Ostatecznie

dtdl

l2)sin(

ll)cos(

ll 2

2

221

21

2

1211

2

12 (28)



Na podstawie rysunku 5 mamy

BD1D llr (29)

Wyznaczymy współrzędne wektora promienia wodzącego Dr

2BD11Dy

2BD11Dx

sinlsinlrcoslcoslr

(30)

Różniczkując (3.30) znajdziemy współrzędne wektora prędkości punktu D

22BD111Dy

22BD111Dxllvllv

coscossinsin

(31)

Różniczkując (3.31) znajdujemy współrzędne wektora przyspieszenia punktu D

2

22BD22BD1

211111Dx

222BD22BD1

211111Dx

lllla

lllla

sincossincos

cossincossin (32)

Rys. 5



Na podstawie wyprowadzonych zależności przeprowadzone zostały obliczenia numeryczne parametrów kinematycznych analizowanego mechanizmu jarzmowego a ich wyniki są przedstawione na rysunku 6; 7; 8; 9; 10; 11. Obliczenia zostały wykonane dla następujących danych liczbowych: t21 , 15,0l1 , 2,0l4 ,

35,0l5 , 23

4 , 5 , 6,0lBD . Rys. 6. Wykresy parametrów kinematycznych jarzma mechanizmu jarzmowego przedstawionego na rysunku 5

Rys. 5



Rys. 7. Wykresy parametrów kinematycznych jarzma mechanizmu jarzmowego przedstawionego na rys. 5

Rys. 8. Tor punktu D jarzma mechanizmu przedstawionego na rys. 5

Rys. 5



Rys. 9. Współrzędne punktu D jarzma mechanizmu


Rys. 10. Wykresy prędkości punktu D mechanizmu


Rys. 11. Wykresy przyspieszenia punktu D

mechanizmu przedstawionego na rys. 5

Rys. 5



Dla mechanizmów o ruchliwości 1w wyznaczamy ponadto charakte-rystyki: a) przemieszczeniowe (przesunięciowe),

b) prędkościowe.

Charakterystyka przemieszczeniowa

Charakterystyka przemieszczeniowa (przesunięciowa) )( wep qf mechanizmu

określa zależność przemieszczenia członu wyjściowego mechanizmu w funkcji

przemieszczenia członu napędzającego:

)q(fq wepwy (33)

gdzie:

weq - przemieszczenie uogólnione (liniowe lub kątowe) członu napędzającego

mechanizmu

wyq - przemieszczenie uogólnione (liniowe lub kątowe) członu roboczego

(wyjściowego) mechanizmu



Dla niektórych mechanizmów (klinowych, śrubowych) zależność (33)

przyjmuje postać

wepwy qKq (34)

gdzie: pK - stały współczynnik proporcjonalności

W większości przypadków charakterystyka przemieszczeniowa jest funkcją

nieliniową. Charakterystykę przemieszczeniową można wyznaczyć metodą

analityczną, grafoanalityczną lub przy pomocy symulacji komputerowej.

Charakterystyka prędkościowa

Różniczkując wyrażenie (3) względem czasu otrzymujemy

wewe

wepwy q

dq)q(df

q (35)



we

wep

we

wywev dq

)q(dfqq

)q(f

Charakterystyka prędkościowa )( wev qf mechanizmu określa stosunek uogólnionej

prędkości członu wyjściowego mechanizmu do uogólnionej prędkości członu napędza-

jącego.

(36)

gdzie: weq - uogólniona prędkość (liniowa lub kątowa) członu napędzającego

wyq - uogólniona prędkość (liniowa lub kątowa) członu roboczego

(wyjściowego) mechanizmu

Charakterystykę prędkościową mechanizmu analogicznie jak przemieszczeniową

można wyznaczyć metodą analityczną, grafoanalityczną lub poprzez symulację

komputerową.

Charakterystyki prędkościowe zostaną wykorzystane do analizy siłowej

mechanizmu, a w szczególności do wyznaczenia przełożenia siłowego,

określonego poprzez charakterystykę siłową mechanizmu.



Allllllxf 2112211x2x1Cp coscoscos

122

12

22

2 a2a11A sinsinsincos

2

1

ll

2

02

lla

Przykład 3 Wyznaczyć charakterystykę przemieszczeniową i prędkościową dla mechanizmu korbowo-suwakowego z przykładu 1 przy założeniu, że prędkością członu wyjściowego jest prędkość punktu C suwaka 3, a prędko-ścią członu wejściowego jest prędkość kątowa członu 1. Przemieszenie suwaka (na podstawie przykładu 1)opisana jest wzorem: (37) Wzór (37) wyraża charakterystykę przemieszczeniową punktu C suwaka



Prędkość suwaka (na podstawie przykładu 1)opisana jest wzorem:

)sin,cos(sin 11

11

111CCx 2A50aAlxv

Podzielimy stronami przez 1 i otrzymamy zależność opisującą charakterystykę prędkościową mechanizmu.

)sin,cos(sin)( 11

11

111

C

1

C1v 2A50aAlxvf

(38)

Charakterystyki kinematyczne można otrzymać na drodze modelowania mechanizmu w progra-

mie SAM zakładając 1

1 s1 .

Rys. 12. Model mechanizmu w programie SAM

A

B

C D



Cp xf

Rys. 13. Charakterystyka przemieszczeniowa mechanizmu korbowo-suwakowego (SAM)

Rys. 14. Charakterystyka prędkościowa mechanizmu korbowo-suwakowego (SAM)

1

C

1

C1v

xvf )(

charakterystyki kinematyczne …home.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/pmism/kinematyka.pdf · podstawy...

Documents