wykład 27

16-01-2009 Reinhard Kulessa 1

Wykład 2711.12 Efekt Dopplera

11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce

11.12.1 Znaczenie ośrodka

11.13 Prędkości naddźwiękowe


11.12 Efekt Dopplera

Jeżeli źródło emitujące falę oraz obserwator znajdują się względem siebie w ruchu, obserwator zaobserwuje falę o częstości zmienionej zm w stosunki do częstości emitowanej przez źródło z. Taką zmianę częstości możemy często zauważyć w ruchu ulicznym np. w czasie przejeżdżania obok nas karetki na sygnale. Dla fal dźwiękowych efekt ten został po raz pierwszy zauważony przez Christiana Dopplera 1842 r.Doppler wynajął na dwa dni pociąg towarowy i grupę trębaczy z wiedeńskiej orkiestry. Połowę muzyków umieścił w pociągu, a drugą na stacji. Obydwie grupy trąbiły w tej samej tonacji. Muzycy byli oczywiściew stanie określić wysokość słyszanego dźwięku.


Przyjmijmy następujące oznaczenia,u -- prędkość rozchodzenia się falivzr -- prędkość źródła,vob -- prędkość obserwatora,f0 -- częstość fali emitowanej przez źródło, fob -- częstość fali odbieranej przez obserwatora0 -- długość fali wysyłanej przez źródłoob -- długość fali obserwowanej

Przy obliczeniach różnicy częstości musimy rozróżnić następujące przypadki; ruch obserwatora, ruch źródła fal, oraz równoczesny ruch źródła i obserwatora. Ruch oznacza tu w każdym przypadku ruch względem ośrodka w którym rozchodzi się fala.

Użyjmy dla częstościoznaczenia f dla lepszego odróżnieniaod prędkości v


Rozważmy kilka przypadków:

I. vzr = 0, vob 0

vob

Fale będą dochodziły do obserwatora z prędkością równą sumie prędkości obserwatora i prędkości fali. Czas pomiędzy dwoma kolejnymi

wierzchołkami fal który zmierzy obserwator będzie równy;

0ob

ob

Tu v

.


Częstość fali , którą odbiera obserwator wynosi więc;

00

1ob obob

u v vf f

u

.

Wykorzystaliśmy tutaj zależność, że 0 =u/f0 .

Obserwatora, który oddala się od źródła zaobserwuje częstość;

0 1 obob

vf f

u .

(11.34)

(11.35)

II. vob = 0, vzr < 0, vzr > 0

W tym przypadku obserwator spoczywa, a źródło fal przybliża się do, lub oddala się od obserwatora.


Źródło porusza się z prędkością vzr ,emituje falę pierwotną o częstości f0 , która porusza się z prędkością u.Dwa wierzchołki fali są generowane w odstępie czasowymT0=1/ f0 . W międzyczasie źródło przebywa drogę T0 vzr.

Odległość pomiędzy dwoma wierzchołkami będzie więc

0 ob

vzr Tzr

uvzr

O

0( )zru v T .


obserwatora będzie więc różnił się o .0zru vT

u

Otrzymamy więc na częstość odbieraną przez obserwatora wyrażenie;

0 0

1

1ob

zrzr

uf f f

vu vu

. (11.36)

Czas pomiędzy dwoma wierzchołkami fali docierającymi do

- ruch w stronę obserwatora+ ruch od obserwatora


III. vob 0, vzr 0

W tym przypadku mamy do czynienia z czterema możliwościami. Załóżmy, że zarówno źródło fali, jak i obserwator poruszają się w tum samym kierunku.

vzr vob

Możemy znaleźć częstość fal odbieranych przez obserwatorabazując na dwóch już znanych przypadkach.


Wskutek ruchu źródła długość emitowanej przez nie fali zmienia się

0 0zrv T

obob

u vf

Częstość fali widziana przez oddalającego się obserwatora wynosi (patrz I);

.

. długość zmieniona przezruch źródła

Otrzymamy więc;

0 0 0 0 0

1ob ob obob

zr zr zr

u v u v u vf

v T uT v T u v T

.

Na obserwowaną w tym przypadku częstość otrzymujemy;


0ob

obzr

u vf f

u v

. (11.37)

Poniższa tabela pokazuje wszystkie cztery możliwości.

0ob

obzr

u vf f

u v

0ob

obzr

u vf f

u v

0ob

obzr

u vf f

u v

0ob

obzr

u vf f

u v

źródło obserwator


IV . Ruch pod kątem

Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których źródło fal i obserwator poruszali się względem siebie po jednej prostej. Tak jednak nie zawsze musi być.

vzr

vob

zr

ob

W takim przypadku bierzemy składowe równoległe prędkości do kierunku łączącego źródło z obserwatorem.


0

cos

cosob o

obzr zr

u vf f

u v

. (11.38)

11.12.1 Znaczenie ośrodka

Stwierdziliśmy w rozważanych przypadkach, że dla efektu Dopplera istotne jest, czy porusza się źródło fal, czy obserwator. Pamiętamy, że fale np.; głosowe rozchodzą się w powietrzu. Powietrze to jest dla nas wzorcem względem którego wyznaczamy prędkość źródła i obserwatora.Jeżeli wieje wiatr, musimy to uwzględnić w naszych rozważaniach.Rozważmy przypadek ruchomego obserwatora i stałego wiatru.


źródło

obserwator

vob

Wiatr vw

Na częstość fali którą zarejestruje obserwator uzyskamy wartość;

0ob w

obw

u v vf f

u v

. (11.39)


11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce

Wiemy, że dla fal elektromagnetycznych wzory (11.34), (11.35) i (11.36) nie mogą być zastosowane. Dla fal elektromagnetycznych nie istnieje ośrodek w którym rozprzestrzenia się fala (brak „eteru”). Wobec tego przypadki ruchomego źródła i ruchomego obserwatora są nierozróżnialne. Wymienione równania muszą zostać zastąpione przez wyrażenie, w którym wystąpi jedynie względna prędkość pomiędzy źródłem a obserwatorem.

Rozpatrzmy następujący przykład.Mamy źródło promieniowania elektromagnetycznego np. nadajnik radarowy, który spoczywa w początku układu współrzędnych U. Obserwator oddala się wzdłuż osi x z prędkością v od tego źródła. Źródło, wysyła impulsy w regularnych odstępach czasowych , które biegną z prędkością światła c.


x

t

Impuls

1

Impuls

2

(x1, t1)

(x2, t2)

x=c · t

x = c(t - )

x = x0 + v · t

t = Obserwator ruchomy

Źródłow czasie t

O x0

Obserwator spoczywający w układzie U zaobserwuje impulsy radarowe w odstępach czasowych .Jaką częstość obserwuje poruszający się obserwator?


Otóż;A) Różnica czasu pomiędzy obserwacją dwóch impulsów przez obserwatora w układzie U jest równa t2 – t1. Z matematycznych warunków na punkty przecięcia (x1, t1) i (x2, t2) mamy;

1 1 0 1 0 1

2 2 0 2 0 2

( )

( ) ( )

x c t x v t x c v t

x c t x v t x c c v t

.

Z równań tych otrzymujemy;

2 1

2 1

ct t

c vv

x x cc v

.


B. Tę samą różnicę czasową obserwator w układzie ruchomym U’ zmierzy jako;

2 1 2 1 2 122

2

1( ) ( )

1

vt t t t x x

cvc

.

Po wstawieniu wyliczonych powyżej wartości, otrzymujemy;

2 1 22

2

2

22

2

1

1

1(1 )

1

c v c vt t

c v c c vvc

c v

c v cvc

.


2 1

1

1

vct tvc

Po krótkich przekształceniach otrzymujemy

.

Częstość, z którą ruchomy obserwator odbiera sygnały jest równa;

2 1

11 1

1

vcvt t c

,

czyli1

1

vcvc

. (11.40)


Rozważaliśmy szczególny przypadek efektu Dopplera, kiedy obserwator odbiera falę ze źródła oddalającego się od niego wzdłuż osi x.W ogólnym przypadku fala świetlna o częstości drgań ’ wysłana ze źródła O’ spoczywającego w układzie U’, który porusza się z prędkością v względem układu U wzdłuż osi Ox, może docierać do obserwatora O spoczywającego (w punkcie P) w układzie U pod kątem względem kierunku ruchu źródła O’.

x

x’

yy’

O O’

v

P

Obserwator w punkcie P zmierzy następującą częstość ’ fali świetlnej;

1

(1 cos )

.

Prześledźmy krótko własności relatywistycznego przesunięcia dopplerowskiego.

21 1

v c


1. Dla = 00 źródło i obserwator zbliżają się do siebie. Częstość obserwowanej fali ulega przesunięciu ku fioletowi.

2. Dla = źródło i obserwator oddalają się od siebie. Mamy wtedy do czynienia z przesunięciem ku czerwieni.

3. Dla kątów = /2, 3/2 mamy do czynienia z poprzecznym relatywistycznym efektem Dopplera. Nie ma on odpowiednika w mechanice klasycznej.

2 2 1 2(1 )v c .

Przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk definiujemy jako;1 2

1 ( )1 1

1 ( )

v cz

v c

Zależność pomiędzy prędkością galaktyk v a ich odległością r jest następująca;

v H r

.

,

gdzie H jest stałą Hubble’a i H (75 km/s)/Mpc, 1Mpc = 3.086·1022 m.

Wiadomo również, że 2

2

(1 ) 1

(1 ) 1

zv c

z

.


11.13 Prędkości naddźwiękowe

Powróćmy do rozchodzenia się dźwięku i zastanówmy się codzieje się gdy prędkość źródła dźwięku vzr jest równa prędkościdźwięku u. Powstaje wtedy fala uderzeniowa. Następuje kumulacja energii na czole fali. Natężenie rośnie do .

Czoło fali

vzr

Przykład ---- lecący pocisk oprędkości vzr= 1.01 u.


F/A Hornet przekraczającyBarierę dźwięku


Kiedy obiekt emitujący dźwięk ma prędkość większą od prędkościrozchodzenia się dźwięku, płaskie czoło fali uderzeniowej zmieniasię w stożek. Również energia koncentruje się na powierzchni Stożka.

Połowa kąta rozwarcia stożka jest dana przez;

1sin

zr

u

v M .

M jest nazwane liczbą Macha.

vzr

vzr TŚwietlne fale uderzeniowe również istnieją w ośrodkach o współczynnikuzałamania n >1 co zmniejsza prędkość światła w stosunku do tej

w próżni. Powstające świetlne fale uderzeniowe nazywamy promieniowaniem Cerenkova.

wykład 27

Documents