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  • ZERI DI POLINOMI

    Corso di laurea in Matematica - Universita di Ferrara 31 Marzo 2010 1

    Polinomi

    Un polinomio a coefficienti complessi e una successione finitaf = (a0, . . . , an) di numeri complessi tale che:

    (1) n e un numero naturale.

    (2) Se n 1, allora an 6= 0.

    Con unindeterminata x si scrive allora anche

    f = a0 + a1x + . . . + anxn

    Il grado di f e definito cos:

    (a) Se n 1, allora il grado di f e n.

    (b) Se n = 0 ed an 6= 0, il grado di f e 0.

    (c) Se n = 0 ed an = 0, il grado di f e .

    I polinomi di grado 0 si dicono costanti.

    Laddizione e la moltiplicazione di polinomi sono definiti come sex fosse un numero. Ad esempio

    (3 + 5x + 6x2)(2 + 3x + x4)

    = 6 + 9x + 3x4 + 10x + 15x2 + 5x5 + 12x2 + 18x3 + 6x6

    = 6 + 19x + 27x2 + 18x3 + 3x4 + 5x5 + 6x6

    Si puo anche usare questo schema:

    2 3 0 0 1

    3 6 9 0 0 3

    5 10 15 0 0 5

    6 12 18 0 0 6

    I coefficienti del prodotto sono le somme delle diagonali del rettangolointerno.

    Il grado e definito in modo tale che il grado di fg sia uguale allasomma dei gradi di f e g.

    In particolare sono definiti prodotti della forma

    (x 1) (x n)

    per 1, . . . , n C. Ad esempio

    f := (x 2)(x 3)(x + 1) = (x 2)(x2

    + x 3x 3)

    = (x 2)(x2 2x 3) = x

    3 2x

    2 3x 2x

    2+ 4x + 6

    = x3 4x

    2+ x + 6

    E chiaro che qui f(2) = f(3) = f(1) = 0.

    Si usano le seguenti notazioni:

    R := insieme dei numeri reali.C := insieme dei numeri complessi.R[x] := insieme dei polinomi a coefficienti reali.C[x] := insieme dei polinomi a coefficienti complessi.

    Zeri di un polinomio

    Per f = a0 + a1x + . . . + anxn C[x] ed C possiamo calcolare

    il numero f() che si ottiene sostituendo x con :

    f() := a0 + a1 + . . . + ann

    Uno zero (o una radice) di f e un numero complesso per il qualef() = 0.Vedremo adesso che ogni polinomio non costante possiede uno zero.

    Attenzione: Se f R[x], non e invece detto che f abbia radici reali!Ad esempio f = x2 + 1 non possiede radici reali.Questa e stata proprio la ragione per lintroduzione dei numeri

    complessi: Infatti (x i)(x + i) = x2 + 1, quindi x2 + 1 possiedegli zeri i e i. In algebra si dimostra (non e difficile) che questo poli-nomio non possiede altri zeri (prop. 1.1).

    Proposizione 1.1. Sia f C[x] di grado n ed f 6= 0 (quindi n 0).Allora f non possiede piu di n radici distinte.

    Dimostrazione. Corso di Algebra.

    Nota 1.2 (schema di Ruffini). Sia dato un polinomio

    f = a0xn + a1x

    n1 + + an

    Per C vogliamo calcolare f().Sia ad esempio f = 3x4 + 5x3 + 6x2 + 8x + 17. Poniamo

    b0 = 3

    b1 = b0 + 5 = 3 + 5

    b2 = b1 + 6 = 32

    + 5 + 6

    b3 = b2 + 8 = 33

    + 52

    + 6 + 8

    b4 = b3 + 17 = 34

    + 53

    + 62

    + 8 + 17

    e vediamo che b4 = f(). Lo stesso si puo fare nel caso generale:

    b0 = a0

    b1 = b0 + a1

    . . .

    bk = bk1 + ak

    . . .

    bn = bn1 + an

    con bn = f(), come dimostriamo adesso. Consideriamo il polinomio

    g := b0xn1 + b1x

    n2 + + bn1.

    Allora, usando che bk = bk+1ak+1 per k = 0, . . . , n1, abbiamo

    g = b0xn1

    + b1xn2

    + + bn1

    = (b1 a1)xn1

    + (b2 a2)xn2

    + . . .

    + (bn1 an1)x + bn an

    = (b1xn1

    + b2xn2

    + + bn1x + bn)

    (a1xn1

    + a2xn2

    + . . . an1x + an)

    = x(g b0xn1

    ) + bn (f a0xn)

    = xg b0xn

    + bn f + a0xn

    = xg + bn f

    quindi

    f = (x )g + bn

    e cio implica f() = bn.

    b0, . . . , bn1 sono percio i coefficienti del quoziente nella divisione

    con resto di f per x , mentre bn e il resto, uguale a f().

    Questo algoritmo e detto schema di Ruffini ed e molto piu velocedel calcolo separato delle potenze di (tranne nel caso che il poli-nomio consista di una sola o di pochissime potenze).

    Proposizione 1.3. Siano f C[x] ed C. Allora f() = 0 se esolo se esiste un polinomio g C[x] tale che f = (x )g.Se allora f 6= 0 ed f e di grado n, allora f non e costante e g eunivocamente determinato e di grado n 1.

    Dimostrazione. Cio segue direttamente dallo schema di Ruffini.

    Siano f C[x] ed f 6= 0 ed C,m un numero naturale.Diciamo che e uno zero dimolteplicitam di f , se f = (x)mgper qualche polinomio g, ma f non e della forma f = (x )m+1hper un polinomio h.Quindi f() = 0 m 1. La molteplicitam e univocamentedeterminata.

  • ZERI DI POLINOMI 31 Marzo 2010 2

    Il teorema fondamentale dellalgebra

    Teorema 2.1 (teorema di Rouche). F ed h siano due polinomia coefficienti complessi e C una circonferenza (cioe il bordo di uncerchio) nel piano tale che

    |F (z)| > |h(z)|per ogni z C.La disuguaglianza e quindi richiesta solo sul bordo del cerchio,

    non al suo interno. Allora i polinomi f := F + h ed F possiedonoallinterno del cerchio lo stesso numero di radici, se queste vengono

    contate con le loro molteplicita.

    In particolare: Se F possiede una radice allinterno del cerchio, al-lora anche f ne possiede una.

    f e considerata una perturbazione di F tramite h.

    Dimostrazione. Corso di Analisi complessa.

    Teorema 2.2 (teorema fondamentale dellalgebra). Sia

    f = a0 + a1x + . . . + anxn C[x]

    di grado n 1 (cioe non costante).Allora esiste C tale che f() = 0.

    Dimostrazione. Usiamo il teorema di Rouche.Consideriamo f come perturbazione di F := anx

    n (ricordiamo chean 6= 0) mediante h := a0 + a1x + . . . + an1xn1.Per ogni z C si ha |F (z)| = |anzn| = |an||z|n ed e chiaro che per

    |z| sufficientemente grande F (z) domina tutte le potenze inferiori eanche h(z); percio esiste certamente un raggio R > 0 tale che perogni z che appartiene alla circonferenza di raggio R (cioe tale che|z| = R) si abbia |F (z)| > |h(z)|.Per il teorema di Rouche il nostro polinomio f allinterno del

    cerchio |z| < R possiede lo stesso numero di radici come F . MaF = anz

    n in questo cerchio possiede la radice 0 di molteplicita n.Percio anche f possiede allinterno dello stesso cerchio n radici

    (non necessariamente distinte, cos come non sono distinte le radi-ci di F ) e quindi almeno una radice perche per ipotesi n 1.

    Corollario 2.3. Sia f C[x] di grado n 1. Allora esistono numericomplessi 1, . . . , n univocamente determinati (a parte lordine incui sono elencati), tali che

    f = an(x 1) (x n)dove an e il coefficiente di x

    n in f . Inoltre:

    (1) f non possiede altre radici.

    (2) La molteplicita di i e uguale al numero di volte che i apparein questo prodotto.

    Dimostrazione. Facile dal teorema 2.2 e dalla prop. 1.3.

    Il linguaggio di programmazione R

    Il linguaggio di programmazione R possiede la funzione polyroot peril calcolo delle radici di un polinomio. I coefficienti devono essere elen-cati iniziando con il coefficiente piu basso e vengono compresi medi-ante loperatore di concatenazione c. Per

    f = 3x4 + 5x3 2x2 + 7x + 10usiamo ad esempio

    f=c(10,7,-2,5,3)radici=polyroot(f)for (alfa in radici) print(alfa)

    ottenendo loutput

    [1] 0.704353+1.084357i[1] -0.9287587+0i[1] 0.704353-1.084357i[1] -2.146614+0i

    Per linstallazione di R collegarsi a cran.stat.unipd.it e seguireWindows base.Per appunti su R collegarsi a felix.unife.it e seguire

    Studenti Corsi 2009/10 Programmazione.

    Localizzazione degli zeri

    Un polinomio si dice normato, se e di grado n 1 e se il coefficientedi xn e uguale ad 1.Attenzione: Formuliamo tutte le seguenti proposizioni per polino-mi normati. Se il polinomio dato non lo e, bisogna dividere tutti icoefficienti per il coefficiente della potenza piu alta.Nel seguito siano quindi sempre

    f = a0 + a1x + . . . + an1xn1 + xn ed C.

    Proposizione 2.4. Sia A := max(a0, . . . , an1). Sia f() = 0.Allora || < 1 + A.

    Dimostrazione. Possiamo assumere che A 6= 0 e che || > 1,perche altrimenti lenunciato e banale.Da n = (a0+a1+. . .+an1n1) usando la disuguaglianzatriangolare si ottiene |n| A(1 + || + . . . + |n1), cosicche per := || si ha n A

    n 1 1

    < An

    1, usando che A 6= 0 e > 1,

    per cui otteniamo 1

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