zjištění průběhu funkce
DESCRIPTION
y 3 – y 1. y 2 – y 1. y 3 – y 1. y 2 – y 1. x 1 a zároveň platí, že y 2 > y 1 . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Zjištění průběhu funkce
Základní pojmy
funkce f(x) je rostoucí v intervalu i, jestliže platí, že když je x2 > x1 a zároveň platí, že y2 > y1 .
funkce f(x) je rostoucí pokud derivace funkce f´(x) je větší než nula.
funkce f je klesající v intervalu i, jestliže platí, že když je x2 > x1 a zároveň platí, že y2 < y1 .
funkce f je klesající pokud derivace funkce f´(x) je menší než nula.
funkce f je konvexní, jestliže za předpokladu x1 < x2 < x3 platí
Graf je nad tečnou funkce.
funkce f je konkávní, jestliže za předpokladu x1 < x2 < x3 platí
y2 – y1
x2 – x1
y3 – y1
x3 – x1<
y2 – y1
x2 – x1
y3 – y1
x3 – x1
Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci.
Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní)
t
t
Graf je pod tečnou funkce.
Zjištění průběhu funkce
Extrémy funkce
funkce f(x) má své extrémy
Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci.
Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní)
ostré
neostré
Lokální (pouze ve vnitřních bodech Df )
absolutní
minimummaximum
Při definování extrémů funkce definujeme hodnotu y pro nějaké x.
Má-li funkce v bodě A lokální extrém, pak nutně derivace funkce pro A bude rovna nule. (f ´x = 0)
Pouze jeden extrém
Ostré lokální minimumA
y´ < 0 y´ > 0
Ostré lokální maximum
A
y´ > 0 y´ < 0
Pro zjištění absolutního extrému se dosazují hodnoty x z definičního oboru funkce.
Absolutní (globální) extrém se zjistí porovnáním extrémů lokálních.
Zjištění průběhu funkce
Postup
1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)
2) Derivace funkce f(x) f´(x)
3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule.
4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce
5) Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající.
6) Zapsání výsledku v podobě : f je rostoucí (klesající) v intervalu … , …
7) Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x) f ´´(x)
8) Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df.
9) Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní.
10) Zápis výsledku
Příklady použité v tomto materiálu byly převzaty z webových stránek
http://matematika.tf.czu.cz/institut/uvod.htm
Zjištění průběhu funkce
Příklad 1
Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, a v kterých rostoucích.
1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)
2) Derivace funkce f(x) f´(x)
3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule.
=
Zjištění průběhu funkce
Příklad 2
4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce.
Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající.
+ -
f
-1 1
8
f je rostoucí na <-1;1>, klesající na <1; )
8
Pozn.: Už z grafického znázornění je zřejmé,že ostré absolutní maximum je v x = 1.
Ostré absolutní minimum bychom zjistili porovnáním zbývajících lokálních extrémů, v našem případě s x = -1 a s x v nekonečnu. Jak se počítá s nekonečnem to nevím a tak mi zbývá už jen to x = -1.
Příklad 1
Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, v kterých rostoucích, v kterých konkávní a v kterých konvexní.
1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)
Zjištění průběhu funkce Příklad 2
2) Derivace funkce f(x) f´(x)
3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule.
2
4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce.
Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající.
+ -
f
0
8 e 2
f ´
f je rostoucí na (0; >, klesající na < ; )
8 e 2 e 2
Zjištění průběhu funkce Příklad 2
5) Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x) f ´´(x)
e
+ -
f
0
8
f ´´
6) Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df).
Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní.
y = 4 ( 1 – ln 1) = 4 (1 – 0) = + 4
y = 4 (1 – ln e ) = 4 (1 – 2) = - 42
f je konvexní na (0;e >, konkávní na <e; )
8
Teď to už jen nechám počítač zkontrolovat, abych to viděl na vlastní oči
e2e