zstat teorija (bonus) cekanavicius murauskas

1 V. ekanaviius, G. Murauskas 1

STATISTIKAIR

JOS TAIKYMAI

2

Literatra

V.ekanaviius, G.MurauskasStatistika ir jos taikymai I, II

V. ekanaviius, G. Murauskas 3

Pastaba: mogus, kuris nesustodamas skrupulingai

visk vis skaiiuoja ir skaiiuoja ir dar klasifikuoja ir klasifikuoja nra statistikas.

(greiiau jau serga izofrenija). statistika, tai ne tik ir ne tiek duomen

sisteminimas, kiek tam tikr hipotezi tikrinimas.

tai ir bus ms pagrindin duona (divsis).


iuolaikin statistika tai mokslas apie informacijos

rinkim, sisteminim, analizavim, interpretavim.


Trys statistikos dalys:

Apraomoji statistika, nagrinjanti duomen sisteminimo metodus.

Statistins ivados analizs ir interpretavimo metodai.

Duomen rinkimas


Pagrindiniai statistikos terminai

Populiacija - objekt, kuri savybs tiriamos, aib.

Imtis - tai populiacijos dalis, kuri naudojama statistiniame tyrime.

Parametras - populiacijos charakteristika (apibendrinantis matas).

Statistika - imties charakteristika (apibendrinantis matas).


Populiacija

Imtis


Kodl reikia statistikos (mokslo)?

Tiriamos didels populiacijos. Surinkti informacij apie vis populiacij

labai brangu ir ilgai trunka. Nemanoma ivardinti vis populiacijos

element (pvz., bedarbi , valdinink, narkoman populiacijos vis laik kinta).


Kokia turi bti imtis?

Imtys turi bti reprezentatyvios. Imtis reprezentatyvi, jei ji teisingai atspindi

tiriamo poymio galim reikmi populiacijoje proporcijas.

Toliau laikoma, kad imtis paprastoji atsitiktin grintin imtis.

Kai populiacija didel - daniausiai nra didelio skirtumo tarp grintins irnegrintins imi.


Kintamojo svoka

Populiacijos, kartu ir imties, elementus vienija tiriamasis poymis.

Matuodami poym, gauname tam tikr dyd, kuris kinta kartu su imties nariais.

is dydis vadinamas kintamuoju.


ParenkamaMatuojama

Populiacija Imtis Duomenys

Matuojam pasirinkt poym!


Matavim skals yra skaii(arba simboli) priskyrimo objektams ar

vykiams metodai.

Matavim skals: Pavadinim Rang Interval - Santyki


Pavadinim skal

prasms.

Duomen aib, gauta naudojant i skal, susideda i vard, antrai ar kategorij.- Nomen lotynikai vardas.

Objektus galima tik klasifikuoti, t.y. priskirti vienai ar kitai grupei.

Kiekvienas objektas priskiriamas vienai ir tik vienai grupei. ioje skalje aritmetins operacijos neturi

prasms. V. ekanaviius, G. Murauskas 14

Pavadinim skal Tautyb: Lietuvis, rusas, lenkas . . . Ekonomins veiklos klasifikavimas:

gamybiniai, prekybiniai, finansiniai verslai Pato indeksas: 2005,1011,

Optimistai Pesimistai Neapsisprend


Rang skal i skal naudojama tada, kai statistikas

gali nustatyti objekt tiriamo poymio, savybs skirtumus ir pagal tai juos irikiuoti eil.

Objektus galima ne tik skirstyti klases, bet ir jas sutvarkyti.


Rang skal

mokymosi lygis: vidurinis,auktasis, mokslo vardai: daktaras, hab. daktaras, varybose uimtoji vieta: 1,10, Nuomon apie sutuoktin:Nekenia Kenia Ignoruoja Mgsta Myli


Interval-santyki skal

Matavimams naudojant i skal, objektus galima ne tik klasifikuoti, tvarkyti, bet ir kiekybikai vertinti skirtumus tarp klasi.

Nulinis takas interval skalje yra laisvai parenkamas ir nereikia tiriamos savybs nebuvimo.


Interval-santyki skal Celsijaus ir Fahrenheito temperatr skals. -Nulis laipsni pasirenkamas laisvai.

-Nulis nereikia ilumos ar alio nebuvim. Kalendorinis laikas.

prie 4000m

Biblin pradia Krikionybs pradia

Islamo pradiaVII a.


Skaiiuojant statistik danai: ranginis kintamasis su 4 ir maiau

skirting rang- traktuojamas, kaip nominalus.

ranginis kintamasis su 5 rangais traktuojamas, kaip intervalinis (jam skaiiuojamas vidurkis ir pan.)


Apraomoji statistika


Apraomoji statistika leidia koncentruotaiurayti informacij, esani dideliuoseduomen masyvuose.

Todl ji gali bti naudojama ir visospopuliacijos duomenims apdoroti.

Apraomoji statistika -tai duomen sisteminimo ir grafinio

vaizdavimo metodai


Reikm x1 x2 ... xkSantykinisdanis f1/n f2/n ... fk/n

Sukauptasissantykinisdanis

f1/n (f1+f2)/n (f1+f2 + ...+fk)/n

Dani lentels

...


Duomen grupavimasNustatoma: Grupavimo interval skaiius. Grupavimo interval plotis. Interval kratiniai takai.

Grupavimo interval ilgiai vienodi, intervalai nesikerta, kiekviena kintamojo reikm patenka tik vien interval.

Duomen grupavimas


Intervalini dani lentel

Darb.sk. Danis [30,35) 1 [25,30) 4 [20,25) 6 [15, 20) 9 [10,15) 3 [5,10) 2

= 25

Skaiius Danis 30 1 29 1 25 3 20 6 19 1 18 2 17 1 15 5 14 2 13 1 5 2

Palyginkime

Intervalin Paprastoji


Grupuot duomen grafinis vaizdavimas

Grupuotiems duomenims daniausiai braioma histograma,

t.y. empirins grupuot duomen tankio funkcijos grafikas.


Cases weighted by VAR00003

VAR00002

[30,35)[25,30)[20,25)[15,20)[10,15)[5,10)

Count

10

8

6

4

2

0


Imties vidurkis (imties didumas n)

Populiacijos vidurkis (populiacijos didumas N)

VidurkisVidurkis

n

x...xxx n21

+++=

Nx...xx N21 +++=


PavyzdysDviej firm programuotoj atlyginimas:I : 1000;2000;3000;5000;9000 LtII: 4000;4000;4000;4000;4000 Lt

Atlyginim vidurkis 4000 Lt.Taiau matome, kad I firmoje yra ir dideli

ir ma atlyginim, II visi vienodi.


Imties dispersija

22n

22

21

2n

22

212

)x(1-n

n)x...xx(1-n

1

1-n)x(x...)x(x)x(x

s

+++

=++

=


Dispersijos savybs Jos privalumas yra tas, kad atsivelgiama

visus duomenis ir pateikiamas vidutinisskirtum nuo vidurkio kvadratas.

Dispersija visuomet neneigiama. Dispersija lygi nuliui tik tuo atveju, kai visi

stebjimai lygs.


Standartinis nuokrypis

Imties2s s =

2 = Populiacijos


Standartinio nuokrypio savybs

Standartinis nuokrypis matuojamas tokiais paiais vienetais kaip ir patys duomenys.

J lengviau interpretuoti ir lyginti su duomenimis nei dispersij.


Pavyzdys

Imtis: 1000,2000,3000,5000,9000 Lt Vidurkis 4000 Lt Dispersija 9750000 Lt2 Std = 3122,4989... Lt


Normalioji kreiv Empirikai nustatyta, kad daugelis

histogram yra panaios funkcijos

grafik.

= 22s

2)x-(x- exp

2ss,x

pi21


Normalioji kreiv ir histograma

Koreliacija


Koreliacijos koeficiento savybs

Koreliacijos koeficientas yra skaiius tarp -1 ir 1:

Kuo tiesin priklausomyb stipresn, tuo koreliacija toliau nuo nulio.

1Y)(X,1


Tiesin priklausomyb

Vertinimas i akies | r | < 0.3 korelicija labai silpna 0.3 < | r | < 0.5 silpna koreliacija 0.5 < | r | < 0.7 vidutin koreliacija 0.7 < | r | < 0.9 stipri koreliacija 0.9 < | r | =< 1 labai stipri koreliacija

39 V. ekanaviius, G. Murauskas

Koreliacija

40 V. ekanaviius, G. Murauskas

41

Koreliacijos koeficiento savybs Jeigu (X,Y) > 0, tai didesnius X atitiks

didesni Y), jeigu (X,Y) < 0, tai didesnius X atitiks maesni Y.

Koreliacijos koeficientas nematuojanetiesins priklausomybs.

V. ekanaviius, G. Murauskas V. ekanaviius, G. Murauskas 42

Statistins ivados

843

Statistins ivados Tikslas, ityrus imtis, padaryti ivad

apie vis populiacija. Daniausiai vertiname kakoki skaitin

charateristik: Vidutin reikm (vidurk) Proporcij Reikmi isibarstym (dispersij) Kintamj priklausomyb (koreliacij)

Jas vadinsime paramterais.

44

Tyrimo schema

Tyrimo hipotez

Statistin hipotez

Ivada

Imties tyrimas

Tyrimo hipotez

Tai yra tai, k tyrjas tikisi. Pavyzdiui,1. Kompanijoje diskriminuojami vyresnio

amiaus darbuotojai.2. Jaunimo gaujose vaikinai vidutinikai

vyresni, nei merginos.3. Nusikaltim skaiius priklauso nuo policijos

patruli skaiiaus.Tyrimo hipotezse formuluojamos moni

(kartais teisinink) kalba, be matematikos.45 46

Statistin hipotez Statistin hipotez - tai teiginys apie

populiacijos parametr (parametrus). Statistin hipotez niekada nra teiginys apie

imties statistik.

Statistin hipotez ir tyrimo hipotez -skirtingi dalykai.

Statistin hipotez nerodoma - ji priimama arba atmetama, atsivelgiant imties duomenis.

Statistin hipotez tik dalis statistinio tyrimo.

47

Statistin parametrin hipotezsudaro du alternatyvs teiginiai

Nulin hipotez H0 . Daniausiai tai teiginys, kad jokio parametr skirtumo nra.

Alternatyvioji hipotez (alternatyva) H1 .Tai teiginys, kad parametrai skiriasi.

48

Statistins hipotezs pavyzdiai:

dvipus alternatyva

vienpus alternatyva

=

180 :H180 :H

1

0

>

180 :H180 :H

1

0

949

Grieta nelygyb raoma tikalternatyvoje H1

Nordami tai pabrti raysime

o ne

>

=

180 :H180 :H

1

0

>

180 :H180 :H

1

0

PavyzdysTyrimo hipotez: Firma diskriminuoja vyresnio

amiaus darbuotojus.Duomenys: Tarkime, kad vyresni nei 60m

darbuotojai sudaro a dal vis darbuotoj. Takime p yra vyresenij dalis tarp atleistj.

Statistin hipotez:H0: p=aH1: p>a

50

PavyzdysTyrimo hipotez: Nusikaltim skaiius

priklauso nuo policijos patruli skaiiaus.Duomenys: Tarkime, kad inome kiek naktimis

budjo policijos patruli ir kiek nusikaltim vykdyta gatvse.

Statistin hipotez:H0: = 0000H1: < 0000

51

Klaid klasifikacijaKadangi imtis yra atisitktin, tai neivengiamai

galima padaryti tokias klaidas Pirmos ries klaida. Atmetame H0 , o ji

teisinga. Antros ries klaida. Priimame H0 , o ji

klaidinga.

Primena galimai klaidingus teismo (bent jau prisiekusij) sprendimus.

52

53

Pavyzdys

(gaujose vyresni vyrai)

I ries klaida - nusprsti, kad vidutinikai vyresni vyrai, nors i tikrj taip nra.

II ries klaida - nusprsti, kad vyrai nra vyresni, nors i tikrj jie vyresni.

>

=

:H :H

motvyr1

motvyr0

54

Reikmingumo lygmuo

Nemanoma abiej ri klaidas padaryti labai maomis.

Daniausiai fiksuojama pirmos ries klaidos tikimyb, kuri vadinama kriterijaus reikmingumo lygmeniu .

Kaip taisykl = 0.05.Tai reikia, kad jei jau skelbsime apie

statistikai reikming skirtum, tai garantija bus nemaesn u 95 %.

10

V.ekanaviius, G.Murauskas 55

Kriterijaus galia Tikimyb nepadaryti antros ries klaidos

vadinama kriterijaus galia ::::

P ( atmesti neteising H0 ) = Kriterijaus galia i anksto nefiksuojama.

Galingesnis tas kriterijus, kurio didesnis.


Kaip nusprendiama ar atmesti H0 Surandame statistikos reikmi srit (kritin

srit), kur esant teisingai nulinei hipotezei neturtume pakliti.

Jei imties statistika patenka kritin srtit -nulin hipotez H0 atmetame.

Kritin sritis naudojama, kai hipotezs tikrinamos, skaiiuojant rankomis.

Kai hipotezs tikrinamos statistiniais paketais, lengviau sprsti pagal

p-reikm.

57

P-reikm p - reikm yra tikimyb atmesti teising H0

suskaiiuota konkretiems duomenims.Reikmingumo lygmuo teorinis trokimas

prie analizuojant duomenis. (pasiadjimas, kad sprendimo klaidos tikimyb bus nedidesn u 5%).

P-reikm: tikimyb velti klaid konkretiems duomenims.

Gerai, kai p-reikm maa (maesn u reikmingumo lygmen).


Tegul reikmingumo lygmuo lygus , o p-reikm lygi p . Tuomet:

H0 atmetame, jeigu

H0 neatmetame, jeigu

11


Nota bene Neatmesta nulin hipotez tereikia, kad

turimi imties duomenys jai neprietarauja. Galbt tiesiog duomen per maai, kad nulin hipotez galima bt atmesti.

Statistikai reikmingas skirtumas ir tyrimo prasme reikmingas skirtumas ne tas pat. Statistikai reikmingu gali bti pripaintas ir labai maas skirtumas vien todl, kad duomen labai daug.


Parametrinio kriterijaus sudarymo ir taikymo etapai:

Udavinio formulavimas.Tikimybinio modelio parinkimas.Statistins hipotezs uraymas.Kriterijaus taikymas. Ivad formulavimas.


Hipotez apie vidurkio lygyb skaiiui

Stjudento t-testas vienai imiai


Duomenys Viena intervalini duomen imtis

(x1,x2,,xn) gauta matuojant normalj atsitiktin dyd

X~N(, , , , 2 2 2 2 )))) dispersija 2222 neinoma.


Statistin hipotez:

(hipotez formuluojama populiacijai)

=

a :Ha :H

1

0


H0 atmetame (vidurkis stat. reikmingaiskiriasi nuo a , jei

H0 neatmetame (vidurkis stat. reikm. nesiskiria nuo a), jei

ia - reikmingumo lygmuo

Statistin ivadasu p - reikme

p

p

12


Pavyzdys krepinio sirgalius igr 1.1; 2; 3; 0; 0.5;

1; 5; 4; 2; 1.5; 0.5 l alaus. ar vidutinis igerto alaus kiekis stat.

reikmingai skiriasi nuo 1 l? taigi, bandome atsiriboti nuo

pasiteisinim, kad ia jau taip ijo, o tai apskritai tai ...


Statistin hipotez:

>

=

1 :H1 :H

1

0

69

Stjudento t kriterijus,taikomas nepriklausomoms

imtims

70

Dvi imtys, gautos matuojant nepriklausomus kintamuosius.

Imi didumai gali skirtis. vienaip t-kriterijus taikomas, kai

dispersijos lygios ir kitaip, kai ne. aptarsime abudu atvejus.

71

Duomenys Dvi intervalini duomen imtys

(x1,x2,,xn) ir (y1,y2,,ym) gautos matuojant du nepriklausomus normaliuosius atsitiktinius dydius

X~N(X, , , , 2 2 2 2 )))) ir Y ~N(Y, , , , 2 2 2 2 )))) , Vidurkiai X , Y ir

dispersija 2222 neinomi.

72

Statistin hipotez:

H0: x = y

H1: x = y

(hipotez formuluojama populiacijoms)

13

73

H0 atmetame (vidurkiai stat. reikmingaiskiriasi) , jei

H0 neatmetame (vidurkiai stat. reikm. nesiskiria), jei


Statistins ivados su p - reikme

p <

p >=

74

Pavyzdys keli magistrai ir keli fuksai balais vertino

idj egzamino paym leisti suinoti tik paiam laikaniam studentui.

magistrai: 7,6,5,8,9,10,9,8,7,6 fukseliai: 5,6,7,6,5,4,8,2,5,6 Ar apklaust magistr ir fuks nuomons

skiriasi statistikai reikmingai? (t.y. ar galima laikyti, kad vis magistr ir

vis fuks nuomons skiriasi)

75

Statistin hipotez:

H0: M = F (vertina vienodai)H1: M = F (vertina nevienodai)


76

Stjudento t kriterijus,taikomas priklausomoms

imtims(porinis t testas)

77

Dvi imtys, gautos matuojant priklausomus kintamuosius.

Imi didumai vienodi. Galima sivaizduoti, kad kiekvienam

respondentui turime matavim poras (x,y).

Danai duomenys gaunami dukart imatavus t pat respondent.

78

Tiriame: Ar dieta buvo efektyvi. Ar knygas respondentai skaito trumpiau,

nei iri TV. Ar student IQ met pradioje buvo

didesnis, nei pabaigoje. Ar vyresnieji vaikai labiau link prisiimti

atsakomyb, nei j broliai ar seserys.Visais atvejais dukart matuojame tuos paius respondentus.

14

79

Duomenys Intervalini duomen poros (x1,y1),

(x2,y2),, (xn,yn) gautos matuojant du priklausomus normaliuosius atsitiktinius dydius

X~N(X, , , , X2 2 2 2 )))) ir Y ~ N(Y, , , , Y2 2 2 2 )))) , Vidurkiai X , Y ir

dispersijos X2222 , Y2222 neinomi.

80

Statistin hipotez:

H0: x = y

H1: x = y


81

H0 atmetame (vidurkiai stat. reikmingaiskiriasi) , jei

H0 neatmetame (vidurkiai stat. reikm. nesiskiria), jei


Statistins ivadossu p - reikme

p <

p >=


Hipotez apie koreliacijos koeficiento lygyb nuliui

Ar du kintamieji koreliuoja


Pavyzdiai Ar studentai tuo geriau mokosi, kuo

daugiau turi pinig? Ar geresniais balais stoj, geriau ir po

to mokosi? Ar IQ ir igeriamo alkoholio kiekis

susijs? Visais atvejais skaiiuojame ar

kintamieji koreliuoja. V. ekanaviius, G. Murauskas 84

Duomenys Intervalini duomen poros (x1,y1),

(x2,y2),, (xn,yn) gautos matuojant du priklausomus normaliuosius atsitiktinius dydius

X~N(X, , , , X2 2 2 2 )))) ir Y ~ N(Y, , , , Y2 2 2 2 )))) , Vidurkiai X , Y ir

dispersijos X2222 , Y2222 neinomi.

15


Statistin hipotez:

=

0 :H0 :H

1

0


Statistin hipotez:

koreliuoja :Hjanekoreliuo :H

1

0


H0 atmetame (kintamieji stat. reikmingaikoreliuoja, jei

H0 neatmetame (kintamieji stat. reikm. nekoreliuoja), jei



p

p =

30


pakartojame regresijos model be tartino kintamojo.

jei R2 reikm nedaug sumajo, kintamj i modelio paaliname,

jei R2 reikm daug sumajo, kintamj modelyje paliekame.

K daryti su tartinais kintamaisiais?


Multikolinearumas Tai situacija, kai tarp x- yra stipriai

koreliuojani. Tada informacija apie vien x- atsispindi

kituose ir is x-as modelyje nelabai reikalingas.

Modelyje gali atsirasti keist priklausomybi. Modelio prognozs tampa nestabilios

(papildomas stebjimas gali labai pakeisti regresijos funkcij).


Multikolinearumas

Y

X1 X2 X3


PavyzdysFailas World95, kintamieji : LITERACY (rating moni

procentas). LIFEXPF (vidutin moter gyvenimo

trukm). LIFEXPM (vidutin vyr gyvenimo

trukm).Tirsime ar valstybs ratingum takoja

vyr ir mot. gyvenimo trukms.


Pavyzdys: GaunameR2 = 0.799, ANOVA p-reikm 0.Gauname regresijos lygtLITERACY = -39 +

+ 4.39 * LIFEXPF - 2.94 * LIFEXPMTaigi, valstybs kur moterys ilgiau gyvena

- ratingesns (daugiklis + 4.39 ).O valstybs, kur vyrai ilgiau gyvena -

maiau ratingos (daugiklis - 2.94).


Pavyzdys: Ivada

moterims skaityti sveika (ratingose valstybse ilgiau gyvena),

o vyrams skaityti nesveika (ratingose valstybse trumpiau gyvena).

Ivada neteisinga! Aiku, kad isivysiusiose valstybse (taigi ir ratingose) ir vyrai ir moterys gyvena ilgai.

31


Jeigu prognozuotume ratingum tik pagal vien kintamj, gautume:LITERACY = -50 +1.9 * LIFEXPMirLITERACY = -52 + 1.8 * LIFEXPF.

Viskas tvarkoje! Priklausomyb teisinga.


Abu kintamieji stipriai koreliuoja:Koreliacija tarp LIFEXPM irLIFEXPF yra 0.98! Turime kintamj multikolinearum. Moralas: daug x- nebtinai gerai. Tai k daryti? Paalinti vien kintamj, arba imti

abiej vidurk.


Kaip nustatyti multikolinearum:

Tikriname ar dispersijos majimo daugiklis (VIF) nra didelis.

Blogai, kai VIF>4. Pavyzdyje VIF>28. Kartais VIF bna ir maesnis, bet

regresijos lygtis atrodo keistai. Patarimas: Pasiskaiiuoti ir atskir

x- bei y koreliacijas. V.ekanaviius, G.Murauskas 184

PseudokintamiejiNors iaip visi X-ai turi bti intervaliniai,

kartais model traukiamas ir kategorinis kintamasis.

Taip daroma, jei maoka duomen ir manome, kad visoms kategorijoms

regresijos funkcija skiriasi tik per konstant.

Kintamasis vadinamas pseudokintamuoju ir specialiai koduojamas.


Pvz., manome, kad buto ploto ir kainos priklausomyb dviejuose rajonuose yra

madaug vienoda, tik yra rajono antkainis.


Pseudokintamj kodavimas: Jei kintamasis dvireikmis, jo reikmes

koduojame 0 ir 1. Jei kintamasis trireikmis, tai traukiame

du pseudokintamuosius- abu gyja tik dvi reikmes 0 ir 1.

pvz. 0 ir 0 atitiks pirm rajon, 0 ir 1 atitiks antr rajon, o 1 ir 0 - trei.

pseudokintamj vienu maiau, nei reikmi - nenaudojame 1 ir 1.

32


Pseudokintamj naudojimas Regresijos funkcij konkreiai

kategorijai gaunama i bendrosios funkcijos staius pseudokintamojo reikm.

Pvz.Kaina= 20+1.2 * plotas+ 5 * pseudo bus Kaina=25+ 1.2 * plotas, vienam

rajonui ir Kaina=20+ 1.2 * plotas, kitam rajonui.


Standartinis tyrimas: R2 , ANOVA, t-testai, VIF ir grafikai

pads nustatyti reikalingus X-us. R parodys, kaip Y priklauso nuo vis

X- ikart. B-koeficientai pads sudaryti regresijos

funkcij. Beta-koeficientai pads nustatyti, kurie

kintamieji svarbesni.


Pastabos:

Kai priklausomyb netiesin danai naudojamos transformacijos (pvz. X2paymime nauju kintamuoju X-u).

Yra ir specialus regresijos metodas -ingsnin regresija (step-wise), kai kintamieji traukiami funkcijos lygt po vien, atsisakant maai taking.

Neparametriniai kriterijai dar vadinami ranginiais kriterijais; nereikalauja kintamj normalumo; tinka maoms imtims; maiau galingi, nei parametriniai; lygina skirstinius, todl kiek sunkiau

interpretuojami (pvz. nebus ivad apie vidurkius).

2 kriterijus irgi neparametrinis;

Tipika dvipus hipotez

H0 : X ir Y skirstiniai nesiskiria H1 : X ir Y skirstiniai skiriasi

Pvz.: H0 : psichologai ir sociologai vienodai

gerai ilaiko statistik. H1 : nevienodai

33

Tipika vienpus hipotez

H0 : X ir Y skirstiniai nesiskiria H1 : X skirstinys links gyti maesnes

reikmes u Y.

X Y

Rangavimas priskiriame imties elementui jo didum

atitinkani viet - rang.

X Y

54321Rangas54321..

9021201713ImtisNrEil

Rangavimas

kai imties elementai sutampa, jie gauna vienod rang.

545.25.21Rangas54321..


5.22

32=

+

Rangavimas kai imties elementai sutampa, jie gauna

vienod rang.

vis rang suma lygi 1+2++n=n(n+1)/2.

53331Rangas54321..



Mann - Whitney kriterijus


Mann-Whitney kriterijus1. Stjudento t kriterijaus

nepriklausomoms imtims analogas;2. bet nelygina vidurki;3. lygina skirstinius;4. kuris kintamasis links bti didesniu

parodo didesnis vidutinis rangas.

34


Duomenys1. dvi nepriklausomos imtys, gautos

matuojant intervalinius arba ranginius kintamuosius.

2. imi didumai gali skirtis.3. skirting ranginio kintamojo reikmi

turi bti bent 5.


Statistin hipotez:

H0 : kintamj skirstiniai nesiskiriaH1 : kintamj skirstiniai skiriasi.


Kriterijaus idja: Visas lyginam kintamj reikmes

suraome vien variacin eilut. Suranguojame t eilut. Lyginame kiekvienos imties element

vidutinius rangus. Didesnis rangas- 'kintamasis links

bti didesniu'.


Kriterijaus idja: X: 12,14; Y: 3,15,20

Vidutiniai rangai:

Y 'link bti didesniais' u X.

54321201514123YYXXY

33.33

541 :Y ,5.2

232

:X =++=+


H0 atmetame (kintamj skirstiniai stat. reikmingai skiriasi), jei

H0 neatmetame (kintamj skirstiniai stat. reikm. nesiskiria), jei



p

p

zstat teorija (bonus) cekanavicius murauskas

Documents