( 2011 ) א עשתה ביבא רטסמסchem.ch.huji.ac.il/sandy/amirphyschema/lecturenotes/tirgul...

10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

) 2011 (א "התשעסמסטר אביב

1

) 69163(' כימיה פיסיקלית א

: רקע מתמטי–תרגול מקדים

משוואות דיפרנציאליות

החוג לכימיה

המכון לכימיה

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


2

" על כתפי ענקי"

"Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater".

Albert Einstein (1879-1955), German/American Physicist.

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


3

נושאי התרגול

. הגדרת משוואות דיפרנציאליות וסיווגים נפוצים1.

חשיבות המשוואות הדיפרנציאליות ושימושיהן 2.. בענפים שונים במדעי הטבע

). משוואות קצב של ריאקציות(הקשר לקורס שלנו

.שיטות פיתרון למשוואות דיפרנציאליות פשוטות3.

גם (יישום לפיתרון משוואות קצב לריאקציות כימיות 4.). בתרגיל הבית

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


4

– משוואה דיפרנציאלית

משוואה המקשרת בין פונקציה

הנגזרות שלה , לא ידועה

לפחות נגזרת בודדת ביחס (

והמשתנה ) לאחד מן המשתנים

. של הפונקציה

פיתרון של משוואה שכזו הוא

ידועה-מציאת הפונקציה הלא

בכל שמקיימת את המשוואה

. התחום המבוקש

? מהי משוואה דיפרנציאלית

( , , ', '',...) 0F x y y y =

: דוגמאות

( )2 2

3

(1) ''( ) 3 '( ) 5 6

2 ( )(2) '( )

y x y x x x

y xy x x

x

+ = − +

= −

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


5

משוואות דיפרנציאליות מול משוואות אלגבריות

פיתרון המשוואה

x ייקרא פיתרון של

המשוואה אם בהצבתו

נקבל זהות מספרית בין שני

. אגפיה

x=2 - וx=3: למשל

) 1(במשוואה

תיקרא פתרון של y(x)פונקציה

המשוואה אם בהצבת הפונקציה

לשני אגפי המשוואה נקבל זהות

xנכונה לכל , כלומר(אלגברית

).בתחום

) 2(במשוואה : למשל

דוגמאות

סוג המשוואה

התכונה

משוואות דיפרנציאליות משוואות אלגבריות

2(1) 5 6

5 6 8(2)

2 12 5

x x

x y

x y

− = −

+ =

− = −

( )2 2

3

(1) ''( ) 3 '( ) 6

2 ( )(2) '( )

y x y x x

y xy x x

x

+ = +

= −

?23: 3 5 3 6x = − ⋅ =−

?22 : 2 5 2 6x = − ⋅ =−

416

( )y x x=

?3 32 4

3 6

413 3 36 2

3

'( )

22 ( )

x x y x

xy xx x x

x x

= = =

⋅− = − =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


6

משוואות דיפרנציאליות מול משוואות אלגבריות

משמעות הפיתרוןשוויון מספרי בין שני

. הצדדים

הביטויים משני הצדדים זהים

! שנציב תחום הרלוונטי xלכל

קיום הפיתרון

משוואה אלגברית מוגדרת

מספרים (מעל שדה מסוים

).'מרוכבים וכו, ממשיים

למשוואה , מעל לשדה נתון

אינסוף , יש פתרון בודד

פתרונות או שאין פתרונות

.כלל

כ קיימת משפחה "בד

של פתרונות ) אינסופית(

.למשוואה דיפרנציאלית

לפתרון להצטמטםעל מנת

עלינו לספק תנאים , יחיד

). שפה/תנאי התחלה(נוספים

סוג המשוואה

התכונה

משוואות דיפרנציאליות משוואות אלגבריות

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


7

אינטואיציה פיסיקלית

שיפוע הגרף של ההעתק כתלות (המהירות היא הנגזרת בזמן של ההעתק •

: ועל כן המשוואה הדיפרנציאלית הרלוונטית היא, )בזמן

): משוואת התנועה של הגוף(פיתרון המשוואה עבור מהירות קבועה •

קיבלנו משוואה של אינסוף פתרונות למשוואה , בהיעדר ידע אודות הקבוע •

). ערכי שונים(

מיקום הגוף בתחילת התנועה , למשל, תנאי ההתחלה של שאלה זו יהיה•

)t=0 :(

. נקבל פיתרון יחיד למשוואה, בהינתן קבוע זה•

תנאי התחלה ותנאי שפה

dxx v

dt= =

0( )x t x vt= +

0( 0)x t x= =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


8

←הנגזרת של קבוע הינה אפס •. למשוואות דיפרנציאליות רבות יש אינסוף פתרונות

עלינו ) או מספר פתרונות מוגבל(על מנת לקבל פיתרון בודד •תנאים אלו מגבילים . תנאי שפה או תנאי התחלהלספק גם

, את משפחת הפתרונות האפשריים למשוואה דיפרנציאלית.ונותנים פיתרון בודד בדרך כלל

תנאי התחלה או שפה הם ערכים נתונים של הפונקציה או של •. בנקודות מסוימותנגזרתה


לכל משוואה דיפרנציאלית יש לספק מספר תנאי : הכלל

כלומר כסדר הנגזרת הכי גבוהה , התחלה כסדר המשוואה

.המופיע בה

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


9

:ההבדל בין תנאי התחלה לתנאי שפה

הם תנאים הניתנים עבור אותו הערך של תנאי התחלה•

. למשל , תלוי -המשתנה הבלתי).t=0מיקום הגוף ומהירותו בזמן (

הם תנאים הניתנים במספר ערכים של המשתנה תנאי שפה•

. למשל , תלוי -הבלתי). מיתר התפוס בשני קצותיו או מיקום הגוף ומהירותו בשני זמנים שונים(


הפיתרון של המשוואה הדיפרנציאלית היא הפונקציה , בכל מקרה

y(x) זמנית הן פיתרון למשוואה והן מקיימת את כל - המהווה בו

).מן הפונקציה" דרישות ("התנאים המוגדרים עליה

( 0) & '( 0)y x y x= =

( 0) & '( 4)y x y x= =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


10

)partial( מול חלקיות ) ordinary( רגילות . 1

הפונקציה הנעלמת היא של משתנה בודד והנגזרות – רגילה

). ביחס למשתנה זה(הן נגזרות מלאות

והנגזרות המופיעות , הפונקציה של מספר משתנים– חלקית.הן נגזרות חלקיות

סיווג משוואות דיפרנציאליות

2 22

22 2

( , ) ( , )15 6 ( ) . ( )dy x t x t

xy x ODE Vs PDEcdx x t

ψ ψ∂ ∂+ = =

∂ ∂

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


11

)order(סדר המשוואה . 2

. סדר הנגזרת הגבוהה ביותר– סדר המשוואה

.nר מסדר " מד -


( )[ , ( ), '( ),.... ( )] 0nF t u t u t u t =

dykx

dx= −

2

2

( )d x tm kx

dt= −

2סדר 1סדר

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


12

ליניאריות . 3

מכילה את הפונקציה ונגזרותיה –משוואה ליניארית

.בחזקה ראשונה בלבד


( ) ( 1)

0 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n

na t y a t y a t y g t−+ + + =

'( ) ( ) ( )y x p x y q x+ =2'( ) ( ) ( )y x g x y q x+ =2 2

: 1

2 2sin 0 0linearizationd dg g

L Ldt dt

θθ θθ θ<<+ = → + =

ליניאריות -לא ליניאריות

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


13

) הגדרה שונה בסדר ראשון(הומוגניות . 4

משוואה שלא כוללת איברים שאינם כוללים את – הומוגנית

")איברים חופשיים ("הפונקציה או נגזרותיה


'' 4 ' 3 0y y y+ − ='' 4 ' 3 6y y y x+ − =

הומוגנית-לא הומוגנית

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


14

סווג את המשוואות הדיפרנציאליות הבאות : דוגמה


ליניארית 2חלקית

ליניארית -לא2רגילה

ליניארית 2חלקית

ליניארית -לא3רגילה

סדר חלקית/רגילה המשוואה

ליניאריות המשוואה

23

2 0.5

33 12 xd y

y yedx

−− =

2 2

2 25 6

u t

∂ Ω ∂ Ω− Ω =

∂ ∂

( )2'' 6 12y y− =

22

2

( , ) ( , )( ) ( , )

2

x t x tV x x t i

m x t

ψ ψψ

∂ ∂− + =

∂ ∂

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


15

חשיבות המשוואות הדיפרנציאליות במדעי הטבע

למשוואות הדיפרנציאליות שימושים רבים מאוד בתחומי מדעי •

). כימיה ומדעי החיים, פיסיקה(הטבע השונים

רבים מן העקרונות והחוקים הבסיסיים המסבירות התנהגויות •

בתחום מדעי הטבע הם קשרים המערבים קצבים של

. התרחשות תהליכים

). נגזרת לפי הזמן(שינוי של תכונה כתלות בזמן : קצב

בצורה מתמטית קשרים אלו מבוטאים בדרך כלל , לכן

כלומר משוואות , כמשוואות של הקצבים ושל הנגזרות

. דיפרנציאליות

גידול אוכלוסיות

מעגלים חשמליים

משוואת שרדינגר

משוואת החום והדיפוזיה

משוואת הגלים

משוואות התנועה ( ) xdp

F xdt

=

2 2

22 2

( , ) ( , )1x t x t

cx t

ψ ψ∂ ∂=

∂ ∂

2( , )( , )

u x tu x t

tκ

∂= ∇

∂2

2 ( , ) ( , )2

r t E r tm

ψ ψ− ∇ =

( )1''( ) '( ) ( )E tRq t q t q t

L LC L+ + =

2'y ry ky= −

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


16

של תהליכים קינטיקההקורס שלנו עוסק ב

מהו (כלומר בקצב של תהליכים כימיים , כימיים

מה הגורמים הקובעים אותו ? הקצב של תהליך

).'וכו?

משוואות המשוואות שיתארו את הקצב יכונו

אלו הן משוואות דיפרנציאליות . קצב

)שינוי ליחידת זמן= קצב (

כגון אלו , חוקי קצב במקרים רבים ניתקל ב

.המופיעים משמאל

מסדר ראשון ר"מדב, אם כן, בקורס זה נעסוק

). בזמןהצורוןשינוי הריכוז של (

? ומה לנו ולמשוואות דיפרנציאליות

[ ]?

d A

dt=

2

0.5 1

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

d Ak A

dt

d Ak A B

dt

− =

− =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


17

. לא קיימת שיטה לפיתרון משוואות דיפרנציאליות כלליות•

בפרק זה נציג מספר שיטות פשוטות ושימושיות לפיתרון •). במקרים ספציפיים(ר "מד

: ביצוע אינטגרציה על המשוואהכל שיטות הפיתרון מערבות . משוואה רגילה←) עם נגזרות(משוואה דיפרנציאלית

היא שיטה שניתן ליישמה ) הפרדת משתנים(השיטה הראשונה –.במשוואות שונות

. שאר השיטות שנלמד מיועדות לפתרון משוואות מסדר ראשון בלבד–

? אי פותרי משוואות דיפרנציאליות

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


18

י הצבה" בדיקת פיתרו ע

. או שניתן לנחש פתרון על סמך היגיון פיסיקליר "למדלעתים נתון פתרון

.י הצבה"ע? איך בודקים אם פיתרון מוצע הוא נכון

''( ) 9 0y x y+ =

1 2

1 2

( ) cos(3 ) sin(3 )

, .

y x c x c x

c c const

= +

=

: המשוואה הדיפרנציאלית

:הפיתרון המוצע

:1' דוגמה מס הרמוניאוסצילטור משוואת

: י הצבה"בדיקה ע

( )1 2

1 2

1 2

( ) cos(3 ) sin(3 )

'( ) 3 sin(3 ) cos(3 )

''( ) 9( cos(3 ) sin(3 )) 9 ( )

y x c x c x

y x c x c x

y x c x c x y x

= +

= − +

= − − = −

''( ) 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 0y x y x y x y x+ = − + =

חישוב הנגזרות ) 1(

הצבה במשוואה) 2(

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


19

י הצבה" בדיקת פיתרו ע

. או שניתן לנחש פתרון על סמך היגיון פיסיקליר "למדלעתים נתון פתרון

.י הצבה"ע? איך בודקים אם פיתרון מוצע הוא נכון

''( ) 9 0y x y+ =

3( )

.

y x cx

c const

=

=

: המשוואה הדיפרנציאלית

:הפיתרון המוצע

:2' דוגמה מס הרמוניאוסצילטור משוואת

: י הצבה"בדיקה ע

3

2

( )

'( ) 3

''( ) 6

y x cx

y x cx

y x cx

=

=

=

3''( ) 9 ( ) (6 9 ) 0y x y x c x x+ = + =

חישוב הנגזרות ) 1(

הצבה במשוואה) 2(

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


20

:הצורה הכללית של המשוואה

שיטות לפתרו משוואות דיפרנציאליות)Separable Equations( משוואות הניתנות להפרדת משתנים . 1

'( ) ( ) ( )y x g x U y= ⋅

( ) ( ) 0M x dx N y dy+ =

: ניתן להפריד בין

x - כל האיברים הקשורים ל

. y -לבין כל האיברים הקשורים ל

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


21

הפרדת אגפים בין -א, ונגזרתה הפונקציה - y -כל מה שקשור ל

.x -לבין כל מה שקשור ל

.ביצוע אינטגרציה לשני חלקי המשוואה-ב

הכוללת קבוע אינטגרציה , עד עתה קיבלנו את משפחת כל הפתרונות-ג. שרירותי

נציב אותו ונקבל את הפתרון היחיד למשוואה , אם נתון תנאי התחלה.עם תנאי ההתחלה


)אינטגרציה ישירה( שיטת הפיתרון

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


22

השאלה

: .נתונה הריאקציה

: בכלי התגובה כתלות בזמןAהמשוואה הבאה מתארת את ריכוזו של חומר

[A]=[A](t) .

: בכליAבהינתן ריכוזו התחילי של , פתור את המשוואה הבאה

אנו נלמד מושגים אלו כבר בשבוע . מסדר ראשוןאלמנטריתהריאקציה המתוארת מכונה ריאקציה : הערה

". קבוע הקצב של הריאקציה"המכונה , )מספר( הוא קבוע k. הבא


משוואה קינטית מסדר ראשון–' דוגמה א

A B→

[ ]( )[ ]( )

d A tk A t

dt= −

0[ ](0) [ ]A A≡

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


23

הפיתרון

. המשוואה ניתנת להפרדת משתנים

:קל לראות זאת אם רושמים אותה בצורתה הדיפרנציאלית

. הפרדת משתניםהצורה הימנית של המשוואה מכונה

. כל מה שנותר לבצע הוא אינטגרציה על שני הצדדים, כעת



1 [ ][ ] 0

[ ] [ ]

d Ad A kdt or kdt

A A+ = = −

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


24



הפיתרון הכללי

): מופרדת(המשוואה בצורה דיפרנציאלית

:ביצוע אינטגרציה על שני הצדדים

: (t)[A]מקבלים פיתרון לא מפורש של

(t)[A] -רישום הפיתרון המפורש ל

.י לקיחת אקספוננט לשני הצדדים"ע

:סימון

ln[ ]

1 [ ][ ]

1 [ ][ ]

ln[ ]

[ ] ,

[ ]

A kt C C kt kt

kt

d A kdtA

d A kdtA

A kt C

e A e e e D e

A D e

− + − −

−

= −

= −

⇓

= − +

⇓ = = ⋅ = ⋅

= ⋅

∫ ∫

Ce D≡

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


25



הפיתרון עם תנאי ההתחלה

. הפיתרון הכלליפיתרון זה מכונה ). עם קבוע(קיבלנו את הפיתרון ללא תנאי ההתחלה , עד עכשיו

. הפיתרון הכללי עם תנאי ההתחלהונקבל את , כעת נוסיף את תנאי ההתחלה

:הפיתרון הכללי הוא אקספוננט דועך

:t=0 -נציב את תנאי ההתחלה הנתון ל . tהמשוואה מתארת את הפיתרון בכל זמן

:ולכן נקבל את הפיתרון הכללי עם תנאי ההתחלה למשוואה זו

[ ]( ) ktA t D e

−= ⋅

!0

0 0[ ]( 0) [ ] [ ]kA t D e D A D A

− ⋅= = ⋅ = = ⇒ =

0[ ]( ) [ ] ktA t A e

−= ⋅

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


26



הצגה גרפית של הפיתרון

: תזכורת לצורה הגרפית של אקספוננט דועך0[ ]( ) [ ] kt

A t A e−= ⋅

[A0] k

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


27



י הצבה"בדיקת הפיתרון ע

:עבור המשוואה: הפיתרון הכללי עם תנאי ההתחלה

: נציב את הפיתרון במשוואה ונבדוק

! רואים כי הפיתרון הכללי נכון

): טריויאליזה (מובן שניתן לבדוק גם את תנאי ההתחלה

. הפיתרון הכללי של המשוואה עם תנאי ההתחלההפונקציה המוצעת היא , ואכן

0

[ ]( )[ ]( )

[ ](0) [ ]

d A tk A t

dt

A A

= − ≡

0[ ]( ) [ ] ktA t A e

−= ⋅

0

0

0 0

[ ]( ) [ ]

[ ]'( ) [ ] [ ]( )

?[ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]

kt

kt

kt kt

A t A e

A t k A e k A t

d A tk A e k A t k A e

dt

−

−

− −

= ⋅

= − ⋅ = −

⇓

− ⋅ = =− = − ⋅

0

0 0[ ]( 0) [ ] [ ]kA t A e A− ⋅= = ⋅ =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


28

השאלה

: פתרו את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה עם תנאי ההתחלה הנתון


'דוגמה ב

3' 5

(0) 4

y xy

y

− =

=

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


29

: הפיתרון הכללי


'דוגמה ב

3 3

3

(integrate both sides)

3

(solutions to integrals)

' 5 /

' 5

5

y xy y

y y x

y dy xdx

−= ⋅

=

⇓

=

⇓

∫ ∫

4 2514 2

(explicit solution)

24

(C is an aribtrary constant. let's sign: C'=4C)

24

10 4

10 '

y C x

y x C

y x C

+ =

⇓

= +

⇓

= +

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


30

. ניתן להציב את תנאי ההתחלה בתוך הפיתרון בשתי דרכים:הפיתרון הפרטי


שתי דרכים לקבלת הפיתרון הפרטי–' דוגמה ב

( )

( )

14

14

24

4

4

the general solution: 10 '

(0) ' 'comparison to initial value:

(0) 4

yields: ' 4 ' 4 256

y x C

y C C

y

C C

= +

= =

=

= ⇒ = =

24 10 256y x= +

: הפיתרון הכללי עם תנאי ההתחלה

ואז הצבה) השארת קבוע אינטגרציה(קבלת הפיתרון הכללי : ' שיטה א

: נדגים אותה שוב. זוהי השיטה שבה נקטנו בדוגמה הקודמת

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


31


שתי דרכים לקבלת הפיתרון הפרטי–' דוגמה ב

) ביצוע אינטגרל מסוים( הצבת גבולות אינטגרציה : 'שיטה ב

: ל שני צידי המשוואהדרך אלטרנטיבית היא להציב גבולות לאינטגרל בשלב ביצוע האינטגרציה ע

( )

3

(0) 4 0

5

y x x

y x

y dy xdx= =

=∫ ∫: שימו לב

בה מציבים גבולות , כאשר עובדים בשיטה זו

יש להתאים את , אינטגרציה בהתבסס על תנאי השפה

. כפי שהודגם, הגבולות משני צידי המשוואה

( ) ( )

(solutions to definite integrals)

4 4 2 2514 2

(explicit solution)

24

4 0

10 256

y x

y x

⇓

− = −

⇓

= +

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


32

: הצורה הכללית

–מבחינים בין שתי שיטות רישום שונות

): standard form( הצורה הסטנדרטית

): differential form( הצורה הדיפרנציאלית

שיטות לפתרו משוואות דיפרנציאליותמשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

'( ) ( , ) ( , )dy

y x f x y or f x ydx

= =

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


33

: משוואות ליניאריות מסדר ראשון

: הצורה הכללית ביותר של משוואות אלו היא

: כאשר

p(x);q(x) – פונקציות נתונות של המשתנה x .

: נציג שתי שיטות לפיתרון משוואות כאלו

). Integration Factor(פיתרון בעזרת גורם אינטגרציה 1.

. הומוגני -הפרדה לחלק הומוגני ולא 2.

שיטות לפתרו משוואות דיפרנציאליותמשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

' ( ) ( )y p x y q x+ =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


34

ר ליניאריות מסדר ראשו "שיטות לפתרו מד)Integration Factor(פיתרון בעזרת גורם אינטגרציה . 2

' ( ) ( )y p x y q x+ =

שיטת הפיתרון

: .כלומר. F(x) -נסמנה ב; p(x) -מציאת הפונקציה הקדומה ל- א

אנו ). פיתרון לאינטגרל לא מסוים(כמובן שישנן אינסוף פונקציות כאלו : הערה

. נבחר בפיתרון הפשוט ביותר

.: הגדרת פונקצית העזר-ב

: י"פיתרון המשוואה הדיפרנציאלית נתון ע -ג

'( ) ( )F x p x=

( )( )( )p x dxF x

x e eµ ∫= =

( ) ( )( )

( )

q x x dxy x

x

µ

µ

⋅= ∫

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


35

:נשים לב כי הנגזרת של פונקצית העזר מקיימת

: נקבל את הצורה לפיתרון הכללי של המשוואה , בעזרת תכונה זו


הסברים -שיטת הפיתרון

( ) ( ) ( )

( ) ( )

'( ) ' '( ) ( ) ( )F x F x

x p x

x e e F x p x xµ

µ µ= =

= = = ⋅

[ ]

(multiplying both sides by ( ))

'( ) (see above)

( ) ( ) ' (chain rule)

' ( ) ( )

' ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' ( ) '( ) ( ) ( )

x

x

x y x

y p x y q x

y x p x x y q x x

y x x y q x x

µ

µ

µ

µ µ µ

µ µ µ

+ =

⇓

⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ + ⋅ = ⋅

[ ](definitions of derivatives and integrals)

( ) ( ) ' ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

x y x q x x

x y x q x x d

q x x dxy x

x

x

µ

µ

µ µ

µ µ

= ⋅

⇓

=

⋅

⋅

=

⇓

∫

∫

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


36


דוגמה

השאלה

:פתרו את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה עם תנאי ההתחלה הנתון

' 5 2

(0) 4

y y x

y

+ =

=

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


37


דוגמה

הפיתרון

:המשוואה היא ליניארית מסדר ראשון

: בסימון שלנו

: מתקיים

' 5 2y y x+ =

' ( ) ( )y p x y q x+ =

( ) 5

( ) 2

p x

q x x

=

=

:חישובי עזר

:p(x) -מציאת הפונקציה הקדומה ל . א

:י"הגדרת פונקצית העזר ע . ב

( )xµ

( ) ( ) 5 5F x p x dx dx x= = =∫ ∫

( ) 5( ) F x xx e eµ = =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


38


דוגמה

הפיתרון

: י הנוסחה הכללית שמצאנו"הפיתרון הכללי נתון ע

: נציב, על מנת לקבל את הפיתרון לתנאי ההתחלה הנתון

:והפיתרון הכללי עם תנאי ההתחלה

( )

integration by parts5 5(example # 2 in part A)

5 5

2 '5 5 51 1 2 1

5 25 5 55

( ) ( ) 2 2( )

( )

2 ' ( )

x x

x x

C Cx x x

x

q x x dx x e dx x e dxy x

x e e

x e e C x Cee

µ

µ=

−

⋅ ⋅ ⋅= = = =

= ⋅ − + = − +

∫ ∫ ∫

(0) 4y =

5 02 1 25 5 25

10225

4 ( 0) (0 )

4.08

y x Ce C

C

− ⋅= = = − + = − +

= =

51022 15 5 25

( ) ( ) xy x x e

−= − +

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


39

ר ליניאריות מסדר ראשו "שיטות לפתרו מדהומוגני -הפרדה בין חלק הומוגני ללא . 3

שיטת הפיתרון

, : בה, פותרים קודם את המשוואה ההומוגנית •

: . כלומר המשוואה

. - בנסמנו . הפיתרון הכללי ההומוגני הפיתרון המתקבל מכונה

. פיתרון זה כולל את קבוע האינטגרציה השרירותי

: . מוצאים פיתרון למשוואה הכללית , לאחר מכן•

. - בנסמנו . הומוגני-פיתרון פרטי לחלק הלא הפיתרון המתקבל מכונה

: י " נתון עהפיתרון הכללי של המשוואה עם תנאי ההתחלה •

( ) 0q x =' ( ) 0y p x y+ =

( )Hy x

' ( ) ( )y p x y q x+ =

( )P

y x

( ) ( ) ( )H Py x y x y x= +

' ( ) ( )y p x y q x+ =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


40


' ( ) ( )y p x y q x+ =

...) המשך ( שיטת הפיתרון

:הערות המשוואה ההומוגנית קלה יחסית לפיתרון היות והיא ניתנת להפרדת •

. משתנים

). הומוגנית-הלא (לא פתרנו דבר היות שחזרנו למשוואה התחילית , לכאורה•

וחוזקה של השיטה , פעמים רבות קל יחסית לנחש פיתרון פרטי , למעשה

. בכך שניתן לנחש פיתרון פרטי כרצוננו

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


41


הסברים -שיטת הפיתרון

ועל כך שתכונת הגזירה היא , הפיתרון מבוסס על כך שהמשוואה היא ליניארית

?מדוע : . כלומר מקיימת , ליניארית

:לכן: . נניח כי פתרנו את המשוואה ההומוגנית ופתרונה •

: כלומר: . הומוגנית- נניח כי גם ניחשנו פיתרון כללי למשוואה הלא •

): י הצבה"ע( נראה כי סכום הפתרונות הוא פיתרון •

. משפט הקיום והיחידות העובדה כי זהו הפיתרון הכללי ביותר היא תוצאה של •

( )Hy x

( )P

y x

( )( ) ( ) ' '( ) '( )af x bg x af x bg x+ = +

' ( ) 0H Hy p x y+ =

' ( ) ( )P P

y p x y q x+ =

( ) ( ) ( )H Py x y x y x= +

( ) ( )( ) ( )[ ] [ ]

0(homogenous equation) ( ) (inhomogenous equation)

'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( )

'( ) '( ) ( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )

H P H P

H P H P

H H P P

q x

y x p x y x y x y x p x y x y x

y x y x p x y x y x

y x p x y x y x p x y x q x

= =

+ = + + ⋅ + =

= + + ⋅ + =

= + ⋅ + + ⋅ =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


42


דוגמה

) חזרה על אותה השאלה אותה פתרנו בעזרת גורם האינטגרציה (השאלה

:פתרו את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה עם תנאי ההתחלה הנתון

' 5 2

(0) 4

y y x

y

+ =

=

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


43

' 5 2y y x+ =


דוגמה

הפיתרון

: הומוגנית מסדר ראשון-המשוואה היא ליניארית לא

:המשוואה ההומוגנית(1)

): המקורית( הומוגנית -המשוואה הלא (2)

' 5 0H H

y y+ =

' 5 2y y x+ =

' 5 2P P

y y x+ =

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


44


דוגמה

הפיתרון ההומוגני

: המשוואה ההומוגנית

: נבצע הפרדת משתנים

בחלק של (פתרנו משוואה זו קודם לכן

: הפיתרון הכללי). הפרדת המשתנים

הומוגני -הפיתרון הלא

:הומוגנית-המשוואה הלא

נוכל לנחש , 1 היא xהיות והנגזרת של

: פיתרון מן הצורה

:הצבתו במשוואה תיתן

:פיתרון פרטי מוצע, לכן

' 5 0H H

y y+ =

5H

H

dydx

y= −

5( ) x

Hy x C e−= ⋅

' 5 2P Py y x+ =

( )Py x ax b= +

!

2 2 25 5 5

2 25 25

2 ' 5 ( ) ' 5( ) 5 ( 5 )

5 2

5 0 5 0 5 0

P Px y y ax b ax b ax a b

a a a a

a b a b b b

= + = + + + = + +

⇓

= = = = ⇒ ⇒

+ = + = + = = −

2 15 5

( ) ( )Py x x= −

1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011


45

' 5 2y y x+ =


דוגמה

הפיתרון

: הפיתרון הכללי עם תנאי ההתחלה הוא, לפי האלגוריתם שלנו

: הצבה של תנאי ההתחלה תיתן

: ואכן קיבלנו בדיוק את אותו הפיתרון כמו בשיטה הקודמת

0 2 1 25 5 25

225

( 0) (0 ) 4

4 4.08

y x C e C

C

−= = ⋅ + − = − =

= =

5 2 15 5

( ) ( ) ( ) ( )x

H Py x y x y x C e x−= + = ⋅ + −

(0) 4y =

51022 15 5 25

( ) ( ) xy x x e

−= − + ⋅

( 2011 ) א עשתה ביבא רטסמסchem.ch.huji.ac.il/sandy/amirphyschema/lecturenotes/tirgul...

Documents