Глобальная дискретная оптимизация при помощи

разрезов графов

Петя

Оптимизация

непрерывная дискретная

(комбинаторная)

План

Заключение

Семейство функций

Пример задачи

Потоки и разрезы в сетях

Сведение задачи оптимизации

Семейство функций

X1

X2

X3

X4

X5

X6

E12

E25

E56

E36

E43

E15 Xi

Пример: вырезание фона

Локальная модель Глобальная модель

Локальное предсказание

Сеть

трубопроводная

Сеть (теория графов)

5 3

4 2

2

2

2

1 исток (source)

сток (sink)

Пропускная способность ребра

Поток (flow)

Величина потока: 4

2/5 2/3

2/4 2/2

0/2

2/2

2/2

0/1 4 4

Поток: функция f( )→R С ограничениями: 1. В узлах вода не проливается 2. Трубы не лопаются

Разрез (s-t cut)

Максимальный поток ≤ Пропускной способности разреза

исток (source)

сток (sink)

S

T

Разрез (s-t cut)

5 3

4 2

2

2

2

1 исток (source)

сток (sink)

Пропускная способность разреза: 7

S

T

Min-cut → Max-flow

• Теорема Форда-Фалкерсона:

– Задачи Min-cut и Max-flow равносильны

Max-flow

Min-cut

Семейство функций

1 шаг 2 шаг

+ условие субмодулярности на Eij(∙, ∙)

• Точный эффективный алгоритм • Глобальное решение

• NP-complete • Приближенное решение • Эффективные алгоритмы • Частные случаи

Минимизация E → Min-cut

0

1

Условие субмодулярности

+ условие субмодулярности на Eij(∙, ∙)

Max-flow: алгоритмы решения

Реализации

• BK (Boykov, Kolmogorov)

• IBFS (Goldberg et. al)

• Доступен исходный код

IBFS with dynamic trees data structure

Расширение задачи

+ условие субмодулярности на Eij(∙, ∙)

«Minimizing Nonsubmodular Functions with Graph Cuts» Kolmogorov & Rother, PAMI 2007

Приближенное решение Оценка снизу оптимального значения E(x)

QPBO Quadratic Pseudo-Boolean Optimization

NP-complete

Расширение задачи

Множество методов:

• α-expansion • αβ-replace • SMD • SMR • Модификации α,β-замены • …

(учет специфики задачи, различные ограничения)

Совсем универсального метода нет

Вернее есть (TRW), но основан не на graph-cuts. Работает значительно дольше.

+ ограничения

NP-complete

Приложения

Метрический классификатор Визильтер, 2011

Карта глубины по стерео изображению

Прогнозирование вспышек

GrabCut, вырезание фона MS Office

Разметка изображения

Анализ медицинских изображений

Что читать дальше

Energy Minimization Methods in Computer Vision and Pattern Recognition Boykov, Y.; Kahl, F.; Lempitsky, V.; Schmidt, F.R. (Eds.), 2011

Structured Learning and Prediction in Computer Vision Nowozin, Lampert, 2011 Now Publishers

Kolmogorov, Zabin, PAMI 2004 «What energy functions can be minimized via graph cuts?»