В мире квадратных уравнений.

Шнайдер Инна,ученица 8 «А» класса

школы № 32

Цели и задачи.

Цель исследовательской работы: пополнить, систематизировать, углубить

свои знания по решению квадратных уравнений и заданий, сводящихся к решению квадратных уравнений.

Задачи: Изучить теоретический материал по

данной теме. Рассмотреть историю возникновения

квадратных уравнений и способов их решения в разное историческое время.

Апробировать теоретический материал при решении различных заданий.

Сформулировать выводы по результатам исследования

Определение.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где х - переменная, а, b и с – некоторые

числа причем, а ≠ 0.

Квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0, а ≠ 0

Приведённые уравнения

х²+рх+q=0, р =b/a и q=c/a

Неполные уравнения

ax² + bx = 0, с= 0

ax²+ c = 0,b= 0

ax² = 0, b=0 и с= 0

Еще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид , Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений

Из истории.

«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а 3/4 длины равно ширине».

Задача Магавиры: «Найти число павлинов в стае, 1/16

которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат одной девятой остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала».

x1 = 48, x2 = 7 ∙ 48/17.

x = (x/16)2 + ((1/9) ∙ (15x/16))2 + 14.(17 / (9 ∙ 128)) x2 - x + 14 = 0,

Из прошлого в наши дни.

y=0 y=-1

10 способов решения квадратных уравнений. 1. Разложение левой части уравнения на множители. 2. Метод выделения полного квадрата. 3. Решение квадратных уравнений по формуле. 4. Решение уравнений с использованием теоремы

Виета. 5. Решение уравнений способом «переброски». 6. Свойства коэффициентов квадратного

уравнения. 7. Графическое решение квадратного уравнения. 8. Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки. 9. Решение квадратных уравнений с помощью

номограммы. 10. Геометрический способ решения квадратных

уравнений.

Решение с помощью циркуля и линейки.

Алгоритм решения уравнений с помощью циркуля и

линейки.

Решим уравнение aх2 +bх+c=0: Построим точки S(-b:2a;

(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1)

Провести окружность радиуса SA

Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения

Решение с помощью циркуля и линейки.

Номограмма.

Номограмма —чертёж, являющийся особым изображением функциональной зависимости. Основное назначение номограммы - служить средством для вычислений. Номограмма применяется в инженерных расчётах, играя роль специализированных счётных приспособлений.

Пример.z² + 5 z – 6 = 0 z1 = 1,0 , z2 = – р – 1 = – 5 – 1 = – 6,0

Геометрический способ.х²+10х = 39.х² , (4•2 =10х), (6 ), т.е. S= х²+10х + 25 ,

т.к.х² + 10х = 39 , то S= 25+39 = 64 =>=> АВ = 8

=> x =

D x C

6 2 6

2 x2 2

6 2 6

4

1

4

1

4

1

4

1

х2

1

х2

1х2

1

х2

1

А х B

х2

1 14 25

4

32

12

2

128

Программа решения квадратных уравнений.

Программа составлена в среде программирования Delphi 7.0.

Заключение.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие

выводы: Изучение научно – методической литературы по теме

выполненнойработы показали, что использование различных способов

решения квадратных уравнений является важным звеном в изучении

математики, повышает интерес, развивает внимание и сообразительность. Система использования различных способов решений

уравнений при решении различных задач с использованием квадратных

уравнений является эффективным средством активизации знаний,

положительно влияет на развитие умственной деятельности. Основным в решении квадратных уравнений является

правильно выбрать рациональный способ решения и применить алгоритм

решения Работа над проектом способствует дальнейшему изучению

решений уравнений.