Курс лекций по сопротивлению материалов

Курс лекций по сопротивлению материалов

Часть 1.2

Бондаренко А.Н.

Москва - 2007

Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в ХабИИЖТе, СГУПСе и МИИТе (1965-2006 гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме двух семестров.Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки.Завершение – Esc.Замечания и предложения можно послать по e-mail: [email protected] .

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)Кафедра строительной механики

Научно-технический центр транспортных технологий

σx

x

у σy

σy

σx

yx

yx

xy

xy

Содержание Лекция 9. Краткие сведения о напряженном и деформированном состояниях в точке. Виды напряженных состояний.

Анализ плоского напряженного состояния. Напряжения на наклонных площадках. Лекция 10. Главные напряжения и положения главных площадок. Максимальные касательные напряжения. Понятие

о круге Мора для напряжений. Главные деформации. Лекция 11. Геометрические характеристики поперечных сечений. Статические моменты. Определение координат

центра тяжести поперечного сечения. Осевой, центробежный и полярный моменты инерции. Моменты инерции простейших фигур. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей.

Лекция 12. Зависимость между моментами инерции при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции. Понятие о радиусе инерции.

Лекция 13. Изгиб балок. Основные допущения. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Момент сопротивления при изгибе. Условие прочности по нормальным напряжениям. Понятие рационального сечения при изгибе.

Лекция 14. Вывод формулы касательных напряжений при поперечном изгибе. Распределение касательных напряжений для некоторых типов поперечных сечений. Условие прочности на сдвиг. Понятие центра изгиба.

Лекция 15. Расчеты на прочность по касательным напряжениям и усилиям сдвига. Составные балки (клееные, сварные и заклепочные соединения). Анализ напряженного состояния при изгибе. Изгиб стержня в упруго-пластической стадии.

Лекция 16. Понятие о чистом сдвиге. Закон Гука при сдвиге. Связь между модулями упругости при растяжении и сдвиге. Кручение стержней круглого поперечного сечения. Напряжения и перемещения. Анализ напряженного состояния.

Лекция 17. Статически неопределимые задачи при кручении. Основные результаты теории кручения стержней прямоугольного сечения.

Рекомендуемая литература1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов для вузов. М.: Высшая школа.

1995, 2001 г. 560 с.2. Сборник задач по сопротивлению материалов под ред. Александрова А.В., М.: Стройиздат. 1977г. 335 с.3. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ. Изд. МИИТ.4. Лабораторные работы по сопротивлению материалов (Методические указания под ред. Александрова А.В.,

часть 1, МИИТ, 1974 г.)

Лекция 9 Напряженное состояние в точке - При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малыйобъемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения,например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σx, xy, xz .Этот элемент можно по разному ориентировать в пространстве. При поворотах элемента нормальные и касательныенапряжения на его наклонных гранях будут принимать новые значения.

Представляет интерес исследовать, как изменяются эти напряжения от изменения ориентации элемента. Это позволит найти наклонные площадки, по которым напряжения принимают максимальные и нулевые значения.Рассмотрим эту проблему вначале для более простого случая – плоского напряженного состояния. Плоское напряженное состояние – такое состояние, при котором две параллельные грани элементасвободны от напряжений, т.е. на них отсутствуют и нормальные и касательные напряжения. Такое напряженноесостояние возникает в тонких пластинах, поверхности которых свободны от нагрузок, на незагруженной поверхности тел,при изгибе балок, кручении валов.

1

z

σy

y

σx

xy

yx

x

yz

xz

σz

zy

zx

Ниже будет показано, в этом случае напряжения zx и zу также должны отсутствовать.

Пусть, например, по площадкам z напряжения отсутствуют:

Теперь элемент можно представить в виде его проекции на плоскость x, y. На рисунке показаныположительные направления напряжений, соответствующие правилам:1. положительные нормальные напряжения направлены в сторону внешней нормали соответствующей грани,т.е. они вызывают деформацию растяжения элемента.2. положительные касательные напряжения вращают элемент по часовой стрелке (при взгляде навстречу оси z).

σx

x

у σy

σy

σx

yx

yx

xy

xy

В общем случае, напряжения в деформированном состоянии меняются от точки к точке, т.е. являются функциямикоординат. Здесь при рассмотрении бесконечно малого элемента можно считать, что напряженное состояниеоднородное и напряжения по каждой из граней постоянные и на параллельных гранях элемента равны между собой.Выделенный элемент должен находиться в равновесии и удовлетворять уравнениям равновесия для произвольной плоской системы сил –равнодействующих по каждой из граней приложенных напряжений:Суммы проекций на координатные оси тождественно равны нулю.Составим сумму моментов относительно левого нижнего угла:

dx

dy

.0)()(- ;0 dxdydzdydxdzM xyyxAi

A

xyyx

Получен закон парности касательных напряжений: Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и противоположны по знаку.

Таким образом, показанные направления касательных напряжений на рисунке, посвященном правилам знаков, не соответствуют равновесному состоянию элемента. Возможные, правильные направления касательных напряжений:

yx<0

yx

xy

xy>0

yx

xy

yx>0

xy<0

Лекция 9 (продолжение – 9.2)

2

Напряжения по наклонным площадкам - Для определения напряжений по наклонной площадке,внешняя нормаль которой повернута на угол от оси x, используем метод сечений:

z

σy

y

σx

xy

yx

x

σx

x

у σy

σy

σx

yx

yx

xy

xy

n2. отбросим правую часть,

1. проведем наклонное сечение,

3. заменим отброшенную часть внутренними усилиями, которые представимв виде компонент напряжений - нормального и касательного (все напряженияпоказаны положительными),

σ

4. составим уравнения равновесия для равнодействующих напряжений в проекцияхна нормаль к наклонному сечению и ось, касательную к сечению:

t

dy

dy.tg

cos

dy

,0sin)(cos)tg(sin))tg((cos)(cos

:)(

dydzdzdydzdydydzdz

dyn xyyxyx

.0cos)(sin)tg(cos))tg((sin)(cos

:)(

dydzdzdysdzdydydzdz

dyt xyyxyx

После деления уравнений на dydz, умножения на cos, подстановки закона парности касательных напряжений и переноса в правую часть получим:

,cossin2sincos 22 yxyx

).cos(sincossincossin 22 yxyx

dz

Или используя известныетригонометрическиеформулы двойного угла:

,2sinsincos 22 yxyx

2cos2sin2 yx

yx

Получены формулы для определения напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения x, y и yx = - xy. Определим, каковы будут напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной наклонной площадке:

.2sincossin)90(2sin)90(sin)90(cos 2200202

900 yxyxyxyx

2cos2sin2

)90(2cos)90(2sin2

00

900 yxyx

yxyx

Из сравнения выражений для касательных напряжений вновь получаем закон парности касательных напряжений: +900 = - .

Складывая выражения для нормальных напряжений получаем закон постоянствасуммы нормальных напряжений в любых взаимно перпендикулярных площадках:

.090constyx

Из постоянства суммы нормальных напряжений следует, что при повороте этих площадок приращения (изменения)нормальных напряжений равны и противоположны по знаку: . - ;0 00 9090

dddd

Соответственно, если на одной из площадок нормальные напряжения достигает максимума,то на второй площадке они приходят к минимуму.

Лекция 10 Главные напряжения - При расчете конструкций на прочность необходимо определить величину максимальных напряжений.Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют –главными площадками.Для определения положения главных площадок достаточно положить нулю первую производную нормальных напряжений по углу наклона:

3

2sinsincos 22yxyx .02cos22sin)(2cos2cossin2sin)cos2(

yxyxyxyx

.2

2tgyx

yx

Для определения величины максимальных и минимальных нормальных напряжений надо найти значения угла через arctg(…) и подставитьв исходное выражение для нормальных напряжений, но проще непосредственно использовать следующие тригонометрические формулы:

Поскольку тангенс имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 1800, полученное выражениеопределяет две площадки, отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе главные площадки взаимноперпендикулярны.

Заметим, что производная нормальных напряжений в наклонной площадке по углу наклонаоказывается равной удвоенной величине касательных напряжений по этой площадке:Таким образом, на главных площадках касательные напряжения обращаются в нуль.

.22cos22sin)(

yxyx

2222 4)(

2

21

2

2tg1

2tg2sin

yxyx

yx

yx

yx

yx

yx

22

2

4)(22

1

2

2cos1sin

yxyx

yx

22

2

4)(22

1

2

2cos1cos

yxyx

yx

Подстановка этих тригонометрических функций в формулу нормальных напряжений дает для одной из главных площадок:

.4)(2

1

24)(2

4)(

2

4)(

2

4)(22

1

4)(22

1

22

22

22

222222

yxyxyx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

yxy

yxyx

yxx

yx

2222 4)(21

1

2tg1

12cos

yxyx

yx

yx

yx

Поскольку угол для другой главной площадкиотличается от первой на 900, то синус и косинусдвойного угла изменят знак на противоположный,что приведет к изменению знака второго слагаемого :

.4)(2

1

222yxyx

yx

Таким образом, по двум главным площадкамдействуют главные напряжения: .4)(

2

1

222

max yxyxyx

.4)(

2

1

222

min yxyxyx


4

Максимальные касательные напряжения - Существуют площадки, в которых касательные напряжения достигают максимальных значений. Для определения их положения достаточно положить нулю первую производную касательных напряжений по углу наклона:

Таким образом, площадки сдвига повернуты относительно главных площадок на угол 450.

2cos2sin2 yx

yx

.02sin22cos)(2sin22cos22

yxyxyxyx

.2

2tg 1yx

yx

Поскольку тангенс имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 1800, полученное выражение определяет две площадки, отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе площадки взаимно перпендикулярны. Хотя в этих площадках в общем случае нормальные напряжения на обращаются в ноль, площадки, в которых касательные напряжения максимальные,называют площадками сдвига. .

22tg

yx

yx

.2ctg)2ctg(90 10 .

2tg

12tg 1 Поскольку правые части

обратные друг другу, то

Определим угол между площадкой сдвига и главной площадкой.Сравним формулы для углов наклона главных площадок и площадок сдвига:

.2290 10 .450

1

Для определения величины максимальных касательных напряжений надо найти значения угла через arctg(…) и подставить в исходное выражениедля касательных напряжений, но проще принять в качестве исходного состояния главные площадки и перейти к площадкам сдвига:

.2

)452cos(0)452sin(2

2cos2sin2

minmax00minmax

yxyx

При подстановке угла 1350 или -450 (вторая площадка сдвига) получим тот же результат, но с обратным знаком. Таким образом, вновь соблюдается закон парности касательных и в общем случае можно записать:

.2

minmaxminmax,

Подставим выражениядля главных напряжений: .4)(

2

1 22minmax, yxyx .4)(

2

1

222

max yxyxyx

.4)(

2

1

222

min yxyxyx

Понятие о круге Мора для напряжений- Существуют графический способ определения положений главных площадок и напряжений, а также напряжений по любым другим площадкам. Способ основан на том, что зависимость между нормальными и касательными напряжениями описывается уравнением II порядка, а именно уравнением окружности:

2cos2sin2 yx

yx

2sinsincos 22yxyx 2sin

2

cos1

2

cos1yxyx

2sin2cos

22 yxyxyx

Возведем в квадратобе части уравненийдля напряженийи сложим: ).2cos2sin2cos2(sin

22

)2cos2(sin)2sin2(cos22

22222

2

2

2

yxyx

yxyxyx

= 1= 0

= 1

Итак, получили уравнение II порядка

Сравните его с уравнением окружности:

.22

2

2

2

2

yxyxyx

.)()( 222 Rbyax


5

Построение круга Мора и его использование - Из сравнения уравнений координаты

центра круга Мора и радиус равны:

Уравнение связи нормальных и касательныхнапряжений:

Уравнение окружности:

.22

2

2

2

2

yxyxyx

.)()( 222 Rbyax

.2

,0 ,2

2

2

yxyxyx Rba

Построим круг Морадля напряженного состояния:

σx

x

у σy

σy

σx

yx

yx

xy

xy

σ

2yxa

2

2

2 yxyxR

O

Напряженное состояние по площадке x характеризуется точкой A на кругенапряжений.

A

xy

σxНапряженное состояние по площадке y характеризуется точкой B на кругенапряжений.

B

σy

yx

Точка пересечения направлений площадокс окружностью (точка C) называетсяполюсом для данного исходного состояния,и определяет направление любойнаклонной площадки, напряженноесостояние в которой изображается точкойкруга Мора, например, точкой M:

С

M

σ

Вычислим тангенс угла наклона площадки,соответствующей точке M, к площадке x :

yxyyx

xyxyyx

y

xy

)2sinsincos(

2cos2sin2

tg22

)2sin)1(sincos

)12(cos2sin2tg

22

yxyx

yxyx

2cos

2sin2 cossin2

tgcos)sin2cos)((

sin)sin2cos)((tg

yxyx

yxyx

cossin2

Таким образом, прямая CM,соединяющая изображающуюточку M с полюсом C,показывает направлениенаклонной площадки, покоторой действуют

напряжения σ , .

С помощью круга Мора легко определяются главные напряженияи направления главных площадок,

σmin

σmax

экстремальные касательные напряжения и направления площадок сдвига.

max

min

,2sinsincos 22 yxyx

2cos2sin2 yx

yx

xyyx

0xy

xyyx


6

С помощью круга Мора, построенного для деформаций легко определяются главные деформации и направления главных площадок.

Главные деформации - Подобно тому, как определялись напряжения на наклонных площадках, могут быть определены деформации. Выражения деформаций в новой системе координат, повернутой относительно начальной на некоторый угол, аналогичны выражениям для напряжений. Достаточно подставить вместо нормальных напряжений линейные деформации, а вместо касательных напряжений – половины углов сдвига :

,2sin2

1sincos 22 yxyx .2cos

2

12sin

2

yx

yx

Так же, как и для напряжений, существуют такие площадки, для которых отсутствуют углы сдвига, а линейные деформации принимаютмаксимальные значения. Эти площадки и линейные деформации называются главными. Для их определения используются формулы,аналогичные полученным для напряжений:

.)(2

1

222

max yxyxyx

.2tg

yx

yx

Лучше не пользоваться таким шнуром. Думай, студент.

Лекция 11 Геометрические характеристики поперечных сечений - Величина нормальных напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого)

стержня зависит от площади этого сечения. Таким образом, площадь поперечного сечения является геометрической характеристикой, определяющей напряжение при растяжении (сжатии). В случае других видов напряженно-деформируемого состояния (изгиб, кручение) напряжения зависят не от площади, а от некоторых других геометрических характеристик поперечного сечения.

Иерархия геометрических характеристик устанавливается видом подинтегрального выражения и представляется следующей: Площадь поперечного сечения:

7

A

dAA

xx

y

dx

dy dA

O

y Статические моменты площади поперечного сечения:

Статические моменты используются при определении положения центра тяжести:

Ay

Ax

xdAS

ydAS

.

;

. ;A

Sy

A

Sx x

Cy

C

. ;

i

ii

i

xiC

i

ii

i

yiC A

Ay

A

Sy

A

Ax

A

Sx

xC

yC

C

Здесь xi, yi – координаты центров тяжести простых фигур, для которых они известны или легко находятся.Напомним процедуру определения положения центра тяжести:1. выбрать произвольную (начальную) систему координат x, y;2. разбить заданную фигуру на более простые фигуры.3. вычислить статические моменты и использовать формулы координат центра тяжести.

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Можно показать, что относительно центральныхосей статические моменты обращаются в ноль.

yC

xC

x

y

1

2

1x2x

Пример 1 – Определить положение центра тяжести уголкового поперечного сечения.1. Выбираем систему координат x, y с началом в нижнем левом углу сечения.

2. Разбиваем фигуру на два прямоугольника, вычисляем площадии координаты центров тяжести каждого:

3. Вычисляем статические моментыи координаты центратяжести всего сечения:

12

20

4

4O

;6 ;2 ;48124 111 yxA

;2 ;1242

420 ;644)420( 222

yxA

;288486111 AySx ;96482111 AxS y

;128642222 AyS x ;7686412222 AxS y

.71,7112

864

6448

76896

21

21

AA

SS

A

Sx yy

i

yiC .71,3

112

416

6448

128288

21

21

AA

SS

A

Sy xx

i

xiC

Определение координат центра тяжести. Методы определения положения центра тяжести плоских фигуррассматривались в курсе теоретической механики,например, метод разбиения:

C

h

y

dy

x

b

y

xx

y

dx

dy dA

O

y

8

xx

y

dx

dy

O

y

Моменты инерции площади поперечного сечения:

A

yA

x dAxIdAyI . ; 22- осевые моменты инерции площади,

AA

dAdAyxI .)( 222 - полярный момент инерции площади.

A

xy xydAI , - центробежный моментинерции площади.


Моменты инерции площади используются при определении напряжений при изгибе и кручении.Можно показать, что центробежный момент инерции относительно осей, одна из которых совпадает с осью симметрии,равен нулю. В самом деле, в этом случае элементарной площадке dA с координатами x, y всегда будет соответствовать такая же площадкакоординатами –x, y или x, -y. Суммирование (интегрирование) произведений xydA даст нуль.Далее будет показано, что для любой, в том числе несимметричной, фигуры можно найти такое положение осей, при котором центробежныймомент обращается в нуль.

A

xyAAA

IIdAydAxdAyxdAI .)(. 22222 Моменты инерции площади простейших сечений: Прямоугольник

.33

3

0

3

02

022 bhy

bdyybbdyydAyI

hhh

Ax

Известно, что центр тяжести прямоугольника находитсяна пересечении осей симметрии (xC = b/2, yC = h/2).Для вычисления моментов инерции относительноцентральных осей достаточно считать, что координатаy измеряется от центральной оси xC и изменить пределыинтегрирования:

yC

xC

yC

CxC

.123

32/

2/

32/

2/22/

2/2 bhy

bdyybbdyyI

h

h

h

h

h

hxC

Аналогично получим для других осей: .3

3hbI y .

12

3hbI yC

Центробежный момент инерции (по симметрии): .0xyI

Полярный момент инерции: .12

)(

1212

2233 bhbhhbbhIII yCxC

Полярный момент инерции не зависит ориентации координатных осей x, yи всегда равен сумме осевых моментов инерции:

■ Треугольник

; ; bh

yhb

h

yh

b

by

y

h

Ax bdy

h

yhydAyI

022

Элементарная площадка имеетпеременную ширину и зависит отее координаты по оси y:

hydy

x

b

у yC

xC

yC

CxC

.bdyh

yhdybdA y

.1243

)(3

0

43

032 bhyy

hh

bdyyhy

h

bh

h

.3643

)(3

3/2

3/

433/2

3/32 bhyy

hh

bdyyhy

h

bI

h

h

h

hxC

Момент инерции относительно центральной оси xC :

Момент инерции относительно центральной оси yC :

.4812

)2/(22

33

)2/(hbbh

II byCyC

9

Круглое сечение:


dR

x

y

Вычислим вначале полярный момент инерции:

.3224

2244

0

4

0

22 DRddAI

RR

A

Моменты инерции относительно центральных осейс учетом симметрии:

.6442

44 DRIII yx

В технике часто используютприближенные значения(погрешность менее 2%):

.1,0 4dI

.05,0 4dII yx

Кольцевое сечение: Достаточно изменить пределы интегрирования:

.32

)(

2

)(

42

44444 dDrRI

R

r

Моменты инерции относительно центральных осейс учетом симметрии:

.64

)(

4

)(

2

4444 dDrRIII yx

d

R

x

y

r

Для тонкостенного кольца (t < 0,075R) можно приближенносчитать, что = Rср = const по его толщине и A = 2Rсрt:

.4

223ср3

срср2ср

2 tDtRtRRdAI

A

.82

3ср3

ср

tDtR

III yx

В технике иногда используютприближенные значения в виде:

.8,0 3срtDI

.4,0 3срtDII yx

t

R

x

y

R

Моменты инерции площади составных сечений- вычисляются , так же как и при вычислении координат центратяжести, методом разбиения на простые фигуры, для которыхизвестны или легко вычисляются координаты центров тяжести имоменты инерции.Например, момент инерции кольцевого сечения может бытьвычислен как разность моментов инерции круглого сплошногосечения радиуса R и такого же сечения, но радиуса r. Заметим, что при сложении моментов инерции по каждой изкоординатных осей для каждой из фигур моменты инерциидолжны вычисляться относительно осей, являющихся общимидля рассматриваемого сечения и всех составляющих фигур.Отсюда следует необходимость располагать формулами,позволяющими переходить от одних осей к другим.

Зависимость между моментами инерции

при параллельном переносе осей

x1

x

y

dA

O1

y1

b

aO

y

x

x1

y1

AA

x dAaydAyI 2211 )(

.2 22 AAA

dAaydAadAy

xI xS A

.2 21 AaaSII xxx

Аналогичнодля оси y1: .2 2

1 AbaSII yyy

Формулы упрощаются, если исходные оси являются центральными,т.к. SxC = SyC = 0:

.21 AaII

Cxx .21 AbII

Cyy

.))((1111 AA

yx dAbxaydAyxI

.11 abAbSaSII xyxyyx

.11 abAIICC yxyx

Лекция 12

10

Зависимость между моментами инерции при повороте осей

x

u v

dA

O1

yv

ux

y

x

xcosxsin

ysin

ycos

Координаты элементарной площадки dA в системе координат u, v выражаются через исходныекоординаты x, y линейными зависимостями: .cossin ;sincos yxvyxu

Осевые моменты инерции относительно осей u и v:

AA

u dAxydAvI 22 )sincos(

xI yIxyI

2sin

.2sinsincos 22 xyyxu IIII

.sincossin2cos 2222 AAA

dAxxydAdAy

AA

v dAxydAuI 22 )cossin(

xI yIxyI

2sin

.2sincossin 22 xyyxu IIII

.coscossin2sin 2222 AAA

dAxxydAdAy

.yxvu IIII

Сумма осевых моментов инерцииотносительно двухперпендикулярных осей не зависитот угла и при повороте осейсохраняет постоянное значение.invarconst yx IIЦентробежный момент

инерции относительноосей u и v:

AAuv dAxyxyuvdAI )sincos)(cossin( .)sin(cos)(cossin 2222

AA A

xydAdAxdAy

xI yI xyI

2sin2

1 2cos

.2cos2sin2

xyyx

uv III

I

Главные оси и главные моменты инерции – Полученные зависимостипоказывают, что при изменении угла поворота осей значения моментов инерции изменяются,при этом сумма осевых моментов инерции остается постоянной.Это означает, что можно определить такое положение осей, при котором один из осевых моментовдостигает максимального значения, а другой – соответственно минимального значения:Максимальные и минимальные осевые моменты инерции называются главными моментами инерции, а оси, относительно которых они вычисляются, – главными осями.Для определения положения главных осей достаточно положить нулю первую производную осевого момента инерции по углу поворота:

.2sinsincos 22 xyyxu IIII .02cos22sin)(2cos2cossin2sin)cos2(

xyyxyxyxu IIIIIII

uvI2

Полученный результат показывает, что для искомого положения осей центробежный момент обращается в нуль.

.2

2tgyx

xy

II

I

Отсюда же следует:

2sin 2sin

Поскольку тангенс имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 1800,полученное выражение определяет два положения осей, отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе главные оси взаимно перпендикулярны.

11


Для определения величины максимальных и минимальных моментов инерции (главных моментов инерции) надо найти значения угла черезarctg(…) и подставить в исходное выражение для осевых моментов инерции, или непосредственно использовать тригонометрические формулыдвойных углов, как это было сделано, например, при определении главных напряжений (лекция 10). Здесь попробуем чуть иначе.Представим осевой момент в виде:

.2sinsincos 22 xyyxu IIII 2sin2cos22 xy

yxyxu I

IIIII

2

2cos1cos2

2

2cos1sin 2

2cos

2sin

2yx II

.2

2tgyx

xy

II

I

.2cos

1

22 yxyx

u

IIIII

21 2tg

22 4)(1

xyyxyx

IIIII

.2

2tgyx

xy

II

I

Подставляя последнее выражение и сокращаяразность моментов инерции получаем окончательно: .4

2

1

222xyyx

yxu III

III

Знак плюс перед вторым слагаемым относится к максимальному моменту, знак минус – к минимальному.

Замечание. Полученные формулы для моментов инерции,связанные с поворотом осей, а также для главных моментовинерции, практически аналогичны по структуресоответствующим формулам для нормальных и касательныхнапряжений по наклонным площадкам и для главныхнапряжений. Отсюда можно заключить, что положения осей,соответствующих экстремальным значениям моментовинерции и сами значения можно находить с помощью кругаМора, построенного для моментов инерции.

Iu Iv

Iuv

Imax

Imin

Здесь же проиллюстрируем характер изменения моментовинерции при последовательном повороте осей в диапазоне0 - 2 (графики построены в системе MathCAD):Хорошо видно, что при достижении осевыми моментамиинерции максимальных и минимальных значенийцентробежный момент инерции обращается в ноль.А при достижении центробежным моментом инерциимаксимального значения (при повороте от главных осейна 45о) осевые моменты становятся равными между собой.

12

Лекция 12 (продолжение – 12.2) Радиус инерции – есть величина, связывающая момент инерции с площадью поперечного сечения и определяемая из равенств:Радиус инерции представляет собой расстояние от рассматриваемой оси до той точки, в которой условно можно сосредоточитьвсю площадь поперечного сечения. Эта величина характеризует насколько хорошо “развито” сечение, как далеко отстоят от осиотдельные области сечения, что в свою очередь характеризует экономичность сечения при изгибе и сжатии с изгибом.

.2AiI xx

.2AiI yy

Радиусом инерции удобно пользоваться при оценке гибкости сжатых стержней.Конечно для этого радиусы инерции предварительно вычисляются для типовых и прокатных сечений по формулам: .

A

Ii xx .

A

Ii yy

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называютсяглавными радиусами инерции и определяются по формулам:

.maxmax A

Ii .min

min A

Ii

Вычисление моментов инерции сложных фигур – выполняется в следующем порядке:1. Сечение разбивается на части, для которых известны координаты центров тяжести и моменты инерции или легко находятся.2. Выбираются начальные оси, относительно которых вычисляются координаты центра тяжести сечения.3. Вычисляются координаты центра тяжести сечения.4. Проводятся центральные оси (проходящие через центр тяжести сечения), относительно которых вычисляются моменты инерции.5. Вычисляются осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно центральных осей.6. Вычисляются главные центральные моменты и определяется положение главных осей.

Пример 1 – Определить главныецентральные моментыи положение главных осейуголкового поперечного сечения.Пример дается в виде документав среде MathCAD. Его можноиспользовать для любого другогосоставного сечения.

x

y

1

2

1x2x

h

a

t

tO

C Cx

Cy

1

2

Лекция 13

13

Изгиб балок. Основные допущения:

1. Продольные волокна стержня (параллельные его оси) испытывают лишь деформации растяжения-сжатия

и не оказывают давления друг на друга (гипотеза об отсутствии сдавливания продольных волокон).

Нормальные напряжения при чистом изгибе – Как указывалось ранее, задача определения напряжений является статически неопределимой, для решения которой необходимо последовательно рассмотреть три стороны задачи:

В общем случае балка может испытывать изгиб под действием изгибающих моментов относительно осей x и y.Если один из них равен нулю, а другой лежит в главной плоскости сечения (плоскости, проходящей через ось стержняи одну из главных центральных осей инерции) , то такой изгиб называется плоским изгибом. Если при этом изгибающий момент постоянный,и это означает отсутствие поперечной силы, то такой изгиб называется чистым изгибом.

z

z

MxMx

2. Каждое поперечное сечение стержня, плоское до деформаций, остается плоским и нормальнымк деформированной оси стержня после деформации (гипотеза плоских сечений).Первая гипотеза пренебрегает влиянием нормальных напряжений σx и σy на продольную деформацию элемента,вторая – деформациями сдвига. Обе гипотезы подтверждаются экспериментально на основной части длины стержня

z

z

Mx 1. Статика: Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса сечниями и заменим действиеотброшенных частей нормальными напряжениями. Под их действием элемент находится в равновесии.

dz

dz

z

z

Ранее приведением распределенных сил к центру и центральным осям было получены интегральныесоотношения, связывающие нормальное усилие и изгибающий момент с нормальными напряжениями:

A

zx ydAM .

z

zdA

x

y

dA

yy

Из этих соотношений найти напряжения и положение нейтральной оси пока нельзя, поскольку закон изменения напряжений по высоте сечения неизвестен.

2. Геометрия: Согласно гипотезе плоских сечений, продольные волокна испытывают деформациирастяжения-сжатия, пропорциональные расстоянию от нейтральной оси. Нейтральная ось, как ицентральная ось стержня, изгибается и имеет радиус кривизны (т. А – центр кривизны).

;A

zdAN

Mx

Так как нормальное усилиепри изгибе равно нулю, то:

.0A

zdA

Последнее указывает на то, что в сечении возникают напряжения разного знака и следует предполагать,что существуют волокна, в которых напряжения равны нулю (нейтральная ось).

Абсолютное удлинение волокна, находящегосяна произвольном расстоянии от нейтральнойоси, из подобия треугольников равно:

.2

2 00 dzyydz

dz

y0

.0

y

dz

dzz

A

3. Физика: По закону Гука: .zz E .0

y

Ez

Подставим напряжениев выражение для нормальной силы:

.000

AA

dAyE

dAy

E

Таким образом, нормальное напряжение линейно зависитот расстояния до нейтральной оси. При y0 > 0 – сжатие.

+

–

Этот интеграл представляет собой статический момент площади и равенствоего нулю означает, что нейтральная ось проходит через центр тяжести.

y0

Подставим напряжениев выражение для изгибающегомомента (y0 y ) :

.20

AA

x dAyE

ydAy

EM

.1

x

x

EI

M

.y

I

M

x

x

Замечание: Знак минус учитывает правилознаков для изгибающего момента и напряжений.

z0

= Ix

14

Лекция 13 (продолжение – 13.2) Момент сопротивления при изгибе – Из формулы напряжений при изгибе следует, что наибольшие (положительные – растягивающие) и наименьшие (отрицательные – сжимающие) напряжения в поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по обе стороны от нее:

При симметричном сечении относительно нейтральной оси абсолютныевеличины наибольших растягивающих и сжимающих напряжений равныи могут быть определены по формуле: В других случаях необходимо специально

искать ymax , но формула остается в силе.

Величина, зависящая только от размеров и формы поперечного сечения, называется осевым моментом сопротивления:

.yI

M

x

x

.maxmax yI

M

x

x

Моментом сопротивления удобно пользоваться при расчете на прочность (подбор сечения) балки при изгибе.Конечно для этого моменты сопротивления предварительно вычисляются для типовых и прокатных сечений по предыдущей формуле.

.maxy

IW x

x С использованием осевого момента сопротивления максимальные напряжения вычисляются как:

.maxx

x

W

M

Момент сопротивления типовых и прокатных сечений: 1. Прямоугольное сечение:

b

hx

y

.6

2

122

3

max

bhh

bh

y

IW x

x

2. Круглое сечение:

.1,0324

4 333

4

max

ddR

R

R

y

IW x

x

xRd

y

3. Для прокатных сечений все геометрические характеристики,в том числе и моменты сопротивления, уже вычислены и содержатсяв специальных таблицах – сортаментах.

Во всех случаях, кроме круглого сечения, следует использовать моменты сопротивления, соответствующие ориентацииПлоскости действия изгибающего момента. Например, при действии на балку прямоугольного сечения момента My

при вычислении максимальных нормальных напряжений необходимо использовать Wy:.

6

2

max

hb

x

IW y

y Условие прочности по нормальным напряжениям: .max R

W

M

x

x Максимальные напряжения не должны превышатьрасчетных или допускаемых напряжений.

Отсюда при подборе сечения определяется требуемаявеличина момента сопротивления для прокатных сеченийили характерных размеров для других сечений: .треб

R

MW x

x

В случае, например, прямоугольного сечениянеобходимо задать один из размеров или соотношениемежду ними. Пусть h / b = k.Тогда требуемая высота сечения: 3 требтреб 6 xkWh

.max x

x

W

M

15

Лекция 13 (продолжение – 13.3) Понятие рационального сечения при изгибе – Из формулы напряжений при изгибе следует, что наибольшие (положительные – растягивающие) и наименьшие (отрицательные – сжимающие) напряжения в поперечном сечении зависят от величины осевого момента инерции или осевого момента сопротивления:

При изменении размеров сечения изменяются как осевой момент сопротивления, так площадь сечения. При этом величина осевого момента сопротивления зависит, например, для прямоугольного сечения, от квадрата высоты сечения, а площадь – линейно. Увеличение площади увеличивает расход материала на изготовление балки. Более рациональным сечением считается такое сечение, при котором отношение момента сопротивления к площади имеет большее значение. Для этого следует возможно большую часть площади поперечного сечения располагать как можно дальше от нейтральной оси. Ниже показаны 5 поперечных сечений балки, составленных из неравнобоких уголков и листа, площадь всех сечений одинакова, а моменты сопротивления различны:

.maxmax yI

M

x

x .maxx

x

W

M

В связи с тем, что площади этих сечений одинаковы,наиболее рациональным из них является то,у которого момент сопротивления Wx больше.

■ Добиться снижения веса балки можно также путем изменения размеровсечения по ее длине в соответствии с изменением величины изгибающегомомента.Поскольку эпюра изгибающего момента имеет в общем случае криволинейноеочертание, то для получения рационального сечения размеры, например высотаили толщина полок, должны непрерывно изменяться.Из технологических соображений вместо этого используют ступенчатоеизменение толщины, достигаемое приваркой или приклепываниемдополнительных горизонтальных листов:

На рисунке изображена, так называемая, эпюра материалов,ординаты которой равны произведению момента сопротивленияпоперечного сечения на допускаемое напряжение: .xx WM

z

z

F

Лекция 14

16

Прямой поперечный изгиб – в поперечном сечении балки, кроме изгибающего момента, действует также поперечная сила.При прямом поперечном изгибе изгибающий момент действует в плоскости, совпадающей с одной из главных плоскостей инерции поперечногосечения балки. Поперечная сила при этом обычно параллельна плоскости действия изгибающего момента.

Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса и заменим действие отброшенных частейнормальными напряжениями и касательными напряжениями. Под их действием элемент находится вравновесии.

dz

.A

zyy dAQ Поскольку закон изменения касательных напряжений по сечению неизвестен,то из этого уравнения найти касательные напряжения для известной поперечной силы нельзя.

■ Касательные напряжения при поперечном изгибе - В общем случае при поперечном изгибе балок произвольного профиля могутвозникать две компоненты полного касательного напряжения в сечении. Компонента zx для такого сечения не может быть найдена методами

сопротивления материалов. Касательные напряжения zy, возникающие в поперечном сечении, связаны с поперечной силой, действующейв этом сечении бруса, интегральной зависимостью:

dz

z

z zy

При действии поперечной силы изгибающий момент в сечении, отстоящем на расстоянии dz от другого сечения, имеет приращение dMx.

Mx

Qy

Mx+dMx

Qy

Согласно зависимости нормальные напряжения также получают приращения: yI

M

x

x

z+dzzzy

.yI

dMd

x

x

Отсечем от рассматриваемого элемента некоторую ее часть горизонтальной плоскостью и заменимее действие касательными напряжениями (нормальные напряжения в соответствии с гипотезой оботсутствии сдавливания продольных волокон не рассматриваются).

yz

zy

x

y

dA

y

zx

b

Оставшийся элемент по-прежнему находится в равновесии. Уравнение равновесия в проекции на ось z:

.0)( ;01отсотс

A

yzA

zA

zzi dAdAdAd-Z или .01отс

A

yzA

z dAdAd-

Здесь Aотс – площадь отсеченной части поперечного сечения, A1 – площадь горизонтального сечения элемента, равная bdz.

Aотс

A1

Перенесем первый интеграл в правую часть и подставим в него выражение для нормальных напряжений: .отс1

A x

x

Ayz ydA

I

dMdA

Приращение изгибающего момента и осевой момент инерции сечения не зависят от площадиотсеченной части и их можно вынести за знак интеграла. Оставшееся подинтегральное выражение совпадает с выражением для статического момента площади отсеченной части поперечного сечения: .отс

отс1

xx

x

Ax

x

Ayz S

I

dMydA

I

dMdA

Полагая касательные напряжения постоянными по площади A1, что соответствует предположению постоянства деформаций сдвига по ширине поперечного сечения, учитывая закон парности касательных перемещений и дифференциальнуюзависимость поперечной силы, получаем: .отс

xx

xzy S

I

dMbdz

bI

S

dz

dM

x

xxzy

отс

или .отс

bI

SQ

x

xyzy

Формула Журавского

17

Лекция 14 (продолжение – 14.2) Распределение касательных напряжений по высоте сечения – Из формулы Журавского следует,что касательные напряжения в волокнах поперечного сечении, расположенных на некотором расстоянии от оси,зависят от величины статического момента площади отсеченной части и ширины сечения на высоте секущей плоскости: Построим эпюры касательных напряжений для некоторых простых сечений: Прямоугольное сечение

.отс

bI

SQ

x

xyzy

b

x

yПроведем горизонтальное сечение на высоте yи вычислим статический моментотсеченной части:

y

h

.42

1)2()2(

8

1

222 2

2

отсотс by

hyhbhyy

hb

yh

yAyS ox

Aотс

yo Подставим в формулу Журавскоговыражения для статического моментаи момента инерции:

.4

12

3

4

6

12

42

1

2

22

2

33

22

h

y

bh

Qy

h

bh

Q

bbh

byh

Qyy

y

zyПолученная зависимость являетсяквадратичной от координаты рассматриваемого слоя.Таким образом, касательные напряжения по высотесечения изменяются по квадратной параболе: y = h/2, zy = 0; y = 0, zy = zy

max =3Qy/(2bh) =1,5 zyср

■ Толстостенный двутавр

B

x

y

b

H h

Сечение имеет ступенчатое изменение ширины и поэтому следует рассматривать отдельно два участкаизменения координаты: 0 < y1< h/2 – стенка и h/2 < y2< H/2 – полка.

Для стенки:

y1

byhhH

B

hHH

S x21

2отс

42

1

222

2

Можно убедиться, что объем эпюры напряжений zy(y)b/Qy равен 1, что означает выполнение равенства ..A

zyy dAQ

Для полки: .42

1 22

2отс By

HS x

y2

На обоих участках соблюдается квадратичная зависимость откоординаты волокна. В местах резкого изменения ширины сеченияв соответствии с формулой Журавского эпюра имеет скачки:

.42

1)(

4

1 21

222 by

hBhH

18

Лекция 14 (продолжение – 14.3) Тонкостенное сечение – Эпюра вертикальных касательных напряжений zy строится аналогично рассмотренному ранее для

толстостенного двутавра.

x

Y

b

h С

В полках возникают горизонтальные касательные напряжения zx , которые могут быть определеныпо формуле Журавского, при этом статический момент площади, отсекаемой вертикальной плоскостьюна расстоянии x1, вычисляется по-прежнему относительно оси x:

zx

x1

.отс

x

xyzx I

SQЭто следует из того факта, что при сечении вертикальной

плоскостью в продольном сечении возникают касательныенапряжения xz , равные касательным напряжениям zx в поперечном сечении на расстоянии x1. Далее, следуя процедуревывода формулы Журавского, приходим к той же формуле.

zxxz

dzz+dz

z

В отличие от предыдущего (определение вертикальныхкасательных напряжений) теперь статический момент отсеченнойчасти изменяется по линейному закону:

.2

)(2 10отс

отс hxzb

hAS x

z0

Отсюда рассматриваемые горизонтальные касательные напряжения изменяются также по линейному закону: .

2

)(2)(

1010отс

x

y

x

y

x

xyzy I

hxzbQ

I

hxzbQ

I

SQ

Максимальные касательные напряжения:

.2

)4

()242

(max

x

y

x

y

zy I

bh

hQ

I

hb

hhQ

.

201

max

x

y

zxzx I

hbQ

zy

zx

zx

x

y

zy I

bh

hQ

2

)4

(max

x

yzx I

hbQ

2max

x

yzx I

hbQ

2max

Условие прочности – Эпюры распределения касательных напряженийпоказывают, что максимальные касательные напряжения возникаютна уровне нейтрального слоя, где нормальные напряжения от изгибающегомомента равны нулю. Тогда прочность балки проверяется по срез.

,ср

отс

max RI

SQ

x

xy

Понятие о центре изгиба – Направления касательных напряжений по сечению тонкостенных балок показывают, что в поперечном сечении возникает крутящий момент относительно центра приведения, совпадающим с центральной осью балки, т.е. система внутренних сил (касательных напряжений) в сечении приводится к главному вектору и главному моменту. Это означает, что кроме сдвига в плоскости действия поперечной нагрузки сечение подвергается деформации кручения, хотя поперечная нагрузка находится в главной плоскости инерции.

В случае изгиба одновременно в двух плоскостях касательные напряжения получаются как алгебраическая сумма: .

отсотс

y

yx

x

xy

I

SQ

I

SQ

Условие прочности на срез:

где Rср – расчетное сопротивление материала на срез.

F

Для предотвращения кручения необходимо сместить плоскостьдействия поперечной нагрузки таким образом, чтобы появившийсякрутящий момент уравновесил момент от касательных напряжений, равный: 01 2

21

zdAh

dAMA

zy

A

zxz

Последний интегралравен поперечнойсиле Qy.

= Qy

Первый интеграл равен площади эпюры касательныхнапряжений zx, умноженной на толщину полки: .

42

12

max

x

yzxx I

hbQbT

= Tx

Таким образом,крутящий момент равен: .

4 0

2

0

z

I

hbQzQhTM

xyyxz

Приведение системы касательныхнапряжений к равнодействующей дает: .

4 0

2

zI

hb

Q

Md

xy

z

Полученный центр приведения определяет положение равнодействующей касательных напряжений и называется центром изгиба. Для рассмотренного сечения он находится вне контура сечения. При прохождении поперечной силы через центр изгиба кручение сечения не возникает.

d

A

Лекция 15 Расчеты на прочность по касательным напряжениям и усилиям сдвига – Составные изгибаемые элементы собираются на основе

клеевых, сварных, заклепочных и болтовых соединений, позволяющих создать рациональные сечения. Эти соединения непосредственно воспринимают касательные усилия (напряжения).

■ Клеевые соединения – рассчитываются на сопротивление сдвигу составных частей.

,кл

отсmax1max, R

I

SQ

x

xyzy

где Rкл – расчетное сопротивление клея на срез.

x

y

Условие прочности:

Кроме того должна быть обеспечена прочность на срез основного материала по наибольшим касательным напряжениямна уровне нейтрального слоя: ,ср

отсmaxmax R

I

SQ

x

xyzy

где Rср – расчетное сопротивление

материала на срез.

Если материал дерево, прочность которого на скалывание ниже чем на срез поперек волокон, то берется расчетное сопротивлениена скалывание, поскольку zx = yz по закону парности касательных напряжений.

■ Сварные соединения – рассчитываются на прочность сварного шва, воспринимающего продольное сдвигающее усилие.

zymax,1

zymax zzy

max

yzmax

x

Y

hш

Опасным сечением для углового сварного шва является сечение, проходящее по биссектрисепрямого угла, соответствующее наименьшей площади среза шва. За расчетное сечение принимается

Aш = bш∙ lш =hш∙cos450∙lш, где lш - длина шва (сегментная часть площади поперечного сечения шваотбрасывается, как область, в которой не обеспечивается качество шва).В общем случае принимается Aш = hш∙∙lш, где - коэффициент формы углового шва, зависящийот вида сварки (для авто- и полуавтоматической многопроходной сварки =0,7).

Касательные напряжения, возникающие в расчетном сечении шва, не должны превышать расчетного сопротивления на срез материала шва: .

22э

ш

отсmax

ш

отсmax

ш шR

hI

SQ

bI

SQ

x

xy

x

xy

Отсюда можно определить требуемую высоту шва: .2 э

отсmax

ш

шRI

SQh

x

xy

Aотс

Aотс

■ Заклепочные и болтовые соединения – рассчитываются на срез и смятие заклепок (болтов), воспринимающихпродольное сдвигающее усилие.

x

Пусть шаг заклепок, соединяющих стенку и полку с уголками одинаков. В этом случае, в более тяжелых условиях работаютзаклепки на стенке балки, поскольку статический момент отсеченной части для них больше, чем для заклепок на полке.Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении заклепки, не должны превышать расчетного сопротивления на срез материала заклепки(a – шаг заклепок, dз – диаметр поперечного сечения заклепки):

.2

42

срз2

з

отсmax

2з

отсmax

з RdI

SaQ

ad

I

SQ

x

xy

x

xy

Отсюда можно определить требуемый шаг заклепок: .2

отсmax

срз

2з

xy

x

SQ

IRda

2 – количество швов узла

2 – количество срезов заклепки 19

Aотс

При расчете на смятие следует полагать, что сдвигающаясила, как равнодействующая касательных напряженийв плоскости сдвига, вычисленная как для сплошного сечения, вызывает смятие боковой поверхностизаклепок. Расчетной площадью смятия является наименьшая из площадей, образованной сечением диаметральной плоскостью тела заклепки. В данном случае Aсм = dз∙б, где б – толщина стенки. Условие прочности на смятие, подобное условию прочности на срез, принимает вид:

.смз

з

отсmax

з

отсmaxсмз R

dI

SaQ

ad

I

SQ

x

xy

x

xy

Отсюда можно определить требуемый шаг заклепок посмятию. Окончательно принимается наименьший шаг изопределенных по условиям среза и смятия.

20

Лекция 15 (продолжение – 15.2) Анализ напряженного состояния при изгибе – Ранее были получены и рассмотрены выражения для нормальныхи касательных напряжений, возникающих при изгибе. При расчетах на прочность должны быть определены те сечения и теволокна, в которых эти напряжения достигают максимальных значений. И это разные сечения и разные волокна. Например, при поперечном изгибе двухопорной балки максимальный изгибающий момент возникает в середине пролета, а максимальнаяпоперечная сила – в опорных сечениях.

.yI

M

x

x

.отс

bI

SQ

x

xyzy

При этом максимальные нормальные напряжения возникают в наиболееудаленных волокнах, а максимальные касательные напряжения –на нейтральной оси.

Mx

Qy

zВ элементе балки, находящейся в некотором сечении, в котором одновременно действуют достаточно большие изгибающий момент и поперечная сила, на произвольном расстоянии от нейтральной оси, возникают одновременно нормальные и касательные напряжения.

y

Главные напряжения в этом элементе и тангенсугла наклона главных площадок определяютсявыражениями:

.2

2tgyx

yx

.4)(2

1

222

2,1 yxyxyx

При поперечном плоском изгибеx = z = , y = 0, yx = yz = :получаем: .4

2

1

222

2,1 .2

2tg

Определив величины главных напряженийдля ряда точек данного сеченияна различном расстоянии от нейтральной оси,можно построить эпюры главных напряжений:

x

y

1

2 Поскольку эпюры касательных напряжений имеют скачки в местах резкого изменения ширины поперечного сечения (двутавр, швеллер), то это найдет свое отражение на эпюрах главных напряжений.

Наглядное представление о потоке внутренних сил в теле (стенке) балки могут дать траектории главных напряжений – линии, в каждой точке которого касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке. На рисунке показаны траектории растягивающих главных напряжений. Они пересекают нейтральную ось под углом 450.При армировании бетона стальными стержнями учитывается характерэтих траекторий, т.к. бетон плохо сопротивляется растяжению:

Траектории сжимающих главных напряжений учитываются при постановкеребер жесткости для предотвращения выпучивания тонких стенок, вследствиеналичия сжатых областей в стенке.

Анализ напряженного состояния при изгибе балки показывает, что необходимо проверять условия прочности по нормальным напряжениям в крайних волокнах сечений с максимальной величиной изгибающего момента ( в середине пролета), по касательным напряжениям – на нейтральной оси опорных сечений и по главным напряжениям – в точках соединения стенки и полки сечений, в которых действуют изгибающий момент и поперечная сила.

21

Лекция 15 (продолжение – 15.3) Изгиб стержня в упругопластической стадии – Рассмотренные ранее условия прочности основываются на сравнении максимальных напряжений с расчетным сопротивлением в предположении упругой работы материала. Для хрупких материалов за расчетное сопротивление принимается величина, связанная с пределом прочности, для пластичных – с пределом текучести. Для хрупких материалов возникновение максимальных напряжений, больших расчетного сопротивления, действительно означает исчерпание несущей способности рассматриваемого сечения и балки в целом.

Это не так для материалов, имеющих стадию текучести. Можно заметить, чтов случае изгиба при достижении напряжениями в крайних волокнах предельныхзначений, волокна, находящиеся ближе к нейтральной оси, испытывают меньшие,вплоть до нуля, напряжения.

σ

ε

σВ

σТ

εТ

x

y

Для этих материалов, возникновение напряжений, равных пределутекучести, не является предельным состоянием, поскольку другие волокнаеще остаются упругими и могут воспринимать увеличение нагрузки.

Исчерпание несущей способности сечения произойдет в момент, когда зона текучести распространится вплоть до нейтральной оси и материал по всему сечению будет деформироваться при постоянной нагрузке.

Состояние сечения, когда во всех его точках развиваются пластические деформации, называютпластическим шарниром. При возникновении пластического шарнира балка не может остаться в равновесии и превращается в механизм: F

При образовании пластического шарнира нулевая линия занимает положение, разделяющее сечениена две равновеликие части. Это следует из равенстванулю суммарного продольного усилия: 0сжТрастТТТ

сжраст

AAdAdANAA

Развившийся пластический шарнир не является идеальным (совершает работу при взаимном повороте смежных сечений, т.е. оказывает определенное сопротивление). Момент сопротивления повороту смежных сечений можно определить приведением напряжений относительно любой оси, например, центральной (равнодействующие сжимающих и растягивающих напряжений образуют пару):

).( растрастТТТТТ

пред

сжрастсжраст

yxAAAA

x SSydAydAydAydAM Выражение в скобках можно рассматривать как пластическиймомент сопротивления, проводя аналогию с моментомсопротивления сечения в упругой стадии:

x

x

x

x

W

My

I

MM

x

xmax

maxпл

пред

Тпред ;

Wпл

xW

Пластический момент сопротивления всегда больше момента сопротивления сечения в упругой стадии. Например, для прямоугольного сечения:

,4424244

2

сжрастсжрастпл bhhbhhbhh

Ah

ASSW xxx

.

6

2bhWx

Таким образом, пластический момент сопротивления прямоугольного сечения в 1,5 раза больше упругого, и это означает, что нагрузка может быть увеличена в 1,5 раза с момента возникновения текучести до полного исчерпания ею несущей способности.

При увеличении нагрузки зона текучести начинает увеличиваться, продвигаясь к нейтральной оси.

Лекция 16 Понятие о чистом сдвиге – Кроме деформации растяжения или сжатия материал нагруженного элемента конструкции может

испытывать деформацию сдвига. Примером этому может служить напряженно-деформированное состояние элемента стенки балки в произвольном сечении, рассмотренное в предыдущей лекции. Там же было показано, что в опорных сечениях на нейтральной оси на гранях элемента отсутствуют нормальные напряжения, а касательные напряжения максимальны. Другим примером, можно сказать классическим, является кручение тонкостенной трубы,при котором любой элемент находится только под действием касательных напряжений. Напряженно-деформированное состояние, характеризуемое тем, что на граняхэлемента возникают только касательные напряжения, называют чистым сдвигом.

22

Закон Гука сдвиге – Деформации чистого сдвига экспериментально изучаютсяпутем кручения трубчатых образцов. Экспериментальная диаграмма сдвига,связывающая напряжения и угол сдвига, для пластичной стали имеет такой же характеризменения, как и диаграмма растяжения:

y

yz

z

x

y

пц

Т

tg = G

До напряжения пц , называемого пределом пропорциональностипри сдвиге справедлива линейная зависимость(закон Гука при сдвиге): . G

Здесь - относительный сдвиг: .dy

ytg

z zy

zy

yz

dy

dz

A

y

G – модуль сдвига.

■ Связь между модулем сдвига и модулем упругости при растяжении – Модуль сдвига и модульупругости при растяжении являются физическими постоянными материала, характеризующимижесткость в каждом из этих двух видов деформации. Поскольку удлинение диагонали элемента,вызванное сдвигом, может быть получено также растяжением этого волокна под действиемнормальных напряжений, эти константы должны быть связаны между собой некоторым соотношением:

Касательное напряжение, при котором угол сдвига возрастает при постоянном напряжении называетсяпределом текучести при сдвиге.

.)1(2

E

GТаким образом существует соотношение между модулем сдвига и модулем упругости прирастяжении с участием коэффициента Пуассона. Любую из этих величин можно определить,если известны две другие.

dy

dz

A

y

Удлинение диагонали элемента вследствие деформации сдвига (dy = dz):

ds

ds

.45cos 0yds

.45cos 0dyds .45cos45cos)45cos( 0200 dsdsds .2

45cos 02 dsG

dsG

ds

Удлинение диагонали элемента вследствие деформации растяжения (σ1 = , σ2 = - ):

.)1(

))((1

)(1

211 EEEds

ds

.

)1(ds

Eds

.

2

1)1(

GE

или

23

Лекция 16 (продолжение – 16.2) Кручение стержней круглого поперечного сечения – Кручение характерно тем, что в поперечных сечениях возникают касательные напряжения , приводящиеся к крутящему моменту Mz.

z

xy

Mz

Деформация стержня при кручении выражается тем, что поперечные сечения поворачиваются вокруг оси стержняz на некоторые углы = (z) , называемые углами закручивания.

z

Касательные напряжения при кручении – Как указывалось ранее, задачаопределения напряжений является статически неопределимой, для решения которойнеобходимо последовательно рассмотреть три стороны задачи:

1. Статика: Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса сечениямии заменим действие отброшенных частей касательными напряжениями.Под их действием элемент находится в равновесии.

Ранее приведением распределенных сил к центру и центральным осям былополучено интегральное соотношение, связывающие крутящий моментс касательными напряжениями:

Azxzyz dAyxM )(

dz

dz

x

y

x

y

x

zy

zx

Касательное напряжение произвольного направления в каждой точкеплоскости поперечного сечения можно разложить по двум другимнаправлениям, а именно, по радиусу , соединяющему точку с центромтяжести сечения, и по перпендикуляру к этому радиусу. Моментотносительно центральной оси z будет создавать лишь вторая компонента,

обозначаемая одним символом . Тогда: A

z dAM

Из этого соотношения найти напряжение по известному крутящему моменту пока нельзя, поскольку закон изменения напряжений по радиусу сечения неизвестен.

2. Геометрия: Согласно гипотезе плоских сечений при своем повороте сечения остаются плоскими (справедливо лишь для круглых сечений). Следующее допущение состоит в том, что все радиусы сечения остаются прямыми и поворачиваются на один тот же угол (угол закручивания).

Mz

z

Mz

Угол закручивания двух смежных сечений отличается на величину dφ.

dφ

Угол сдвига в произвольной точке сечения, находящейсяна расстоянии от центральной оси,равен отношению длины дуги KK1 к dz:

.1

dz

KKtg

K

K1

Длина дуги KK1: .1 dKK .

dz

d

3. Физика: По закону Гука при сдвиге: . G .dz

dG

Подставляем в интеграл:

.22

pAA

z Idz

dGdA

dz

dGdA

dz

dGM

dz

GI

Md

p

z

Подставляем в выражениедля напряжений: .

p

z

I

M

Полученная формула показывает, что касательные напряжения линейно зависятот расстояния рассматриваемого волокна до центральной оси и принимаютМаксимальные значения при =max:

.maxmaxp

z

p

z

W

M

I

M

Условие прочности при кручении: [] – допускаемое касательное

напряжение материала стержня, W - полярный момент сопротивления:

.max p

z

W

M

.162

43 DRW

24

Лекция 16 (продолжение – 16.3) Анализ напряженного состояния при кручении – По закону парности касательных напряжений полученная формула для касательных напряжений, возникающих в поперечном сечении, одновременно определяет касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной продольному диаметральному сечению:

Каждый прямоугольный элемент материала испытывает напряженное состояние чистого сдвига.

Mz

Mz

Определение углов закручивания – При выводе формулы касательных напряженийпри кручении была получена дифференциальная зависимость:

Угол закручивания определяется из этого дифференциального соотношения интегрированиемлевой и правой части:

где 0 – угол поворота при z = 0.,0

0

z

z p

z dzGI

M

dzGI

Md

p

zz

В частном случае при постоянном моменте Mz, постоянной жесткости GIpи неподвижном сечении в начале координат (φ0 = 0) получаем:

.0 p

z

l

p

z

GI

lM

GI

zMЭтой формулой можно пользоваться при определении угла для вала постоянного или

ступенчато постоянного сечения, нагруженного сосредоточенными моментами.При этом на каждом из участков, на котором крутящий момент, жесткость постоянны, угол закручивания изменяется по линейному закону. Как следует из общей формулы определения угла закручивания, при построении эпюры углов закручивания ординаты эпюры откладываются от уровня предыдущего угла закручивания, т.е. строятся нарастающим итогом, учитывая угол закручивания предыдущего участка.

Пример: Построить эпюру углов закручивания для стержня нагруженного сосредоточенными моментами:M1=5M, M2=4M, где M – параметр нагрузки, Ip2/Ip1 = 2.

M2

M1

z

ll

1 2z1 I

I1. Сечение I-I (0 < z1< l): .4521

справа MMMMMMM ziII

z .11

11

1plzp

IIz

GI

Ml

GI

zM

z2 II

II

2. Сечение II-II (0 < z2< l): .42справа MMMM zi

IIIIz

.2

)4(

1112

212

1ppplzp

IIIIz

GI

Ml

GI

lM

GI

Ml

GI

zM

φ+

-

Mz+M M

1pGI

Ml -4M4M

1pGI

Ml

Расчеты на жесткость – Валы машин испытывают переменные (динамические) нагрузки. При малойжесткости валов могут возникать нежелательные крутильные колебания. Поэтому, помимо условий прочностидолжны выполняться условия жесткости, ограничивающие величину максимального угла закручивания,отнесенного к длине (погонного угла закручивания):

.расчmax p

z

GI

M

Лекция 17 Статически неопределимые задачи при кручении – решаются так же, как и при других видах деформации, т.е. последовательно

раскрываются три стороны задачи (статика, геометрия и физика). Специфика лишь состоит в том, что составляются другие уравнения равновесия, сопоставляются угловые перемещения (углы закручивания) и используется физические соотношения упругости, связывающие деформации и усилия при кручении.

Пример. Вал круглого сечения имеет ступенчатое изменение диаметра (d = 0.707D) и нагружен тремя скручивающими моментами M.

25

MM

z

aaMa a

1. Статика – Отбрасываем жесткие заделки, заменяем их реактивными моментами:

AB

MA

MB Составляем моментное уравнение равновесия относительно оси вала:

.0 ;0 BAzi MMMMMMЭто уравнение единственное, которое связывает нагрузку и реактивные моменты.Все другие (сумма проекций на координатные оси и суммы моментов относительноосей x, y) обращаются в тождества. Следовательно, задача является статическинеопределимой с одним “лишним” неизвестным.

2. Геометрия – При наличии на обоих концах вала неподвижных заделок сумма угловзакручивания на каждом из участков при любом нагружении должна быть равной нулю- уравнение совместности деформаций):

.0 ;0 4321 i

3. Физика – На каждом из участков уголзакручивания связан с крутящиммоментом в сечении(соотношения упругости):

;432

32)707,0( 44

1

11 DG

aM

DG

aM

GI

lM AA

p

Iz

;)(432

32)707,0(

)(44

2

22 DG

aMM

DG

aMM

GI

lM AA

p

IIz

;)(32

32

)(44

3

23 DG

aMM

DG

aMM

GI

lM BB

p

IIIz

.)(32

32

)(44

4

44 DG

aM

DG

aM

GI

lM BB

p

IVz

Полученные 6 уравнений образуютполную систему уравненийс 6-ю неизвестными (2 реактивныхмомента и 4 угла закручивания).Подставим соотношения упругостив уравнение совместности. Одинаковыесомножители вынесем за скобки и сократим:

.0)()(44 BBAA MMMMMM

Или: .0238 BA MMM

Или: .03 BA MMM

Выразим, например, MA из уравнения равновесия через MB

и подставим в полученное уравнение:

.3 BA MMM .1.2 MM B .023)3(8 BB MMMM

.9.0 MM A

Построим эпюру крутящих моментов:

0,9M0,9M

Mz +

0,1M 0,1M -

1,1M 1,1M

2,1M 2,1MПостроим эпюру углов закручивания:

0

φ1=0,9Ma/(GIp1)

+

+

φ2= -0,1Ma/(GIp1)

φ1 +φ2 = 0,8Ma/(GIp1)

φ3= -0,275Ma/(GIp1)

φ1 +φ2 +φ3 = 0,525Ma/(GIp1)

φ3= -0,525Ma/(GIp1)

0

Эту задачу можно решить иначе, используя в качестве основной системы статически определимую систему,для которой можно найти углы закручиванияс использованием принципа независимости силот заданных моментов и неизвестного опорного момента:

Уравнение совместности принимает вид: .0 ;0321

BMMMMi Здесь первые три слагаемые есть углы закручивания, вычисленные для сечения B,от действия трех заданных моментов по отдельности. Последнее слагаемое – уголзакручивания от действия неизвестного опорного момента MB.

;432

32

)707,0( 441 DG

Ma

DG

MaM

;832

32

)707,0(

2442 DG

Ma

DG

aMM

;932

3232

)707,0(

24443 DG

Ma

DG

Ma

DG

aMM

.1032

32

2

32

)707,0(

2444 DG

aM

DG

aM

DG

aM BBBMB

Соотношения упругости:

Подстановка этих соотношений после некоторых сокращений дает:

откуда получаем:

,010984 BMMMM

.1.2 MM B Далее находится из уравнения равновесиялевый опорный момент и строится эпюракрутящих моментов обычным образом илиее можно построить без нахождения левогоопорного момента, двигаясь справа.

Для построения эпюры углов закручиванияпридется вычислить для каждого из участковотносительные углы, как это было показанопри предыдущем подходе к решению.

Лекция 17 (продолжение – 17.2) Основные результаты теории кручения стержней прямоугольного сечения – При рассмотрении деформации кручения стержней круглого сечения использовалась гипотеза плоских сечений. При кручении стержней прямоугольного сечения возникает депланация сечения – точки плоского до деформации поперечного сечения дополнительно перемещаются из этой плоскости по некоторому нелинейному закону:

M

При вычислении касательных напряжений в угловых точках по формуле, выведенной прииспользовании гипотезы плоских сечений (круглые сечения), в углах прямоугольного сечениядолжны получаться максимальные касательные напряжения ( = max), а на самом деле в этих точках прямой угол остается прямым и касательные напряжения равны нулю.

M ).,( yxww

z

x

y

w =w (x,y)

Из рисунка [1] видно, что угол сдвига элемента, выделенного наповерхности бруса, происходит не только за счет наклона образующих,но и за счет наклона сторон, лежащих в поперечных сечениях:

dz dz

Таким образом гипотеза плоских сечений не применима и задача кручения прямоугольного стержня не может быть решена в рамках допущений, принимаемых в сопротивлении материалов. Строгое решение такой задачи рассматривается в курсе теории упругости(кто не сдаст сопромат, тому не грозит изучение теории упругости - и ему хорошо, и преподавателю тоже).Приведем некоторые основные результаты решения методами теории упругости задачи кручения стержней прямоугольной формы:

1. Наибольшие максимальные напряжения – возникают в средних точках (1) длинных сторон прямоугольного контура. Они могут быть представлены в виде, подобном ранее полученной формуле:

.кр

max1 W

M zЗдесь момент сопротивления при кручении вычисляетсяс помощью табличного коэффициента, зависящегоот соотношения длин сторон (b/d ):

d

x

y

b

.21кр bdkW

b/d 1 1,5 1,75 2 2,5 3 6 10 ∞

k1 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,299 0,313 1/3

k2 1 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,743 0,742 0,749

k3 0,141 0,156 0,214 0,229 0,249 0,263 0,299 0,313 1/3

26

2. В средних точках (2) коротких сторон прямоугольного контура возникают несколько меньшиекасательные напряжения. Они определяются через максимальные выражением:1

1.max22 k

2

2

3. Угол закручивания определяетсявыражением:

где .33кр bdkI

,0кр0

z

z

z dzGI

M

4. В углах сечения касательныенапряжения равны нулю.

Мембранная аналогия – позволяет установить качественную картину распределения касательных напряжений. В теории упругости доказывается, что полное касательное напряжение пропорционально тангенсу угла наклона касательной к поверхности идеальной гибкой мембраны, натянутой на контур сечения, равномерно растягиваемой во всех направлениях и нагруженной постоянно распределенной поперечной нагрузкой. Некоторое представление от такой мембране дает мыльная пленка, выдуваемая на проволочный контур.

Поперечная нагрузка, например, давление воздуха (дутье), вызывает прогибыповерхности. Сечения поверхности горизонтальными плоскостями дают линииравных прогибов (горизонтали), расстояния между которыми обратнопропорциональны тангенсу угла наклона касательной и, значит, величинекасательных напряжений. Направление вектора касательных напряженийсовпадает с касательными к горизонталям.

b

d

С помощью мембранной аналогии можно качественно предсказать положениеточек, в которых возникают максимальные касательные напряжения (сгущениегоризонталей) и минимальные (нулевые). На рисунке изображены (по техническим причинам) эллипсы, на самом деле при приближении к контуру должны быть некоторые овалы. Тем не менее можно увидеть, что в углах прямоугольного контура касательные напряжения должны обращаться в ноль.

36

Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вывоспользовались этим материалом для подготовки к экзаменампо рассмотренным разделам сопротивления материалов.Это только первая часть увлекательной и важной дисциплины.Дальше будет еще интереснее для тех, кто продолжит обучение.Тем, кто оставит нас – с теми попрощаемся без обид (“Каждому – - свое” было написано на воротах Бухенвальда).

Если представленный материал поможетмолодым преподавателям сопротивления материаловподготовиться к чтению лекций илипослужит основой для разработки собственного курса лекций,то авторы будут только рады. Успеха всем!

Об авторе

Список трудов

Курс лекций по сопротивлению материалов

Documents